Задачи за вежбање Предмет: Линеарна алгебра и аналитичка геометрија Тема: Векторска алгебра
Координати на вектор, операции со координати на вектор, модул на вектор, линеарна зависност на вектори →
→
→
→
→
→
→
1. Дадени се векторите a = (2 , 3 , − 1) , b = 4 k + j и c = i − 3 k . Најди ги координатите → → → → → → → 1 → 1→ → → → на векторите: а) 2 a б) 2 a + b в) a + 2 b − 3 c г) 3 a − b + c д) − a − 2 b + c 2 3 2. Кој од дадените парови вектори се колинеарни: → 3 → а) a = , 3 , − 6 и b = (− 6 , − 12 , 24) 2 → 1 5 → 1 3 6 б) a = − , , − 2 и c = , − , 3 4 5 4 5
→
→
в) a = (1, 2 , 4) и b = (2 , 4 , − 3) ? 3. Провери дали се линеарно зависни следниве вектори: →
→
→
→
→
→
→
→
а) a = (1, 3 , 0 ) , b = (5 ,10 , 0) , c = (4 , − 2 , 6) и d = (10 ,11, 6 ) →
→
б) a = (1, 3 , 5) , b = (0 , 5 , 4 ) , c = (7 , − 8 , 4 ) и d = (− 5 ,18 ,11) →
→
в) a = (1, 2 , 5) , b = (− 1, 6 , 3) , c = (0 , 0 , 2 ) и d = (2 , 4 , 2) →
4. Најди ги координатите и модулот на векторот AB , ако: а) A(2 , 3 , 0) ,
B(3 , 4 , 2) ,
б) A(0 , 0 , 0) ,
B(3 , 4 , 2) ,
2 1 в) A , , 7 , 3 2
9 17 B , − , 4 . 2 3
5. Дадени се точките A(1 , 1 , 2) , B(3 , 2 , 4) , C (5 , 7 , 3) , D(− 2 , 4 , 5) и М (− 8 , 6 , 14) . →
→ →
→
→
→
→
Изрази го векторот AМ како линеарна комбинација од векторите AB , AC
и
AD .
→
Пресметај ги модулите на векторите AМ , AB , AC и AD .
1
проф. Гоце Ангеловски
Задачи за вежбање Предмет: Линеарна алгебра и аналитичка геометрија Тема: Векторска алгебра
6. Најди ги должините на векторите:
(
→
a) a = 7 , 3 , − 8
)
→
→
→
→
б) b = (0 , − 3 , − 4) в) a = (6 , 3 , − 2 ) г) a = (− 1, 4 , − 8) д) b = (1, − 2 , − 2 )
Скаларен производ на два вектра Скаларен производ на два вектора е производот на нивните модули и косинусот →
→
од аголот што го зафаќаат тие вектори. Скаларниот производ на векторите a и b се → → → → → → → → означува со a ⋅ b . Значи по дефиниција е: a ⋅ b =| a | ⋅ | b | ⋅ cos a , b . →
→
1. Векторите a и b образуваат агол од 60° , а нивните модули Пресметај: → →
→ → в) a − 3 b
→ → → → б) a + b ⋅ 2 a − 3 b
а) a ⋅ b
→
2
→
→
се | a |= 4 , | b |= 3 .
→ → → → → → г) 2 a − 3 b ⋅ 2 a + 3 b д) 2 a + b
→
2
→
2. Векторите a и b се заемно нормални, а векторот c образува со нив агол од 60° . Ако →
→
→
| a |= 3 , | b |= 5 , | c |= 8 , пресметај: → → → б) a + b + c
→ → → → а) 3 a − 2 b ⋅ b + 3 c →
3.
Дадени
векторите a , → → → → π → ∠ a , b = ∠ b , c = , ∠ a , 2 →
→
→
→
се
→
а) p = a + b + c
→
→
→
→
b
2
→
→
и
c,
при
што
→
→
| a |= 1 , | b |= 2 , | c |= 3 ,
π c = . Најди ги должините на векторите: 4
→
→
→
→
→
б) q = 2a − b + 3 c в) r = a + 2 b − 4 c →
→
→
→
→
4. Колкав агол зафаќаат единичните вектори a и b ако векторите p = a + 2 b и →
→
→
q = 5 a − 4 b се заемно нормални.
2
проф. Гоце Ангеловски
Задачи за вежбање Предмет: Линеарна алгебра и аналитичка геометрија Тема: Векторска алгебра →
→
5. Векторите a и b образуваат агол →
→
→
→
→
→
π 3
→
. Најди го аголот меѓу →
векторите p = a + b и q = a − b ако | a |= 3 , | b |= 1 .
