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LA CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN Se llama circunferencia a la sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano perpendicular al eje del cono. La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (C). La distancia constante del centro a todos los puntos de la circunferencia recibe el nombre de radio.
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA A partir de la definición vamos a deducir la ecuación de una circunferencia que tenga el centro en el origen de coordenadas y radio r.
Si P(x; y) es un punto que pertenece a la circunferencia entonces la distancia de P al centro es:
Y P (x;y) r O
d(P;0)
X
x 2 y2 r
Elevando al cuadrado
x2 y2 r2 Esta es la ecuación canónica de la circunferencia de centro (0; 0) y radio r Profesor: Javier Trigoso T.
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Si P(x; y) es un punto que pertenece a la circunferencia con centro en C (h; k) y radio igual a r, entonces la distancia de P al centro es:
Y P (x;y) r C (h;k) X O
( x h) 2 ( y k ) 2 r
d(P; C )
Elevando al cuadrado:
x h y k r2 2
2
Esta es la ecuación ordinaria de la circunferencia de centro (h; k) y radio r
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA Desarrollando la fórmula anterior obtenemos:
x 2 2hx h2 y2 2ky k 2 r 2 x
2
2hx y
2
Ordenando:
2ky h2 k 2 r 2 0
Haciendo: -2h = D; -2k = E; h2 + k2 – r2 = F y reemplazando en la ecuación anterior, obtenemos:
x2 y2 Dx Ey F 0 Conocida como la ecuación general de la circunferencia.
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3 PARA LA CLASE… 01. Determina el centro y el radio de cada una de las siguientes circunferencias: x 2 y 2 100 ( x 2) 2 y 2 64 x 2 ( y 3) 2 121 ( x 1) 2 ( y 1) 2 49 ( x 5) 2 ( y 4) 2 50 02. Deduce la ecuación de cada una de las siguientes circunferencias:
centro centro centro centro
en en en en
(-3; 5) y radio 2 (2; -5) y radio 3 (4; 0) y radio 2 (0; -2) y radio 1
03. Determina la ecuación de la circunferencia que satisface las siguientes condiciones: centro en (0; 0) y pasa por (-3; 4) centro en (3; -2) y pasa por (11; -2) centro en (2; 4) y tangente al eje X centro en (-3; -2) y tangente al eje Y. 04. Los puntos P (2; 5) y Q (-4; -3) son los extremos del diámetro de una circunferencia. Determina el centro, el radio y la ecuación de esta. 05. Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje Y y que pasa por los puntos (2; 2) y (6; -4).
06. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas y tiene su centro en el punto de intersección de las rectas: L1: x – 2y = 1; L2: x + 3y = 6 07. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (-3; 4) y es concéntrica con la circunferencia de ecuación:
x 2 y 2 6x 2 y 6 0 08. Determina el centro y el radio de cada uno de las siguientes circunferencias: x 2 6x y 2 10y 2 x 2 8x y 2 6y 15 9x 2 12x 9 y 2 77 16x 2 8x 16y 2 32y 127 09. Encuentra el valor de “m” para que la ecuación x 2 10x y 2 8y m represente a una circunferencia de radio 8. 10. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (3; -7), (6; 2) y (8; -2) (2; 2), (-2; 6), y (-4; 0) 11. Encuentra la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices (0; -1), (4; -5) y (0; -9) 12. Calcula la longitud de la cuerda que determina la recta L: x = 3 al cortar a la circunferencia de ecuación:
