Matemàtiques 2

Page 1

MATEMÀTIQUES 2

CFA LES ROQUETES

ÍNDEX UNITAT 1 : ANGLES, TRIÀNGLES, POLÍGONS UNITAT 2 : TEOREMA DE TALES .I PITÀGORES RAONS TRIGONOMÈTRIQUES

UNITAT 3: ÀREES I VOLUMS ANNEX: UNITATS

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

ACTIVITATS PER PRACTICAR

UNITAT 1

ANGLES I TRIANGLES

POLÍGONS, CIRCUNFERÈNCIA, PERÍMETRE

8. TRIGONOMETRIA

ANGLES I TRIANGLES

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

Unitat 1 11

1. Angle: concepte i unitat de mesura

13

Rellotge 2

Rellotge 3

Rellotge 4

Cada rellotge marca una hora diferent. L’hora ve determinada per la posició de les agulles del rellotge: l’agulla petita assenyala les hores i la gran assenyala els minuts. La posició de les agulles determina un angle entre elles.

UNITAT 1

Rellotge 1

ANGLES I TRIANGLES

Observa els rellotges següents:

L’angle és la porció del pla formada per dues semirectes que tenen un origen comú.

Com pots observar en la figura següent, dues semirectes amb origen comú formen dos angles.

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

Hem utilitzat el criteri d’anomenar r1 i r2 a les semirectes i O al vèrtex de l’angle.

8. TRIGONOMETRIA

En el nostre cas les dues semirectes són les agulles del rellotge i l’origen comú el seu punt d’unió. El punt en comú de les dues semirectes és el vèrtex de l’angle i les dues semirectes són els costats.

Fixa’t en el quart rellotge. Observa que l’obertura entre les dues agulles és nul·la. Però, segons el que acabem de veure, també es pot considerar com l’angle determinat per les dues agulles tota la circumferència.

ANGLES I TRIANGLES

14

UNITAT 1

El grau sexagesimal és la unitat que s’acostuma a fer servir per mesurar angles. Per tant, en el primer cas, és evident que l’angle determinat per les dues agulles mesura zero graus. En canvi, en el segon cas, el sistema sexagesimal atorga a la circumferència un valor de 360 graus. Així doncs, un grau correspon a una de les 360 parts iguals en què es pot dividir la circumferència.

8. TRIGONOMETRIA

Probablement la definició del grau sexagesimal es deu als astrònoms de l’antiga Babilònia, que dividien el cel en 360 parts, cada una de les quals corresponia a un dia de l’any (avui dia, però, diem que l’any té 365 dies). El sistema de numeració dels babilònics era un sistema sexagesimal, és a dir, un sistema de base 60. Per aquest motiu cada grau es divideix en 60 parts iguals anomenades minuts i cada minut es divideix en 60 parts iguals anomenades segons. Segur que ja t’has adonat que aquest mateix sistema és el que es fa servir per mesurar el temps. Les unitats que s’utilitzen per mesurar el temps són les hores, els minuts i els segons. Circumferència Grau sexagesimal Minut sexagesimal

360º 60’ 60’’

360 graus sexagesimals 60 minuts sexagesimals 60 segons sexagesimals

· Activitats d’aprenentatge 1 i 2

2. Tipus d’angles

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

En aquesta situació la quarta part d’una circumferència mesura 90º. rectes. Es formen quan les dues Els angles que mesuren 90º s’anomenen angles rectes semirectes són perpendiculars.

Fixa’t que en el primer rellotge hi ha representat un angle recte.

15

Fixa’t que en el segon rellotge hi ha representat un angle obtús i que en el tercer rellotge hi ha representat un angle agut. Hi ha altres angles que reben noms especials. Alguns d’ells ja els hem vist com és el cas de:

UNITAT 1

Un angle és obtús si és més gran que un angle recte (>90º).

ANGLES I TRIANGLES

Un angle és agut si és més petit que un angle recte (<90º).

Un altre angle especial és el pla pla, que mesura 180º.

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

I l’angle nul nul, que mesura 0º.

8. TRIGONOMETRIA

L’angle complet complet, que mesura 360º

ANGLES I TRIANGLES

16

Els angles consecutius tenen un costat i el vèrtex en comú.

Si a més de consecutius els seus costats no comuns formen un angle pla, s’anomenen adjacents adjacents.

UNITAT 1

Dos angles són complementaris si les seves mesures sumen 90º. Dos angles són suplementaris si les seves mesures sumen 180º. El criteri que utilitzarem per representar els angles és una lletra majúscula amb un circumflex (Â). · Activitats d’aprenentatge 3 i 4

3. Mesura d’angles

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

Per mesurar angles s’utilitza el semicercle graduat o transportador d’angles d’angles. Es tracta d’un semicercle dividit en 180 parts o graus sexagesimals. Per mesurar un angle es fa coincidir el punt central del transportador amb el vèrtex de l’angle i la base del transportador amb un dels costats de l’angle.

· Activitat d’aprenentatge 5

4. Operacions amb angles

17

Suma d’angles Observa aquests dos rellotges:

Inicialment el rellotge marca les 15:30 hores. DesprĂŠs de 15 minuts, el rellotge marca les 15:45 hores. Fixa’t amb els angles determinats per les agulles del rellotge. L’angle inicial ĂŠs un angle recte. L’angle final ĂŠs un angle pla. A mesura que passen els minuts, l’agulla gran avança. Observa que aquesta agulla entre la seva posiciĂł inicial (assenyalant el 6) i la seva posiciĂł final (assenyalant el 9) determina tambĂŠ un angle recte. Si afegim aquest angle recte a l’angle recte inicial resulta que l’angle final ĂŠs un angle pla.

UNITAT 1

ANGLES I TRIANGLES

Vegem un exemple de suma d’angles.

90º + 90º = 180º Per sumar dos angles  i Ê es segueixen els passos segßents: Es construeix un angle igual a  amb l’ajut del transportador.

Aquest Ês l’angle suma.

Resta d’angles Per restar dos angles es segueix un procĂŠs similar al de la suma però per comptes d’afegir graus a l’angle inicial n’hi haurem de treure. Això sĂ­, l’angle inicial ha de ser mĂŠs gran que l’angle que li traiem. Es construeix un angle igual a Ă‚ amb l’ajut del transportador. Es construeix a sobre d’Â un angle igual a l’angle ĂŠ amb l’ajut del transportador.

Matemà tiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

Es construeix un angle igual a Ê de manera que  i Ê siguin angles consecutius, tambÊ amb l’ajut del transportador.

Aquest Ês l’angle resta.

Multiplicació d’un angle per un nombre natural Multiplicar un angle per un nombre natural Ês el mateix que sumar aquest angle tantes vegades com indiqui el nombre natural.

UNITAT 1

ANGLES I TRIANGLES

18

DivisiĂł d’un angle en dos angles iguals. Bisectriu La semirecta que passa pel vèrtex d’un angle dividint-lo en dos trossos iguals s’anomena bisectriu bisectriu. Si es dibuixa la bisectriu d’un angle, automĂ ticament s’obtenen les dues meitats de l’angle.

Matemà tiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

La construcciĂł de la bisectriu d’un angle es pot fer amb regle i compĂ s. Agafem el compĂ s i prenem com a centre el vèrtex de l’angle. Tracem un arc que, en tallar amb els costats de l’angle determina dos punts C i D. Per la manera com s’han construĂŻt observa que C i D estan a la mateixa distĂ ncia del vèrtex O. Tracem dos arcs de circumferència prenent com a centres els punts C i D, de radi igual i suficientment gran per tal que els dos arcs es tallin. Unim aquest punt de tall dels dos arcs amb el vèrtex de l’angle i ja tenim la bisectriu.

¡ Activitats d’aprenentatge 6, 7, 8 i 9

5. Triangle: Concepte i característiques

19

El triangle és el polígon de menor nombre de costats que existeix.

UNITAT 1

Està format per tres costats, tres vèrtexs i tres angles.

ANGLES I TRIANGLES

Estaràs d’acord que és impossible de dibuixar una figura plana tancada amb només dos costats. Com a mínim en necessitaràs tres.

Criteri de nomenclatura Anomenarem A, B i C els vèrtexs d’un triangle, per això quan parlem del triangle ens referirem al triangle ABC. Pels costats utilitzarem les lletres a, b i c, corresponents als vèrtexs oposats. Els angles els simbolitzarem amb la mateixa lletra que el vèrtex corresponent però amb un circumflex.

