Matemàtiques 1

MATEMÀTIQUES 1 CURS 2012-2013 GES 1 CFA LES ROQUETES

! "

#

! ! $

!

"

%&

'

(

) $

"

* 3

5

+, - & . / ' ( 0 12 ,

!

4

!

%

- & . / ' ( 0 1 5

"

!

4

$

1

% , $

6

-

&

.

/)

./. / .

,, 7 /

,7-

8

$

4

%

9 : ; < : ; <

=

#

!

, ,, ,,, , ,,, ,, ,,, ,,, ,,,

& -&./' -.

& -& ./' -.

>

" ?

4

4 &

/

4

>

! &@/

& 8

/A&

B& ?

"

/ @ A

/B

B/

&B

"

>

!

"

$

%

& @ 0 @ - @ 0 @ -. #$

%

?

% - ./'

'./

?

4 4

4

4 -& &(

"

.

"

% -& "1

-

C @%

"

"

9

2 - (

2 &.

-/

2 -/-

2-

2 &-

-/ .& '/

2 &-

&. 0 &-

' (

!

A

-&-

./ ./

-'.

$ )!

D

4 #

4

" $

$ *

4

, $

,

& 4

-

.

/

& ,

E

,

4

-

& * &

+

!

*

?

F

-

&

/ 4

,

% -7&G /

D 4

H

!

! I $

#

9

4

!

% -7&G&7 -G /

J

D 4

%

!

4 $

!

4 "

!

7

4

!

- .

& /

-

7 & -

& '

' (

F

- . 0 7

& ( & 0 /

. '

' . / 0 1

&

7 ( 0

7 ( . -

7 & . /

- .

' / & &

7 ' & , 1 ,

" -

;

%

2 (7-

2 -7-&

--

2 &.7/(

2 -& 7 &./

-1K J

.(K

2 -&.7 /7 './ -&K

L

-& $ J

M

/. M L

-.& M

(' M

&

-. $

-&

/

J

-'

L

&"( ? '

F

4

-1

-& 4

3

>

%

-1 > ' G -& D

H

>>

N

>>

I #

-

#

8

!

-1

&.

3

4

&. >-1 !

4 !

?

4 -1 > &.

6 8

!

-1 >&. $

/O

; ! ! !

>

4 "

F

4

-(

& /

-

> & -

/

, &

' . . >

& - . -

- ( /

>

(

' & / - ' , (

' &

;

%

2 1>(

2 .&> -

2 0- > ./

&- $

(/ M .M

&& 5 /K J &.

2 -. P .( $

J

L - K

# #

2 .-&. > ' -

-,K

L "

.(K J

J

-&K ?

#

L

L

&/ $

&-

Q

'

J

L

.

&'.

M > ! !

4

&

? /

F +

/ 4

M

8#

2

$ "

/ / D

H

&G /

/F&G /

! I

#

4

! # R

S

4

% /

&G&

/G /

$ !

4 "

!

F

&-

& /

&

.

1'

/ . ,

& .& . ' 0 . (

0 -

- . 0

& . '

- / & . '

& -

& -

. /

. 1 '

' 1 -

- ' ( & ,

( . .

, & 0

( 1 & '

,

& . '

& 0 . . , / ( ,

. / ' ( -

& .

; % 2 /

&

2 -&.

.-

-

2 -( &-

.

2 .-&.

N

J

;

.& '

L

.& 5

#

- K ?

L

.. 9

0-

-.

#

J

L

/

./ 9

/

.-

1. J L .' 9

"

H/ !

-,

I

&K 9

--K J L

"

,

,

0 1

1

;

1

-

&

. $

8# 4

!

!

T

+%2 -T&G. D

H

-%&G.

!

I

#

# 4

E

#

S

-T&

&T 8# 4

?

! &

'

4

$

!

!

3

+/2

+ 2

/ $

4 &

/7

3

%

G '

7

G

$ !

$

4

- . 1 >, . 1 >. , 1 >0

-.

&( > ( > ' >0 &

. &.-

&.-( >-& -( >1-,( >-,( ,

-& .1

'

0 /

; % 2 /%&

2 (/% /

2 -' % .

2 -/- % (

2 .0& % -&

2 .-.0 % &'

/- $

'

& 0/' M

J

U

"

L /& $

#

# 0

U

0

# L5

J L

/. J

!

.,,

LJ

&

!

L

// V

#

U

..

? ..

/' $ 8#

#

!

', .., ;:

#

2 3

J

;:

;:

L

%

$

0 L

.

#

/

%

-

/ G / F / G -/ #

#

H

>>

$

I 8#

* :

3

#

#

% &

/ G / F / F / G -/ . / G / F / F / F /G '-/ R

$ G

F

F

F

# -

/

( G .1

.

- G &-

-

& G0

G -

&

( G &.&

2 '

;

3

%

(

20

-

2 &

&

2-

-

'- J

"

2&

-0

.

2 &

.

L

'& J '. 9

0

#

L+

0

-,

-

2

J

4 # 8#

#

# -

( G .1 $

#

#

G(

# #

I

#

H

# #

$

G&

GG0

$

G.

G1

G/

G ,

#

G'

G

G &

# F

G( G .

$

#

"

# *

" 0 ' 56 ' 0 ' 5' " 0 " 7 5" 7

$

2 '0& ' 96 2 2 2 48 8

#

$ $

'"0 "7 2

! ,

-

>

#

&/.

-/ & '

&/. G -/ & '

7

.

J

# ! !

• •

3 #

" #

%-7&

.

-, .

+-7&G/2 +& .G -2

3

.

-

3

."

0

8

# •

$

!

3

%

U 3 !

•

"

$

#

.

+& 7 /2

3

$ $

-7-

/P&

/ G - 7 , G --

'

+'P&2 &

!

3

+.P-2G

W+ / P & 2 7 0 X

-G'

G + - 7 02 G ,

-%-7 /%&G'7&G1

-

/ % & 7 . >- G

&

&

& G &,

+0P-2

.%&

/G

', % & 7 . P - G -, 7 . >-

'

.%&

/ G -. % &

G -. P - G --

0

/ G .,

/G

4 (

;

%

207& 2 /

'

2 W+ ( P . 2 7 - X

. % & 7 0 >( G

2+ -P12

.

2+1P&2

/%&

-G

+0P&2G

6.

Y

6

"

.

7 G 7 + 7 27 G

. . +

, 2

7+

7 2

7,G ,7 G

6". . .

.

+

G 2

G

G G + 7 2G

+

2

7

1

8# 2 (@ 2 &-@.&@'/@ -/

2 &.@ -/ 2 &-@./@ ./@ -'.

2 -&-@ -/-

2 0@- @ &.@ &-

" 2 1 " " 11K " ' /(& M " & '.

2 &/

21

2 .'0

2 01.

2&

2 &(

2 ((

2 &'--

' 2 '" ( M ' ' .K ' & -K &/K '0 1 & & 2 ./

2 -0,0

2 .,'.

2/

2 /

21

2 &'

2-

2

& " -. & ' -& K & & 1'0 &0 - , & 2 'K

2 0- ,'-

-

.(,

0

0 " -. M 0' & 0& 00 0 0 2 -. ;: 2 2 '.

2 " (0.

2 ' '.

2 & . .,,

0

5 ' .

2 - 1(

2 -/'

20

2 -0/'

-

4 2 -'

2 ',

2-

2 /

2 -,

,

MA1: MatemĂ tiques 1 ELS NOMBRES I LLURS PROPIETATS: OPERACIONS NUMĂ&#x2C6;RIQUES

2a quinzena: Els nombres enters Els temes que analitzarem sĂłn: â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

OrdenaciĂł d'enters RepresentaciĂł grĂ fica d'enters Valor absolut dâ&#x20AC;&#x2122;un nombre enter Suma, resta, producte i divisiĂł de nombres enters MĂşltiples i divisors dâ&#x20AC;&#x2122;un nombre. Nombres primers Divisibilitat. Criteris de divisibilitat DescomposiciĂł dâ&#x20AC;&#x2122;un nombre en producte de factors primers MĂşltiples comuns. El mĂ­nim comĂş mĂşltiple de dos nombres Divisors comuns. El mĂ xim comĂş divisor

Aquesta unitat aborda el treball amb nombres enters. El conjunt dels nombres enters, Z, ĂŠs una ampliaciĂł dels nombres naturals N estudiats a la quinzena anterior. Inclou els nombres positius el nombre 0 i els nombres negatius: ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...... Una gran part de les propietats dels nombres enters sĂłn una ampliaciĂł de les ja comentades a la quinzena anterior.

1. OrdenaciĂł de nombres enters. RepresentaciĂł grĂ fica Si tenim dos nombres enters sempre es poden comparar: un dels dos ĂŠs mĂŠs petit que l'altre ( i l'altre mĂŠs gran que el primer).

Qualsevol nombre negatiu ĂŠs sempre menor que qualsevol nombre positiu.

Els nombres enters es poden representar sobre una lĂ­nia recta. Si fixem un punt com a origen, una determinada longitud com a unitat, i un sentit positiu, podem assignar a cada nombre enter una representaciĂł sobre la recta.

2. Valor absolut d'un nombre enter El valor absolut d'un nombre enter ĂŠs el mateix nombre, si ĂŠs positiu, i el valor oposat, si ĂŠs negatiu. Es representa amb el nombre entre dues barres verticals |n|.

Exemples: |6|=6;

| -4 | = 4 ;

|0|=0;

| -8 | = 8 ;

| 10 | = 10

Exercicis 1: 1.1 Calcula els segĂźents valors absoluts: a) |25| d) |0|

b) |-4| e) |41|

c) |-32| f) |-11|

3. Suma, resta, producte i divisiĂł de nombres enters

1

3.1 Suma de nombres enters La suma de dos nombres enters ĂŠs un nombre enter. Les propietats de la suma d'enters sĂłn una ampliaciĂł de les propietats de la suma de naturals. A nivell operatiu distingirem diferents situacions.

3.1.1 Suma de dos nombres enters que tenen igual signe Per sumar dos nombres enters que tenen igual signe: 1r - Sumem els valors absoluts dels nombres.

2n - Posem al resultat el mateix signe dels nombres.

Exemples: (+3) + (+6)= +9 (-3) + (-6)= -9

3.1.2 Suma de dos nombres enters que tenen diferent signe Per sumar dos nombres enters que tenen diferent signe: 1r - Restem els valors absoluts dels nombres.

2n - Posem al resultat el signe del nombre que tĂŠ major valor absolut.

