Cuaderno de matematica 6 by María Candelaria Pagella

Cuaderno de

Matemรกtica

Operaciones con números naturales. Divisibilidad

¿Qué sé? Cada vez más gente usa la bicicleta en las ciudades como medio de transporte. Es rápida, ecológica y saludable. Ayuda a disminuir la congestión vehicular, la contaminación ambiental y los niveles de ruido. Además, contribuye en la prevención de enfermedades al promover la actividad física. Raúl y María, padres de mellizos, se m udaron a Rosario, y quieren ir los domingos a la calle recreativa –un circuito abierto de 28 km libre de autos, motos y transporte público– a caminar, correr y andar en bici. Decidieron aprovechar la promo que muestra la imagen.

´PROMO ESPECIAL´ COMBO BICI + CASCO + INFLADOR 12 CUOTAS FIJAS $1.326 $239

$49

Multiplicaciones y divisiones 1. El dueño de la bicicletería “A rodar, mi amor” hizo un pedido de 14 bicicletas infantiles a $630 cada una. Además, encargó bicicletas para adultos y pagará el total en 3 cuotas iguales. ¿De cuánto será cada cuota, si las de adultos son el doble que las infantiles y cuestan el triple?

l ¿Cuál será el valor de cada cuota si compran dos combos, uno para cada hijo?

2. Daniel le prestó a su amigo los $10.440 que precisaba y quedaron en que se los devolvería en cuotas fijas durante un año y medio. a) ¿De cuánto fue cada cuota?

b) Cuando ya le había devuelto 15 cuotas, el amigo le dio el resto de la deuda de una vez. ¿Cuánto le pagó ese día?

3. Hay que armar una docena de packs, cada uno con seis cajitas de jugo de manzana y ocho de naranja. ¿Cuántas cajitas de jugo se usarán?

4. Para la función del viernes, el teatro “El sombrerito” vendió 120 entradas a un jardín de infantes, 240 a una escuela primaria y 80 al público en general. a) ¿Cuál fue la recaudación de esa función? ¿Podés escribir un cálculo que te permita encontrar la respuesta aplicando la propiedad distributiva?

Teatro El sombrerito presenta LENGUALARGA Entrada: $25.

b) En “El sombrerito” hay 19 filas de 24 butacas cada una. ¿Cuántos asientos quedaron libres en esa función? Escribí un cálculo que lo muestre.

5. Hay que acomodar 610 paquetes de galletitas en 2 docenas de cajas, de manera que haya la misma cantidad en cada una y la máxima posible. a) ¿Cuántos paquetes se colocarán en cada caja? ¿Quedarán algunos sueltos? Mostrá cómo usás la calculadora para averiguarlo.

b) ¿Cuántos paquetes faltan para poder armar una nueva caja como las otras?

6. Mirá el anuncio de la construcción de dos torres para oficinas dentro del complejo de edificios que muestra la maqueta. Torre I

PROYECTO EDIFICIOS INTELIGENTES Torre I: 15 pisos. Torre II: 10 pisos. Oficinas por piso: 6. Amplio garaje en toda la planta baja. En construcción. Posesión: noviembre de 2015.

Torre II

a) Sin hacer cuentas, rodeá los cálculos que permiten saber cuántas oficinas habrá en Lo que está las dos torres. entre paréntesis se hace primero. (15 × 6) + (15 × 6) (10 + 15) × 6 10 + 15 + 6 (15 × 6) + (10 × 6) (15 × 6) + (15 × 6) – (10 × 6) 6 × 25 b) ¿Cuántas oficinas habrá en las dos torres? c) Ya se vendieron tres pisos completos de cada torre. ¿Cuántas oficinas se vendieron? ¿Cómo lo escribís con un solo cálculo?

d) Hasta ahora se construyeron los primeros 6 pisos de la torre I y los primeros 8 de la torre II. Escribí un cálculo que muestre cuántas oficinas ya están construidas.

8. Resolvé mentalmente sabiendo que 36 × 8 = 288 . a) 8 × 36 =

c) 36 × 800 =

e) 288 : 8 =

g) 36 × (10 – 2) =

b) 360 × 8 =

d) 360 × 80 =

f) 288 : 36 =

h) 8 × (40 – 4) =

7. Darío compró 15 cajas de 100 baldosas para cubrir la terraza de su casa. Si puso 24 baldosas por fila y usó la máxima cantidad posible, ¿cuántas filas colocó? ¿Le sobraron baldosas?

Problemas con las cuatro operaciones 9. ¿Cuántos gramos de alimento les dan a los tres perros juntos, por día? Me dan 120 gramos de alimento por día.

Mimí

A mí me dan el doble que a Mimí.

Chicha

Y a mí, como a ellas dos juntas.

Kalu

10. En el supermercado mayorista las cajas con frascos de café contienen 24 envases cada una. Los frascos de café instantáneo cuestan $28 y los de capuchino, $32. En un supermercado chino compraron 5 cajas de cada clase. ¿Cuánto tuvieron que pagar? Escribí en un solo cálculo las cuentas que te permiten averiguarlo.