Tracem un segment igual al costat a. Els extrems d’aquest costat seran òbviament dos vèrtexs (B i C) d’aquest triangle. Tracem un arc que té com a centre el vèrtex C i com a radi la longitud del costat b. Tracem un altre arc que té com a centre el vèrtex B i com a radi la longitud del costat c. El punt de tall d’aquests dos arcs serà el tercer vèrtex (A) del triangle. Tanmateix no n’hi ha prou amb tres costats qualssevol per construir un triangle.

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

La construcció del triangle es pot fer amb regle i compàs.

20

ACTIVITAT Intenta construir un triangle amb les següents mesures per als seus costats: b = 4 cm c = 1 cm Solució

UNITAT 1

ANGLES I TRIANGLES

a = 6 cm

La construcció d’un triangle amb aquestes dades no és possible. Un costat qualsevol d’un triangle ha de ser sempre més petit que la suma dels altres dos i més gran que la diferència. En canvi en l’exemple que hem plantejat: 6 > 4 + 1

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

Si es pren un triangle qualsevol i es retallen els seus tres angles interiors, és a dir, les seves “puntes”, en col·locar els tres angles consecutivament a sobre d’una línia recta, com si es tractés d’un ventall, s’observa que formen un angle pla.

La suma dels angles interiors d’un triangle és un angle pla o de 180º. · Activitats d’aprenentatge 10 i 11

6. Classificació de triangles

21

Els triangles es poden classificar segons els seus costats i segons els seus angles.

Triangle isòsceles: té dos costats iguals Triangle escalè: no té cap costat igual

Classificació segons els angles Triangle rectangle: conté un angle recte

UNITAT 1

Triangle equilàter: té tots tres costats iguals

ANGLES I TRIANGLES

Classificació segons els costats

Triangle obtusangle: conté un angle obtús Triangle acutangle: té tots tres angles aguts

· Activitats d’aprenentatge 12, 13 i 14

La mediatriu d’un segment és la recta perpendicular que passa pel punt mig del segment. La recta i el segment són perpendiculars quan l’angle que determinen és de 90º. Les mediatrius d’un triangle són les mediatrius dels seus costats. Si es tracen les tres mediatrius d’un triangle es tallen en un punt que s’anomena circumcentre. Agafa el compàs i punxa’l a sobre del circumcentre. A continuació pren com a radi la distància que hi ha entre el circumcentre i un dels vèrtexs del triangle. Si hi dibuixes aquesta circumferència obtindràs la circumferència circumscrita al triangle.

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

Mediatrius i circumcentre

8. TRIGONOMETRIA

7. Punts i rectes notables d’un triangle

Les bisectrius d’un triangle són les bisectrius dels seus angles. Les tres bisectrius d’un triangle es tallen en un punt que s’anomena incentre. Agafa el compàs i punxa’l a sobre de l’incentre. Tot seguit pren com a radi la distància entre l’incentre i un dels costats del triangle. Si hi dibuixes aquesta circumferència obtindràs la circumferència inscrita al triangle.

UNITAT 1

ANGLES I TRIANGLES

22 Bisectrius i incentre

Altures i ortocentre L’altura d’un triangle és la recta perpendicular a un costat o a la seva prolongació des del vèrtex oposat. Les tres altures d’un triangle es tallen en un punt que s’anomena ortocentre.

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

Mitjanes i baricentre La mitjana d’un triangle és el segment que uneix un vèrtex amb el punt mitjà del costat oposat. Les tres mitjanes d’un triangle es tallen en un punt que s’anomena baricentre.

El baricentre és el centre de gravetat del triangle. · Activitats d’aprenentatge 15 i 16

UNITAT 1

ANGLES I TRIANGLES

8. POLÍGONS Un polígon és una porció de pla limitada per una línia poligonal tancada (línia poligonal: l'origen de cada segment coincideix amb el final de l'anterior). Els segments de recta que formen la poligonal són els costats del polígon. Els vèrtexs d'un polígon són els punts comuns a dos costats consecutius. Els polígons es classifiquen, segons els costats que tinguin, en: • • • • • • • •

triangles (3) quadrilàters (4) pentàgons (5) hexàgons (6) heptàgons (7) octògons (8) decàgons (10) dodecàgons (12) Un polígon és convex si té tots els angles interiors convexos, és a dir, més petits que 180°.

Un polígon és còncau si té algun angle interior còncau, és a dir, més gran que 180°.

Una diagonal d'un polígon és un segment que uneix dos vèrtexs no consecutius.

De cada vèrtex d'un polígon convex d'n costats surten tantes diagonals com costats té el polígon menys tres: n- 3. Això és així perquè no s'ha de tenir en compte el vèrtex de partida ni, tampoc, els dos consecutius, ja que determinarien costats i no diagonals. Fixeu-vos que un polígon té el mateix nombre de costats que de vèrtexs i angles.

De cada vèrtex d'un pentàgon surten 5 – 3 = 2 diagonals.

De cada vèrtex d'un hexàgon surten 6 – 3 = 3 diagonals.

1

És fàcil deduir que el

ÉS així perquè el nombre de diagonals que parteixen de cada vèrtex (n- 3) s'ha de multiplicar pel nombre de vèrtexs (n); però, com que d'aquesta manera cada diagonal es compta dues vegades, s'ha de dividir entre dos.

El perímetre d’un polígon és la suma de les longituds dels seus costats.

UNITAT 1

ANGLES I TRIANGLES

nombre total de diagonals que té un polígon convex d'n costats és

PERÍMETRE

1 QUADRILÀTERS

Un quadrilàter és un polígon que té quatre costats. Els quadrilàters poden ser convexos o bé còncaus. Els quadrilàters convexos es poden classificar de la manera següent:

UNITAT 1

ANGLES I TRIANGLES

QUADRILÀTERS I POLÍGONS REGULARS

Trapezoides: no tenen costats paral·lels.

Trapezis: tenen dos costats paral·lels. Paral·lelograms: tenen els quatre costats paral·lels dos a dos.

Cada diagonal divideix un paral·lelogram en dos triangles iguals i els costats oposats d'un paral·lelogram tenen la mateixa longitud. Això és conseqüència que els segments de paral·leles compresos entre paral·leles són iguals.

Els costats: AD = BC, AB = DC Els angles A

A

A

A

A

A

1=5, 3=4, 2=6;

Per tant, els triangles ABC i ADC són iguals.

Les diagonals d'un paral·lelogram es tallen al punt mitjà

MA = MC, MB = MD

1

ANGLES I TRIANGLES

Els paral·lelograms es poden classificar en:

Romboides: els paral·lelograms més generals, amb costats oposats iguals, angles oposats iguals i angles contigus suplementaris (sumen 180°).

UNITAT 1

Aquestes propietats també són vàlides per als paral·lelograms següents, però tenen més propietats característiques.

Rectangles: els quatre angles rectes i les diagonals iguals. Tenen dos eixos de simetria. Rombes: els quatre costats iguals diagonals perpendiculars. Tenen dos eixos de simetria. Quadrats: els quatre angles rectes i els quatre costats iguals (rectangle i rombe alhora). Tenen quatre eixos de simetria.

La suma dels angles d'un quadrilàter és 360° (quatre angles rectes).

Efectivament. Considerem el quadrilàter ABCD. Tracem una de les diagonals, per exemple BD. Tenim dos triangles i, a cadascun, la suma dels angles és 180°. S'acompleix: A

A

A

1+2+A =180º A

A

A

3+4+C =180° per tant, A

A

A

A

A

A

1+2+3+4+A+C=360°. A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A la figura veiem que 1 +3 =D i 2+4=B, així: A+B+C+D = 360° 2

ANGLES I TRIANGLES

UNITAT 1

2 POLĂ?GONS REGULARS Un polĂ­gon regular tĂŠ tots els costats iguals (ĂŠs equilĂ ter) i, tambĂŠ, tots els angles iguals (ĂŠs equiangle).

Per cert, ÂżpodrĂ­eu dir els noms dels tres polĂ­gons de la figura? Vermell:_____________ ____________ Verd:________________ Blau:________________ ____________ Si els costats no sĂłn iguals el polĂ­gon ĂŠs irregular. El perĂ­metre d'un polĂ­gon ĂŠs la suma de les longituds de tots els costats. El centre(O) d'un polĂ­gon regular ĂŠs el punt del qual equidisten tots els vèrtexs. L’apotema d'un polĂ­gon regular ĂŠs el segment de perpendicular traçat des del centre al punt mitjĂ d'un costat qualsevol.