Exemples: (-3) + (+6) = +3 (+2) + (-9) = -7

3.1.3 Suma de tres o mĂŠs nombres enters Tenim dues maneres de resoldre aquestes sumes: a) resolem les operacions en lâ&#x20AC;&#x2122;ordre en què apareixen o b) sumem els nombres positius, desprès els negatius i, finalment, realitzant la suma dels resultats anteriors.

Exemples: a) (-3) + (+5) + (-8) + (-6) + (+2) = (+2) + (-8) + (-6) + (+2) = (-6) + (-6) + (+2) = (-12) + (+2) = -10 b) (-3) + (+5) + (-8) + (-6) + (+2) = (+7) + (-17) = -10

Exercicis 2 2.1 Calcula les segĂźents operacions a) (+8) + ( -3) e) (+4) + (-7) + (-3)

b) (+5) + (-8) f) (-3) + (-15) + (-21)

c) (+7) + (-7) g) (+12) + (-4) + (-2)

d) (+3) + (-5) + (+7) h) (+34)+ (-215) + (-6)

3.2 Resta de nombres enters Restar dos nombres enters consisteix en sumar al primer dâ&#x20AC;&#x2122;ells el segon canviat de signe.

2

Exemples: (+5) - (+9) = (+5) + (-9) = -4 (-5) - (-3) = (-5) + (+3) = -2

Exercicis 3 3.1 Calcula les segĂźents operacions: a) (+2) - (+8)

b) (+14) - (+6)

c) (+12) - (+21) - (-5)

d) (+4) - (+8) - (-12)

3.3 MultiplicaciĂł de nombres enters 3.3.1 MultiplicaciĂł de dos nombres enters Per a multiplicar dos nombres enters: 1r - Multipliquem els seus valors absoluts.

2n - Posem el signe + al resultat obtingut si els dos factors sĂłn del mateix signe, i el signe â&#x20AC;&#x201C; si els factors tenen signes contraris.

Exemples: (+4) x (+3) = +12 (-5) x (-8) = +40 (+60) x (-1) = -60 (-2) x (+8) = -16

3.3.2 Regla dels signes La segĂźent taula recull les diferents possibilitats del signe del producte de dos nombres Enters. Ă&#x2030;s el que anomenem regla dels signes.

Factor 1 + + -

Factor 2 + +

Producte + + -

3.3.3 Producte de mĂŠs de dos enters Quan en una multiplicaciĂł hi ha mĂŠs de dos factors: 1r - Multipliquem els valors absoluts dels factors.

2n - Afegim al resultat el signe + o â&#x20AC;&#x201C; segons que el nombre de factors negatius sigui parell o imparell. Si el nombre de factors negatius ĂŠs parell afegim el signe + i si ĂŠs imparell, afegim el signe -.

3.4 DivisiĂł exacta de nombres enters Per a calcular la divisiĂł exacta de dos nombres enters: 1r - Es divideixen els seus valors absoluts.

2n - Es posa al resultat el signe que li correspon segons la regla dels signes.

3

Exercicis 4 4.1 Calcula les segĂźents operacions: a) (+4) x (-12) e) (-24) : (-3)

b) (-14) x (+3) f) (+4) x (-12) : (-3)

c) (-8) x (-3) x (-5) g) (+84) : (-4) : (-3)

d) (+16) : (-4) h) (-15) x (-4) x (+4)

3.5 Operacions combinades. Prioritat dels operadors Les regles que determinen lâ&#x20AC;&#x2122;ordre de les operacions sĂłn les mateixes que les exposades en el treball amb nombres naturals. Les regles que determinen lâ&#x20AC;&#x2122;ordre en el que cal realitzar les operacions sĂłn les segĂźents: â&#x20AC;˘

â&#x20AC;˘

Els parèntesis tenen la mĂ xima prioritat. Això vol dir que ĂŠs prioritari efectuar en primer lloc les operacions que estan indicades entre parèntesis. En lâ&#x20AC;&#x2122;expressiĂł 4 x (3 + 5) caldrĂ realitzar primer la suma ja que estĂ entre parèntesis i posteriorment el producte.

En una expressiĂł, els productes i les divisions tenen mĂŠs prioritat que les sumes i les restes. En la expressiĂł 5 â&#x20AC;&#x201C; 3 x 6 caldrĂ realitzar primer el producte i desprès la resta.

4. MĂşltiples i divisors d'un nombre enter 4.1 MĂşltiples d'un nombre enter Donat un nombre enter a, els seus mĂşltiples s'obtenen com a producte d'aquest nombre per qualsevol enter. AixĂ­ els mĂşltiples de 5 sĂłn 5, 10, 15, 20, 25,â&#x20AC;Ś.

Exemples: SĂłn mĂşltiples de 3 els nombres naturals 3, 6, 9, 12, â&#x20AC;Ś SĂłn mĂşltiples de 7 els nombres naturals 7, 14, 21, 28,â&#x20AC;Ś

4.2 Divisors d'un nombre enter De l'exemple anterior tenim que 15 ĂŠs un mĂşltiple de 5. Podem enunciar, de forma inversa, que 5 ĂŠs un divisor de 15. SĂłn divisors d'un nombre a, tots aquells valors enters x que fan que la divisiĂł entre a i x sigui exacta.

Exemples: Divisors de 35: 1, 5, 7 i 35 Divisors de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 i 42

4.3 Nombres primers i nombres compostos Nombres primers son aquells que nomÊs son divisibles per 1 i per si mateix. El 2, el 3, el 5 i el 7 són alguns exemples de nombres primers. Nombres compostos són aquells que no són primers, Ês a dir que tenen mÊs divisors que l'1 i el mateix nombre. El 4 (=2¡2), el 6 (=3¡2), el 8 (=2¡2¡2) i el 10 (=2¡5) són exemples de nombres compostos.

4

Exercicis 5 5.1 Indiqueu els 5 primers mĂşltiples positius de: a) 2

b) 5

c) 4

d) 11

c)125

d) 32

5.2 Indiqueu els divisors positius de: a) 24

b) 36

5.3 Indiqueu tots els nombres primers mes grans de 10 i mes petits de 20

5. Divisibilitat. Criteris de divisibilitat En la prà ctica Ês molt útil conèixer amb agilitat si un nombre Ês divisible pels nombres primers mÊs elementals com són el 2, el 3, el 5 i, amb menor freqßència, el 7 i el 11 entre altres. Els propers apartats estan dedicats a descriure com conèixer si un nombre Ês divisible per algun dels nombres esmentats.

5.1 Divisibilitat per 2 Els nombres parells sĂłn els mĂşltiples de 2. Un nombre ĂŠs mĂşltiple de 2 (o el 2 ĂŠs un divisor d'aquest nombre) si acaba en 2, 4, 6, 8 o 0.

Exemples: Els nombres 234, 18 i 6.542 sĂłn mĂşltiples de 2 ja que l'Ăşltim dĂ­git ĂŠs un dels nombres 2,4,6,8 o 0. Els nombres 345, 43 i 353 no ho sĂłn ja que l'Ăşltim dĂ­git ĂŠs 3 o 5.

5.2 Divisibilitat per 3 El criteri per conèixer si un nombre Ês múltiple de 3 Ês menys simple. La mecà nica a seguir Ês sumar totes les xifres del nombre obtenint un nombre mÊs petit. Si aquest número Ês múltiple de 3 el nombre inicial tambÊ ho serà . Repetint el procÊs anterior el nombre de vegades necessari s'obtÊ un nombre suficientment petit per tal de concloure amb facilitat si Ês o no múltiple de 3.

Exemples: Volem conèixer si el nombre 53 Ês o no múltiple de 3. La suma de les seves xifres Ês 5 + 3 = 8. 8 no Ês múltiple de 3 i, conseqßentment 53 no serà múltiple de 3.

Un segon cas: el nombre 852. La suma de les seves xifres ĂŠs 8 + 5 + 2 = 15. Podem determinar ja que si que ĂŠs mĂşltiple de 3 (el 15 ho ĂŠs) o reiterar novament el procĂŠs i suma les xifres del 15: 1+ 5 = 6. 6 ĂŠs mĂşltiple de 3 i 852 ĂŠs mĂşltiple de 3 Un tercer cas: el nombre 23.648. La primera suma ens dĂłna 2 + 3 + 6 + 4 + 8 = 23.

Una segona suma ens dĂłna 2 + 3 = 5. 5 no ĂŠs mĂşltiple de 3 i 23.648 no serĂ mĂşltiple de 3.

5.3 Divisibilitat per 5 La divisibilitat per 5 ĂŠs tambĂŠ molt senzilla. Un nombre ĂŠs mĂşltiple de 5 si la Ăşltima xifra ĂŠs un 0 o un 5.

5

Exemples: El 45, el 235 i el 340 sĂłn mĂşltiples de 5. El 32, el 564 i el 3.436 no sĂłn mĂşltiples de 5.

5.4 Divisibilitat per 7 (opcional) El criteri tÊ una certa complexitat i s'incorpora aquí nomÊs a títol il¡lustratiu. El mecanisme Ês similar al de 3 en el sentit de que es va obtenint en cada cas un nombre mÊs petit que l'inicial i que mantÊ la mateixa propietat de ser, o no, múltiple de 7.

Explicarem el criteri basant-nos en un cas concret: el número 1.645. La transformació, mÊs complexa, Ês separar l'última xifra (el 5) i restar, de la part inicial del nombre (164), el doble del nombre segregat: 164 - 5¡2 = 154. Podem repetir el procÊs: 15 - 4¡2 = 7 que Ês múltiple del 7 i el nombre inicial 1645, tambÊ ho serà .

Exemples: El nombre 794 transformat ens dona 79- 4¡2 = 71. Una nova transformació: 7 - 2¡1 = 5 que no Ês múltiple de 7 i 794 no serà múltiple de 3

5.5 Divisibilitat per 11 (opcional) Novament en aquest cas s'utilitza un sistema de transformar el nombre inicial en un de mĂŠs petit amb la mateixa propietat de l'inicial de ser o no mĂşltiple d'11. Aplicarem el criteri a 8.162.

La primera transformació Ês sumar les xifres dels llocs parells 8 + 6 i restar la suma dels llocs imparells 1 + 2. La diferència Ês 14 - 3 = 11 que Ês múltiple d'11 a l'igual que 8.162

Exemples: El nombre 23.145 transformat ens dona 2+1+5 menys 3+4, es a dir 1 que no ĂŠs mĂşltiple de 7 i 23.145 tampoc ho serĂ .

Exercicis 6 6.1 Indicar si sĂłn divisibles per 5 els nombres a) 145

b) 552

c) 75

d) 26

c) - 127

d) 231

6.2 Indicar si sĂłn divisibles per 3 els nombres a) 234

b) 345

6. DescomposiciĂł dâ&#x20AC;&#x2122;un nombre en producte de factors primers Un important enunciat matemĂ tic diu que tot nombre o ĂŠs un nombre primer o es pot descomposar com a producte de nombres primers. Per treballar amb nombres enters i per treballar amb fraccions, com farem a la propera quinzena, ĂŠs important conèixer com es pot descomposar un nombre com a producte de factors primers.

