Cours de vibrations by Side Ben

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Vibrations des structures et des systèmes mécaniques

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GÉNÉRALITÉS: .......................................................................................................................................................................................5 0.1 INTRODUCTION .....................................................................................................................................................................................5 0.1.1 Définitions: ..................................................................................................................................................................................5 0.1.2 Remarques: ..................................................................................................................................................................................6 0.1.3 Intensité des signaux ...................................................................................................................................................................6 0.1.4 Qu'est ce que la vibration mécanique? ......................................................................................................................................7

SYSTÈME À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ .............................................................................................................................................9 1.1 PRÉSENTATION .....................................................................................................................................................................................9 1.2 RÉGIME LIBRE .....................................................................................................................................................................................10 1.2.1 Etude du régime libre non dissipatif: .......................................................................................................................................10 1.2.2 Etude du régime libre dissipatif: ..............................................................................................................................................12 1.2.3 Amortissement optimal pour une réponse rapide: ..................................................................................................................16 1.2.4 Cas du frottement sec ................................................................................................................................................................18 1.3 RÉGIME FORCÉ....................................................................................................................................................................................21 1.3.1 Régime forcé harmonique:........................................................................................................................................................21 1.3.2 Régime forcé périodique:..........................................................................................................................................................28 1.3.3 Séries de fourier de quelques fonctions: ..................................................................................................................................30 1.4 LA FONCTION "CRÉNEAU" SYMÉTRIQUE: ..........................................................................................................................................31 1.5 MODÉLISATION: .................................................................................................................................................................................32 1.5.1 Ressorts ......................................................................................................................................................................................32 1.5.2 Systèmes amortissants ...............................................................................................................................................................34 1.5.3 Ressorts en parallèle .................................................................................................................................................................35 1.5.4 Ressorts en série ........................................................................................................................................................................35 1.5.5 Amortisseurs en parallèle .........................................................................................................................................................36 1.5.6 Amortisseurs en série ................................................................................................................................................................36 1.5.7 Exemple de modélisation ..........................................................................................................................................................37 1.5.8 Analogie électrique-mécanique :..............................................................................................................................................37

- SYSTÈMES À PLUSIEURS DDL......................................................................................................................................................38 2.1 GÉNÉRALITÉS .....................................................................................................................................................................................38 2.2 SYSTÈME À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ:.............................................................................................................................................38 2.2.1 Système canonique: ...................................................................................................................................................................39 2.3 DÉTERMINATION DE [M], [C] ET [K] ................................................................................................................................................40 2.3.1 Méthode des énergies:...............................................................................................................................................................40 2.3.2 Méthode de Lagrange : .............................................................................................................................................................41 2.4 FRÉQUENCES PROPRES - MODES PROPRES .........................................................................................................................................41 2.4.1 Orthogonalité des modes propres ............................................................................................................................................42 2.4.2 Norme des modes propres.........................................................................................................................................................42 2.4.3 Méthodes de détermination des fréquences et modes propres : Quotient de Rayleigh.........................................................43 2.4.4 Base des modes propres ............................................................................................................................................................44 2.4.5 Systèmes à mobilités - modes rigides :.....................................................................................................................................44 2.5 COORDONNÉES MODALES ..................................................................................................................................................................45 2.5.1 Système canonique à deux degrés de libertés..........................................................................................................................45 2.5.2 Réécriture des matrices dans la base des vi: ...........................................................................................................................46 2.6 RÉPONSE HARMONIQUE .....................................................................................................................................................................46 2.6.1 Système canonique.....................................................................................................................................................................47 2.6.2 Cas d'un système encastré encastré : .......................................................................................................................................48 2.6.3 Cas encastré libre à 2DDL: ......................................................................................................................................................50 2.6.4 Cas encastré libre à 8 DDL:.....................................................................................................................................................51 2.6.5 Influence de l'amortissement visqueux.....................................................................................................................................53 2.7 RÉPONSE SPECTRALE : .......................................................................................................................................................................53 2.8 MODÉLISATIONS DE L'AMORTISSEMENT ...........................................................................................................................................54 2.8.1 Hypothèse de Basile-Modèle de Rayleigh................................................................................................................................54 2.8.2 Amortissement de Caughey.......................................................................................................................................................56 2.8.3 Amortissement modal ................................................................................................................................................................56 2.8.4 Cas général ................................................................................................................................................................................57 2.8.5 Modèles d'amortissements disponibles dans ANSYS...............................................................................................................57 2.8.6 Absorbeur de vibrations dynamique-"Amortisseur de Frahm"..............................................................................................58

MODÈLES ÉLÉMENTS FINIS : .........................................................................................................................................................60 3.1

INTRODUCTION:..................................................................................................................................................................................60

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3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 4

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CONSTRUCTION DE LA MATRICE DE RAIDEUR ...................................................................................................................................60 ASSEMBLAGE DE RAIDEURS ...............................................................................................................................................................65 CONSTRUCTION DE LA MATRICE DE MASSE.......................................................................................................................................66 RÉSOLUTION DU SYSTÈME DYNAMIQUE ............................................................................................................................................67 MÉTHODOLOGIE .................................................................................................................................................................................67

SYSTÈMES CONTINUS .......................................................................................................................................................................69 4.1.1 Equations d’équilibre indéfini:.................................................................................................................................................69 4.1.2 Conditions aux limites: .............................................................................................................................................................70 4.2 THÉORIE DES CORDES VIBRANTES .....................................................................................................................................................70 4.2.1 Hypothèses :...............................................................................................................................................................................70 4.2.2 Mise en equation........................................................................................................................................................................70 4.3 VIBRATIONS LONGITUDINALES (TRACTION - COMPRESSION)...........................................................................................................71 4.4 VIBRATIONS LONGITUDINALES (TORSION) .......................................................................................................................................73 4.5 VIBRATIONS DE FLEXION DES POUTRES DROITES ..............................................................................................................................75

MAINTENANCE ET VIBRATIONS...................................................................................................................................................80 5.1 5.2

CAPTEURS ...........................................................................................................................................................................................80 UTILISATION EN MAINTENANCE: .......................................................................................................................................................80

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Sources documentaires Documents techniques en mesure vibratoire : Bruel & Kjaer http://www.bkhome.com Kistler http://www.kistler.com/web OROS http://www.oros-signal.com/FR/products/solutions/im.php Logiciels : Guide des logiciels pour la productique : http://www.cxp.fr/cxp/ ANSYS http://www.ansys.com/ COSMOS http://www.cosmosm.com/ CODE ASTER http://www.code-aster.org/ Ouvrages : Geradin & Rixen Théorie des vibrations : application à la dynamique des structures 1996 ed. MASSON Lalanne Vibrations et chocs mécaniques Les 6 tomes Ed. HERMES DEL PEDRO Michel & PAHUD Pierre MECANIQUE VIBRATOIRE - Systèmes discrets linéaires PPUR, 1992

Liens HTML : Généralistes : http://www.librecours.org/ http://www.vibrationdata.com/ http://saviac.usae.bah.com/ http://monet.physik.unibas.ch/~elmer/pendulum/lroom.htm http://analyst.gsfc.nasa.gov/ http://www.enpc.fr/fr/formations/ecole_virt/cours/pecker/ Documents de cours : http://isabtp.univ-pau.fr/~maron/mecanique/ch7.htm#ch7-122 http://www.svdinc.com/main/Classroom/classroom.html http://online.physics.uiuc.edu/courses/phys199pom/ Musique : http://www.speech.kth.se/music/acviguit4/index.html AnalyseTemps/ Fréquence : http://www.visualizationsoftware.com/gram.html Cas des chocs élastiques (Etude d’une batte de baseball): http://www.vibrationdata.com/Newsletters/December2001_NL.pdf Etude du chaos : http://ebb83.free.fr/systeme.htm http://perso.wanadoo.fr/jeep/chaos.html http://www-chaos.engr.utk.edu/faq-Contents.html

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0 Généralités: 0.1

Introduction

Quel sont les domaines des vibrations? Toutes les branches de la physique en général: La mécanique L'électricité L'optique L'acoustique ... Dans le domaine linéaire, toutes ces branches traitent les mêmes équations de propagations d'ondes, donc de vibrations. Ce qui nous permet d'effectuer des analogies entre elles. C'est à dire qu'un système masse ressort - amortisseur en mécanique est assimilable à un système R L C en électricité par exemple.

0.1.1Définitions: Pour plus de clarté, il est utile de se reporter à la figure ci après. -D1- Fréquence: F, est exprimée en Hertz, (Hz). 1 Hz = 1s-1. -D2- Période: T exprimée en seconde s, la période est le laps de temps nécessaire à l'onde pour retrouver une configuration. -D3- La pulsation: !. Exprimée en radians par seconde (rad s-1) -D4- Amplitude: A. Sa dimension est celle du paramètre choisi. -D5-: Déphasage: " . Il est exprimé en rad.

& $ % $ #

Ce sont des constantes, paramètres du signal sinusoïdal

-D6- Fréquence propre : Il s'agit des fréquences auxquelles le système peut vibrer seul, sans forces entretenant le mouvement (cas sans amortissement). -D7-Déformée modale : Il correspond à la forme de vibration associée à une fréquence propre donnée.

x(t) A t -A !

T Figure 1 signal harmonique

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x(t)=A Sin(! t-")

Equation du signal ci dessus:

0.1.2Remarques: -R1- Les fréquences propres et les déformées modales forment des couples indissociables. -R2- On rappelle la relation entre période pulsation et fréquence: F (Hz)=

1 ! *rad/s -1 ) = =s =Hz,+ T 2 ' (rad

0.1.3Intensité des signaux 0.1.3.1 Niveaux RMS (Root Mean Square) La valeur moyenne d'un signal sinusoïdal centré est nulle. Il existe un moyen intéressant pour rendre compte de l'intensité d'un signal, c'est la mesure de son efficacité: Si x(t) est le signal, alors XRMS est sa valeur efficace et

1T / T .x!(t) dt 0

Xrsm = Si x(t) = A Sin(! t - "), alors on trouve aisément : XRMS =

0.1.3.2

A 2

Logarithmes et décibels

Lorsqu'on veut rendre compte simultanément de deux grandeurs d'intensités très différentes, le logarithme s'impose. En particulier dans les domaines perceptifs où les échelles peuvent être très grandes (1015 en visuel et 1012 en auditif). On prend alors une grandeur référence et on compare les grandeurs mesurées à cette dernière. On utilise alors le Bel: *XLXBel = Log10)X , (

où X0 est la grandeur de référence.

On note l'intensité LxBel avec L en préfixe pour Level. La fonction la plus usitée est le décibel (dB): *XLXdécibel = LXdB= 10 Log10)X , (

Propriétés du décibel: - Lorsqu'on multiplie par deux un signal X, on ajoute1 3 dB à la valeur XdB - Un rapport de 10 donnera 10 dB et un rapport de 106 donnera 60 dB ! - Les niveaux de référence sont: - En accélération: 00=1 µm/s!=10-6 m/s! - En vitesse: V0 = 1 nm/s =10-9 m/s - En déplacement: X0 = 1µm = 10-3 mm

10 Log10(2)13,0103

Cours de mécanique vibratoire de POLYTECH’SAVOIE Site d’Annecy. Auteur : Serge SAMPER Page 7/80 En accoustique, on définit le décibel accoustique dBa tel qui est le rapport entre la valeur de la puissance du signal accoustique et la valeur de référence W0 = 10-12 Watt/m! à 1000 Hz qui est le seuil absolu d'audibilité d'un signal.

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Remarque: En présence de vibrations aléatoires, ce sont les énergies vibratoires qui s’ajoutent. On n'a pas pour autant le droit d'additionner leurs niveaux en dB ! En effet, le logarithme d'une somme n'est pas égal à la somme des logarithmes (qui correspond au logarithme du produit !). Soient les vibrations x1 et x2. En termes de niveaux *X1*X2énergétiques, on a: LX1dB= 10 Log10) , et LX2dB= 10 Log10) , (X0+ (X0+ En termes d'énergie, on élève au carré les signaux (X1=x1!), donc la somme vaut : X1+2 = x1! + x2! *X1!+X2!En décibels l'énergie somme vaut : LX1+2 dB =10 Log10) , ( X0! +

0.1.4Qu'est ce que la vibration mécanique? Il s'agit de l'étude du comportement dynamique des corps. Cette définition peut se scinder en deux sous parties: -1- l'étude des vibrations libres: soit un mouvement oscillatoire non entretenu (pendule, circuit résonnant,...). -2- les vibrations forcées: soit un système soumis à des sollicitations extérieures. On peut en définir deux catégories : -2.1- Le régime transitoire: le système est soumis à des sollicitations extérieures et répond. On cherche alors à savoir quelle est sa réponse avant stabilisation (s'il y a lieu). -2.2- Le régime permanent: le système est soumis à des sollicitations extérieures périodiques et l'on cherche à savoir quel est son comportement une fois dépassé le stade du régime transitoire. Principe d'analyse On exploite les grands principes de la physique: -1- Principe de la conservation de l'énergie (s'il y a de l'amortissement, il faut isoler différemment) -2- Principe de la conservation de la masse. Le principe "1", nous permet de mettre en, place une équation de bilan énergétique où rentre en compte l'énergie potentielle du système, l'énergie cinétique et s'il y a de l'amortissement, l'énergie dissipée (en chaleur par exemple). On se sert le plus souvent de la transformation d'énergie cinétique en énergie potentielle et vice versa (cas du pendule). Notre objectif est de mettre en place une équation différentielle qui nous permettra de déterminer le comportement dynamique du système. C'est à dire ses fréquences de résonance, et ses réponses à des sollicitations périodiques, par exemple. $4Caractéristiques physiques du système Cette équation différentielle dépendra des 3Conditions Initiales $2Sollicitations Extérieures éventuelles Déroulement du cours : Système à un degré de liberté: Nous allons étudier un système simple ou modélisé comme tel. Le système le plus simple que l'on puisse étudier est un système qui ne dépend que d'un paramètre, on l'appelle aussi système à un degré de liberté.

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Prenons pour exemple un système Masse - Ressort - Amortisseur, ce système est l'Oscillateur élémentaire linéaire de la mécanique : A R m

est un amortisseur &$ représente un ressort % caractéristiques représente une masse#$

x(t)

est le paramètre du système

f(t)

est la fonction sollicitations extérieures.