3HU H[HPSOH YHLHP XQ KH[jJRQ UHJXODU DPE HO FHQWUH L O DSRWHPD

UNITAT 1

ANGLES I TRIANGLES

9. CIRCUMFERĂˆNCIA. CERCLE La circumferència ĂŠs una corba plana i tancada tots els punts de la qual equidisten d'un punt interior que ĂŠs el centre de la circumferència. Si unim el centre amb qualsevol punt de la corba tenim el radi de la circumferència. DiĂ metre ĂŠs un segment de recta que uneix dos punts d'una circumferència i que passa pel centre. Un diĂ metre divideix la circumferència en dos parts iguals. La longitud del diĂ metre ĂŠs el doble de la longitud del radi. Corda ĂŠs un segment de recta els extrems del qual sĂłn punts de la circumferència. La major corda que es pot traçar ĂŠs la que passa pel centre, que ĂŠs el diĂ metre. Si dividim la longitud ( L ) o perĂ­metre d'una circumferència pel seu diĂ metre ( d ) obtenim sempre el mateix resultat. Això ja es coneixia a la Grècia antiga i es designava aquest nombre resultant amb la lletra pi: Ď€ . El nombre Ď€ ĂŠs irracional (tĂŠ infinites xifres decimals que no es repeteixen periòdicament) i, per això, als cĂ lculs podem agafar un valor aproximat arrodonit: 3,14. Amb calculadora, si fem servir la tecla Ď€ , podem fer els cĂ lculs amb major exactitud. Es pot fer la comprovaciĂł experimental que

L = π agafant diversos objectes d

circulars i mesurant tant la seva longitud com el seu diĂ metre. Veurem que els resultats del quocient L : d sĂłn sempre nombres pròxims a 3,14; si no surt exactament el mateix ĂŠs a causa dels errors comesos en mesurar les longituds. La fĂłrmula per trobar la longitud de la circumferència ĂŠs, per tant, L = d â‹… Ď€ . TambĂŠ es pot escriure en funciĂł del radi ( r ) de la circumferència, ja que sabem que d = 2 â‹… r i, llavors, L = 2 Ď€ r

Un cercle Ês la porció de pla limitada per una circumferència.

Una corona circular Ês la porció de pla compresa entre dues circumferències concèntriques.

Un sector circular ĂŠs la porciĂł de pla compresa entre dos radis i l'arc corresponent.

Un segment circular ĂŠs la porciĂł de pla compresa entre una corda i l'arc corresponent. 1

UNITAT 1

ANGLES I TRIANGLES

10. PERÍMETRE D’UN POLÍGON I D’UNA CIRCUMFERÈNCIA. 3.1 PERÍMETRE D’UN POLÍGON

El perímetre d'un polígon és la suma de les longituds de tots els costats. 3.2 PERÍMETRE O LONGITUD D’UNA CIRCUMFERÈNCIA

A la sessió 4 de la quinzena 1 ja vam parlar de que, si dividim la longitud ( L ) o perímetre d'una circumferència pel seu diàmetre ( d ), obtenim sempre el mateix resultat. Això ja es coneixia a la Grècia antiga i es designava aquest nombre resultant amb la lletra pi: π . El nombre π és irracional (té infinites xifres decimals que no es repeteixen periòdicament) i, per això, als càlculs podem agafar un valor aproximat arrodonit: 3,14. Amb calculadora, si fem servir la tecla π , podem fer els càlculs amb major exactitud. Es pot fer la comprovació experimental que

L = π agafant diversos objectes d

circulars i mesurant tant la seva longitud com el seu diàmetre. Veurem que els resultats del quocient L : d són sempre nombres pròxims a 3,14; si no surt exactament el mateix és a causa dels errors comesos en mesurar les longituds. La fórmula per trobar la longitud de la circumferència és, per tant, L = d ⋅ π . També es pot escriure en funció del radi ( r ) de la circumferència, ja que sabem que d = 2 ⋅ r i, llavors, L = 2 π r 3.3 LONGITUD D’UN ARC DE CIRCUMFERÈNCIA

En una circumferència, la longitud d'un arc és directament proporcional a la seva amplitud, és a dir, al valor de l'angle central corresponent:

Larc 2 ⋅ π ⋅ r = no 360o Per tant,

Larc

2 ⋅ π ⋅ r ⋅ no = 360o

1

2

UNITAT 1 ANGLES I TRIANGLES

Activitat 1 Completa la taula següent: Graus

Minuts

30º

Segons

30 x 60 =

45º 120º

ACTIVITATS D’APRENENTATGE

ACTIVITATS D’APRENENTATGE 23

En una hora, quants graus i quants minuts recorre l’agulla petita?

Activitat 3 Calcula l’angle complementari de cadascun d’aquests angles: a) 45º

c) 60º

b) 30º

d) 15º

8. TRIGONOMETRIA

En un rellotge l’agulla gran i l’agulla petita es mouen a diferents velocitats. En una hora, quants graus mesura l’angle que recorre l’agulla gran? I en mitja hora? I en un quart?

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

Activitat 2

UNITAT 1

270º

24

Activitat 4 Dos angles adjacents són sempre angles consecutius Dos angles consecutius són sempre angles adjacents Dos angles adjacents són sempre angles suplementaris Dos angles suplementaris són sempre angles adjacents

Activitat 5 D’entre aquests angles, n’hi ha cap parell les mesures dels quals sumin 90º? I 180º?

UNITAT 1

ACTIVITATS D’APRENENTATGE

Contesta vertader o fals:

Activitat 6 Utilitza el transportador d’angles i resol el problema numèricament i gràficament.

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

Quant mesura l’angle suma dels angles  i Ê?

Activitat 8 Dibuixa la bisectriu d’un angle pla. Quant mesuren els dos angles que resulten?

ACTIVITATS D’APRENENTATGE

Dibuixa un angle agut de manera que el seu doble sigui un angle obtús. Resol el problema gràficament amb l’ajut del transportador d’angles. Sabries dir quins valors pot prendre l’angle agut per tal que el seu doble sigui un angle obtús?

25

UNITAT 1

Activitat 7

Activitat 9

8. TRIGONOMETRIA

Quant val el triple d’un angle de 30º? Resol el problema gràficament amb l’ajut del transportador d’angles.

Construeix un triangle de costats: a = 5 cm b = 4 cm c = 3 cm

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

Activitat 10

26

Activitat 11

UNITAT 1

ACTIVITATS D’APRENENTATGE

En el segĂźent triangle manquen les dades de dos angles. Pots trobar-les?

Activitat 12

Matemà tiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

Els angles iguals d’un triangle isòsceles valen 50Âş. Quant val l’angle desigual? Si classifiquem aquest triangle segons els angles, de quin tipus ĂŠs?

Activitat 13 Dedueix quant mesuren els angles d’un triangle equilà ter.

Activitat 14 Es pot dibuixar un triangle amb dos angles aguts? I amb dos angles rectes? I amb dos angles obtusos? Per què?

Activitat 15

27

UNITAT 1 8. TRIGONOMETRIA

És possible dibuixar un triangle obtusangle i isòsceles a la vegada? Posa’n algun exemple.

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

Activitat 16

ACTIVITATS D’APRENENTATGE

Dibuixa un triangle equilàter i el seu baricentre, circumcentre, ortocentre i incentre. Què observes?

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

TEOREMA DE PITÀGORES. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES

TEOREMA DE TALES.

TEOREMA DE TALES. TEOREMA DE PITÀGORES. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES UNITAT 2

Unitat 2 41

1. Proporcionalitat de segments

UNITAT 2

Observa aquestes dues imatges:

Totes dues tenen la mateixa forma però la mida ĂŠs diferent. Tanmateix, fixa’t que se’n conserven les proporcions.

TEOREMA DE PITĂ€GORES. RAONS TRIGONOMĂˆTRIQUES

Mitjançant les fotografies, les fotocòpies, els plà nols, els mapes, etc., podem fer ampliacions o reduccions de la realitat per tal de fer-la mÊs accessible i mÊs còmoda de treballar.

TEOREMA DE TALES.

43

En matemĂ tiques es diu que les dues imatges sĂłn proporcionals o semblants.

La raĂł de dos segments ĂŠs el nombre que resulta de dividir les longituds dels dos segments. Pots comprovar que la raĂł dels segments a i b ĂŠs: __ = 1,25 _a __ = _5 b 4

Matemà tiques, Ciència i Tecnologia

Ara observa els segĂźents segments:

8. TRIGONOMETRIA

Fes memòria i recorda el que Ês una raó i una proporció. Una raó Ês el quocient de dos nombres o de dues quantitats comparables. Una proporció Ês la igualtat entre dues raons.

TEOREMA DE PITĂ€GORES. RAONS TRIGONOMĂˆTRIQUES

I que la raĂł dels segments c i d ĂŠs: _c__ = 2,5 ___ = 1,25 d 2 Fixa’t que la raĂł dels segments a i b ĂŠs la mateixa que la dels segments c i d. Hi ha una proporciĂł. _a __ = _c__ b d Quan això passa es diu que els segments a i b sĂłn proporcionals als segments cid d.

