Rosarivo dpt 1 46

SUPLEMENTO DE

LA REVISTA DE EDUCACION

RAUL MARIO ROSARIVO

DIVINA PROPORCIOh{ TIPOGRAFICA

WNISTERIO DE EDUCACION DE LA PROVINCIA DE BUEhTOS AIRES

LA PLATA, 19'6

.

INTERVENTOR NACIONAL EN

LA PROVINCIA DE BUENOS AIRES

coronel don EMILIO A. BONNECARRERE MTNISTRO DE EDUCACTóW DE LA PROVINCTA DE BUENOS ATRES

Doña ELENA A. ZARA oe DECURGEZ SUBSECRETARIO DEL MTNISTERIO DE EDUCACTÓ}T

Don GUILLERMO A. NAVEIRO DrREcroR DE LA REvrsrA DE EDUcAcróu

Don ARTURO MARASSO SECRETARTA DE

LA REVISTA DE

EDUCACTO¡+

HAYDEE C. BLOTTO

-REV/S?á DE EDUCACI?N

d,e la Prouzncia d,e Buenos Aires.

Pubti,caeión mensli,a,l. La corresponCencia a Zos col"aboraeiones deben enuiarse CI l,a calLe 67-7?7, La PlatarRepú,blica Argentins""

Revista fundada por SARMIENTO en lgbg ST]FIEMBNTO NUMERO

III

DIVIIVA PROPORCION TIPO GRAF'ICA

oftlren

Bocffi troDuci

effi

za ¿f primer [ibro bef mqeslro 6iouonni re [a qe_ne aloqía be [oE Di oses qenTlias, o

rnaOo por ¿l maestro €ettu ssi. porDioE i,¿1646-ero.

os qentile sS_é tornabo

uerienbo yo cntror en un pro, frrnbornar g no po se¡eirbo

pcro e[[o fo próctrco necnse, ria, fte irnoginabo sü bi[igen, tcmerrte apisor üe uno y otro lobo be[ borco pcro gue así, rnas birectom ente pubierc c pqert o Fgguro I egcr inbemne.

(.Cof

brir

busco yo áQoro bescu, a qui¿n entvelosontictuog

genti[es bieron be Dios elítom,

1-bt¿.Guscortboene5eInor,queuo¡iin,norn¿hasibo

entrc' totttr.t níebla, pos íbfe escopoi be úoriabos errores tr como rnis mos ontiguos , áufribos ftosto encqntror t ese puóeeytolospor muchos y p elígrosos ti..a baios. (]atme il pu's c lew cuonto se esiribió,-que rnucfuo s; hitú mas fffi pub[icabo, ba las ant ígues' cre¿n cigs a lás muc4as fué {fl razo.nr.s qu9 be ellas fueuon causas díAuiso Ía fortunc li siempr,e bísco[a, r

(t Io

esta Dez gentití sima conmigo

ryq1 r a tnis lnanos o[ bipino fleEióbo ¿n f,a cual (Eeoo,o, Y ffR nía expolle con qbmirobíe estito su geneafogía be 6s Eioses u en la cuql €,eogonía se lee {ue fuerí eI Ch aog e[ prirnero y mo,s antiguo b¿ los mi'snros. ffiTóc if es tt'qe

o nosotros collocer aquí qvgChaos no fu é Dios, pués sQ, Eun ,se lgn en Ía Sagrcbo -E="9rituro, gap. I p, [i" áuu bice 0n el prlncipio rcilaba el 6hoo5.

De que se troto De [o natura beEorbanoba, pues Cff aosen [a ténguc p|lgc n o signifi ca otra coee. €g ysraentrqr e n mo t&io, Oigo Uo q ue es nect,sqrio becir aqui com o se pensabo u ss

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tonrobo

lúgina ggrnpu-es-ta A- miníaturada por el autor al estilo d,e los libros "incunables" del síglo XV. (Trans¿c¿ón del, manuscrito a tá ¿*grá"iil.

RAUL MARIO ROSARIYO

DIVINA PROPORCTON TIPOGRAF'ICA ARQUITECTURA ESTETICA TIPOGRAFICA

EN MoDuLo i,6

MINISTERIO DE EDUCACION DE LA PROVINCIA. DE BUENOS AIN.ES

LA PLATA, 1956

Flermann Zapf, de Frankfurt,

S/M. - Atemama

Antsnio G. Ubeda. Madrid - Es¡lañe sebactián Dueñas Blasco. ZÁt'fiú - su¡za

Bror Zachrisson. Stockolm - S¡ecia Robert Ranc. París - Francia Arturo Mirasso - Argentina

,,pa,rs,

1,fl

creactón det mund,o, Dios se siruií-de la aritmética, Lu geo'

artes,a Las -qUe tnrnbién nosotros *;t7*,1; **lcq a to adtyo'ítgmia, recurrt mos' óun"Ao"tláeamot' tai_piopo.reione: d¿ la;s cosos, de ilos el'eDE Cuse , La docta ignoran*;"i;; A aá lót mouimientos"., lrc<ir,Ás XIII. cia, eap.

gNTffi,&NUC,CN8r\r

ESDE LA APARTCIÓ}'I DEL AR,Ttr DE componer por n:edio de los caracteres tm,ovibles, que Johann Gutenberg de -sistema practicó hacia el año d e L44ü en Maguncia la ciudad de Estrasburgo- numerCIsas fueron Las obras escrites sobre esta nobilísima disciplina, a la vez técnica y artística y de vital importancia, y3 que por su inter* medio, perrnite fij ar el pensarniento impreso en un cons* tante presente, brindándonos el maravilloso regalo de poder seguir dialogando con aquellos hombres que no existen y&, y que tanto hicierorr por Ia civilización y Ia cultura espirituatr del mundo. Este sistema extraordinaiio de multipiicar las ideas en innumerablei copias, propagando los acontecimientos del pasado en eI presente y ios del presente en eI futuro, no ha variado en el transcurso de cinco siglos esencial"mente en su técnica original la que fuere- ya que imprimir, -sea (de prémere) no es otra cosa qr.r* dej ar una iñrpronfa, una imagen. Sin embargo, y a pesai de cuanto se lléva Cicho y escrito, resulta ser este arte ei único eu€, considerado como 1"1, sufre de la rfalta de una ley con suficiencia racional que le fij e normas orgánicas, funcionales y estéticas como las q.ue sustentan la Arquitectura, la Escultura, las Artes Plásticas o la Música. En verdad, esta disciplina de componer por medio de caracteres movibles, mecánieamente tun¿l¿os, se apoya en los tanteos de la experiencia, €1 consentimiento general de Ia rutina y de Ia costumbre, con más o menos variaeiones dialécticas, y se encuentra por otra parte, casi totalmente industrializado en su digniáad artísiica reducién-

dolo por eilo en un arte menor, una artesania, o acaso en una simple manualidad. En efecto: de los innumerables tratados eonocidos, las enseñanzas expuestas en ellos se reducen a razonamient_os empíricos, conocimientos puramente prácticos y eventualmente resueltos, y nebulosas orientacionés estéticas sin trascendencia. Ninguno de estos tratados expone una fegítima ley tipográfica y estética al rnismo tiempo, cuyos fundamentos se miren apoyados por un postulado serio. Los tratadistas se dirigen a especulaciones geométricas o simple* mente prácticas, olvidando que esta disciplina ha d.e óotrtemplar,lot dos aspectos: el de la est,ética y su filosofía y eI funcional y su técnica. Resulta evidente qué e1 Arte Tipográ* fico es una ciencia; p,osee para ello un principio lógióo: sn unidad de medida especial, su número de oro, y por encontrarse vinculado con la geomettía, en cuanto se resuelve por valores de superficies y en dos dímensiones, resulta un arte matemático. Pero como aI mismo tiempo no puede dejar de prescindir de la armonización de estas supeCicies, del ritmo y del equilibrio de sus proporciones, es también un arte, pues que ha de poseer sus leyes y su estética como cualquiera otra disciplina de identidad espiritual, y, como instrumento gbj etivante de las ideas, concurre a esa conj unción que ha de existir entre sujeto y objeto, a fin de que su "contiñente" se encuentre en relación perfecta con su "contenido" y acord.-e pues, a lgt pr,edicados estéticos. Hégel, nos recuerda que: "El sujeto, el yo en su relación con el objeto, deja d.e ser una simple abstracción, un sujeto que percibe y observa fenórnenos sensibles y los gener aliza. Deviene é1 mismo concreto en ese objeto, porque en é1 adquiere conciencia de la unidad de la idea y de su realidad, de la unión concreta de los elementos que antes estaban separados en el yo y en el objeto". En el sentir de Schellirg, "La euforia estética resulta de Ia perfecta relación de sujeto-objeto, objeto-sujeto", vale decirl de la no contradicción entre un "contenido" y su "continente". en otras palabras, que es imposible 1o bello si la concreciórj de su idea no es la idea misma. Encarada la disciplina tipográfica desde este punto de vista, no como manualidad, sino como un verdadero arte, se vincula con las proporciones ,geornétricas y sus medidas llamadas "áureaS", denfro de las óuales ha de moverse toda composición tipográfica con sus relaciones de superficies y especialmente, dentro de un rectángulo armónico, "continente" de Ia palabra impresa, y a su vez "eontenido" del rectángulo que 1o soporta, esto es el for-

B*

k

ITrato' La" ma)¡or parte de Los autores reconocen ias propieda-

des estéticas de un rectángulo ¿_")'; relación proporcional es. de 3 a 5, y que nos ha lIe[ado ¿"r¿" i" **rudla pitagórica y euclidiana Ñr el antiguo" Egipiol--hast" las especulaciones geométricas de Luca Pacioli bi San Sepolcro, expuestas e* su famosc libro titulado: "De Divina Éroportione,, en }a ciuclad de Venecia el 1e de junio de 1009. Loseditacio postu*. lados del libro de Pacioli se encuentran apoyados por Ia ex* trerna y media tazon d,e una medida de longitud '.oro.iáa, proporcionando con su número áureo 1,618. .: una serie de relaciones armónicas y_con el cual Matila Ghyka establece¡ erl' consonancia con Jay Hambidge, mediciones á,rru*u de la naturaleza Y las artes. Por esta""'"*tru** y media razón,, Matila Ghyka .y Hambi{se,_ determinan ,*átárrg*iár armónicos gue llaman "rectángulós FI". Estor r..tá"ülf,r'"" 3 a 5, invadieron rlpidamente l;s o"rrrpo, de ia tulación d e, arquitectura tipográfica sus relaciones armónicas'aplicad;; a Ia diagra-y mación artística (de libros especialmentd) sin iogr", to, pues las arquitecturas fipográficás, por razónsudeobje_ sus.: valores' no se concilian con estós iectángúr,ir rl, po, incompatibilicad *.u..ptincipios. En efecto, €l ,r*lo" FI de ios rectangulos euciidianos ie opone aI ,r*ior PI del rectánÑ1" ;;;"gráfico ei cual devi'ené por identidad nurnérica, del punta a el' cícero * sobre los que se construygn sin contraAicói¿n, -to* das las arquitecturas-del arte tipográiico por sus auténticas, relaciones tt-pométricas como 10 ^eiplicaremos más La liposf afía * no pudo defend erse ' d* la invasión adelante, de estos rectángulos précisamente porque se encontraba carente ,Fr, de una teoría propia a su natuiaie|,a, estética-funcional y ;ó]idamente fundada. En efecto, €o 1as artes gráfi;ás no existeu. dijimos antes, gr postulado sino utrí opinión ,sobre ic, :o$o bello y 1o funcional. Eú opinión resulta d.e la ausencia de yn.? regla, de una razón süficiente, para ser aplicada .o* éxito a las arquitecturas tipográfic"r,'-que se resuelven por indecisas tazanes, los tanteór .-d9 ra á"p*riencia y Ia rutinafti .pues' en vez de,dilucidar eJ pro¡ió*" ;;1"'posible re]ación entre los valores tipométrlcor v los g.ó*étricos de 1o? rectágulos FI, o encontiar la sotuci6"-;; i" propia naturaleza numérica del eícero, 1" dificuttad se ¿*riiá il I; p;r"egrina idea .Ag que la estética trposlífica ,habría d; q,ruá** librada al j uicio lensorial e in¡pir*Eiótt lúdica del a su buen gusto.y a su educación visual, ri."áo--aquí, "rf***ho, á;;d* el error se mantiéne dobtemente acrece"t"áo. Fo"q,r" el artel,*

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,de componer tipográficamente se apoya en una razÓ:n mate-

la opinióIt,o el "oio clínimática bn la cual-eI "buen gusto", -ni resuelven nada. , Y no resuelco" , nada tienen que hacer racj.onaL no disciplina porque una a, ven nad sencillamente, ad.mite soluciorr€s opinables. En efecto, le tip'ografía es pu* ramente funcional en su aspecto mecánico, inviolable en sus principios tipométricos y en toCas las consecuencias que de .éste aspecto funcional se derivan. No hay duda que una perfecta disposición de sus elementos se relacionan con la estética en cüanto la tal disposición armónica crea, en el" suj eto, Lx.na euforia gratuita de la sensibilidad; pero es verdaC tam.bién que de producirse esta euforia, 1o qerá porque esta relación ru ft*.e canon y nunca por Ia insuficiente prueba d e los datos exclusivos ds los sentidos, sino por La inteligencia de 1o beL1o, sus cualidades y sus leyes. Es por 1o tanto imposib1e que la opinión se considere árbitro idóneo para una dis= a la tazón cipliña -que matemática; que esta opinión se imponga y ignore las relaciones de sentido existentes entre 1o universJl y 1o particular, vale decir de lo inteligible c_ol1 Io -s€nrsorial y cotrfingente, y del suj eto con el obj eto en el cual este suj etb se miia concretado. Pretender encontrar por el camino- d.e Io sensorial aquello que ha de encontrarse por eI camino de 1o inteligible, conducé a la mala práctica de d.ar a la opinión categoríá de verdad; que la sensación pur_a y _no la iñtetigencia bs juez suficiente para dictaminar sobre las condicioñes y virtudes de una obra artística. Las experiencias de todoj los días nos demuestran que los sentid os engañan, y que las cosas percibidas cambian y scn ^contingentes, por donde resulta que estas percepciones no ofrecen ga{an'iías, y qr-le por 1o miimo, no es posible confiar ni tener certeza .de que son como las per'cibimos, sino corno las tazortamos.