Figure 2 modèle 1 ddl Systèmes à plusieurs degrés de libertés: Les systèmes à un seul degré de liberté ne sont souvent pas suffisants pour exprimer avec suffisamment de richesse les phénomènes vibratoires. On est alors conduit à modéliser des systèmes avec plusieurs degrés de liberté. Donc, on met "bout à bout", des systèmes à un degré de liberté comme celui indiqué ci dessus. Soit le système à n degrés de liberté suivant:

Figure 3 modèle n ddl On construira alors des relations matricielles qui remplaceront les relations scalaires. Systèmes continus: Enfin, nous essaierons, lorsque ce sera possible de décrire le comportement du système réel par des équations dites des milieux continus, qui nous permettent dans quelques cas particuliers d'obtenir des solutions analytiques à des problèmes dynamiques.

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1 Système à Un Degré De Liberté 1.1

Présentation c est la constante d'amortissement de A&$ k représente la raideur de R % caractéristiques $# m représente une masse x(t) est le paramètre du système (x=0 à l'équilibre) Figure 4 modèle 1 ddl fe (t)=f(t) est la fonction sollicitations extérieures. On prend pour paramètre "x(t)" du système, la position de la masse par rapport à repère R0 fixe.

Remarques . -R1- x(t) est la vitesse de la masse par rapport à R0. .. -R2- x (t) est l'accélération de la masse par rapport à R0. . -R3- La force de freinage (dissipée) est considérée comme proportionnelle à x(t) et de sens opposé au mouvement. Le coefficient de proportionnalité est une constante que 5l'on nomme constante 5 . -1 d'amortissement visqueux et que l'on note "c", son unité est le N m s. Force fc = - c x (t) 6c -R4- Cet amortisseur est modélisé comme n'ayant ni masse ni raideur et = 0 6t -R5- Le ressort en se comprimant, oppose une force (supposée) proportionnelle au déplacement x(t). Le coefficient de proportionnalité se nomme raideur du ressort et se note k. Son unité est le N m-1. 5 Force fk = - k 5 x (t) 6k -R6- Le ressort est modélisé comme n'ayant pas de masse ni d'amortissement et =0 6t -R7- Pour déplacer la masse sous l'action d'une vitesse non constante (cas d'un mouvement accéléré ou décéléré ou périodique) il faut exercer une force proportionnelle au produit de la masse par l'accélération qu'elle subit. Ce principe bien connu de tous est l'expression du principe fondamental de la dynamique. 6m -R8- La masse est sans raideur et sans amortissement et =0 6t Nous allons donc étudier l'équilibre de ce système5 au point 5M. On a l’équation d’équilibre dynamique (P.F.D.) S F = m G , soit : .. . .. . 5 5 5 5 fk + fc + fe = m 0 7 m x = -cx - k x + fe 7 m x +cx + k x = fe Il s’agit bien d’une équation différentielle du second ordre, linéaire et à coefficients constants (on sait faire...). Nous pouvons alors traiter deux configurations principales:

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-A- f(t)=0 : Le REGIME LIBRE (équation sans second membre). -B- f(t) 8 0 REGIME FORCE: B-1 : on s’intéresse aux phénomènes transitoires qui interviennent au début du mouvement : on analyse ces phénomènes fortement dépendants des Conditions Initiales. B-2 : on ne s’occupe que des phénomènes permanents les phénomènes transitoires ont disparus, on n’a plus d’influence des C.I. seuls comptent la forme de l’excitation f(t) et les caractéristiques de la structure. B-2-a: f(t) est harmonique (fonction sinusoïdale, on sait faire...). B-2-b: f(t) n’est pas harmonique (on la transformera en fonction harmonique par les séries de Fourier). Autres écritures de l’équation dynamique: L’équation que nous avons écrite plus haut est une équation d’équilibre en efforts. Nous pouvons l’écrire en déplacements, en vitesse ou en accélérations le plus souvent en fonction du type de sollicitation extérieure (pour un accéléromètre, l’excitation extérieure est une accélération, bien entendu). Ecriture en déplacement: m .. c . 1 x(t) + x (t) + x(t) = xe(t) = f(t) k k k Dimension = déplacement De même écriture en vitesse: . m .. k 1 x(t) +x (t) + x(t) = ve(t) = f(t) c c c Dimension = Vitesse De même écriture en accélération: .. c. k 1 x(t) + x (t) + x(t) = 9e(t) = f(t) m m m Dimension = Accélération 1.2

Régime libre

1.2.1Etude du régime libre non dissipatif: Ici, le système est tel qu’il n’y a pas de forces extérieures:

c=0

x(t)

fe(t) = 0

L’équation dynamique à résoudre devient: .. mx+kx=0 Le polynôme caractéristique est : m r! + k = 0, la solution est r1= j

k et r2= - j m

k m

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k : !0 = m

On note !!0 = et f0 =

!0 1 = 2' 2p

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k la pulsation propre m k la fréquence propre m

Donc x est de la forme : x(t) = C1 ej !0 t + C2 e-j !0 t ' = A Cos(!0 t) + B Sin(!0 t) = A Cos(!0 t) + B Cos(!0 t- ) 2 .

x(t) .. x(t)

x(t) = X Cos(!0 t-") = X !0 Cos(!0 t-" + '/2)= - X !0 sin(!0 t-") = X !0! Cos(!0 t-" + ')= - X !0! Cos(!0 t-")

X = A!+B! et Avec B tg(") = A

1.2.1.1

Définitions :

! 0 est la pulsation propre du système conservatif: elle est exprimée en rad/s ou en s-1 X est l’amplitude du mouvement " est le déphasage de x(t). 1 On note f0 = ! la fréquence propre du système conservatif exprimée en Hz ou s-1 2' 0 1 2' et T0 = = la période associée ( en s). f0 !0 .

Nous pouvons voir dans la figure ci dessous, la représentation en vecteurs tournants de x(t), x(t) et x(t)

"0X

!0t

x(t)

Représentation de x(t)

!/2

x(t)

"0 t-# x(t)

"0?X

Représentation de x(t), x(t) et x(t) Figure 5 vecteurs tournants

. ' ' par rapport à x(t) et l’accélération est déphasée de par rapport x(t). Nous pouvons 2 2 . .. voir dans la figure ci dessous, la représentation de x(t), x(t) et x(t) par rapport au temps.

La vitesse est déphasée de

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..x(t)

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x(t) x(t)

Figure 6 Déplacement, vitesse et accélération. Ces trois grandeurs sont toujours en quadrature de phase de l'une à sa dérivée. En ce qui concerne les valeurs de ces fonctions, il est à noter que les fréquences jouent un rôle très important dans leurs évolutions. = X Cos(!0 t-") 4$x(t) 4$x. MAX = X . 3x.. = X !0 Cos(!0 t-" + '/2) : 3x.. MAX = XMAX 2 ' f0 $2x MAX = VMAX 2 ' f0= XMAX 4 '! f0! $2x = X !0! Cos(!0 t-" + ') Le tableau ci-dessous illustre ces rapports: Fréquence (Hz) 1 10 Déplacement (µm) Vitesse (mm/s) 0,06 Accélération (m/s!) 0,0004

10 10 0,6 0,04

100 10 6 4

1000 10 60 400

On comprend alors qu'à basse fréquence, les déplacements sont plus faciles à lire et qu'à haute fréquence1 les accélérations2 sont plus faciles à lire. On peut utiliser le calcul ou des abaques pour convertir les amplitudes des signaux "déplacement-vitesse-accélération" en fonction de la fréquence.

1.2.1.2

Conditions initiales:

On n’a que deux conditions . initiales à définir car il n’y a que deux inconnues: X et ". Lâcher initial: x(0)=X0 et x(0)=V0 Soit

4tg(") = ! X X 3X = Cos(") 29 =- ! !X V0

cos(") = X0 4$x(0)=X . X !0 Sin(") =V0 : 3x(0)= .. $2x(0)=-X !0! Cos(-") =90

1.2.2Etude du régime libre dissipatif: 1 2

Reste à définir ce qu'est une haute ou une basse fréquence pour le dispositif donné. De plus les céléromètres et accéléromètres ne nécessitent pas de définir une référence (cas des capteurs de déplacements)

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c k

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L’équation dynamique à résoudre devient: .. . mx+cx+kx=0

m x(t)

On peut écrire l’équation sous la forme suivante: ..

.. . c . k x + x = 0 7 x + 2 ; x +!0! x = 0 m m

L’équation caractéristique s’écrit: m r! + c r + k = 0 7 r! + 2 ; r + !0! = 0 <= c!- 4 m k ou encore <’= ;! - !0! d’où

avec

4r1 = -; + ;! - !0! 3 2 r2 = -; - ;! - !0! x(t) = A er1t + B er2t

1.2.2.1

Définition:

c est appelé coefficient d’amortissement. 2m Sa dimension est la s-1 ; c == = est appelé amortissement relatif il s’agit d’un terme sans dimension. !0 2 k m !1! = |;!-!0!| = !0 |=!-1| est la pulsation propre du système amorti. ;=

Discussion: " <‘>0 7 ;! > !0! 7 = > 1 : cas d’amortissement surcritique # <‘=0 7 ;! = !0! 7 = = 1 : cas d’amortissement critique $ <‘<0 7 ;! < !0! 7 = < 1 : cas d’amortissement sous critique Nous allons traiter les trois cas ci dessous:

1.2.2.2

Amortissement surcritique

<‘>0 ;! > !0! 7 = > 1 $4r1 = -; + !1 3 donc x(t) = e>;t(A e!1t + B e-!1t) 2$. r2 = -; - !1 et x(t) = - e>;t((;-!1)A e!1t + (;+!1) B e-!1t)

!1 est une pulsation seulement dans le cas $ (régime sous critique)

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Conditions initiales: x(0)=X 0 . et x(0)=V0 Soit 1 4 A = $ 2 !1 (X0(;+!1)+V0) $4X0 =A + B 3 73 -1 2$V0 = -(;-!1)A-(;+!1)B $2 B = 2 !1 (X0(;-!1)+V0) ; X0+V0 * D’où x(t)=e-;t)X0 ch(!1t) + sh(!1), !1 ( +

Rappel ch x =

ex + e-x ex - e-x et sh x = 2 2

Remarque: Le signal est apériodique, on ne voit aucune ondulation. Ce qui est logique car x(t) ne contient que des fonctions exponentielles à coefficients réels (<>0)

1.2.2.3

Amortissement critique

<‘=0 ;! = !0! 7 = = 1 r1 = r2 = -; = - !0 donc x(t) = u(t) e>! 0t On va calculer u(t): .

x(t) = e>!0t(u(t)-!0 u(t)) et x(t) = e..>!0t(u(t). - 2!0 u(t)+ !0! u(t)) Or l’équation ..dynamique s’écrit: x + 2 ; x + !0! x =0 On en déduit u(t)=0 : u(t)=A + B t Donc la solution générale de l’équation s’écrit: x(t)= (A + B t) e-w0t Conditions initiales: x(0)=X 0 . x(0)=V0 Soit

D’où

$4X0 =A 3 2$B= !0 X0

+V0

-!0t x(t)=e (X0+(X0 !0 + V0)t) . -!0t x(t)=e (v0-!0 (X0 !0 + V0)t)

Remarque: Le signal est apériodique pour les mêmes raisons que dans le cas précédent. Ce cas particulier (critique) est la limite du cas précédent.

1.2.2.4

Amortissement sous critique

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<‘<0 ;! < !0! 7 = < 1 4$r1 = -; + j !1 avec 3 2$r2 = -; - j !1 on. en déduit x(t) = e>;t(A cos(!1t) + B sin(!1t)) et x(t) = e>;t((!1B-;A)cos(!1t) - (!1A+;B)sin(!1t)) Conditions initiales: x(0)=X 0 . x(0)=V0

Soit

4$X0 =A 3 ; X0 +V0 $2B= !1

4$X= X0!+*); X0 +V0-,2 4$X= A!+B! ( !1 + 3 B :3 tg"= ; X +V 2$ A $2tg"= !10X0 0 D’où x(t)= X e-ltcos(w1 t- j) Remarques: " Le signal est pseudo - périodique, on voit une ondulation dont la pseudo période est constante et dont l’amplitude décroît avec le temps. En effet, x(t) contient des produits de fonctions exponentielles à coefficients réels et complexes # L’amplitude varie exponentiellement (décroissante bien sûr) avec le temps. C’est à dire que le logarithme rapport entre deux battements successifs est constant (d’où l’expression de l’amortissement en décibels). $ L’amortissement diminue considérablement l’amplitude des pulsations mais « touche peu » aux fréquences. 2p La pseudo période a pour valeur: T1 = w1 !1 !0 La fréquence correspondante est : f1= = 1-=! = f0 1-=! 2' 2' La remarque 2 nous amène à calculer ce coefficient logarithmique de décroissance que nous appellerons décrément logarithmique et que nous noterons ?. ?=

d’où

X e-;t cos(!1 t+ ") - 1 1 * x(t) - 1 * , = ln(e n;T1) ln) , = ln) -;(t+nT1) n (x(t+n T1)+ n ( X e cos(!1 t + n !1T1+ ")+ n L = l T1 =

Evolutions de e? et f1 :

2ph x(t) et = eL x(t+T ) 1 1-h!

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f1 1 f0

0.8

0.6

0.4

0.2

1 0.00001 0.0001

0.2

Evolution de

0.4

0.6

0.8

Evolution de

0.001

0.01

0.1

x(t) en fonction de = x(t+T1)

f1 en fonction de = f0 15

v(t)

x(t)

V0 5

x(t)

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-5

-10

Amortissement surcritique (vitesse et déplacement) -15

Amortissement sous critique (vecteur tournant) x(t)

x(t)

T1 -! t

-! t

-X e

Amortissement sous critique : x(t) Amortissement surcritique (déplacement pour plusieurs vitesses initiales) Figures 7 régimes libres amortis

1.2.3Amortissement optimal pour une réponse rapide:

Cours de mécanique vibratoire de POLYTECH’SAVOIE Site d’Annecy. Auteur : Serge SAMPER Page 17/80 Nous voulons trouver la valeur de h qui donnera la plus petite valeur possible pour la réponse à un échelon (cf. automatique continue) ou un lâcher initial. Si nous prenons une petite valeur de =, on obtient alors : Mac Serge:Users:sergesamper:Documents:enseignement:MGM_755_Vibrations:cours:Cours de vibrations.doc

Ici, M=1 K=1 2 valeurs de = : ==0,2 ==0,4

Figure 8 réponse à un échelon Si nous prenons une grande valeur pour = : M=1 K=1 2 valeurs pour = : ==1 ==2

Figure 9 réponse à un échelon Il y a une valeur optimale de = qui minimise ce temps. Nous devons prendre un temps unique pour référence. Pour faciliter les calculs, nous prenons ce temps de référence égal à T0. Il est facile de montrer que si une courbe de réponse est inférieure à l'autre pour une valeur t1 de t, alors, elle l'est pour n'importe laquelle (décroissance exponentielle à un seul paramètre).

