TEORIA DOS NÚMEROS - 2ª ed Vol 2

GOD IS SOVERIGN

Prof. Rubens Vilhena

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Índice para catálogo sistemático 1. Teoria dos Números, 2ª ed: 511.68 BELÉM – PARÁ – BRASIL - 2017 – Dados internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP)

F676t Fonseca, Rubens Vilhena.

Teoria dos Números / Rubens Vilhena Fonseca — Belém: UEPA/ Centro de Ciências Sociais e de Educação, 2017.

ISBN:978 – 85 – 88375 – 66 – 6 1. Teoria dos Números, 2ª ed.-vol 2. I. Universidade do Estado do Pará. II. Título.

CDU: 511.68 CDD: 512.7

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ÍNDICE 3.

REPRESENTAÇÃO DE INTEIROS EM OUTRAS BASES

4.

CONGRUÊNCIAS E FUNÇÕES ARITMÉTICAS

5.

6.

7.

4.1.

INTRODUÇÃO À TEORIA DAS CONGRUÊNCIAS

4.2.

CONGRUÊNCIAS LINEARES

4.3.

FUNÇÕES ARITMÉTICAS

TRÊS CONGRUÊNCIAS ESPECIAIS 5.1.

O TEOREMA DE WILSON

5.2.

O PEQUENO TEOREMS DE FERMAT

5.3.

O TEOREMA DE EULER

5.4.

O TEOREMA CHINÊS DO RESTO

RAÍZES PRIMITIVAS 6.1.

ORDEM DE UM INTEIRO E RAÍZES PRIMITIVAS

6.2.

RAÍZES PRIMITIVAS PARA PRIMOS

6.3.

LOGARITMOS DISCRETOS

A LEI DE RECIPROCIDADE QUADRÁTICA 7.1.

RESÍDUOS QUADRÁTICOS E NÃO QUADRÁTICOS

7.2.

O CRITÉRIO DE EULER

7.3.

O SÍMBOLO DE LEGENDRE

7.4.

A LEI DE RECIPROCIDADE QUADRÁTICA – PARTE 1

7.5.

A LEI DE RECIPROCIDADE QUADRÁTICA – PARTE 2

7.6.

A RECIPROCIDADE QUADRÁTICA DE GAUSS

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3. REPRESENTAĂ‡ĂƒO DE INTEIROS EM OUTRAS BASES

A forma como os inteiros sĂŁo representados tem um grande impacto sobre a facilidade com que as pessoas e os computadores podem fazer a aritmĂŠtica com esses nĂşmeros inteiros.

O objetivo deste capítulo Ê explicar como os números inteiros são representados usando expansþes de base b e como operaçþes aritmÊticas båsicas podem ser realizadas usando essas expansþes. Em particular, mostraremos que quando b Ê um inteiro positivo, cada inteiro positivo tem uma única base de expansão b. Por exemplo, quando b Ê 10, temos a expansão decimal de um número inteiro; Quando b Ê 2, temos a expansão binåria desse inteiro; E quando bis 16, temos a expansão hexadecimal. Vamos descrever um procedimento para encontrar a expansão de base b de um inteiro e descrever os algoritmos båsicos usados para realizar a aritmÊtica de números inteiros com expansþes de base b. Finalmente, após a introdução da notação big-0, vamos analisar a complexidade computacional dessas operaçþes båsicas em termos de estimativas de grande-0 do número de operaçþes de bit que eles usam.

Na vida diåria, usamos notação decimal para representar números inteiros.

Escrevemos nĂşmeros usando dĂ­gitos para representar poderes com freqßência. Por exemplo, quando escrevemos o inteiro 37 465, queremos dizer đ?&#x;‘ ∙ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;’ + đ?&#x;• ∙ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;‘ + đ?&#x;’ ∙ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;? + đ?&#x;“ Notação decimal ĂŠ um exemplo de um sistema de nĂşmeros posicional, em que a posição que um dĂ­gito ocupa em uma representação determina a quantidade que representa.

Ao longo da história antiga e moderna, muitas outras notaçþes para números inteiros têm sido usadas. Por exemplo, os matemåticos babilônicos que viveram hå mais de 3000 anos expressaram números inteiros usando sessenta como base. Os romanos usaram numerais romanos, que são usados atÊ hoje para representar anos. Os antigos maias usavam uma notação posicional com vinte como base. Muitos outros sistemas de notação de números inteiros foram inventados e usados ao longo do tempo.

Não hå nenhuma razão especial para usar dez como a base em um sistema de número de posição fixa, alÊm de que temos dez dedos. Como veremos, qualquer inteiro positivo maior que 1 pode ser usado como uma base. Com a invenção ea proliferação de computadores, bases diferentes de dez tornaram-se cada vez mais importantes. Em particular, as Prof. Rubens Vilhena

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representaçþes de números inteiros base 2, base 8 e base 16 são utilizadas extensivamente por computadores para vårias finalidades.

Vamos demonstrar que não importa qual o inteiro positivo b Ê escolhido como uma base, cada inteiro positivo pode ser expresso unicamente na notação de base b. Mostraremos agora que cada inteiro positivo maior que 1 pode ser usado como uma base.

Teorema 3.1. Dado um inteiro qualquer đ?‘? > 1, todo inteiro positivo n admite uma Ăşnica representação da forma:

đ?’? = đ?’‚đ?’Ž đ?’ƒđ?’Ž + đ?’‚đ?’Žâˆ’đ?&#x;? đ?’ƒđ?’Žâˆ’đ?&#x;? + â‹Ż + đ?’‚đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;? + đ?’‚đ?&#x;? đ?’ƒ + đ?’‚đ?&#x;Ž onde os ai sĂŁo tais que 0 ≤ đ?‘Žđ?‘– ≤ đ?‘?, đ?‘– = 0, 1, . . . , đ?‘š.

Para đ?‘? = 2, vemos pelo Teorema 3.1 que o seguinte corolĂĄrio ĂŠ vĂĄlido.

CorolĂĄrio 3.1. Cada inteiro positivo pode ser representado como uma soma de potĂŞncias distintas de base 2.

As demonstraçþes desses resultados estão no final desta seção.

Nas expansĂľes descritas no Teorema 3.1, b ĂŠ chamada de base ou raiz da expansĂŁo.

Chamamos base notação 10, a nossa maneira convencional de escrever números inteiros, notação decimal. As expansþes de base 2 são chamadas expansþes binårias, as expansþes de base 8 são chamadas expansþes octais e as expansþes de base 16 são chamadas hexadecimais ou hexadecimais. Os coeficientes �� são chamados os dígitos da expansão. Os dígitos binårios são chamados de bits (dígitos binårios) na terminologia do computador.

Para distinguir representaçþes de inteiros com bases diferentes, usamos uma notação especial. Escrevemos (đ?‘Žđ?‘˜ đ?‘Žđ?‘˜âˆ’1 ‌ đ?‘Ž1 đ?‘Ž0 )đ?‘? para representar o nĂşmero đ?‘Žđ?‘˜ đ?‘? đ?‘˜ + đ?‘Žđ?‘˜âˆ’1 đ?‘? đ?‘˜âˆ’1 + â‹Ż + đ?‘Ž1 đ?‘? + đ?‘Ž0 Exemplo3.1 105 = 1. 26 + 1. 25 + 0. 24 + 1. 23 + 0. 22 + 0.2 + 1 = (1101001)2 . Por outro lado, (100111)2 = 1. 25 + 0. 24 + 0. 23 + 1. 22 + 1.2 + 1 = 39.

O leitor pode verificar que a demostração do Teorema 3 fornece um mĂŠtodo para encontrar a expansĂŁo na base b (đ?‘Žđ?‘˜ đ?‘Žđ?‘˜âˆ’1 ‌ đ?‘Ž1 đ?‘Ž0 )đ?‘? de qualquer inteiro positivo n.

Especificamente, para encontrar a expansĂŁo de base b de n, dividimos primeiro n por b. O đ?‘›

resto ĂŠ o dĂ­gito đ?‘Ž0 . EntĂŁo, dividimos o quociente ⌊ ⌋ = đ?‘ž0 por b. O restante ĂŠ o dĂ­gito đ?‘Ž1 . đ?‘?

Continuamos este processo, sucessivamente dividindo o quociente obtido por b, para obter os

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dígitos na base b da expansão de n. O processo para quando se obtém um quociente 0. Em outras palavras, para encontrar a expansão de n na base b, executamos o algoritmo de divisão repetidamente, substituindo o dividendo cada vez pelo quociente, e paramos quando chegamos a um quociente que é 0. Então lemos a lista de restos para encontrar a expansão na base 𝑏. Ilustramos este procedimento no exemplo a seguir.

Exemplo 3.2. Escrever 31415 no sistema de base 8.

Temos, sucessivamente: 31415 = 8.3926 + 7 3926 = 8.490 + 6 490 = 8.61 + 2 61 = 8.7 + 5 7 = 8.0 + 7 Portanto 31415 = 7. 84 + 5. 83 + 2. 82 + 6.8 + 7 = (75267)8 Exemplo 3.3. Para encontrar a expansão de 1864 na base 2, usamos sucessivamenete o algoritmo da divisão 1864 = 2 · 932 + 0, 932 = 2 · 466 + 0, 466 = 2 · 233 + 0, 233 = 2 · 116 + 1, 116 = 2 · 58 + 0, 58 = 2 · 29 + 0, 29 = 2 · 14 + 1, 14 = 2 · 7 + 0, 7 = 2 · 3 + 1, 3 = 2 · 1 + 1, 1 = 2 · 0 + 1.

Para obter a expansão de 1864 na base 2, tomanos os restos das divisões, para mostrar que (𝟏 𝟖𝟔𝟒)𝟏𝟎 = (𝟏 𝟏𝟏𝟎𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎)𝟐 .

Os computadores representam números internamente usando uma série de "switches" que podem ser "on" ou "off". (Isso pode ser feito eletricamente ou mecanicamente, ou por Prof. Rubens Vilhena

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outros meios). Portanto, temos dois estados possíveis para cada comutador. Podemos usar "on" para representar o dígito 1 e "off" para representar o dígito 0; É por isso que os computadores usam expansþes binårias para representar inteiros internamente.

Os computadores usam base 8 ou base 16 para fins de exibição. Na notação de base 16 (hexadecimal) hå 16 dígitos, geralmente indicados por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. As letras A , B, C, D, E e F são utilizados para representar os dígitos que correspondem a 10, 11, 12, 13, 14 e 15 (escritos em notação decimal). O exemplo a seguir demonstra a conversão de notação hexadecimal para decimal.

Exemplo 3.4. Para converter (đ??´35đ??ľ0đ??š)16 de hexadecimal para notação decimal, escrevemos (đ??´35đ??ľ0đ??š)16 = 10 ¡ 165 + 3 ¡ 164 + 5 ¡ 163 + 11 ¡ 162 + 0 ¡ 16 + 15 = (10705679)10 Uma conversĂŁo simples ĂŠ possĂ­vel entre notação binĂĄria e hexadecimal. Podemos escrever cada dĂ­gito hexadecimal como um bloco de quatro dĂ­gitos binĂĄrios de acordo com as correspondĂŞncias dadas na Tabela 3.1.

Exemplo 3.5. Um exemplo de conversĂŁo de hex para binĂĄrio ĂŠ (2đ??šđ??ľ3)16 = (10111110110011)2 Cada dĂ­gito hexadecimal ĂŠ convertido em um bloco de quatro dĂ­gitos binĂĄrios (os zeros iniciais no bloco inicial (0010)2 correspondentes ao dĂ­gito (2)16 sĂŁo omitidos.

Para converter de binĂĄrio para hexadecimal, considere (11110111101001)2 .

Dividimos isto em blocos de quatro, partindo da direita, os blocos sĂŁo, da direita para a esquerda, 1001, 1110, 1101 e 0011 (com dois zeros iniciais adicionados). Construindo cada bloco para hexadecimal, obtemos (3đ??ˇđ??¸9)16 .

Hexadecimal BinĂĄrio Hexadecimal BinĂĄrio 0 0000 8 1000 1 0001 9 1001 2 0010 A 1010 3 0011 B 1011 4 0100 C 1100 5 0101 D 1101 6 0110 E 1110 7 0111 F 1111 Tabela 1. ConversĂŁo de blocos hexadecimais para blocos binĂĄrios Observamos que uma conversĂŁo entre duas bases diferentes ĂŠ tĂŁo fĂĄcil quanto uma conversĂŁo hexadecimal sempre que uma das bases for uma potĂŞncia da outra.

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Exemplo 3.6. Escrever (3531)6 no sistema de base 10.

Temos, (3531)6 = 3. 63 + 5. 62 + 3.6 + 1 = 847.

Exemplo 3.7. Escrever (6165)7 no sistema de base 12.

Temos, (6165)7 = 6. 73 + 1. 72 + 6.7 + 5 = 2154.

Vamos escrever 2154 (base 10) na base 12: 2154 = 12.179 + 6 179 = 12.14 + 11 14 = 12.1 + 2 1 = 12.0 + 1 No sistema de base 12 designamos 10 e 11 por A e B, respectivamente, de modo que os algarismos deste sistema sĂŁo: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b. Portanto, 2154 = 1. 123 + 2. 122 + đ??ľ. 12 + 6 = (12đ??ľ6)12 Demonstração do Teorema 3.1 Pelo algoritmo da divisĂŁo aplicado aos inteiros n e b, temos: đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E;1 + đ?&#x2018;&#x17D;0 , 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x17D;0 < đ?&#x2018;?

(0)

Aplicando, agora, o algoritmo da divisĂŁo ao quociente đ?&#x2018;&#x17E;1 e ao inteiro b, temos: đ?&#x2018;&#x17E;1 = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E;2 + đ?&#x2018;&#x17D;1 ,

0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x17D;1 < đ?&#x2018;?

(1)

Analogicamente, continuando a aplicar o algoritmo da divisĂŁo aos quocientes obtidos đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x2013; e ao inteiro b, temos: đ?&#x2018;&#x17E;2 = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E;3 + đ?&#x2018;&#x17D;2 , đ?&#x2018;&#x17E;3 = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E;4 + đ?&#x2018;&#x17D;3 ,

0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x17D;2 < đ?&#x2018;?

0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x17D;3 < đ?&#x2018;?

(2) (3)

e assim por diante.

Como đ?&#x2018;&#x203A; > đ?&#x2018;&#x17E;1 > đ?&#x2018;&#x17E;2 > đ?&#x2018;&#x17E;3 > â&#x2039;Ż e cada đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2030;Ľ 0, esta seqßência decrescente dos quocientes đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x2013; ĂŠ finita, isto ĂŠ, existe um Ă­ndice m tal que

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đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x161; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 , 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 < đ?&#x2018;?

(m-1)

đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x161; = đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2122; 0 + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161; , 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161; < đ?&#x2018;?

(m)

Multiplicando por b ambos os membros de (1), por đ?&#x2018;? 2 ambos os membros de (2), por base đ?&#x2018;? 3 ambos os membros de (3), ..., por đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 ambos os mebros de (m-1), obtemos o conjunto de igualdades: đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E;1 + đ?&#x2018;&#x17D;0 , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E;1 = đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;&#x17E;2 + đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;?,

0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x17D;0 < đ?&#x2018;?

0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x17D;1 < đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;&#x17E;2 = đ?&#x2018;? 3 đ?&#x2018;&#x17E;3 + đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;? 2 ,

0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x17D;2 < đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;? 3 đ?&#x2018;&#x17E;3 = đ?&#x2018;? 4 đ?&#x2018;&#x17E;4 + đ?&#x2018;&#x17D;3 đ?&#x2018;? 3

0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x17D;3 < đ?&#x2018;?

â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś.. đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 = đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 ,

â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 < đ?&#x2018;?

Somando ordenadamente todas essas m igualdades, teremos: đ?&#x2018;&#x203A; + (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E;1 + đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;&#x17E;2 +. . . +đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 ) = = (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E;1 + đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;&#x17E;2 +. . . +đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 ) + +đ?&#x2018;&#x17D;0 + đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;? 2 +. . . +đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x161; ou finalmente: đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x161; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 +. . . +đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;? 2 + đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x17D;0 Demonstração do CorolĂĄrio 3.1 Seja n um nĂşmero inteiro positivo. Do Teorema 3.1 com đ?&#x2018;? = 2, sabemos que đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; 2đ?&#x2018;&#x2DC; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 2đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 + â&#x2039;Ż đ?&#x2018;&#x17D;1 2 + đ?&#x2018;&#x17D;0 , onde cada đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; ĂŠ 0 ou 1. Portanto, cada inteiro positivo ĂŠ a soma de potĂŞncias distintas de 2. â&#x2013;Ą

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PRECIOSIDADES â&#x20AC;&#x201C; Parte I

1) Escrever (31322)4 e (5đ??´19)11 no sistema de base 10 2) Escrever no sistema de base 10, (314)5 , (3141)7 e (3141)11 3) Escrever 132 e 285 no sistema de base 8 4) Escrever 1492 nos sistemas de base 2, 3, 7, 9 e 11 5) Escrever (7645)8 no sistema de base 5 e (đ?&#x2018;&#x17D;3đ?&#x2018;?)12 no sistema de base 7 6) Resolver as seguintes equaçþes: a) (123)4 = đ?&#x2018;Ľ5

, b) (234)5 = đ?&#x2018;Ľ6

, c) (123)đ?&#x2018;Ľ =

(1002)4 7) Escrever 2417 no sistema de base 5 e 1639 no sistema de base 7 8) Determinar a base do sistema no qual 73 se escreve 243 9) Determinar a base do sistema no qual (346)7 se escreve 91 10) Escrever (3ab7)12 no sistema de base 10

PRECIOSIDADES â&#x20AC;&#x201C; Parte II

1) Converter 1999 para a base 7. Converter (6105)7 para base dez.

2) Converter 89156 para a base 8. Converter (706113)8 para base dez.

3) Converter (10101111)2 para decimal e 999 para binĂĄrio.

4) Converter (101001000)2 para decimal e 1984 para binĂĄrio.

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5) Converter (100011110101)2 e (11101001110)2 para hexadecimal.

6) Converter (đ??´đ??ľđ??śđ??ˇđ??¸đ??š)16 , (đ??ˇđ??¸đ??šđ??´đ??śđ??¸đ??ˇ)16 e (9đ??´0đ??ľ)16 para binĂĄrio.

7) Explique por que realmente estamos usando a base 1000 quando quebramos inteiros decimais grandes em blocos de trĂŞs dĂ­gitos ligeiramente separados.

8) Mostre que se b ĂŠ um inteiro negativo menor que â&#x2C6;&#x2019;1, entĂŁo cada inteiro n diferente de zero pode ser escrito de forma Ăşnica como đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2DC; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 + â&#x2039;Ż + đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x17D;0 onde đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030; 0 e 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2014; < |đ?&#x2018;?| para đ?&#x2018;&#x2014; = 0, 1, 2, . . . , đ?&#x2018;&#x2DC;. Escrevemos = (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x20AC;Ś đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;&#x17D;0 ) , como fazemos para bases positivas.

9) Encontre a representação decimal de (101001)â&#x2C6;&#x2019;2 e (12012)â&#x2C6;&#x2019;3 .

10) Encontre as representaçþes na base â&#x2C6;&#x2019;2 dos nĂşmeros decimais â&#x2C6;&#x2019;7, â&#x2C6;&#x2019;17 e 61.

11) Mostre que qualquer â&#x20AC;&#x153;pesoâ&#x20AC;? que nĂŁo exceda 2đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; 1 kg, por exemplo, pode ser medido usando pesos de 1, 2, 22 , â&#x20AC;Ś , 2đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 , quando todos os pesos sĂŁo colocados em uma balança.

12) Mostre que cada inteiro nĂŁo nulo pode ser representado unicamente na forma đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; 3đ?&#x2018;&#x2DC; + đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 3đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 + â&#x2039;Ż + đ?&#x2018;&#x2019;1 3 + đ?&#x2018;&#x2019;0 onde đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014; = â&#x2C6;&#x2019;1, 0 ou 1

1 para đ?&#x2018;&#x2014; = 0, 1, 2, . . . , đ?&#x2018;&#x2DC; e đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030; 0. Essa expansĂŁo ĂŠ chamada de

expansĂŁo ternĂĄia balanceada.

13) Use a questĂŁo 12 para mostrar que qualquer peso que nĂŁo exceda

3đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;1 2

pode ser medido

usando pesos de 1, 3, 32 , . . . , 3đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 , quando os pesos sĂŁo colocados em qualquer balança.

14) Explique como converter de base 3 para base 9, e de base 9 para base 3.

15) Explique como converter de base r para base đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x203A; , e de base đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x203A; para base r, quando đ?&#x2018;&#x; > 1 Prof. Rubens Vilhena

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e n sĂŁo nĂşmeros inteiros positivos.

16) Mostre que se đ?&#x2018;&#x203A; = (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x20AC;Ś đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;&#x17D;0 )đ?&#x2018;? , entĂŁo o quociente e o resto quando n ĂŠ dividido por bj sĂŁo đ?&#x2018;&#x17E; = (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x20AC;Ś đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2014; )đ?&#x2018;? e đ?&#x2018;&#x; = (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2014;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x20AC;Ś đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;&#x17D;0 )đ?&#x2018;? , respectivamente.

17) Se a expansĂŁo na base b de n ĂŠ đ?&#x2018;&#x203A; = (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x20AC;Ś đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;&#x17D;0 )đ?&#x2018;? , qual ĂŠ a expansĂŁo na base b de đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x203A;?

As representaçþes binĂĄrias complementares dos nĂşmero inteiros sĂŁo usadas para simplificar a aritmĂŠtica computacional. Para representar nĂşmeros inteiros positivos e negativos em notação binĂĄria com valor absoluto menor que 2đ?&#x2018;&#x203A; , um total de đ?&#x2018;&#x203A; + 1 bits (dĂ­gitos) ĂŠ usado.

O bit (dígito) mais à esquerda Ê usado para representar o sinal. Um 0 nesta posição Ê utilizado para números inteiros positivos, e um 1 nesta posição Ê usado para números inteiros negativos, ambos escritos em notação binåria.

Para inteiros positivos, os bits restantes sĂŁo idĂŞnticos Ă expansĂŁo binĂĄria do inteiro.

Por exemplo, digamos que queremos a representação binĂĄria complementar de 19 com comprimento de 8 bits. Como 19 = (10011)2, vemos que hĂĄ 5 bits na sua representação binĂĄria, como 19 ĂŠ positivo, completamos os trĂŞs dĂ­gitos que faltam com zeros. Assim, 00010011 ĂŠ sua representação binĂĄria complementar.ra os inteiros negativos, os bits restantes sĂŁo obtidos primeiro encontrando a expansĂŁo binĂĄria do valor absoluto do inteiro, e entĂŁo trocamos os valores 1 por 0 e vice-versa. Os bits restantesĂŁo completados por 1â&#x20AC;&#x2122;s. Agora, queremos a representação de â&#x2C6;&#x2019;19 com 8 bits. JĂĄ vimos que a representação binĂĄria do seu valor absolute ĂŠ 10011. Fazemos entĂŁo a inversĂŁo dos valores, isto ĂŠ, 01100 e completamos os dĂ­gitos que faltam com dĂ­gitos iguais a 1, para obtermos 11101100.

18) Encontre as representaçþes binåriass complementares, usando sequências de bits de comprimento seis, dos seguinte inteiros. a) 22

b) 31

c) â&#x2C6;&#x2019;7

19) Determine quais sĂŁo os

d) â&#x2C6;&#x2019;29

números inteiro nas seguintes representaçþes binårias

complementares de comprimento cinco. a) 11001

b) 01101

c) 10001

d) 11111

20) Como Ê a representação binåria complementar de -m obtida a partir da representação Prof. Rubens Vilhena

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binĂĄria complementar de m, quando sĂŁo usadas sequĂŞncias de bits de comprimento n?

21) Mostre que se m ĂŠ

um número inteiro com a representação binåria complementar

đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x20AC;Ś đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;&#x17D;0 , entĂŁo đ?&#x2018;&#x161; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 (2đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 1) + â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;&#x2013;=0 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; 2 .

A representação binĂĄria complementar dupla de inteiros tambĂŠm sĂŁo usadas para simplificar a aritmĂŠtica computacional (de fato, elas sĂŁo usados muito mais comumente do que as representaçþes binĂĄrias complementares). Para representar um inteiro x com â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ 2đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 1, logo n bits sĂŁo usados.

O bit mais Ă esquerda representa o sinal, com 0 usado para inteiros positivos e 1 para inteiros negativos.

Para um inteiro positivo, os đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1 bits restantes sĂŁo idĂŞnticos Ă expansĂŁo binĂĄria do inteiro. Para um inteiro negativo, os bits restantes sĂŁo os bits da expansĂŁo binĂĄria de 2đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; |đ?&#x2018;Ľ|.

Vejamos um exemplo. Seja đ?&#x2018;Ľ = 19, queremos sua representação binĂĄria dupla. Como â&#x2C6;&#x2019;26â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;¤ 19 â&#x2030;¤ 26â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 1, logo o comprimento serĂĄ de 6 bits. JĂĄ vimos que hĂĄ 5 bits na sua representação binĂĄria, entĂŁo como 19 ĂŠ positive basta acrescentar um zero Ă esquerda, 010011.

Para đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;19, temos 26â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; |â&#x2C6;&#x2019;19| = 13. Primeiramente façamos a expansĂŁo binĂĄria complementar dupla de 13 com 6-1 bits, ou seja, 01101. Agora, como â&#x2C6;&#x2019;19 ĂŠ negativo, teremos 101101, como sua expansĂŁo binĂĄria complementar dupla.

22) Encontre as representaçþes binårias complementares duplas, usando strings de bits de comprimento seis, dos inteiros da questão 18.

23) Quais números inteiros estão com representação binåria dupla na questão 19?

24) Mostre que se m for um inteiro com uma representação complementar binĂĄria dupla đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x20AC;Ś đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;&#x17D;0 , entĂŁo đ?&#x2018;&#x161; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 (2đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 ) + â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;&#x2013;=0 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; 2 .

25) Como Ê a representação binåria complementar dupla de -m obtida a partir da representação binåria complementar dupla de m, quando são usadas sequências de bits de comprimento n?

26) Como conseguir a representação binåria complementar dupla de um inteiro a partir da sua representação binåria complementar?

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27) Algumas vezes, os inteiros positivos sĂŁo codificados usando expansĂľes binĂĄrias de quatro dĂ­gitos para representar cada dĂ­gito decimal. Isso produz a forma decimal binĂĄria codificada (DBC) do inteiro. Por exemplo, vamos codificar 791. Primeiro temos que 1 = (0001)2 , 9 = (1001)2 e 7 = (0111)2 , assim 011110010001 ĂŠ a representĂŁo binĂĄria codificada de 791.

Quantos bits são necessårios para representar um número com n dígitos decimais usando este tipo de codificação? Converta os inteiros 21, 79 e 126 para a forma decimal binåria codificada.

Uma expansĂŁo de Cantor de um inteiro positivo n ĂŠ uma soma đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x161;! + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; 1)! + â&#x2039;Ż + đ?&#x2018;&#x17D;2 2! + đ?&#x2018;&#x17D;1 1!, onde cada aj ĂŠ um inteiro com 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161; â&#x2030; 0.

28) Encontre as expansĂľes de Cantor de 14, 56 e 384.

29) Mostre que cada inteiro positivo tem uma Ăşnica expansĂŁo de Cantor.

30) Um certo nĂşmero decimal de trĂŞs dĂ­gitos aumenta de 36 se permutarmos os dois dĂ­gitos da direita, e diminui de 270 se permutarmos os dois dĂ­gitos da esquerda. O que acontece ao nĂşmero se permutarmos os dois dĂ­gitos extremos? (c. Hefez) 31) Escolha um nĂşmero decimal abc de trĂŞs dĂ­gitos, de modo que o dĂ­gito das centenas a e o das unidades c difiram de, pelo menos, duas unidades. Considere os nĂşmeros abc e cba e subtraia o maior do menor, obtendo xyz. A soma xyz com zyx vale 1089. Justifique esse fato. (c.Hefez) 32) Mostre que o Ăşnico inteiro com uma expansĂŁo decimal de quatro dĂ­gitos distintos, tal que đ?&#x2018;&#x2021;(đ?&#x2018;&#x17D;) = đ?&#x2018;&#x17D; ĂŠ đ?&#x2018;&#x17D; = 6174. O inteiro 617 4 ĂŠ chamado de constante de Kaprekar (em homegem ao matemĂĄtico indiano D.R. Kaprekar (1905-1986)), porque ĂŠ o Ăşnico inteiro com esta propriedade.

33) a) Mostre que se a ĂŠ um inteiro positivo com uma expansĂŁo decimal de quatro dĂ­gitos distintos, entĂŁo a seqßência đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x2021;(đ?&#x2018;&#x17D;), đ?&#x2018;&#x2021;(đ?&#x2018;&#x2021;(đ?&#x2018;&#x17D;)), đ?&#x2018;&#x2021;(đ?&#x2018;&#x2021; (đ?&#x2018;&#x17D;))), â&#x20AC;Ś, obtido por iteração de T, atinge sempre o nĂşmero inteiro 6174. b) Determine o nĂşmero mĂĄximo de passos necessĂĄrios para que a sequĂŞncia definida na parte (a) atinja 6174.

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Seja b um inteiro positivo e seja a seja um inteiro com uma expansĂŁo de quatro dĂ­gitos distintos na base b. Defina đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;? (đ?&#x2018;&#x17D;) = đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122; onde đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;&#x2122; ĂŠ o inteiro com uma expansĂŁo na base b obtida escrevendo os dĂ­gitos de a em ordem decrescente, e đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122; ĂŠ o inteiro com uma expansĂŁo na base b obtida escrevendo os dĂ­gitos de a em ordem crescente.

34) Seja đ?&#x2018;? = 5. Encontre o Ăşnico inteiro com uma expansĂŁo de 4 dĂ­gitos distintos na base b tal que đ?&#x2018;&#x2021;5 (đ?&#x2018;&#x17D;0 ) = đ?&#x2018;&#x17D;0 ¡ Mostre que este inteiro a0 ĂŠ uma constante de Kaprekar para a base 5, ou seja, que đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x2021; (đ?&#x2018;&#x17D;), đ?&#x2018;&#x2021;(đ?&#x2018;&#x2021;(đ?&#x2018;&#x17D;)), đ?&#x2018;&#x2021;(đ?&#x2018;&#x2021; (đ?&#x2018;&#x17D;))), â&#x20AC;Ś , , . .. eventualmente atinge đ?&#x2018;&#x17D;0 , sempre que a for um inteiro com uma expansĂŁo de 4 dĂ­gitos distintos na base 5.

35) Mostre que nĂŁo existe uma constante de Kaprekar para nĂşmeros de quatro dĂ­gitos distintos na base 6.

36) Determine se hĂĄ uma constante de Kaprekar para inteiros de trĂŞs dĂ­gitos distintos na base 10. Prove que sua resposta estĂĄ correta.

37) Uma sequĂŞncia đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2014; , đ?&#x2018;&#x2014; = 1.2, . .. ĂŠ chamada de sequĂŞncia de Sidon, (em homenagem ao matemĂĄtico hĂşngaro Simon Sidon), se todas os pares de somas đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2014; onde đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x2014; sĂŁo sempre de valores diferentes. {1, 2, 4, 8, 13, 21, 31, 45, 66, 81, 97, 123, 148, 182, 204, 252, 290, 361} ĂŠ um exemplo de sequĂŞncia de Sidom com 18 termos. Use o Teorema 3.1 para mostrar que a seqßência đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2014; , đ?&#x2018;&#x2014; = 1.2, . ..

ĂŠ uma sequĂŞncia de Sidon quando đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2014; = 2đ?&#x2018;&#x2014; .

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4. CONGRUĂ&#x160;NCIAS

A linguagem das congruĂŞncias foi inventada pelo importante matemĂĄtico alemĂŁo Gauss. Permite-nos trabalhar com relaçþes de divisibilidade da mesma forma como trabalhamos com igualdades. Vamos desenvolver as propriedades bĂĄsicas das congruĂŞncias neste capĂ­tulo, descrever como fazer aritmĂŠtica com congruĂŞncias e estudar congruĂŞncias envolvendo incĂłgnitas, as congruĂŞncias lineares. Um exemplo que leva a uma congruĂŞncia linear ĂŠ o problema de encontrar todos os inteiros x tais que quando 7đ?&#x2018;Ľ ĂŠ dividido por 11, o resto ĂŠ 3. TambĂŠm estudaremos sistemas de congruĂŞncias lineares que surgem de problemas como o antigo quebra-cabeça chinĂŞs que pede um nĂşmero que deixa restos 2, 3 e 2, quando dividido por 3, 5 e 7, respectivamente. Vamos aprender como resolver esse quebra-cabeça e o sistema que resulta desse enigma, usando um famoso mĂŠtodo conhecido como o teorema do resto chinĂŞs. E por Ăşltimo estudaremos como resolver congruĂŞncias polinomiais.

4.1. Introdução à Teoria das Congruências A linguagem especial das congruências Ê extremamente útil na teoria dos números, foi desenvolvida no início do sÊculo XIX por Karl Friedrich Gauss, um dos matemåticos mais famosos da história.

A linguagem das congruências possibilita trabalhar com relaçþes de divisibilidade tanto quanto trabalhamos com igualdades. Antes da introdução de congruências, a notação utilizada para as relaçþes de divisibilidade era difícil e complicada de trabalhar. A introdução de uma notação conveniente ajudou a acelerar o desenvolvimento da teoria dos números.

Definição. Sejam a e r inteiros quaisquer e seja đ?&#x2018;&#x161; > 1 um inteiro positivo fixo. Diz-se que a ĂŠ congruente a r mĂłdulo m se, e somente se, m divide a diferença đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;. Em outros termos a ĂŠ congruente a r mĂłdulo m se, e somente se, existe um inteiro q tal que đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x; = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17E;.

Simbolicamente:

a ď&#x201A;ş r (mod m) ď&#x192;&#x203A; m | ( a â&#x20AC;&#x201C; r ) ď&#x192;&#x203A; a - r = mq ď&#x192;&#x203A; a = mq + r

Ilustrando.

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3 â&#x2030;Ą 24 (mod 7) e 3 = 7. (â&#x2C6;&#x2019;3) + 24; â&#x2C6;&#x2019;31 â&#x2030;Ą 11 (mod 6); â&#x2C6;&#x2019;15 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;63 (mod 8); 19 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;2 (mod 7) e 19 = 3.7 + (â&#x2C6;&#x2019; 2) Se m nĂŁo divide a diferença đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;, entĂŁo diz-se que a ĂŠ incongruente a r mĂłdulo m, đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;˘ đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;&#x161;).

Ilustrando. 13 â&#x2030;˘ 4 (mod 6); â&#x2C6;&#x2019;30 â&#x2030;˘ 15 (mod 4) ; â&#x2C6;&#x2019;10 â&#x2030;˘ â&#x2C6;&#x2019;13 (mod 5)

Observaçþes: 1) Dois inteiros quaisquer são congruentes módulo 1 2) Dois inteiros são congruentes módulo 2, se ambos são pares ou ambos são ímpares.

3) đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;&#x161;) se, e somente se, đ?&#x2018;&#x161; | đ?&#x2018;&#x17D;.

CongruĂŞncias muitas vezes surgem na vida cotidiana. Por exemplo, os relĂłgios trabalham modulo 12 ou 24 por horas e modulo 60 por minutos e segundos; calendĂĄrios trabalho mĂłdulo 7 para dias da semana e mĂłdulo 12 para meses.

Ao trabalhar com congruências, às vezes precisaremos traduzi-las em igualdades. Os seguintes teoremas nos ajudarão a fazer isso. As demonstraçþes serão deixadas a cargo dos leitores nos divertimentos aritmÊticos.

Nosso primeiro teorema fornece uma caracterização útil de congruência módulo m em função dos restos da divisão por n.

Teorema 4.1.1. Para inteiros arbitrĂĄrios a e r, đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x;(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;) se, e somente se, a e r deixam o mesmo resto nĂŁo negativo quando divididos por m.

Exemplos. 279 â&#x2030;Ą 149 (mod 13), pois 279 = 13.21 + đ?&#x;&#x201D; e 149 = 13.11 + đ?&#x;&#x201D;. â&#x2C6;&#x2019;79 â&#x2030;Ą 137 (mod 18), pois â&#x2C6;&#x2019;79 = 18. (â&#x2C6;&#x2019;5) + đ?&#x;?đ?&#x;? e 137 = 18.7 + đ?&#x;?đ?&#x;?. â&#x2C6;&#x2019;46 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;95 (mod 7), pois â&#x2C6;&#x2019;46 = 7. (â&#x2C6;&#x2019;7) + đ?&#x;&#x2018; e â&#x2C6;&#x2019;95 = 7. (â&#x2C6;&#x2019;14) + đ?&#x;&#x2018;.

A congruĂŞncia pode ser vista como uma forma generalizada da igualdade, no sentido

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de que seu comportamento em relação à adição e multiplicação Ê uma reminiscência da igualdade comum. Algumas propriedades elementares da igualdade que são transferidas para congruências aparecerão no Teorema 4.1.2. Faremos as ilustraçþes dos resultados desse teorema e deixaremos sua demonstração e de todos os outros resultados para o final desta seção.

Teorema 4.1.2. Seja đ?&#x2018;&#x161; > 1 um inteiro positivo fixo e sejam a, r, c e d inteiros quaisquer.

Valem as propriedades: 1) đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;&#x161;) (Reflexiva) 2) Se đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;&#x161;), entĂŁo đ?&#x2018;&#x; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;&#x161;) (SimĂŠtrica) 3) Se đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;&#x161;) e se đ?&#x2018;&#x; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x161;), entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x161;) (Transitiva) Nota: De acordo com as partes 1, 2 e 3 do Teorema 4.1.2 , vemos que o conjunto de inteiros ĂŠ dividido em m conjuntos diferentes chamados classes de congruĂŞncia modulo m, cada um contendo nĂşmeros inteiros que sĂŁo mutuamente congruentes mĂłdulo m. Observe que quando đ?&#x2018;&#x161; = 2, isso nos dĂĄ as duas classes de inteiros pares e Ă­mpares.

4) Se đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;&#x161;) e se n | m, com đ?&#x2018;&#x203A; > 0, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;&#x203A;) Ilustração. 95 â&#x2030;Ą 55 (mod 8) e 4 | 8, entĂŁo 95 â&#x2030;Ą 55 (mod 4), 5) Se đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;&#x161;) e se đ?&#x2018;? > 0 , entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;?)

Ilustração. 85 â&#x2030;Ą 37 (mod 6) e đ?&#x2018;? = 3 > 0 , entĂŁo 85 Ă&#x2014; 3 â&#x2030;Ą 37 Ă&#x2014; 3 (mod 6 Ă&#x2014; 3), ou seja, 255 â&#x2030;Ą 111 (mod 18) 6) Se đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;&#x161;) e se a, b, m sĂŁo todos divisĂ­veis pelo inteiro đ?&#x2018;&#x2018; > 1, entĂŁo đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;

(mod

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2018;

â&#x2030;Ą

)

7) Se đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;&#x161;) e se đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018; (mod đ?&#x2018;&#x161;),

entĂŁo

đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;&#x2018; (mod đ?&#x2018;&#x161;) e đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą

đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2018; (mod đ?&#x2018;&#x161;).

Ilustração. 54 â&#x2030;Ą 19 (mod 7) e 24 â&#x2030;Ą 10 (mod 7), entĂŁo 54 + 24 ď&#x201A;ş19 + 10 (mod 7) e 54 Ă&#x2014; 24 â&#x2030;Ą 19 Ă&#x2014; 10 (mod 7).

8) Se đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;&#x161;) e c um inteiro qualquer, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x161;) e đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x161;).

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Ilustração.

289 ď&#x201A;ş 179 (mod 22)

e

đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x2019;8,

entĂŁo

281 â&#x2030;Ą 171 (mod 22)

e

â&#x2C6;&#x2019;2312 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1432 (mod 22).

9) Se đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;&#x161;), entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x203A; (mod đ?&#x2018;&#x161;) para todo inteiro positivo n.

Ilustração. 39 â&#x2030;Ą 25 (mod 14), entĂŁo 393 â&#x2030;Ą 253 (mod 14).

10) Se đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x161;) e se o mdc(đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x161;) = đ?&#x2018;&#x2018;, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x; (mod Ilustração.

40 Ă&#x2014; 17 â&#x2030;Ą 19 Ă&#x2014; 17 (mod 51)

e

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x2018;

)

mdc (đ?&#x;?đ?&#x;&#x2022;, 51) = 17,

entĂŁo

40 â&#x2030;Ą 19 (mod 3) 10.1)

Se đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x161;) e se o mdc(đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x161;) = 1, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;&#x161;).

Ilustração. 20 Ă&#x2014; 8 â&#x2030;Ą 11 Ă&#x2014; 8 ( mod 9) e mdc (đ?&#x;&#x2013;, 9) = 1, entĂŁo 20 â&#x2030;Ą 11 (mod 9).

Esta propriedade mostra que ĂŠ permitido cancelar um fator de ambos os membros de

uma congruĂŞncia, somente se ele e o mĂłdulo forem relativamente primos. O exemplo seguinte mostra que nĂŁo se pode cancelar irrestritamente um fator comum na aritmĂŠtica de congruĂŞncias.

Ilustração.

35 Ă&#x2014; 4 â&#x2030;Ą 15 Ă&#x2014; 4 (mod 12),

mas

35 â&#x2030;˘ 15 (mod 12),

pois mdc (4, 12) â&#x2030;˘ 1. Uma consequĂŞncia imediata ĂŠ que se ac ď&#x201A;ş rc (mod p), com p primo, e se p nĂŁo divide c, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;?).

Ilustração. 12Ă&#x2014;18â&#x2030;Ą 7 Ă&#x2014; 18 (mod 5) e mdc (18,5) = 1, entĂŁo 12 â&#x2030;Ą 7 (mod 5).

Suponha que m seja um inteiro positivo. Dado um inteiro a, pelo algoritmo de divisĂŁo temos đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17E; + đ?&#x2018;&#x;, onde 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x; < đ?&#x2018;&#x161;. Chamamos r de o menor resĂ­duo (resto) nĂŁo negativo de a mĂłdulo m. Dizemos que r ĂŠ o resultado da redução de a mĂłdulo m. Da mesma forma, quando sabemos que a nĂŁo ĂŠ divisĂ­vel por m, chamamos r de o menor resĂ­duo (resto) positivo de a mĂłdulo m.

Note-se que a partir da equação đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17E; + đ?&#x2018;&#x;, segue-se que đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;&#x161;). Como hĂĄ m escolhas para r, vemos que todo inteiro ĂŠ congruente mĂłdulo m a exatamente um dos valores 0,1,2, 3, . . . , đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; 1; em particular, đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą 0(mod đ?&#x2018;&#x161;) se, e somente se, đ?&#x2018;&#x161;|đ?&#x2018;&#x17D;. O conjunto dos m inteiros 0,1,2,3, . . . , đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; 1 ĂŠ chamado o conjunto dos menores resĂ­duos nĂŁo negativos mĂłdulo m.

Definição. Um sistema completo de restos módulo m Ê um conjunto de inteiros tais que cada inteiro Ê congruente módulo m para exatamente um inteiro do conjunto.

Por exemplo, cada um dos conjuntos: Prof. Rubens Vilhena

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{1, 2, 3} , {0, 1, 2} , { â&#x20AC;&#x201C;1, 0, 1} , {1, 5, 9}

ĂŠ um sistema completo de restos mĂłdulo 3.

Se escolhermos o conjunto {1, 5, 9}, qualquer inteiro k escolhido sĂł serĂĄ congruente a um desses elementos. Seja đ?&#x2018;&#x2DC; = 14, entĂŁo 14 â&#x2030;˘ 1 (mod 3); 14 â&#x2030;Ą 5 (mod 3); 14 â&#x2030;˘ 9 (mod 3) Teorema 4.1.3.

O conjunto đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161; = {0,1, 2, . . . , đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; 1} ĂŠ um sistema completo de restos

mĂłdulo m.

CorolĂĄrio 4.1.1. Se đ?&#x2018;&#x2020; = đ?&#x2018;&#x;1 , đ?&#x2018;&#x;2 , . . . , đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x161; ĂŠ um sistema completo de restos mĂłdulo m, entĂŁo os elementos de S sĂŁo congruentes mĂłdulo m aos inteiros em đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161; , tomados numa certa ordem.

Ilustração. Seja đ?&#x2018;&#x2020; = {1, 5, 9} um sistema completo de restos mĂłdulo 3, entĂŁo os elementos de S sĂŁo congruentes mĂłdulo 3 aos inteiros em đ?&#x2018;?3 = {0, 1, 2}, tomados numa certa ordem: 1 â&#x2030;Ą 1 (mod 3); 5 â&#x2030;Ą 2 (mod 3); 9 â&#x2030;Ą 0 (mod 3) Uma observação importante ĂŠ que quaisquer n inteiros formam um conjunto completo de resĂ­duos mĂłdulo m se, e somente se, nĂŁo hĂĄ dois inteiros que sejam congruentes mĂłdulo m.

Teorema 4.1.4. Se đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;1 ), đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;2 ), ..., đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; ),

onde

đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x161;1 , đ?&#x2018;&#x161;2 , â&#x20AC;Ś , đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; sĂŁo inteiros com đ?&#x2018;&#x161;1 , đ?&#x2018;&#x161;2 , â&#x20AC;Ś , đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; positivos, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? ( đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x161;1 , đ?&#x2018;&#x161;2 , â&#x20AC;Ś , đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; )).

CorolĂĄrio 4.1.2. Se đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;1 ), đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;2 ), ..., đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; ), đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x161;1 , đ?&#x2018;&#x161;2 , â&#x20AC;Ś , đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC;

sĂŁo inteiros com đ?&#x2018;&#x161;1 , đ?&#x2018;&#x161;2 , â&#x20AC;Ś , đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC;

onde

dois a dois relativamente primos

positivos, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (đ?&#x2018;&#x161;1 đ?&#x2018;&#x161;2 â&#x20AC;Ś đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; ).

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PRECIOSIDADES â&#x20AC;&#x201C; Parte I

1) Verdadeiro (V) ou falso (F) a) 91 â&#x2030;Ą 0 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 7). b) 3 + 5 + 7 â&#x2030;Ą 5 (mod 10). c) â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2030;Ą 2 (mod 8). d) 112 â&#x2030;Ą 1 (mod 3). e) 17 â&#x2030;˘ 9 (mod 2). f) 42 â&#x2030;˘ â&#x2C6;&#x2019;8 (mod 10).

2) Verifique se ĂŠ verdadeiro (V) ou falso (F) e explique. a) Se đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 3 (mod 5), entĂŁo x ď&#x192;&#x17D; { . . .. â&#x20AC;&#x201C; 7, â&#x2C6;&#x2019;2, 3, 8, 13 . . . . }. b) Se 5 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1 (mod 6) e â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;7 (mod 6), entĂŁo

5 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;7 (mod 6).