Скаларен производ на два вектори зададени со координати →
→
Нека се дадени векторите a = (a1 , a 2 , a 3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) , скаларен производ на →
→ →
→
векторите a и b се пресметува со помош на формулата a ⋅ b = a1b1 + a 2 b2 + a3 b3 . →
Косинусот
од
аголот
помеѓу
векторите
→
a = (a1 , a 2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) се
→ →
→ → a⋅b пресметува со помош на формулата: cos a , b = → → односно | a |⋅| b |
→ cos a ,
→
b =
a1b1 + a 2 b2 + a3 b3 a12 + a 22 + a32 ⋅ b12 + b22 + b32
1. Пресметај го скаларниот производ на векторите: →
→
а) a = (− 2 , 5 , − 1) , b = (0 , − 2 , − 2 ) →
→
б) a = 3 i −
→ → 1→ 1→ → → j+ 5 k , b = − i + 4 j− k 2 5
2. Најди го аголот меѓу векторите: →
→
а) a = (7 , 3 , − 2) и b = (0 , − 3 , − 4) →
→
б) a = (6 , 3 , − 2 ) и b = (− 1, 4 , − 8) →
в) a = (7 , 3 , 0) →
→
и b = (6 , 3 , − 2 ) →
г) a = (− 1, 4 , − 8) и b = (1, − 2 , − 2 )
3
проф. Гоце Ангеловски
Задачи за вежбање Предмет: Линеарна алгебра ебра и аналитичка геометрија Тема: Векторска алгебра
Векторски производ на два вектора →
→
→
Векторски производ на два вектори a и b кои зафаќаат агол θ е векторот c , за кој: →
→
1˚. ˚. Должината му е еднаква на | a | ⋅ | b | ⋅ sin θ , т.е. бројно еднаква на плоштината на паралелограмот конструиран над →
→
векторите a и b . →
→
2˚. ˚. Правецот му е нормален на двата вектори a и b , т.е. на рамнината на паралелограмо паралелограмот →
→
→
3˚. ˚. Насоката му е таква што векторите a b c земени во овој →
→
редослед образуваат лева тројка вектори. Векторскиот производ на векторите a и b го → → → → → → → → означуваме со a × b . Па според тоа имаме: имаме | a × b |=| a | ⋅ | b | ⋅ sin a , b . →
→
1. Пресметај го векторскиот производ на векторите a и b , кои образуваат агол →
π 6
, и
→
имаат должини | a |= 4 , | b |= 5 . →
→
случаи 2. Пресметај | a × b | во следниве случаи: →
→
а) | a |= 6 , | b |= 7 θ = →
π 6
→
→
б) | a |= 8 , | b |= 4 θ =
π 4
→
→
в) | a |= 2 , | b |= 5 3 θ =
π 3
→
3. Пресметај | a × b | , ако е дадено: дадено →
→
→ →
→
→
→ →
a) | a |= 12 , | b |= 13 a ⋅ b = 60 , в) | a |= 10 , | b |= 17 a ⋅ b = 150 ,
→
→
→ →
б) | a |= 4 , | b |= 5 a ⋅ b = 12 , →
→
→ →
г) | a |= 29 , | b |= 25 a ⋅ b = 500 . →
→
4. Пресметај ја плоштината на паралелограмот, конструиран над векторите a и b , ако:
4
проф. Гоце Ангеловски
Задачи за вежбање Предмет: Линеарна алгебра и аналитичка геометрија Тема: Векторска алгебра
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
а) a = 2 p + 3 q , b = 3 p − q
→
в) a = 3 p − 5 q , b = 4 p − 3 q →
→ → π ∠ p , q = 6
→
→
→
→
→
→
б) a = p + 2 q , b = 3 p + q
→ → → → π г) → → → → ∠ p , q = a = p+ 7 q , b = 5 p− 2 q 2
→ → π ∠ p , q = 6
→ → π ∠ p , q = 4
→
каде што p и q се единечни вектори.
