คณิตศาสตร์ที่น�ำมาใช้ ในเชิงวิศวกรรม บัญญัติไตรยางศ์
บัญญัติไตรยางศ์ คือการค�ำนวณสิ่งต่าง ๆ โดยอาศัยหลักการเทียบ อัตราส่วน เช่น สาร 1 หน่วยสามารถท�ำให้เกิดของเหลว 2 หน่วย
Calculus
ในชีวิตจริงปริมาณ และค่าต่าง ๆ จะไม่เรียบง่ายเหมือนในต�ำราเรียน โดยปริมาณเหล่านี้จะมีความซับซ้อนมากขึ้น ยกตัวอย่างเช่น รถที่วิ่งใน ชีวิตจริงอาจจะมีความเร่งที่ไม่คงที่ตลอดการเดินทาง ดังนั้นเมื่อเรา ท�ำการค�ำนวณหาระยะทาง หรือความเร็วด้วยวิธีธรรมดาก็จะท�ำได้ยาก และแทบจะเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น Calculus (ที่เป็นวิธีการค�ำนวณอีกแบบหนึ่ง) จึงเข้ามามีบทบาทส�ำคัญในการช่วยค�ำนวณ
สาร 2 หน่วยสามารถท�ำให้เกิดของเหลว 4 หน่วย
วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์และโทรคมนาคม Programming
วิศวกรรมไฟฟ้าก�ำลัง
กระแสสลับ
o จ�ำนวนเชิงซ้อน ใช้แก้ปัญหาที่เกิดจากธรรมชาติของอุปกรณ์บางชนิดใน วงจรกระแสสลับ มีคุณสมบัติตามอัตราการเปลี่ยนแปลงของกระแส (เป็น สมการ Differential) ซึ่งเป็นสมการที่เข้าใจยาก จึงมีการแปลงให้อยู่ในรูป จ�ำนวนเชิงซ้อน เพื่อให้ง่ายต่อการใช้งาน o Vector ฟังก์ชันตรีโกณมิติ และ Calculus ใช้ ในการศึกษากระแสสลับซึ่งเป็น กราฟฟังก์ชันตรีโกณมิติ ทั้งรูปแบบ สมบัติ และพฤติกรรม
การวางระบบไฟฟ้า
o เลขฐานสอง เป็นพื้นฐานการค�ำนวณของคอมพิวเตอร์ o ตรรกศาสตร์ และ Algorithm ใช้สั่งการให้ระบบท�ำงานอย่างมีล�ำดับขั้นตอนตามที่เรา ต้องการ มีความส�ำคัญต่อการออกแบบอุปกรณ์เป็นอย่างมาก
Telecommunication
o Vector ฟังก์ชันตรีโกณมิติ และ Calculus ใช้ ในการศึกษาคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าซึ่งเป็นกราฟ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ทั้งรูปแบบ สมบัติ พฤติกรรม และลักษณะการแผ่
วิศวกรรมอากาศยาน Aerodynamic
o Integrate ใช้หาพื้นที่ผิวของปีกเครื่องบิน เพื่อค�ำนวณแรงยก
สมดุลกล
o ใช้การ Integrate เข้าช่วยในการค�ำนวณแรงลัพธ์ที่กระท�ำกับส่วนรับน�้ำหนัก o ใช้เรื่อง ตรีโกณ มาแตกแนวแรงที่กระท�ำกับตัวรับน�้ำหนัก เข้าแกน 3 แกน เพื่อให้ง่ายต่อการค�ำนวณ
Electronics
วิศวกรรมสิ่งแวดล้อม