11. Una escuela recibió una donación de $15.000 y decidieron utilizarla para pintar el edificio. Calcularon que necesitan 160 litros de pintura. Cada lata de 20 litros les cuesta $620. Además, deben comprar rodillos, pinceles y otros artículos, que en total suman $1.800. El trabajo lo realizará un grupo de padres en forma voluntaria, por lo que no habrá gastos de mano de obra. El dinero que sobra van a destinarlo a la compra de metegoles para que los chicos jueguen en los recreos. Fijate el precio de cada uno. ¿Cuántos podrán comprar? ¿Sobrará algo de dinero?

$1.370

12. En una ferretería compraron un rollo de 85 m de alambre. Por cada metro pagaron $12. Al vender todo el rollo obtuvieron una ganancia de $510. ¿A cuántos pesos vendieron cada metro?

l Rodeá los cálculos que te permiten resolver la pregunta anterior.

(85 × 12 + 510) : 85

12 × 85 + 510 : 85

510 : 85 + 12

510 : 85 + 85 × 12

13. Colocá los paréntesis necesarios para obtener los resultados indicados. a) 28 + 7 − 3 × 5 = 160

b) 28 + 7 − 3 × 5 = 48

c) 28 + 7 − 2 × 8 = 264

14. a) Martín resolvió (1.300 × 20) + 6 × 1.300 efectuando un solo producto. ¿Cómo habrá hecho?

b) ¿Y si no le funcionara la tecla del 6? Podés hacer más de una operación.

15. Había que inventar el enunciado de un problema que se resolviera con este cálculo: 25 × (28 + 31) – 5 . a) Leé el enunciado que escribió Martina. ¿Te parece que responde a la consigna? Los alumnos de 6.º A y 6.° B irán al teatro. La entrada cuesta $25. En 6.°A hay 28 chicos y en 6° B son 31. Van a ir con 5 maestros que no pagan, entran gratis. ¿Cuánto gastarán por todas las entradas?

b) Ahora te toca a vos: inventá el enunciado de un problema para el mismo cálculo y escribí la respuesta.

Analízá si los resultados son razonables.

Productos y potencias 16. Los chicos de sexto se fueron de campamento. Para avisar a sus familias que llegaron bien, los maestros organizaron una “cadena de llamadas telefónicas”: un maestro llamó a 2 mamás; cada una de ellas se comunicó con 2 papás, y cada uno de ellos telefoneó a 2 abuelas. ¿Cuántas abuelas recibieron el llamado hasta ese momento? Podés completar el esquema para ayudarte.

Maestro Mamá

l Completá para que el producto

responda la pregunta anterior.

17. En un cuadro de un pintor japonés se ven 7 árboles, cada uno con 7 ramas. De cada rama salen 7 ramitas y cada una de ellas tiene 7 hojas. a) ¿Qué multiplicación escribís para indicar cuántas hojas pintó el artista en ese cuadro? b) ¿Podés escribir esa multiplicación como una potencia? ¿Por qué?

c) En cada ramita pintó 7 flores, todas con 7 pétalos. ¿Qué multiplicación y qué potencia muestran cuántos pétalos se pueden contar en el cuadro?

18. Daniela hace pulseras. Se propuso cuadruplicar su producción cada semana durante cinco semanas. ¿Cuántas pulseras habrá fabricado en cada semana? a) Completá el cuadro.

Semana

1.ª

2.ª

Multiplicación

4×4

Potencia

Cantidad de pulseras

3.ª

4.ª

5.ª

b) Para el mes siguiente, Daniela se propuso empezar con 5 pulseras y quintuplicar su producción durante 3 días seguidos. ¿Cuáles de estos cálculos te permiten conocer la cantidad de pulseras que hará el tercer día? ¿Cuántas son? 5 + 5 + 5 5 × 3 5 + 3 53 35 5 × 5 × 5

Mamá

19. Calculá mentalmente, como en los ejemplos, y completá. 12 = 1 × 1 = 1

13 = 1 × 1 × 1 = 1

22 =

23 =

32 =

33 =

42 =

43 =

52 =

53 =

20. Un patio cuadrado está cubierto por 30 filas de baldosas cuadradas iguales. a) ¿Cuántas baldosas cubren el patio? b) ¿Cuántas baldosas tendrá sobre cada lado un patio cuadrado cubierto por 100 baldosas cuadradas iguales? 21. Una caja contiene 25 cajitas, cada una con 25 saquitos de té. ¿Cuántos saquitos de té hay en la caja? Indicá el resultado también con una potencia. 22. Escribí los resultados de las potencias. 26

112

Repaso hasta acá a) Un edifico tiene 14 pisos de 7 departamentos cada uno. Por un desperfecto técnico, los timbres A y B de todos los pisos no funcionan. ¿Cuántos timbres funcionan? Escribí un cálculo que te permita averiguarlo. b) Colocá paréntesis para que el cálculo dé 83. 7 + 3 × 8 + 20 + 7 : 9 = 83 c) Completá con = o ≠. 7 × 2 …… 72 23 …… 2 × 2 × 2 35 …… 3 × 5 123 …… 12 + 12 + 12 26

Resolvé.

Múltiplos y divisores. Descomposición en factores 23. a) La tabla debe contener los primeros múltiplos de cada número. ¿La completás? Múltiplos de 2

Múltiplos de 3

2 6

Múltiplos de 4 Múltiplos de

16 0

Múltiplos de 6 Múltiplos de

30 0

b) Darío dice que como 12 es múltiplo de 6, entonces 6 es divisor de 12. ¿Es así? c) Rodeá los divisores de 12.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

24. Completá las reglas de divisibilidad. Escribí ejemplos con 3 cifras o más. Es divisible por…

Cuando…

Ejemplos

Es par. de 3.

