UNIDAD 1 Números reales 7. Autoevaluación Soluciones
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I. ¿Sabes clasificar los números en los distintos conjuntos numéricos (N, Z, Q, Á), representarlos en la recta real y reconocerlos en diferentes contextos? 1 Considera los números: 0,85;
)
√5 ;
13,4;
π;
√12
–3;
a) Expresa como cociente de dos enteros los que sea posible. b) ¿Cuáles son irracionales? c) ¿Alguno es natural? ¿Y entero?
) a) 0,85 = 85 = 17 ; 13,4 = 121 ; –3 = –3 100
20
9
1
b) Son irracionales √5 , π y √12 . c) Ninguno es natural. –3 es entero. ✮ Si tienes dificultades, consulta la página 24 de tu libro de texto.
2 Clasifica los siguientes números según pertenezcan a los conjuntos 7;
N
8 7; 183
Z
8 7; 183; √–1
Q
8 7; 183; √–1 ;
Á
8 7; 183; √–1 ;
–3 ; 5
5,23;
π; 2
√8 ;
N, Z, Q
)
4,17;
3
3
3
) –3 ; 5,23; 4,17 5
) –3 ; 5,23; 4,17; 5
π ; √8 2
✮ Si tienes dificultades, consulta la página 24 de tu libro de texto.
3
√–1 ;
o
Á. 183
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3 Observa el diagrama y completa el cuadro adjunto. E √2 D
–√3
4 3
E'
1 + √5 2
)
1,8 3
0,31
D'
15 8
C
C' –3 B
–23 5
–81
108
B'
19 A
N
ABB'
5; 19; 108
Z
ACC'
5; 19; 108; –3; –23; –81
Q
ADD'
5; 19; 108; –3; –23; –81;
) 15 4 ; 0,31; 1,83; 3 8
Á
AEE'
5; 19; 108; –3; –23; –81;
) 15 1 + √5 4 ; 0,31; 1,83; ; √2 ; – √3 ; 2 3 8
✮ Si tienes dificultades, consulta la página 24 de tu libro de texto. 4 Representa en la recta real los números –√2 y √5 .
1 — –√2 –1
0
1
— 2 √5
✮ Si tienes dificultades, consulta la página 25 de tu libro de texto. 5 ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones tienen soluciones irracionales? a) 9x 2 – 4 = 0
b) x 2 – 8 = 0
— — La ecuación b) x 2 – 8 = 0, cuya solución es x = ±√ 8 = ±2√ 2
✮ Si tienes dificultades, consulta la página 24 de tu libro de texto.
c) x 2 + 4 = 0
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II. ¿Identificas los números que pertenecen a un intervalo, conoces su notación y la sabes utilizar? 6 Representa el conjunto de números que cumple la desigualdad y exprésalo como un intervalo o semirrecta. a) –3 Ì x < 7 a)
b) – @ < x Ì 2
–3
0
7
b)
0
[– 3, 7)
2
(– @, 2]
✮ Si tienes dificultades, consulta las páginas 26 y 27 de tu libro de texto. 7 Representa gráficamente los intervalos A = (1, 6] y B = (5, +@) y expresa cada uno de ellos como una desigualdad. a) A
b) B 0 1 A
8
6
0 1
1<xÌ6
B
5 8
5 < x < +@
✮ Si tienes dificultades, consulta las páginas 26 y 27 de tu libro de texto. 8 Representa y expresa como intervalo los números que verifican las siguientes condiciones: a) x é [–3, 5) y x é [1, +@) a)
–3
0
b) x é (–@, 1] o x é [7, +@) 5
b)
x é [1, 5)
1
7
Cualquier x que pertenezca a (–@, 1] « [7, +@)
✮ Si tienes dificultades, consulta las páginas 26 y 27 de tu libro de texto. 9 ¿Para qué valores de x es válida la expresión √x + 3 ? Para x Ó –3.