o จ�ำนวนเชิงซ้อน ใช้แก้ปัญหาที่เกิดจากธรรมชาติของอุปกรณ์บางชนิดในวงจรกระแสสลับ มีคุณสมบัติตามอัตราการเปลี่ยนแปลงของกระแส (เป็นสมการ Differential) ซึ่งเป็นสมการที่ เข้าใจยาก จึงมีการแปลงให้อยู่ในรูปจ�ำนวนเชิงซ้อน เพื่อให้ง่ายต่อการใช้งาน o Matrix ใช้แก้สมการเชิงเส้นหลายตัวแปรจากวงจรไฟฟ้าที่มีความซับซ้อน
การค�ำนวณหาอัตราการเปลี่ยนแปลง
o ใช้ Calculus หาอัตราการเกิดปฏิกิริยา หรือ อัตราการปล่อยของเสียของโรงงาน อาจจะไม่ใช่ กราฟเส้นตรงธรรมดา การใช้ Calculus จะท�ำให้สามารถช่วยหาอัตราการเกิดปฏิกิริยาได้
o Calculus ค�ำนวณให้ระบบปลอดภัย มีประสิทธิภาพ และประหยัดที่สุด
การควบคุมมลพิษ
การดูแลระบบ
o Calculus: ค�ำนวณหาปริมาตรที่เหมาะกับของเสียของโรงงานที่สุด โดยมีค่าใช้จ่ายที่น้อยที่สุด o บัญญัติไตรยางศ์: เปรียบเทียบอัตราส่วนมลพิษที่จะเกิดขึ้น เพื่อน�ำไปวางแผนการควบคุม
o Calculus สร้างระบบค�ำนวณผลกระทบหากเกิดอุบัติเหตุ เช่น ฟ้าผ่าลงสาย ไฟ น�ำไปสู่การค�ำนวณกระบวนการแก้ไขที่มีประสิทธิภาพที่สุด เช่น เพิ่มความ ต่างศักย์ของอีกที่ โดยทั้งหมดจะเกิดขึ้นภายในเวลาอันสั้น ผ่านระบบวัดคุม
ตรีโกณมิติ
ตรีโกณมิติเป็นเรื่องที่เกี่ยว กับการหาความสัมพันธ์ระหว่าง มุม และ ด้านประกอบมุม เพื่อใช้ ประโยชน์ในการค�ำนวณทิศทาง หรือ แรงในแกนต่าง ๆ
จ�ำนวนเชิงซ้อน
เมื่อมีสองระบบซึ่งเกี่ยวข้องกัน แต่ปัจจัยที่ส่งผลต่อระบบไม่เหมือนกัน ท�ำให้คิดตรง ๆ แบบจ�ำนวนจริงไม่ได้ จึงต้องคิดแยกส่วนกันแล้วมารวม กันในรูปแบบของจ�ำนวนเชิงซ้อน
ตรรกศาสตร์
เป็นตรรกะวิชาที่ใช้ ในการหาค่าความจริงว่ามันจะเป็นไปตามที่เราคาด การณ์หรือไม่ เพื่อใช้ ในการประกอบการตัดสินใจ และใช้ออกค�ำสั่ง ตรรกศาสตร์ส�ำหรับวิศวกรจะใช้มากโดยเฉพาะในงานที่ต้องโปรแกรม ควบคุมเครื่องจักร หรือคอมพิวเตอร์ ให้ท�ำงานอัตโนมัติ หรือท�ำงาน เป็นล�ำดับขั้น เช่น ในเซ็นเซอร์ก๊อกน�้ำอัตโนมัติ จะต้องตั้งโปรแกรมให้เช็ค ว่ามีวัตถุเข้ามาในระยะที่ก�ำหนดหรือไม่ ถ้าเข้ามาให้เปิดน�้ำ ถ้าไม่ได้อยู่ใน ระยะที่ก�ำหนดให้ปิดน�้ำ แล้วกลับไปเช็คอีกครั้ง
Linear Programming
การค�ำนวณปริมาณของจุลินทรีย์
o ล�ำดับ และอนุกรม: ค�ำนวณปริมาณการแพร่กระจายของจุลินทรีย์ในบ่อบ�ำบัด