El üi";o argumento de Protágoras, tan usado en nuestro tiempo y que se encuentra expuesto en ei Te eteto d e F1atón, fta 3i¿ó ciertamente bien refutado por Sócrates cuand o "rlice: "Si el Hombre es la medida de la verdad, y Protágoras tiene razon, Ia medida de la verdad de Sócrates dice qu_e Btotágoras miente: y miente porque la medida de Ia verdad de prótágoras mismo, sostiene que la medida de la verdad de Sócrales es verdaderal'. Recuerdo este pasaje porque las dificultades se resuelven muchas veces por la medida de Ia "verd.ad" de cada artesa[o, sin comprender o considerar' "*.lcuánta medida de verdad posee'1, y que ver algo bien no i.m_plica que ese algo sea bueno, sino que se mira bueno, o se ?-) 10 -r

r"-

I

mira bien, respecto de ia opinión y na cie acuerdo con el bien nnisrno c¿ue_ es objeta de 1; razóá. La Naturaleza misma nG comparte ia opinión para reguiar sus fenórcenü,s todos los seres ! las cosas se eipartden en crecirmi 'itaies; ento orcenado y 'consecuente hasta su máximo á* posibilidad, en el cual Iímite se detienen. _pünto i se detien*" poráru llegan al punto de su perfección posible, por *r zas *sa1vo ias aberraciones qlie son, precis"*.rttu, ""d;;i" unarnismas altera-páricién del orden de la ,ar6n- no más all'á áu r* "y ierrdo bilidad armónica y proporcional. "Una rosa del tarnaño de una c-ol, es tan défo;me .o*o una col del tamaño de rosa' Existe-por lo.tanto, una pe-rfección *n pÁI.r.cia qLLeuna se concreta en la medida de una realidad en acta Y con las proporcioneq tipográf icas y geom'étricas suced e algo anáXogo i- *n rectánguJo armónico no puede trasponer sus posibifidades funcionales cie idéntica nurneral tipbmétricá ; i si el vaion qqe 1o engeng*u se mira violentado en su concreción e ídentidad matemática,por el desorden o la opinión, ,á ,rurá deformad9, desp{oPorcicnado, -qbsurdo. Por uilo, la Lpinión, tá .ortumbre y- el "oio tipográfico", 30 poseen'signi?icado'álSú"" para resolver problemas de estéti'óa tipogrlfi.*. Estas -afirmaciones no soll, desde luego, noved"d, } los experimentos de Koffka, como los estudiós de Wentsci.e, scbre Ia teoría del conocimiento son concluyentes.

La tazón de este trabajo, quiere dernostrar hasia cioncj"e q}e eL Arte fipogrbfi.o posee sll número de oro

sea factible,

y su canon y. leyes independientes da otras relaciones p,riurnente geométricas y no geométricamente tipográficas, de un rectángulo único, siño de dos rectáng"i6r,-o ror V-daúJ "o maré, para Ingior inteligelcia del texto, ñ.or.i*nid.o,,-t¿f álpertenece al block tipográfico, esto es el texto, y ,,coritinente" al rectángu1o cie Ia superficie que io uopárt", el formato, página, y que todoJ l"¡ probr*mas ¿* imposrci¿n

armónica, los caractéres tipográficós, los márgenes de cada et'c', se resuelven, iirdnediabÍemente, flor las 1.etaciol nes :Pf, como consecuencia de su núInero de oio 1: l,b en oposición con los valores (t) de 1: 1,618... y cuya Ciferencia {i, imposible la conciliación de los rnismbs. Áau*ás, toda it*.S Ia fuerza de la argumentación aquí desarrollada, se funda( 1) Al dec{ PL lo-me refiero aI valor imponderable sino al vapráctico de 3.I4L6. Pgv el nornbre Ju pl como característica de Jo" -los reetángulos con móduló 1.6

págit?

usados

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qle resultan de menta en la J.egitimidad de lu, prog:esiones ,í"nrr'- iz püntos' Porunidad de me¿iriJ;ib"*ét¡d;, ér 4L6, es- urr, correcto vaintrtifi" .d*i,1 que siendo ,esta 'a '*ffi¿ d.e 3,-y 3, submúltiplo de L2, lor pI, pues 3.1416-;;-*rrrtipio t"dír iuu grquitecturas por ft un cícero , razhrt fundamentái" d;en el arte de cornponer resuertas 1ógicamente p¡gráiñ valor tipométricamente lemedio de caracteres y tor*ás d" numérica' gítimo en sus plog¡"iiorr** por identidad esta obra han sido esen u*p,r*stas comproua-ciones Las continuadas y rigurosas tudiadas a lo targo de di ur'-años de con excelente resultaexperiencias, apri{aJ.* u"-ra-prq.ticasid.o analizadas por los do en nuestro país ruego de haber Europa. FáciI de comprobar rnás representatirr* técñicor- a" sola operación a llevado firr"lment-e -gágin -una prácticamérrte artesanos los a-he -gráfi* 1a corre,cta imposición de """ encuentran acortfes e''' cos qus;; ñedicaron a .o*o"uria,-se exacta y racional" enreconocer esta téánica ".o*o ü *ar l a misma T]i::l^"o*arquitectutre otras muchas que se h;;;;did"y armoniosas finalidad de conseguir verdaderasinicial de este sisras tipográficas. y como .l; ¡iurió"ción dacas en .o*probaciones tema siguieron muchas otrás necesaparecido ir* ha diversas revistas l*-o"rácter técnico, ellas á fin de que la rio codificar en;- *ro riürol-toaár y p"ed"nlgs artesanos #e* irnidad no se encuentre resántida de las experimenta* í" .ü*-'po. ,rn solo !"** ficos encontrar algunaJrablas de "n ciones efectuadas. He "gr*g!aJ'ii"ái*á"t. 'átrudedor á" 800 medidas de molabarcár, proporciones que"n"-utilidad para enr"tj; a; -¡erdadera para des y formatos, los rectángucontrar al instarrtÉ-iás-relaciones correctas expuestas en d.emostraciónes los de molde y f;;;;to. si las y .rió po.drá comprobarlo el este trabájo resultag. regítimas, 19y.estético-tipográIector estudioso, ra Tipog '-fía nós"g ""á,cel Arte Gráfico' 11efica que rlena un vacío é"*üdir.iplina que ¿* .i.ncia." y ¿igg por mi parte, r¡ándolo a la i exhaustivamente "r;rq"ia y _expe:imentá¿o de no haber comprob_ado tantas hoproble**, de bsta obra, no d-iera ros de uno cada de no €ntfin a en ello ras d e f atiga ni agotara mi cansancio esfuertodo a! gañarme en un arle qye venero y 3mq,-.y .Ouedefinitiva' El düiiiti"*td zo debe ser consagrado ó;i;:;ri' o de malo este sistema tiempo dirá .,rárrt6 tiene de bueni puede estimular eI presente, que oir"r.o ahora, pero si án el nada tendná que lamen* -suiridár. afán de saber en otros 'a" "rpirt_tyr, rvr"'d,aré por muy contento y nG tarme de las p"r", (-j -) \2

por mí solamente, sino pol gue, desde el primer momen!g'. conocedores de rnis feue{os iñquietudes, me apo)¡aron con su prestigio, c:n la palabra buená y eI consejo ópórt""t.-V^ como una f.lec,!.a que se dispara del arco ya no pertenece*ri aI arquero' este libro tampoco es mío, sino áe todós, y quiera la fortuna que dé en el ñIanco si es qua tal-pr"*j; se merece, RAUL M. ROSARIVO

'* Cícero- La unidad de medida tipométrica es Ia medida racionaj la tipo-grafía sobre La cual se levdntan iodár r"r- ótosrusiones armónicas de las arquitecturas .tipográficas. La perfección de esta me-

de,

dida se debe aL francés Francisóo Ámbrosio óii;;;;;iomó para su escala el llamado '*Pie ide Rey." medida vigénte en el reino de Francia gF eI siglo xvIII al qqg divició g' rz pürgadas;-ñótlsa;;^J,r'rz ,,pie 1ít"3t y a la línea en t2- p-unt-os. Pero éri"" punto de Rey" era ,demasiado délgado para establécer raderivado del io* áiáCá.i0"-áu caracteres v decidió corl ac.rerto, aI punto iipóer-áfi;;;; üi"io.

-marcada .d*rpl;tá 'de este "Pie d.e Rey". Siguiendo i" por Fournier, dió al Cícero Lz de estos puñt9q. quedati¿o con-ello estáblecid.a definitivamente la medida tipográficá. Su exactiiud *"té*áii." era necesaria e-q tipografía y hoy en las operaciones y ,cálculos, de to,da clase -j.*"i d'e moldes, el tipógrafo_-parte de estas dos uni¿aA;;, -ul p""ñ cícero' con el priméro ¿esjgna efglado ofuurza los caraeteres, re{q gletas, lúngotei e incluso ; ros cuerpos lql "*"?q;;;r;;r*;i;il;, que son *úJllplos y submútriplós g}*rpo'lt, i;;ñi segundo, to_ das las medidas que exeedari,de $*I 1"r iá ói'át"i'bá-*riár medidas el Punto y _el cícero,-el punto es la uniáa¿ oñi"irrr* pero el cícero Ia ,unidad predominante por $Sr tá qudnár-lll"$"ln las op_eraciones y rne_ ili'das de La tipografia. Vrcto¡to nt*;z: ""Eiiíiero, med,,id,a raeional de Ia Tipografíü,r'. Revista de las ié.rj;áu lól"lilro ,,Gráf icas,,. ,"-J

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E..-..-i*'*::=-**.-* .-¡tu---

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I.üOTAS

A LA

INTRODUCCION ,do último del proceso que estu.diamos''' . . . "Por consiguiente, [0

Protágoras. Filósofo griego, na-484cicio en Abdera entre y 481 antes de J. C. Protágoras es eL

es posible rechazar esta conciu-

principal representante rd.e la sofística griega y ejercié cuaren-

sión: que los sonidos, Los colores y las demás cualidades sensibles de ningún modo existen objeti-

ta años su profesión ,de pedagogo en este sentido. Fué desterrado de Atenas por causa Ce la publicación de un libro suyo titulado

vamente tal y como nosotros las percibimos, sino que son únicamente reacciones subjetivas a estímulos qlue objetivamente s o n enteramente distintos a ellos", WewrscHER, Teoría del, Conoci*

"Sobre los Dioses" en el cual rna-

nifestó su posición atea. Se dice q u e murió en un naufragio, y Platón habla ,de este filósofo en

rniento.

urio ,d€ sus mejores diálogos, que il"eva su" nornbre. Según Diógenes Laercio, fué eI prim:ero e u €, dej ando de lado el significado de tras cosas indujo Ia disputa de los nombres, aportando con eilo un sistema superficial de controvertir los argurnentos. Sus aforisrnos más conocidos son: "Que el Hombre es la medida de todas las rosas,

# ."Para alcanzar el arte no

por tanto, de la ver,dad":

que "Etr alma no es otra cosa que los senti'dos y que todas las cosas son verdaderas". Existieron otros dcs Protágoras, uno a,stróiogc y filósofo esto,ico ei ot::o.

# "En definitiva nuestra percevcíén es 1o único que nos es dado. precisamente 1o que aparece en nuestra conciencia eomo resulta-

grdf icu.

iVlarca tipogr'áfica de

*

son

suficientes las 'dotes técnieas: es preciso formarse una personalidad, opuesta a toda mecanicidaclo que consiste no sóIo en escucharse a sí mismo, sino en saber escuchar toda la Universal armonía. El compositor tipógrafo que se siente artista deberá, antes de actuar, eompletarse y perfeccicnarse, ya que la tortura y la incapacida,d para expresarse provienen de algc ,incompieto, imperfecto. Adquirir una personalida,d quiere decir lograr la plenitud del ser, y eI arte comienza cotl ia constitución de este ser y no antes". Canr,o Fnessrr*rE,r,l,r: Tratad,o d,e Arquítectura Tipo-

F

ust-Schoerffer (X457)

14 -./

CAPTT{ILO

p R. glW

H

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S:'

1) Los rectánguros Fi y r.os rectángulos tipográz) |ñcgmpatiÉ*icrá-á" lor mrsmos.

