La Recta

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LA RECTA En geometría definimos a la recta como la sucesión infinita de puntos uno a continuación de otro en la misma dirección.

En el plano cartesiano, la recta es el lugar geométrico de todos los puntos colineales de un plano. La ordenada de cada punto que la conforma está relacionada con su respectiva abscisa mediante una ecuación de primer grado con dos variables x e y.

Podemos determinar la ecuación de la recta si se conocen algunas condiciones.

A continuación estudiaremos algunas de estas ecuaciones:

ECUACIÓN PUNTO - PENDIENTE Es la ecuación de la recta que se determina conociendo su pendiente m y un punto P(x0; y0) perteneciente a ella.

y  y0  m  x  x0  ECUACIÓN PENDIENTE – ORDENADA EN EL ORIGEN Es la ecuación de la recta que se determina conociendo su pendiente m y el punto de corte con el eje Y (0; b) (ordenada en el origen).

y  mx  b ECUACIÓN GENERAL Se denomina ecuación general de la recta a la expresión:

Ax  By  C  0 Donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos.

Dada la ecuación general de la recta, se presentan los siguientes casos:  Si A = 0 y B ≠ 0, entonces la recta es paralela al eje X.  Si A ≠ 0 y B = 0, entonces la recta es paralela al eje Y. Su pendiente es m  

A C y su ordenada en el origen es b   B B

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2 Teorema:  

Una recta horizontal tiene pendiente 0.

Una recta vertical no tiene pendiente.

PARA LA CLASE 01. Escribe (en cuanto sea posible) las ecuaciones: general, punto – pendiente y pendiente – ordenada en el origen de las rectas que cumplen con las siguientes condiciones:  La pendiente es -2 y pasa por (2; -3)  Pasa por los puntos (-1; -5) y (3; 6)  La pendiente es -2/3 y la ordenada en el origen es 1

03. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (2; -3) y tiene la misma pendiente que la recta L: 3x + 4y = 10

02. Halla la pendiente y la intersección con los ejes de la recta definida por la ecuación L: 5x + 2y – 8 = 0.

05. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (3; 2) y forma con los ejes coordenados un triángulo en el primer cuadrante de 12u2 de área.

04. Si se conoce que la ecuación general de una recta es 2px + 3qy – 3 = 0, y además que contiene a los puntos P (3; 1) y Q (-6; -3), determina el ángulo de inclinación de dicha recta.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA La distancia del punto P (x 0; y0) a la recta L de ecuación: Ax + By + C = 0 se calcula empleando la expresión:

Y P (x0;y0) d

X

L: Ax + By + C= 0

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PARA LA CLASE 06. Halla la distancia de P(–3; 4) a la recta: 3x + 4y – 9 = 0.

09. La pendiente de una recta es -3.

Halla su ecuación si su distancia al origen es 2.

07. Halla la distancia del origen de coordenadas a la recta: 2x – 3y = 5

10. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (3; 1), tal que la distancia de esta recta al punto (-1; 1) sea igual a 2 2

08. Determina el valor de “a” para que la distancia del origen a la recta: x + ay – 7 = 0 sea 2.

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Los ángulos formados por dos rectas secantes se pueden calcular cuando se conoce el valor de la pendiente de cada recta. Los ángulos son medidos en sentido anti horario, de manera que se pueda distinguir el lado inicial y el lado final de cada ángulo.

L1

L2

θ θ α1

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α2

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4 PARA LA CLASE 11. Halla el ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones:  L1: 3x + 4y – 12 = 0; L2: 6x + 8y + 1 = 0 0°  L1: 2x + 3y – 5 = 0; L2: 3x - 2y + 10 = 0 90°

el valor de m para que formen un ángulo de 45°. m = -1; m = 4 13. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4;10) y forma un ángulo de 45° con la recta 2y – 3x = 0. y = - 5 x + 30

12. Dadas las rectas L1: 3x + y - 1 = 0 y L2: 2x + my -8 = 0, determina

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Sean dos rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2 respectivamente, si se cumple que:

 

m1 = m2, entonces las rectas son paralelas. m1.m2 = -1, entonces las rectas son perpendiculares.