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0 1

temps 2 3 1 0.8 Valeur

0.6 0.4 0.2 0

amortissement L'amortissement optimal est celui qui minimise @réponse(T0). 6 @réponse (t=T0) = 0 : = = = optimal = 6=

1+16 '!-1 1 0.92 4'

1.2.4Cas du frottement sec Dans le cas du frottement sec, le modèle de Coullomb est le plus simple, le plus robuste, colle assez bien aux essais et donc le plus employé.

isq sv Ca

F +Fs

Cas sec

v Cas sec

Coullomb élastique Coullomb classique Kc raideur de contact

-Fs Figure 11 Diagramme force/déplacement et modèles de Coullomb.

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Figure 10 Diagramme force/vitesse Dans le diagramme 11, on peut voir les deux modèles de Coullomb. Le modèle classique exprime que les actions de contact sont indépendantes de la vitesse d'une part et de la raideur de contact. La force passe instantanément de +Fs à -Fs lorsque la vitesse change de signe. Ce modèle est pratique à la main mais pose des problèmes en simulation (discontinuité), le modèle Coullomb élastique permet de résoudre ces difficultés et aussi de mieux coller à la réalité. D'autre part, on peut prendre en compte la différence entre le coefficient d'adhérence fad et le coefficient de glissement fg qui bien souvent est plus petit1, rarement modélisés dans les codes de calculs généralistes. L'équation suivante représente le modèle Coullomb classique: Fsec(t)=-Fs Signe(Vitesse) Exemple d'analyse d'un système à 1 DDL en frottement sec: Dans la figure ci contre, le vérin symbolise le comportement d'un frottement sec. Le modèle utilisé ici sera le modèle de Coullomb classique. L'équation du mouvement. est alors: .. m x + k x = - Fs (signe x)

M Keq Fsec

Figure 12 La solution générale est xg(t)=xssm(t)+xp(t) Avec xssm(t)=Xssm Cos(!0t-"ssm)

Fs signe(x) xp(t)= k .

La loi de mouvement est : xg(t)= Xssm Cos(!0t-" ssm) .

Fs signe(x) k

On impose les conditions initiales x(0)=X0 et x(0)=0. . $4Xssm=X0+signe(x) Fs k On obtient alors 3 2$"ssm=0 D'où

. F . F * xg(t)=) Xssm+signe(x) ,Cos(! 0 t) - Signe(x ) ( k+ k

la solution du problème à la première demi

période. Ce signal est représenté dans la figure suivante:

Les effets de cette différence sont bien connus par les mécaniciens du contact, on parlera du stick-slip ou plus familièrement du broutage des systèmes adhérents (pneumatiques, freins, embrayages, …).

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t/T0 2 !

Fs "0 t - x0 k

Figure 13 régime libre en modèle Coullomb classique Le signal décroît de façon périodique en suivant une loi linéaire. En effet la période est conservée, elle vaut T0. 2 Fs Lorsqu'on observe le signal en accélération, on voit des sauts à chaque demi-période, ces sauts valent et m traduisent la discontinuité des équations. La figure suivante montre le résultat d'une simulation. 5.0E+02

!(t)

2 Fs m

4.0E+02

3.0E+02

2.0E+02

1.0E+02

0.0E+00 2.1E-02

1.2E-01

2.2E-01

3.2E-01

4.2E-01

5.2E-01

6.2E-01

7.2E-01

8.2E-01

-1.0E+02

-2.0E+02

-3.0E+02

-4.0E+02

-5.0E+02

!0=

k x0 m

Figure 14 Accélération en modèle Coullomb classique L'observation d'un signal permet de déduire les caractéristiques physiques du système mais aussi son type de comportement.

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1.3 Régime forcé Représentation:

f(t) x(t) ..

L’équation dynamique à résoudre devient: m x + c x + k x = F(t)

1.3.1Régime forcé harmonique: Réponse à une force extérieure de la forme: F(t)=F cos(At) Nous allons calculer la réponse x(t) à cette excitation:

1.3.1.1

Solution analytique:

x(t) est la somme de deux fonctions: une solution de l’équation sans second membre et une solution particulière de la forme du second membre. Soit x(t) = xssm(t) + xp(t) On connaît xssm(t) car on l’a calculé précédemment. Calculons xp(t): x. p(t) = Xp cos(At - "p) = A cosAt + B sinAt x.. p(t) = - A Xp sin(At - "p) = A (-A sinAt + B cosAt) xp(t) = - A! Xp cos(At - "p) = -A !(A cosAt + B sinAt )= -A! xp(t) ..

m xp + c xp + k xp = F cos(At) ñ xp + 2 ; xp + !0! xp =

Donc

7 (!0!-A!)(A cosAt + B sinAt) +2 ; A (-A sinAt + B cosAt) =

F cos(At) m

F cos(At) V - t m

F 4$ (!0!-A!)A +2 ; A B= m 7 3 2$(!0!-A!)B - 2 ; A A = 0 0!-A!) 4$A = m ((!F(! 0!-A!)!+4 ;!A!) d’où 3 F 2 ;A $2B = m ((!0!-A!)!+4 ;!A!) F 4$Xp = 4$Xp = A!+B! m (!0!-A!)!+4 ;!A! avec 3 B , on obtient 3 2 ;A $2tg("p) = A $2tg("p) = !0!-A!

On reprend les notations précédentes et on introduit les suivantes: B=

W Freq excitation = w0 f0

définit la pulsation (et la fréquence) relative de l’excitation.

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F Xs = k Xp µ= Xs

définit le déplacement statique1 définit le facteur d’amplification dynamique. m=

Les formules précédentes deviennent: Xp =

k Xs m

(!0!-A!)!+4 ;!A!

1 (1-b!)!+4 h!b!

= µ Xs

tgjp =

2 hb 1-b!

Ces deux paramètres caractérisent la réponse du système à l’excitation. La figure de la page suivante donne l’évolution de ces paramètres en fonction de la pulsation relative et de valeurs de l’amortissement relatif =. Remarques: " Point de départ des courbes2: B=A=0 : µ = 1 : X = Xs #

2 Il existe un maximum3 pour µ(B) pour chaque valeur de = si = < , ce maximum vaut : 2 µMAXI =

1 2=

1-=!

pour A = !2 = !0

1-2=!

!0 La fréquence de résonnance vaut alors f2= 1-2=! = f0 1-2=! 2' 1 $ Quand B 5 +C , µ 5 0 en fait µ 5 donc, on observe une décroissance de 6 décibels4 par octave5. La B! figure 19 illustre celle-ci 1 2h On peut noter que pour des valeurs de = « faibles », on a B(µ0) 1 B(µ MAXI) , c’est à dire que l’amortissement est peu influent sur les fréquences. & Quand A << !0 on a le système qui vibre quasiment en phase avec l’excitation ("10) ' Quand A >> !0 on a le système qui vibre quasiment en antiphase avec l’excitation (" 1 ') et µ 5 0(6) % Si B = 1 alors A = !0 et m = m0 =

En fait il suffit que la vitesse et l’accélération soient « faibles"

F F En effet si on considère que le mouvement x(t) est quasi statique on a comme solution x(t)= cos(At) => X= k k

Ce maximum s’obtient pour

dµ d = 0 ou ((1-B!)!+4=!B!)=0 d’où B(-1+B!+2=!)=0 dB dB

Deux solutions: B=0 et B= 1-2=! soit !2=!0 4 5 6

1-2=!

*1En effet, 10 Log10) , = -6 (4+ Intervalle entre deux fréquences, dont l'une est double de de l'autre.

Attention, à la tentation de travailler à haute fréquence pour diminuer l’amplitude de la réponse car dans la réalité, un système à un degré de liberté n’existe pas e, comme nous le verrons plus loin, un système possède autant de résonances que de degrés de liberté!

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( Quand A = !0 on a le système qui vibre en quadrature de phase avec l’excitation " = )- Si =>

p 2

2 alors il n’y a plus résonance. 2

100

"=0 Lieu des maxima

"=0,2 "=0,5 "=0,7 "=1

0.1

0.2

0.5

Figure 15 Diagramme Log Log de µ(!,") pour plusieurs valeurs de !

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100

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"=0 Lieu des maxima

"=0,2 "=0,5 "=0,7 "=1

0.5

1.5

2.5

Figure 16 Diagramme Linéaire-Log de µ(!,") pour plusieurs valeurs de !

#/2

0 0.5

1.5

2.5

Figure 17 Diagramme de la phase # de la réponse

1.3.1.2

Energie de dissipation

Cours de mécanique vibratoire de POLYTECH’SAVOIE Site d’Annecy. Auteur : Serge SAMPER Page 25/80 Un moyen intéressant de mesurer la dissipation est d’utiliser le diagramme efforts/déplacements. Il faudra être néanmoins vigilant à indiquer la vitesse à laquelle l’essai est effectué ou à défaut le temps nécessaire pour réaliser un cycle. L'energie de dissipation par cycle correspond au travail des forces de dissipation Fd(t) pour une période. La figure 18 ci-dessous montre l'ellipse de relation effort visqueux/déplacement qui correspond au diagramme de phase vitesse/déplacement. Dans le cas d’un système ressort amortisseur, on peut effectuer un ensemble de cycles de façon à mesurer l’énergie de dissipation par cycle. Si on isole un cycle, on obtient la courbe de la figure 18.a Mac Serge:Users:sergesamper:Documents:enseignement:MGM_755_Vibrations:cours:Cours de vibrations.doc

a) Ressort+amortisseur b) différents modèles Figure 18 Energie dissipée sur un cycle par un système k+c

/ F! Fd(t) x(t) dt = ' C 0 µ! !0 ED= D D k! . cycle Si on reprend cette figure 18.a et qu’on isole deux comportements caricaturaux, le cas élastique pur et le cas viqueux pur, on obtient les représentations de la figure 18.b. Le cas élastique pur n’absorbe logiquement aucune énergie (on reprend ce qu’on a donné) quant au cas visqueux pur il maximise l’énergie du modèle k+c présenté ci avant. Si on appelle <F/2 l’amplitude d’efforts et <x celle du déplacement alors on peut quantifier Ed associé : Ed(« c » seul) = '/4 * <F * <x Dans le cas d’un système à base de frottement sec seul, on a indépendance entre l’intensité de l’effort et le déplacement. La courbe est alors représentée par la figure ci-dessous. En reprenant les notations <F et <x ciavant, on peut comparer les énergies de dissipation par cycle dans le cas des dissipations selon le modèle visqueux et sec de Coullomb: Ed(frottement sec) = <F*<x Le calcul de ED du cas ressort+amortisseur est donné par:

1.3.1.3

Autres représentations

Ici, à travers des représentations, on met en évidence l'influence des caractéristiques du système:

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10 Log(X/F)

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6d b/o cta ve M as se

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10 Log(F/X) 1/K

Raideur

se as M e tav /oc db -6

Raideur

! ! Figure 20 Diagramme de raideur

10 Log(F/V) -3 db /o Ra cta id ve eu r

M -3 as db se /o cta ve

Figure 21 Diagramme de mobilité

Figure 22 Diagramme d'impédance

10 Log(F/") -6

ur ide e Ra tav /oc db

10 Log("/F)

Amortissement

b/o cta ve Ra ide ur

Masse

Amortissement

r eu d i Ra

Amortissement

e tav c o b/ d 3

ve a t c /o b 3d se as M

Amortissement

Figure 19 Diagramme de compliance 10 Log(V/F)

Masse

! Figure 23 Diagramme d'inertance

1.3.1.4

Figure 24 Diagramme de masse

Détermination de l'amortissement sur un spectre de mesure:

Méthode du pic On sait que la valeur de l'amplitude maximale vaut µMAXI =

1 2=

1-=!

pour A = !2 = !0

1-2=! .

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1 Xs Cela nous donne une première valeur de = et une approximation classique : == = 2 µMAXI 2 Xmaxi Méthode de l'intervalle : La figure 25 illustre cette méthode. On commence par déterminer la hauteur Xmaxi pic puis on calcule

Xmaxi 2

que l'on trace pour obtenir les pulsations correspondantes en abscisse, soit respectivement !a et !b. On alors: = =

!b-!a qui donne une bonne approximation de la valeur de =. On appelle aussi cette méthode !b+!a

la méthode des -3db pour son application en diagramme en décibels. La valeur exacte est obtenue est la solution de l'équation: (1-a)! =4 - =! + =0 8 (1+a4)

avec a =

!a !b

Xmaxi

Xmaxi 2 Xs ! !a

!0 !b

Figure 25 Méthode de l'intervalle

1.3.1.5

Construction par le diagramme des vecteurs tournants: ..

Rappel: Equation dynamique m x + c x + k x = F cos At 5 5 Soit SFext/masse = m G En régime permanent: x(t)=X cos(At -") Bilan des forces: F(t) = F cos.. At m0(t) = m x. = -A! m X cos(At-") = A! m X cos(At-"+') = - A! m x(t) - Fc(t) = c x = c A X cos(At-" + '/2) - Fk(t) = k x = k X cos(At-")

Source (calculs vérifiés) : Pedro-Pahud "Mécanique Vibratoire"

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k Xp

F c "Xp

c x(t)

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!/2

"t-#

k x(t)

"?mX p Figure 26 solution harmonique en vecteurs tournants Il n’existe ici, que deux inconnues : Xp et "p et deux données F et A. La lecture et l’analyse du diagramme donne: F 4 Xp = = A! c! X 4F! p! + [(k-A!m)Xp]! $ m (!0!-A!)!+4 ;!A! $ cA 3 d’où 3 (C.Q.F.D.) 2 ;A $2tg("p) = k-mA! $2tg("p) = !0!-A!

