Matemática en 7º

Matemática en 7.° 1.°secundaria

primaria CABA ________________

Claudia Broitman Horacio Itzcovich María Mónica Becerril Betina Duarte Patricia García Verónica Grimaldi Héctor Ponce

Operaciones con números naturales I

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

H

ace más de 4.000 años los egipcios ya habían inventado distintos modos de resolver cálculos. Las operaciones eran muy importantes para esta civilización, tanto para hacer negocios como para el reparto de tierras y el cobro de impuestos.

Para multiplicar como lo hacían los antiguos egipcios solo hay que duplicar cantidades y sumar. Por ejemplo, para resolver 21 × 13, se puede pensar que este cálculo significa 13 veces 21. En lugar de sumar 21 + 21 + 21 + …, los egipcios armaban dos columnas. La primera se iniciaba con el número que había que multiplicar –en este caso el 21– y la segunda, con la cantidad de veces que se contaba esta cantidad. Luego comenzaban a duplicar los números de cada columna y ubicaban los resultados debajo de la cantidad anterior. Este proceso de duplicación podía seguir indefinidamente, pero los egipcios sabían dónde convenía detenerse para sumar las cantidades y obtener el resultado de su cálculo.

Así hubieran pensado la cuenta 21 × 13: Número 21 42 84 168

Cantidad de veces que se contó el número 1 2 4 8

Como 8 + 4 + 1 = 13, entonces se deben sumar 168 + 84 + 21 = 273.

8 + 4 + 1 = 13

1

Capítulo

Problemas y cálculos I 1 En 2 cajas iguales hay 16 alfajores. ¿Cuántos alfajores habrá en 17 cajas iguales?

2 Completá estas tablas. a) En todas las cajas hay la misma cantidad de paquetes de pastillas.

12

18

Cantidad de paquetes de pastillas

24

36

48

90

144

15

24

25

40

216

120

b) En todas las cajas hay la misma cantidad de tornillos.

Cantidad de cajas

2

Cantidad de tornillos

10 900

2.700

3 En el teatro “Atlantic” están planificando algunas reformas. La sala tiene 16 filas de 28 butacas cada una. a) ¿Cuántas localidades tiene el teatro?

b) Los arquitectos quieren que haya 32 butacas en cada fila. ¿Cuántas filas deberán colocar si quieren mantener la misma cantidad de localidades?

c) Si quisieran colocar 30 butacas en cada fila, ¿sería posible encontrar una cantidad de filas que permita mantener el total de asientos que tiene en la actualidad?

7.380

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Cantidad de cajas

d) Finalmente deciden que cuando el nuevo escenario se termine, se va a duplicar la cantidad de butacas en cada fila y la cantidad de filas. ¿Es cierto que el nuevo teatro va a tener entonces el doble de butacas que antes de las reformas?

4 En una panadería colocan 24 filas de 18 alfajores cada una sobre

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una bandeja para bañarlos con chocolate. El panadero consigue una bandeja más grande donde es posible colocar 15 filas completas más. ¿Cuál o cuáles de estos cálculos le permiten averiguar cuántos alfajores van a entrar en total ahora? a) 24 × 18 + 15

c) 24 × 15 + 18

b) 24 × 18 + 24 × 15

d) 24 × 18 + 15 × 18

5 Para armar una clave de dos dígitos, una máquina acepta para el primer dígito los números 1 y 2. Para el segundo dígito acepta solamente los números 3, 4, 5, 6 o 7. ¿Cuántas claves diferentes se pueden armar?

6 Para ir de Maracaibo a Monte hay tres caminos diferentes. Para ir de Monte a Totoras hay cuatro caminos distintos. ¿De cuántas maneras se puede viajar de Maracaibo a Totoras, si se debe pasar por Monte?

Una vuelta de tuerca entre todos

e) 24 × 33

Problemas y cálculos II 1 Juan imprimió las 132 fotos de sus vacaciones. Si quiere organizarlas en un álbum ubicando 12 por página, ¿cuántas páginas debe tener como mínimo el álbum que tiene que comprar?

2 Andrés quiere colocar sus 132 fotos en un álbum de 12 páginas. a) ¿Cuántas fotos debe poner en cada una para que en todas haya la misma cantidad?

b) ¿Quedan fotos sin ubicar?

quiere repartir en partes iguales a sus 28 alumnos, de manera que cada uno reciba la mayor cantidad de hojas posible. ¿Cuántas hojas no serán repartidas?