3) Achar o menor inteiro positivo que represente a soma: a) 5 + 3 + 2 + 1 + 8 (mod 7) b) 2 + 3 â&#x2C6;&#x2019; 1 + 7 â&#x2C6;&#x2019; 2 (mod 4) 4) Sabendo-se que 1766 â&#x2030;Ą 1066 (mod đ?&#x2018;&#x161;), achar todos os possĂ­veis valores do mĂłdulo m.

5) Exprimir que â&#x20AC;&#x153;n ĂŠ Ă­mparâ&#x20AC;? de trĂŞs outras maneiras.

6) Achar todos os inteiros x tais que 0 < đ?&#x2018;Ľ < 15 e 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 6 (mod 15) 7) Achar todos os inteiros x tais que 1 < đ?&#x2018;Ľ < 100 e đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 7 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 17) 8) Sabendo-se que đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ą 1 (mod 4), mostrar que 6đ?&#x2018;&#x2DC; + 5 â&#x2030;Ą 3 (mod 4) 9) Mostrar, mediante um exemplo, que đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? 2 (mod đ?&#x2018;&#x161;) nĂŁo implica đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x161;).

10) Mostrar que todo primo Ă­mpar ĂŠ congruente mĂłdulo 4 a 1 ou 3.

11) Mostrar que todo primo maior que 3 ĂŠ congruente mĂłdulo 6 a 1 ou 5.

12) Mostrar que a) 1110 â&#x2030;Ą 1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 100) b) 31000 + 3 ĂŠ divisĂ­vel por 28.

13) Mostrar que 41 divide 2020 â&#x2C6;&#x2019; 1.

14) Achar os menores restos positivos das divisĂľes de: a) 250 por 7 b) 4165 por 7 Prof. Rubens Vilhena

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c) 25100 + 11500 por 3 d) 35555 por 80. e) 51000 por 126. f) 3399300 + 29 por 13 15) Mostrar que a) 89 | 244 â&#x2C6;&#x2019; 1. b) 97 | (248 â&#x2C6;&#x2019; 1) c) 13| 270 + 370 d) đ?&#x2018;&#x203A;|1đ?&#x2018;&#x203A; + 2đ?&#x2018;&#x203A; +. . . +(đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1)đ?&#x2018;&#x203A; , n Ă­mpar.

16) Demonstrar que, se đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x161;) entĂŁo mdc(đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x161;) = mdc(đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x161;).

17) Mostrar, mediante um exemplo, que đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; (mod đ?&#x2018;&#x161;) e đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2014; nĂŁo implica đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2014; .

18) Demonstrar as seguintes proposiçþes: a) Se a ĂŠ um inteiro Ă­mpar entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2030;Ą 1 (mod 8) b) Se a ĂŠ um inteiro qualquer, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D;3 â&#x2030;Ą 0, 1 ou 8 (mod 9). c) Se a ĂŠ um inteiro qualquer, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D;3 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 6).

19) Mostre que 7 divide 22225555 + 55552222 .

20) Determine o menor resto positivo da divisĂŁo de 61987 por 37.

21) Prove que 7 divide 32đ?&#x2018;&#x203A;+1 + 2đ?&#x2018;&#x203A;+2 para todo natural n.

7

22) Determine o algarismo das unidades de 77 .

23) Determine os infinitos valores positivos de n tal que 2đ?&#x2018;&#x203A; + 27 seja divisĂ­vel por 7.

24) Prove que 2đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; 5, đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ľ 4 nunca deixa resto 1 quando dividido por 7.

25) Prove que 4 divide 12233.455679 + 876533 26) Prove que 11.31.61 | 2015 â&#x2C6;&#x2019; 1.

27) Calcular o menor resto positivo da divisĂŁo do

inteiro đ?&#x2018;&#x203A; = (116 + 1717 )21 por 8.

28) Calcular o menor resto positivo da divisĂŁo do inteiro 7100 + 11100 por 13 29) Mostrar que o inteiro đ?&#x2018;&#x203A; = 1316 â&#x2C6;&#x2019; 243 . 517 ĂŠ divisĂ­vel por 3.

30) Mostrar que a expressĂŁo 3. 52đ?&#x2018;&#x203A;+1 + 23đ?&#x2018;&#x203A;+1 ĂŠ divisĂ­vel por 17, sendo n um inteiro positivo qualquer.

31) Mostrar que o nĂşmero de 232 + 1 ĂŠ divisĂ­vel por 641.

32) Demonstrar que, se o inteiro positivo n nĂŁo ĂŠ divisĂ­vel por 4, entĂŁo a soma: đ?&#x2018;&#x2020; = 1đ?&#x2018;&#x203A; + 2đ?&#x2018;&#x203A; + 3đ?&#x2018;&#x203A; + 4đ?&#x2018;&#x203A; ĂŠ divisĂ­vel por 5.

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33) Determinar todos os inteiros positivos n para os quais 2đ?&#x2018;&#x203A; + 1 ĂŠ divisĂ­vel por 3.

34) Mostrar que 63! â&#x2030;Ą 61! (mod 7) 35) Mostrar que nĂŁo existe inteiro algum n que verifique as condiçþes: đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą 5 (mod 12) e đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą 4 (mod 15) 36) Na divisĂŁo do inteiro n por 10 o quociente ĂŠ q e o resto ĂŠ r, tais que |2đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17E;| â&#x2030;Ą 0 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 7). Mostrar que 7 | đ?&#x2018;&#x203A;.

37) Determinar quais dos seguintes conjuntos sĂŁo sistemas completos de restos mĂłdulo 4. a) {â&#x2C6;&#x2019;2, â&#x2C6;&#x2019;1, 0, 1} b) {0, 4, 8, 12} c) {â&#x2C6;&#x2019;13, 4, 17, 18 } d) {â&#x2C6;&#x2019;5, 0, 6, 22 } 38) Determinar quais dos seguintes conjuntos sĂŁo sistemas completos de restos mĂłdulo 6. a) { 1, 2, 3, 4, 5} b) {0, 5, 10, 15, 20, 25} c) {â&#x2C6;&#x2019;4, â&#x2C6;&#x2019;3, â&#x2C6;&#x2019;2, â&#x2C6;&#x2019;1, 0, 1} d) {17, â&#x2C6;&#x2019;4, 6, 7, 10, 3} 39) Achar um sistema completo de restos {đ?&#x2018;?1 , đ?&#x2018;?2 , . . . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; , . . . , đ?&#x2018;?7 } mĂłdulo 7, tal que todo đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; ĂŠ primo.

40) Achar um sistema completo de restos mĂłdulo 7 formado sĂł de mĂşltiplos nĂŁo negativos de 4.

41) Se n ĂŠ um mĂşltiplo positivo de 4, qual o resto da divisĂŁo de 1đ?&#x2018;&#x203A; + 2đ?&#x2018;&#x203A; +. . . +8đ?&#x2018;&#x203A; + 9đ?&#x2018;&#x203A; por 10?

42) Mostre que 121đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 25đ?&#x2018;&#x203A; + 1900đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;4)đ?&#x2018;&#x203A; ĂŠ divisĂ­vel por 2000, para todo natural n.

43) Determinar o algarismo das unidades do nĂşmero 3100.

44) Que valores de a e b tornam o nĂşmero 30a0b03 divisĂ­vel por 13?

45) Determine para que inteiros positivos n, 2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1 ĂŠ divisĂ­vel por 7.

46) Prove que 2n + 1 nunca ĂŠ divisĂ­vel por 7, para qualquer inteiro positivo n.

47) Demonstre que para todo inteiro đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ľ 0, 17 ĂŠ um divisor de 34đ?&#x2018;&#x203A;+2 + 26đ?&#x2018;&#x203A;+3 .

48) Determine o algarismo das dezenas do nĂşmero 7999999 .

2

3

100

49) Determine o resto da divisĂŁo por 7 do nĂşmero 1010 + 1010 + 1010 +. . . +1010 50) Mostre que, para todo

.

n natural, temos 102n + 1 + 1 ď&#x201A;ş 0 (mod 11).

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PRECIOSIDADES – Parte II

1. Mostre que cada uma das seguintes congruências é válida. a) 13 ≡ 1 (mod 2) d) 69 ≡ 62 (mod 7) g) 111 ≡ −9 (mod 40) b) 22 ≡ 7 (mod 5) e) −2 ≡ 1 (mod)

h) 666 ≡ 0 (mod 37)

c) 91 ≡ 0 (mod 13) f) −3 = 30 (mod 11) 2. Para cada um dos pares de inteiros, determine se eles são congruentes módulo 7. a) 1, 15

c) 2, 99

e) -9, 5

b) 0, 42

d) -1, 8

f) -1, 699

3. Para quais inteiros positivos m, cada uma das seguintes afirmações são verdadeiras? a) 27 ≡ 5 (mod m)

b) 1000 ≡ 1 (mod m)

c) 1331 ≡ 0 (mod m)

4. Mostre que se a é um inteiro par, então a2 ≡ 0 (mod 4) e se a é um inteiro ímpar, então a2 ≡ 1 (mod 4).

5. Mostre que se a é um inteiro ímpar, então a2 ≡ 1 (mod 8).

6. Encontre o menor resto não negativo módulo 13 de cada um dos seguintes números inteiros. a) 22

c) 1001

e) -100

b) 100

d) -1

f) -1000

7. Encontre o menor resíduo não negativo módulo 28 de cada um dos seguintes números inteiros. a) 99

c) 12,345

e) -1000

b) 1100

d) -1

f) -54 321

8. Encontre o menor resto positivo de 1! + 2! + 3! + · · · + 10! para cada um dos seguintes módulos: a) 3

b) 11

c) 4

d) 23

9. Encontre o menor resíduo positivo de 1! + 2! + 3! + · · · + 100! para cada um dos Prof. Rubens Vilhena

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seguintes mĂłdulos: a) 2

b) 7

c) l2

d) 25

10. Construa uma tabela de adição módulo 12 e 13.

11. Construa uma tabela de subtração módulo 12 e 13.

12. Construa uma tabela de multiplicação módulo 12 e 13.

13. Considere um relĂłgio com mostrador 12 horas. Para qual valor inteiro o ponteiro aponta a) 29 horas depois de marcar 11 horas?

c) 50 horas antes de marcar 6 horas?

b) 100 horas depois de marcar 2 horas?

14. Quais os possĂ­veis dĂ­gitos das unidades que ocorrem de uma quarta potĂŞncia de um nĂşmero inteiro?

15. O que vocĂŞ pode concluir se đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? 2 (mod đ?&#x2018;?), onde a e b sĂŁo inteiros e p ĂŠ primo?

16. Mostre que se đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2DC; (mod đ?&#x2018;&#x161;) e đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;+1 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2DC;+1 (mod đ?&#x2018;&#x161;), onde a, b, k e m sĂŁo nĂşmeros inteiros com đ?&#x2018;&#x2DC; > 0 e đ?&#x2018;&#x161; > 0 tal que mdc (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x161;) = 1, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x161;). Se a condição mdc (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x161;) = 1 ĂŠ descartada, a conclusĂŁo de que đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x161;) ainda ĂŠ vĂĄlida?

17. Mostre que se n ĂŠ um inteiro positivo Ă­mpar, entĂŁo 1 + 2 + 3 + ¡ ¡ ¡ +(đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;&#x203A;).

Esta afirmação Ê verdadeira se n Ê par?

18. Mostre que se n ĂŠ um inteiro positivo Ă­mpar ou se n ĂŠ um inteiro positivo divisĂ­vel por 4, entĂŁo 13 + 23 + 33 + ¡ ¡ ¡ + (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1)3 â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;&#x203A;).

Esta afirmação Ê verdadeira se n Ê par mas, não divisível por 4?

19. Para quais inteiros positivos n, ĂŠ verdade que 12 + 22 + 32 + ¡ ¡ ¡ + (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1)2 â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;&#x203A;)?

20. Mostre por indução matemĂĄtica que se n ĂŠ um inteiro positivo, entĂŁo 4đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą 1 + 3đ?&#x2018;&#x203A; (mod 9).

21. Mostre por indução matemĂĄtica que se n ĂŠ um inteiro positivo, entĂŁo 5đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą 1 + 4đ?&#x2018;&#x203A; (mod 16).

22. DĂŞ um sistema completo de restos modulo 13 consistindo inteiramente de inteiros Ă­mpares.

23. Mostre que se đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą 3 (mod 4), entĂŁo n nĂŁo pode ser a soma dos quadrados de dois inteiros.

24. Mostre que se p ĂŠ primo, entĂŁo as Ăşnicas soluçþes da congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ľ (mod đ?&#x2018;?) sĂŁo Prof. Rubens Vilhena

25

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aquelas inteiros x tais que x ≡ 0 ou 1 (mod p).

25. Mostre que se p é primo e k é um inteiro positivo, então as únicas soluções de x2 ≡ x (mod pk) são aqueles inteiros x tais que x ≡ 0 ou 1 (mod pk).

26. Encontre os menores resíduos positivos modulo 47 de cada um dos seguintes números inteiros. a) 232

b) 247

c) 2200

27. Encontre o menor resíduo positivo. a) 310 (mod 11)

c) 516 (mod 17)

b) 212 (mod 13)

d) 322 (mod 23)

e) Você pode propor uma conjectura para as congruências acima? Consegue demonstrar?

27. Encontre o menor resíduo positivo. a) 6! (mod 7)

c) 12! (mod 13)

b) 10! (mod 11)

d) 16! (mod 17)

e) Você pode propor uma conjectura para as congruências acima? Consegue demonstrar?

Prof. Rubens Vilhena

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4.2 CongruĂŞncias Lineares Estamos num momento do nosso desenvolvimento da teoria dos nĂşmeros para considerar a teoria das congruĂŞncias lineares: uma equação da forma đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x203A;) ĂŠ chamada de congruĂŞncia linear e, uma solução de tal equação, ĂŠ um inteiro x0 para o qual đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod n). Por definição, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod n) se e somente se đ?&#x2018;&#x203A;|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? ou, o que equivale ao mesmo, se e somente se đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ś0 para algum inteiro y0¡ Assim, o problema de encontrar todos os inteiros que irĂŁo satisfazer a congruĂŞncia linear đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x203A;)

ĂŠ

idĂŞntico ao da obtenção de todas as soluçþes da equação diophantina linear ax-ny = b. Isso nos permite trazer os resultados do item 2. 6. Ă&#x2030; conveniente tratar duas soluçþes de ax â&#x2030;Ą b (mod n) que sĂŁo congruentes mĂłodulo n como sendo "iguais" mesmo que nĂŁo sejam iguais no sentido usual. Por exemplo, x = 3 e x = 9 ambos satisfazem a congruĂŞncia 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 9 (mod 12); como 3 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;9 (mod 12), elas nĂŁo sĂŁo contadas como soluçþes diferentes.

Seja por exemplo,

as soluçþes đ?&#x2018;Ľ1 = 5 e đ?&#x2018;Ľ2 = â&#x2C6;&#x2019;19 da congruĂŞncia 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą

15(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 12), sĂŁo congruentes mĂłdulo 12, 5 ď&#x201A;ş â&#x2C6;&#x2019; 19 (mod 12)

e, portanto, nĂŁo sĂŁo

consideradas soluçþes distintas desta congruĂŞncia. Mas as soluçþes đ?&#x2018;Ľ1 = 5, đ?&#x2018;Ľ3 = 9 e 13

đ?&#x2018;Ľ4 =

são mutuamente incongruentes módulo 12 e, portanto, são soluçþes distintas dessa

congruĂŞncia, isto ĂŠ, 5 ď&#x201A;ş ď&#x20AC;Ż 9ď&#x201A;ş ď&#x20AC;Ż 13 (mod 12). Em resumo: quando nos referimos ao nĂşmero de soluçþes de đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x203A;), queremos dizer o nĂşmero de inteiros incongruentes que satisfazem essa congruĂŞncia.

Pode-se observar que uma congruência linear pode não ter solução, ou ter apenas uma solução ou ter vårias soluçþes.

4.2.1. Condição de existência de solução para uma congruência linear Com as observaçþes anteriores em mente, o principal resultado deste item fica fåcil de enunciar.

Teorema 4.2.2.1: A congruĂŞncia linear đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;?(mod đ?&#x2018;&#x203A;) tem solução se e somente se đ?&#x2018;&#x2018;|đ?&#x2018;?, onde d = mdc(a, n). Se đ?&#x2018;&#x2018;|đ?&#x2018;?, entĂŁo, hĂĄ d soluçþes mutuamente incongruentes mĂłdulo n.

Prova. Observe que a congruĂŞncia dada equivale Ă equação diophantina linear đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;?.

Do Teorema 2.20, sabe-se que a Ăşltima equação pode ser resolvida se e somente se đ?&#x2018;&#x2018;|đ?&#x2018;?; alĂŠm disso, se houver solução e x0, y0 ĂŠ uma solução especĂ­fica, entĂŁo qualquer outra solução tem a Prof. Rubens Vilhena

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forma đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Ľ0 + đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ś0 +

đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;Ą

para algum t.

Entre os vĂĄrios inteiros que satisfazem a primeira estas fĂłrmulas, considere aqueles que ocorrem quando t assume os valores sucessivos t=0, 1, 2, â&#x20AC;Ś , d â&#x20AC;&#x201C; 1 : đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Ľ0 +

đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;Ą, đ?&#x2018;Ľ0 +

2đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2018;

, â&#x20AC;Ś, đ?&#x2018;Ľ0 +

(đ?&#x2018;&#x2018;â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2018;

Afirmamos que esses inteiros sĂŁo incongruentes mĂłdulo n, e todos os outros inteiros inteiros x sĂŁo congruentes com algum deles. Se acontecesse que đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ0 + đ?&#x2018;Ą1 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ľ0 + đ?&#x2018;Ą2 (mod đ?&#x2018;&#x203A;) đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018; onde 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ą1 < đ?&#x2018;Ą2 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; 1, entĂŁo terĂ­amos đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ą1 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ą2 (mod đ?&#x2018;&#x203A;) đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018; Agora mdc(đ?&#x2018;&#x203A;/đ?&#x2018;&#x2018;, đ?&#x2018;&#x203A;) = đ?&#x2018;&#x203A;/đ?&#x2018;&#x2018;, e, portanto, pela parte 10 do Teorema 4.1.2, o fator

đ?&#x2018;&#x203A;/đ?&#x2018;&#x2018; pode

ser cancelado para chegar Ă congruĂŞncia đ?&#x2018;Ą1 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ą2 (mod đ?&#x2018;&#x2018;) o que significa que đ?&#x2018;&#x2018;|đ?&#x2018;Ą2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ą1 . Mas isso ĂŠ impossĂ­vel devido a desigualdade

0<

đ?&#x2018;Ą2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ą1 < đ?&#x2018;&#x2018;.

Resta argumentar que qualquer outra solução đ?&#x2018;Ľ0 + (đ?&#x2018;&#x203A;/đ?&#x2018;&#x2018;)đ?&#x2018;Ą ĂŠ congruente mĂłdulo n para um dos d inteiros listados acima. O Algoritmo da DivisĂŁo nos permite escrever t como đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x2018; + đ?&#x2018;&#x;, onde 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x; â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; 1. Consequentemente đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ0 + đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;Ľ0 + (đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x2018; + đ?&#x2018;&#x;) đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;

= đ?&#x2018;Ľ0 + đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17E; + đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;&#x203A;

= đ?&#x2018;Ľ0 + đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;&#x203A;) đ?&#x2018;&#x2018;

com đ?&#x2018;Ľ0 + (đ?&#x2018;&#x203A;/đ?&#x2018;&#x2018;)đ?&#x2018;&#x; sendo uma das nossas d soluçþess. Isso conclui a prova.

O argumento que demos no Teorema 4.2.2.1 traz um ponto que vale a pena declarar explicitamente: se đ?&#x2018;Ľ0 ĂŠ qualquer solução de đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x203A;), entĂŁo as đ?&#x2018;&#x2018; = mdc(đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x203A;) soluçþes inongruentes sĂŁo dadas por

đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Ľ0 +

đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A; , 2 ( ) , . . . , đ?&#x2018;Ľ0 + (đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; 1) ( ) đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;

Para facilitat, vamos tambĂŠm registrar a forma que o Teorema 4.2.2.1 assume o caso especial em que a e n sĂŁo relativamente primos.

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CorolĂĄrio 4.2.2.1: Se o mdc (a, n) = 1, entĂŁo a congruĂŞncia linear đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x203A;) tem uma Ăşnica solução mĂłdulo m.

Dados inteiros relativamente primos a e n, a congruĂŞncia đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1(mod đ?&#x2018;&#x203A;) tem uma Ăşnica solução. Esta solução ĂŠ chamada de inverso (multiplicativo) de a mĂłdulo n.

Exemplo 4.2.2.1. As soluçþes de 7đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod 31) sĂŁo đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 9 (mod 31), 9 e todos os inteiros congruentes a 9 mĂłdulo 31 sĂŁo inversos de 7 mĂłdulos 31. De forma anĂĄloga, como 9 ¡ 7 â&#x2030;Ą 1 (mod 31), 7 ĂŠ um inverso de 9 mĂłdulo 31.

Quando temos um inverso de a mĂłdulo m, podemos usar para resolver qualquer congruĂŞncia da forma đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x161;). Para ver isso, seja đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;˛ um inverso de a mĂłdulo m, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;˛ â&#x2030;Ą 1 (mod m). EntĂŁo, se đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x161;), podemos multiplicar ambos os lados de sua congruĂŞncia por đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;˛ para encontrar que đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;˛đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x161;), de modo que đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;˛ đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x161;).

Exemplo 4.2.2.2. Para encontrar as soluçþes de 7đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 22 (mod 31), multiplicamos os dois lados desta congruĂŞncia por 9, um inverso de 7 mĂłdulos 31, para obter 9 ¡ 7đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 9,22 (mod 31). Assim, đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 198 â&#x2030;Ą 12 (mod 31). Ă&#x2030; importante saber quais nĂşmeros inteiros sĂŁo seus prĂłprios inversos modulo p, onde p ĂŠ um primo. O seguinte teorema nos diz quais inteiros possuem essa propriedade.

Teorema 4.2.2.2. Seja p um primo. O inteiro positivo a ĂŠ seu prĂłprio inverso mĂłdulo p se, e somente se, đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?) ou đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1 (mod đ?&#x2018;?).

Prova. Se đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?) ou đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1 (mod đ?&#x2018;?), entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?) â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą 1(mod đ?&#x2018;?), de modo que a ĂŠ seu prĂłprio inverso mĂłdulo inverso p.

Por outro lado, se a ĂŠ o seu prĂłprio inverso mĂłdulo p, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D;2 = đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą 1(mod đ?&#x2018;?). Assim, đ?&#x2018;?|(đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; 1). Como đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; 1 = (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; 1)(đ?&#x2018;&#x17D; + 1), isso implica que đ?&#x2018;?|(đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; 1) ou đ?&#x2018;?|(đ?&#x2018;&#x17D; + 1).

Portanto, đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą 1(mod đ?&#x2018;?) ou đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1(mod đ?&#x2018;?).

PRECIOSIDADES GRATUITAS 01 - Resolver a congruĂŞncia linear 18đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 30 (mod 42) Solução: O mdc(18,42) = 6 = d, e como 6 divide 30, a congruĂŞncia dada tem exatamente 6 soluçþes mutuamente incongruentes mĂłdulo 42.

Obviamente, 18.4 = 30 (mód.42), de modo que uma solução da congruência dada Ê Prof. Rubens Vilhena

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x1 = 4, e por conseguinte as suas 6 soluçþes mutuamente incongruentes mĂłdulo 42 sĂŁo dadas pela fĂłrmula: đ?&#x2018;Ľ = 4 + (42/6)đ?&#x2018;Ą = 4 + 7đ?&#x2018;Ą, onde đ?&#x2018;Ą = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Logo: x=4, 11, 18, 25, 32 e 39 sĂŁo todas as soluçþes mutuamente incongruentes mĂłdulo 42.

02 â&#x20AC;&#x201C; Resolver a congruĂŞncia linear: 48x ď&#x201A;ş 17(mod .7) .

Solução: Como o mdc(48,7) = 1, a equação dada tem uma única solução.

Como, 48 ď&#x201A;ş 6 ( mod 7) e 17 ď&#x201A;ş 3 (mod 7), podemos escrever: 6đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 3 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 7) â&#x2021;&#x201D; 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod 7) Pode-se ver que x = 4 ĂŠ a solução da congruĂŞncia.

03 â&#x20AC;&#x201C; Vejamos novamente a congruĂŞncia linear 18đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 30 (mod 42).

Solução: Vamos escrevĂŞ-la como uma equação Diofantina Linear, isto ĂŠ, 18đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 30 = 42đ?&#x2018;Ś ou 18đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 42đ?&#x2018;Ś = 30.

Podemos simplificar, 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7đ?&#x2018;Ś = 5.

(I)

Considerando o mĂłdulo 3, temos que 3 â&#x2030;Ą 0 (mod 3), â&#x2C6;&#x2019;7 â&#x2030;Ą 2 (mod 3)đ?&#x2018;&#x2019; 5 â&#x2030;Ą 2 (mod 3), assim: 0đ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ś â&#x2030;Ą 2 (mod 3), ou 2đ?&#x2018;Ś â&#x2030;Ą 2 (mod 3).

As soluçþes para esta congruĂŞncias sĂŁo dadas por đ?&#x2018;Ś = 1 + 3đ?&#x2018;Ą. Substituindo este valores de y em ( I ), vem: 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7(1 + 3đ?&#x2018;Ą) = 5 â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ = 4 + 7đ?&#x2018;Ą.

O que estĂĄ de acordo com o que jĂĄ foi visto.

04.Determinar todas as soluçþes inteiras e positivas da equação diophantina linear 18đ?&#x2018;Ľ + 5đ?&#x2018;Ś = 48, Solução:

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Vamos aplicar a congruĂŞncia mĂłdulo 5 Ă equação. Sabendo que 18â&#x2030;Ą 3 (mod 5),

5â&#x2030;Ą

0(mod 5) e 48â&#x2030;Ą 3 (mod 5), temos 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 3 (mod 5).

Como, mdc (3, 5) =1, podemos escrever đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1(mod 5), ou de modo equivalente đ?&#x2018;Ľ = 1 + 5đ?&#x2018;Ą, đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;¤.

Substituindo este valor na equação 18đ?&#x2018;Ľ + 5đ?&#x2018;Ś = 48, obtemos 18(1 + 5đ?&#x2018;Ą) + 5đ?&#x2018;Ś = 48 đ?&#x2018;Ś = 6 â&#x20AC;&#x201C; 18đ?&#x2018;Ą.

As soluçþes inteiras e positivas se acham escolhendo t de modo que sejam satisfeitas as desigualdade: 1 + 5đ?&#x2018;Ą > 0 e 6 â&#x2C6;&#x2019; 18đ?&#x2018;Ą > 0.

Isto ĂŠ: 1 1 đ?&#x2018;Ą > â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019;0,2 e đ?&#x2018;Ą < = 0,3 â&#x20AC;Ś 5 3 O Ăşnico valor inteiro neste intervalo ĂŠ đ?&#x2018;Ą = 0 e, portanto, o par de inteiros đ?&#x2018;Ľ = 1, đ?&#x2018;Ś = 6 ĂŠ a Ăşnica solução inteira e positiva da equação 18đ?&#x2018;Ľ + 5đ?&#x2018;Ś = 48.

PRECIOSIDADES

1. Resolva as congruĂŞncias lineares. a) 25x ď&#x201A;ş 15 (mod 29) b) 5x ď&#x201A;ş 2 (mod 26) c) 6x ď&#x201A;ş 15 (mod 21) d) 36x ď&#x201A;ş 8 (mod 102) e) 34x ď&#x201A;ş 60 (mod 98) f) 140x ď&#x201A;ş 133 (mod 301) 2. Usando congruĂŞcias, resolva as equaçþes diofantinas lineares. a) 4x +51y = 9 b) 12x + 25 y = 331 c) 5x -53y = 17 3. Encontre todas as soluçþes da congruĂŞncia linear 3x â&#x20AC;&#x201C; 7y ď&#x201A;ş 11 (mod 13).

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4.4. Funçþes AritmĂŠticas Definição. Chama-se de função aritmĂŠtica toda função numĂŠrica f definida no conjunto â&#x201E;&#x2022; dos inteiros positivos e com valores no conjunto â&#x201E;? dos reais.

Em outros termos, função aritmĂŠtica ĂŠ toda função numĂŠrica f de â&#x201E;&#x2022; em â&#x201E;?: đ?&#x2018;&#x201C;: â&#x201E;&#x2022; â&#x2020;&#x2019; â&#x201E;?

Portanto, o domĂ­nio e o contradomĂ­nio de uma função aritmĂŠtica f sĂŁo os conjuntos â&#x201E;&#x2022; e â&#x201E;?, respectivamente, e a imagem de f ĂŠ o conjunto: đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x201E;&#x2022;) = {đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x203A;)đ?&#x153;&#x2013;â&#x201E;?; đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x153;&#x2013; â&#x201E;?} que ĂŠ, obviamente, um subconjunto de â&#x201E;?: đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x201E;&#x2022;) â&#x160;&#x201A; â&#x201E;?.

Assim, por exemplo, as funçþes numĂŠricas: đ?&#x2018;&#x201C;: â&#x201E;&#x2022; â&#x2020;&#x2019; â&#x201E;¤, definida por đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x203A;) = 3 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;&#x203A;. đ?&#x2018;&#x201D;: â&#x201E;&#x2022; â&#x2020;&#x2019; â&#x201E;&#x2022; definida por đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x203A;) = đ?&#x2018;&#x203A;! â&#x201E;&#x17D;: â&#x201E;&#x2022; â&#x2020;&#x2019; â&#x201E;¤ definida por â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;&#x203A;) =

đ?&#x2018;&#x203A; 5

sĂŁo todas funçþes aritmĂŠticas, mas a função numĂŠrica: đ?&#x153;&#x2039;: â&#x201E;? â&#x2020;&#x2019; â&#x201E;&#x2022; definida por đ?&#x153;&#x2039;(đ?&#x2018;Ľ) =nĂşmero de primos menores que, ou iguais a x, para todo đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;? nĂŁo ĂŠ uma função aritmĂŠtica, porque o seu domĂ­nio ĂŠ o conjunto dos reais â&#x201E;?.

4.4.1. Funçþes AritmĂŠticas usuais SĂŁo funçþes aritmĂŠticas usuais da Teoria dos NĂşmeros as funçþes numĂŠricas đ?&#x153;?, đ?&#x153;&#x17D;, Ί e đ?&#x153;&#x201D; de â&#x201E;&#x2022; em â&#x201E;&#x2022; assim definidas: đ?&#x153;?(đ?&#x2018;&#x203A;) = nĂşmero de divisores positivos de n, đ?&#x153;&#x17D;(đ?&#x2018;&#x203A;) = soma dos divisores positivos de n, Ί(đ?&#x2018;&#x203A;) = nĂşmero de fatores primos de n, đ?&#x153;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x203A;) = nĂşmero de primos distintos p que dividem n. đ?&#x203A;ź

đ?&#x203A;ź

đ?&#x203A;ź

Se đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;?1 1 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?2 2 â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x; ĂŠ a fatoração em primos de um nĂşmero inteiro positivo đ?&#x2018;&#x203A; > 1, prova-se que :

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đ?&#x2018;&#x;

đ?&#x153;?(đ?&#x2018;&#x203A;) = (đ?&#x2018;&#x17D;1 + 1) â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;&#x17D;2 + 1) â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x; + 1) = â&#x2C6;?(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; + 1) đ?&#x2018;&#x2013;=1 đ?&#x2018;&#x17D; +1

đ?&#x2018;&#x17D; +1

đ?&#x2018;&#x;

đ?&#x2018;&#x17D; +1

đ?&#x2018;&#x17D; +1

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2019; 1 đ?&#x2018;?1 1 â&#x2C6;&#x2019; 1 đ?&#x2018;?2 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019; 1 đ?&#x153;&#x17D;(đ?&#x2018;&#x203A;) = â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122; =â&#x2C6;? đ?&#x2018;?1 â&#x2C6;&#x2019; 1 đ?&#x2018;?2 â&#x2C6;&#x2019; 1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019; 1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2019; 1 đ?&#x2018;&#x2013;=1

đ?&#x2018;&#x;

Ί(đ?&#x2018;&#x203A;) = đ?&#x2018;&#x17D;1 + đ?&#x2018;&#x17D;2 +â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122; +đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x; = â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2013;=1

e đ?&#x153;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x203A;) = đ?&#x2018;&#x;.

Ou de modo equivalente, em termos de somatĂłrio, temos đ?&#x153;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x203A;) = â&#x2C6;&#x2018; 1 đ?&#x2018;?|đ?&#x2018;&#x203A;

Assim, por exemplo, se đ?&#x2018;&#x203A; = 360 = 23 â&#x2C6;&#x2122; 32 â&#x2C6;&#x2122; 5, temos: đ?&#x153;?(360) = (3 + 1) â&#x2C6;&#x2122; (2 + 1) â&#x2C6;&#x2122; (1 + 1) = 4 â&#x2C6;&#x2122; 3 â&#x2C6;&#x2122; 2 = 24 đ?&#x153;&#x17D;(360) =

24 â&#x2C6;&#x2019; 1 33 â&#x2C6;&#x2019; 1 52 â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2122; = 15 â&#x2C6;&#x2122; 13 â&#x2C6;&#x2122; 6 = 1170 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 3 â&#x2C6;&#x2019; 21 5 â&#x2C6;&#x2019; 1 Ί(360) = 3 + 2 + 1 = 6 e đ?&#x153;&#x201D;(360) = 3

Em particular, para todo primo p: đ?&#x153;?(đ?&#x2018;?) = 2,

đ?&#x153;&#x17D;(đ?&#x2018;?) = 1 + đ?&#x2018;?, Ί(đ?&#x2018;?) = 1 e đ?&#x153;&#x201D;(đ?&#x2018;?) = 1.

4.4.2. Funçþes AritmĂŠticas Multiplicativas Definição. Uma função aritmĂŠtica f diz-se uma função aritmĂŠtica multiplicativa se subsiste a igualdade: đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x161;) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x203A;) para todo par de inteiros positivos m e n tais que o mdc(m, n) = 1.

Exemplo. A função đ?&#x2018;&#x201D;: â&#x201E;&#x2022; â&#x2020;&#x2019; â&#x201E;&#x2022; definida por đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x203A;) = đ?&#x2018;&#x203A;!, nĂŁo ĂŠ uma função aritmĂŠtica multiplicativa, pois: đ?&#x2018;&#x201D;(2 â&#x2C6;&#x2122; 3) = đ?&#x2018;&#x201D;(6) = 6! = 720 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201D;(2) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x201D;(3) = 2! â&#x2C6;&#x2122; 3! = 2 â&#x2C6;&#x2122; 6 = 1 Logo, đ?&#x2018;&#x201D;(2 â&#x2C6;&#x2122; 3) â&#x2030; đ?&#x2018;&#x201D;(2) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x201D;(3), com mdc(2,3) = 1.

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Teorema 4.4.2.1. Se f ĂŠ uma função aritmĂŠtica multiplicativa e se đ?&#x2018;&#x203A;1 , đ?&#x2018;&#x203A;2 ,â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122;, đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x; sĂŁo inteiros positivos relativamente primos dois a dois, entĂŁo subiste a igualdade: đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x203A;1 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;2 â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x; ) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x203A;1 ) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x203A;2 ) â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x; ) đ?&#x203A;ź

đ?&#x203A;ź

đ?&#x203A;ź

CorolĂĄrio 4.4.2.1. Se f ĂŠ uma função aritmĂŠtica multiplicativa e se đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;?1 1 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?2 2 â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x; ĂŠ a fatoração canĂ´nica de um inteiro positivo đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ľ 1, entĂŁo: đ?&#x2018;&#x;

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x203A;) =

đ?&#x203A;ź đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?1 1 )

â&#x2C6;&#x2122;

đ?&#x203A;ź đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?2 2 )

â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122;

đ?&#x203A;ź đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x; )

đ?&#x2018;&#x17D;

= â&#x2C6;? đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2013; ) đ?&#x2018;&#x2013;=1

De acordo com esta igualdade, conhecido o valor de uma função aritmĂŠtica multiplicativa f para todas as potĂŞncias de primos, pode-se achar o valor de f para todo inteiro positivo. Assim, por exemplo, se đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ) = đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 para todo primo p e todo inteiro positivo đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ľ 1, temos: đ?&#x2018;&#x201C;(504) = đ?&#x2018;&#x201C;(23 â&#x2C6;&#x2122; 32 â&#x2C6;&#x2122; 7) = đ?&#x2018;&#x201C;(23 ) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x201C;(32 ) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x201C;(7) = (3 â&#x2C6;&#x2122; 22 ) â&#x2C6;&#x2122; (2 â&#x2C6;&#x2122; 3) â&#x2C6;&#x2122; (1 â&#x2C6;&#x2122; 70 ) = 126 â&#x2C6;&#x2122; 1 = 72

PRECIOSIDADES

1) Mostrar que ĂŠ multiplicativa a đ?&#x2018;&#x201C;. đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x203A;) = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2DC; , onde k ĂŠ um inteiro fixo positivo 2) Mostrar que, se đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x203A;) e đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x203A;) sĂŁo đ?&#x2018;&#x201C;. đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x161;., entĂŁo a função aritmĂŠtica â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;&#x203A;) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x203A;). đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x203A;) ĂŠ tambĂŠm multiplicativa.

3) Mostrar que, se đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x203A;) e đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x203A;) sĂŁo đ?&#x2018;&#x201C;. đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x161;. tais que đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ) = đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ) para todo p primo e đ?&#x2018;&#x2DC; ď&#x201A;ł 1, entĂŁo đ?&#x2018;&#x201C; = đ?&#x2018;&#x201D;.

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5. RĂ&#x160;S CONGRUĂ&#x160;NCIAS ESPECIAIS â&#x20AC;&#x201C; OS TEOREMAS DE WILSON- LAGRANGE, FERMAT E EULER Neste capĂ­tulo, discutimos trĂŞs congruĂŞncias que tĂŞm importantes significados teĂłricos e prĂĄticos: O Teorema de Wilson-Lagrange mostra que p ĂŠ primo, quando o resto da divisĂŁo de (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1)! por p ĂŠ â&#x2C6;&#x2019;1. O Pequeno Teorema de Fermat (PTF) fornece uma congruĂŞncia para potĂŞncias relacionadas com nĂşmeros primos de inteiros modulo p. Em particular, mostra que se p ĂŠ primo, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? e a tem o mesmo resto quando dividido por p sempre que a ĂŠ um nĂşmero inteiro nĂŁo divisĂ­vel por p. O teorema de Euler fornece uma generalização do pequeno teorema de Fermat para mĂłdulos que nĂŁo sĂŁo primos.

Essas três congruências têm muitas aplicaçþes. Por exemplo, o Pequeno Teorema de Fermat pode ser usado como base para testes de primalidade e algoritmos de fatoração.

TambÊm discutiremos inteiros compostos, chamados de pseudoprimos, que se disfarçam de primos ao satisfazerem a mesma congruência que o primo faz no Pequeno Teorema de Fermat. Pode-se usar o fato de que os pseudoprimes são relativamente raros para desenvolver alguns testes que podem fornecer evidências fortes de que um inteiro Ê primo.

5.1. Teorema de Wilson

Al-Haitham

e

Lagrange

O que hoje Ê conhecido como teorema de Wilson, apareceu primeiramente nos trabalhos do matemåtico årabe Abu Ali al-Hasan Ibn Al-Haitham (965 - 1040). Al-Haitham resolveu problemas envolvendo congruências usando o que hoje Ê chamado teorema de Wilson. Em sua Opuscula, Alhazen considera a solução de um sistema de congruências e oferece dois mÊtodos gerais de solução. Seu primeiro mÊtodo, o mÊtodo canônico, envolveu o que chamamos de Teorema de Wilson, enquanto seu segundo mÊtodo envolveu uma versão

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do Teorema ChinĂŞs do Resto.

Em 1770, Edward Waring (1736- 1798) publicou o texto Meditationes Algebraicai, em que vĂĄrias proposiçþes originais em teoria dos nĂşmeros foram estabelecidas. Uma das mais famosas foi a que hoje ĂŠ conhecida como Teorema de Wilson - nomeado apĂłs o estudante que fez a conjectura, John Wilson (1741-1793) - afirmar que todos os primos p dividem (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1)! + 1. Waring enunciou o teorema em 1770, embora nem ele nem seu aluno Wilson tenham dado uma prova. Wilson deixou o campo da matemĂĄtica muito cedo para estudar direito.

J. L. Lagrange (1736 â&#x20AC;&#x201C; 1813) deu a primeira prova em 1771. HĂĄ evidĂŞncias de que Gottfried W. Leibniz (1646 â&#x20AC;&#x201C; 1716) tambĂŠm estava ciente do resultado um sĂŠculo antes, mas nunca publicou. Mesmo com os trabalhos de Al-Haithan e Lagrange, o teorema passou para a posteridade com o nome de Wilson.

O Teorema de Wilson ĂŠ um resultado peculiar na teoria dos nĂşmeros, tem apenas dois grandes resultados. Em primeiro lugar serve como um teste de primaridade que ainda nĂŁo ĂŠ muito eficiente computacionalmente. Em segundo lugar, e sem dĂşvida, seu resultado mais importante, ĂŠ que ele tem como corolĂĄrio uma importante afirmação que diz que o inteiro positivo đ?&#x2018;&#x203A;2 + 1 ĂŠ divisĂ­vel por um primo p se

đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1 for divisĂ­vel por 4. Esse fato tem

íntima relação com o chamado Teorema de Ouro da AritmÊtica, a Lei da Reciprocidade Quadråtica. Hå ainda uma questão não resolvida sobre a infinidade dos números primos de Wilson.

Teorema 5.1.1 (Teorema de Wilson-Lagrange): Se p ĂŠ um primo, entĂŁo (đ?&#x2018;? â&#x20AC;&#x201C; 1)! â&#x2030;Ąâ&#x20AC;&#x201C; 1 (mod đ?&#x2018;?).

Demonstração: o teorema ĂŠ verdadeiro para đ?&#x2018;? = 2 e para đ?&#x2018;? = 3, pois: (2 â&#x20AC;&#x201C; 1)! = 1! = 1 â&#x2030;Ą â&#x20AC;&#x201C; 1 (mod 2) (3 â&#x20AC;&#x201C; 1)! = 2! = 2 â&#x2030;Ąâ&#x20AC;&#x201C; 1 (mod 3) de modo que vamos supor đ?&#x2018;? â&#x2030;Ľ 5. Consideremos a congruĂŞncia linear đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?), onde a ĂŠ um dos (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1) primeiros inteiros positivos 1, 2, 3, . . . , đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1

de modo que o

MDC (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) = 1.

Nestas condiçþes, existe um Ăşnico inteiro positivo đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;&#x2122;, com 1 ď&#x201A;Ł đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;&#x2122; ď&#x201A;Ł đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1, tal que đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;&#x2122; â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?)

Como p ĂŠ primo, tem-se que đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;&#x2122; se e somente se đ?&#x2018;&#x17D; = 1, ou đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1, visto que đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?) implica em (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x20AC;&#x201C; 1). (đ?&#x2018;&#x17D; + 1) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?) e, portanto, Prof. Rubens Vilhena

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đ?&#x2018;&#x17D; â&#x20AC;&#x201C; 1 â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?), ou (đ?&#x2018;&#x17D; + 1) â&#x2030;Ą 0 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; p) isto ĂŠ, đ?&#x2018;&#x17D; = 1 ou đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1.

Exemplo: Com đ?&#x2018;? = 13, existe um Ăşnico inteiro positivo đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;&#x2122;, com 1 ď&#x201A;Ł đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;&#x2122; ď&#x201A;Ł đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1, tal que đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;&#x2122; â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?)

Tabela 5.1.1 a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

a'

1

7

9

10

8

11

2

5

3

4

6

12

Omitindo os inteiros 1 e đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1, com os đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 3 restantes: 2, 3, . . . , đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 2 podemos formar

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;3 2

pares (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;&#x2122;), com đ?&#x2018;&#x17D;ď&#x201A;šđ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;&#x2122; tais que đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;&#x2122; â&#x2030;Ą 1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?). EntĂŁo, multiplicando

ordenadamente todas essas

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;3 2

congruĂŞncias, obtemos a congruĂŞncia:

2.3 . . . . . (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 2) â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?), đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;˘ (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 2)! â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?) ou, multiplicando por (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1): (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1)(đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 2)! = (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1)! â&#x2030;Ą (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2030;Ąâ&#x20AC;&#x201C; 1 (mod đ?&#x2018;?) que ĂŠ a prĂłpria congruĂŞncia de Wilson.

Com đ?&#x2018;? = 13, por exemplo, os 10 inteiros 2, 3, . . . , 11 dĂŁo lugar a 5 pares tais que o produto dos inteiros de cada par ĂŠ congruente a 1 mĂłdulo 13: 2.7 â&#x2030;Ą 1 (mod 13) 4.10 â&#x2030;Ą 1 (mod 13) 6.11 â&#x2030;Ą 1 (mod 13) 3.9 â&#x2030;Ą 1 (mod 13) 5.8 â&#x2030;Ą 1 (mod 13) multiplicando ordenadamente essas cinco congruĂŞncias, obtemos: (2.7). (3.9). (4.10). (5.8). (6.11) = 11! â&#x2030;Ą 1 (mod 13) e, portanto, 12. 11! = 12! â&#x2030;Ą 12 â&#x2030;Ą â&#x20AC;&#x201C; 1 (mod 13) isto ĂŠ, (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1)! â&#x2030;Ąâ&#x20AC;&#x201C; 1 (mod đ?&#x2018;?), com đ?&#x2018;? = 13 RecĂ­proca do Teorema de Wilson: Se (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1)! â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1 (mod đ?&#x2018;&#x203A;), entĂŁo n ĂŠ primo.

Demonstração. A recĂ­proca ĂŠ verdadeira. Suponhamos, por absurdo, que o inteiro n ĂŠ composto. EntĂŁo, n tem um divisor d tal que 1 < đ?&#x2018;&#x2018; < đ?&#x2018;&#x203A;, de modo que d ĂŠ um dos fatores do Prof. Rubens Vilhena

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produto: 1 . 2 . 3 . . . . . (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1) = (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1)! e, portanto, đ?&#x2018;&#x2018; | (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1)!. Mas, por hipĂłtese đ?&#x2018;&#x203A; | (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1)! + 1, e como đ?&#x2018;&#x2018; | đ?&#x2018;&#x203A;, segue-se que: đ?&#x2018;&#x2018; | (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1)! + 1, e đ?&#x2018;&#x2018; | 1 o que ĂŠ absurdo, visto que đ?&#x2018;&#x2018; > 1. Logo, n nĂŁo possui divisores menores que ele mesmo e diferentes de 1, ou seja, n ĂŠ primo.