2. Teorema de Tales Fixa’t en la imatge segßent:

Matemà tiques, Ciència i Tecnologia

8 TRIGONOMETRIA

UNITAT 2

TEOREMA DE TALES.

44

DesprÊs d’haver mesurat les longituds dels segments del cable, AB i CD, i les longituds dels segments de l’ombra, A’B’ i C’D’, s’observa que:

AB A’B’ ___ = ____ CD C’D’ AB i A’B’ CD C’D’

formen una proporciĂł.

Això no Ês res mÊs que un exemple del Teorema de Tales.

En el nostre exemple les rectes paral·leles són els raigs de sol i les dues rectes secants són el cable de la llum i la projecció de l’ombra. · Activitats d’aprenentatge 1, 2 i 3

TEOREMA DE PITÀGORES. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES

UNITAT 2

A’B’ AB ___ = ____ C’D’ CD

45 TEOREMA DE TALES.

Teorema de Tales: Les rectes paral·leles traçades sobre dues rectes secants determinen segments que són proporcionals.

3. Triangles en posició de Tales

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

El teorema de Tales ens permet relacionar els costats d’aquests dos triangles:

8. TRIGONOMETRIA

Si en un triangle qualsevol ABC tracem una recta paral·lela al costat BC obtenim un nou triangle AB’C’. Els dos triangles ABC i AB’C’ estan en posició de Tales.

TEOREMA DE PITÀGORES. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES

Si dos triangles tenen un vèrtex comú i els costats oposats a aquest vèrtex són parallels es diu que estan en posició de Tales. • Activitats d’aprenentatge 4 i 5

4. Triangles semblants Observa que els triangles en posició de Tales tenen la mateixa forma però diferent mida. Els triangles en posició de Tales són figures semblants. Per això se’ls anomena triangles semblants.. Ara bé, no cal que dos triangles estiguin en posició de Tales perquè siguin semblants. Dos triangles que tinguin els angles iguals i els costats proporcionals són triangles semblants. Quan s’amplia o es redueix un triangle s’obté un nou triangle semblant al primer.

8 TRIGONOMETRIA

UNITAT 2

TEOREMA DE TALES.

46

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

En la imatge, la relació entre els costats dels triangles és: A’B’ ____ B’C’ ____ A’C’ _8 ____ __ AB = BC = AC = 4 = 2 Aquesta és la raó de semblança. En aquest exemple la mida del triangle A’B’C’ és el doble que la del triangle ABC o el que és el mateix, les longituds dels costats del triangle A’B’C’ mesuren el doble que les del triangle ABC. Fixa’t que en els triangles semblants també es conserven els angles. · Activitats d’aprenentatge 6 i 7

5. Teorema de Pitàgores

Teorema de Pitàgores: En un triangle rectangle el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels seus catets. a2 = b2 + c2

TEOREMA DE PITÀGORES. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES

UNITAT 2

Amb l’ajut de la geometria es pot veure fàcilment una propietat molt important que compleixen els triangles rectangles: l’àrea del quadrat construït sobre la hipotenusa d’un triangle rectangle és igual a la suma de les àrees dels quadrats construïts sobre els seus catets.

TEOREMA DE TALES.

47

Per tal que dos triangles rectangles siguin semblants només cal que coincideixin en algun dels angles no rectes. Observa la figura:

Pots comprovar que, en efecte, els triangles CAB, CA’B’, CA’’B’’ són semblants.

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

6. Triangles rectangles semblants

8. TRIGONOMETRIA

· Activitats d’aprenentatge 8, 9 i 10

TEOREMA DE PITÀGORES. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES

UNITAT 2

TEOREMA DE TALES.

48

Fixa’t en els quocients següents: AB ____ A’B’ A’’B’’ ____ ____ CB CB’ CB’’ Observa que cada quocient és la raó entre la longitud del catet oposat al vèrtex C i la longitud de la hipotenusa de cadascun dels triangles. Per la semblança dels triangles tenim: AB ____ A’B’ A’’B’’ ____ = = ____ CB CB’ CB’’ El valor d’aquesta raó s’anomena sinus d’α, sent α l’angle corresponent al vèrtex C, és a dir, l’angle que formen les dues rectes secants. La raó entre les longituds del catet oposat i de la hipotenusa s’anomena sinus de l’angle. catet oposat sin α = ____________ hipotenusa

Ara fixa’t en aquests altres quocients: CA ____ CA’ ____ CA’’ ____ CB CB’ CB’’

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

8 TRIGONOMETRIA

Observa que cada quocient és la raó entre la longitud del catet contigu al vèrtex C i la longitud de la hipotenusa de cadascun dels triangles. Com abans, per la semblança dels triangles tenim: CA ____ CA’ ____ CA’’ ____ = = CB CB’ CB’’ El valor d’aquesta raó s’anomena cosinus d’α, sent α l’angle corresponent al vèrtex C, és a dir, l’angle que formen les dues rectes secants. La raó entre les longituds del catet contigu i de la hipotenusa s’anomena cosinus de l’angle. catet contigu cos α = ____________ hipotenusa

Finalment, fixa’t en aquests altres quocients:

AB ____ A’B’ A’’B’’ ____ ____ CA CA’ CA’’

El valor d’aquesta raĂł s’anomena tangent d’ι, sent Îą l’angle corresponent al vèrtex C, ĂŠs a dir, l’angle que formen les dues rectes secants. La raĂł entre les longituds del catet oposat i del catet contigu s’anomena tangent de l’angle. catet oposat tan Îą = ____________ catet contigu

Aquestes raons que hem definit, sinus, cosinus i tangent, s’anomenen raons trigonomètriques de l’angle Îą.

6. Les raons trigonomètriques i la calculadora

TEOREMA DE PITĂ€GORES. RAONS TRIGONOMĂˆTRIQUES

AB ____ A’B’ A’’B’’ ____ = = ____ CA CA’ CA’’

TEOREMA DE TALES.

Una vegada mÊs, per la semblança dels triangles tenim:

49

UNITAT 2

Observa que cada quocient ĂŠs la raĂł entre la longitud del catet oposat i la longitud del catet contigu.

En efecte, cos 60º = 0.5. Per calcular un sinus cal prÊmer la tecla sin i per la tangent, la tecla tan. Raons trigonomètriques dels angles aguts mÊs corrents:

ANGLES

sin

cos

tan

0Âş Âş

0

1

0

30Âş

1/2

=+ 3/2

=+ 3/3

45Âş

=+ 2/2

=+ 2/2

1

60Âş

=+ 3/2

1/2

=+ 3

¡ Activitats d’aprenentatge 11, 12, 13, 14, 15, 16 i 17

Matemà tiques, Ciència i Tecnologia

Imagina que vols calcular el cosinus de 60º. Si a la pantalla hi surt el terme DEG, vol dir que hi podem introduir els graus sexagesimals. En aquest cas s’ha d’escriure el nombre 60. A continuació prems la tecla cos. Veuràs que a la pantalla apareix el valor 0.5.

8. TRIGONOMETRIA

Mitjançant la calculadora podem obtenir el sinus, el cosinus i la tangent d’un angle agut amb molta precisiĂł.

ACTIVITATS D’APRENENTATGE

UNITAT 2

ACTIVITATS D’APRENENTATGE

50

Activitat 1 Llegeix atentament el teorema de Tales. Creus que també és certa la proporció AB CD següent? Per què? ___ = ____ A’B’ C’D’

Activitat 2

8. TRIGONOMETRIA

Utilitzant el teorema de Tales calcula la longitud del segment x en centímetres:

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

Activitat 3 Esbrina el valor de x en cadascun dels triangles següents:

Activitat 4 Com són els angles de dos triangles en posició de Tales? Com són els costats corresponents de dos triangles en posició de Tales?

ACTIVITATS D’APRENENTATGE

51

Digues quines parelles de triangles són semblants i per què:

8. TRIGONOMETRIA

Activitat 6

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

Determina la longitud del costat del triangle gran que s’indica en la figura:

UNITAT 2

Activitat 5

Activitat 7 Fixa’t en els següents triangles:

UNITAT 2

ACTIVITATS D’APRENENTATGE

52

Són semblants? Quant val la longitud del costat BC?

Troba la longitud del costat que falta en els triangles rectangles següents. Les mesures vénen expressades en centímetres.

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

Activitat 8

53

Activitat 9

Els nombres enters que corresponen a les mides dels costats de triangles rectangles i que, per tant, compleixen la propietat a2 = b2 + c2, s’anomenen ternes pitagòriques. Exemple: (5, 4, 3) ĂŠs una terna pitagòrica, ja que 52 = 42 + 32. La terna (17, 15, 8) ĂŠs pitagòrica? I la terna (10, 8, 6)?