4 Para cubrir la pared de un baño se colocan filas de 42 cerámicos.

Hay 1.156 cerámicos. a) ¿Para cuántas filas alcanza?

b) ¿Cuántos cerámicos se utilizaron cuando se completaron todas las filas posibles?

5 Un constructor necesita 5.780 ladrillos para la reparación de una casa. La fábrica los vende en paquetes cerrados de 400. a) ¿Cuántos de esos paquetes debe encargar? b) ¿Cuántos ladrillos le sobran?

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3 El docente de Plástica tiene las 500 hojas de una resma y las

6 Para decorar una bandeja rectangular, Marisa va a utilizar 864 venecitas. a) Si las va a colocar en filas de 18 cada una, ¿cuántas filas iguales puede ubicar en la bandeja?

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b) ¿Es cierto que si coloca la mitad de las filas y la mitad de las venecitas por fila, va a usar la mitad de las 864 venecitas?

7 Para la biblioteca del aula se invirtieron $ 2.890 en la compra de 34 ejemplares de una misma novela. ¿Cuánto se habría gastado si hubieran adquirido 35 ejemplares?

8 Completá esta tabla, en la que se relaciona la cantidad de saquitos de té y de cajas en las que se envasan, sabiendo que en todas las cajas hay la misma cantidad de saquitos.

Cantidad de saquitos de té

8

48

60

Cantidad de cajas Machete: En algunos de estos problemas las cantidades están organizadas en filas y columnas, en otros hay que repartir en partes iguales una cantidad y determinar cuánto le toca a cada uno, o bien es preciso averiguar entre cuántos se puede realizar el reparto. Es posible resolver estas situaciones de distintas maneras: sumar o restar varias veces el mismo número, o multiplicar para buscar el número que más se acerca. Estos cálculos también pueden pensarse como una división. En algunos casos en los que se utiliza la división, es muy importante tener en cuenta el resto al hacer esa cuenta.

300

1.200

4.800 200

Multiplicar y dividir mentalmente 1 ¿Son correctas estas formas de resolver el cálculo 18 × 40? a) 18 × 4 y al resultado agregarle el 0 del 40. b) 18 × 10 × 4 c) 18 × 2 × 2 × 10

2 Calculá mentalmente. a) 42 × 10 =

c) 42 × 30 =

b) 42 × 20 =

d) 42 × 50 =

e) 42 × 70 =

3 Buscá tres maneras distintas de resolver estos cálculos. © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

a) 36 × 40 = b) 12 × 101 =

4 En una calculadora no funciona la tecla del L . ¿Cómo puede hacerse para calcular? a) 1.254 × 18

b) 468 × 28

5 Calculá mentalmente. a) 24 × 5 =

140 × 5 =

b) 24 × 50 =

120 × 50 =

36 × 5 =

260 × 5 =

28 × 50 =

210 × 50 =

84 × 5 =

320 × 5 =

42 × 50 =

304 × 50 =

6 Calculá mentalmente estas divisiones. a) 480 : 4 =

c) 1.240 : 4 =

e) 1.218 : 6 =

b) 55.000 : 5 =

d) 30.030 : 3 =

f) 24.600 : 6 =

7 Para calcular mentalmente el resultado de 180 : 5, Ana divide por 10 y al resultado lo multiplica por 2. ¿Es correcta esta manera de hacerlo?

8 Calculá mentalmente los cocientes.

200 : 50 =

800 : 50 =

2.200 : 50 =

400 : 50 =

1.200 : 50 =

2.400 : 50 =

9 Calculá mentalmente el cociente y el resto de estas divisiones.

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Cálculo

Cociente

Resto

Cálculo

4.328 : 10

1.745 : 1.000

4.328 : 100

3.217 : 10

4.328 : 1.000

3.217 : 100

1.745 : 10

3.217 : 1.000

Cociente

Resto

1.745 : 100

Entre 0 y 10

10 Si 24 × 10 = 240, 24 × 100 = 2.400 y 24 × 1.000 = 24.000, ¿en qué columna debería colocarse el cociente de cada uno de estos cálculos?

Luego podés comprobar con la calculadora.

Entre 10 y 100

Entre 100 y 1.000

207 : 24 2.487 : 24 1.715 : 24 12.587 : 24 23.305 : 24

11 Completá el cuadro indicando cuántas cifras creés que tendrá el cociente de estas divisiones. Luego usá la calculadora para comprobarlo.