Nota: Este teorema recĂ­proco dĂĄ um critĂŠrio para se reconhecer se um inteiro dado ĂŠ primo.

Mas, do ponto de vista prĂĄtico, no momento, ainda ĂŠ de interesse apenas teĂłrico, pois o cĂĄlculo de fatoriais exigiria muito tempo.

Teorema 5 (Teorema de Leibniz). Um inteiro đ?&#x2018;&#x203A; >1 ĂŠ primo, se e somente se, (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 2)! â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x203A;) Demonstração: (ď&#x192;&#x17E;) suponhamos que o inteiro đ?&#x2018;&#x203A; > 1 ĂŠ primo. EntĂŁo, pelo teorema de Wilson: (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1)! â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1 (mod đ?&#x2018;&#x203A;) obviamente, (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1)! = (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1). (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 2)! â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 2)! (mod đ?&#x2018;&#x203A;) portanto, (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 2)! â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x203A;) (ď&#x192;&#x153;) reciprocamente, se (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 2)! â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x203A;), entĂŁo: (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1)! â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 2)! â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1 (mod đ?&#x2018;&#x203A;) Logo, pelo recĂ­proco do Teorema de Wilson, o inteiro n ĂŠ primo.

GostarĂ­amos de fechar este item com uma aplicação do teorema de Wilson ao estudo das congruĂŞncias quadrĂĄticas. [Entende-se que a congruĂŞncia quadrĂĄtica significa uma congruĂŞncia da forma đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;&#x203A;), com um đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030; 0) (mod n). ] Este ĂŠ o conteĂşdo do Teorema 5.1.2.

Teorema 5.1.2. A congruĂŞncia quadrĂĄtica đ?&#x2018;Ľ 2 + 1 â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?), onde p ĂŠ um primo Ă­mpar, tem solução se, e somente se, đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1 (mod 4).

Prova. Seja a uma solução de đ?&#x2018;Ľ 2 + 1 â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?) de modo que đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1 (mod đ?&#x2018;?). Como đ?&#x2018;? â&#x2C6;¤ đ?&#x2018;&#x17D;, o resultado da aplicação do teorema de Fermat ĂŠ 1 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ą (đ?&#x2018;&#x17D;2 )(đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1)/2 â&#x2030;Ą (â&#x2C6;&#x2019;1)(đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1)/2 (mod đ?&#x2018;?)

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NĂŁo hĂĄ possibilidade de p = 4k + 3 para algum k. Se assim fosse, terĂ­amos (â&#x2C6;&#x2019;1)(đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1)/2 = (â&#x2C6;&#x2019;1)2đ?&#x2018;&#x2DC;+1 = â&#x2C6;&#x2019;1 portanto, 1 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1(mod đ?&#x2018;?). O resultado disso ĂŠ que đ?&#x2018;?|2, que ĂŠ obviamente falso. Assim, p deve ser da forma 4k + 1.

Agora, na direção oposta. No produto đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;?+1 â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 2)(đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1) 2 2

(đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1)! = 1 â&#x2C6;&#x2122; 2 â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2122; Temos as congruĂŞncias

đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1(mod đ?&#x2018;?) đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;2(mod đ?&#x2018;?) . . . đ?&#x2018;?+1 đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ąâ&#x2C6;&#x2019; (mod đ?&#x2018;?)

2 2 Reorganizando os fatores, temos (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1)! â&#x2030;Ą 1 â&#x2C6;&#x2122; (â&#x2C6;&#x2019;1) â&#x2C6;&#x2122; 2 â&#x2C6;&#x2122; (â&#x2C6;&#x2019;2) â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 2 (1

â&#x2030;Ą (â&#x2C6;&#x2019;1)

â&#x2C6;&#x2122;2â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122;

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2122; (â&#x2C6;&#x2019; ) (mod đ?&#x2018;?)

2 2

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 2 ) (mod đ?&#x2018;?)

2

Porque hĂĄ (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1)/2 sinais menos envolvidos. Ă&#x2030; neste ponto que o teorema de Wilson pode ser levado a efeito; como, (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1)! â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1(mod đ?&#x2018;?), consequentemente, đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;?

2 [(

â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ą (â&#x2C6;&#x2019;1)

â&#x2C6;&#x2019;1 2 ) !] (mod đ?&#x2018;?)

2

Se assumirmos que p ĂŠ da forma 4k + 1, entĂŁo (â&#x2C6;&#x2019;1)(đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1)/2 = 1, deixando-nos com a congruĂŞncia â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ą [( (đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1)

A conclusĂŁo ĂŠ que o inteiro [

2

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 2 ) !] (mod đ?&#x2018;?)

2

] ! satisfaz a congruĂŞncia quadrĂĄtica đ?&#x2018;Ľ 2 + 1 â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?).

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PRECIOSIDADES

1. Verificar o Teorema de Wilson para p = 5 e para p = 7.

2. Mostrar que 11, 13, 17 e 19 são primos usando o recíproco do Teorema de Wilson.

3. Mostrar que 8 é composto usando o Teorema de Wilson.

4. Achar o resto da divisão de 15! por 17.

5. Mostrar que 18! + 1  0 (mod 437).

6. Sendo p um primo ímpar, demonstrar que 2.(p – 3)!  –1 (mod p).

7. Verificar o Teorema de Leibniz com o primo p = 13.

8. Usando o Teorema de Leibniz, mostrar que 17 é primo.

9. Formar com os inteiros 2, 3, 4, ... , 21, todos os pares de a e b tais que a.b  1 (mod 23).

10.Mostre que 10! + 1 é divisível por 11, agrupando pares de inversos modulo 11 que aparecem em 10!

11. Mostre que 12! + 1 é divisível por 13, agrupando pares de inversos modulo 13 que aparecem em 12!

12. Qual é o resto quando 16! é dividido por 19?

13. Qual é o resto quando 5! 25! é dividido por 31?

14. Usando o teorema de Wilson, encontre o menor resíduo positivo de 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 módulo 7.

15. Qual o resto quando 7 · 8 · 9 · 15 · 16 · 17 · 23 · 24 · 25 · 43 é dividido por 11?

16. Qual é o resto quando 18! é dividido por 437?

17. Qual é o resto quando 40! Está dividido por 1763?

18. Qual o resto quando 5100 é dividido por 7?

19. Qual é o resto quando 62000 é dividido por 11?

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5.2. O Pequeno Teorema de Fermat

Fermat foi um dos poucos matemåticos amadores famosos. Filho de um rico comerciante de couro, pôde se dedicar completamente aos estudos. Por influência de sua mãe, descendente de uma família de juristas, estudou leis na Universidade de Orleans e formou-se em advocacia. Trabalhou durante toda sua vida na corte de justiça de Toulouse. Foi nomeado juiz e ocupava os seus momentos de folga em diversos lazeres, entre os quais a poesia e a Matemåtica.

Seu interesse pela matemĂĄtica iniciou-se em 1629 com o estudo dos trabalhos de ApolĂ´nio (matemĂĄtico grego, 260 A.D.) sobre curvas planas. Trocava correspondĂŞncia com os maiores matemĂĄticos da ĂŠpoca, como Torricelli, Roberval, Huyghens e Pascal, e, dessa forma relatava suas descobertas. Jamais publicou seus trabalhos de nenhuma outra forma, mas o conteĂşdo das cartas de Fermat ĂŠ atualmente incluĂ­do em todos os textos usuais de teoria dos nĂşmeros.

Seu interesse na teoria dos nĂşmeros surgiu apĂłs ler o livro AritmĂŠtica de Diofanto (matemĂĄtico grego, 200 A.C.) e alguns dos problemas propostos por Fermat, nesta ĂĄrea, eram tĂŁo difĂ­ceis que somente muitos anos mais tarde foram provados. Um desses problemas afirmava que "todo nĂşmero inteiro pode ser escrito como a soma de no mĂĄximo quatro quadrados" e foi provado em 1770, pelo matemĂĄtico francĂŞs Lagrange. Entretanto, seu resultado mais famoso resistiu por mais de 350 anos e inspirou a publicação, em 1996, do bestseller O Ă&#x161;ltimo Teorema de Fermat. Este teorema diz que â&#x20AC;&#x153;se n ĂŠ um natural maior que 2, entĂŁo nĂŁo existem nĂşmeros inteiros x, y e z que satisfaçam a equação đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;&#x203A; â&#x20AC;?. Isto foi provado definitivamente, em 1994, pelo matemĂĄtico inglĂŞs Andrew Wiles (repare que no caso n = 2 o teorema ĂŠ satisfeito por todos os ternos pitagĂłricos, isto ĂŠ, por inteiros que satisfaçam o Teorema de PitĂĄgoras).

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Ao contrĂĄrio do famoso Ă&#x161;ltimo Teorema de Fermat, hĂĄ poucas dĂşvidas sobre se Fermat realmente sabia como provar esse teorema (que se chama "Pequeno Teorema de Fermat" para distingui-lo do seu "Ă&#x161;ltimo Teorema"). Ă&#x2030; creditado a

Leonhard Euler a

primeira prova, publicada em 1736. Euler tambĂŠm generalizou o pequeno teorema de Fermat, como veremos.

Teorema 5.2.1 (Pequeno Teorema de Fermat â&#x20AC;&#x201C; PTF): se p ĂŠ primo e se o MDC (đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x17D;) = 1, entĂŁo: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?)

Demonstração: consideremos os (p â&#x20AC;&#x201C; 1) primeiros mĂşltiplos positivos de a, isto ĂŠ, os inteiros đ?&#x2018;&#x17D;, 2đ?&#x2018;&#x17D;, 3đ?&#x2018;&#x17D;, â&#x20AC;Ś , (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1)đ?&#x2018;&#x17D;.

Nenhum desses (p â&#x20AC;&#x201C; 1) inteiros ĂŠ divisĂ­vel por p e, alĂŠm disso, dois quaisquer deles sĂŁo incongruentes mĂłdulo p, pois, se fosse: đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D; (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?),

1â&#x2030;¤đ?&#x2018;&#x; <đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;¤đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1

entĂŁo, o fator comum a poderia ser cancelado, visto que o MDC(a, p) = 1, e terĂ­amos: đ?&#x2018;&#x; â&#x2030;Ą đ?&#x2018; )đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?) o que ĂŠ impossĂ­vel, porque 0 < s â&#x20AC;&#x201C; r < p.

Assim sendo, cada um dos inteiros a, 2a, 3a, ..., (p â&#x20AC;&#x201C; 1)a ĂŠ congruente mĂłdulo p a um Ăşnico dos inteiros 1, 2, 3, ..., p â&#x20AC;&#x201C; 1, considerados numa certa ordem, e por conseguinte, multiplicando ordenadamente todas essas p â&#x20AC;&#x201C; 1 congruĂŞncias, teremos: đ?&#x2018;&#x17D;. 2đ?&#x2018;&#x17D;. 3đ?&#x2018;&#x17D; â&#x20AC;Ś (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1)đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą 1.2.3 â&#x20AC;Ś . (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1)(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?) ou seja, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1)! â&#x2030;Ą (đ?&#x2018;? = 1)! (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?)

Como o MDC (p, (p â&#x20AC;&#x201C; 1)!) = 1, porque p ĂŠ primo e p nĂŁo divide (p â&#x20AC;&#x201C; 1)!, podemos cancelar o fator (p â&#x20AC;&#x201C; 1)!, o que dĂĄ a congruĂŞncia de Fermat: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ą 1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?)

Exemplo: Seja o primo đ?&#x2018;? = 7 e o inteiro đ?&#x2018;&#x17D; = 3 tais que 7 nĂŁo divide 3, temos os đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1 = 6 primeiros mĂşltiplos positivos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Nenhum desses 6 inteiros ĂŠ divisĂ­vel por 7, todos sĂŁo incongruentes mĂłdulo 7, e cada um deles ĂŠ congruente mĂłdulo 7 a um Ăşnico dos inteiros 1, 2, 3, 4, 5, 6: 3 â&#x2030;Ą 3 (mod 7), 6 â&#x2030;Ą 6 (mod 7), 9 â&#x2030;Ą 2 (mod 7), 12 â&#x2030;Ą 5 (mod7), 15 â&#x2030;Ą 1 (mod 7), 18 â&#x2030;Ą 4 (mod 7). Multiplicando ordenadamente essa 6 congruĂŞncias, temos: Prof. Rubens Vilhena

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3 . 6 . 9 . 12 . 15 . 18 â&#x2030;Ą 3 . 6 . 2 . 5 . 1 . 4 (mod đ?&#x2018;?) ou seja, 36 . 6! â&#x2030;Ą 6! (mod 7) Como o MDC (7,6!) = 1, podemos cancelar o fator comum 6!, que resulta em: 36 â&#x2030;Ą 1 (mod 7) CorolĂĄrio 5.2.1: se p ĂŠ um primo, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;?), qualquer que seja o inteiro a.

Demonstração: se p divide a, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?) e đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?), que implica em: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;?)

Se, ao invĂŠs disto, p nĂŁo dividisse a, entĂŁo pelo PTF: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?), e đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;?)

Teorema 5.2.2: se p e q sĂŁo primos distintos tais que đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;&#x17E;) e đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;?), entĂŁo: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;?. đ?&#x2018;&#x17E;) Demonstração: pelo corolĂĄrio 1 e da hipĂłtese, temos: (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17E; )đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17E; (mod đ?&#x2018;?)ď&#x192;&#x17E; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;?)ď&#x192;&#x17E; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;?) (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? )đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x17E;) ď&#x192;&#x17E; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;&#x17E;) ď&#x192;&#x17E; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;&#x17E;) Portanto, đ?&#x2018;? | (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;), e đ?&#x2018;&#x17E; | (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;), que implica em: (đ?&#x2018;?. đ?&#x2018;&#x17E;) | (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;), isto ĂŠ, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;?. đ?&#x2018;&#x17E;) Ilustrando: 211 â&#x2030;Ą 2(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 31) e 231 â&#x2030;Ą 2(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 11) 211Ă&#x2014;31 â&#x2030;Ą 2 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 31 Ă&#x2014; 31) 2341 â&#x2030;Ą 2 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 341) Teorema 5.2.3: Se p ĂŠ primo e a ĂŠ um inteiro tal que p nĂŁo divide a, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;2 ĂŠ um inverso de a mĂłdulo p.

Prova.

Se

p

nĂŁo

divide

a,

pelo

pequeno

teorema

de

Fermat,

temos

đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2039;&#x2026; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;2 = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ą 1(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?).

Assim, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;2 ĂŠ um inverso de a mĂłdulo p.â&#x2C6;&#x17D; O teorema 1 nos dĂĄ uma outra maneira de resolver congruĂŞncias lineares em relação a um mĂłdulo primo.

Ilustrando: Seja p = 7 e a = 4.

47â&#x2C6;&#x2019;2 = 45 â&#x2030;Ą 2 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 7) e, 2 Ă&#x2014; 4 â&#x2030;Ą 1(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 7).

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CorolĂĄrio 5.2.3. Se a e b sĂŁo nĂşmeros inteiros positivos e p ĂŠ primo que nĂŁo divide a, entĂŁo as soluçþes da congruĂŞncia linear đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;?) sĂŁo os inteiros x tais que đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;2 (mod đ?&#x2018;?).

Prova. Suponha que đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;?) . Como p nĂŁo divide a, sabemos pelo Teorema 1 que đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 2 ĂŠ um inverso de đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;?). Multiplicando ambos os lados da congruĂŞncia original por đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 2 temos đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;?(mod đ?&#x2018;?).

EntĂŁo, đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;?(mod đ?&#x2018;?). â&#x2C6;&#x17D; Ilustrando: 4đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 6(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 7) 2 Ă&#x2014; 4đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 2 Ă&#x2014; 6(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 7) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 12 â&#x2030;Ą 5(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 7) đ?&#x2018;Ľ = 7đ?&#x2018;&#x2DC; + 5 CorolĂĄrio 5.2.4. Se o nĂşmero primo p nĂŁo divide a e se đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x161; (mod đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1), entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161; (mod đ?&#x2018;?)

Prova. Consideremos đ?&#x2018;&#x203A; > đ?&#x2018;&#x161;. Como đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1|đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161;, temos đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x161; + đ?&#x2018;&#x2DC;(đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1), com k um inteiro positivo. Assim, multiplicando a congruĂŞncia đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ą 1(mod đ?&#x2018;?) por ela mesma k vezes e entĂŁo por đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161; (mod đ?&#x2018;?) temos o resultado esperado: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161; (mod đ?&#x2018;?).

Ilustrando: Seja p = 11 e a = 9.

13 â&#x2030;Ą 3 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 10) 913 â&#x2030;Ą 93 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 11) 3 â&#x2030;Ą 3 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 10)

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PRECIOSIDADES

1) Verificar o PTF com đ?&#x2018;&#x17D; = 2 e đ?&#x2018;? = 13.

2) Verificar o PTF com đ?&#x2018;&#x17D; = 3 e đ?&#x2018;? = 17.

3) Verificar utilizando o PTF: a) 18502 (mod 7) b) 19933 â&#x2030;Ą 8 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 31) 4) Mostrar que 538 â&#x2030;Ą 4 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 11) pelo PTF. 5) Mostrar que o inteiro 117 ĂŠ composto usando o PTF. 6) Achar o algarismo das unidades do inteiro 3400 com o auxĂ­lio do PTF. 7) Sendo a um inteiro, mostrar que đ?&#x2018;&#x203A;5 e n tĂŞm o mesmo algarismo das unidades.

8) Demonstrar que 13 | (270 + 370 ) e 1105 | (31105 â&#x2C6;&#x2019; 3) atravĂŠs do PTF. 9) Demonstra que 22225555 + 55552222 ĂŠ divisĂ­vel por 7 .

10) Achar o resto da divisĂŁo de 21137 por 17 com a ajuda do PTF. 11) Mostrar que, se o MDC(a, 35) = 1, entĂŁo a12 ď&#x201A;ş 1 (mod 35).

12) Demonstrar que, para todo inteiro a, se tem: a) đ?&#x2018;&#x17D;13 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod 7) b) đ?&#x2018;&#x17D;37 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod13) c) đ?&#x2018;&#x17D;21 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod 15) d) đ?&#x2018;&#x17D;7 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;(mod 42) 13) Demonstrar que, para todo inteiro positivo n, se tem: a) 22đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą 1 (mod 3) b) 23đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą 1 (mod 7) 14) Usando o pequeno teorema de Fermat, encontre o menor resĂ­duo positivo de 3999 999 999 mĂłdulo 7.

15) Usando o pequeno teorema de Fermat, encontre o menor resto positivo de 21000000 mĂłdulo 17.

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16) Mostre que 310 â&#x2030;Ą 1 (mod 112 ).

17) Usando o pequeno teorema de Fermat, encontre o Ăşltimo dĂ­gito de 3100 na expansĂŁo em base 7.

18) Usando o pequeno teorema de Fermat, encontre as soluçþes das seguintes congruĂŞncias lineares. a) 7đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 12 (mod 17)

b) 4đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 11 (mod 19)

19) Mostre que se n for um inteiro composto com đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030; 4, entĂŁo (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1)! â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;&#x203A;).

20) Mostre que se p for um primo Ă­mpar, entĂŁo 2(đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 3)! â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1 (mod đ?&#x2018;?).

21) Mostre que se n for Ă­mpar e 3 nĂŁo divide n, entĂŁo đ?&#x2018;&#x203A;2 â&#x2030;Ą 1 (mod 24).

22) Mostre que a12 - 1 ĂŠ divisĂ­vel por 35 sempre que mdc (đ?&#x2018;&#x17D;, 35) = 1.

23) Mostre que a6 - 1 ĂŠ divisĂ­vel por 168 sempre que mdc (đ?&#x2018;&#x17D;, 42) = 1.

24) Mostre que 42| (đ?&#x2018;&#x203A;7 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;) para todos os inteiros positivos n.

25) Mostre que 30 |(đ?&#x2018;&#x203A;9 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;) para todos os inteiros positivos n.

26) Mostre que 1đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 + 2đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 + 3đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 + â&#x2039;Ż + (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1)(đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1) â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1(mod đ?&#x2018;?) sempre que o p ĂŠ primo.

27) Mostre que 1đ?&#x2018;? + 2đ?&#x2018;? + 3đ?&#x2018;? + â&#x2039;Ż + (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1)đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?) quando p ĂŠ um primo Ă­mpar.

28) Mostre que, se p primo e a e b sĂŁo inteiros e inteiros nĂŁo divisĂ­veis por p, com đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? đ?&#x2018;? (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?), entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? đ?&#x2018;? (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?2 ).

29) Achar todos os primos p tais que đ?&#x2018;? | (2đ?&#x2018;? + 1).

30) Sejam p um nĂşmero primo, a e n e inteiros positivos. Prove que se 2p + 3p = an, entĂŁo n = 1.

31) Seja p um nĂşmero primo da forma 4k + 3. Mostre que p | m2 + n2 â&#x2021;&#x201D; p | m e p | n.

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5.2.1. MĂŠtodo de Fatoração de Fermat Em um fragmento de uma carta, escrita em 1643, provavelmente ao padre Marin Mersenne (1588-1648), Fermat descreveu sua tĂŠcnica para o fatorar grandes nĂşmeros. Isso representou a primeira melhoria real em relação ao mĂŠtodo clĂĄssico de tentar encontrar um fator de n dividindo-o por todos os primos que nĂŁo excedem â&#x152;&#x160;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x152;&#x2039;. O esquema de fatoração de Fermat tem em sua essĂŞncia a observação de que a busca de fatores de um inteiro Ă­mpar n (porque as potĂŞncias de 2 sĂŁo facilmente reconhecĂ­veis e podem ser removidas logo no inĂ­cio, nĂŁo hĂĄ perda em assumir que n ĂŠ Ă­mpar) ĂŠ equivalente a obtenção das soluçþes inteiras x e y da equação đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś2 Se n ĂŠ a diferença entre dois quadrados, entĂŁo ĂŠ evidente que n pode ser fatorado como đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś 2 = (đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś)(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś)

Por outro lado, quando n tem a fatoração đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?, com đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ľ đ?&#x2018;? â&#x2030;Ľ 1, entĂŁo podemos escrever a+b 2 aâ&#x2C6;&#x2019;b 2 đ?&#x2018;&#x203A;=( ) â&#x2C6;&#x2019;( ) 2 2 AlĂŠm disso, como n ĂŠ um inteiro Ă­mpar, a e b sĂŁo Ă­mpares; consequentemente (đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?)/2 e (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?)/2 serĂŁo nĂşmeros inteiros nĂŁo negativos.

Assim, começa uma busca por possĂ­veis x e y que satisfaçam a equação đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś 2 , ou de modo equivalente đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;Ś 2 , determinando primeiro o menor nĂşmero inteiro k para o qual đ?&#x2018;&#x2DC; 2 â&#x2030;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;. Agora, olhe sucessivamente os nĂşmeros đ?&#x2018;&#x2DC; 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;, (đ?&#x2018;&#x2DC; + 1)2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;, (đ?&#x2018;&#x2DC; + 2)3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;,

(đ?&#x2018;&#x2DC; + 3)3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;, â&#x20AC;Ś

AtĂŠ um valor de đ?&#x2018;&#x161; â&#x2030;Ľ â&#x152;&#x160;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x152;&#x2039; ser encontrado fazendo đ?&#x2018;&#x161;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A; um quadrado. O processo nĂŁo pode continuar indefinidamente, porque finalmente se chega a n+1 2 nâ&#x2C6;&#x2019;1 2 ( ) â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; =( ) 2 2 a representação de n correspondente Ă fatoração trivial đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x203A; ¡ 1. Se este ponto for alcançado sem que uma diferença entre quadrados tenha sido descoberta antes, entĂŁo n nĂŁo tem outros Prof. Rubens Vilhena

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fatores alĂŠm de n e 1, caso em que ĂŠ um primo.

Fermat usou o procedimento que acabamos de descrever para fatorar 2027651281 = 44021.46061

em apenas 11 passos, em comparação com fazer 4580 divisĂľes pelos primos Ă­mpares atĂŠ 44021. Este foi provavelmente um caso favorĂĄvel elaborado com o objetivo de mostrar a principal virtude de seu mĂŠtodo: Ele nĂŁo exige que se conheça todos os primos menores do que â&#x152;&#x160;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x152;&#x2039; para encontrar os fatores de n.

Exemplo. Para ilustrar a aplicação do mĂŠtodo de Fermat, vamos fatorar o nĂşmero inteiro đ?&#x2018;&#x203A; = 119143. De uma tabela de quadrados, encontramos que 3452 < 119143 < 3462 ; portanto, basta considerar valores de đ?&#x2018;&#x2DC; 2 â&#x2C6;&#x2019; 119143 para aqueles k que satisfazem a desigualdade 346346 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;¤

119143+1 2

= 59572. Os cålculos começam da seguinte forma:

k

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;

346

â&#x2C6;&#x161;573 =23,93

347

â&#x2C6;&#x161;1266 =35,58

348

â&#x2C6;&#x161;1961 =44,28

349

â&#x2C6;&#x161;2658 =51,55

350

â&#x2C6;&#x161;3357 =57,93

351

â&#x2C6;&#x161;4058 =63,70

352

â&#x2C6;&#x161;4761 =69

Esta Ăşltima linha exibe a fatoração 119143 = 3522 â&#x2C6;&#x2019; 692 = (352 + 69)(352 â&#x2C6;&#x2019; 69) = 421. 283 os dois fatores sendo primos. Em apenas sete etapas, obtivemos a fatoração em primos do nĂşmero 119143. Claro, nem sempre isso acontece tĂŁo facilmente; isto pode demorar muitas etapas antes de uma diferença ser um quadrado.

O mĂŠtodo de Fermat ĂŠ mais eficaz quando os dois fatores de n sĂŁo muito prĂłximos, pois, neste caso, um quadrado adequado aparecerĂĄ rapidamente. Para ilustrar, vamos fatorar đ?&#x2018;&#x203A; = 23449. O menor quadrado que excede n ĂŠ 1542, de modo que a sequĂŞncia đ?&#x2018;&#x2DC; 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A; Prof. Rubens Vilhena

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comece com k

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;

154

â&#x2C6;&#x161;267 =16,34

155

â&#x2C6;&#x161;576 =24

Por isso, os fatores de 23449 sĂŁo 23449 = (155 + 24) (155 â&#x2C6;&#x2019; 24) = 179.131 Ao examinar as diferenças đ?&#x2018;&#x2DC; 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A; como possĂ­veis quadrados, muitos valores podem ser imediatamente excluĂ­dos por inspeção dos dĂ­gitos finais. Sabemos, por exemplo, que um quadrado deve terminar em um dos seis dĂ­gitos 0, 1, 4, 5, 6, 9. Isso nos permite excluir todos os valores no Exemplo 5.2, salvo para 1266, 1961 e 4761. Ao calcular os quadrados dos inteiros de 0 a 99 do mĂłdulo 100, vemos ainda que, para um quadrado, os dois Ăşltimos dĂ­gitos estĂŁo limitados Ă s seguintes 22 possibilidades: 00 01 04 09 16 21 24 25 29 36 41 44 49 56 61 64 69 76 81 84 89 96 O nĂşmero inteiro 1266 pode ser eliminado a partir dessa consideração. Como 61 estĂĄ entre os dois Ăşltimos dĂ­gitos permitidos em um quadrado, ĂŠ necessĂĄrio apenas olhar para os nĂşmeros 1961 e 4761; O primeiro nĂŁo ĂŠ um quadrado, mas 4761 = 692.

5.2.2. Uma Generalização do MĂŠtodo de Fermat HĂĄ uma generalização do mĂŠtodo de fatoração de Fermat que tem sido usado com algum sucesso. Aqui, procuramos inteiros distintos x e y, de modo que đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś 2 seja um mĂşltiplo de n em vez do prĂłprio n; isso ĂŠ, đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ś 2 (mod đ?&#x2018;&#x203A;) Tendo obtido tais nĂşmeros inteiros, đ?&#x2018;&#x2018; = mdc (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś, đ?&#x2018;&#x203A;) (ou đ?&#x2018;&#x2018; = mdc (đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś, đ?&#x2018;&#x203A;)) pode ser calculado por meio do Algoritmo euclidiano. Claramente, d ĂŠ um divisor de n, mas ĂŠ um divisor nĂŁo trivial? Em outras palavras, temos 1 < đ?&#x2018;&#x2018; < đ?&#x2018;&#x203A;?

Na prĂĄtica, n ĂŠ geralmente o produto de dois primos p e q, com đ?&#x2018;? < đ?&#x2018;&#x17E;, de modo que d ĂŠ igual a 1, p, q ou pq. Agora, a congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ś 2 (mod đ?&#x2018;&#x203A;) se traduz em đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E; | (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś)(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś). O lema de Euclides nos diz que p e q devem dividir um dos fatores. Se acontecer de que đ?&#x2018;? | đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś e đ?&#x2018;&#x17E; | đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś, entĂŁo đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E; | đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś, ou expresso como uma congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ś(mod đ?&#x2018;&#x203A;).

AlĂŠm disso, đ?&#x2018;? | đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś e đ?&#x2018;&#x17E; | đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś fornecem đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś(mod đ?&#x2018;&#x203A;).. Ao procurar nĂşmeros inteiros x e y que satisfaçam

đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ś 2 (mod đ?&#x2018;&#x203A;), onde đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;˘ Âąđ?&#x2018;Ś(mod đ?&#x2018;&#x203A;), estas duas situaçþes sĂŁo

descartadas. O resultado de tudo isso ĂŠ que d ĂŠ p ou q, dando-nos um divisor nĂŁo trivial de n.

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Exemplo. Suponhamos que queremos fatorar o nĂşmero inteiro positivo đ?&#x2018;&#x203A; = 2189 e percebemos que 5792 â&#x2030;Ą 182 (mod 2189). EntĂŁo calculamos mdc (579 â&#x2C6;&#x2019; 18, 2189) = mdc (561, 2189) = 11 usando o Algoritmo de Euclides: 3

1

9

2189 561 506 55 506

55

11

5 11 0

Isso leva ao divisor primo 11 de 2189. O outro fator, ou seja, 199, pode ser obtido observando que mdc (579 + 18, 2189) = mdc (59 7, 2189) = 199 O leitor pode se perguntar como chegamos a um nĂşmero, como 579, cujo quadrado ĂŠ congruente tambĂŠm ĂŠ um quadrado perfeito mĂłdulo 2189. Ă&#x20AC; procura de quadrados prĂłximos de mĂşltiplos de 2189, observou-se que 812 â&#x2C6;&#x2019; 3 ¡ 2189 = â&#x2C6;&#x2019;6

e

1552 â&#x2C6;&#x2019; 11 ¡ 2189 = â&#x2C6;&#x2019;54

que se traduz em 812 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;2 ¡ 3 (mod 2189) e 1552 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;2 ¡ 33 (mod 2189)

Quando essas congruĂŞncias sĂŁo multiplicadas, elas produzem (81 ¡ 155)2 â&#x2030;Ą (2 ¡ 32 )2 (mod 2189) Como o produto 81 ¡ 155 = 12555 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;579 (mod 2189), acabamos com a congruĂŞncia 5792 â&#x2030;Ą 182 (mod 2189).

A base de nossa abordagem ĂŠ encontrar vĂĄrios x, com a propriedade de que cada đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;2 ĂŠ, modulo n, o produto de pequenas potĂŞncias de nĂşmeros primos, e de tal forma que o quadrado do seu produto ĂŠ congruente a um quadrado perfeito.

Quando n tem mais de dois fatores primos, nosso algoritmo de fatoração ainda pode ser aplicado; no entanto, nĂŁo hĂĄ garantias de que uma solução particular da congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ś 2 (mod đ?&#x2018;&#x203A;), com đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;˘ Âąđ?&#x2018;Ś(mod đ?&#x2018;&#x203A;), resultarĂĄ em um divisor nĂŁo trivial de n. Ă&#x2030; claro que quanto mais soluçþes dessa congruĂŞncia estiverem disponĂ­veis, melhor a chance de se encontrar os fatores desejados de n.

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5.2.3. MÊtodo de Fatoração de Kaitchik Na dÊcada de 1920, Maurice Borissowitsch Kraitchik (1882- 1957) mostrou um interessante aprimoramento do mÊtodo de fatoração generalizado de Fermat, e Ê este aprimoramento que estå na base dos mais modernos algoritmos de fatoração. A ideia tinha raízes nos trabalhos de Johann Carl Friedrich Gauss (1777- 1855) e Paul Peter Heinrich Seelhoff (1829-1896), mas foi Kraitchik quem a trouxe para uma nova geração de um novo sÊculo.

Vamos exemplificar essa variante apresentada por Kraitchik e que tornou-se a base de mĂŠtodos tĂŁo modernos como o algoritmo do crivo quadrĂĄtico.

Exemplo. Seja đ?&#x2018;&#x203A; = 12 499 o nĂşmero inteiro a ser fatorado. O primeiro quadrado maior que n ĂŠ 1122 = 12544. EntĂŁo, começamos por considerar a sequĂŞncia dos nĂşmeros x2 â&#x20AC;&#x201C; n para x = 112, 113, .... Como antes, nosso interesse ĂŠ obter um conjunto de valores x1,x2 , ..., xk para o qual o produto (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;) ¡ ¡ ¡ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;) ĂŠ um quadrado, digamos đ?&#x2018;Ś 2 . EntĂŁo (đ?&#x2018;Ľ1 . . . đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2DC; )2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ś 2 (mod đ?&#x2018;&#x203A;), o que pode levar a um fator nĂŁo trivial de n.

Uma breve pesquisa revela que 1122 â&#x2C6;&#x2019; 12499 = 45 1172 â&#x2C6;&#x2019; 12499 = 1190 1212 â&#x2C6;&#x2019; 12499 = 2142 ou, escrito como congruĂŞncia, 1122 â&#x2030;Ą 32 ¡ 5 (mod 12499) 1172 â&#x2030;Ą 2 ¡ 5 ¡ 7 ¡ 17 (mod 12499) 1212 â&#x2030;Ą 2 ¡ 32 ¡ 7 ¡ 17 (mod 12499) Multiplicar as congruĂŞncias resulta em (112 ¡ 117 ¡ 121)2 â&#x2030;Ą (2 ¡ 32 ¡ 5 ¡ 7 ¡ 17)2 (mod 12499) ou seja, 15855842 â&#x2030;Ą 107102 (mod 12499) Mas nĂŁo tivemos sorte com essa combinação de quadrados. Como 1585584 â&#x2030;Ą 10710 (mod 12499) apenas um divisor trivial de 12499 serĂĄ encontrado. Para sermos especĂ­ficos, mdc (1585584 + 10710, 12499) = 1 mdc (1585584 â&#x2C6;&#x2019; 10710, 12499) = 12499 ApĂłs um novo cĂĄlculo, percebemos que Prof. Rubens Vilhena

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1132 â&#x2030;Ą 2 ¡ 5 ¡ 33 (mod 12499) 1272 â&#x2030;Ą 2. 3. 5. 112 (mod 12499) o que dĂĄ origem Ă congruĂŞncia (113, 127)2 â&#x2030;Ą (2 ¡ 32 ¡ 5 ¡ 11)2 (mod 12499) Isso se reduz mĂłdulo 12499 para 18522 â&#x2030;Ą 9902 (mod 12499) e, felizmente, 1852 â&#x2030;˘ Âą 990 (mod 12499). Calculando mdc (1852 â&#x2C6;&#x2019; 990, 12499) = mdc (862, 12499) = 431 produz a fatoração 12499 = 29 ¡ 431.

PRECIOSIDADES

1. Use o mĂŠtodo de Fermat para fatorar cada um dos seguintes nĂşmeros: (a) 2279. (b) 10541. (c) 340663 2. Demonstrar que um quadrado perfeito deve terminar em um dos seguintes pares de dĂ­gitos: 00, 01, 04, 09,16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96.

3. Fatorar o nĂşmero 211 - 1 pelo mĂŠtodo de Fermat.

4. Em 1647, Mersenne observou que quando um nĂşmero pode ser escrito como uma soma dos quadrados de dois nĂşmeros relativamente primos de duas formas distintas, ele ĂŠ composto e pode ser fatorado como segue: se đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;? 2 + đ?&#x2018;&#x2018; 2 , entĂŁo đ?&#x2018;&#x203A;=

(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;)(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;) (đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;&#x2018;)(đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;)

Use esse resultado para fatorar os números 493 = 182 + 132 = 222 + 32 e 38025 = 1682 + 992 = 1562 + 1172 5. Utilize o mÊtodo de fatoração generalizado de Fermat para fatorar cada um dos seguintes números: (a) 2911 (b) 4573 Prof. Rubens Vilhena

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(c) 6923 6. Fatore 13561 com a ajuda das congruĂŞncias 2332 â&#x2030;Ą 32 ¡ 5 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 13561) đ?&#x2018;&#x2019; 12812 â&#x2030;Ą 24 ¡ 5 (mod 13561) 7. (a) Fatore o nĂşmero 4537 procurando por x tal que đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; ¡ 4537 ĂŠ o produto de potĂŞncias de pequenos nĂşmeros primos. (b) Utilize o procedimento indicado na parte (a) para o fatorar 14429.

8. Use o mĂŠtodo de Kraitchik para fatorar o nĂşmero 20437.

5.2.4. Pseudoprimos Pelo corolĂĄrio 5.2.1, se p ĂŠ primo, entĂŁo 2đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 2 (mod đ?&#x2018;?), isto ĂŠ, đ?&#x2018;? | (2đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 2).

Entretanto, a recĂ­proca â&#x20AC;&#x153;se đ?&#x2018;&#x203A; | (2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 2), entĂŁo n ĂŠ primoâ&#x20AC;? nĂŁo ĂŠ uma proposição verdadeira, e os inteiros positivos Ă­mpares compostos que satisfazem essa condição sĂŁo chamados de pseudoprimos.

Por exemplo, 2341 â&#x2030;Ą 2 (mod 341), isto ĂŠ, 341 | (2341 â&#x2C6;&#x2019; 2), onde o inteiro 341 = 11.31 ĂŠ composto. Com efeito, temos: 210 = 1024 = 3.11.31 + 1 que implica em 210 â&#x2030;Ą 1 (mod 11), e 210 â&#x2030;Ą 1 (mod 31) Portanto, 211 â&#x2030;Ą 2 (mod 31), e 231 â&#x2030;Ą 2. (210 )3 (mod 11) â&#x2030;Ą 2. (1)3 (mod 11) â&#x2030;Ą 2 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 11)

Como os inteiros 11 e 31 sĂŁo primos distintos, temos, de acordo com o Teorema 2: 211.31 â&#x2030;Ą 2 (mod 11.31), isto ĂŠ, 2341 â&#x2030;Ą 2 (mod 341), ou que 2340 â&#x2030;Ą 1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 341) CongruĂŞncia que mostra ser falsa a recĂ­proca do PTF. Logo, 341 ĂŠ um pseudoprimo na base 2.

Definição (Pseudoprimos): todo inteiro positivo composto n tal que 2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą 2 (mod đ?&#x2018;&#x203A;) se chama um pseudoprimo para a base 2.

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HĂĄ um nĂşmero infinito de pseudoprimos para a base 2, mas somente sete sĂŁo menores que 2000, e todos Ă­mpares:

341 = 11 . 31

645 = 3 . 5 . 43

1387 = 16 . 73

561 = 3 . 11 . 17 1105 = 5 . 13 . 17 1729 = 7 . 13 . 19

Nota: O primeiro exemplo de um pseudoprimo par para a base 2 foi dado pelo matemĂĄtico americano LEHMER em 1950. O menor deles ĂŠ 161038 = 2.73.1103 e, em 1951, BEEGER mostrou a existĂŞncia da infinidade de pseudoprimos pares para a base 2.

Teorema 5.2.4.1: seja um inteiro đ?&#x2018;&#x17D; > 1 e um primo đ?&#x2018;? > 2. đ?&#x2018;&#x17D;2đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? + 1 đ?&#x2018;&#x203A;= 2 =( )â&#x2C6;&#x2122;( ) đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x17D;+1 ĂŠ um pseudoprimo na base a.

Demonstração: pelo PTF, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019;1

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? +1

đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019;1

đ?&#x2018;&#x17D;+1

(

)â&#x2030;Ą(

) (mod đ?&#x2018;?) â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?)

e se verifica facilmente que estes nĂşmeros sĂŁo Ă­mpares, de onde đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą 1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 2. đ?&#x2018;?), ou đ?&#x2018;&#x203A; = 2. đ?&#x2018;&#x2DC;. đ?&#x2018;? + 1, para um k inteiro. Assim, como đ?&#x2018;&#x17D;2đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;), temos: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;?+1 (mod đ?&#x2018;&#x203A;) â&#x2030;Ą (đ?&#x2018;&#x17D;2đ?&#x2018;? )đ?&#x2018;&#x2DC; . đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;&#x203A;) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;&#x203A;) Existe uma infinidade de pseudoprimos de base đ?&#x2018;&#x17D; > 1.

Façamos a demonstração no caso de đ?&#x2018;&#x17D; = 2.

Proposição 5.2.4.1: se n ĂŠ um pseudoprimo de base 2, entĂŁo 2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1 tambĂŠm ĂŠ um pseudoprimo de base 2.

Demonstração: dada a igualdade (đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 1) = (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1). (đ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;1) + đ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;2) + . . . +đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ľ + 1), Prof. Rubens Vilhena

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sejam d, k tais que đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x2018;. đ?&#x2018;&#x2DC;, đ?&#x2018;&#x2018; > 1, đ?&#x2018;&#x2DC; < đ?&#x2018;&#x203A;, e seja đ?&#x2018;&#x161; = 2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1. EntĂŁo m ĂŠ composto. Para isto, basta considerar na igualdade acima đ?&#x2018;Ľ = 2đ?&#x2018;&#x2018; e đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;&#x2DC;. Por hipĂłtese 2đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x203A;) e, portanto, existe đ?&#x2018;&#x2DC; > 0 tal que 2đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 1 = đ?&#x2018;&#x2DC;. đ?&#x2018;&#x203A;. Assim,

đ?&#x;?đ??Śâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;? = đ?&#x;?(đ?&#x;?

đ??§ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?)

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2122;(đ?&#x;?

đ??§â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?)

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;?đ??¤đ??Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?

Voltando Ă igualdade acima e fazendo đ?&#x2018;Ľ = 2đ?&#x2018;&#x203A; e đ?&#x2018;Ą = 2. đ?&#x2018;&#x2DC;, concluĂ­mos que 2đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 1 ĂŠ um mĂşltiplo de đ?&#x2018;&#x161; = 2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1,ou seja 2đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x161;) ď&#x192;&#x203A; 2đ?&#x2018;&#x161; â&#x2030;Ą 2 (mod đ?&#x2018;&#x161;). ConcluĂ­mos assim que m ĂŠ um pseudoprimo de base 2.

CorolĂĄrio 5.2.4.1: existe uma infinidade de pseudoprimos de base 2.

Demonstração: basta notar que 341 Ê um pseudoprimo de base 2 e aplicar sucessivamente a proposição anterior.

Nota: O fato de existir uma infinidade de pseudoprimos em qualquer base nĂŁo implica a existĂŞncia de uma infinidade de pseudoprimos.

PRECIOSIDADES

1. Demonstrar que 161038 ĂŠ um pseudoprimo para a base 2, i.e., que 161038 | (2161038 â&#x20AC;&#x201C; 2).

2. Mostrar que 2047 ĂŠ um pseudoprimo para a base 2.

3. Mostre que 341 nĂŁo ĂŠ um pseudoprimo para a base 3.

4. Mostrar que 561 ĂŠ um pseudoprimo para a base 2, 3 e 5.

5. Demonstrar que se 7 nĂŁo divide n, entĂŁo đ?&#x2018;&#x203A;6 â&#x2030;Ą1996 (mod 7).

6. Demonstrar que se MDC (đ?&#x2018;&#x203A;, 7) = 1 entĂŁo, 7 | (đ?&#x2018;&#x203A;12 â&#x20AC;&#x201C; 1).

7. Demonstrar que se MDC (đ?&#x2018;&#x17D;, 240) = 1, entĂŁo 240 ĂŠ um divisor de đ?&#x2018;&#x17D;4 â&#x2C6;&#x2019; 1.

8. Demonstrar que todo primo maior que 5 divide um inteiro formado sĂł de algarismos 1.

9. Demonstrar que para todo inteiro positivo n, temos que (đ?&#x2018;&#x203A;3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;). (58đ?&#x2018;&#x203A;+4 + 34đ?&#x2018;&#x203A;+2 ) ĂŠ um mĂşltiplo de 3804.

10. Prove que 15 divide 3đ?&#x2018;&#x203A;5 + 5đ?&#x2018;&#x203A;3 + 7đ?&#x2018;&#x203A;.

11. Prove que 91 divide đ?&#x2018;&#x17D;12 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?12 , onde a e b sĂŁo relativamente primo com 91.

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5.3. Teorema de Euler

Leonhard Euler (15/04/1707 – 18/07/1783) foi um matemático e físico de origem suíça. Nasceu na Basiléia, filho do pastor calvinista Paul Euler que, desprezando seu prodigioso talento matemático, determinou que ele estudasse Teologia e seguiria a carreira religiosa. Daniel e Nikolaus Bernoulli convenceram o pai de Euler a permitir que seu filho trocasse a teologia pelos números.

Euler, logo após, deixou a Suíça, indo para os palácios de Berlim e São Petersburgo, onde passou os mais criativos anos de sua vida. Os governos da Europa estavam interessados em usar a Matemática para resolver problemas práticos e competiam entre si para empregar os melhores cérebros.

Durante sua vida resolveu enorme quantidade de problemas, da navegação às finanças, da acústica à irrigação. A solução de tais problemas, que atendiam aos reclamos do mundo prático, não o entediava, principalmente porque cada novo trabalho inspirava-o para criar uma Matemática nova e engenhosa. Era capaz de escrever vários trabalhos em um único dia com os cálculos completos e prontos para serem publicados.

Conseguiu provar o uma conjectura de Fermat relativa aos números primos. Fermat afirmava que o primeiro tipo de número primo sempre era representado pela soma de números ao quadrado enquanto que o segundo jamais o seria. Esta propriedade dos números primos é extremamente simples, porém, ao tentar provar que isto é uma verdade para qualquer número primo, torna-se extremamente difícil. Em 1749, depois de sete anos de trabalho e quase cem anos após a morte de Fermat, conseguiu apresentar esta prova.

Ao final de vida estava completamente cego. Aliás, já era cego de um olho desde os vinte anos, o que não o perturbara em nada. Certa vez disse: “agora eu terei menos distrações”. Aos sessenta anos foi acometido por catarata que o cegou completamente. Apesar disto, continuou a produzir Matemática por mais sete anos. Seu imenso conhecimento Prof. Rubens Vilhena

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permitia-lhe criar conceitos sem ter que colocå-los no papel e sua memória fenomenal permitia-lhe usar seu cÊrebro como uma biblioteca mental. Passou os anos finais de sua vida na Rússia, então sob a proteção de Catarina, a Grande.