La suma de sus cifras es un

Las dos últimas cifras forman un múltiplo de 4 o son ceros.

Termina en

Es a la vez múltiplo de

o en

. y

Con estas reglas no hace falta hacer la división para saber si un número es múltiplo de 2, 3, 4, 5, 6 o 10.

Termina en 0. 25. Al número del cartel le faltan dos cifras, pero se sabe que es divisible por 6 y por 5 a la vez. ¿Puede terminar en 5? ¿Qué número podría ser?

.53

l ¿Es múltiplo de 15 el que te quedó? ¿Y de 30? l ¿A tus compañeros les pasó lo mismo que a vos?

26. ¿Hay algún número divisible por 2 y por 5, pero no por 10? ¿Cómo podés saberlo usando las reglas de divisibilidad?

27. El dueño de la veterinaria “El perro con dos colas” recibió una bolsa con palitos para perros como la que se ve en la ilustración. a) Si los distribuye en bolsitas de 30, ¿cuántas puede armar? b) ¿Y si pone 20 palitos en cada una? c) ¿Podría acomodar 60 palitos por bolsita sin que sobren? ¿Y 18? ¿Cuántas bolsitas armaría en cada caso?

d) ¿Podría colocar 40 palitos en cada bolsita sin que sobren? ¿Por qué?

28. Florencia colecciona anillos y los guarda en cajitas. Si pone 15 en cada cajita, no sobra ninguno. Si acomoda 10 en cada una, tampoco sobran. a) ¿Cuántos anillos puede tener, si son más de 50 y menos de 90? b) ¿Cuántas cajitas usa si los guarda de a 15? ¿Y si los distribuye de a 10? c) ¿Podría colocar 5 anillos en cada caja sin que le sobre ninguno? ¿Y 6? 29. La seño Lili está preparando bolsitas con caramelos y juguetitos para los nenes de la salita. Si coloca 2, 4, 5 o 10 caramelos en cada una, no le sobra ninguno.

b) ¿Podés saber cuántos caramelos tiene y cuántos puso en cada bolsita, si ahora te informan que armó 15 bolsitas y que no le quedaron caramelos sueltos?

30. Tengo más de 100 figuritas, pero menos de 150. Puedo apilarlas de a 8 o de a 12 sin que me sobren, pero no de a 9. ¿Podés indicar cuántas tengo?

a) ¿Podés saber cuántos caramelos tiene, si son más de 50 y menos de 100?

31. Mirá cómo hicieron los chicos para descomponer 72 en factores. TEO 72

RAFI 72

72 = 2 × 36

72 = 3 × 24

72 = 2 × 9 × 4

72 = 3 × 3 × 8

72 = 2 × 3 × 3 × 4

72 = 3 × 3 × 2 × 4

72 = 2 × 3 × 3 × 2 × 2

72 = 3 × 3 × 2 × 2 × 2

a) ¿Llegaron a lo mismo? ¿Por qué no siguieron?

b) Con ambas descomposiciones, se ve que 2, 3, 4, 8, 9, 24 y 36 son divisores de 72, pero si multiplicás algunos de ellos, podés descubrir otros tres, además de 72. ¿Cuáles son?

c) Descomponé 60, 48 y 68 con el método de los chicos. Trabajá en tu carpeta. 32. Mirá cómo está escrito 150 y, sin hacer divisiones, rodeá las afirmaciones correctas. 150 = 5 × 2 × 3 × 5

5, 2 y 3 son divisores de 150. 150 es divisible por 20.

150 es múltiplo de 25. 6 es divisor de 150.

30 es factor de 150. 75 no es divisor de 150.

Estrategias en acción

Encontrá todos los divisores de cada uno de estos números: 20, 40 y 18. Para no olvidarte de ninguno, escribilos como muestra el esquema. Seguí con 40 y 18.

Busco todos los productos que sean iguales al número. Para el primero, se pueden buscar todos los pares de números cuyo producto sea 20: 1 × 20, 2 × 10, 4 × . Divisores de 20: 1, 2, 4, , 10, 20.

Múltiplos y divisores comunes 33.

Yo visito a mi abuela cada 12 días y mi primo, cada 15. Hoy coincidimos, estuvo buenísimo.

¿Cuántos días deberán transcurrir, como mínimo, para que los primos vuelvan a encontrarse en lo de la abuela?

34. De una estación terminal sale un tren cada 45 minutos por el andén A, uno cada 2 horas por el andén B y otro cada hora y media por el andén C. Si a las 6 de la mañana salieron los tres juntos, ¿cuánto habrá que esperar, como mínimo, para que vuelvan a coincidir las tres salidas? ¿A qué hora ocurrirá eso?

b) Encontrá otros tres múltiplos que 24 y 36 tengan en común.

36. El número 360 es múltiplo común de 15 y 36.

a) Encontrá otros cuatro múltiplos comunes de 15 y 36.

b) ¿Cuál es el menor que podés hallar, mayor que 0?

35. a) Encontrá el mínimo común múltiplo entre 24 y 36.