UNITAT 2

Activitat 10

ACTIVITATS D’APRENENTATGE

Els catets d’un triangle rectangle mesuren 5 m i 10 m. Calcula l’à rea del quadrat construït sobre la hipotenusa.

Activitat 11

cos 45Âş

tan 45Âş

sin 30Âş

cos 30Âş

tan 30Âş

sin 60Âş

cos 60Âş

tan 60Âş

Activitat 12 La hipotenusa d’un triangle rectangle mesura 10 metres i un dels seus angles aguts 20º. Quina Ês la mida real del catet oposat?

Activitat 13 Un ciclista puja per un pendent que tĂŠ una inclinaciĂł respecte a l’horitzontal de 25Âş. Quan arriba al cim del pendent, ha recorregut 1.200 metres. A quina alçada es troba el cim?

Matemà tiques, Ciència i Tecnologia

sin 45Âş

8. TRIGONOMETRIA

Amb l’ajut de la calculadora calcula:

UNITAT 2

ACTIVITATS D’APRENENTATGE

54

Activitat 14 Un camí de muntanya puja 35 m en una distà ncia horitzontal de 100 m. Calcula la tangent de l’angle que forma el camí amb l’horitzontal.

Si el camí pugÊs 35 m en una distà ncia horitzontal de 60 m, quina seria la tangent de l’angle?

La inclinació d’un terreny respecte a l’horitzontal Ês el que s’anomena el pendent del terreny i s’acostuma a expressar en tant per cent. Quan es pugen 10 m en vertical per cada 100 m que es recorren en horitzontal el pendent Ês d’un 10%.

Matemà tiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

Completa la taula segĂźent:

Angle

20Âş

Pendent en %

36,39%

50Âş

60Âş

Activitat 15 Un far tĂŠ una alçada de 20 m i des d’un vaixell s’observa el seu punt mĂŠs alt sota un angle de 22Âş. A quina distĂ ncia es troba el vaixell del far?

Activitat 16

55

UNITAT 2 8. TRIGONOMETRIA

Podries saber l’altura d’una xemeneia si la seva ombra fa 5m i els raigs del sol fan un angle de 65º amb l’horitzontal?

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

Activitat 17

ACTIVITATS D’APRENENTATGE

Un dels angles aguts d’un triangle rectangle mesura 70º i el catet contigu 15 m. Quant mesura l’altre catet?

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

UNITAT 3 ÀREES I VOLUMS

70

Unitat 3

ÀREES I VOLUMS

72 1. Mesura d’àrees

UNITAT 3

ÀREES I VOLUMS

En la unitat anterior vam veure la següent demostració geomètrica del teorema de Pitàgores Observa que en aquesta demostració, els nombres 52, 32 i 42 representen les àrees de tres quadrats construïts sobre la hipotenusa i els catets del triangle rectangle de la figura. Així doncs, si la longitud de la hipotenusa mesura 5 unitats, l’àrea del quadrat corresponent mesurarà 52 unitats quadrades. La taula següent mostra el valor de les àrees de cadascun dels quadrats anteriors segons la unitat que s’ha utilitzat per mesurar la longitud de la hipotenusa i dels catets. UNITATS

Àrea del quadrat

Àrea del quadrat

Àrea de quadrat

sobre la hipotenusa sobre el catet gran sobre el catet petit

cm

25 cm2

16 cm2

9 cm2

m

25 m2

16 m2

9 m2

Km

25 Km2

16 Km2

9 Km2

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

· Activitat d’aprenentatge 1

2. Àrea d’un quadrat L’àrea d’un quadrat de costat c val c2. A = c2.

L’àrea del quadrat és igual al quadrat del costat.

Si dibuixem una de les diagonals d’aquest quadrat se n’obtenen dues meitats. L’àrea de la meitat del quadrat valdrà la meitat c2 de l’àrea del quadrat: . 2

Fixa’t que la meitat del quadrat Ês un triangle.

Per tant, l’à rea d’aquest triangle Ês

c2 . 2

Ă€REES I VOLUMS

73

Un quadrat ĂŠs un paral¡lelogram. La manera com es troba l’à rea d’altres parallelograms ĂŠs anĂ loga a la manera com es troba l’à rea d’un quadrat:

UNITAT 3

3. Ă€rea dels paral¡lelograms

L’altura del paral¡lelogram BACD i dels triangles BAC i el BCD ĂŠs la mateixa.

Ă rea del triangle ĂŠs la meitat de l’à rea del paral¡lelogram. Per tant, Fixa’t que l’à rea l’à rea del triangle ĂŠs:

base ¡ altura = _____ b¡h A = ____________ 2

¡ Activitats d’aprenentatge 2, 3, 4, 5 i 6

2

Matemà tiques, Ciència i Tecnologia

Observa el paral¡lelogram BACD de la figura. Hem traçat la diagonal BC i el paral¡lelogram ha quedat dividit en dos triangles iguals, els triangles BAC i el BCD.

8. TRIGONOMETRIA

4. Àrea del triangle

UNITAT 3

ÀREES I VOLUMS

74 5. Àrea dels polígons Per calcular l’àrea d’un polígon es pot recórrer a la seva triangulació. D’aquesta manera només cal calcular les àrees dels triangles que s’obtenen i sumarles. Si el polígon és regular, els triangles que s’obtenen de la triangulació són tots iguals.

Si es vol calcular l’àrea d’un hexàgon regular només cal multiplicar per 6 l’àrea del triangle de base b i altura h: b · h) · 6 (____ 2 L’altura h del triangle és també l’apotema de l’hexàgon regular. D’aquesta manera la fórmula d’abans queda de la següent manera: perímetre · apotema = ____ p·a A = ___________________ 2 2 En general, l’àrea d’un polígon regular és la meitat del producte del perímetre per l’apotema del polígon. · Activitat d’aprenentatge 7.

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

6. Àrea d’un cercle Imagina’t una circumferència de radi r, en la qual comencem a inscriure-hi polígons regulars cada vegada amb un nombre de costats més gran. Imagina’t que pots repetir aquest procés infinites vegades. Sembla ser que cada vegada, el polígon inscrit s’acosta més a la circumferència: el perímetre del polígon seria la longitud de la circumferència i l’apotema seria el radi. Per tant, l’àrea del cercle seria l’àrea d’un polígon de perímetre la longitud de la circumferència i d’apotema el radi: perímetre · apotema longitud · radi Àrea del cercle = ___________________ = _____________ 2 2

Recorda que la longitud de la circumferència és 2·π ·r àrea del cercle cercle: Observa que finalment obtindràs la següent fórmula per a l’àrea Àrea del cercle =

2·π·r·r = π·r2 2

Àrea del cercle = π·r2

· Activitats d’aprenentatge 8, 9, 10 i 11

7. Unitats de volum

Altura

Àrea de la caixa

Fixa’t en la relació que existeix entre les unitats de volum i les de capacitat capacitat: Unitats de volum

m3

Unitats de capacitat

kl

dm3 hl

dal

litre

cm3 dl

cl

ml

UNITAT 3

V = 10 mm · 1000 mm · 1000 mm = 10.000.000 mm3 = 10 dm3 per metre quadrat.

ÀREES I VOLUMS

75

Imagina que vols saber la quantitat de pluja que ha caigut en un metre quadrat. Per això construeixes una caixa quadrada d’un metre de llarg per un metre d’ample. T’adones que la quantitat d’aigua que ha caigut dins de la caixa assoleix una altura de 10 mm. Com que un metre són mil mil·límetres, el volum de l’aigua recollida serà:

Segons aquestes equivalències podem dir que el volum total d’aigua que ha caigut ha estat de 10 litres per cada metre quadrat. 10 dm3 = 10 litres

8. Àrea i volum d’un cub

L’àrea del cub d’aresta a és A=6a2. El volum del cub d’aresta a és V = a ·a ·a = a3.

9. Àrea i volum d’un ortòedre L’àrea d’un ortòedre d’arestes a, b i c és A=2(a · c) + 2(b · c) + 2(a · b) El volum d’un ortòedre d’arestes a, b i c és V = a · b · c.

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

S’anomena aresta un costat comú a dues cares. En el cas del cub, l’aresta és comú a dos quadrats.

8. TRIGONOMETRIA

Un cub té sis cares que són quadrats. Per tant, l’àrea del cub és sis vegades l’àrea d’aquest quadrat.

