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Ejercicios Propuestos Steffanny Fern´andez Chica schica@uninorte.edu.co Darwin Rafael Pico Ripoll dpico@uninorte.edu.co Universidad del Norte
I.
O NDAS B IDIMENSIONALES
El desplazamiento transversal de la cuerda est´a dado por y(x, t) = A cos(kx − ωt) y z(x, t) = A sen(kx − ωt). ´ Esto lo podemos expresar como una funci´on vectorial de desplazamiento as´ı: u(x, t) = A cos (kx − ωt) ˆj + A sin (kx − ωt) kˆ
(1)
ˆ Sea Para x = 0 → u(0, t) = A cos (−ωt) ˆj + A sin (−ωt) k. y = A cos (−ωt) y z = A sin (−ωt),si elevamos al cuadrado y y z y simplificamos las expresiones, obtenemos la ecuaci´on param´etrica de una circunferencia de radio A, en el plano yz, como se ilustra en la figura.
∂u(x, t) = Aω sin(kx − ωt)ˆj − Aω cos(kx − ωt)kˆ ∂t (2) Para probar que e´ ste vector representa la velocidad tangencial de una part´ıcula que se mueve en un c´ırculo de radio A y con velocidad angular ω, desarrollamos el producto punto entre el vector de desplazamiento y el de velocidad que obtuvimos; si el producto puntos nos da igual a cero, entonces, quiere decir que los dos vectores son ortogonales y por tanto podemos afirmar que la velocidad es tangencial a la trayectoria que describe la part´ıcula en su movimiento. Ya se demostr´o que la part´ıcula se mueve en una trayectoria circular de radio A, con una velocidad angular ω. v(x, t) =
u(x, t) • v(x, y) = A2 ω cos(kx − ωt) sin(kx − ωt) −A2 ω cos(kx − ωt) sin(kx − ωt) = 0 De este modo, podemos ver que efectivamente la velocidad es tangencial al movimiento de la part´ıcula. La norma del vector velocidad est´a dada por: p kvk = (Aω sin(kx − ωt))2 + (−Aω cos(kx − ωt))2 = q = A2 ω 2 (cos2 (kx − ωt) + sin2 (kx − ωt)) = Aω
La gr´afica muestra la trayectoria de la part´ıcula vista por un observador que est´a en el eje +x y mira hacia x = 0. La posici´on de la part´ıcula para distintos instantes de tiempo es: – En t = 0 la part´ıcula se encuentra ubicada en u(0, 0) = Aˆj, es decir, en el extremo superior de la circunferencia. ˆ es decir, la – Cuando t = π/2ω → u(0, π/2ω) = −Ak, part´ıcula se encuentra en en el extremo izquierdo de la circunferencia. – Para t = π/ω → u(0, π/ω) = −Aˆj, es decir, se localiza en en el extremo inferior de la circunferencia. ˆ es decir, la part´ıcu– En t = 3π/2ω → u(0, 3π/2ω) = Ak, la se halla en en el extremo derecho de la circunferencia. Ahora obtendremos el vector velocidad para una part´ıcula que est´a en una posici´on arbitraria x en la cuerda, para e´ sto, derivamos parcialmente la ecuaci´on (1), la cual nos describe el desplazamiento de la part´ıcula, con respecto al tiempo. Para obtener:
Luego, la magnitud del vector velocidad kvk = Aω = cte, ya que, no depende ni de la posici´on en x, ni del tiempo t. Por lo que, la part´ıcula est´a en movimiento circular uniforme. El vector aceleraci´on de la part´ıcula se obtiene al derivar parcialmente con respecto al tiempo la ecuaci´on que describe la velocidad de la part´ıcula. ∂v(x, t) = −Aω 2 cos(kx−ωt)ˆj−Aω 2 sin(kx−ωt)kˆ ∂t La norma del vector aceleraci´on es: p kak = (−Aω 2 cos(kx − ωt))2 + (−Aω 2 sin(kx − ωt))2 q = A2 ω 4 (cos2 (kx − ωt) + sin2 (kx − ωt)) = Aω 2
a(x, t) =
II.
