TEORIA DOS NÚMEROS - 2ª ed Vol 1

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GOD’S SOVEREIGN

Prof. Rubens Vilhena

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Dados internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP)

F676t Fonseca, Rubens Vilhena. Teoria dos Números / Rubens Vilhena Fonseca — Belém: UEPA/ Centro de Ciências Sociais e de Educação, 2017.

ISBN:978 – 85 – 88375 – 66 – 6

1. Teoria dos Números, 2ª ed. I. Universidade do Estado do Pará. II. Título.

CDU: 511.68 CDD: 512.7 Índice para catálogo sistemático 1. Teoria dos Números, 2ª ed: 511.68

BELÉM – PARÁ – BRASIL - 2017 –

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ÍNDICE 1.

OS INTEIROS .............................................................................................................................

1.1.

Números e Sequências .................................................................................................................

1.2.

Somatórios e Produtórios ...........................................................................................................

1.3.

Indução Matemática ...................................................................................................................

1.4.

Números de Fibonacci .................................................................................................................

1.5.

Divisibilidade ...............................................................................................................................

2.

NÚMEROS PRIMOS .................................................................................................................

2.1.

Números Primos ..........................................................................................................................

2.2.

A Distribuição de Números Primos ...........................................................................................

2.3.

O Máximo Divisor Comum e suas Propriedades .....................................................................

2.4.

O Algoritmo de Euclides .............................................................................................................

2.5.

O Teorema Fundamental da Álgebra ........................................................................................

2.6.

Equações Diophantinas Lineares .............................................................................. ..............

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1. OS INTEIROS

A Teoria dos Números nasceu cerca de 600 anos antes de Cristo quando Pitágoras e os seus discípulos começaram a estudar as propriedades dos números inteiros. Os pitagóricos rendiam verdadeiro culto místico ao conceito de número, considerando-o como essência das coisas. Acreditavam que tudo no universo estava relacionado com números inteiros ou razões de números inteiros (em linguagem atual, números racionais). Aliás, na antiguidade a designação número aplicava-se só aos inteiros maiores do que um. O conceito de número tomou forma num longo desenvolvimento histórico. A origem e formulação deste conceito ocorreu simultaneamente com o despontar, entenda-se nascimento, e desenvolvimento da Matemática. As atividades práticas do homem, por um lado, e as exigências internas da Matemática por outro determinaram o desenvolvimento do conceito de número. A necessidade de contar objetos levou ao aparecimento do conceito de número Natural. Todas as nações que desenvolveram formas de escrita introduziram o conceito de número Natural e desenvolveram um sistema de contagem. O desenvolvimento subsequente do conceito de número prosseguiu principalmente devido ao próprio desenvolvimento da Matemática. Os números negativos aparecem pela primeira vez na China antiga. Os chineses estavam acostumados a calcular com duas coleções de barras - vermelha para os números positivos e pretos para os números negativos. No entanto, não aceitavam a ideia de um número negativo poder ser solução de uma equação. Os Matemáticos indianos descobriram os números negativos quando tentavam formular um algoritmo para a resolução de equações quadráticas. São exemplo disso as contribuições de Bramaghupta, pois a aritmética sistematizada dos números negativos encontra-se pela primeira vez na sua obra. As regras sobre grandezas eram já conhecidas através dos teoremas gregos sobre subtração, como por exemplo (a – b)(c – d) = ac + bd – ad – bc, mas os hindus converteram-nas em regras numéricas sobre números negativos e positivos.

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Diofanto (Séc. III) operou facilmente com os números negativos. Eles apareciam constantemente em cálculos intermédios em muitos problemas do seu "Aritmetika", no entanto havia certos problemas para o qual as soluções eram valores inteiros negativos como por exemplo:

4 x  20  4 ou 3 x  18  5 x

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Nestas situações Diofanto limitava-se a classificar o problema de absurdo. Nos séculos XVI e XVII, muitos matemáticos europeus não apreciavam os números negativos e, se esses números apareciam nos seus cálculos, eles consideravam-nos falsos ou impossíveis. Exemplo deste fato seria Michael Stifel (1487- 1567) que se recusou a admitir números negativos como raízes de uma equação, chamando-lhes de "numeri absurdi". Cardano usou os números negativos embora chamando-os de "numeri ficti". A situação mudou a partir do (Séc.XVIII) quando foi descoberta uma interpretação geométrica dos números positivos e negativos como sendo segmentos de direções opostas.

1.1. Números e Sequências Os números inteiros ou apenas os inteiros são:

..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... O conjunto representa-se pela letra Z, isto é:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Definição. Seja A um conjunto de inteiros. Chama-se elemento mínimo de A um elemento a  A tal que a  x para todo x  A .

Representa-se pela notação “min A”, que se lê: “mínimo de A”. Portanto, simbolicamente:

min A = a

( a  A e ( x  A ) ( a  x ))

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O elemento mĂ­nimo de A, se existe, denomina-se tambĂŠm primeiro elemento de A ou menor elemento de A. Exemplo 1.1. O conjunto N = {1, 2, 3,...} dos inteiros positivos tem o elemento mĂ­nimo, que ĂŠ 1 (min N = 1), porque 1 ďƒŽ N e 1 ď‚Ł n para todo n ďƒŽ N . Exemplo 1.2. O conjunto đ??´ = {đ?‘Ľ ∈ ℤ | đ?‘Ľ > 12} tem o elemento mĂ­nimo, que ĂŠ 13 (min A = 13), porque 13 ďƒŽ A e 13 ď‚Ł x para todo x ďƒŽ A . Exemplo 1.3. O conjunto Z- ={0 , -1, -2, -3, ...} dos inteiros nĂŁo positivos nĂŁo tem o elemento mĂ­nimo, porque nĂŁo existe a ďƒŽ Z- tal que a ď‚Ł x para todo x ďƒŽ Z- . Exemplo 1.4. O conjunto đ??´ = {đ?‘Ľ ∈ ℤ | 3 đ?‘‘đ?‘–đ?‘Łđ?‘–đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ľ 2 } tem o elemento mĂ­nimo 3  min A  3 , porque 3 ďƒŽ A  3 divide 9  e 3 ď‚Ł x para todo x ďƒŽ A 1 ďƒ? A e 2 ďƒ? A  .

Princípio da Boa Ordenação (PBO)

Definição. Todo conjunto não vazio A de inteiros não negativos possui o elemento mínimo. Em outros termos, todo subconjunto não vazio A do conjunto

Z+ ={0 ,1, 2, 3, ...} dos inteiros nĂŁo negativos ( ď Ś ď‚š A ďƒŒ Z+ ) ĂŠ bem ordenado, isto ĂŠ, simbolicamente: ( A ďƒŒ Z  , A ď‚š ď Ś ) ďƒž  min A Exemplo 1.5. O conjunto A = {1, 3, 5, 7,.. } dos inteiros positivos Ă­mpares ĂŠ um subconjunto nĂŁo vazio de

Z+ ( ď Ś ď‚š A ďƒŒ Z+ ). Logo, pelo “PrincĂ­pio da boa ordenaçãoâ€?, A possui o elemento mĂ­nimo (min A = 1). Exemplo 1.6. O conjunto P  ď ť2,3,5,7,11,...ď ˝ dos inteiros primos ĂŠ um subconjunto nĂŁo vazio de



ď€¨ď Ś ď‚š P ďƒŒ



 . Logo, pelo PBO, P Ê bem ordenado (min P = 2).

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Teorema 1.1. (de Arquimedes): Se a e b sĂŁo dois inteiros positivos quaisquer, entĂŁo existe um inteiro positivo n tal que na ď‚ł b . Prova. Suponha que a afirmação do teorema nĂŁo ĂŠ verdadeira, de modo que para algum par a e b, na < b para todo inteiro positivo n. EntĂŁo o conjunto S = {b - na | n um inteiro positivo} possui apenas inteiros positivos. Pelo PrincĂ­pio da Boa Ordenação, S possuirĂĄ um elemento mĂ­nimo, digamos, b – ma. Observe que b - (m + l) a tambĂŠm estĂĄ em S, pois S contĂŠm todos os inteiros dessa forma. AlĂŠm disso, temos b - (m + l) a = (b - ma) - a < b - ma o que contraria a escolha de b – ma como o menor inteiro em S. Esta contradição surgiu de nossa suposição de que a propriedade Arquimedeana nĂŁo ĂŠ vĂĄlida; por isso essa propriedade ĂŠ verdadeira. ∎ Assim, por exemplo: i) se a = 2 e b = 11, entĂŁo n = 6, porque 6.2 > 11; ii) se a = 9 e b = 5, entĂŁo n =1, porque 1.9 > 5.

đ?‘?

Definição. O nĂşmero real r ĂŠ racional se existem inteiros p e q≠0 , tal que đ?‘&#x; = . Se r nĂŁo ĂŠ đ?‘ž

racional, dizemos que ĂŠ irracional. đ?‘›

Observe que todo inteiro n ĂŠ um nĂşmero racional, porque đ?‘› = . Exemplos de 1

valores irracionais sĂŁo đ?‘’, √2 e đ?œ‹. Podemos usar o princĂ­pio da boa ordenação do conjunto de Inteiros para mostrar que √2 ĂŠ irracional. A prova que mostramos a seguir, embora muito inteligente, nĂŁo ĂŠ a prova mais simples de que √2 ĂŠ irracional. No desenvolvimento dos conceitos de CongruĂŞncias pode-se fazer outra demonstração. A prova de que e ĂŠ irracional ĂŠ deixado como Divertimento 40. Quanto a difĂ­cil prova de que đ?œ‹ ĂŠ irracional indicamos o livro dos matemĂĄticos G. H. Hardy e E.M. Wright, An

Introduction to the Theory of

Numbers, 5th ed., Oxford University Press, Oxford, 1979.

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Teorema 1.2. √2 ĂŠ irracional. Prova. Suponhamos que √2 seja racional. EntĂŁo existiriam inteiros positivos a e b tais que, đ?‘Ž

√2 = đ?‘?. Consequentemente, o conjunto S = {k √2; k e k √2 sĂŁo inteiros positivos} ĂŠ um conjunto nĂŁo vazio de inteiros positivos ( nĂŁo ĂŠ vazio porque a = b√2 ĂŠ um elemento de S). Portanto, pela propriedade da boa ordenação, S tem um elemento mĂ­nimo, digamos s = t√2, t um inteiro positivo. Logo, s√2 = 2t ĂŠ um inteiro positivo tambĂŠm. Temos s√2 - s = s√2 - t√2 = (s - t)√2. Como s√2 e s sĂŁo ambos inteiros, entĂŁo (s - t)√2 tambĂŠm ĂŠ um nĂşmero inteiro. AlĂŠm disso, (s - t)√2 ĂŠ positivo, pois s√2 - s = s (√2 -1) e √2 > 1. Mas, s(√2 -1) ĂŠ menor do que o elemento mĂ­nimo s, pois √2 < 2 entĂŁo, √2 − 1 < 1. Esta contradição foi devida a escolha de s como o menor inteiro positivo em S. Segue que √2 ĂŠ irracional. ∎ O conjunto dos inteiros, inteiros positivos, nĂşmeros racionais, e nĂşmeros reais sĂŁo tradicionalmente denotados por đ?’ , đ?‘ľ, đ?‘¸ e đ?‘š.

Definição. Um nĂşmero đ?›ź ĂŠ algĂŠbrico se for raiz de um polinĂ´mio com coeficientes inteiros; isto ĂŠ, đ?›ź ĂŠ algĂŠbrico se existem inteiros a0, a1, ..., an tal que đ?‘Žđ?‘› đ?›ź đ?‘› + đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?›ź đ?‘›âˆ’1 + â‹Ż + đ?‘Ž0 = 0. O nĂşmero đ?›ź ĂŠ chamado transcendente se nĂŁo ĂŠ algĂŠbrico. Todos os nĂşmeros racionais sĂŁo algĂŠbricos. Alguns nĂşmeros irracionais tambĂŠm sĂŁo algĂŠbricos. Mas nem todos os reais sĂŁo algĂŠbricos – como exemplo temos đ?œ‹ e e. Exemplo 1.7. O nĂşmero irracional √2 ĂŠ algĂŠbrico, porque ĂŠ raiz do polinĂ´mio x2-2.

Piso e Teto de um Número Real É fåcil perceber que qualquer número real estå sempre entre dois números inteiros, um inteiro menor que o dado número real e um inteiro maior que esse número real. Por exemplo, o número real 5 , estå entre os inteiros 2 e 3 ( 2  5  3 ) e tambÊm estå entre os inteiros 1 e 4, 0 e 5, etc.; o número real 

3ď ° 3ď ° , estĂĄ entre os inteiros -5 e -4 ( 5 ď‚Ł  ď‚Ł 4 ) 2 2

e tambĂŠm estĂĄ entre os inteiros -6 e -3, -7 e -2, etc.. Veremos a seguir que o maior inteiro Ă

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esquerda serĂĄ chamado de Piso (floor) e o menor inteiro Ă direita serĂĄ chamado de Teto (ceiling). Definição. Chamam-se partes inteiras de um nĂşmero real r, os inteiros n e n+1 que verificam Ă s condiçþes: đ?‘› ≤đ?‘&#x; ≤đ?‘›+1 A todo nĂşmero real r podemos associar dois nĂşmeros inteiros chamados piso e teto. Keneth Iverson introduziu esses nomes, assim como a notação que serĂĄ usada, no inĂ­cio da dĂŠcada de 1960. Definição. Chama-se piso de um nĂşmero real r, ao maior nĂşmero inteiro menor ou igual a r. Definição. Chama-se teto de um nĂşmero real r, ao menor nĂşmero inteiro maior ou igual a r. Definição. Chama-se nint de um nĂşmero real r, o valor inteiro mais prĂłximo de r. Para evitar ambiguidades, no caso de valores de r iguais Ă metade de um inteiro, convenciona-se adotar o valor de nint sempre para o inteiro par. Definição. A parte fracionada (nĂŁo inteira) de um nĂşmero real r, ĂŠ a diferença entre r e o piso de r. Notação: Usaremos as seguintes notaçþes:

ďƒŞďƒŤ r ďƒşďƒť piso de r ďƒŠďƒŞ r ďƒšďƒş teto de r

ď ›r ď ?

nint de r

{ r } parte fracionada de r. Observação: Infelizmente, nĂŁo hĂĄ acordo universal sobre o significado de {x} para x < 0 e existem duas definiçþes comuns. Na linguagem Wolfram {x} ĂŠ definida como {đ?‘Ľ} = {

đ?‘Ľ − ⌊đ?‘ĽâŒ‹, đ?‘Ľ ≼ 0 đ?‘Ľ − ⌈đ?‘ĽâŒ‰, đ?‘Ľ < 0

Graham, Knuth e Patashnik (1994, p. 70), e talvez a maioria dos outros matemĂĄticos, usam uma definição diferente {đ?‘Ľ} = đ?‘Ľ − ⌊đ?‘ĽâŒ‹. Prof. Rubens Vilhena

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Neste texto usaremos esta última definição. Exemplos 1.8. Piso e teto de r. a)  2   1 e  2   2

1 1 b)    0 e    1 3 3 c)    3 e    4

 1  1 d)     1 e     0  2  2  3  3 c)     2 e     1  2  2 f)  7   7 e  7   7 Exemplos 1.9. Nint e parte fracionada de r. a)  2,3  2 e  2, 7   3 b) 3,5  4 e

 4,5  4

1  c)    0 3

e

 23   6   4

1 d)    0 2

e

 1,5  2

e)    3

e

e  3

f) 3, 4  3 ,  3, 7   4 g) {2,3}  2,3   2,3  2,3  2  0,3 h)  5    5   5    5  (3)  1  0,5    2

2

 2

2

2

O piso e o teto de um número real r são os inteiros definidos pelas desigualdades:

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 r   r   r   1 r  1   r   r   r   r  1 Em linguagem da Teoria dos Conjuntos:

 r   max{n  | n  r} e  r   min{n  | n  r} Observe que  r    r   r se, e somente se, r é um número inteiro, e que todo número real r pode ser escrito sob a forma:

r   r   {r} , onde 0  {r}  1 e

r   r   1  {r} , onde 0  {r}  1

Aproximações Diophantinas

A teoria de aproximações diofantinas tem um problema básico que é o estudo de melhores aproximações de números reais por números racionais. (O adjetivo diophantina vem do matemático grego Diophantus). Aqui vamos enunciar e demonstrar um importante teorema devido a Dirichlet relacionado a esta questão. A prova depende do famoso princípio das gavetas de Dirichlet ou somente princípio de Dirichlet, introduzido pelo matemático alemão Dirichlet em 1834. Informalmente, este princípio nos diz se temos mais objetos do que gavetas, quando esses objetos são colocados nas gavetas, pelo menos dois devem ser colocados na mesma gaveta. Apesar de parecer uma ideia particularmente simples, ela acaba por ser extremamente útil em Teoria do Números e combinatória. Iremos estabelecer e provar este fato importante, que também é conhecido como princípio das casas dos pombos , porque se você tiver mais pombos do que as casas onde eles se instalam, pelo menos dois pombos devem estar na mesma casa.

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O princípio da casa do pombo é um exemplo de um argumento de cálculo que pode ser aplicado em muitos problemas formais, incluíndo aqueles que envolvem um conjunto infinito.

Teorema 1.3. Princípio das gavetas de Dirichelet. Se k+1 ou mais objetos são colocados em k gavetas, então pelo menos uma gaveta irá conter dois o mais objetos. Prova: Se nenhuma das k gavetas contiver mais de um objeto, o número total de objetos será no máximo k. Esta contradição mostra que uma das caixas contém pelo menos dois ou mais dos objetos. Exemplo 1.10. Vejamos quantas pessoas, no mínimo, são necessárias para se ter certeza que haverá pelo menos duas delas façam aniversário no mesmo mês. Solução: Pelo princípio da casa dos pombos se houver no mínimo 13 pessoas, e como o total de meses é 12, é certo que pelos menos duas pessoas terão nascido no mesmo mês. Embora o princípio da casa dos pombos seja uma observação trivial, pode ser usado para demonstrar resultados possivelmente inesperados. Exemplo 1.11. Em toda grande cidade, digamos com mais de 1 milhão de habitantes existem pessoas com o mesmo número de fios de cabelo. Prova. Os cientistas afirmam que em média, uma pessoa tem cerca de 150 mil fios de cabelos ,(http://www.ifsc.usp.br/~rpereira/FCM0101/links_files/aula1.pdf). É razoavel supor que ninguém tem mais de 106 de fios de cabelo em sua cabeça. Se há mais habitantes do que o número máximo de fios de cabelo, necessariamente pelo menos duas pessoas terão exatamente o mesmo número de fios de cabelo. Antes de enunciar e demonstrar o teorema de Dirichlet, vejamos um exemplo: O 141

leitor deve saber que √2 ≈ 1,41 = . Será que podemos encontrar uma aproximação 100 17

melhor? A aproximação √2 ≈ =1,41 é um pouquinho melhor, apesar de ter um 12

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denominador menor. Mas se quisermos aproximaçþes đ?œ‹ ≈

đ?‘?

melhores, devemos aumentar o

đ?‘ž

denominador q. Mas, o quanto devemos aumentar? SerĂĄ que podemos garantir a existĂŞncia de uma aproximação boa com denominador pequeno? Para isso, provaremos o teorema de Dirichlet. Teorema 1.4. Teorema de Dirichlet. Se đ?›ź ĂŠ um nĂşmero irracional, entĂŁo existem infinitos đ?‘?

racionais , q> 0, tais que đ?‘ž

đ?‘? đ?‘? |đ?›ź − | < 2 đ?‘ž đ?‘ž Prova. Observe que đ?‘? đ?‘? 1 |đ?›ź − | < 2 â&#x;ş |đ?‘žđ?›ź − đ?‘?| < đ?‘ž đ?‘ž đ?‘ž Assim, queremos provar que, para todo irracional đ?‘žđ?›ź, a desigualdade |đ?‘žđ?›ź − đ?‘?| <

1 đ?‘ž

tem infinitas soluçþes inteiras p. Seja n um inteiro positivo. Divida o intervalo [0; 1] em n intervalos: [0; 1/n[, [1/n; 2/n[, . . . , [(n − 1)/n; 1[. Considere os n + 1 nĂşmeros {đ?›ź }, {2đ?›ź }, ..., { (n+1) đ?›ź}. Pelo PrincĂ­pio de Dirichlet, dentre esses n + 1 nĂşmeros, hĂĄ pelo menos dois, digamos {k đ?›ź} e {j đ?›ź }, pertencentes ao mesmo intervalo. Logo 1

1

đ?‘›

đ?‘›

|{k đ?›ź} - {j đ?›ź }| < â&#x;ş =| (k đ?›ź -⌊đ?‘˜đ?›źâŒ‹) - (j đ?›ź -⌊đ?›źâŒ‹) < | â&#x;ş 1

â&#x;ş| (k - j) đ?›ź - (⌊đ?‘˜đ?›źâŒ‹ -⌊đ?‘—đ?›źâŒ‹) |< . đ?‘›

Observe que đ?‘˜ − đ?‘— ≤ đ?‘›. Assim, sendo q = i – j e đ?‘? = ⌊đ?‘˜âŒ‹ − ⌊đ?‘—⌋, |đ?‘žđ?›ź − đ?‘?| <

1 1 < đ?‘› đ?‘ž

∎

Vamos ilustrar este teorema com uma questĂŁo da prova de seleção Cone Sul 2003: Sendo a e b positivos, prove que |đ?‘Žâˆš2 − đ?‘?| >

1 2đ?‘Ž+đ?‘?

.

Solução. Como √2 ĂŠ irracional, 2đ?‘Ž2 ≠đ?‘? 2 . Logo |2đ?‘Ž2 − đ?‘? 2 | ≼ 1 â&#x;ş |(đ?‘Žâˆš2 − đ?‘?)(đ?‘Žâˆš2 + đ?‘?)| ≼ 1 â&#x;ş |đ?‘Žâˆš2 − đ?‘?| ≼

1 đ?‘Žâˆš2 + đ?‘?

>

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1 2đ?‘Ž + đ?‘?

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Outro resultado importante na teoria das aproximaçþes diophnatinas ĂŠ o Teorema da Aproximação de Dirichlet: “Se đ?›ź ĂŠ um nĂşmero real e n um inteiro positivo, entĂŁo existem inteiros a e b com 1 ≤ đ?‘Ž ≤ đ?‘›,

tais que |đ?‘Žđ?›ź − đ?‘?| <

1 đ?‘›

“. O exemplo a seguir, ilustra este

teorema.

Exemplo 1.12.

Suponha que đ?›ź = √2 đ?‘’ đ?‘› = 6. Obtemos 1.√2 ≈ 1,414, 2. √2 ≈ 2,828,

3. √2 ≈ 4,243, 4. √2 ≈ 5,657, 5. √2 ≈ 7,071, đ?‘’ 6. √2 ≈ 8,485. Dentre esses nĂşmeros, 5. √2 1

ĂŠ o que tem a menor parte fracionada. Veja que |5. √2 − 7| ≈ |7,071 − 7| = 0,071 ≤ . 6

Segue que, se đ?›ź = √2 đ?‘’ đ?‘› = 6, podemos tomar a=5 e b=7 para fazer | aď Ą  b |

1 . Isto ĂŠ, a n

1

distância entre 5. √2 e 7 ĂŠ menor que . 6

SequĂŞncias

Uma sequência {an} Ê uma lista de números a1, a2, a3, ..., que verificam uma dada propriedade ou regra. Vamos considerar muitas sequências particulares de inteiros em nosso estudo da teoria dos números. Apresentamos vårias sequências úteis nos exemplos seguintes. Exemplo 1.13. A sequência {an}, onde an = n2, começa com os termos 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, .... Esta Ê a sequência dos quadrados dos inteiros. A sequência {bn}, onde

b n = 2n ,

começa com os termos 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, .... Esta Ê a sequência das potências de 2. A sequência {cn}, onde cn = 0 se n Ê ímpar e cn = 1 se n Ê par, começa com os termos 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1,. . . . Existem muitas sequências nas quais cada termo sucessivo Ê obtido a partir do termo anterior multiplicado por um fator comum. Por exemplo, cada termo da sequência de potências de 2 Ê 2 vezes o termo anterior. Isso leva a seguinte definição. Definição. Uma progressão geomÊtrica Êr uma sequência da forma a, ar, ar2, ar3, ...,ark, ..., onde a, o termo inicial, e r, uma razão comum, são números reais.

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Exemplo 1.14. A seqßência {an}, onde an = 3.5n, n = 0, 1, 2, ..., Ê uma sequência geomÊtrica com o termo inicial 3 e a razão comum 5. (Note que começamos a sequência com o termo a 0. Podemos iniciar o índice dos termos de uma seqßência com 0 ou qualquer outro Inteiro que escolhermos.) Um problema comum na teoria dos números Ê encontrar uma fórmula ou regra para construir os termos de uma seqßência, mesmo quando apenas alguns termos são conhecidos (como tentar encontrar uma fórmula para o n-Êsimo número triangular 1 + 2 + 3 + ¡ ¡ ¡ + n). Mesmo que os termos iniciais de uma sequência não determinem a sequência, conhecer os primeiros termos pode nos

levar a conjecturar uma fĂłrmula ou regra para os termos.

Considere os exemplos a seguir. Exemplo 1.15. Conjecture uma fórmula para an, onde os primeiros oito termos de {an} são 4, 1 1, 18, 25, 32, 39, 46, 53. Notamos que cada termo, começando com o segundo, Ê obtido Adicionando 7 ao termo anterior. Conseqßentemente, o n-Êsimo termo poderia ser o termo inicial mais 7(n - 1). Uma conjectura razoåvel Ê que an = 4 + 7 (n - 1) =

7n - 3.

A sequĂŞncia proposta no Exemplo 1.15 ĂŠ uma progressĂŁo aritmĂŠtica, isto ĂŠ, uma sequĂŞncia da forma a, a + d, a + 2d, ..., a +nd, .... A sequĂŞncia em particular do Exemplo 1.15 tem a = 4 e d = 7. Exemplo 1.16. Conjecturar uma fĂłrmula para an, onde os primeiros oito termos da sequĂŞncia {an} sĂŁo 5, 11, 29, 83, 245, 731, 2189, 6563. Observamos que cada termo ĂŠ aproximadamente 3 vezes o termo anterior, sugerindo uma fĂłrmula para an em termos de 3n. Os nĂşmeros inteiros 3n para n = 1, 2, 3, ... sĂŁo 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561. Olhando estas duas sequĂŞncias, verificamos que a fĂłrmula an = 3n + 2 produz aqueles termos. Exemplo 1.17. Conjecture uma fĂłrmula para an, onde os primeiros dez termos da seqßência {an} sĂŁo 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Depois de examinar esta sequĂŞncia de perspectivas diferentes, notamos que cada termo desta seqßência, apĂłs os dois primeiros termos, ĂŠ a soma dos dois termos precedentes. Ou seja, vemos que an = an-1 + an-2 para 3 ≤ đ?‘› ≤ 10. Este ĂŠ um exemplo de uma definição recursiva de uma sequĂŞncia, discutida na Seção 1.3. Os termos listados neste exemplo sĂŁo os termos iniciais da sequĂŞncia de Fibonacci, que ĂŠ discutida na Seção 1.4.

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As seqüências de números inteiros surgem em muitos contextos na teoria dos números. Podemos citar os números de Fibonacci, os números primos e os números perfeitos. As sequências de números inteiros aparecem em uma incrível variedade de assuntos além da teoria dos números. Neil Sloane acumulou uma coleção fantasticamente diversa de mais de 170 000 sequências inteiras (no início de 2010) em sua On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Esta coleção está disponível na internet. (No início de 2010, a Fundação OEIS assumiu a manutenção desta coleção.) Este site fornece um programa para encontrar sequências que correspondem aos termos iniciais fornecidos como entrada. É um recurso valioso no estudo da teoria dos números (bem como outros assuntos). Agora definimos o que significa dizer que um conjunto é enumerável ( ou contável) e mostremos que um conjunto é contável se e somente se seus elementos podem ser listados como termos de uma sequência. Definição. Um conjunto finito ou infinto é enumerável (ou contável) se existir uma relação biunívoca entre o conjunto dos inteiros positivos e o conjunto. Um conjunto que não é enumerável é dito incontável. Um conjunto infinito é enumerável se e somente se seus elementos podem ser listados como os termos de uma sequência indexada pelo conjunto dos inteiros positivos. Para ver isso, basta observar que uma correspondência biunívoca f do conjunto de inteiros positivos para um conjunto S é exatamente o mesmo que listar os elementos do conjunto em uma seqüência a1, a2, ...,an, ..., onde ai = f (i) . Exemplo 1.18. O conjunto dos inteiros é enumerável, porque os inteiros podem ser listados começando com 0, seguido por 1 e -1, seguido por 2 e -2 e assim por diante. Isso produz a seqüência 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ..., onde a1 = 0, a2n = n, e a2n+1 = -n para

n = 1, 2, ... .

O conjunto dos números racionais é enumerável? A primeira vista, pode parecer improvável que haja uma bijeção entre o conjunto os inteiros positivos e o conjunto de todos os números racionais. No entanto, Georg Cantor (1845 – 1918), o mesmo que segundo David Hilbert criu um paraíso matemático, surpreendeu o mundo matemático ao provar que havia tal correspondência. Com os recursos da Análise Real, essa é uma prova muito simples. Vejamos como sem esses recursos, George Cantor usou um elegante processo para conseguir uma prova. O processo ficou conhecido como método da diagonal de Cantor. Vamos utilizar o método da diagonal de Cantor para enumerar o conjunto N×N.

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O produto cartesiano N×N é o conjunto representado por (x; y), onde x e y ∈N. Queremos então provar que o conjunto N×N é enumerável. Podemos separar os elementos em grupo e diferenciar os grupos do seguinte modo: Se (x; y) e (x’ ; y’) pertencem a um mesmo grupo, então x + y = x’ + y’. [(1; 1)] pertence ao grupo onde x + y = 2 [(1; 2)(2; 1)(3; 0)] pertence ao grupo onde x + y = 3 [(1; 3)(2; 2)(3; 1)] pertence ao grupo onde x + y = 4 [(1;4), (2;3), (3;2), (4;1)] pertence ao grupo onde x + y = 5 Como cada um dos grupos possui um número finito de elementos, basta organizarmos os elemento na ordem crescente das somas correspondentes e enumerar os pares (x; y) na ordem em que aparecem. (1; 1)(1; 2)(2; 1)(3; 1)(2; 2)(1,3) ... Logo, N×N é enumerável. Na Figura 1.1 abaixo, temos uma ilustração da demonstração de que N×N

é

enumerável.

Figura 1.1. N×N é enumerável Estamos em condições de provar o teorema seguinte. Teorema 1.5. O conjunto dos números racionais é enumerável.

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Prova. Podemos trabalhar apenas com o conjunto Q+ dos racionais positivos, pois sendo esse conjunto enumerĂĄvel, ele poderĂĄ ser posto em correspondĂŞncia com o conjunto dos nĂşmeros naturais pares, enquanto o conjunto dos racionais negativos đ?‘¸âˆ’ , poderĂĄ ser posto em correspondĂŞncia com o conjunto dos nĂşmeros naturais Ă­mpares, resultando assim que o conjunto Q fique em correspondĂŞncia com o conjunto N. A enumerabilidade de Q ĂŠ demonstrada usando o argumento diagonal de Cantor (Figura 1.2). A figura mostra um caminho a ser percorrido em Q+ o que mostra uma ordenação dos elementos. Cada elemento (x, y) ∈ NĂ—N ĂŠ associado a fração

đ?‘Ľ đ?‘Ś

∈ đ?‘¸+ ∗ . Basta

contar as fraçþes irredutíveis

Figura 1.2: đ?‘„∗+ ĂŠ enumerĂĄvel Mostramos que o conjunto de nĂşmeros racionais ĂŠ contĂĄvel, mas nĂŁo demos um exemplo de um conjunto incontĂĄvel. Esse exemplo ĂŠ fornecido pelo conjunto dos nĂşmeros reais, veja o Divertimento 41.

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DIVERTIMENTOS ARITMÉTICOS 1.1

1. Demonstre que se a é elemento mínimo de A, então esse elemento é único. 2. Determine se cada um dos seguintes conjuntos é bem ordenado. a) O conjunto dos inteiros maiores que 3. b) O conjunto dos inteiros positivos pares. c) O conjunto dos números racionais positivos. d) O conjunto dos números racionais positivos da forma

a , onde a é um inteiro 2

positivo. e) O conjunto dos números racionais não negativos.

3. Mostre que se a e b são inteiros positivos, então existe um menor inteiro positivo da forma a – bk, k 

.

4. Seja Q = 1! + 2! + 3! + ... + n!. Para quantos valores de n tem-se Q quadrado perfeito?

5. Mostre que tanto a soma quanto o produto de racionais são racionais.

6. Prove ou desprove cada uma das seguintes afirmações: a) A soma de um irracional com um racional é irracional. b) A soma de dois irracionais é irracional. c) O produto de um racional com um irracional é um irracional. d) O produto de dois irracionais é irracional.

7. Use o PBO para provar que: a)

3 é irracional.

b) Não existe um natural n tal que 1 < m < 2. c) O conjunto S = {n; n ∈ Z e P(n) sempre falsa } é um conjunto vazio d) O conjunto S = {m ∈ Z : 8 < m < 9} é vazio.

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8. Mostre que todo conjunto nĂŁo vazio de inteiros negativos tem um maior elemento.

9. Determine o piso. 1 −3 22 1 1 1 đ?‘Ž) ⌊ ⌋ đ?‘?) ⌊ ⌋ đ?‘?) ⌊ ⌋ đ?‘‘)⌊−2⌋ đ?‘’) ⌊⌊ ⌋ + ⌊ ⌋⌋ đ?‘“) ⌊−3 + ⌊ ⌋⌋ 4 4 7 2 2 2 −1

−22

5

1

3

−3

1

4

7

4

2

2

2

2

đ?‘”) ⌊ ⌋ â„Ž) ⌊

⌋ đ?‘–) ⌊ ⌋ đ?‘—) ⌊⌊ ⌋⌋ đ?‘˜) ⌊⌊ ⌋ + ⌊ ⌋⌋ đ?‘™) ⌊3 − ⌊ ⌋⌋

10. Determine a parte fracionada. đ?‘Ž)

8 5

đ?‘?)