76 10. Àrea i volum d’un prisma

UNITAT 3

ÀREES I VOLUMS

Els cossos geomètrics següents són prismes rectes rectes:

Els elements d’un prisma són:

L’àrea total (AT) d’un prisma recte és igual a l’àrea lateral més l’àrea de les dues bases: • L’àrea lateral (AL) és igual al perímetre de la base per l’altura. • L’àrea de la base (AB) és l’àrea del polígon regular Àrea total del prisma:

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

AT = AL + 2AB

El volum d’un prisma és igual a l’àrea de la base per l’altura. Vprisma = AB · h

on h és l’altura del prisma.

11. Àrea i volum d’una piràmide. Els cossos geomètrics següents són piràmides rectes.

Els elements d’una piràmide són:

L’àrea total d’una piràmide recta és igual a l’àrea lateral més l’àrea de la base:

UNITAT 3

ÀREES I VOLUMS

77

• L’àrea lateral és la suma de les àrees dels triangles que componen les cares de la piràmide. • L’àrea de la base és l’àrea del polígon regular. Àrea total de la piràmide: AT = AL + AB

El volum de la piràmide és igual a un terç del producte de l’àrea de la base per l’altura de la piràmide. 1 Vpiràmide = ( ) · AB·h 3

Dibuixa un rectangle. Imagina que el fas girar sobre un dels seus costats. Obtindràs una nova figura que és un cos de revolució anomenat cilindre. Els elements d’un cilindre són:

eix de gir altura

radi generatriu

base

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

12. Àrea i volum d’un cilindre

8. TRIGONOMETRIA

on h és l’altura de la piràmide.

78

L’à rea total d’un cilindre Ês igual a l’à rea lateral mÊs l’à rea de les bases.

Ă€REES I VOLUMS

• L’à rea lateral del cilindre ĂŠs: AL = 2Ď€R ¡ g = 2Ď€Rg

on R ĂŠs el radi i g la generatriu.

• L’à rea d’una de les bases Ês l’à rea d’un cercle: AB = πR2 Àrea total del cilindre: AT = AL + 2AB = 2πRg + 2 πR2

UNITAT 3

El volum d’un cilindre ĂŠs igual al producte de l’à rea de la base per l’altura: Vcilindre = Ď€R2¡h

on h Ês l’altura del cilindre.

13. Àrea i volum d’un con Dibuixa un triangle rectangle. Imagina que el fas girar sobre un dels seus catets. Obtindràs una nova figura que Ês un cos de revolució anomenat con con.

Matemà tiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

Els elements d’un con són:

L’à rea total d’un con ĂŠs igual a l’à rea lateral mĂŠs l’à rea del cercle de la base. ¡ L’à rea lateral del con ĂŠs: AL = Ď€Rg

on R ĂŠs el radi i g la generatriu

¡ L’à rea del cercle ĂŠs: Ď€R2 Ă€rea total del con : AT = Ď€Rg + Ď€R2

El volum d’un con ĂŠs igual a un terç del producte de l’à rea de la base per l’altura. 1 Vcon = ( ))Ď€R R2¡h 3

on h Ês l’altura del con.

14. Àrea i volum d’una esfera

79 ÀREES I VOLUMS

Imagina que fas girar un semicercle al voltant del seu diĂ metre. La figura que esfera. obtindrĂ s ĂŠs un cos de revoluciĂł anomenat esfera

UNITAT 3

Els elements d’una esfera són:

L’à rea d’una esfera Ês quatre vegades πR2.

R Ês el radi de l’esfera.

Aesfera = 4Ď€R2

El volum d’una esfera ĂŠs quatre terços de Ď€R3. 4 Vesfera = ( )Ď€R3 3

Matemà tiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

¡ Activitats d’aprenentatge 12, 13, 14, 15 i 16

ACTIVITATS D’APRENENTATGE

80

UNITAT 3

ACTIVITATS D’APRENENTATGE

Activitat 1 Calcula l’àrea de la figura prenent com a unitat d’àrea la quadrícula que hi ha indicada:

Activitat 2 Quina és l’àrea d’un triangle rectangle de catets 10 i 15 cm?

Activitat 3

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

Quant val l’àrea d’un triangle equilàter si el seu costat mesura 6 m?

Activitat 4 La diagonal d’un quadrat mesura 18 cm. Quant val la seva àrea?

Activitat 5 El costat d’un quadrat mesura 10 cm. Quants dm2 mesura la seva àrea?

ACTIVITATS D’APRENENTATGE

81

Sobre un romboide de 100 mm2 d’àrea tracem una de les diagonals. Quina serà l’àrea de cada un dels triangles que s’hi han format?

UNITAT 3

Activitat 6

Activitat 7

Volem enrajolar una habitació que té 2,4 m de llarg per 3 m d’ample amb rajoles quadrades de 60 cm de costat. Quantes rajoles necessitem?

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

Activitat 8

8. TRIGONOMETRIA

Calcula l’àrea d’un hexàgon regular de 20 cm de costat.

82

Activitat 9

Activitat 10 Observa la imatge següent. Quina és l’àrea de la part pintada de color blau?

UNITAT 3

ACTIVITATS D’APRENENTATGE

El radi d’una circumferència inscrita en un quadrat val 4 cm. Quant val l’àrea del quadrat?

Activitat 11

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

Quina és la mida del radi d’un cercle si la seva àrea val π m2?

Activitat 12 Quants litres d’aigua pot contenir un cub si la seva àrea total val 36 cm2?

Activitat 13 Calcula l’àrea total i el volum d’un prisma de base quadrada de costat 1 cm i d’altura 6 cm. Calcula el volum de la piràmide que té les mateixes dimensions que el prisma. Quina relació hi ha entre els dos volums?

Activitat 14

UNITAT 3

4 π litres Quant ha de valer el radi d’una esfera que contÊ en la seva totalitat ___ 3 d’aigua?

ACTIVITATS D’APRENENTATGE

83

Activitat 15

Una llauna cilíndrica de refresc tÊ 350 c.c. de capacitat. Calcula els cm2 de planxa que s’han d’utilitzar en la seva elaboració sense tenir en compte les tapes. (Nota. 1c.c.=1 centímetre cúbic)

Matemà tiques, Ciència i Tecnologia

Activitat 16

8. TRIGONOMETRIA

Un cucurutxo de dià metre 5 cm i d’altura 10 cm, quants litres de gelat de vainilla pot contenir en total?

ANNEX

UNITATS DE LONGITUD

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

ÀREA, VOLUM I CAPACITAT

ANNEX 1: UNITATS DE LONGITUD, ÀREA, VOLUM I CAPACITAT 1. UNITATS DE LONGITUD

El metre (m) és la unitat de longitud del Sistema Internacional (SI) de pesos i mesures. Es defineix com la longitud del camí que recorre la llum en un interval de temps de 1/299 792 458 de segon (la velocitat de la llum és, exactament, de 299 792 458 m/s; així, el valor del metro és l’invers de la velocitat de la llum).

miriàmetre (mam) = 10 000 m

•

quilòmetre (km) = 1 000 m

•

hectòmetre (hm) = 100 m

•

decàmetre (dc) = 10 m (rarament usat)

•

decímetre (dm) = 1/10 m

•

centímetre (cm) = 1/100 m

•

mil·límetre (mm) = 1/1 000 m

•

micròmetre (µm) = 10-6 m -també s’anomena micra(µ)-

•

nanòmetre (nm) = 10-9 m

•

àngstrom (Å) = 10-10 m

Altres unitats emprades en diferents camps de la física o tecnologia: • any-llum (al) és una unitat de longitud que s'usa per a mesurar distàncies astronòmiques, com la distància entre estels i galàxies. Un any-llum equival a la distància que la llum recorre en un any que és d'aproximadament 9,46 bilions de quilòmetres, això és, 9,46·1015 metres. •

polzada ("): unitat anglosaxona (2,54 cm).

• unitat astronòmica (UA) és una unitat de distància, aproximadament igual a la distància mitjana entre el Sol i la Terra. Equival, aproximadament, a 150 milions de quilòmetres.

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

•

8. T R I G O N O M E T R I A

Són unitats múltiples i submúltiples:

Una mesura de longitud, àrea, volum, etc., pot estar expressada en una única unitat (forma incomplexa) o en diverses unitats (forma complexa). Estudieu les activitats per practicar 6, 7 i 8.