El mecanisme de fer-ho, de tipus reiteratiu, consisteix en anar eliminant poc a poc els factors primers que inclou el nombre. Estudiarem aquest mecanisme amb un exemple on cerquem els possibles divisors de 420 començant pels nombres primers mĂŠs petits 2, 3,â&#x20AC;Ś i cercant posteriorment amb els nombres primers mĂŠs grans.

6

420 2 210 2 105 3 35 5 7 7 1

Analitzarem si ĂŠs mĂşltiple de 2. Si, ja que acaba en 0 que ĂŠs parell.

Fem la primera descomposició 420 = 2 ¡ 210 Novament 210 Ês múltiple de 2. 210 = 2 ¡105 105 no Ês múltiple de 2 (acaba en xifra imparella) però Ês múltiple de 3 (1 + 0 + 5 = 6 que Ês múltiple de 3). 105 = 3 ¡ 35 35 no Ês múltiple de 2, ni de 3 (3 + 5 = 8) però si de 5.

Tindrem 35 = 5 ¡ 7 7 ja Ês un nombre primer 7 = 7¡1 Resultat: 420 = 2 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 5 ¡ 7

Un segon exemple: la descomposiciĂł en factors del nombre 270 270 2 135 3 45 3 15 3 5 5 1

Analitzarem si Ês múltiple de 2. Sí, perquè acaba en 0 que Ês parell. Fem la primera descomposició 270 = 2 ¡ 135 No Ês múltiple de 2 però si de 3 (1 + 3 + 5 = 9 Ês múltiple de 3).

Tindrem 135 = 3 ¡ 45 Intentem novament el 3 (4 + 5 = 9 Ês múltiple de 3).

Tindrem 45 = 3 ¡ 15 Novament el 3 (1 + 5 = 6 Ês múltiple de 3).

Tindrem 15 = 3 ¡ 5 5 ja Ês un nombre primer 5 = 5¡1 3

Resultat: 270 = 2 ¡ 3 ¡ 3 ¡ 3 ¡ 5 = 2 ¡ 3 ¡ 5

Un tercer exemple (opcional): la descomposiciĂł en factors del nombre 12.870 12.870 2 6.435 3 2.145 3 715 5 143 11 13 13 1

Analitzarem si Ês múltiple de 2. Sí, perquè acaba en 0 que Ês parell. Fem la primera descomposició 12.870 = 2 ¡ 6.435 No Ês múltiple de 2 però si de 3 (6 + 4 + 3 + 5 = 18; 1 + 8 = 9 Ês múltiple de 3). Tindrem 6.435 = 3 ¡ 2.145 Intentem novament el 3 (2 + 1 + 4 + 5 = 12; 1 + 2 = 3 Ês múltiple de 3). Tindrem 2.145 = 3 ¡ 715 Ja no Ês múltiple de 3 (7 + 1 + 5 = 13; 1 + 3 = 4) però si de 5.

Tindrem 715 = 5 ¡ 143 Ja tampoc Ês múltiple de 5, ni de 7 (14 - 2 ¡ 3 = 8 no Ês múltiple de 7) però si d'11 (1 + 3 - 4 = 0). Tindrem 143 = 11¡ 13 13 Ês un nombre primer 2

Resultat: 12.870 = 2 ¡ 3 ¡ 3 ¡ 5 ¡ 11 ¡ 13 = 2 ¡ 3 ¡ 5 ¡ 11 ¡ 13

Exercicis 7 7.1 Descomposar en factors primers a) 21 e) 128

b) 36 f) 125

c) 42 g) 70

d) 98 h) 162

7

7. Divisors comuns. El mĂ xim comĂş divisor En molts cĂ lculs, i especialment en el cĂ lcul amb fraccions, cal utilitzar el que es coneix com el mĂ xim comĂş divisor de dos nombres enters o en forma abreujada mcd o m.c.d.

Estudiarem el mcd sobre un exemple; calcularem el mĂ xim comĂş divisor de 30 i 42 que expressarem com mcd(30,42). Analitzarem: â&#x20AC;˘ tots els divisors de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 i 30 â&#x20AC;˘ tots els divisors de 42: 1, 2, 3, 7, 6, 14, 21 i 42 â&#x20AC;˘ els divisors comuns: 1, 2, 3 i 6 â&#x20AC;˘ el mĂ xim dels divisors comuns: el 6. 6 ĂŠs el mĂ xim comĂş divisor de 30 i 42. mcd(30,42)=6 El mecanisme per realitzar el cĂ lcul amb rapidesa del mcd(a,b) ĂŠs: â&#x20AC;˘ Descomposar en factors primers a â&#x20AC;˘ Descomposar en factors primers b â&#x20AC;˘ El mcd sĂłn els factors repetits, els factors comuns, de les dues descomposicions.

Exemple: si a=2 ¡5 ¡7 i b=3¡5¡11 serà mcd(a,b)=5 que Ês l'únic factor repetit.

Comentari especial es mereix el cas de que un mateix factor estigui repetit varies vegades en a 4 2 2 i en b. Imaginem que a = 2 ¡ 3 ¡ 5 ¡ 7 i b = 2 ¡ 3 ¡ 5 caldrà agafar els factors comuns que apareixen repetits amb l'exponent mÊs petit (que Ês la part comuna o repetida). Serà 2 mcd(a,b) = 2 ¡ 3 ¡ 5 Quan dos nombres no tenen cap factor en comú a excepció de l'1, es diuen primers entre ells. Així 15 i 8 son primers entre ells i 14 i 9 tambÊ son primers entre ells.

8. Múltiples comuns. El mínim comú múltiple de dos nombres Un concepte proper al mà xim comú divisor i tambÊ utilitzat amb molta freqßència Ês el de mínim comú múltiple (mcm o m.c.m.). En aquest cas es tracta d'analitzar els nombres múltiples dels dos nombres i seleccionar el mÊs petit de tots.

Estudiarem el mcm sobre un exemple; calcularem el mĂ­nim comĂş mĂşltiple de 10 i 14 que expressarem com mcm(10,14). Analitzarem: â&#x20AC;˘ els primers mĂşltiples de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90,â&#x20AC;Ś â&#x20AC;˘ els primers mĂşltiples de 14: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, â&#x20AC;˘ el primer mĂşltiple comĂş ĂŠs 70, ĂŠs el mĂ­nim comĂş mĂşltiple de 10 i 14. mcm(10,14)=70 El mecanisme per realitzar el cĂ lcul amb rapidesa del mcm(a,b) ĂŠs: â&#x20AC;˘ Descomposar en factors primers a â&#x20AC;˘ Descomposar en factors primers b â&#x20AC;˘ El mcm ĂŠs la uniĂł de tots els factors d'a i de b eliminant els que estiguin repetits.

Exemple: si a = 2 ¡5 i b = 2 ¡ 7 serà mcm(a,b)=2 ¡ 5 ¡ 7 Ês a dir són tots els factors però el 2 nomÊs s'incorpora una vegada.

Al igual que en el mcd, podem analitzar un cas de mÊs complexitat en que els factors es 4 2 2 repeteixen mÊs d'una vegada en a o en b. Imaginem que a = 2 ¡ 3 ¡ 5 ¡ 7 i b = 2 ¡ 3 ¡ 5 caldrà agafar tots els factors que apareixen en a o en b i els factors repetits amb l'exponent mÊs 2 4 gran. Serà mcm(a,b) = 2 ¡ 3 ¡ 5 ¡ 7

8

Exercicis 8 8.1 Calculeu els segĂźents mcd: a) mcd(54, 42)

b) mcd (48, 80)

c) mcd(70, 84)

d) mcd(15, 25, 35)

c) mcm(56, 40)

d) mcm (98, 147)

8.2 Calculeu els segĂźents mcm: a) mcm (8, 3)

b) mcm(45,27)

9 Propietats de les operacions amb nombres enters Revisem, a continuaciĂł, les propietats algebraiques del conjunt de nombres enters Z amb les dues operacions bĂ siques, suma i producte, descrites en els apartats anteriors.

9.1 Propietats de la suma d'enters Propietat commutativa Propietat associativa

a+b= b+a (a + b) + c = a + ( b + c)

Element neutre: 0

a+0=a 0+a=a Per qualsevol nombre enter a, existeix l'oposat -a tal que a + (-a) = 0 (-a) + a = 0

Element invers

9.2 Propietats del producte d'enters Propietat commutativa Propietat associativa

axb= bxa (a x b) x c = a x ( b x c)

Element neutre: 1

ax1=a 1xa=a a x (b + c) = a x b + a x c

Propietat distributiva

9

10 Annex: solucionari 1.1 a) |25| = 25 d) |0| = 0

b) |-4| = 4 e) |41| = 41

c) |-32| = 32 f) |-11| = 11

2.1 a) 5 e) -6

b) -3 f) -39

c) 0 g) 6

d) 5 h) -187

b) 8

c) -4

d) 8

b) -42 f) 16

c) -120 g) 7

d) -4 h) 240

b) 5, 10, 15, 20, 25

c) 4, 8, 12, 16, 20

d) 11, 22, 33, 44, 55

3.1 a) -6 4.1 a) -48 e) 8 5.1 a) 2, 4, 6, 8, 10 5.2 a) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 c) 1, 5, 25, 125

b) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 d) 1, 2, 4, 8, 16, 32

5.3 11, 13, 17 i 19 6.1 a) 145: Si

b) 552: No

c) 75: Si

d) 26: No

b) 345: Si

c) - 127: No

d) 231: Si

b) 36 = 2 · 3 3 f) 125 = 5

c) 42 = 2·3·7 g) 70 = 2·5·7

d) 98 = 2·7·7 h) 162 = 2·3

b) mcd (48, 80) = 16

c) mcd(70, 84) = 14

d) mcd(15, 25, 35) = 5

b) mcm(45,27) =135

c) mcm(56, 40) = 280

6.2 a) 234: Si 7.1 a) 21 = 3 · 7 7

e) 128 = 2

2

2

4

8.1 a) mcd(54, 42) = 6 8.2 a) mcm (8, 3) = 24

d) mcm (98, 147) = 294

10

MA1: Matemàtiques 1 ELS NOMBRES I LLURS PROPIETATS: OPERACIONS NUMÈRIQUES

3a quinzena: Les fraccions.