1 7

đ?‘?)

−11 4

đ?‘‘) 7

đ?‘’)

−8 5

đ?‘“)

22 7

đ?‘”) − 1

â„Ž)

−1 3

11. Qual ĂŠ o valor de ďƒŞďƒŤ x ďƒşďƒť  ďƒŞďƒŤ  x ďƒşďƒť , onde x ĂŠ um nĂşmero real.

1 12. Mostre que ďƒŤďƒŞ x ďƒşďƒť  ďƒŞďƒŞ x  ďƒşďƒş  ďƒŤďƒŞ 2 x ďƒťďƒş , para qualquer nĂşmero real x. 2ďƒť ďƒŤ

13. Mostre que ďƒŞďƒŤ x  y ďƒşďƒť ď‚ł ďƒŞďƒŤ x ďƒşďƒť  ďƒŞďƒŤ y ďƒşďƒť , para qualquer nĂşmero real x e y. 14. Mostre que ďƒŞďƒŤ 2 x ďƒşďƒť  ďƒŞďƒŤ 2 y ďƒşďƒť ď‚ł ďƒŞďƒŤ x ďƒşďƒť  ďƒŞďƒŤ y ďƒşďƒť  ďƒŞďƒŤ x  y ďƒşďƒť , para qualquer nĂşmero real x e y. 15. Mostre que se x e y sĂŁo nĂşmeros reais positivos, entĂŁo ďƒŞďƒŤ xy ďƒşďƒť ď‚ł ďƒŞďƒŤ x ďƒşďƒť ďƒŞďƒŤ y ďƒşďƒť . Qual ĂŠ a situação quando x e y sĂŁo negativos? O que acontece quando um dos nĂşmeros ĂŠ positivo e o outro negativo? 16. Mostre que  ďƒŞďƒŤ  x ďƒťďƒş ĂŠ o teto do nĂşmero real x.

1 17. Mostre que ďƒŞďƒŞ x  ďƒşďƒş ĂŠ o inteiro mais prĂłximo de x (quando hĂĄ dois inteiros 2ďƒť ďƒŤ

equidistantes de x, ele ĂŠ o mais distante dos dois).

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 x  n    x   n   18. Mostre que se m e n são inteiros, então   para qualquer número  m   m  real x. 19. Mostre que   x     x  para qualquer número real não negativo.  

20. Mostre que se m é um inteiro positivo, então 1 2 3 m  1  mx    x    x     x     x    ...   x      m   m   m  m 

21. Conjecture uma fórmula para o n-ésimo termo da sequência {an}, onde os dez primeiros termos são dados.

a) 3, 11, 19, 27, 35, 43, 51, 59, 67, 75 b) 5, 7, 11, 19, 35, 67, 131, 259, 515, 1027 c) 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0 d) 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123 e) 2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374, 13122, 39366 f) 1,1,0,1,1,0,1,1,0,1 g) 1,2,3,5,7,10,13,17,21,26 h) 3,5,11,21,43,85,171,341,683,1365

22. Determine três diferentes fórmulas ou regras para a sequência {an}, onde seus três primeiros termos são 2, 3, 4.

23. Mostre que o conjunto de todos os inteiros maiores que -100, é contável.

24. Mostre que o conjunto de todos os números racionais da forma

n , onde n é um 5

inteiro, é contável.

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25. Mostre que o conjunto de todos os números racionais da forma a  b 2 , onde a e b são inteiros, Ê contåvel.

26. Mostre que a uniĂŁo de dois conjuntos contĂĄveis ĂŠ contĂĄvel.

27. Mostre que a uniĂŁo de um nĂşmero contĂĄvel de conjuntos contĂĄveis ĂŠ contĂĄvel.

28. Prove o Teorema da Aproximação de Dirichelet. 29. Use uma calculadora, se necessĂĄrio, para encontrar inteiros a e b tal que 1 ď‚Ł a ď‚Ł 8 e | aď Ą  b |

1 , onde os valores de ď Ą sĂŁo: 8

a) 2

b)

3

2

c) ď °

d) e

30. Use uma calculadora, se necessĂĄrio, para encontrar inteiros a e b tal que 1 ď‚Ł a ď‚Ł 10 e | aď Ą  b |

1 , onde os valores de ď Ą sĂŁo: 10

b) 3 3

a) 3

c) ď ° 2

d) e 2

31. Prove a versĂŁo forte do Teorema da Aproximação de Dirichlet. Se đ?›ź ĂŠ um nĂşmero real e n ĂŠ um inteiro positivo, entĂŁo existem inteiros a e b com 1 ď‚Ł a ď‚Ł n tal que | aď Ą  b |

1 . n 1

32. Mostre que se đ?›ź ĂŠ um nĂşmero real e n ĂŠ um inteiro positivo, entĂŁo existe um inteiro k tal que | ď Ą 

n 1 . | k 2k

33. Encontre quatro nĂşmeros racionais

34. Encontre cinco nĂşmeros racionais

p 1 p com | 2  | 2 . q q q

p 1 p com | 3 5  | 2 . q q q

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35. Mostre que se � =

đ?‘Ž đ?‘?

ĂŠ um nĂşmero racional, entĂŁo existem infinitos nĂşmeros racionais

p a 1 p tal que |  | 2 . q b q q 36. A sequĂŞncia espectral de um nĂşmero real đ?›ź ĂŠ a sequĂŞncia que tem ďƒŞďƒŤ nď Ą ďƒşďƒť como seus enĂŠsimos termos. Encontre os dez primeiros termos da sequĂŞncia espectral de cada um dos seguintes nĂşmeros. a) 2

b)

2

c) 2  2 d) e e)

1 5 2

f) 3 g)

3 h)

3 3 i) ď ° 2

37. Prove que se ď Ą ď‚š ď ˘ ,entĂŁo a sequĂŞncia espectral de ď Ą ĂŠ diferente da sequĂŞncia espectral de ď ˘ .

38. Mostre que para todo inteiro positivo ocorre exatamente uma das sequĂŞncias espectrais de ď Ą ou de ď ˘ se e, somente se, ď Ą e ď ˘ sĂŁo nĂşmeros irracionais positivos tal que

1

ď Ą



1

ď ˘

 1.

Os NĂşmeros de Ulam correspondem a uma

sequĂŞncia {un}, n=1,2,3,... definida

inicialmente por u1 = 1 e u2 = 2. Para cada sucessivo inteiro m>2, o inteiro ĂŠ um nĂşmero de Ulam se, e somente se, puder ser escrito como o menor inteiro que pode ser expresso unicamente como a soma de dois termos distintos jĂĄ determinados dessa sequĂŞncia. Encontre os dez primeiros nĂşmeros de Ulam.

39. Mostre que existem infinitos nĂşmeros de Ulam.

40. Prove que e ĂŠ irracional.(SugestĂŁo: Use o fato de que đ?‘’ = 1 +

1 1!

+

1 2!

+

1 3!

+â‹Ż)

41. Mostre que o conjunto dos nĂşmeros reais ĂŠ incontĂĄvel.

42. (Conjectura de Collatz ) Considere a função definida por 3đ?‘›+1

T (n) = {

2 đ?‘› 2

đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘› Ă­đ?‘šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘› đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;

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A conjectura 3n + 1 Ê a afirmação de que a partir de qualquer inteiro n> 1, a seqßência de iteraçþes T(n), T(T(n)), T(T(T(n))),. . . , finalmente atinge o inteiro 1 e posteriormente, passa pelos valores 1 e 2. Isso foi verificado para todos os n < 1016. Confirme a conjectura nos casos n = 21 e n = 23.

A sequĂŞncia de Collatz para n = 25.

43. Prove a desigualdade de Bernoulli: Se 1 + a > 0, então (1 + a)n ≼ 1 + na Para todos n ≼ 1. 44. Se os números an são definidos por a1 = 11, a2 = 21 e an = 3 an-1 – 2 an-2 para n ≼ 3, provar que an =5.2n + 1,

n ≼ 1.

45. Uma ferramente algĂŠbrica na Ă lgebra Abstrata e Teoria dos NĂşmeros ĂŠ um conceito chamdo Ideal. Um ideal de đ?’ ĂŠ um subconjunto nĂŁo vazio đ?‘° ⊆ đ?’ , satisfazendo as seguintes condiçþes: (1) đ?‘Ľ + đ?‘Ś ∈ đ??ź đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Ąđ?‘œđ?‘‘đ?‘œ đ?‘Ľ đ?‘’ đ?‘Ś ∈ đ??ź; (2) đ?‘Žđ?‘Ľ ∈ đ??ź đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Ąđ?‘œđ?‘‘đ?‘œ đ?‘Ž ∈ đ?’ đ?‘’ đ?‘Ąđ?‘œđ?‘‘đ?‘œ đ?‘Ľ ∈ đ??ź. Mostre que todo ideal de đ?’ contĂŠm 0.

46. Mostre que: a) Se I ĂŠ um ideal de đ?’ e x ∈ I, entĂŁo x2 ∈ I, e em geral xn ∈ I, para todo nĂşmero natural n. b) Se I ĂŠ um idela de Z e 1 ∈ I entĂŁo, đ?‘° = đ?’ . c) Se I ĂŠ um ideal de Z que contĂŠm x e (x + 1)2 entĂŁo, đ?‘° = đ?’ . d) {0} e Z sĂŁo ideais de Z e que {0} ĂŠ o Ăşnico ideal com nĂşmero finito de elementos. e) A interseção de dois ideais ĂŠ um ideal. (Em geral a uniĂŁo de dois ideais nĂŁo nulos ĂŠ um ideal)

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1.2. SomatĂłrios e ProdutĂłrios

Como as somas e os produtos surgem tĂŁo frequentemente no estudo da teoria dos nĂşmeros, introduzimos agora notação para somas e produtos. Sejam os n > 1 inteiros. Para indicar, de modo abreviado, a soma desses n inteiros usa-se a notação: đ?‘›

∑ đ?‘Žđ?‘– đ?‘–=1

que se lĂŞ: “somatĂłrio de 1 a nâ€?. Em particular, para n = 2, 3,..., temos: 2

ďƒĽa i 1

i

 a1  a 2 ,

3

ďƒĽa i 1

i

 a1  a 2  a 3 , ...

A letra i chama-se o Ă­ndice do somatĂłrio e pode ser substituĂ­da por qualquer outra diferente de a e de n – ĂŠ um Ă­ndice mudo. E os inteiros 1 e n que figuram abaixo e acima da letra grega maiĂşscula (sigma) chamam-se respectivamente limite inferior e limite superior do Ă­ndice i. O nĂşmero de parcelas de um somatĂłrio ĂŠ sempre igual Ă diferença entre os limites superior e inferior do seu Ă­ndice mais uma unidade. Se m e n sĂŁo dois inteiros, com, entĂŁo, por definição: n

ďƒĽa im

i

 a m  a m 1  a m  2  ...a n

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Exemplo 1.19. Podemos ver que 7

∑ 5đ?‘– = 5.1 + 5.2 + 5.3 + 5.4 + 5.5 + 5.6 + 5.7 = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 = 140 đ?‘–=1 4

∑(8đ?‘— − 3) = (8.1 − 3) + (8.2 − 3) + (8.3 − 3) + (8.4 − 3) = 5 + 13 + 21 + 29 = 68 đ?‘—=1 8

∑ đ?‘˜. 2đ?‘˜ = 3. 23 + 4. 24 + 5. 25 + 6. 26 + 7. 27 + 8. 28 == 24 + 64 + 160 + 384 + 896 + 2048 == 3576 đ?‘˜=3

Observamos tambÊm que, na notação de soma, o índice do somatório pode variar entre dois números inteiros, desde que o limite inferior não exceda o limite superior. Por exemplo, temos 5

∑ đ?‘˜ 2 = 32 + 42 + 52 = 50, đ?‘˜=3 2

∑ 3đ?‘˜ = 30 + 31 + 32 = 13, đ?‘˜=0 1

∑ đ?‘˜ 3 = (−2)3 + (−1)3 + (0)3 + 13 = −8. đ?‘˜=−2

.

Muitas vezes precisamos considerar somas em que o índice do somatório varia sobre todos aqueles inteiros que possuem uma propriedade particular. Podemos usar a notação de somatório para especificar uma propriedade particular ou propriedades que o índice deve ter para um termo com esse índice a ser incluído na soma. Este uso da notação Ê ilustrado no exemplo a seguir.

Exemplo 1.20. Vemos que ∑ đ?‘— ≤ 10 đ?‘—∈{đ?‘›2 |đ?‘›âˆˆđ?‘?}

1 1 1 1 1 9 = + + + = đ?‘— + 1 1 2 5 10 5

porque os termos na soma sĂŁo todos aqueles para os quais o inteiro j ĂŠ um quadrado perfeito nĂŁo superior a 10. Isto ĂŠ, j=0, 1,4 e 9. As trĂŞs propriedades seguintes para somatĂłrios sĂŁo frequentemente Ăşteis. Deixamos suas provas nos Divertimentos.

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(1.1)

n

n

n

i 1

i 1

i 1

ďƒĽ (a i  bi )  ďƒĽ a i  ďƒĽ bi . n

n

i 1

i 1

(1.2) ďƒĽ ka i  k ďƒĽ a i . 20

Por exemplo, calcular

ďƒĽ (5i  2) . De acordo com as propriedades anteriores, i 1

20

20

20

20

i 1

i 1

i 1

i 1

ďƒĽ (5i  2)  ďƒĽ 5i  ďƒĽ 2  5ďƒĽ i  20.2  5(1  2  ...  20)  40  1  5. (1  20)20  40  5.210  40  1090 2 đ?‘›

đ?‘ž

đ?‘ž

đ?‘›

đ?‘ž

đ?‘›

(1.3) ∑ ∑ đ?‘Žđ?‘– đ?‘?đ?‘— = (∑ đ?‘Žđ?‘– ) (∑ đ?‘?đ?‘– ) = ∑ ∑ đ?‘?đ?‘— đ?‘Žđ?‘– đ?‘–=đ?‘š đ?‘—=đ?‘?

đ?‘–=đ?‘š

đ?‘—=đ?‘?

đ?‘—=đ?‘? đ?‘–=đ?‘š

Por exemplo, calcular 2

3

∑ ∑ 2đ?‘– 3đ?‘— . đ?‘–=1 đ?‘—=2

De acordo com a propriedade anterior, 3

3

4 đ?‘– đ?‘—

4

∑ ∑ 2 3 = (∑ 2 ) (∑ 3đ?‘— ) = (2 + 22 + 23 )(32 + 33 + 34 ) = 1638. đ?‘–=1 đ?‘—=2 4

đ?‘–

đ?‘–=1

3

đ?‘—=2 3

4 đ?‘— đ?‘–

∑ ∑ 3 2 = (∑ 3 ) (∑ 2đ?‘– ) = (32 + 33 + 34 )(2 + 22 + 23 ) = 1638. đ?‘—=2 đ?‘–=1

đ?‘—

đ?‘—=2

đ?‘–=1

Em seguida, desenvolvemos vĂĄrias fĂłrmulas Ăşteis de somatĂłrios. Muitas vezes precisamos avaliar somas de termos consecutivos de uma sĂŠrie geomĂŠtrica. O exemplo a seguir mostra como uma fĂłrmula para tais somas pode ser derivada.

Exemplo 1.21. Avalie đ?‘›

đ?‘† = ∑ đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘— đ?‘—=0

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a soma dos primeiros n + 1 termos das sĂŠries geomĂŠtricas a, ar, ar2,..., ark,..., multiplicamos ambos os lados por đ?‘&#x; ≠1 e manipulamos a soma resultante para encontrar: đ?‘›

đ?‘› đ?‘—

đ?‘&#x;đ?‘† = đ?‘&#x; ∑ đ?‘Žđ?‘&#x; = ∑ đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘—+1 = đ?‘—=0

đ?‘—=0

đ?‘›+1

= ∑ đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘˜ (deslocando o Ă­ndice de soma, tomando k = j + 1) đ?‘˜=1 đ?‘›

= ∑ đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘˜ + (đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘›+1 − đ?‘Ž) (adicionando o termo com k = n + 1 e removendo o termo k = 0) đ?‘˜=0

=S + (đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘›+1 − đ?‘Ž). Segue que đ?‘&#x;đ?‘† − đ?‘† = (đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘›+1 − đ?‘Ž). Resolvendo para S, temos para đ?‘&#x; ≠1, đ?‘†=

đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘›+1 −đ?‘Ž đ?‘&#x;−1

.

Observe que para r = 1, temos đ?‘›

đ?‘› đ?‘—

∑ đ?‘Žđ?‘&#x; = ∑ đ?‘Ž = (đ?‘› + 1)đ?‘Ž. đ?‘—=0

đ?‘—=0

Exemplo 1.22. Fazendo a = 3, r = -5, e n = 6 na fĂłrmula do Exemplo 1.21, temos que đ?‘›

∑ đ?‘–=0

3(−5)7 − 3 = 39 063. −5 − 1

O exemplo seguinte mostra que a soma das primeiras n potĂŞncias consecutivas de 2 ĂŠ 1 menos que a prĂłxima potĂŞncia de 2. Exemplo 1.23. Seja n um inteiro positivo. Para encontrar a soma đ?‘›

∑ 2đ?‘˜ = 1 + 2 + 22 + â‹Ż + 2đ?‘› , đ?‘˜=0

Usamos o Exemplo 1.21. com a = 1 e r = 2, para obter 1 + 2 + 2 2 + â‹Ż + 2đ?‘› =

2đ?‘›+1 − 1 = 2đ?‘›+1 − 1. 2−1 Prof. Rubens Vilhena

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Um somatĂłrio da forma đ?‘›

∑ (đ?‘Žđ?‘– − đ?‘Žđ?‘–−1 ), đ?‘–=1

onde a0, a1, ...an ĂŠ uma sequĂŞncia de nĂşmeros, ĂŠ chamada de telescĂłpica. Somas telescĂłpicas sĂŁo facilmente calculadas por que đ?‘›

∑(đ?‘Žđ?‘– − đ?‘Žđ?‘–−1 ) = (đ?‘Ž1 − đ?‘Ž0 ) + (đ?‘Ž2 − đ?‘Ž1 ) + â‹Ż + (đ?‘Žđ?‘› − đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 ) = (đ?‘Žđ?‘› − đ?‘Ž0 ) đ?‘–=1

Os gregos antigos estavam interessados em sequências de números que podem ser representadas por arranjos regulares de pontos igualmente espaçados. O exemplo seguinte ilustra uma tal sequência de números. Exemplo 1.24. Os números triangulares t1, t2, t3,...,tk,...

formam uma sequĂŞncia onde tk ĂŠ o

número de pontos na matriz triangular de k linhas com j pontos na j-Êsima linha. A Figura 1.2.1 abaixo ilustra que tk conta os pontos em triângulos regulares sucessivamente maiores para k = 1, 2, 3, 4 e 5.

Figura 1.2.1. NĂşmeros Triangulares Em seguida, determinaremos uma fĂłrmula explĂ­cita para o n-ĂŠsimo nĂşmero triangular tn.

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Exemplo 1.25. Como podemos encontrar uma fĂłrmula para o n-ĂŠsimo nĂşmero triangular? Uma abordagem ĂŠ usar a identidade (k + 1)2 – k2 = 2k + 1. Quando isolamos o fator k do lado esquerdo, encontramos đ?‘˜ =

(đ?‘˜+1)2 −đ?‘˜ 2 2

1

− . quando somamos esta expressĂŁo para 2

k = 1, 2,

..., n, obtemos đ?‘›

đ?‘Ąđ?‘› = ∑ đ?‘˜ đ?‘˜=1 đ?‘›

đ?‘›

(∑ đ?‘˜=1

(đ?‘˜ + 1)2 − đ?‘˜ 2 1 )−∑ 2 2 đ?‘˜=1

(substituindo k por =(

(đ?‘›+1)2

= =

2

(đ?‘˜+1)2 −đ?‘˜ 2 2 1

đ?‘›

2

2

− )−

(đ?‘›2 +2đ?‘›) 2

(đ?‘›2 +đ?‘›) 2

=

−

−

1 2

)

đ?‘› 2

đ?‘›(đ?‘›+1) 2

. đ?‘›(đ?‘›+1)

ConcluĂ­mos que o n-ĂŠsimo nĂşmero triangular ĂŠ dado por tn =

2

.

TambĂŠm definimos uma notação para os produtos, anĂĄloga Ă quela para as somas. O produto dos nĂşmeros a1, a2, ..., an ĂŠ denotado por đ?‘›

âˆ? đ?‘Žđ?‘— = đ?‘Ž1 đ?‘Ž2 ‌ đ?‘Žđ?‘› . đ?‘—=1

Exemplo 1.26. Para ilustrar a notação de produtório, temos 6

ďƒ• 3i   3.1 3.2  3.3 3.4  3.5 3.6   i 1

=3.6.9.12.15.18=524880 4

ďƒ•  5 j  3   5.1  3 5.2  3 5.3  3 5.4  3  j 1

=2.7.12.17  2856

A função fatorial surge em toda a teoria dos números.

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Definição: Seja n um inteiro positivo. EntĂŁo n! (lĂŞ-se "n fatorial") ĂŠ o produto dos inteiros 1, 2,. . . , n. TambĂŠm especificamos que 0! = 1. Em termos de notação de produtĂłrio, temos đ?‘›

đ?‘›! = âˆ? đ?‘— đ?‘—=1

.

DIVERTIMENTOS ARITMÉTICOS 1.2

1. Encontre cada uma das seguintes somas. đ?‘Ž) ∑5đ?‘—=1 đ?‘— 2 f) ∑4đ?‘—=0

đ?‘—+1 đ?‘—+2

b) ∑5đ?‘—=1(−3)

c) ∑5đ?‘—=1

g) ∑8đ?‘—=1 2đ?‘—

đ?‘—+1 k) ∑10 đ?‘—=0(−2)

1 đ?‘—+1

d) ∑4đ?‘—=0 3

h) ∑5đ?‘—=1 5(−3)đ?‘—

e) ∑4đ?‘—=0(đ?‘— − 3) 1

i) ∑5đ?‘—=1 3(− )đ?‘— 2

đ?‘— j) ∑10 đ?‘—=0 8.3

1

đ?‘— l) ∑10 đ?‘—=0( ) 3

2. Encontre e prove uma fĂłrmula para ∑đ?‘›đ?‘˜=1⌊√đ?‘˜âŒ‹ Use a fĂłrmula ∑đ?‘Ąđ?‘˜=1 đ?‘˜ 2 =

đ?‘Ą(đ?‘Ą+1)(2đ?‘Ą+1) 6

em termos de n e ⌊√đ?‘˜âŒ‹. (SugestĂŁo:

).

3. Juntando dois arranjos triangulares, um com n linhas e o outro com n-1 linhas, formase um quadrado (como ilustrado para n = 4), mostre que tn-1+tn=n2, onde tn ĂŠ o nĂŠsimo nĂşmero triangular.

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4. Juntando dois arranjos triangulares, cada um com n linhas forma-se um retângulo de tamanho n por n+1 ( como ilustrado para n = 4), mostre que

2tn-1 = n(n+1). DaĂ­,

conclua que tn =n(n+1)/2.

5. Mostre que 3tn+tn-1=t2n , onde tn ĂŠ o enĂŠsimo nĂşmero triangular. 2 6. Mostre que đ?‘Ąđ?‘›+1 − đ?‘Ąđ?‘›2 = (đ?‘› + 1)3 , onde tn ĂŠ o enĂŠsimo nĂşmero triangular.

7. Os nĂşmeros pentagonais sĂŁo uma sequĂŞncia de nĂşmeros que se podem representar sob a forma de pentĂĄgonos. Fazem parte dos chamados nĂşmeros poligonais.

8. Mostre que đ?‘?1 = 1e đ?‘?đ?‘˜= đ?‘?đ?‘˜âˆ’1 + (3đ?‘˜ − 2) para đ?‘˜ ≼ 2. Conclua que đ?‘?đ?‘› = ∑đ?‘›đ?‘˜=1(3đ?‘˜ − 2) e calcule a soma para determinar uma fĂłrmula para đ?‘?đ?‘› . 9. Prove que a soma dos (n – 1) nĂşmeros triangulares com o enĂŠsimo nĂşmero quadrado ĂŠ igual ao enĂŠsimo nĂşmero pentagonal. 10. a) Defina os nĂşmeros hexagonais hn para n=1, 2, 3... de maneira anĂĄloga as definiçþes de nĂşmero triangular, quadrado e pentagonal. b)Determine uma fĂłrmula para os nĂşmeros hexagonais.

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11. a) Defina os nĂşmeros heptagonais

de maneira anåloga as definiçþes de número

triangular, quadrado e pentagonal. b) Determine uma fĂłrmula para os nĂşmeros heptagonais. 12. Mostre que â„Žđ?‘› = đ?‘Ą2đ?‘›âˆ’1 para todo inteiro positivo n onde hn ĂŠ o enĂŠsimo nĂşmero hexagonal, definido no exercĂ­cio 10, e t2n-1 ĂŠ o (2n-1) nĂşmero triangular. 13. Mostre que đ?‘?đ?‘› = đ?‘Ą3đ?‘›âˆ’1 /3 onde pn ĂŠ o enĂŠsimo nĂşmero pentagonal , definido no exercĂ­cio 11, e t3n-1 ĂŠ o (3n-1) nĂşmero triangular.

Os números tetraÊdricos T1, T2, T3, ..., Tk, ... são definidos como o número de pontos necessårios para construir uma sequência de tetraedros, tendo em conta que as bases da pirâmide são triangulares e, portanto constituídas por números triangulares.

14. Mostre que o enĂŠsimo nĂşmero tetraĂŠdrico ĂŠ a soma dos n primeiros nĂşmeros triangulares.

15. Determine uma fĂłrmula para o enĂŠsimo nĂşmero tetraĂŠdrico.

16. Encontre n! para os 10 primeiros inteiros positivos n. 17. Liste os inteiros 100!, 100100, 2100 e (50!)2 em ordem decrescente. Justifique sua resposta. 18. Expresse cada um dos seguintes produtos em termos de âˆ?đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘Žđ?‘– , onde k ĂŠ uma constante. a) âˆ?đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘˜đ?‘Žđ?‘–

b) âˆ?đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘–đ?‘Žđ?‘– c) âˆ?đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘Žđ?‘–đ?‘˜

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19. Use a identidade

20. Use a identidade

1 đ?‘˜(đ?‘˜+1)

1 đ?‘˜ 2 −1

1

1

đ?‘˜

đ?‘˜+1

= −

1

= (

1

2 đ?‘˜âˆ’1

−

para calcular ∑đ?‘›đ?‘˜=1

1

1

.

đ?‘˜(đ?‘˜+1)

) para calcular ∑đ?‘›đ?‘˜=2

đ?‘˜+1

1 đ?‘˜ 2 +1

.

2

21. Encontre uma fĂłrmula para ∑đ?‘›đ?‘˜=1 đ?‘˜ usando uma tĂŠcnica anĂĄloga ao do exercĂ­cio 19 e a fĂłrmula dada. 3

22. Encontre uma fĂłrmula para ∑đ?‘›đ?‘˜=1 đ?‘˜ usando os resultados do exercĂ­cio 19. 23. Sem multiplicar todos os termos, verifique as igualdades. a) 10! = 6! 7! b) 10!=7! 5! 3! c) 16! = 14! 5! 2! d) 9! = 7! 3! 3! 2!

24. Sejam a1, a2, ..., na inteiros positivos. Seja b = (a1!a2!...an!)-1 e c = a1!a2!...an!. Mostre que c = a1!a2!...an!b!. 25. Encontre todos os inteiros positivos x, y e z tais que x! + y! = z!

26. Encontre o valor dos seguintes produtos. a) âˆ?đ?‘›đ?‘—=2 1 −

1 đ?‘—

1

b) âˆ?đ?‘›đ?‘—=2 1 −

đ?‘—2

27. Prove as seguintes propriedades (1.1)

n

n

n

i 1

i 1

i 1

ďƒĽ (a i  bi )  ďƒĽ a i  ďƒĽ bi

(1.2) đ?‘ž

n

n

i 1

i 1

ďƒĽ ka i  k ďƒĽ a i đ?‘ž

đ?‘ž

đ?‘› đ?‘› (1.3) ∑đ?‘› đ?‘–=đ?‘š ∑đ?‘—=đ?‘? = (∑đ?‘–=đ?‘š đ?‘Žđ?‘– )(∑đ?‘—=đ?‘? đ?‘?đ?‘– ) = ∑đ?‘—=đ?‘? ∑đ?‘–=đ?‘š đ?‘Žđ?‘– đ?‘?đ?‘—

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1.3. Indução Matemåtica As ciências naturais utilizam o mÊtodo chamado indução empírica para formular leis que devem reger determinados fenômenos a partir de um grande número de observaçþes particulares, selecionadas adequadamente. Esse tipo de procedimento, embora não seja uma demonstração de que um dado fato Ê logicamente verdadeiro, Ê frequentemente satisfatório. Por exemplo: ninguÊm duvidaria de que quando um corpo Ê liberado ao seu próprio peso, no våcuo, na superfície da terra, ele cai segundo a vertical do local. A validade de um teorema matemåtico se estabelece de forma totalmente diferente. Verificar que certa afirmação Ê verdadeira num grande número de casos particulares não nos permitirå concluir que ela Ê vålida. Para demonstrar a verdade de uma sequência infinita de proposiçþes, uma para cada inteiro positivo, introduziremos o chamado mÊtodo de recorrência ou indução matemåtica. Examinando as somas dos primeiros n primeiros números ímpares para pequenos valores de n, podemos conjecturar uma fórmula para esta soma. Temos 1

=

1

=

12

1+ 3

=

4

=

22

1+ 3+ 5

=

9

=

32

1+ 3+ 5+ 7

=

16

=

42

1+ 3+ 5+ 7+9

=

25

=

52

đ?‘›

A partir destes valores, conjecturamos que ∑đ?‘˜=1(2đ?‘˜ − 1) = 1 + 3 + ¡ ¡ ¡ + 2n-1= n2 para cada inteiro positivo n. Para podemos provar que essa fĂłrmula ĂŠ vĂĄlida para todos os inteiros positivos n, faremos uso da indução matemĂĄtica. Quando uma proposição ĂŠ enunciada em termos de nĂşmeros naturais, o PrincĂ­pio de indução matemĂĄtica constitui um eficiente instrumento para demonstrar a proposição no caso geral. Na prĂĄtica, o mĂŠtodo pode ser entendido por um artifĂ­cio muito simples. Vamos supor que temos uma sĂŠrie de dominĂłs idĂŞnticos colocados em fila, que começa por um deles e prossegue indefinidamente.

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Nosso objetivo é - empurrando apenas um dominó - garantir que todos caiam. Como derrubar todos os dominós? Para isso, basta nos assegurarmos de que: 1) O primeiro dominó cai;

2) Os dominós estão dispostos de tal modo que qualquer um deles - toda vez que cai -, automaticamente, empurra o dominó seguinte e o faz cair também.

Assim, mesmo que a fila se estenda indefinidamente, podemos afirmar que todos os dominós cairão.

Vamos estabelecer matematicamente esses procedimentos. Teorema 1.6. Primeiro Princípio da Indução Matemática. Seja S um subconjunto do conjunto N dos inteiros positivos ( S  N ) que satisfaz as duas seguintes condições: i) 1 pertence a S ( 1  S ); ii) para todo inteiro k, se k  S , então (k  1)  S . Nestas condições, S é o conjunto N dos inteiros positivo: S = N.