37. Un profesor de Educación física tiene una soga blanca de 18 metros y otra roja de 24 metros. Para un juego, quiere cortarlas de modo que todas las partes que obtenga (las rojas y las blancas) sean iguales y que no sobre nada. ¿Cuál es la longitud máxima que pueden tener? ¿Cuántas obtendrá de cada color?

38. Hay 48 rosas y 60 jazmines para armar los centros de mesa de una fiesta de 15.

a) ¿Cuál es la máxima cantidad que pueden armar usando todas las flores, de modo que tengan la misma cantidad de rosas y también de jazmines?

b) ¿Cuántas rosas y cuántos jazmines tendría cada centro de mesa en ese caso?

39. Natalia está armando cajas con sahumerios de diferentes fragancias. Tiene 32 de sándalo, 96 de vainilla, 80 de pino y 112 de lavanda. Con todos ellos desea armar el mayor número de cajas iguales. ¿Cuántas cajas puede armar? ¿Cuántos sahumerios de cada fragancia tendrá cada una? Trabajá en tu carpeta. 40. ¿Cuál de estos números es el mayor divisor común entre 40 y 85?

10 4 5 20 2 17

Entre todos  Revisá tu pacto

No olvides que el compromiso es también con tu estudio. ¿Anotás en una agenda lo que tenés que hacer? ¿Realizás todas las tareas? ¿Pedís ayuda cuando no entendés? Tratá de encontrar un espacio tranquilo en tu casa para hacer las tareas y no dejes todo para último momento; organizá tu tiempo para cumplir tus compromisos y descansar. 31

Sacadudas Operaciones con números naturales ¿Qué propiedades cumple la multiplicación? Puedo cambiar el orden de los factores, agruparlos como quiera y distribuir un factor para calcular más rápido.

Al multiplicar puedo usar estas propiedades: Conmutativa: 15 × 6 = 6 × 15 = 90 Producto Asociativa: (3 × 8) × 5 = 3 × (8 × 5) Distributiva: para hallar 9 × 23 puedo pensar 23 como 20 + 3 y hacer 9 × (20 + 3) = 9 × 20 + 9 × 3 = = 180 + 27 = 207 También puedo pensar 9 como 10 – 1 y hacer 9 × 23 = (10 – 1) × 23 = 23 × 10 – 23 × 1 =

230

– 23 = 207

¿Qué se cumple en toda división entera? Dividendo Resto

Si multiplico el divisor por el cociente y a eso le sumo el resto, me tiene que dar el dividendo.

115 12 7 9

Divisor Cociente

La cuenta está bien, porque 12 × 9 + 7 = 115. l El divisor nunca puede ser 0, porque no se puede dividir por cero.

l El resto siempre es menor que el divisor. l Si el resto es 0, la división es exacta.

Primero, las multiplicaciones y las divisiones; después, las sumas y las restas. Si hay paréntesis, los resuelvo primero, respetando ese orden.

9+4×6=

10 – 8 : 2 + 3 × 5 =

9 + 24 = 33

10 – 4 + 15 = 21

(20 – 4 × 3) : 2 = (20 – 12) : 2 = 8 : 2 = 4

30 – (4 + 2 × 3) = 30 – (4 + 6) = 20

¿Qué es la potenciación? Es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. La base es el factor que se repite y el exponente indica cuántas veces aparece la base. exponente

6×6×6×6=6

4 × 4 = 42 Se lee “4 al cuadrado”. 3 4×4×4=4 Se lee “4 al cubo”. 32

4 veces

base

Se lee “6 a la cuarta”.

¿En qué orden hago los cálculos?

Múltiplos y divisores ¿Cómo encuentro múltiplos y divisores de un número? Para hallar un múltiplo de 8, lo multiplico por cualquier número natural.

8 × 12 = 96

saber si un número es múltiplo o divisible por otro, a veces puedo usar reglas de divisibilidad (ver pág. 27). También puedo hacer la división entera y mirar el resto; si es 0, el dividendo es múltiplo del divisor y también del cociente.

96 es múltiplo de 8 y de 12. 8 y 12 son divisores de 96.

l Para

91 13 0 7 l 91 es divisible por 13 y por 7. l 13 y 7 son divisores o factores de 91.

¿Cómo encuentro divisores de un número? Puedo escribirlo como un producto y ver los factores.

42 = 7 × 2 × 3 7, 2 y 3 son divisores o factores de 42. Si juego con ellos, encuentro más divisores: 7 × 2 = 14 7 × 3 = 21 2 × 3 = 6 Además, están 1 y 42. En definitiva, los divisores de 42 son: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.

¿Cómo sé si un número es primo o compuesto? número es primo si tiene solo dos divisores naturales. Si tiene más de dos, es compuesto.

l Un

Me fijo cuántos divisores tiene.

17 es primo (sus únicos divisores naturales son el 1 y sí mismo; la única forma de escribirlo como producto de números naturales es 1 × 17). 18 es compuesto, ya que es 1 × 18; 2 × 9, y 3 × 6 (además del 1 y el 18, tiene otros cuatro divisores: 2, 3, 6 y 9). l El 0 y el 1 son especiales, no son primos ni compuestos.

¿Cómo encuentro el menor múltiplo común?

¿Y el mayor divisor común?