x 2 y 2 4 x 6y 8 0
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4 13. La ecuación de una circunferencia es ( x 4)
2
( y 3)
2
20 . Halla la
ecuación de la tangente a esta circunferencia en el punto (6; 7) 14. La ecuación de una circunferencia es ( x 2) 2 ( y 3) 2 5 . Halla la ecuación de la tangente a dicha circunferencia que pasa por el punto (3; 3). 15. Halla la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia
x 2 y 2 4 x 6y 17 0
y que sea tangente a la recta L: 3x - 4y + 7 = 0
16. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1; 3) y (3; -1) y cuyo centro está en la recta: L1: x - 3y + 2 = 0 17. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (1; 4) y que es tangente a la circunferencia de ecuación
x 2 6x y 2 2y 5 0 en el punto (-2; 1). 18. Encuentra la ecuación de la circunferencia que está inscrita en el triángulo cuyos lados son las rectas: L1: 4x + 3y – 21=0, L2: 3x – 4y –22 = 0 y L3: x + 6 = 0
PARA LA CASA… 01. Los puntos P (3; -5) y Q (-1; 3) son los extremos del diámetro de un círculo. Determina el centro, el radio y la ecuación del círculo. 02. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de las rectas: L1: x + 3y = -3, L2: x + y = -1, y su radio es igual a 5. 03. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (7; -5) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas L1: 7x - 9y – 10 = 0; L2:2x - 5y + 2 = 0
04. Determina el radio de la circunferencia de ecuación
x 2 y 2 8x 6 y 0 A. 2 C. 4
B. 3 D. 5
05. Determina el diámetro de la circunferencia de ecuación
( x 3) 2 ( y 7 ) 2 49 A. 3u C. 7u
B. 5u D. 14u
06. Halla el área del círculo, si P (6; 0) y Q (0; 6) Y 2 A. 6π u B. 24π u2 Q C. 12π u2 2 D. 36π u
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5 07. Halla la ecuación general de la circunferencia de centro (–5; 12) y radio 13. A. x² + y² + 10x – 24y = 0 B. x² + y² - 10x + 24y = 0 C. x² + y² + 24x – 10y = 0 D. x² + y² - 24x + 10y = 0 08. Una circunferencia de centro (3; -2) pasa por el punto (12; 0). Indica otro punto por donde pasa esta circunferencia. A. (9; 5) B. (7; 8) C. (10; 3)
D. (8; 6)
09. Dada la ecuación
3x 2 3y 2 4 y 7 0 , encuentra su centro. A. (0; -3/2) C. (3/2; 0)
B. (0; -2/3) D. (2/3; 0)
10. La circunferencia 2
2
x y 9x 2y 18 0 , en qué puntos intercepta al eje X? A. (0; 3) y (0; 6) B. (0; 0) y (3; 6) C. (-3; 0) y (-6; 0) D. (3; 0) y (6; 0) 11. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (-4; -1) y que es tangente a la recta 3x+2y-12=0 A. (x - 4)² + (y - 1)² = 52 B. (x + 4)² + (y + 1)² = 52 C. (x + 4)² + (y - 1)² = 52 D. (x - 4)² + (y + 1)² = 52 12. Halla la longitud de la circunferencia cuya ecuación es: 2
2
13. Calcula el área del círculo cuya circunferencia está representada por la ecuación 4x² + 4y² - 24x + 4y + 17 = 0 A. 2π u2 C. 4π u2
B. 3π u2 D. 5π u2
14. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (1; -4) y B (5; 2) y que tiene su centro en la recta: L1: x – 2y + 9 = 0 A. C.
B. D.
15. La circunferencia de centro (3; 4) y tangente al eje X, corta al eje Y en los puntos A y B. Determina la longitud de la cuerda AB. A. 4 B. 5 C.