O pequeno teorema de Fermat nos diz como trabalhar com certas congruĂŞncias envolvendo expoentes quando o mĂłdulo ĂŠ primo. Como trabalhamos com as congruĂŞncias correspondentes quando o mĂłdulo ĂŠ um inteiro composto?

Para este propósito, gostaríamos de estabelecer uma congruência anåloga à fornecida pelo pequeno teorema de Fermat para números inteiros compostos. Conforme mencionado, o grande matemåtico suíço Leonhard Euler publicou uma prova do pequeno teorema de Fermat em 1736. Em 1760, Euler conseguiu encontrar uma generalização do pequeno teorema de Fermat que Ê vålido para inteiros com módulo compostos. Antes de apresentar esse resultado, precisamos definir uma função de contagem especial (introduzida por Euler) usada no teorema.

5.3.1. Função Phi de Euler đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) Definição: Chama-se Função Phi de Euler a função aritmĂŠtica multiplicativa đ?&#x153;&#x2018; assim definida para todo inteiro positivo n: đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) = quantidade de inteiros positivos menores que n relativamente primos a n.

Em outros termos, đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) ĂŠ igual ao nĂşmero de elementos do conjunto #{ đ?&#x2018;Ľ ď&#x192;&#x17D; â&#x201E;¤ | 1 ď&#x201A;Ł đ?&#x2018;Ľ < đ?&#x2018;&#x203A;, MDC (đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;&#x203A;) = 1 } Observação: đ?&#x153;&#x2018;(1) = 1 , pois MDC (1, 1) = 1.

Exemplo: đ?&#x153;&#x2018;(30)=8 e đ?&#x153;&#x2018;(12) = 4 .

Tabela 5.3.1.1: đ?&#x153;&#x2018; (n) para os dez primeiros inteiros positivos. n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

đ?&#x153;&#x2018; (n)

1

1

2

2

4

2

6

4

6

4

Teorema 5.3.1.1. A Função Phi Ê uma função aritmÊtica multiplicativa.

Demonstração: sejam r e s dois inteiros positivos tais que o MDC (r, s) = 1.

Cumpre demonstrar que đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x;. đ?&#x2018; ) = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x;). đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018; ) .

A proposição ĂŠ verdadeira se r ou s ĂŠ igual a 1, pois, temos: Se đ?&#x2018;&#x; = 1, đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x;. đ?&#x2018; ) = đ?&#x153;&#x2018;(1. đ?&#x2018; ) = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018; ) = 1. đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018; ) = đ?&#x153;&#x2018;(1). (đ?&#x2018; ) = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x;). đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018; ) Se đ?&#x2018; = 1, đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x;. đ?&#x2018; ) = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x;. 1) = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x;) = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x;). 1 = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x;). đ?&#x153;&#x2018;(1) = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x;). đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018; )

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Suponhamos, pois, que đ?&#x2018;&#x; > 1 e đ?&#x2018; > 1. Neste caso, todos os inteiros de 1 a đ?&#x2018;&#x;. đ?&#x2018; podem ser dispostos em r colunas com s inteiros em cada uma delas, do seguinte modo:

1

2

...

H

...

r+1

r+2

...

r+h

... 2.r

2.r + 1

2.r + 2

...

2.r + h

... 3.r

...

...

...

...

...

r

...

(s â&#x20AC;&#x201C; 1).r + 1 (s â&#x20AC;&#x201C; 1).r + 2 ... (s â&#x20AC;&#x201C; 1).r + h ... s.r Como o MDC (đ?&#x2018;&#x17E;. đ?&#x2018;&#x; + â&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x;) = MDC (â&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x;), os inteiros da h-ĂŠsima coluna sĂŁo primos com r, se e somente se, h ĂŠ primo com r. AlĂŠm disto, como na primeira linha o nĂşmero de inteiros que sĂŁo primos com r ĂŠ igual a đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x;), segue que hĂĄ somente đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x;)colunas formadas com inteiros que sĂŁo todos os primos com r. Por outro lado, em cada uma destas đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x;)colunas existe precisamente đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018; )inteiros que sĂŁo primos com s, porque na progressĂŁo aritmĂŠtica: â&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x; + â&#x201E;&#x17D;, 2. đ?&#x2018;&#x; + â&#x201E;&#x17D;, . . . , (đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; 1). đ?&#x2018;&#x; + â&#x201E;&#x17D; onde o MDC (đ?&#x2018;&#x;, â&#x201E;&#x17D;) = 1, o nĂşmero de termos que sĂŁo primos com s ĂŠ igual a đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018; ).

Assim sendo, o nĂşmero total de inteiros que sĂŁo primos com r e s, isto ĂŠ, que sĂŁo primos a đ?&#x2018;&#x;. đ?&#x2018; , ĂŠ igual a đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x;). đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018; ), e isto significa que đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x;. đ?&#x2018; ) = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x;). đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018; )â&#x2C6;&#x17D;

5.3.2. CĂĄlculo de đ?&#x153;&#x2018; (n) Teorema 5.3.2.1. Seja p um primo, entĂŁo đ?&#x153;&#x2018; (đ?&#x2018;?) = đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1.

Demonstração: (ď&#x192;&#x17E;) Se đ?&#x2018;&#x203A; > 1 ĂŠ primo, entĂŁo cada um dos inteiros positivos menores que n ĂŠ primo com n e, portanto, đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) = đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1. (ď&#x192;&#x153;) Reciprocamente, se đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) = đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1, com đ?&#x2018;&#x203A; > 1, entĂŁo n ĂŠ primo, pois, se n fosse composto, teria pelo menos um divisor d tal que 1 < d < n, de modo que pelo menos dois dos inteiros 1, 2, 3, . . . , đ?&#x2018;&#x203A; nĂŁo seriam primos com n, d e n, isto ĂŠ, đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 2. Logo, n ĂŠ primo.â&#x2C6;&#x17D; Teorema 5.3.2.2. Se p ĂŠ primo e se k ĂŠ um inteiro positivo, entĂŁo 1 đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; (1 â&#x2C6;&#x2019; ) đ?&#x2018;?

Demonstração. Obviamente, o MDC (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; , đ?&#x2018;&#x203A;) = 1, se e somente se, p nĂŁo divide n, e entre 1 e đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; existem đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 inteiros que nĂŁo sĂŁo primos com đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; , que sĂŁo todos os mĂşltiplos de p: đ?&#x2018;?, 2. đ?&#x2018;?, 3. đ?&#x2018;?, . . . , đ?&#x2018;?2 , . . . , đ?&#x2018;?3 , . . . , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;

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segue-se que o conjunto {đ?&#x2018;?, 2đ?&#x2018;?, 3đ?&#x2018;?, . . . , đ?&#x2018;?2 , . . . , đ?&#x2018;?3 , . . . , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; } contĂŠm exatamente đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 inteiros que sĂŁo relativamente primos a đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; , de modo que pela definição da função đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) de Euler, temos: đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

Teorema 5.3.2.3. Se đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;?1 1 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?2 2 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?3 3 â&#x2C6;&#x2122; â&#x2039;Ż â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x; ĂŠ a decomposição canĂ´nica do inteiro đ?&#x2018;&#x203A; > 1, entĂŁo: đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;1

đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) = (đ?&#x2018;?1 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?1 1

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;1

) â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;?2 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?2 2

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;1

) â&#x2C6;&#x2122; â&#x2039;Ż â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x;

) = đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2122; (1 â&#x2C6;&#x2019;

1 đ?&#x2018;?1

) â&#x2C6;&#x2122; (1 â&#x2C6;&#x2019;

1 đ?&#x2018;?2

) â&#x2C6;&#x2122; â&#x2039;Ż â&#x2C6;&#x2122; (1 â&#x2C6;&#x2019;

1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;

)

ou seja, đ?&#x2018;&#x;

đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) =

đ?&#x2018;&#x;

đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;?(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2013;=1

â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2013; )

= đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;? (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;=1

1 ) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;

Demonstração. Usaremos o Teorema da Indução MatemĂĄtica sobre r, nĂşmero de fatores primos distintos de n. A proposição ĂŠ verdadeira para đ?&#x2018;&#x; = 1.

Suponhamos, entĂŁo, a proposição verdadeira para đ?&#x2018;&#x; = đ?&#x2018;&#x2013;. đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x;+1 Como o MDC (đ?&#x2018;?1 1 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?2 2 â&#x2C6;&#x2122; â&#x2039;Ż â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x; , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;+1 ) = 1 , e đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) ĂŠ uma função aritmĂŠtica

multiplicativa, temos: đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x;+1 đ?&#x2018;&#x;+1 đ?&#x153;&#x2018;[(đ?&#x2018;?1 1 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?2 2 â&#x2C6;&#x2122; â&#x2039;Ż â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x; ) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;+1 ] = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;?1 1 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?2 2 â&#x2C6;&#x2122; â&#x2039;Ż â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x; ) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x153;&#x2018;( đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;+1 )

ou seja, đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

â&#x2C6;&#x2019;1

đ?&#x2018;&#x;+1 đ?&#x2018;&#x;+1 đ?&#x2018;&#x;+1 đ?&#x153;&#x2018;[(đ?&#x2018;?1 1 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?2 2 â&#x2C6;&#x2122; â&#x2039;Ż â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x; ) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;+1 ] = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;?1 1 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?2 2 â&#x2C6;&#x2122; â&#x2039;Ż â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x; ) â&#x2C6;&#x2122; ( đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;+1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;+1 )

ou, Ă vista da hipĂłtese de indução: đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;1

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;1

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

â&#x2C6;&#x2019;1

đ?&#x2018;&#x;+1 đ?&#x2018;&#x;+1 đ?&#x2018;&#x;+1 đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;?1 1 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?2 2 â&#x2C6;&#x2122; â&#x2039;Ż â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x; . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;+1 ) = (đ?&#x2018;?1 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?1 1 ) â&#x2C6;&#x2122; â&#x2039;Ż â&#x2C6;&#x2122; ( đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x; ) â&#x2C6;&#x2122; ( đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;+1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;+1 )

e isto significa que a proposição ĂŠ verdadeira para đ?&#x2018;&#x; = đ?&#x2018;&#x2013; + 1. Logo, a proposição ĂŠ verdadeira para todo inteiro positivo r.

Teorema 5.3.2.4. Para todo inteiro positivo đ?&#x2018;&#x203A; > 2 , đ?&#x153;&#x2018; (đ?&#x2018;&#x203A;) ĂŠ um inteiro par Demonstração. Se n ĂŠ uma potĂŞncia de 2, isto ĂŠ, đ?&#x2018;&#x203A; = 2đ?&#x2018;&#x2DC; , com đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ľ 2, entĂŁo: 1 đ?&#x153;&#x2018;(2đ?&#x2018;&#x2DC; ) = 2đ?&#x2018;&#x2DC; (1 â&#x2C6;&#x2019; ) = 2đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 2 que ĂŠ um inteiro par.

Se, ao invĂŠs, n nĂŁo ĂŠ uma potĂŞncia de 2, entĂŁo n ĂŠ divisĂ­vel por um primo impar p, isto ĂŠ: đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x161;, onde đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ľ 1 e o mdc (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; , đ?&#x2018;&#x161;) = 1

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e como đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) ĂŠ uma função aritmĂŠtica multiplicativa temos: đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x161;) = đ?&#x153;&#x2122;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ) đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1)đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;) que ĂŠ tambĂŠm um inteiro par, por que 2 | (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1).

Assim, đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) ĂŠ um inteiro Ă­mpar somente para đ?&#x2018;&#x203A; = 1 e đ?&#x2018;&#x203A; = 2: đ?&#x153;&#x2018;(1) = đ?&#x153;&#x2018;(2) = 1 â&#x2C6;&#x17D; Lema 5.3.2.1. Sejam a e đ?&#x2018;&#x203A; > 1 inteiros tais que o MDC (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x203A;) = 1. Se đ?&#x2018;&#x17D;1 , đ?&#x2018;&#x17D;2 , . . . , đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) sĂŁo inteiros positivos menores que n e que sĂŁo relativamente primos com n, entĂŁo cada um dos inteiros đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;1 , đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;2 , . . . , đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) ĂŠ congruente mĂłdulo n a um dos inteiros đ?&#x2018;&#x17D;1 , đ?&#x2018;&#x17D;2 , . . . , đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) (nĂŁo necessariamente nesta ordem em que aparecem).

Demonstração. Os inteiros đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;1 , đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;2 , . . . , đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2122;(đ?&#x2018;&#x203A;) sĂŁo mutuamente incongruentes mĂłdulo n, pois, se đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2014; (mod đ?&#x2018;&#x203A;), com 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x2014; â&#x2030;¤ đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;), como o MDC (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x203A;) = 1, podemos cancelar o fator comum a, o que dĂĄ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2014; (mod đ?&#x2018;&#x203A;) ď&#x192;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A; | (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; ). Isto ĂŠ impossĂ­vel, visto que (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; ) < đ?&#x2018;&#x203A;.

Por outro lado, como o MDC (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; , đ?&#x2018;&#x203A;) = đ?&#x2018;&#x2013;, đ?&#x2018;&#x2013; = 1, 2, . . . , đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) e o MDC (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x203A;) = 1, segue que o MDC (đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; , đ?&#x2018;&#x203A;) = 1. Mas, pelo algoritmo da divisĂŁo, đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; = đ?&#x2018;&#x203A;. đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x2013; + đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013; , 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013; < đ?&#x2018;&#x203A;, que implica em đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013; (mod đ?&#x2018;&#x203A;), com 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013; < đ?&#x2018;&#x203A; portanto, MDC (đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013; , đ?&#x2018;&#x203A;) = MDC (đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; , đ?&#x2018;&#x203A;) = 1, de modo que đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;

ĂŠ um dos inteiros

đ?&#x2018;&#x17D;1 , đ?&#x2018;&#x17D;2 , . . . , đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) , isto ĂŠ, cada um dos inteiros đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;1 , đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;2 , . . . , đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) ĂŠ congruente mĂłdulo n a um Ăşnico dos inteiros đ?&#x2018;&#x17D;1 , đ?&#x2018;&#x17D;2 , . . . , đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2122;(đ?&#x2018;&#x203A;) , em uma certa ordem.â&#x2C6;&#x17D;

O Teorema de Euler Teorema 5.3.2.5 (Teorema de Euler). Se ĂŠ um inteiro positivo e se MDC (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x203A;) = 1, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) â&#x2030;Ą 1(mod đ?&#x2018;&#x203A;) Demonstração: A proposição ĂŠ verdadeira para đ?&#x2018;&#x203A; = 1, pois đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(1) â&#x2030;Ą 1 (mod 1) .

Suponhamos, pois, đ?&#x2018;&#x203A; > 1, e sejam đ?&#x2018;&#x17D;1 , đ?&#x2018;&#x17D;2 , . . . , đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) os inteiros positivos menores que n e relativamente primos a n.

Como o MDC (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x203A;) = 1, entĂŁo, pelo Lema acima, os inteiros đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;1 , đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;2 , . . . , đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) sĂŁo congruentes mĂłdulo n aos inteiros đ?&#x2018;&#x17D;1 , đ?&#x2018;&#x17D;2 , . . . , đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) , em uma certa ordem: â&#x20AC;˛ đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;1 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;1â&#x20AC;˛ , đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;2â&#x20AC;˛ , . . ., đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;)

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â&#x20AC;˛ onde đ?&#x2018;&#x17D;1â&#x20AC;˛ , đ?&#x2018;&#x17D;2â&#x20AC;˛ , . . . , đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) denotam os inteiros đ?&#x2018;&#x17D;1 , đ?&#x2018;&#x17D;2 , . . . , đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) em uma certa ordem.

Multiplicando ordenadamente todas essas đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) congruĂŞncias, obtemos: â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;1 ). (đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;2 ). â&#x20AC;Ś . (đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;1â&#x20AC;˛ đ?&#x2018;&#x17D;2â&#x20AC;˛ . . . đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) (mod đ?&#x2018;&#x203A;)

â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;&#x17D;2 . . . . đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) (mod đ?&#x2018;&#x203A;) ou seja, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) . (đ?&#x2018;&#x17D;1 , đ?&#x2018;&#x17D;2 . . . . . đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;&#x17D;2 . . . . đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) (mod đ?&#x2018;&#x203A;) Cada um dos inteiros đ?&#x2018;&#x17D;1 , đ?&#x2018;&#x17D;2 . . . . . đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) ĂŠ relativamente primo a n, de modo que podem ser sucessivamente cancelados, o que dĂĄ a congruĂŞncia de Euler: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x203A;) Nota: Se p ĂŠ um primo, đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;?) = đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1, e se o MDC (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) = 1, entĂŁo: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;?) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 (mod đ?&#x2018;?) â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?) que ĂŠ a congruĂŞncia de Fermat. Assim, o Teorema de Euler ĂŠ uma generalização do teorema de Fermat. â&#x2C6;&#x17D; CorolĂĄrio 5.3.2.1: Se đ?&#x2018;&#x161; > 1,

đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ľ 0,

đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2030;Ľ0

e a um inteiro qualquer sĂŁo tais que,

MDC (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x161;) = 1 e đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x203A; (mod đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;)) entĂŁo, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; (mod đ?&#x2018;&#x161;).

Demonstração: basta considerar o caso em que đ?&#x2018;&#x2DC; > đ?&#x2018;&#x203A;. Como đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x203A; (mod đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;)) existe đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2030;Ľ 1 tal que đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x17E;. đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;) e, portanto, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; . đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17E;.đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) . đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) )đ?&#x2018;&#x17E; . đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; (mod đ?&#x2018;&#x161;) Exemplo: sejam đ?&#x2018;&#x17D; = 5, đ?&#x2018;&#x161; = 6, đ?&#x2018;&#x2DC; = 8 e đ?&#x2018;&#x203A; = 2. Temos đ?&#x153;&#x2018;(6) = 2, e 8 â&#x2030;Ą 2 (mod 2).

Como 52 â&#x2030;Ą 1(mod 6), entĂŁo 58 â&#x2030;Ą 1(mod 6) e desta forma, 58 â&#x2030;Ą 52 (mod 6).

5.3.3. Resolução de CongruĂŞncias Lineares pelo Teorema de Euler A congruĂŞncia linear đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x161;) no caso em que o MDC (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x161;) = 1, admite uma Ăşnica solução mĂłdulo m, que se pode facilmente obter usando o Teorema de Euler.

Realmente, temos: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;) â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x161;) ď&#x192;&#x17E; b. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ (mod đ?&#x2018;&#x161;) portanto, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;?. đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;) (mod đ?&#x2018;&#x161;) Como o MDC (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x161;) = 1, podemos cancelar o fator comum a, que resulta em:

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đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;)â&#x2C6;&#x2019;1 (mod đ?&#x2018;&#x161;) Exemplo: no caso da congruĂŞncia linear 3. đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 5 (mod 8), onde o MDC (3, 8) = 1, temos: đ?&#x2018;Ľ ď&#x201A;ş 5. 3đ?&#x153;&#x2018;(8)â&#x2C6;&#x2019;1 (mod 8) â&#x2030;Ą 5. 34â&#x2C6;&#x2019;1 (mod 8) â&#x2030;Ą 5.27 (mod 8) â&#x2030;Ą 135 (mod 8) â&#x2030;Ą 7 (mod 8) Em particular, đ?&#x2018;&#x17D;. đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x203A;) ď&#x192;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;)â&#x2C6;&#x2019;1 (mod đ?&#x2018;&#x203A;) determina um inverso de a mĂłdulo n.

Exemplo: Queremos determinar o inverso de 7 mĂłdulo 11, ou seja, queremos resolver a congruĂŞncia linear 7. đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod 11).

Queremos determinar o menor inteiro positivo em â&#x201E;¤11 que satisfaça a equação đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 7đ?&#x153;&#x2018;(11)â&#x2C6;&#x2019;1 (mod 11) â&#x2030;Ą 710â&#x2C6;&#x2019;1 (mod 11) â&#x2030;Ą 79 (mod 11) â&#x2030;Ą 8 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 11) assim, temos que đ?&#x2018;Ľ = 8 ĂŠ a menor solução positiva em â&#x201E;¤11 para o problema.

PRECIOSIDADES

(Devem ser resolvidos utilizando os teoremas de Euler.)

1. Calcular đ?&#x153;&#x2018;(420), đ?&#x153;&#x2018; (1001), đ?&#x153;&#x2018; (5040) e đ?&#x153;&#x2018; (8316).

2. Verificar que đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A; + 2) = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) + 2, para đ?&#x2018;&#x203A; = 12, 14, 20.

3. Verificar que đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A; + 1) = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A; + 2), para đ?&#x2018;&#x203A; = 5186.

4. Verificar que đ?&#x153;&#x2018;(3đ?&#x2018;&#x2DC; . 568) = đ?&#x153;&#x2018;(3đ?&#x2018;&#x2DC; .638).

5. Verificar que đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) ĂŠ uma função aritmĂŠtica multiplicativa para đ?&#x2018;&#x203A; = 144.

6. Verificar o Teorema de Euler com đ?&#x2018;&#x17D; = 3 e đ?&#x2018;&#x203A; = 10; a=7 e đ?&#x2018;&#x203A; = 12.

7. Verifique que: a) 11357 â&#x2030;Ą 59 (mod 96) b) 631304 â&#x2030;Ą 84 (mod 101) c) 234205 â&#x2030;Ą 67 (mod 77) d) 2012101 â&#x2030;Ą 20 (mod 57) e) 17850 â&#x2030;Ą 100 (mod 143) 8. Achar os dois Ăşltimos algarismos da direita do inteiro 3256.

9. Calcular o menor inteiro positivo n tal que n ď&#x201A;ş 71015 (mod 31).

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10. Achar o algarismo das unidades do inteiro 3145.

11. Usando o Teorema de Euler, resolver as seguintes congruĂŞncias lineares: (a) 5đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 7 (mod 12)

(b) 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 3 (mod 9)

(c) 7đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod 10)

(d) 8đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą

4 (mod 5) (e) 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod 17)

(f) 5đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;3 (mod 8)

12. Demonstrar que se n ĂŠ um inteiro positivo Ă­mpar, entĂŁo: (a) đ?&#x153;&#x2018;(2. đ?&#x2018;&#x203A;) = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) (b) đ?&#x153;&#x2018;(4đ?&#x2018;&#x203A;) = 2. đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) 13. Resolva em â&#x201E;&#x2022; as seguintes equaçþes: (a) đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) = 12

(b) đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) = 18

(c) đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) = 20

(d) đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) = 30

(e) đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) = 4!

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5.4. TEOREMA CHINĂ&#x160;S DO RESTO

O livro â&#x20AC;&#x153;Manual AritmĂŠtico do Mestre Solâ&#x20AC;? foi escrito por Sun Zi Suanjing (ou Sun Tzu Suan Ching), provavelmente entre 280 d.C. a 483 d.C. O livro estĂĄ dividido em 3 capĂ­tulos.

O 1Âş capĂ­tulo, contĂŠm apenas dois problemas que dizem respeito sobretudo a mĂŠtodos para fazer multiplicaçþes e divisĂľes, utilizando â&#x20AC;&#x153;palitinhos chinesesâ&#x20AC;?. O segundo capĂ­tulo, contĂŠm 28 problemas, apresenta mĂŠtodos para o cĂĄlculo com fraçþes, extração da raiz quadrada, determinação de ĂĄreas e volumes, proporçþes e regra de trĂŞs simples. O terceiro capĂ­tulo contĂŠm 36 problemas aritmĂŠticos.

No problema 26 (tambĂŠm conhecido como â&#x20AC;&#x153;problema do Mestre Sunâ&#x20AC;?) do 3° capĂ­tulo, Sun Tzu utiliza pela primeira vez o chamado Teorema ChinĂŞs do Resto (TCR). O problema estĂĄ enunciado abaixo: â&#x20AC;&#x153;Temos coisas, mas nĂŁo sabemos quantas; se as contarmos de trĂŞs em trĂŞs, o resto ĂŠ 2; se as contarmos de cinco em cinco, o resto ĂŠ 3; se as contarmos de sete em sete, o resto ĂŠ 2.

Quantas coisas temos?â&#x20AC;?

Em notação moderna, este problema equivale a procurar as soluçþes do seguinte sistema de congruĂŞncias: đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 2(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 3) {đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 3(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 5) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 2(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 7) Resolver problemas como esse ĂŠ um dos objetivos deste tĂłpico.

Nesta e na seção, discutimos sistemas de congruências simultâneas. Estudaremos dois tipos de sistemas: No primeiro tipo, hå duas ou mais congruências lineares em uma variåvel, com diferentes módulos. O segundo tipo consiste em mais de uma congruência simultânea em mais de uma variåvel, onde todas as congruências têm o mesmo módulo.

Primeiro, consideramos sistemas de congruĂŞncias que envolvem apenas uma variĂĄvel, Prof. Rubens Vilhena

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mas diferentes mĂłdulos.

Problemas envolvendo sistemas de congruĂŞncias ocorrem nos escritos do matemĂĄtico grego NicĂ´maco no primeiro sĂŠculo. Eles tambĂŠm podem ser encontrados nas obras de Brahmagupta na Ă?ndia no sĂŠculo VII. No entanto, foi apenas no ano de 1247 que um mĂŠtodo geral para resolver sistemas de congruĂŞncias lineares foi publicado por Châ&#x20AC;&#x2122;in ChiuShao em seu Tratado MatemĂĄtico em Nove Seçþes. Apresentamos agora o teorema principal relativo Ă solução de sistemas de congruĂŞncias lineares em uma incĂłgnita. Este teorema ĂŠ chamado o teorema chinĂŞs do resto, muito provavelmente por causa das contribuiçþes de matemĂĄticos chineses tais como Ch'in Chiu-Shao a sua solução.

Teorema 5.4.1 (Teorema ChinĂŞs do Resto â&#x20AC;&#x201C; TCR): Sejam đ?&#x2018;&#x161;1 , đ?&#x2018;&#x161;2 , . . . , đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; inteiros positivos primos entre si dois a dois, isto ĂŠ, tais que o mdc (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013; , đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2014; ) = 1 se đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2030; đ?&#x2018;&#x2014;. Nestas condiçþes, o sistema de congruĂŞncias lineares: đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;1 ) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;2 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;2 ) { â&#x20AC;Ś đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; ) tem solução mĂłdulo đ?&#x2018;&#x161; = đ?&#x2018;&#x161;1 , đ?&#x2018;&#x161;2 , . . . , đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; , dada por: đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;&#x20AC;1 đ?&#x2018;Ľ1 + đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x20AC;2 đ?&#x2018;Ľ2 + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2DC; (mod đ?&#x2018;&#x161;), đ?&#x2018;&#x2DC; = 1, 2, 3, . . . , đ?&#x2018;&#x;.

Onde, đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2DC; =

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x161;1 . đ?&#x2018;&#x161;2 . â&#x20AC;Ś . đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x; = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC;

Como o đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x; , đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x; ) = 1, entĂŁo a congruĂŞncia linear đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2DC; . đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x; ) tem a solução đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x; )

Teorema 5.4.2. Sejam đ?&#x2018;&#x161;1 , đ?&#x2018;&#x161;2 , . . . , đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; inteiros positivos dois a dois relativamente primos, e sejam a1, a2, ..., ak inteiros tais que (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x; , đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x; ) = 1para đ?&#x2018;&#x; = 1, 2, . . . , đ?&#x2018;&#x2DC;. Nestas condiçþes, o sistema de congruĂŞncias lineares: đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;?1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;1 ) đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;?2 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;2 ) { 2 â&#x20AC;Ś đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; ) tem solução mĂłdulo đ?&#x2018;&#x161; = đ?&#x2018;&#x161;1 , đ?&#x2018;&#x161;2 . . .. . đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; .

Onde:

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(i) đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2DC; =

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC;

, đ?&#x2018;&#x2DC; = 1, 2, 3, . ..

(ii) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2DC; . đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ą 1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; ), ou seja, đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2DC; ĂŠ o inverso de đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2DC; mĂłdulo đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; .

Exemplo 5.4.1: Utilizando o TCR, resolver o sistema de congruĂŞncias lineares: đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 8 (mod 5) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 5 (mod 3) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 11 (mod 7) { đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 2 (mod 4)

Solução: Os módulos 5, 3, 7 e 4 das congruências lineares que formam o sistema, possuem valores,

dois a dois, relativamente primos de modo que pelo TCR este sistema tem

solução mĂłdulo đ?&#x2018;&#x161; = đ?&#x2018;&#x161;1 . đ?&#x2018;&#x161;2 . đ?&#x2018;&#x161;3 . đ?&#x2018;&#x161;4 = 5 . 3 . 7 . 4 = 420. Temos entĂŁo:

đ?&#x2018;&#x20AC;1 = đ?&#x2018;&#x20AC;4 =

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x161;1

=

420 5

= 84, đ?&#x2018;&#x20AC;2 =

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x161;2

=

420 3

= 140, đ?&#x2018;&#x20AC;3 =

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x161;3

=

420 7

= 60,

đ?&#x2018;&#x161; 420 = = 105 đ?&#x2018;&#x161;4 4 Os inversos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2DC; dos đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2DC; sĂŁo dados por: 84 đ?&#x2018;Ľ1 â&#x2030;Ą 1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 5) â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ1 â&#x2030;Ą 84đ?&#x153;&#x2018;(5)â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 5) â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ1 â&#x2030;Ą 4 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 5) 140 đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2030;Ą 1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 3) â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2030;Ą 140đ?&#x153;&#x2018;(3)â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 3) â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2030;Ą 2 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 3) 60 đ?&#x2018;Ľ3 â&#x2030;Ą 1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 7) â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ3 â&#x2030;Ą 60đ?&#x153;&#x2018;(7)â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 7) â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ3 â&#x2030;Ą 2 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 7) 105 đ?&#x2018;Ľ4 â&#x2030;Ą 1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 4) â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ4 â&#x2030;Ą 105đ?&#x153;&#x2018;(4)â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 4) â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ4 â&#x2030;Ą 1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 4) Logo, as menores soluçþes positivas sĂŁo: đ?&#x2018;Ľ1 = 4, đ?&#x2018;Ľ2 = 2, đ?&#x2018;Ľ3 = 2, e đ?&#x2018;Ľ4 = 1.

Portanto, temos : đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;&#x20AC;1 đ?&#x2018;Ľ1 + đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x20AC;2 đ?&#x2018;Ľ2 + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2DC; (mod đ?&#x2018;&#x161;) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 8 . 84 . 4 + 5 . 140 . 2 + 11 . 60 . 2 + 2 . 105 . 1 (mod 420) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 5618 (mod 420) ď&#x201A;ş 158 (mod 420), segue-se que đ?&#x2018;Ľ = 158 ĂŠ a menor solução positiva mĂłdulo 420, do sistema de congruĂŞncias lineares dado. Qualquer outra solução ĂŠ da forma: x ď&#x201A;ş 158 (mod 420) ď&#x192;&#x203A; x = 158 + 420.k, k ď&#x192;&#x17D; â&#x201E;¤.

Um quadro resumo: đ?&#x2018;&#x161; = đ?&#x2018;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x161;2 â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC;

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đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2DC; =

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; )â&#x2C6;&#x2019;1

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2DC;

(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; )

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą (â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; ) (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;) đ?&#x2018;&#x2013;=1

5 3 7 4

8 5 11 2

84 140 60 105

đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 5618 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 420) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 158 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 420) đ?&#x2018;Ľ = 158 + 420đ?&#x2018;Ą, đ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2C6;â&#x201E;¤

4 2 2 1

Exemplo 5.4.2: 5đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 11 (mod 17) {3đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 19 (mod 32) 11đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 6 (mod 37)

Solução: Como o mdc (17, 32) = mdc(17, 37) = mdc (32, 37) = 1, o sistema possui solução.

5đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 11 (mod 17) â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 5đ?&#x153;&#x2018;(17)â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2122; 11 â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 9 (mod 17).

3đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 19 (mod 32)) â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 3đ?&#x153;&#x2018;(32)â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2122; 19 â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 17 (mod 32) 11đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 6 (mod 37)) â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 11đ?&#x153;&#x2018;(37)â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2122; 6 â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 14 (mod 37)

assim temos o seguinte sistema: đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 9 (mod 17) { đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 17 (mod 32) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 14 (mod 37) Aplicando, o Teorema ChinĂŞs do Resto: đ?&#x2018;&#x17D;1 = 9, đ?&#x2018;&#x17D;2 = 17, đ?&#x2018;&#x17D;3 = 14. đ?&#x2018;&#x161;1 = 17, đ?&#x2018;&#x161;2 = 32, đ?&#x2018;&#x161;3 = 37. đ?&#x2018;&#x161; = đ?&#x2018;&#x161;1 .đ?&#x2018;&#x161;2 .đ?&#x2018;&#x161;3 = 17.32.37 = 20128. đ?&#x2018;&#x20AC;1 =

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x161;1

=

20128 17

= 1184, đ?&#x2018;&#x20AC;2 =

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x161;2

=

20128 32

= 629, đ?&#x2018;&#x20AC;3 =

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x161;3

=

20128 37

= 544

EntĂŁo 1184. đ?&#x2018;Ľ1 ď&#x201A;ş 1 (mod 17), 629. đ?&#x2018;Ľ2 ď&#x201A;ş 1 (mod 32) e 544. đ?&#x2018;Ľ3 ď&#x201A;ş 1 (mod 37).

De onde concluĂ­mos: đ?&#x2018;Ľ1 = 14 , đ?&#x2018;Ľ2 = 29 e đ?&#x2018;Ľ3 = 10.

A solução geral serĂĄ: đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 9 . 14 . 1184 + 17 . 29 . 629 + 14 . 10 . 544 (mod 20128) x â&#x2030;Ą 535441 â&#x2030;Ą 12113 (mod 20128) đ?&#x2018;Ľ = 12113 + 20128đ?&#x2018;Ą, đ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2C6;â&#x201E;¤

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SISTEMA DE DUAS CONGRUĂ&#x160;NCIAS LINEARES EM DUAS VARIĂ VEIS COM O MESMO MĂ&#x201C;DULO Consideremos agora, as congruĂŞncias lineares em duas variĂĄveis; ou seja, congruĂŞncias da forma đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ś â&#x2030;Ą đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;) Em analogia com o Teorema 4.2.2.1, tal congruĂŞncia tem uma solução se,

e

somente se mdc(a, b, n) divide c. A condição para que haja solução Ê mdc(a, n) = 1 ou mdc(b, n) = 1.

Digamos que mdc (a, n) = 1. Quando a congruĂŞncia ĂŠ expressa como đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;) o corolĂĄrio do Teorema 4.2.2.1 garante uma solução Ăşnica x para cada um dos n valores incongruentes de y.

Tomemos como uma ilustração 7đ?&#x2018;Ľ + 4đ?&#x2018;Ś â&#x2030;Ą 5 (mod 12), onde 7đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 5 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ś (mod 12). A substituição de đ?&#x2018;Ś â&#x2030;Ą 5 (mod 12) fornece

7đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;15 (mod 12); mas isto ĂŠ equivalente

â&#x2C6;&#x2019;5đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;15 (mod 12) de modo que đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 3 (mod 12). Segue-se que đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 3 (mod 12), đ?&#x2018;Ś â&#x2030;Ą 5 (mod 12) ĂŠ uma das 12 soluçþes incongruentes de 7đ?&#x2018;Ľ + 4đ?&#x2018;Ś â&#x2030;Ą 5 (mod 12). Outra solução seria đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 3 (mod 12), đ?&#x2018;Ś â&#x2030;Ą 8 (mod 12).

O foco da nossa preocupação aqui Ê a forma de como resolver um sistema de duas congruências lineares em duas variåveis com o mesmo módulo. A prova do próximo teorema adota o procedimento familiar de eliminar uma das incógnitas.

Teorema 5.4.3. O sistema de congruĂŞncias lineares đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ś â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;&#x203A;) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś â&#x2030;Ą đ?&#x2018; (mod đ?&#x2018;&#x203A;) Tem Ăşnica solução mĂłdulo n sempre que gcd(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x203A;) = 1.

Prova. Vamos multiplicar a primeira congruĂŞncia do sistema por d, a segunda congruĂŞncia por b, e subtrair o resultado debaixo da parte superior. Esses cĂĄlculos produzem (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?)đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018; (mod đ?&#x2018;&#x203A;)

(1)

O pressuposto de que mdc(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x203A;) = 1 garante que a congruĂŞncia (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?)đ?&#x2018;§ â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x203A;) possua uma Ăşnica solução; denote a solução por t. Quando a congruĂŞncia (1) ĂŠ multiplicada por t, obtemos đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018; ) (mod đ?&#x2018;&#x203A;)

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Um valor para y ĂŠ encontrado por um processo de eliminação. Ou seja, multiplicar a primeira congruĂŞncia do sistema por c, a segunda por a, e subtrair para acabar com (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?)đ?&#x2018;Ś â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;&#x203A;)

(2)

A multiplicação dessa congruĂŞncia por t leva a đ?&#x2018;Ś â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;) (mod đ?&#x2018;&#x203A;) Agora estĂĄ estabelecida a solução do sistema.

PRECIOSIDADES

1.Resolver os seguintes sistemas de congruĂŞncias lineares utilizando o TCR: đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 3 (mod 5) a){ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 5 (mod 7) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 7 (mod 11) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 5 (mod 11) d) {đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 14 (mod 29) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 15 (mod 31)

đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod 5) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 5 (mod 6) b){ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 5 (mod 7) c) {đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 4 (mod 11) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 7 (mod 11) đ?&#x2018;Ľ = 3 (mod 17) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 7 (mod 9) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 28 (mod 29) e) {đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 10 (mod 4) f) {đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 30 (mod 31) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod 7) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 10 (mod 11)

đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod 3) g) {đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod 5) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod 8)

2đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod 5) h) { 4đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod 7) 5đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 9 (mod 11)

2.Encontre as soluçþes de cada um dos seguintes sistemas de congruĂŞncias: (a) 5đ?&#x2018;Ľ + 3đ?&#x2018;Ś â&#x2030;Ą 1 (mod 7) 3đ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ś â&#x2030;Ą 4 (mod 7). (b) 7đ?&#x2018;Ľ + 3đ?&#x2018;Ś â&#x2030;Ą 6 (mod 11) 4đ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ś â&#x2030;Ą 9 (mod 11). (c) 11đ?&#x2018;Ľ + 5đ?&#x2018;Ś â&#x2030;Ą 7 (mod 20) 6đ?&#x2018;Ľ + 3đ?&#x2018;Ś â&#x2030;Ą 8 (mod 20).

3. Obtenha as oito soluçþes incongruentes da congruĂŞnciaa linear 3đ?&#x2018;Ľ + 4đ?&#x2018;Ś â&#x2030;Ą 5(mod 8).

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POTENCIAĂ&#x2021;Ă&#x192;O E O TEOREMA DE EULER Seja m um inteiro positivo tal que mdc (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x161;) = 1. EntĂŁo: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;) â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x161;) Aplicamos este resultado ao cĂĄlculo de potĂŞncia mĂłdulo m. De uma maneira geral o problema ĂŠ o seguinte. SĂŁo dados a, k e m trĂŞs inteiros positivos, dos quais sabemos que m ĂŠ co-primo com a. Digamos que k ĂŠ muito grande (o caso difĂ­cil) e queremos achar a forma reduzida de đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; (mod đ?&#x2018;&#x161;).

Podemos simplificar as contas usando o teorema de Euler. Estamos supondo que k ĂŠ grande, na prĂĄtica precisamos saber apenas que đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ľ đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;). Dividindo k por đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;), obtemos đ?&#x2018;&#x2DC; = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;). đ?&#x2018;&#x17E; + đ?&#x2018;&#x;, onde o resto r satisfaz 0 ď&#x201A;Ł đ?&#x2018;&#x; ď&#x201A;Ł đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;) â&#x2C6;&#x2019; 1. Temos, entĂŁo, que: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;).đ?&#x2018;&#x17E;+đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;&#x161;) ď&#x201A;ş (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;) )đ?&#x2018;&#x17E; . đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;&#x161;) Mas pelo teorema de Euler, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;) â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x161;). Obtemos, portanto, da equação acima que đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;?). A seguir veremos um exemplo numĂŠrico para convencĂŞ-lo das vantagens deste resultado tĂŁo simples.

Exemplo: Queremos calcular 25432675 (mod 13). Da maneira como vĂ­nhamos procedendo terĂ­amos que efetuar uma quantidade enorme de potenciaçþes mĂłdulo 13. Usando a idĂŠia acima, obtemos o resto da divisĂŁo de đ?&#x2018;&#x2DC; = 5432675 por đ?&#x153;&#x2018;(13), que ĂŠ đ?&#x2018;&#x; = 11, e assim: 25432675 â&#x2030;Ą (2đ?&#x153;&#x2018;(13) )đ?&#x2018;&#x17E; . 211 (mod 13) â&#x2030;Ą 211 (mod 13) â&#x2030;Ą 7 (mod 13) Logo, 25432675 â&#x2030;Ą 7 (mod 13).

POTENCIAĂ&#x2021;Ă&#x192;O E O TEOREMA CHINĂ&#x160;S DO RESTO Podemos aplicar o TCR para simplificar o cĂĄlculo de potĂŞncias mĂłdulo n em alguns casos especiais. Suponhamos que đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;?1 . đ?&#x2018;?2 . . .. . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; , onde đ?&#x2018;?1 < đ?&#x2018;?2 < . . . < đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; sĂŁo nĂşmeros primos.

Assim, estamos supondo que, na fatoração de n, cada fator primo aparece com multiplicidade 1. Neste caso fica muito fĂĄcil calcular a forma reduzida de đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161; (mod đ?&#x2018;&#x203A;).

Em primeiro lugar, usamos o PTF para achar a forma reduzida de đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161; mĂłdulo cada um dos primos đ?&#x2018;?1 . , đ?&#x2018;?2 , . .. , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; separadamente. Digamos que: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x;1 (mod đ?&#x2018;?1 ) e 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x;1 < đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x;2 (mod đ?&#x2018;?2 ) e 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x;2 < đ?&#x2018;?2 Prof. Rubens Vilhena

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... đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2DC; (mod đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ) e 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2DC; < đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; Para achar a forma reduzida de am (mod n), basta resolver o sistema: đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x;1 (mod đ?&#x2018;?1 ) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x;2 (mod đ?&#x2018;?2 ) ... đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2DC; (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ) Observe que este sistema sempre tem solução, jĂĄ que os mĂłdulos sĂŁo primos distintos e, portanto, o MDC entre dois quaisquer entre eles ĂŠ sempre igual a 1. AlĂŠm disto, o teorema nos garante que o sistema tem uma Ăşnica solução đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;&#x203A;), onde đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;?1 . đ?&#x2018;?2 . . .. . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; Logo đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;&#x203A;), e obtivemos o que querĂ­amos.

Vejamos um exemplo numĂŠrico. Digamos que queremos calcular a forma reduzida de 26754 (mod 1155) Fatorando 1155 vemos que ĂŠ 1155 = 3 . 5 . 7 . 11, todos primos entre si com multiplicidade 1.

Aplicando o PTF a cada um destes primos, temos que: 26754 â&#x2030;Ą 2đ?&#x2018;&#x;1 (mod 3) 26754 â&#x2030;Ą 2đ?&#x2018;&#x;2 (mod 5) 26754 â&#x2030;Ą 2đ?&#x2018;&#x;3 (mod 7) 26754 â&#x2030;Ą 2đ?&#x2018;&#x;4 (mod 11) Assim: 6754 = đ?&#x153;&#x2018;(3). đ?&#x2018;&#x17E;1 + đ?&#x2018;&#x;1 ď&#x192;&#x203A; 6754 = 2 . 3377 + 0, logo 20 â&#x2030;Ą 1 (mod 3).

6754 = đ?&#x153;&#x2018;(5). đ?&#x2018;&#x17E;2 + đ?&#x2018;&#x;2 ď&#x192;&#x203A; 6754 = 4 . 1688 + 2, logo 22 â&#x2030;Ą 4 (mod 5).

6754 = đ?&#x153;&#x2018;(7). đ?&#x2018;&#x17E;3 + đ?&#x2018;&#x;3 ď&#x192;&#x203A; 6754 = 6 . 1125 + 4, logo 24 â&#x2030;Ą 2 (mod 7).

6754 = đ?&#x153;&#x2018;(11). đ?&#x2018;&#x17E;4 + đ?&#x2018;&#x;4 ď&#x192;&#x203A; 6754 = 10 . 675 + 4, logo 24 â&#x2030;Ą 5 (mod 11).

Precisamos, portanto, resolver o sistema: đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod 3) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 4 (mod 5) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 2 (mod 7) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 5 (mod11) Solução: đ?&#x2018;&#x161; = đ?&#x2018;&#x161;1 . đ?&#x2018;&#x161;2 . đ?&#x2018;&#x161;3 . đ?&#x2018;&#x161;4 = 3 . 5 . 7 . 11 = 1155 đ?&#x2018;&#x20AC;1 =

đ?&#x2018;&#x161; 1155 = = 385; đ?&#x2018;&#x161;1 3

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đ?&#x2018;&#x20AC;2 =

đ?&#x2018;&#x161; 1155 = = 231; đ?&#x2018;&#x161;2 5

đ?&#x2018;&#x20AC;3 =

đ?&#x2018;&#x161; 1155 = = 165; đ?&#x2018;&#x161;3 7

đ?&#x2018;&#x20AC;4 =

đ?&#x2018;&#x161; 1155 = = 105. đ?&#x2018;&#x161;4 11

đ?&#x2018;&#x20AC;1 . đ?&#x2018;Ľ1 â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x161;1 ) ď&#x192;&#x203A; 385. đ?&#x2018;Ľ1 â&#x2030;Ą 1 (mod 3) ď&#x192;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ1 â&#x2030;Ą 385đ?&#x153;&#x2018;(3)â&#x2C6;&#x2019;1 (mod 3) â&#x2030;Ą 1 (mod 3) đ?&#x2018;&#x20AC;2 . đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x161;2 ) ď&#x192;&#x203A; 231. đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2030;Ą 1 (mod 5) ď&#x192;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2030;Ą 231đ?&#x153;&#x2018;(5)â&#x2C6;&#x2019;1 (mod 5) â&#x2030;Ą 1 (mod 5) đ?&#x2018;&#x20AC;3 . đ?&#x2018;Ľ3 â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x161;3 ) ď&#x192;&#x203A; 165. đ?&#x2018;Ľ3 â&#x2030;Ą 1 (mod 7) ď&#x192;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ3 â&#x2030;Ą 165đ?&#x153;&#x2018;(7)â&#x2C6;&#x2019;1 (mod 7) â&#x2030;Ą 2 (mod 7) đ?&#x2018;&#x20AC;4 . đ?&#x2018;Ľ4 â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x161;4 )ď&#x192;&#x203A; 105. đ?&#x2018;Ľ4 â&#x2030;Ą 1 (mod 11)ď&#x192;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ4 â&#x2030;Ą 105đ?&#x153;&#x2018;(11)â&#x2C6;&#x2019;1 (mod 11) â&#x2030;Ą 2 (mod 11) Assim, temos: đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;&#x20AC;1 đ?&#x2018;Ľ1 + đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x20AC;2 đ?&#x2018;Ľ2 + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2DC; (mod đ?&#x2018;&#x161;) đ?&#x2018;Ľ ď&#x201A;ş 1 . 385 . 1 + 4 . 231 . 1 + 2. 165 . 2 + 5 . 105 . 2 (mod 1155) đ?&#x2018;Ľ ď&#x201A;ş 3019 (mod 1155) ď&#x201A;ş 709 (mod 1155) đ?&#x2018;Ľ = 709 + 1155đ?&#x2018;Ą,

đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;¤.