1.3.2Régime forcé périodique: On étudie la solution complète de l’équation ..

m x + c x + k x = F(t) Ici, F(t) n’est pas une fonction harmonique mais peut être étudiée comme une superposition de fonctions harmoniques séries de Fourier. x(t) est la somme de xssm(t) solution de l’équation sans second membre et de xp(t) solution de l’équation particulière. Il y a d’autres méthodes comme la transformée de Laplace, des méthodes « directes »de recherche de solutions particulières, l’analyse numérique, (...) mais nous nous cantonnerons à l’étude des séries de Fourier car elles sont le plus utilisées dans l’industrie (en particulier dans le domaine numérique). Exemple: On cherche la réponse à une excitation F(t) définie par la figure ci dessous: F(t)

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On trouve, après décomposition en séries de Fourier de fréquence d’échantillonnage A/(2'), le spectre d'amplitudes Fn et de phases En: Fn

F0 F1

"/2

F2 n

On peut alors calculer, pour chaque harmonique, soit pour chaque valeur de n, la réponse Xn(t) qui sera donc le couple (Xn , "n) (ou An, Bn si on calcule Xn(t)= Ancos(nAt)+Bnsin(nAt) ). Soit alors les spectres de réponse: !n Xn " "/2

X0 X1 X2 n

On peut remarquer que les harmoniques d'ordre 2, 6 et 10 sont à des déphasages proches de '/2, on peut supposer que le système est proche de résonances à des fréquences 2A/(2'), 6A/(2') et 10A/(2')

Décomposition en séries de Fourier: Période = T = 2'/A C F(t) = F0 + F(FAncos(nAt)+FBnsin(nAt)) n=1 T 1 /F(t) dt F0 = . T 0 T 2 / FA = F(t) cos(nAt) dt n Avec T. 0 T 2 FBn = / F(t) sin(nAt)dt T. 0 Remarques: " Si F(t) est paire alors FBn = 0 G n # Si F(t) est impaire alors FAn = 0 G n

4$ $ 3 $ $2

On peut aussi écrire:

4$Fn = FAn!+FBn! et F(t) = F0 + FFncos(nAt-Hn) avec 3 FBn n=1 2$tg(Hn) = FAn C

Cours de mécanique vibratoire de POLYTECH’SAVOIE Site d’Annecy. Auteur : Serge SAMPER Page 30/80 Remarques: F1 cos(At-H1) est appelée la fondamentale de F(t). Les termes Fn cos(nAt-Hn) pour n>1 sont appelés les harmoniques de F(t). F0 est la valeur moyenne de F(t) Mac Serge:Users:sergesamper:Documents:enseignement:MGM_755_Vibrations:cours:Cours de vibrations.doc

Nous pouvons alors déterminer le spectre de l’excitation. Reprenons .. . l’équation dynamique de l’oscillateur: m x + c x + k x = F(t) Dans cette équation, on peut substituer à F(t) la superposition de ses harmoniques et étudier alors la superposition des réponses de chacune d’entre elles. La solution est donc de la forme C x(t) = X0 + FXn cos(nAt -Hn - " n) n=1 F0 avec X0 = la valeur moyenne de x(t). k Pour une harmonique Fn(t) =Fn cos(nAt-Hn) de F(t) on trouve la réponse Xn(t) = Xn cos(nAt-Hn-"n) Fn Fn 4$Xn = = µn k m (!0!-n! A!)!+4 ;!n!A! Avec 3 2 n ;A $2tg("n) = !0!-n! A! µn = Alors

et tg "n =

1 (1-n! B!)!+4 n! =! B! 2 n =B 1-n! B!

On peut alors construire le spectre de la réponse en fonction du spectre de l’excitation. On calcule, pour chaque harmonique (soit pour chaque valeur de n), la réponse Xn(t) qui sera donc le couple (Xn , "n)

(ou X

An,

XBn si on calcule Xn(t)= XAncos(nAt)+XBnsin(nAt)

Exemple (suite): Soit alors les spectres de réponse: Xn

X0 X1

" "/2

X2 n

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F(t)=F Sin(At) L'étude de cette fonction sur l'intervalle [0,2']donne la solution triviale suivante: F(t)= 0 + F Sin(A t) Soit le spectre : !n Fn "

F1=F n

Soit, en fait En='/2 1.4 La fonction "créneau" symétrique: Avec T=2 '/A et en supposant que cette fonction est périodique de T! F(t) est une fonction impaire donc FAn=0 De plus, F0=0 L'étude de cette fonction sur l'intervalle [0,T]donne la solution suivante: FT FBn= (1-Cos('n) ) n' 2FT F(t)= '

1-(-1)n Sin(n A t) 2n

F(t)

F T/2 _

1/n F2

n=1 Soit le spectre suivant:

F4 F6

F8 n

Sur la figure suivante, vous pouvez voir le signal d'origine (F=1 et T= 2 ') et le signal reconstitué à partir des 4 premières harmoniques significatives: F(t) 1

4 Sin(t) 4 Sin(3 t) 4 Sin(5 t) 4 Sin(7 t) + + + ' 3' 5' 7'

La fonction "impact": Etudions la fonction "créneau" suivante: Avec T=2'/A et en supposant la fonction est périodique de T! S est la durée du créneau. La hauteur est F=F0/S L'étude sur l'intervalle [0,T]donne les solutions suivantes : 2n'S F T Sin( ) T *2 n ' S-FT* )1-Cos) ,, FAn= et FBn= ( T ++ 2n' 2 n '(

F(t)

S T

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1 Or T 5 C et S50 (on prendra en fait: S= ) T D'où, après simplifications: FAn=F T S = F et FBn=T S! n ' 1 0

F(t)

F(t)=F

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F Cos(n A t)

n=1

Soit le spectre suivant: n

Vous avez compris l'usage mécanique de cette fonction: le fameux coup de marteau pour démonter (démonter, ou casser...) une structure. En effet, si vous trouvez un bon endroit (ventre commun aux modes propres que fous voulez exciter) et que vous y appliquez un "Dirac", vous allez alors forcément attraper tous (si votre "Dirac" est parfait) les modes propres qui n'ont pas de nœud vibratoire à cet endroit. Vous comprendrez aussi qu'un choc appliqué à une structure est toujours dangereux car il balaye tout le spectre!

Applications: - Analyse modale - Démontage: si vous attrapez les modes propres d'une pièce, vous provoquez des micro déplacements qui débloquent le système. - Tests de cohésion d'un assemblage: analyse modale "à l'oreille" (on tape et on écoute le son de la structure). - Musique: On percute un système masse / ressort pour en extraire des sons. - ... 1.5

Modélisation:

Nous allons, ici montrer ce que nous appelons ressorts et amortisseurs et comment on peut modéliser des systèmes de plusieurs ressorts et amortisseurs en série ou en parallèle.

1.5.1Ressorts Un ressort est une structure souple dont la caractéristique est de relier des déplacements (i.e. translation et -ourotation) à des efforts (au sens large, soit des forces ou des moments). Cette relation sera supposée linéaire. Comment calculer une raideur? Il n’est pas nécessaire d’avoir des compétences affirmées en résistance des matériaux pour pouvoir déterminer la rigidité d’une structure poutre (ou autre) selon le cas de charge. Il faut avoir le sens physique et analyser le problème en se demandant ce qui fait office de déplacement et ce qui fait office d’effort. Il suffit alors d’identifier l’équation F = k x pour en déduire k!

F !

k =

3EI

où E représente une caractéristique du

matériau que l’on appelle module de YOUNG , exprimée en Gpa (Giga Pascal) , I représente une caractéristique de la section que l’on appelle moment quadratique exprimée en m4

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représente la longueur de la poutre.

On peut trouver, dans un ouvrage de résistance de matériaux, la formule suivante: F 3 I= 48 E I 48 E I on en déduit : k = 3

Cas plus général que celui ci dessus:

3 EI K=

a2 b2

F k=

192 E I

768 E I 7 3

! Ici, la relation élastique est EI où représente la longueur développée du exprimée entre le couple à k = exercer et l’angle observé. ressort à spirale, et I le moment quadratique de la C=k J (k en N m) section

Où S représente la surface de la section droite.

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Mt !

F=k I

où G représente le module de cisaillement

du matériau, il est exprimé en Gpa comme E. Mt est le moment de torsion et J "l’angle mesuré. J est le moment quadratique polaire (de torsion) de la section. G d4 où d est le diamètre d’un brin de spire, D 8 n D3 est le diamètre du ressort et n le nombre de spires. Remarque: Le ressort à spires travaille en fait en torsion, c’est pourquoi on trouve le module G dans le calcul de k. k=

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d'où k en N m-1

1.5.2Systèmes amortissants Un système amortissant ou « amortisseur » dissipe de l’énergie (le plus souvent, sous forme de chaleur). Il ne faut pas confondre amortisseur et suspension! Il est à noter qu’un amortisseur peut être non linéaire (en réalité, il l’est toujours) mais nous supposerons, ici que son comportement est parfaitement linéaire. Nous étudierons l’amortisseur visqueux, en général, nous pourrons voir le cas particulier de l’amortisseur à frottement sec. L’amortisseur visqueux linéaire renvoie une force proportionnelle à la vitesse de déplacement entre les deux parties de l’amortisseur. L’« amortisseur sec » renvoie (si l’on respecte les lois de Coulomb) une force constante opposée au déplacement quelle que soit la vitesse. Remarques: " Si on étudie un vérin, alors on suppose que les forces dissipées le sont par les glissements dans le fluide mais il y a des joints d’étanchéité qui frottent entre le piston et le cylindre. On peut alors modéliser ce vérin avec du frottement sec et de l’amortissement visqueux. # Ce même vérin comprime du fluide. Ce fluide n’est pas complètement incompressible, il en résulte une raideur non nulle (surtout dans le cas des gaz). On peut voir dans les figures ci dessous, les graphes des déplacements, vitesses et accélérations dans le cas d’un frottement visqueux ou sec.

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E 1

q[1a]

dq[1a]

ddq[1a]

E 1

q[1a]

dq[1a]

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ddq[1a]

1.0

0.5 0.5

0.0 0.0

-0.5 -0.5

-1.0

-1.5

-1.5 [s]

[s]

Frottement visqueux

Frottement sec

1.5.3Ressorts en parallèle k1

kéq.

F xéq. = x2 = x1

Nous avons deux ressorts en parallèle de raideur K1 et K2, nous recherchons la raideur équivalente à ces deux ressorts, le déplacement imposé x est le même.

Modèle équivalent

F=F1+F2=K1 x+K2 x = Kéq. x : Kéq. = K1+K2 n

On peut aisément en déduire: Kéq. =

F Ki i=1

1.5.4Ressorts en série k1

k2 x1

kéq.

F xéq. = x2

modèle équivalent x1 =

F K1

x2 - x1 =

D’où, en généralisant:

1 = Kéq.

F i=1

1 Ki

F F *1 1 : x2 = =F) + , K2 Kéq. (k1 k2 +

Nous avons deux ressorts en série de raideur K1 et K2, nous recherchons la raideur équivalente à ces deux ressorts, la force imposée F est la même.

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En clair, on peut dire que l’on additionne les souplesses quand les ressorts sont en série.

1.5.5Amortisseurs en parallèle

Nous avons deux amortisseurs en parallèle de constantes d’amortissement C1 et C2, nous recherchons la constante d’amortissement équivalente à ces deux amortisseurs, la vitesse imposée v est la même pour les deux amortisseurs.

F Céq. véq.

Modèle équivalent.

F=F1+F2=C1 x+C2 x = Céq. x : Céq. = C1+C2

On peut aisément en déduire: Céq. =

F Ci i=1

1.5.6Amortisseurs en série

F C1

Céq. véq. Modèle équivalent.

v1 =

F C1

v2 - v1 =

D’où , en généralisant:

1 Céq. =

F i=1

1 Ci

F F 1 *1 : véq. = v2 = =F) + , C2 Céq. (C1 C2 +

Nous avons deux amortisseurs en série de constantes C1 et C2, nous recherchons la constante équivalente à ces deux amortisseurs, la force imposée F est la même pour les deux amortisseurs.

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1.5.7Exemple de modélisation Soit le système suivant: Nous avons à étudier un pont roulant transportant une masse M, comment peut on modéliser ce système? Le chariot a une masse m nettement plus faible que M, la masse à déplacer.

La poutre qui supporte le chariot est en acier de module de Young E, et de moment quadratique I. Le câble est de diamètre ".

1.5.8

Analogie électrique-mécanique :

Une équation dynamique du second ordre décrit l’équilibre d’un système à chaque instant. Cet équilibre peut être mécanique, électrique … On se propose de. comparer deux équilibres : .. Le PFD mécanique : mx+cx+kx=0 .. . z L’équilibre d’un RLC : Lq + R q + = 0 C .. . Oscillateur générique : z + 2 ;z + !0! z = 0 Oscillateur générique z. = paramètre z.. z B K 9 f0 =

1 2'

B 9

Circuit RLC q. = charge électrique q.. z L = inductance propre R = résistance 1/C = inverse de la capacité 1 f0 = LC 2'

Masse Amortisseur Ressort x. = déplacement x.. z m = masse du modèle c = constante d’amortissement k = constante de raideur f0 =

1 2'

k m

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2 - Systèmes à plusieurs DDL 2.1

Généralités

On généralise le concept de DDL où ici, on va avoir à étudier, non plus le comportement d’une variable mais celui d’un ensemble de variables qui constitueront un vecteur rassemblant ces DDL. Nous aurons alors à étudier un système matriciel. Une modélisation d'un système continu ou une schématisation d'un système à liaisons conduit à considérer un assemblage de ressorts, d'inerties et d'amortisseurs purs (c’est-à-dire définis chacun par un seul paramètre - une seule constante). Exemples: a) mécanisme: k3

M 1 I1

M2 I2

Récepteur

Moteur

Modélisé comme suit: b) système continu: Poutre en traction compression nC

m/n

m/n nK

E, I, S, L

nK L/n

m/n

...

modèle : 2.2

Système à deux degrés de liberté:

Définition: Les deux fonctions du temps x1(t) et x2(t) sont des coordonnées généralisées du système, les deux degrés de liberté (paramètres nécessaires et suffisants pour définir la configuration du système). On aura à analyser le système d'équations suivant dans le cas général: .. . .. . m11x..1+c11x.1+k11 x1 +m12x..2 +c12x.2 +k12 x2 = F1(t) 4m22x2+c22x2+k22 x2 +m21x1 +c21x1 +k21 x1 = F2(t) 3 termes propres couplagescouplagescouplages 2 inertiels résistifs élastiques Soit, sous forme .. matricielle: . 4 $ m m x N 11 12 Q 3 ..1$&% Nc11 c12 Q $43x.1$&% Nk11 k12 Q $43x1$&% $43F1(t)$&% M P M P M P Lm21 m22 O 2$x2#$ + Lc21 c22 O 2$x2#$ + Lk21 k22 O 2$x2#$ = 2$F2(t)#$ .. . [M]{x} + [C] {x} + [K]{x} = {F}

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2.2.1Système canonique: On définit le système canonique à deux DDL dans la figure suivante:

F1(t) C1

F2(t)

C3 m2

m1 K3

x1(t) ..

