Ondas elásticas en una barra

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Ondas el´asticas en una barra y en una columna de aire Steffanny Fernandez Chica schica@uninorte.edu.co Darwin Rafael Pico Ripoll dpico@uninorte.edu.co

I.

´ O NDAS EL ASTICAS EN UNA BARRA

Cuando tenemos una barra y ejercemos alguna pertubaci´on sobre uno de sus extremos, se crean ondas el´asticas que se propagan en ella. Analizando ciertos fen´omenos que ocurren en la barra asociados a la perturbaci´on que se hace y teniendo en cuenta algunas consideraciones, podemos describir las caracter´ısticas y la forma en que estas ondas se relacionan con las propiedades de la barra. Para hacer este an´alisis consideremos primero una barra de seccion transversal A, sometida a una fuerza F ejercida sobre su eje. Si tomamos una porci´on de barra, entonces tendremos que sobre e´ sta se ejercen dos fuerzas que van sobre su eje, una que es la tensi´on ejercida por la parte de la barra que est´e a la derecha de nuestra porci´on, y la otra fuerza es la tensi´on ejercida por la parte que e´ ste a la izquierda, ambas fuerzas son de igual magnitud y sentidos opuestos.

El esfuerzo normal o tensi´on δ sobre una porci´on de la barra se define como la fuerza por unidad de a´ rea que est´a ejercida perpedicularmente a la secci´on transversal de barra en ambos sentidos. Por tanto: F (1) A Cuando se ejercen estas fuerzas, cada porci´on de la barra experimenta un desplazamiento ξ . Si este desplazamiento es el mismo en cada punto, entonces no habr´a deformaci´on, pero si e´ ste cambia de un punto a otro, entonces ´ la deformaci´on ξ sera una funcion de x. Este u´ ltimo es el caso que nos interesa para hacer nuestro an´alisis.

Considerando dos secciones de la barra A y A’, como se ilustra en la figura I,separadas por una distancia dx, δ=

Fig. 1. secci´on transversal de barra

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cuando se ejerzan las fuerzas, la secci´on A se desplazar´a a la izquierda ξ y la secci´on A’ se desplazar´a a la derecha ξ ’. Entonces la separaci´on entre dichas secciones ser´a: dx + (ξ − ξ 0 ) = dx + dξ

,donde dξ = (ξ − ξ 0 ) Por tanto si ∈ es la deformaci´on unitaria normal, es decir, la deformaci´on por unidad de longitud a lo largo del eje de la barra, entonces ∈= dξ/dx (2) , puesto que dξ es la deformaci´on para la longitud dx. Entre el esfuerzo normal δ y la deformaci´on unitaria ∈ de la barra existe una relaci´on, llamada ley de hooke que enuncia lo siguiente: ’dentro del l´ımite de elasticidad del material, el esfuerzo es proporcional a la deformaci´on unitaria normal’. es decir, δ=Y ∈

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,donde Y , la constante de proporcionalidad, es el m´odulo de elasticidad de Young.

La ley de Hooke sirve para hacer aproximaciones de estas ondas el´asticas, sin embargo, falla cuando las deformaciones son muy grandes y las tensiones tambi´en. De las ecuaciones 1, 3, 2, despejando F podemos establecer la siguiente relaci´on: dξ (4) F =YA dx Si tenemos una barra o alambre en equilibrio con un extremo fijo y se le aplica una fuerza F en el extremo libre, entonces la fuerza sobre cada porci´on debe ser la misma e igual a la fuerza F. Entonces si hallamos dξ de la ecuaci´on 4, integrando y teniendo a F como constante obtenemos: Zξ 0

F dξ = YA

Zx

dx

o

ξ=

F x.

YA

0

La deformaci´on en el extremo libre de la barra, se obtiene haciendo x = l, donde l es la longitud de la barra, para este caso tenemos l = F L/Y A. Con esta relaci´on podemos medir de una forma experimental el m´odulo de Young.