1

2. UNITATS D’ÀREA

L'àrea d'una figura és la mesura de la seva superfície. La superfície d'una figura és sempre la mateixa, però la seva àrea depèn de la unitat de superfície que hem triat. La principal unitat de superfície és el metre quadrat (m2), que és la superfície d'un quadrat d'un metre de costat. També es poden fer servir els múltiples i submúltiples següents (les unitats estan ordenades de major a menor): • miriàmetre quadrat (mam2) = 100 000 000 m2 • quilòmetre quadrat (km2)

= 1 000 000 m2

• hectòmetre quadrat (hm2)

= 10 000 m2

= 0,01 m2

• centímetre quadrat (cm2)

= 0,0001 m2

• mil·límetre quadrat (mm2)

= 0,000001 m2

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB mam2

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

Cada unitat de superfície és 100 vegades més gran que la immediata inferior i 100 vegades més petita que la immediata superior.

Unes altres unitats de superfície, les unitats agràries, són: • hectàrea (ha) 1 ha = 100 a 1 ha = 1 hm2

• àrea (a) 1 a = 100 ca 1 a = 1 dam2

• centíàrea (ca) 1 ca = 1 m2

S'ha d'anar amb compte amb les unitats de mesura. Per poder trobar l'àrea de qualsevol figura s'han d'expressar totes les dimensions corresponents en les mateixes unitats de longitud, és a dir, si es vol expressar l’àrea d’una figura en centímetres quadrats, s’hauran de tenir totes les dimensions d’aquesta en centímetres.

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

• decímetre quadrat (dm2)

8. TRIGONOMETRIA

• decàmetre quadrat (dam2) = 100 m2

3. UNITATS DE VOLUM

El volum és la mesura de l'espai ocupat per un cos. A l'espai de tres dimensions es mesuren la longitud de la llargada, l'altura (o fondària) i l’amplada.

fondària

amplada Un exemple de la terminologia utilitzada per esmentar aquestes dimensions:

El producte d'aquestes tres dimensions dóna el volum del cos, expressat en unitats cúbiques (u3), on u és la unitat en què s'expressen cada una de les tres mesures. El metre cúbic (símbol m³) és la unitat derivada del Sistema Internacional per al volum. És el volum d'un cub amb els costats d'un metre de longitud.

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

llargada

Un metre cúbic d'aigua pura a una temperatura de 3,98 °C i a una pressió d'una atmosfera, té una massa de 999,972 kg (gairebé una tona). 1 metre cúbic equival a: • • •

1 000 decímetres cúbics (dm³) 1 000 000 centímetres cúbics (cm³) 1 000 000 000 mil·límetres cúbics (mm³)

Un cub que mesura 1 cm, tant de llargada, com d'altura i fondària direm que ocupa un volum d'1 cm3, o que té un volum d'1 cm3. Un quilòmetre cúbic (km3) és el volum igual a un cub d'un quilòmetre de costat. El mateix podem dir de l’hectòmetre cúbic(hm3) i del decàmetre cúbic(dam3). Així: • 1 km3 = 1 000 000 000 m³ • 1 hm3 = 1 000 000 m³ • 1 dam3 = 1 000 m³ 1

2

Matemà tiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

ANNEX

ACTIVITATS

Ă€REA, VOLUM I CAPACITAT

5 cm

5 cm

Per exemple: És un triangle escalè.

√

a) És un triangle obtusangle. b) L'angle oposat al costat de 5 cm mesura 60°. c) El costat oposat a l'angle

bˆ

fa 4 cm.

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

1. Indiqueu les afirmacions que siguin certes respecte a aquest triangle.

8. TRIGONOMETRIA

ACTIVITATS PER PRACTICAR 1. ANGLES I TRIANGLES

d) L'angle que forma el costat de 3 cm amb el de 4 cm és rectangle. e) Els costats que determinen l'angle

aˆ

són el de 5 cm i el de 3 cm.

2. Dibuixeu un triangle equilàter de 3 cm de costat, un d'isòsceles amb dos costats de 3

cm i un costat de 2 cm, i un d'escalè i rectangle que tingui el costat més llarg de 5 cm. a) Equilàter b) Isòsceles c) Escalè

3. Dibuixeu un pentà gon regular (amb els cinc costats iguals). Traça-hi totes les diagonals

4. Dibuixeu un triangle equilà ter i un d'isòsceles, i traça l'altura de cadascun. a) Com són els

Matemà tiques, Ciència i Tecnologia

dos triangles en què queda dividit el triangle equilà ter? b) I els triangles que resulten de dividir el triangle isòsceles?

8. TRIGONOMETRIA

possibles.

5. Quant mesuren els angles dels triangles segĂźents? a)

b)

c)

c)

2

6. Calculeu els angles següents:

a)

b) 110°

7. Indiqueu si és possible construir els triangles següents: Per exemple: Un triangle rectangle que tingui els angles de 90°, 60° i 30°.

Sí

a) Un triangle amb els angles de 30°, 40° i 60°.

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

120°

b) Un triangle amb els costats de 3 cm, 4 cm i 5 cm. c) Un triangle isòsceles amb els dos costats iguals de 5 cm i l'altre de 6 cm.

8. Dibuixeu un triangle equilàter de 3 cm de costat i traça'n les tres altures. Com es diu el punt on es tallen?

9. Dibuixeu un paral·lelogram i assenyaleu-ne una de les bases i l'altura. Quant sumen els

10. Dibuixeu un trapezoide, un trapezi isòsceles i un trapezi que no ho sigui, d’isòsceles. En

què es diferencien les tres figures geomètriques?

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

angles interiors?

11. Dibuixeu un rombe, un romboide, un rectangle i un quadrat que tinguin, almenys, dos costats de 2 cm cadascun. Com podeu diferenciar-los dels altres tipus de quadrilàters (trapezis i trapezoides)? b) Romboide: d) Quadrat: a) Rombe: c) Rectangle:

13. Calculeu la longitud d’una circumferència que té un radi de r = 2,5 cm. Dibuixeu-la.

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

circumferència i l'apotema del pentàgon. Quin nom rep la circumferència?

8. TRIGONOMETRIA

12. Dibuixeu un pentàgon regular inscrit en una circumferència. Assenyaleu el radi de la

14. Calculeu la longitud de la circumferència exterior de la figura adjunta si la corda d’aquesta

circumferència exterior és tangent a la circumferència interior i mesura 8 cm. El radi de la circumferència interior mesura 3 cm.

SOL.:

Pel Teorema de Pitàgores aplicat al triangle ABC, B

4 cm r

A 3 cm C

el radi de la circumferència exterior mesura:

r = 32 + 42 = 25 = 5 cm Per tant, la longitud de la circumferència exterior és:

L = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 5 = 31,4 cm

5

ACTIVITATS PER PRACTICAR 2. UNITATS DE LONGITUD

8. TRIGONOMETRIA

1. Hem mesurat la longitud del contorn d'una moneda i Ês 10 cm. ¿Quina Ês la longitud del radi, expressada en mil¡límetres?

2. Demostreu que 360° = 2Ď€ rad

Matemà tiques, Ciència i Tecnologia

SOL.:

Si establim la proporcionalitat directa entre els angles(ι) en radiants i les longituds dels arcs abraçats(LAC):

L AC r = Îą rad 1 rad Quan l’arc considerat sigui tota la circumferència, L AC

= 2Ď€r

i tindrem:

2⋅ π ⋅r r = ⇒ ι = 2 ⋅ π rad ι rad 1 rad

Però ι, en graus sexagesimals, val 360º. Per tant, ja tenim que

360° = 2Ď€ rad .

3. En una circumferència de 90 cm de radi, ¿quina longitud tindrà un arc de

Ď€ rad? 3

SOL.:

L arc = r â‹… x = 90 â‹…

Ď€ 3

= 30 ⋅ π = 94, 20 cm

Si fem les operacions amb la tecla cm.

Ď€

de la calculadora, el resultat que obtenim ĂŠs 94,25

1

4. ¿Quants cm són 0,0275 km?

6. Passeu 5 km 3 dam 8 dm a incomplex expressat en metres. SOL.:

mam 0

km 5

hm 0

dam 3

m 0

dm 8

cm 0

mm 0

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

5. ¿Quants hm són 45 906,21 dm?

Per tant, és: 5 030,8 m

7. Passeu 5 km 3 dam 8 dm a incomplex expressat en mil·límetres.

8. Passeu 31720,65 m a complex. SOL.:

Ens fixem en la xifra abans de la coma, que és a la que correspon la unitat amb que ens donen la longitud de l’exercici:

mam

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

3

1

7

2

0

6

5

0

Per tant, el complex és: 3 mam 1 km 7 hm 2 dam 6 dm 5 cm 2

9. Calculeu la longitud de les circumferències següents: b)

c)

10. Calculeu la longitud dels arcs de circumferència següents:

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

8. TRIGONOMETRIA

a)

SOL.:

3

ACTIVITATS PER PRACTICAR 3 . ÀREES

Aïllem el radi a la fórmula de l’à rea i substituïm el valor d’aquesta: 2

2

A = π ⋅r ⇒ r =

A π

=

8 3,14

= 2,55 ; r = ¹ 2,55 ⇒ r =

2,55 = 1,59 1,6 cm

2. ÂżQuants dm2 sĂłn 4,587 km2 ? SOL.:

Com sĂłn 4 espais, amb dos zeros per espai, multipliquem per 100 000 000, o sigui 458 700 000 dm2 .