B) ?'simetría El sistema de la oi"á*ica,, de Jay F#3 l;irf, !,',t J's:ilTt Ty üiiü' col rectár-rgg}gq e.n proi:orción ttr¡,t;,* bi"-sl Fundamcn tos de la ,,Diviná piopói.:¿"^ fií"sr;frlu; fi"ror. PT".

i

LJ

IVERSOS AUTO-RES HAI{ ELEGIDO CCMO RECTÁN. tas siguientes pro* fl:}3i":Tó:T",: porciones:, dg.li iql".tt": 1$ :: B. '*rporo*". ilamado de E""li#;ffifi,u :: 5 : 7 ' de Lichtenbeig;5 ,*d"'5;JSl.-áWynecken; de b: y,g de zaderbauer; 4e 1: 1,5'r , s-; i'i-du*ñosarivo.

Entre las re* Iaciones cle rectángulor'á.rr*á*'q"" rJ ü"" leído, las de Euciides son llarnadas F.i, y su u"t1ég3^ y^ r-edia rázón, según ro estudia vlatila c. Ghyt* ur ¿á 1,61805ggsazb. " . prácticamente y la qye 1lamb pr, exacta, de 1,0 (tipométricamente ]'9.t4; 1'6) que resüLta ser el *ú*ár" de oro tipográfico que se encuentra en Ia medida de unidad ui ciceio. gn efecto, 1,6 x 2 igual a 3, y 3 X 4 es 12, y 12 puntos la unidad de rnedida ti* pornétrica' Es así gue esie" núniero r,o *r un tipográfico,. posee la misma natur akóza dgl legítimo módulo por identidad numérica y.por este número r* p.rua; cícero, ,,ti;;q.riiuturar pornétricarnente't cual-quier composici¿n sin contradicción al* guna con Ia identidad de la uni¿ad nari.";;mérica del cícero' Llamo a éste númetó au oro PI, porque tiplo de 72 (un cícero) así .*o un cícéro és 1,6 es submúlmúttipto de FIu vale decir 3'1416 con el .uaf tu determina eI valor de una circunferencia como estudi"ru*ó, más adelante.

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2) El rectángulg Fi, es un rectángulo geométricarnente a1móqico; y el réctálg"lo Pi, g*oÁét;icamente armónico v ademá's tipométrico. Ef tu* árgulo Fi, somete y violenta ü unidad' ttplométrica a sus relaci'ó"Sr g;"*étricas, pero el rectángulo PI,.participa de la ,^iAy-tip"ñ;;ri,ca y al mismo tiempo geométricamente armónico. Es, b"; ;iro, *.tg"gulo geornétrico * tip'ográfico, de la mismá "i or*i rraleza numeral

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-i 15 ,*

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,cícero, unidad de medida de todas las progresiones proporcio:nales y armónicas en el arte de componer por medio de la tipografía. Desde luego, es imposible que un rectángulo Fi,.pue-da-adecuarse a las TazorLes tipométricas por encontrarse fuera ,"d.e Ia unidad de medida tipográfica, y la diferencia entre el -valor Pi con el valor Fi, es causa de todas las dificultades originadas por la aplicación de un rectángulo geométrico contra -un rectángulo geométricamente tipográfico (fig. 1) . Doy el

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Proporciones conxpa,radas entre xm, rectú,ngulo Fi (A) '!J.-un Fig. 1 - pi (B). El ercedente marcado ew puntos lzace.ímposlb-Le ,i"ltA*gulo ajustaí los uaioies d,uod,ecimales tlvouró,flcos tL los decimT'i'es del

rectú,ngulo Fi,

nornbre de rectángulo PI al que se manifiesta por su relación 1 : 1,5. Y porque este número áureo es submúltiplo de un cícero, 12 punfos, ! un cícero es múltiplo del submúltiplo de PI I 3,1'416 valor de la más penfecta de las figuras geométricas: la circunferencia. Para decirlo bien claramente, 1,5 más 1,5 (tipográficamente 1,6 más 1,6) es 3 y 3 X 4 es L2, y 12 es ,múltiplo-de 3,1416; en ,consecuencia existe una identidad nu,,rnéricb entre el vaior de Ia circunferencia y la unidad de me*rJida tipométrica. Este rectángulo con proporciones de 2 a 3

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se convierte por rebatirniento sobre su 1ado malxor en otro rectángulo de B a 4_ (1,n i 2., tipomatiicamente 1,6 : 2 cíce_ ros) y este re-ctángulo'rób"tién¿ése ;;; vez sobre su lado rna"z "yor retorna 3. 1l proporción iniciáI á* a B. En consecuencia su ritmo es dinámi..o, en procesi,ón, ap-licado a los formatos de un pliegg de impresiótt Pi, danclo resultado en cad a plie8o, enfolio de 2a3; en 4e de3 "orio *" An de 2 á g; en 16q de B a 4; y así sucesivarnente hasta a4; .orr,rmar, totalmente, la superficie útil de impresión del pliego.-'co*o se advierte, los desdoblamientos responden s¡eniprí * submúltiplos de Jz (un cícero), porque 2 x b es 6;' s 4 es 1i, osea que los resultax doF 6 y 12 equivalen a meáio J un cícero, y Ia suma cle estos valores responden también a ü identiá"¿ á"-;Aida tipométricaporque2 + 3 + 3 + 4esigüuf"-rl,uncícero.

Estasrelaciones son imposibles de adecü", rectángulos Fi, por, que el desdobtámiento de una proporción "-jos de 3 a b se convierte en otro rectángulo de g j¡,. y árr resulta que B x b es 15, v c x b es 80, vale decir tz,B tü" .iü;;i¿, puntos) y 30, vale decir dos cíceros seis puntos. por oti,a parte la suma , ]¡ de estos valores de proporcióLt I + 6 + 5 bs igual a 19, o sea un cícgr." y qigte pu_ntos. rJn + iectánguro pI deTri iú, d9 2a x so¡ i".i"v- se Hneas-tipográficas -qe.nd9 de cuerpo 72/72, ra/n ó rr/rz', pero út rectáná"ro Fi cuyo "iu;; H;;i, "0" es de 24 cíceros, pol su proporción B a b, nos ofrece un lado mayor de 38,4 cíceroü incluyu"ao ántonces BB 1íneas tipográficas con un excedente de 4 crlr;-nr];, iút;r. de alrmentar las proporciones de este t..fat g;ü, Ias diférencias cen mayores y Ia dificultad más giande. Entendiendo se haq"u-f" cantidad de líneas han de responáut a la identidad numérica que lógicamente le conviehe' las 36 líneas indicadas para el valor del lado menor 24 del t".ta"ilü pI, se encuentran en razén' porque este cuerpo 72, resulta en pil;";^]; mitad de1 lado menor en cíceros, y como 12 X t ér ignal a 86, no sóIo la cantidad de líneas justás sino la medida"del lado mayor del rectánguIo, que como se ha explic"án responde por mero de oro aI valor de unidad be medid; ;tp;;éiric",su núcero' Como se advierte estas relaciones tipbrnéi*icas "r-"1no se adecúan a un rectángulo Fi. Por otra parte Ia sección áurea que determina un tercio de superficie áel t*.ierrgulo se establece en la composición Fi con- 12 líneas y B puntos en vez de justas como-se produce r"giti*amente 72 .lín9as en un rectángulo de proporción pI.

-L7

Z) La incompatibilidad de estos dos rectángulos es pues indisóutible en riz6n de sus valores áureos, eI Fi con 1,618 " . ' (tipográficamente 1.? eíceros) y et de relación PI de 1,5 eqgiexacto. Es así.qge un rectánvafente a 1,6, ',r1un cícero y medió rectánguio d e origen arquitectónico y geomégulo Fi Trico, y el",rectángulo fl geométrico L _ademós, de origen.y na*' turaieáa tipométlica. El lectángulo Fi, en cuanto se apiica al arte p1ástico no se encuentra en contradicción, qorgue en principio Ia pintura y la es_cultura se veían_ dependientes de ia ar{uitectüra que ias incluía, respondiendo en consecuen* murales en los e ia a ür proporcibnes de ésta, y así, los _lienzos impoesculturas, ap_licar o que se AéUieron pintar los freécos entony. resultando Fio arquitectónicas proporciones dí*tt sus ces ,,confenüos" lógicos de un "continente" preestablecido por los arquitectos. óuando estas artes plásticas se independizaroyt de ü arquitectura, mantuvi-eron pol persistencia estas relaciones que con tanto éxito aplicaroñ los artistas del Re* nacirniento'it"li*rro asesorados eñtonces por las especu].aciones geométricas de Luca Pacioli con su "Divina Froportion-e"* Innumerables artistas plásticos, educados en estas medidas áureas rtor han 1legadd hasta la diagramación del libro sin detenerse a medital que la tipog"rafía posee sus leyes -espeni -iá.r; * número tipdmétrico_-áureo y que no se adecúa, la natura* a oponga que ie proporcién pue¿e soportar una _{gunas f;;;;*áañi"* qur* ta óoniorma. Es por ello eü€, salvoobligados ;;;póñ""r, estos artistas del libro se encuentran leg.ítima* ¿ ;.1- poder resolver el problerna de una creación pente^ tipográfica y *r.ho menos _tip_ométrica. Las dificulta* pro* des más im''portantés que resultan della ,aplicación de 1as siguientes: las son tipográfico artb el Fi en porciones

a)' Imposibilidad do"-

d.e armon izaT u.? rectángulo "conteni--

Fi en un formato de valor tipográfico.

d.e mantener una cantidad de 1íneas ti* en el +11o justas pogtaficas .siendo por coincid.encia=r*itanÁüto'"contenid.o" y en rélación proporcional en-

b) Imposibilidad

treel"ladomenoryeimalrordelrectánsglo'comO también de lograrld entre ei largo de una línea y el valor del tipo correspondiente'

. c) Imposibilidad de relácionar armónicamente, la- superficie de 1os márgenes con el valor de la superficie de ,

los rectángulos.

.

d) 'Imposibilidad de ajuste y de registro de las Iíneas ti*

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18

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pográficas sino qor tra violación de los espacios en sus valores tipométricos. e)

f)

ta superficie Im::t***,i: :cupar,racionalmente d:, i.Tqr*,sión de un pli.g;. *fl -;; il, t,..de superricie ti-: :TST*',?*t1",q. *..:i":lqi tületación ic e á ; 3""r' il':":i ff if:*t:: "*L 11 ::¡1 lf tinuidad tipométiica. i

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Iyl:t3;1ld:1d" manteler et carácter transitivo

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l; d ffi ;::Til"il,:j ll';-9";, glyr::g? ^ :"lr:y partes en su todo "dvV Lii;;;:""$: ::::grarla por las ^

partes.

3) Entre las diversas teorías estéticas que precon Lzanrectángulos-áureos y "ext¿*;r y medias razoñes,,^se distingue la de Jay HSrnbictge. Tambi¿; este tratadista propone para sus especulaciones éstéticas las relacio"ér de tos r[ctángulos Fi, -q"" que se producen *t^ F{ogresión lo"Situ,Cinal , u'Simetría él 1lama Dinár''ica".-sd p;;tulador:ru L, un pasaje de1 Tieeteto de Flatón, q;" transcribe Tlpirár,-Ghyka, lt¡látna como

"relaciones mesurables'sifotencia" resultan en e1 texto orisil"1"9ue: "Las raíces de 3'y 5 no son conmesurables en longitud'" y.que "hemos,cornprándido r¿;i;tobajo el nombre de longjtud {raíz}acional) -h"bl" , i;; ií"e; á". dobtan un cuadrilátero, y-baig ej to*bru d,e'iaíz (irracional) las iíneas que doblan un reclángulo que no son conmesurables en potencis' en longr'tud, sino i¿ro pót tu r"pltn.i" versión de Ghyka en el tbxto espáñol, queque producen,,. La no nos convence,

de "relaciones mesurables en poténciatí, prece inexacta, p,orque sóIo puede ser mesurable una relación en ,ücto,,, enten'ciendo por "potencia" algo gue puede ser, pero todavía en acto, por conslguiinte no mesurable que no lo es y

sin relación en tanto se encuetttT en-poten.i* quiera, la "simetría Dinám'ica" es y-"" en acto. Sea como progresión longitudinal, en Iínea recta, de valor f ."y;-progresiones "h" se van sui. cediendo unas a otras por infinitár-rE.ciones cada vez más redu'cidas cuanto más ár^n;;, para detenerse así en Ia última posible sección: eI punto matemático.