Els temes que analitzarem són: • • • • • • • •

Noció de fracció Fraccions equivalents. Fracció irreductible Ordenació Representació gràfica Suma Resta Producte Quocient

Aquesta unitat aborda el treball amb fraccions. Les fraccions formen el conjunt dels nombres racionals, Q. Aquest conjunt és una ampliació del conjunt dels nombres enters Z estudiats a la quinzena anterior.

També analitzarem la temperatura: que és, com mesurar-la...

1 Concepte de fracció Una fracció esta definida per dos nombres enters a i b i es representa per a/b o

a . El terme b rep b

el nom de denominador i indica en quantes parts iguals hem dividit una unitat; el terme a rep el nom de numerador i indica quantes d'aquestes parts agafem. El denominador, b, no pot ser igual a zero.

Si parlem de 3/4 d'hora (es llegeix tres quarts d'hora) estem indicant que hem dividit una hora en 4 parts i hem agafat tres d'elles. Si parlem de 2/5 parts d'un pastís (es llegeix dues cinquenes parts) estem indicant que hem dividit el pastís en 5 parts iguals i hem agafat dues parts.

Una gran part de les propietats de les fraccions (els nombres racionals) són una ampliació de les propietats dels nombres enters comentades a la quinzena anterior.

2 Fraccions equivalents. Fracció irreductible 2.1 Fraccions equivalents Continuant amb l'exemple anterior si dividim un pastís en 10 parts i agafem 4 o dividim el pastís en 5 parts i agafem 2 parts, el resultat que obtindrem és la mateixa proporció de pastís. Les fraccions 4/10 i 2/5 son, en principi, diferents però a nivell pràctic podem observar que defineixen un mateix valor.

Direm, en aquest cas, que les dues fraccions són equivalents i expressarem aquesta relació amb el signe igual:

4 2 = 10 5 Existeixen moltes fraccions equivalents a una fracció donada: 4/10, 8/20, 12/30, 16/40 són algunes de les fraccions equivalents a la fracció inicial 2/5.

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Les fraccions. -- 1 --

2 4 8 12 16 = = = = = .....

5 10 20 30 40 Totes les fraccions de la forma

2·n 5·n són equivalents a 2/5 on n és qualsevol nombre natural.

La propietat que caracteritza l'equivalència de dues fraccions:

a c = b d és que al calcular el producte del numerador de la primera per el denominador de la segona (a·d) o a l'inrevés (c ·b) s'obté el mateix resultat: a·d=c·b En l'exemple inicial 4/10 és equivalent a 2/5 ja que 4·5 = 2· 10 = 20

2.2 Simplificació de fraccions Simplificar una fracció és convertir-la en una altra equivalent, més senzilla. Per poder simplificar una fracció cal que el numerador i denominador tinguin algun factor en comú. Per realitzar la simplificació es divideix numerador i denominador pel mateix nombre.

Exemples:

a) La fracció 21/35 es pot simplificar ja que el numerador i el denominador són múltiples de 7: 21 7 ⋅ 3 3 = = 35 7 ⋅ 5 5

b) La fracció 60/84 es pot simplificar perquè el numerador i el denominador tenen més d'un factor en comú: 60 30 15 5 = = = 84 42 21 7 la simplificació es pot realitzar de formar progressiva eliminant en cada pas un dels factors comuns, com a l'exemple anterior, o en una sola operació:

60 2·2·3·5 5 = = 84 2·2·3·7 7 eliminant, d'un cop, tots els factors repetits. Prèviament hem fet la descomposició en factors primers del numerador i denominador per tal de poder visualitzar quins factors estaven repetits. Els factors repetits de numerador i denominador correspon al seu màxim comú divisor.

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Les fraccions. -- 2 --

Exercicis 1: 1.1 Simplifiqueu tot el possible les següents fraccions: a) 12/15 e) 75/(-125)

b) 21/49 f) 39/169

c) 30/36

d) -33/7

1.2 Respongueu a les següents preguntes simplificant, tot el possible, el resultat: a) Quina fracció d'hora són 20 minuts? b) Si hem recorregut 12 km en bici d'una excursió de 18 km. Quina fracció hem fet? c) D'un teatre de 800 localitats hem venut 640. Quina fracció de localitats representa? d) D'un préstec de 6.500€ hem retornat ja 4.500€ . Quina fracció ens falta per retornar?

2.3 Fracció irreductible Una fracció es diu irreductible si no es pot simplificar més. Correspon al cas en que numerador i denominador son primers entre sí.

Exemples: Les fraccions 3/5, 21/8, -5/12 son irreductibles. Les fraccions 15/10, 6/22 i 15/21 no són irreductibles perquè es possible simplificar-les.

En el cas de fraccions irreductibles que siguin negatives el signe pot estar tant al numerador com el denominador

−3 3 ó 5 −5

encara que és més habitual que el signe estigui al numerador o afectant tota la fracció:

−

3 5

Important!: en la resolució d'un exercici o problema de matemàtiques en que la solució és una fracció o un conjunt de fraccions, es considera habitualment que el resultat final ha d'estar en forma de fracció simplificada ja que, cas contrari, encara està pendent del procés final de simplificació.

En el càlcul amb fraccions és, generalment, molt útil realitzar també la simplificació dels resultats parcials ja que d'aquesta forma els nombres que intervenen en les operacions són més petits, els càlculs a realitzar poden ser més senzills i amb un risc d'error, al realitzar les operacions, més reduït.

2.4 Identificació amb els nombres enters Tal com hem vist, tot un conjunt de fraccions equivalents representen un únic nombre racional. Així les fraccions 1/2, 2/4, 3/6, 4/8,…. totes elles representen un mateix nombre racional que identifiquem habitualment per la seva fracció irreductible, en aquest cas la fracció 1/2.

Algunes d'aquestes fraccions corresponen a nombres enters. Així les fraccions 3/1, 6/2, 9/3, 12/4 …. totes elles representen un mateix nombre racional que en aquest cas identifiquem no amb la fracció 3/1 sinó directament amb el nombre 3.

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Les fraccions. -- 3 --

De forma més general, un nombre enter n, esta associat a les fraccions n/1, 2n/2, 3n/3,4n/4,…. En aquest context observem que els nombres enters són també exemples concrets de fraccions i que el conjunt dels nombres racionals Q és una "ampliació" del conjunt dels nombres enters Z.

3 Reducció de fraccions a comú denominador Tal com es veurà posteriorment, per a alguna de les operacions amb fraccions és necessari que, com a pas previ, aquestes tinguin un mateix denominador: és el cas de la suma, resta i ordenació de fraccions.

Imaginem que volem sumar les fraccions 2/3 i 3/5. Serà necessari transformar-les prèviament en altres fraccions equivalents a les donades però amb un mateix denominador. Aquest procés de transformació rep el nom de "reducció a un comú denominador".

El mecanisme per fer-ho és el següent: •

Es troba el denominador comú de tots els denominadors. Aquest denominador és el mínim comú múltiple (mcm) dels denominadors de les fraccions.

•

Es transforma un a un cada numerador de les fraccions de forma que cada fracció sigui equivalent a la fracció inicial i que tingui com a denominador el denominador comú calculat prèviament.

Exemple:

a) Volem reduir les següents fraccions a un comú denominador: 11 8 7 , i 6 15 20 Els denominadors són 6 (= 2·3), 15 (= 3·5) i 20 (= 2·2·5). El mcm (6 , 15 , 20) = 60 format per tots els factors comuns i no comuns amb el màxim exponent (2·2·3·5).

Hem de transformar ara els numeradors:

11 ? = 6 60 Per quin factor hem multiplicat el denominador 6 per transformar-se en 60? Per 60/6 = 10. Haurem de multiplicar el numerador 11 pel mateix factor per tal de que la fracció sigui equivalent:

11 11·10 110 = = 6 60 60 De forma anàloga en el segon cas (8/15) hem de multiplicar el numerador pel quocient entre el nou denominador (60) i el denominador inicial (15): 60/15=4. El resultat serà 8·4=32:

8 8·4 32 = = 15 60 60 Finalment:

7 7·3 21 = = 20 60 60

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Les fraccions. -- 4 --

Les tres fraccions transformades en d’altres d’equivalents amb un mateix denominador són

110 32 21 , i 60 60 60 Exercicis 2: 2.1 Reduïu a un mateix denominador els següents conjunts de fraccions: a) 1/2 i 2/3 e) 7/6, 8/15 i -7/10

b) 5/6 i 7/9 f) 2/11 i 7/44

c) 2/15, 7/10 i 2/35

d) 5/6 i 7/12

4 Ordenació de fraccions. Representació gràfica Si tenim dues fraccions, sempre es poden comparar: una d'elles és més petita que l'altra ( i l'altra més gran que la primera).

Qualsevol fracció negativa és sempre menor que qualsevol fracció positiva.

Per comparar dues fraccions, es transformen prèviament per tal que tinguin el mateix denominador i es comparen els numeradors respectius.

3 12 < 7 7 ja que tenen el mateix denominador (7) i 3 < 12.

Si volem comparar les fraccions 3/5 i 2/3 prèviament les reduirem a un comú denominador

3 9 = 5 15

i

2 10 = 3 15

Ara es factible establir-ne la comparació entre els numeradors (9 < 10) i conseqüentment:

3 2 < 5 3 Exercicis 3: 3.1Ordeneu de menor a major els següents conjunts de fraccions a) 7/3 i 5/2

b) 2/7, 3/8 i 1/3

c) 21/11 i 23/14

d) -2/3, -3/2 i 4/5

Els nombres racionals (les fraccions) es poden representar sobre una línia recta. Si fixem un punt com a origen, una determinada longitud com a unitat, i un sentit positiu, podem assignar a cada fracció un punt sobre la recta. Aquesta representació és una ampliació de la representació gràfica dels nombres enters comentada la quinzena passada.

Així, si volem representar fraccions com 1/2, 1/3, 1/4 dividirem gràficament la unitat en 2, 3 o 4 parts per tal d'obtenir la seva representació gràfica:

0

1/4

1/3

1/2

2/3 3/4

1

5/4

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Les fraccions. -- 5 --

5 Suma i resta de fraccions 5.1 Suma i resta de fraccions amb igual denominador La suma i resta de fraccions amb el mateix denominador és una fracció que té per numerador les sumes i restes dels numeradors i per denominador el mateix denominador.

Exemples:

a)

3 4 7 + = 5 5 5

b)

6 2 4 − = 7 7 7

c)

11 8 2 5 − + = 3 3 3 3

5.2 Suma i resta de fraccions amb diferent denominador El càlcul de sumes i restes de fraccions que no tenen en mateix denominador és més complicat.