Векторски производ на два вектори зададени со координати →
→
Нека се дадени векторите a = (a1 , a 2 , a 3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) , векторски производ на →
→
векторите a и b е векторот определен со формулата: →
→
→
i → → a × b = a1
j a2
k a3
b1
b2
b3
1. Најди го векторскиот производ на векторите: →
→
а) a = (7 , 3 , − 2 ) и b = (0 , − 3 , − 4) →
в) a = (7 , 3 , 0 )
→
и b = (6 , 3 , − 2) →
2. Дадени се векторите a = (1, − 2 , − 1) производите: →
→
a) a × b
→
→
б) b × a
→ → → в) 2 a + b × b
→
→
б) a = (6 , 3 , − 2 ) и b = (− 1, 4 , − 8) →
→
г) a = (− 1, 4 , − 8) и b = (1, − 2 , − 2 ) →
и b = (4 , − 1, − 2 ) . Пресметај ги координатите на → → → → г) a + b × a − b
→ → → → д) 2 a − b × 2 a + b
3. Пресметај ја плоштината Р на паралелограмот зададен со темињата А(3, -1, 2) , В(1, 2, -1) , С(2, 5, -6) , D(4, 2, -3) . 4. Пресметај ја плоштината на триаголникот АВС, ако:
5
проф. Гоце Ангеловски
Задачи за вежбање Предмет: Линеарна алгебра и аналитичка геометрија Тема: Векторска алгебра
а) А(1, 2, 0) , В(3, 0, -3) , С(5, 2, 6)
б) А(2, -1, 3) , В(1, 0, 4) , С(2, 1, -1)
5. Дадени се темињата на триаголникот АВС [ А(1, -1, 2) , В(5, -6, 2) , С(1, 3, -1) ]. Пресметај ја должината на висината спуштена од темето В. 6. Пресметај го синусот на аголот што го образуваат векторите: →
→
→
а) a = (7 , 3 , − 2) и b = (0 , − 3 , − 4)
→
б) a = (2 , − 2 ,1) и b = (2 , 3 , 6 )
Мешан производ на три вектора →
→
→
Мешаниот производ на векторите a , b , c е бројот еднаков на скаларниот → → → → → → производ на векторите a × b , c , т.е. a × b ⋅ c , мешаниот производ кратко го → → → → → → → → → означуваме со ознаката a b c . Според тоа a b c = a × b ⋅ c . Мешаниот производ →
→
бројно е еднаков на волуменот на паралелопипедот конструиран над векторите a , b , →
→
→
→
→ → →
→
→
→
c . Ако векторите a , b , c се компланарни тогаш a b c =0 . Ако векторите a , b , c се зададени со координати, т.е. →
→
→
a = (a1 , a 2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) , c = (c1 , c 2 , c3 )
→ → →
тогаш мешаниот производ a b c се
a1 a b c = b1 c1
→ → →
пресметува со формулата
→
a2 b2
a3 b3
c2
c3
→
→
1. Пресметај го мешаниот производ на векторите a , b , c ако: →
→
→
а) a = (2, − 3, 0 ) , b = (− 1, 0, 3) , c = (− 2, 3, 0 ) →
→
→
б) a = (1, 2, 1) , b = (3, 4, − 2) , c = (− 2, 0, 4) →
→
→
в) a = (1, − 1, 1) , b = (2, 2, − 1) , c = (3, − 1, 0)
6
проф. Гоце Ангеловски
Задачи за вежбање Предмет: Линеарна алгебра и аналитичка геометрија Тема: Векторска алгебра →
→
→
г) a = (2, − 1, 4 ) , b = (1, 0, − 3) , c = (− 3, 1, − 1) 2. Кои од дадените тројки вектори се компланарни: →
→
→
а) a = (2 , 3 , − 1) , b = (0 ,1, 4 ) и c = (1, 0 , − 3) →
→
→
б) a = (− 3 , 0 , 2) , b = (2 ,1, − 4) и c = (11, − 2 , − 2 ) →
→
→
в) a = (1, 0 , 7 ) , b = (− 1, 2 , 4 ) и c = (3 , 2 ,1) →
→
→
г) a = (5 , − 1, 4 ) , b = (3 , − 5 , 2) и c = (− 1, − 13 , − 12) ? 3. За која вредност на параметарот λ следниве вектори се компланарни? →
→
→
а) a = (− 8 , 16 , − 4 ) , b = (4 , λ , 2 ) и c = (16 , − 32 , − λ ) → 2 → 1 → 2 1 б) a = , − 3 , − , b = − 1 , λ , 1 и c = − 1 , λ + 6 , 2 . 5 5 3 3 →
→
→
4. Пресметај ја висината на паралелопипедот, определена со векторите a , b , c , земајќи →
→
ја за основа страната определена со векторите a и b , ако: →
→
→
а) a = (3 , − 2 , 5) , b = (1, − 1, 4) и c = (1, − 3 ,1) →
→
→
б) a = (2 , 3 ,1) , b = (1, 2 , 4) и c = (13, − 1, 2 ) 5. Пресметај го волуменот на тетраедарот со темиња: a) A(2, -1, 1) , B(5, 5, 4) , C(3, 2, -1) , S(4, 1, 3) б) A(1, 0, 1) , B(-1, 2, -1) , C(2, 1, 0) , S(0, 1, 2) в) A(6, 3, 7) , B(2, 3, 1) , C(4, 1, -2) , S(-5, -4, 8). 6. Темињата на тетраедарот се: A(6, 3, 7) , B(2, 3, 1) , C(4, 1, -2) , S(-5, -4, 8). Пресметај ја висината спуштена од темето Ѕ. 7. Волуменот на тетраедарот е V=5, а три негови темиња се во точките А(2, 1, -1) , В(3, 0, 1) и С(2, -1, 3). Најди ги координатите на темето D, ако тоа лежи на у-оската.
7
проф. Гоце Ангеловски