N; hace falta aclarar sue un rectángulo-;i áui-";dq al llegar' a su valor de "extréma y media 7j;á""i, ur, un sóÍo avance ,,dinámico,, longitudinal,,por pegugño g;"'r*ur.rrye, ánuu instantáneamente un rectángulo armónico Éi. L" "simefría Dinámica,, es un

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movimiento esencialmente matemático que comienza en un supuesto principio de movimiento causal para no terminar en niñguno, ]r geométricamente, el engendramiento de un rectángulo dinámico nacido de una figura estática por excelencia: el cuadrilátero. Estas progresiones nada poseen de común con las progresiones tipomrétricas de1 cícero cuyo valor esencial PI se encuentra en la más dinámica de las figuras geométri.cas: la circunferencia; quiero decir en el punto mafemático donde el sistema de Hambidge se detiene. Esta concepción "longitudinal" del rectángulo expresaqg. por Hambiáge, no puéde adecuarse a 1os valores tipográficos porque se opone at valor áureo tipométrico; no se amplían ni crecen sus ielaciones proporcionálmente, sino en una sola dirección y aunque se coñteñgan unos en otros el soJism? Persiste, _Pormayor, diná' br* sd violenta la irmonización de un lado ("1 ririco¡ clel rnenor estático. Quiero decir gge las proyecciones no corren por y sobre una diagonal ampliat_oria. qug. mranlieáurea, sino en proyección loqeitudinal. Por ne Ia superficib -reiTángu.los en "simetría dinámica" de val-q Fi, se ello, los -.onflicto con los reetángulos tipográficos. encuentran "n 4) Carlo F'rassinelli, al ensayar en su. "Tratado de Arquitectuia Tipográfica" la imposición de ul r_ectángulo "contenid,o", se éncuentra con análogas dificultades. Luego de exponer varios métodos para logiar..la inclusión de este rectán,'contenid"o" en un formáto "continente" se ve obligado Sulo á t* necesidad de informar al lector que: "el margen interi_ot d; ü oagi"a será Ia mitad dei ma-rgbn exterior" y quei."el rnargen z,nferior será. cercü det dob'le del' 'ms'rgen supe\íot'o Claio que esta solución no _es legítimamente matemátican sino uná opinión, porque si "eI margen interior seró' la rnitad del exterio-r", esta afiimación no puede ser debilitada por:la probabilidad de que "el margen inferior ha de ser cerca' de1 doble del superioi: esto es como afirmar_que 3 X 3 es ? pero 3 X b es c"róa de 15. La solución que también proPlne, de calcular el largo de una línea tipográfica para trasl,adarla sobre la Diagonaf Matriz de un foimato, sin_ especificr medida de cuerpo-ni d.e línea ni de formato, hace de eqta proposición un juegb arbitrario. Inmediatamente, la cuestión la resuelve pteóorTr"nd.o "un método práctico" que elude todo postulado geométrico y QU€, en sustancia, no es otra cosa 9q9 dejar aL ñrbitrio del ártesano y de su buen gusto, Ia imposición de este t".tátrgulo "contenidó" en su. "continente". El método, por 1o -t20,-,.

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circunstancial y artificioso, empaña un poco el admirabtre Iibro de Frassinelli, importantísimo por otra parte, para el estudio de la unidad artística tipográfica y por eI alto concepto humanista que rige sus páginas.

5) En cuanto a los fundamentos

de1 sistema de

Ia "Divi-

na Proporción Tipográfica" pueden sin tetizarse en cuatro pun-

t9t capitales, a saber: geométrico; tipornétrico; lógico y estético. El primer punto expone una verdad geornétrica inteligible; Ia ábsolutá armoníá de Ia más simple de las figuras: Ia cir'cunrferencia, y Ia intacta traslación de la superfieie del círcuIo, manteniendo la unidad numériea de su valor geométrico, a un rectángulo de igual valor de superficie; y pór consecuencia digo: que la circunferencia resulta ser Ia figura más simple y más perfecta. Es }a más simple porque consta de una sola superficie y de una sola línea, y es Ia rnás per{gcta pgrqye todos sus puntos se encuentran en absoluta equidistancia de otro punto interior que llamamos centro. Absolutamente simétrica por carecer de base; por ello, la más dinámica de las figuras en movimiento circular porque empieza simultáneamente en cualquier punto en que-termina, fuera dul tiempo y del espacio. _Infini.ta porque su superficie no es más que su punto centraL en expansión equidistante y porque esta superficie en expansión infinita hace que sea "todo io q.ue es" y por 1o tanto un "contenido" puro sin continente.

En marcha circular porque su diámetro se busca en Ia peri.feria, imponderablemente, sin alcanzarse nunca, y por su radio sobre su punto matemático- resulta ser eI -girando círculo mi.smo. Es además la única de las figuras que se basta a sí misma sin adición o estímulo exterior. El símbolo PI (periferia) particul,aúza este infinito en lo sensorial con eI guarismo 3.1416, múltipIo de 3. Y es así que toda otra figura participante de este valor PI, se hace común a la perfección de la circunferenciao de su dinamismo sirn'étrico circular, de su equidistancia y de su equilibrio. Luego, ürr rectángulo en proporeión PI, es eI más bello de los rectángulos, porque su esencia geométrica es la misma de la circunferencia.

EL FUNDAMENTO TIPOMÉTRI'CO. Digo eu€, si la unidad de meCida tipométrica participa de la misma esencia numeral del valor geométrico de la ,circunferencia, este valor tipométrico es armónico. Reducido el argumento a números, resulta que un cícero tiene 12 puntoS, y L2 es múltiplo de 3, y 3 N2T-t

submúltiplo de PI : 3.I4L6. En efecto, una circunferencia con rad.io de 24.8750 cíceros, es como radioz X PI, y su resultado de 1.943,9140875000 cíceros2; y un rectángulo de 36 X 54 cíceros es igual a L944 cíceros2 cón una diferencia de 0.0859125000 de cícero2. Este rectángulo participa del vatror armónico de su puntos tipométricos 1,6, rporque evinúmero de oro 1;5 dentemente su lado-en mayor es como 36 " / . 1,6 iguaL 2l4 cíceros

un rectángulo de proporción 1,6, un rectángulo participante del valor tipométrico de Xa unidad de medida tipográfica, que €s, a la vez, participante por unidad e identidad numétri,ca de la raz,6n PI. Por otra parte, siend o Ia unidad de medida tipográfica el cícero (LZ) de naturaleza duodecimal, todas las relaciones nurnerales 1o serán también como múttiplos de esta unidad de medida, en_ todas sus d.erivaciones por ldentidad numérica, y es así que todas Las superficies se errcontrarán como múltiplo de este valor fundañnental tipométrico. Por elio es tmposlble resolver ninguna arquitecturá tipográfica, legítimamente, fuera de esta razórt duód.ecima1 sin- calr en contradicción de identidad numérica, de relación armónica de los rectángulos y por tanto con la serie proporcional de los caracteres tipográficos que corresponden.

de1 lado menor. Es así que es

EL FUNDAMENTC LóGICO. Nada es posible de ser y no ser Ia rnisma cosa al mismo tiempo y en iguales circunstancias; ni ese ser distinto de sí rnisffio, ni que un paciente movido no resulte efecto del agente que mlteve a este paciente, (no importa que este agente sea a su vez paciente de otro agente y así, iucesivamente) ni que no particip'e de la relación de continuidad entre agente y paciente, porque esta continuidad se produce por la traslación que 1o identifica, el carácter transitivo de las igualdades proporcionales y su razón consecuente. En efecto, digo que si 12, es eL valor de un cícero, y 3 submúltiplo de L2, es ábsürdo que este submúltiplo_lo sea de ningún ofro número no múltiplo del submúlti.pIo. Luego, si eI cíóero es el valor legítimo de la tipom,etría, no puede al misrno tiempo dejar de serlo, y si el submúltipIo 3, es submúltiplo de PI, este valor que determina La circunferencia es de IJ misma esencia del vaior tipométrico, y €tr consecuencia un rectángulo en multiplos de 3, es un rectángulo perfecto. Es así qué eualquie,ra otra proporción tipográfica_ aj ega q este valor, resulta ilógica tipográfieamente-. Si por ley de identidad algo es 1o que es y no otra cosa, las progresiones tipornétricás no puéden dejar de ser ternarias, porque 3 X 4

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!2,y 12 la unidad de medida tjpográfica. por tanto, una arquitectura fuera de 131 F{oporcióne"s PJ, (como se precon iza €n el sistema de la "Divini.

Froporcióá hpüráfica Tennatl?") no es una arquitectura tipométrica, l,rugol .r contradicción con la taz6n tipográfica, y por 1o tanto inarmónica tro de la naturaleza de este árie. Siendo i*Ñ;ible q;*denun efecto no de su causa cleterminante, la progresión -participe (efecto) de Ia causa (cícero, unidad de medida tifomftt"ic"¡ no p-uede encontrarse en ,contradicción con sí misffio, ni,de su razón de qer obrar; p9r tanto, Ias progresiones pI, son los { efectos natur*191 v legf imos de este ialo"r .""rá! el ói.**; y un rectángulo ^tjnogláfico que no se encuentre en estas piogresiones por identidad numérica, po{ naturaleza esenciátr } por no contradicciólr- es un .rectárigulo antitipo*étrioo, pot consecuencia cacográ,fico y tipográficamente antiestéticb.*EL carácter transitivo de las igualdldes proporcionales esiablece QEe, siendo A semejante,a B, y B_ sernejánte a C, iur,rtt* q1r* I' semej"t" a -A; y más estrechamente considerado, A" *u iguai a A. P_or ello, irn rectángg1o "continente', A, de próñorción PI, ha de ser igua.l al recTángu1o "contenido" B, d; i$r"ial proporción; y e-l "cñntinente" ,.r-á al ,,contenido,, d ú"?*o y el otro 1o serán al _pliego C. Si la unidad tipográfica'rurrrit* de las relaciones de las partes con el todo y est! tod o como la suma de las partes, €s lmposible lograr una unidad artística 'donde las partes no se encuentran én inteligencia armónica con el todo, en función geométrica y tipográfióa, porque la relación de un "contenidd' no puede unóontrarse en contradi;ción con su "continente", pués no es posibJ.e Ia unidad en Ia Cespropgr_ción. T,uego, si Ia naturaleza d.e un rectángulo u. cle valor PI, Ia naturaleza de su contenido 1o será tarniién.

EL FUI{DAMEIVTO ESTETICO. Digo, que sóIo ia relacién de uniCad entre-slieto-objeto y objeto-ú;'eto, armónicamente concretado. estableie una"simpa tí; eufóriba, ár decir, un contentamiento gratuito d.e la sensibilidad subjetiva y objetiva, Esta euforia, resulta de1 equilibrio entre ta iAea y su realidad concreta4a y su enlace con 1o absoluto trascendente a lo parti,cular; de causa a efecto, de efecto a causa- áu *edios a fiI -póo nes. La estética no es una reacción fisiológióa, ,*roriá1, 19 s-orpres-a psíquiga o por impacto de contrádicción disc-urrlirr* de las imágeles, sino del felii encuentro (o reencuentro) unánime y armónico entre el_ sujeto qge piensa y ul o,iéio q"u concreta el pensamiento de este sü;etó pensa-nte, sin contra-

-23z*

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dicción ni mengua del uno en favor del otro. Lo be1lo, según Hégel "no es la idea abstracta, sino concreta. Esta parece en uná forma exterior o sensible a Ia cual está estrechamente unida y que Ia manifiesta. Esta unión es tal que no puede existir Ia una sin la otra". Pero para lograr esto, 'ola cantidad rige la determinación de la forma puramente exterior, en tanto que por 1o contrario, Ia cualidad determina 1o que Ia cosa es en sí y en su esencia interior, de suerte que no puede perder sus cualidades sin dejar de ser ella misma. La maglilud, como tal, es indiferente en 1o que concierne a las cualidades a menos que se dé como medida, porque en la medid.a se combinan ambas". Es así, que si el objeto continente no se opone at sujeto contenido, surge la concreción de 1o bello. Por 1ó tanto, el objeto (composición tipográfica), €s "continente" del sujeto (texto - autor - idea), y el objeto a su vez continente del suj eto que en este continente se contielle. Y así, como nG cabe la contrad.icción en las proporciones tipográficas sin anunar lo bello ,de su "contenido", tampoco ha de existir contradiceión entre el espíritu del texto y su concreción formal tipográfica para lograr una verdadera unidad artística.