No es pot realitzar l'operació de manera directa i requereix un pas previ per tal d'aconseguir abans que totes les fraccions tinguin un mateix denominador. Els passos per fer-ho són els següents: 1r. Es calcula el mcm dels denominadors 2n. Es redueixen les fraccions al mínim comú denominador 3r. Es fan les sumes i restes dels numeradors i s’hi deixa el mateix denominador 4r. Es simplifica la fracció resultant

Exemple:

a) Per calcular la suma de 7/12 i 3/8 el primer pas és calcular el mínim comú múltiple dels denominadors 12 i 8: 12 = 2·2·3; 8 = 2·2·2; mcm ( 12 , 8 ) = 24 El segon pas es reduir les dues fraccions al comú denominador (24) calculant els numeradors corresponents. A la primera fracció el denominador 12 s'ha convertit en 24 multiplicant per 2, caldrà multiplicar el numerador per 2 (7·2 = 14). A la segona fracció de manera anàloga el denominador 8 s'ha convertit en 24 multiplicant per 3, caldrà multiplicar el numerador per 3 (3·3 = 9). Tindrem:

7 3 14 9 + = + 12 8 24 24 Les fraccions són ara del mateix denominador i es pot realitzar la suma. El resultat serà el següent:

7 3 14 9 23 + = + = 12 8 24 24 24 En aquest cas la fracció resultant 23/24 ja està simplificada i no es pot simplificar més.

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Les fraccions. -- 6 --

b) Volem calcular una resta de fraccions: 7 1 − 18 72 Per obtenir el mínim comú múltiple dels denominadors: 18=2·3·3;

72=2·2·2·3·3;

mcm ( 18 , 72 ) = 72

El resultat de les operacions i la simplificació de la fracció final resultant serà:

7 1 28 1 27 9 3 − = − = = = 18 72 72 72 72 24 8

c) Volem calcular un conjunt de sumes i restes de fraccions: 2 3 5 24 45 120 100 1 − + 2− = − + − =− 5 4 3 60 60 60 60 60 Exercicis 4: 4.1 Realitzeu les següents sumes i restes, simplificant el resultat: a) 2/3 + 3/5 d) 2/7-(1/3-1/4)

b) 3/2 -1 + 7/3 e) !/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5

c) 6/11+3/55 - 7/5 f) 2/3 - 3 - 3/2 +2

4.2 Contesteu les següents preguntes, simplificant tot el possible el resultat: a) He caminat pel matí 1/3 de tot el recorregut i a migdia 2/5 parts. Quina fracció de tot el recorregut ja he realitzat? b) He sembrat 1/3 d'un camp amb patates, 2/7 amb mongetes i 1/5 part amb tomàquets. Quina fracció del camp està sembrada? Quina fracció del camp està encara disponible? c) Hem venut les 4/9 part de les entrades d'un concert per Internet i 2/5 per finestreta. Quina fracció d'entrades hem venut en total? Quina fracció resta encara per vendre?

6 Multiplicació de fraccions El producte de fraccions és una altra fracció que té per numerador el producte dels numeradors i per denominador el producte dels denominadors. El signe de la fracció s’obté aplicant la regla del producte dels signes.

a c a⋅c ⋅ = b d b⋅d Exemples: Els següents tres exemples indiquen com realitzar el producte i simplificar el resultat.

a)

2 4 2⋅4 8 ⋅ = = 5 3 5 ⋅ 3 15

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Les fraccions. -- 7 --

b)

2 2 9 18 ⋅9 = ⋅ = 7 7 1 7

c)

− 3 6 5 (−3) ⋅ 6 ⋅ 5 (−3) ⋅ 6 (−3) ⋅ 3 − 9 ⋅ ⋅ = = = = 2 5 2 2⋅5⋅2 2⋅2 2 2

6.1 La fracció com a operador d'un altre nombre En la pràctica es freqüent el càlcul d'una fracció d'una certa quantitat: els 2/3 d'un carregament de dotze tones de blat, la meitat dels escons del parlament, les 2/7 parts del salari rebut…

En aquestes ocasions la fracció actua com operador d'una altre quantitat (fracció, expressió, nombre enter…) i actua multiplicant.

Exemples:

a) Per calcular els 2/3 de 48€ tindrem:

2 2 ⋅ 48 ⋅ 48 = = 2 ⋅ 16 = 32 3 3

b) Per calcular 1/3 de les 2/5 parts de 450€ tindrem: 1 2 2 ⋅ 450 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ ⋅ 450 = = = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60 3 5 3⋅5 3⋅5

6.2 La fracció inversa La fracció inversa de la fracció

a b és la fracció sempre que sigui a ≠0. b a

Quan es multiplica una fracció per la seva inversa el resultat és la unitat:

a b ⋅ =1 b a

Exemple: La fracció inversa de la fracció

3 5 3 5 és . Es verifica que ⋅ = 1 5 3 5 3

7 Divisió de fraccions El quocient de dividir dues fraccions és una altra fracció que s’obté multiplicant la primera fracció (dividend) per la inversa de la segona fracció (divisor).

a c a d a⋅d : = ⋅ = b d b c b⋅c

També es pot fer la divisió de fraccions directament multiplicant en creu:

a c a⋅d : = b d b⋅c

Exemples:

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Les fraccions. -- 8 --

a)

3 5 3⋅6 3⋅3 9 : = = = 4 6 4 ⋅ 5 2 ⋅ 5 10

b)

− 3 5 − 3 ⋅ 14 − 3 ⋅ 2 6 : = = =− 7 14 7⋅5 5 5

En ocasions la divisió de fraccions està expressada com una fracció de fraccions:

a b = a : c = a⋅c c b d b⋅d d és a dir el numerador és el producte del terme de més amunt (a) pel terme de més avall (d) dividit pel producte dels dos termes situats al mig (b i c).

Exemple:

−3 4 = − 3⋅ 4 = − 3 7 4⋅7 7 4 Exercicis 5: 5.1 Realitzeu les següents operacions amb fraccions, simplificant el resultat: a) 2/3 · 5/6 d) 2/3 · 3/5 · 7/9

b) 3/40 · 20/7 e) 4/7 : 3/5 · 7/2

c) 3/5 : 7/11 f) 61/42 : 22/7

8 Operacions combinades. Prioritat dels operadors Les regles que determinen l’ordre de les operacions són les mateixes que les exposades amb el treball amb nombres naturals i amb nombres enters. Les regles que determinen l’ordre en el que cal realitzar les operacions són les següents: •

Els parèntesis tenen la màxima prioritat. Això vol dir que és prioritari efectuar en primer lloc les operacions que estan indicades entre parèntesis. En l’expressió

2 1 7 ⋅ +  3 5 4 caldrà realitzar primer la suma de les fraccions ja que està entre parèntesis i posteriorment el producte de fraccions. En el cas que hi hagi més d'un parèntesi cal realitzar les operacions del parèntesi més intern i, posteriorment, el parèntesi més extern.

•

En una expressió, els productes i les divisions tenen més prioritat que les sumes i les restes. En l'expressió

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Les fraccions. -- 9 --

2 4 2 − ⋅ 7 5 11 caldrà realitzar primer el producte de fraccions i desprès la resta.

•

La potència té més prioritat que la resta de les operacions.

Exercicis 6: 6.1 Realitzeu les següents operacions amb fraccions, simplificant el resultat: a) 5/3 · (4/5 + 3/2)

b) (4/3 +2): (3/5 -2)

c) 2/5 + 3/4 · 7/6

6.2 Contesteu a les següents preguntes simplificant, tot el possible, el resultat: a) D'un conjunt de 144 turistes les 3/4 parts fan l'itinerari en avió i d'aquests 2/3 fan la excursió facultativa per veure balenes. Quants turistes fan aquesta excursió? b) En una classe de 35 alumnes 5/7 fan anglès, 4 francès i la resta alemany. Quants alumnes estudien alemany? Quina fracció representa del total de la classe? c) De les 1.260 entrades disponibles d'un concert hem venut 5/7 per venda anticipada, una part per finestreta i han quedat sense vendre 60. Quina fracció de les entrades s'han venut per finestreta? d) En la compra d'un sofà que ha costat 1.200 € hem pagat la quarta part d'entrada i la resta en 6 pagaments d'igual quantitat. Quants euros haurem de pagar en cada pagament? Quina fracció del total de l'import correspon a cada un d'aquests pagaments?

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Les fraccions. -- 10 --

9 Propietats de les operacions amb fraccions Revisem, a continuació, les propietats algebraiques del conjunt de nombres racionals Q amb les dues operacions bàsiques, suma i producte, descrites en els apartats anteriors.

9.1 Propietats de la suma de fraccions Propietat commutativa Propietat associativa

Element neutre: 0/c

a c c a + = + b d d b a c  e a  c e  +  + = +  + b d  f b d f

  

a 0 0 a + = + b c c b 0 a a 0 + = + c b b c

Element invers Per a qualsevol fracció

−a tal que b a −a 0 + = b b b

a , existeix l'oposada b

−a a 0 + = b b b 9.2 Propietats del producte de fraccions Propietat commutativa Propietat associativa

a c c a ⋅ = ⋅ b d d b a c  e a  c e   ⋅  ⋅ = ⋅  ⋅  b d  f b d f 

Element neutre: 1/1

a 1 ⋅ = b 1 1 a ⋅ = 1 b

Element invers

a diferent de 0 (a≠0) b b existeix la fracció inversa tal que a a b a ⋅b 1 ⋅ = = b a a ⋅b 1 a c e  a c a e  ⋅ +  =  ⋅  +  ⋅  b  d f   b d   b f 

a b a b

Per a qualsevol fracció

Propietat distributiva

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Les fraccions. -- 11 --

10 Annex: solucionari 1.1 a) 4/5 e) - 3/5

b) 3/7 f) 3/13

c) 5/6

d) -33/7

b) 2/3

c) 4/5

d) 4/13

1.2 a) 1/3 2.1 a) 3/6 i 4/6 d) 10/12 i 7/12

b) 15/18 i 14/18 e) 35/30, 16/30 i -21/30

c) 28/210, 147/210 i 12/210 f) 8/44 i 7/44

3.1 a) 7/3 < 5/2

b) 2/7< 1/3 < 3/8

c) 23/14 < 21/11

d) -3/2 < -2/3 < 4/5

4.1 a) 19/15 d) 17/84

b) 17/6 e) 13/60

c) -4/5 f) -11/6

4.2 a) 11/15 c) venut: 38/45; per vendre: 7/45

b) sembrada: 86/105; disponible: 19/105

5.1 a) 5/9 d) 14/45

b) 3/14 e) 10/3

c) 33/35 f) 61/132

b) -21/50

c) 51/40

6.1 a) 23/6 6.2 a) 72

b) 6 i 6/35

c) 5/21

d) 150 i 1/8

Matemà tiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Les fraccions. -- 12 --

MA1: Matemàtiques 1 ELS NOMBRES I LLURS PROPIETATS: OPERACIONS NUMÈRIQUES

4a quinzena: Els decimals. Ús de la calculadora Els temes que analitzarem són: • Ús de la calculadora • El valor de posició de les xifres • Representació gràfica • Ordenació • Aproximació de nombres decimals (truncament, arrodoniment) • Algoritmes de la suma, diferència, producte, divisió de dos nombres decimals • Percentatges. Càlcul de descomptes i recàrrecs Apartats opcionals: • Pas de fracció a decimal: decimal finit i decimal periòdic • Pas de decimal finit a fracció. Pas de decimal periòdic a fracció

1 Ús de la calculadora En la realització dels càlculs matemàtics és important saber realitzar els càlculs elementals de forma manual sense l'ajut de cap estri més enllà del llapis i el paper. Així mateix quan els càlculs són més complicats disposem actualment d'eines altament eficaces que faciliten aquesta tasca: calculadores, ordinadors, fulls de càlcul i altres programes específics. És important, a aquest nivell del GES, conèixer el funcionament de les calculadores de butxaca que poden ser una important eina d'ajut quan es treballa en l'àmbit de les matemàtiques, la ciència i la tecnologia. Són especialment útils quan s'han de realitzar càlculs amb nombres decimals que són molt tediosos si s'han de realitzar a mà.

