Conjuntos

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Conjuntos Ing. Cruz Saquilรก


Conjuntos Es una agrupación de elementos que poseen una o más características comunes. CARACTERÍSTICAS Formado por elementos: persona, animal u objeto. Se nombra con una letra mayúscula: A, B, C Posee cardinalidad: número total de elementos que lo forman


Ejemplo: Dado el conjunto D de los dedos de la mano: • Letra con que se nombra: D • Elementos: pulgar, índice, medio, anular, meñique • Cardinalidad: 5, porque tiene cinco elementos


Clases de conjuntos Se clasifican de acuerdo al nĂşmero de elementos, segĂşn su cardinalidad 1. Conjunto finito: Es el conjunto que es posible contar sus elementos. Ejemplos: a. El Conjunto H de los huesos humanos o 206 huesos (elementos) b. El conjunto S de los dĂ­a de la semana o 7 elementos c. El conjunto D de los departamentos de Guatemala o 22 Elementos


2. Conjunto infinito Es aquel que no es posible llegar a saber cuántos elementos tiene. Su cardinalidad es indeterminada. Ejemplos:  El conjunto E de las estrellas del firmamento.  El conjunto N de números naturales.  El conjunto M de múltiplo de un número.  El conjunto D de números decimales 3. Conjunto Unitario El conjunto unitario es aquel que tiene un solo elemento. Ejemplos:  El conjunto N de los nahuales de un niño  El conjunto L de satélites naturales del planeta tierra


4. Conjunto Vacío El conjunto vacío es aquel que no tiene elementos. Su cardinalidad es cero. Ejemplos:  El conjunto P de peces que viven en el aire 5. Conjunto Universo Todos los conjuntos se obtienen de un conjunto mayor llamado conjunto universo que se identifica con la letra U Ejemplos:  El conjunto C formado por los países de Guatemala, El salvador y Honduras se obtiene de un conjunto mayor U, el conjunto formado por los países de Centroamérica.


Representación de conjuntos ¿Cómo representarías una manzana? • Llamarla por su nombre: Manzana • Describirla: fruta redonda hundida por los extremos, de cáscara delgada y lisa, de color rojo, verde o amarillo, con sabor ácido o dulce. • Dibujarla 1. Forma descriptiva Es una manera abreviada de representar conjuntos porque solo nombramos una propiedad común a todos los elementos. La forma de representarlas es: P = {Países del mundo} Se lee: “P es igual al conjunto de los países del mundo


2. Forma enumerativa Es contar, hacer listas. Consiste en nombrar uno a uno todos los elementos del conjunto. Se suele utilizar para conjuntos con pocos elementos. Ejemplo: El conjunto L de las letras de la palabra mapa. L = {m,a,p} 3. Representación enumerativa especial Se utiliza para conjuntos muy numerosos, cuyos elementos tienen un orden establecido. Ejemplo: El conjunto de las letras del alfabeto. A = {a, b, c,… z} Se lee: “El conjunto A de las letras del alfabeto de la a a la z”


4. Forma gráfica o diagramas de Venn Se utiliza un diagrama de Venn o cualquier figura geométrica simple. Los conjuntos deben tener pocos elementos para cualquier que la representación sea clara.

.3

N=

.4

.5 .6

.7


Relaciones entre conjuntos Sombrear lo que contiene • Relación de pertenencia La relación que se establece entre un elemento con uno o más conjuntos de los cuales forma parte se llama relación de pertenencia. • Relación de no pertenencia Es la relación que se establece entre un elemento y uno o más conjuntos de los que no forma parte




• Relación de contención Se establece entre dos conjuntos cuando todos los elementos del conjunto menor están incluidos en un conjunto mayor • Relación de no contención Es la relación que se establece entre dos conjuntos cuando algunos o todos los elementos de uno no están incluidos en el otro conjunto. A no está contenido en B




Operaciones con conjuntos 1. Uniรณn (U) De dos o mรกs conjuntos es otro conjunto que estรก formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.


2. Intersecciรณn (n) De dos o mรกs conjuntos es el conjunto formado por los elementos que pertenecen simultรกneamente a dichos conjuntos.


3. Diferencia (-) Del conjunto A respecto del conjunto B al conjunto formado por los elementos que solo pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B


4. Diferencia simétrica ( ) De dos conjuntos A y B es otro conjunto formado por todos los elementos de A o B, excepto los elementos comunes a ambos Puede ser la unión de dos diferencias: (A – B) U (B – A) Ejemplo: A = {1,2,3,4,5}

B = {1,3,7,9}

A-B = {2,4,5} B-A = {7,9} Unidos = {2,4,5,7,9}


5. Operación Complemento ( ) De un conjunto A está formado por los elementos que le faltan al conjunto A para ser igual al conjunto Universo “U”. Ejemplo: Dados los conjuntos: U = {2,4,6,8,10,12,14} y A = {2,4,6} = {8,10,12,14}


Observa la siguiente situación: en un salón de clases de 50 niños y niñas, a 10 les gusta solo el helado de fresa y a 5 solo el helado de chocolate. Si a 20 niños no les gusta el helado ni de fresa ni de chocolate: ¿a cuántos niños les gustan los dos helados?, ¿a cuántos niños les gusta en total el helado de fresa?, ¿a cuántos el de chocolate?

llamaremos F al conjunto de los estudiantes a los que les gusta el helado de fresa y C al de conjunto de niños que gustan del helado de chocolate.


Por ejemplo, en la intersección de los conjuntos F y C se representa la población de estudiantes que gustan de los dos helados, mientras que la región exterior a los conjuntos, representa la parte del curso que no gusta de ninguno. Podemos por lo tanto ubicar las cantidades de estudiantes en las zonas correspondientes:


Podemos entonces responder todas las preguntas hechas inicialmente: a 15 niños les gustan los dos helados, en total a 25 les gusta el helado de fresa y a 20 les gusta el helado de chocolate. Una última pregunta: ¿a cuántos estudiantes les gusta el helado de fresa o el de chocolate? Recuerda que la unión de conjuntos está conformada por los elementos que pertenecen a uno u otro, por lo tanto la respuesta es la cantidad de estudiantes de la unión F∪C. Esto quiere decir que a 30 estudiantes les gusta el helado


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