NOTAS

AL CAPITULO

Las progresiones de los rec-

tángulos d.e la "simetría Dinámicá" se originan de un cuadrilátero, longitudinalmente; v a 1 e decir, en un solo sentido, hasta alcanzar Ia relación proporcional Fi, de su lado menor con su 1ado mayor en 3 a 5; Pero al qrod.ucirsé Ia inmediata Progresión, este rectángulo se desPlaza de su relación áurea, Por 'donde resulta eü€, 'de rectángulo armónico se óeriva en una sucesión de rectángulos como un Problema puramente matemático Y no estético, eon medidas mesurables en línea recta. Como este rectángutro mantiene "fijo" uno d-e sus lados, resulta ser d"inámico

en longitud pero estático en su atrtitud. Las progresiones arrastran las superficies como he dieho, longitudinalmente y no en relación unánime 'del lado mayor

PRIMERO

con el menor o eI menoi con eI

mayor; y así Par-ece no- Posible dinámica se que una progresión -de

un cuadr-ilátero estátfco; porque Pensado filosóficamente resulta ser un rnovimiento infinito que parte 'de la ausencia total de movimientoo Y como es imposible que la ausencia de movimiento sea agente dinárnico, estos rectángulos en "simetría- 'dinámica" no son más de una suque el movimiento cesión de puntos en línea resta eü€, no comenzando -Por ausencia de agente que muevees un movimiento qu e termina en ninguna parte.

engendre

#

Sobre la interPretación del texto que se lee en eI "Teeteto", varios autores,difieren so;

24_.

bre La expresión "dinamis,,. La versión neolatina de este vocablo, en su significación técnica se traduce por "poteneia"; y a

egqe re-specto Tannery o'lVfemoires

en s u s

scientiphi{ues',, con* siderando que está expresión no es correcta, propone substituirla por "dinamene" que significa nnás propiamente ?'potenclante',, es decir, en el sentido de ,,fuerz&",- "poder". Así, el texto explicaríase: "Fuerza como agenfe y la fuerza como cantidad -.de ac-

ción", no "cantidades mesurables en potencia". EI" texto d.el u'Teeteto", s e g ú n la traducción del matemático Beppo Levi

(f'Leyendo a Euclides", págs. 47) es como se trascribe: ,,Casi nle parece Teeteto- que -habla tú me presentas una pregunta iemejante a }a que se nos presentó a nosotros, yo y tu homónimo 4B

Sócrates, por cuanto estábamos discutiendo. . . Teodoro nos dibujaba ciertas figuras sobre 1as poteneias de 3 y 5 pies, demostrándo_ que respe,cto ,de la longitud ,del lado no son conmensurables con la unidad ,Cel pie; y creciendo proseguía para cada una (de nas, potencias) hasta la de 1? pies.

Allí se había parado. Entoncés, a nosotros se nos ocurrió algo panecido a tu pregunta; puesto q.t.

Jas potencias son infinitas, nosotros tratamos de reuni.r en ulta única expresió,n todas las potencias. . . Dividimos todos lós números en dos clases. Los que ex-

presábamos como cuadrados y los ]l"amados "tetrágonos" o,,eqüilá-

t,eros",

y los que

están éntre

aquéllos como el B y el b

y

to,dos

los otros números que no se exp-resan como productos de d o s ryuales, sino que resultan de la rnultipllcación de un número mayor por uno menor o de uno rne_ qof por uno mayor parangonánd"olos c o n Ia figura de un rec-

tángulo oblongo,

y los llamamos

_.25+

"números rectangulares"... L o s

segmentos lados de núrneros pla-

nos y equiláteros los llamamos "longit_udinales"; más, los q u e son lados de números rectangu-

lares los llamamos "potenciás,'o pues sus longitudes no tienen medida común con aquéltos, pero sí las superficies que

contieñer3.,,.

Vemos según 1o dicho que ,,las

relaciones mesurables

e,n-

poten-

cia" se convierten en med,idas mesurables en acción,-superficies €fl fuerza mesurable p o r las que producen".

* La simetría no puede abolirse en el arte por ser, ya queCó indicado, una ley natuial, y en cuanto a su. aplicación en la tipografía podrá tener más o menoq adeptos, pero seguirá prácticándose mientras esie arte grá-

fico existao pues

ad.emás de boseer una indudable be1leza, cuándo es bien interpretado, puede

a los ,conceptós -m á s modernos y audaces". Vrcronro Drnz, Gró.fícas; Madrid, Ne 100, páe. 181. a,daptarse

=

_ Se insiste por 1o general en que Ia simetría es estática, y eu€, por lo contrario la asimetrfa és ciiñ¿rnica. Sin entrar a considerar que nada se encuentra estático

en la existencia con eI sentido de

falto de movimiento, la verdaC es eue la expresién "estático,,,

"estatismo" es una opinión objetiva. Nada rnás dinámico que una circunferencia, ni nada más estático que un rectángulo horizontal, porque cualquier figura con

base resulta estática; y cuanto más larga esta base, más estática parece. La circunferencia, carente de to,da base, es por eilo esencialmente dinámica, se mueve sobre sí misma equidistantemente con todos sus puntos y es por ello

que resulta ser simétrica Y diná-

ririó" al mismo tiemPo; Pot dol-

'puede demo¡tqarse qge ,!a9 tta s geométricas simétrl9?s' disF"óáe" nó ser estáticas. Laeerebosición de los hemisferios [iár"" y el entrecfirzamiento. 'de rái ?iurás nerviosas en el cerebe-í;, ;f;;*; la disposición visual,

de

g

tl-r

cios obtenidos, esto qs: aiustarelon*it ii tra"a'dó geométrico laajuste d e los filetes Y el eii"A ñu i"t-- líneas de caracteres" ' ' ' Ségú" 1o transcriPto, Frassine-

fti-áiusta la razdn tiPométrica (ttací"nd.o tiPografía) a Ia ravez de-aius,'Oñ-g"om¿tr,ic", "t] a la raIái tá razón geométrica

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equíd,istantemente. si el abEL afueto A es pelc-íbi.do por ?L yieto B se-obrigo e! iuieto y r:t::!*r I'u simed,esd,lizí aitá¡é-rñi"ql, posicíón uisust* su "ieto sed,e aez su a, wá"1ól"irríá";;,"1¿;iia2á"ao tría

hace que la sirnetría sea natural I ii*lóiogicamente necesaria' Un

z6n tipográfica, (haciendo tiPometría). Esto nos Parece un' ,de

es la

concePto, Porque ¿";d;t-inclinado, ul1o q9ryP9si- "iror geome tría q 9 e ha 'd'e estar aL antifisiológies ;ió"-;simétrica, lervicio de- 1a tiPografíq -Y no J.a-y obfig" a rectificar el eje vi¿rta al servicio de .aAufil3, Yry rnovlun eon sual y sensorial consecuencia, to,{o. el' rniento que acond'iciona la eq4- que porde valores tiPométricos áGi"tt.ia ¿e las Percepciones' Se Jitt"ti" tendrán objeto ni Podrán ler da a continuación un esquem-a no 'de constfucción tipográfiea expticativo Para mayor claridad' b*su - ili.* Cario Frassinelli e¡nl.i- alguna. # o*ñáo Ia "simetría dinámica": "Ahora, ejecutaremos una eornNicolás de Krebs, Car'Cenal d'e elltror,íón" trpg9rá',fí9e estable- Cusa, en su libro "De do,cta igtgóiendo la posióión asimét-rica.con define las virtudes de Ia áf- *""ilio^ de la simetría diná"*"ii'*" en I o s siguient-es ferencia ffirlca. "it.rrt se puede ob"Entonces iéi*ittott libretrazar Comenzaremos Por máximo Perfecto el que servar ejecuA1 . . esquerna. mente un étia pot entero en el^int-erior de tar la comPosición, coloearemos t;ao,' simPle e inCivisible, Porespalos las líneas de texto en'

-,26

!t'*_

___,,

que es su centro infinito; y que está fuera de todo rodeañd"o a

todas las cosas, porque es su circunfereneia infinita; y que pene_

lra todo, porque es su diáñLetro lnfinito; que és principio de to-

das las cosas, poique es su centro; Iir de todas el1as porque es su circunferencia; medlo d" to_ do, p.o{que es su diámetro; causa eficiente porque es su centro; formal porque es su diámetro i f ina}, pcrque es su cir,cunferen"cia.. Da o_rigen al ser porque es su centro, dirige porqué es=su d,iámetro, eonserva poique es su cir_ eunferencia,

y así sucesivamente.

También es -la medida ,de toda circulación de la potencia al acto y del aqto a La potencia, de Ia cornposición partiendo

dá

1

o

s

principios_ hasta los individ"uos, de la resolución de los individuos

hasta los principios, de las forryaq perfectamente eirculares y de las operaciones circulares, ,dé

Xos movimientos sobre sí q r u vuelven a su eomienzo y de* todas las cosqs semejantei e u y a r¡nidad consiste en eierta perfe-

tuidad eireular".

"La medida y proporción

sk)

convierten siempre- en bell.eza \excelencia. Las especies principales de la belleza son el-orde;:,

la simetría y la limitación dej:inida. Son estas las propiedades

principales a que dedlca su aten-

ci,ón las ciencias rnatemáticas,,.

"La concepción de Ia unidact

en la variedad es la base indispensable de esa idea de sistema

o totalidad de partes interindependientes destinadas a ser la extructura erigida por Ia especulación moderna sobre los cimientos definidos qlle pusieron lgl pensadores griegos.

La relación del todo -con 1as partes algo ,más coñcreta -expresión para la unidad en la variedadnunca fué dilucida,da más per-

ni más justaménte apreciada que por P1aión y Aristóteles, y ieconociendo d satisfacción proporciona,da al espífectamente

ritu por la concrecién sensible o. imaginativa de esta relación, dier_on un primer paso por xá

senda del auténtico- análisis estétieo". BoseNeuET , trIistodia áu La

E

stética, Cap.

MÓDULO

III,

3.

1,6

Suma de yelacrones entre la superficie de unü. cireunferencía A e"l, f armato " continente" can sLL " contenída" tefrto, múrgenes normale$.

U

a\4 ,r', / -/

-a

-,/

PÁGINAS ENFRENTADAS POR MÓDULO ÁUREO

1,6

Fig. Z - Pued,e ad,uertirse en esta arquitectura de dos pd'gínas eny los ualores tipofrántudoso c6,mo se d,esarrollan las proporciones métrieos d,e las mis???os, resueltas por La Diagonal' Matríz seccionada en g partes, de los euales, Ia prímera u las dos úIti'mas, estableee.n un& constante armónica d,e mó,rgenes, l,a inclusión de una letra de capítulo u eI cuerpo tipográ,fico que correspode al, terto ( en este easo cow eG Líneas d,e cuerpo 12/12). He tomado par& este eiercício un octaua de med,io pliego A la longitud de las dos pú,ginas cot'nciden con Ia uisiÍn ópttci nolnzáL. En efecto: La distaneia neeesaria parü l,eer eon cl,arídad,'€s d,e 24. crrL. apro*ímadamente, o sea, /*S cíceros, ual,or d,e las dos cajas tipográ,ficas. Como el, cuerpo 12 participa de esta praparción, Ia lectura se hace perfectamente aisible a la distancia ,uquuríd,a por eL á,rea utsual,. Desde l,uego que !a' ínelustón de \rn euerpo rnaAor, For eiempl,o,24 puntos, dobl'a l"a distancia de I'ecturs usí eomo u,n cuerpo ,rnenor la reduce. Este cuerpo 72, ha sido l,l'amado

desd.e ,rnuA antiguo "cu,erpo lectu,ra\ o "cLlerpo cíeero" por -h,aber-sid.a empleád,o eñ uns, obra de Marco Tull,io 'Cicerón, " A'd f amil'iapor Schueghetm A Pannartz etu 74.67. El' cuerpo "l,ecTes", impresa -Eer tntermedio entre el, Ilamodo " San Agustin" ( 12 tural' rósutta

grande, de 13 pUntos, E el,

I

I

t't

I

I I

I

I

bi

I,l,AmAd,o "Fíl"oSOfía'; d'e

-28+

10 pUntOS).

C

A

PITT]

L o

S

E G U N D

o

1) Imposi4ór de un molde tipográfico en página pgr !a Diagonal Matriz seéciónad.a u" -s-p"*tes. 2) Por la misma Diagonal en LZ, 1b, 1ti. ZL

secciones. 3) Ampliacióri propóicióñal',di-' 1o, reetángulos de molde sobre ün ?'contin.rrtJ; fiJó.

E,"ABLECER LA RELACIÓi\T DE UN RECTÁNGUL' "contenido" en un rectángulo ".orrtitente", resulta exacto por el .qrocedimiento matJmático de la "Diíina proporción Tipográfica"' En efecto: conseguido el rectángulo de iroporciones PI_ (formato) , trazar ,rña diagon"l _-fr;;- U;;;;áilo, -DiagonaL Matri z, ,porque da nacimien"to no sóü a las ,,rp*rricles y secciones áureas vertical y horizontal, sino a todas las progresiones

posibles, márgenes y cuerpos tilosráficos- de manera que, €h páginas pares se trace Aét ángüto*superior derecho al ángulo inferior-izquierdo, y en las ñAái"aJ impares, ángqlo sup-erior izquieráo al ángu1o inferior",cerecho. Esta 9:i Diagonal será dividid.a en pírtes iguales, exactamente, -l."q8.o -9 porque estas divisiones aportaránlambiéñ la exactitud de los resultados. ;Siguiendo ia fig. 3 se advertirá q.iu, io**ndo las secciones 0-1, podrán obteñerse las medid."r -d* los márger*, interior y superiol simultáneamente, y con las secciorr*i 7 -g, l?t que corrésponden simultáneament-e a las márgenes exterior e inferior. Estos dol puntos, 7-7, cerrad;" di dos rectas horizontales Y. do! verticáles, antípodamente paralelas, r.o, darán eL rectángulo "contenido" qüe se ha de encontrar en perfectas relaciones con el rectángulo "continenle" del úormato. La sección dorada de este rectángulo se establece rl*lftáneamente para e_l lectángulo del forñrato, trazando una horizontal C:D_, paralela aI ládo menor del fórmato y otra vertieal, paralela al lado_ mayor de1 mismo, eu€ coincidirán am9ry en el punto 3 de la Díagonal Vfrttir Este resultado se da únicamente por el sistema ¿e Ia "Divina Piopot.i* fipóá¿fj."" y -en todos los formatos posibles, áurbos o bastardos.