A l'examen d'aquest mòdul MA1 està permesa la utilització de la calculadora de butxaca, però no del telèfon mòbil que sovint inclouen una petita calculadora com una de les seves prestacions. Cal precisar que es pot utilitzar la calculadora a l'examen però no és necessària ja que els càlculs a realitzar es poden fer, sense dificultat, de forma manual.

Els ordinadors personals inclouen habitualment un programa Calculadora que et pot ser útil si quan estàs treballant no tens a mà una calculadora de butxaca. L'entorn Windows inclou la calculadora dins del menú de programes "Accessori" o "Accesorios". A aquesta calculadora farem referència posteriorment dins d'aquest document.

La calculadora és una eina potent que ens pot ser molt útil si sabem utilitzar-la i la utilitzem correctament. Però pot tenir uns efectes contraris si no som prou hàbils en la seva utilització. És important ser un usuari "crític" d'aquesta eina i no donar per vàlid qualsevol resultat donat per la calculadora, ja que amb una mala utilització, podem obtenir resultats poc coherents amb el problema que volem resoldre.

1.1 Calculadores jerarquitzades i no jerarquitzades Amb aquest títol, una mica críptic, abordem un tema bàsic que cal conèixer respecte a l'ús de les calculadores de butxaca. Et proposem la realització d'un petit càlcul amb la calculadora que tinguis ara disponible, el càlcul de 2+3x4

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Els decimals. Ús de la calculadora -- 1 --

Com ja saps aquí tenim dues operacions combinades, una suma i un producte, i les regles de càlcul ens indiquen que una d'elles, el producte, té prioritat respecte a l'altra, la suma. Seguint aquest criteri el resultat serà 2 + 3 x 4 = 2 + 12 = 14 En el cas de no tenir present aquesta regla bàsica, el resultat erroni seria: 2 + 3 x 4 = 5 x 4 = 20 Si utilitzes la teva calculadora per realitzar els càlculs teclejant directament la seqüència de tecles:

Quin serà el resultat? Sorprenentment unes calculadores donaran 14, com a resultat, i d’altres 20.

I, encara més sorprenent, la mateixa calculadora del Windows et pot donar dos resultats diferents depenent de com estigui configurada.

A la figura anterior a la part esquerra tenim la calculadora de Windows en format ampliat (Visualització | Científica) i la calculadora ha realitzat els càlculs tenint present la prioritat dels operadors. El resultat és 14. Es diu que és una calculadora jerarquitzada i que té present la jerarquia o prioritat dels operadors.

A la figura de la dreta podem veure la mateixa calculadora però en format reduït (Visualització | Estàndard) i la calculadora ha realitzat els càlculs sense tenir present la prioritat dels operadors. El resultat és 20. Es diu que la calculadora és no jerarquitzada i que no té present la prioritat dels operadors. En aquest cas hem de ser nosaltres qui hem de tenir cura d'aquest aspecte i donar les ordres de càlcul d'una forma adequada:

i obtindrem a la pantalla un resultat parcial

si continuem amb la suma

obtindrem el resultat final

No podem dir quan obteníem 20 com a resultat que la calculadora hagués funcionat malament, només que havia funcionat d'una manera diferent. És responsabilitat nostra conèixer quin tipus de calculadora estem utilitzant i fer-ne un ús adequat per tal d'obtenir uns resultats correctes al realitzar els càlculs.

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Els decimals. Ús de la calculadora -- 2 --

Recorda: la prova és molt ràpida i concloent. Si al teclejar 2+3x4 ens dóna 14, la calculadora es preocupa de la prioritat dels operadors; si ens dóna 20 la calculadora farà els càlculs d'una forma seqüencial i hem de ser nosaltres els que portem el control de la prioritat dels operadors en el moment de realitzar la cadena de càlculs.

1.2 Els elements bàsics de la calculadora Per realitzar els càlculs, els elements bàsics són les tecles dels dígits:

les tecles de les operacions bàsiques suma, resta, producte i divisió:

la tecla = (igual) per finalitzar la seqüència de càlculs i obtenir el resultat:

La coma per tal de separar la part entera dels decimals:

que molt freqüentment és un punt, en lloc de la coma, ja que és el sistema seguit als països anglosaxons. Les tecles per netejar l'última dada entrada (CE : "clear entry" en anglès netejar entrada) o totes les dades introduïdes i començar de nou (C: "clear" en anglès netejar):

La tecla per canviar el signe d'un valor de positiu a negatiu o a l'inrevés (no confondre amb el operador de resta "- " ) :

1.3 La memòria per emmagatzemar dades La majoria de calculadores, per elementals que siguin, disposen d'una memòria on poder emmagatzemar resultats parcials dels càlculs sense necessitat d'apuntar-los en un paper i teclejar-los de nou en el moment en que siguin necessaris.

Les tecles més habituals són:

per netejar el contingut de la memòria (MC: "memory clear" en anglès netejar memòria).

per anotar a la memòria el valor que tinguem a la pantalla (MS: "memory set" en anglès assignar a la memòria).

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Els decimals. Ús de la calculadora -- 3 --

per recuperar el contingut de la memòria i copiar-lo a la pantalla (MR: "memory recall" en anglès recuperar de la memòria).

sumar a la memòria el valor de la pantalla. Permet utilitzar la memòria com a "acumulador" sumant resultats parcials i recuperant al final del procés la suma total.

1.4 Altres funcions incorporades Addicionalment a les funcions bàsiques anteriors les calculadores, inclosos els models més elementals, incorporen habitualment altres funcions per calcular. Fem aquí referència únicament a les més habituals.

que calcula el recíproc d'un valor (per exemple 1/5 a partir del 5).

ó que calcula l'arrel quadrada d'un valor (sqrt: "square root" en anglès arrel quadrada).

per calcular amb percentatges (%).

2. El valor de posició de les xifres A la vida diària estem acostumats a utilitzar els nombres decimals, principalment en algunes situacions concretes com quan treballem amb diners (25,43 € 25 euros i 43 cèntims d'euro) o distàncies (23,423 km 23 km i 423 mil·lèsimes de km o, alternativament, 423 metres).

Els nombres decimals s'expressen amb dues parts la part entera (25) i la part decimal (43) separades por una coma: 25,43 Nota: amb certa freqüència podem veure treballant amb ordinador o amb aparells de mesura el punt en lloc de la coma per separar la part entera de la part decimal. Aquesta situació és deguda a la utilització d'aquesta convenció en el mon anglosaxó.

En aquesta quinzena es pretén aprofundir una mica en el treball amb nombres decimals basat en el sistema decimal i el diferent significat de les xifres en funció de la seva posició. A la primera quinzena, treballant amb nombres naturals, vam analitzar ja aquest aspecte: Unitats 1 Desenes 10 Centenes 100 Milers 1.000 Desenes de milers 10.000 Centenes de milers 100.000 Milions 1.000.000 .... ....

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Els decimals. Ús de la calculadora -- 4 --

En el cas de nombres decimals hem d'ampliar la taula anterior per tal d'incloure les posicions decimals a la dreta de la coma: Unitats dècimes centèsimes mil·lèsimes deumil·lèsimes ....

1 0,1 0,01 0,001 0,0001 ....

El valor d'euros de la expressió anterior 25,43€ està format per

2 desenes 5 unitats 4 dècimes 3 centèsimes que correspon a 2 x 10 + 5 + 4/10 + 3/100.

3 Representació gràfica Els nombres decimals es poden representar sobre una línia recta. Si fixem un punt com origen, una determinada longitud com unitat, i un sentit positiu, podem assignar a cada nombre decimal un punt sobre la recta.

Una primera aproximació de la representació d'un nombre decimal ve donada per la part entera. Si volem representar el nombre 2,43 sobre la recta

0

1

2

3

4

5

sabem que la seva representació estarà entre el 2 i el 3. Per refinar la representació caldrà dividir el segment entre 2 i 3 en 10 parts iguals per tal de poder identificar les dècimes. Si ampliem aquest segment de la recta, tindrem una representació més precisa:

2

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3

3,1

3,2

i el nombre es trobarà entre el 2,4 i el 2,5. Podem repetir el procés ampliant el segment entre 2,4 i 2,5 i obtindrem:

2,4

2,41

2,42

2,43 2,44 2,45 2,46 2,47 2,48 2,49

2,5

2,51

1,52

La representació de 2,43 amb la recta inicial i amb l'escala inicial serà, irremeiablement, poc precisa:

la fletxa ens indica la representació gràfica, aproximada, del nombre decimal 2,43.

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Els decimals. Ús de la calculadora -- 5 --

4 Ordenació Si tenim dos nombres decimals, sempre es poden comparar: un dels dos és me petit que l'altre (i l'altre és més gran que el primer).

Algorisme d'ordenació.

Qualsevol nombre negatiu és sempre menor que qualsevol nombre positiu (Ex: -12,41 <8,34).