Escribo los primeros múltiplos de cada número y tomo el menor de los comunes, descartando el 0.

Escribo los divisores de cada número y tomo el mayor de los que tienen en común.

Múltiplos de 36: 0, 36, 72, 108, 144, 180, ... Múltiplos de 90: 0, 90, 180, 270, 360, ... El menor múltiplo común entre 36 y 90 es 180.

Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Divisores de 105: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105. El mayor divisor común entre 30 y 105 es 15. 33

¿Qué aprendí? 1. En el salón de actos de la escuela de Lula hay 18 filas de 24 butacas cada una. Para la fiesta de fin de año se calcula que asistirán 480 personas. ¿Cuántas filas de butacas como las que hay habría que agregar para que todos puedan sentarse?

8. Ana quiso resolver 5 × (4 + 2) con la calculadora y le dio 22. ¿Qué es lo que hizo mal? ¿Cuánto da?

2. Para festejar su cumple, Gabriela compró 6 pizzas de $75, 4 kilos de helado a $110 el kilo y dos packs con media docena de botellas de gaseosa cada uno. Cada gaseosa le costó $18. ¿Cuánto gastó en total?

10. Roxana compró 4 paquetes de galletitas “Surtidísimas” y 5 de “Saladitas”, y gastó $142. Si cada paquete de “Saladitas” le costó $14, ¿cuánto pagó por cada uno de “Surtidísimas”? Escribí un solo cálculo que te permita averiguarlo.

4. Descomponé los números de forma conveniente para calcular los productos usando la propiedad distributiva. a) 29 × 41 b) 72 × 59 c) 81 × 99 5. Usá los carteles para escribir los resultados.

459 × 18 = 8.262 a) 8.262 : 18 = b) 8.262 : 459 = c) 8.262 : 9 =

4.872 : 56 = 87 d) 8.262 : 9 : 2 = e) 56 × 87 = f) 4.872 : 87 =

6. Los alfajores “Costa dulce” vienen en cajas de una docena y media. a) ¿Cómo usás la calculadora para averiguar cuántas cajas pueden llenar con los 530 alfajores que produjeron hoy? b) ¿Cuántos alfajores más precisarían para llenar una nueva caja? 7. Completá con <, = o >. a) 2 + 3 × 5

(2 + 3) × 5 b) 7 – 3 × 2

11. Patricio fue a sacar entradas para un festival de rock para él y sus 13 amigos. Llevó los $5.000 que había reunido con la menor cantidad de billetes posible. Para pagar justo, se guardó uno de los billetes y entregó los restantes. ¿Cuánto costó cada entrada? 12. Los chicos de sexto compraron para el quiosco de la kermés 8 cajas de 24 bocaditos “Chocofruta” y gastaron $576. Al vender todos los bocaditos les quedó una ganancia de $384. ¿A cuánto vendieron cada bocadito? Señalá el o los cálculos que lo muestran. ($576 – $384) : (24 × 8) $576 : (24 × 8) + $384 : (24 × 8) $576 + $384 : (24 × 8) ($576 + $384) : (24 × 8) 13. Primero resolvé cada cálculo. Luego colocá paréntesis para que den lo que se indica. a) 18 : 3 + 6

b) 5 + 3 × 6 – 1

c) 50 – 2 × 10 + 5

d) 100 – 25 + 5 × 100

8.000

3. Nico ingresó un número en la calculadora, lo dividió por 26 y el visor mostró 152. ¿Qué número ingresó?

9. ¿Cómo resolvés el problema 9 de la página 23 haciendo una sola multiplicación?

14. Las vitaminas Sansón vienen en tiritas de 8 comprimidos. Cada caja trae 8 tiritas. El señor López compró 8 cajas para la familia. a) ¿Qué potencia indica cuántos comprimidos llevó? b) ¿Es cierto que el resultado coincide con el de 29? 15. Escribí <, > o =. a) 6³ 36 b) 12 × 12 × 12 × 12 c) 7³ 7+7+7 d) 25 8²

124

16. a) Facu dice que 1.600 es divisible por 10 y por 4 a la vez. ¿Es verdad? b) ¿Por qué otros números es divisible 1.600? Mencioná cinco o más.

17. Catalina junta stickers con los personajes de su película favorita. Ya tiene 90 de caritas y 75 de animales. Va a usar un cuaderno de hojas lisas como álbum para su colección. Quiere acomodarlos de forma que todas las páginas tengan la misma cantidad de cada clase. ¿Cuál es la mayor cantidad de páginas que puede usar, sin que sobren stickers? ¿Cuántos de caritas y cuántos de animales habría en cada página, en ese caso? 18. El número 1.080 es múltiplo de 180 y de 270. Encontrá otros cinco múltiplos comunes a estos dos números. ¿Cuál es el menor que podés escribir? 19. Encontrá el menor múltiplo común y el mayor divisor común entre 15, 18 y 8.

Me pongo a prueba l Completá con una cifra para que cada número sea múltiplo de 3, pero no de 6 ni de 10.