✮ Si tienes dificultades, consulta la página 28 de tu libro de texto.
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III. ¿Manejas la notación científica y controlas el error cometido cuando das una aproximación? 10 Expresa en notación científica y calcula. 6 a) 2 700 000 · 13 · 10 0,00003 · 0,00015
2,7 · 106 · 1,3 · 107
b) 12 0002 · 0,00078 3,51 · 1013
— — —=— —= 7,8 · 10 21 a) — –5 –4 –9 3 · 10
b)
· 1,5 · 10
4,5 · 10
(1,2 · 104)2 · (7 · 10– 4)8 = 8,30131344 · 10 –18 ≈ 8,30 · 10–18
✮ Si tienes dificultades, consulta la página 35 de tu libro de texto. 11 Calcula y expresa el resultado en notación científica. (3 · 10–5 + 7 · 10– 4) : (106 – 5 · 105) =
1,46 · 10–9
✮ Si tienes dificultades, consulta la página 35 de tu libro de texto. 12 Da una cota del error absoluto de las siguientes mediciones: a) 1,58 · 108
Error absoluto < 0,005 · 108
b) 3 · 1015
Error absoluto < 0,5 · 1015
c) 3,7 · 10–6
Error absoluto < 0,05 · 10–6
¿En cuál de ellas es menor el error relativo? En a) es menor el error relativo.
✮ Si tienes dificultades, consulta la página 34 de tu libro de texto. 13 Da una cota del error relativo de las siguientes aproximaciones: a) 3,5 · 105
Error relativo < 0,015
b) 3 · 10–2
Error relativo < 0,2
✮ Si tienes dificultades, consulta la página 34 de tu libro de texto.
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IV. ¿Sabes identificar una potencia con una raíz y manejar con soltura la simplificación y las operaciones con radicales? 14 Expresa como potencia y efectúa después la operación. 6— 21/2 · 22/3 = 2(1/2) + (2/3) = 27/6 = √ 27
3
a) √2 · √22 = 5
— a2 √ a10 = — = a3/2 = √ a3 b) 1/2 a √a
✮ Si tienes dificultades, consulta la página 28 de tu libro de texto. 15 Simplifica los siguientes radicales: 4
a) √a2 = 5
b) √a15 =
—
√a
a3 —
12
3 c) √a4b8 = √ ab2
✮ Si tienes dificultades, consulta la página 30 de tu libro de texto. 16 Opera y extrae factores fuera del radical. a) √5a √10ab √8a3b √a = b)
35 : 2
√ √
20a3b
2 5√ 7 = 2 5
✮ Si tienes dificultades, consulta la página 30 de tu libro de texto. 17 Efectúa. a) √175 – 3√7 + 2√63 = b) √72 – √48 – √2 + √3 =
— — — — 5√7 – 3√7 + 6√7 = 8√7 — — — — — — 6√2 – 4√3 – √2 + √3 = 5√2 – 3√3
✮ Si tienes dificultades, consulta la página 31 de tu libro de texto.
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18 Calcula el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuya arista básica mide 8 cm, y la arista lateral, 12 cm. Expresa las soluciones con radicales. Altura de una cara = Volumen =
— 256√7 3
— 8√2
cm
cm3
Altura de la pirámide =
— 4√7
cm
—
Área total = 128√2 + 64 cm2
✮ Si tienes dificultades, consulta las páginas 30, 31 y 32 de tu libro de texto.
19 Halla el perímetro de este triángulo. Exprésalo con radicales. 4 cm
Solución:
— Perímetro = 10 + √2
✮ Si tienes dificultades, consulta las páginas 30, 31 y 32 de tu libro de texto.
20 Racionaliza y simplifica. a)
a)
3√ 2
√3 —
√6
b)
b)
6 — — √3 + √2 — — — — 6√3 – 6√2 = 6(√3 – √2)
✮ Si tienes dificultades, consulta la página 32 de tu libro de texto.