Si els dos són positius, és major el que sigui major la seva part entera (Ex 11,87 < 13,21) Si la part entera és la mateixa, cal comparar la part decimal comparant les dècimes, després les centèsimes i així progressivament fins que una de les xifres d'un nombre sigui major que la corresponent xifra de l'altre (Ex: 15,243 < 15,271) Si els dos són negatius, és major el que el seu valor absolut (sense el signe) sigui menor (Ex: -13,21 < -11,87)

Exercicis 1: 1.1 Ordena de menor a major els següents conjunts de nombres decimals. Utilitza els símbols > o<: a) 12, 34 i -8,23

b) 14,23 i 8,11

c) 12,237 i 12,219

d) -8,345 i -6,23

e) 12,3467 i 12,35

f) 8,342 8,317 i 8,333

5 Aproximació de nombres decimals (truncament, arrodoniment) Quan es treballa amb nombres decimals, és freqüent voler treballar amb un nombre de decimals reduït sense voler utilitzar totes les xifres decimals. Això suposa una comoditat per realitzar els càlculs. Així mateix les calculadores i els ordinadors treballen habitualment amb un nombre limitat de xifres decimals.

Per aquesta raó, és necessari aproximar un nombre decimal donat per altre més simple que l'inicial que tingui un nombre de decimals prefixat. El sistema més simple de fer-ho és realitzar un truncament de les xifres decimals sobrants quedant-se només amb el nombre de xifres prefixat.

Així el nombre 23,3684 es converteix en 23,36 si volem treballar amb dues xifres o en 23,368 si volem treballar amb 3.

El truncament és el sistema més simple però no és el més exacte. A l'exemple anterior, treballant amb 2 xifres, seria més aproximat utilitzar el valor 23,37 en lloc de 23,36 ja que 23,37 és mes proper al nombre donat 23,3684 que 23,36. Aquest mecanisme d'aproximar pel valor més proper es denomina arrodoniment.

Exercicis 2: 2.1 Aproxima a dues xifres decimals per truncament i per arrodoniment els següents nombres decimals: a) 17,3467

b) 145,32265

c) -23,2145

d) 2,80888

e) -121,2184

f) 165,23

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Els decimals. Ús de la calculadora -- 6 --

6 Algoritmes de la suma, diferència, producte, divisió de dos nombres decimals Els algoritmes de la suma, diferència, producte i divisió de nombres decimals són una ampliació dels algoritmes de càlcul amb nombres enters. Existeix una major dificultat ja que cal tenir cura de la part decimal portant el control adient.

La major laboriositat en el càlcul fa aconsellable en molts dels casos utilitzar la calculadora per realitzar les operacions. A continuació donarem uns exemples fets de càlcul manual però es suposa que els exercicis es realitzaran utilitzant una calculadora de butxaca o la pròpia calculadora de l'ordinador.

6.1 Suma i diferència de nombres decimals Per sumar o restar nombres decimals cal situar-los en columna de forma que la coma decimal estigui alineada al mateix nivell per tots els sumands i procedir de forma relativament similar a com es realitzen les sumes i restes amb nombres naturals.

A continuació teniu alguns exemples de sumes i restes. Tingueu present que si les sumes són més complexes, la calculadora és una eina altament eficaç per obtenir de forma còmoda i segura els resultats.

21, 35 +8, 2 29, 55

432, 67 +68, 235 500, 905

235, 42 - 3, 21 232, 21

139, 4 - 78, 27 61, 13

237, 24 115 +423, 121 775, 361

0, 7, +0, 7,

321 002 046 369

Exercicis 3: 3.1 Realitza amb la calculadora les següents sumes i restes de nombres decimals: a) 342,12 + 17,45

b) 1,456 + 2,34 + 3,498

c) 23,12 -14,54

d) 22,345 - 8,23 - 7

e) 0,34 + 0,054 + 0,207

f) 23,4567 - 12,5382

6.2 Producte de nombres decimals El producte de nombres decimals és també similar al producte de nombres naturals. La diferència està en calcular el nombre de decimals del resultat que serà la suma del nombre de decimals del multiplicand i del multiplicador.

A continuació teniu alguns exemples de productes. Novament cal insistir en la utilitat de la calculadora per obtenir el resultat final si els factors que es multipliquen no són especialment simples.

3, 4 6 x 5 1 7, 3 0

1 x 2 5 0 5 2

2 5, 3 2 4 5 0 6 4 1 2 8 4 6 3, 4 8

1 2 2 2

2 1, 1 8 5 4 2 7 2 1 3 5 2 6 4, 7 x

3 5 2, 4 4 0 0 4 0

1 1 1 1 4 8 1 6 1

3 x 8 1 5 5

7 4, 5 4 6 5,

1 4 3 5 7 0 2 9 0

1 1 3 8 1 9 5

2 x 1 8 0 8 5 1 0 7 8, 5

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Els decimals. Ús de la calculadora -- 7 --

7, 3 9 0 2 2 4

0 5, 1 9 0

2 4 4 7 6 8 6

1 2 8

Exercicis 4: 4.1 Realitza amb la calculadora els següents productes de nombres decimals: a) 23,456 x 12

b) 12,345 x 14,567

d) 0,0234 x 0,23

e) 2,35 x 3,76 x (-3,32)

c) -1,3456 x 245,1

6.3 Divisió de nombres decimals Al igual que en el cas del producte, l'algoritme de la divisió és similar a la divisió de naturals. El nombre de decimals és en aquest cas, la diferència de decimals entre els decimals del dividend i els del divisor suposant que no es calculin xifres decimals addicionals com és el cas del primer i tercer exemple. Així en el primer exemple les xifres decimals del quocient són 2 (2-0) i en el tercer exemple 1 (2-1).

Respecte el segon exemple les xifres decimals del quocient són 0 (2-2) més dos xifres addicionals que corresponents als dos decimals que s'han afegit al càlcul.

2 4 7, 3 2 1 4 -1 4 1 7, 6 6 1 0 7 -9 8 0 9 3 -8 4 0 9 2 -8 4 8

2 6 5, -2 4 6 1 9 -1 6 2 -2

3 3 0 4 6 4 1

2 8, 2 1 3 2, 3 1 2 2 0 0 6 3 3 7 0 -8 2 1 5 4 9

4 -2 2 -2

5 3 2 0 1 -1

3 6 7, 2 4 2, 3 1 9 7 2 4, 8 3 7 6 6 6 1 5 7 -4 6 1 1 2 -9 2 2 0 4 -18 4 2 0

Exercicis 5: 5.1 Realitza amb la calculadora les següents divisions de nombres decimals. Expressa el resultat amb 5 xifres decimals. a) 23,345 : 14

b) 34,4322 : 2,41

d) -205,056 : 13,1

e) -23,56 : (-12,456)

c) 2,678 : 23,9865

7 Percentatges. Càlcul de descomptes i recàrrecs 7.1 Percentatges A la quinzena anterior utilitzàvem les fraccions per relacionar quantitats: la meitat, dues terceres parts, el triple, la quarta part.... Un cas concret de fraccions, molt utilitzat a la pràctica, són els percentatges: el 15% de ..., el 42 % de, més del 50% de...

El signe % es llegeix com “tant per cent”: “el 15% de la població” es llegeix com “el 15 per cent de la població”. El seu significat és la fracció 15/100.

La calculadora et pot resultar molt útil per realitzar els càlculs de %. Pots realitzar els càlculs dels següents exemples i exercicis utilitzant la teva calculadora.

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Els decimals. Ús de la calculadora -- 8 --

Exemples:

a) En un grup de 32 alumnes el 25% són nois. Quants nois són?. El resultat serà: 25 25·32 ⋅ 32 = = 8 nois 100 100

b) Un dipòsit d’aigua de 1200 litres està omplert fins a un 22%. Quants litres conté?: 22 22·1200 ·1200 = = 264 litres 100 100

c) Plantegem el problema a l’inrevés: 48 alumnes d’un grup de 160 s’han inscrit a una activitat extraescolar. Quin percentatge representa del total d’alumnes?:

48 30 = 0,3 = = 30% 160 100 Podem comprovar que el resultat obtingut és correcte:

30 30·160 ·160 = = 48 100 100 Exercicis 6: 6.1 Calcula quantes persones són el 22% d’un grup de 1250 persones.

6.2 Calcula el 32% de 1200 kg 6.3 Quin % representa 240 respostes positives d’un total de 4800 enquestes realitzades?

7.2 Càlcul de descomptes La utilització del % apareix amb molta freqüència a la vida diària. Un cas rellevant són els descomptes al realitzar compres expressats en %.

Exemples:

a) He comprat un abric de 120€ i m’han fet un 20% de descompte. Quants euros m’ha costat?

La resposta es pot obtenir per dos procediments diferents. Els dos són útils i convenients de conèixer-los: Camí 1: El descompte que m’han fet és el 20% de 120€:

20 20·120 ·120 = = 24 El pagament 100 100

a realitzar és 120€ - 24€ =96 € Camí 2: Si m’han fet un descompte del 20% hauré de pagar el 80% del seu valor:

80 ·120 = 96 €. He obtingut el mateix resultat seguint els dos camins.

100

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Els decimals. Ús de la calculadora -- 9 --

b) L’entrada d’un parc temàtic val 45€. Els estudiants tenen un descompte del 30%. Quant costa l’entrada?

Camí 1: El descompte serà el 30% de 45€: 13,50€. El preu de l’entrada és 45-13,50=31,50€ Camí 2: Els estudiants paguen el 70% del preu de l’entrada: 70% de 45€ són 31,50€.

c) Dos supermercats on compro habitualment estan fent promocions en determinats articles.

Un d’ells tenen l’oferta “3x2” si compro tres unitats d’un determinat article he de pagar només 2.

L’altre té l’oferta “la segona unitat a meitat de preu” si compro dues unitats pago el peu de la primera i la meitat de la segona. Quin tant per cent de descompte m’estan fent en cada una de les ofertes?

Al primer cas: per cada 3 unitats que compro, pago 2. Per cada una de les unitats que compro, pago la tercera part de 2, és a dir, les 2/3 parts del preu inicial. Em descompten 1/3 part del preu inicial, és a dir el 33%.

Al segon cas: per cada dues unitats que compro, pago el preu d’1,5 unitats. Per una unitat pagaré doncs la meitat, el preu de 0,75 unitats: es a dir pago el 75% i el descompte és del 25% Suposant que la resta de condicions són iguals i que, pel tipus de producte, ens és indiferent comprar en aquest moment 2 o 3 unitats, és més avantatjosa l’oferta “3x2”.

Exercicis 7: 7.1 Una brusa està marcada per 54€ i fan un descompte del 15%. Quin serà el preu final?

7.2 L’entrada al cinema costa 11,20€ i el dia de l’espectador fan un 25% de descompte. Quants diners m’estalvio en cada entrada?

7.3 El preu de venda al públic d’una carpeta és de 5,60€. El majorista el compra amb un 35% de descompte sobre el preu de venda. A quin preu l’ha pagat?