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CONGRUĂ&#x160;NCIAS POLINOMIAIS Definição: Chama-se congruĂŞncia polinomial com uma incĂłgnita toda congruĂŞncia de forma geral: đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;&#x161;)

(1)

onde f(x) ĂŠ um polinĂ´mio de grau đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ľ 1 com coeficientes inteiros: f(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 + â&#x2039;Ż + đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;0 e m ĂŠ um inteiro positivo.

Para đ?&#x2018;&#x203A; = 1, temos a congruĂŞncia linear: đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;0 â&#x2030;Ą 0(mod đ?&#x2018;&#x161;) cuja resolução jĂĄ foi estudada, por isso, daqui por diante, o grau n do polinĂ´mio đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) serĂĄ suposto â&#x2030;Ľ 2.

Definição: Todo inteiro r tal que đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;&#x161;) diz-se uma solução da congruĂŞncia polinomial (1).

Se r ĂŠ uma solução da congruĂŞncia polinomial (1) e se đ?&#x2018;&#x; â&#x2030;Ą đ?&#x2018; (mod đ?&#x2018;&#x161;), entĂŁo s tambĂŠm ĂŠ uma solução da congruĂŞncia polinomial (1), pois: đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;&#x161;)

e

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018; ) (mod đ?&#x2018;&#x161;) , implica đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018; ) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;&#x161;).

Entretanto, por uma convenção geral, sempre que se fala de soluçþes distintas da congruência polinomial (1), deve-se entender que se trata de soluçþes incongruentes módulo m.

Sejam r uma solução qualquer da congruĂŞncia polinomial (1) e đ?&#x2018;&#x2020; = {đ?&#x2018;&#x;1 , đ?&#x2018;&#x;2 , â&#x20AC;Ś , đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x161; } um sistema completo de restos mĂłdulo m, EntĂŁo, o inteiro r ĂŠ congruente mĂłdulo m a um Ăşnico elemento đ?&#x2018;&#x;1 do conjunto đ?&#x2018;&#x2020; â&#x2C6;ś đ?&#x2018;&#x; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x;1 (mod đ?&#x2018;&#x161;), o que implica: đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2018;&#x;1 ) â&#x2030;Ą đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x201C;) â&#x2030;Ą đ?&#x;&#x17D; (đ??Śđ??¨đ??? đ?&#x2019;&#x17D;) isto ĂŠ đ?&#x2018;&#x;1 ĂŠ

solução

da congruência polinomial (1). Portanto, as soluçþes desta

congruĂŞncia sĂŁo os elementos đ?&#x2018;&#x;1 do conjunto S tais que đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;1 ) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;&#x161;).

Em particular, como o conjunto đ?&#x2018;&#x2020;0 = {0,1,2, . . . , đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; 1} ĂŠ um sistema completo de restos mĂłdulo m, segue-se que todas as soluçþes da congruĂŞncia polinomial (1) sĂŁo elementos deste conjunto đ?&#x2018;&#x2020;0 , e por conseguinte esta congruĂŞncia pode ter, quando muito, m soluçþes.

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CONGRUĂ&#x160;NCIAS POLINOMIAIS ONDE O MĂ&#x201C;DULO Ă&#x2030; UM NĂ&#x161;MERO COMPOSTO Teorema 5.4.4.: Seja m um inteiro positivo tal que đ?&#x2018;&#x161; = đ?&#x2018;&#x161;1 , đ?&#x2018;&#x161;2 , . . . , đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; , sĂŁo inteiros positivos relativamente primos dois a dois. EntĂŁo, o inteiro a ĂŠ uma solução da congruĂŞncia polinomial: đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 + â&#x2039;Ż + đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;0 â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;&#x161;)

(1)

Se, e somente se, a ĂŠ uma solução do seguinte sistema de k congruĂŞncias polinomiais: đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;&#x161;1 ) đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;&#x161;2 )

(2)

............... đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; ) Vejamos um exemplo ilustrativo. Queremos resolver a congruĂŞncia polinomial

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 3 + 19đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ + 23 â&#x2030;Ą 0 (mod 42).

Por ser 42 = 2 â&#x2C6;&#x2122; 3 â&#x2C6;&#x2122; 7, temos as trĂŞs congruĂŞncias polinomiais: â&#x20AC;˘ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 3 + 19đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ + 23 â&#x2030;Ą 0 (mod 2), cuja solução ĂŠ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod 2) â&#x20AC;˘ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 3 + 19đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ + 23 â&#x2030;Ą 0 (mod 3),

que

tem

soluçþes

đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod 3)

e

đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 2 (mod 3) â&#x20AC;˘ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 3 + 19đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ + 23 â&#x2030;Ą 0 (mod 7),

cujas

soluçþes

sĂŁo

đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod 7),

đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 2 (mod 7) e đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 6 (mod 7).

Podemos fazer 6 combinaçþes de sistemas. O que nos daria as seis soluçþes incongruentes mĂłdulo 42. Vamos resolver apenas um desses sistemas. đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 0 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 2), đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 2) { đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 0 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 3), đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 2 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 3) đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 0 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 7), đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 6(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 7)

Aplicando o Teorema ChinĂŞs do Resto đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod 2) {đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 2 (mod 3) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 6 (mod7 ) Os mĂłdulos 2, 3 e 7 das congruĂŞncias lineares que formam o sistema, sĂŁo relativamente primos dois a dois, de modo que pelo TCR este sistema tem uma Ăşnica solução mĂłdulo đ?&#x2018;&#x161; = đ?&#x2018;&#x161;1 . đ?&#x2018;&#x161;2 . đ?&#x2018;&#x161;3 = 2 . 3 . 7 = 42. Temos entĂŁo:

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đ?&#x2018;&#x20AC;1 =

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x161;1

=

42 2

= 21, đ?&#x2018;&#x20AC;2 =

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x161;2

=

42

= 14, đ?&#x2018;&#x20AC;3 =

3

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x161;3

=

42 7

=6

Os inversos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2DC; dos đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2DC; sĂŁo dados por: 21đ?&#x2018;Ľ1 â&#x2030;Ą 1 (mod 2) ď&#x192;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ1 â&#x2030;Ą 1 (mod 2) 14 đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2030;Ą 1 (mod 3) ď&#x192;&#x203A; 2 đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2030;Ą 1 (mod 3) 6đ?&#x2018;Ľ3 â&#x2030;Ą 1 (mod 7) Aplicando o mĂŠtodo de Euler nas equaçþes acima obtemos as soluçþes respectivas: đ?&#x2018;Ľ1 = 1, đ?&#x2018;Ľ2 = 2, đ?&#x2018;Ľ3 = 6.

Portanto, temos : đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;&#x20AC;1 đ?&#x2018;Ľ1 + đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x20AC;2 đ?&#x2018;Ľ2 + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2DC; (mod đ?&#x2018;&#x161;) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 .21. 1 + 2 . 14 . 2 + 6 . 6 . 6 (mod 42) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 293 (mod 42) â&#x2030;Ą 41 (mod 42).

As soluçþes sĂŁo da forma: đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 41 (mod 42) ď&#x192;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ = 41 + 42đ?&#x2018;&#x2DC;,

k ď&#x192;&#x17D; â&#x201E;¤.

Por exemplo, se đ?&#x2018;&#x2DC; = 1, temos đ?&#x2018;Ľ = 83, entĂŁo đ?&#x2018;&#x201C;(83) = 702618 â&#x2030;Ą 0 (mod 42).

Temos que đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 41 (mod 42) ĂŠ uma das seis soluçþes incongruentes mĂłdulo 42. Fazendo as outras cinco combinaçþes de sistemas encontrarĂ­amos đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod 42),

đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 13 (mod 42),

đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 23 (mod 42),

đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 29 (mod 42)

e

đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 37 (mod 42).

CONGRUĂ&#x160;NCIAS POLINOMIAIS ONDE O MĂ&#x201C;DULO Ă&#x2030; UMA POTĂ&#x160;NCIA DE UM NĂ&#x161;MERO PRIMO Consideremos a congruĂŞncia polinomial: đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 5 + x + 1 â&#x2030;Ą 0 (mod 7) O conjunto đ?&#x2018;&#x2020;0 = {0,1,2,3,4,5,6} ĂŠ um sistema completo de restos mĂłdulo 7, e como 2 e 4 sĂŁo os Ăşnicos restos tais que đ?&#x2018;&#x201C;(2) = 25 + 2 + 1 = 35 â&#x2030;Ą 0 (mod 7) đ?&#x2018;&#x201C;(4) = 45 + 4 + 1 = 1029 â&#x2030;Ą 0 (mod 7) segue que a congruĂŞncia polinomial considerada tem apenas duas soluçþes: đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 2 (mod 7)

e

đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 4 (mod 7)

embora seja de grau 5.

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Veremos que existe uma maneira relativamente simples de resolver congruĂŞncias polinĂ´miais modulo đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; , uma vez que todas as soluçþes modulo p sejam conhecidas. Vamos mostrar que soluçþes modulo p podem ser usadas para encontrar soluçþes modulo đ?&#x2018;?2 , as soluçþes modulo đ?&#x2018;?2 podem ser usadas para encontrar soluçþes modulo đ?&#x2018;?3 , e assim por diante.

Antes de introduzir o mĂŠtodo geral, apresentamos um exemplo que ilustra a ideia bĂĄsica usada para encontrar soluçþes de uma congruĂŞncia polinomial modulo đ?&#x2018;?2 a partir da solução mĂłdulo p.

Vamos apresentar um mĂŠtodo geral que nos ajudarĂĄ a encontrar as soluçþes de congruĂŞncias cujos mĂłdulos sĂŁo potĂŞncias de nĂşmeros primos. Em particular, mostraremos como as soluçþes da congruĂŞncia (đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 0(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ) , onde p ĂŠ primo e k ĂŠ um inteiro positivo com đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ľ 2, podem ser encontradas a partir da congruĂŞncias đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 0(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 ). As soluçþes da congruĂŞncia modulo đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; sĂŁo obtidas a partir das soluçþes modulo đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 . Apesar do teorema usar đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ), como a derivada de f, no entanto, nĂŁo precisaremos de resultados do cĂĄlculo. Em vez disso, podemos definir a derivada de um polinĂ´mio diretamente e descrever as propriedades que precisaremos.

Lema 4.3.3. Se đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) e đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) sĂŁo polinĂ´mios e đ?&#x2018;? ĂŠ uma constante, entĂŁo (đ?&#x2018;&#x201C; + đ?&#x2018;&#x201D;)â&#x20AC;&#x2122;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;&#x2122;(đ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;&#x201D;â&#x20AC;&#x2122;(đ?&#x2018;Ľ) e (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x201C;)â&#x20AC;&#x2122;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;&#x2122;(đ?&#x2018;Ľ). AlĂŠm disso, se đ?&#x2018;&#x2DC; ĂŠ um nĂşmero inteiro positivo, entĂŁo (đ?&#x2018;&#x201C; + đ?&#x2018;&#x201D;)(đ?&#x2018;&#x2DC;) (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C; (đ?&#x2018;&#x2DC;) (đ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x2DC;) (đ?&#x2018;Ľ) e (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x201C;)(đ?&#x2018;&#x2DC;) (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x201C; (đ?&#x2018;&#x2DC;) (đ?&#x2018;Ľ)).

Lema 4.3.3.1. Se đ?&#x2018;&#x161; e đ?&#x2018;&#x2DC; sĂŁ inteiros positivos e đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x161; , entĂŁo đ?&#x2018;&#x201C; (đ?&#x2018;&#x2DC;) (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x161;(đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; + 1)đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; .

Agora podemos apresentar o resultado que pode ser usado para obter soluçþes destas congruĂŞncias polinomiais. Ă&#x2030; chamado o lema de Hensel, devido ao matemĂĄtico alemĂŁo Kurt Wilhelm Sebastian Hensel (1861 â&#x20AC;&#x201C; 1941).

Teorema 4.3.3. Lema de Hensel. Suponha que đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) seja um polinĂ´mio com coeficientes inteiros đ?&#x2018;&#x2DC; ĂŠ um nĂşmero inteiro com đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ľ 2, e đ?&#x2018;? ĂŠ um primo. Suponha ainda que đ?&#x2018;&#x; ĂŠ uma solução da congruĂŞncia đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 ). EntĂŁo, (i) se đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;˘ 0 (mod đ?&#x2018;?), entĂŁo existe um Ăşnico inteiro đ?&#x2018;Ą, 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ą < đ?&#x2018;?, tal que đ?&#x2018;&#x201C; (đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 ) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ), dado por â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;&#x;)(đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;)/(đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 )(mod đ?&#x2018;?) Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ?&#x2018;Ą â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;

onde Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;&#x;) ĂŠ um inverso de đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x;) mĂłdulo đ?&#x2018;?;

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(ii) se đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?) e đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ), entĂŁo đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 ) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ) para todos os inteiros đ?&#x2018;Ą; (iii) se đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?) e đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;˘ 0 (mod đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ), entĂŁo đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ) nĂŁo possui soluçþes com đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 ).

No caso (i), vemos que uma solução para đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 ) se eleva para uma solução Ăşnica de đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ) e nos casos (ii) e (iii ), Tal solução levanta as principais soluçþes incongruentes mĂłdulo đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ou a nenhum.

Antes de prova do Teorema 4.3.3 precisamos estabelecer o seguinte lema sobre a expansĂŁo de Taylor.

Lema 4.3.2. Se đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) ĂŠ um polinĂ´mio de grau đ?&#x2018;&#x203A; e đ?&#x2018;&#x17D; e đ?&#x2018;? sĂŁo nĂşmeros reais, entĂŁo đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x17D;) + đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;&#x17D;)đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x201C;"(đ?&#x2018;&#x17D;)đ?&#x2018;? 2 /2! + â&#x2039;Ż + đ?&#x2018;&#x201C; (đ?&#x2018;&#x203A;) (đ?&#x2018;&#x17D;)đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; /đ?&#x2018;&#x203A;!, onde por cada valor dado dos coeficientes (ou seja, 1, đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x17D;), đ?&#x2018;&#x201C; "(đ?&#x2018;&#x17D;)/2!, . . . , đ?&#x2018;&#x201C; (đ?&#x2018;&#x203A;) (đ?&#x2018;&#x17D;)/đ?&#x2018;&#x203A;!) sĂŁo polinĂ´mios em a com coeficientes inteiros.

Agora que temos todos os resultados necessĂĄrios para provar o lema de Hensel.

Prova. Se đ?&#x2018;&#x; ĂŠ uma solução de đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ), entĂŁo tambĂŠm ĂŠ uma solução de (đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 ). Por isso, ĂŠ igual a đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 para algum nĂşmero inteiro đ?&#x2018;Ą. A prova segue uma vez que determinamos as condiçþes em đ?&#x2018;Ą.

Pelo Lema 4.6, segue-se que đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 ) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;) + đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;&#x;)đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 +

đ?&#x2018;&#x201C;"(đ?&#x2018;&#x;) 2!

(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 )2 + â&#x2039;Ż +

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x203A;) (đ?&#x2018;&#x;) đ?&#x2018;&#x203A;!

(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 )đ?&#x2018;&#x203A; ,

onde đ?&#x2018;&#x201C; (đ?&#x2018;&#x203A;) (đ?&#x2018;&#x;)/đ?&#x2018;&#x2DC;! Ă&#x2030; um nĂşmero inteiro para đ?&#x2018;&#x2DC; = 1, 2, . . . , đ?&#x2018;&#x203A;. Dado que đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ľ 2, segue-se que đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x161;(đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; 1) e đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; |đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;(đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1) para 2 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x161; â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x203A;. Consequentemente, đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;) + đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;&#x;)đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 (mod đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ) Como đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 ĂŠ uma solução de đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 ) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ), segue-se que đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;&#x;)đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;) (mod đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ).

AlĂŠm disso, podemos dividir essa congruĂŞncia por đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 , đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 ).

Quando fazemos isso e reorganizamos os termos, obtemos uma congruĂŞncia linear em đ?&#x2018;Ą, ou seja, đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;&#x;)đ?&#x2018;Ą â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;)/đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 mod đ?&#x2018;?)

Ao examinar suas soluçþes mĂłdulo đ?&#x2018;?, podemos comprovar os trĂŞs casos do teorema.

Suponha que đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;˘ 0 (mod đ?&#x2018;?). Segue-se que (đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x;), đ?&#x2018;?) = 1. Aplicando o CorolĂĄrio 4.11.1, vemos que a congruĂŞncia para đ?&#x2018;Ą tem uma solução Ăşnica, â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;&#x;)(mod đ?&#x2018;?), Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ?&#x2018;Ą â&#x2030;Ą (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;)đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 )đ?&#x2018;&#x201C;

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Onde Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;&#x;) ĂŠ um inverso de đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x;) mĂłdulo đ?&#x2018;?. Isso estabelece o caso (i) Quando đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?), temos (đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x;), đ?&#x2018;?) = đ?&#x2018;?. Pelo teorema 4.11, se đ?&#x2018;?|(đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;)/đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 ), que se mantĂŠm se e somente se đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ), entĂŁo todos os valores đ?&#x2018;Ą sĂŁo soluçþes. Isso significa que đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 ĂŠ uma solução para đ?&#x2018;Ą = 0, 1, . . . , đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1. Isso estabelece o caso (ii).

Finalmente, considere o caso quando đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;Ą 0 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?), mas đ?&#x2018;? â&#x2C6;¤ (đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;)/đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 ). NĂłs temos (đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x;), đ?&#x2018;?) = đ?&#x2018;? e đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;˘ (mod đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ); entĂŁo,pelo Teorema 4.11, nenhum valor de đ?&#x2018;Ą sĂŁo â&#x2C6;&#x17D;

soluçþes. Isso completa o caso (iii).

CorolĂĄrio 4.3.3. Suponha que đ?&#x2018;&#x; seja uma solução da congruĂŞncia polinomial đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?), onde đ?&#x2018;? ĂŠ primo. Se đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;˘ 0 (mod đ?&#x2018;?), entĂŁo hĂĄ uma Ăşnica solução đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2DC; mĂłdulo đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; , đ?&#x2018;&#x2DC; = 2, 3, . . ., de modo que đ?&#x2018;&#x;1 = đ?&#x2018;&#x; e â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;&#x;), Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2DC; = đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 )đ?&#x2018;&#x201C;

onde Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;&#x;) ĂŠ um inverso de đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x;) mĂłdulo đ?&#x2018;?.

Prova. Usando as hipĂłteses, vemos pelo lema de Hensel que đ?&#x2018;&#x; eleva-se para uma solução â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;&#x;)(đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;)/đ?&#x2018;?). Consequentemente, Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; Ăşnica đ?&#x2018;&#x;2 mĂłdulo đ?&#x2018;?2 com đ?&#x2018;&#x;2 = đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;?, onde đ?&#x2018;Ą = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;&#x;) Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ?&#x2018;&#x;2 = đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;)đ?&#x2018;&#x201C;

Como đ?&#x2018;&#x;2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;?), segue-se que đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x;2 ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;˘ 0 (mod đ?&#x2018;?). Usando o lema de Hensel novamente, vemos que existe uma Ăşnica solução đ?&#x2018;&#x;3 mĂłdulo đ?&#x2018;?3 , que pode ser mostrado como â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;&#x;). Se continuarmos dessa maneira, achamos que o corolĂĄrio segue para Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ?&#x2018;&#x;3 = đ?&#x2018;&#x;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;2 )đ?&#x2018;&#x201C;

todos os inteiros đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ľ 2.

â&#x2C6;&#x17D;

Exemplificando a parte ( I ) do Lema de Hensel: Queremos resolver đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľ 3 + 7đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2030;Ą 0 (mod 125) Como 125 = 53, se soubermos a solução mĂłdulo 52 , podemos obter a solução mĂłdulo 53 . Mas, para podermos obter a solução mĂłdulo 52 precisamos da solução mĂłdulo 5.

Se đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľ 3 + 7đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2030;Ą 0 (mod 5), por inspeção, testando os valores 0,1, 2, 3 e 4, vemos que đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod 5) ĂŠ a Ăşnica solução.

Para obtermos a solução mĂłdulo 52 , basta entĂŁo substituir o valor de t na equação đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 = 1 + 5đ?&#x2018;Ą.

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O valor de t ĂŠ obtido com os passos seguintes: đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľ 3 + 7đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4 (mod 5) ď&#x192;&#x203A; đ?&#x2018;&#x201C;(1) = 5 đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;&#x2122;(đ?&#x2018;Ľ) = 6đ?&#x2018;Ľ 2 + 7 (mod 5) đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;&#x2122;(1) = 13 â&#x2030;Ą 3 (mod 5) [Aqui temos đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;&#x2122;(đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;˘ 0 (mod đ?&#x2018;?, caso (I))] 3đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛ â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ą 1 (mod 5) , đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;&#x;) ĂŠ o inverso de 3 mĂłdulo 5. đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;Ą 2 (mod 5) đ?&#x2018;Ą = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;&#x;). đ?&#x2018;&#x201C;(1)/5 (mod 5) ď&#x192;&#x203A; đ?&#x2018;Ą = â&#x2C6;&#x2019;2 .

5 (mod 5) 5

đ?&#x2018;Ą = â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2030;Ą 3 (mod 5) Assim, 1 + 5. 3 = 16.

Logo, 16 ĂŠ a solução de đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľ 3 + 7đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2030;Ą 0 (mod 25). Vejamos: đ?&#x2018;&#x201C;(16) = 2. 163 + 7. 16 â&#x2C6;&#x2019; 4 = 8300 â&#x2030;Ą 0 (mod 25) Com esta solução, podemos agora encontrar a solução de đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľ 3 + 7đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2030;Ą 0 (mod 125).

Para obtermos a solução mĂłdulo 53 , basta entĂŁo substituir o valor de t na equação đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 = 16 + 52 đ?&#x2018;Ą.

O valor de t ĂŠ obtido com os seguintes passos: đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľ 3 + 7đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2030;Ą 0 (mod 25) đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;&#x2122;(đ?&#x2018;Ľ) = 6đ?&#x2018;Ľ 2 + 7 (mod 25) đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;&#x2122;(16) = 1543 â&#x2030;Ą 18 (mod 25) 18đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ą 1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 25). đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;Ą 7 (mod 25) đ?&#x2018;Ą = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;&#x;). đ?&#x2018;&#x201C;(16)/25 (mod 25) đ?&#x2018;Ą = â&#x2C6;&#x2019;7.

8300 = 7.332 = â&#x2C6;&#x2019;2324 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;24 ď&#x201A;ş 1 25 đ?&#x2018;Ą â&#x2030;Ą 1 (mod 25)

Assim, 16 + 52 . 1 = 41.

Logo, đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 41 (mod 25) ĂŠ a solução de đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľ 3 + 7 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2030;Ą 0 (mod 125).

Exemplificando as partes (II) e (III) do Lema de Hensel: Resolver đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ľ + 7 â&#x2030;Ą 0 (mod 27) Como 27 = 33 , se soubermos a solução mĂłdulo 32 , podemos obter a solução mĂłdulo

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33.

Mas, para podermos obter a solução módulo 32 precisamos da solução módulo 3.

Se đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ľ + 7 â&#x2030;Ą 0 (mod 3), por inspeção, testando os valores 0,1 e 2, vemos que đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod 3) ĂŠ a Ăşnica solução.

Para obtermos a solução mĂłdulo 32, basta entĂŁo substituir o valor de t na equação đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 = 1 + 3đ?&#x2018;Ą.

O valor de t ĂŠ obtido com os seguintes passos: đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ľ + 7 (mod 3) đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;&#x2122;(đ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľ + 1 (mod 3) Como đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;&#x2122;(1) = 3 â&#x2030;Ą 0 (mod 3) e đ?&#x2018;&#x201C;(1) = 9 ď&#x201A;ş 0 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 32 ), temos o caso (II).

Por esse caso do Lema de Hensel, podemos concluir que đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 = 1 + 3đ?&#x2018;Ą ĂŠ uma solução modulo 32 para todos os inteiros t.

Substituindo t = 0, 1 e 2 temos as soluçþes mĂłdulo 32 , đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1, 4 e 7 (mod 9).

Vamos verificar essas trĂŞs soluçþes no mĂłdulo 33 . â&#x20AC;˘

Como đ?&#x2018;&#x201C;(1) = 9 â&#x2030;˘ 0 (mod 33 ), pelo caso (III) do lema de Hensel, nĂŁo existem soluçþes para đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 0 (mod 33 ), com đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod 32 ).

â&#x20AC;˘

Como đ?&#x2018;&#x201C;(4) = 27 â&#x2030;Ą 0 (mod 33 ), pelo caso (II), 4 + 9đ?&#x2018;Ą ĂŠ uma solução mĂłdulo 27 para todos os inteiros t.

Substituindo t = 0, 1 e 2

temos

as

soluçþes đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą

4, 13 e 22 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 33 ). â&#x20AC;˘

Como

đ?&#x2018;&#x201C;(7) = 63 â&#x2030;˘ 0 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 33 ), pelo caso (III), nĂŁo hĂĄ soluçþes para đ?&#x2018;&#x201C; (đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą

0 (mod 33 ), com đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 7 (mod 32 ).

Logo, todas as soluçþes incongruentes para đ?&#x2018;&#x201C; (đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 0 (mod 27) sĂŁo x ď&#x201A;ş 4, 13 e 22 (mod 27).

Exemplificando o CorolĂĄrio do Lema de Hensel: Resolva đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 3 + đ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;Ľ + 26 â&#x2030;Ą 0 (mod 343).

Como 343 = 73 , se soubermos a solução módulo 72 , podemos obter a solução módulo 73 .

Mas, para podermos obter a solução módulo 72 precisamos da solução módulo 7.

Por inspeção, testando os valores 0,1, 2, 3, 4, 5 e 6 vemos que đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 2 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 7) ĂŠ a Ăşnica solução.

Para obtermos a solução mĂłdulo 72, basta entĂŁo substituir o valor de t na equação đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 = 2 + 7đ?&#x2018;Ą.

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O valor de t ĂŠ obtido com os passos seguintes: đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 3 + đ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;Ľ + 26 đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;&#x2122;(đ?&#x2018;Ľ) = 3đ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;Ľ + 2 đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x;) = đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;&#x2122;(2) = 18 â&#x2030;Ą 4 â&#x2030;˘ 0 (mod 7).

Neste caso, vamos usar o CorolĂĄrio 4.3.3 do Teorema de Hensel para encontrar a solução mĂłdulo 73 para đ?&#x2018;&#x2DC; = 2, 3, 4, . . .. đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;&#x2122;(2) = 4 (mod 7).

4đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;&#x;) â&#x2030;Ą 1 (mod 7) , o inverso de đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;&#x2122;(2) mĂłdulo 7. đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;&#x;) = đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ â&#x2C6;&#x2019;1 (2) â&#x2030;Ą 2 (mod 7). EntĂŁo: đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2DC; = đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 )đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;&#x;) (mod đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; ) đ?&#x2018;&#x;2 = đ?&#x2018;&#x;1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;1 )đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;&#x;) (mod đ?&#x2018;?2 ) đ?&#x2018;&#x;2 = 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(2). đ?&#x2018;&#x201C; 1 â&#x2C6;&#x2019;1 (2) = 2 â&#x2C6;&#x2019; 43.2 = â&#x2C6;&#x2019;82 â&#x2030;Ą 16 (mod 72 ). đ?&#x2018;&#x;3 = đ?&#x2018;&#x;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x;2 ) đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;&#x;) đ?&#x2018;&#x;3 = 16 â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;&#x201C;(16). 2 = 16 â&#x20AC;&#x201C; 4410. 2 = â&#x2C6;&#x2019;8804 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;229 â&#x2030;Ą 114 (mod 73 ) O que nos mostra que a solução de đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 3 + đ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;Ľ + 26 â&#x2030;Ą 0 (mod 343) ĂŠ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 114 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 343).

PRECIOSIDADES - I

1. Encontre todas as soluçþes de cada uma das congruĂŞncias. a) đ?&#x2018;Ľ 2 + 4đ?&#x2018;Ľ + 2 â&#x2030;Ą 0 (mod 7) b) đ?&#x2018;Ľ 2 + 4đ?&#x2018;Ľ + 2 â&#x2030;Ą 0 (mod 49) c) đ?&#x2018;Ľ 2 + 4đ?&#x2018;Ľ + 2 â&#x2030;Ą 0 (mod 343) 2. Encontre todas as soluçþes de cada uma das congruĂŞncias. a) đ?&#x2018;Ľ 3 + 8đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2030;Ą 0 (mod 11) b) đ?&#x2018;Ľ 3 + 8đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2030;Ą 0 (mod 121) c) đ?&#x2018;Ľ 3 + 8đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2030;Ą 0 (mod 1331) 3. Encontre as soluçþes da congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ľ + 47 â&#x2030;Ą 0 (mod 2401).

4. Encontre as soluçþes đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ľ + 34 â&#x2030;Ą 0 (mod 81).

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5. Encontre as soluçþes 13đ?&#x2018;Ľ 7 â&#x2C6;&#x2019; 42đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 649 â&#x2030;Ą 0 (mod 1323).

6. Encontre as soluçþes đ?&#x2018;Ľ 8 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 4 + 1001 â&#x2030;Ą 0 (mod 539).

7. Encontre as soluçþes đ?&#x2018;Ľ 4 + 2đ?&#x2018;Ľ + 36 â&#x2030;Ą 0 (mod 4375).

8. Encontre as soluçþes đ?&#x2018;Ľ 6 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ 5 â&#x2C6;&#x2019; 35 â&#x2030;Ą 0 (mod 6125).

9. Quantas sĂŁo as soluçþes incongruentes da congruĂŞncia 5đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ľ + 1 â&#x2030;Ą 0 (mod 64)?

10. Quantas sĂŁo as soluçþes incongruentes da đ?&#x2018;Ľ 5 + đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6 â&#x2030;Ą 0 (mod 144)?

PRECIOSIDADES â&#x20AC;&#x201C;II

01) Construa as tabelas de operaçþes em đ?&#x2019; đ?&#x;&#x2013; , đ?&#x2019; đ?&#x;&#x2014; , đ?&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D; , đ?&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018; e đ?&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x;&#x2022; Digite a equação aqui.

02) Encontre os dois números primos, cujos produtos, geraram os números abaixo, utilizando o mÊtodo da Fatoração de Fermat: a) 437623 b) 919199

c) 9797

d) 4061 e) 19109

03) Calcule a potências utilizando o mÊtodo da exponenciação råpida. a) 332768 (mod 335) b) 1774096 (mod 277) c) 818192 (mod 92) d) 482048 (mod 20) 04) Calcule as potências utilizando o Pequeno Teorema de Fermat a) 52349899 (mod 17) b) 4511223311 (mod 19) c) 1001002003007 (mod 281) 05)Calcule as potências utilizando o Pequeno Teorema de Fermat e o Algoritmo Chinês do Resto. a) 4753 (mod 437623) b) 51773 (mod 919199) c) 8397 (mod 2926) d) 313961 (mod 12369)

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6. RAĂ?ZES PRIMITIVAS

6.1. ORDEM DE UM INTEIRO MĂ&#x201C;DULO m Sejam a e đ?&#x2018;&#x161; > 1 dois inteiros tais que o mdc (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x161;) = 1. Pelo teorema de Euler: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;) â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x161;) isto ĂŠ, đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;) ĂŠ uma solução inteira e positiva da congruĂŞncia exponencial: đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x161;) Entretanto, esta congruĂŞncia exponencial pode ter soluçþes inteiras e positivas menores que đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;).

Assim, por exemplo, para đ?&#x2018;&#x17D; = 3 e đ?&#x2018;&#x161; = 13, vejamos na linha que inicia com 3, na Tabela 1 Tabela 6.1.1 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

4

8

3

6

12 11 9

5

10

7

1

3

9

1

3

9

1

3

9

1

3

9

1

4

3 12 9 10

1

4

3 12

9

10

1

5

12 8

1

5

12

8

1

5

12

8

1

6

10 8

9

2

12

7

3

5

4

11

1

7

10 5

9 11 12

6

3

8

4

2

1

8

12 5

1

8

12

5

1

8

12

5

1

9

3

9

3

1

9

3

1

9

3

1

10

9 12 3

4

1

10 9 12

3

4

1

11

4

7

12

2

8

10

6

1

12

1 12 1 12

1

12 1 12

1

12

1

1 5

3

1

9

Logo a congruĂŞncia exponencial 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod 13) admite tambĂŠm as soluçþes đ?&#x2018;Ľ = 3, đ?&#x2018;Ľ = 6 e đ?&#x2018;Ľ = 9, pois: Prof. Rubens Vilhena

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33 = 27 â&#x2030;Ą 1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 13) , 36 = 729 â&#x2030;Ą 1 e 39 â&#x2030;Ą 1 (mod 13) e estas trĂŞs soluçþes sĂŁo ambas menores que đ?&#x153;&#x2018;(13) = 12.

Observe que a ordem cria um padrĂŁo nos valores das potĂŞncias. Elas passam a ter valores sempre ordenados antes e depois da ordem.

Definição: Sejam a e đ?&#x2018;&#x161; > 1 dois inteiros tais que o mdc (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x161;) = 1. Chama-se ordem de a mĂłdulo m o menor inteiro positivo k tal que đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ą 1 (mod m).

Em outros termos, a ordem de a mĂłdulo m ĂŠ a menor solução inteira e positiva đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2DC; da congruĂŞncia exponencial: đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;) Indica-se que a ordem de a mĂłdulo m ĂŠ k com a notação: đ?&#x161;śđ?&#x2019;&#x17D; (đ?&#x2019;&#x201A;) = đ?&#x2019;&#x152;.

Como, pelo teorema de Euler, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;) â&#x2030;Ą 1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;), existe sempre Î&#x;đ?&#x2018;&#x161; (đ?&#x2018;&#x17D;), tal que 0 < đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x161; (đ?&#x2018;&#x17D;) â&#x2030;¤ đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;).

PRCIOSIDADES GRATUITAS 01. Achar a ordem de 2 mĂłdulo 7.

Solução: Temos: 21 â&#x2030;˘ 1 (mod 7), 22 â&#x2030;˘ 1 (mod 7), 23 â&#x2030;Ą 1 (mod 7), Logo, a ordem de 2 mĂłdulo 7 ĂŠ 3: Î&#x;7 (2) = 3.

02. Achar a ordem de 5 mĂłdulo 13.

Solução: Temos: 51 â&#x2030;˘ 1 (mod 13), 52 â&#x2030;˘ 1 (mod 13), 53 â&#x2030;˘ 1 (mod 13), 54 â&#x2030;Ą 1 (mod 13) Logo, 5 tem ordem 4 mĂłdulo 13: Î&#x;13 (5) = 4.

Nota: O conceito de ordem de um inteiro mĂłdulo đ?&#x2018;&#x161; > 1 sĂł tem sentido para inteiros a tais que o mdc (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x161;) = 1, pois, nĂŁo existe inteiro positivo k tal que: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x161;) se o đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;? (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x161;) > 1 Realmente, se tal inteiro k existisse, entĂŁo đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 seria solução da congruĂŞncia linear đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;), o que ĂŠ impossĂ­vel.

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6.1.1. Propriedades da Ordem de um Inteiro Teorema 6.1.1.1: Se os inteiros a e b sĂŁo congruentes mĂłdulo m e se a đ?&#x203A;°đ?&#x2018;&#x161; (đ?&#x2018;&#x17D;) = đ?&#x2018;&#x2DC;, entĂŁo đ?&#x203A;°đ?&#x2018;&#x161; (đ?&#x2018;?) = đ?&#x2018;&#x2DC;,.

Exemplo: 10 â&#x2030;Ą 32 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 11), e como a đ?&#x203A;°11 (10) = 2 , segue-se que a đ?&#x203A;°11 (32) = 2.

Teorema 6.1.1.2: Se um inteiro a tem ordem k mĂłdulo m, entĂŁo đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2030; â&#x2030;Ą đ?&#x;? (đ??Śđ??¨đ??? đ?&#x2019;&#x17D;) se e somente se k divide đ?&#x2019;&#x2030; (đ?&#x2019;&#x152; |đ?&#x2019;&#x2030;).

Exemplo: Temos que đ?&#x203A;°13 (5) = 2, e tambĂŠm 58 â&#x2030;Ą 1(mod 13). EntĂŁo, 2 divide 8.

CorolĂĄrio 6.1.1.1: Se um inteiro a tem ordem k mĂłdulo m, entĂŁo đ?&#x2018;&#x2DC; | đ?&#x153;&#x2122;(đ?&#x2018;&#x161;).

Assim a ordem de um inteiro a mĂłdulo m ĂŠ um divisor positivo de đ?&#x153;&#x2122;(đ?&#x2018;&#x161;), de modo que basta considerar as potĂŞncias de a cujos expoentes sĂŁo os divisores positivos de đ?&#x153;&#x2122;(đ?&#x2018;&#x161;).

Exemplo: Seja determinar a ordem de 9 mĂłdulo 11. Por ser đ?&#x153;&#x2122;(11) = 10, a đ?&#x2018;&#x2DC; = đ?&#x203A;°11 (9) | 10, de modo que basta considerar as potĂŞncias de 9 cujos expoentes sĂŁo 1, 2 e 5, divisores positivos de 10. Temos, mĂłdulo 11, 91 â&#x2030;˘ 1, 92 â&#x2030;˘ 1, 95 â&#x2030;Ą 1 Portanto, 9 tem ordem 5 mĂłdulo 11: đ?&#x203A;°11 (9) = 5.

Teorema 6.1.1.3: Seja mdc (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x161;) = 1 e đ?&#x2018;&#x161; > 0. Se um inteiro a tem ordem k mĂłdulo m, entĂŁo, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2014; (mod đ?&#x2018;&#x161;), se e somente se, đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2014; (mod đ?&#x2018;&#x2DC;)

Exemplo: Seja đ?&#x2018;&#x17D; = 4, đ?&#x2018;&#x161; = 13 e đ?&#x203A;°13 (4) = 6. Assim, temos que 410 â&#x2030;Ą 44 â&#x2030;Ą 9(mod 13) e 10 â&#x2030;Ą 4 (mod 6), mas 419 â&#x2030;˘ 48 (mod 13), pois 19 â&#x2030;˘ 8 (mod 6).

CorolĂĄrio 6.1.1.2: Se

um inteiro a tem ordem k mĂłdulo m, entĂŁo os k

inteiros

đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x17D;2 , đ?&#x2018;&#x17D;Âł, â&#x20AC;Ś , đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; sĂŁo incongruentes mĂłdulo m.

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Exemplo: como a đ?&#x203A;°11 (3) = 5, os 5 inteiros: 3 â&#x2030;Ą 3, 3² â&#x2030;Ą 9, 3Âł â&#x2030;Ą 5, 34 â&#x2030;Ą 4, 35 â&#x2030;Ą 1 (mod 11) sĂŁo incongruentes mĂłdulo 11. Veja a tabela 6.1.1.1 das ordens mĂłdulo 11 dos inteiros positivos menores que 11:

Tabela 6.1.1.1 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

4

8

5

10

9

7

3

6

1

3

9

5

4

1

3

9

5

4

1

4

5

9

3

1

4

5

8

3

1

5

3

4

9

1

5

3

4

9

1

6

3

7

9

10

5

8

4

2

1

7

5

2

3

10

4

6

9

8

1

8

9

6

4

10

3

2

5

7

1

9

4

3

5

1

9

4

3

5

1

10 1 10 1 10 1 10 1 10

1

Teorema 6.1.1.4: Se đ?&#x203A;°đ?&#x2018;&#x161; (đ?&#x2018;&#x17D;) = đ?&#x2018;&#x2DC; e se h ĂŠ um inteiro positivo, entĂŁo đ?&#x203A;°đ?&#x2018;&#x161; (đ?&#x2018;&#x17D;â&#x201E;&#x17D; ) =

đ?&#x2018;&#x2DC; (mod đ?&#x2018;&#x161;) mdc (đ?&#x2018;&#x2DC;, â&#x201E;&#x17D;)

CorolĂĄrio 6.1.1.3: Se um inteiro a tem ordem k mĂłdulo m, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D;â&#x201E;&#x17D; tem ordem k mĂłdulo m se e somente se o mdc (â&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x2DC;) = 1.

Exemplo: A tabela abaixo dĂĄ as ordens mĂłdulo 13 dos inteiros positivos menores que 13: a

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

O13(a) 1 12 3 6 4 12 12 4 3 6 12 2

Observe que a đ?&#x203A;°13 (2) = 12. EntĂŁo,

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đ?&#x203A;°13 (22 ) =

12 12 (mod 13) = 6 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x203A;°13 (23 ) = (mod 13) = 4 mdc (12, 2) mdc (12, 3)

conforme o Teorema 6.1.1.4.

Note tambĂŠm que đ?&#x203A;°13 (25 ) = đ?&#x203A;°13 (27 ) = đ?&#x203A;°13 (211 ) = 12 (mod 13), visto que mdc (5,12) = mdc (7, 12) = mdc (11, 12) = 1. De acordo com o CorolĂĄrio 6.1.1.3.

6.1.2. RaĂ­zes Primitivas de um Inteiro Definição: Chama-se raiz primitiva de um inteiro positivo n um inteiro r, tal que mdc (r, n) = 1, e a ordem de r mĂłdulo n ĂŠ đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) , isto ĂŠ, đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;&#x;) = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;). Em outros termos, raiz primitiva de um inteiro positivo n ĂŠ um inteiro r, tal que đ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) â&#x2030;Ą 1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;)

e đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;˘ 1(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;), para que todo inteiro positivo đ?&#x2018;&#x2DC; < đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;).

Exemplo: 7 ĂŠ uma raiz primitiva de 13, uma vez que o mdc (7, 13) = 1 e a ordem de 7 mĂłdulo 13 ĂŠ 12 = đ?&#x153;&#x2018; (13). Veja a linha que inicia com 7 na tabela 6.1.2.1: Tabela 6.1.2.1 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 1

1

1

1 1

1

1

1

2

4

8

3 6

12 11 9 5

10 7

1

3

9

1

3 9

1

3

9 1

3

1

4

3

12 9 10 1

4

3 12 9

5

12 8

1 5

12 8

1 5

12 8

6

10 8

9 2

12 7

3 5

4

11 1

7

10 5

9 11 12 6

3 8

4

2

1

8

12 5

1 8

12 5

1 8

12 5

1

9

3

9 3

1

9

3 1

9

3

1

10 9

12 3 4

1

10 9 12 3

4

1

11 4

5

12 2

10 6

1

12 1

12 1 12 1

1

3 7

1

1 1

9 8

1

12 1 12 1

9

10 1 1

12 1

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De acordo com a tabela, as outras raĂ­zes primitivas de 13 sĂŁo 2, 6 e 11.

Para os inteiros positivos compostos nem sempre existem raĂ­zes primitivas, sendo a existĂŞncia mais uma exceção do que uma regra, mas todo primo p tem precisamente đ?&#x153;&#x2018; (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1) raĂ­zes primitivas.

Por exemplo, 12 nĂŁo tem raĂ­zes primitivas. Veja a tabela 6.1.2.2:

Tabela 6.1.2.2 a1 a2 a3 a4 1

1 1

1

2

4 8

4

3

9 3

9

4

4 4

4

5

1 5

1

6

0 0

0

7

1 7

1

8

4 8

4

9

9 9

9

10 4 4

4

11 1 11 1

Exemplo: 3 ĂŠ uma raiz primitiva de 7, uma vez que o mdc (3, 7) = 1 e a ordem de 3 mĂłdulo 7 ĂŠ 6 = đ?&#x153;&#x2122;(7). Veja a Tabela:

Tabela 6.1.2.3 x

1

2

3

4

5

6

3x

3

2

6

4

5

1

Ilustração: O inteiro 2 Ê uma raiz primitiva de 9 (composto), pois temos:

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Tabela 6.1.2.4 x

1

2

3

4

5

6

2x

2

4

8

7

5

1

Temos que 5 ĂŠ uma raiz primitiva de 7.

Veja que o mdc (5, 7) = 1 e a ordem de 5 mĂłdulo 7 ĂŠ đ?&#x153;&#x2018;(7) = 6, pois: Tabela 6.1.2.5 x

1

2

3

4

5

6

5x

5

4

6

2

3

1

Teorema 6.1.2.1: Seja o mdc (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x203A;) = 1 e đ?&#x2018;&#x203A; > 0, e sejam đ?&#x2018;?1 , đ?&#x2018;?2 , â&#x20AC;Ś , đ?&#x2018;?đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) os inteiros positivos menores que n e relativamente primos com n. Se a ĂŠ uma raiz primitiva de n, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x17D;2 , â&#x20AC;Ś , đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) sĂŁo congruentes mĂłdulo n aos inteiros đ?&#x2018;?1 , đ?&#x2018;?2 , â&#x20AC;Ś , đ?&#x2018;?đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) , numa certa ordem. Logo, đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x17D;2 , â&#x20AC;Ś , đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) forma um sistema completo de restos mĂłdulo n.

CorolĂĄrio 6.1.2.1: Seja r uma raiz primitiva mĂłdulo đ?&#x2018;&#x203A; > 1. EntĂŁo đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;˘ ĂŠ uma raiz primitiva mĂłdulo n se, e somente se, đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;˘, đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;)) = 1.

O corolĂĄrio seguinte no diz que, nos casos em que hĂĄ uma raiz primitiva, pode-se afirmar exatamente quantas sĂŁo elas.

CorolĂĄrio 6.1.2.2: Se um inteiro n tem uma raiz primitiva, entĂŁo n tem precisamente đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;)) raĂ­zes primitivas.

Portanto, em particular, todo primo p tem uma raiz primitiva e, consoante o CorolĂĄrio 6, tem exatamente đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;?)) = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1) raĂ­zes primitivas.