Cuando la sección áurea de un fórmato áo rerulta ser a su vez

Ia de,l rectángulo del molde tipográfico, existe una falta de re* iación y de unidad armónica que demuestra cómo los dos rec* tángulos no son equivalentes, porque la proporción de su uocontenido" no está en relación con su "continente". Estas dos secciones doradas, vertical y horizontal, se producen en la conjunción de Ia sección 3 de la Diagonal Matriz, valor que resulta ser al rnismo tiempo el número de oro tipográfico porque 3 . / .2 es' igual a 1,6 módulo geométrico de todas 1as proporciones en "Divina Proporción Tipográfica". En sll aspecto mecánico, esta Diagonal Matriz es 1a base más só1ida en la cual se apoya todo el sistema de diagramación ternaria.

Con el fin de comprobar si estas relaciones son legítimas vennos que: un formato de 36 X 54 cíceros con márgenes de 4, 6, B, 12 cíceros, establece un rectángu1o "contenido" de 24 X 36 cíceros totalmente armónico y en relación con el formato que 1o contierle. En efecto, el rectángulo de 24 X 36 resulta consecuencia de los puntos I-7 utilizados de la Diagonal Matriz, y cuya suma de valores (dos y una parte) es de 3 novenos de la Diagonal, y por 1o tanto eÍt razón PI. EI lado mayor del rectángutro "contenido", €s igual aI lado menor del rectángulo "continente" y el margen interior de 4 cíceros, se encuentra I veces en el ancho del tformato y 6 veces en e1 ancho del molde, y en las mismas relacj.ones eL rnargen de 6 cíceros. Por su parte, el margen exterior se encuentra 4 1/2 en eL ancho del formato y 3 veces en el ancho del molde y en ias mismas relaciones eI margen inferior. En dos páginas enfrentadas (ver fig. 2) , el margen interior se encuentra 18 veces en el doble ancho del formato y 12 veces en los dos rectángulos de molde, y el margen exterior I veces en el doble formato y 6 veces en 1os dos rectángulos de molde. El margen inferior se encuentra 3 veces en los moldes y I veces' en un formato continente de 4 páginas, porque así como el margen exterior se encuentra I veces en dos páginas enfrentadas, sl margen interior ha de encontrarse 9 veces en el doble de esta superficie, es decir, de 4 páginas; por tal manera el margen inferior sigue la relación del margen exterior corno resulta Iógico en estas progresiones, ya que las superficies van aumentando a su vez. El lado menor de1 rectángulo "contenido" es igual a 2/3 del lad.o mayor suyo y aL misrno tiempo del lado menor del formato, lado éste que a su vez resulta ser 2/3 del lado mayor slr.yo. Veamos pues, si todas estas relaciones y rnedidas resultantes siguen una misma lógica numérica y si todas ellas responden al valor fundamental de la unidad ti'

-

30

-/

nrétrica; depende de esta experimentaci.ón el valor del sistema y su legitimidad tipográfica. En efecto:

Formato: 36 X 54 cíceros Molde : 24 X 36 ,,

Márgenes:

),

,

,, ))

Intgrior

..........

4 crceros

.

Superior ..........

Extgrior .. . . . o o, ..

Infgrior ...c.......

ñ

b

D

),

B

,)

72

,,

Superficie d e i Formato: 36 X 54, igual a 7.944 cícerosl ,, ,, Molde: 24 X 36, ,, ,) 864 ,, de Márgenes: )')

Inteñor : 4 X 54,

Superior: 6X24, Exterior: 8X54, Inferior : 72 X 24,

Total de Ia superficie de los márgenes

,, ,,

,,

,,

,,

,,

,)

..

216 114'4 432 ,, 2BB ,, ),

),

))

1.080 cíceros2

.

En consecuencia: Superficie du] Forrnato: 1 .9M igual 1+9+4{4:18, Superficie del Molde:

igual

1f B:9./.3igual 3-

864

B+6f 4:18, 1f B:9./.3igual 3-

Superficie de Márgenes: 1 . 080 igual 1+0+Bf0: 9,

./. 3.....igual

3

It{úmero de oro tipográfico 1,5 (1,6 cíceros)

3 X 4 : 12, y 12 un cícero, múltiplo de PI 3 + 1+ 4 + 1+ 6

:

X z igual 3; 3.1416, porque

Como se comprueba, estas proporciones se encuentran en perfecta identidad numérica y g"ométrica con eI valor PI de la Circunferencia y la unidád -de medida del cícero. En conse'euencia las arquitecturas tipográf icas según el sisterna de la Divina Proporción fipográfica son legítirnas. + 3l

-

2) Si esta Diagonal Matriz, que hemos estudiado coxx los resultados obtenidos por medio de sus I particiones es subdividida en 72 partes, €1 rectángulo "contenido" rnoldeu puede ampliarse siempre en razón Pf. En efecto: si tomamos la sección 0-1 nos dará siempre y simultáneamente, la proporción del margen superior en interior de la página, y 1as secciones I0-L2, las superficies, simultáneamente de los márgenes exte,rior e inferior de la misma. Estos nuevos rnárgenes que resultan de la subdivisión de la Diagonal Matriz en 12 partes se encuentran antípodamente valorados. Las secciones áureas vertical y horizontal se mantienen válidas para el molde y eI formato, y su identidad nunlérica ( corno la gue vimos anteriormente) es Ia misma. De no ser así, las progresiones serían falsas. EI proceso es mantenido con los mismos resultados armónicos si esta Diagonal Matriz se divide en 15, 18, 21 ó 24 secciones, utilizando síempre una sección para los márgenes interior y superior y dos secciones para los márgenes exterior e inferior.

3) En cuanto a Ia ampliación de moldes el "avance" del rectáigulo "contenid.o" abs-orbiendo proporcionalmente las sllperficies de los márgenes, puede verse con claridad en La figura 4. Sj por la inversa, vamos reduciendo la cantid ad Ce seccrones, los márgenes avanzan sobre eL molde tipográfico hasta sumergirse en La conjunción de las secciones áureas vertical y horizontal y en su número módulo 3. Como se notará, existen dos movimientos que consisten en uno de progresión hacia el formato y otro de conversión hacia el molde para finar en su número áureo. En las Tablas de Proporcioñes se encontrarán todas Ias posibles resultantes de estas ampliaciones sobre un formato 'fijo, por tal manera que podrán ser elegidas en estas Tablas las prgporciones que más convetrg&, si-bien, a mi entender, no ha de pasarse de la división de 12 partes en la Diagonal Matriz, pues eI equilibrio estético de Ias superficies se r,nantiene entre 9 y LZ secciones.

No existe aquí motivo de establecer nuevos argumentos, pero es indudable que las razones han de apoyarse en razones y por tanto, no es posible salirse de ellas sino para establecer bttas de más fuefza o aceptar las expuestas. nt sistema de la "Divina Proporción Tipográfica" puede contestar, prácticamente, todas las preguntas con su aplicación e infinitas vason innumerariaciones que se obtienelr. Las progresiones -a11á de toda necesidad, pues bles y en consecuencia, van más _2 gZ ,+

-.]

que sy punto ,Ce partida se origina en el valor de unidad de medida de su propia natur aleza tipométrica. Parte de un punto hacia todas las posibilidades de impresión y de éstas retorna a su puntg inicial, abarcando así todos lbs problernas y resolviéndolos armónicamente. En cualquier fórmato de medidas áureas o bastardas, For el camino de 1as relacio-

Fig. 3

EL rectó"ngul,o " conti-

nente" (formato) diuídido en su Lado maqor, o por l,a Diagonal,

Matríz erl g

secct

ones, establece

el, rectún,gul,o " contenído" tento c o n sus mírgenes urménicos de ualores antípodos. C A D resul,ta La seccíón d,urea símultú,nea de Ios dos rectá.ngulos.

nes numéricas o geornétricas, sea por relación aritmética o por r_eiación de superficies, las arquitecturas tipográficas se resuelven sin contraCicción en más de ?00 rectánfulos, cantidad que puede triplicarse por la diversidad de los formatos que puedan elegirse o prepararse especialmente.

AMPLIACIONES PROPORCIONALES DE LOS RECTANGULOS DE TXXTO DENTRO DE UN FORMATO FIJO DE PAGINA

La ampliación de los rectángulos impresos a efectuarse dentro de un ,f ormato fij o por Ia Diagonal Matriz dividida por 12/ 15 / 1B/ 2I/ 24/ etc., se resuelve usando síempre una pJrte para e] mafgen superior e interior y dos partes para los márgenes inferior y exterior. Siguiendo el ej emplo de un formato fijo de 36 X 54 cíceros con molde de 24 X 36 resulta: N 33

-

r i

: t ;.

¡

I partes: ,, ), )' L2 15 ,, 18 ,, ,, ,, V\ 'i 24 ))

Diag. Matriz div. en

,,

,)

,,

27

Mol'de ,, ,)

24X 26X 28X

30x

,t

32X

yx

)' ,,

)t

'36;

márg. 2-4-6-B-12

39;

3,4-5-6,8-1G

),

2,8-4-5,4-8

42;

2-3-4-6

45;

t

1,4-L-2,8-4 0,8-1-1,4-Z

48;

0-

CORRESPONDIENTE CUERPO TIPOGRAFICO -

A

CADA

ÁwlpLIAcroN DE MoLDE

T2/L2 o cpo. LL/I?, rL/re L3/13 fi/Le L4/T4

),

Formato

$/$

T6/16 T7

/L7

TB/IB

,, r4/L6 ,, 15/16 ,, |g/rv ,, 17 /rg ,,

AMPLIACIONES CUERPOS TIPOGRAFICOS QUE CUBREN LAS eíceros: 86 líneas de cuerpo r2/rz en med' 24 cíc'

Molde: alto 86

,,,,,,"43'))'"10/10)'"")' 54 ), )t ,) 72 ,, ,) "') ,t nvlolde: alto 39 cíceros: 39

Ln Tl

tr

,,

,, ,,

Mold.e: alto

" "

" )'

t,

,)

,,

líneas d'e cuerpo

))

Molde: alto 42 cíceros ,

,,

" "

1?

84 : 45 54 ,,

)'

45 cíceros

'r', ,,

Iíneas

1"

t"::no

)' B/B )' )t 6/6 )) " "" '? en med' 26 cíc' \y,\7 1ol10 ,,

Wi?r:: T:o

')

Iíneas 'Ce cuerpo IL/LZ en med' 19410 )t

,,

t.

t,

B/B rt ,' t' '?

6/6 " " ,, ,, )' ,, ,, ,) "l' " " "l' en med.

I2/L2 Nlolde: aLto 48 cíceros: 48 líneas de cuerpo ,, ), 'r',

tt

'r',

,,

m g0 J0

2' 2' 'l'

':,0

30 ))

32

clc'

t,

t,

),

,,

), ,, .), )) en me'd. 34 ,, ), ), ,, ), ,,

t"'

6/ 6 ,, 96 " " )' 12/72 51 cíceros: 51 líneas de cuerpo Molde: alto "" ,, 61 " )' )) 10/10 ,) tt ,, "" ,, B/B ,, )t 76 " " ,, )) 't' ,, 6/6 ,) )) 102 " " ,, )) " ,, 36 med. en Iz/Lz cuerpo Molde: alto 54 cíceros i 54 }íneas de )' 10/10 64 ?, )t .t' ), " " ,,),,t')81"e'"B/B i08 6/6 ,, r) )' ,, " '2 "

*34

i*--

*---iG.

",:'

,t

c1c" ,) ,) ),

clc. ,, ,9'

Como se advierte, cuando u1 rectángulo "contenido,,ocupa sucesivas. ampliaciones ternarial eI rectángulo ,,.órriinente", no existen márgeles, porqug el laoo *ayo, y mellor de ambos rectángulos sé hac'eñ igüales.

por

Quiera advertir el lector curioso, que las relaeiones tipo* gráficas entre las ampliaciones de üs-áot¿es y clusión de líneas dentio del formato fijo de 36 x la ma'or in54 cíceros no se resuelven arbitrariamente en modó E-stas relacio-, un ritmo. En efecto: la mayor "fg""o. cantídad de líneas ||i poseen lmpone una mayor reducción del cuerpo tipograiicó, t";;-;_ ta reducción mantiene una propor'ción hu ,r"Iores en cada árnpliación producida; así los ?arácteres aumentan en una progresión constante de 3 a 3 cíceros si son de cuerpo IZ/12; en cuerpo 10 en progresión periódica de 4 á g, y d; ¿; 5 en cuer* Yvv-"4w Lrv Po. B; y 4u 6 en 6 en cueipo 6. La eseala v'.'u''' valores trade estos baja de Ia siguiente manera: De 3 en 3: Cpo. IZ : qg, 39, 42, 45, 48, 51, 54.

De 4 en 3: Cpo. 10 50, 54, 57', 61; 64.

De 4 en b: Cño. B- !3, !7, 58, 63, 67, 72, 76,81. !1, De6en6:Cño.6= 72, 79, 84, 90, 96, 7A'2, 109.