Cantidad de cifras Cálculo 1 2 3 43.789 : 23 5.760 : 45 7.890 : 21 203.765 : 19

4

5

Problemas nuevos para cálculos conocidos I 1 Desde el número 1.328 se resta de 13 en 13. ¿Cuál es el número más cercano a 0 que se alcanza?

2 Las figuritas “Todo fútbol” vienen en paquetes de a 9. Hoy se imprimieron 2.885 figuritas. ¿Cuántas más hay que imprimir como mínimo para hacer una cantidad entera de paquetes?

a) ¿Cuántas cajas como esta se necesitan?

b) ¿Cuántas hamburguesas sobran?

4 Un edificio tiene 11 oficinas por piso. a) ¿En qué piso está la oficina 192?

b) ¿Cuáles son todas las oficinas que están en ese piso?

5 Juan debe actualizar el antivirus de su computadora cada 180 días.

Si lo acaba de hacer hoy, que es viernes, ¿es cierto que la próxima vez deberá hacerlo un martes?

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3 Para un cumpleaños deben comprarse 165 hamburguesas.

6 Nicolás debe tomar todos los comprimidos de la caja; uno cada 6 horas. Si el primer comprimido lo consume a las 8 de la mañana, ¿a qué hora va a tomar el último?

Para hacer en parejas

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7 ¿Entre qué dos múltiplos consecutivos de 7 está el número 9.297?

Machete: Dividendo 38 3/ Resto

Divisor | 7 ————— 5 Cociente

En algunos problemas que pueden resolverse con la división es muy importante tener en cuenta el resto al hacer la cuenta de dividir. En ciertos casos lo que debe averiguarse es justamente el resto, en otros hay que considerarlo para interpretar la información que da el cociente. Hay problemas en los que es necesario determinar cuáles son todos los restos posibles, si se tienen fijos el divisor y el cociente, y en otros casos es preciso analizar que al dividir distintos números por un mismo divisor se obtiene el mismo resto.

Una vuelta de tuerca entre todos

Problemas nuevos para cálculos conocidos II 1 Nicolás quiere apilar 4 ladrillos de un juego. ¿De cuántas formas diferentes puede ordenar los ladrillos?

2 Ana quiere formar una pila con 4 ladrillos. Si los colores pueden

3 En el torneo de fútbol de verano participan 5 equipos. a) ¿Cuántos partidos va a haber en todo el campeonato si juegan todos contra todos una sola vez?

b) ¿Cuántos partidos habría si cada equipo jugara partido y revancha?

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repetirse, ¿de cuántas formas distintas podría armar la pila?

Machete: En los problemas en los que hay que calcular la cantidad posible de combinaciones aparecen cantidades que se repiten. La manera de organizar la información es muy importante en estas situaciones para considerar todas las posibilidades e identificar qué cálculos son necesarios. Para no tener que contar o sumar todas las posibilidades a veces se puede utilizar multiplicaciones. Además, hay que tener en cuenta si es posible o no repetir los elementos a combinar, porque las cuentas con las que puede calcularse el total en cada caso son diferentes.

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4

Para hacer en parejas En una competencia de natación participan 5 países. Se van a premiar los 3 primeros puestos. ¿De cuántas maneras distintas se puede ocupar esos lugares?

5 Augusto compró este candado que tiene 4 rueditas con números del 1 al 4, pero quiere otro con una mayor cantidad de combinaciones. ¿Le conviene elegir un candado que tenga un número más en cada ruedita u otro que tenga una ruedita más del 0 al 4?

Una vuelta de tuerca entre todos

Cálculos mentales de multiplicaciones y divisiones 1 Sabiendo que 36 × 24 = 864, averiguá el resultado de estos cálculos. Luego podés comprobar con la calculadora. a) 360 × 24 =

d) 36 × 12 =

g) 72 × 48 =

b) 36 × 240 =

e) 18 × 48 =

h) 864 : 36 =

c) 36 × 48 =

f) 72 × 24 =

i) 864 : 24 =

2 Sabiendo que 12 × 20 = 240, calculá mentalmente los resultados de: a) 22 × 20 =

d) 12 × 30 =

b) 32 × 20 =

e) 12 × 40 =

c) 42 × 20 =

f) 12 × 50 = © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

3 Para cada cálculo se ofrecen tres resultados posibles, pero solo es uno correcto. Sin hacer las cuentas, seleccioná el que correcto en consideres cada caso. Luego podés comprobar con la calculadora.