PARA LA CLASE 14. Escribe una ecuación que pase por el punto (-1; 3) y sea paralela a la recta: 2x + y = 10.

18. Escribe una ecuación que pase por el punto (-1; 2) y sea perpendicular a la recta 7x – 8y = 24.

15. La ecuación de la recta que pasa por el punto (5,6) y que es paralela con la recta que une los puntos (-4,0) y (1,-6) es:

19. Encuentra la ecuación de la recta que pasando por el punto de intersección de las rectas: L1: 6x – 2y + 8 = 0 con L2: 4x – 6y + 3 = 0, sea perpendicular a L3: 5x + 2y + 6 = 0

16. Encuentra una recta que pase por el punto (4; -2) y sea paralela a la recta que pasa por los puntos (-1; 4) y (2; 3).

17. Escribe una ecuación que pase por el punto (2; -3) y sea perpendicular a la recta 4y - x = 20.

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20. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto P(17; 12) y es perpendicular a la recta de ecuación 5x + 12y – 60 = 0. Determina las coordenadas del punto de intersección de estas líneas y halla la distancia de P a dicha recta.

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5 PARA LA CASA 01. Escribe (en cuanto sea posible) las ecuaciones: general, punto – pendiente y pendiente – ordenada en el origen de las rectas que cumplen con las siguientes condiciones:  La pendiente es -4/3 y pasa por (-1; 7)  Pasa por los puntos (-2; 6) y (3; -5)  La pendiente es 1/2 y la ordenada en el origen es -3 02. Escribe la ecuación de la recta: 2 5 y  x  en su forma general.

3 2 03. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (3; 1) y forma 37º con el eje de las abscisas.

04. Halla la ecuación general de la recta que determina con los ejes coordenados un segmento cuyo punto medio es (-2; 5).

05. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto P(3; 2), la abscisa de otro punto de la recta es 4. Halla su ordenada.

06. Si el punto P, cuya abscisa es el doble de su ordenada, está sobre la recta L: 3x + 4y - 10 = 0; entonces la suma de las coordenadas es: 07. Dada la recta y = 2x – 3, en ella se ubica un punto P de ordenada igual a 5. Determina el área del triángulo que forman el punto P, el origen de coordenadas y el punto donde la recta corta al eje X.

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08. Determina la pendiente de la recta, cuya ecuación es y = mx + 5, que pasa por el punto de intersección de las rectas, representadas por las ecuaciones y = -3x – 5; y = 4x + 2.

09. Determina el área del paralelogramo ABCD, sabiendo que la ecuación del lado AB es L1: x - 2y = 0, la ecuación del lado AD es L2: 3x + y = 0 , las coordenadas del punto C son (3,5).

10. En el triángulo ABC, cuyos vértices son A (3; 4), B (-1; 4) y C (1; 6). Halla la ecuación general de las medianas y las coordenadas del baricentro.

11. Una diagonal de un cuadrado une los vértices A (1; 2) y C (2; 5). Obtén las ecuaciones de los lados del cuadrado.

12. Calcula la distancia desde el punto P (7; -3) hasta la recta y = x - 2.

13. Halla la distancia de la recta 3x – 4y + 12 = 0 al punto (4; -1).

14. Halla la distancia de la recta 4x – 5y + 10 = 0 al punto (2; -3).

15. Halla la distancia del punto (2; 7) a la recta que pasa por los puntos (3; 2) y (1; 0).

16. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de L1: x – 2y - 1 = 0 y L2: 2x – y + 3

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6 = 0 y dista del punto P(0; 1) una longitud igual a

1 5.

17. En la ecuación ax + 3y + 5 = 0.

Halla el valor de “a” de modo que la distancia del punto (2; -2) a la recta sea 1.

18. Dos vértices de un triángulo son A(-4; 2) y B(4; 3), y la intersección de sus alturas es Q(-1; 7). Determina la abscisa del vértice C. 19. Determina el valor de “k” para que la recta L:4x + 5y + k=0 forme con los ejes coordenados un triángulo rectángulo de área igual a 5/2 unidades cuadradas.