3.15

10.02

l Fito cayó en el número 202 – 10 × 22 del tablero de un juego y le toca dar todos los saltos posibles hacia atrás, de 11 en 11. ¿En qué casilla caerá? ¿Cuántos saltos dará?

l Escribí todos los divisores de 99 y todos los de 165. ¿Cuál es el mayor que tienen en común?

l ¿Es verdad que 72 es el menor múltiplo común entre 12 y 36? Explicá tu respuesta. 35

Circunferencia y polígonos

¿Qué sé? ¿Hacer equilibrio o andar en bicicleta? En 1873, James Starley, un inventor inglés, creó la primera máquina con casi todas las características de la famosa bicicleta común o de rueda alta. Sin embargo, el tamaño de su rueda delantera era tres veces el de la rueda de atrás; además, era muy inestable y vibraba tanto que los inventores de la época se esforzaron por reducir su altura. l Marcá todos los puntos que están

a 2 cm y medio del punto rojo. ¿Qué figura forman? l Trazá con verde un radio y con azul un

diámetro de esa figura.

Con el compás

a) Dos puntos rojos que se encuentren a 2 cm de a. b) Todos los puntos que se encuentren a 3 cm de b. c) Un punto azul que se encuentre a menos de 2 cm de a y a menos de 3 cm de b. d) Dos puntos verdes que se encuentren a 2 cm de a y a 3 cm de b. 2. Sombreá todos los puntos que se encuentren a menos de 2 cm del punto a de la actividad anterior. ¿Cómo se llama la figura formada por esos puntos junto con su borde? 36

1. Mirá los puntos a y b, y la circunferencia con centro en a de 2 cm de radio, para marcar los puntos que se indican.

Estrategias para resolver problemas

Buscar un punto que equidista de otros dos l Lean la

situación, analicen y completen las estrategias para resolverla.

Lucas, More y Mía están armando una coreografía para un acto en la escuela. Tienen que ubicarse en el patio de manera que cada uno esté a la misma distancia de los otros dos. Para indicar dónde se ubicará Lucas, marcaron en el suelo un punto con tiza. Después, usaron un hilo como compás y alrededor de ese punto trazaron una circunferencia de 2 metros de radio. Sobre esta marcaron otro punto para señalar dónde se ubicará More. Dibujen la situación y ubiquen el punto en el que debe situarse Mía.

1 Para comprender el enunciado Cuento el problema con mis palabras.

Hay que hacer un dibujo en el que se debe marcar las posiciones de tres chicos; cada uno tiene que estar a la distancia de los otros dos.

2 Para armar y ejecutar un plan Pienso si resolví un problema parecido.

Descifro la información.

Es similar a la actividad 1 de la página anterior. ¸ Con el compás se traza una circunferencia de, por ejemplo, 2 cm de radio que representen 2 m. En el centro se ubica a Lucas. Después, se marca un punto de la circunferencia y se ubica a . ¸ Finalmente, se traza una circunferencia con centro en el punto en el que está More, que tenga cm de radio. ¸ Mía se puede ubicar en cualquiera de los dos puntos en los que se cortan las .

3 Para chequear mis respuestas Reviso la construcción.

Se comprueba con la regla si cada chico está a 2 cm de los otros dos. 37

Construcción de triángulos, cuadriláteros y otros polígonos 3. a) Dibujá cada uno de los triángulos que se indican. l Con un ángulo recto y dos lados

l Con un lado de 4 cm, otro de 5 cm

de 3 cm.

y el ángulo comprendido entre ellos de 125°.

b) Escribí junto a cada dibujo qué clase de triángulo es según sus lados y sus ángulos. c) ¿Tus compañeros dibujaron triángulos iguales a los tuyos? 4. a) Copiá este triángulo equilátero. ¿Cuál es la única medida que necesitás tomar? Es como encontrar las posiciones de los tres chicos de la página anterior.

5. Fabi tiene que dibujar un triángulo abc cuyos lados miden 7 cm, 5 cm y 3 cm. Escribió estas instrucciones y ya realizó la primera. Instrucciones l Dibujar un segmento de 7 cm.

Llamar a y b a sus extremos. l Hallar el vértice c que se encuentra

a 5 cm de a y a 3 cm de b. l Unir c con a y con b. Usá la regla y el compás, y terminá su construcción. 38

a b

b) ¿Qué clase de triángulo es según sus ángulos?

6. Se borraron dos lados de cada uno de los cuadriláteros que habían dibujado los chicos. Usá el compás para hallar el cuarto vértice de cada uno y trazá los lados que faltan. Después, escribí cuál de los chicos lo había construido.

Isa

Yo dibujé un rombo.

Yo también, pero el mío tiene cuatro ángulos iguales.

Joaco

7. a) Dibujá en tu carpeta un rombo de 3 cm de lado. Para hacerlo, primero trazá dos lados con un vértice en común; después, trazá el lado paralelo a cada uno de los anteriores usando la regla y la escuadra. Recordá cómo se trazan paralelas. l Primero se traza una recta C y se colocan la

regla y la escuadra, como muestra el dibujo. l Después se desliza la escuadra sin que se mueva

la regla y se traza una recta D paralela a C. b) Compará tu dibujo con el de tus compañeros. ¿Se pueden trazar otros rombos que también tengan lados de 3 cm, pero que sean diferentes al que dibujaste?

8. Trazá los dos lados que faltan en cada cuadrilátero. Escribí qué útiles de geometría usás en cada caso. a) Es un paralelogramo común. b) Es un romboide.