ล�ำดับ และอนุกรม
ล�ำดับและอนุกรม เป็นเรื่องเกี่ยวกับ ล�ำดับของตัวเลขในชีวิตจริง ใช้ได้ ในการค�ำนวณหาค่าของล�ำดับทั้งหมด และ การสันนิษฐานค่าที่จะเกิดขึ้น ต่อไป
สถิติ
เป็นวิธีการเก็บข้อมูลเพื่อน�ำไปวิเคราะห์ คาดการณ์ วางแผน เปรียบ เทียบ และค้นหาข้อมูลเพื่อที่จะน�ำไปใช้ต่อในด้านต่าง ๆ เช่น ด้านธุรกิจ และการออกแบบผลิตภัณฑ์
Matrix
โดยปกติ Matrix จะใช้ร่วมกับคณิตศาสตร์อื่น ๆ โดยเฉพาะกับการแก้ สมการ Calculus ซึ่งมีหลายตัวแปร โดย Matrix จะท�ำให้รู้ค่าของตัวแปร เหล่านั้น ซึ่งเมื่อน�ำ Matrix ไปใช้ สมการซับซ้อนจะถูกลดรูปลง ท�ำให้ วิศวกรสามารถน�ำสมการที่ได้ไปใช้ ในงานค�ำนวณได้ เช่น ใช้ ในการเขียน โปรแกรมของคอมพิวเตอร์ เพื่อจัดเก็บข้อมูลและสร้างโปรแกรม เป็นต้น
Set
เซตคือการจัดหมวดหมู่ข้อมูลเพื่อน�ำไปใช้ประโยชน์ในด้านต่าง ๆ เช่น การใช้แผนภาพเวน-ออยเลอร์ เพื่อที่จะจ�ำแนกข้อมูล และ วิเคราะห์ รวม ทั้งใช้ ในการจัดจ�ำแนกข้อมูลเพื่อน�ำเสนอในรูปแบบที่เข้าใจง่าย การจัดข้อมูลเป็นหมวดหมู่ ท�ำให้เห็นภาพรวมของงานทั้งหมด สามารถแบ่งความแตกต่างของข้อมูลออกได้อย่างชัดเจน ท�ำให้น�ำไปสู่ กระบวนการแก้ปัญหาอย่างถูกจุดและรวดเร็ว
เป็นวิชาที่เกี่ยวกับกราฟ และ จ�ำนวนจริง โดยใช้ ในการค�ำนวณหาค่า จ�ำนวนที่จะท�ำให้ ได้ความคุ้มทุน และ ก�ำไรสูงสุด โดยเอาไปใช้ ในโรงงาน อุตสาหกรรมต่าง ๆ
วิศวกรรมปิโตรเลียม
วิศวกรรมเครื่องกล
ของไหลและพลังงาน
o Calculus ใช้หาอัตราการเปลี่ยนแปลงของการถ่ายเทความร้อนของ เครื่องจักร และการให้พลังงานของเครื่องจักร ในชั่วขณะเวลาต่าง ๆ รวมถึง การค�ำนวณความดันและปริมาตรตามกฎ Thermodynamics
วัสดุ
o คณิตศาสตร์พื้นฐาน ใช้ ในการค�ำนวณหาประสิทธิภาพของวัสดุแต่ละชนิด เช่น สามารถทนแรงได้เท่าไหร่ มีความยืดหยุ่นมากเท่าไหร่ ฯลฯ
ประเมินความเหมาะสมในการขุดเจาะปิโตรเลียม
วิศวกรรมศาสตร์
ระบบการผลิต และ การประยุกต์ใช้
o Calculus ใช้ ในการหาการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรต่าง ๆ เมื่อตัวแปรหนึ่ง มีการเปลี่ยนแปลงไป เช่น การหมุนของส่วนหนึ่งในเครื่องจักร 5 องศา จะส่ง ผลต่อแรงที่กระท�ำในส่วนอื่น ๆ อย่างไร o Matrix ใช้เพื่อแก้สมการหาค่าของตัวแปรจากสูตรที่ใช้ calculus ในการ คิดค�ำนวณ เพราะในชีวิตจริงมีปัจจัยหลายอย่างที่ไม่เป็นไปตามอุดมคติ ท�ำให้ สมการมีความซับซ้อนมากขึ้น จึงต้องใช้ Matrix เข้ามาหาค่าตัวแปรนั้น ๆ
“คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือช่วยในกระบวนการคิด ทั้งเป็นภาษากลางที่ใช้ ใน การเปรียบเทียบสิ่งต่าง ๆ เป็นเครื่องมือในการให้เหตุผล และเป็นเครื่องช่วย ท�ำนายผลลัพธ์ได้โดยไม่ต้องลงมือท�ำจริง”
Bit เป็นข้อมูลหนึ่งหลักของคอมพิวเตอร์ เป็นหน่วยที่เล็กที่สุด
o เลขฐานสอง คอมพิวเตอร์ท�ำงานด้วยกระแสไฟฟ้าจึงมีสถานะได้แค่ 2 แบบ คือมีกระแสไฟฟ้าและไม่มี ระบบตัวเลขที่น�ำมา แทนสภาวะของกระแสไฟฟ้าจึงมีได้เพียง 2 สัญลักษณ์ (ใช้ 1 กับ 0) เรียกว่าระบบเลขฐาน 2 o ใช้รูปแสดงตัวอย่างเลขฐาน 10 กับฐาน 2 แสดงค่าประจ�ำหลัก และการใช้สัญลักษณ์ประมาณนี้ 103 102 101 100 ฐาน 10 2 0 1 4 = 2×1000 + 0×100 + 1×10 + 4×1 = 2014 พัน ร้อย สิบ หน่วย
Vector
เป็นวิชาที่บ่งบอกถึงปริมาณๆหนึ่ง และ ทิศทางของมันในรูป 3 มิติ เพื่อจะน�ำไปศึกษา การเคลื่อนที่ต่าง ๆ ของวัตถุ และ สนามไฟฟ้า รวมทั้ง สนามไฟฟ้าแม่เหล็ก และ น�ำไปใช้ ในการค�ำนวณต่าง ๆ ในกระบวนการ ผลิตชิ้นงาน หรือ กระบวนการทางไฟฟ้าต่าง ๆ
2 2 2 2 ฐาน 2 1 1 1 0 = 1×8 + 1×4 + 1×2 + 0×1 = 14 แปด สี่ สอง หน่วย
Programming
2
1
วิศวกรรมโยธา สมดุลกล
วิศวกรรมคอมพิวเตอร์
3
o Calculus ใช้ค�ำนวณความดันใต้หลุมเจาะ สัมพันธ์กับระดับความลึก อุณหภูมิ และความหนาแน่น กับความพรุนของชั้นหิน รวมถึงการคาดการณ์ปริมาณปิโตรเลียมในชั้นหินนั้นแล้วเตรียมความ ปลอดภัย ให้เหมาะกับแรงดันของหลุมเจาะแต่ละหลุม
0
o ตรรกศาสตร์ ใช้เมื่อต้องการให้โปรแกรมท�ำงานตามที่เราต้องการ และเหมาะสมกับข้อมูลในขณะนั้น ข้อมูลตรรกะจะใช้ เป็นเงื่อนไขที่ใช้ ในการตรวจสอบค่า ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ เพื่อน�ำไปใช้สาหรับเลือกลักษณะการท�ำงานของซอฟต์แวร์ เช่น - การตัดสินใจเลือกท�ำตามค�ำสั่ง - การท�ำงานแบบซ�้ำ
o Matrix ช่วยแก้สมการหลายตัวแปร เช่น การหาแรงลัพธ์ที่กระท�ำบนคาน โดยที่ค�ำนึงถึงแนวแรงในแกนทั้ง 3 มิติ) o Calculus ใช้รวมแรงในกรณีที่แต่ละช่วงจะไม่เท่ากัน