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Prova. Suponhamos, por absurdo, que S nĂŁo ĂŠ o conjunto N dos inteiros positivos ( S ď‚š N ) e seja X o conjunto de todos os inteiros positivos que nĂŁo pertencem a S, isto ĂŠ: X = {x | x ďƒŽ N e x ďƒ? S } = N – S EntĂŁo, X ĂŠ um subconjunto nĂŁo vazio de N ( ď Ś ď‚š X ďƒŒ N ) e, pelo “PrincĂ­pio da boa ordenaçãoâ€?, existe o elemento mĂ­nimo x0 de X (min X = x0 ). Pela primeira condição, 1 ďƒŽ S , de modo que x0 > 1 e, portanto, x0 - 1 ĂŠ um inteiro positivo que nĂŁo pertence a X. Logo, ( x0 - 1) ďƒŽ S e, pela segunda condição, segue-se que ( x0 - 1) + 1 = x0 ďƒŽ S , o que ĂŠ uma contradição, pois, x0 ďƒŽ X  N  S , isto ĂŠ, x0 ďƒ? S . Assim sendo, X  ď Ś e S = N. ∎ Consoante este “PrincĂ­pio de indução finitaâ€?, o Ăşnico subconjunto de N que satisfaz Ă s duas condiçþes ĂŠ o prĂłprio N. Na “demonstração por indução matemĂĄticaâ€? de uma dada proposição P(n) ĂŠ obrigatĂłrio verificar que as condiçþes i e ii sĂŁo ambas satisfeitas. A verificação da condição i ĂŠ geralmente muito fĂĄcil, mas a verificação da condição ii implica em demonstrar o teorema auxiliar cuja hipĂłtese ĂŠ: H: proposição P(k) ĂŠ verdadeira, k ďƒŽ N . denominada “hipĂłtese de induçãoâ€?, e cuja tese ou conclusĂŁo ĂŠ: T: proposição P(k + 1) ĂŠ verdadeira. Os problemas iniciais de indução geralmente sĂŁo propostos de 4 maneiras: envolvendo adiçþes, multiplicaçþes, divisĂľes e inequaçþes. 1. Indução envolvendo adiçþes. đ?‘›

Provaremos por indução matemĂĄtica que ∑đ?‘˜=1(2đ?‘˜ − 1) = n2, para todo inteiro positivo n. (A propĂłsito, se nossa conjectura para o valor desta soma for incorreta, a indução matemĂĄtica irĂĄ falhar em produzir uma prova!) Verificando a primeira condição, 1

∑(2đ?‘˜ − 1) = 2 − 1 = 1 = 12 đ?‘˜=1

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Para o passo indutivo, assumimos a hipĂłtese indutiva de que a fĂłrmula ĂŠ vĂĄlida para n; đ?‘›

isto ĂŠ, assumimos que ∑đ?‘˜=1(2đ?‘˜ − 1) = n2. Usando a hipĂłtese indutiva, temos đ?‘›+1

đ?‘›

∑đ?‘˜=1(2đ?‘˜ − 1) = ∑đ?‘˜=1(2đ?‘˜ − 1) + (2(đ?‘› + 1) − 1) (separando o termo com k = n + 1) =n2+2(n+1)-1

(usando a hipótese de indução)

=n2+2n+1 =(n+1)2. O que prova a validade da conjectura. 2. Indução envolvendo multiplicaçþes. Podemos mostrar por indução matemåtica que para todo n > 0: 1

1

1

1

1

2

3

đ?‘›

đ?‘ƒ(đ?‘›): (1 + ) (1 + ) (1 + ) ‌ + (1 + ) = (đ?‘› + 1) Para n = 1, a proposição ĂŠ verdadeira: 1 (1 + ) = (1 + 1) 1 Assumimos que P(k) ĂŠ verdadeira: 1

1

1

1

1

2

3

đ?‘˜

đ?‘ƒ(đ?‘˜): (1 + ) (1 + ) (1 + ) ‌ (1 + ) = (đ?‘˜ + 1)

(I)

Queremos provar que P(k+1) ĂŠ verdadeira: 1 1 1 1 (1 + ) (1 + ) (1 + ) ‌ (1 + ) = ((đ?‘˜ + 1) + 1) 1 2 3 (đ?‘˜ + 1) EntĂŁo. 1 1 1 1 (1 + ) (1 + ) (1 + ) ‌ (1 + )= (đ?‘˜ + 1) 1 2 3 1 1 1 1 1 = (1 + ) (1 + ) (1 + ) ‌ (1 + ) (1 + ) 1 2 3 đ?‘˜ (đ?‘˜ + 1) Usando ( I ) = (đ?‘˜ + 1) (1 + = (đ?‘˜ + 1) (

1 ) (đ?‘˜ + 1)

(đ?‘˜ + 1) + 1 ) (đ?‘˜ + 1)

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= (đ?‘˜ + 1) (

đ?‘˜+2 ) (đ?‘˜ + 1)

= (đ?‘˜ + 2)

3. Indução envolvendo divisĂŁo. Provemos que 15 divide os nĂşmeros da forma 24n – 1, onde n >0. Seja P(n): 15|24n – 1.Vemos que para n = 1, 15|24 – 1 ĂŠ verdadeira. Assumimos por hipĂłtese que P(k): 24đ?‘˜ − 1 = 15đ?‘Ą ĂŠ verdadeira, com t >0. Desenvolvendo 24(đ?‘˜+1) − 1 = 24đ?‘˜+4 − 1 = 24đ?‘˜ 24 − 1 − 24 + 24 = 24 (24đ?‘˜ − 1) − 1 + 24 = = 24 . 15đ?‘Ą + 15 = 15đ?‘ž 4. Indução envolvendo desigualdades Podemos mostrar por indução matemĂĄtica que đ?‘›! ≤ đ?‘›đ?‘› para cada inteiro positivo n. O passo base, ou seja, o caso em que n = l, ĂŠ vĂĄlido porque 1! = 1≤ 12 = 1. Agora, assumimos que k! ≤ đ?‘˜k . Esta ĂŠ a hipĂłtese de indução. Para completar a prova, devemos mostrar, sob o pressuposto de que a hipĂłtese indutiva ĂŠ verdadeira, que (k + 1)! ≤ (k + l)k+1. Usando a hipĂłtese indutiva, temos (k +1)! = (k+1). k! ≤ (k + 1k)kk < (k+1) (k +1)k ≤ (k +1)k+1 HipĂłtese indutiva

Uma ligeira variante do princípio da indução matemåtica tambÊm Ê por vezes muito útil em provas. Teorema 1.7 Segundo Princípio da Indução Matemåtica. Seja P(n) uma proposição associada a cada inteiro positivo n e que satisfaz às duas seguintes condiçþes: i) P(1) Ê verdadeira; ii) para todo inteiro positivo k, se P(1), P(2), ..., P(k) são todas verdadeiras, então P(k + 1) tambÊm Ê verdadeira. Nestas condiçþes, a proposição P(n) Ê verdadeira para todo inteiro positivo n. Prova. Seja S o conjunto de todos os inteiros positivos n para os quais a proposição P(n) Ê verdadeira, isto Ê:

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S = { n ďƒŽ N | P(n) ĂŠ verdadeira} Suponhamos por absurdo, que S≠N e seja X o conjunto de todos os inteiros positivos que na pertencem a S, isto ĂŠ: X = {x | x ďƒŽ N e x ďƒ? S } = N – S EntĂŁo, X ĂŠ um subconjunto nĂŁo vazio de N e, pelo “PrincĂ­pio da boa ordenaçãoâ€?, existe o elemento mĂ­nimo j de X (min X = j). Pela primeira condição, 1∈ đ?‘† , de modo que j > 1, e como j ĂŠ o menor inteiro positivo que nĂŁo pertence a S, segue-se que as proposiçþes P(1), P(2),..., P(j – 1) sĂŁo todas verdadeiras. EntĂŁo, pela segunda condição, a proposição P(j) ĂŠ verdadeira e j∈ đ?‘† , o que ĂŠ uma contradição, pois j∈ đ?‘‹ , isto ĂŠ, j∉ đ?‘† . Assim sendo, S = N e a proposição P(n) ĂŠ verdadeira para todo inteiro positivo n.∎ O segundo princĂ­pio da indução matemĂĄtica ĂŠ Ă s vezes chamado de indução forte para distingui-lo do primeiro princĂ­pio da indução matemĂĄtica, que tambĂŠm ĂŠ chamado Indução fraca. Exemplo 1.29. Numa brincadeira com selos, prove que cada quantidade de postagem de 12 centavos ou mais pode ser formada usando apenas usando selos de 4 e 5 centavos. Prova por indução forte: Seja P (n) a proposição de que uma postagem de n≼ 12, pode ser obtida usando apenas selos de 4 centavos e 5 centavos. Passo inicial. Por exame direto, concluĂ­mos que P (12) = 3x4, P (13) = 2x4 + 5, P (14) = 2x5 + 4 e P (15) = 3x5, sĂŁo verdadeiros. Etapa de indução. Suponha que P (k) ĂŠ verdadeira para 12 ≤ k ≤ j, onde j ĂŠ um inteiro com j≼ 15. Precisamos mostrar que P (k + 1) ĂŠ verdadeira. Observe que k + 1 = k - 3 + 4 e k – 3 ≼ 12. Usando a hipĂłtese indutiva, P (k - 3) ĂŠ verdadeira (ou seja, a postagem de k - 3 centavos pode ser obtida usando selos de 4 centavos e de 5 centavos). Portanto, para formar uma postagem de k + 1 centavos, precisamos apenas adicionar outro selo de 4 centavos aos selos que usamos para formar a postagem de k - 3 centavos. Isto completa o passo indutivo. ConcluĂ­mos que P (n) ĂŠ verdadeira para todo n≼ 12.

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Definições Recursivas

O princípio da indução matemática fornece um método para definir os valores de funções nos números inteiros positivos. Em vez de especificar explicitamente o valor da função em n, damos o valor da função em 1 e damos uma regra para encontrar, para cada inteiro positivo n, o valor da função em n + 1 a partir do valor da função em n. Definição. Dizemos que a função f é definida recursivamente se o valor de f em 1 é especificado e se para cada inteiro positivo n é fornecida uma regra para determinar f (n + 1) a partir de f (n). O princípio da indução matemática pode ser usado para mostrar que uma função que é definida recursivamente é definida unicamente em cada inteiro positivo (veja o Divertimento 25). Ilustramos como definir uma função recursivamente de acordo com definição. Exemplo 1.30. Definiremos recursivamente a função fatorial f (n) = n!. Primeiro especificaremos que f (1) = 1. Então obteremos uma regra para encontrar f (n + 1) a partir de f (n) para cada inteiro positivo, ou seja, f (n + 1) = (n + 1) · f (n). Essas duas declarações definem unicamente n! para o conjunto de inteiros positivos. Para encontrar o valor de f (6) = 6! A partir da definição recursiva, use a segunda declaração sucessivamente, da seguinte forma: f (6) = 6. f (5) = 6. 5. f (4) = 6. 5. 4. f (3) = 6. 5. 4. 3. f (2) = 6. 5. 4 3. 2. f (1). Em seguida, use a primeira declaração da definição para substituir f (1) pelo seu valor declarado 1, para concluir que 6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 720. O segundo princípio da indução matemática também serve como base para definições recursivas. Podemos definir uma função cujo domínio é o conjunto de inteiros

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positivos, especificando seu valor em 1 e dando uma regra, para cada inteiro positivo n, para encontrar f (n) a partir dos valores f (j) para cada inteiro j com 1≤ j≤ n - 1. Esta será a base para a definição da sequência dos números de Fibonacci discutida na próxima seção.

 Nota histórica

Era ideia assente na comunidade matemática do século XIX, que a indução era obra do matemático francês Blaise Pascal, tendo em conta diversas demonstrações que apresenta no seu Traité du Triangle Arithmétique. Essa situação seria integralmente modificada, vinte anos após a formulação moderna de indução matemática fixada por Giuseppe Peano , quando Giovanni Vacca , em 1909, num artigo de três páginas publicado no Bulletin of American Mathematical Society, vem defender que o italiano Francesco Maurolico , pelos trabalhos que desenvolveu no primeiro livro de aritmética incluído na sua Opuscula Mathematica, escrita em 1557 e publicado em Veneza no ano de 1575, como "the first discoverer of the principle of mathematical induction". O artigo de Vacca encontrou eco, ainda que eventualmente sem verificação posterior, em autores importantes como Moritz Cantor ou Siegmund Günther . M. Cantor, por exemplo, que atribuiu inicialmente a Pascal a principal origem do método de indução completa (em Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, vol. 2, p. 749), viria a transferir esse atributo para Maurolico (em Zeichrift fur Mathematischen und Naturwissenschaftlichen Unterricht, vol 33, 1902, p. 536), segundo conta devido a uma informação oral que lhe foi prestada pelo próprio Vacca. Passar-se-iam mais de quarenta anos sem que o artigo de Vacca fosse alvo de qualquer crítica. Até que Hans Freudenthal (em Zur Geschichte der vollständigen Induktion, Archive Internationale d'Histoire des Sciences 6 (1953) 17-37) depois de um exame detalhado dos trabalhos de Maurolico, vem sustentar que em apenas três pontos conseguiu reconhecer uma certa forma de indução matemática: uma forma arcaica, contudo, ao contrário do que observou em Pascal, onde a indução é formulada pela primeira vez de uma maneira abstrata.

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DIVERTIMENTOS ARITMÉTICOS 1.3

n 1. Use a indução matemática para provar que n  2 , para qualquer inteiro positivo n.

2. Conjecture uma fórmula para a soma dos n primeiro inteiros positivos pares. Prove seu resultado usando a indução matemática.

n

3. Use a indução matemática para provar que

1

k k 1

2

 2

1 , para qualquer inteiro n

positivo n.

n

4. Conjecture uma fórmula para

1

 k (k  1)

a partir da soma dos primeiros valores de n.

k 1

Prove que sua conjectura está correta usando a indução matemática. (Compare com o exercício 15 do item anterior).

 1 1 5. Conjecture uma fórmula para An onde A    . Prove sua conjectura usando a  0 1 indução matemática. n

6. Use a indução matemática para provar que

j j 1

n(n  1) , para todo inteiro positivo 2

n.

n

7. Use a indução matemática para provar que

j

2

j 1

n(n  1)(2n  1) , para todo inteiro 6

positivo n.

 n(n  1)  j3     , para todo inteiro  2  j 1 n

8. Use a indução matemática para provar que

2

positivo n.

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n

9. Use a indução matemática para provar que

 j ( j  1)  j 1

n(n  1)(n  2) , para todo 3

inteiro positivo n.

n

10. Use a indução matemática para provar que

 (1)

j 1

j 2 (1) n 1

j 1

n(n  1) , para todo 2

inteiro positivo n.

n

11. Encontre uma fórmula para

2

j

.

j1

n

12. Mostre que

 j. j !  (n  1)! 1 para todo inteiro positivo n. j 1

13. Mostre que qualquer quantidade de selos para um número inteiro de centavos maior que 11 centavos pode ser formado usando apenas selos de 4 e 5 centavos.

14. Mostre que qualquer quantidade de selos para um número inteiro de centavos maior que 53 centavos pode ser formado usando apenas selos de 7 e 10 centavos. n 1 Seja H n a n-ésima soma parcial da série harmônica, tal que H n   . j 1 j

n 15. Use a indução matemática para mostrar que H 2n  1  . 2

16. Use a indução matemática para mostrar que H 2n  1  n . 17. Mostre por indução matemática que se n é um inteiro positivo, então (2n)!  2 2 n ( n !) 2 .

18. Mostre por indução matemática que x – y é um fator de xn – yn , onde x e y são variáveis.

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19. Use a indução matemática para provar que o conjunto dos inteiros que contém o inteiro k, de tal forma que esse conjunto contém n+1 sempre que ele conter n, contém o conjunto dos inteiros que são maiores que ou iguais a k. n 20. Use a indução matemática para mostrar que 2  n ! para n  4 .

2 21. Use a indução matemática para mostrar que n  n ! para n  4 .

22. Use a indução matemática para mostrar que se h  1 , então 1  nh  (1  h) n , para todo inteiro n não-negativo.

23. Um quebra-cabeça é resolvido colocando suas peças juntas da maneira correta. Mostre que exatamente n - 1 movimentos são necessários para resolver um quebra - cabeça com n peças, onde um movimento consiste em juntar dois blocos de peças, com um bloco composto por uma ou mais peças montadas. (Sugestão: use o segundo princípio da indução)

24. Explique o que está errado com a seguinte prova por indução matemática de que todos os cavalos são da mesma cor: Claramente todos os cavalos em qualquer conjunto de 1 cavalo são todos da mesma cor. Isso completa o passo inicial. Agora suponha que todos os cavalos em qualquer conjunto de n cavalos são da mesma cor. Considere um conjunto de n + 1 cavalos, marcados com os inteiros 1, 2, ..., n + 1. Pela hipótese de indução, os cavalos 1, 2, ..., n são todos da mesma cor, como os cavalos 2 , 3, ..., n, n + 1. Uma vez que estes dois conjuntos de cavalos têm elementos comuns, denominados, cavalos 2, 3, 4, ..., n, todos n+1 os cavalos devem ser da mesma cor. Isso completa o argumento de indução.

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25. Use o princípio da indução matemática para mostrar que o valor em cada inteiro positivo de uma função definida recursivamente é determinado de forma única.

26. Qual função f (n) é definida recursivamente por f (1) = 2 e f (n + 1) = 2f (n) para n≥ 1? Prove sua resposta usando a indução matemática. 27. Se g é definido recursivamente por g (l) = 2 e g (n) = 2g(n-1) para n ≥ 2, qual o valor de g (4)?

28. Use o segundo princípio da indução matemática para mostrar que se f(1) é especificado e uma regra para encontrar f (n + 1) a partir dos valores de f nos primeiros n inteiros positivos é dada, então f (n) é unicament determinada para cada inteiro positivo n.

29. Definimos uma função recursivamente para todos os inteiros positivos n por f (l) = 1, f (2) = 5 e para n ≥ 2, f (n + 1) = f (n) + 2 f ( n - 1). Mostre que f (n) = 2n + (-l)n, usando o segundo princípio da indução matemática. 30. Mostre que 2n > n2 , para n > 4. 31. Suponha que a0 = 1, a1 = 3, a2 = 9, e an = an-1 + an-2 + an-3 para n ≥ 3. Mostre que

an

≤ 3n para cada inteiro não negativo n.

32. A torre de Hanoi era um enigma popular do final do século XIX. O enigma inclui três pinos e oito anéis de diferentes tamanhos colocados em ordem de tamanho, com o maior no fundo, em um dos pinos. O objetivo do quebra-cabeça é mover todos os anéis, um de cada vez, sem nunca colocar um anel maior sobre um anel menor, do primeiro pino ao segundo, usando o terceiro como um pino auxiliar.

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a) Use a indução matemåtica para mostrar que o número mínimo de movimentos para transferir n anÊis de um pino para outra, com as regras que descrevemos, Ê 2n - 1. b) Uma antiga lenda conta dos monges com uma torre com 64 anÊis de ouro e 3 pinos de diamante. Eles começaram a mover os anÊis, 1 movimento por segundo, quando o mundo foi criado. Quando eles terminarem de transferir os anÊis para o segundo pino, o mundo vai acabar. Quanto tempo ainda resta a humanidade?

33. A mĂŠdia aritmĂŠtica e a mĂŠdia geomĂŠtrica dos nĂşmeros reais positivos a0, a1, ..., an sĂŁo A=

đ?‘Ž0 +đ?‘Ž1 +â‹Ż+đ?‘Žđ?‘› đ?‘›

e G = đ?‘›âˆšđ?‘Ž0 đ?‘Ž1 ‌ đ?‘Žđ?‘› , respectivamente. Use a indução matemĂĄtica para

provar que A ≼ G para cada sequĂŞncia finita de nĂşmeros reais positivos. Quando a igualdade ĂŠ vĂĄlida? 34. Use a indução matemĂĄtica para mostrar que um tabuleiro de xadrez 2n x 2n com um quadrado em falta pode ser coberto com pedaços em forma de L, onde cada peça em forma de L cobre trĂŞs quadrados.

Um exemplo 23 x 23 35. Uma fração unitåria Ê uma fração da forma 1 / n, em que n Ê um inteiro positivo. Como os antigos egípcios representavam fraçþes como somas de fraçþes unitårias distintas, tais somas são chamadas fraçþes egípcias. Mostre que todo o número

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racional p / q, onde p e q são inteiros com 0 <p < q, pode ser escrito como uma soma de frações unitárias distintas, isto é, como uma fração egípcia. (Dica: Use indução forte no numerador p para mostrar um algoritmo voraz que adiciona a maior fração unitária possível em cada estágio sempre termina. Por exemplo, executando este algoritmo mostra que 5/7 = 1/2 + 1/5 + 1 / 70.)

36. Usando o algoritmo no Exercício 35, escreva cada um dos números como frações egípcias. a) 2/3

b) 5/8

c) 1 1/1 7

d) 44/101

37. Determine uma fórmula para a soma dos n termos 7, 77,777, 7777,... com n 7’s. Prove por indução que a fórmula vale para todos os inteiros positivos.

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1.4. NĂşmeros de Fibonacci

Em seu livro Liber Abaci, escrito em 1202, o matemĂĄtico Leonardo Fibonacci (1170 – 1250) colocou um problema relativo ao crescimento do nĂşmero de coelhos em uma determinada ĂĄrea. Este problema pode ser formulado da seguinte forma: Um casal de coelhos, ĂŠ colocado em uma ilha. Supondo que os coelhos nĂŁo se reproduzam atĂŠ os dois meses de idade e depois de terem dois meses, cada par de coelhos produz outro par a cada mĂŞs, quantos pares hĂĄ depois de n meses? Seja fn o nĂşmero de pares de coelhos apĂłs n meses. Temos f1 = 1 porque Somente o par original estĂĄ na ilha apĂłs um mĂŞs. Como este par nĂŁo se reproduz atĂŠ o segundo mĂŞs, f2 = 1. Para encontrar o nĂşmero de pares apĂłs n meses, adicione o nĂşmero de coelhos na ilha no mĂŞs anterior, fn+1, ao nĂşmero de pares recĂŠm-nascidos, o que equivale a fn+2, porque cada par recĂŠm-nascido vem de um par com pelo menos dois meses de idade. Isto leva Ă seguinte definição. Definição. A sequĂŞncias de Fibonacci ĂŠ definida recursivamente por f1 = 1, f2 = 1,

e fn =

fn-1 + fn-2 para � ≼ 3. Os termos dessa sequência são chamados de números de Fibonacci. O matemåtico Edouard Lucas nomeou esta sequência de Fibonacci no sÊculo XIX, quando ele estabeleceu muitas de suas propriedades. A resposta à pergunta de Fibonacci Ê que existem fn coelhos na ilha depois de n meses. Examinar os termos iniciais da sequência de Fibonacci serå útil à medida que estudamos suas propriedades. Exemplo 1.31. Calculamos os primeiros dez números de Fibonacci da seguinte forma:

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f3 = f2 + f1 = 1 + 1 = 2 f4 = f3 + f2= 2 + 1 = 3 f5 = f4 + f3 = 3 + 2 = 5 f6 = f5 + f4 = 5 + 3 = 8 f7 = f6 + f5 = 8 + 5 = 13 f8 = f7 + f6 = 13 + 8 = 21 f9 = f8 + f7 = 21 + 13 = 34 f10 = f9 + f8 = 34 + 21 = 55 Podemos definir o valor de f0 = 0, de modo que f2 = f1 + f0. Podemos também definir fn onde n é um número negativo para que a igualdade na definição recursiva seja satisfeita (veja o Divertimento 37). Os números de Fibonacci ocorrem em uma incrível variedade de aplicações. Por exemplo, na botânica o número de espirais em plantas com um padrão conhecido como phyllotaxis (“arranjo de folhas”, são os padrões de distribuição das folhas ao longo do caule das plantas), é sempre um número de Fibonacci ( ver Figura 1.3).

Figura 1.4.1 Os números de Fibonacci também satisfazem um número extremamente grande de identidades. Por exemplo, podemos facilmente encontrar uma identidade para a soma dos primeiros n números consecutivos de Fibonacci.

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Exemplo 1.32. A soma dos primeiros n números de Fibonacci para 3≤ n ≤ 8 Ê igual a 1,2, 4, 7, 12, 20, 33 e 54. Olhando para estes números, vemos que eles são todos apenas 1 menos do que o número Fibonacci fn+2. Isso nos leva à conjecturar que �

∑ đ?‘“đ?‘˜ = đ?‘“đ?‘›+2 − 1. đ?‘˜=1

Podemos provar essa identidade para todos os inteiros positivos n? Vamos mostrar, de duas maneiras diferentes, que essa identidade ĂŠ vĂĄlida para todos os inteiros n. NĂłs fornecemos duas demonstraçþes diferentes, para mostrar que hĂĄ frequentemente mais de uma maneira de provar que uma identidade ĂŠ verdadeira. Primeiro usamos o fato de que fn = fn-1 + fn-2 para n = 2, 3, ... e vemos que fk = fk+2 – fk+1 para k = 1,2,3,.... Isto significa que đ?‘›

đ?‘›

∑ đ?‘“đ?‘˜ = ∑(đ?‘“đ?‘˜+2 − đ?‘“đ?‘˜+1 ). đ?‘˜=1

đ?‘˜=1

Podemos facilmente avaliar esta soma porque ĂŠ telescĂłpica. Usando a fĂłrmula para a soma telescĂłpica dada na Seção 1.2, temos đ?‘›

∑ đ?‘“đ?‘˜ = đ?‘“đ?‘›+2 − đ?‘“2 = đ?‘“đ?‘›+2 − 1. đ?‘˜=1

O que prova o resultado. ∎ Podemos tambĂŠm provar essa identidade atravĂŠs da indução matemĂĄtica. O passo inicial ĂŠ vĂĄlido porque ∑1đ?‘˜=1 đ?‘“đ?‘˜ = 1 e isto ĂŠ igual a f1+1= f3 – 1= 2 -1 = 1. A hipĂłtese indutiva ĂŠ đ?‘›

∑ đ?‘“đ?‘˜ = đ?‘“đ?‘›+2 − 1. đ?‘˜=1

Devemos mostrar que, sob esta suposição, đ?‘›

∑ đ?‘“đ?‘˜ = đ?‘“đ?‘›+3 − 1. đ?‘˜=1

Para provar isso, note que pela hipĂłtese indutiva temos đ?‘›+1

đ?‘›

∑ đ?‘“đ?‘˜ = (∑ đ?‘“đ?‘˜ ) + đ?‘“đ?‘›+1 đ?‘˜=1

đ?‘˜=1

=(fn+2 -1) + fn+1

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=(fn+1 + fn+2) – 1 = fn+3 - 1∎

Quão råpido os números de Fibonacci crescem? A desigualdade a seguir, mostra que os números de Fibonacci crescem mais råpido do que a sÊries geomÊtrica de razão � =

1+√5 2

.

Exemplo 1.33. Podemos usar o segundo princĂ­pio da indução matemĂĄtica para provar que đ?‘“đ?‘› > đ?›ź đ?‘›âˆ’2 para n ≼ 3 onde đ?›ź =

1+√5 2

. O passo inicial consiste em verificar essa desigualdade

para n = 3 e n = 4. Temos � <2 = f3, portanto o teorema Ê verdadeiro para n = 3. Como �2 =

3+√5 2

< 3 = f4, o teorema ĂŠ verdadeiro para n = 4.

A hipĂłtese indutiva consiste em assumir que đ?›ź đ?‘˜âˆ’2 < đ?‘“đ?‘˜ para todos os inteiros k com k≤ n. Dado que đ?›ź =

1+√5 2

ĂŠ uma solução de x2 - x - 1 = 0, temos đ?›ź 2 = đ?›ź + 1. Portanto,

đ?›ź đ?‘›âˆ’1 = đ?›ź 2 đ?›ź đ?‘›âˆ’3 = (đ?›ź + 1). đ?›ź đ?‘›âˆ’3 = đ?›ź đ?‘›âˆ’2 + đ?›ź đ?‘›âˆ’3 . Pela hipĂłtese indutiva, temos as desigualdades đ?›ź đ?‘›âˆ’2 < đ?‘“đ?‘› ,

đ?›ź đ?‘›âˆ’3 < đ?‘“đ?‘›âˆ’1 .

Ao adicionar estas duas desigualdades, concluĂ­mos que đ?›ź đ?‘›âˆ’1 < đ?‘“đ?‘› + đ?‘“đ?‘›âˆ’1 = đ?‘“đ?‘›+1 . Isto termina a prova. ∎ Teorema 1.8. Seja n um inteiro positivo e seja đ?›ź =

1+√5 2

eđ?›˝=

1−√5 2

. EntĂŁo, o

n-

ĂŠsimo nĂşmero de Fibonacci fn ĂŠ dado por đ?‘“đ?‘› =

1 √5

(đ?›ź đ?‘› − đ?›˝đ?‘› ).

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DIVERTIMENTOS ARITMÉTICOS 1.4

1. Encontre os seguintes nĂşmeros de Fibonacci. a) đ?‘“10

c) đ?‘“15

e) đ?‘“20

b) đ?‘“13

d) đ?‘“18

f) đ?‘“25

2. Encontre cada um dos seguintes nĂşmeros de Fibonacci. a) đ?‘“12

c) đ?‘“24

e) đ?‘“32

b) đ?‘“16

d) đ?‘“30

f) đ?‘“36

3. Prove que đ?‘“đ?‘›+3 + đ?‘“đ?‘› = 2đ?‘“đ?‘›+2 , onde đ?‘› ĂŠ um inteiro positivo. 4. Prove que đ?‘“đ?‘›+3 − đ?‘“đ?‘› = 2đ?‘“đ?‘›+1 , onde đ?‘› ĂŠ um inteiro positivo. 5. Prove que đ?‘“2đ?‘› = đ?‘“đ?‘›2 + 2đ?‘“đ?‘›âˆ’1 đ?‘“đ?‘› , onde đ?‘› ĂŠ um inteiro positivo. (Lembre-se que đ?‘“0 = 0.) 6. Prove que đ?‘“đ?‘›âˆ’2 + đ?‘“đ?‘›+2 = 3đ?‘“đ?‘› , onde đ?‘› ĂŠ um inteiro com đ?‘› ≼ 2. (Lembre-se que đ?‘“0 = 0.) 7. Encontre e prove uma fĂłrmula simples para a soma dos đ?‘› primeiros nĂşmeros de Fibonacci com Ă­ndices Ă­mpares quando đ?‘› ĂŠ um inteiro positivo. Ou seja, encontrar uma fĂłrmula simples para đ?‘“1 + đ?‘“3 + â‹Ż + đ?‘“2đ?‘›âˆ’1 . 8. Encontre e prove uma fĂłrmula simples para a soma dos đ?‘› primeiros nĂşmeros de Fibonacci com Ă­ndices pares quando đ?‘› ĂŠ um inteiro positivo. Ou seja, encontrar uma fĂłrmula simples para đ?‘“2 + đ?‘“4 + â‹Ż + đ?‘“2đ?‘› . 9. Encontre e prove uma fĂłrmula simples para a expressĂŁo đ?‘“đ?‘› − đ?‘“đ?‘›âˆ’1 + đ?‘“đ?‘›âˆ’2 − â‹Ż + (−1)đ?‘›+1 đ?‘“1 quando đ?‘› ĂŠ um nĂşmero inteiro positivo.

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2 10. Prove que đ?‘“2đ?‘›+1 = đ?‘“đ?‘›+1 + đ?‘“đ?‘›2 , onde đ?‘› ĂŠ um inteiro positivo.

2 2 11. Prove que đ?‘“2đ?‘› = đ?‘“đ?‘›+1 − đ?‘“đ?‘›âˆ’1 , onde đ?‘› ĂŠ um inteiro positivo. (Lembre-se que đ?‘“0 = 0.)

12. Prove que đ?‘“đ?‘› + đ?‘“đ?‘›âˆ’1 + đ?‘“đ?‘›âˆ’2 + 2đ?‘“đ?‘›âˆ’3 + 4đ?‘“đ?‘›âˆ’4 + 8đ?‘“đ?‘›âˆ’5 + â‹Ż + 2đ?‘›âˆ’3 = 2đ?‘›âˆ’1 , onde đ?‘› ĂŠ um inteiro com đ?‘› ≼ 3. 13. Prove que ∑đ?‘›đ?‘—=1 đ?‘“đ?‘—2 = đ?‘“12 + đ?‘“22 + â‹Ż + đ?‘“đ?‘›2 = đ?‘“đ?‘› đ?‘“đ?‘›+1 para todo inteiro positivo đ?‘›. 14. Prove que đ?‘“đ?‘›+1 đ?‘“đ?‘›âˆ’1 − đ?‘“đ?‘›2 = (−1)đ?‘› para todo inteiro positivo đ?‘›. 15. Prove que đ?‘“đ?‘›+1 đ?‘“đ?‘› − đ?‘“đ?‘›âˆ’1 đ?‘“đ?‘›âˆ’2 = đ?‘“2đ?‘›âˆ’1 para todo inteiro positivo đ?‘›, đ?‘› > 2. 2 16. Prove que đ?‘“1 đ?‘“2 + đ?‘“2 đ?‘“3 + â‹Ż + đ?‘“2đ?‘›âˆ’1 đ?‘“2đ?‘› = đ?‘“2đ?‘› se đ?‘› ĂŠ um nĂşmero inteiro positivo.

17. Prove que đ?‘“đ?‘š+đ?‘› = đ?‘“đ?‘š đ?‘“đ?‘›+1 + đ?‘“đ?‘› đ?‘“đ?‘šâˆ’1 para todo đ?‘š e đ?‘› inteiros positivos. Os nĂşmeros de Lucas, em homenagem a François-Edouard-Anatole Lucas, sĂŁo definidos recursivamente por 2, đ??żđ?‘› = { 1, đ??żđ?‘›âˆ’1 + đ??żđ?‘›âˆ’2 ,

đ?‘ đ?‘’ đ?‘› = 0 đ?‘ đ?‘’ đ?‘› = 1 đ?‘ đ?‘’ đ?‘› > 1

Eles satisfazem a mesma relação de recorrência que os números de Fibonacci, mas os valores iniciais são diferentes:

18. Encontre os 12 primeiros nĂşmeros de Lucas. 19. Encontre e prove uma fĂłrmula para a soma dos primeiros đ?‘› nĂşmeros de Lucas quando đ?‘› ĂŠ um inteiro positivo. 20. Encontre e prove uma fĂłrmula para a soma dos primeiros đ?‘› nĂşmeros de Lucas com Ă­ndices Ă­mpares quando đ?‘› ĂŠ um inteiro positivo.

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21. Encontre e prove uma fĂłrmula para a soma dos primeiros đ?‘› nĂşmeros de Lucas com Ă­ndices pares quando đ?‘› ĂŠ um inteiro positivo. 22. Prove que đ??ż2đ?‘› − đ??żđ?‘›+1 đ??żđ?‘›âˆ’1 = 5(−1)đ?‘› quando đ?‘› ĂŠ um inteiro com đ?‘› ≼ 2. 23. Prove que đ??ż21 + đ??ż22 + â‹Ż + đ??ż2đ?‘› = đ??żđ?‘› đ??żđ?‘›+1 − 2 quando đ?‘› ĂŠ um inteiro com đ?‘› ≼ 1. 24. Mostre que o n-ĂŠsimo nĂşmero de Lucas đ??żđ?‘› ĂŠ a soma dos primeiros (đ?‘› + 1) e (đ?‘› − 1) nĂşmeros de Fibonacci, đ?‘“đ?‘›+1 e đ?‘“đ?‘›âˆ’1 respectivamente. 25. Mostre que đ?‘“2đ?‘› = đ?‘“đ?‘› đ??żđ?‘› para todo đ?‘› com đ?‘› ≼ 1, onde đ?‘“đ?‘› ĂŠ o n-ĂŠsimo nĂşmero de Fibonacci e đ??żđ?‘› ĂŠ o n-ĂŠsimo nĂşmero de Lucas. 26. Prove que 5đ?‘“đ?‘›+1 = đ??żđ?‘› + đ??żđ?‘›+2 onde n ĂŠ um nĂşmero inteiro positivo, đ?‘“đ?‘› ĂŠ o n-ĂŠsimo nĂşmero de Fibonacci, e đ??żđ?‘› ĂŠ o n-ĂŠsimo nĂşmero de Lucas. 27. Prove que đ??żđ?‘š+đ?‘› = đ?‘“đ?‘š+1 đ??żđ?‘› + đ?‘“đ?‘š đ??żđ?‘›âˆ’1 para todo m e đ?‘› inteiros positivos com đ?‘› > 1, đ?‘“đ?‘› ĂŠ o n-ĂŠsimo nĂşmero de Fibonacci, e đ??żđ?‘› ĂŠ o n-ĂŠsimo nĂşmero de Lucas. 28. Mostre que đ??żđ?‘› , o n-ĂŠsimo nĂşmero de Lucas, ĂŠ dado por đ??żđ?‘› = đ?›ź đ?‘› + đ?›˝đ?‘› , onde đ?›ź = (1 + √5)/2 e đ?›˝ = (1 − √5)/2. A representação de Zeckendorf de um nĂşmero inteiro positivo ĂŠ uma expressĂŁo Ăşnica deste inteiro como a soma de nĂşmeros de Fibonacci distintos, onde nenhum desses nĂşmeros de Fibonacci sĂŁo termos consecutivos (onde o termo đ?‘“1 = 1 nĂŁo ĂŠ usado).

29. Encontre a representação de Zeckendorf de cada um dos inteiros 50, 85, 110 e 200. 30. Mostre que cada inteiro positivo tem uma única representação Zeckendorf.

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31. Mostre que đ?‘“đ?‘› ≤ đ?›ź đ?‘›âˆ’1 para todo inteiro n com đ?‘› ≼ 2, onde đ?›ź = (1 + √5)/2.

32. Mostre que đ?‘› đ?‘›âˆ’1 đ?‘›âˆ’2 ( )+( )+( ) + â‹Ż = đ?‘“đ?‘›+1 , 0 1 2 onde n ĂŠ um nĂşmero inteiro nĂŁo negativo e đ?‘“đ?‘›+1 ĂŠ o (n + 1)-ĂŠsimo nĂşmero de Fibonacci. 33. Prove que sempre que n ĂŠ um inteiro nĂŁo negativo, ∑đ?‘›đ?‘—=1 (đ?‘›đ?‘—) đ?‘“đ?‘— = đ?‘“2đ?‘› , onde đ?‘“đ?‘— ĂŠ o jĂŠsimo nĂşmero de Fibonacci. đ?‘“ 1 1 ). Mostre que đ?‘­đ?’? = ( đ?‘›+1 đ?‘“đ?‘› 1 0

34. Seja đ?‘­ = (

đ?‘“đ?‘› ) quando đ?‘› ∈ ℤ+ . đ?‘“đ?‘›âˆ’1

35. Tome os determinantes de ambos os lados do resultado do ExercĂ­cio 34, para provar a identidade do Divertimento 14. 36. Defina os NĂşmeros de Fibonacci Generalizados, recursivamente por đ?‘”1 = đ?‘Ž, đ?‘”2 = đ?‘? e đ?‘”đ?‘› = đ?‘”đ?‘›âˆ’1 + đ?‘”đ?‘›âˆ’2 para đ?‘› ≼ 3. Mostre que đ?‘”đ?‘› = đ?‘Žđ?‘“đ?‘›âˆ’2 + đ?‘?đ?‘“đ?‘›âˆ’1 para đ?‘› ≼ 3. 37. DĂŞ uma definição recursiva do nĂşmero de Fibonacci đ?‘“đ?‘› quando n ĂŠ um inteiro negativo. Use sua definição para encontrar đ?‘“đ?‘› para n = -1, -2, -3, ..., -10. 38. Use os resultados do Divertimento 37 para formular uma conjectura que relaciona os valores de đ?‘“−đ?‘› e đ?‘“đ?‘› quando n ĂŠ um inteiro positivo. Prove esta conjectura usando a indução matemĂĄtica.

39. O que hå de errado com a alegação de que um quadrado 8 x 8 pode ser quebrado em pedaços que podem ser remontados para formar um retângulo 5 x 13 como mostrado?

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40. Mostre que se đ?‘Žđ?‘› =

1 √5

(đ?›ź đ?‘› − đ?›˝đ?‘› ), onde đ?›ź = (1 + √5)/2 e đ?›˝ = (1 − √5)/2, entĂŁo

đ?‘Žđ?‘› = đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 + đ?‘Žđ?‘›âˆ’2 e đ?‘Ž1 = đ?‘Ž2 = 1. Conclua que đ?‘“đ?‘› = đ?‘Ž, onde đ?‘“đ?‘› ĂŠ o n-ĂŠsimo nĂşmero de Fibonacci. Uma relação de recorrĂŞncia linear homogĂŞnea de grau 2 com coeficientes constantes ĂŠ uma equação da forma đ?‘Žđ?‘› = đ?‘?1 đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 + đ?‘?2 đ?‘Žđ?‘›âˆ’2 , onde đ?‘?1 e đ?‘?2 sĂŁo nĂşmeros reais com đ?‘?2 ≠0. Pode-se mostrar que se a equação đ?‘&#x; 2 − đ?‘?1 đ?‘&#x; − đ?‘?2 = 0 tem duas raĂ­zes distintas đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;2 , entĂŁo a sequĂŞncia {đ?‘Žđ?‘› } ĂŠ uma solução da relação de recorrĂŞncia linear homogĂŞnea đ?‘Žđ?‘› = đ?‘?1 đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 + đ?‘?2 đ?‘Žđ?‘›âˆ’2 se, e somente se, đ?‘Žđ?‘› = đ??ś1 đ?‘&#x;1đ?‘› + đ??ś2 đ?‘&#x;2đ?‘› para n = 0, 1, 2,. . . , em que đ??ś1 e đ??ś2 sĂŁo constantes. Os valores dessas constantes podem ser encontrados usando os dois termos iniciais da sequĂŞncia.

41. Encontre uma fĂłrmula explĂ­cita para đ?‘“đ?‘› , provando o Teorema 1.7, resolvendo a relação de recorrĂŞncia đ?‘“đ?‘› = đ?‘“đ?‘›âˆ’1 + đ?‘“đ?‘›âˆ’2 para n = 2, 3, ... com condiçþes iniciais đ?‘“0 = 0 e đ?‘“1 = 1. A função geradora para a sequĂŞncia đ?‘Ž0 , đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘˜ , ‌ ĂŠ a sĂŠrie infinita ∞

đ??ş(đ?‘Ľ) = ∑ đ?‘Žđ?‘˜ đ?‘Ľ đ?‘˜ . đ?‘˜=0

đ?‘˜ 42. Utilize a função geradora đ??ş(đ?‘Ľ) = ∑∞ onde đ?‘“đ?‘˜ ĂŠ o k-ĂŠsimo nĂşmero de đ?‘˜=0 đ?‘“đ?‘˜ đ?‘Ľ

Fibonacci para encontrar uma fĂłrmula explĂ­cita para đ?‘“đ?‘˜ provando Teorema 1.7. 43. Encontre uma fĂłrmula explĂ­cita para os nĂşmeros de Lucas usando a tĂŠcnica do Divertimento 41.

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44. Encontre uma fórmula explícita para os números de Lucas usando a técnica do Divertimento 42.

45. Use a indução matemática para provar o Teorema 1.7.

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1.5. Divisibilidade

Um conceito chave em Teoria dos Números é o conceito de divisibilidade. Existem muitos aspectos interessantes referentes à divisão de números inteiros. Antes que possam ser analisados, é necessário que conceitos básicos como divisor e divide estejam bem estabelecidos. Definição. Sejam a e b dois inteiros, com a  0. Diz-se que a divide b se, e somente se, existe um inteiro c tal que b = ac. Se a divide b também se diz que a é divisor de b, que b é múltiplo de a, que a é um fator de b ou que b é divisível por a. Se a divide b escrevemos a | b, e se a não divide b escrevemos a | b. Teorema 1.9 Quaisquer que sejam os inteiros a, b, c, m e n tem-se: (i) a | 0 a  0 , 1 | a e a | a a  0 (ii) Se a | 1 , então a =  1 (iii) Se a | b e se c | d , então ac | bd (iv) Se a | b e se b | c , então a | c (v) Se a | b e se b | a , então a =  b (vii) Se a | b com b  0 , então | a |  | b | (vii) Se c | a e se c | b , então c |(ma + nb) Prova: (Divertimento 1)

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O Teorema da divisĂŁo, que veremos a seguir, usado por Euclides no seu livro Elementos, estabelece uma divisĂŁo com resto. É um teorema que foi "provado" uma vez atravĂŠs de um algoritmo que explica como se processa a divisĂŁo, por esse motivo ficou conhecido como Algoritmo de Euclides. Teorema. O Algoritmo da DivisĂŁo. Se a e b sĂŁo dois inteiros, com b > 0, entĂŁo existem e sĂŁo Ăşnicos os inteiros q e r que satisfazem Ă s condiçþes: a = bq + r e 0 ď‚Ł r < b. Os inteiros a, b, q e r chamam-se respectivamente dividendo, divisor, quociente e o resto na divisĂŁo de a por b. (Observação: Usamos o nome tradicional para este teorema, mesmo que o algoritmo de divisĂŁo nĂŁo seja realmente um algoritmo. Notamos que a ĂŠ divisĂ­vel por b se e somente se o resto no algoritmo de divisĂŁo ĂŠ 0. Uma versĂŁo mais geral do Algoritmo da DivisĂŁo ĂŠ obtida quando se substitui a restrição que b tem de ser positivo pela simples condição que b≠0. CorolĂĄrio: Se a e b sĂŁo dois inteiros, com b ď‚š 0, entĂŁo existem e sĂŁo Ăşnicos os inteiros q e r tais que a = bq + r , 0 ď‚Ł r < | b | Agora usaremos a função piso para dar fĂłrmulas explĂ­citas para o quociente e o resto no algoritmo da divisĂŁo. Pelo fato do quociente q ĂŠ o maior inteiro tal que bq≤ a, e r = a - bq, segue-se que đ?‘Ž

đ?‘Ž

đ?‘?

đ?‘?

đ?‘ž = ⌊ ⌋, đ?‘&#x; = đ?‘Ž − đ?‘? ⌊ ⌋.

(1.1)

Os exemplos a seguir exibem o quociente e o resto de uma divisão. Definição. Se o resto de n quando dividido por 2 Ê 0, então n = 2k para algum inteiro k, então dizemos que n Ê par, enquanto se o resto de n quando dividido por 2 Ê 1, então n = 2k + 1 para alguns inteiro k, então dizemos que n Ê ímpar.

MĂĄximo Divisor Comum Se a e b sĂŁo inteiros, nĂŁo ambos 0, entĂŁo o conjunto de divisores comuns de a e b ĂŠ um conjunto finito de inteiros, sempre contendo os inteiros + 1 e -1. Estamos interessados no maior nĂşmero inteiro entre os divisores comuns dos dois inteiros.

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Definição. O máximo divisor comum de dois inteiros a e b, que não são ambos 0, é o maior inteiro que divide a e b. O máximo divisor comum de a e b é escrito como mdc(a, b). (Note que a notação (a, b) também é usada, especialmente fora da teoria dos números. Dependendo da necessidade, usaremos a notação (a, b), mesmo que seja a mesma notação usada para pares ordenados.) Observe que (0, n) = (n, 0) = n sempre que n é um número inteiro positivo. Mesmo que cada inteiro positivo divida 0, definimos (0, 0) = 0. Isso é feito para garantir que os resultados provados para o máximo divisor comum são válidos em todos os casos. Estamos particularmente interessados em pares de números inteiros que não compartilham divisores comuns maiores que 1. Esses pares de números inteiros são chamados relativamente primos (primos entre si ou coprimos.) Definição. Os inteiros a e b, com a≠0 e b≠0, são relativamente primos se mdc(a, b) = 1.

DIVERTIMENTOS ARITMÉTICOS 1.5 1. Demonstrar que 3│99, 5│145, 7│343 e 888│0.

2. Mostre que 1001 é divisível por 7, por 11 e por 13.

3. Decida quais dos seguintes números inteiros são divisíveis por 7. a) 0

c) 1717

e) – 285,714

b) 707

d) 123,321

f) – 430,597

4. Decida quais dos seguintes números inteiros são divisíveis por 22. a) 0

c) 1716

e) – 32,516

b) 444

d) 192,544

f) – 195,518

5. Encontre o quociente e o resto no algoritmo de divisão, com divisor 17 e dividendo

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a) 100.

b) 289.

c) – 44.

d) – 100.

6. Encontre todos os inteiros positivos que dividem cada um desses inteiros. a) l2.

b) 22.

c) 37.

d) 41.

7. Encontre todos os inteiros positivos que dividem cada um desses inteiros. a) 13.

b) 21.

c) 36.

d) 44.

8. Encontre esses maiores divisores comuns encontrando todos os inteiros positivos que dividem cada nĂşmero inteiro no par e selecionando o maior que divide ambos. a) (8, 12)

b) (7, 9)

c) (15, 25)

d) (16, 27)

9. Encontre esses maiores divisores comuns encontrando todos os inteiros positivos que dividem cada nĂşmero inteiro no par e selecionando o maior que divide ambos. a) (11, 22)

b) (36, 42)

c) (21, 22)

d) (16, 64)

10. Encontre todos os inteiros positivos inferiores a 10 que sĂŁo relativamente primos para ele.

11. Encontre todos os inteiros positivos inferiores a 11 que sĂŁo relativamente primos a ele.

12. Encontre todos os pares de nĂşmeros inteiros positivos que nĂŁo excedam 10 que sĂŁo relativamente primos.

13. Encontre todos os pares de inteiros positivos entre 10 e 20, inclusive, que sĂŁo relativamente primos.

14. O que vocĂŞ pode concluir se a e b sĂŁo inteiros nĂŁo nulos tais que a│b e b│a? 15. Mostre que se a, b, c, e d sĂŁo inteiros com a e c diferentes de zero, tal que a│b e c│d, entĂŁo ac│bd. 16. HĂĄ nĂşmeros inteiros a, b, e c tal que a│bc, mas a ∤ b e a ∤ c? 17. Mostre que se a, b, e đ?‘? ≠0 sĂŁo nĂşmeros inteiros, entĂŁo a│b se e somente se ac│bc.

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18. Mostre que se a e b sĂŁo inteiros positivos e a│b, entĂŁo đ?‘Ž ≤ đ?‘?. 19. Mostre que se a e b sĂŁo inteiros tal que a│b, entĂŁo ak│bk para todo inteiro positivo k.

20. Mostre que a soma de dois pares ou de dois inteiros Ă­mpares ĂŠ par, enquanto que a soma de um nĂşmero par e Ă­mpar ĂŠ Ă­mpar.

21. Mostre que o produto de dois inteiros Ă­mpares ĂŠ Ă­mpar, e o produto de dois inteiros pares ĂŠ par. 22. Mostre que se a e b sĂŁo inteiros positivos Ă­mpares e b ∤ a, entĂŁo existem inteiros s e t tal que que a = bs + t, onde t ĂŠ Ă­mpar e |đ?‘Ą| < đ?‘?.

23. Quando o inteiro a ĂŠ dividido pelo inteiro b, onde b > 0, o algoritmo de divisĂŁo dĂĄ um quociente de q e um restante de r. Mostre que se b ∤ a, quando – a ĂŠ dividido por b, o algoritmo de divisĂŁo dĂĄ um quociente de – (q + 1) e um restante de b – r, enquanto que se b│a, o quociente ĂŠ – q e o restante ĂŠ 0.

24. Mostre que se a, b, e c sĂŁo inteiros com b > 0 e c > 0, tal que quando a ĂŠ dividido por b o quociente ĂŠ q e o resto ĂŠ r, e quando q ĂŠ dividido por c o quociente ĂŠ t e o resto ĂŠ s, entĂŁo quando a ĂŠ dividido por b e, o quociente ĂŠ t e o resto ĂŠ bs + r.

25. a) Estenda o algoritmo de divisão permitindo divisores negativos. Em particular, mostre que sempre que a e b ≠0 são números inteiros, existem inteiros únicos q e r tais que

a = bq + r, onde 0 ≤ r < | b |.

b) Encontre o resto quando 17 Ê dividido por -7. 26. Mostre que se a e b são inteiros positivos, então hå números inteiros únicos q e r tais que a = bq + r, onde -b / 2 < r ≤ b / 2. Esse resultado Ê chamado de algoritmo da divisão modificado.

27. Mostre que se m e n > 0 sĂŁo inteiros, entĂŁo

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đ?‘š [ ] đ?‘ đ?‘’ đ?‘š ≠đ?‘˜đ?‘› − 1 đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘™đ?‘”đ?‘˘đ?‘š đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘–đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘˜; đ?‘š+1 đ?‘› [ ]={ đ?‘š đ?‘› [ ] + 1 đ?‘ đ?‘’ đ?‘š = đ?‘˜đ?‘› − 1 đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘™đ?‘”đ?‘˘đ?‘š đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘–đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘˜ đ?‘› 28. Mostre que o inteiro n ĂŠ par se e somente se n – 2 [n / 2] = 0. 29. Mostre que o nĂşmero de inteiros positivos menor ou igual a x, onde x ĂŠ um nĂşmero real positivo, que sĂŁo divisĂ­veis pelo inteiro positivo d ĂŠ igual a [x / d].

30. Encontre o nĂşmero de nĂşmeros inteiros positivos nĂŁo superiores a 1000 que sĂŁo divisĂ­veis por 5, por 25, por 125 e por 625.

31. Quantos inteiros entre 100 e 1000 sĂŁo divisĂ­veis por 7? Por 49?

32. Encontre o nĂşmero de inteiros positivos nĂŁo superior a 1000 que nĂŁo sĂŁo divisĂ­veis por 3 ou 5.

33. Encontre o nĂşmero de inteiros positivos nĂŁo superior a 1000 que nĂŁo sĂŁo divisĂ­veis por 3, 5 ou 7.

34. Encontre o número de inteiros positivos não superiores a 1000 que são divisíveis por 3 mas não por 4. 35. Mostre que se a Ê um inteiro, então 3 divide a3 – a.

36. Mostre que o produto de dois inteiros da forma 4k + 1 ĂŠ novamente desta forma, enquanto que o produto de dois inteiros da forma 4k + 3 ĂŠ da forma 4k + 1.

37. Mostre que o quadrado de cada inteiro Ă­mpar ĂŠ da forma 8k + 1.

38. Mostre que a quarta potĂŞncia de cada inteiro Ă­mpar ĂŠ da forma 16k + 1.

39. Mostre que o produto de dois inteiros da forma 6k + 5 ĂŠ da forma 6k + 1.

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40. Mostre que o produto de quaisquer trĂŞs nĂşmeros inteiros consecutivos ĂŠ divisĂ­vel por 6. 41. Use a indução matemĂĄtica para mostrar que n5 – n ĂŠ divisĂ­vel por 5 para cada inteiro positivo n.

42. Use a indução matemĂĄtica para mostrar que a soma dos cubos de trĂŞs inteiros consecutivos ĂŠ divisĂ­vel por 9. Nos ExercĂ­cios 44-48, denotar fn como sendo o n-ĂŠsimo nĂşmero de Fibonacci. 43. Mostre que fn ĂŠ par se e somente se n ĂŠ divisĂ­vel por 3. 44. Mostre que fn ĂŠ divisĂ­vel por 3 se e somente se n ĂŠ divisĂ­vel por 4. 45. Mostre que fn ĂŠ divisĂ­vel por 4 se e somente se n ĂŠ divisĂ­vel por 6. 46. Mostre que fn = 5 fn-4 + 3 fn-5 sempre que n ĂŠ um inteiro positivo com n > 5. Utilize este resultado para mostrar que fn ĂŠ divisĂ­vel por 5 sempre que n ĂŠ divisĂ­vel por 5. 47. Mostre que fn+m = fm fn+1 + fm-1 fn para todo m e n inteiros positivos com m > 1. Utilize este resultado para mostrar que fn | fm quando m e n sĂŁo inteiros positivos com n | m. Seja n um inteiro positivo. Definimos đ?‘› đ?‘ đ?‘’ đ?‘› ĂŠ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;; 2 đ?‘‡(đ?‘›) = {3đ?‘› + 1 đ?‘ đ?‘’ đ?‘› ĂŠ Ă­đ?‘šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;. 2 EntĂŁo formamos a sequĂŞncia obtida iterando T: n, T (n), T (T (n)), T (T (T (n))), .... Por exemplo, começando com n = 7, 7, 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1, 2, 1, 2, 1, ... Uma conjectura bem conhecida, Ă s vezes chamada Conjectura de Collatz, que ĂŠ a sequĂŞncia obtida por iteração T sempre atinge o inteiro 1 nĂŁo importa qual inteiro positivo n começa a sequĂŞncia. 48. Encontre a sequĂŞncia obtida iterando T começando com n = 39. Prof. Rubens Vilhena

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49. Mostre que a sequência obtida por iteração de T começando com n = (22k - 1) / 3, onde k Ê um inteiro positivo maior que 1, sempre alcança o inteiro 1.

50. Mostre que a conjectura de Collatz ĂŠ verdadeira se puder ser mostrado que para cada inteiro positivo n com n ≼ 2 existe um termo na sequĂŞncia obtida por iteração T que ĂŠ menor que n.

51. Verifique se hĂĄ um termo na sequĂŞncia obtida iterando T, começando com o inteiro positivo n, que ĂŠ menor que n para todos os inteiros positivos n com 2 ≤ n ≤ 100. (Dica: Comece considerando conjuntos de inteiros positivos para os quais ĂŠ fĂĄcil mostrar que isso ĂŠ verdade.) đ?‘›

52. Mostre que [(2 + √3) ] ĂŠ Ă­mpar sempre que n ĂŠ um inteiro nĂŁo negativo.

53. Determine o número de inteiros positivos n tais que [a / 2] + [a / 3] + [a / 5] = a, onde, como de costume, [x] Ê a maior função inteira.

54. Prove o algoritmo da divisão usando o segundo princípio da indução matemåtica.

55. Prove que se a ĂŠ um inteiro nĂŁo negativo e k um nĂşmero natural. EntĂŁo, ‖đ?‘Žđ?‘˜ ‖ = 1 + ⌊đ?‘˜đ?‘™đ?‘œđ?‘”10 đ?‘ŽâŒ‹, Onde ‖đ?‘Žđ?‘˜ ‖ denota o nĂşmero de dĂ­gitos (algarismos) do inteiro nĂŁo negativo ak. 56. Determine o nĂşmero de dĂ­gitos (algarismos) de nĂşmeros da forma Mk = 2k – 1. 57. Mais um historinha com o JoĂŁozinho: JoĂŁozinho cursa a 8a sĂŠrie do ensino fundamental, e na aula de matemĂĄtica a professora ensinou sobre divisibilidade por 3. A professora mencionou que ao escolher trĂŞs nĂşmeros inteiros positivos consecutivos quaisquer, um deles ĂŠ necessariamente divisĂ­vel por 3. JoĂŁozinho logo notou que isto tambĂŠm ĂŠ verdadeiro para trĂŞs nĂşmeros pares consecutivos ou trĂŞs nĂşmeros Ă­mpares consecutivos, necessariamente um deles ĂŠ divisĂ­vel por 3, mas nĂŁo sabe muito bem o porquĂŞ.

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JoĂŁozinho prosseguiu em seu raciocĂ­nio, e se os nĂşmeros estivessem distantes 10 unidades? Por exemplo, 10 e 20, e ele pegasse o nĂşmero do meio (a mĂŠdia) que ĂŠ 15, entĂŁo um deles ĂŠ divisĂ­vel por 3. CoincidĂŞncia? JoĂŁozinho escolheu outros nĂşmeros diferentes, distantes 10 unidades entre si, junto do nĂşmero do meio (mĂŠdia),

e percebeu que esta estranha coincidĂŞncia persistia. Por

que isso acontece? Em termos matemĂĄticos, por que toda progressĂŁo aritmĂŠtica de 3 termos inteiros, cuja razĂŁo ĂŠ 5, contĂŠm um mĂşltiplo de 3?

AliĂĄs, para que outras valores de razĂŁo,

diferentes de 1, 2 ou 5, esta “coincidĂŞnciaâ€? ocorre? 58. Mostre que os seguintes subconjuntos sĂŁo ideais de đ?’ : (a) đ??ź = {3, 6, 9, −3, −6, −9, ‌ , 3đ?‘&#x;}đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘&#x; đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Ž đ?‘’đ?‘š đ?‘Ąđ?‘œđ?‘‘đ?‘œ đ?’ . (b) đ??ź = {4đ?‘˜ + đ?‘Ą; đ?‘˜ đ?‘’ đ?‘Ą đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Žđ?‘š đ?‘’đ?‘š đ?‘Ąđ?‘œđ?‘‘đ?‘œ đ?’ }. (c) đ??ź = {−5đ?‘Ž + 4đ?‘?; đ?‘Ž, đ?‘? đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Žđ?‘š đ?‘’đ?‘š đ?‘Ąđ?‘œđ?‘‘đ?‘œ đ?’ } (d) đ??ź = {−5đ?‘Ž + 4đ?‘? + 7đ?‘?; đ?‘Ž, đ?‘? đ?‘’ đ?‘? đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Žđ?‘š đ?‘’đ?‘š đ?‘Ąđ?‘œđ?‘‘đ?‘œ đ?’ }.

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2. Números Primos

Este capítulo introduz um conceito central da teoria dos números, a saber, o de número primo. Um primo é um número inteiro com precisamente dois divisores inteiros positivos. Os números primos foram estudados extensivamente pelos gregos antigos, que descobriram muitas de suas propriedades básicas. Nos últimos três séculos, os matemáticos dedicaram incontáveis horas para explorar o mundo dos primos. Eles descobriram muitas propriedades fascinantes, formularam diversas conjecturas e mostraram resultados interessantes e surpreendentes. As pesquisas em questões envolvendo primos continuam até hoje, em parte impulsionada pela importância dos primos na criptografia moderna. Questões abertas sobre primos estimulam novas pesquisas e onde fundações oferecem milhares de dólares por uma demonstração. Há também dezenas de milhares de pessoas tentando entrar no livro dos recordes, por encontrar o maior primo ainda não conhecido.

2.1. Números Primos1 Definição. Um número inteiro p>1 é primo quando ele não tem nenhum divisor d em 1< d <p. Em outras palavras, p possui apenas os divisores triviais, 1 e p, isto é, os únicos fatores de p são 1 e p. Se um inteiro maior que 1 não é primo ele é chamado de composto. O 1 não é nem primo nem composto. Lema 2.1. Todo inteiro maior que 1 possui um divisor primo. Prova. Seja a um inteiro composto. Consideremos o conjunto A A = {x | a; 1 < x < a}

1

Primo, do Latim Primus e do Inglês Prime, que significa principal, primeiro, precioso, o de maior destaque.

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de todos os divisores positivos de a, exceto os divisores 1 e a, isto ĂŠ: Pelo “PrincĂ­pio da Boa Ordenaçãoâ€? existe o elemento mĂ­nimo p de A. que vamos mostrar ser primo. De fato, se p fosse composto admitiria pelo menos um divisor d tal que 1 < d < p, e entĂŁo d|p e p|a, o que implica d|a, isto ĂŠ, p nĂŁo seria o elemento mĂ­nimo de A, se fosse composto. Logo, p ĂŠ primo. ∎ Teorema 2.1 (de Euclides): A sequĂŞncia dos nĂşmeros primos ĂŠ infinita. Prova. Vamos supor que p1  2  p2  3  ...  pr

sĂŁo todos os primos que existem. Seja

P  p1. p2 ... pr  1. Se P for primo, então Ê um primo diferente dos p1. p2 ... pr , o que mostra

que a suposição nĂŁo ĂŠ vĂĄlida. Por outro lado, se P for composto, seja p um primo que divide P, de acordo com o Lema 2.1. Logo, p deve ser um dos primos p1, p2, ..., pr, entĂŁo p divide P  p1. p2 ... pr  1 , ou seja, p divide 1, o que ĂŠ impossĂ­vel, uma vez que p ĂŠ primo. Portando

p ĂŠ um primo diferente e p1. p2 ... pr nĂŁo sĂŁo todos os primos. Teorema 2.2. Se um inteiro positivo a > 1 ĂŠ composto, entĂŁo a possui um divisor primo p ď‚Ł ⌊√đ?‘ŽâŒ‹. Prova. Com efeito, se o inteiro positivo a > 1 ĂŠ composto, entĂŁo: đ?‘Ž = đ?‘?,

đ?‘?đ?‘œđ?‘š 1 < đ?‘? < đ?‘Ž

đ?‘’

1<đ?‘?<đ?‘Ž

Portanto, supondo b ď‚Ł c, teremos: đ?‘? 2 ≤ đ?‘?đ?‘? = đ?‘Ž â&#x;š đ?‘? ≤ ⌊√đ?‘ŽâŒ‹

∎

O teorema 2.2 fornece um processo que permite reconhecer se um dado inteiro a >1 ĂŠ primo ou ĂŠ composto, para o que basta dividir a sucessivamente pelos primos que nĂŁo excedem o valor de ⌊√đ?‘ŽâŒ‹. Tal resultado ĂŠ a base do chamado Crivo de Eratosthenes.

O Crivo de Eratosthenes Uma questĂŁo natural sobre os nĂşmeros primos ĂŠ a de determinar, dentre os inteiros positivos, todos os nĂşmeros primos atĂŠ certo nĂşmero dado. Esta questĂŁo tambĂŠm foi resolvida na antiguidade por Eratosthenes. Com o crivo inventado por ele, podem-se determinar, sem necessariamente o auxĂ­lio de mĂĄquinas, bastantes nĂşmeros primos. Com o auxĂ­lio de

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computadores, o crivo de Eratosthenes, convenientemente adaptado, permite determinar os nĂşmeros primos atĂŠ limites bem altos. Mesmo antes do uso disseminado de computadores, jĂĄ haviam sido determinados os nĂşmeros primos atĂŠ 107. Isto ocorreu por volta de 1914, por obra do matemĂĄtico americano D. N. Lehmer. Dois outros matemĂĄticos, Bays e Hudson, calcularam, em 1976, com o uso de computadores, uma tabela dos nĂşmeros primos atĂŠ 12 x 1011. AlĂŠm disso, conhecem-se tambĂŠm nĂşmeros primos bem grandes, como o nĂşmero 244497 – 1, que possui 13395 algarismos!. Para a construção de uma tabela de nĂşmeros primos que nĂŁo exceda um dado inteiro n, usando o Crivo de Eratosthenes, escrevem-se na ordem natural todos os inteiros a partir de 2 atĂŠ n e, em seguida, eliminam-se todos os inteiros compostos que sĂŁo mĂşltiplos dos primos p tais que p ď‚Ł ⌊√đ?‘ŽâŒ‹ isto ĂŠ, 2p, 3p, 4p, ... Suponha que tenhamos uma tabela com os nĂşmeros de 2 a 100. E queremos apenas os nĂşmeros primos. Como ⌊√100⌋ = 10, basta eliminar sucessivamente da tabela os nĂşmeros que sĂŁo mĂşltiplos dos primos p menores que 10, ou seja, 2, 3, 5 e 7. Os nĂşmeros que restarem na tabela sĂŁo primos de acordo com o Teorema 2.2.

Figura 2.1.1 Usando o crivo de Eratosthenes para obter os primos menores que 100. Nota: Podemos fazer um crivo mais econômico, jå que não Ê possível evitar completamente o fato de que alguns números são riscados vårias vezes. Podemos proceder da seguinte maneira: Primeiro escrevemos uma lista com os ímpares de 3 atÊ n. Como queremos riscar os números de p em p Ê claro que os múltiplos de p que são múltiplos de primos menores que p jå foram riscados da lista. Então, nesta etapa, podemos começar a riscar de p em p a partir do menor múltiplo de p, que não Ê múltiplo de um primo menor que p; isto Ê, a partir de p2. Isto evita muitas duplicaçþes(COUTINHO, 2001).

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Definição: Para qualquer número real x > 0, seja  (x) o número de primos p  x , isto é,  (x) é quantidade dos números primos que não excedem a x. Exemplo 2.1 Listando os 9 primeiros valores da função  (x), para x inteiro.

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9

(x) 0 1 2 2 3 3 4 4 4 Teorema 2.3 (de Dirichlet). Sejam a e b inteiros primos entre si, isto é, mdc (a, b) = 1. Existem infinitos primos da forma an + b, onde n é inteiro positivo. A demonstração deste teorema exige avançados conhecimentos de Análise Complexa e faz parte da Teoria Analítica dos Números. Mas, casos especiais do Teorema de Dirichlet, podem ser provados com um nível razoável de conhecimentos matemáticos, como veremos adiante. Observe que na sequência 3n + 1, temos os primos 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 97, e 103, por exemplo, e na sequência 9n + 4 temos os primos 13, 31, 67, 103, 139, 157, 193 e 211, por exemplo. O resultado de Dirichlet diz que o número de primos nessas sequências é infinito.

DIVERTIMENTOS ARITMÉTICOS 2.1

1. Determine quais dos seguintes números inteiros são primos. a) 101

c) 107

e) 113

b) 103

d) 111

f) 121

2. Determine quais dos seguintes números inteiros são primos. a) 201

c) 207

e) 213

b) 203

d) 211

f) 221

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3. Use o crivo de EratĂłstenes para encontrar todos os primos menores que 150.

4. Use o crivo de EratĂłstenes para encontrar todos os primos inferiores que 200.

5. Encontre todos os primos que são iguais a diferença entre as potências quartas de dois inteiros. 6. Mostre que nenhum inteiro maior que 2 da forma n3 + 1 Ê um primo. 7. Mostre que se a e n são números inteiros positivos com n > 1 e an - 1 primo, então

a

= 2 e n ĂŠ Primo (SugestĂŁo: Use a identidade akl - 1 = (ak - l) (ak(l-1) + ak(l-2) + ... + ak + 1).)

8. (Esse problema constrĂłi outra prova da infinidade dos primos.) Mostre que o inteiro Qn = n! + 1, onde n ĂŠ um inteiro positivo, tem um divisor primo maior que n. Conclua hĂĄ infinitos primos.

9. VocĂŞ pode mostrar que hĂĄ infinitos primos olhando os inteiros Sn = n! - 1, onde n ĂŠ um nĂşmero inteiro positivo?

10. Usando a prova de Euclides de que existem infinitos primos, mostre que o n-ĂŠsimo đ?‘›âˆ’1

primo pn nĂŁo excede 22

sempre que n ĂŠ um nĂşmero inteiro positivo. Conclua que đ?‘›

quando n ĂŠ um nĂşmero inteiro positivo, hĂĄ pelo menos n +1 primos inferiores a 22 .

11. Seja Qn = p1p2... pn+1, onde p1, p2,..., pn+1 são os n menores primos. Determinar o menor fator primo de Qn para n = 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 12. Mostre que se pk Ê o k-Êsimo primo, onde k Ê um inteiro positivo, então pn ≤ p1p2... pn+1 + 1 para todos os inteiros n > 2. 3

13. Mostre que se o menor fator primo p do inteiro positivo n excede √đ?‘›, entĂŁo n / p deve ser primo ou 1.

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14. Mostre que se p ĂŠ um primo na progressĂŁo aritmĂŠtica 3n + 1, n = 1, 2, 3, ..., entĂŁo tambĂŠm o ĂŠ na progressĂŁo aritmĂŠtica 6n + 1, n = 1, 2, 3, ....

15. Encontre o menor primo na progressĂŁo aritmĂŠtica an + b, para os seguintes valores de a e b: a) a = 3, b = 1

b) a = 5, b = 4

c) a = 11, b = 16

16. Encontre o menor primo na progressĂŁo aritmĂŠtica an + b, para os seguintes valores de a e b: a) a = 5, b = 1

b) a = 7, b = 2

c) a = 23, b = 13

17. Use o teorema de Dirichlet para mostrar que existem infinitos nĂşmeros primos cuja expansĂŁo decimal termina com um 1.

18. Use o teorema de Dirichlet para mostrar que hĂĄ infinitos primos cuja expansĂŁo decimal termina com os dois dĂ­gitos 23.

19. Use o teorema de Dirichlet para mostrar que hĂĄ infinitos primos cuja expansĂŁo decimal termina com os trĂŞs dĂ­gitos 123.

20. Mostre que para cada inteiro positivo n hå um primo cuja expansão decimal termina com pelo menos n l’s.

21. Mostre que para cada inteiro positivo n hå um primo cuja expansão decimal contÊm n consecutivos l’s e cujo dígito final Ê 3.

22. Mostre que para cada inteiro positivo n hå um primo cuja expansão decimal contÊm n consecutivos 2’s e cujo dígito final Ê 7.

23. Use o segundo princĂ­pio da indução matemĂĄtica para provar que todo inteiro maior que 1 ĂŠ primo ou o produto de dois ou mais primos. 24. Mostre que x2 - x + 41 ĂŠ primo para todos os inteiros x com 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 40, mas ĂŠ composto para x = 41. Prof. Rubens Vilhena

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25. Mostre que 2n2 + 11 ĂŠ primo para todos os inteiros n com 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 10, mas ĂŠ composto para n = 11. 26. Mostre que 2n2 + 29 ĂŠ primo para todos os inteiros n com 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 28, mas ĂŠ composto para n = 29. 27. Mostre que se f (x) = đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľ đ?‘› + đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Ľ đ?‘› + â‹Ż + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘Ž0 , onde n ≼ 1 e os coeficientes sĂŁo Inteiros, entĂŁo existe um inteiro positivo y tal que f (y) ĂŠ composto. Na Teoria dos NĂşmeros, um nĂşmero feliz ĂŠ um nĂşmero natural que pertence a um conjunto que ĂŠ gerado por um certo "crivo". Este crivo ĂŠ semelhante ao crivo de Eratosthenes que gera os nĂşmeros primos, mas elimina os nĂşmeros com base na sua posição no conjunto restante, em vez de seu valor (ou posição inicial no conjunto dos nĂşmeros naturais). Comece com uma lista de inteiros positivos: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ... Comece eliminando cada segundo nĂşmero (todos os nĂşmeros pares) na lista, deixando apenas os inteiros Ă­mpares: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ... Diferente de 1 o menor inteiro nĂŁo eliminado ĂŠ o 3. Cada terceiro nĂşmero que permanece na lista ĂŠ eliminado, começando com 5: 1 3 7 9 13 15 19 21 25 27 31 33 37 39 43 45 49 51 55 57 ... Diferente de 1 e 3 o menor inteiro nĂŁo eliminado ĂŠ 7. Cada sĂŠtimo nĂşmero da lista ĂŠ eliminado, começando com 19: 1 3 7 9 13 15 21 25 27 31 33 37 43 45 49 51 55 57 ... Continuamos este processo, onde em cada estĂĄgio nĂłs eliminamos cada k-ĂŠsimo inteiro restante, onde k ĂŠ o menor inteiro nĂŁo eliminado, diferente de 1, ainda nĂŁo usado no processo de crivamento. Os inteiros que permanecem sĂŁo os nĂşmeros felizes. 28. Encontre todos os nĂşmeros felizes menores que 200.

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29. Mostre que há infinitos números felizes.

30. Suponha que tk é o menor primo maior que Qk = p1p2... pn+1 + 1, onde pj é o j-ésimo número primo. a) Mostre que tk – Qk + 1 não é divisível por pj para j = 1, 2, ..., k. b) R. F. Fortune conjecturou que tk – Qk + 1 é primo para todo inteiro positivo k. Mostre que esta conjectura é verdadeira para todos os inteiros positivos k ≤ 5.

2.2. A Distribuição dos Números Primos

Riemman – Hadamard - Poussin - Selberg – Erdös

Ainda que a questão da infinidade dos números primos tenha sido tratada de forma adequada ao longo do tempo, o comportamento da sua distribuição entre os inteiros positivos e como determinar se um inteiro qualquer é primo, principalmente a partir de certo tamanho, são problemas que permanecem até hoje. Em teoria dos números, perguntas simples podem desencadear investigações profundas. Se escolhermos, ao acaso, um número de 10 algarismos, qual a probabilidade de que seja um primo? Quantos primos com exatamente 10 algarismos existem? Questões como essas necessitam de investigações sobre como os primos se distribuem entre os inteiros positivos. Foram questões como essa que levaram Carl Friedrich Gauss (1777-1855) e Adrien-Marie Legendre (1752-1833) a tentarem conseguir uma resposta. Gauss procurou uma maneira de contar todos os primos até 10n dígitos ou encontrar formas de fazer essa aproximação para dar respostas às perguntas supramencionadas. Essas

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aproximaçþes feitas por Gauss e muitos outros matemåticos, são conhecidas como Teorema do Número Primo (à VILA, 1991) Teorema 2.4 O Teorema dos Números Primos A razão

ď ° ( x) se aproxima de 1 quando x x lnx

cresce sem limite. Em linguagem de limites temos, lim x ď‚Žď‚Ľ

ď ° ( x)  1 . A Tabela 2.2.1 dĂĄ uma x ln x

ilustração do Teorema 2.4.

Tabela 2.2.1 Aproximaçþes para đ?œ‹(đ?‘Ľ) Evidentemente, um tratamento dessa questĂŁo do ponto de vista da demonstração implica em conhecimentos mais sofisticados em matemĂĄtica e sĂŁo, como jĂĄ dissemos, objeto de estudo da Teoria AnalĂ­tica dos NĂşmeros, mas julgamos importante a discussĂŁo. Frequentemente, o teorema do nĂşmero primo ĂŠ confirmado em termos da função ď ° ( x) , que nos dĂĄ o nĂşmero de primos menores que ou iguais ao nĂşmero real x. Por exemplo, ď ° ( 28)  3 , uma vez que os primos menores que

28 sĂŁo 2, 3 e 5. Assim, a quantidade de

todos os primos com 1010 dĂ­gitos ou menos seria dada por ď ° (1010 ) e a resposta exata para a primeira questĂŁo seria

ď ° (1010 ) 1010

.

Outra função usada nesse contexto ĂŠ a função ď ˛ n , que representa o n-ĂŠsimo nĂşmero primo. Assim, ď ˛1 = 2, ď ˛ 2 = 3, ď ˛ 3 = 5, ď ˛ 4 = 7 e assim por diante.

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Se restringirmos as duas funções aos inteiros positivos e aos primos, respectivamente, uma função será o inverso da outra, isto é,  (  n )  n e  ( p )  p , onde n é um inteiro positivo e p um primo. Dizemos que duas funções f(x) e g(x) são assintóticas, isto é, f ( x)  g ( x) , quando lim x 

f ( x)  1. g ( x)

Em uma linguagem informal, dizemos que duas funções são assintóticas, se, para valores muito grandes, elas apresentam quase o mesmo comportamento. Dessa forma, é possível estimar valores de uma usando a outra dentro de certas condições. O teorema do número primo fornece expressões assintóticas para as funções  ( x) e

 n . Colocamos, a seguir, diferentes formas do teorema do número primo: Modelo de Gauss:  ( x) 

1.

x

1

 ln t dt 2

x ln x  1, 08366

2.

Modelo de Legendre:  ( x) 

3.

Modelo atual:  ( x) 

4.

Modelo atual para  n :  n  n.ln x

x ln x

n n

Li n n

log n

1.08366

n

150

log n

100

50

200

400

600

800

1000

1200

1400

n

O gráfico abaixo dá uma ideia do comportamento das funções.

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O mais impressionante é que, apesar dos nomes de Gauss e Legendre estarem conectados com o teorema, nenhum deles o provou. Ambos fizeram essas incríveis conjecturas, mesmo com os escassos recursos tecnológicos do século XVIII. Essas conjecturas provocaram um grande desenvolvimento da Análise Real e Complexa no século XIX. O teorema foi provado de forma independente por J. S. Hadamard (1865-1963) e Vallée Poussin (1866-1962), justamente no final do século XIX. Em 1949, Atle Selberg (1917-2007) e Paul Erdös (1913-1996) produziram uma nova prova que utiliza apenas os conhecimentos de Cálculo (GARBI, 2000). Por outro lado, Euler deu sua demonstração sobre a infinidade dos números primos em 1737 e inaugurou um novo ramo da matemática chamado teoria analítica dos números. Em 1859, Bernhard Riemann (1826-1866) apresentou seu único trabalho em teoria dos números dedicado ao teorema dos números primos. O esforço empreendido nesse trabalho provocou um tremendo impacto em todos os ramos da matemática pura. Segundo Simmons (1987), a influência desse trabalho seria sentida por mais de mil anos. O ponto de partida do trabalho de Riemman foi a notável identidade (I) descoberta por Euler: 

1

1

 n  1 p n 1

s

s

, s>1 (I)

p

A função zeta lado esquerdo de (I) é uma função da variável real s>1: a identidade nos mostra uma relação entre o comportamento da função zeta e propriedade dos primos2. Riemman ampliou essa conexão fazendo a variável s assumir valores complexos. Para s complexo, ele denotou a função resultante por  ( s ) , ou seja, a função zeta de Riemman.

 ( s)  1 

1 1 1 1     ... , s  a  bi 2s 3s 4s 5s

Riemman levava os números primos a um universo nunca antes imaginado. Os problemas propostos por ele a partir dos estudos feitos nessa função criaram importantes ramos da Análise. Além disso, Riemman deixou para a posteridade um problema famoso, até o momento não solucionado, que possui íntima relação com a distribuição dos números primos, a hipótese de Riemman. Sobre essa hipótese, Simmons (2004) escreve: “ela 2

Esta conexão diz respeito à prova que a soma dos recíprocos primos diverge.

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permanece como o problema em aberto mais importante da Matemática, e provavelmente é o problema mais difícil que a mente humana jamais concebeu” (SIMMONS, p. 749, 1987). Mostramos que existem infinitos primos e discutimos a abundância de números primos para um limite x, mas temos ainda que discutir como os primos estão distribuídos ao longo dos inteiros positivos. Veremos um resultado que mostra que há “saltos’ arbitrariamente grandes na sequência dos primos. Teorema 2.5. Dado um inteiro positivo n >1, existem pelo menos n inteiros consecutivos compostos.

(n + 1)! + 2, (n + 1)! +3, (n + 1)! + 4, ..., (n + 1)! + n + 1 Prova. Consideremos os n inteiros consecutivos positivos Quando 2  j  n + 1, sabemos que j|(n +1)!. Pela parte 7 do Teorema 4.1, segue que que j|(n +1)! +1. Assim, os n inteiros consecutivos são todos compostos. ∎ Assim, por exemplo, supondo n = 4, obtemos a sequência: 5! + 2, 5! + 3, 5! + 4, 5! + 5 Cujos termos são 4 inteiros positivos consecutivos, cada um dos quais é composto, pois, temos: 5! + 2 = 122 = 2 . 61, 5! + 3 = 123 = 3 . 41 5! + 4 = 124 = 4 . 31, 5! + 5 = 125 = 5 . 25 Outras sequências de 4 inteiros consecutivos e compostos existem, tais como 24, 25, 26, 27; 32, 33, 34, 35; 54, 55, 56, 57 e 74, 75, 76, 77. Em 1845, o matemático francês Joseph Bertrand conjecturou que para cada inteiro positivo n maior que 1, há um primo p tal que n <p <2n. Bertrand verificou esta conjectura para todos os n não excedendo 3.000.000. Mas ele não conseguiu produzir uma prova. A primeira prova desta conjectura foi encontrada por Pafnuty Lvovich Chebyshev em 1852.

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Teorema 2.6 (de Chebyshev). Para todo inteiro m > 1 existe um primo p com

m < p<

2m. A demonstração deste teorema está fora do contexto deste curso. Um outro fato provado é que entre dois cubos consecutivos existe sempre um primo. Com esse Teorema podemos também afirmar que pn+1 < 2pn (para n ≥ 1) Corolário. Para o n-ésimo número primo pn vale a estimativa pn ≤ 2n. Prova: Temos 2 = p1 ≤ 21 e pelo teorema de Chebychev, para todo inteiro positivo n, tem-se pn < pn+1 < 2 . pn. De pn ≤2n segue que pn+1 ≤ 2. 2n = 2n+1 ∎ Paul Erdös conjecturou na década de 1930 sobre primos em progressões aritméticas de tamanho arbitrário. Embora muitas evidências numéricas tenham sido encontradas para apoiar esta conjectura, ela permanecia sem solução. Em um grande avanço, Ben Green e Terrence Tao foram capazes de provar esta conjectura em 2006. Eles começaram por tentar mostrar que há infinitamente muitas progressões aritméticas de quatro primos, mas foram capazes de provar a conjectura completa, que é agora conhecido como o Teorema de GreenTao. Teorema 2.7 (de Green-Tao). Para cada inteiro positivo n ≥ 3, existe uma progressão aritmética de números primos de comprimento n. Exemplo 2.2 Algumas progressões aritméticas apenas com primos: (i) (251, 257, 263, 269) , 251 + 6k, onde k = 0, 1,..., 3. (ii) (5, 11, 17, 23, 29), 5 + 6k,onde k = 0, 1,..., 4. (iii) (7, 157, 307, 457, 607, 757, 907), 7 + 150k, onde k = 0, 1, 2, ...6. (iv) (199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089), 199 + 2100k, onde k = 0, 1, 2, .. .9.

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Conjecturas sobre Números Primos Apesar do Teorema 2.5 mostrar que o espaço entre dois primos pode ser arbitrariamente longo, por outro lado, dois números primos podem estar bem próximo: (3 e 5), (5 e 7), (11 e 13), (17 e 19), 101, 103), (4967, 4969), (29 879 e 29 881), ... Isso levou a seguinte conjectura: Conjectura dos Primos Gêmeos. Há infinitos pares de primos p e p+2. Em 1742, numa carta a Leonhard Euler (1707-1783), Christian Goldbach (16901764) expressou a seguinte conjectura: Todo inteiro n > 5 é a soma de três números primos. Em resposta, Euler observou que essa conjectura era equivalente ao que é conhecido como a conjectura de Goldbach. Conjectura de Goldbach. Todo inteiro par maior que 4 é igual a soma de dois primos ímpares. Exemplo 2.3 Os inteiros 30, 40 e 100 podem ser escritos como a soma de dois primos em das seguintes formas: 30=7+23 = 11+19 = 13+17 40=3+37 = 11+29 = 17+23 100 = 3 + 97 = 11+89 = 17 + 83= 29 + 71=41+59 = 47 + 53. Existem muitas conjecturas sobre o número de primos de várias formas, como a seguinte conjectura. A Conjectura n2 + 1. Existem infinitos primos da forma n2 + 1, onde n é um inteiro positivo. Isto é, existem infinitos quadrados perfeitos da forma p – 1, onde p é primo. Os menores primos da forma n2 + 1 são 2 = 12 + 1, 5 = 22 + 1, 17 = 42 + 1, 37 = 62 + 1, 101 = 102 + 1, 197 = 142 + 1, 257 = 162 + 1 e 401 = 202 + 1. Um número primo p é um número primo de Sophie Germain se 2p + 1 é também primo. São famosos porque Sophie Germain provou que o último teorema de Fermat é verdadeiro para estes números. A existência de um número infinito de tais números primos é uma afirmação ainda não provada.

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Conjectura dos Primos de Sophie Germain. Existem infinitos primos da forma 2p + 1, onde p é primo. Os primeiros primos de Sophie Germain são 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233 ...

Dentre as conjecturas apresentadas, mostramos três dos quatro problemas sobre primos descritos como "inatacáveis pelo estado atual da ciência" pelo famoso teórico dos números, Edmund Landau (1877 – 1938), em seu discurso no Congresso Internacional de Matemáticos de 1912. Esses quatro problemas, conhecidos coletivamente como problemas de Landau, são a conjectura dos primos gêmeos, a conjectura de Goldbach, a existência de infinitos primos da forma n2 + 1 e seguinte conjectura de Legendre: Conjectura de Legendre. Há sempre um primo entre dois quadrados consecutivos de inteiros. Esta conjectura foi proposta pelo matemático francês Adrien-Marie Legendre (17521833). A evidência numérica para esta conjectura mostra que há um primo entre n2 e (n + 1)2 para todos os n ≤ 1018. Albert Edward Ingham (1900 –1967) mostrou que para n suficientemente grande, existe um primo entre n3 e (n + 1)3. Embora todas as quatro conjecturas descritas por Landau em 1912 permaneçam abertas, foram realizados muitos progressos. Pode ser que alguns tenham solução no século XXI ou pode ser o caso que todos permaneçam ainda por séculos.

DIVERTIMENTOS ARITMÉTICOS 2.2

1. Encontre os cinco menores inteiros compostos consecutivos.

2. Encontre um milhão de números inteiros compostos consecutivos.

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3. Mostre que não existem "trigêmeos prime", isto é, primos p, p + 2 e p + 4, com exceção de 3, 5 7.

4. Encontre os primeiros menores quatro conjuntos de triplos da forma p, p + 2, p + 6.

5. Encontre os primeiros menores quatro conjuntos de triplos da forma p, p + 4, p + 6. 6. Encontre o menor primo entre n e 2n para os seguintes valores de n. a) 3

b) 5

c) 19

d) 31

7. Encontre o menor primo entre n e 2n para os seguintes valores de n. a) 4

b) 6

c) 23

d) 47

8. Encontre o menor primo entre n2 e (n + 1)2 para todos os inteiros positivos n ≤ 10. 9. Encontre o menor primo entre n2 e (n + 1)2 para todos os inteiros positivos 11 ≤n≤ 20.

10. Mostre que existem infinitos primos que não são um dos primos em um par de primos gêmeos (Dica: Aplicar o teorema de Dirichlet.)

11. Mostre que há infinitos primos que não fazem parte de um triplo primo da forma p, p + 2, p + 6. (Dica: Aplicar o teorema de Dirichlet.)

12. Verifique a conjectura de Goldbach para cada um dos seguintes valores de n. a) 50

c) 102

e) 200

b) 98

d) 144

f) 222

13. Goldbach também conjeturou que cada inteiro positivo ímpar maior que 5 é a soma de três primos Verifique essa conjectura para cada os seguintes inteiros ímpares. a) 7

c) 27

e) 101

b) 17

d) 97

f) 199

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14. Mostre que cada inteiro maior que 11 é a soma de dois inteiros compostos.

15. Mostre que a conjectura de Goldbach de que cada inteiro maior que 2 é a soma de dois primos é equivalente à conjectura de que todo inteiro maior que 5 é a soma de três primos 16. Seja G(n) o número de maneiras de escrever o inteiro par n como a soma p + q, onde p e q são primos com p ≤ q. A conjectura de Goldbach afirma que G (n) ≥ 1 para todos os inteiros pares n, com n> 2. Uma conjectura mais forte afirma que G (n) tende ao infinito quando o inteiro par n cresce sem limite. a) Encontre G (n) para todos os inteiros pares n com 4 ≤ n ≤30. b) Encontre G (158). c) Encontre G (188).

17. Mostre que se n e k são números inteiros positivos com n> 1 e todos n inteiros positivos a, a + k, ..., a + (n - l) k são primos ímpares, então k é divisível por cada primo menor que n. Use a questão 17 para ajudá-lo a resolveras questões 18-21. 18. Encontre uma progressão aritmética de razão seis que começa com o primo 7 e onde cada termo é um primo.

19. Encontre a menor razão possível para uma progressão aritmética que contenha quatro termos e onde cada termo é um primo.

20. Encontre a menor razão possível para uma progressão aritmética que contenha cinco termos e em que cada termo é um primo.

21. Encontre a menor razão possível para uma progressão aritmética que contenha seis termos e onde cada termo é um primo. 22. Em 1848, A. de Polignac conjeturou que todo inteiro positivo ímpar é a soma de um primo com uma potência de dois. a) Prove que esta conjectura é falsa mostrando que 509 é um contraexemplo. Prof. Rubens Vilhena

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b) Encontre o prĂłximo contraexemplo apĂłs 509. 23. Uma potĂŞncia prima ĂŠ um inteiro da forma pn, onde p ĂŠ primo e n ĂŠ um inteiro positivo maior 1. Encontre todos os pares de potĂŞncias primas que diferem em 1. Prove que sua resposta estĂĄ correta. 24. Seja n um inteiro positivo maior que 1 e seja đ?‘?1 , đ?‘?2 , ‌ , đ?‘?đ?‘&#x;

os primos que nĂŁo

excedem n. Mostre que đ?‘?1 đ?‘?2 ‌ đ?‘?đ?‘&#x; < 4n. 25. Seja n um inteiro positivo maior que 3 e seja p um primo tal que

2đ?‘› 3

< đ?‘? ≤ đ?‘›. Mostre

2đ?‘› ). đ?‘›

que p nĂŁo divide o coeficiente binomial (

26. Use as questþes 24 e 25 para mostrar que se n Ê um inteiro positivo, então existe um primo p tal que n < p < 2n. (Teorema de Tchebychev.) 27. Use a questão 26 para mostrar que se pn Ê o n-Êsimo primo, então pn ≤ 2n. 28. Use o Teorema de Tchebychev para mostrar que todo inteiro positivo n com n ≼ 7 Ê a soma de primos distintos. 1

1

đ?‘›

đ?‘›+1

29. Use o Teorema de Tchebychev para mostrar que +

+ â‹Ż+

1 đ?‘›+đ?‘š

nĂŁo ĂŠ igual a um

inteiro quando n e m sĂŁo nĂşmeros inteiros positivos. 30. Se n ĂŠ um inteiro com n ≼ 4, entĂŁo pn+1 < đ?‘?1 đ?‘?2 ‌ đ?‘?đ?‘&#x; onde pk ĂŠ o k-ĂŠsimo primo. Esse resultado ĂŠ conhecido como desigualdade de Bonse. a) Seja k um inteiro positivo.

Mostre que nenhum dos inteiros đ?‘?1 đ?‘?2 ‌ đ?‘?đ?‘˜âˆ’1 ¡ 1 - 1,

đ?‘?1 đ?‘?2 ‌ đ?‘?đ?‘˜âˆ’1 ¡ 2 - 1, ..., đ?‘?1 đ?‘?2 ‌ đ?‘?đ?‘˜âˆ’1 ¡ pk -1 ĂŠ divisĂ­vel por um dos primeiros k-1 primos e que se um primo p divide um desses inteiros, entĂŁo ele nĂŁo pode dividir outro desses inteiros. b) Conclua da parte (a) que se n - k + 1 < pk entĂŁo existe um inteiro entre aqueles listados na parte (a) nĂŁo divisĂ­vel por pj para j = 1, ..., n. (Dica: Use o princĂ­pio de Dirichlet). c) Use a parte (b) para mostrar que se n - k + 1 < pk, entĂŁo pn+1 < đ?‘?1 đ?‘?2 ‌ đ?‘?đ?‘˜ ¡ Fixando n e supondo que k ĂŠ o menor inteiro positivo, tal que n - k + 1 < pk ¡ Mostre Prof. Rubens Vilhena

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que

n - k ≼ pk-1 – 2 e que pk-1 – 2 ≼ k quando k ≼ 5 e que se n ≼ 10, então k ≼ 5.

Concluir que se n ≼ 20, entĂŁo p(n+1) < đ?‘?1 đ?‘?2 ‌ đ?‘?đ?‘˜ para algum k com n – k ≼ k. Use isso para derivar a desigualdade de Bonse quando n ≼ 10. d) Verificar os casos quando 4 ≤ n < 10 para terminar a prova. 31. Mostre que 30 ĂŠ o maior inteiro n com a propriedade de que se k < n e nĂŁo hĂĄ primo p que divide k e n, entĂŁo k ĂŠ primo. 32. Mostre que đ?‘?đ?‘›+1 đ?‘?đ?‘›+2 < đ?‘?1 đ?‘?2 ‌ đ?‘?đ?‘› ,onde pk ĂŠ o k-ĂŠsimo primo, sempre que n ĂŠ um inteiro com n ≼ 4. (Dica: Use o Teorema de Tchebychev e o trabalho feito na parte (c) na prova da desigualdade de Bonse.) 33. Mostre que đ?‘?đ?‘› 2 < đ?‘?đ?‘›âˆ’1 đ?‘?đ?‘›âˆ’2 đ?‘?đ?‘›âˆ’3 , onde pk ĂŠ o k-ĂŠsimo nĂşmero primo e n ≼ 6. AlĂŠm disso, mostre que a desigualdade nĂŁo se mantĂŠm quando n = 3, 4 ou 5. (Dica: Use o Teorema de Tchebychev para obter pn < 2 pn-1 e pn-1 <2 pn-2.)

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2.3. O Máximo Divisor Comum e suas propriedades

Introduzimos o conceito do máximo divisor comum de dois inteiros na Seção 1.5. Lembre-se de que o máximo divisor comum de dois inteiros a e b que não são ambos 0, denotados por mdc(a, b) ou (a, b) ou aMb, é o maior inteiro que divide a e b. Também especificamos que (0, 0) = 0 para garantir que os resultados que provarmos sobre os maiores divisores comuns são válidos em todos os casos. Na Seção 1.5, afirmamos que dois inteiros são chamados relativamente primos se eles não compartilham nenhum divisor comum maior que 1. Observe que, como os divisores de -a são iguais aos divisores de a, segue-se que mdc(a, b) = mdc(|a|, |b|) (onde |a| denota o valor absoluto de a, que é igual a se a ≥ 0 e -a se a < 0. Assim, podemos restringir nossa atenção aos maiores divisores comuns de pares de inteiros positivos. Temos que o mdc(15, 81) = 3. Se dividirmos 15 e 81 por 3, obtemos dois inteiros relativamente primos, 5 e 27. Isso não é surpresa, porque removemos todos os fatores comuns. Isso ilustra o seguinte teorema, que nos diz que obtemos dois inteiros relativamente primos quando dividimos cada um de dois inteiros pelo seu maior divisor comum. Teorema 2.8. Se a e b são inteiros com mdc(a, b) = d, então mdc(a / d, b / d) = 1. (Em outras palavras, a / d e b / d são relativamente primos). Prova: Sejam a e b números inteiros com mdc(a, b) = d. Mostraremos que a / d e b / d não têm divisores positivos comuns diferentes de 1. Suponha que c seja um inteiro positivo tal que c| (a / d) e c| (b / d). Então há números inteiros k e l com a / d = kc e b / d = lc, de modo que a = dck e b = dcl. Portanto, dc é um divisor comum de a e b. Porque d é o maior divisor comum de a e b, dc ≤ d, de modo que c deve ser 1. Consequentemente, mdc(a / d, b / d) = 1.

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Uma fração p / q onde mdc(p, q) = 1 é dita estar na forma irredutível. O corolário seguinte nos diz que cada fração é igual a uma fração na forma irredutível. Corolário 2.8.1. Se a e b ≠ 0 são inteiros, então a / b = p / q para algum inteiros p e q≠ 0 onde mdc(p, q) = 1. Prova: Supondo que a e b ≠ 0 sejam inteiros. Fazendo p = a / d e q = b / d

onde d =mdc

(a, b). Então p / q = (a / d) / (b / d) = a / b. Teorema 2.8 nos diz que mdc(p, q) = 1, provando o corolário. Não mudamos o maior divisor comum de dois inteiros quando adicionamos um múltiplo de um dos inteiros a outro. Temos que mdc(24, 84) = 12. Quando adicionamos qualquer múltiplo de 24 a 84, o maior divisor comum de 24 e o número resultante é 12. Por exemplo, uma vez que 2. 24 = 48 e (-3). 24 = -72, vemos que mdc(24, 84 + 48) = mdc(24, 132) = 12 e mdc(24, 84+ (-72)) = mdc(24, 12) = 12. A razão para isso é que os divisores comuns de 24 e 84 são os mesmos que os divisores comuns de 24 e o inteiro que resulta quando um múltiplo de 24 é adicionado a 84. A prova do teorema a seguir justifica este raciocínio. Teorema 2.9. Sejam a, b e c números inteiros. Então mdc(a + cb, b) = mdc (a, b). Prova: Seja a, b e c números inteiros. Mostraremos que os divisores comuns de a e b são exatamente iguais aos divisores comuns de a + cb e b. Isto irá mostrar que

mdc(a + cb, b)

= mdc(a, b). Seja k um divisor comum de a e b. Pelo Teorema 1.9 (vii), temos que e k|(a + cb), de modo que k é um divisor comum de a + cb e b. Se f é um divisor comum de a + cb e b, então pelo Teorema 1.9 (vii), temos que f divide (a + cb) - cb = a, de modo que f é um divisor comum de a e b. Portanto, mdc(a + cb, b) = mdc(a, b). Mostraremos que o maior divisor comum dos inteiros a e b, não ambos 0, pode ser escrito como uma soma de múltiplos de a e b. Para expressar isso de forma mais sucinta, usamos a seguinte definição. Definição: Se a e b são inteiros, então uma combinação linear de a e b é uma soma da forma ma + nb, onde m e n são inteiros. Exemplo 2.4. Quais são as combinações lineares de 9m + 15n, onde m e n são ambos inteiros? Algumas dessas combinações são -6 = 9. 1+ 15. (- 1) ; -3 =9. (- 2) + 15. 1;

0 =9. 0

+ 15. 0; 3 = 9. 2 +15. (- 1); 6 = 9. (- 1)+ 15 · 1; e assim por diante. Pode-se mostrar que o conjunto de todas as combinações lineares de 9 e l5 é o conjunto {0, ±3, ±6, ±9, ±12, ...}. Prof. Rubens Vilhena

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No Exemplo 2.4 é possível perceber que 3 (o mdc de 9 e 15) aparece como a menor combinação linear positiva com coeficientes inteiros 9 e 15. Isso não é acidental, como demonstra o seguinte teorema. Teorema 2.10. O máximo divisor dos inteiros a e b, não ambos 0, é o menor inteiro positivo que é uma combinação linear de a e b. Prova: (Divertimento 1) Do Teorema 2.10, verificamos imediatamente que o maior divisor de dois inteiros a e b podem ser escritos como uma combinação linear desses inteiros. (Note que o teorema nos diz não apenas que o mdc(a, b) pode ser escrito como uma combinação linear desses números, mas também que o tal é menor inteiro positivo para esta situação. Por ser este um fato tão importante, declaramos explicitamente como um corolário. Corolário 2.10.1 Teorema de Bezout. Se a e b são números inteiros, então há inteiros m e n tal que ma + nb =mdc (a, b). Mesmo que este corolário seja denominado com o nome de Étienne Bezout (1730 – 1783), foi estabelecido para inteiros muitos anos antes por Claude Gaspar Bachet (1581 – 1638). A equação

ma + nb = mdc(a, b) é conhecida como identidade de Bezout, e quaisquer

inteiros m e n que resolvem esta equação para os inteiros a e b dados, são chamados de coeficientes de Bezout ou números de Bezout do par de inteiros a e b. Exemplo 2.5 Note que mdc(4, 10) = 2 porque 1 e 2 são os únicos divisores comuns positivos de 4 e 10. A equação (-2) · 4 +1 · 10 = 2 mostra que -2 e 1 são os coeficientes de Bezout de 4 e 10. Como 8 · 4 + (-3) · 10 = 2, vemos que 8 e -3 são também são coeficientes de Bezout de 4 e 10. Na verdade, existem infinitos coeficientes de Bezout diferentes para 4 e 10 porque -2 +10t e 1 + (-4) t são coeficientes de Bezout de 4 e 10 para cada inteiro t. Como muitas vezes precisamos aplicar o Corolário 2.10.1 no caso em que a e b são inteiros relativamente primos, chamamos este caso especial como um segundo corolário do Teorema 2.10. Corolário 2.10.2. Os inteiros a e b são relativamente primos se e somente se houver inteiros m e n tais que ma + nb = 1. Prova: (Divertimento 2)

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O teorema 2.10 é valioso: Podemos obter resultados sobre o máximo divisor comum de dois inteiros usando o fato de que o maior divisor comum é a menor combinação linear positiva desses números inteiros. Tendo diferentes representações do máximo divisor comum de dois inteiros, nos permite escolher qual é o mais útil para uma determinada finalidade. Isto é ilustrado na demonstração do seguinte teorema. Teorema 2.11. Se a e b são inteiros positivos, então o conjunto das combinações lineares de a e b é o conjunto de múltiplos inteiros do mdc(a, b). Prova: Suponha que d = (a, b). Mostraremos primeiro que toda combinação linear de a e b deve também ser um múltiplo de d. Primeiramente note que, pela definição de maior divisor comum, sabemos que d|a e d|b. Agora cada combinação linear de a e b é da forma ma + nb, onde m e n são inteiros. Pelo Teorema 1.9(vii), segue que sempre que m e são inteiros, d divide ma + nb. Ou seja, ma + nb é um múltiplo de d. Mostramos agora que cada múltiplo de d é também uma combinação linear de a e b. Do Teorema 2.10, sabemos que existem inteiros r e s tais que mdc(a, b) = ra + sb. Os múltiplos de d são os inteiros da forma jd, onde j é um inteiro. Multiplicando ambos lados da equação d = ra + s b por j, vemos que jd = (jr) a + (js)b. Consequentemente, cada múltiplo de d é uma combinação linear de a e b. Isso completa a prova. ∎

Definimos os maiores divisores comuns usando a noção de que os inteiros são ordenados, isto é, dado dois inteiros distintos, um é maior do que o outro. No entanto, podemos definir o maior divisor comum de dois inteiros sem depender dessa noção de ordem, como faremos no Teorema 2.11. Esta caracterização do maior divisor comum de dois inteiros que não dependem da ordenação é generalizada no estudo da Teoria dos Números Algébricos, para se aplicar no que é conhecido como campo dos números algébricos. Teorema 2.11. Se a e b são inteiros, não ambos 0, então um inteiro positivo d é o máximo divisor comum de a e b se e somente se (i) d|a e d|b, e (ii) se c é um inteiro com c|a e c|b, então c|d. Prova: (Divertimento 3)

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Observe que o teorema 2.11 nos diz que o maior divisor comum de dois inteiros a e b, não ambos 0, é o divisor comum positivo desses inteiros que é divisível por todos os outros divisores comuns. Mostramos que o maior divisor comum de a e b, não ambos 0, é uma combinação linear de a e b. No entanto, não explicamos como encontrar uma combinação linear particular de a e b que seja igual ao mdc(a, b). Na próxima seção, forneceremos um algoritmo que encontre uma combinação linear particular de a e b que seja igual ao mdc(a, b). Podemos também definir o máximo divisor comum de mais de dois inteiros. Definição: Sejam a1, a2, . . . ,an números inteiros, não todos 0. O máximo divisor comum desses inteiros é o maior inteiro que é um divisor de todos os inteiros no conjunto. O máximo divisor comum de a1, a2, . . . ,an

é denotado por

mdc (a1, a2, . . . , an ).

(Note que a ordem em que os ai’s aparecem não afeta o resultado.) Podemos usar o seguinte lema para encontrar o máximo divisor comum de um conjunto de mais de dois inteiros. Lemma 2.2 Se a1, a2, . . . ,an são números inteiros, não todos 0, então mdc(a1, a2,. . ., an-1, an ) = mdc(a1, a2, . . ., an-2 , mdc( an-1, an)). Prova: (Divertimento 4)

Exemplo 2.6. Para encontrar o maior divisor comum dos três inteiros 105, 140 e 350, usamos o Lema 2.2 para ver que mdc(105, 140, 350) =mdc (105, mdc (140, 350)) = mdc(105, 70) = 35. Exemplo 2.7. Considere os números inteiros 15, 21 e 35. Descobrimos que o maior divisor comum desses três inteiros é 1 usando as seguintes etapas: mdc(15, 21, 35) = mdc(15, mdc(21, 35)) =mdc (15, 7) = 1. Cada par entre esses inteiros tem um fator comum maior que 1, porque mdc (15, 21) = 3, mdc(15, 35) = 5 e mdc(21, 35) = 7. Calcular o mdc(570, 810, 495, 125); Solução:

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mdc(570, 810) =30 mdc(30, 495) = 15 mdc(15, 125) = 5

O exemplo 2.7 motiva a seguinte definição. Definição: Dizemos que os inteiros a1, a2, . .,an são mutuamente relativamente primos se mdc(a1, a2, . . . ,an) = 1. Esses números inteiros são chamados pares relativamente primos se, para cada par dos inteiros ai e aj com i ≠ j do conjunto,

mdc(ai, aj) = 1; isto é, se cada par de

números inteiros do conjunto é relativamente primo. O conceito de pares relativamente primos é usado muito mais frequentemente do que o conceito de mutuamente relativamente primos. Observe também que os pares inteiros relativamente primos devem ser mutuamente relativamente primos, mas o inverso é falso (como os inteiros 15, 21 e 35 no Exemplo 2.7 mostram).

DIVERTIMENTOS ARITMÉTICOS 2.3

1. Encontre o máximo divisor comum de cada um dos seguintes pares de inteiros. a) 15, 35

c) -12, 18

e) 11, 121

b) 0, 111

d) 99, 100

f) 100, 102

2. Encontre o maior divisor comum de cada um dos seguintes pares de inteiros. a) 5, 15

c) -27, -45

e) 100, 121

b) 0, 100

d) -90, 100

f) 1001, 289

3. Seja a um inteiro positivo. Qual é o maior divisor comum de a e 2a?

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4. Seja a um inteiro positivo. Qual é o maior divisor comum de a e a2? 5. Prove que para todo inteiro positivo n e a um inteiro qualquer, mdc(a, a+n) divide n; então mdc(n, n + 1) = 1.

6. Seja a um inteiro positivo. Qual é o maior divisor comum de a e a + 2?

7. Mostre que o maior divisor comum de dois números pares é par.

8. Mostre que o maior divisor comum de um número par e um número ímpar é ímpar.

9. Mostre que se a e b são inteiros, não ambos 0 e c é um inteiro diferente de zero, então mdc(ca, cb) = |c| mdc(a, b).

10. Mostre que se a e b são números inteiros com mdc(a, b) = 1, então mdc (a + b, a - b) = 1 ou 2. 11. Qual o mdc(a2 + b2, a + b), onde a e b inteiros relativamente primos e que não são ambos 0?

12. Mostre que se a e b são ambos inteiros pares que não são ambos 0, então mdc(a, b) = 2 mdc(a / 2, b / 2).

13. Mostre que se a é um inteiro par e b é um inteiro ímpar, então mdc(a, b) =mdc (a / 2, b).

14. Mostre que se a, b, e c são inteiros tais que mdc(a, b) = 1 e c | (a + b), então mdc(c, a) = mdc(c, b) =1.

15. Mostre que os inteiros não nulos a, b e c são mutuamente relativamente primos, então mdc(a, bc) =mdc(a, b) mdc(a, c). 16. Mostre que se a, b e c são inteiros com mdc(a, b) = mdc(a, c) = 1, então mdc(a, bc) = 1.

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17. Use indução matemĂĄtica para mostrar que se đ?‘Ž1 đ?‘Ž2 ‌ đ?‘Žđ?‘› sĂŁo inteiros, e b ĂŠ outro inteiro tal que

mdc(a1, b) = mdc (a2, b) = ¡¡¡ = mdc(an, b) = 1,

entĂŁo

mdc(đ?‘Ž1 đ?‘Ž2 ‌ đ?‘Žđ?‘› , đ?‘?) = 1. 18. Encontre um conjunto de trĂŞs inteiros que sĂŁo mutuamente relativamente primos, mas dois deles nĂŁo sĂŁo relativamente primos. NĂŁo use exemplos do texto.

19. Encontre quatro inteiros que sĂŁo mutuamente relativamente primos tais que quaisquer trĂŞs desses inteiros nĂŁo sĂŁo mutuamente relativamente primos.

20. Encontre o maior divisor comum de cada um dos seguintes conjuntos de inteiros. a) 8, 101, 2

c) 99, 9999, 0

e) - 7, 28, -35

b) 5, 25, 75

d) 6, 15, 21

f) 0, 0, 1001

21. Encontre trĂŞs inteiros mutuamente relativamente primos entre os nĂşmeros inteiros 661, 05, 42, 70 e 165. 22. Mostre que se đ?‘Ž1 đ?‘Ž2 ‌ đ?‘Žđ?‘› sĂŁo inteiros que nĂŁo sĂŁo todos 0 e c ĂŠ um inteiro positivo, entĂŁo mdc(đ?‘?đ?‘Ž1 đ?‘?đ?‘Ž2 ‌ đ?‘?đ?‘Žđ?‘› ) = c mdc(đ?‘Ž1 đ?‘Ž2 ‌ đ?‘Žđ?‘› ). 23. Mostre que o maior divisor comum dos inteiros đ?‘Ž1 đ?‘Ž2 ‌ đ?‘Žđ?‘› , nem todos 0, ĂŠ o menor 24. inteiro positivo que ĂŠ uma combinação linear de đ?‘Ž1 đ?‘Ž2 ‌ đ?‘Žđ?‘› . 25. Mostre que se k ĂŠ um inteiro, entĂŁo os inteiros 6k -1, 6k +1, 6k +2, 6k +3 e 6k +5 sĂŁo pares relativamente primos.

26. Mostre que se k ĂŠ um inteiro positivo, entĂŁo 3k + 2 e 5k + 3 sĂŁo relativamente primos.

27. Mostre que 8a + 3 e Sa + 2 sĂŁo relativamente primos para todos os inteiros a.

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28. Mostre que se k ĂŠ um inteiro positivo, o mdc(6k + 7) / (3k + 4) estĂĄ em termos menores.

29. Mostre que se k ĂŠ um inteiro positivo, entĂŁo mdc(15k + 4) / (10k + 3) estĂĄ em termos menores.

30. Mostre que se a e b sĂŁo inteiros relativamente primos, entĂŁo mdc(a + 2b, 2a + b) = 1 ou 3.

31. Mostre que cada inteiro positivo maior que 6 ĂŠ a soma de dois inteiros relativamente primos maiores que 1. 32. Mostre que se n ĂŠ um inteiro positivo, entĂŁo (n +1, n2 - n +1) = 1 ou 3. 33. Mostre que se n ĂŠ um inteiro positivo, entĂŁo (2n2 + 6n - 4, 2n2 + 4n - 3) = 1. 34. Mostre que se n ĂŠ um inteiro positivo, entĂŁo (n2 + 2, n3 + 1) = 1, 3 ou 9. A sĂŠrie Fn de Farey de ordem n, ĂŠ o conjunto de fraçþes h / k, onde h e k sĂŁo nĂşmeros inteiros, 0 ≤ h ≤ k ≤ n, e mdc(h, k) = 1, em ordem crescente. IncluĂ­mos 0 e 1 na forma 0/1 e 1/1, respectivamente. Por exemplo, a sĂŠrie Farey de ordem 4 ĂŠ

0 1 1 1 2 3 1 , , , , , , 1 4 3 2 3 4 1 As questĂľes 33-37 tratam da sĂŠrie de Farey. 35. Encontre a sĂŠrie Farey de ordem 5.

36. Encontre a sĂŠrie Farey de ordem 7.

37. Mostre que se a / b, c / d, e e / f sĂŁo termos sucessivos de uma sĂŠrie de Farey, entĂŁo

đ?‘? đ?‘Ž+đ?‘’ = đ?‘‘ đ?‘?+đ?‘“

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38. Mostre que se a / b e c / d são termos sucessivos de uma sÊrie de Farey, então ad - bc = -1. 39. Mostre que se a / b e c / d são termos sucessivos da sÊrie de Farey de ordem n, então b + d > n. 40. Mostre que se a e b são inteiros positivos, então mdc(( an – bn) / (a –b), a – b) = mdc(n mdc(a, b)n-1, a – b).

41. Mostre que se a e b são números inteiros positivos relativamente primos, então mdc(( an – bn) / (a –b), a – b) = mdc(n, a – b). 42. Mostre que se a, b, c e d são números inteiros tais que b e d são positivos, �

đ?‘?

đ?‘?

đ?‘‘

b) =mdc (c, d) = 1 e +

mdc(a,

ĂŠ um inteiro, entĂŁo b = d.

43. O que vocĂŞ pode concluir se a, b e c sĂŁo nĂşmeros inteiros positivos tais que 1

1

1

đ?‘Ž

đ?‘?

đ?‘?

mdc(a,

b) =mdc (b, c) = 1 e + + ĂŠ um inteiro? đ?‘?

đ?‘– 44. Mostre que se a e b sĂŁo inteiros positivos, entĂŁo mdc(a, b) = 2 ∑đ?‘Žâˆ’1 đ?‘–=1 ⌊ ⌋ + a + b - ab.

đ?‘Ž

45. Mostre que se n ĂŠ um inteiro positivo e i e j sĂŁo inteiros com 1≤ i < j ≤ n, entĂŁo mdc(n! ¡ i + 1, n! ¡ j + 1) = 1. 46. Use a questĂŁo 42 para mostrar que hĂĄ infinitos primos. 47. Mostre que se c e d sĂŁo inteiros positivos relativamente primos, entĂŁo os inteiros aj, j= 0, 1, 2, ..., definidos por a0 = c e đ?‘Žđ?‘› = đ?‘Ž0 đ?‘Ž1 ‌ đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 + đ?‘‘ para n = 1, 2, ..., sĂŁo pares relativamente primos.

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2.4. O Algoritmo de Euclides

Vamos desenvolver um método sistemático, ou algoritmo, para encontrar a máximo divisor de dois inteiros positivos. Esse método é chamado de Algoritmo Euclideano. O nome é devido ao matemático da antiga Grécia, Euclides, que descreve este algoritmo em seus Elementos. (O mesmo método para encontrar os maiores divisores comuns também foi descrito no século VI pelo matemático indiano Ariabhata (476 EC – 550 EC), que o chamou de "pulverizador"). Antes de discutirmos o algoritmo em geral, vamos demonstrar seu uso com um exemplo. Encontramos o maior fator comum de 30 e 72. Primeiro, usamos o algoritmo de divisão para escrever 72 = 30 · 2 + 12, e usamos o Teorema 2.9 para notar que mdc(30, 72) = mdc (30, 72 - 2 . 30) = (30, 12). Observe que substituímos 72 pelo número menor 12 em nossos cálculos porque mdc(30, 72) = mdc(30, 12). Em seguida, usamos o algoritmo de divisão novamente para escrever 30 = 2 · 12 + 6. Usando o mesmo raciocínio como antes, vemos que mdc(30, 12) = mdc(12, 6). Como 12 = 6 . 2 + 0, vemos agora que mdc mdc(12, 6) =mdc(6,0) = 6. Consequentemente, podemos concluir que mdc(72, 30) = 6, sem encontrar todos os divisores comuns de 30 e 72. Apresentamos agora a forma geral do algoritmo Euclideano para calcular o máximo divisor comum de dois inteiros positivos. Sua demonstração fica para os Divertimentos do leitor. Teorema 2.12. O Algoritmo de Euclides. Seja r0 = a e r1 = b inteiros tais a ≥ b > 0.

Se o

algoritmo da divisão for sucessivamente aplicado

para

que obter

rj = rj+1qj+1 + rj+2, com 0 < rj+2 < rj+1 para j = 0, 1, 2, ..., n - 2 e rm+1 = 0, então mdc(a, b) = rn, o último resto diferente de zero.

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A partir deste teorema, vemos que o måximo divisor comum de a e b Ê o último resto não nulo na sequência de equaçþes gerada pela aplicação sucessiva do algoritmo de divisão e continuando atÊ o resto ser 0 (onde, em cada etapa, o dividendo e divisor são substituídos por números menores), ou seja, o divisor e o resto. Para provar que o algoritmo Euclideano produz o måximo divisor comum, o seguinte lema serå útil. Lema 2.3. Se c e d

sĂŁo

inteiros e

c = dq + r,

onde q e r sĂŁo inteiros, entĂŁo

mdc(c, d) = mdc(d, r). Prova: Este lema segue diretamente do Teorema 2.9 , fazendo a = r, b = d, e c = q. Agora, vamos provar que o Teorema 2.12 (O Algoritmo de Euclides) produz o mĂĄximo divisor comum de dois inteiros. Prova. Seja r0 = a e r1 = b inteiros positivos com đ?‘Ž ≼ đ?‘?. Aplicando sucessivamente o algoritmo da divisĂŁo, obtemos:

Podemos assumir naturalmente que obteremos um resto zero, porque a sequĂŞncia de restos đ?‘Ž = đ?‘&#x;0 ≼ đ?‘&#x;1 > đ?‘&#x;2 > â‹Ż ≼ 0

nĂŁo pode conter mais de a termos (porque cada resto ĂŠ um

inteiro). Pelo Lema 2.3, temos que mdc(a, b) = mdc(r0, r1) = mdc(r1, r2) = mdc(r2, r3) = ¡ ¡ ¡ = mdc(rn-3, rn-2) =mdc (rn-2, rn-1) = mdc(rn-1, rn) = mdc(rn, 0) = rn Portanto, mdc(a, b) = rn, o Ăşltimo resto nĂŁo nulo.∎

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É usual o seguinte dispositivo pråtico para facilitar o uso do algoritmo de Euclides:

đ?‘Ž

đ?‘ž1

đ?‘ž2

đ?‘ž3 ...

đ?‘žđ?‘›

đ?‘žđ?‘›+1

đ?‘?

đ?‘&#x;1

đ?‘&#x;2

...

đ?‘&#x;đ?‘›âˆ’1

đ?‘&#x;đ?‘›

đ?‘&#x;1

đ?‘&#x;2

đ?‘&#x;3

...

đ?‘&#x;đ?‘›

0

Ou, considerando apenas uma coluna de restos e de quocientes. Observe que a e b sĂŁo considerados como restos.

a b r1

q1

r2

q2

r3

q3

...

...

rn-1

qn-1

rn

qn

rn+1

qn+1

Ilustraremos o uso do Algoritmo de Euclides no exemplo seguinte. Exemplo 2.8. Determinar o mdc(963,657) pelo algoritmo de Euclides. Aplicando sucessivamente o algoritmo da divisĂŁo, temos: 963 = 657.1 + 306 657 = 306.2 + 45 306 = 45.6 + 36 45 = 36.1 + 9 36 = 9.4 + 0

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Utilizando o dispositivo prático:

qn

1

2

6

a=963 b=657 306 45

rn

306

45

36

1

4

36

9

9

0

Ou

rn

qn

a=963 b=657 306

1

45

2

36

6

9

1

0

4

O último resto diferente de zero é o máximo divisor comum de 963 e 657. Portanto mdc(963, 657) = 9. O algoritmo Euclideano é uma maneira extremamente eficaz de encontrar os maiores divisores comuns de dois inteiros. O exemplo a seguir solicita calcular o mdc de dois números sucessivos de Fibonacci Exemplo 2.9. Aplicando o algoritmo euclidiano para encontrar o mdc(34, 55). Observe que f9 = 34 e f10 = 55. Temos 55 = 34.1 + 21 34 = 21.1 + 13 21 = 13.1 + 8 13 = 8.1 + 5 8 = 5.1 + 3 5 = 3.1 + 2 3 = 2.1 + 1

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2 = 2.1 + 0 Observe que usando o algoritmo Euclideano para encontrar o maior divisor comum de

f9 = 34 e f10 = 55, oito (9 -1 ou 10-2) divisões foram necessárias.

Além disso,

mdc(34, 55) = 1, porque 1 é o último resto não nulo. A razão pela qual o algoritmo euclidiano opera tão lentamente para encontra o maior divisor comum de sucessivos números de Fibonacci é que o quociente em todos os passos é igual a 1. O teorema seguinte nos diz quantas divisões são usadas pelo algoritmo Euclidiano para encontrar o máximo divisor comum de números sucessivos de Fibonacci.

Teorema 2.13. Sejam fn e fn+1 números sucessivos de Fibonacci, com n > 1. O algoritmo de Euclides leva exatamente n divisões para mostrar que mdc(fn, fn+1) = 1. Prova. Aplicando o algoritmo de Euclides, e usando a relação de definição para o números de Fibonacci fj = fj-1 + fj-2 em cada passo, vemos que fn+2 = fn+1 · 1 + fn, fn+1 = fn · 1 + fn-1, . . . f4 = f3 · l + f2, f3 = f2 · 2. Assim, o

algoritmo

de

Euclides

leva

exatamente n divisões, para mostrar que

mdc(fn, fn+1) = 1 .

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Expressando o Máximo Divisor Comum Como Uma Combinação Linear O algoritmo de Euclides também pode ser usado para achar a expressão do mdc(a,b) = rn como combinação linear de a e b, para o que basta eliminar sucessivamente os restos rn-1, rn-2, ..., r3, r2, r1 entre as n primeiras igualdades anteriores. Ilustramos isso usando o Exemplo 2.8, expressando o mdc(963, 657) = 9 como uma combinação linear de 963 e 657. Essa expressão se obtém eliminando os restos 36, 45 e 306 do seguinte modo: 9 = 45 +36(-1) 36 = 306 +45.(-6) 45 = 657 +306.(-2) 306 = 963 + 657(-1) Agora, vai substituindo-se sucessivamente esses restos, a parir da segunda equação, na primeira, onde está uma combinação linear do mdc, que ainda não nos interessa. Vejamos: 9 = 45 +36(-1) = 45 + [306 +45.(-6)](-1) = = 306(-1) + 45(7) = = 306(-1) + [657 +306.(-2)](7) = 657(7) + 306(-15) = = 657(7) +[963 + 657(-1)](-15) = 963(-15) + 657.(22). Assim, 9 = 963(-15) + 657.(22). Reiteramos que essa representação do inteiro 9 = mdc(963,657) como combinação linear de 963 e 657 não é única. Assim, por exemplo, somando e subtraindo o produto (963).(657) ao segundo membro da igualdade, obtemos: 9 =963(-15) + 657.(22) + (963).(657) - (963).(657) = = 963(-15 + 657) + 657(22 - 963) = = 963.(642) + 657(-941). que é uma outra representação do inteiro 9 = mdc(963,657) como combinação linear de 963 e 657. Isto mostra como mover-se para cima através das equações que são geradas pelo algoritmo de Euclides de modo que, em cada etapa, o maior divisor comum de a e b possa ser expresso como uma combinação linear de a e b.

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Este método para expressar o mdc(a, b) como uma combinação linear de a e b é um pouco inconveniente para o cálculo, pois é necessário elaborar os passos do algoritmo euclidiano, salvar todas essas etapas e, em seguida, ir seguindo para trás nas etapas para escrever o mdc(a, b) como uma combinação linear de cada par sucessivo de restos. Existe um outro método para encontrar o mdc (a, b) que requer o trabalho através das etapas do método do algoritmo Euclideano apenas uma vez. O seguinte teorema apresenta este método, que é chamado de Algoritmo de Euclides Estendido. Teorema 2.14. Sejam a e b números inteiros positivos. Então mdc(a, b) = msa + nsb, onde ms e ns são os s-nésimos termos das sequências definidas recursivamente por m0 = l, n0 = 0, m1 = 0, n1 = 1, e mj = mj-2 – mj-1qj-1,

nj = nj-2 - nj-1qj-1

para j =2, 3, ..., k, onde os qj são os quocientes nas divisões no algoritmo Euclideano quando ele é usado para encontrar o mdc(a, b). Prova. Vamos provar que rj = mja + njb (I) para j = 0, 1, ..., t. Porque mdc(a, b) = rn, uma vez estabelecida (I), saberemos que mdc(a,b) = msa+nsb. Demonstramos (I) usando o segundo princípio da indução matemática. Para j = 0, temos a = r0 = 1 · a + 0 · b = m0a +n0 b. Assim, (I) é válida para j = 0. Da mesma forma, b = r1 = 0 · a + 1 · b = n1a +n1 b , de modo que (I) é válida para j = 1. Agora assumimos que rj = mja + njb para j = 0, 1, ..., k-1. Então, a partir do passo k do algoritmo Euclideano, temos rk = rk-2 - rk-1. qk-1.

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Usando a hipótese de indução, descobrimos que rk = (mk-2 a + nk-2 b) – (mk-1a + nk-1b). qk-1 = (mk-2 – mk-1. qk-1)a+ (nk-2 – nk-1. qk-1)b = mk.a + nk.b Isso termina a prova.∎

O exemplo a seguir ilustra o uso do Algoritmo de Euclides Estendido. para expressar o mdc(a, b) como uma combinação linear de a e b.

Exemplo 2.10. Resumimos as etapas usadas pelo Algoritmo Estendido de Euclides para expressar o mdc(963, 657) como uma combinação linear de 963 e 657 na tabela seguinte, sabendo que mj = mj-2 – mj-1qj-1 e nj = nj-2 - nj-1qj-1. j rj 0 r0=a=963

qj

mj m0= 1

nj n0= 0

rj=amj+bnj 963=963(1)+657.(0)

1 r1=b=657

q1= 1

m1= 0

n1= 1

657=963(0)+657(1)

2 r2= 306

q2= 2

m2 = m0 – m1 q1 = 1

n2 = n0 - n1 q1 = -1

r2=306=963(1)+657(-1)

3 r3= 45

q3= 6

m3 = m1 – m2 q2 =-2

n3 = n1 – n2 q2 = 3

r3=45=963(-2)+657(3)

4 r4= 36

q4= 1

m4 = m2 – m3 q3 =13

n4 = n2 – n3 q3 = -19

r4=36=963(13)+657(-19)

5 r5 = 9

q5= 4

m5 = m3 – m4 q4 = -15

n5 = n3 – n4 q4 = 22

r5=9=963(-15)+657(22)

6 r6 = 0

Como r5=9 = mdc (963, 657) e r5=m5a+ n5b, temos 9 = mdc(963, 657) = 963(-15) + 657.(22). Observe que o maior divisor comum de dois inteiros, não ambos 0, pode ser expresso Como uma combinação linear desses inteiros em um número infinito de maneiras. Em outras palavras, há infinitamente muitos pares de coeficientes de Bezout para cada par inteiro, não ambos zero. Para ver isso, seja d = mdc(a, b) e seja d = sa + tb uma maneira de escrever d como combinação linear de a e b, de modo que s e t sejam coeficientes de Bezout para a e b,

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garantida pela discussĂŁo anterior. EntĂŁo para todos os inteiros k, s + k (b / d) e t - k (a / d) sĂŁo tambĂŠm coeficientes de Bezout para a e b porque d= (s + k (b / d)) a + (t - k (a / d)) b.

Exemplo 2.11. Com a = 963 e b = 657, s = -15 e t = 22, temos que 9 = mdc(963, 657) = (-15 + 73k).963 + (22 – 107k).657.

DIVERTIMENTOS ARITMÉTICOS 2.4

1. Utilize o algoritmo de Euclides para encontrar o mdc. a) (45, 75)

b) (102, 222)

c) (666, 1414)

d) (20785, 44350)

2. Use o algoritmo de Euclides para encontrar o mdc. a) (51, 87)

b) (105, 300)

c) (981, 1234)

d) (34709, 100313)

3. Para cada par de inteiros no Divertimento 1, expresse o mdc dos inteiros como uma combinação linear destes inteiros. 4. Para cada par de inteiros no Divertimento 2, expresse o mdc dos inteiros como uma combinação linear destes inteiros. 5. Encontre o mdc de cada um dos seguintes conjuntos de números inteiros. a) 6, 10, 15

b) 70, 98, 105

c) 280, 330, 405, 490

6. Encontre o maior divisor comum de cada um dos seguintes conjuntos de nĂşmeros inteiros. a) 15, 35, 90

b) 300, 2160, 5040

c) 1240, 6660, 15540, 19980

O mĂĄximo divisor comum dos n inteiros đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› pode ser expresso como um combinação linear. Para fazer isso, primeiro expresse

mdc(a1, a2) como uma combinação

linear de a1 e a2 . Em seguinda expresse o mdc(đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 ) = mdc(mdc(đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 ), đ?‘Ž3 ) como uma

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combinação linear de đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 đ?‘’ đ?‘Ž3 . Repita isso atĂŠ mdc (đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› ) ser expressa como uma combinação linear de đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› . Utilize este procedimento nos Divertimentos 7 e 8. 7. Expressar o mdc de cada conjunto de nĂşmeros no ExercĂ­cio 5 como uma combinação dos nĂşmeros nesse conjunto. 8. Expressar o mdc de cada conjunto de nĂşmeros no ExercĂ­cio 6 como uma combinação dos nĂşmeros nesse conjunto. O mĂĄximo divisor comum de dois inteiros positivos pode ser encontrado por um algoritmo que usa apenas subtraçþes, verificaçþes de paridade e mudanças de expansĂľes binĂĄrias, sem usar nenhuma divisĂŁo. O algoritmo prossegue recursivamente usando a seguinte redução:

đ?‘šđ?‘‘đ?‘?(đ?‘Ž, đ?‘?) {

đ?‘Ž, đ?‘Ž đ?‘? 2đ?‘šđ?‘‘đ?‘? ( , ) , 2 2 đ?‘Ž đ?‘šđ?‘‘đ?‘? ( , đ?‘?) , 2 đ?‘šđ?‘‘đ?‘?( đ?‘Ž − đ?‘?, đ?‘?),

đ?‘ đ?‘’ đ?‘Ž = đ?‘?; đ?‘ đ?‘’ đ?‘Ž đ?‘? đ?‘ ĂŁđ?‘œ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ ; đ?‘ đ?‘’ đ?‘Ž ĂŠ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘’ đ?‘? ĂŠ Ă­đ?‘šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;; đ?‘ đ?‘’ đ?‘Ž đ?‘’ đ?‘? đ?‘ ĂŁđ?‘œ Ă­đ?‘šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ , đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ž > đ?‘?

(Nota: Inverter as posiçþes de a e b quando necessĂĄrio). Os exercĂ­cios 9-13 referem-se a este algoritmo. 9. Encontrar o mdc (2106, 8318) utilizando este algoritmo. 10. Mostre que este algoritmo produz sempre o maior divisor comum de um par de valores inteiros positivos. 11. Quantos passos utiliza este algoritmo para encontrar o mdc(a, b) se a = (2n - (-l)n) / 3 eb = 2 (2n -l - (-1)n-1 / 3, quando n ĂŠ um nĂşmero inteiro positivo? 12. Mostre que para encontrar o mdc(a, b) este algoritmo usa etapas de subtração na redução nĂŁo mais do que 1 + [log2 max (a, b)] vezes. 13. Desenvolver um algoritmo para encontrar o maior divisor comum de dois inteiros positivos usando suas expansĂľes ternĂĄrias equilibradas. No ExercĂ­cio 26 da Seção 1.5, ĂŠ dado um algoritmo de divisĂŁo modificado, que afirma que se a e b > 0 sĂŁo inteiros, entĂŁo existem e sĂŁo Ăşnicos os inteiros q, r e c tais que a = bq + cr, onde đ?‘? = Âą1, đ?‘&#x; ≼ 0, e -b/2<cr≤ b/2. Podemos configurar um algoritmo, anĂĄlogo ao algoritmo euclideano, baseado neste algoritmo da divisĂŁo modificado, chamado algoritmo do resto mĂ­nimo. Ele funciona da seguinte maneira: Seja r0 = a e r1 = b, onde a> b> 0. Usando o

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algoritmo de divisão modificado epetidamente, obtenha o máximo divisor comum de a e b como o último resto não nulo rn na sequência de divisões -r1/2<c2 r2≤ r1/2

r0 =r1q1 + c2r2, ...

rn-2 = rn-1qn-1+cnrn, -rn-1/2<cnrn≤ rn-1/2 rn-1 = rnqn. 14. Use o algoritmo do resto mínimo para encontrar o mdc(384, 226). 15. Mostre que o algoritmo do resto mínimo produz sempre o máximo divisor comum de dois inteiros. 16. Mostre que o algoritmo do resto mínimo é sempre pelo menos tão rápido quanto o algoritmo euclidiano. 17. Encontre uma seqüência de inteiros v0, v1, v2, ..., tal que o algoritmo do resto mínimo leva exatamente n divisões para encontrar o mdc(vn+1, vn+1). 18. Mostre que o número de divisões necessárias para encontrar o maior divisor comum de dois inteiros positivos usando o algoritmo do resto mínimo é menor que 8/3 vezes o número de dígitos do menor dos dois números, mais 4/3. 19. Mostre que mdc(am - 1, an - 1) = amdc(a,b) - 1 sempre que a, m, e n são inteiros positivos e a> 1. 20. Mostre que se m e n são inteiros positivos, então mdc(fm, fn) = fmdc(m,n) Os próximos dois exercícios tratam do jogo de Euclides. Dois jogadores começam com um par de números inteiros e alternadamente fazem movimentos do tipo a seguir. Um jogador pode mover-se do par de inteiros positivos {x, y} com x ≥ y, para qualquer um dos pares (x - t y, y), onde t é um inteiro positivo e x - ty ≥ 0. Um movimento vencedor consiste em mover para um par onde um elemento igual a 0. 21. Mostre que cada seqüência de movimentos começando com o par (a, b) deve eventualmente terminar com o par (0, mdc(a, b)). 22. Mostre que em um jogo começando com o par (a, b), o primeiro jogador pode criar uma estratégia vencedora se a = b ou se a> b (l + √5) / 2; caso contrário, o segundo jogador pode criar uma estratégia vencedora.

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23. Seja a e b nĂşmeros inteiros positivos e seja rj e qj, j = 1, 2, ..., n os restos e quocientes dos passos do algoritmo euclideano conforme definido nesta seção. a) Encontre o valor de ∑đ?‘›đ?‘—=1 đ?‘&#x;đ?‘— đ?‘žđ?‘— . b) Encontre o valor de ∑đ?‘›đ?‘—=1 đ?‘&#x;đ?‘— 2 đ?‘žđ?‘— .

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2.5. O Teorema Fundamental da Aritmética (TFA)

Euclides- Al Farisi – Euler – Legendre - Gauss O TFA é um resultado importante, que mostra que os números primos são os alicerces na construção multiplicativa dos inteiros. A Proposição 14 do livro IX, Elementos de Euclides (360-295 a.C), apresenta uma parte do resultado que mais tarde se tornou conhecido como o Teorema Fundamental da Aritmética. Para citar a própria proposição: "Se um número é o menor que é medido por números primos, então ele não é medido por nenhum outro primo exceto aqueles que o mediam desde o princípio”. Como podemos ver, essa proposição é uma versão parcial do TFA, e afirma que nenhum número primo pode dividir o produto de outros números primos distintos. Somente no século XIX, mais precisamente em 1801, ano em que Carl Friedrich Gauss publicou um dos livros mais importantes da história da matemática, Disquisitiones Arithmeticae (Investigações em Aritmética), Gauss demonstrou, de maneira completa, a proposição 14 do livro IX dos Elementos de Euclides ao estabelecer um fato que havia passado despercebido por todos os matemáticos que estudaram o assunto antes dele: a questão da unicidade. Teorema 2.15 O Teorema Fundamental da Aritmética. Cada número inteiro composto maior do que um pode ser escrito de forma única como um produto de potências de números primos, com os fatores primos do produto escritos em ordem não decrescente. Para provar o teorema fundamental da aritmética, precisamos de alguns resultados iniciais que se tornarão uma parte crucial da prova. Lema 2.4. Se a, b e c são inteiros positivos, tal que mdc(a, b) =1 e a |bc, então a | c.

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Prova: Como (a, b) = 1, existem números inteiros x e y tais que ax + by = 1. Multiplicando ambos os lados desta equação por c, temos acx + bcy = c. Como a divide a combinação linear acx + bcy, então a | c. Note que somente a condição a | bc não implica que a | c, como, por exemplo, 12 | 9.8, mas 12 não divide e nem divide 8, pois o mdc(12,9) ≠1 e mdc(12,8) ≠1. Lema 2.5. Se um número primo p não divide um inteiro a, então mdc(a, p) =1. Demonstração: Seja d = mdc (a, p). Então d | a e d | p. Da relação d | p resulta que

d=1

ou d = p, porque p é primo, e como a segunda igualdade é impossível, já que p não divide a, segue-se que d = 1, isto é, o mdc(a, p) = 1.  Antes de apresentar o próximo resultado, observe que o primo 3 divide o inteiro 36, e 36 pode ser escrito como qualquer um dos produtos 6. 6 = 9.4 = 12. 3 = 18. 2. Em cada um deles, 3 divide pelo menos um dos fatores envolvidos. Esse é resultado particular de uma situação geral dada lema a seguir. Lema 2.6. Propriedade Fundamental dos Números Primos. Se p é um primo tal que p | ab, então p | a ou p | b. Demonstração: Se p | a, nada há que demonstrar, e se, ao invés, p não divide a, então, pelo Lema 2.5, o mdc (p, a) = 1 e assim, pelo Lema 2.4, p | b.  Esse resultado estende-se naturalmente a um produto com mais de dois primos. Lema 2.6.1. Se p é um primo tal que p | a1a2a3 ... an, e a1a2a3 ... an são inteiros positivos, então existe um índice k, com 1  k  n tal que p | ak. Prova: Provando por indução sobre n, o número de fatores. Quando n = 1 é imediato que a proposição é verdadeira e para n = 2, o resultado é o conteúdo do Lema 2.6. Suponhamos, como hipótese de indução, que n > 2 e que quando p divide um produto com menos de n fatores, ele divide, pelo menos um dos fatores. Assim p | a1a2a3 ... an . Do Lema 2.6, ou p|an ou p|a1 a2 ... an-1. Se p|an, a proposição está demonstrada. Relativamente ao caso em que p|a1 a2 ... an-1, a hipótese de indução assegura que p|ak, com 1 k  n - 1. Em qualquer dos casos, p divide um dos inteiros a1, a2, a3, ..., an. 

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Corolário 2.6.1. Se os inteiros p, q1,q2 ,..., qn são todos primos e se p | q1q2 ... qn, então existe um índice k, com 1 k  n tal que p = qk. Prova: De fato, pelo Lema 2.6.1, existe um índice k, com 1 k  n , tal que p|qk. Sendo qk um número primo, os únicos divisores são 1 e qk, então p = 1 ou p = qk. Mas p > 1, porque p é primo, logo, p = qk.  Com esta preparação inicial, chegamos a uma das pedras angulares da teoria sobre números primos: O Teorema Fundamental da Aritmética. Como indicado anteriormente, esse teorema afirma que cada número inteiro maior que 1 pode ser tido escrito de forma única como um produto de números primos. Essencialmente significa que 2 · 3 · 2 é única fatoração em primos possível para 12. Não consideramos a fatoração 2 · 2 · 3 como diferente. Agora começamos a prova do TFA. Em primeiro lugar, queremos mostrar que cada número inteiro maior que 1 pode ser escrito como um produto de números primos. Em seguida vamos mostrar que este produto é único. Lema 2.7 Cada número inteiro n > 1 ou é um primo ou pode ser escrito como um produto de potências de primos. Prova: Usaremos uma prova por contradição. Suponha que algum número inteiro positivo composto não pode ser escrito como o produto de primos. Seja n esse menor número inteiro (um tal número deve existir, a partir da propriedade da boa ordenação). Se n é primo, obviamente é igual a um produto de primos, ou seja, apenas esse n. Consideremos n um composto. Seja n = ab, com 1 < a < n e 1 < b < n. Mas, como a e b são menores do que n, então são um produto de primos. Então, como n = ab, concluímos que n é também um produto de primos. Esta contradição mostra que cada inteiro positivo pode ser escrito como o produto de primos..  Lema 2.8. A decomposição de um inteiro positivo n > 1 como produto de fatores primos é única. Demonstração: Suponha que existe um inteiro n que tem duas fatorações diferentes em primos: n  p1. p2 ... ps  q1q2 ...qr ,

onde, p1 . p2 ... ps e q1 . q2 ... qr são todos primos, com p1  ...  ps e q1  ...  qr .

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Removendo todos os primos comuns das duas fatoraçþes, obtemos đ?‘?đ?‘–1 đ?‘?đ?‘–2 ‌ đ?‘?đ?‘–đ?‘˘ = đ?‘žđ?‘—1 đ?‘žđ?‘—2 ‌ đ?‘žđ?‘—đ?‘Ł , onde os primos do lado esquerdo desta equação diferem daqueles no lado direito , u ≼1 e v ≼ 1 (porque as duas fatoraçþes originais foram presumidas como diferentes). No entanto, isso leva a uma contradição do CorolĂĄrio 2.6; por este corolĂĄrio, đ?‘?đ?‘–1 deve dividir đ?‘žđ?‘—đ?‘˜ para algum k, o que ĂŠ impossĂ­vel, porque cada đ?‘žđ?‘—đ?‘˜ ĂŠ um primo diferente de đ?‘?đ?‘–1 . EntĂŁo, a fatoração de um inteiro positivo n em primos ĂŠ Ăşnica. ∎ Onde a Fatoração Ăšnica Falha. O fato de que para cada inteiro positivo hĂĄ uma Ăşnica fatoração em primos ĂŠ uma propriedade especial do conjunto de inteiros que ĂŠ compartilhada por alguns, mas nĂŁo por todos, os sistemas de nĂşmeros. No sĂŠculo XIX, os matemĂĄticos pensaram que poderiam provar que a equação diophantina xn + yn = zn nĂŁo tem soluçþes em inteiros positivos quando n ĂŠ um nĂşmero inteiro com n ≼ 3 (esse resultado ĂŠ conhecido como o Ăşltimo teorema de Fermat), usando uma forma de fatoração Ăşnica para certos tipos de nĂşmeros algĂŠbricos . Descobriu-se que esses nĂşmeros nĂŁo desfrutam da propriedade de fatoração Ăşnica. As supostas provas estavam incorretas, um problema que escapou Ă observação de muitos matemĂĄticos eminentes. Embora nĂŁo desejemos ir longe demais (introduzindo a Teoria dos NĂşmeros AlgĂŠbricos, por exemplo), podemos fornecer um exemplo mostrando que a fatoração Ăşnica falha para certos tipos de nĂşmeros. Considere o conjunto de nĂşmeros da forma a + b√−5, onde a e b sĂŁo inteiros. Este conjunto contĂŠm todos os inteiros (tomando b = 0), bem como outros nĂşmeros, como 3√−5, -1 + 4√−5, 7-5√−5, e assim por diante. Um nĂşmero desta forma ĂŠ primo (neste contexto) se nĂŁo puder ser escrito como o produto de dois outros nĂşmeros desta forma ambos diferentes de Âą 1. Observe que 6 = 2 ¡ 3 = (1 + √−5) (1 - √−5 ). Cada um dos nĂşmeros 2, 3, 1 + √−5 e 1 - √−5 ĂŠ um primo (veja os Divertimentos 19-22 no final desta seção para ver como isso pode ser estabelecido). Segue-se que o conjunto de nĂşmeros da forma a + b√−5 nĂŁo possui a propriedade da fatoração Ăşnica em primos. Por outro lado, nos estudos de inteiros Gaussianos, pode-se mostrar que os nĂşmeros da forma a + b√−1, onde a e b sĂŁo inteiros, tĂŞm fatoração Ăşnica.

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Usando a Fatoração em Primos A fatoração de um inteiro positivo n em potências de primos codifica informações essenciais sobre n. Dada a fatoração, podemos deduzir imediatamente se um primo p divide n, porque p divide n se, e somente se, ele aparecer na fatoração. Se um primo q divide n, mas não aparece na fatoração em potências de primos de n, isso é uma contradição com respeito a unicidade da fatoração em primos. Por exemplo, como 168 = 23·3·7, cada um dos números primos 2, 3, 7 e divide 168 mas, por exemplo, nenhum dos primos 5, 11 e 13 o fazem. Além disso, a maior potência de um primo p que divide n é a potência de p que aparece nessa fatoração de n. Por exemplo, cada um dos fatores 23, 3 e 7 divide 168, mas nenhum dos números 24, 32 e 72 o fazem. Além disso, um número inteiro d divide n se e somente se todos os números primos na fatoração em potências de primos de d aparecem na fatoração em potências de primos de n, claro que não necessariamente com os mesmos valores nas potências (esse fato segue do TFA). O exemplo a seguir ilustra como podemos encontrar todos os divisores positivos de um número inteiro positivo usando este fato. Exemplo 2.11. Os divisores positivos de 120 = 23.3.5, são inteiros positivos cuja fatoração em potências de primos contém apenas os números primos 2, 3 e 5 com potências menores ou iguais a 3, 2 e 1, respectivamente. Esses divisores são obtidos pelas matrizes que criamos abaixo: M

20

21

22

23

30

1

2

4

8

31

3

6

12

24

51M

20

21

22

23

30

5

10

20

40

31

15

30

60

120

D(120) = {1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120} Outra aplicação da fatoração em primos é para encontrar o máximo divisor comum. Veja no exemplo seguinte.

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Exemplo 2.12. Para ser um divisor positivo comum de 720 = 24 · 32 · 5 e 2100 = 22 · 3 · 52 · 7, o inteiro deve conter apenas os números primos comuns 2, 3 e 5 em sua fatoração em potências de primos, e a potência em qualquer desses números primos não pode ser maior do que as que aparecem nas fatorações de 720 e 2100. Por conseguinte, para ser um divisor positivo comum de 720 e 2100, um número inteiro deve conter apenas os números primos comuns 2, 3, e 5 e as potências não podem ser maiores do que 2, 1 e 1, respectivamente. Portanto, a máximo divisor comum de 720 e 2100 é 22 · 3 · 5 = 60. Vamos descrever de modo geral, como a fatoração em primos pode ser usada para encontrar o máximo divisor comum. Seja min(a, b) que representa o menor, ou o mínimo, dos dois números a e b. Agora, sejam as fatorações em primos dos inteiros positivos a e b. a  p1a1 p2a2 ... pnan e b  p1b1 p2b2 ... pnbn ,

onde cada expoente é um inteiro não negativo, e onde todos os números primos que ocorrem nas fatorações em primos de a e de b estão em ambos os produtos, talvez com expoentes iguais a zero. Observe que mdc(a, b)  p1min( a1 ,b1 ) p2min( a2 ,b2 ) ... pnmin( an ,bn ) ,

por que para cada primo pi, a e b compartilham exatamente os fatores min(a,b) de pi. A fatoração em primos também pode ser usada para localizar o menor número inteiro que é um múltiplo comum de cada um de dois inteiros positivos. O problema de encontrar este número inteiro surge quando frações são adicionados. Definição: O mínimo múltiplo comum de dois inteiros não negativos a e b é o menor inteiro positivo que é divisível por a e b. Vamos indicar o mínimo múltiplo comum de a e b é indicado por mmc(a, b) ou [a, b]. Uma vez que as fatorações em primos de a e b são conhecidas, podemos determinar o mm(a, b). Se a  p1a p2a ... pna e b  p1b p2b ... pnb , onde p1, p2, ..., pn são os primos que 1

2

n

1

2

n

ocorrem nas fatorações de a e b (onde podemos ter ai = 0 ou bi = 0 para algum i), então para que um inteiro seja divisível por ambos a e b, é necessário que na fatoração do número inteiro,

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cada pj ocorra com uma potência tão grande como em aj e bj. Assim, o menor número inteiro positivo divisível por a e b, Ê mmc(a, b)  p1max( a1 ,b1 ) p2max( a2 ,b2 ) ... pnmax( an ,bn ) ,

onde, max(x,y) representa o maior valor, ou o mĂĄximo, de x e y.

Exemplo 2.13. Determine mmc( 6174, 280). Da fatoração em primos temos: 6174 = 2. 32.73

280 = 23.5.7.

e

Então, mmc(6174, 280) = 2max(1,3).32.5.7max(1,3) = 23.32.5.73 =123480. Esse Ê o menor inteiro positivo simultaneamente divisível por 280 e 6174. Encontrar a fatoração em potências de primos pode ser um processo bem demorado. Portanto, Ê preferível usar um outro mÊtodo para encontrar o mmc de dois números inteiros sem a fatoração desses números em potências de primos. Vamos mostrar que podemos encontrar o mmc de dois números inteiros positivos, quando sabemos o mdc desses números inteiros. Como jå foi visto, esse último pode ser encontrado atravÊs do algoritmo de Euclides.

Lema 2.9. Se x e y sĂŁo nĂşmeros reais, entĂŁo max(x, y) + min(x, y) = x + y. Prova: Se x ≼ y, entĂŁo min (x, y) = y e max (x, y) = x, de modo que max (x, y) + min (x, y) = x + y. Se x < y, entĂŁo min (x, y) = x e max (x, y) = y, e novamente encontramos que max (x, y) + min (x, y) = x + y. ∎ Usaremos o seguinte teorema para encontrar o mmc(a, b) quando o mdc(a, b) ĂŠ conhecido.

Teorema 2.16. Se a e b sĂŁo inteiros positivos, entĂŁo đ?‘šđ?‘šđ?‘?(đ?‘Ž, đ?‘?) =

đ?‘Ž. đ?‘? đ?‘šđ?‘‘đ?‘?(đ?‘Ž, đ?‘?)

.

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Prova: Seja mdc(a,b) = d e mmc(a,b) = m. Como a | a.

b a ab e b | b. , segue-se que é um d d d

múltiplo comum de a e b. Portanto, existe um inteiro positivo k tal que

ab = mk, k  N. d O que implica:

a m  k. d b Ou seja, k é um divisor comum dos inteiros Logo k = 1. Assim sendo, temos

e

b m  k. . d a

a b a b e e mdc ( , ) = 1 (Corolário 2.10.1). d d d d

ab  m  ab  dm . Isto é, ab =mdc (a, b).mmc(a, b). d

Considere os inteiros positivos m = 339 e n = 985. Temos que d = 565 é um divisor de m.n = 333915. Temos também que d1= 113 divide m e d2 = 5 divide n e d = d1.d2. Não é difícil verificar que a recíproca desse caso é verdadeira. O lema seguinte é outra consequência do TFA. Lema 2.10. Sejam m e n inteiros positivos relativamente primos. Então, se d é um divisor positivo de mn, há um único par de divisores positivos d1 de m e d2 de n tal que d = d1.d2. Reciprocamente, se d1 e d2 são divisores positivos de m e n, respectivamente, então d = d1.d2 é um divisor positivo de mn. Prova: (Divertimentos) A Prova de Um Caso Especial do Teorema de Dirichlet. O TFA pode ser usado para provar casos especiais de Teorema de Dirichlet, que afirma que a progressão aritmética an + b contém infinitos números primos sempre que a e b são inteiros positivos relativamente primos. Vamos ilustrar isso com uma prova do teorema de Dirichlet para a progressão 4n + 3. Antes de provar esse resultado vamos precisar do lema seguinte. Lema 2.11. Se a e b são inteiros, ambos da forma 4n + 1, então o produto ab também é da mesma forma. Prova: Como a e b são da forma 4n + 1, então existem inteiros positivos r e s tal que

a = 4r

+ 1 e b = 4s + 1. Assim,

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ab = (4r+1).(4s+1)= 16rs+4r+4s+1 = 4(4rs+r+s)+1, ∎

que ĂŠ tambĂŠm da forma 4n + 1.

Teorema 2.17. Hå infinitos primos da forma 4n + 3, onde n Ê um inteiro positivo. Prova: Vamos supor que hå apenas um número finito de números primos da forma 4n + 3, digamos, p0 = 3, p1, p2,...,pr¡ Seja Q = 4p1p2...pr + 3. Então, deve haver pelo menos um primo na fatoração de Q da forma 4n + 3. Caso contrårio, todos estes números primos seriam da forma de 4n + 1, e pelo Lema anterior, isto implicaria que Q tambÊm seria desta forma, o que Ê uma contradição. No entanto, nenhuma dos primos p0, p1. ..., Pr divide Q. O primo 3 não divide Q, pois se 3|Q então, 3|(Q-3) = 4p1p2...pn o que Ê uma contradição. Da mesma forma, nenhum dos números primos pj pode dividir Q, porque pj|Q implicariam em pj|(Q - 4p1p2...pr) = 3, o que Ê um absurdo. Assim, existem infinitos números primos da forma 4n + 3.

∎

Resultados Sobre NĂşmeros Irracionais. ConcluĂ­mos esta seção provando alguns resultados sobre nĂşmeros irracionais. Antes dar atenção para os nĂşmeros irracionais, consideramos brevemente diferentes representaçþes de nĂşmeros racionais como quocientes de nĂşmeros inteiros. Observe que se đ?›ź ĂŠ um nĂşmero racional, entĂŁo podemos escrever đ?›ź como o quociente de dois inteiros de infinitas maneiras, se đ?›ź = a / b, onde a e b sĂŁo inteiros com b ≠0, entĂŁo đ?›ź = ka / kb sempre que k ĂŠ um inteiro diferente de zero. Entretanto, como pode ser visto pela fatoração Ăşnica, um nĂşmero racional positivo r pode ser escrito de forma Ăşnica em termos positivos menores. Esta representação pode ser obtida por cancelamento de fatores primos comuns no numerador e denominador em qualquer quociente de dois inteiros que seja igual a r. Por exemplo, o nĂşmero racional 11/21 estĂĄ nos termos positivos menores. Verificamos tambĂŠm que ... = -33 / -63 = -22 / -42 = -11 / -21 = 11/21 = 22/42 = 33/63 = .... Os prĂłximos dois resultados mostram que certos nĂşmeros sĂŁo irracionais. Começamos por dar uma outra prova de que, √2 ĂŠ irracional (provamos isso originalmente na Seção 1.1).

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Exemplo 2.14. Vamos provar que um nĂşmero racional, digamos,

2 Ê irracional. Suponhamos, por contradição, que

2

2 ĂŠ

a , onde a e b sĂŁo ambos nĂşmeros inteiros com b

MDC(a, b) = 1. Elevando ambos os termos ao quadrado, obtemos a2 = 2b2, de modo que b|a2. Se b > 1, entĂŁo o TFA garante a existĂŞncia de um primo p tal que p|b. Segue-se que p|a2 e, pelo Teorema 7.1, temos que p|a; assim, mdc(a, b) ď‚ł p. NĂŁo teremos uma contradição, a menos que b = 1. Mas se isso acontecer, temos a2 = 2, o que ĂŠ impossĂ­vel (aceitando o fato que nĂŁo existe um inteiro positivo que multiplicado por si mesmo seja igual a 2). Logo, nossa suposição de que

2 ĂŠ um nĂşmero racional ĂŠ insustentĂĄvel, e por isso

2 ĂŠ irracional.

Podemos tambĂŠm usar o seguinte resultado mais geral para mostrar que, √2 ĂŠ irracional. Teorema 2.18. Seja đ?›ź um nĂşmero real que ĂŠ a raiz do polinĂ´mio xn + cn-1xn-1 + ¡ ¡ ¡ + c1x + c0, onde os coeficientes c0, c1, ... , cn-1 sĂŁo nĂşmeros inteiros. EntĂŁo đ?›ź ĂŠ um inteiro ou um nĂşmero irracional. Prova: (Divertimentos) Ilustramos o Teorema 2.18 com o exemplo seguinte. Exemplo 2.15. Seja đ?›ź um inteiro positivo que nĂŁo seja a m-ĂŠsima potĂŞncia de um inteiro, đ?‘š

đ?‘š

đ?‘š

entĂŁo √đ?‘Ž nĂŁo ĂŠ um inteiro. EntĂŁo √đ?‘Ž ĂŠ irracional pelo Teorema 2.18, porque √đ?‘Ž ĂŠ uma raiz 3

10

de xm - a. Consequentemente, nĂşmeros como, √2 , √5 , √7 , etc., sĂŁo irracionais. O teorema fundamental da aritmĂŠtica pode ser usado para provar o seguinte resultado, que relaciona a famosa função zeta de Riemann com os nĂşmeros primos. Teorema 2.19. Se s ĂŠ um nĂşmero real com s > 1, entĂŁo ∞

1 đ?œ (đ?‘ ) = ∑ đ?‘ = đ?‘› đ?‘›=1

đ?‘›

1 −1 âˆ? (1 − đ?‘ ) . đ?‘?

đ?‘? đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘œ

Evidentemente nĂŁo hĂĄ ainda como provar o Teorema 2.19 porque sua prova depende dos resultados que sĂŁo objeto de estudos da AnĂĄlise Real e Teoria AnalĂ­tica dos NĂşmeros. A prova usa o teorema fundamental da aritmĂŠtica para mostrar que o termo

1 đ?‘›đ?‘

, onde n ĂŠ um

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inteiro positivo, aparece exatamente uma vez quando os termos do produto do lado direito sĂŁo expandidos. Para ver isso, usamos o fato de que ∞

đ?‘

1 1 = ∑ ( đ?‘˜) . −đ?‘ 1 − đ?‘?đ?‘— đ?‘?đ?‘— đ?‘˜=0

đ?‘˜

đ?‘˜

đ?‘˜

Se đ?‘› = đ?‘?1 1 đ?‘?2 2 ‌ đ?‘?đ?‘&#x; đ?‘&#x; e a decomposição em potĂŞncias de primos, 1 1 đ?‘ 1 = = ( ( ) đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘˜ ) đ?‘›đ?‘ đ?‘› đ?‘?1 1 đ?‘?2 2 ‌ đ?‘?đ?‘&#x; đ?‘&#x;

đ?‘

aparece exatamente uma vez na expansĂŁo do produto.

DIVERTIMENTOS ARITMÉTICOS 2.5

1. Encontre as fatoraçþes em primos de cada um dos seguintes números inteiros. a) 36

d) 289

g) 515

j) 8000

b) 39

e) 222

h) 989

k) 9555

c) 100

f) 256

i) 5040

1) 9999

2. Encontre a fatoração em primo de 111, 111.

3. Encontre a fatoração em primos de 4 849 845.

4. Encontre todos os fatores primos de cada um dos seguintes inteiros. a) 100.000

b) 10 500 000

c) 10!

30 ) 10

d) (

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5. Encontre todos os fatores primos de cada um dos seguintes nĂşmeros inteiros. a) 196 608

b) 7 290 000

c) 20!

50 ) 25

d) (

6. Mostre que todas as potências na fatoração em potências primas de um inteiro n são pares se e somente se n Ê um quadrado perfeito.

7. Quais inteiros positivos tĂŞm exatamente trĂŞs divisores positivos? Quais tĂŞm exatamente quatro divisores positivos?

8. Mostre que cada inteiro positivo pode ser escrito como o produto de um quadrado (possivelmente 1) e um inteiro livre de quadrado. Um inteiro livre de quadrado ĂŠ um inteiro que nĂŁo ĂŠ divisĂ­vel por nenhum quadrado perfeito diferentes de 1. 9. Um inteiro n ĂŠ chamado de potente se, sempre que um primo p divide n, p2 divide n. Mostre que cada nĂşmero potente pode ser escrito como o produto de um quadrado perfeito e um cubo perfeito. 10. Mostre que se a e b sĂŁo inteiros positivos e a3 | b2, entĂŁo a | b. 11. Seja p um nĂşmero primo e n um nĂşmero inteiro positivo. Se pa | n, mas pn+1 | n, dizemos que pa divide exatamente n, e escrevemos pa || n. a) Mostre que se pa || m e pb || n, entĂŁo pa+b || mn. b) Mostre que se pa || m, entĂŁo pka || mk. c) Mostre que se pa || m e pb || n com a≠đ?‘?, entĂŁo pmin(a,b) || mdc(m, n).

12. Seja n um inteiro positivo. Mostre que a potĂŞncia do primo p que ocorre na fatoração em primos de n! ĂŠ đ?‘›

đ?‘›

đ?‘›

đ?‘?

đ?‘?

đ?‘?

⌊ ⌋ + ⌊ 2 ⌋ + ⌊ 3 ⌋ + â‹Ż.

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13. Use o Divertimento 12 para encontrar a fatoração em potências primas de 20!.

14. Quantos zeros existem no final de 1000! Em notação decimal?

15. Encontre todos os inteiros positivos n tais que n! termina com exatamente 74 zeros em notação decimal.

16. Mostre que se n ĂŠ um inteiro positivo, ĂŠ impossĂ­vel para n! terminar com exatamente 153, 154 ou 155 zeros quando ele ĂŠ escrito em notação decimal. Seja đ?›ź = a + b√−5. Onde a e b sĂŁo inteiros. Definimos a norma de a, denotada por đ?‘ (đ?›ź), como đ?‘ (đ?›ź) = a2 + 5b2.

17. Mostre que se đ?›ź = a + b√−5 đ?›˝ = c + d√−5. Onde a, b, c e d sĂŁo nĂşmeros inteiros. entĂŁo đ?‘ (đ?›źđ?›˝) = đ?‘ (đ?›ź)đ?‘ (đ?›˝).

18. Um nĂşmero da forma a + b√−5 ĂŠ primo se nĂŁo puder ser escrito como o produto de nĂşmeros đ?›ź đ?‘’ đ?›˝, onde nem đ?›ź e nem đ?›˝ ĂŠ igual a Âą1. Mostre que o nĂşmero 2 ĂŠ um nĂşmero primo da formam a + b√−5 .

19. Use um argumento semelhante ao do Divertimento 18 para mostrar que 3 ĂŠ um nĂşmero primo da forma a + b√−5.

20. Use argumentos semelhantes aos do Divertimento 18 para mostrar que ambos 1 Âą √−5 sĂŁo nĂşmeros primos da forma a + b√−5.

21. Encontre duas fatoraçþes diferentes do nĂşmero 19 em primos da forma a + b√−5, onde a e b sĂŁo inteiros.

22. Mostre que o conjunto de todos os nĂşmeros da forma a + b√−6, onde a e b sĂŁo inteiros, nĂŁo desfrutar da propriedade da fatoração Ăşnica.

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Os próximos quatro exercícios apresentam outro exemplo de um sistema em que a fatoração única em primos falha. Seja H o conjunto de todos os inteiros positivos da forma 4k + 1, onde k Ê um inteiro não negativo. 23. Mostre que o produto de dois elementos de H tambÊm estå em H.

24. Um elemento h≠1 em H ĂŠ chamado um primo de Hilbert (em homenagem ao famoso matemĂĄtico alemĂŁo David Hilbert) se a Ăşnica maneira que ele pode ser escrito como o produto de dois inteiros em H ĂŠ h = h ¡ 1 = 1 ¡ h. Encontre os 20 menores primos de Hilbert.

25. Mostre que cada elemento de H maior que 1 pode ser fatorado em primos de Hilbert.

26. Mostre que a fatoração dos elementos de H em primos de Hilbert não Ê necessariamente única. Encontre duas fatoraçþes diferentes de 693 em primos de Hilbert.

27. Quais inteiros positivos n sĂŁo divisĂ­veis por todos os inteiros que nĂŁo excedem √đ?‘›? 28. Encontre o mĂ­nimo mĂşltiplo comum de cada um dos seguintes pares de nĂşmeros inteiros. a) 8, 12 b) 14, 15

c) 28, 35 d) 111, 303

e) 256, 5040 f) 343, 999

29. Encontre o mĂ­nimo mĂşltiplo comum de cada um dos seguintes pares de nĂşmeros inteiros. a) 7. 11

c) 25, 30

e) 1331, 5005

b) 12, 18

d) 101, 333 f) 5040, 7700

30. Encontre o maior fator comum e o menor mĂşltiplo comum dos seguintes pares de inteiros. a) 2 32 53 , 22 33 72

c) 28 36 54 1113, 2. 3. 5 . 11. 13

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d) 41101 4743 1031001 , 4111 4347 83111 ,

b) 2. 3. 5. 7, 7. 11. 13

31. Encontre o maior divisor comum e o menor mĂşltiplo comum dos seguintes pares de inteiros. a) 22 33 55 77 , 27 35 53 72

c) 23 57 1113 ,

b) 2. 3. 5. 7. 11 ¡ 13,

d) 4111 79111 1011001 , 4111 83111 1011000

17. 19. 23. 29

2. 3 ¡ 5 ¡ 7 ¡ 11 ¡ 13

1

1

1

2

3

đ?‘›

32. Seja n um inteiro positivo maior que 1. Mostre que 1 + + + â‹Ż +

nĂŁo ĂŠ um

inteiro.

33. As cigarras periĂłdicas sĂŁo insetos com perĂ­odos larvais muito longos e vidas adultas curtas.

Para cada espĂŠcie de cigarra periĂłdica com um perĂ­odo larval de 17 anos, existe uma espĂŠcie com um perĂ­odo larval de 13 anos. Se tanto a espĂŠcie de 17 anos quanto a de 13 anos emergiram em um local em 1900, quando as duas espĂŠcies emergirĂŁo novamente nesse local? 34. Quais os pares de inteiros a e b tĂŞm o mĂĄximo divisor comum 18 e o mĂ­nimo mĂşltiplo comum 540?

35. Mostre que a e b sĂŁo nĂşmeros inteiros positivos, entĂŁo mdc(a, b) | mmc(a, b). Quando mdc(a, b) = mmc(a, b)?

36. Mostre que se a e b são inteiros positivos, então hå divisores c de a e d de b com mdc (c, d) = 1 e cd = mmc(a, b). O menor múltiplo comum dos inteiros �1 , �2 , ‌ , �� que não são todos zero, Ê o menor inteiro positivo que Ê divisível por todos os inteiros �1 , �2 , ‌ , �� ; Ê denotado por mmc(�1 , �2 , ‌ , �� ).

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37. a) Mostre que se a, b e c são inteiros, então mmc(a, b) = c se e somente se a|c e b|c. b) Mostre que se �1 , �2 , ‌ , �� e d são números inteiros onde n Ê um inteiro positivo, então mmc(�1 , �2 , ‌ , �� )| d se, e somente se, ai | d para i = 1, 2, ..., n. 38. Use o Lema 2.4 para mostrar que se p Ê um primo e a Ê um inteiro com p | a 2, então p | a. 39. Mostre que se p Ê um primo, a Ê um inteiro, e n Ê um inteiro positivo tal que p | an, então p | a.

40. Mostre que se a, b, e c sĂŁo inteiros com c | ab, entĂŁo c | mdc(a, c) mdc(b, c).

41. a) Mostre que se a e b sĂŁo nĂşmeros inteiros positivos com mdc(a, b) = 1, entĂŁo mdc(an, bn) = 1 para todos os inteiros positivos n. b) Use a parte (a) para provar que se a e b sĂŁo nĂşmeros inteiros tais que na | bn , onde n ĂŠ um inteiro positivo , entĂŁo a | b. 42. Mostre que √5 ĂŠ irracional: a) por um argumento semelhante ao dado no Exemplo 2.14; b) usando o Teorema 2.18. 43. Mostre que √2 + √3 ĂŠ irracional.

44. Mostre que log2 3 ĂŠ irracional. 45. Mostre que logp b ĂŠ irracional, onde p ĂŠ um primo e b ĂŠ um inteiro positivo que nĂŁo ĂŠ a segunda ou maior potĂŞncia de p.

46. a) Mostre que se a e b sĂŁo inteiros positivos, entĂŁo mdc(a, b) = mdc(a + b, mmc(a, b)). b) Use a parte (a) para encontrar dois nĂşmeros inteiros positivos com soma 798 e o mĂ­nimo mĂşltiplo comum 10780.

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47. Mostre que se a, b e c sĂŁo nĂşmeros inteiros positivos, entĂŁo mdc(mmc(a, b), c) = mmc(mdc(a, c), mdc(b, c)) e mmc(mdc(a, b), c) = mmd(mmc(a, c), mmc(b, c)).

48. Encontre mmc(6, 10, 15) e mmc(7, 11, 13). 49. Mostre que mmc(đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ , đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 , đ?‘Žđ?‘› ) = mmc(mmc(đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ , đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 ), đ?‘Žđ?‘› ). 50. Seja n um inteiro positivo. Quantos pares de inteiros positivos satisfazem mmc(a, b) = n?

51. a) Mostre que se a, b, e c sĂŁo inteiros positivos, entĂŁo max (a, b, c) = a + b + c - min (a, b) - min (a, c) - min (b, c) + min (a, b, c). b) Use a parte (a) para mostrar que đ?‘šđ?‘šđ?‘?(đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?) =

đ?‘Žđ?‘?đ?‘? đ?‘šđ?‘‘đ?‘?(đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?) đ?‘šđ?‘‘đ?‘?(đ?‘Ž, đ?‘?)đ?‘šđ?‘‘đ?‘?(đ?‘?đ?‘?

52. Generalize o Divertimento 51 para encontrar uma fĂłrmula

que relacione o

mdc(đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ , đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 ) e o mmc(đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ , đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 , onde đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ , đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 ) sĂŁo inteiros positivos.

53. Mostre que se a, b, e c sĂŁo inteiros positivos, entĂŁo mdc(a, b, c) mmc(ab, ac, bc) = abc.

54. Mostre

que

se

a,

b,

e

c

sĂŁo

nĂşmeros

inteiros

positivos,

entĂŁo

mmc(a, b, c)mdc (ab, ac, be) = abc.