20. Halla la ecuación de la recta que es paralela a la que tiene por ecuación 3x + 2y – 9 = 0 y cuya distancia del origen es 8. Indica la suma de los coeficientes de “x” e “y” de una de sus soluciones.

21. Determina el área de un cuadrado sabiendo que uno de sus vértices es el punto A(6; 5) y que uno de sus lados esta en la recta L: 3x - 4y + 7 = 0 Halla las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados del cuadrado.

22. Encuentra los ángulos del triángulo cuyos vértices son los puntos A(-3; 0), B(7; 4) y C(3; 6) y demostrar que la suma de ellos es 180º. Si G es el punto de intersección de las medianas, encuentra los ángulos AGB, BGC y CGA y demostrar que la suma de ellos es 360º.

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23. Determina la pendiente del segmento bisector del ángulo que forma la recta que une los puntos (12; 8) y (6, 6) con la recta que pasa por los puntos (13; 11) y (10, 2) 24. Encuentra el ángulo agudo que forman las rectas, trazadas desde el origen a los puntos de trisección de la parte de la recta de ecuación 2x + 3y – 12 = 0, comprendida entre los ejes coordenados.

25. Escribe una ecuación que pase por el punto (0; 3) y sea paralela a la recta: 3x - y = 7.

26. La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-4) y es paralela con la recta L: x + 5y – 3 = 0, es: 27. Dadas las rectas L1: y = Kx - 3 y L2: y = 2x – 4K. Determina el valor de K para que L1//L2.

28. Halla la ecuación de una recta paralela a la recta 3x + 2y – 9 = 0 y cuya distancia del origen sea 8.

29. Encuentra “m” de modo que las rectas x + 7y = 70; y + 3 = mx sean perpendiculares entre sí.

30. Determina el valor de K para que las rectas y + 3 = Kx; 2x = -4K – y sean perpendiculares.

31. Encuentra una recta que pase por el punto (-1; 3) y sea perpendicular a la recta que pasa por los puntos (3; -5) y (-2; 7).

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7 32. La ordenada al origen de una recta es 7. Determina su ecuación sabiendo que debe ser perpendicular a la recta 4x + 9y - 27 = 0.

33. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas: 5x - 3y = -2; 8x + 7y = 44 y que es perpendicular a la recta definida por la ecuación: y = 2/3x + 1 34. Halla la ecuación general de la recta que es perpendicular a la recta 3x – 4y = 12, sabiendo que pasa por el punto medio del segmento formado por los puntos A (-2; 0) y B (4; 6) 35. Por el punto A(2; 3) se trazan dos rectas que cortan al eje X en los puntos B y C. La pendiente de la recta que contiene al segmento AB es 1/2 y la pendiente de la recta que contiene al segmento AC es -1. Determina el área del triángulo ABC. 36. Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a la recta de ecuación: 2x – 3y + 7 = 0 en el punto medio del

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segmento comprendido entre los ejes coordenados?

37. Las ecuaciones de los lados de un paralelogramo ABCD son: LAB: x – 2y + 1 = 0; LAD: 2x – y - 1 = 0; LBC: 2x – y -7 = 0; LDC: x – 2y + 7 = 0.

Halla las coordenadas del punto de intersección de las diagonales del paralelogramo.

38. Si las rectas L1: (2k + 2)x + 3Ky - 8 = 0 y L2: 5kx + (4 – K)y + 6 = 0 se interceptan en un punto que está sobre el eje X. Halla el valor de k.

39. Los puntos B (-1; 3) y C (3; -3) son los vértices de un triángulo isósceles que tiene el tercer vértice A en la recta x + 2y = 15, siendo AB y AC los lados iguales.

Calcula las coordenadas de A. 40. Determina el área del paralelogramo ABCD, sabiendo que la ecuación del lado AB es x - 2y =0, la ecuación del lado AD es 3x + y = 0 y las coordenadas del punto C son (3; 5)

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