(

. .

K2 x2(t)

)

$4m1x1+c1x1+k1 x1+c3 x1-x2 +k3 (x1 - x2) = F1(t) .. . . . 3 2$m2x2+c2x2+k2 x2+c3(x2 - x1)+k3 (x2 - x1)= F2(t)

Nm1 0 Q Nc1+c3 -c3 Q Nk1+k3 -k3 Q [M] = ML0 m PO , [C] = ML -c c +c PO et [K] = ML -k k +k PO 2 3 2 3 3 2 3

2.2.1.1

Régime libre non dissipatif:

Ici, on a [C]=[0] et {F}={0} .. 4$X1&$ x1(t)=X1ea t et x2(t)=X2ea t soit {x(t)}= 3X % eat d’où {x}= a! {x} 2$ 2#$

.. * $ $ [M]{x} + [K]{x} = {0} 7 )(a! [M] + [K],+ {X}={0} 7 {X}={0} ou det$$a! [M] + [K]$$=0 On peut aussi écrire : * $ $ )a! [Id] +[M]-1 [K], {X}={0} 7{X}={0} ou det$a! [Id] + [M-1 K]$=0 ( + $ $

On ne peut prendre {X}={0} sans quoi, il n'y a pas vibrations. On recherchera donc les solutions de l'équation $ $ $ $ det$$a! [M] + [K]$$=0 on pourra aussi calculer sous la forme : det$$[M-1 K]+ a! [Id] $$=0 Les matrices [K] et [M] sont toutes deux définies positives (à valeurs propres réelles positives), les solutions de cette équation imposent deux (ou n dans un système à n DDL) valeurs imaginaires j !01 et j !02 de a. $ $ det$$[M-1 K] - !0i! [Id] $$=0 On comprend dès lors qu'on calcule les valeurs propres (pulsations propres carrées) de la matrice [M-1 K] On trouve, après calculs, les valeurs suivantes A1!+A2! 1 !02 ! = + (A1!-A2!)!+4A124 2 2 A1!+A2! 1 et !0 1! = (A1!-A2!)!+4A124 2 2 Les fréquences propres correspondantes sont: !01 !02 f01= et f02 = 2' 2'

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k1+k3

4$A ! = m k +k avec 3A ! = m $2A = mk m! 1

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Les vecteurs propres correspondants sont: V1= V2= Remarques : Signification physique des termes A1 A2 et A12 : F1(t) C1

C3 m2

m1 K3

x1(t)

x2(t)=0

> A1 est la pulsation propre du système quand on bloque la masse m2 F2(t) C1

C3 m2

m1 K3

x1(t)=0

K2 x2(t)

> A2 est la pulsation propre du système quand on bloque la masse m1 > A12 est la pulsation qui caractérise le couplage entre les deux modes décrits ci-dessus. 2.2.1.2 Exemple Dans le cas où [C]=[0] et ki=k et mi=m, on trouve !012=k/m et !022=3 k/m V1=Cte.(1,1) et V2=Cte.(-1,1) 2.3

Détermination de [M], [C] et [K]

Lorsqu'on a défini un système mécanique avec tous ses DDL, il est possible de déterminer [M] [C] et [K]:

2.3.1Méthode des énergies: 2.3.1.1

Energie cinétique Ec:

Translation d'une masse m: Ec = " m.v! Rotation d'une inertie J: Ec = " J J! . 1 . Cas d'un système à n DDL : Ec = {x}t [M] {x} 2

Cours de mécanique vibratoire de POLYTECH’SAVOIE Site d’Annecy. Auteur : Serge SAMPER Page 41/80 . Où {x} est le vecteur des dérivées par rapport au temps des paramètres de position d’un système: Il s'agit donc du vecteur vitesse selon les DDL du système. Mac Serge:Users:sergesamper:Documents:enseignement:MGM_755_Vibrations:cours:Cours de vibrations.doc

2.3.1.2

Energie potentielle Ep:

Energie potentielle d'une masse dans un champ gravitationnel: Ep = m g h Energie potentielle élastique : Ep = " k x! Remarque: Ep = " kJ J! dans le cas d'un ressort de torsion mais nous ne faisons pas de différence, x étant un terme générique de déplacement = translation ou rotation) 1 Cas d'un système à n DDL : Ep = {x}t [K] {x} 2

2.3.1.3 Avec

Puissance de dissipation Pd :

Pd = 12 {x.} [C] {x.} t

2.3.2Méthode de Lagrange : Soient q1, ... qn n paramètres du système (ils sont indépendants!). Le système mécanique est composé de s solides indéformables. Ces solides sont reliés par des liaisons qui introduisent m relations indépendantes. Si le système est spatial, alors on a : Et le système est isostatique.

n=6s-m

On peut alors écrire les équations de Lagrange pour ce système:

d *6Ec- 6Ec 6Ep 6 d ) .,+ + . = fk(t) pour k=1...n dt(6 xk+ 6 xk 6xk 6xk Cas de l'oscillateur généralisé (système discret):

d *6Ec- 6Ep 6 d ) .,+ + . = fk(t) pour k=1 ... n dt(6 xk+ 6xk 6xk . 1 . 1 Or Ec = {x}t [M] {x} et Ep = {x}t [K] {x} et 2 2

Pd = 12 {x.} [C] {x.} t

D'où

. . d [M]{x}) + [C] {x} + [K]{x} = {F} ( dt .. . dont on déduit: [M]{x} + [C] {x} + [K]{x} = {F} CQFD

2.4

Fréquences propres - modes propres

On étudiera le cas d'un système libre conservatif ([C]=[0] et {F}=0).

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2.4.1Orthogonalité des modes propres

Soit [V] la matrice dont chaque ligne est un vecteur propre de [M-1 K] . Soit [;] la matrice des valeurs V11 V21 Vn1 V12 V22 Vn2 N0;1 ;0 ...0 ...00 Q . . . 2 propres: [;]= M et [V] = ... P . . . . . . L0 ;nO . . . V1n V2n Vnn

N4$ M3 M$ L2

&$ 4$ %3 $# $2

&$ % $#

4$ 3 $2

&$Q %PP $#O

Les modes propres sont orthogonaux: Cette orthogonalité s'exprime en fonction de la matrice de masse ou de raideur: Soit Vi et Vj deux vecteurs propres et ;i et ;j les deux valeurs propres correspondantes. On peut écrire: ([M-1 K] - ;i [Id]) {Vi}= {0} et ([M-1 K] - ;j [Id]) {Vj}= {0} Ou encore: 4$[K]{Vi} = ;i [M]{Vi} 4${Vj}t[K]{Vi} = ;i {Vj}t[M]{Vi} 3 d'où 3 t t $2[K]{Vj} = ;j [M]{Vj} $2{Vi} [K]{Vj} = ;j {Vi} [M]{Vj} Comme [K] est symétrique ([M] aussi), on peut écrire: {Vj}t[K]{Vi} = {Vi}t[K]{Vj} d'où ;i{Vj}t[M]{Vi} = ;j{Vi}t[M]{Vj} Or ;i =/ ;j donc on en déduit la relation d'orthogonalité des modes propres relativement à la matrice de masse (on aurait pu écrire une relation similaire avec [K]):

{Vj}t [M]{Vi}=0 et {Vj}t [K]{Vi}=0

2.4.2Norme des modes propres Le vecteur propre est toujours défini à une constante près! On peut choisir une norme particulière des vecteurs propres. Le vecteur propre {Vi} devient {vi} : {vi}= Cte {Vi} On note [v] la matrice des vecteurs propres normés. Dans la base des vecteurs propres, [M] et [K] sont diagonales. [k]=[V]t [K] [V] et [m]=[V]t [M] [V] On obtient alors [k] la matrice diagonale des rigidités généralisées, et [m] la matrice diagonale des masses généralisées. Si on exprime les Vi de façon à ce qu’ils soient normés par rapport à [M] alors Vi devient vi : et

{vi}t [M] {vi}=1

Il vient alors : [v]t [M][v]=[I] [v]t [K][v]=[k’] {vi}t [M]{vi}=1 {vi}t [K]{vi}=; i =! i!

Où [I] représente la matrice diagonale unité et [k’] la matrice diagonale des rigidités généralisées (avec les modes normés par rapport à [M]).

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2.4.3Méthodes de détermination des fréquences et modes propres : Quotient de Rayleigh On veut connaître ;i à partir du vecteur propre correspondant {Vi} On a [K]{Vi} = ;i[M]{Vi} On en déduit: {Vi}t [K]{Vi} = ;i {Vi}t [M]{Vi} Le quotient de Rayleigh est l'expression:

{Vi}t [K]{Vi} {Vi}t [M]-1[K]{Vi} li= = {Vi}t [M]{Vi} {Vi}t {Vi} ;i = {vi}t [K]{vi} si vi est normé par rapport à [M].

;i tend vers

!0i! si Vi est une approximation du vecteur propre.

Propriétés: -P1- Le quotient de Rayleigh d’un vecteur propre normé à 1 par rapport à [M] s’écrit : {vi}t [K]{vi} -P2- Le quotient de Rayleigh est stationnaire au voisinage de tout vecteur propre. Son maximum local donne la valeur propre correspondante. -P3- La constitution d’une série d’itérations en « puissance » du quotient de Rayleigh converge vers la valeur propre la plus basse. -P4- La meilleure approximation de {Vi} est celle qui donne ;i minimale Démonstration de P1 : {Vi}t [K]{Vi} Cte!{vi}t [K]{vi} = = {vi}t [K]{vi} {Vi}t[M]{Vi} Cte! {vi}t[M]{vi} Démonstration de P2 : Supposons que l’on introduise une petite variation sur des composantes d’un vecteur propre donné {Vi} : {vi+R}t [K]{vi+R} ;i + R! {vi}5{vi}+{R} alors = 1;i {vi+R}t[M]{vi+R} 1+R! Explication de P3 : On construit une suite (;ik , Vik) : On part d’une valeur Vi0 qui nous permet d’obtenir ;i1 par RAYLEIGH qui nous donne Vi1 (proche de la solution Vi) par la résolution de ([K]- ;i1[M]){Vi1} = {0} qui nous donne ;i2 par RAYLEIGH ...

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! ik = {V i (k-1)}t [K]{V i(k-1)} {V i(k-1) } [M ]{V i(k-1)}

([K]- !i k [M]){Vi k } = {0}

2.4.4Base des modes propres Les vecteurs propres définissent une base que l’on appelle base modale. Dans le cas d’un vecteur quelconque {Vx} : On peut exprimer ce vecteur comme une combinaison linéaire unique des vecteurs propres normés {vi}. n On peut alors écrire : {vx} = F cxi {vi} = [v] {cx} avec n = dimension du système et {cx} vecteur des cxi et i=1 Alors le quotient de Rayleigh de {Vx} s’écrit : {vx}t [K]{vx} {cx}t [v]t[K][v]{cx} R[Vx] = = {vx}t[M]{vx} {cx}t [v]t[M][v]{cx}

2.4.5Systèmes à mobilités - modes rigides : Un système « mobile » (véhicule spatial, et véhicule en général) ou un système possédant des mobilités internes peut poser des problèmes en analyse modale. Ces « problèmes » sont des modes à fréquence nulle que l’on appelle modes rigides. En fait, ce sont des modes de type « cinématique » car ils correspondent à des modes de mobilité ! Force engendrée par un mode rigide {Vr}: {Fr}=[K]{Vr}={0} car {Vr} correspond à une mobilité du mécanisme. Energie potentielle d’un mode « rigide » {Vr}: 2 Ep r={Vr}t[K]{Vr}={Vr}t {0}= 0 {Vr}t[K]{Vr} D’après le quotient de Rayleigh : ;r = = 0 = !r {Vr}t[M]{Vr} Donc la fréquence correspondante vaut : Fréqr=

!r =0 2'

Résultats : - Les modes rigides sont donc à fréquence nulle.

Cours de mécanique vibratoire de POLYTECH’SAVOIE Site d’Annecy. Auteur : Serge SAMPER Page 45/80 Dans un modèle dynamique (quel qu’il soit), il y a autant de modes rigides que de mobilités (internes ou globales).

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2.5 Coordonnées modales La base modale est une base dans laquelle il est possible d'exprimer des déplacement nodaux. Nous allons l'utiliser pour écrire les équations dynamiques: 2.5.1 Système canonique à deux degrés de libertés Dans la base nodale initiale, les degrés de liberté x1 et x2 sont les déplacements des masses m1 et m2 par rapport à un..repère sont: . galiléen. Les . équations . 4$m1x1+c1x1+k1 x1+c3(x1-x2)+k3 (x1 - x2) = F1(t) .. . . . 3 2$m2x2+c2x2+k2 x2+c3(x2 - x1)+k3 (x2 - x1)= F2(t) 2.5.1.1 Exemple 1 Dans le cas présenté au §2.2.1.2, (k1=k2=k3=k, m1=m2=m, Ci=0 et Fi=0).

Figure 27 : 2DDL kmkmk Le PFD donne : .. $4mx1+2 k x1 - k x2 = 0 3 .. 2$mx2+2 k x2+2 k x2 - k x1= 0 Dans la base modale, les matrices s'écrivent: k *1 0 *1 0[m]=)( 0 1 ,+, et [k] = )( 0 3 ,+ m Les équations s'écrivent alors dans la base modale :

4q1 + q1 = 0 3 .. 2q2 + 3 q2= 0

elles sont bien indépendantes.