7.3 Càlcul de recàrrecs És també freqüent a la vida pràctica el procés invers, recàrrecs sobre un valor inicial: pagament de l’IVA, increments per retards en el pagament d’una multa, increment del cost de la vida...

Exemples:

a) El menú del dia d’un restaurant val 12€ sense l’IVA. Quant hauré de pagar si l’IVA és un 7% sobre el preu del menú?

Camí 1: L’increment de l’IVA és 7% de 12€: 0,84€. El preu del menú és: 12€+0,84€ = 12,84€ Camí 2: Caldrà pagar el 107% sobre el preu inicial. 107% de 12€ és 12,84€

b) He comprat un bitllet d’avió per import de 74,50€. Per increment dels costos del carburant m’han comunicat que hauré de pagar un sobrecàrrec del 6% sobre el preu del bitllet. Quants euros em suposarà aquesta pujada del preu?

El 6% de 74,50% és 4,47€

Exercicis 8:

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Els decimals. Ús de la calculadora -- 10 --

8.1 L’import d’una multa és de 24€. Per errors en la comunicació no l’he pagat dins del terminis previstos i ara l’hauré de pagar amb un recàrrec del 15%. Quina quantitat total hauré d’abonar?

8.2 Estic davant de dos restaurants amb menú del dia i característiques similars. El preu d’un d’ells és de 9,50€ IVA inclòs, el preu de l’altre és de 9€ més un IVA del 7%. Quin dels dos és més econòmic?

8 Pas de fracció a decimal: decimal finit i decimal periòdic.

(Apartat opcional) A les diferents quinzenes hem analitzat diferents tipus de nombres i les seves propietats. Hem parlat dels nombres naturals N, dels nombres enters Z, dels nombres racionals o fraccions Q i en aquest document dels nombres decimals. Quina relació hi ha entre els diferents conjunts de nombres?

El conjunt dels nombres enters Z és una ampliació del conjunt dels naturals. Està format pels positius (que s'identifiquen amb els naturals) el 0 i els negatius. En termes de conjunts aquesta ampliació s'expressa així:

N⊂Z

Això vol dir que tot nombre natural és també un nombre enter i que, per exemple, el nombre natural 7 s'identifica amb el nombre positiu +7 o simplement 7.

El conjunt dels nombres racionals o de fraccions Q és una ampliació dels nombres enters Z. Tot nombre enter (per exemple 7) es pot expressar en forma de fracció (7/1 o 14/2 o 21/3…) de moltes maneres encara que les més simple sigui la fracció irreductible 7/1 o més simple encara fer la identificació directament amb 7. En termes de conjunts aquesta ampliació s'expressa així:

Z⊂Q Encadenant els paràgrafs anteriors podem establir una relació entre els tres conjunts analitzats:

N⊂Z⊂Q Dins d'aquest esquema, quina relació hi ha entre els nombres decimals analitzats a aquest document i els anteriors conjunts? Aquest apartat està destinat a intentar respondre a aquesta pregunta.

Analitzarem la relació entre fraccions i nombres decimals mitjançant dos exemples concrets que corresponen a les dues situacions que es poden plantejar. Podem expressar la fracció 21/4 en forma de nombre decimal? La resposta és afirmativa. Si fem la divisió decimal entre 21 i 4 ens donarà un resultat exacte:

2 1 -2 0 1 0 -8 2 0 -2 0 0

4 5, 2 5

La divisió ha acabat amb resta 0 i podem establir la igualtat:

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Els decimals. Ús de la calculadora -- 11 --

21 = 5,25 4 que identifica una fracció amb un nombre decimal. Es parla en aquest cas de nombre decimal finit. Analitzarem un segon exemple ben diferent. Podem expressar 145/11 en forma de nombre decimal? Per contestar realitzarem, com abans la divisió:

1 4 5 1 1 - 1 1 1 3, 1 8 1 8 3 5 - 3 3 2 0 - 1 1 9 0 - 8 8 2 0 - 1 1 9 0 - 8 8 2 ………

El resultat és un nombre decimal, però en aquest cas la divisió no és exacta i, si observeu, no s'acaba mai ja que la seqüència de restes 8, 2, 8, 2,….. i de xifres al quocient 1, 8, 1, 8, no s'acabarà mai, serà infinita: 13,1818181818181818……

Es diu que el nombre anterior és un nombre decimal periòdic.

Aquesta nova situació d'un nombre decimal que "no s'acaba mai" que "té infinites xifres" dóna lloc a un nou conjunt de nombres que NO analitzarem amb detall en aquest document: el conjunt dels nombres reals R que podíem definir, encara que sigui de forma imprecisa, com el conjunt de nombres decimals amb infinites xifres decimals i que inclou com a casos particulars els nombres decimals finits i els nombres decimals periòdics.

Aquest conjunt és novament una ampliació dels anteriors i podem completar l'esquema anterior amb aquest nou conjunt:

N⊂Z⊂Q⊂R El nombre que hem obtingut abans amb infinites xifres decimals té una peculiaritat important, el fet de que les xifres es repeteixen periòdicament. És diu que és un nombre decimal periòdic.

La part que es repeteix es diu període, en el nostre exemple 18 i s'escriu

⌢⌢ 13,18181818..... = 13,1 8 on la retolació a sobre del 18 indica que aquests dígits es repeteixen indefinidament.

En els paràgrafs anteriors hem treballat amb dos exemples concrets: les fraccions 21/4 i 145/11 que ens han portat a dues situacions diferents. En un cas, la divisió decimal ha estat exacta i el resultat és un nombre decimal amb un nombre finit de xifres decimals:

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Els decimals. Ús de la calculadora -- 12 --

21 = 5,25 4 i en l'altre, el resultat ha estat:

⌢⌢ 13,18181818..... = 13,1 8 un nombre amb infinites xifres decimals però que es repeteixen periòdicament. Aquests resultats no són casuals i tenen caràcter general: qualsevol fracció expressada en forma decimal, o la divisió és exacta i el nombre de xifres decimals és finit o, cas contrari, al realitzar la divisió arriba un moment en que una resta parcial es repeteix i el procés de la divisió "entra en bucle" repetint-se indefinidament la situació i donant lloc a un nombre periòdic.

Exercicis 9 (Opcional): 9.1 Transforma amb la calculadora les següents fraccions en nombres decimals. Indica en el resultat si és un nombre decimal exacte o decimal periòdic. Indica quina és la part periòdica del resultat.

a) 1434/40

b) 563/16

c) 43/21

d) 234/44

e) 456/18

f) 321/14

8 Pas de decimal finit a fracció. Pas de decimal periòdic a fracció (Apartat opcional) En aquest apartat realitzarem el procés contrari de l'analitzat a l'apartat anterior: intentar expressar un nombre decimal en forma fracció. Això és possible en els dos casos esmentats en el títol d'aquest apartat i que analitzarem a continuació fent ús de dos exemples concrets.

Decimal finit: intentarem expressar el nombre decimal 23,135 com a fracció. La solució, en aquest cas, és molt simple. És suficient amb expressar el valor anterior com a mil·lèsimes:

23,135 =

23135 4627 = 1000 200

Decimal periòdic pur: si el nombre decimal és periòdic el procés és més laboriós:

⌢⌢ a = 15,3 8 ⌢⌢ 100·a = 1538,3 8 ⌢⌣ ⌢⌢ 99·a = 1538,3 8 − 15,3 8 = 1523,0 1523 a= 99 Hem multiplicat el nombre inicial per 100 per tal d'obtenir un altre amb la mateixa part periòdica (38). Al restar les dues igualtats hem obtingut una expressió, que depenia del valor inicial, però sense decimals (1523) i finalment hem aconseguit aïllar el valor inicial com a fracció (1523/99).

Decimal periòdic mixt: un altre cas de decimal periòdic amb una dificultat addicional: la part periòdica no comença immediatament desprès de la coma:

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Els decimals. Ús de la calculadora -- 13 --

⌢⌢ a = 34,597⌢ ⌢ 10·a = 345,97 ⌢⌢ 1000·a = 34597,97 ⌢⌢ ⌢⌢ 990·a = 34597,97 − 345,97 = 34252 34252 17126 a= = 990 495 Hem obtingut l'expressió del nombre decimal com a fracció, però ha estat necessari un pas previ per tal de transformar el nombre a en un altre nombre amb tota la part decimal com a periòdica.

La fracció que hem obtingut als exemples anteriors, que genera el nombre decimal corresponent, rep el nom de fracció generatriu.

Exercicis 10 (Opcional): 10.1 Calcula la fracció generatriu dels següents nombres decimals: a) 23,324

b)

⌢ 25,4 ⌢⌢ e) 23,465

c)

a) -8,23 < 12, 34

b) 8,11 < 14,23

c) 12,219 < 12,237

d) -8,345 < -6,23

e) 12,3467 < 12,35

f) 8,317 < 8,333 < 8,342

a) 17,34 (T) i 17,35 (A)

b) 145,32 (T) i 145,32 (A)

c) -23,21 (T) i -23,21 (A)

d) 2,80 (T) i 2,81 (A)

e) -121,21 (T) i -121,22 (A)

f) 165,23 (T) i 165,23 (A)

a) 359,57

b) 7,294

c) 8,58

d) 7,115

e) 0,601

f) 10,9185

a) 281,472

b) 179,829615

c) -329,80656

d) 0,005382

e) -29,33552

d) -12,3425

⌢⌢ 125,47 ⌢ f) 121,436

9 Annex: solucionari 1.1

2.1

3.1

4.1

5.1

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Els decimals. Ús de la calculadora -- 14 --

a) 1,6675

b) 14,28721 o 14,28722

d) -15,65312 o -15,65313

e) 1,89145 o 1,89146

c) 0,11164 o 0,11165

6 6.1) 275

6.2) 384

6.3) 5%

7.2) 2,8

7.3) 3,64

7 7.1) 45,9

8 8.1) 27,6

8.2) Primer: 9,5. Segon: 9,63. Millor el primer.

9.1 (Opcional) a) 35,85 Exacta

⌢⌢

d) 5,3 1 8 Periòdic. Període: 18

b) 35,1875 Exacta

⌢

⌢⌢ ⌢⌢ ⌢ ⌢

c) 2,0476 1 9 Periòdic. Període: 047619

⌢⌢⌣⌢ ⌢ ⌢

e) 25,3 Periòdic. Període: 3

f) 22,92857 1 4 Periòdic. Període: 285714

a) 23324/1000 = 5831/250

b) 229/9

c) 12422/99

d) -123425/10000 =4937/400

e) 23231/990

f) 109293/900=36431/300

10.1 (Opcional)

Matemàtiques 1. Els nombres i llurs propietats: operacions numèriques. Els decimals. Ús de la calculadora -- 15 --