En las Tablas .de proporciones que se encuentran aI fina1 de este trabaio, los caracteres tipográficos correspondientes a los diversos tamaños de moloes tipográficos, mantienen un ritmo en cad,a caso, constartu- por consecuenciao y de tal manera que 1os formalgr, ros mordeJ, ro, márgenes y los mismos carácteres-tipográfióos ru-rulacionan en una armonía de partes co+ el cuya unidad y se ,con_ !óqó, vierte en un "continente" p.tfÉ.d- qü" ha "".ióri" d.e soportar un "eontenido" idea, texto, .or.?utando suj_eto en el objeto y el objeto en el suie!; concreción aé-ta "ti-el ."ái rr*.u una legítima euforia estéticá., Eé así posible pr;A;;ü;'Tiü;;i";f"tamente armónico entre su alpecto técnico y su contenido arr; ti c o n t i" én i á ;po y c ón tr a d i c c i o n s" _

f;

;",,

S?,rti?#,

."

"

li"

;

Ha de ser entendido qu-e- Ia división en g partes de Ia Dia* gonal Matriz resulta ser *clásica.

Inscribir ,rirde nrolde sobre,la Diagonal seccionada en "..tángulo rz partes con una sola medida de línea eJpo¡ib1e, pero. continuai la ampliación reduciendo eI tipo, es absurdo- si no ;;*p1.J"-L?tonces rrre* didas de líneai **po, y así P{gporcionadas el molde de 28 cíceros (partición de la áiagonat "f íb'secciones) ha de tolerar 2 eolumnas de 13,6 .á" 1t*rt.o-"r, u3" de lz puntos y un

['

&

auerpo B (valor del margen exterior clásico), con 54 líneas por columna o 43 líneas de cuerpo 10.

En medida ampliada dé 30 cíceros, puecle recurrirse a 3 columnas de 9,6 cíceros cada una con dos blancos ej es de I puntos.

El sistema de la "Divina Proporción Tipográfi"ca" por sll condición de ley armónica no puede precontzar estas ampliaciones más allá de una máxima de 72 partes de la Diagonal, pero dada su flexibilidad, dej a al criterio estético del artesano la elección, eu€, por otra parte, no será arbitraria en cuanto se encuentran en identidad numérica con el valor de unidad de la medida tipométrica.

NOTAS

AL CAPITULO

"hunde" con la misma dificultad. Los 'caracteres tipográficos han de ser como eI cristal de un vaso que permite 'distinguir un líquido contenido sin anular sll

La importancia de1 valor de los márgenes de un libro es fun-

la legibilidad del texto. Se ignora g'eneralm,ente que no se leen los caracteres impresos sino el blanco. Ei color rlegro del tip'o no emite vibra,ciones lumínicas y por 1o tanto n'o ,l,lega a ser captado por la d.amentál para

color

ni transparencia.

De aquí que una sabia elec-

ción de cuerpos tipográficos procluce sobre una página los diversos planos "en relieve" y Ia ter-

retina por ser la superficie la que determina el f enómeno de Ia visión, por 'don-

cera dimensión óptica. EI arte publicitario recurre normalmente a esta característica con e1 fin de llevar a primer plano la marca o el artículo que se desea grabar con más intensidad en la

blanca

'de los caracteres se configuran por la reserva que de estos rayos lumínicos de La superficie blan'ca se producen. Cuando Ia superficie blanca mantiene equivalencia con la superficie ne.8r8, en el equilibr:o entre 1o olr.p se "ve" sin verse, y Io que "no

memoria del lector.

#

se ve" viéndose, la lectura se librio óptico, pues ni la suPerficie b-lanca anula aI texto ni el texto a la superficie no imPre-

El movimiento de conversión y

y hacia un centro generador que pro,duce los rectángulos "contenid os" dentro

hace fácil en virtud de este equi-

procesión ,desde

'sa. Cuando 1a suma ,de superficie impresa es mayor que 1a su-

d e 1 rectángulo 'continente" se dan por continua progresión ternaria. El lado mayor de los rectángulcs aulrlenta de 3 en 3 cíeeros, mie,ntras el lado menor 1o

perficie ,b1anca. el texto con sus }íneas se levanta como una malla entre el papel y los ojos y así

se dificulta la correcta

efectúa de dos en dos cíceros;

es decir que las

visión,

Ja superficie impresa, el texto

progresiones

mantienen identidaC numérica porqLle 3 X 2 -: 6 y 6 X 2 12,

cuanclo e1 blanco es rnayor que se

-

36

\i.--

SEGUNDO

Fig. 4,

-

PROCESION

Y CONVERSION DE LOS RECTAI\TGULOS 11 tl ,,1 D:f

ro

30

oa 2{i 2+

/ tl lt/

,,

/l-r/

/l

,'

t.l

-t

¡l

tl tl /l

36 jJ9 ,l .r *.4 4-a

48 51 á'+

un Cícero, ünid,ed de

medida

del arte tipográfico, De la misma nxlanera, los rectángulos rebati-

&37

ñt-.--

dos de 2 a 3 en 3 a 4 adquieren un ritmo de sístole y diástole por cuyo motivo son, estos rectángu-

los, dinárnicos y en movimiento Los rectángulos de relación 3 a 4 se eomponen de dos triángulos. denominados "Triángulos egipcios sagrados", porque slts lados corresponden a los núm€ros 3, 4 y 5, vale'decir, de B. partes para eI lado menor, 4 partes partes para el lado may'or y 5 partes para su bisectriz. Se les l1ama tarnbién 'de Pitágoras -v

rneridiano de un lado de la pirámide de Keops en Gizeh.

# El limitado espacio de una publicación ,de esta naturaleza, obliga a no dilatarse, corno sería necesario, en otras consideraciones. Remito al lector al Iibro Ce Matila Ghyka: Estéti'ca de Ias proporcíones en La N atural'eze A en l,as Artes, sobre el valor de estos rectángulos de alto con-

fueron empleaCos por los egipcios y ,ea'ldeos. Este rectángulo corresponde también al perf il

tenido pitagórico.

Con ta apalición d,e Las prznxeras im,pren,tas se produio 't111 Fig. b. mSul*íen{o Ae ieaccíón eontra el, nueuo arte ü! Wg-pe I'e dió eI' nomUiu de."Árte Negro" can eI sentid,o d,e arte diabóLzco. Un_ ri!6gya{o aél stgto xv noi muestra unt, esc€tl,o, dande l,a muerte (desd,obl,ad& en c:aá,a acción co,rno en los historietas modernas) se apoderu de típógrafos, prensisúas A líbreros, ca'rno demostyayt'dg que la multípliVaétíyt d,e los Libros no les daría la tnrnortalids.d. Este grubado es u"n "nxemento moris"

ofi

DÓ

1) cómo se encuentra geométricamente eI valor de un rectángulo árireo pr por el valor de la circunferengi?. 2 ) cómo se eñcuentra por Ia unidad de medida tipométrica. B) La exité*a y media raz6n y los- rectánguloi áureos un l" "Divina Proporción iipográfiea".

'L

CONTENIDO DE UNA CIRCUNFERE}{CIA (EL radio cualquiera, es prácticamente igual aI conlgni$o Gupgr{igig) de un rectán}ulo originado For el-vator PI, igual a 3.1416, _las dos superficies [ógan irnponderablemente a igual resultado matemático.

T

gírc.qIo) , de

Enunciado:

un Bq de medio pliego , 74 x 110, igual a 86 x b4 cíceros d9 superficie útil de- impresión, es como la r,;p"oiicie de un círculo con radio dado de z4,Bí50 cíceros.

Solución:

Superficie del Círcu1o: 8,1416 X Radioz X 24,BTrb0 y 24,,8?b0 igual ail',948,91408?0000 cíceros2

3,1416

Super{icie del Rectángulo: Iado { Iado: Forrnato: 86 x 54, igual a r,944 cíceros:

Rectángulo: 1.944,0000000000

.

Círculo

:1.943,9I408?b000

Diferencia

:

0.000,08b912b000

Lu"9o, la superficie de un formato está contenida en un

cíEculo de cualquier medids, y con radio 24.8750 se establece un formato ae Lln Be de *éAio pfiáSl 1tA X 110 (86 5q cíceros) idéntico a un rectángulo brt ielación' de Z; B;Xque

_/

39 _)

al número de oro tipográfico 1: 1,6 (1,b) . y dado la circunferencia es Ia mái perfecta de las iig,rr"r góoryrétricas' un rectángulo derivante de esta perfecc-ión .r" rrrt rectángulo perfecto en cuanto a tal figura. r,esponde qu-e

2) LT proporciones del rectángulo Fi, como las propor-

ciones del rectángg.lo PI,- son armóñicas, estéticas, á*"*i; y sus extrema _y oqg{i* raz6n se encuentran por eI mismo pio-

cedimiento. La diferencia radica en que *al lés rectángulos tr'i, , V.los rectángulo Pf, mismo tieñpo geométricos A tipográficos. La diferettcia entre el número" de oro Fi: 1,618, . . (LrT . . , cíceros) y el número pI: l,b (1,6 cíceros) !g.* imposible la aplicación tipográfica de los r'ectángulos Fi, porque su naturaleza numé?ica se encuentra en desacuerdo con la progresión tipométrica de la unidad d e medida de este arte. Y si en verb.ad., inicialmente, esta áifárencia resulta muy pequeña, en Ia progresión se hace cada vez mayor y en consecuencia incompatible con los valores tipomtétricos. Es por ello que solaménte las arquitecturas tipográficas compuestas en PI, son legítimas. Aii pues, la tip-ogTafía posee su número de oro sobie el cual se ápoya todo el sistema de la Divina Proporción Tipográfica cuya ley es Yqa LeA geométrtcamente tr,pométrica en potencr,u E típómétricamente geométrica en e,cto.

La extráma y rnedia ,rión aplicables a las proporciones PI, merece una advertencia que no ha de sef oúoid"d* en el trascurso de los problemas que se olantean en este trabajo. Me refiero a entender que la unidád de medida tipométrica usada en Artes Gráficas se d.enomina CICERO, cgmpuesta de 12 puntos. Un punto y medio, €s la raz6n del cícero, y un cícero y medio, lB puntbs, la razón de todas las progfesiones que se obtienén pór esta unid ad de medidá iiqométriea. _Si por sistema decimal 1,5 corresponde aI sistema duodecimal lipg*étrico como 1,6 (un puntó y medio, o un cícero y medio), el número de oro Fi; decimalmente como 1,168. . . resulta en su aplicación tipométrica a más de 1,7 . . . cíceros. En consecuenciá resulta qüe: sory geométricos

A) lrlúmero de oro Fi, es como

rnétricos.

más de 19 puntos tipo-

ts) Número de oro PI, es igual a

cícero

18 puntos exactos

d.e

+40_

¿

I

Por 1o tanto, 19 puntos no son múltiplos de B, porque si: X 3 resülta 6033,33. . . E; cambio 18 puntos son múltiplos.de 3,-porque 18 áirriAiOo 3 es 6, exactamente.

Ad.ernás un cícero !2, *iryÉltiplo a" I porque B 4 es rz, y lz x es rnúltiplo de pI, 8-1416, cuyos guariimos ,ü*"r, lb, y la suma de-l más 5 es 6- y 6- meáio .?"uro. Por otra parte, si se divide 6 p,or 2, *r .igual ? 3, y B ./ . 2, íg,r"i^""i]ó, número d.e, oro módulo de todas las árquitectúras tipograd.ár rectángulos en relación de 2 a g y rub*timientos de B ;- sus, a 4. se divide 19

3) El valor del .{ectÉt gulo propuesto por el sistema de, Divina Proporción Tifográiicai' se encuentra esencialntente' como hemos visto, eñ la unidad de medida iipomA-

la

trica, -el Cícero. Es un te,ciánsylo áuróo por sus proporciones geométricas y en razón tfpgniétrica al mismo tie'mpo.

Con el valor

de un cícero es posible construir un ráctá"gu1o de esta naturaleza porque si ét lado mayor es {e tz fuñtos, el lad.o, nftenor lo será de B,_ y como IZ i B es g6 y-i"'-r,r*" guarismos 15,.y la dé éstos 6,;, 6 ./. 2 es 3 y 3, ./.Zde estos es 1,6, esta raz6n es la que proporcióna un rectángulá áL n x B pun_ tos exactamente. A-coñtinuación, las figür;s O-Ál y O-É), permiten copPfender d.e inmediato eI procedimiento y su raz6n tipométrica que determina al r..tá"g"io^^tipográ,fico:

DESARROLLO DE LA FIGURA 6 A): Sobre 1a recta indefinida A, levantar desd e este punto, una perpendicular dividida en 12 partes iSuaies (;ráJ- ó"rtes equivalen a los 12 puntos de .rtt cicero¡". ttaciendo centro en A con el compás abierto a medid.a de z/B de cícero, (8, puntos) trazat un arco que corte a la recta indefinida en el punto y a los 72 puntos, trazar otrá reeta indefi;id; p;;;lela a F Ia ante-rior, h-orizonialmente, y, con la de apertura del compás, h_aciendo !é"tto en misma medida C, describir un arco que corte Ia recta en D. Uniendo por rn"Ji'" ¿. una v€r-tical- los gunt-os B y D, Ia resultante ü un rectángulo PI, de valor 1: 6 en relaciones de 2 a B. Y como este áureo rectángulo es producid,o la naturaleza det cícero, ningún otro nectángulg es más Por iegítimo ni ióáñ,*f"t* arquitecturar ,erl su superficie, -diagramaeiones exictaá !"r* el arte de componer tipográficameltg y en relaciott.i armónicas constan* tes, por Io tanto, estéticas.