Les coordonnées modales sont q1 et q2. Autre méthode : Si on exprime un vecteur déplacement quelconque V(x1,x2) dans la base modale, il vaudra V(;1,;2). On peut encore remplacer x1 par q1+q2 et x2 par q1-q2 (à cause des valeurs de V1 et V2). En inroduisant les valeurs de q1 et q2 dans les équations du PFD, on obtient les deux équations suivantes : .. .. .. 4$m q1+m q2+ k q1 + 3 k q2 = 0 4 q + q1 = 0 .. .. 3 3 ..1 en réécrivant ces équations, on obtient bien CQFD 2$ m q1 - m q2+ k q1 - 3 k q2 = 0 2q2 + 3 q2= 0 2.5.1.2 Exemple de la voiture 2DDL L'écriture analytique des coordonnées modales donne des équations trop longues pour pouvoir être utilisées facilement, on prendra alors un cas d'étude, la voiture à deux degrés de liberté:

Cours de mécanique vibratoire de POLYTECH’SAVOIE Site d’Annecy. Auteur : Serge SAMPER Page 46/80

Mac Serge:Users:sergesamper:Documents:enseignement:MGM_755_Vibrations:cours:Cours de vibrations.doc 2 e/3

e/3

G 2K

M,Im

Figure 28 : Voiture 2DDL .

2K 4M y.. +4 C y. + 4 K y - 2C eJ J = 0 ou - M g 3 3 3 .. 10Ce! . 10Ke! 2Ce . 2Ke 2Im J + 9 J + 9 J - 3 y - 3 y = 0 G

Soit

N M 0 Q N 1000 0 Q P [M]=ML 0 I PO = ML 0 5000O m

[C]

N4C -2Ce Q N19800 -1320 Q 3 M -2Ce 10Ce!P = ML-1320 4402 PO L 3 9 O

[K]=

N4 K -2Ke Q N98100 -32700 Q 3 M -2Ke 10Ke!P = ML -32700 109000PO L 3 9 O Les valeurs propres de [M-1K] sont:

4$;1=19.1 3 , 2$ ;2=100.8

4!1!=19.1 et V1 =*)(0.382 , 0.924+ soit alors 3 * 0.9965 ) , ! !=100.8 et V = 2 2 2 (-0.0825+

*0.382 0.924 La matrice des vecteurs propres s'écrit: [V]= )( 0.9965 -0.0825 ,+ Remarque: Les vecteurs propres ne sont pas normés à la matrice de masse mais à 1. Soient vi les vecteurs propres [M] normés. 1 *0.0167 0.0218 {vi}= {Vi} et [v]=)(0.0267 -0.0138,+ est la matrice des vecteurs propres [M] normés. t {Vi} [M]{Vi} 2.5.2 Réécriture des matrices dans la base des vi: c On peut écrire [C]= [K] ce qui nous permet de diagonaliser la matrice d'amortissement dans la même base que K [M] et [K] (hypothèse de Basile). Dans la base modale, les matrices s'écrivent: *1 0* 2.25 0 * 55.8 0 [m]=)( 0 1 ,+, [c] = )( 0 4.64,+ et [k] = )( 0 115,+

Les équations s'écrivent alors:

4q1+2.25 q1 +55.8 q1 = 0 3 .. . elles sont indépendantes 2q2 + 4.64 q2 + 115 q2= 0

Les coordonnées modales sont q1 et q2, on peut bien sûr exprimer les degrés de liberté yG et J à partir de q1 et q2. Il suffit de faire le produit [v]t [v] pour obtenir les deux vecteurs (1,0) et (0,1) dans la nouvelle base.

2.6

Réponse harmonique

Il s'agit de solliciter une structure à plusieurs degrés de liberté par un ensemble de conditions axu limites harmoniques. En principe, on applique des forces variables. L'essai expérimental correspond au test avec un pot

Cours de mécanique vibratoire de POLYTECH’SAVOIE Site d’Annecy. Auteur : Serge SAMPER Page 47/80 vibrant. En éléments finis, on applique des conditions aux limites qui vibrent à la même fréquence et dont les phases ne varient pas au cours du temps. On ne s'intéresse alors qu'à la réponse en régime permanent. Mac Serge:Users:sergesamper:Documents:enseignement:MGM_755_Vibrations:cours:Cours de vibrations.doc

La série de Fourier d'un Dirac donne un peigne plein de hauteur constante, ce qui fait que l'analyse harmonique et l'analyse modale par marteau de choc donnent des résultats similaires. La grande force de l'analyse harmonique est qu'on peut "rester" sur (ou autour) d'un pic pour mieux le mesurer. La contre partie est le coût (financier et temporel) de celle-ci.

2.6.1Système canonique Le système canonique est utilisé dans son intégralité :

F1(t) C1

F2(t)

C3 m2

m1 K3

K1 x1(t)

K2 x2(t)

Figure 29 réponse harmonique à 2 DDL Le système est : .. . d’équations . correspondant . $4m1x1+c1x1+k1 x1+c3(x1-x2)+k3 (x1 - x2) = F1(t) .. . . . 3 2$m2x2+c2x2+k2 x2+c3(x2 - x1)+k3 (x2 - x1)= F2(t) Nm1 0 Q Nc1+c3 -c3 Q Nk1+k3 -k3 Q où on a toujours [M] = ML0 m PO , [C] = ML -c c +c PO et [K] = ML -k k +k PO 2 3 2 3 3 2 3 On peut reprendre la philosophie de calcul proposée pour un degré de liberté : $4F1$& $4A1$& $4B1$& Avec {F(t)} = 3F % Cos(A t) qui impose {x(t)} = 3A % Cos(A t)+ 3B % Sin(A t) 2$ 2#$

2$ 2#$

*X1= A1!+ B1! $4X1$& , ou encore {x(t)}= 3X % Cos(A t-") avec ) 2$ 2#$ (X2= A2!+ B2! + 4$k1=k2=k3 Dans le cas où 3c1=c2=c3 on peut construire la réponse de chacun des ddl pour chaque type de sollicitation 2$m1=m2 possible : X Soit 1= alors :

X1=

X2=

Cours de mécanique vibratoire de POLYTECH’SAVOIE Site d’Annecy. Auteur : Serge SAMPER Page 48/80 La réponse adimensionnelle correspondant au système canonique à deux degrés de liberté est donné par les formules suivantes : k !0= m A B= !0 µ1 = c Avec == 2 km F1 S1 = k F2 µ2 = S2 = k Mac Serge:Users:sergesamper:Documents:enseignement:MGM_755_Vibrations:cours:Cours de vibrations.doc

4 $ $ 3 $ $ 2

Remarques: - Les modes propres sont les sensibilités dynamiques du système. Si l'excitation "fait travailler" un mode alors il y a rique de résonnance. C’est-à-dire que l'excitation met le système en mouvement selon le mode propre et à la fréquence propre. C'est pourquoi l'analyse modale est fondamentale, elle montre ces sensibilités. - Pour observer les résultats de l'analyse harmonique, on regarde l'évolution de certains paramètres en fonction des fréquences. Le système ayant n ddl, il faut choisir celles qui sont idoines.

2.6.2 Cas d'un système encastré encastré : On applique les résultats ci-dessus à deux masses de même valeur m et trois ressorts de même raideur k, et trois amortisseurs c (non représentés dans la figure 30).

Figure 30 Réponse harmonique à 2 DDL Encastré-Encastré On impose un effort sur la masse 2 et on observe le comportement du système en faisant varier la fréquence de celle-ci. On montre ci dessous la réponse de la masse m1 (ddl x1) pour une force F2 appliquée sur la masse m2.

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100

!=0,01 !=0,05 !=0,1

0.1

0.01

0.5

f01 1

1.5

f02

2.5

Figure 31 Réponse harmonique à 2DDL sur le paramètre x1 pour différentes valeurs de " et !. Remarques importantes: - Les pics correspondent toujours à des modes propres. - On remarque que le second pic est plus bas que le premier et que quel que soit le niveau d'amortissement, décroissance est la même. - Le comportement d'une structure soumise à un chargement harmonique correspond à la réponse de cette dernière à un impact. De même, on trouve ci-dessous la réponse de la masse m2 (ddl x2) pour une force F2 seule appliquée sur la masse m2.

!=0,005 !=0,01 !=0,05 !=0,1

100 10 1 0.1 0.01 0

0.5

f01

1.5

2.5

3.5

f02

$4F1=0$& Figure 32 Réponse harmonique à 2DDL pour F=3F =1%sur le paramètre x2 2$ 2

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2.6.3Cas encastré libre à 2DDL: Une variante (parmis de nombreuses) du cas précédent est le cas encastré libre.

F2 1

Figure 33 Réponse harmonique à 2 DDL Simulation 2DDL Encastré/Libre 1.0E+03

1.0E+02

1.0E+01

1.0E+00 1.0E+00

1.0E+01

1.0E+02

1.0E-01 Fréquence ( Hz)

1.0E+03

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2.6.4Cas encastré libre à 8 DDL: Soit une poutre encastrée à une extrémité et libre à l'autre (poutre console). Elle est soumise, à l'extrémité libre à un chargement harmonique vertical.

Figure 34 Analyse d'une poutre E/L 8 DDL

2.6.4.1

Analyse modale

La théorie des poutre (cf. §4.5) donne les résultats suivants en termes de fréquences propres: f01 = 22.722509 Hz f02=142.371127 Hz f03=398.622282 Hz f04=781.299674 Hz Sous ANSYS, les calculs des modes propres sont:

Mode de flexion 2 (144 Hz) Mode de flexion 1 (23 Hz)

Mode de flexion 3 (403 Hz) Mode de flexion 4 (788 Hz) Figure 35 4 premiers modes propres de la poutre console

2.6.4.2

Analyse harmonique

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Uy (m)

Uy (F

23 Hz

-3

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0,9

144 Hz 403 Hz 788 Hz

F (Hz)

Figure 36 Réponse harmonique d'une poutre E/L 8 DDL On voit ici que l'on retrouve les modes propres de cette structure (pics) et que lorsque les fréquences augmentent, l'intensité des déplacements diminue. Une régression en puissance donnera (données expérimentales) la loi: Uy(F)=147 10-3 F0,92

2.6.4.3

Réponse à un impact

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Figure 37 Réponse temporelle d'une poutre E/L 8 DDL

LxdB

Log(F) Figure 38 Spectre de la réponse temporelle d'une poutre E/L 8 DDL On observe encore sur ce spectre la décroissance plus rapide des pics de haute fréquence. Mais ce spectre n'est pas le meilleur moyen d'observer ce signal car il évolue au cours du temps. Un bon moyen d'observer ce signal est d'utiliser un diagramme 3D temps fréquences.

2.6.5Influence de l'amortissement visqueux On notera sur les graphiques ci-dessus que l'amortissement n'a pas un comportement homogène sur les pics. En effet, plus la fréquence est élevée, plus les pics sont petits et évasés. Cette propriété est un héritage direct de l'amortissement visqueux. La viscosité donnant des forces dissipatives proportionnelles à la vitesse, et cette dernière étant liée à la fréquence, il est logique que les hautes fréquences soient plus dissipées que les basses pour un modèle visqueux. Cette propriété s'observe quotidiennement. Dans le cas des sons, la distance ou le temps atténuent fortement les hautes fréquences. On ne perçoit pas toutes les fréquences d'une cloche mais seulement la fondamentale. Les hautes fréquences sont très vite atténuées d'autre part la distance joue le même rôle. On ne perçoit que les basses fréquences des bruits de voisinages, … Les analyses en temps-fréquences permettent de mettre en évidence de tels comportements. Cette propriété est très utile en vibrations car on peut faire une analyse modale en ne conservant que les modes de basses fréquences, les modes de hautes fréquences ayant une probabilité quasi nulle d'avoir une résonnance. 2.7 Réponse spectrale : Il s'agira d'une extension de la réponse harmonique à une superposition d'excitations. On aura alors un vecteur force qui sera de la forme suivante : $4F11$& $4F12$& $4F1n$& {F(t)} = 3F % Cos(A t+E1)+ 3F % Cos(2 A t+E2) + … + 3F % Cos(n A t+En) 2$ 21#$

2$ 22#$

2$ 2n#$

Une fois ce chargement définit, on pourra utiliser la méthode de résolution du paragraphe précédent pour obtenir toutes les réponses à chacune des sollicitations. On construit un spectre de chargement et on étudie les réponses à chacune des excitations de façon indépendante. La réponse globale sera vue comme un spectre de réponses. En principe, on donne des valeurs de chargement à des fréquences données et on interpole entre elles (on rend continu les données et les résultats).

Cours de mécanique vibratoire de POLYTECH’SAVOIE Site d’Annecy. Auteur : Serge SAMPER Page 54/80 Il est à noter que les modifications de conditions aux limites ne peuvent être des cas de charge (décollement des appuis…). Dans ce cas, on devra utiliser des résolutions temporelles. Mac Serge:Users:sergesamper:Documents:enseignement:MGM_755_Vibrations:cours:Cours de vibrations.doc

2.8

Modélisations de l'amortissement

Tout d'abord, les modèles de dissipations dans les codes de calculs par éléments finis sont définis sur la base du modèle visqueux, néanmoins, il est possible de définir des modèles plus sophistiqués. Un problème majeur en dynamique des structures est la définition théorique de l'amortissement. En effet, les mécanismes qui régissent les dissipations dans un système sont les plus complexes de ce type d'analyse. Les comportements théoriques inertiels et élastiques sont le plus souvent assez fidèles par rapport à la réalité et les succès des analyses modales sont la pour le confirmer. En ce qui concerne les amortissements, on se contente de précisions bien plus modestes. Juste pour avoir une idée des mécanismes les plus courants listons quelques exemples : - Dissipations aux liaisons entre les composants d'un assemblage: - Plutôt viqueuses s'il y a lubrification - Plutôt du type frottement de Coullomb sinon - Dissipations structurales: - Dues au comportement thermoélastique - Dues au comportement ductile (plutôt visqueux) - Dues aux fissurations (frottement proche du sec avec stick-slip) - Dissipations liées à des composants amortissants - Tous types de comportements du sec à l'aérodynamique en passant par le visqueux. - Cas des multimatériaux avec des cisaillements dissipatifs différents par phase. - Comportements modélisés en amortissement mais liés à des effets gyroscopiques. - Cas du contrôle actif que l'on peut modéliser en amortissement1.

2.8.1Hypothèse de Basile-Modèle de Rayleigh On se donne a priori la structure de la matrice d'amortissement sous la forme d'une combinaison linéaire de la matrice de masse et de la matrice de raideur. On parlera alors de l'hypothèse de Basile: [C]=S [M]+B [K] De ce fait, nous pouvons conserver la propriété d'orthogonalité de la matrice d'amortissements par rapport aux modes. Cette propriété est fondamentale car elle permet d'utiliser l'analyse modale comme base de la réponse. On en déduit l'écriture de l'amortissement: 1 *S =i= ) +B !i, 2 (!i + La figure suivante nous montre cette évolution.

Dans une première approche.