Ilustração: Sabendo que 11 tem đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x153;&#x2018;(11)) = 4 raĂ­zes primitivas e que 2 ĂŠ a menor raiz, as outras sĂŁo determinadas pelas potĂŞncias de 2u, onde đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;˘, đ?&#x153;&#x2018;(11)) = 1. Como đ?&#x153;&#x2018;(11) =

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10 , temos que 23, 27 e 29 sĂŁo as outras raĂ­zes, ou seja, 8, 7 e 6. Veja a tabela 6.1.2.6.

Tabela 6.1.2.6 a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a10

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

4

8

5

10

9

7

3

6

1

3

9

5

4

1

3

9

5

4

1

4

5

9

3

1

4

5

9

3

1

5

3

4

9

1

5

3

4

9

1

6

3

7

9

10

5

8

4

2

1

7

5

2

3

10

4

6

9

8

1

8

9

6

4

10

3

2

5

7

1

9

4

3

5

1

9

4

3

5

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

Ilustração: 2 ĂŠ a menor raiz primitiva de 9 e temos đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x153;&#x2018;(9)) = 2 raĂ­zes primitivas. Como đ?&#x153;&#x2018;(9) = 6, temos que 1 e 5 sĂŁo relativamente primos com 6. Logo, a outra raiz primitiva ĂŠ dada por 25 â&#x2030;Ą 5. Veja a tabela:

Tabela 6.1.2.7 a1

a2

a3

a4

a5

a6

1

1

1

1

1

1

2

4

8

7

5

1

4

7

1

4

7

1

5

7

8

4

2

1

7

4

1

7

4

1

8

1

8

1

8

1

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PRECIOSIDADES

1) Achar as ordens dos inteiros 2, 3 e 5: a) módulo 17; b) módulo 19; c) módulo 23 2) Achar a ordem dos inteiros 2, 4, 7, 8, 11, 13 e 14 (mod 15) 3) Achar os inteiros que tem ordem 6 (mod 13) 4) Demonstrar as seguintes proposições: a) Se a tem ordem hk (mod n), então ah tem ordem k (mod n) b) Se a tem ordem 2k módulo primo ímpar p, então ak  –1 (mod p) c) Se a tem ordem n – 1 (mod. n), então n é primo 5) As ordens respectivas de a e b módulo n são h e k. Mostrar que a ordem de ab (mod n) divide hk. Em particular, se o mdc(h, k) = 1, então a ordem de ab (mod n) é hk 6) Mostrar que, se a tem ordem 3 (mod p), então a + 1 tem ordem 6 (mod p) 7) Mostrar que 2 é uma raiz primitiva de 19, mas não é de 17.

8) Mostrar que 15 não tem raízes primitivas calculando as ordens dos inteiros 2, 4, 7, 8, 11, 13 e 14 (mod 15) 9) Achar duas raízes primitivas de 10.

10) Sabendo que 3 é uma raiz primitiva de 17, achar todas as outras raízes primitivas de 17 11) Sabendo que 2 é uma raiz primitiva de 19, achar todas as outras raízes primitivas de 19 12) Achar todas as raízes primitivas de 5, 9, 11 e 13 PRECIOSIDADES EXTRAS

1. Determine as seguintes ordens: a) ord52

b) ord103

c) ord133

d) ord107

2. Determine as seguintes ordens: a) ord113

b) ord172

c) ord2110

d) ord259

3. Mostre que ord32 = 2, ord52 = 4, e ord72 = 3.

4. Mostre que ord132 = 12, ord172 = 8, e ord2412 = 12.

5. a) Mostre que 5 é uma raiz primitiva de 6.

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b) Mostre que 2 ĂŠ uma raiz primitiva de 11.

6. Encontre a raiz primitiva de cada mĂłdulo dos seguintes inteiros: a) 4 b) 5 c) 10 d) 13 e) 14 f) 18 7. Mostre que o inteiro 12 nĂŁo tem raĂ­zes primitivas.

8. Mostre que o inteiro 20 nĂŁo tem raĂ­zes primitivas.

9. Quantas sĂŁo as raĂ­zes primitivas incongruentes de 14? Encontre o conjunto das raĂ­zes primitivas incongruentes mĂłdulo 14.

10. Quantas sĂŁo as raĂ­zes primitivas incongruentes de 13? Encontre o conjunto das raĂ­zes primitivas incongruentes mĂłdulo 13.

6.2. Raízes Primitivas de Números Primos Nosso objetivo Ê determinar quais inteiros têm raízes primitivas. Vamos iniciar mostrando que todo número primo tem uma raiz primitiva. Antes isso, vamos dar uma atenção para o teorema de Lagrange, que determina o número de soluçþes de uma congruência polinomial.

Seja đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) um polinĂ´mio com coeficientes inteiros. Dizemos que um nĂşmero inteiro c ĂŠ uma raiz primitiva de đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) mĂłdulo m se đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?) â&#x2030;Ą 0 (mod m). Ă&#x2030; fĂĄcil ver que, se c ĂŠ uma raiz de f (x) modulo m, entĂŁo todo inteiro congruente a c modulo m tambĂŠm ĂŠ uma raiz.

Exemplo 6.2.1. O polinĂ´mio đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ľ + 1 tem exatamente duas raĂ­zes incongruentes mĂłdulo 7, ou seja, đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 2 (mod 7) e đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 4 (mod 7). Veja Tabela

Tabela 6.2.1 x

1

2

3

4

5

6

f(x)

3

0

6

0

3

1

Exemplo 6.2.2. O polinĂ´mio đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 2 + 2 nĂŁo tem raĂ­zes mĂłdulo 5. Veja Tabela 6.2.2.

Tabela 6.2.2 x

1

2

3

4

f(x)

3

1

1

3

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O Pequeno Teorema de Fermat nos diz que se p ĂŠ primo, entĂŁo o polinĂ´mio â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 1 tem exatamente đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1 raĂ­zes incongruentes mĂłdulo p, ou seja, đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1, 2, 3, . . . , đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1 (mod đ?&#x2018;?). Por exemplo, đ?&#x2018;Ľ 6 â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2030;Ą 0 (mod 7), temos đ?&#x2018;Ľ = 1, 2, 3, 4, 5 đ?&#x2018;&#x2019; 6.

Tabela 6.2.3 x

1

2

3

4

5

6

x6

1

1

1

1

1

1

Vamos precisar o seguinte importante teorema sobre raĂ­zes de polinĂ´mios mĂłdulo p onde p ĂŠ primo.

Teorema 6.2.1. Teorema de Lagrange. Seja đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 + â&#x2039;Ż + đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;0 um polinĂ´mio de grau n, đ?&#x2018;&#x203A; ď&#x201A;ł 1, com coeficientes inteiros e com coeficiente đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; nĂŁo divisĂ­vel por p. EntĂŁo đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) tem no mĂĄximo n raĂ­zes incongruentes mĂłdulo p.

Exemplo 6.2.3: đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 5 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 3 + 7đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ + 9 (mod 11) Tabela 6.2.4 X

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f(x)

9

7

8

3

1

6

5

0

7

0

O teorema de Lagrange ĂŠ usado para provar o seguinte resultado.

Teorema 6.2.2. Seja p um primo e seja d um divisor de đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1. EntĂŁo a congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2030;Ą 0 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?) tem exatamente d raĂ­zes incongruentes mĂłdulo p.

Por exemplo, đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2030;Ą 0 (mod 7), temos x = 1, 2, e 4. Ver Tabela

Tabela 6.2.5 x

1

2

3

4

5

6

x3

1

1

6

1

6

6

O Teorema 2 pode ser usado para provar um resultado Ăştil que nos diz quantos inteiros incongruentes tĂŞm uma determinada ordem mĂłdulo p.

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Teorema 6.2.3. Seja p um primo e seja d um divisor positivo de đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1. EntĂŁo, o nĂşmero de inteiros incongruentes menores que p de ordem d mĂłdulo p ĂŠ exatamente igual a đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x2018;).

Exemplo 6.2.4. Seja đ?&#x2018;? = 13 đ?&#x2018;&#x2018; = 6 e đ?&#x153;&#x2122;(6) = 2. EntĂŁo para đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;? (đ?&#x2018;&#x17D;) = đ?&#x2018;&#x2018;, temos đ?&#x153;&#x2018; (đ?&#x2018;&#x2018;) = 2 valores para a, 3 e 9, isto ĂŠ, đ?&#x2018;&#x201A;13 (3) = đ?&#x2018;&#x201A;13 (9) = 3.

Tabela 6.2.6 a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

O13(a)

1

12

3

6

4

12

12

4

3

6

12

2

Exemplo 6.2.5. Seja đ?&#x2018;? = 11, đ?&#x2018;&#x2018; = 5 e đ?&#x153;&#x2122;(đ?&#x2018;&#x2018;) = 4. EntĂŁo para đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;? (đ?&#x2018;&#x17D;) = đ?&#x2018;&#x2018;, temos đ?&#x153;&#x2122;(đ?&#x2018;&#x2018;) = 4 valores para a = 2, 6, 7 e 8, isto ĂŠ, đ?&#x2018;&#x201A;11 (2) = đ?&#x2018;&#x201A;11 (6) = đ?&#x2018;&#x201A;11 (7) = đ?&#x2018;&#x201A;11 (8) = 10.

Tabela 6.2.7 a

1

O11(a) 1

CorolĂĄrio 6.2.1.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10

5

5

5

10

10

10

5

2

Se p ĂŠ um nĂşmero primo, entĂŁo p tem exatamente đ?&#x153;&#x2122;(đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1) raĂ­zes

primitivas incongruentes mĂłdulo p.

Exemplo 6.2.6. Seja đ?&#x2018;? = 17, entĂŁo đ?&#x153;&#x2122;(16) = 8. As oito raĂ­zes primitivas de 17 sĂŁo {3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14}.

Tabela 6.2.8 a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

O17(a)

1

8

16

4

16

16

16

8

8

16

16

16

4

16

8

2

Note que CorolĂĄrio 6.2.1 fornece uma prova nĂŁo-construtiva de existĂŞncia de raĂ­zes primitivas mĂłdulo um primo. A menor raiz primitiva de cada primo menor que 200 ĂŠ dada na tabela abaixo.

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Tabela 6.2.9

PRECIOSIDADES

1. Encontre o nĂşmero de raĂ­zes incongruentes mĂłdulo 11 de cada um dos seguintes polinĂ´mios. a) đ?&#x2018;Ľ 2 + 2

b) đ?&#x2018;Ľ 2 + 10

c) đ?&#x2018;Ľ 3 + đ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;Ľ + 2

d) đ?&#x2018;Ľ 4 + đ?&#x2018;Ľ 2 + 1

2. Encontre o nĂşmero de raĂ­zes incongruentes mĂłdulo 13 de cada um dos seguintes polinĂ´mios. a) đ?&#x2018;Ľ 2 + 1

b) đ?&#x2018;Ľ 2 + 3đ?&#x2018;Ľ + 2

c) đ?&#x2018;Ľ 3 + 12

d)đ?&#x2018;Ľ 4 + đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ľ + 1

3. Encontre o nĂşmero de raĂ­zes primitivas dos seguintes primos: a) 7

b) 13

c) 17

d) 19

e) 29

f) 47

4. Encontre um conjunto completo de raĂ­zes primitivas incongruentes de 7.

5. Encontre um conjunto completo de raĂ­zes primitivas incongruentes de 13.

6. Encontre um conjunto completo de raĂ­zes primitivas incongruentes de 17.

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7. Encontre um conjunto completo de raĂ­zes primitivas incongruente s de 19.

8. Considere que r seja uma raiz primitiva do primo p com p â&#x2030;Ą 1 (mĂłdulo 4). Mostre que â&#x20AC;&#x201C; r tambĂŠm ĂŠ uma raiz primitiva.

9. Mostre que, se p ĂŠ um primo e p â&#x2030;Ą 1 (mĂłdulo 4), entĂŁo existe um inteiro x tal que x2 â&#x2030;Ą - 1 (mĂłdulo p). (SugestĂŁo: Use o teorema 9.8 para mostrar que existe um inteiro x de ordem 4, mĂłdulo p.)

10. a) Encontre o nĂşmero de raĂ­zes incongruentes mĂłdulo 6 do polinĂ´mio x2 â&#x20AC;&#x201C; x. b) Explique porque a resposta da parte (a) nĂŁo contradiz o Teorema de Lagrange.

6.2.1. RAĂ?ZES PRIMITIVAS DE NĂ&#x161;MEROS COMPOSTOS Na seção anterior, mostramos que todo primo possui uma raiz primitiva. Nesta seção, vamos encontrar todos os inteiros positivos que tĂŞm raĂ­zes primitivas.

Vamos começar com dois resultados negativos.

Teorema 6.2.1.1: Para đ?&#x2018;&#x2DC; > 2, o inteiro 2đ?&#x2018;&#x2DC; nĂŁo possui raĂ­zes primitivas.

Demonstração.

Teorema 6.2.1.2: Se mdc (đ?&#x2018;&#x161;, đ?&#x2018;&#x203A;) = 1, em que đ?&#x2018;&#x161; > 2 e đ?&#x2018;&#x203A; > 2, entĂŁo o inteiro đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A; nĂŁo possui raĂ­zes primitivas.

Demonstração: CorolĂĄrio 6.2.1.1: O inteiro n deixa de ter uma raiz primitiva se ou (a ) n ĂŠ divisĂ­vel por dois primos Ă­mpares, ou (b ) đ?&#x2018;&#x203A; = 2đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; , em que p ĂŠ um nĂşmero primo Ă­mpar e đ?&#x2018;&#x161; > 1.

Os resultados anteriores restringem a busca por raĂ­zes primitivas para os inteiros 2, 4, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; e 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; , em que p ĂŠ um primo Ă­mpar.

Em primeiro lugar, vamos mostrar que cada potĂŞncia de um primo Ă­mpar possui uma raiz primitiva. O primeiro passo para se mostrar que toda potĂŞncia de um primo Ă­mpar tem uma raiz primitiva ĂŠ mostrar que cada quadrado de um primo Ă­mpar tem um raiz primitiva.

Lema 6.2.1.1. Se p ĂŠ um primo Ă­mpar, entĂŁo existe uma raiz primitiva r de p, tal que đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;˘ 1 (mod đ?&#x2018;?2 ).

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Ilustrando: 8 ĂŠ uma raiz primitiva de 11 e 810 ď&#x201A;ş ď&#x20AC;Ż 1(mod 112 ).

Note que ĂŠ extremamente raro para a congruĂŞncia đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?2 ) Ser verdadeira quando r ĂŠ uma raiz primitiva mĂłdulo p com đ?&#x2018;&#x; < đ?&#x2018;?. Por conseguinte, raramente uma raiz primitiva r mĂłdulo p nĂŁo ĂŠ tambĂŠm uma raiz primitiva mĂłdulo đ?&#x2018;?2 .

Vejamos o corolĂĄrio seguinte.

CorolĂĄrio 6.2.1.2. Se p ĂŠ um primo Ă­mpar, entĂŁo đ?&#x2018;?2 tem uma raiz primitiva; de fato, para uma raiz primitiva r de p, ou r ou đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;? (ou ambos) ĂŠ uma raiz primitiva de đ?&#x2018;?2 .

Ilustração. 3 Ê uma raiz primitiva de 7 e pode-se verificar que que 3 e 10 são raízes primitivas de 72 . Por outro lado, 14 Ê uma raiz primitiva de 29 mas não de 292, enquanto 43 (14 + 29) Ê uma raiz primitiva de 29.

Precisamos do seguinte lema tÊcnico para alcançarmos o nosso objetivo.

Lema 6.2.1.2. Seja p um primo Ă­mpar e seja r uma raiz primitiva de p com a propriedade de que đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;˘ 1 (mod đ?&#x2018;?2 ). EntĂŁo, para cada inteiro positivo kâ&#x2030;Ľ 2, đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;2(đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1)

â&#x2030;˘ 1 (mod đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; )

Ilustração. 3 ĂŠ uma raiz primitiva 7 e 36 â&#x2030;˘ 1 (mod 72 ) 72. EntĂŁo, para todo đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ľ 2, 6(đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;2)

đ?&#x2018;&#x;7

â&#x2030;˘ 1 (mod 7đ?&#x2018;&#x2DC; )

Vejamos para đ?&#x2018;&#x2DC; = 3: 6

37 â&#x2030;Ą 325 â&#x2030;˘ 1 (mod 73 ) Agora vamos juntar as etapas para provar que as potĂŞncias de qualquer primo Ă­mpar tĂŞm uma raiz primitiva.

Teorema 6.2.1.3. Se p ĂŠ um nĂşmero primo Ă­mpar e đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ľ 1, entĂŁo existe uma raiz primitiva de đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; .

Com o teorema anterior, resta apenas o caso 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; para ser considerado.

CorolĂĄrio 6.2.1.3. Existem raĂ­zes primitivas para 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; , em que p ĂŠ um primo Ă­mpar e kâ&#x2030;Ľ 1.

Ilustração. O nĂşmero primo 5 tem 2 e 3 como raĂ­zes primitivas. Como 25â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;˘ 1 (mod 25)

e 35â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;˘ 1 (mod 25)

estes tambĂŠm servem como raĂ­zes primitivas para 52 e, consequentemente, para todas potĂŞncias superiores de 5. O corolĂĄrio garante que 3 ĂŠ uma raiz primitiva de todos os nĂşmeros da forma 2. 5k.

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O teorema seguinte resume tudo o que foi feito.

Teorema 6.2.1.4. O número inteiro positivo n, 𝑛 > 1, possui uma raiz primitiva se, e somente se 𝑛 = 2, 4, 𝑝𝑘 ou 2𝑝𝑘 , onde p é um primo ímpar e k é um número inteiro positivo.

PRECIOSIDADES

1. Quais dos inteiros 4,10,16, 22 e 28 tem uma raiz primitiva?

2. Quais dos inteiros 8, 9, 12, 26, 27, 31, e 33 tem uma raiz primitiva?

3. Encontre o módulo da raiz primitiva de cada módulo seguinte: a) 32

b) 52

c) 232

d) 292

4. Encontre o módulo da raiz primitiva de cada módulo seguinte: a) 112

b) 134

c) 172

d) 192

5. Encontre uma raiz primitiva para todos os inteiros positivos k módulo para cada um dos seguintes módulos. a) 3k

b) 11k

c) 13k

d) 17k

6. Encontre uma raiz primitiva para todos os inteiros positivos k módulo para cada um dos seguintes módulos. a) 23k

b)29k

c)31k

d)37k

7. Encontre o módulo da raiz primitiva para cada um dos seguintes módulos. a) 10

b) 34

c) 38

d) 50

8. Encontre o módulo da raiz primitiva para cada um dos seguintes módulos. a) 6

b) 18

c)26

d)338

9. Encontre todas as raízes primitivas módulo 22.

10. Encontre todas as raízes primitivas módulo 25.

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6.3. LOGARITMOS DISCRETOS Definição: Seja r uma raiz primitiva de n đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;&#x;) = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;). Se a ĂŠ um inteiro positivo com mdc(a, n) = 1, entĂŁo o Ăşnico inteiro x com 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;), tal que đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;) ĂŠ chamado de Logaritmo Discreto(dlog ou ld) de a na base r mĂłdulo n, isto ĂŠ, đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x17D; (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;) De acordo com a definição, temos đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x;(đ?&#x2018;&#x17D;) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;) O problema do logaritmo discreto ĂŠ encontrar o valor de x dado r, a e n tal que đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;) O algoritmo bĂĄsico seria calcular todas as potĂŞncias de r, r2, r3,...,rn-1 atĂŠ encontrar o valor a.

6.3.1. CĂ LCULO DE LOGARITMOS DISCRETOS USANDO TABELAS Teorema 6.3.1.1 Se n tem uma raiz primitiva r e dlog(a) denota, de forma resumida, o logaritmo discreto de a na base r temos que: ( i ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?) = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x17D;) + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;?) (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;)) ( ii ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; ) = đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x17D;) (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;)), đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2DC; > 0 ( iii ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(1) = 0 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;)) đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x;) = 1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;)).

Vamos explicar brevemente, em uma tabela, como as regras dos logaritmos discretos podem ser usadas para simplificar os cĂĄlculos e resolver congruĂŞncias. Para o que queremos usaremos uma tabela de logaritmos para o nĂşmero primo n = 37 e a base r = 2, que ĂŠ uma das raĂ­zes primitivas de 37,pois đ?&#x2018;&#x201A;37 (2) = đ?&#x153;&#x2018;(37) = 36. As outras raĂ­zes sĂŁo: 2, 5, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 32, 35.

Tabela 6.3.1.1 Logaritmos discretos de x na base 2 (mod 37) â&#x2021;&#x201D; 2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 37) x đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;2 đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x203A; x đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;2 đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x203A;

x đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;2 đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x203A;

1 36 17 7

18 17

33 20

34 8

2 1

3 26 19 35 35 19

4 2 20 25

5 23 21 22

6 27 22 31

7 32 23 15

8 3 24 29

9 16 25 10

10 24 26 12

11 30 27 6

12 28 28 34

13 11 29 21

14 33 30 14

15 13

16 4

31 9

32 5

36 18

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A tabela indica a seguinte situação: Qual o logaritmo discreto de x na base 2 mĂłdulo 37? đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;2 đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x203A; ( đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 37) â&#x2021;&#x201D; 2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 37).

Assim, na tabela, por exemplo: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;2 đ?&#x2018;Ľ = 35 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 37) â&#x2021;&#x201D; 235 â&#x2030;Ą 19 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 37).

E todas as soluçþes são dadas por x =19 + 36t.

A tabela foi construĂ­da encontrando-se todos os valores de 2t (mod 37). Onde t varia de 1 a 36.

Vejamos situaçþes que podemos resolver com o auxílio dessa tabela.

Se queremos calcular đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;2 437 (mod 37), podemos fatorar adicionar seus logaritmos na base 2. Assim, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(437) = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (23.19) = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (23) + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (19) = 15 + 35 = 50 â&#x2030;Ą 14 (mod 36)

(Note que o cĂĄlculo ĂŠ feito no mĂłdulo đ?&#x153;&#x2122;(37) = 36). Procurando na tabela, descobrimos que đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(437) = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(30) = 14, entĂŁo 437 â&#x2030;Ą 30 (mod 37).

Mas, serĂĄ que nĂŁo ĂŠ um exagero usar logaritmos discretos para calcular o produto 23.19 (mod 37)? Vejamos um caso mais forte onde usaremos o logaritmo discreto para calcular potĂŞncias. Por exemplo, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (2914 ) â&#x2030;Ą 14đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(29) â&#x2030;Ą 14.21 = 294 â&#x2030;Ą 6 (mod 36).

A partir da tabela vemos que đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (27) = 6, entĂŁo 2914 â&#x2030;Ą 27 (mod 37). O nĂşmero 2914 tem 21 dĂ­gitos, por isso, seria trabalhoso calcular o valor exato de 2914 sem recursos computacionais e, em seguida, reduzir ao modulo 37. Por outro lado, conseguimos calcular 2914 (mod 37) muito rapidamente usando o mĂŠtodo dos quadrados sucessivos.

Portanto, são os logaritmos discretos realmente úteis para alguma coisa? A resposta Ê que o poder real de uma tabela de logaritmos discretos não reside na sua utilização para cålculos diretos, mas sim como uma ferramenta para resolver congruências. Daremos duas ilustraçþes.

Para o nosso primeiro exemplo, considere a congruĂŞncia 19đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 23 (mod 37).

Se x Ê uma solução, então o logaritmo de 19x Ê igual ao logaritmo de 23 na base 2.

Utilizando a regra do produto e tendo valores da tabela, podemos calcular đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (19đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (23) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(19) + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (23) (mod 36) 35 + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 15 (mod 36) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;20 â&#x2030;Ą 16 (mod 36).

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Assim, o logaritmo da solução ĂŠ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) = 16, e procurando na tabela, encontramos que x ď&#x201A;ş 9 (mod 37). Apesar dessa solução ser mais simples que os mĂŠtodos utilizados anteriormente, o mĂŠtodo descrito aqui sĂł funciona se vocĂŞ tiver uma tabela de logaritmos jĂĄ compilada.

Observação: Usando base 7 que nĂŁo ĂŠ uma raiz primitiva de 37: Tabela 6.3.1.1a Logaritmos discretos de x na base 7 (mod 37) â&#x2021;&#x201D; 7đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 37) x đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;7 đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ąđ?&#x2018;&#x203A;

1 36-9-18-27

x đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;7 đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x203A;

x đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;7 đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x203A;

17

2

18

3

19

33 4-13-2231

4

5

20

34 7-16-2534

6

7 1-10-19-28

21

35

22

8

23

9 5-1423-32 24

10 3-12-2130 25

11

26 6-15-2433

27

12 2-11-2029 28

13

29

14

30

15

31

16 17-2635 32

36

19đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 23 (mod 37). đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (19đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (23) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(19) + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (23) (mod 36) ? + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą ? (mod 36) Como 7 nĂŁo ĂŠ uma raiz primitiva, as potĂŞncias 7đ?&#x2018;&#x2DC; (mod 37) nĂŁo percorrem todos os valores dos restos mĂłdulo 37, {1, 2, . . . , 36}. Os restos produzidos pelas potĂŞncias de 7đ?&#x2018;&#x2DC; sĂŁo {7, 12, 10, 33, 9, 26, 34, 16, 1}. Observe que os valores 19 e 23 nĂŁo constam nos restos.

Para o nosso segundo exemplo, vamos resolver um problema que exigiria uma grande quantidade de tediosos cĂĄlculos. Determine todas as soluçþes para a congruĂŞncia 3đ?&#x2018;Ľ 30 â&#x2030;Ą 4 (mod 37).

Vamos começar por tomar o logaritmos de ambos os lados e usar as regras de produto e de potĂŞncias. đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (3đ?&#x2018;Ľ 30 ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(4) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(3) + 30đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (4) (mod 36) 26 + 30đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 2 (mod 36) 30đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;24 â&#x2030;Ą 12 (mod 36) 30đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 12 (mod 36).

EntĂŁo, precisamos resolver a congruĂŞncia 30đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 12(mod 36) para đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ).

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O que temos que descobrir ĂŠ que valores de đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) na tabela, quando multiplicados por 30, deixam resto 12 na divisĂŁo por 36. JĂĄ vimos como resolver uma congruĂŞncia desse tipo. Em geral, a congruĂŞncia đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x161;) tem d = mdc(a, m) soluçþes incongruentes mĂłdulo m, se d divide c, caso contrĂĄrio, nĂŁo tem soluçþes. No nosso caso d = mdc(30, 36) = 6 divide 12, entĂŁo hĂĄ seis soluçþes. Usando os mĂŠtodos jĂĄ vistos, ou simplesmente por tentativa e erro, encontramos para 30đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 12 (mod 36) Os valores đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) = 4, 10, 16, 22, 28, đ?&#x2018;&#x2019; 34.

Agora, olhando para a tabela, obtemos os valores correspondentes de x = 16, 25, 9, 21, 12 e 28.

Assim, a congruĂŞncia 3đ?&#x2018;Ľ 30 â&#x2030;Ą 4 (mod 37) tem seis soluçþes, đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 16, 25, 9, 21, 12, 28 (mod 37).

As vantagens computacionais da utilização dos logaritmos discretos, são facilmente observadas. As regras dos logaritmos discretos convertem multiplicaçþes em adiçþes e potenciaçþes em produtos.

6.3.2. RESĂ?DUOS DE POTĂ&#x160;NCIAS Logaritmos Discretos sĂŁo Ăşteis para estudar congruĂŞncias da forma đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;&#x161;), onde m ĂŠ um nĂşmero inteiro positivo com uma raiz primitiva e MDC (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x161;) = 1. Antes de estudar tais congruĂŞncias, vamos apresentar uma definição.

Definição: Se m e k sĂŁo nĂşmeros inteiros positivos e a ĂŠ um inteiro relativamente primo com m, entĂŁo dizemos que a ĂŠ um resĂ­duo k-ĂŠsimo mĂłdulo m se a congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;&#x161;) tem um solução.

Se m ĂŠ um nĂşmero inteiro que possui uma raiz primitiva, o seguinte teorema dĂĄ um critĂŠrio Ăştil para um nĂşmero inteiro a relativamente primo com m seja um k-ĂŠsimo resĂ­duo mĂłdulo m.

Teorema 6.3.2.1. Seja m um nĂşmero inteiro positivo com uma raiz primitiva. Se k ĂŠ um nĂşmero inteiro positivo e a ĂŠ um inteiro relativamente primo com m, entĂŁo a congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;&#x161;) tem uma solução se e somente se đ?&#x2018;&#x17D;

Ď&#x2020;(đ?&#x2018;&#x161;) đ?&#x2018;&#x2018;

â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x161;),

onde đ?&#x2018;&#x2018; = đ?&#x2018;&#x20AC;đ??ˇđ??ś (đ?&#x2018;&#x2DC;, Ď&#x2020;(đ?&#x2018;&#x161;)). AlĂŠm disso, se houver soluçþes de đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;&#x161;), entĂŁo hĂĄ exatamente d soluçþes incongruentes mĂłdulo m.

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Note que o Teorema nos diz que se p ĂŠ primo, k ĂŠ um inteiro positivo, e a ĂŠ um nĂşmero inteiro relativamente primo com p, entĂŁo a ĂŠ o resĂ­duo k-ĂŠsimo mĂłdulo p se, e somente se, đ?&#x2018;&#x17D;

pâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x2018;

â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?),

onde đ?&#x2018;&#x2018; = đ?&#x2018;&#x20AC;đ??ˇđ??ś (đ?&#x2018;&#x2DC;, đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1). Ilustraremos esta observação com um exemplo.

Exemplo 6.3.2.1. Determinar se 5 ĂŠ um resĂ­duo de uma sexta potĂŞncia mĂłdulo 17, isto ĂŠ, se a congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ 6 â&#x2030;Ą 5 (mod 17) tem uma solução, em outras palavras, se existem inteiros x do sistema completo de restos mĂłdulo 17, que satisfaçam a equação.

Como đ?&#x2018;&#x2018; = đ?&#x2018;&#x20AC;đ??ˇđ??ś(6, đ?&#x153;&#x2018;(17)) = 2, temos 16

5 2 = 58 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1 (mod 17) Assim, 5 nĂŁo ĂŠ uma sexta potĂŞncia residual mĂłdulo 17, quer dizer, nĂŁo existe nenhum đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; {1, 2, 3, â&#x20AC;Ś , 16}, que satisfaça a equação đ?&#x2018;Ľ 6 â&#x2030;Ą 5 (mod 17).

Exemplo 6.3.2.2. Determinar se 13 ĂŠ um resĂ­duo de uma quarta potĂŞncia mĂłdulo 18, isto ĂŠ, se a congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2030;Ą 13 (mod 18) tem uma solução, em outras palavras, se existem inteiros x do sistema completo de restos mĂłdulo 18, que satisfaçam a equação.

Como đ?&#x2018;&#x2018; = MDC (4, đ?&#x153;&#x2018; (18)) = MDC(4, 6) = 2, temos 6

132 = 133 â&#x2030;Ą 1 (mod 18) Assim, 13 ĂŠ uma quarta potĂŞncia residual mĂłdulo 18, quer dizer, existem đ?&#x2018;&#x2018; = 2 soluçþes em đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; {1, 2, 3, â&#x20AC;Ś , 17}, que satisfazem a equação đ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2030;Ą 13 (mod 18). Neste caso đ?&#x2018;Ľ = 5 e đ?&#x2018;Ľ = 13.

PRECIOSIDADES GRATUITAS 01. Resolver đ?&#x2018;Ľ 8 â&#x2030;Ą 5 (mod 11). As raĂ­zes primitivas de 11 sĂŁo 2, 6, 7 e 8.

1ÂŞ Solução- Raiz primitiva 2 Tabela 6.3.2.1: Logaritmos discretos de x na base 2 (mod 11) â&#x2021;&#x201D; 2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 11) x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;2 đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x203A;

10

1

8

2

4

9

7

3

6

5

Com o auxĂ­lio da Tabela 6.3.2.1, vamos resolver đ?&#x2018;Ľ 8 â&#x2030;Ą 5 (mod 11).

A congruĂŞncia tem solução se, e somente se, 8đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(5)(mod 10)

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8đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 4 (mod 10) Observação: Antes de fazermos qualque simplificação na equação ĂŠ importante ressaltar o nĂşmero de soluçþes que podem ser perdidas em alguma simplificaçþes. Por exemplo, o mdc(8, 10)= 2, logo 8đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 4(mod 10) possui duas soluçþes. Simplificando, temos 2đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 1 (mod 5)

A situação ĂŠ a seguinte: Quais valores de đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;Ľ da Tabela multiplicados por 2 deixam resto 1 na divisĂŁo por 5? Os valores sĂŁo 8 e 3.

Consultando a Tabela novamente, encontramos os valores de x correspondentes que sĂŁo: đ?&#x2018;Ľ = 8 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ = 3.

10

Nota: Pelo Teorema 6.3.2.1, 5 2 = 55 â&#x2030;Ą 1 (mod 11) đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018; = MDC ( 8, đ?&#x153;&#x2018;(11)) = 2 2ÂŞ Solução- Raiz primitiva 6 Tabela 6.3.2.2: Logaritmos discretos de x na base 6 (mod 11) â&#x2021;&#x201D; 6đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 11)

x đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;6 đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x203A;

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10 9

2

8

6

1

3

7

4

5

Com o auxĂ­lio da Tabela 6.3.2.2, vamos resolver đ?&#x2018;Ľ 8 â&#x2030;Ą 5 (mod 11).

A congruĂŞncia tem solução se, e somente se, 8đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(5)(mod 10) 8đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 6 (mod 10) Como o mdc(8, 10)= 2, logo 8đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 6(mod 10) possui duas soluçþes. Simplificando, temos

4đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 3 (mod 5) A situação ĂŠ a seguinte: Quais valores de đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;Ľ na Tabela multiplicados por 4 deixam resto 3 na divisĂŁo por 5? Os valores sĂŁo 2 đ?&#x2018;&#x2019; 7.

Consultando a Tabela novamente, encontramos os respectivos valores de x, 3 đ?&#x2018;&#x2019; 8

3ÂŞ Solução- Raiz primitiva 7 Tabela 6.3.2.3 Logaritmos discretos de x na base 7 (mod 11) â&#x2021;&#x201D; 7đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 11)

x đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;7 đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x203A;

1

8

5

9

4

7

2

6

3

10

10 9

2

8

6

1

3

7

4

5

Com o auxĂ­lio da Tabela 6.3.2.3, vamos resolver đ?&#x2018;Ľ 8 â&#x2030;Ą 5 (mod 11).

A congruĂŞncia tem solução se, e somente se, 8đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(5)(mod 10) Prof. Rubens Vilhena

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8đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 2 (mod 10) 4đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 1 (mod 5) A situação ĂŠ a seguinte: Quais valores de đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;Ľ da Tabela multiplicados por 4 deixam resto 1 na divisĂŁo por 5? Os valores sĂŁo 9 đ?&#x2018;&#x2019; 4.

Consultando a Tabela novamente, encontramos os valores respectivos de x , 8 đ?&#x2018;&#x2019; 3.

4ÂŞ Solução: Raiz Primitiva 8 Tabela 6.3.2.4 Logaritmos discretos de x na base 8 (mod 11) â&#x2021;&#x201D; 8đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 11)

x đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;8 đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x203A;

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10

7

6

4

8

3

9

1

2

5

Com o auxĂ­lio da Tabela, vamos resolver đ?&#x2018;Ľ 8 â&#x2030;Ą 5 (mod 11).

A congruĂŞncia tem solução se, e somente se, 8đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(5)(mod 10) 8đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 8(mod 10) 4đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 4 (mod 5) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 1(mod 5)

A situação ĂŠ a seguinte: Quais valores de đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;Ľ da Tabela deixam resto 1 na divisĂŁo por 5? Os valores sĂŁo 6 đ?&#x2018;&#x2019;1.

Consultando a Tabela novamente, encontramos os valores respectivos de x, 3 đ?&#x2018;&#x2019; 8.

02. Resolver đ?&#x2018;Ľ 7 â&#x2030;Ą 11 (mod 17) Solução: Uma raiz primitiva de 17 ĂŠ 3 ( as outras sĂŁo 5, 6, 7, 11, 12 e 14).

Tabela 6.3.2.5 Logaritmos discretos de x na base 3 (mod 17) â&#x2021;&#x201D; 3đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 17) x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;3 đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x203A;

16

14

1

12

5

15

11

10

2

3

7

13

4

9

6

8

Com o auxĂ­lio da Tabela , vamos resolver đ?&#x2018;Ľ 7 â&#x2030;Ą 11 (mod 17).

A congruĂŞncia tem solução se, e somente se, 7đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(11)(mod 16) 7đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 7(mod 16) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 1 (mod 16) Queremos os valores de đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;Ľ da Tabela que deixam resto 1 na divisĂŁo por 16.

Apenas o valor đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) = 1. Consultando a Tabela novamente, o valor de x ĂŠ 3.

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03. Resolver 6đ?&#x2018;Ľ 12 â&#x2030;Ą 11 (mod 17) Solução: Vamos usar novamente 3 como raiz primitiva.

Tabela 6.3.2.5 Logaritmos discretos de x na base 3 (mod 17) â&#x2021;&#x201D; 3đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 17) x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;3 đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x203A;

16

14

1

12

5

15

11

10

2

3

7

13

4

9

6

8

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(6) + 12đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (11) (mod 16) 15 + 12đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 7 (mod 16) 12đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;8 (mod 16) 12đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 8 (mod 16) Como o mdc(12,8) = 4, temos 4 soluçþes. Simplificando, temos: 3đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D; (đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 2(mod 4) A situação ĂŠ a seguinte: Quais valores de đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;Ľ da Tabela deixam resto 2 na divisĂŁo por 4 ao serem multiplicados por 3? Os valores sĂŁo 14, 10, 2 đ?&#x2018;&#x2019; 6.

Consultando a Tabela novamente, encontramos os valores respectivos de x, que sĂŁo 2, 8, 9 đ?&#x2018;&#x2019; 15.

04. Resolver 7đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 6 (mod 17).

Solução: Como 3 ĂŠ uma raiz primitiva der 17, vamos usar como base dos logaritmos discretos e utilizar a Tabela 6.3.2.5. đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(7đ?&#x2018;Ľ ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(6)(mod 16) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(7) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(6)(mod 16) 11đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 15 (mod 16) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 11đ?&#x153;&#x2018;(16)â&#x2C6;&#x2019;1 . 15 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 16) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 3.15 = 45 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 16) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 45 (mod 16) â&#x;ş đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 13 (mod 16).

05. Resolver 7đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 5 (mod 11).

Solução: Vamos usar a raiz primitiva 2 como base. đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(7đ?&#x2018;Ľ ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(5)(mod 10) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(7) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(5)(mod 10) 7đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 4 (mod 10). đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 7đ?&#x153;&#x2018;(10)â&#x2C6;&#x2019;1 . 4 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 10) Prof. Rubens Vilhena

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đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 3.4 = 12 (mod 10) â&#x;ş đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 2 (mod 10).

06. Resolver 4đ?&#x2018;Ľ 9 â&#x2030;Ą 7 (mod 13) Solução: Vamos usar a raiz primitiva 2 como base.

Tabela 6.3.2.6 Logaritmos discretos de x na base 2 (mod 13) â&#x2021;&#x201D; 2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 13) x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;2 đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x203A;

12

1

4

2

9

5

11

3

8

10

7

6

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(4đ?&#x2018;Ľ 9 ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(7) (mod 12) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(4) + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ 9 ) â&#x2030;Ą 11(mod 12) 2 + 9đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 11 (mod 12) 9đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 9 (mod 12) Como mdc(9, 12) =3, temos um total de 3 soluçþes. Simplificando, temos: 3đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 3 (mod 4) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 1 (mod 4) Quais valores de đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) da Tabela deixam resto 1 na divisĂŁo por 4? Os valores sĂŁo 1, 5, 9. Consultando a Tabela novamente, encontramos os valores para x 2, 5, 6.

07. Resolver đ?&#x2018;Ľ 5 â&#x2030;Ą 3 (mod 41), sabendo que 6 ĂŠ uma raiz primitiva de 41( as outras sĂŁo 7, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 34 e 35).

Solução: Temos đ?&#x2018;&#x2018; = mdc (5, đ?&#x153;&#x2122;(41)) = mdc (5, 40) = 5. EntĂŁo, se houver solução, serĂŁo exatamente 5 soluçþes incongruentes mĂłdulo 41.

40

Temos ainda que 3 5 = 38 â&#x2030;Ą 1 (mod 41). Logo, a congruĂŞncia tem solução.

5đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(3) (mod 40) 5đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 15 (mod 40) Como mdc(5,40 )= 5, temos 5 soluçþes. Simplificando, temos đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 3 (mod 40) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 3 (mod 8).

Assim, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) = 3 + 8đ?&#x2018;Ą. Atribuindo valores a t, temos: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;6 (đ?&#x2018;Ľ) = 3, 11, 19 27 đ?&#x2018;&#x2019; 35.

EntĂŁo: đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 63 , 611 , 619 , 627 đ?&#x2018;&#x2019; 635 (mod 41) ou đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 11,12,28,34 đ?&#x2018;&#x2019; 38 (mod 41).

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08. Resolver đ?&#x2018;Ľ 5 â&#x2030;Ą 3 (mod 65).

Solução: Não Ê possível determinar antecipadamente quantas são as soluçþes da equação, pois 65 não têm raízes primitivas. Então, vamos decompor 65 em fatores primos. Temos, 65 = 5.13. Logo, a equação tem solução se, e somente se,

đ?&#x2018;Ľ 5 â&#x2030;Ą 3 (mod 5) e

đ?&#x2018;Ľ 5 â&#x2030;Ą 3 (mod 13) tiverem soluçþes.

Para đ?&#x2018;Ľ 5 â&#x2030;Ą 3 (mod 5), temos đ?&#x2018;&#x2018; = mdc (5, đ?&#x153;&#x2122;(5)) = mdc (5,4) = 1. EntĂŁo, se houver solução,

serĂĄ

apenas

uma

solução

inongruente

mĂłdulo

5.

Temos

ainda

que

4 1

3 = 34 â&#x2030;Ą 1 (mod 5). Logo, a congruĂŞncia tem solução. Uma raiz primitiva de 5 ĂŠ 2.

Tabela 6.3.2.8 Logaritmos discretos de x na base 2 (mod 5) â&#x2021;&#x201D; 2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 5)

x

1

2

3

4

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;2 đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x203A;

4

1

3

2

5đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(3) (mod 4) 5đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 3 (mod 4) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 3 (mod 4).

EntĂŁo, đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 3 ( mod 5).

Para đ?&#x2018;Ľ 5 â&#x2030;Ą 3 (mod 13), temos đ?&#x2018;&#x2018; = mdc (5, đ?&#x153;&#x2122;(13)) = mdc (5,12) = 1. EntĂŁo, se houver 12

solução, serĂĄ apenas uma solução mĂłdulo 13. Temos ainda que 3 1 = 312 â&#x2030;Ą 1 (mod 13).

Logo, a congruência tem solução. Usaremos a raiz primitiva 2 de 13.

5đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(3) (mod 12) 5đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 4 (mod 12) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 5đ?&#x153;&#x2018;(12)â&#x2C6;&#x2019;1 . 4(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 12) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 5.4 = 20 (mod 12) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 8 (mod 12) EntĂŁo, đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 9(mod 13).

Aplicamos o Teorema ChinĂŞs do Resto para resolver o sistema đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 3 (mod 5) { đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 9 (mod 13) Obtemos đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 48 (mod 65).

09. Resolver đ?&#x2018;Ľ 6 â&#x2030;Ą 17 (mod 23).

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Solução: Temos que đ?&#x2018;&#x2018; = mdc (6, đ?&#x153;&#x2122;(23)) = mdc (6,22) = 2.

22

Uma vez que 17 2 = 711 â&#x2030;Ą 22 â&#x2030;˘ 1 (mod 23). Logo a equação nĂŁo tem solução.

10. Resolver đ?&#x2018;Ľ 10 â&#x2030;Ą 9 (mod 161) Solução: NĂŁo ĂŠ possĂ­vel determinar antecipadamente quantas sĂŁo as soluçþes da equação, pois 161 nĂŁo tĂŞm raĂ­zes primitivas. Decompondo 161 em fatores primos, temos: 161 = 7. 23.

Logo, a equação tem solução se, e somente se, đ?&#x2018;Ľ 10 â&#x2030;Ą 9 â&#x2030;Ą 2 (mod 7)đ?&#x2018;Ľ 10 e

đ?&#x2018;Ľ 10 â&#x2030;Ą 9 (mod 23) tiverem soluçþes.

Para đ?&#x2018;Ľ 10 â&#x2030;Ą 2 (mod 7), temos đ?&#x2018;&#x2018; = mdc (10, đ?&#x153;&#x2122;(7)) = mdc (10,6) = 2. EntĂŁo, se houver 6

solução, serão 2 soluçþes módulo 7.

Temos ainda que 22 = 23 â&#x2030;Ą 1 (mod 7). Logo, a

congruĂŞncia tem solução. Uma raiz primitiva de 7 ĂŠ 3 ( a outra ĂŠ 5) Tabela 6.3.2.9 Logaritmos discretos de x na base 3 (mod 7) â&#x2021;&#x201D; 3đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 7)

x

1 2

3

4

5

6

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;3 đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x203A;

6 2

1

4

5

3

10đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(2) (mod 6) 10đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 2 (mod 6) 5đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 1 (mod 3) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 5đ?&#x153;&#x2018;(3)â&#x2C6;&#x2019;1 (mod 3) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 2 (mod 3). â&#x20AC;˘

EntĂŁo, đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 2 ( mod 7) e đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 5 (mod 7).

Para đ?&#x2018;Ľ 10 â&#x2030;Ą 9 (mod 23), temos đ?&#x2018;&#x2018; = mdc (10, đ?&#x153;&#x2122;(23)) = mdc (10,22) = 2. EntĂŁo, se houver solução, serĂŁo 2 soluçþes mĂłdulo 23.

22

Temos ainda que 9 2 = 911 â&#x2030;Ą 1 (mod 23). Logo, a congruĂŞncia tem solução. Uma raiz primitiva de 23 ĂŠ 5 ( as outras sĂŁo 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21) 10đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(9) (mod 22) 10đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 10 (mod 22) Prof. Rubens Vilhena

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5đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 5 (mod 11) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 1 (mod 11) Assim, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) = 1 e 12. â&#x20AC;˘

EntĂŁo

đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 5 (mod 23) e đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 18 (mod 23).