_4L,--,

L il

DESARROLLO DE LA FIGURA 6 B): Resuelto eI rectángulo áureo de la figura 6, de vaLor Ptr, se ha de entontrar el"re,ctángulo "conteñido" o molde tipoTr" zar entonces una biagotll del punto A a1 -punto ;;áfi.o. al g t á"sde 4 puntos de cí_cero, insiribir una recta, paralela (mitad punto E, eI Iado *.rro, del rectángüio A'D, y desd.e jürtu de árt" parat*i"i.levantar una recta que corte en F, el lado menor det rá.ia"gulo. Luego con centro de compás en E con medida E-F, colt"t la Dlagonal en G. La sección determinan I'os A-G de la Diago""r, dobladas en su valor, derecho e infear lado mayor márgerr", q"u Eóriéipond.en -Dos puntos 1os que toquen verticales rior de,I ,ütá*gulo. o¡ o

,tl

I

I'

{r

2t 3.

4,

5

5.

6

ó.

7

v

I

I

9

9

I

2'

3

lo

tl

r cícrRo:|2 p.

12

Fig.

6.

11

,D

r2

Fig. 6.

A.

-

B.

horizontales con eI mismo efecto, nos dará Lln G-H, y dos,,contenid.o" o molde _tipggtáfico en perfecta re,*Já""gulo lación armónica con su rectángulo- de formato o "continente". ,C,omo se explica más adelante, la división en nueve secciones de ú Diigonal Matriz, gon sus puntos !-7,_c_onstruirá el mismo iéctánfiulo sobre cualquier formato posible. _

3) L O S MODULOS GEONIETRTCOS EN "DIVTNA FROPORCION TIPOGRAFICA''. LOS MódU1OS dcl TCCIáNgulo pI, en ,,Divina proporción Tipográfica" pueden ser de-

-ili

'ii

'cucidos por varias figuras geométricas: del ,,tríángulo rectangular" del cuadrilítéro y= d" la circunferencia.

Et procedirniento más simpie ;;;;ti" se determina en in figura 7.

Las demostraciones tienen por objeto comprobar que los. ""p,r"stas obñ;iáás-p"i" f".lÉ."gulos ul sistema de la ,,Divi'na Proporción Tipógráficá;- ru resuelr:r, 'por no por la opinión, sino de acuerdo u-.u"gt", **tlmáti.ái. blas de Proporcioner- olru;;;;d;?r'r"riu, otra parte, ras Tadd rectángulos.

Basta consultarlas p"ü r*r-oi,ru, de inmediato ,rrrl puesta en -página' se da a .o"ti"";.;;'Ios *¿d..rio, urr.orriraaos por el técnico gráfico D' sebastiÁ" oueñas Blasco, de zurlch, eüien propone ot-ros procedimie"iot gg:*gtricor, publicados en estudios sobre é1 sistema-A;i"-"Dirriü sus proporci ón,,.

"lWás recientemente ha apare_ .ci.do otro módulo á.r"uo ,Oó'-pro_

porciones

sas entre papel, ei mo1,d.e y __eL :,y-r *árgenes, siño *l ta*;l; Ael

:: b :

ttpo a elegir proporcionáfm_"_ te. Este . aspecfo é"u arniiráiio antes. El módulo f ,e ; -;;;;_ r1o eue nos ocupa colma en *"_ -"y cho las -apetericiai ."rleiiou,

7,5. {u.-1,-t,S Como es sabido, Rórurirro ru"á"_

¡n*enta sr1_módulo ternario án-la fórmula

X nz. ni *O¿úo*iur_ nario de ?

Rosarirro üé;;; x.ri", -io, { eompletar un vacío u"i"u (s , i ,s- / f-, i,eb {or _primeros -Ce base .cjentifica y 'materngti_l

,cer.

También aI suyo le

üü;';;.rliqüe se l_ d;; de aplicar a todo'iamañáiil"_ ginable te predicq{o e iguát atcanóe té._ nico-p_ráctico. de manera matematüa

v "segura.

-pone asíLa artesanía s",áfiáá--&._ de tres móairlÑ diré;_ {es en proporciones correlati?ás

de mayor a menor para ;i;áir.

Son éstas: 1) El clásico d.e Euclides en 'proporciones de 1 1,6 ,,-1,1.

2) El ternario Ce: ñór"ri,Jo' -prop'orciones g" I : l,b ,, S , Z,d. "l_, 3) El de Lichtemberg en pro_ "poreiones de 1 : 1,4-:: b : 7.

Tiene

el. de Rosjrivo otra p"r_ ticularidad ,digna d; encomio v suma atencióripor il ";i;;-.o""r: Y- necésario- h;;;; "ll:ttiy-o, ü.ii tla

llevado_ sus eonsecuenúas proporcionales hasta la

-ción del tamaño

o¡tü_ d"I llpo

;;;; sus medidas áureas. Es diciri;; -sóIo brinda: con ;; vléaüiJ^ t""] :nario las proporciones armonio_

t,écnicas de tas rr"lurid'*áár'?"a_ ficas. Por toclo elio,-los más de_ yg!"r y entregados a la énsey formaeión de tas g*ñ;_ 1111:1 racrones juveniles prestaríán- -a todos un buen seivióio;ffiái;" do a fondo y divulgando l" T;

lf 'ñ ü :' x? dlf ",:,*Kt rio se" le puede emplear la ma_ nera que su autor ha de expuesto

*x í:

en su estudio o ,del modo venimos indicando uqri-- é "-u

máti-ca y elementáimerite ayud:a de operaciones

Xnyl nlendo

l"r

"ü;": .o" i"

de di-

multipiicácló;, t: {conn:o_ ldu factor basrco cons_

tante eI módulo l,b áéo*¿tri¿;_ mente co,n auxilio déI, r;iñH_

1o

¡ del Cuadriláieü

aureo.

Digamos pues, que nos intere_

de úna medidl-de i1 averigy?r papelde b0 cnt., Iá broporcio"ái medida menor iámeciiatá p;;;';i molde y s u_s márgénes corres_ pondientes. Como ,é tratu-á;caso de mayor a menor propor_ "" cióno ape_laremos matemática,=

mente

a Ia

operación

di"ir;;*

cte 50

entre 1,5 o al trazado geo-

rnnétrieo deI Triángulo áureo' Ambos proceCimientos nos darán iguales resultados. Apele!ft9s *ftotJ con la regla o el cartabón aI trazado de un ángulo recto Á-B-c de la figura 1, cuyos lados horizontales Y Perpendrcutauno res -nO midan exactamente cada

oi*. Dividamos la PerPen'disea ál-**. Des,de este Punto medic Ali**i**ot la línea hiPotenusa át: i. Ya tenemos el triángulo ei cular B-D en su mitad C o

reo de módulo 1,5.Abramos

tamente las medidas Proporclo-'" nales de pie Y -decabeza corresponlomo Y laCo ex* dientes a-Ias

terior marginal, Procederemos a igual proceáimiento S-e9llétrico o af matemático de la división' La única diferencia será ahora, q99

i" *óaida base es Ia gerreral 'cel blanco de 16,7 mm. Ya sea Por" uno u otro Procedimiento a em-. o [1*"", el reiultado geométrico eI mismo: las ilatáínático sería

medidas Parciales de. 11,1 mrn' como margen mayo¡ 'de blanco Y ia de 5,6 mm. Para la- menor' Pa-

rá obtener

el- tamaño comPleto'

áét molde bastará rePetir 1o acabado de describir con la otra me-

dida det PaPel, eic.

Por medio ,Cel "triángulo regtangutar" o del "cuadrilátero" de' móñulo 1,5 se Podrán obtener" pióóót.iones, meáidas o tamaños

X

AF

B i

r----

Fí9.

1

al ancho de esta línea hipotenusa A-C; situemos su punta seca en eI extremo D' de la con la 'dei ffiil"dicular B-Da yseccionar en bortalápiz vamos éf prlnto E la hiPotenusa d e 1 óirialápiz en E, tiazando des'de áquí el arco de medio Punto PF de manera que seccione er dos partes la horlzontal A-8. C o-n ósta hemos obteni'do Ya geométii.*mente las dos ProPorciones áureas que buscábamos: la rne*i¿* deL- mol,de es la maYo F-B de 33,3 mm.; la medida, menor ¿.-f d. 16,? ínm. corresponde al total de hlanco 'Ce márgenes Ptra el paPel ,de 50 mrn. Y un morde de-33,3 mm. Para lograr exaccompás

áttbos de "inenor o mayof"' is"át*ente con sendas operacio-nés d.e multiPlicación, cuyos f"9tores sean É medida base Y la del mód.ulo 1,5. Veamos el Proó.Ai*iento a seguir con el P-roplo ejemPlo de una me'dida hase menor Ce 50 mm. A este ta-" maño vamos a ttazar et ángu2^ to recto A-B-C 'de la figura p"tá tirar la hiPotenusa A-C' bott esto se tiene Ya el trilne"io rectangular áureo. Divida-. ñros la hiPotenusa C en su cen-' iio- medio exacto E, Y ell el cateto perpendicular B-C en su mlál b. h.btamos el comPás a la *áaia¿ ,d€ la Diagonal imagina*" ria A-D colocando la Punta -seca en el punto en el eentro E de la hipotenusa C Y con la del PoTl"iapi" tiremos en diagonal la pequeña curva F 'de rnanera que veng,a a eortar imaginariamente 1á prolongación hasta aqul de' i* prólottgación del. cateto +-F' Con esta brolongación lineal AF se ha onteni'ab Ya el tamaño'a ; med'ida mayor Proporeional la base de 50 mm' Este nuevo

--) 44 (-)

fn¡*-

"

-

"

"segmento mi,de ahora en

total 75 rrrm. C o n 1o cual quiere que si eI molde, o medida decir ¡"rá "€ra de 50 mm. su proporcional -el mayor inmedi ata pára papel €s 'de 75 mm. Con eI ,,cuadriia_ tero" se llega a obtener el lla_ mado r_ectángulo áureo, o sea

una me,dida rectangular cuyos Iados ,se corresponden armoniosamente en todas sus partes. El rectángulo áureo de móduto fb se traza del modo que sigue: Como

tuar después la punta seca en el, y con la de1 portalá_

centr.o O,

ptz

trar un

arco de medio pun_

los dos lados paralelos frorüon_ to F-G,. de ¡nóao que ,r"rgir, a

cortar imaginariam-ente h á s t

la

_C

verticat

f lá _consiguiente prolongación efeetiva de los la_ dos horizonales del cuadrilátero. se tiene ya el desea,do rectángu1o áureo de mód"ulo 1,b. Co-mo podrá comprobarse, miden rri ladss 75 X b0 mm. o sea los " b0 de Ia base más 25 de la prolongación áurea tograda. nn t o d o

rectángg,lo áureo de módulo

A

Fig.

s.

la medida base tomemos también la ,de 50 mm., para que- il;;; lnás claramenie- la simitituá ¿;; la figura geométrica anteiio; -t Ia diferencia con los módulól ¿É 1,6 y de 1,4. Así procedeiu*ór--á trazar el cuadrilátero A :-B : C C - D de la ligura B cuyos ladoi miden, aisla¿imente foi So -*ro de medida base. Desde sus resf pectivcs extremos angularer- tl_ ramos sendas diagonáIes para hallar ei punto cénltrico **Olo-O 4g l+ superficie. El tado pá"ñ"-_ dicular C-D lo ciividimos por su rnitad exacta E. Ahora, el compás a la medida á""¡""*oi i" gonal imaginaria A-E p"iabi;: ,l*

1,b

Ia rnedida menor ,d e I lado córrespondiente asimismo a la inmediata fit&yor del papel, y por tanto cual medida máyór - ú e I molde guyo. Lo mismo que Ros_arivo ha indicado eon sus Zlg ,Cel ancho del papel. La meAida menor de 25 mm. de la prolongaci6n, del cuadrilátero, es también el blanco total da máigenes a dividir áureamente en .los partes desiguales para pie y cabeza, 1o que daría 1,6 X 8,4 respeetivamente".

"

AC ___--

tris.

j

s.

Sebastián Dueñas Blasco: "Propiedades de los 3 cánones áureos"' Revista técnica "Gráficas" au ias"ld."i."r Lrsr I'rur.u' libro. rvraclrl( Madrid. 'rructD deI

año X, Ne 10?, págs.

zzs:z-i[_110.

'-45

á

aquí, la prblongación lineaf ,dé tales A-D y B-C. Cerrada con

REBATIMIE,N'TOS

DE FORMATOS Y MCLDES (1'6)

,

pd,gina in-'iol'ío .contí?\e ?:,!:,u: lu

fjÍ;^Y:T1!3iryr:i; i'if'"!;""*7;T".:?Hiáii,"í;;ú;t;;'"1;;;Ñ;;d"a,a9:::*L22:Y:::, ni d s ar m ní am nt' e nt " s m ala á' íZi;¿' #"'; ;\;"', ;; ;;í; ;' áí {o* iá' r atros).

Fie. 7.

T,Jna

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unas en los .-.*)

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46

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