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Combinaison

r o m

m e s tis

ent

» e u q i t s a l é

Loi cible Amortissement « inertiel » #1

Figure 39 Amortissement de Basile-Rayleigh Dans le cas où on veut deux points cibles P1(!1,=1) et P2(!2,=2) alors les solutions qui font passer la loi d'amortissement ci dessus sont :

et B =

Dans le cas particulier où =1==2==, on a la solution :

La combinaison des matrices de masse et de raideur permet d'obtenir une zone de fréquence dans laquelle l'amortissement se comporte comme un amortissement viqueux, c’est-à-dire indépendant de la fréquence. Si on surrestime le terme facteur de la matrice de masse, on obtient un système dont la valeur de l'amortissement décroît avec la fréquence. Dans le cas du facteur de la raideur, c'est l'inverse. Cette méthode peut être utile pour de tels comportements. La figure ci-dessus montre comment on peut carractériser les coefficients S et B à partir de données théoriques ou expérimentales. Si on veut sur une plage de fréquences données, (on traduira en pulsations pour avoir directement ! en abscisse), avoir une valeur théorique de l'amortissement =, on peut ajuster S et B pour minimiser l'écart maxi. On a alors [V]t [C] [V] = [Cii] la matrice diagonale des amortissements modaux. L'équation dynamique est alors réduite à n équations différentielles indépendantes dans la base des modes propres. Notation: On note avec l'indice g les paramètres en coordonnées généralisées (projetés dans la base propre)

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On a alors en 2 DDL : .. . 4$mg1x1+cg1xg1+kg1 x1 = Fg1(t) .. . 3 2$mg2xg2+cg2xg2+kg2 x2 = Fg2(t) Soit, sous forme .. matricielle: . 4 $ m 0 x N g1 Q 3 ..1$&% Ncg1 0 Q $43x.1$&% Nkg1 0 Q $43x1$&% $43Fg1(t)$&% M P M P M P L0 mg2 O 2$x2#$ + L0 cg2 O 2$x2#$ + L0 kg2 O 2$x2#$ = 2$Fg2(t)#$ Dans le cas général : nb modes .. .. . . [M]{x} + [C] {x} + [K]{x} = {F} 7 F mgi xgi + cgi xgi + kgi xi = fgi i=1 De ce fait, il est possible de traiter l'analyse par un ensemble de problèmes simples.

2.8.2Amortissement de Caughey Il s'agit d'une généralisation de l'amortissement de Rayleigh dans laquelle la matrice amortissement s'exprime comme une combinaison linéaire de p termes constitués du produit de [M] et de [K]. p [C]= [M] FSi ([M]-1 [K])i i=0 p 1 On trouve =j= FSi !j2i-1 2 i=0 Et si on choisit p plus petit que le nombre de modes, alors il est possible de déterminer les amortissements avec une approximation correcte. La figure montre une application à un exemple issu de la littérature.

Figure1 40 Amortissement de Caughey

2.8.3Amortissement modal Dans le cas d'une structure à plusieurs degrés de liberté, les déplacements en fonction des fréquences sont présentés dans la figure ci-dessous.

Cf. www.enpc.fr/fr/formations/ ecole_virt/cours/pecker/

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Mac Serge:Users:sergesamper:Documents:enseignement:MGM_755_Vibrations:cours:Cours de vibrations.doc 1.00E-02 9.55E-03 9.00E-03 8.00E-03 7.00E-03 6.00E-03 5.00E-03

y = 0.25x-1 4.00E-03 3.00E-03 2.00E-03

1.58E-03

1.00E-03

5.59E-04

3.03E-04

0.00E+00 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

figure 41 Amortissement constant dans une analyse harmonique En reprenant chaque mode, on extrait l'amortissement correspondant: Selon la méthode de l'intervalle: =1 = 0,05 =2 = 0,05 =3 = 0,05 C'était bien la valeur imposée au sein du code éléments finis. Le fait que les pics s'évasent est naturel et lié à l'influence de la fréquence du mode associé. D'autre part la hauteur des pics est liée à une hyperbole. On retrouve sous deux aspects le même phénomène. Le choix d'un amortissement constant donnera alors le type de loi présenté dans la figure 41.

2.8.4Cas général On ne peut pas trouver de base dans laquelle [M], [C] et [K] sont diagonales. Il y a une méthode qui permet d'envisager de résoudre un tel problème : $4{x}$& On fait un changement de variable : {Y}=3{x. }% 2$ #$ . $4{x. }$& % Ce vecteur déplacement et nodaux et vitesses nodales est dérivé pour obtenir : Y = 3{.. x} 2$

Le système s'écrit alors : . 4${x. }&$ N [0] %=M Y = 3{.. -1 $2 x}$# L [M] [K]

&$ [I] Q 4$3{x} P . % = [A] {Y} -1 [M] [C]O $2{x}$#

Cette résolution (assez complexe à cause des propriétés de [A]) permet d'obtenir {Y} dont on déduit {x}.

2.8.5Modèles d'amortissements disponibles dans ANSYS Il est évident que nombre de logiciels d'éléments finis comportent des modèles d'amortissements du même type que ceux présentés ici, néanmoins comme ce logiciel est utilisé à l'ESIA, il est intéressant de voir comment l'éditeur a modélisé l'amortissement. Le texte qui suit est une traduction avec modifications des documents théoriques de l'éditeur. La matrice d'amortissement [C] peut être utilisée en analyse harmonique, modale amortie, transitoire de même qu'en analyse de systèmes sous sustructurés. La forme générale est la suivante: Nm

[C]=S [M]+(B+Bc) [K] +

F i=1

Ne N* m 2 @Q B + B [K ] + M) i , P F[Ck] + [C@] A i+ i O L( k=1

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Avec: [C] = Amortissement structural # = coefficient d'amortissement inertiel $ = coefficient d'amortissement élastique $c = coefficient d'amortissement élastique variable Nm = nombre de matériaux avec des données d'amortissements m Bi = le coefficient d'amortissement élastique pour le matériau i. @ B = le coefficient d'amortissement constant (par rapport aux fréquences) pour le matériau i. i % = la pulsation d'excitation Ki = la matrice de raideur de la structure associée au matériau i. Ne = le nombre d'éléments avec l'amortissement spécifié. Ck = la matrice d'amortissement élémentaire C& = la matrice d'amortissement dépendant des fréquences.

2.8.6Absorbeur de vibrations dynamique-"Amortisseur de Frahm" Il est intéressant de traiter de l'amortisseur dynamique dont il existe quelques applications (matériel de sport, certaines machines tournantes). Il est efficace pour une bande de fréquence très réduite. Il s'agit du cas où on observe dans une étude harmonique une anti-résonance. La forme de cet absorbeur donnée dans la figure 42 ci dessous:

F1(t) C m2

m1 K1

K3 x1(t)

x2(t)

Figure 42 Absorbeur de Frahm En fait la masse m2 doit être bien plus faible que la masse m1 qui doit être "amortie". La question est de définir les caractéristiques de c,k3 et m2 pour que m1 soit immobile lorsqu'elle subit un chargement dynamique F1(t)=F1 Cos(A t) .. . . 4m1x1+ k1 x1+c(x1-x2)+k3 (x1 - x2) = F1 Cos(A t) . . Les équations à résoudre sont : 3 .. 2m2x2+c(x2 - x1)+k3 (x2 - x1)= 0 Le cas a déjà été traité ci avant. On veut que x1(t) soit nul, testons cette solution.

40 k1 0+c(0-x2)+k3 (0 - x2) = F1 Cos(A t) 3 .. . 2m2x2+c(x2 - 0)+k3 (x2 -0)= 0 .. Dans le cas où c est très faible, on aura m2x2+ k3 x2 = 0 qui est l'équation en régime libre de m2 et qui donne x2(t)=X2 cos(!02 t-"2) F1 Or la première équation donne : x2(t)= cos(A t) k

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On en déduit :

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4$ !02=A F 3X2=k3 2$"2='

Remarques: - La résolution détaillée avec amortissement se fait selon la démarche du §2.5 - Ce composant est efficace si sa fréquence propre est celle à filtrer. - Si c est trop petit, le composant est très sollicité et s'il est trop grand il perd de son efficacité.

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3 Modèles éléments finis : 3.1

Introduction:

Lorsque le système à étudier est complexe, on peut en faire l'analyse numérique par une méthode matricielle. Une de ces méthodes est la méthode des éléments finis. Elle consiste à définir comme inconnues, les déplacements de points particuliers de la structure on appellera ces points noeuds. 3.2 Construction de la matrice de raideur Dans le cas d’éléments simples comme les poutres, on utilise les relations élastiques issues de la théorie de la résistance des matériaux pour construire la matrice de raideur.

3.2.1.1

Cas d'un ressort:

On connaît le comportement de structures élémentaires de référence dans un repère donné. Ces structures élémentaires de références sont les éléments finis. 1 On part de l’expression de l’énergie potentielle : Ep = {x}t [K] {x} 2 Ressort classique en dans le plan: On applique au noeud P1 du ressort une force F1 et au noeud P2 une force F2. Le noeud P1 se déplace de la valeur u1 selon x et le noeud P2 de la valeur u2 selon x.

y F1

F2 P1

3.2.1.1.1 Matrice de raideur Cas d’un ressort 1 N k11 k12 Q La matrice de raideur [Ke]= ML k k PO est déterminée par Wint = Wext = (F1 u1+F2 u2) 2 21 22 1 1 Soit Wext = k (u1 - u2)! = k (u1! - 2 u1 u2 + u2!) 2 2 $4F1$& N k11 k12 Q $4u1$& On a alors 3F % = ML k k PO 3u % $ 2#$ 2$ 2#$ 21 22 2 et Wint=

1 $43F1$&%t $43u1$&% 1 $43u1$&%t N k11 k12 Q $43u1$&% M P = 2 2$F2#$ 2$u2#$ 2 2$u2#$ L k21 k22 O 2$u2#$

1 = (k11 u1! + (k12 + k21) u1 u2+k22 u2!) 2

N 1-1Q P On en déduit: k11 = k22 = k et k12 = k21 = -k soit [Ke]=k M L-1 1O

On a choisi de définir [ke] comme une matrice symétrique. Dans le cas d'une barre jouant le rôle d'un ressort, on a k = Fonctions d'interpolation:

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Pour calculer Wint, il faut pouvoir calculer le déplacement d'un point M quelconque pris entre P1 et P2. Ce point M est à la distance x de P1 et à la distance (L-x) de P2. Son déplacement selon x est Ux(x). On peut alors faire une interpolation linéaire de Ux(x) entre u1 et u2: Ux(x) L-x x Ux(x) = u1 + u2 u1 L L Ux(x) x

Ux(x) est la fonction d'interpolation de l'élément ressort.

On en déduit: N(x) = S Txx(x) = E S Rxx(x) u2-u1 u2-u1 Avec Rxx(x) = , on a N(x) = E S L L L 1 ES / Txx(x) Rxx(x) dx = Alors Wint = S . (u -u )! C.Q.F.D. 2 2L 2 1 0

3.2.1.1.2 Faisons une rotation du ressort dans le plan (x,y): v2

On décompose alors les forces F1 et F2 à l'aide de leur projections sur x et y. De même, nous projetons les déplacements sur x, et y. On obtient alors: 4$Fx1&$ N k11 k12 k13 k14 Q 4u1& F k k k k v 3Fyx12% = M k2131 k2232 k2333 k2434 P 3u12% $2Fy2$# L k41 k42 k43 k44 O 2v2#

2 u2

Alors, on peut calculer tous les termes de la matrice de raideur d'un ressort (ou d'une barre) dans un repère quelconque.

3.2.1.2

Calcul de la matrice de raideur d'une poutre:

Dans le cas d'une poutre (formulation classique comme celle que nous avons vu en cours), on sait calculer les relations entre torseurs d'efforts et déplacements par les méthodes énergétiques (Castigliano ...). De l'ensemble de ces relations, on déduit la matrice de raideur 12 x 12 d'un élément poutre dans son repère propre. y

p1 !z 1 w1

!y 1

!x 1

!z w

+M !x

!y 2

p2 w2

u2 x

!z 2 !x 2

Structure réelle

Cours de mécanique vibratoire de POLYTECH’SAVOIE Site d’Annecy. Auteur : Serge SAMPER Page 62/80 On veut pouvoir calculer les contraintes et les déplacements d'un point quelconque d'un élément poutre à partir des 6 déplacements des deux noeuds de l'élément. La matrice de raideur permet de relier les 12 composantes (1 torseur /noeud = 6 composantes par noeud) d'efforts de l'élément aux 12 composantes de déplacements (3 translation + 3 rotations par noeud). Mac Serge:Users:sergesamper:Documents:enseignement:MGM_755_Vibrations:cours:Cours de vibrations.doc

On peut construire les fonctions d’interpolation (matrice [A]) qui donnent les 6 déplacements de M (vecteur noté {UM}) par rapport aux 2*6 déplacements (vecteur noté {x}) des 2 noeuds : {UM}=[A]{x} Fx1 Fy1 Fz1 Cx1 Cy1 Cz1 Fx2 Fy2 Fz2 Cx2 Cy2 Cz2

4 $ $ 3 $ $ 2

& $ $ % $ $ #

u1 v1 w1 Jx1 Jy1 Jz1 u2 v2 w2 Jx2 Jy2 Jz2

Q4$ P$ P$ P3 P$ P$ O$2

k11 k12 k12 k22 ... k13 k23 k33 k14 ... k15 ... k ... = k16 ... 17 k18 ... k19 ... k110 ... k111 ... k112 ...

k112 k212 k312 k412 k512 k612 k712 k812 k912 k1012 k1112 k1212

N M M M M M L

&$ $ $ % $ $ $#

On peut calculer à l'aide des théorèmes énergétiques que nous avons vu précédemment, tous les termes de la matrice de raideur ci dessus, pour obtenir la matrice élémentaire suivante: U1 ES L

Jx1

Jy1

Jz1

u2 ES L

Jx2

Jy2

Jz2

12 EIz L3

6 EIz L2

-12 EIz L3

6 EIz L2

12 EI y L3

-6 EIy L2

-12 EIy L3

-6 EIy L2

GJ L

Jx1

4 EIy L

6 EIy L2

2 EIy L

Jy1

4 EIz L

-6 EIz L2

2 EIz L

Jz1

ES L

12 EIz L3

-6 EIz L2

12 EI y L3

6 EIy L2

GJ L

Jx2

4 EIy L

Jy2

4 EIz L

Jz2

[Kél]=

NK11K12Q On écrira : [Kél.]=MLK K PO 12

Dans la cas d’une poutre à section quelconque composite on a:

GJ L

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Mac Serge:Users:sergesamper:Documents:enseignement:MGM_755_Vibrations:cours:Cours de vibrations.doc

[Kel]=

# ES %L % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % $

12 EI z

(

L3 1 + " y

)

0 12 EI y

L3 (1 + " z )

0 !