Pero cuando la barra no est´a en equilibrio la fuerza no es la misma en cada porci´on de e´ sta. Si tenemos una secci´on de barra como dela de la figura I, que es de espesor dx, la cara A de la secci´on est´a sometida a una fuerza F que tira a la izquierda, ejercida por la parte de la barra que esta del lado izquierdo, y la cara A’ est´a sometida a una fuerza F’, que tira hacia la derecha y es ejercida por la parte a la derecha de la secci´on. La fuerza neta sobre la porci´on ser´a F 0 − F = dF = δf δx dx hacia la derecha. Si consideramos ρ, como la densidad lineal de masa de la barra, entonces la masa de la secci´on es dm = ρAdx, y su aceleraci´on ser´a ∂ 2 ξ/∂t2 . Al aplicar ley de Newton, Fuerza = masa x aceleraci´on, entonces obtendremos: δF δF ∂2ξ dx = (ρAdx) o = ρA 2 (5) δx δx ∂t Como se puede ver en la ecuaci´on en este problema existen dos campos, uno que es el desplazamiento ξ de cada porci´on de barra, donde ξ es una funci´on de la posici´on y el tiempo, y el otro campo es la fuerza F que act´ua sobre cada secci´on, siendo F , tambi´en una funci´on de la posici´on y del tiempo. La relaci´on entre estos campos est´a establecida por las ecuaciones 4 y 5, que se pueden denominar ecuaciones del campo el´astico de la barra deformada y que son equivalentes, matem´aticamente, a las ecuaciones de Maxwell para el electromagnetismo. Si tomamos la derivada de la ecuaci´on 4 con respecto a x obtenemos: ∂F ∂2ξ = YA 2 ∂x ∂x Sustituyendo este resultado en la ecuaci´on 5 tenemos: ∂2ξ Y ∂2ξ = ∂t2 ρ ∂x2

(6)

(7)

3

Se puede verificar que el campo de fuerzas F satisface una ecuaci´on similar, es decir: Y ∂2F ∂2F = ∂t2 ρ ∂x2

indicando que el campo de fuerzas se propaga a lo largo de la barra con la misma velocidad que lo hace el campo de desplazamientos.

II.

´ O NDAS EL ASTICAS EN UNA COLUMNA DE AIRE

Las ondas el´asticas que se propagan en un gas se deben a las variaciones de presi´on. Uno de los ejemplos m´as importantes de este tipo de ondas es el sonido. Para simplificar, se considerar´a que las ondas se propagan en el aire encerrado en un tubo cil´ındrico. Hay una diferencia importante entre las ondas el´asticas que se propagan a trav´es del aire y las que se propagan a trav´es de la barra. El aire es gas, y como tal, es compresible, por tanto la densidad de este va a estar sujeta a las variaciones de presi´on. Sean ρ0 y p0 la densidad y presi´on del gas en condiciones de equilibrio. En estas condiciones ρ0 y p0 , tienen el mismo valor para cualquier volumen de aire que tomemos, es decir, son independientes de x. En cambio, si se modifica la presi´on del gas, entonces habr´a una fuerza no nula que desplazar´a a un elemento de volumen Adx. En consecuencia la secci´on A se desplaza ξ , y la secci´on A’ se desplaza ξ ’ de modo que el espesor, despu´es de la deformaci´on, de este volumen ser´a dx + (ξ − ξ 0 ) = dx + dξ .

Fig. 2. columna de aire

Hasta este punto, hemos llegado pr´acticamente a la misma situaci´on de la barra. Sin embargo, debido al cambio de volumen, la densidad varia, puesto que el aire es m´as compresible. La masa del volumen de la secci´on en equilibrio es ρ0 Adx y la masa del volumen perturbado es ρA(dx + dξ), donde ρ es la densidad del aire perturbado.

El principio de conservaci´on de la masa requiere que dichas masas sean iguales, es decir: