Resolución de sistema de ecuaciones 2x2 saidajuarez

Escuela Normal Superior del Estado de México

Resolución de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros Saida Mayte Juárez Torres

2017

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SEGUNDO GRADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA

Contenido INTRODUCCIÓN ................................................................................................... 1 ¿QUÉ ES UN SISTEMA DE ECUACIONES 2×2? ................................................. 1 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES .................... 2 Método por sustitución ........................................................................................ 2 Planteamiento contextualizado ........................................................................... 4 Actividades de fortalecimiento en la resolución de problemas ......................... 6 Método por suma y resta .................................................................................... 7 Planteamiento contextualizado ...................................................................... 10 Actividades de fortalecimiento en la resolución de problemas ....................... 12 Conclusión ........................................................................................................ 13 Referencias ...................................................................................................... 13

INTRODUCCIO N Los sistemas de ecuaciones son comunes en diferentes problemas que se pueden analizar considerando a la matemática como una herramienta. Los sistemas están conformados por ecuaciones de dos variables, algunas de las ellas son lineales, otras cuadráticas.

En este material conocerás la manera en que deben utilizarse los métodos algebraicos para determinar la solución de sistemas de ecuaciones formados por dos ecuaciones lineales. Asimismo, te guiaremos en la solución de algunos métodos de resolución como lo es por el método de sustitución; suma y resta. En resumen, a lo largo de este material podrás ampliar tu conocimiento y concepto sobre los sistemas de ecuaciones lineales y los procedimientos algebraicos que se aplican para solucionarlos.

¿QUÉ ÉS UN SISTÉMA DÉ ÉCUACIONÉS 2×2?

Un sistema de ecuaciones es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más variables (letras, literales o incógnitas) y consiste en encontrar los valores de las variables que satisfacen dichas ecuaciones. La solución o raíz de un sistema de ecuaciones es un conjunto de valores de las variables que satisface todas las ecuaciones del sistema.

Un sistema de ecuaciones es compatible o posible cuando tiene solución y es inconsistente, incompatible o imposible cuando no tiene solución. Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución e indeterminado cuando tiene infinitas soluciones. Las ecuaciones de sistema determinado se llaman independientes. Las ecuaciones de un sistema indeterminado se llaman dependientes.

Cuando las ecuaciones representan condiciones impuestas al mismo tiempo y a las mismas variables, decimos que forman un sistema de ecuaciones simultáneas.

Las ecuaciones equivalentes son las que se obtienen una de la otra, es decir, son múltiplos y/o paralelas.

Procedimiento para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución.

Si el sistema es: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓 1

Un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de ecuaciones lineales que se resolverán simultáneamente. Hallar la solución de un sistema consiste en encontrar una solución común a todas las ecuaciones del sistema.

En el siguiente apartado podrás encontrar dos métodos de resolución de problemas, los cuales reciben el nombre de: sustitución y suma y resta. En cada uno de estos métodos se muestra el paso a paso para hallar las soluciones.

MÉ TODOS DÉ RÉSOLUCIO N DÉ UN SISTÉMA DÉ ÉCUACIONÉS Método por sustitución Consiste en despejar una de las incógnitas (alguna, si hay, que tenga coeficiente unidad; si no hay, aquella que tenga el coeficiente más pequeño) de una de las ecuaciones y con ese valor se sustituye en la otra. De esta forma queda un sistema de una ecuación con una incógnita.

El hecho de despejar una incógnita con coeficiente unidad significa, que, al despejar dicha incógnita, ésta no tiene denominador, lo que simplifica las operaciones. Cualquier otro coeficiente implica que haya denominador.

A veces en alguna ecuación ya nos dan una incógnita despejada o incluso su valor; en estos casos simplemente la reemplazamos en la otra ecuación. (Más ejercicios resueltos con estos casos y otros peculiares) Ejemplo 1: Resolver el siguiente sistema:

La incógnita x de la primera tiene coeficiente 1, por consiguiente despejamos y queda: x = 5 + 3y Sustituyendo este valor de x en la segunda ecuación: 2(5 + 3y) + y = 3 Quitando paréntesis, es decir, al realizar la operación que indica nuestra jerarquía de operaciones dos por cinco y dos por 3y: 10 + 6y + y = 3

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Pasando 10, que estå sumando, al segundo miembro restando: 6y + y = 3 – 10 Haciendo operaciones en ambos miembros: 7y = – 7 Despejando la y (el 7 que estå multiplicando pasa dividiendo) y = –7/7 = –1 Con este valor de y entramos en la ecuación despejada anteriormente: x = 5 + 3y = 5 + 3¡(–1) = 5 – 3 = 2 Así pues la solución es: x = 2; y = – 1

Ejemplo 2:

đ??¸đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› 1: 5đ?‘Ľ + 6đ?‘Ś = 48 đ??¸đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› 2: 2đ?‘Ľ + 5đ?‘Ś = 27

1. Despejar đ?‘Ľ en la ecuaciĂłn 1. đ??¸đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› 1: 5đ?‘Ľ + 6đ?‘Ś = 48 5đ?‘Ľ = 48 − 6đ?‘Ś 48 − 6đ?‘Ś đ?‘Ľ= 5 2. Sustituir đ?‘Ľ =

48−6đ?‘Ś 5

en la đ?‘’đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› 2. đ??¸đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› 2: 2đ?‘Ľ + 5đ?‘Ś = 27 2(

48 − 6đ?‘Ś ) + 5đ?‘Ś = 27 5

96 12 − đ?‘Ś + 5đ?‘Ś = 27 5 5 −

12 96 đ?‘Ś + 5đ?‘Ś = 27 − 5 5

3

−

12 25 135 96 đ?‘Ś+ đ?‘Ś= − 5 5 5 5 13 39 đ?‘Ś= 5 5 39 đ?‘Ś= 5 13 5 đ?‘Ś=

195 65

đ?‘Ś=3 3. Sustituir đ?‘Ś = 3 en đ?‘Ľ =

48−6đ?‘Ś 5

đ?‘Ľ=

48 − 6(3) 5

đ?‘Ľ=

48 − 18 5

đ?‘Ľ=

30 5

đ?‘Ľ=6 4. Valores de las incĂłgnitas đ?‘Ľ = 6; đ?‘Ś = 3 5. ComprobaciĂłn del sistema de ecuaciones: 5đ?‘Ľ + 6đ?‘Ś = 48 5(6) + 6(3) = 48 30 + 18 = 48 48 = 48

2đ?‘Ľ + 5đ?‘Ś = 27 2(6) + 5(3) = 27 12 + 15 = 27 27 = 27

De esta forma se comprueba que el sistema de ecuaciones es compatible o bien mantiene la igualdad.

En este video podrĂĄs encontrar una explicaciĂłn detallada: https://www.youtube.com/watch?v=s8kcVKLNDSk Planteamiento contextualizado DespuĂŠs de conocer el proceso de resoluciĂłn con el mĂŠtodo propuesto, es importante que los estudiantes de educaciĂłn secundaria se les brinden la oportunidad de resolver este tipo de planteamientos contextualizados como el siguiente: 4

✓ La edad de don MartĂ­n es igual a cuatro veces la edad de RaĂşl. La suma de sus edades es 70 aĂąos.

La edad de don MartĂ­n es igual a cuatro veces la edad La suma de sus edades es Planteamiento de RaĂşl.

70 aĂąos.

Lenguaje algebraico

DenominaciĂłn de las variables: x = Don MartĂ­n y = RaĂşl đ??¸đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› 1: đ?‘Ľ = 4đ?‘Ś Considerar: x − 4y = 0

Sistema de ecuaciones

đ?‘Ľ − 4đ?‘Ś = 0 đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 70

1. Despejar đ?‘Ľ en la ecuaciĂłn 1. đ??¸đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› 1: đ?‘Ľ − 4đ?‘Ś = 0 đ?‘Ľ = 4đ?‘Ś 2. Sustituir đ?‘Ľ = 4đ?‘Ś en la đ?‘’đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› 2. đ??¸đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› 2: đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 70 (4đ?‘Ś) + đ?‘Ś = 70 5đ?‘Ś = 70 5

đ??¸đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› 2: đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 70

đ?‘Ś=

70 5

đ?‘Ś = 14 3. Sustituir đ?‘Ś = 14 en đ?‘Ľ = 4đ?‘Ś đ?‘Ľ = 4đ?‘Ś đ?‘Ľ = 4(14) đ?‘Ľ = 56 4. Valores de las incĂłgnitas đ?‘Ľ = 56; đ?‘Ś = 14 5. ComprobaciĂłn del sistema de ecuaciones: đ?‘Ľ − 4đ?‘Ś = 0 (56) − 4(14) = 0 56 − 56 = 0 0=0

đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 70 (56) + (14) = 70 70 = 70

Valor de las edades: Don MartĂ­n (x) = 56 RaĂşl (y) = 14 De esta forma se comprueba que el sistema de ecuaciones es compatible o bien mantiene la igualdad.

Actividades de fortalecimiento en la resoluciĂłn de problemas Para fortalecer tu habilidad en la resoluciĂłn de problemas de sistemas de ecuaciones 2x2, con el mĂŠtodo de resoluciĂłn de sustituciĂłn. Te invito a resolver lo siguiente: 1. Ismael pagĂł 370 pesos por seis paquetes de hojas y cinco cuadernos, mientras que Karen pagĂł 120 pesos por un paquete de hojas y 2 cuadernos.

Respuesta: đ??śđ?‘˘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘›đ?‘œ (đ?‘Ś) = 50; đ?‘ƒđ?‘Žđ?‘žđ?‘˘đ?‘’đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘‘đ?‘’ â„Žđ?‘œđ?‘—đ?‘Žđ?‘ (đ?‘Ľ) = 20

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2. Una casa de huéspedes tiene 17 habitaciones; esto incluye habitaciones con una cama y con dos camas. Si en total hay 27 camas, ¿Cuántas habitaciones de cada tipo hay en la casa de huéspedes?

Respuesta: 𝐻𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑎𝑚𝑎 (𝑎) = 7; 𝐻𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑠 (𝑏) = 10

3. Tres veces la edad de Pedro más la doble edad de María es igual a 9 años. El doble de la edad de Pedro más la edad de María es igual a 5 años.

Respuesta: 𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜 (𝑎) = 5.6 ; 𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑟í𝑎(𝑏) = 4

Método por suma y resta Recordemos que dos sistemas son equivalentes si tienen el mismo conjuntos solución. El método de reducción consiste en transformar el sistema dado en uno equivalente. En esencia consiste primero en ver si alguna de las incógnitas tiene el mismo coeficiente en ambas ecuaciones, si no es así se trata de acomodar para que así lo sea. Luego, restando o sumando miembro a miembro las ecuaciones, se obtiene una ecuación con una incógnita menos, esto quiere decir que se redujo el número de incógnitas, de allí el nombre de reducción o eliminación.

Los pasos a seguir son: 1. Preparamos ambas ecuaciones, multiplicando (dividiendo) por una constante (número) adecuada para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente, salvo signo que puede ser positivo (o negativo), en ambas ecuaciones.

2. Restamos (o sumamos), según signo del coeficiente, miembro a miembro ambas ecuaciones y con ello desaparece una incógnita, así reducimos el número de ecuaciones, en nuestro caso a una ecuación.

3. Resolvemos la ecuación obtenida.

4. Luego a este resultado lo llevamos a cualquiera de las dos ecuaciones iniciales para obtener la otra incógnita (o podemos emplear la misma técnica para despejar la otra incógnita).

5. Verificar la solución obtenida, en ambas ecuaciones.

Aquí va otra forma para resolver un sistema de ecuaciones 2 x 2:

Los siguientes pasos nos facilitan la aplicación del método:

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a) Se multiplican los miembros de una o de las dos ecuaciones por una cantidad constante apropiada para obtener ecuaciones equivalentes que tengan igual coeficiente para una de las incĂłgnitas. b) Por suma o resta se elimina una de las incĂłgnitas. c) Se resuelve la ecuaciĂłn lineal resultante. d) Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para, encontrar el valor de la otra incĂłgnita.

Si las ecuaciones del sistema tienen alguna de las incĂłgnitas de igual coeficientes el paso primero se omite.

Ejemplo 1: 1. Resolver el sistema (1) 4x + 6y = -3 (2) 5x + 7y = -2 Multiplicar los miembros de la ecuaciĂłn (1) por 5 y los de la ecuaciĂłn (2) por -4; resultando que los coeficientes de "x" se igualan y son de signo contrario.

5(4x + 6y = -3) -4(5x + 7y = -2)

20x + 30y = - 15 -20x - 28y = 8

Sumando algebraicamente ambas ecuaciones, resulta: 20x + 30y = - 15 - 20x - 28y = 8 0 2y = - 7 7

Resolviendo la ecuaciĂłn, tenemos: đ?‘Ś = − 2 Sustituyendo el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales, se obtiene: (1)

4x + 6(-7/2) = - 3 4x - 21 = - 3 4x = - 3 + 21 x = 18 / 4

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đ?‘Ľ= (2)

9 2

5(9/2) + 7(-7/2) = - 2 45/2 - 49/2 = -4/2 = -2 -2 = -2

Su comprobaciĂłn es: 4đ?‘Ľ + 6đ?‘Ś = −3 9 7 4 ( ) + 6 (− ) = −3 2 2 36 42 + (− ) = −3 2 2 18 − 21 = −3 −3 = −3 Por lo tanto los valores que satisfacen al sistema son: 9

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đ?‘Ľ = 2; đ?‘Ś = − 2 Ejemplo 2:

1. Sistema de ecuaciones đ?‘Ľ − đ?‘Ś = −4 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 19 2. Sumar y restar cada tĂŠrmino algebraico: *đ?‘Ľ − đ?‘Ś = −4 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 19 3đ?‘Ľ + 0đ?‘Ś = 15 3. La ecuaciĂłn que obtenemos es: 3đ?‘Ľ = 15 Al resolverla obtenemos: đ?‘Ľ=

15 3

đ?‘Ľ=5 ÂżCĂłmo obtener el valor de la incĂłgnita đ?‘Ś?

9

Se debe sustituir en el valor de la incĂłgnita đ?‘Ľ = 5 en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales. Én este caso se sustituirĂĄ en la ecuaciĂłn 2 → 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 19 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 19 2(5) + đ?‘Ś = 19 10 + đ?‘Ś = 19 đ?‘Ś = 19 − 10 đ?‘Ś=9 El valor de las incĂłgnitas es: đ?‘Ľ = 5; đ?‘Ś = 9 Comprobar el sistema de ecuaciones: 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 19 2(5) + 9 = 19 10 + 9 = 19 19 = 19

đ?‘Ľ − đ?‘Ś = −4 5 − 9 = −4 −4 = −4

El sistema de ecuaciones es compatible.

En este video podrĂĄs encontrar una explicaciĂłn detallada: https://www.youtube.com/watch?v=46Bbl0eQEkY

Planteamiento contextualizado ✓ ToĂąo y Paty compraron en una tienda playeras y jeans. Todos los jeans y playeras estaban de oferta al mismo precio para dama y caballero. Paty eligiĂł 3 jeans y 2 playeras y pagĂł 540 pesos, mientras de ToĂąo pagĂł 740 pesos por 5 playeras menos el precio de 2 jeans.

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Paty eligiĂł 3 jeans y 2 playera y pagĂł ToĂąo pagĂł 740 pesos por 5 playeras 540 pesos menos el precio de 2 jeans.

ExpresiĂłn algebraica que determina la ecuaciĂłn para cada uno.

Verificar ÂżQuĂŠ incĂłgnita representa el valor de las playeras y los jeans? đ?‘Ľ = đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘Śđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ đ?‘Ś = đ?‘—đ?‘’đ?‘Žđ?‘›đ?‘ 3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 540

5đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś = 740

Por lo tanto, el sistema de ecuaciones es:

3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 540 5đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś = 740

Proceso de resoluciĂłn de un sistema de ecuaciones 2Ă—2 por el mĂŠtodo de suma y resta.

1. Sistema de ecuaciones đ?&#x;‘đ?’™ + đ?&#x;?đ?’š = đ?&#x;“đ?&#x;’đ?&#x;Ž đ?&#x;“đ?’™ − đ?&#x;?đ?’š = đ?&#x;•đ?&#x;’đ?&#x;Ž

2. Los coeficientes del tĂŠrmino đ?’š son sujetos de operar, esto se debe a que tienen signo contrario; y al operarlo su resultado es 0. đ?&#x;‘đ?’™ + đ?&#x;?đ?’š = đ?&#x;“đ?&#x;’đ?&#x;Ž đ?&#x;“đ?’™ − đ?&#x;?đ?’š = đ?&#x;•đ?&#x;’đ?&#x;Ž

đ?&#x;–đ?’™ + đ?&#x;Žđ?’š = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;Ž 3. La ecuaciĂłn que obtenemos es, la cual nos permitirĂĄ hallar el valor de la incĂłgnita đ?’š. đ?&#x;–đ?’™ = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;Ž đ?’™= đ?&#x;– đ?’™ = đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;Ž 4. Sustituir el valor de la incĂłgnita đ?’™ = đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;Ž en cualquiera de las dos ecuaciones.

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EcuaciĂłn 1 3x + 2y = 540 3(160) + 2y = 540 480 + 2y = 540 2y = 540 − 480 2y = 60 60 y= 2 y = 30

EcuaciĂłn 2 5x − 2y = 740 5(160) − 2đ?‘Ś = 740 800 − 2đ?‘Ś = 740 −2đ?‘Ś = 740 − 800 −2đ?‘Ś = −60 −60 đ?‘Ś= −2 đ?‘Ś = 30

5. Al hallar el valor de las incĂłgnitas, comprobar si este valor corresponde para que el sistema de ecuaciones sea compatible. đ??‚đ??¨đ??Śđ??Šđ??Ťđ??¨đ??›đ??šđ??œđ??˘Ăłđ??§ đ???đ??žđ??Ľ đ??Źđ??˘đ??Źđ??­đ??žđ??Śđ??š đ??œđ??Žđ??šđ??§đ???đ??¨ đ??ą = đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;Ž; đ??˛ = đ?&#x;‘đ?&#x;Ž EcuaciĂłn 1

EcuaciĂłn 2

3x + 2y = 540 3(160) + 2(30) = 540 480 + 60 = 540 540 = 540

5x − 2y = 740 5(160) − 2(30) = 740 800 − 60 = 740 740 = 740

6. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones es compatible.

Actividades de fortalecimiento en la resoluciĂłn de problemas Para fortalecer tu habilidad en la resoluciĂłn de problemas de sistemas de ecuaciones 2x2, con el mĂŠtodo de resoluciĂłn de suma y resta. Te invito a resolver lo siguiente:

1. Don MatĂ­as fue al mercado a vender gallinas y conejos. DoĂąa Lupe le comprĂł 5 gallinas y 3 conejos por $425.00. Don AgustĂ­n compro 3 gallinas y 3 conejos por $309. ÂżCuĂĄnto pagarĂŠ por comprar 2 conejos y 4 gallinas?

Respuesta: đ??şđ?‘Žđ?‘™đ?‘™đ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘ (đ?‘Ľ) = 58; đ??śđ?‘œđ?‘›đ?‘’đ?‘—đ?‘œđ?‘ (đ?‘Ś) = 45. ÂżCuĂĄnto pagarĂŠ por comprar 2 conejos y 4 gallinas?

2 đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘’đ?‘—đ?‘œđ?‘ = 2đ?‘Ś = 2(45) = 90 4 gallenas = 4x = 4(58)= 232

2. RubĂŠn ahorra en su alcancĂ­a $235.00 Si solamente tiene monedas de $5.00 y de $10.00, y hay 30 monedas. ÂżCuĂĄntas monedas hay de $5 y cuĂĄntas de $10?

Respuesta: Monedas con denominaciĂłn $5.00 (x) = 17 ; Monedas con demoninaciĂłn $10.00 (y) = 13

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3. Dominica tiene en un bote paletas y chocolates que suman 30 en total. Si duplica el número de chocolates entonces tendrá 42. ¿Cuántas paletas y cuántos chocolates hay?

Respuesta: Hay 12 paletas y 18 chocolates.

Conclusión Con base en el plan de estudios 2011 de Educación Secundaria en Matemáticas se pretende que en el segundo grado en el bloque V en el Eje Temático: Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico. Con enfoque resolutivo se pretende alcanzar de acuerdo a los aprendizajes esperados resolver problemas que implican el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. De la relevancia del contenido que pretende ser una guía para la enseñanza de dicho contenido temático, con miras a la obtención de los aprendizajes esperados objetivo principal de un profesor de secundaria.

Referencias http://vitual.lat/sistema-de-ecuaciones-2x2-metodo-de-sustitucion/ http://www.ecoribera.org/ciencias/matematicas/1-bachillerato/105-sistemas-de-ecuacionesmetodo-de-sustitucion http://webfcfmyn.unsl.edu.ar/wp-content/uploads/2012/05/cap2+prac-parte2.pdf https://prezi.com/vcmp07wlthnf/metodo-de-resolucion-de-suma-y-resta/ Macías, A. C. (2007). Matemáticas II . México, D. F. : TELEsecundaria .

Peña, S. G. (2013). Matemáticas 2 . México, D. F.: SM. Sandoval, F. S. (2007). Matemáticas 2 . México: Fernández editores . https://www.entrenamiento.com/salud/6-ejercicios-de-respiracion-para-relajarse-en-10minutos-o-menos/#ixzz4aW7slxa7 http://www.innoveduca.com/files/propis/mates_unidadmedida/24_conversin_de_unidades.h tml

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