´ DE RAYOS POR RADIO L OCALIZACI ON
Para saber d´onde cay´o el rayo en relaci´on con el estadio, se debe conocer el a´ ngulo θ , que se puede hallar utilizando la ley del coseno. Para esto, primero tenemos que calcular la distancia a la que se encuentra el estadio y la casa al lugar donde impact´o el rayo, siendo d1 y d2 estas medidas respectivamente. El problema se esquematiza en la siguiente figura:
2
Dado que las ondas se propagan en un mismo medio, la velocidad es constante y es igual a v = 344m/s. El tiempo que tard´o el trueno para llegar al estadio fue de 3s, y a la casa de 4,43s entonces, d1 = vs (4,43s) = (344m/s)(4,43s) = 1523,92m d2 = vs (3,0s) = (344m/s)(3,0s) = 1032m Luego, aplicando la ley del coseno hallamos θ as´ı:
IV.
E JERCICIO 60
La ecuaci´on para una onda senoidal de manera general es: y(x, t) = A cos(kx − ωt + φ)
La onda en funci´on de x en t = 0 para distintos valores de (1523,92m)2 − (1032m)2 − (1120m)2 = 90,07◦ φ est´a representada por la siguiente figura: −2(1032m)(1120m) La velocidad transversal vy se calcula al derivar parcialmente y(x, t) con respecto al tiempo. Entonces, Lo que nos permite concluir que el rayo cay´o a una distancia
φ = arccos
de 1,032km al noroeste del estadio. vy = III.
O NDAS DE FORMA ARBITRARIA
La ecuaci´on de movimiento de una onda se puede escribir de la siguiente forma: y(x, t) = f (x − vt) Supongamos que la funci´on tiene un m´aximo para cuando el argumento de f es igual a cero, entonces, x − vt = 0 → x = vt. Por tanto, el punto se mueve en la direcci´on +x dependiendo del tiempo y la velocidad. Para probar que y(x, t) = f (x − vt) satisface la ecuaci´on de onda, sea cual sea la forma funcional de f , comenzamos escribiendo y(x, t) = f (u), donde u = x − vt. Luego, derivamos parcialmente y(x, t) respecto a x y t y usamos la regla de la cadena, para obtener: ∂y ∂t ∂y ∂x
= =
df du df du
∂u ∂t ∂u ∂t
df = − du v df = du
Se toma nuevamente derivadas parciales respecto a x y t 2 ∂2y df d ∂u 2d f = −v 2 ∂t du du ∂t = v du2 ∂2y df d2 f d ∂u ∂x2 = du du ∂t = du2 2
d f Despejando du on 2 e igualando miembros nos queda la ecuaci´ de onda expresada por: ∂2y ∂x2
=
2 1 ∂ y v 2 ∂t2
∂y(x, t) = ωA sin(kx − ωt + φ) ∂t
Dado que el coseno√es una funci´on par, al despejar el valor de φ en y(0, 0) = A/ 2 obtendr´ıamos dos valores, φ = π/4 o φ = 3π/4 por tanto, necesitar´ıamos saber alg´un otro dato, por ejemplo el cuadrante donde est´a φ, para poder elegir su correspondiente valor. Ahora si una part´ıcula en x = 0 se mueve hacia y = 0 en t = 0, el valor de φ ser´ıa φ = 3π/4, debido a que se est´a moviendo hacia abajo, por tanto el cosφ < 0 Para determinar el valor de φ en cualquier instante de tiempo se debe conocer las magnitudes de la velocidad y el desplazamiento y adem´as conocer el signo de cada una de e´ stas. V.
E JERCICIO 61
La potencia media Pmed , de una onda senoidal en una cuerda est´a definida por: Pmed =
1p µF ω 2 A2 2
Dado que v 2 = Fµ → F = µv 2 , reemplazando este valor en la anterior ecuaci´on nos queda que: 1p 1p 2 2 2 2 1 Pmed = µ(µv 2 )ω 2 A2 = µ v ω A = µvω 2 A2 2 2 2 Como µ = vF2 y ω = kv, sustituyendo estos valores en la u´ ltima ecuaci´on y simplificando obtenemos: 1 F 1 Pmed = kvωA2 = F kωA2 2 v 2
3
De esta manera llegamos a que la potencia media tambi´en puede expresarse como: 1 Pmed = F kωA2 2 Si la tensi´on en la cuerda se cuadruplica, esto afectar´a el valor de la velocidad de la siguiente forma: s 4F F 0 = 4F ⇒ v 0 = = 2v µ De donde hallamos que el valor de ω 0 ,sabiendo que ω = kv: ω ω0 ω = 2 ⇒ ω0 = 2 k0 0 k k k Como el factor que se debe mantener constante para que la potencia sea la misma es F ωk, entonces debemos igualar el nuevo valor de este factor al anterior: ωk F ωk = 4F ω 0 k 0 ⇒ ω 0 k 0 = 4 0 Remplazando el valor de ω en la ecuaci´on anterior se tiene que : ω ωk k 2 (k 0 )2 = ⇒ k0 = √ k 4 8 , y el nuevo valor de ω ser´a: ω ω0 = √ 2 VI.