144 × 99 =

1.276

3.276

14.256

200 × 39 =

3.900

7.800

12.600

418 × 30 =

1.240

12.540

25.840

1.134

5.134

10.134

12.474 : 11 =

4 Calculá mentalmente los siguientes productos. a) 14 × 99 =

c) 431 × 9 =

e) 11 × 79 =

b) 21 × 999 =

d) 15 × 19 =

f) 30 × 59 =

5 Sabiendo que 1.080 : 12 = 90, averiguá el resultado de los siguientes cálculos. Luego podés comprobar con la calculadora. a) 10.800 : 12 =

c) 540 : 12 =

e) 1.080 : 24 =

b) 1.080 : 90 =

d) 1.080 : 120 =

f) 1.080 : 6 =

Una colección de problemas para estudiar 1 Una hoja cuadriculada tiene 52 filas de 42

5 Cinco amigos viajan en colectivo. ¿De cuántas

cuadraditos. Si se duplican las cantidades de filas y de cuadraditos por fila, ¿la cantidad total de cuadraditos será el doble, el triple o el cuádruple de la inicial?

maneras pueden sentarse uno al lado del otro en los asientos del fondo? Y si dos de ellos quieren sentarse juntos, ¿cuántas posibilidades hay?

2 Para abrir una cuenta de correo electrónico

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Nicolás decidió usar una clave de 4 caracteres con las siguientes letras y números: N, C, 0 y 2, sin que se pueda repetir ninguno. ¿Cuántas claves distintas puede armar?

6 Daniela quiere visitar a sus 6 hermanos que viven en el mismo barrio. ¿De cuántas maneras distintas puede programar sus visitas en un mismo día?

3 A Nicolás le parece que su clave es muy fácil de descubrir y quiere hacer algún cambio para tener más combinaciones. Piensa en dos alternativas:

7 Ana compró una caja de 250 CD para grabar.

Todas las semanas graba 45.

a) Agregar una letra y que la combinación tenga cinco caracteres.

a) ¿Para cuántas semanas le alcanza?

b) Hacer la combinación de 4 caracteres pero con la posibilidad de repetirlos. ¿Cuál le conviene?

b) ¿Cuántos CD necesita para que le alcancen para una semana más?

4 Completá estas tablas. En la primera, en todas las cajas hay la misma cantidad de tornillos, y en la segunda, en todas las cajas hay la misma cantidad de cerámicas.

Cantidad de cajas Cantidad de tornillos Cantidad de cajas Cantidad de cerámicas

3

8

12

20

28

30

33

50

120

180

200

1.500 20 175

30

50 1.750

3.500

8 Para una exposición de fotografía se colocan sobre un panel rectangular las 462 fotos que participan. Si quieren acomodarlas en filas de 22 fotos, ¿cuántas deben colocar en cada fila?

9 El portero eléctrico de un edificio de oficinas tiene 392 timbres. Si hay 14 oficinas por piso, ¿cuántos pisos tiene ese edificio?

13 Sin hacer las cuentas, seleccioná el resultado que consideres correcto en cada caso. Luego comprobá con la calculadora.

253 × 9 =

2.277 22.077 84.077

304 × 99 =

3.906 30.096 80.096

125 × 60 =

1.500

3.500

7.500

21.857 : 11 =

87

487

1.987

9.720 : 30 =

4

324

4.324

Si se pone en funcionamiento a las 5 de la mañana de un lunes y nunca se detiene, ¿en qué momento de la semana termina la pieza número 15?

10 En una casa de empanadas hornean 1.200 por día. Si las cocinan en fuentes de 75 unidades, colocando siempre la mayor cantidad posible, ¿cuántas fuentes preparan?

15 Los alfajores se venden en cajas de 24.

11 Sabiendo que 32 × 14 = 448, averiguá el resultado de los siguientes cálculos. Luego comprobá con la calculadora. a) 32 × 140 =

d) 32 × 28 =

b) 64 × 14 =

e) 16 × 7 =

a) Si ya tienen listos 3.314, ¿cuántas cajas completas ya se envasaron?

c) 32 × 7 =

12 Usá que 24 × 30 = 720 para calcular: a) 34 × 30 =

c) 24 × 40 =

b) 14 × 30 =

d) 24 × 50 =

b) ¿Cuántos más tienen que hacer para que se puedan envasar 2 cajas más?

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14 Una máquina produce una pieza cada 7 horas.