9. a) Dibujá un trapecio rectángulo que tenga los lados paralelos de 3 cm y 5 cm. b) Lena hizo el trapecio del ítem a) y dice que si te cuenta que trazó el lado perpendicular a los lados paralelos de 2 cm, podés dibujar una figura idéntica a la de ella. ¿Es cierto? 10. Uní con flechas. Después escribí el nombre que recibe cada figura de acuerdo con la cantidad de lados que tiene. Cada uno de sus ángulos mide menos que 180°.

Tiene algún ángulo que mide más de 180°.

Repaso hasta acá l Seguí las instrucciones y completá el polígono.

Después indicá qué nombre recibe y si es cóncavo o convexo. Instrucciones ¸ Tiene 5 lados. ¸ El lado consecutivo al azul es paralelo al rojo y mide 2 cm. ¸ Los otros dos lados miden 3 cm cada uno. l Dibujá un cuadrilátero cóncavo. 40

11. Dibujá un octógono cóncavo y otro convexo.

Las diagonales de los cuadriláteros 12. Trazá las dos diagonales de cada uno de estos paralelogramos y completá el cuadro escribiendo “Sí” o “No”.

Las diagonales siempre…

Paralelogramo común

Rectángulo Rombo Cuadrado

se cortan por la mitad son iguales son perpendiculares

13. a) Dibujá un romboide. El segmento rojo tiene que ser una de sus diagonales y la otra debe medir 4 cm. Además, si lo recortaras y lo doblaras por la diagonal roja, las dos partes deberían coincidir. b) Ale dice que las diagonales del romboide son perpendiculares y que ninguna corta la otra por la mitad. ¿En qué se equivoca?

c) Dibujá en tu carpeta un romboide cuyas diagonales midan 5 cm cada una. 14. a) Dibujá un rectángulo que tenga el segmento verde como una de sus diagonales.

Ayudate con el cuadro de arriba.

b) Compará tu dibujo con los de tus compañeros. ¿Son iguales? ¿Qué otra información le podrías dar a algún amigo para que dibuje un rectángulo igual al tuyo?

15. Estas son las diagonales de algunos cuadriláteros. Sin dibujar sus lados, descubrí de cuáles se trata. Después, trazá los lados para comprobarlo.

16. El segmento rojo es una de las diagonales de un paralelogramo común que forma un ángulo de 130° con la otra diagonal. Trazá la otra diagonal y construilo. Podés ayudarte con el cuadro de la actividad 12. 17. a) Juani va a dibujar un cuadrilátero. Mirá las diagonales que trazó. ¿Qué clase de cuadrilátero es? ¿Cómo son sus diagonales?

b) Dibujá en tu carpeta un trapezoide que no sea romboide y que tenga sus diagonales iguales. 18. Completá con el nombre del cuadrilátero que corresponda. a) Si un rombo tiene diagonales iguales, es un

b) Si un cuadrilátero tiene diagonales perpendiculares y solo una corta la otra por la mitad, es un

Entre todos l Revisá tu pacto

Si hay que hacer alguna actividad en parejas o en grupos, reunite con un compañero distinto esta vez. Probá compartir una tarea, tal vez te sorprendas favorablemente. Cuando trabajes de a dos, proponé ideas y escuchá las de tu compañero. Compartir las ideas permite que surja algo mucho mejor. No dejes de comentar con tu familia lo que aprendés en la escuela. 42

c) Si sus diagonales son iguales y solo tiene un par de lados paralelos, es un

Las alturas de los triángulos 19. La seño trazó la altura correspondiente al lado rojo de este triángulo. a) ¿Qué ángulos forma la altura con el lado rojo? b) ¿Cuántas alturas tiene un triángulo? 20. a) Dibujá la vela triangular del velero. El segmento azul es uno de sus lados y el verde es su altura.

b) Usá la escuadra y trazá las otras dos alturas del triángulo. 21. Trazá las alturas del triángulo rectángulo e indicá qué sucede con las alturas correspondientes a los catetos.

22. Trazá las alturas de este triángulo obtusángulo.

Vas a tener que prolongar dos lados.

Sacadudas Circunferencias y polígonos Cir cu o

Ra di

Centro

Con el compás puedo dibujar circunferencias y otras figuras circulares.

ncia ere nf

¿Para qué puedo usar el compás?

Diámetro

Círculo

Todos los puntos que están a igual distancia del centro forman una circunferencia. Una circunferencia con todos los puntos que encierra forman un círculo. Otras figuras circulares:

Arco

Sector circular

Corona circular

Trapecio circular

l También

puedo usarlo para hallar puntos que equidistan de otros y construir triángulos, cuadriláteros, etcétera.

¿Cómo se clasifican los triángulos?

Equilátero: sus tres lados iguales. Isósceles: dos lados iguales. Escaleno: todos sus lados distintos.

Según sus ángulos Acutángulo: todos sus ángulos agudos. Rectángulo: un ángulo recto. Obtusángulo: un ángulo obtuso.

Los lados de los triángulos rectángulos tienen nombres especiales.

Cateto

Hipotenusa Cateto

¿Cómo trazo las alturas de un triángulo? A cada lado del triángulo le corresponde una altura. Para trazarla, busco con la escuadra el segmento perpendicular al lado que pasa por su vértice opuesto; en los triángulos obtusángulos tengo que prolongar los lados que forman el ángulo obtuso. 44

Según sus lados

¿Qué diferencia hay entre un polígono convexo y uno cóncavo? En los polígonos convexos todos los ángulos interiores son menores que un llano. En los polígonos cóncavos por lo menos uno de los ángulos mide más de 180°.