E NERG´I A EN UN PULSO TRIANGULAR
Un pulso ondulatorio triangular en una cuerda tensa viaja en la direcci´on +x con rapidez v. La tensi´on en la cuerda es F y la densidad lineal de masa de la cuerda es µ. En t = 0, la forma del pulso est´a dada por 0 , x < −L h(L + x)/L , −L < x < 0 (3) y(x, 0) = h(L − x)/L , 0 < x < L 0 ,x > L Y su representaci´on gr´afica se ilustra en la figura
La potencia correspondiente P en un instante t se define por: ∂y(x, t) ∂y(x, t) ∂x ∂t En el pulso triangular descrito por la ecuaci´on (4), la potencia instant´anea est´a dada por: −F (0)(0) = 0 ; (x − vt) < −L −F (h/L)(−hv/L) = F vh2 /L2 ; −L < (x − vt) < 0 P (x, t) = −F (−h/L)(hv/L) = F vh2 /L2 ; 0 < (x − vt) < L −F (0)(0) = 0 ; (x − vt) > L P (x, t) = −F
Con esta ecuaci´on se puede ver claramente que la potencia es cero excepto cuando −L < (x − vt) < L y es constante en este intervalo con valor de F vh2 /L2 . VII.
E JERCICIO 15.79.
a) Demuestre que, para una onda en una cuerda, la energ´ıa cin´etica por unidad de longitud de la cuerda es 2 1 ∂y(x, t) 1 Uk (x, t) = µvy2 (x, t) = µ 2 2 ∂t donde µ es la masa por unidad de longitud. b) Calcule Uk (x, t) para una onda senoidal dada por la ecuaci´on (15.7).c) Tambi´en hay energ´ıa potencial el´astica en la cuerda asociada al trabajo requerida para deformar y estirar la cuerda. Considere un segmento corto de hilo en la posici´on x, cuya longitud no estirada es ∆x, como en la figura (15.10). Si despreciamos la (peque˜na) curvatura del segmento, su pendiente es ∂y(x,t) ∂x . Suponga que el desplazamiento de la cuerda respecto al ∂y equilibrio es peque˜no, as´ı que ∂x tiene magnitud mucho menor que uno. Demuestre que la longitud no estirada del segmento es aproximadamente " 2 # 1 ∂y(x, t) ∆x 1 + 2 ∂x √ (Sugerencia: Use la relaci´on 1 + u ≈ 1 + 12 u, v´alida para |u| 1.) d) La energ´ıa potencial almacenada en el segmento es igual al trabajo efectuado por la tensi´on de la cuerda F (que act´ua a lo largo de la cuerda) para estirar el segmento de su longitud no estirada ∆x a la longitud calculada en la parte (c). Calcule este trabajo, y demuestre que la energ´ıa potencial por unidad de longitud de la cuerda es: 2 ∂y(x, t) 1 Up (x, t) = F 2 ∂x a) Conociendo la ecuaci´on de la energ´ıa cin´etica y adem´as sabiendo que densidad lineal de masa µ = m/l, entonces:
La funci´on de onda y(x, t) para cualquier instante t se define teniendo en cuenta que el movimiento viaja en la direcci´on +x con rapidez v,entonces, se reemplaza x de la ecuaci´on (3), por x − vt , y se obtiene:
∆k = ∆x
1 2 2 ∆mvy ∆m µ
=
1 1 ∂y(x, t) µ vy2 = µ 2 2 ∂t
b) y(x, t) = A cos( kx − ωt)
0 , (x − vt) < −L h(L + x − vt)/L , −L < (x − vt) < 0 y(x, t) = h(L − x + vt)/L , 0 < (x − vt) < L 0 , (x − vt) > −L