7
D. 2 7
16. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P (1; 0), sabiendo que es concéntrica a la circunferencia representada por la ecuación x² + y² - 2x - 8y + 13 = 0 A. (x - 1)² + (y - 4)² = 16 B. (x + 1)² + (y - 4)² = 16 C. (x - 1)² + (y + 4)² = 9 D. (x + 1)² + (y + 4)² = 16 17. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A (-8; -2) y B (4; 6). Obtén la ecuación de dicha circunferencia. A. (x - 2)² + (y - 2)² = 52 B. (x + 2)² + (y - 2)² = 52 C. (x + 2)² + (y + 2)² = 52 D. (x - 2)² + (y + 2)² =
52
25x 30x 25y 20y 62 A. 3π
B. 6π
C. π 3
D. 2π 3
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6 18. Determina el valor de M para que la circunferencia de ecuación x² + y² - 6x + 8y = M , tenga como radio 2. A. -29 C.4
B. -21 D.21
19. Determina la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje X, tiene 10 u de radio y su centro está sobre la recta x – 2y = 0 A. x² + y² + 40x – 20y + 400 = 0 B. x² + y² - 40x + 20y + 400 = 0 C. x² + y² - 40x - 20y + 400 = 0 D. x² + y² - 20x + 40y + 400 = 0 20. Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el eje X y es tangente a la circunferencia x² + y² - 6x - 12y = 7 en el punto (-3; 2) A. (x + 6) 2 + y2 = 13 B. (x - 6)2 + y2 = 13 C. x2 + (y + 6) 2 = 13 D. x2 + (y - 6) 2= 13
24. Determina la ecuación de la recta ortogonal a la cuerda común de las circunferencias: C1 : x² + y² 8y = 32
C2 : x² + y² 6x = 16 A. 3x–4y+16=0 C. 4x-3y-12=0
B. 3x+4y-16=0 D. 4x+3y+12=0
25. Halla las coordenadas de los puntos de intersección de las circunferencias dadas por las ecuaciones: C1 : x² + y² - 4x 6y 9 0
C2 : x² + y² 8x - 2y 13 0
A. (2;1) y (4;3) C. (2; 3) y (4; 1)
21. Determina la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje de las ordenadas en (0; 6) y cuyo centro está contenido en la recta y - 3x = 0. A. (x - 2)² + (y - 6)² = 4 B. (x + 2)² + (y - 6)² = 4 C. (x - 2)² + (y - 6)² = 4 D. (x + 2)² + (y + 6)² = 4 22. Halla la longitud de la circunferencia que pasa por los puntosa (3; 0), B (1; 0) y C (0; 1) A. 2 2 π u B. 3 2 π u C. 2 5 π u
23. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (1; -0,5) sabiendo que es tangente a la recta 4x + 3y – 15 = 0 A. 4x2 + 4y2 – 8x + 4y – 15 = 0 B. x2 + y2 – 2x + y – 7 = 0 C. x2 + y2 – 4x - 2y + 1 = 0 D. x2 + y2 – 2x + y - 5 = 0
D.
5π u
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B. (1; 2) y (3; 4) D. (1; 3) y (2; 4)
26. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(-2; 5), B(4; 3) y C(6; -1) A. x2 + y2 – 2x - 6y – 38 = 0 B. x2 + y2 + 2x + 4y – 45 = 0 C. x2 + y2 – 2x - 2y - 35 = 0 D. x2 + y2 – 8x - 2y - 8 = 0 27. Determina el área del triángulo cuyos vértices son N (2; 4) y las intersecciones de la circunferencia (x - 2)² + (y - 4)² = 25 con el eje de las abscisas. A. 6 u2 C. 12 u2
B. 8 u2 D. 16 u2
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7 28. El centro de una circunferencia esta dado por la intersección de las rectas: L1: y - 2x – 1 = 0 y L2: x + y = 7. Si pasa por el punto S (6; 2), halla su ecuación ordinaria. A. (x + 2)² + (y - 5)² = 25 B. (x - 2)² + (y - 5)² = 25 C. (x - 2)² + (y + 5)² = 25 D. (x - 5)² + (y + 2)² = 25 29. El centro de una circunferencia es la intersección de las rectas: L1: y - 2x – 1 = 0 y L2: x + y = 7. Si L3: 5x + 2y + 9 = 0 es tangente a ella, determina su ecuación ordinaria.
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A. (x + 2)² + (y - 5)² = 29 B. (x - 2)² + (y - 5)² = 29 C. (x - 2)² + (y + 5)² = 29 D. (x - 5)² + (y + 2)² = 29 30. Halla la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos A (4; 1) y B (5; -6), y cuyo centro está sobre la recta L: x + 2y + 5 = 0 A. B. C. D.
x² + 4y² + 2x – 4y = 0 x² + y² + 2x + 6y – 15 = 0 x² + y² - 2x + 6y - 15 = 0 x² + y² - 24x + 10y + 9= 0
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