Combinando os resultados e aplicando o Teorema ChinĂŞs do Resto: đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 2 (mod 7) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 2 (mod 7) { ,{ , đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 5 (mod 23) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 18 (mod 23) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 5 (mod 7) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 5 (mod 7) { e { đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 5 (mod 23) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 18 (mod 23) Obtemos as 4 soluçþes respectivamente đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 51, 156, 5 đ?&#x2018;&#x2019; 110 (mod 161).

PRECIOSIDADES

1. Construa uma tabela de logaritmos discretos mĂłdulo 23 usando como base a raiz primitiva 5.

2. Encontre todas as soluçþes das seguintes congruĂŞncias. a) 3đ?&#x2018;Ľ 5 â&#x2030;Ą 1 (mod 23)

b) 3đ?&#x2018;Ľ 14 â&#x2030;Ą 2 (mod 23)

3. Encontre todas as soluçþes das seguintes congruĂŞncias. a) 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 2 (mod 23)

b) 13đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 5 (mod 23)

4. Para que inteiros positivos a congruĂŞncia đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2030;Ą 2 (mod 13) ĂŠ solucionĂĄvel?

5. Para que inteiros positivos a congruĂŞncia 8đ?&#x2018;Ľ 7 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod 13) ĂŠ solucionĂĄvel?

6. Encontre as soluçþes de 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ľ (mod 13) , usando para a base a raiz primitiva 2.

7. Encontre todas as soluçþes de đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ľ (mod 23).

8. Mostre que, se p ĂŠ um primo Ă­mpar e r ĂŠ uma raiz primitiva de p, entĂŁo dlog r (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1) = (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1)/2.

9. Seja p um primo Ă­mpar. Mostre que a congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1 (mod đ?&#x2018;?) tem uma solução se e somente se, p estĂĄ na forma 8đ?&#x2018;&#x2DC; + 1.

10. Prove que existem infinitos nĂşmeros primos na forma 8k + 1. (SugestĂŁo: Assuma que p1, p2, ...., pn sĂŁo os Ăşnicos nĂşmeros primos nesta forma. Seja đ?&#x2018;&#x201E; = (2đ?&#x2018;?1 , đ?&#x2018;?2 . . . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; )đ?&#x2018;&#x2DC; + 1. Mostre que Q deve ter um fator primo Ă­mpar diferente de đ?&#x2018;?1 , đ?&#x2018;?2 , . . . , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; e, pelo ExercĂ­cio 9, seja necessariamente na forma 8đ?&#x2018;&#x2DC; + 1.

Prof. Rubens Vilhena

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6.3.3. Cà LCULO DO LOGARITMO DISCRETO SEM O USO DE TABELAS Vimos que o problema da exponenciação discreta não Ê tão difícil (pode ser computado eficientemente utilizando exponenciação por quadrados, por exemplo), jå o problema inverso, computar logaritmos discretos Ê aparentemente muito difícil. Não apenas não se conhece algoritmo eficiente para os piores casos, mas a complexidade para os casos mÊdios Ê demonstrada quase tão difícil quanto o pior caso.

Existem muitos sistemas de criptografia cuja segurança Ê baseada na dificuldade em resolver logaritmos discretos. Nesta parte ilustramos (as justificativas matemåticas fogem ao nível elementar desta apresentação) dois mÊtodos para calcular logaritmos discretos, a saber: O Algoritmo Shanks e o Algoritmo Silver-Pohlig-Hellman.

I. ALGORITMO DE SHANKS Daniel Shanks (1917 - 1996), desenvolveu diversos mÊtodos de fatoração computacional råpida, baseado em formas quadråticas. Seu algoritmo de passos mínimos e passos gigantes de 1971 serve para calcular o logaritmo discreto, útil em criptografia de chave pública.

Sejam a, b, x e m inteiros positivos com a e m maiores que 1, tais que đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;?(mod đ?&#x2018;&#x161;).

Encontrar o valor de x ĂŠ equivalente a calcular o logaritmo discreto de b na base a mĂłdulo m, isto ĂŠ, đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x161;) O valor de x ĂŠ dado por đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17E; + đ?&#x2018;&#x;,

0â&#x2030;¤đ?&#x2018;&#x;<đ?&#x2018;&#x203A;

Onde đ?&#x2018;&#x203A; = â&#x152;&#x160;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x152;&#x2039;, q e r sĂŁo inteiros determinados pelo Algoritmo de Shanks, que descrevemos a seguir. (i) Chamemos de B o conjunto dos passos mĂ­nimos, determinado do seguinte modo: Prof. Rubens Vilhena

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đ?&#x2018;&#x;

đ?&#x2018;Š = {(đ?&#x2018;?. (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;)â&#x2C6;&#x2019;1 ) , đ?&#x2018;&#x;);

0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x; < đ?&#x2018;&#x203A;, mod đ?&#x2018;&#x161; }

đ?&#x2018;&#x;

Sabendo que (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x161;)â&#x2C6;&#x2019;1 ) = đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;&#x161;).

Se em B tivermos o par (1, r), entĂŁo đ?&#x2018;?. đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; = 1 â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x; = đ?&#x2018;? â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x;(mod đ?&#x2018;&#x161;) (ii) Caso contrĂĄrio, consideremos

Bâ&#x20AC;&#x2122; o conjunto dos passos gigantes, determinado do

seguinte modo: đ?&#x2018;Šâ&#x20AC;˛ = {( đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17E; , đ?&#x2018;&#x17E;);

đ?&#x2018;&#x17E; = 1,2,3, â&#x20AC;Ś ,

đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161; }

Quando obtivermos o primeiro par com đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17E; = đ?&#x2018;?. đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; , teremos: đ?&#x2018;?. đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17E; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x; â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17E;+đ?&#x2018;&#x; Portanto o logaritmo discreto ĂŠ x = nq + r, 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x; < đ?&#x2018;&#x203A;.

Exemplo 6.3.3.1. Vamos determinar o logaritmo discreto de 12 na base 2 mĂłdulo 53, ou seja, đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;2 12 (mod 53).

Temos: m = 53, b = 12, a = 2 , n = â&#x152;&#x160;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;â&#x152;&#x2039; = 8 e Por (i) determinamos o conjunto dos passos mĂ­nimos. đ?&#x2018;&#x;

đ?&#x2018;Š = {(12. (2đ?&#x153;&#x2018;(53)â&#x2C6;&#x2019;1 ) , đ?&#x2018;&#x;); Assim,

temos

o

seguinte

conjunto

0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x; < 8, mod 53 } B

formado

pelos

pares

ordenados

đ?&#x2018;&#x;

(12. (2đ?&#x153;&#x2018;(53)â&#x2C6;&#x2019;1 ) , đ?&#x2018;&#x;): B={{12,0}, {6,1}, {3,2}, {28,3}, {14,4}, {7,5}, {30,6}, {15,7}} Por (ii) determinamos o conjunto Bâ&#x20AC;&#x2122; dos passos gigantes đ?&#x2018;Šâ&#x20AC;˛ = {( 28đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17E; , đ?&#x2018;&#x17E;);

đ?&#x2018;&#x17E; = 1,2,3, â&#x20AC;Ś ,

mod đ?&#x2018;&#x161; }

Assim, temos o seguinte conjunto Bâ&#x20AC;&#x2122; formado pelos pares ordenados ( 28đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17E; , đ?&#x2018;&#x17E;): đ?&#x2018;Šâ&#x20AC;˛ = {{1,0}, {44,1}, {28,2}, {13,3}, {42,4}, {46,5}, {10,6}, {16,7}, {15,8}} Dos conjuntos B e Bâ&#x20AC;&#x2122; temos os pares (28, 3) e (28, 2), cujas primeiras coordenadas sĂŁo iguais. Segue que r = 3 e q = 2. Podemos entĂŁo calcular đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17E; + đ?&#x2018;&#x; = 8.2 + 3 = 19 (mod 53).

II. ALGORITMO DE SILVER - POHLIG â&#x20AC;&#x201C; HELLMAN Em teoria dos nĂşmeros, o algoritmo de Pohlig-Hellman, Ă s vezes creditado como o algoritmo de Silver-Pohlig-Hellman, ĂŠ um algoritmo para calcular logaritmos discretos. O Prof. Rubens Vilhena

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algoritmo foi descoberto por Roland Silver, mas foi publicado primeiramente de forma independente em 1978 por Stephen C. Pohlig e Martin Edward Hellman.

Teorema 6.3.3.2 (Teorema de Euler): Se mdc (a, n) = 1, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x203A;) para algum divisor d de đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;).

Seja đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E;, onde mdc ( p,q) =1. Para resolvermos đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;&#x203A;) usando o Algoritmo de Pohlig-Hellman, fazemos đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x17D;0 + đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;?.

EntĂŁo đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17E; (mod đ?&#x2018;&#x203A;) đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;0 đ?&#x2018;&#x17E;+đ?&#x2018;&#x17D;1đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17E; (mod đ?&#x2018;&#x203A;) đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;0 đ?&#x2018;&#x17E; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;1đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17E; (mod đ?&#x2018;&#x203A;) (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17E; )đ?&#x2018;&#x17D;0 (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;1 )đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17E; (mod đ?&#x2018;&#x203A;) Pelo teorema de Euler (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;1 )đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;&#x203A;), logo: (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17E; )đ?&#x2018;&#x17D;0 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17E; (mod đ?&#x2018;&#x203A;) As congruĂŞncias đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17E; (mod đ?&#x2018;&#x203A;) e đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17E; (mod đ?&#x2018;&#x203A;) podem ser calculadas com algum tipo de procedimento, entĂŁo đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x17D;0 + đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;?, ou đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;0 (mod đ?&#x2018;?).

O modo ĂŠ semelhante para encontrar đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;?0 (mod đ?&#x2018;&#x17E;).

Por fim, usamos o Algortimo ChinĂŞs do resto para determinar o valor de x.

Exemplo 6.3.3.2: Resolva 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 9(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 11) ou đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;3 9 (mod 11).

Solução: Lembrando que đ?&#x153;&#x2018;(11) = 2đ?&#x2018;Ľ5. Assim, p = 2 e q = 5.

EntĂŁo, đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x17D;0 + đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x17D;0 + 2đ?&#x2018;&#x17D;1 .

(3đ?&#x2018;&#x17D;0 +2đ?&#x2018;&#x17D;1 )5 â&#x2030;Ą 95 (mod 11) 35đ?&#x2018;&#x17D;0+10đ?&#x2018;&#x17D;1 â&#x2030;Ą 95 (mod 11) (35 )đ?&#x2018;&#x17D;0 (3đ?&#x2018;&#x17D;1 )10 â&#x2030;Ą 95 (mod 11) Pelo teorema de Euler (3đ?&#x2018;&#x17D;1 )10 â&#x2030;Ą 1 (mod 11), logo: (35 )đ?&#x2018;&#x17D;0 â&#x2030;Ą 95 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 11) Sabendo que 35 â&#x2030;Ą 1(mod 11) e 95 â&#x2030;Ą 1(mod 11) 1đ?&#x2018;&#x17D;0 â&#x2030;Ą 1 (mod 11) Como đ?&#x2018;&#x17D;0 = 1. đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;ĄĂŁđ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;Ľ = 1 + 2đ?&#x2018;&#x17D;1 , ou đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1(mod 2).

A prĂłxima etapa serĂĄ đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;?0 + đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;&#x17E; = đ?&#x2018;?0 + 5đ?&#x2018;?1 .

(3đ?&#x2018;?0 +5đ?&#x2018;?1 )2 â&#x2030;Ą 92 (mod 11) Prof. Rubens Vilhena

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32đ?&#x2018;?0 +10đ?&#x2018;?1 â&#x2030;Ą 92 (mod 11) (32 )đ?&#x2018;?0 (3đ?&#x2018;?1 )10 â&#x2030;Ą 92 (mod 11) Pelo teorema de Euler (3đ?&#x2018;?1 )10 â&#x2030;Ą 1 (mod 11), logo: (32 )đ?&#x2018;?0 â&#x2030;Ą 92 (mod 11) Sabendo que 32 â&#x2030;Ą 9(mod 11) e 92 â&#x2030;Ą 92 (mod 11) 9đ?&#x2018;?0 â&#x2030;Ą 92 (mod 11) Como đ?&#x2018;?0 = 2. đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;ĄĂŁđ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;Ľ = 2 + 5đ?&#x2018;?1 , ou đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 2(mod 5).

Aplicando o Algoritmo ChinĂŞs do Resto para resolver o sistema đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1(mod 2). đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 2(mod 5).

Obtemos a solução đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 7(mod 10).

Assim, x = 7 ĂŠ a solução de 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 9(mod 11) ou đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;3 9 (mod 11).

Exemplo 6.3.3.3. Encontre đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;17 13 (mod 31).

Solução: Lembrando que đ?&#x153;&#x2018;(31) = 2đ?&#x2018;Ľ3đ?&#x2018;Ľ5. Como qualquer produto dois a dois sĂŁo relativamente pimos, vamos considerar p = 2 e q = 15.

EntĂŁo, đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x17D;0 + đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x17D;0 + 2đ?&#x2018;&#x17D;1 .

(17đ?&#x2018;&#x17D;0+2đ?&#x2018;&#x17D;1 )15 â&#x2030;Ą 1315 (mod 31) 1715đ?&#x2018;&#x17D;0+30đ?&#x2018;&#x17D;1 â&#x2030;Ą 1315 (mod 31) (1715 )đ?&#x2018;&#x17D;0 (17đ?&#x2018;&#x17D;1 )30 â&#x2030;Ą 1315 (mod 31) Pelo teorema de Euler (17đ?&#x2018;&#x17D;1 )30 â&#x2030;Ą 1 (mod 31), logo: (1715 )đ?&#x2018;&#x17D;0 â&#x2030;Ą 1315 (mod 31) Sabendo que 1715 â&#x2030;Ą 30(mod 31) e 1315 â&#x2030;Ą 30(mod 31) 30đ?&#x2018;&#x17D;0 â&#x2030;Ą 30 (mod 31) Como đ?&#x2018;&#x17D;0 = 1. đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;ĄĂŁđ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;Ľ = 1 + 2đ?&#x2018;&#x17D;1 , ou đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1(mod 2).

A prĂłxima etapa serĂĄ đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;?0 + đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;&#x17E; = đ?&#x2018;?0 + 15đ?&#x2018;?1 .

(17đ?&#x2018;?0 +15đ?&#x2018;?1 )2 â&#x2030;Ą 132 (mod 31) 172đ?&#x2018;?0 +30đ?&#x2018;?1 â&#x2030;Ą 132 (mod 31) (172 )đ?&#x2018;?0 (17đ?&#x2018;?1 )30 â&#x2030;Ą 132 (mod 31) Pelo teorema de Euler (17đ?&#x2018;?1 )30 â&#x2030;Ą 1 (mod 31), logo: (172 )đ?&#x2018;?0 â&#x2030;Ą 132 (mod 31) Sabendo que 172 â&#x2030;Ą 10 (mod 31) e 132 â&#x2030;Ą 14 (mod 31) Prof. Rubens Vilhena

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10đ?&#x2018;?0 â&#x2030;Ą 14 (mod 31) Como đ?&#x2018;?0 = 8. đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;ĄĂŁđ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;Ľ = 8 + 15đ?&#x2018;?1 , ou đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 8 (mod 15).

Aplicando o Algoritmo ChinĂŞs do Resto para resolver o sistema đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod 2) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 8 (mod 15) Obtemos a solução đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 23(mod 30).

Assim, x = 23 ĂŠ a solução de đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;17 13 (mod 31).

Exemplo 6.3.3.4. Resolva đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;7 26 (mod 41).

Solução: Uma vez que đ?&#x153;&#x2018;(41) = 8đ?&#x2018;Ľ5, p = 8 e q = 5.

EntĂŁo, đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x17D;0 + đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x17D;0 + 5đ?&#x2018;&#x17D;1 .

(7đ?&#x2018;&#x17D;0 +5đ?&#x2018;&#x17D;1 )8 â&#x2030;Ą 268 (mod 41) 78đ?&#x2018;&#x17D;0 +40đ?&#x2018;&#x17D;1 â&#x2030;Ą 268 (mod 41) (78 )đ?&#x2018;&#x17D;0 (7đ?&#x2018;&#x17D;1 )40 â&#x2030;Ą 268 (mod 41) 37đ?&#x2018;&#x17D;0 â&#x2030;Ą 18 (mod 41) Por tentativas temos đ?&#x2018;&#x17D;0 = 3. đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;ĄĂŁđ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;Ľ = 3 + 5đ?&#x2018;&#x17D;1 , ou đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 3(mod 5).

PoderĂ­amos resolver a prĂłxima etapa fazendo đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;?0 + đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;&#x17E; = đ?&#x2018;?0 + 8đ?&#x2018;?1 .

(7đ?&#x2018;?0 +8đ?&#x2018;?1 )5 â&#x2030;Ą 265 (mod 41) Uma vez que 5 e 8 sĂŁo relativamente primos. Mas, faremos uma abordagem diferente, considerando que đ?&#x153;&#x2018;(41) = 23 Ă&#x2014; 5.

Neste caso, vamos expressar x como đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;?0 + 2đ?&#x2018;?1 + 22 đ?&#x2018;?2 + 23 đ?&#x2018;?3 = đ?&#x2018;?0 + 2đ?&#x2018;?1 + 4đ?&#x2018;?2 + 8đ?&#x2018;?3 .

EntĂŁo, (7đ?&#x2018;?0 +2đ?&#x2018;?1 +4đ?&#x2018;?2 +8đ?&#x2018;?3 )5 â&#x2030;Ą 265 (mod 41) O segredo aqui ĂŠ conseguir expressĂľes do tipo (7đ?&#x2018;&#x2DC; )40 â&#x2030;Ą 1(mod 41), nos expoetes diferentes do primeiro termo đ?&#x2018;?0 . EntĂŁo vamos elevar a quarta potĂŞncia, ambos os lados da congruĂŞncia, (7đ?&#x2018;?0 +2đ?&#x2018;?1 +4đ?&#x2018;?2 +8đ?&#x2018;?3 )20 â&#x2030;Ą 2620 (mod 41) 720đ?&#x2018;?0+40đ?&#x2018;?1 +80đ?&#x2018;?2+160đ?&#x2018;?3 â&#x2030;Ą 2620 (mod 41) (720 )đ?&#x2018;?0 â&#x2030;Ą 2620 (mod 41) 40đ?&#x2018;?0 â&#x2030;Ą 40 (mod 41) Logo, đ?&#x2018;?0 = 1.

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Temos agora, (71+2đ?&#x2018;?1 +4đ?&#x2018;?2 +8đ?&#x2018;?3 )5 â&#x2030;Ą 265 (mod 41) Tendo sempre em mente o Teorema de Euler, vamos obter valores do tipo (7đ?&#x2018;&#x2DC; )40 â&#x2030;Ą 1 (mod 41), nos expoetes diferentes do segundo termo đ?&#x2018;?1 .

(71+2đ?&#x2018;?1 +4đ?&#x2018;?2 +8đ?&#x2018;?3 )10 â&#x2030;Ą 2610 (mod 41) 710+20đ?&#x2018;?1 +40đ?&#x2018;?2 +80đ?&#x2018;?3 â&#x2030;Ą 2610 (mod 41) 710 (720 )đ?&#x2018;?1 â&#x2030;Ą 2610 (mod 41) 9(40)đ?&#x2018;?1 â&#x2030;Ą 32 (mod 41) Por tentativas temos, đ?&#x2018;?1 = 1 Seja, (71+2+4đ?&#x2018;?2 +8đ?&#x2018;?3 )5 â&#x2030;Ą 265 (mod 41) Usando os mesmos procedimentos anteriores, obtemos 715+20đ?&#x2018;?2 +40đ?&#x2018;?3 â&#x2030;Ą 265 (mod 41) 715 (720 )đ?&#x2018;?2 â&#x2030;Ą 265 (mod 41) 14(40)đ?&#x2018;?2 â&#x2030;Ą 27 (mod 41) Por tentativas temos, đ?&#x2018;?2 = 1, đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;ĄĂŁđ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;Ľ = 1 + 2 + 4 + 8đ?&#x2018;&#x17D;3 , ou đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 7(mod 8).

Aplicando o Algoritmo ChinĂŞs do Resto para resolver o sistema đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 3(mod 5) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 7(mod 8) Obtemos, x = 23 como solução de đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;17 13 (mod 41).

Exemplo 6.3.3.5. Vamos determinar o logaritmo discreto de 12 na base 2 mĂłdulo 53, ou seja, đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;2 12 (mod 53).

Solução: Lembrando que đ?&#x153;&#x2018;(53) = 4đ?&#x2018;Ľ13. vamos considerar p = 4 e q = 13.

EntĂŁo, đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x17D;0 + đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x17D;0 + 4đ?&#x2018;&#x17D;1 .

(2đ?&#x2018;&#x17D;0 +4đ?&#x2018;&#x17D;1 )13 â&#x2030;Ą 1213 (mod 53) 213đ?&#x2018;&#x17D;0 +52đ?&#x2018;&#x17D;1 â&#x2030;Ą 1213 (mod 53) (213 )đ?&#x2018;&#x17D;0 (2đ?&#x2018;&#x17D;1 )52 â&#x2030;Ą 1213 (mod 53) Pelo teorema de Euler (2đ?&#x2018;&#x17D;1 )52 â&#x2030;Ą 1 (mod 53), logo: (213 )đ?&#x2018;&#x17D;0 â&#x2030;Ą 1213 (mod 53) Sabendo que 213 â&#x2030;Ą 30(mod 53) e 1213 â&#x2030;Ą 23(mod 53) 30đ?&#x2018;&#x17D;0 â&#x2030;Ą 23 (mod 53)

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Como đ?&#x2018;&#x17D;0 = 3. đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;ĄĂŁđ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;Ľ = 3 + 4đ?&#x2018;&#x17D;1 , ou đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 3(mod 4).

A prĂłxima etapa serĂĄ đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;?0 + đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;&#x17E; = đ?&#x2018;?0 + 13đ?&#x2018;?1 .

(2đ?&#x2018;?0 +13đ?&#x2018;?1 )4 â&#x2030;Ą 124 (mod 53) 24đ?&#x2018;?0 +52đ?&#x2018;?1 â&#x2030;Ą 124 (mod 53) (24 )đ?&#x2018;?0 (2đ?&#x2018;?1 )52 â&#x2030;Ą 124 (mod 53) Pelo teorema de Euler (2đ?&#x2018;?1 )52 â&#x2030;Ą 1 (mod 53), logo: (24 )đ?&#x2018;?0 â&#x2030;Ą 124 (mod 53) Sabendo que 24 â&#x2030;Ą 16(mod 53) e 124 â&#x2030;Ą 13(mod 53) 16đ?&#x2018;?0 â&#x2030;Ą 13 (mod 53) Como đ?&#x2018;?0 = 6. đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;ĄĂŁđ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;Ľ = 6 + 13đ?&#x2018;?1 , ou đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 6(mod 13).

Aplicando o Algoritmo ChinĂŞs do Resto para resolver o sistema đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 3(mod 4) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 6(mod 13) Assim, x = 19 ĂŠ a solução de đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;2 12 (mod 53).

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7. A LEI DE RECIPROCIDADE QUADRĂ TICA O TEOREMA DE OURO DA ARITMĂ&#x2030;TICA

A AritmĂŠtica ĂŠ a â&#x20AC;&#x153;Rainha da MatemĂĄtica", e a Lei da Reciprocidade QuadrĂĄtica ĂŠ uma das joias mais preciosas da sua coroa (BURTON, 2007)

Chegamos agora ao resultado mais importante em curso inicial de Teoria dos NĂşmeros: a Lei de Reciprocidade quadrĂĄtica, ou como Gauss a chamou, "O Teorema de ouro da AritmĂŠtica".

Geralmente num primeiro contato não Ê possível avaliar completamente o valor desse teorema de ouro. A descoberta da reciprocidade foi inevitåvel e sua prova atÊ hoje Ê motivo de comemoração na AritmÊtica.

O círculo de ideias em torno da reciprocidade quadråtica Ê tão rico que Ê difícil organiza-las em uma apresentação escrita ou em qualquer apresentação falada.

A história começa com o matemåtico "amador" francês Fermat no sÊculo 17. Fermat estava interessado em representar inteiros como a soma de dois quadrados. Ele ficou surpreso quando encontrou um critÊrio elegante quanto ao fato de um número primo pode ser escrita na forma x2+y2 e comunicou o seu resultado a outro matemåtico francês Mersenne, no dia de Natal de 1640. Vejamos alguns exemplo: 5 = 12 + 2; 13 = 22 + 32 ; 17 = 12 + 42 ; 29 = 22 + 52 .

Mas, que tipos de primos podem ser representados desse modo? Fermat apresentou o seguinte resultado.

Teorema 7.1 ( Fermat). Um primo p Ă­mpar pode ser escrito como đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ś 2 e somente se đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1(mod 4), isto ĂŠ, deixa resto 1 quando dividido por 4.

Mas, por que o "se e, somente se"? Isso estĂĄ longe de ser trivial. Em sua carta, Fermat afirmou que ele tinha uma "prova sĂłlida". Mas ninguĂŠm foi capaz de encontrar a prova entre seus trabalhos.

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Anos depois, Euler deu a primeira prova rigorosa, que consiste em dois passos: 1. Se đ?&#x2018;? | đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ś 2 com mdc (đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) = 1, entĂŁo đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ś 2 .

2. Se đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1(mod 4), entĂŁo, đ?&#x2018;? | đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ś 2 com mdc (đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) = 1.

Historicamente levou mais tempo para Euler descobrir a prova da segunda etapa. Do ponto de vista moderno, a observação fundamental Ê que ele tem a ver com o fato de -1 ser ou não um resíduo quadråtico módulo p.

7.1. ResĂ­duos QuadrĂĄticos e NĂŁo QuadrĂĄticos De maneira mais direta, podemos dizer que a Lei de Reciprocidade QuadrĂĄtica trata da solução de congruĂŞncias quadrĂĄticas, onde os resĂ­duos e os mĂłdulos sĂŁo nĂşmeros primos Ă­mpares. Tivemos um contato inicial com congruĂŞncias quadrĂĄticas quando usamos o Teorema de Wilson para demonstrar o Teorema 5.1.2 Para melhor elucidar, comecemos considerando a seguinte congruĂŞncia: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?)

(1)

onde p ĂŠ um primo Ă­mpar e đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;˘ 0 (mod đ?&#x2018;?); ou seja, đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) = 1. A hipĂłtese de que p ĂŠ um primo ´Ĺmpar implica que mdc(4a, p) = 1. EntĂŁo, a congruĂŞncia (1) ĂŠ equivalente a: 4đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?) â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?)

Usando a identidade 4đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?) = (2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?)2 â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;? 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?), a Ăşltima congruĂŞncia escrita pode ser expressa como (2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?)2 â&#x2030;Ą (đ?&#x2018;? 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?) (mod đ?&#x2018;?).

Fazendo agora đ?&#x2019;&#x2022; = đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x2019;&#x192; e đ?&#x161;Ť = đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2019;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201E; obtemos đ?&#x2018;Ą 2 â&#x2030;Ą Î&#x201D; (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?). (2) Se đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ľ0 (mod đ?&#x2018;?) ĂŠ uma solução de (1), entĂŁo đ?&#x2018;Ą â&#x2030;Ą 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ0 + đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;?) satisfaz a congruĂŞncia (2). Reciprocamente, se đ?&#x2018;Ą â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ś0 (mod đ?&#x2018;?)

ĂŠ

a solução de (2), então a

congruĂŞncia 2ax â&#x2030;Ą ty0 â&#x2C6;&#x2019; b (mod p) pode ser resolvida para obter uma solução de (1).

Exemplo 7.1.1: Resolver 6đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 ď&#x201A;ş 0 (mod 7) Temos đ?&#x2018;&#x17D; = 6, đ?&#x2018;? = 1 e đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x2019;1. Fazendo đ?&#x2018;Ą = 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;? = 12đ?&#x2018;Ľ + 1 â&#x2030;Ą 5đ?&#x2018;Ľ + 1 (mod 7) e Î&#x201D; = 25 â&#x2030;Ą 4 (mod 7). Temos: đ?&#x2018;Ą 2 â&#x2030;Ą 4 ( đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 7) Os valores que deixam resĂ­duo 4 mĂłdulo 7 sĂŁo đ?&#x2018;Ą = 2 e đ?&#x2018;Ą = 5. Logo, 5đ?&#x2018;Ľ + 1 â&#x2030;Ą 2 â&#x;ş 5đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 1 (mod 7) e 5đ?&#x2018;Ľ + 1 â&#x2030;Ą 5 â&#x;ş 5đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 4 (mod 7) Prof. Rubens Vilhena

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EntĂŁo, x â&#x2030;Ą 3 e x â&#x2030;Ą5 (mod 7) sĂŁo as soluçþes da equação quadrĂĄtica.

Como se pode observar, o maior esforço desenvolvido foi para obter um teste para a existĂŞncia da congruĂŞncia quadrĂĄtica đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;&#x161;), mdc (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;? ) = 1 Logo, o que queremos ĂŠ identificar os inteiros a que sĂŁo quadrados perfeitos mĂłdulo p.

A questĂŁo de resolver em â&#x201E;¤ uma congruĂŞncia quadrĂĄtica ĂŠ um problema de fĂĄcil enunciado, mas resolvĂŞ-lo exige tĂŠcnicas aritmĂŠticas sofisticadas. Tal problema ĂŠ sem dĂşvida um dos mais importantes da Teoria dos NĂşmeros e sua solução envolve conceitos e resultados que sĂŁo clĂĄssicos desta ĂĄrea, entre os quais se destaca de modo especial e Lei de Reciprocidade QuadrĂĄtica.

A Lei de Reciprocidade quadrĂĄtica ĂŠ dividida em trĂŞs partes como veremos neste capĂ­tulo. Ela responde a dois problemas centrais relacionados Ă Teoria dos ResĂ­duos QuadrĂĄticos, que sĂŁo: (1) Dado um primo p, quais inteiros sĂŁo resĂ­duos quadrĂĄticos de p e quais nĂŁo o sĂŁo.

(2) Dado um inteiro a, determinar os nĂşmeros primos p para os quais a ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico e aqueles tais que a nĂŁo ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico.

Veremos que, tanto o CritĂŠrio de Euler quanto o Lema de Gauss, respondem a primeira pergunta, embora nĂŁo sejam prĂĄticos para nĂşmeros primos muito grandes. A segunda e, certamente a mais complicada, depende da Lei de Reciprocidade QuadrĂĄtica de Gauss.

Seja p um primo Ă­mpar e a um inteiro relativamente primo com p. Concentraremos nossa atenção inicialmente na seguinte pergunta: Ă&#x2030; a um quadrado perfeito mĂłdulo p? Em outras palavras: a ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico mĂłdulo p? Começamos com uma definição.

Definição. Se p ĂŠ um primo Ă­mpar e đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;? (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) = 1, dizemos que um inteiro a ĂŠ um resĂ­duo (resto) quadrĂĄtico de p se a congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;?) tem solução. Se a congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;?) nĂŁo tem solução, dizemos que a ĂŠ um resĂ­duo nĂŁo quadrĂĄtico de p.

NĂŁo se deve esquecer que se đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? ( đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?), entĂŁo a ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico de p se, e somente se, b ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico de p. Assim, sĂł precisamos determinar o carĂĄter quadrĂĄtico dos inteiros positivos menores que p para determinar qualquer inteiro.

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Exemplo 7.1.2. 3 e 4 sĂŁo as soluçþes incongruentes da congruĂŞncia quadrĂĄtica đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 2 (mod 7). De modo que 2 ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico mĂłdulo 7. Veja a tabela.

Tabela 7.1.1 x

1

2

3

4

5

6

x2

1

4

2

2

4

1

Por outro lado, a congruĂŞncia quadrĂĄtica đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 3 (mod 5) nĂŁo tem solução, conforme pode ser ver pela tabela, segue-se que 3 ĂŠ um resĂ­duo nĂŁo quadrĂĄtico mĂłdulo 5.

Tabela 7.1.2 x

1

2

3

4

x2

1

4

4

1

Vamos mostrar que, se p ĂŠ um primo Ă­mpar, entĂŁo hĂĄ exatamente tantos resĂ­duos quadrĂĄticos como resĂ­duos nĂŁo quadrĂĄticos de p entre os nĂşmeros inteiros 1, 2, . . . , đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1.

Este fato ĂŠ garantido pelo seguinte Lema.

Lema 7.1.1. Seja p um primo Ă­mpar e a e p tal que mdc (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) = 1. EntĂŁo, a congruĂŞncia quadrĂĄtica đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;?) tem exatamente duas soluçþes incongruentes mĂłdulo p ou nĂŁo tem soluçþes.

Lema 7.1.2. A congruĂŞncia quadrĂĄtica đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?) admite sempre duas soluçþes, 1 e đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1, de modo que 1 ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico de qualquer primo Ă­mpar p.

Prova: Seja p um primo Ă­mpar e 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;¤ đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1 uma solução de đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?). EntĂŁo đ?&#x2018;? | (đ?&#x2018;&#x17D; + 1)(đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; 1), isto ĂŠ, đ?&#x2018;? | (đ?&#x2018;&#x17D; + 1) ou đ?&#x2018;? | (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; 1). Logo, đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?) ou đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1 (mod đ?&#x2018;?). Assim, 1 e đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1 sĂŁo as soluçþes de đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?).

Exemplo 7.1.3. Mostrar que 2 e 4 sĂŁo resĂ­duos quadrĂĄticos de 17.

Solução: As congruĂŞncias quadrĂĄticas đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 2 (mod 17) e

đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 4 (mod 17)

admitem solução: đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 6 e đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 11 (mod 17) sĂŁo as duas soluçþes da primeira congruĂŞncia e đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 2 e đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 15 (mod 17) sĂŁo as duas soluçþes da segunda congruĂŞncia. Logo, pela definição

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2 e 4 sĂŁo restos quadrĂĄticos de 17.

Tabela 7.1.3 x

1

2

3

4

5

x2

1

4

9 16 8

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16

2 15 13 13 15 2

8 16 9

4

1

Exemplo 7.1.4. Determinar os resĂ­duos quadrĂĄticos de 11.

Solução: Os 10 resĂ­duos nĂŁo nulos de 11 sĂŁo {1, 2, 3, . . . ,10}, de modo que deve-se considerar as 10 seguintes congruĂŞncias quadrĂĄticas com mĂłdulo 11: đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 1, đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 2 , đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 3 . . . , đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 10 e determinar aquelas que admitem solução.

Os quadrados dos resĂ­duos {1, 2, 3, . . . , 10} mĂłdulo 11, sĂŁo: 12 â&#x2030;Ą 102 â&#x2030;Ą 1, 22 â&#x2030;Ą 92 â&#x2030;Ą 4, 32 â&#x2030;Ą 82 â&#x2030;Ą 9, 42 â&#x2030;Ą 72 â&#x2030;Ą 5 e 52 â&#x2030;Ą 62 â&#x2030;Ą 3.

Portanto, os resĂ­duos quadrĂĄticos de 11 sĂŁo 1, 3, 4, 5 e 9, enquanto que os resĂ­duos nĂŁo quadrĂĄticos de 11 sĂŁo 2, 6, 7, 8 e 10.

Nota-se que bastava calcular os quadrados da primeira metade dos inteiros 1, 2, 3, ..., 10, mĂłdulo 11, visto que 12 â&#x2030;Ą (11 â&#x2C6;&#x2019; 1)2 , 22 â&#x2030;Ą (11 â&#x2C6;&#x2019; 2)2 , 32 â&#x2030;Ą (11 â&#x2C6;&#x2019; 3)2 , 42 â&#x2030;Ą (11 â&#x2C6;&#x2019; 4)2 e 52 â&#x2030;Ą (11 â&#x2C6;&#x2019; 5)2 Observa-se tambĂŠm que os inteiros {1, 2, 3, . . . , 10} estĂŁo igualmente repartidos entre resĂ­duos quadrĂĄticos e resĂ­duos nĂŁo quadrĂĄticos. Ver Tabela Tabela 7.1.4 x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x2

1

4

9

5

3

3

5

9

4

1

Estes fatos estĂŁo estabelecidos no teorema seguinte.

Teorema 7.1.1. Se p ĂŠ um primo Ă­mpar, entĂŁo hĂĄ exatamente đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 2

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 2

resĂ­duos quadrĂĄticos de p e

resĂ­duos nĂŁo quadrĂĄticos de p entre os nĂşmeros inteiros {1, 2, . . . , đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1}.

Exemplo 7.1.5. Determinar os resĂ­duos quadrĂĄticos de 13.

Os inteiros resĂ­duos de 13 sĂŁo {1, 2, 3, . . . , 12}, de modo que basta considerar as 6 primeiras congruĂŞncias quadrĂĄticas com mĂłdulo 13.

12 â&#x2030;Ą 1 , 22 â&#x2030;Ą 4 , 32 â&#x2030;Ą 9, 42 â&#x2030;Ą 3 , 52 â&#x2030;Ą 12 , 62 â&#x2030;Ą 10 e, 122 â&#x2030;Ą 1 , 112 â&#x2030;Ą 4 , 102 â&#x2030;Ą 9, 92 â&#x2030;Ą 3 , 82 â&#x2030;Ą 12 , 72 â&#x2030;Ą 10

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Portanto, os resĂ­duos quadrĂĄticos de 13 sĂŁo 1, 3, 4, 9, 10 e 12, enquanto que os resĂ­duos nĂŁo quadrĂĄticos de 13 sĂŁo 2, 5, 6, 7, 8 e 11. Novamente vemos que os 12 inteiros {1, 2, 3, . . . , 12} estĂŁo igualmente repartidos entre resĂ­duos quadrĂĄticos e resĂ­duos nĂŁo quadrĂĄticos.

Tabela 7.1.5 x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x2

1

4

9

3

12

10

10

12

3

9

4

1

Neste exemplo, existem dois pares de resĂ­duos quadrĂĄticos consecutivos , os pares 3, 4 e 9, 10. Pode-se demonstrar que , que para qualquer primo p, existem (đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1) 1 (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;1) 2 ) 4

pares consecutivos.

Euler desenvolveu um critĂŠrio simples para decidir se um inteiro a ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico de um dado primo p.

7. 2. CritĂŠrio de Euler Teorema 7.2.1 (CritĂŠrio de Euler). Seja a um inteiro e p um primo Ă­mpar tais que o mdc (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) = 1. Nestas condiçþes, o inteiro a ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico de p, se e somente se đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 2

â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?).

No caso em que ĂŠ a ĂŠ um resĂ­duo nĂŁo quadrĂĄtico de p, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 2

â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1 (mod đ?&#x2018;?).

Exemplo 7.2.1. Os resĂ­duos quadrĂĄticos de 7 sĂŁo 1, 2 e 4. Vejamos: 2

7â&#x2C6;&#x2019;1 2

= 23 â&#x2030;Ą 1, 4

7â&#x2C6;&#x2019;1 2

= 43 â&#x2030;Ą 1 (mod 7).

E os resĂ­duos nĂŁo quadrĂĄticos de 7 sĂŁo 3, 5 e 6: 3

7â&#x2C6;&#x2019;1 2

= 33 â&#x2030;Ą 6 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1, 5

7â&#x2C6;&#x2019;1 2

= 53 â&#x2030;Ą 6 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1, 6

7â&#x2C6;&#x2019;1 2

= 63 â&#x2030;Ą 6 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1

Tabela 7.2.1 x

1

2

3

4

5

6

x2

1

4

2

2

4

1

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Lema 7.2.1. Se a ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico de um primo Ă­mpar p, entĂŁo a nĂŁo ĂŠ uma raiz primitiva de p.

Prova: Se a ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico de um primo Ă­mpar p, entĂŁo pelo critĂŠrio de Euler temos que đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 2

â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?). Segue que a ordem de a mĂłdulo p ĂŠ menor que đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1 = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;?), assim

a nĂŁo pode ser uma raiz primitiva de p.

Ilustrando: ResĂ­duos quadrĂĄticos de 13: {1,3,4, 9,10, 12} Tabela 7.2.2: ResĂ­duos quadrĂĄticos de 13 x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

x2

1

4

9

3

12 10 10 12

3

9

4

1

Tabela 7.2.3: RaĂ­zes primitivas de 13:{2,6, 7, 11} a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

O13(a)

1

12

3

6

4

12

12

4

3

6

12

2

A equação đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;?)

CorolĂĄrio 7.2.1. đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 2

não tem solução se, e

â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1 (mod đ?&#x2018;?). Assim, a ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico se đ?&#x2018;&#x17D;

nĂŁo quadrĂĄtico se đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 2

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 2

somente se,

â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?) ou um resĂ­duo

â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1 (mod đ?&#x2018;?).

PRECIOSIDADES

1. Resolva as seguintes congruĂŞncias quadrĂĄticas: (a) đ?&#x2018;Ľ 2 + 7đ?&#x2018;Ľ + 10 â&#x2030;Ą 0 (mod 11). (b) 3đ?&#x2018;Ľ 2 + 9đ?&#x2018;Ľ + 7 â&#x2030;Ą 0 (mod 13). (c) 5đ?&#x2018;Ľ 2 + 6đ?&#x2018;Ľ + 1 â&#x2030;Ą 0 (mod 23).

2. Demonstrar que a congruĂŞncia quadrĂĄtica 6đ?&#x2018;Ľ 2 + 5đ?&#x2018;Ľ + 1 â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?) tem uma solução para todo primo p, mesmo que a equação 6đ?&#x2018;Ľ 2 + 5đ?&#x2018;Ľ + 1 = 0 nĂŁo tenha solução nos nĂşmeros inteiros.

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3. (a) Para um primo Ă­mpar p , provar que os resĂ­duos quadrĂĄticos de p sĂŁo congruentes modulo p com os inteiros 12 , 22 , 32 , â&#x20AC;Ś , (

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 2 ) 2

(b) Verifique se os resĂ­duos quadrĂĄticos de 17 sĂŁo 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16.

4. Mostre que 3 ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico de 23, mas um nĂŁo ĂŠ de 31.

5. Dado que a ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico de um primo Ă­mpar p, provar o seguinte: (a) a nĂŁo ĂŠ uma raiz primitiva de p. (b) O nĂşmero inteiro đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; ĂŠ ou nĂŁo ĂŠ resĂ­duo quadrĂĄtico de p de acordo com đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1 (mod 4) ou đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 3 (mod 4). (c) Se đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 3 (mod 4), entĂŁo đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą Âą đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;? + 1)/4 (mod đ?&#x2018;?) sĂŁo as soluçþes da congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;?).

6. Seja p um primo Ă­mpar e mdc (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) = 1. Prove que a congruĂŞncia quadrĂĄtica đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 0 (mod đ?&#x2018;?) possui solução se, e somente se, đ?&#x2018;? 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? for zero ou um resĂ­duo quadrĂĄtico de p.

7. Se đ?&#x2018;? = 2đ?&#x2018;&#x2DC; + 1 for primo, verifique se todo resĂ­duo nĂŁo quadrĂĄtica de p ĂŠ uma raiz primitiva de p. [Dica: aplique o critĂŠrio de Euler.]

8. Suponha que o inteiro r ĂŠ uma raiz primitiva do primo p, onde đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1 (mod 8). (a) Mostre que as soluçþes da congruĂŞncia quadrĂĄtica đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 2 (mod p) sĂŁo dadas por đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x201C; (đ?&#x2018;&#x; [Dica: primeiro verifique que đ?&#x2018;&#x;

3(đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1) 2

7(đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1) 8

+đ?&#x2018;&#x;

(đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1) 8 ) (mod

đ?&#x2018;?)

â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1(mod đ?&#x2018;?).]

(b) Use a parte (a) para encontrar todas as soluçþes das congruĂŞncias đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 2 (mod 17) e đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 2 (mod 41).

9. (a) Se đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x; (mod đ?&#x2018;?), onde r ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico do primo Ă­mpar p, provar que a e b sĂŁo ambos resĂ­duos quadrĂĄticos de p ou ambos nĂŁo sĂŁo. (b) Se a e b sĂŁo ambos resĂ­duos quadrĂĄticos do primo Ă­mpar p ou se ambos nĂŁo resĂ­duos de p, mostre que a congruĂŞncia đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;?) possui solução.

[Dica: multiplique a congruĂŞncia dada por um aâ&#x20AC;&#x2122;onde đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;&#x2122; â&#x2030;Ą 1 (mod đ?&#x2018;?).]

10. Seja p um primo Ă­mpar e mdc (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) = mdc (đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;?) = 1. Prove que ou as trĂŞs congruĂŞncias quadrĂĄticas đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;?).;

đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;?).;

đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;?).

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possuem solução ou exatamente uma delas admite solução.

11. (a) Sabendo que 2 ĂŠ uma raiz primitiva de 19, encontre todos os resĂ­duos quadrĂĄticos de 19. (b) Encontre os resĂ­duos quadrĂĄticos de 29 e 31.

12. Se đ?&#x2018;&#x203A; > 2 e mdc (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x203A;) = 1, entĂŁo a ĂŠ chamado de resĂ­duo quadrĂĄtico de n sempre que existe um inteiro x tal que đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;&#x203A;). Prove que se a ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico de đ?&#x2018;&#x203A; > 2, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) 2

â&#x2030;Ą 1(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;).

13. Mostre que o resultado do problema anterior nĂŁo fornece uma condição suficiente para a existĂŞncia de um resĂ­duo quadrĂĄtico de n; em outras palavras, encontre nĂşmeros inteiros relativamente primos a e n, com đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x203A;) 2

â&#x2030;Ą 1(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;), para os quais a congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą

đ?&#x2018;&#x17D; (mod đ?&#x2018;&#x203A;) nĂŁo possui solução.

O SĂ?MBOLO DE LEGENDRE O critĂŠrio de Euler nĂŁo ĂŠ um teste muito prĂĄtico para determinar se um inteiro ĂŠ ou nĂŁo um resĂ­duo quadrĂĄtico: os cĂĄlculos a serem feitos sĂŁo muito trabalhosos quando os mĂłdulos nĂŁo sĂŁo pequenos. PorĂŠm ĂŠ um critĂŠrio importante para fins teĂłricos. Um mĂŠtodo de cĂĄlculo mais eficaz estĂĄ estabelecido na Lei da Reciprocidade QuadrĂĄtica.

Uma forma de simplificar os esforços seguintes serĂĄ com o uso do sĂ­mbolo de Legendre. O matemĂĄtico francĂŞs Adrien Marie Legendre (1752 â&#x20AC;&#x201C; 1833) introduziu um sĂ­mbolo de grande utilidade na pesquisa do carĂĄter quadrĂĄtico de um inteiro a em relação a um primo Ă­mpar p.

Definição. Sejam a um inteiro e p um primo ímpar tais que o mdc (a, p) = 1. O símbolo de

ď&#x192;Śaď&#x192;ś ď&#x192;ˇ ĂŠ definido pelas condiçþes: ď&#x192;¨bď&#x192;¸

Legendre ď&#x192;§

đ?&#x2018;&#x17D; 1, đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; ĂŠ đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; Ă­đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;ĂĄđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;? ( )={ â&#x2C6;&#x2019;1, đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x203A;ĂŁđ?&#x2018;&#x153; ĂŠ đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; Ă­đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;ĂĄđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?