Convexo

Cóncavo

¿Cómo se nombran los polígonos? Cantidad de lados Nombre

triángulo cuadrilátero pentágono

hexágono

heptágono

octógono

eneágono

decágono

¿Cómo clasifico los cuadriláteros convexos? ¿Cómo son sus diagonales? Me fijo cuántos lados paralelos tienen y así formo tres grupos. Señalo con la misma cantidad de rayitas los lados iguales; marco los ángulos rectos con cuadraditos, y trazo las diagonales.

Sin lados paralelos

Un solo par de lados paralelos

Dos pares de lados paralelos

Trapezoides

Trapecios

Paralelogramos

Trapezoide común

Trapecio común

Paralelogramo común

Rombo

Trapecio rectángulo

Rectángulo

Cuadrado

Diagonal principal

Romboide

Las diagonales del romboide siempre son perpendiculares. La diagonal principal (que lo divide en dos triángulos iguales) corta la otra por la mitad.

diagonales de cualquier paralelogramo siempre se cortan por la mitad. l Las diagonales del rombo siempre son perpendiculares. l Las diagonales del rectángulo siempre son iguales. l El cuadrado es rombo y rectángulo a la vez; sus diagonales se cortan por la mitad, son perpendiculares e iguales. l Las

Trapecio isósceles

Las diagonales del trapecio isósceles siempre son iguales.

¿Qué aprendí? 1. a) Dibujá una corona circular como esta. ¿Qué medidas tenés que tomar?

5. Tiene dos pares de lados opuestos iguales. Además, sus diagonales son iguales y se cortan por la mitad. ¿Qué nombre recibe el cuadrilátero? 6. Asociá cada una de las palabras de los cartelitos con una oración. Trapezoide

b) Hacé lo mismo con este sector circular. Pensá bien qué medidas necesitás tomar.

Triángulo

Trapecio

A: Polígono que no tiene diagonales. B: Cuadrilátero de lados no paralelos. C: Cuadrilátero con un solo par de lados paralelos. 7. a) Medí los lados de cada cuadrilátero y marcá el punto medio de cada uno. Después uní en forma consecutiva los puntos que marcaste en los cuatro lados.

2. Ubicá los tres vértices de un triángulo isósceles en el borde del semicírculo. Dos de ellos tienen que estar en los extremos del diámetro. Después, trazá los lados del triángulo y clasificalo de acuerdo con sus ángulos.

3. Usá regla y compás para construir las figuras que se indican. a) Un triángulo equilátero de 5 cm de lado. b) Un triángulo con lados que midan 5 cm, 4 cm y 6 cm. 4. Construí los cuadriláteros que se indican, en todos los casos deben tener dos ángulos de 110°. ¸ Un romboide. ¸ Un paralelogramo. ¸ Un trapecio isósceles.

8. a) Trabajá con regla y escuadra, y construí un paralelogramo común que tenga un lado de 5 cm y una diagonal de 7 cm. b) ¿Se pueden dibujar distintos paralelogramos con esos datos? 9. ¿Qué nombre recibe un polígono que tiene 7 lados? ¿Y otro de 10 lados? 10. Dibujá cada una de estas figuras. a) Un pentágono convexo y otro cóncavo. b) Un paralelogramo que tenga un ángulo interior de 130° y lados que midan 5 cm y 6 cm.

b) ¿Qué cuadrilátero quedó dibujado en cada caso?

14. El segmento azul es la diagonal principal de un romboide y forma un ángulo de 45° con un lado de 2 cm. Trazá la figura.

11. Se borraron los lados de las figuras y quedaron dibujadas sus diagonales. ¿Podés anticipar qué clase de cuadrilátero es cada uno? Escribí su nombre al lado de cada par de diagonales; después, trazá los lados.

12. Tené en cuenta la actividad anterior e indicá en qué se diferencian las diagonales de un romboide con las de un rombo.

15. Dibujá un triángulo acutángulo cualquiera en una hoja de papel glasé. Recortalo y plegalo para obtener la altura correspondiente a cada lado. Después, repasá con rojo las tres alturas y pegá el triángulo en la carpeta.

13. Completá las instrucciones que pensó Martín para trazar un rectángulo.

Instrucciones: l Trazo dos segmentos que midan y que se corten por .

16. a) Trazá todas las alturas del triángulo equilátero que dibujaste en la actividad 3 de la página anterior. b) Medí las alturas del triángulo equilátero. ¿Cómo son?

uniendo los l Después trazo los extremos de los segmentos que tracé.

Me pongo a prueba l Completá con “tienen”, “iguales” o “perpendiculares”, según corresponda.

¸ El cuadrado, el rombo y el romboide tienen diagonales ¸ Los paralelogramos ¸ Todos los paralelogramos

dos pares de lados paralelos. diagonales que se cortan por la mitad. .

¸ El trapecio isósceles, el rectángulo y el cuadrado tienen diagonales l Construí un triángulo cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 5 cm. ¿Qué clase triángulo es de acuerdo con sus ángulos? Después marcá con rojo sus tres alturas.