การวิจัยเพื่อสร้างสมการค�ำนวณโครงสร้าง
o สถิติ ใช้ ในการเก็บข้อมูลจากการท�ำการทดลอง เพื่อน�ำมาสร้างสมการส�ำหรับการค�ำนวณการรับน�้ำหนักของโครงสร้าง
การค�ำนวณแรงงานคนให้เหมาะสมกับงานและเวลา
o Linear Programming ค�ำนวณให้งานออกมามีประสิทธิภาพมากที่สุด แม้จะมีเวลา คนงาน และงบประมาณจ�ำกัด
วิศวกรรอุตสาหกรรม Computer Vision หรือการมองเห็นของคอมพิวเตอร์ คือการประมวลผลภาพที่มี เพื่อสกัดเอาข้อมูลที่สามารถใช้ ใน
การประมวลผลได้ออกมา เช่น การตรวจจับใบหน้าคน o สถิติ และ ความน่าจะเป็น ใช้ ในการประมวลผลภาพที่จ�ำเป็นต้องท�ำอย่างรวดเร็ว เพราะไม่สามารถประมวลผลภาพอย่าง ละเอียดได้ จึงใช้วิธี “สุ่มตรวจ” แล้วเก็บสถิติเพื่อ “เดา” เอาคร่าว ๆ ว่าในภาพเป็นอย่างไร o Calculus ใช้ ในหลายงาน เช่น การหาขอบในภาพ ซึ่งจะมีการเปลี่ยนสีกะทันหัน แคลคูลัสจึงเป็นเครื่องมือส�ำหรับประเมิน อัตราการเปลี่ยนแปลงของเฉดสี
Computer Graphic เป็นการแสดงผล ซึ่งต้องมีการค�ำนวณภาพหนึ่งภาพให้เป็นตารางพิกเซล หรือเป็นจุดหลาย ๆ
จุดบนจอ o Matrix ใช้ ในการเก็บข้อมูลพิกเซลในหน้าจอเป็นตาราง 2 มิติ o กราฟของฟังก์ชันต่าง ๆ ใช้เมื่อคอมพิวเตอร์ประมวลผลสมการ แล้วต้องแสดงผลออกมาเป็นกราฟต่าง ๆ ซึ่งจะได้เป็น คู่อันดับของจุดที่จะถูกน�ำมาก�ำหนดพิกเซลอีกที
การวัดคุมและควบคุมการผลิต
o ล�ำดับและอนุกรมพหุนาม เพื่อหา Pattern ของจ�ำนวนสินค้าที่ต้อง ควบคุม ออกมาเพื่อให้ได้จ�ำนวนตามที่ต้องการ o แคลคูลัส ใช้ค�ำนวณความชันและพื้นที่ของกราฟ เพื่อวิเคราะห์ ผลผลิตและคาดการณ์คุณภาพของสินค้า อีกทั้งหาค่าความคาด การณ์ผลผลิต ณ จุดจุดหนึ่งเพื่อวางแผนกระบวนการผลิตให้ สอดคล้องกับผลผลิตที่ควรจะได้ออกมา
การบริหารจัดการและขายสินค้า
o Linear Programming ใช้ ในการค�ำนวณก�ำไรและการขาดทุน เพื่อหา จ�ำนวนสินค้าสมควรผลิต เพื่อประหยัดค่าใช้จ่ายและได้ก�ำไรมากที่สุด
ความปลอดภัย
o จ�ำนวนจริงและเชิงซ้อน ใช้หา Safety Factor โดยค�ำนวณเกี่ยวกับ ก�ำลังและงานของเครื่องจักรที่ต้องรับมา ว่ามันรับได้มากสุดเท่าไหร่ เพื่อค�ำนวณหาระยะเวลาและจ�ำนวนสินค้าที่เครื่องจะผลิตได้มากสุด