55. Mostre que se a, b e c sĂŁo nĂşmeros inteiros positivos, entĂŁo mdc(mmc(a, b), mmc(a, c), mmc(b, c)) = mmc(mdc(a, b), mdc(a, c)).

56. Prove que hĂĄ infinitos primos da forma 6k + 5, onde k ĂŠ um inteiro positivo.

57. Mostre que se a e b sĂŁo inteiros positivos, entĂŁo a progressĂŁo aritmĂŠtica a, a + b, a +2b,. .., contĂŠm um nĂşmero arbitrĂĄrio de termos compostos consecutivos.

58. Encontre as fatoraçþes em primos de cada um dos seguintes números inteiros.

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a) 106 - 1

c) 215 - 1

e) 230 - 1

b) 108 - 1

d) 224 – 1

f) 236 - 1

59. Uma loja vende com desconto uma câmara a um preço inferior ao seu preço de varejo habitual de $99, mas superior a $ 1. Se eles vendem $ 8137 desta câmera e o preço descontado Ê um número inteiro, quantas câmeras venderam?

60. Uma editora obteve $ 375 961 na venda de um livro em particular. Quantas cópias desse livro eles venderam e a que preço se o preço de venda foi um valor inteiro maior que $ 1?

61. Uma loja obteve $ 139 499 na venda de um tipo de tablet.

Qual o preço de venda,

sabendo que foi um valor inteiro inferior a $300 e maior que $ 1 e quantos tablets foram vendidos? 62. Mostre que se a e b são inteiros positivos, então a2 | b2 implica que a | b. 63. Mostre que se a, b e c são inteiros positivos com mdc(a, b) = 1 e ab = cn, então hå Inteiros positivos d e e tais que a = dn e b = en. 64. Mostre que se �1 , �2 , ‌ , ��

sĂŁo pares

de inteiros relativamente primos, entĂŁo

mmc(�1 , �2 , ‌ , �� ) = �1 , �2 , ‌ , �� . 65. Mostre que entre qualquer conjunto de n + 1 números inteiros positivos não superior a 2n, hå um número inteiro que divide um inteiro diferente no conjunto.

66. Mostre que

(đ?‘š+đ?‘›)! đ?‘š!đ?‘›!

ĂŠ um nĂşmero inteiro sempre que m e n sĂŁo inteiros positivos.

67. Encontre todas as soluçþes da equação mn = nm, onde m e n sĂŁo inteiros. 68. Seja đ?‘?1 đ?‘?2 ‌ đ?‘?đ?‘› os primeiros n primos e seja m um inteiro com 1 <m <n. Seja Q o produto de um conjunto de m primos na lista e seja R o produto dos primos restantes. Mostre que Q + R nĂŁo ĂŠ divisĂ­vel por qualquer primo na lista e, portanto, deve ter um fator primo que nĂŁo estĂĄ na lista. Conclua que hĂĄ infinitos primos. Prof. Rubens Vilhena

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69. Este exercĂ­cio apresenta outra prova de que hĂĄ infinitos primos. Suponha que hĂĄ exatamente r primes đ?‘?1 đ?‘?2 ‌ đ?‘?đ?‘&#x; ¡ Seja Qk = (âˆ?đ?‘&#x;đ?‘—=1 đ?‘?đ?‘— ) / pk para k= 1, 2, ..., r. Seja S = ∑đ?‘&#x;đ?‘—=1 đ?‘„đ?‘— . Mostre que S deve ter um fator primo nĂŁo entre os r primos listados. Conclua que existem infinitos primos. (Esta prova foi publicada por G. Metrod em 1917.) đ?‘? 70. Mostre que se p ĂŠ primo e 1≤ k < p, entĂŁo o coeficiente binomial ( ) ĂŠ divisĂ­vel por đ?‘˜ p.

71. Demonstrar que na decomposição em primos de n!, onde n > 1 Ê um número inteiro, hå pelo menos um fator primo com 1 como seu expoente. Suponha que n Ê um número inteiro positivo. Definimos a função Smarandache S(n) especificando que S(n) Ê o menor inteiro positivo para o qual n divide S(n)!. Por exemplo, S(8) = 4 porque 8 não não divida 1! = 1, 2! = 2 e 3! = 6, mas divide 4! = 24. 72. Encontre S(n) para todos os inteiros positivos n que não exceda 12.

73. Encontre S(n) para n = 40, 41 e 43.

74. Mostre que S(p) = p sempre que p Ê primo. Seja a(n) o menor inverso da função Smarandache, isto Ê, o menor inteiro positivo para m para o qual S(m) = n. Em outras palavras, a(n) Ê a posição da primeira ocorrência do inteiro n na sequência S(l), S(2), ..., S(k), .... 75. Encontre a(n) para todos os números inteiros positivos n não superior a 11.

76. Encontre a (12).

77. Mostre que a(p) = p sempre que p Ê primo. Seja o radical de n, denotado por rad(n), o produto dos primos que ocorrem na fatoração em potências primas de n. Por exemplo, rad(360) = rad (23 ¡ 32 .5) = 2 ¡ 3 ¡ 5 = 60.

78. Encontre rad(n) para cada um dos seguintes valores de n.

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a) 300

b) 44

c) 44 004

d) 128 128

79. Mostre que rad(n) = n quando n é um inteiro positivo, se e somente se, n é livre de quadrados.

80. Qual é o valor de rad(n!) quando n é um número inteiro positivo? 81. Mostre que rad(nm) ≤ rad(n)rad(m) para todos os inteiros positivos m e n. Para qual inteiros positivos m e n vale a igualdade?

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1.6. Equações Diophantinas Lineares

A teoria das Equações Diofantinas é o ramo da Teoria dos Números que investiga as soluções inteiras de equações polinomiais, como por exemplo: (i) x2 + y2 = z2, possui infinitas soluções representadas pelas ternas ordenadas (x,y,z) conhecidas como ternos pitagóricos. (ii) xn + yn = zn, que não possui soluções não nulas para para n > 2, e é conhecida como o Último Teorema de Fermat. (iii) y2 = x3 + 17, que é válida, por exemplo, para os seguintes valores positivos:

(2,5) ;

(4,9); (8,23); (43, 282); (52, 375); ... (iv) Equação de Pell : x 2  dy 2  m , onde d um inteiro positivo que não seja um quadrado e m é um inteiro qualquer. Considere agora o seguinte problema: Um homem deseja comprar $ 510 de cheques de viagem. Os cheques estão disponíveis apenas nos valores de $ 20 e $ 50. Quantos de cada valor ele deve comprar? Se fizermos x indicar o número de cheques de $ 20 e y o número de cheques de $ 50 que ele deve comprar, então a equação 20x + 50y = 510 deve ser satisfeita. Para resolver esse problema, precisamos encontrar todas as soluções dessa equação, onde x e y são inteiros não-negativos.

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Quando exigimos que as soluções de uma equação particular venham do conjunto de inteiros, temos uma equação diophantina. Estas equações obtêm seu nome do matemático da antiga Grécia, Diophantus de Alexandria, quem escreveu equações onde as soluções eram restritas aos números racionais. A equação ax + by = c, onde a, b e c são inteiros, é chamada de equação diophantina linear em duas variáveis. Observe que o par de inteiros (x, y) é uma solução da equação diophantina linear ax + by = c se e somente se o par (x, y) é um ponto no plano que se encontra na linha ax + by = c . A Figura 2.? para a equação diophantina linear 2x + 3y = 5, ilustra este fato.

Figura 2.6.1 Soluções de 2x + 3y = 5 em inteiros x e y correspondem aos pontos do plano na reta 2x + 3y = 5. A primeira pessoa a descrever uma solução geral de equações diophantina linear foi o matemático indiano Brahmagupta, que o incluiu em um livro que ele escreveu no século VII. Agora desenvolveremos a teoria para resolver tais equações. Lema 2.11. A equação diophantina linear ax + by = c tem solução se e somente se d divide c, sendo d = mdc (a, b). Prova: Sabemos que existem números inteiros r e s para os quais a = dr e b = ds. Se houver uma solução de ax + by = c, então ax0 + by0 = c para x0 e y0 adequados, então c = ax0 + by0 = drx0 + dsy0 = d (rx0 + sy0)

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o que simplesmente diz que d | c. Por outro lado, suponha que d | c, isto é, c = dt. Pelo Teorema de Bezout, inteiros x0 e y0 podem ser encontrados, satisfazendo d = ax0 + by0. Quando esta relação é multiplicada por t, obtemos c = dt = ( ax0 + by0)t= a(tx0) + b(ty0) Assim, a equação de Diophantina ax + by = c tem x = tx0 e y = ty0 como uma solução particular.

∎

Teorema 2.20. A equação Diophantina linear ax + by = c tem solução se, e somente se d | c , em que d = mdc (a, b). Se x 0 , y 0 é uma solução particular desta equação, então todas as outras soluções são dadas por x  x0 

b t, d

y  y0 

a t d

onde t é um inteiro qualquer. Prova: Suponhamos que o par de inteiros x 0 , y 0 é uma solução particular da equação ax + by = c, e seja x 1 , y1 uma outra solução qualquer desta equação. Então, temos: a x 0 + b y 0 = c = a x 1 + b y1

e, portanto: a( x 1 - x 0 ) = b( y1 - x 0 )

Por ser o mdc (a, b) = d, existem inteiros r e s tais que a = dr e b = ds, com r e s primos entre si. Substituindo estes valores de a e b na igualdade anterior e cancelando o fator com d, obtemos: r( x 1 - x 0 ) = s( x 0 - y1 )

Assim sendo, r | s(y 0  y1 ) , e como o mdc (r, s) = 1, segue-se que r | (y 0  y1 ) , isto é: y 0  y1 = rt e

x1  x 0 = st

onde t é um inteiro. Portanto, temos as fórmulas: x1  x 0  st  x 0  (b / d)t y1  y 0  rt  y 0  (a / d)t

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Estes valores de x 1 e y1 satisfazem realmente a equação ax + by = c, qualquer que seja o inteiro t, pois, temos: a y 0 + b y1 = a[ x 0  (b / d)t ] + b[ y 0  (a / d)t ] = a x 0 + b x 0 + (ab/d – ab/d)t = c + 0.t = c

Como se vê, se d = mdc (a, b) divide c ( d | c ), então a equação diophantina linear ax + by = c admite um número infinito de soluções, uma para cada valor do inteiro arbitrário t. ∎ Nota: Uma solução particular da equação diophantina linear se obtém por tentativas ou pelo algoritmo de Euclides estendido. E em ambos os casos a solução geral se pode obter usando o Teorema 2.20, conforme se vai ver nos exemplos a seguir.

Exemplo 2.16 Determinar todas as soluções inteiras e positivas da equação diofantina linear 18x + 5y = 48.

Determinemos o mdc (18, 5) pelo algoritmo de Euclides estendido, lembrando que xj = xj-2 – xj-1qj-1, e yj = yj-2 - yj-1qj-1

j rj 0 18

qj

xj 1

yj 0

rj=axj+byj 18=18(1)+5.(0)

1 5

3

0

1

5=18(0)+5(1)

2 3

1

1

-3

3=18(1)+5(-3)

3 2

1

-1

4

2=18(-1)+5(4)

4 1

2

2

-7

1=18(2)+5(-7)

5 0

Temos, 18x + 5y = mdc (18, 5) =1. Multiplicando a equação 1=18(2)+5(-7) por 48: 48 = 18(96) + 5(-336). Logo, o par de inteiros x 0 = 96, y 0 = -336 é uma solução particular da equação proposta, e todas as demais soluções são dadas pelas fórmulas:

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y = -336 – 18t

x = 96 + 5t, onde t é um inteiro qualquer.

As soluções inteiras e positivas se acham escolhendo t de modo que sejam satisfeitas as desigualdade: -336 – 18t > 0

96 + 5t > 0 e Isto é: t > 19, 2 (-19, -18, -17, -16, ....)

t < 18, 6 (-19, -20, -21, ...)

e

o que implica t = -19 e, portanto: x = 96 + 5(-19) = 1, y = -336 -18(-19) = 6 Assim, o par de inteiros x = 1, y = 6 é a única solução inteira e positiva da equação 18x + 5y = 48, como indicado no gráfico. y 15

10

5

1

1

2

3

4

5

x

5

10

É útil observar a forma que o Teorema 2.20 toma quando os coeficientes são inteiros relativamente primos. Corolário 2.20.1: Se o mdc (a, b) = 1 e se x 0 , y 0 é uma solução particular da equação diophantina linear ax + by = c, então todas as outras soluções desta equação são dadas pelas fórmulas: x  x 0  bt , y  y 0  at

onde t é um inteiro qualquer.

Um exemplo é a equação 5x + 22y = 18. Uma solução particular é x0 = 8 e y0 = -1, a solução completa é dada por x = 8 +22t e y = -1 -5t.

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y 2.0 1.5 1.0 0.5

4

2

2

4

6

8

10

x

0.5 1.0 1.5

Exemplo 2.17. Há muito tempo atrás, numa localidade muito, muito distante um bom marido resolveu levar maçãs e laranjas para sua esposa. Foi a uma feira e numa barraca comprou maçãs e numa outra comprou uma quantidade menor de laranjas. Na primeira barraca, uma maçã custava 3 centavos a mais que uma laranja. Entre maças e laranjas ele comprou uma dúzia de frutas e gastou $ 1,32. Quantas frutas de cada tipo ele levou para sua amada esposa? Solução. Para modelar este problema como uma equação diophantina, seja x o número de maçãs e y o número de laranjas compradas; além disso, $c representa o custo (em centavos) de uma laranja. Então as condições do problema levam a x + y =12,

x > y e 6 < x < 12

$(c + 3) x + $cy = $132 Ou de modo equivalente 3x + (x + y) c = 132. Como x + y = 12, a equação anterior pode ser substituída por 3x + 12c = 132 que, por sua vez, pode ser simplificada para x + 4c = 44 (1). Essencialmente, o objetivo é encontrar números inteiros x e c que satisfaçam a equação diophantina (1). Uma vez que mdc(1, 4) = 1 é um divisor de 44, há uma solução para esta equação. Multiplicando a igualdade 1 = 1 (-3) + 4 · 1 por 44, obtemos para obter 44 = 1 (-132) + 4. 44 segue-se que x0 = -132 e c0 = 44 serve como uma solução. Todas as outras soluções da Eq. (1) são da forma x = -132 + 4t

e

c = 44 - t

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Onde t é um número inteiro. Nem todas as escolhas para t fornecem soluções para o problema original. Apenas valores de t que garantem 6<x<12 devem ser considerados. Isso requer a obtenção desses valores de t tais que 6<-132 + 4t<12. Agora, -132 + 4t<12 implica que t < 36 (35, 34,33, ...), enquanto que -132 + 4t > 6 dá t > 34,5 (35, 36, 37, ...). O único valor inteiro de t que satisfaz ambas as desigualdades é t = 35. Assim, para t = 35, vem c = 9. Logo, uma laranja custa 9 centavos e uma maçã 12 centavos: 12x + 9y = 132. Os valores do par (x, y) que satisfazem x + y= 12 com x > 6 e x > y são (7; 5), (8;4), (9;3), (10;2) e (11;1). y

y 20

20

15

15

10

10

5

5

y

15

10

5

5

5

5

10

15

10

15

x

5

5

10

15

x

x 5

5

Mas, o único par que satisfaz 12x+9y =132 é (8;4).

Exemplo 2.18. O problema das cem aves de Chang. Se um galo vale 5 moedas, uma galinha 3 moedas, e três pintinhos juntos 1 moeda, quantos galos, galinhas e pintinhos, totalizando 100, podem ser comprados por 100 moedas? (Mathematical Classic of Chang Ch' iu-chien, século VI). Em termos de equações, o problema pode ser escrito (se x é o número de galos, y o número de galinhas, z o número de pintinhos):

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1

5x + 3y + z = 100 e 3

x + y + z = 100

Eliminando uma das incógnitas, ficamos com uma equação linear de Diophantina de duas incógnitas. Especificamente, como a quantidade z = 100 - x - y, temos 1

5x + 3y + (100- x - y) = 100, 3

ou 7x + 4y = 100 Esta equação tem a solução geral x = 4t, y = 25 - 7t, de modo que z = 75 + 3t, onde t é um inteiro qualquer. Chang deu várias respostas: x = 4,

y = 18,

z = 78

x = 8,

y = 11,

z = 81

x = 12,

y = 4,

z = 84

Um pouco mais de esforço, chegamos a todas as soluções nos inteiros positivos. Para isso, t deve ser escolhido para satisfazer simultaneamente as inequações 4t > 0,

25 - 1t > 0,

75 + 3t > 0

As duas últimas são equivalentes à condição - 25 < t <

25 7

. Como t deve ter valor

positivo, concluímos que t = 1, 2, 3, conduzindo precisamente aos valores obtidos por Chang. O Exemplo anterior dá a entender que podemos estender o Teorema 2.21 para as equações Diophantinas lineares com mais de duas variáveis. O teorema seguinte garante isso. Teorema 3.22. Se a1, a2, ..., an são inteiros não nulos, a equação a1x1 + a2x2 + ... + anxn = c tem uma solução inteira se e somente se d = mdc(ai , a2 , ..., an) divide c . Além disso, quando há uma solução, existem infinitas soluções. Abaixo ilustramos um procedimento para resolver uma equação Diophantina linear com três variáveis, ax + by + cz=d. Seja p = mdc(a,b) e a' = a/p, b' = b/p. Seja ( u0 , v0) uma solução de a'u + b'v = c; (z0, t0 ) uma solução de cz + pt = d e ( x0, y0 ) uma solução de a'x + b'y = t0. A solução geral de ax + by + cz = d será dada por:

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x = x0 + b'k – u0 m y = y0 - a'k – v0 m z = z0 + pm, com k e m em Z. Exemplo 2.19. Considere a equação diophantina linear 9x + 6y + 18z = 27. Seja p=3 = mdc(9,6), a' = 9/3=3, b' = 6/3=2. Temos (u0 =2, v0 =6), uma solução de 3u + 2v = 18; (z0=1, t0=3), uma solução de 18z + 3t = 27 = 6z + t = 9 e (x0=-1, y0=3) uma solução de 3x + 2y = 3. Logo: x = -1 + 2k – 2m y = 3 - 3k – 6 m z = 1 + 3m , k e m inteiros.

Soluçþes inteiras nĂŁo negativas de uma equação linear Consideremos a equação linear đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 7 e encontremos o nĂşmero de soluçþes inteiras nĂŁo negativas da mesma. Por tentativas encontramos {0,7}; {1,6}; {2,5}; {3,4}; {4,3}; {5,2}; {6,1}; {7,0} Ao todo temos 8 soluçþes inteiras nĂŁo negativas. Agora, se tivermos a equação đ?‘Ľ + đ?‘Ś + đ?‘§ = 7, resolvendo por tentativas o trabalho serĂĄ muito grande, e corremos o risco de “esquecerâ€? alguma solução. Um raciocĂ­nio alternativo, seria o seguinte: Temos que dividir 7 unidades em 3 partes ordenadas, de modo que fique em cada parte um nĂşmero maior ou igual a zero. Indiquemos cada unidade por um ponto entĂŁo, elas serĂŁo representadas por

âŒˇâŚ

âŚ

âŚ

âŚ

âŚ

âŚ

⌠âŒˇ

Como queremos dividir as 7 unidades em 3 partes, vamos usar duas barras para fazer a separação.

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Cada modo de dispormos os pontos e as barras darĂĄ origem a uma solução. Por exemplo: âŒˇ

⌠⌠⌠2 ⌠1

âŒˇ

âŒˇ

âŚ

âŚ

│

âŚ

âŚ

│

4 âŚ

│

2

âŚ

âŒˇ

âŚ

│

âŚ

⌠3

│

⌠3

⌠│ 0

âŚ

âŚ

âŚ

âŚ

│

⌠5

âŚ

⌠4

⌠⌠⌠2

âŒˇ

âŚ

âŚ

âŒˇ

2 âŚ

âŚ

âŚ

│

âŒˇ

0

âŒˇ

7 ⌠Ora, como temos 9 sĂ­mbolos { đ?‘’ 2 | O nĂşmero de permutaçþes desse sĂ­mbolo serĂĄ: đ?‘?97,2 =

9! = 36. 7! 2!

que ĂŠ o nĂşmero de soluçþes inteiras nĂŁo negativas da equação đ?‘Ľ + đ?‘Ś + đ?‘§ = 7. Tal raciocĂ­nio pode ser generalizado pelo:

Teorema. O nĂşmero de soluçþes inteiras nĂŁo negativas da equação đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘&#x; ĂŠ (đ?‘› + đ?‘&#x; − 1)! đ?‘&#x;! (đ?‘› − 1)! Demonstração De fato, cada solução da equação ĂŠ uma permutação de r sĂ­mbolos ⌠e (đ?‘› − 1) sĂ­mbolos | (precisamos de (đ?‘› − 1) barras para dividir r pontos em n partes). âŒˇ âŚ

⌠│ âŚ

⌠‌‌‌‌‌‌.âŚ

│ ⌠‌‌‌│‌‌‌│ âŒˇ

o nĂşmero de permutaçþes (soluçþes da equação) serĂĄ: (đ?‘›âˆ’1),đ?‘&#x;

đ?‘?đ?‘›+1−1 =

(đ?‘› + đ?‘&#x; − 1)! đ?‘&#x;! (đ?‘› − 1)!

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Exemplo de aplicação Um bar vende 3 tipos de refrigerantes: GUARANĂ , SODA e TĂ”NICA. De quantas formas uma pessoa pode comprar 5 garrafas de refrigerantes? Seja: x o nĂşmero de garrafas de guaranĂĄ y o nĂşmero de garrafas de soda z o nĂşmero de garrafas de tĂ´nicas É claro que x, y, z ∈ â„• e đ?‘Ľ + đ?‘Ś + đ?‘§ = 5. Trata-se entĂŁo de achar o nĂşmero de soluçþes inteiras nĂŁo negativas da equação đ?‘Ľ+đ?‘Ś+đ?‘§ =5 Que ĂŠ entĂŁo:

(5+3−1)! 5!(3−1)!

=

7! 5! 2!

= 21.

DIVERTIMENTOS ARITMÉTICOS 2.6

1. Para cada uma das seguintes equaçþes diofantinas lineares, encontre todas as soluçþes ou mostre que não hå soluçþes inteiras. a) 2x + 5y = 1 1

c) 21x + 14y = 147

b) 17x + 13y = 100

d) 60x + 18y = 97

e) 1402x + 1969y = 1

2. Para cada uma das seguintes equaçþes diofantinas lineares, encontre todas as soluçþes ou mostre que não hå soluçþes inteiras. a) 3x + 4y = 7

c) 30x + 47y = -11

b) 12x + 18y = 50

d) 25x + 95y = 970

e) 102x + 1001y = 1

3. Um empresårio japonês regressa para casa depois de uma viagem à AmÊrica do Norte. Pretende trocar os seus dólares americanos e canadenses por ienes. Se ele recebeu 9763 ienes, e recebeu 99 ienes por cada dólar americano e 86 ienes por cada dólar canadense, quanto de cada tipo de moeda ele trocou? 4. Uma estudante que regressa da Europa quer trocar seus euros e francos suíços por dólares americanos. Se obteve $ 46,58 e recebeu $ 1.39 por cada euro e 91 ¢ por cada franco suíço, quanto de cada tipo de moeda ela trocou?

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5. Um palestrante voltando para casa apĂłs conferĂŞncias em Paris e Londres quer trocar seus euros e libras em dinheiro dos EUA. Se ele obteve $ 125,78 e recebeu $ 1,31 por cada euro e $ 1,61 por cada libra, quanto de cada tipo de moeda ele trocou? 6.

O astrĂ´nomo e matemĂĄtico indiano đ?‘€đ?‘Žâ„Žđ?‘ŽĚ…đ?‘Łđ?‘–Ě…đ?‘&#x;đ?‘Ž, que viveu no sĂŠculo IX, propĂ´s este quebra-cabeça: Um grupo de 23 viajantes cansados e com fome, entrou numa floresta exuberante onde encontraram 63 arbustos de um mesmo tipo contendo o mesmo nĂşmero de frutos e sete desses frutos pelo chĂŁo. Eles dividiram os frutos igualmente. Quantos frutos havia em cada um dos 63 arbustos? Resolva este quebra-cabeça encontrando a menor solução.

7. Um fazendeiro encomenda maçãs e laranjas a um custo total de $ 8,39. Se as maçãs lhe custaram 25 ¢ cada e as laranjas 18 ¢ cada, quantos de cada tipo de fruta ele pediu? 8. Um comprador gastou um total de $ 5,49 para comprar laranjas, que custa 18 ¢ cada, e toranjas, que custa 33 ¢ cada. Qual Ê o número mínimo de cada fruta que o comprador comprou? 9. Um funcionårio postal tem apenas selos de 14 e 21 centavos para vender. Que combinaçþes destes podem ser usadas para enviar um pacote exigindo o pagamento de exatamente cada um dos seguintes valores? a) $ 3,50

b) $ 4,00

c) $ 7,77

10. Em um restaurante, o custo de um jantar com lagosta Ê de $ 11, e de um jantar com frango Ê de $ 8. O que você pode concluir se a conta total de um jantar com lagosta e frango tiver os seguintes valores? Desconsidere cobranças adicionais. a) $ 777

b) $ 96

c) $ 69

11. Encontre todas as soluçþes inteiras de cada uma das seguintes equaçþes diophantinas lineares. a) 2x + 3y + 4z = 5

c) 101x + 102y + 103z = 1

b) 7x + 21y + 35z = 8 12. Encontre todas as soluçþes inteiras de cada uma das seguintes equaçþes diofantinas lineares. a) 2x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 = 5

c) 15x1 + 6x2 + 10x3 + 21x4 + 35x5 = 1

b) 12x1 + 21x2 + 9x3 + 15x4 = 9 13. Que combinaçþes de moedas de 1 centavo, moedas de 10 centavos e de 2 centavos, têm um valor total de 99 centavos? 14. De quantas maneiras podemos obter 1 real, usando cada uma das seguintes moedas?

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a) 10 e 25 centavos. b) 5, 10 e 25 centavos. c) 1, 5, 10 e 25 centavos. Nos ExercĂ­cios 15-17, considere os sistemas de equaçþes diofantinas lineares. Para resolvĂŞlos, primeiro elimine variĂĄveis e depois resolva a equação resultante em duas variĂĄveis. 15. Encontre todas as soluçþes inteiras dos seguintes sistemas de equaçþes diophantine lineares. a) x + y + z = 100 x + 8y + 50z = 156 b) x + y + z = 100 x + 6y + 21z = 121 c) x + y + z + w = 100 x + 2y + 3z + 4w = 300 x + 4y + 9z + 16w = 1000 16. Um sorveteiro arrecadou 24 moedas, cujos valores sĂŁo de 5, 10 e 25 centavos. Se o valor total das moedas for de dois reais, que combinaçþes de moedas sĂŁo possĂ­veis? 17. Uma grande empresa de aviação oferece trĂŞs tipos de bilhetes em seus voos de uma cidade A para uma cidade B. Os bilhetes da primeira classe custam $ 140, os da segunda classe custam $ 110 e os ingressos da terceira classe custam $ 78. Se 69 passageiros pagaram um total de $ 6548 por seus bilhetes em um determinado vĂ´o, quantos de cada tipo de bilhetes foram vendidos? 18. É possĂ­vel juntar 50 moedas, onde se tenha moedas de 1, 10 e 25 centavos, com um valor total de $ 3? Seja a e b nĂşmeros inteiros positivos relativamente primos, e seja n um inteiro positivo. Uma solução (x, y) da equação diophantina linear đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś = đ?‘› ĂŠ nĂŁo-negativa quando ambos x e y sĂŁo nĂŁo negativos. 19. Mostre que sempre que n ≼ (a – l) (b – 1), existe uma solução nĂŁo negativa de đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś = đ?‘›. 20. Mostre que se n = ab – a – b, entĂŁo nĂŁo hĂĄ soluçþes nĂŁo negativas de đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś = đ?‘›.

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21. Mostre que existem exatamente (a – l) (b – 1) / 2 inteiros nĂŁo-negativos n < ab – a – b tais que a equação tem uma solução nĂŁo negativa. 22. Encontre todas as soluçþes onde x e y sĂŁo inteiros para a equação diophantina 1 1 1 + = đ?‘Ľ đ?‘Ś 14 23. Quantas quadras de basquete e quantas quadras de vĂ´lei sĂŁo necessĂĄrias para que 80 alunos joguem simultaneamente qualquer um dos esportes? 24. Encontrar todos os nĂşmeros naturais N menores do que 10.000 tais que: •

O resto da divisĂŁo de N por 37 ĂŠ 9;

•

O resto da divisĂŁo de N por 52 ĂŠ 15.

25. O valor da entrada de um cinema ĂŠ R$ 8,00 e da “meiaâ€? entrada ĂŠ de R$ 5,00. Qual ĂŠ o menor nĂşmero de pessoas que podem assistir a uma sessĂŁo de maneira que a bilheteria seja de R$ 500,00? 26. Se o custo de uma postagem ĂŠ de 83 centavos e os valores dos selos sĂŁo de 6 e 15 centavos, como podemos combinar os selos para fazer essa postagem? 26. Se um trabalhador recebe 510 reais em tĂ­quetes de alimentação, com valores de 20 reais ou 50 reais cada tĂ­quete, de quantas formas pode ser formado o carnĂŞ de tĂ­quetes desse trabalhador? 27. Dois irmĂŁos, JoĂŁo e JosĂŠ, pescaram em uma manhĂŁ “xâ€? e “yâ€? peixes, respectivamente. Sabendo que 3.x + 4.y

61, determine as possĂ­veis quantidades

de peixes que eles

conseguiram juntos? 28. JoĂŁo pediu a Pedro que multiplicasse o dia de seu aniversĂĄrio por 12 e o mĂŞs do aniversĂĄriopor 31 e somasse os resultados. Pedro obteve 368. Qual ĂŠ o produto do dia do aniversĂĄrio de Pedro pelo mĂŞsde seu nascimento? 29. Um fazendeiro deseja comprar filhotes de pato e de galinha, gastando um total de R$ 1.770,00. Um filhote de pato custa R$ 31,00 e um de galinha custa R$ 21,00. Quantos de cada um dos dois tipos o fazendeiro poderĂĄ comprar?

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30.

(a) Um homem tem $ 4,55 composto inteiramente de moedas 10 e 25 centavos. Qual é

o número máximo e mínimo de moedas que ele pode ter? É possível que o número de moedas de 10 centavos ser igual ao número de moedas de 25 centavos? (b) Um teatro cobra $ 1,80 pelo ingresso de um adulto e $ 0,75 por criança. Em uma noite especial o total arrecadado foi de $ 90. Supondo que mais adultos do que crianças estavam presentes, quantas pessoas compareceram? (c) Certas quantidades de seis e noves são adicionados para dar uma soma de 126; Se as quantidades de seis e noves forem trocadas, a nova soma é 114. Quantos de cada havia inicialmente? 31.

Um fazendeiro comprou 100 animais a um custo total de $ 4000. Os preços eram

como segue: bezerros, $ 120 cada; cordeiros, $ 50 cada; leitões, $ 25 cada. Se o fazendeiro obteve pelo menos um animal de cada tipo, quantos de cada um ele comprou? 32.

Quando o Srtª Jéssica descontou seu contra cheque no Banpará, o caixa, admirado com

seu lindo sorriso, confundiu o número de centavos com o número de reais e vice-versa. Sem saber disso, Srtª Jéssica gastou 68 centavos em um presente para seu amado professor de Teoria dos Números e, então, notou para sua surpresa que ela tinha o dobro da quantia que estava no contra cheque. Determine o menor valor para o qual o contra cheque poderia ter sido preenchido. 33. Resolva cada um dos problemas desafios abaixo: (a) Cem sacas de grãos são distribuídas entre um grupo de 100 pessoas de tal maneira que cada homem casado recebe 3 sacas, cada mulher viúva 2 sacas, e cada criança orfã metade de uma saca. Quantos homens, mulheres e crianças há? (b) Havia 63 pencas iguais de banana juntos a 7 bananas. Elas foram divididas igualmente entre 23 pessoas. Qual é o número de bananas em cada penca? (c) Temos um número desconhecido de moedas. Se você fizer fileiras com 77 moedas em cada, sobrará uma fileira mais curta com 50 moedas; mas se você fizer fileiras com 78 moedas, não restará nada. Quantas moedas há?

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(d) Encontre o nĂşmero de homens, mulheres e crianças em um grupo de 20 pessoas se juntas elas pagam 20 moedas, cada homem pagando 3, cada mulher 2 e cada criança a metade para assisitir um show de rock. (e) Divida 100 em duas parcelas tais que uma seja divisĂ­vel por 7 e a outro por 11. 34. Quantas soluçþes inteiras nĂŁo negativas tĂŞm as equaçþes: a) đ?‘Ľ + đ?‘Ś + đ?‘§ = 6 b) đ?‘Ľ + đ?‘Ś + đ?‘§ + đ?‘Ą = 10 c) đ?‘Ľ + đ?‘Ś + đ?‘§ + đ?‘Ą + đ?‘¤ = 10 35. Quantas soluçþes inteiras tem a equação: đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ3 + đ?‘Ľ4 + đ?‘Ľ5 = 20 se cada đ?‘Ľđ?‘– ĂŠ tal que đ?‘Ľđ?‘– ≼ 3 ∀ đ?‘– ∈ {1, 2, 3, 4, 5}? 36. Uma pastelaria vende pastĂŠis de carne, queijo e palmito. De quantas formas uma pessoa pode comer 5 pastĂŠis? 37. Uma mercearia tem em seu estoque, pacotes de cafĂŠ de 6 marcas diferentes. Uma pessoa deseja comprar 8 pacotes de cafĂŠ. De quantas formas pode fazĂŞ-lo? 38. Uma confeitaria vende 5 tipos de doces. Uma pessoa, deseja comprar 3 doces. De quantas formas isto pode ser feito?

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