I BIM – GEOMETRÍA – 4TO. AÑO
NIVEL: SECUNDARIA
SEMANA Nº 5
CUARTO AÑO
TRIÁNGULOS TRIÁNGULOSIII III––CONGRUENCIA CONGRUENCIADE DETRIÁNGULOS TRIÁNGULOS •
Primer Caso (L.A.L)
PROPIEDADES DE LA BISECTRIZ
→
Siendo OP la
A
∧
≅
•
O
θº
θº
αº αº
bisectriz de AOB se cumple
P B
PA = PB
OA = OB
Segundo Caso (A.L.A) PROPIEDADES DE LA MEDIATRIZ
L αº
≅ αº
θº
E
θº M
A
•
Siendo: L mediatriz de AB se cumple: EA = BE
B
Tercer Caso (L.L.L) PROPIEDAD ISÓSCELES
≅
EN
EL
B
θº θº BH •
A
Cuarto Caso (A.L.LM)
C
H
Altura Mediana Bisectriz Segmento de mediatriz
PROPIEDAD DE LA BASE MEDIA
θº ≅
TRIÁNGULO
B
θº M
A
Si: M es punto medio de AB y MN // AC Se cumple:
N
C
BN = NC
131
I BIM – GEOMETRÍA – 4TO. AÑO
Si: E y F son puntos medios. Se cumple:
53º
5a
3a
Q
37º EF
=
F
E
PR 2
4a
P
b
C
5
b
53º/2 2b
PROPIEDAD DE LA MEDIANA TRIÁNGULO RECTÁNGULO
EN
EL k
k
10
B
37º/2 3k
Si: BM es mediana relativa a AC. Se cumple:
76º
n M
A
BM =
C
AC
14º
2
n
17
4n
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES 74º
25a
7a
16º 45º
24a
60º a
a
2
a
45º a
B
2a
a 3
a
30º
75º A
15º H
C 4a
132
I BIM – GEOMETRÍA – 4TO. AÑO
EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN
1. Del gráfico calcular "θº" :
5. Siendo BP
una mediana; m BF
Calcular el valor de BC .
A
a) 15º
B
b) 20º
a) 5 cm
c) 30º
b) 10 cm
d) 45º e) 50º
= 5 cm.
F
c) 12 cm B
θº
D
n
n
d) 13 cm
C
e) 9 cm
2
A
C
P
2. Del gráfico calcular "θº" : Q
a) 15º
si AC = 8 cm.
2
b) 20º
S
c) 30º
θ º
P
B
a) 8 cm
4
d) 45º e) 60º
6. Calcular la longitud de la ceviana " BF ".
R
b) 4 cm
6º
c) 2 cm d) 6 cm e) 7 cm
3. Siendo
y
L1
B
a) 5
80º
Q
b) 2,5
e) 110º
Q
c) 3,5
c) 120º d) 145º
C
7. Del gráfico calcular " HQ " si ABC es isósceles. B
P
b) 80º
32º
F
mediatrices de AM y
L2
MC . Hallar m ∢ PMQ.
a) 100º
A
A
C
M
L1
d) 4 e) 4,5
A
37º H
L2
C 8
8. Calcular el perímetro del triángulo PQR si el triángulo ABC tiene un perímetro de 20 m.
4. Del gráfico calcular la m ∢ RBQ si L1 y L 2 son
BC
a) 10 m
respectivamente y además el ángulo en "B" mide
mediatrices
de
los
lados
AB
y
b) 20 m
130º.
c) 15 m
B
d) 5 m a) 80º
B
e) 18 m A
b) 90º c) 100º d) 110º e) 120º
132
A
R
R
Q
Q
C
P
C
I BIM – GEOMETRÍA – 4TO. AÑO 9. En un triángulo ABC el ángulo A es el doble del
15. En la figura mostrada si BC = 2 BM. Calcular "xº" :
ángulo C, se traza la altura BH y se tiene que los segmentos AH y HC miden 3 cm y 10 cm. Calcular
a) 45º
el lado AB.
b) 45º/2
B 3xº 2xº
c) 30º a) 7 cm
b) 8 cm
c) 9 cm
d) 10 cm
e) 14 cm
e) 53º/2
C
10. Hallar "x" :
d) 37º/2
D
TAREA DOMICILIARIA Nº 5
B
c) 13 d) 14
P
e) 15
1. Del gráfico calcular "AB" :
A 5 Q
12
B
a) 14
e) 22 R
c) 30º A
e) 60º
xº
60º
C
2. Del gráfico calcular el valor de "BN" : B
12. Si : AC = 2 BD. Hallar "θº" :
a) 10
a) 15º
b) 12
B
N
c) 13
b) 12º
d) 14
c) 21º θº A
e) 14º
αº
A
C
Q
D
16
d) 20
b) 53º d) 75º
E
c) 16
B
a) 45º
2αº
b) 15
11. En el gráfico, AB = 2 RQ. Hallar "xº" :
d) 18º
C
M
x
a) 5 b) 12
A
13. Hallar el máximo y mínimo valor entero de la mediana BM del triángulo ABC donde: AB = 4,6
C
e) 16
A
C
M 20
3. Del gráfico calcular "x" :
y BC = 10,4.
B
a) 7 y 4
b) 8 y 3
d) 7 y 3
e) 9 y 3
c) 9 y 4
a) 4
x
b) 2 c) 8
14. Si : AB = BC ; EF = 3 y CF = 4. Hallar AE. B
C
d) 7 e) 6
8 A
C
a) 5 u b) 6
E
c) 7
F
d) 8 e) 9
A
133
I BIM – GEOMETRÍA – 4TO. AÑO B
4. Calcular el máximo valor entero de "BM" :
a) 2
B
a) 7
8
c) 6
b) 8
12
8
c) 9
θº θº
b) 4
d) 8
A
e) 10
C
E
H
d) 10 A
e) 12
C
M
9. Hallar " BE " si BD = 4 5. Calcular " BC " :
B
B
a) 1 D
b) 3
2
c) 5 37º
8º
A
C
10
a) 3
2
b) 2
2
d) 5
2
e) 6
2
c) 3
d) 4 e) 6
A
αº αº
E C
3
10. Calcular " BH " :
6. Hallar "x" si AC = 16
B
a) 1
θº
b) 2 a) 16
c) 3
B
b) 8
d) 4
c) 12
θ º
15º
A
E
H
C
F 5
6
e) 5
x
d) 4 e) 2
A
C
11. Hallar "a" : B
7. Calcular " AE " :
a) 8 b) 10
E B
b) 7 c) 6
e) 11
E
c) 12
a) 8
d) 9
6
5 A
a
d) 14 2
αº αº
e) 11
A
C
C
12. Si el perímetro del triángulo ABC es 20 cm. 8. Del gráfico hallar " AE " : 134
Calcular " PQ " :
I BIM – GEOMETRÍA – 4TO. AÑO a) xº =
B
a) 10 b) 14
Q
P
c) 13 d) 16
θº
e) 20
αº
θº A
αº − θº
b) xº =
2
c) xº = αº + 2θº e) xº =
αº + θº 2
d) xº = αº - θº
αº + θº 3
αº
C
15. Calcular " AC " : 13. Si : AB = BC, calcular " HM " : a) a
B
B
3
b) a
a) 4 14
b) 5
M
c) 6 d) 7 A
e) 9
a
c) a
2
d) a
5
e) a
6
A
120º
C
C
H
14. Si BH es altura y BM es mediana : B xº
A
α º
H
M
θ º
C
135