4to año guia nº 5 congruencias de triángulos original

I BIM – GEOMETRÍA – 4TO. AÑO

NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 5

CUARTO AÑO

TRIÁNGULOS TRIÁNGULOSIII III––CONGRUENCIA CONGRUENCIADE DETRIÁNGULOS TRIÁNGULOS •

Primer Caso (L.A.L)

PROPIEDADES DE LA BISECTRIZ



→

Siendo OP la

A

∧

≅

•

O

θº

θº

αº αº

bisectriz de AOB se cumple

P B

PA = PB

OA = OB

Segundo Caso (A.L.A) PROPIEDADES DE LA MEDIATRIZ



L αº

≅ αº

θº

E

θº M

A

•

Siendo: L mediatriz de AB se cumple: EA = BE

B

Tercer Caso (L.L.L) PROPIEDAD ISÓSCELES

 ≅

EN

EL

B

θº θº BH •

A

Cuarto Caso (A.L.LM)

C

H

Altura Mediana Bisectriz Segmento de mediatriz

PROPIEDAD DE LA BASE MEDIA

 θº ≅

TRIÁNGULO

B

θº M

A

Si: M es punto medio de AB y MN // AC Se cumple:

N

C

BN = NC

131

I BIM – GEOMETRÍA – 4TO. AÑO

Si: E y F son puntos medios.

Se cumple:

53º

5a

3a

Q

37º EF

=

F

E

PR 2

4a

P

b

C

5

b

53º/2 2b



PROPIEDAD DE LA MEDIANA TRIÁNGULO RECTÁNGULO

EN

EL k

k

10

B

37º/2 3k

Si: BM es mediana relativa a AC. Se cumple:

76º

n M

A

BM =

C

AC

14º

2



n

17

4n

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES 74º

25a

7a

16º 45º

24a

60º a

a

2

a

45º a

B

2a

a 3

a

30º

75º A

15º H

C 4a

132

I BIM – GEOMETRÍA – 4TO. AÑO

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

1. Del gráfico calcular "θº" :

5. Siendo BP

una mediana; m BF

Calcular el valor de BC .

A

a) 15º

B

b) 20º

a) 5 cm

c) 30º

b) 10 cm

d) 45º e) 50º

= 5 cm.

F

c) 12 cm B

θº

D

n

n

d) 13 cm

C

e) 9 cm

2

A

C

P

2. Del gráfico calcular "θº" : Q

a) 15º

si AC = 8 cm.

2

b) 20º

S

c) 30º

θ º

P

B

a) 8 cm

4

d) 45º e) 60º

6. Calcular la longitud de la ceviana " BF ".

R

b) 4 cm

6º

c) 2 cm d) 6 cm e) 7 cm

3. Siendo

y

L1

B

a) 5

80º

Q

b) 2,5

e) 110º

Q

c) 3,5

c) 120º d) 145º

C

7. Del gráfico calcular " HQ " si ABC es isósceles.

B

P

b) 80º

32º

F

mediatrices de AM y

L2

MC . Hallar m ∢ PMQ.

a) 100º

A

A

C

M

L1

d) 4 e) 4,5

A

37º H

L2

C 8

8. Calcular el perímetro del triángulo PQR si el triángulo ABC tiene un perímetro de 20 m.

4. Del gráfico calcular la m ∢ RBQ si L1 y L 2 son

BC

a) 10 m

respectivamente y además el ángulo en "B" mide

mediatrices

de

los

lados

AB

y

b) 20 m

130º.

c) 15 m

B

d) 5 m a) 80º

B

e) 18 m A

b) 90º c) 100º d) 110º e) 120º

132

A

R

R

Q

Q

C

P

C

I BIM – GEOMETRÍA – 4TO. AÑO 9. En un triángulo ABC el ángulo A es el doble del

15. En la figura mostrada si BC = 2 BM. Calcular "xº" :

ángulo C, se traza la altura BH y se tiene que los segmentos AH y HC miden 3 cm y 10 cm. Calcular

a) 45º

el lado AB.

b) 45º/2

B 3xº 2xº

c) 30º a) 7 cm

b) 8 cm

c) 9 cm

d) 10 cm

e) 14 cm

e) 53º/2

C

10. Hallar "x" :

d) 37º/2

D

TAREA DOMICILIARIA Nº 5

B

c) 13 d) 14

P

e) 15

1. Del gráfico calcular "AB" :

A 5 Q

12

B

a) 14

e) 22 R

c) 30º A

e) 60º

xº

60º

C

2. Del gráfico calcular el valor de "BN" : B

12. Si : AC = 2 BD. Hallar "θº" :

a) 10

a) 15º

b) 12

B

N

c) 13

b) 12º

d) 14

c) 21º θº A

e) 14º

αº

A

C

Q

D

16

d) 20

b) 53º d) 75º

E

c) 16

B

a) 45º

2αº

b) 15

11. En el gráfico, AB = 2 RQ. Hallar "xº" :

d) 18º

C

M

x

a) 5 b) 12

A

13. Hallar el máximo y mínimo valor entero de la mediana BM del triángulo ABC donde: AB = 4,6

C

e) 16

A

C

M 20

3. Del gráfico calcular "x" :

y BC = 10,4.

B

a) 7 y 4

b) 8 y 3

d) 7 y 3

e) 9 y 3

c) 9 y 4

a) 4

x

b) 2 c) 8

14. Si : AB = BC ; EF = 3 y CF = 4. Hallar AE. B

C

d) 7 e) 6

8 A

C

a) 5 u b) 6

E

c) 7

F

d) 8 e) 9

A

133

I BIM – GEOMETRÍA – 4TO. AÑO B

4. Calcular el máximo valor entero de "BM" :

a) 2

B

a) 7

8

c) 6

b) 8

12

8

c) 9

θº θº

b) 4

d) 8

A

e) 10

C

E

H

d) 10 A

e) 12

C

M

9. Hallar " BE " si BD = 4 5. Calcular " BC " :

B

B

a) 1 D

b) 3

2

c) 5 37º

8º

A

C

10

a) 3

2

b) 2

2

d) 5

2

e) 6

2

c) 3

d) 4 e) 6

A

αº αº

E C

3

10. Calcular " BH " :

6. Hallar "x" si AC = 16

B

a) 1

θº

b) 2 a) 16

c) 3

B

b) 8

d) 4

c) 12

θ º

15º

A

E

H

C

F 5

6

e) 5

x

d) 4 e) 2

A

C

11. Hallar "a" : B

7. Calcular " AE " :

a) 8 b) 10

E B

b) 7 c) 6

e) 11

E

c) 12

a) 8

d) 9

6

5 A

a

d) 14 2

αº αº

e) 11

A

C

C

12. Si el perímetro del triángulo ABC es 20 cm.

8. Del gráfico hallar " AE " : 134

Calcular " PQ " :

I BIM – GEOMETRÍA – 4TO. AÑO a) xº =

B

a) 10 b) 14

Q

P

c) 13 d) 16

θº

e) 20

αº

θº A

αº − θº

b) xº =

2

c) xº = αº + 2θº e) xº =

αº + θº 2

d) xº = αº - θº

αº + θº 3

αº

C

15. Calcular " AC " : 13. Si : AB = BC, calcular " HM " : a) a

B

B

3

b) a

a) 4 14

b) 5

M

c) 6 d) 7 A

e) 9

a

c) a

2

d) a

5

e) a

6

A

120º

C

C

H

14. Si BH es altura y BM es mediana : B xº

A

α º

H

M

θ º

C

135