1.
1
.
.
Sobre la propiedad
Propiedad
Para la suma de dos números combinatorios de igual numerador y denominadores consecutivos vale la fórmula: (
1.1.
)
( )
(
)
n n n+1 + = k−1 k k
Para recordar
Lo primero que tenemos que recordar es la definición de número combinatorio. Para ello, tenemos la fórmula: ( )
h h! = k k! · (h − k)!
Esta fórmula se aplica siempre y cuando k ≤ h porque no tiene sentido cuando k es mayor que h. Lo segundo que tenemos que recordar es una propiedad de números factoriales, que dice m! = m · (m − 1)!. Por ejemplo: 4! = 4 · 3!, o también 7 · 6! = 7!. Desarrollando ambos lados, se llega a una igualdad. También se puede usar la propiedad así: (5 + 1)! = (5 + 1) · 5! Cuando tengamos en claro las dos ideas anteriores, es tiempo para demostrar la propiedad de los números combinatorios.
1.2.
Qué nos dice la propiedad
En primer lugar, veamos qué nos dice la propiedad: Los números combinatorios que voy a sumar deben tener el mismo numerador. En la fórmula, ambos números tienen a n como numerador. Los denominadores de los números combinatorios que voy a sumar deben ser consecutivos. En la fórmula, uno tiene como denominador a k − 1 y el otro a k. Ambos son consecutivos. Al sumar el resultado es otro número combinatorio, pero cuyo numerador es el siguiente del n y como denominador tiene al numerador más grande de los anteriores, o sea a k. Por ejemplo:
•
•
•
•
•
1.3.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4 3
2
.
.
Sobre la propiedad
+ 41 se puede sumar y seguro dará un número, pero no se puede usar la fórmula anterior, puesto que los denominadores no son consecutivos. 5 3
+ 42 seguro que dará un resultado, pero no se puede usar la fórmula de la propiedad, puesto que si bien tienen los denominadores consecutivos, los numeradores no son iguales. 3 5
+ 34 no tiene sentido, puesto que si bien los numeradores son iguales y los denominadores consecutivos, un número combinatorio no puede tener el numerador menor que el denominador. ( ) 3 2
( )
+ 33 se puede aplicar aquí la propiedad, puesto que se cumplen todas condiciones: numeradores iguales, denominadores consecutivos y denominadores menores ( ) ( o) iguales ( ) al numerador. 3 3 Entonces se cumple que 2 + 3 = 43 . ( )
5 + (4 ) 6 . 4
( ) 5 3
. En este caso, se puede aplicar y da como resultado a
Demostración
Para demostrar, desarrollaremos la suma del lado izquierdo aplicando lo visto anteriormente. (
Bien, empezamos:
)
( )
(
)
n n n+1 + = k−1 k k
(
) ( )
n k−1
+
n k
=
n! (k−1)!·(n−(k−1))!
=
n! (k−1)!·(n−k+1))!
=
n! (k−1)!·(n−k+1)·(n−k)!
=
n! n! · 1 + (k−1)!·(n−k)! · k1 (k−1)!·(n−k)! (n−k+1)
=
n! (k−1)!·(n−k)!
·
=
n! (k−1)!·(n−k)!
·
=
n!·(n+1) (k−1)!·(n−k)!·(n−k+1)·k
Cancelamos la k y multiplicamos las fracciones
=
n!·(n+1) (k−1)!·k·(n−k)!·(n−k+1)
Aplico la propiedad conmutativa del producto y reordeno el denominador
=
(n+1)! k!·(n−k+1)!
Aplico la propiedad de factoriales nuevamente
=
(n+1)! k!·[(n+1)−k]!
Reescribo el denominador
=
(
)
n+1 k
[
+
+
n! k!·(n−k)!
3
.
.
Sobre la propiedad
Usando la definición de número combinatorio. Prestar atención al uso de los paréntesis cuando se resta.
n! k!·(n−k)!
+
1 (n−k+1)
k+n−k+1 (n−k+1)·k
Sacando paréntesis en la primera resta.
n! k·(k−1)!·(n−k)!
+
1 k
]
Aplicando la propiedad de número combinatorio que decía 5! = 5 · 4! Entonces k! = k · (k − 1)!. También fijate que aplico lo mismo en (n − k + 1)! = (n − k + 1) · (n − k)! Expresamos cada fracción anterior como producto de fracciones Sacamos factor común Resolvemos la suma de fracciones
Y esta es la definición de número combinatorio