Matemà tiques, Ciència i Tecnologia

SOL.:

8. TRIGONOMETRIA

1. Hem mesurat l’à rea de la superfície d'una moneda i Ês 8 cm2. ¿Quina Ês la longitud del radi?

3. ÂżQuants hm2 sĂłn 37542169 dm2?

8. TRIGONOMETRIA

4. Passeu el complex 6 hm2 18 dam2 5 dm2 a incomplex , expressant-ho en dm2.

5. Passeu d'incomplex a complex: 472,0685 hm2

Matemà tiques, Ciència i Tecnologia

SOL.:

Per tant ĂŠs: 4 km2 72 hm2 6 dam2 85 m2

6. Calculeu l'Ă rea d'un triangle rectangle els catets del qual mesuren 3 cm i 4 cm.

7. Busqueu l'Ă rea d'un rombe les diagonals del qual sĂłn D = 8 hm i d = 60 dam.

Primer, expressarem les mides de les diagonals en la mateixa unitat d’à rea: per exemple, l’hectòmetre quadrat. d = 60 dam = 6 hm. AixĂ­, 2

8. TRIGONOMETRIA

8. Trobarem l'àrea d'un trapezi a partir de les dades següents: b = 1,8 dm, b' = 0,1 m i h = 6 cm. SOL.:

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

Primer, expressem totes les mesures en una mateixa unitat: el centímetre, per exemple. b = 1,8 dm = 18 cm b'= 0,1 m = 10 cm

9. Sabem que un costat d'un hexàgon regular té 6 cm de longitud. ¿Quant val l'àrea SOL.:

Perímetre: p=6·6cm= 36cm Trobarem l'apotema en aplicar el teorema de Pitàgores:

10. Calculeu l'àrea, en metres quadrats, d'un cercle de 2 dm de diàmetre. SOL.:

El radi és la meitat del diàmetre, és a dir, 1 dm.

3

11. Trobeu l'à rea d'un sector circular de radi 3 cm i angle central de 60°.¿Quina seria l'à rea si l'angle fos el doble? SOL.:

Si l’angle fos el doble, n = 120Âş, l’à rea tambĂŠ seria el doble: 9,42 cm2. 12. Calculeu l'Ă rea d'un segment circular de radi 4 m, angle central 30° i longitud de la corda 2 m.

8. TRIGONOMETRIA

SOL.:

Matemà tiques, Ciència i Tecnologia

Àrea del segment circular = Àrea del sector circular _ Àrea del triangle

13. Un jardĂ­ tĂŠ forma circular de 700 m de radi. Al centre hi ha una font, tambĂŠ circular, de 5 m de radi.ÂżDe quina superfĂ­cie, expressada en Ă rees, disposen les persones per passejar? SOL.:

Recordem que 1 Ă rea (a) = 1 dam2 R = 700 m = 70 dam

14. Trobeu l'Ă rea del polĂ­gon ABCDE de la figura que hi ha a la pĂ gina segĂźent. SOL.: 4

Matemàtiques, Ciència i Tecnologia

Amb les dades de la figura podem trobar les àrees següents:

8. TRIGONOMETRIA

S'ha fet !a descomposició en trapezis i triangles dibuixant una de les diagonals (per exemple BE) i traçant-li les perpendiculars des dels vèrtexs A, C i D.

5

ACTIVITATS PER PRACTICAR 4 . VOLUMS I CAPACITAT

1. El volum d’una esfera és de 8 cm2. ¿Quina és la longitud del radi? SOL.:

Aïllem el radi a la fórmula de l’àrea i substituïm el valor d’aquesta: V=

4 3 V 3⋅8 3⋅2 6 = = π ⋅r ⇒ r3 = = = 1,91 ; 4 4 ⋅ 3,14 3,14 3,14 3 ⋅π 3

r = 3 1,91 ⇒ r = 1,24 cm Per al càlcul d’aquesta arrel cúbica és necessària la calculadora científica. Es pot fer amb qualsevol de les dues tecles que estan marcades amb un cercle vermell. En altres calculadores poden canviar les tecles, però la funció arrel cúbica segur que hi és.

1

2. Quants cm3 són 41,7612 dam3? SOL.:

Com que són 3 espais multipliquem per 1 000 000 000, o sigui: 41 761 200 000 cm3.

3. ¿Quants dam3 són 569013,4 dm3?

4. A la següent taula d’àrees i volums, relacioneu amb una fletxa, d’un color que no sigui negre, perquè ressalti, el nom del Cos amb la Figura correcta:

2

5. Esbrina el volum de les figures segĂźents:

SOL.:

3

6. Calculeu el volum d'un con que té una base de 10 cm de diàmetre i una altura de 25 cm.

7. Calcula el volum d'una esfera de 4 dm de diàmetre.

8. En un armari de 2 m x 2 m x 60 cm hi volem guardar 30 caixes de 60 cm x 25 cm x 10 cm. ¿Hi cabran totes?

SOL.:

9. ¿Quin volum té un tub cilíndric de pasta dentifrícia que fa 3 cm de diàmetre per 17 cm de llarg?

SOL.:

4

10. S'ha construĂŻt una esfera de 7,5 m de diĂ metre com a sĂ­mbol d'una fira comercial. ÂżQuin volum de gas heli es necessita per inflar-la i fer-la enlairar?

11. Les golfes d'una casa tenen forma de pirĂ mide de base rectangular. Si el terra fa 6 m x 5 m i l'altura 2,5 m, Âżquin volum tenen?

12. Una copa de gelat amb forma de con tĂŠ un volum de 150 cm3. Si l'altura de la copa ĂŠs de 10 cm, Âżquin radi fa la part mĂŠs ampla?

SOL.:

5

13. Tenim una gran caixa d'embalatge de fusta en forma de cub de 24 m2 de superfície total. Necessitem saber els metres de tira metà l¡lica de reforç que hem de comprar per posar-ne a totes les arestes. SOL.:

Un cub tÊ sis cares i dotze arestes. Cada aresta Ês la longitud del costat del quadrat que Ês una cara. La superfície total -l’enunciat no diu que la caixa sigui oberta i, per tant, s'han de comptar totes les cares- Ês . Hem d'aïllar l'aresta: La suma de totes les arestes Ês

i, que ĂŠs la lon-

gitud total de la tira de reforç que s'hi ha de posar. 14. Calcula la superfície de fusta que necessitem per construir la caseta del gos amb la forma i dimensions indicades a la figura i tenint en compte que el terra tambÊ serà de fusta i que la part davantera serà oberta. SOL.:

Observem que Ês un prisma triangular, on s'ha de comptar nomÊs amb una base, ja que l'altra no tÊ superfície. Per tant, l'à rea que haurem de calcular serà la lateral mÊs l'à rea d'una base. La base del prisma Ês un triangle isòsce-les. La longitud de la base d'aquest triangle Ês 1 m i l'altura tambÊ, 1 m. L'à rea de la base del prisma Ês:

AixĂ­, l'Ă rea demanada ĂŠs:

15. Es vol fer una reproducció amb cartró d'una de les pirà mides d'Egipte. És una

pirĂ mide quadrangular regular de 9 m d'altura. La seva base ĂŠs un quadrat de 4 m de costat. ÂżQuant cartrĂł es necessitarĂ si es vol reproduir tota la pirĂ mide? SOL.:

Hem de calcular l'Ă rea total. Primer s'ha de calcular l'apotema.

6

7

PUNT D’ARRIBADA. ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL

94

PUNT D’ARRIBADA. ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL

Activitat 1 En un triangle isòsceles l’angle desigual mesura 120Âş. Quant mesuren els altres dos angles? De quin tipus ĂŠs el triangle si el classifiquem segons els angles?

Activitat 2 Calcula la hipotenusa d’un triangle rectangle de catets 8 cm i 15 cm. Quant val la seva à rea?

Activitat 3

8. TRIGONOMETRIA

Els costats d’un rectangle mesuren 4 i 16 metres respectivament. Quant mesura el costat del quadrat que tÊ la mateixa à rea que aquest rectangle?

Matemà tiques, Ciència i Tecnologia

Activitat 4 D’un triangle rectangle en coneixem un catet, 8 cm, i l’angle oposat, 40º. Calcula quant mesuren els altres dos costats.

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.