Por falta de melhor terminologia, vamos nos referia ao termo de cima a como đ?&#x2018;&#x17D;

numerador e ao termo p como denominador do sĂ­bolo ( ). đ?&#x2018;?

Outra notação padrão para o

sĂ­mbolo de Legendre ĂŠ (đ?&#x2018;&#x17D;â &#x201E;đ?&#x2018;?), ou (đ?&#x2018;&#x17D;|đ?&#x2018;?).

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Exemplo 7.3.1. Vejamos os primos đ?&#x2018;? = 11 e đ?&#x2018;? = 13 em particular. Usando o sĂ­mbolo de Legendre os resultados anteriores podem ser expressos como 1

3

4

5

9

11

11

11

11

11

a) ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = 1, porque 1, 3, 4, 5 e 9 sĂŁo resĂ­duos quadrĂĄticos de 11 2

5

6

7

8

11

13

13

13

13

13

13

b) ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = â&#x2C6;&#x2019;1 porque 2, 5, 6, 7, 8 e 11 sĂŁo resĂ­duos nĂŁo quadrĂĄticos de 13.

O prĂłximo teorema estabelece as propriedades do sĂ­mbolo de Legendre.

Teorema 7.3.1. Seja p um primo Ă­mpar e sejam a e b dois inteiros nĂŁo divisĂ­veis por p, isto ĂŠ, tais que o mdc (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) = mdc (đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;?) = 1. EntĂŁo, o sĂ­mbolo de Legendre possui as seguintes propriedades: đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?

(i)

Se đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (mod đ?&#x2018;?), entĂŁo ( ) = ( ).

(ii)

( ) = ( )( )

(iii)

( )=1

(iv)

( ) = 1 e ( ) = (â&#x2C6;&#x2019;1)

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;?

1

đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;?

( )â&#x2030;Ąđ?&#x2018;&#x17D;

(v)

đ?&#x2018;?

(đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1) 2

â&#x2C6;&#x2019;1

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 2

(mod đ?&#x2018;?)

Das partes (ii) e (iii) do Teorema 4, podemos deduzir a relação ađ?&#x2018;?2

(

(vi)

p

đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;?2

đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?

) = ( )( ) = ( )

Em outras palavras, um fator quadrado que ĂŠ relativamente primo com p, pode ser retirado do numerador sem afetar o valor do sĂ­mbolo de Legendre.

Exemplo 7.3.2. Calcular 19

a) ( ) 5

Como 19 â&#x2030;Ą 4 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1 (mod 5), por (iv): 19 1 (â&#x2C6;&#x2019; ) = (â&#x2C6;&#x2019;1)(5â&#x2C6;&#x2019;1)/2 = (â&#x2C6;&#x2019;1)2 = 1 5 5

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â&#x2C6;&#x2019;9

b) ( ). Aplicando (iii). (ii) e (iv): 13

(

â&#x2C6;&#x2019;9 32 (â&#x2C6;&#x2019;1) 32 1 )=[ ] = ( ) (â&#x2C6;&#x2019; ) = (â&#x2C6;&#x2019;1)(13â&#x2C6;&#x2019;1)/2 = (â&#x2C6;&#x2019;1)6 = 1 13 13 13 13

Como (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1)/2 ĂŠ para um primo p da forma 4đ?&#x2018;&#x2DC; + 1 e Ă­mpar para p da forma 4đ?&#x2018;&#x2DC; + 3, a equação (â&#x2C6;&#x2019;1/đ?&#x2018;?) = (â&#x2C6;&#x2019;1)(đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1)/2 no permite adicionar um corolĂĄrio suplementar ao Teorema 4 que diz respeito ao valor de (â&#x2C6;&#x2019;1/đ?&#x2018;?).

Esse corolĂĄrio ĂŠ considerado a primeira parte da Lei de Reciprocidade QuadrĂĄtica. De certa forma ja discutimos esse resultado quando apresentamos o Teorema de Wilson ( ver ....); apenas fornecemos aqui um caminho diferente.

7.3. LEI DE RECIPROCIDADE QUADRĂ TICA â&#x20AC;&#x201C; PARTE 1 â&#x20AC;˘ Quando -1 ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico de um primo p?

Para quais primos Ă­mpares que nĂŁo superam 20, -1 ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico? Veja a tabela.

Tabela 7.4.1 p đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?)

3

5

7

11

2e3

13

17

5e8

4 e 13

19

Vemos que -1 ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico de 5, 13 e 17.

No entanto, a congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 4(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?) nĂŁo tem nenhuma solução quando đ?&#x2018;? = 3, 7, 11, e 19. Essas observaçþes levaram os matemĂĄticos a conjecturar que â&#x2C6;&#x2019;1 ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico de um nĂşmero primo p se, e somente se, p for da forma 4đ?&#x2018;&#x203A; + 1, isto ĂŠ, đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1 (mod 4).

O critĂŠrio de Euler foi a ferramenta que auxiliou a provar que essa conjectura ĂŠ verdadeira.

CorolĂĄrio 7.4.1. Se p ĂŠ um primo Ă­mpar, entĂŁo (

â&#x2C6;&#x2019;1 1, )={ â&#x2C6;&#x2019;1, đ?&#x2018;&#x192;

đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1(mod 4) đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1 ( mod 4)

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Este corolĂĄrio pode ser entendido como a afirmação de que a congruĂŞncia quadrĂĄtica đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1(mod đ?&#x2018;?) tem uma solução para um primo Ă­mpar se, e somente se, p ĂŠ da forma 4đ?&#x2018;&#x2DC; + 1.

Exemplo 7.4.1. Verificando se a congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;46(mod 17) possui solução. Vamos â&#x2C6;&#x2019;46

avaliar o sĂ­mbolo de Legendre (

17

). Usando (ii) e (iii), temos: â&#x2C6;&#x2019;46

â&#x2C6;&#x2019;1

46

46

17

17

17

17

(

).= ( ). ( )=( ).

Como 46 â&#x2030;Ą 12 (mod 17), segue que, aplicando (vi) 46

12

3.22

17

17

17

( )=( )=(

3

)=( ) 17

Mas, ( Uma vez que (

(17â&#x2C6;&#x2019;1) 3 ) â&#x2030;Ą 3 2 â&#x2030;Ą 38 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1(mod 17) 17

â&#x2C6;&#x2019;46 17

) â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1, a congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;46(mod 17) nĂŁo tem solução.

A primeira parte da Lei de Reciprocidade Quadråtica ( Corolårio) conduz a uma aplicação sobre a distribuição dos números primos.

Teorema 7.4.1. Existem infinitos primos da forma 4đ?&#x2018;&#x2DC; + 1.

Demonstração.

Teorema 7.4.2. Se p ĂŠ um primo Ă­mpar, entĂŁo đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1

đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2018;( ) = 0 đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x203A;=1

Assim, hĂĄ exatamente

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 2

resĂ­duos quadrĂĄticos e

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 2

resĂ­duos nĂŁo quadrĂĄticos de p.

Demonstração.

A demonstração do Teorema 6 serve para trazer o seguinte ponto, descrito no corolårio abaixo.

CorolĂĄrio 7.4.2. Os resĂ­duos quadrĂĄticos de um primo Ă­mpar p sĂŁo congruentes mĂłdulo p Ă s potĂŞncias pares de uma raiz primitiva r de p; os resĂ­duos nĂŁo quadrĂĄticos, sĂŁo congruentes mĂłdulo p Ă s potĂŞncias Ă­mpares de r.

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Ilustrando: Vamos considerar o primo 13 e uma raiz primitiva 2. Na Tabela 1, temos as potĂŞncias da raiz primitiva mĂłdulo13.

Tabela 7.4.2 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 2

4

8

3

6 12 11 9

5

10

7

1

Observamos que as potĂŞncias pares da raiz primitiva de 13 sĂŁo os resĂ­duos quadrĂĄticos de 13. Veja a tabela 2 Tabela 7.4.3: đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; 13) 1 2 3 4

5

6

7

8

9 10

1 4 9 3 12

10

10

12 3

9

11

12

4

1

Obviamente, as potĂŞncias Ă­mpares de 2 sĂŁo os resĂ­duos nĂŁo quadrĂĄticos de 13.

O seguinte elegante resultado de Gauss fornece outro critÊrio para determinar se um inteiro a relativamente primo com o primo p Ê um resíduo quadråtico de p. A maioria das demonstraçþes da Lei da Reciprocidade Quadråtica se baseiam, em última anålise, neste resultado que Ê conhecido como Lema de Gauss. Embora este lema dê o caråter quadråtico de um número inteiro, ele Ê mais útil do ponto de vista teórico do que computacional.

Lema de Gauss. Seja um primo Ă­mpar p e mdc (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) = 1. Se n ĂŠ o nĂşmero de inteiros do conjunto đ?&#x2018;&#x2020; = {đ?&#x2018;&#x17D;, 2đ?&#x2018;&#x17D;, 3đ?&#x2018;&#x17D;, â&#x20AC;Ś , (

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 ) đ?&#x2018;&#x17D;} 2

đ?&#x2018;?

cujos restos da divisĂŁo por p ĂŠ maior do que , entĂŁo, 2

đ?&#x2018;&#x17D;

( ) = (â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x2018;&#x203A; . đ?&#x2018;?

Demonstração.

Ilustração 1. Seja o inteiro đ?&#x2018;&#x17D; = 5 e o primo đ?&#x2018;? = 17.

Neste caso, temos

(đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1) 2

= 8 e o conjunto: đ?&#x2018;&#x2020; = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40}

Portanto, os restos na divisĂŁo dos inteiros de S por đ?&#x2018;? = 17 sĂŁo: {5, 10, 15, 3, 8, 13, 1, 6}

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đ?&#x2018;?

17

2

2

e como n = 3 desses restos sĂŁo maiores que = (

= 8,5 segue-se que:

5 ) = (â&#x2C6;&#x2019;1)3 = â&#x2C6;&#x2019;1 17

isto ĂŠ, 5 ĂŠ um resĂ­duo nĂŁo quadrĂĄtico de 17. Significa que a congruĂŞncia quadrĂĄtica đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 5 (mod 17) nĂŁo tem solução.

5

Ilustração 2. Seja đ?&#x2018;&#x17D; = 5 e đ?&#x2018;? = 11. Para determinar ( ), isto ĂŠ, se 5 ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico 11

mĂłdulo 11. Pelo lema de Gauss, calculamos os restos mĂłdulo 11 de {5, 10, 15, 20, 25}, que sĂŁo 5, 10, 4, 9 e 3 respectivamente. Como đ?&#x2018;&#x203A; = 2 desses resĂ­duos sĂŁo maiores que 11/2, o 5

lema de Gauss diz que ( ) = (â&#x2C6;&#x2019;1)2 = 1. O que mostra que 5 ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico 11

mĂłdulo 11, isto ĂŠ, 42 â&#x2030;Ą 5 (mod 11).

O Lema de Gauss nos permite chegar a uma variedade de resultados interessantes. Por um lado ele fornece um meio

para determinar quais primos tĂŞm 2 como um resĂ­duo

quadrĂĄtico. Essa ĂŠ a segunda parte da Lei de Reciprocidade quadrĂĄtica.

7.4. LEI DE RECIPROCIDADE QUADRĂ TICA â&#x20AC;&#x201C; PARTE 2 â&#x20AC;˘

Quando 2 ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico de um primo p?

Pela tabela 7.5.1 vemos que 2 ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico de 7, 17, 23, 31, 41 e 47. No

entanto, đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 2 (mod đ?&#x2018;?) nĂŁo tem nenhuma solução quando p = 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, e 43.

Tabela 7.5.1 p đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 2 (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?)

3 5

7

11 13

3, 4

17

19 23 29

31

6, 11

5,18

8, 23

37

41 17, 24

43

47 7, 40

Existe um padrĂŁo para os primos p para que 2 seja um resĂ­duo quadrĂĄtico mĂłdulo p?

Examinando essa questĂŁo foi conjecturado que 2 seria um resĂ­duo quadrĂĄtico de um nĂşmero primo Ă­mpar p se, e somente, se đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą Âą 1 (mod 8). Novamente o Lema de Gauss, prova que essa conjectura ĂŠ verdadeira.

Teorema 7.5.1. Se p ĂŠ um primo Ă­mpar, entĂŁo 2 1 se đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą Âą1 (mod 8) ( )={ â&#x2C6;&#x2019;1 se đ?&#x2018;? Âą 3 (mod 8) đ?&#x2018;?

Demonstração.

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CorolĂĄrio 7.5.1. Se p ĂŠ um primo Ă­mpar, entĂŁo (đ?&#x2018;?2 â&#x2C6;&#x2019;1) 2 8 (â&#x2C6;&#x2019;1) ( )= p

Este ĂŠ um momento adequado para um novo olhar sobre as raĂ­zes primitivas. Como jĂĄ foi visto, nĂŁo existe uma tĂŠcnica geral para a obtenção de uma raiz primitiva de um primo Ă­mpar p; o prĂłximo teorema pode ser Ăştil para esse fim. (pâ&#x2C6;&#x2019;1) 2

Teorema 7.5.2. Se p e 2đ?&#x2018;? + 1 sĂŁo ambos primos Ă­mpares, entĂŁo o inteiro (â&#x2C6;&#x2019;1)

â&#x2039;&#x2026; 2 ĂŠ uma

raiz primitiva de 2đ?&#x2018;? + 1.

Demonstração.

Vejamos alguns primos do tipo (đ?&#x2018;?, 2đ?&#x2018;? + 1): (3, 7), (11, 23), (29,59), (23,47), (53,107), (89, 179), (83, 167). O Teorema 7.5.2 indica, por exemplo que os nĂşmeros primos 11, 59, 107 e 179 tĂŞm 2 como uma raiz primitiva. Da mesma foram, o nĂşmero -2 ĂŠ uma raiz primitiva para 7, 23, 47 e 167.

HĂĄ outro resultado do mesmo tipo: se os primos p e 4đ?&#x2018;? + 1 sĂŁo primos, entĂŁo 2 ĂŠ uma raiz primitiva. Logo, podemos acrescentar os primos 13, 29, 53 e 173 Ă lista de primos que tem 2 como raiz como raiz primitiva. Temos os primos (đ?&#x2018;?, 4đ?&#x2018;? + 1) = (3,13), (7,29), (13, 59), (43, 173).

HĂĄ uma prova interessante da infinitude de nĂşmeros primos da forma 8đ?&#x2018;&#x2DC; + 1 que se baseia no Teorema 7.5.1.

Teorema 7.5.3. Existem infinitos nĂşmeros primos da forma 8đ?&#x2018;&#x2DC; + 1.

O próximo Lema, nos permite efetuar a passagem do Lema de Gauss para a terceira e última parte da Lei de Reciprocidade Quadråtica, conhecida como Reciprocidade Quadråtica de Gauss. Esse lema Ê devido a Eisenstein e permite reduzir a prova da Reciprocidade Quadråtica de Gauss a contagem de pontos no interior de um triângulo. Pode-se perceber que o Lema de Eisenstein Ê uma reformulação do Lema de Gauss.

Lema de Eisenstein. Se p ĂŠ um primo Ă­mpar e a ĂŠ um inteiro Ă­mpar, com mdc (a, p ) = 1, entĂŁo a ( ) = (â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x153;&#x2021;(đ?&#x2018;&#x17D;,đ?&#x2018;?) p onde

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pâ&#x2C6;&#x2019;1 2

đ?&#x153;&#x2021;(đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) = â&#x2C6;&#x2018; â&#x152;&#x160; đ?&#x2018;&#x2DC;=1

ka â&#x152;&#x2039; p ka

Ilustrando. Seja p = 13 e a = 5. Como (p-1)/2 = 6, ĂŠ necessĂĄrio calcular â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039; para k = 1, 2, ..., p

6: 5 10 â&#x152;&#x2039;=â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039;=0 13 13 15 20 25 â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039;=â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039;=â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039;=1 13 13 13 30 â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039;=2 13 â&#x152;&#x160;

Pelo Lema, temos â&#x152;&#x160;

5 â&#x152;&#x2039; = (â&#x2C6;&#x2019;1)1+1+1+2 = â&#x2C6;&#x2019;1 13

Confirmando o que jĂĄ foi visto.

Apesar do Lema de Eisenstein ser principalmente uma ferramenta para auxiliar na prova da Reciprocidade QuadrĂĄtica de Gauss, ele tambĂŠm pode ser usado para calcular o sĂ­mbolo de Legendre.

7

Exemplo 7.5.1. Para encontrar ( ) usando o lema de Eisenstein, escrevemos a soma 11

5

â&#x2C6;&#x2018;â&#x152;&#x160; đ?&#x2018;&#x2DC;=1

7k 7 14 21 28 35 â&#x152;&#x2039;=â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039;+â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039;+â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039;+â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039;+â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039;=0+1+1+2+3=7 11 11 11 11 11 11

7

EntĂŁo, ( ) = (â&#x2C6;&#x2019;1)7 = â&#x2C6;&#x2019;1.

11

11

Do mesmo modo, para encontrar ( ), observe que 7

3

â&#x2C6;&#x2018;â&#x152;&#x160; đ?&#x2018;&#x2DC;=1

11k 11 22 33 â&#x152;&#x2039;=â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039;+â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039;+â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039;=1+3+4=8 7 7 7 7

11

Logo, ( ) = (â&#x2C6;&#x2019;1)8 = 1.

7

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PRECIOSIDADES

1. Encontre os valores dos seguintes sĂ­mbolos Legendre: (a) (19/23). (b) (â&#x2C6;&#x2019;23/59). (c) (20/31). (d) (18/43). (e) (â&#x2C6;&#x2019;72/131).

2. Use o lema de Gauss para calcular cada um dos sĂ­mbolos de Legendre abaixo (isto ĂŠ, em cada caso obtenha o inteiro n para o qual (đ?&#x2018;&#x17D;/đ?&#x2018;?) = (â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x2018;&#x203A; : (a) (8/11). (b) (7/13). (c) (5/19). (d) (11/23). (e) (6/31).

3. Para um primo Ă­mpar p, provar que existem

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 2

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1) resĂ­duos nĂŁo quadrĂĄticos de p

que nĂŁo sĂŁo raĂ­zes primitivas de p.

4. (a) Seja p um primo Ă­mpar. Mostre que a equação de Diophantina đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;&#x17D; = 0, mdc(đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) = 1 tem uma solução inteira se, e somente se, (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;/đ?&#x2018;?) = 1. (b) Determine se đ?&#x2018;Ľ 2 + 7đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 2 = 0 tem uma solução nos inteiros.

5. Prove que 2 nĂŁo ĂŠ uma raiz primitiva de qualquer primo da forma đ?&#x2018;? = 3 ¡ 2đ?&#x2018;&#x203A; + 1, exceto quando p = 13.

6. (a) Se p ĂŠ um primo Ă­mpar e mdc (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;?) = 1, provar que pelo menos um entre a, b ou ab ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico de p. (b) Dado um primo p, mostre que, para alguma escolha de đ?&#x2018;&#x203A; > 0, p divide (đ?&#x2018;&#x203A;2 â&#x2C6;&#x2019; 2)(đ?&#x2018;&#x203A;2 â&#x2C6;&#x2019; 3)(đ?&#x2018;&#x203A;2 â&#x2C6;&#x2019; 6)

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7. Se p ĂŠ um primo Ă­mpar, mostre que đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;2

â&#x2C6;&#x2018;( đ?&#x2018;&#x17D;=1

đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;&#x17D; + 1) ) = â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;?

8. Prove as declaraçþes abaixo: (a) Se p e đ?&#x2018;&#x17E; = 2đ?&#x2018;? + 1 sĂŁo primos Ă­mpares, entĂŁo -4 ĂŠ uma raiz primitiva de q. (b) Se đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1 (mod 4) ĂŠ um primo, entĂŁo â&#x2C6;&#x2019;4 e (đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1)/4 sĂŁo resĂ­duos quadrĂĄticos de p.

9. Para um primo đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 7 (mod 8), mostre que đ?&#x2018;? | 2(đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1)/2 â&#x2C6;&#x2019; 1.

10. Use o Problema 9 para confirmar que os nĂşmeros 2n-1 sĂŁo compostos para n = 11, 23, 83, 131, 179, 183,239,251.

11. Dado que p e đ?&#x2018;&#x17E; = 4 đ?&#x2018;? + 1 sĂŁo primos, provar o seguinte: (a) Qualquer resĂ­duo nĂŁo quadrĂĄtico de q ou ĂŠ uma raiz primitiva de q ou tem ordem 4 modulo q. (b) O inteiro 2 ĂŠ uma raiz primitiva de q; Em particular, 2 ĂŠ uma raiz primitiva dos primos 13, 29, 53 e 173.

12. Se r ĂŠ uma raiz primitiva do primo Ă­mpar p, provar que o produto dos resĂ­duos quadrĂĄticos de p ĂŠ congruente mĂłdulo p a đ?&#x2018;&#x; mĂłdulo p a đ?&#x2018;&#x;

(đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1)2 4

đ?&#x2018;?2 â&#x2C6;&#x2019;1 4

e o produto de resĂ­duos nĂŁo quadrĂĄticos de p ĂŠ congruente

.

13. Prove que o produto dos resĂ­duos quadrĂĄticos do primo Ă­mpar p ĂŠ congruente mĂłdulo p a 1 ou - 1 de acordo com đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 3 (mod 4) ou đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1 (mod 4).

14. (a) Se đ?&#x2018;? > 3 ĂŠ primo, mostre que p divide a soma de seus resĂ­duos quadrĂĄticos. (b) Se đ?&#x2018;? > 5 ĂŠ primo, mostre que p divide a soma dos quadrados de seus resĂ­duos nĂŁo quadrĂĄticos.

15. Demonstrar que, para qualquer primo p > 5, existem nĂşmeros inteiros đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ľ 1, đ?&#x2018;? â&#x2030;¤ đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1 para os quais a

a+1

p

p

( )=(

)=1

b

b+1

p

p

e ( )=(

) = â&#x2C6;&#x2019;1

isto ĂŠ, hĂĄ resĂ­duos quadrĂĄticos consecutivos de p e resĂ­duos nĂŁo quadrĂĄticos consecutivos.

16. (a) Seja p um primo Ă­mpar e mdc (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) = mdc (đ?&#x2018;&#x2DC;, đ?&#x2018;?) = 1. Mostre que se a equação đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ś 2 = đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;? admite solução, entĂŁo (đ?&#x2018;&#x17D;/đ?&#x2018;?) = 1; por exemplo, (2/7) = 1, porque 62 â&#x2C6;&#x2019; 2. 22 = 4.7. (b) Considerando a equação đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 5đ?&#x2018;Ś 2 = 7, demonstre que a recĂ­proca do resultado do item (a) nĂŁo ĂŠ necessariamente verdadeira.

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(c) Mostre que, para um primo đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą Âą 3 (mod 8), a equação đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ś 2 = đ?&#x2018;? nĂŁo possui solução.

17. Demonstrar que os divisores primos Ă­mpares p dos inteiros 9đ?&#x2018;&#x203A; + 1 sĂŁo da forma đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1 (mod 4).

18. Para um primo đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1 (mod 4), verifique se a soma dos resĂ­duos quadrĂĄticos de p ĂŠ igual a

đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1)/4.

7.5. A Reciprocidade QuadrĂĄtica de Gauss

Sejam p e q sĂŁo nĂşmeros primos distintos Ă­mpares, de modo que ambos os sĂ­mbolos đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x17E;

đ?&#x2018;&#x17E;

đ?&#x2018;?

de Legendre ( ) â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;? (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x17E;) e ( ) â&#x2021;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17E; (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?)

estejam definidos. Um

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x17E;

đ?&#x2018;&#x17E;

đ?&#x2018;?

questionamento natural ĂŠ se ĂŠ possĂ­vel obter o valor ( ) sendo conhecido o valor de ( ). Ou de forma mais geral: Existe alguma conexĂŁo entre os valores desses dois sĂ­mbolos?

Euler conjecturou a relação de forma experimental em 1783 e, Legendre deu uma prova incompleta em 1785. Usando o seu sĂ­mbolo, Legendre enunciou esta relação de forma elegante, que desde entĂŁo se tornou conhecida como a Lei de Reciprocidade QuadrĂĄtica: đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x17E;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17E; ( ) ( ) = (â&#x2C6;&#x2019;1) 2 . 2 đ?&#x2018;&#x17E; đ?&#x2018;?

Legendre cometeu uma falha ao assumir um resultado tĂŁo difĂ­cil de provar quanto a lei em si, a saber, que para qualquer primo p â&#x2030;Ą 1 (mod 8), existe outro primo qâ&#x2030;Ą 3 (mod 4) para o qual p ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico. Destemido, ele tentou outra prova em seu Essai sur theorie des Nombres (1798); esta tambĂŠm continha uma lacuna, porque Legendre tinha como certo que hĂĄ um nĂşmero infinito de primos em certas progressĂľes aritmĂŠticas (um fato que foi provado por Dirichlet em 1837, usando no processo argumentos muito sutis da teoria das variĂĄveis complexas).

Aos 18 anos, Gauss (em 1795), aparentemente inconsciente dos trabalhos de Euler ou Legendre, redescobriu essa lei de reciprocidade e, apĂłs o trabalho incessante de um ano, obteve a primeira prova completa. "Ela me torturou", diz Gauss, "durante todo o ano e Prof. Rubens Vilhena

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escapou dos meus esforços mais årduos atÊ, finalmente, eu obter a prova explicada na quarta seção do Disquisitiones Arithmeticae". No Disquisitiones Arithmeticae - que foi publicada em 1801, apesar de terminado em 1798 - Gauss atribuiu a si mesmo a descoberta da Lei Quadråtica de Reciprocidade, considerando que um teorema pertence àquele que då a primeira demonstração rigorosa. Indignado, Legendre foi levado a reclamar: "Essa impudência excessiva Ê inacreditåvel em um homem que tem mÊrito pessoal suficiente para não ter a necessidade de se apropriar das descobertas dos outros". Gauss publicou cinco demonstraçþes diferentes do que ele chamou de "a jóia da aritmÊtica superior", e outra foi encontrado entre seus papÊis. A versão apresentada abaixo, uma variante dos argumentos de Gauss, Ê devida ao seu aluno, Ferdinand Eisenstein (1823-1852). A prova Ê desafiadora (e talvez não seja razoåvel esperar uma prova fåcil), mas a ideia subjacente Ê bastante simples. .

Teorema 7.6.1 (Reciprocidade QuadrĂĄtica de Gauss). Se p e q sĂŁo primos Ă­mpares distintos, entĂŁo đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x17E;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17E; ( ) ( ) = (â&#x2C6;&#x2019;1) 2 . 2 đ?&#x2018;&#x17E; đ?&#x2018;?

Iremos dar um exemplo para ilustrar o mĂŠtodo de prova de Eisenstein.

Sejam os nĂşmeros primos p = 7 e q = 11. Consideramos os pontos com coordenadas inteiras (x, y) com 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤

7â&#x2C6;&#x2019;1 2

=3e1â&#x2030;¤đ?&#x2018;Śâ&#x2030;¤

11â&#x2C6;&#x2019;1 2

= 5. Existem 15 desses pontos. Observe

que nenhum desses pares satisfaz a equação da reta 11đ?&#x2018;Ľ = 7đ?&#x2018;Ś, porque essa igualdade implica que 11 divide 7y, logo 11 divide 7 ou 11 divide y. Claramente 11 nĂŁo divide 7. E tambĂŠm 11 nĂŁo divide y, pois â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ś â&#x2030;¤ 5. Logo, nenhum dos 15 pontos estĂĄ sobre a reta đ?&#x2018;Ś =

11 7

đ?&#x2018;Ľ.

Dividimos esses 15 pontos em dois grupos, dependendo daqueles que estĂŁo acima e abaixo da reta đ?&#x2018;Ś =

11 7

đ?&#x2018;Ľ, como mostrado na Figura 7.6.1.

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7

11

11

7

Figura 7.6.1: Contando pontos interiores para determinar ( ) ( )

Os pontos de coordenadas inteiras (x, y) com 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ 3, 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ś â&#x2030;¤ 5 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ś < precisamente aqueles pontos que satisfazem 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ 3 đ?&#x2018;&#x2019; 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ś â&#x2030;¤ 11đ?&#x2018;Ľ

x com 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ 3, existem â&#x152;&#x160;

7

11đ?&#x2018;Ľ 7

11 7

đ?&#x2018;Ľ sĂŁo

. Para um inteiro fixo

â&#x152;&#x2039; valores permitidos de y. Assim, o nĂşmero total de pares que

satisfazem 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ 3, 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ś â&#x2030;¤ 5 đ?&#x2018;&#x2019; 7đ?&#x2018;Ś < 11đ?&#x2018;Ľ ĂŠ 3

â&#x2C6;&#x2018;â&#x152;&#x160; đ?&#x2018;&#x2DC;=1

11đ?&#x2018;&#x2DC; 11 22 33 â&#x152;&#x2039; = â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039; + â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039; + â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039; = 1 + 3 + 4 = 8; 7 7 7 7

esses oito pares sĂŁo (1, 1), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3) e (3, 4).

Os pontos de coordenadas inteiras (x, y) com 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ 3, 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ś â&#x2030;¤ 5 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ś > precisamente aqueles pontos que satisfazem 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤

7đ?&#x2018;Ś 11

11 7

đ?&#x2018;Ľ sĂŁo

đ?&#x2018;&#x2019; 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ś â&#x2030;¤ 5 . Para um inteiro fixo

7đ?&#x2018;Ś

y com 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ś â&#x2030;¤ 5, existem â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039; valores permitidos de x. Assim, o nĂşmero total de pares que 11

satisfazem 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ 3, 1 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ś â&#x2030;¤ 5 đ?&#x2018;&#x2019; 11đ?&#x2018;Ľ < 7đ?&#x2018;Ś ĂŠ 5

â&#x2C6;&#x2018;â&#x152;&#x160; đ?&#x2018;&#x2DC;=1

7đ?&#x2018;&#x2DC; 7 14 21 28 35 â&#x152;&#x2039; = â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039; + â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039; + â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039; + â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039; + â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039; = 0 + 1 + 1 + 2 + 3 = 7; 11 11 11 11 11 11

esses sete pares sĂŁo (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5) e (3, 5).

Consequentemente, podemos ver que 3

5

đ?&#x2018;&#x2DC;=1

đ?&#x2018;&#x2DC;=1

(11 â&#x2C6;&#x2019; 1) (7 â&#x2C6;&#x2019; 1) 11đ?&#x2018;&#x2DC; 7đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2039;&#x2026; = 5â&#x2039;&#x2026;3 = â&#x2C6;&#x2018;â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039;+ â&#x2C6;&#x2018;â&#x152;&#x160; â&#x152;&#x2039; = 8+7 2 2 7 11

EntĂŁo,

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(â&#x2C6;&#x2019;1)

(11â&#x2C6;&#x2019;1) (7â&#x2C6;&#x2019;1) â&#x2039;&#x2026; 2 2

= (â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x153;&#x2021;(11,7)+đ?&#x153;&#x2021;(7,11)

= (â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x153;&#x2021;(11,7) â&#x2039;&#x2026; (â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x153;&#x2021;(7,11) Como o Lema de Eisenstein, diz que (

11 7 ) = (â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x153;&#x2021;(11,7) đ?&#x2018;&#x2019; ( ) = (â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x153;&#x2021;(7,11) 7 11

vemos que (

(11â&#x2C6;&#x2019;1) (7â&#x2C6;&#x2019;1) 7 11 ) ( ) = (â&#x2C6;&#x2019;1) 2 â&#x2039;&#x2026; 2 11 7

Estabelecemos um caso particular da Reciprocidade QuadrĂĄtica de Gauss para os primos đ?&#x2018;? = 7 e đ?&#x2018;&#x17E; = 11.

A Reciprocidade QuadrĂĄtica de Gauss gera importantes consequĂŞncias e pode ser usada para avaliar o sĂ­mbolo de Legendre.

CorolĂĄrio 7.6.1 . Se p e q sĂŁo primos Ă­mpares distintos, entĂŁo đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17E; 1, se đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1(mod 4)ou se đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2030;Ą 1(mod 4) ( )( ) = { â&#x2C6;&#x2019;1, se đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2030;Ą 3 ( mod 4) đ?&#x2018;&#x17E; đ?&#x2018;?

Demonstração.

Multiplicando cada lado da equação da Reciprocidade QuadrĂĄtica de Gauss por (q/p) e utilizando o fato de que (đ?&#x2018;&#x17E;/đ?&#x2018;?)2 = 1, podemos tambĂŠm formular isso como CorolĂĄrio 2 CorolĂĄrio 7.6.2. Se p e q sĂŁo primos Ă­mpares distintos, entĂŁo đ?&#x2018;&#x17E; ( ) , se đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1 (mod 4) ou se đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2030;Ą 1(mod 4) đ?&#x2018;? đ?&#x2018;? ( )={ đ?&#x2018;&#x17E; đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; ( ) , se đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2030;Ą 3 ( mod 4) đ?&#x2018;?

Vamos ver o que essa Ăşltima sĂŠrie de resultados realiza. Tome p um primo Ă­mpar e đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030; â&#x2C6;&#x201C;1 um inteiro nĂŁo divisĂ­vel por p. Suponha ainda que a tenha a fatoração đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x17D; = Âą2đ?&#x2018;&#x2DC;0 đ?&#x2018;?1 1 đ?&#x2018;?2 2 â&#x20AC;Ś đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x; onde os pi sĂŁo primos Ă­mpares distintos. Como o sĂ­mbolo Legendre ĂŠ multiplicativo, đ?&#x2018;&#x17D; 1 2 đ?&#x2018;&#x2DC;0 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2DC;1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x; ( ) = (Âą ) ( ) ( ) â&#x20AC;Ś ( ) đ?&#x2018;? đ?&#x2018;? đ?&#x2018;? đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?

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Para avaliar (đ?&#x2018;&#x17D;/đ?&#x2018;?), temos apenas que calcular cada um dos sĂ­mbolos (â&#x2C6;&#x2019;1/đ?&#x2018;?), (2/đ?&#x2018;?), e (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; /đ?&#x2018;?). Os valores de (â&#x2C6;&#x2019;1/đ?&#x2018;?) e (2/đ?&#x2018;?) foram discutidos anteriormente, de modo que o Ăşnico obstĂĄculo ĂŠ (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; /đ?&#x2018;?), onde pi e p sĂŁo primos Ă­mpares distintos; ĂŠ aĂ­ que a Reciprocidade QuadrĂĄtica de Gauss entra. Pois pelo CorolĂĄrio 2, podemos substituir (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; /đ?&#x2018;?) por um novo sĂ­mbolo Legendre com um menor denominador. AtravĂŠs da inversĂŁo e divisĂŁo contĂ­nuas, o cĂĄlculo pode ser reduzido para as quantidades conhecidas (â&#x2C6;&#x2019;1/đ?&#x2018;&#x17E;)

(1/đ?&#x2018;&#x17E;)

(2/đ?&#x2018;&#x17E;)

Isso ĂŠ muito teĂłrico, entĂŁo, vejamos um exemplo concreto.

Concretizando. Considere o sĂ­mbolo Legendre (29/53). Como 29 â&#x2030;Ą 1 (mod 4) e 53 â&#x2030;Ą 1 (mod 4), vemos que (29/53) = (53/29) = (24/29) = (2/29) (3/29) (4/29) = (2/29) (3/29) De acordo com o Teorema 9.6, (2/29) = â&#x2C6;&#x2019;1, e ao inverter novamente, (3/29) = (29/3) = (2/3) = â&#x2C6;&#x2019;1 onde usamos a congruĂŞncia 29 â&#x2030;Ą 2 (mod 3). O efeito lĂ­quido ĂŠ esse (29/53) = (2/29) (3/29) = (â&#x2C6;&#x2019;1) (â&#x2C6;&#x2019; 1) = 1 A Reciprocidade QuadrĂĄtica de Gauss fornece uma resposta muito satisfatĂłria ao problema de encontrar primos Ă­mpares đ?&#x2018;? â&#x2030; 3 para o qual 3 ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico. Porque 3 â&#x2030;Ą 3 (mod 4), o CorolĂĄrio 2 do Teorema 9.9 implica que đ?&#x2018;? ( ) đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1 (mod 4) 3 ( ) = { 3đ?&#x2018;? đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; ( ) đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 3 (mod 4) 3 Agora đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1 (mod 3) ou đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 2 (mod 3). Pelos teoremas 7.3.1 e 7.5.1, đ?&#x2018;?

1 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1 (mod 3) ( )={ â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 2 (mod 3) 3 cuja implicação ĂŠ essa (3/đ?&#x2018;?) = 1 se, e somente se, đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1 (mod 4) e đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1 (mod 3)

(1)

ou đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 3 (mod 4) e đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 2 (mod 3)

(2)

As restriçþes nas congruĂŞncias da Eq. (1) sĂŁo equivalentes a exigir que đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1 (mod 12), enquanto essas congruĂŞncias na Eq. (2) sĂŁo equivalentes a đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 11 â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;1(mod 12). O resultado de tudo isso ĂŠ Teorema 7.6.1.

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Teorema 7.6.2. Seja đ?&#x2018;? > 3 um primo, entĂŁo 3 1, đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą Âą1(mod 12) ( )={ â&#x2C6;&#x2019;1, đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą Âą5 ( mod 12) đ?&#x2018;?

Ilustrando. Para um exemplo de solução de uma congruĂŞncia quadrĂĄtica com um mĂłdulo composto, considere đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 196 (mod 1357) Como 1357 = 23 ¡ 59, a congruĂŞncia dada tem solução se, e somente se, ambos đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 196 (mod 23) e đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 196 (mod 59) possuem solução. Nosso procedimento ĂŠ encontrar os valores dos sĂ­mbolos Legendre (196/23) e (196/59).

O cĂĄlculo de (196/23) requer o uso do Teorema 7.6.2: (196/23) = (12/23) = (3/23) = 1 Assim, a congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 196 (mod 23) admite solução. Quanto ao sĂ­mbolo (196/59), a Lei de Reciprocidade QuadrĂĄtica nos permite escrever (196/59) = (19/59) = â&#x2C6;&#x2019;(59/19) = â&#x2C6;&#x2019;(2/19) = â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;1) = 1 Portanto, ĂŠ possĂ­vel resolver đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 196 (mod 59) e, consequentemente, a congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 196 (mod 1357) tambĂŠm.

Para se chegar a uma solução, observe que a congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 196 â&#x2030;Ą 12 (mod 23) ĂŠ satisfeita para đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 9, 14 (mod 23) e đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 196 â&#x2030;Ą 19 (mod 59) possui soluçþes đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 14, 45 (mod 59). Podemos agora usar o Teorema ChinĂŞs do Resto para obter as soluçþes simultâneas dos quatro sistemas: đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 14 (mod 23) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 14 (mod 23) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 9 (mod 23) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 9 (mod 23) { ; { ; { ; { . đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 14 (mod 59) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 45 (mod 59) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 14 (mod 59) đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 45 (mod 59) Os valores resultantes đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą 14, 635, 722, 1343 (mod 1357) sĂŁo as soluçþes desejadas da congruĂŞncia original đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 196 (mod 1357).

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PRECIOSIDADES

1. Avalie os seguintes sĂ­mbolos Legendre: (a) (71/73). (b) (â&#x2C6;&#x2019;219/383). (c) (461/773). (d) (1234/4567). (e) (3658/12703).

2. Prove que 3 ĂŠ um nĂŁo resĂ­duo quadrĂĄtico de todos os primos da forma 22đ?&#x2018;&#x203A; + 1 e tambĂŠm de todos primos da forma 2đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; 1 onde p ĂŠ um primo Ă­mpar.

3. Determine se as seguintes congruĂŞncias quadrĂĄticas possuem solução: (a) đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 219 (mod 419). (b) 3đ?&#x2018;Ľ 2 + 6đ?&#x2018;Ľ + 5 â&#x2030;Ą 0 (mod 89). (c) 2đ?&#x2018;Ľ 2 + 5đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9 â&#x2030;Ą 0 (mod 101).

4. Verifique que, se p ĂŠ um primo Ă­mpar, entĂŁo (

â&#x2C6;&#x2019;2 1 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1 (mod 8) ou đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 3 (mod 8) )={ â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 5 (mod 8) ou đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 7 (mod 8) p

5. (a) Prove que se đ?&#x2018;? > 3 ĂŠ um primo, entĂŁo (

â&#x2C6;&#x2019;3 1 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1 (mod 6) )={ â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 5 (mod 6) p

(b) Usando a parte (a), mostre que existem infinitamente primos da forma 6đ?&#x2018;&#x2DC; + 1.

6. Use o Teorema 9.2 e as questĂľes 4 e 5 para determinar quais primos podem dividir inteiros das formas đ?&#x2018;&#x203A;2 + 1, đ?&#x2018;&#x203A;2 + 2 ou đ?&#x2018;&#x203A;2 + 3 para algum valor de n.

7. Demonstrar que existem infinitos primos da forma 8đ?&#x2018;&#x2DC; + 3.

8. Encontre um nĂşmero primo p que seja simultaneamente expresso nas formas đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ś 2 , đ?&#x2018;˘2 + 2đ?&#x2018;Ł 2 ,e đ?&#x2018;&#x; 2 + 3đ?&#x2018; 2 .

9. Se p e q sĂŁo primos Ă­mpares satisfazendo đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x17E; + 4đ?&#x2018;&#x17D; para algun a, prove que (đ?&#x2018;&#x17D;/đ?&#x2018;?) = (đ?&#x2018;&#x17D;/đ?&#x2018;&#x17E;) Prof. Rubens Vilhena

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e, em particular, que (6/37) = (6/13).

10. Prove cada uma das seguintes afirmaçþes: (a) (5/đ?&#x2018;?) = 1 se e somente se đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1, 9, 11 ou 19 (mod 20). (b) (6/đ?&#x2018;?) = 1 se e somente se đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1, 5, 19 ou 23 (mod 24). (c) (7/đ?&#x2018;?) = 1 se e somente se đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1, 3, 9, 19, 25 ou 27 (mod 28).

11. Demonstrar que existem infinitamente primos da forma 5đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; 1.

12. Verifique o seguinte: (a) Os divisores primos đ?&#x2018;? â&#x2030; 3 do inteiro đ?&#x2018;&#x203A;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A; + 1 sĂŁo da forma 6đ?&#x2018;&#x2DC; + 1. (b) Os divisores primos đ?&#x2018;? â&#x2030; 5 do inteiro đ?&#x2018;&#x203A;2 + đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1 sĂŁo da forma 10đ?&#x2018;&#x2DC; + 1 ou 10đ?&#x2018;&#x2DC; + 9. (c) Os divisores primos p do inteiro 2đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;&#x203A; + 1) + 1 sĂŁo da forma đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1 (mod 4). (d) Os divisores primos p do inteiro 3đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;&#x203A; + 1) + 1 sĂŁo da forma đ?&#x2018;? â&#x2030;Ą 1 (mod 6).

13. (a) Mostre que se p um divisor primo de 839 = 382 â&#x2C6;&#x2019; 5 ¡ 112 , entĂŁo (5/đ?&#x2018;?) = 1. Use este fato para concluir que 839 ĂŠ um nĂşmero primitivo. (b) Prove que ambos 397 = 202 â&#x2C6;&#x2019; 3 e 733 = 292 â&#x2C6;&#x2019; 3 ¡ 62 sĂŁo primos.

14. Resolva a congruĂŞncia quadrĂĄticađ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 11 (mod 35).

15. Prove que 7 ĂŠ uma raiz primitiva de qualquer primo da forma đ?&#x2018;? = 24đ?&#x2018;&#x203A; + 1.

16. Deixe a e đ?&#x2018;? > 1 nĂşmeros inteiros relativamente primos, com b Ă­mpar. Se đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;?2 â&#x2039;Ż đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; ĂŠ a decomposição de b em primos Ă­mpares (nĂŁo necessariamente distintos), entĂŁo o sĂ­mbolo Jacobi (a/b) ĂŠ definido por (đ?&#x2018;&#x17D;/đ?&#x2018;?) = (đ?&#x2018;&#x17D;/đ?&#x2018;?1 ) (đ?&#x2018;&#x17D;/đ?&#x2018;?2 ) ¡ ¡ ¡ (đ?&#x2018;&#x17D;/đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; ) onde os sĂ­mbolos do lado direito do sinal de igualdade sĂŁo sĂ­mbolos Legendre. Avalie os sĂ­mbolos Jacobi (21/221) (215/253) (631/1099) 17. Sob a hipĂłtese do problema anterior, mostre que se a ĂŠ um resĂ­duo quadrĂĄtico de b, entĂŁo (đ?&#x2018;&#x17D;/đ?&#x2018;?) = 1; mas, a recĂ­proca ĂŠ falsa.

18. Prove que as seguintes propriedades do sĂ­mbolo Jacobi sĂŁo vĂĄlidas: Se b and b' sĂŁo nĂşmeros inteiros positivos Ă­mpares e mdc (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x20AC;˛, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x20AC;˛) = 1, entĂŁo (a) đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;˛ (mod đ?&#x2018;?) implica que (đ?&#x2018;&#x17D;/đ?&#x2018;?) = (đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;˛/đ?&#x2018;?). (b) (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;˛/đ?&#x2018;?) = (đ?&#x2018;&#x17D;/đ?&#x2018;?) (đ?&#x2018;&#x17D;â&#x20AC;˛/đ?&#x2018;?). (c) (đ?&#x2018;&#x17D;/đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x20AC;˛) = (đ?&#x2018;&#x17D;/đ?&#x2018;?) (đ?&#x2018;&#x17D;/đ?&#x2018;?â&#x20AC;˛). (d) (đ?&#x2018;&#x17D;2 /đ?&#x2018;?) = (đ?&#x2018;&#x17D;/đ?&#x2018;? 2 ) = 1. (e) (1/đ?&#x2018;?) = 1. (f) (â&#x2C6;&#x2019;1/đ?&#x2018;?) = (â&#x2C6;&#x2019;1)(đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1)/2 .

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(g) (2/đ?&#x2018;?) = (â&#x2C6;&#x2019;1)(đ?&#x2018;?

2 â&#x2C6;&#x2019;1)/8

.

19. Demonstre a Lei de Reciprocidade QuadrĂĄtica Generalizada: Se a e b sĂŁo nĂşmeros inteiros Ă­mpares positivos relativamente primos, maiores que 1, entĂŁo (aâ&#x2C6;&#x2019;1) (bâ&#x2C6;&#x2019;1) đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;? ( ) ( ) = (â&#x2C6;&#x2019;1) 2 . 2 đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;

20. Usando a Lei de Reciprocidade QuadrĂĄtica Generalizada, determine se a congruĂŞncia đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ą 231 (mod 1105) tem solução.

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