, por tanto la velocidad de esta onda ser´a : (4)
∂y(x, t) = A ωsen(kx − ωt) ∂t
4
Luego remplazando en el resultado obtenido en la parte (a) tenemos que : Uk (x, t) =
1 µA2 ω 2 sen2 (kx − ωt) 2
c)
y t = 3π/4w.[Una P (x, t) positiva implica que la energ´ıa fluye en la direcci´on +x; un valor negativo de P (x, t) implica que la energ´ıa fluye en la direcci´on -x.]d) La energ´ıa cin´etica por unidad de longitud de la cuerda es m´axima donde la cuerda tiene la pendiente m´as empinada (porque ah´ı es donde la cuerda est´a mas estirada). (V´ease el problema de desaf´ıo 15.79.) Usando estas ideas, analice el flujo de energ´ıa a lo largo de la cuerda. Pmed =
1p µF ω 2 A2 2
(5)
y(x, t) = (AOE sen kx) sen ωt
(6)
a) Como la onda estacionaria es de la forma de la ecuaci´on 6, entonces : ∂y(x, t) = AOE k sen (ωt) cos(kx) ∂x y Fig. 1. figura 15.10
Dado que podemos despreciar la curvatura de la cuerda, entonces tendr´ıamos un tri´angulo rect´angulo con lados ∆x y (∆x) ∂y(x,t) agoras obtendremos: ∂t , entonces aplicando pit´ s L=
s
2 2 ∂y(x, t) ∂y(x, t) = ∆x 1 + ∂x ∂x 1 ∂y(x, t) = ∆x 1 + 2 ∂x
(∆x)2 + (∆x)2
, siendo L la longitud de la porci´on de cuerda no estirada. d) Como la energ´ıa es igual a la fuerza por el desplazamiento de la cuerda entonces : 2 1 ∂y(x,t) − ∆x ∆x 1 + 2 ∂x E=F ∆x
∂y(x, t) = AOE ω sen (kx) cos(ωt) ∂t , entonces P (x, t) ser´a: P (x, t) = −F A2OE kω sen (ωt) sen (kx) cos(kx) cos(ωt) P (x, t) = −F A2OE kω sen (2kx) sen (2ωt) b)Tenemos que : P (x, t) = −F A2OE kω sen (2kx) sen (2ωt) Por tanto: Pmed
1 = 2π
Z2π
−F A2OE kωsen(2kx) sen (2ωt) dt
0
1 = (−F A2OE kω)sen (2kx) 2π
Pmed
Z2π sen (2ωt)dt 0
Examinemos la integral: 1 = F 2 VIII.
∂y(x, t) ∂x
2
´ E JERCICIO 15.82. P OTENCIA INSTANT ANEA EN UNA ONDA ESTACIONARIA
Por la ecuaci´on (15.21), la rapidez instant´anea con que una onda transmite energ´ıa por una cuerda (potencia instant´anea) es ∂y(x, t) ∂y(x, t) P (x, t) = −F ∂x ∂t ,donde F es la tensi´on. a) Eval´ue P(x,t) para una onda estacionaria de la forma dada por la ecuaci´on (15.28). b) Demuestre que, para todos los valores de x la potencia media Pmed transportada por la onda estacionaria es cero.[La ecuaci´on(15.25)no es aplicable en este caso.¿Entiende por qu´e? ]c)Para una onda estacionaria dada por la ecuaci´on (15.28), dibuje una gr´afica que muestre P (x, t) y el desplazamiento y(x, t) en funci´on de x para t = 0,t = π/4w,t = π/2w
Z2π sen (2ωt)dt = −
1 2π [cos (2ωt)]0 = 0 2ω
0
De esta forma se puede ver que para cualquier valor de x la potencia media ser´a cero. c) Haciendo variar los valores de t de acuerdo a los dados en el enunciado obtenemos:
5
Fig. 2. t es 0
Fig. 3. t es π/4ω
Fig. 4. t es π/2ω
Fig. 5. t es 3π/4ω