12 q EI z

(

L3 1 + " y 12 p EI y

L3 (1 + " z ) 2 GJ 12 p EI y + 3 + L L (1 + " z ) 12 q 2 EI z

(

L3 1 + " y

)

0 6 EI z

)

(

L2 (1 + " z )

6 p EI y

6 q EI z

(

)

(

)

0 ES L

12 EI z

(

L3 1 + " y

12 q EI z

(

L3 1 + " y

)

L2 1 + " y

)

0 12 EI z

(

L3 1 + " y

L3 (1 + " z ) 12 p EI y

0 12 q EI z

(

)

L3 1 + " y 6 p EI y ! 2 L (1 + " z ) 6 q EI z

(

L2 1 + " y

)

0 !

0 12 EI y

L3 (1 + " z )

6 EI y

L2 (1 + " z )

6 p EI y

(2 ! " z ) EI y L (1 + " z ) 0 0

12 q EI z

(

)

(

)

L3 1 + " y 12 p EI z L3 1 + " y

)

L3 1 + " y 12 p EI y ! 3 L (1 + " z ) 2 GJ 12 p EI y ! ! 3 ! L L (1 + " z )

)

2 L3 (1 + " z ) 12 q EI z

L2 (1 + " z )

6 EI z

(

12 EI y

6 EI y

0 !

)

(4 + " y ) EI z L 1+ "y

L2 1 + " y

(4 + " z ) EI y L (1 + " z )

)

L2 1 + " y

6 EI y

ES ! L

0 6 EI y

L2 (1 + " z )

12 p 2 EI y

GJ + 3 + L L (1 + " z ) 12 q 2 EI z

(

L3 1 + " y

)

6 p EI y

L2 (1 + " z ) (4 + " z ) EI y L(1 + " z )

& ( ( 6 EI z ( 2 L 1+ "y ( ( ( 0 ( ( ( ( 6 q EI z ( ! 2 L 1+ "y ( ( ( ( ( 0 ( (2 ! " y ) EI z ( ( L 1+ "y ( ( ( 0 ( 6 EI z ( ! ( L2 1 + " y ( ( ( 0 ( ( ( ( 6 q EI z ( ( L2 1 + " y ( ( ( ( 0 ( ( (4 + " y ) EI z ( L 1 + " y (' 0

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

4p = - Iy /.DE1 z U(y;z)dS avec 3 et 1 q = /E y U(y;z) dS 2 Iz .D 1

U(y,z) = "(y,z)+y q- z p où "(y,z) est la fonction de gauchissement de la

section. p et q sont les coordonnées du centre de torsion dans le repère élastique.

3.2.1.3

Cas général

Dans le cas général, on construit la matrice de raideur par la méthode générale suivante : 1Définition de l’élément de référence (plaque, tétraêdre, …). La géométrie de l’élément de référence impose la position des noeuds et le nombre de degrés de liberté par nœud. 2Construction des fonctions d’interpolations (matrice [N]). On cherche à calculer le vecteur déplacement d’un point quelconque du solide élémentaire à partir d’interpolations des déplacements nodaux. On construit alors la relation matricielle suivante : 3-

Dérivations de [N], obtention de la matrice dérivée [6N]

Intégration sur le volume élémentaire du produit [6N]t[C][6N] pour l’obtention de la matrice de raideur.

Application du cas général à celui d’une poutre : Un ensemble de noeuds étant défini sur la structure, désigné par la colonne {q} (vecteur des déplacements nodaux), on sait que le champ des déplacements en tout point amène à la définition:

Cours de mécanique vibratoire de POLYTECH’SAVOIE Site d’Annecy. Auteur : Serge SAMPER Page 64/80 - du champ des déplacements en tout point par l'intermédiaire d'une matrice d'interpolations notée [N] VV5 telle que: M0M1 = [N] {x} Mac Serge:Users:sergesamper:Documents:enseignement:MGM_755_Vibrations:cours:Cours de vibrations.doc

- du champ linéaire des déformations sous la forme : {R} = [B] {x} Ux y

p x

M Uy Uz

+M u

z Structure réelle Soit U le champ de déplacements d’un point courant dans le volume élémentaire. On exprime alors ses composantes par rapport aux déplacements du centre de la section à laquelle il appartient : Ux(x,y,z,t) = u(x,t) - y Jz(x,t)+z Jy(x,t)+ Uy(x,y,z,t) = v(x,t) - z Jx(x,t) Uz(x,y,z,t) = w(x,t) + y Jx(x,t)

!u% #v # # # !U x ( x , y , z ) % #w# # # Soit U M ( x , y , z ) = "U y ( x , y , z ) & = [G]" & #U ( x , y , z ) # #( x # $ z ' #( y # # # $(z '

N 1 0 0 0 z -y Q Avec [G]=MM 0 1 0 -z 0 0 PP L0 0 1 y 0 0 O Puis on calcule les déplacements du centre de gravité de la section par rapport aux déplacements nodaux : u1 v1 w1 Jx1 u Jy1 v N Q Jz1 w Jx = ML A PO u2 Jy v2 w Jz 2 Jx2 Jy2 Jz2 On5 en déduit la relation : [N] = [G] [A] et UM(x;y;z)=[N]{x}

4$ 3 $2

&$ % $#

4$ $ $ 3 $ $ $2

&$ $ $ % $ $ $#

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Mac Serge:Users:sergesamper:Documents:enseignement:MGM_755_Vibrations:cours:Cours de vibrations.doc

Q Q /N /N M{R}t {T}P dv D MI{x}t[B]t[D][B]{x}P dv 2 Ep=D P P DM DM O O .L .L v v N Q 1 t/ M P dv {x} D t [B] [D][B] Ep= {x} D M P 2 O .L v il vient,

3.3

Q /N M P dv D t [B] [D][B] [K] = D M P O .L v

Assemblage de raideurs

Dans le cas de structures complexes, les éléments sont assemblés entre eux par la transmission de l'un à l'autre de degré de liberté. Ce sont ces degrés de liberté en commun qui interviennent dans l'assemblage des matrices de raideurs élémentaires.

N5 N4 N3

E5 E4

N2 E1

N1 Poteau en 5 éléments poutres Poteau Si on traîte le problème dans le plan, il ne nous reste plus que 3 ddl / noeud. Le système complet est alors à 3*5=15 ddl soient 15 équations! On peut alors assembler des 5 matrices de raideur selon la méthode suivante:

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Noeud 1

Noeud 2

Noeud 3

Noeud 4

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Noeud 5 Nœud

K1 11

K1 12

K1 22 K1 12

+ K2 11

[K GLOBALE] =

Nœud K2 12

K2 22 0

K2 12

+K3 11

2 Nœud

K4 12

K3 12

+ K4 11 K4 22 0

3.4

Nœud

K4 12

+ K5 11

K5 12

K3 12

K5 12

K5 22 +

Nœud

K3 22

Construction de la matrice de masse

On construit la matrice de masse élémentaire (d’un élément particulier donné) à partir de l’expression de l’énergie cinétique : 1 5 / V (x;y;z))!dm Ec= . 2 ( 5 V (x;y;z) est le vecteur vitesse en du point courant. Or on interpole de la même manière les déplacements et les vitesses. . C’est à dire qu’on écrit {V(x;y;z)}=[N] {x } D’où Ec=

1t . {x } 2

il vient,

Q /N . . . D MKt[N] [N]P dvolume {x } =1 t{x }[M]{x } P DM 2 O .L volume

Q /N M D t K [N] [N]PP dvolume [M] = DM O .L volume

De la même manière qu’avec les matrices de raideur, on construit la matrice de masse globale par assemblage des matrices de masse élémentaires.

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Dans le cas d’une poutre : 0 #< "S > 0 % < "S > 0 % < "S > % % % l% [M ] = % 2 % % Symétrie % % % % $

< "A y > ! < "A y > 0 < "Az > 0 0

< "Ip >

0 < "I y >

! < "Az > 0

! < "I yz >

< "I z >

< "S >

< "A y > < "S > 0 ! < "A y > 0 < "S > < "Az > 0 0

< "Ip >

0 < "I y >

& ( 0 ( 0 ( 0 ( 0 ( ( 0 ! < "Az > ( ( 0 ( 0 ( 0 ( ! < "I yz > ( ( < "I z > ' 0

3.5 Résolution du système dynamique Même méthode que celle des systèmes discrets à plusieurs ddl à savoir: On a calculé [K] et [M], on cherche alors la matrice [M]-1[K] dont on extrait les valeurs propres (pulsations propres au carré) et les vecteurs propres associés (déformées modales). 3.6

Méthodologie

Des logiciels tels que MSC/NASTRAN, CASTEM 2000, ABAQUS, ANSYS constituent des outils extrêmement efficaces dont l'utilisation permet de résoudre une immense variété de problèmes. Il s'agit de véritables outil industriels, aux multiples facettes, qui permettent de se concentrer sur les véritables problèmes de l'ingénieur mécanicien : Ce sont le choix des hypothèses retenues et les décisions associées qui doivent être prises avant, pendant et après l'utilisation du logiciel. Les conséquences au niveau de la formation de l'ingénieur mécanicien: Il lui faut approfondir les hypothèses communément retenues et la compréhension des conséquences qui en résultent pour les modèles mécaniques et de simulation, de façon à maîtriser et à pouvoir critiquer les conséquences des décisions qu'il doit prendre. Par exemple, pour un problème d'analyse avec recherche d'une optimisation de la forme, en vibrations les étapes suivantes peuvent être mis en évidence : 1) avant la discrétisation par éléments finis, ne pas oublier le modèle mécanique : - choix de la stratégie d'analyse du problème, (modèles imbriqués), - paramétrage de la structure, - conditions aux limites, - prise en compte des symétries, - comportement des matériaux, - modélisation poutre, coque ou tridimensionnelle, - prise en compte des accidents géométriques, (surcontraintes, zones de rupture possible) 2) au moment de la discrétisation : - choix des types d'éléments en fonction du modèle mécanique adopté (poutres, plaques coques, solides, degré des fonctions d'interpolation), - finesse de la discrétisation en fonction du travail effectué: parties supposées parfaitement rigides, liaisons cinématiques diverses, 3) pendant le choix des paramètres précisant la modélisation : - choix d'une matrice masse cohérente ou concentrée (avec ses conséquences sur la précision et sur les temps de calcul) - choix de la méthode de recherche des valeurs propres (coût de calcul) et des valeurs de paramètres à fournir, (précision, convergence, coût de calcul)

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4) pendant l'analyse des résultats : - avant de produire de belles images en couleur et animées sur un écran à l'aide du postprocesseur, ne pas oublier de regarder les fichiers résultats, pour s'assurer que le calcul s'est déroulé normalement, - après avoir obtenu des résultats, se demander si le maillage est bien convenable, compte tenu de ce qui est recherché dans le calcul, - ne pas oublier les hypothèses effectuées au départ, pendant le dépouillement des résultats (petites perturbations et élasticité linéaire par exemple), de façon à être sûr de produire des résultats prédictifs du point de vue physique. - en cas de forts couplages et de non linéarités, attention à la possibilité de non prédictibilité : Le chaos n’est pas toujours aussi loin qu’on le voudrait. 5) la conception est une démarche multi-vues itérative et convergente : - les modélisations sont de difficultés croissantes (modèle un ddl si possible, puis EF poutre, puis … modèle 3D complexe avec prise en compte des non linéarités,…). - les « points de vue » doivent êtres riches de façon à observer le plus de phénomènes possibles sur le modèle analysé (analyse modale, harmonique, spectrale, transitoire, mesures correspondantes). - la démarche cherche la convergence d’un modèle à l’autre. En cas de grande différence, on cherchera à analyser la cause. 6) des règles seront à extraire : - l’ensemble des travaux menés doivent être traduits par des règles de calcul afin d’augmenter le capital de connaissance dans l’entreprise sur ses spécificités.

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4 Systèmes continus Rappels : Cf. Cours de RDM On utilisera les coordonnées cartésiennes. Le solide est en équilibre sous l’action de forces de surface sur sa périphérie et de forces de volume (ou actions à distance). Nous allons écrire cet équilibre sous deux formes d’équations: " Les équations d’équilibre à sa surface qui traduisent les conditions aux limites. # Les équations d’équilibre d’une sous partie du volume que nous appellerons équations d’équilibre (ou équations d’équilibre indéfini).

4.1.1Equations d’équilibre indéfini: Le vecteur forces de volume s’écrit: Forces de volume à l'intérieur

!11+ "!11 "x1

$4Fv1 5 F = 3Fv2 2$Fv3

dx1

5 4$dF11&$ 5 La force appliquée sur la surface dS1 (de normale x1 ) vaut dF1 = 3dF12% 2$dF13#$ 6T11 6T11 dF11 = dx1 (dx2 dx3) = dv 6x1 6x1 6T12 dv Avec dF12 = en statique. 6x1 6T13 dF13 = dv 6x1 5 5 On calcule dF2 et dF3 , et on applique le principe fondamental de la dynamique au cube élémentaire: 5 5 5 WdF = dM 0 = K dv 0

4$ 3 $2

On a alors : 6T11 6T12 6T13 6x1! dv + dv + dv + fv1 dv = K dv 6x1 6x2 6x3 6t! 6T12 6T22 6T23 6x2! dv + dv + dv + fv2 dv = K dv 6x1 6x2 6x3 6t! 6T13 6T23 6T33 6x3! dv + dv + dv + fv3 dv = K dv 6x1 6x2 6x3 6t!

4$ 3 $2

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Soit, sous sa forme contractée:

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5 5 VV5 K 0 = fv +div([T]) dans la matière

Ce sont les équations d’équilibre dynamique! En fait, on a des flux de contraintes dans le volume élémentaire qui sont dus à des forces de volumes (fv) (champ magnétique, ...) et à des forces d’inertie (K 0 dv).

4.1.2Conditions aux limites:

fs dS

*n15 En un point P situé sur la surface S du domaine D, dont la normale (locale) est n ))n2,,, une pression 5 fs est (n3+ *fs1appliquée. 5 fs ))fs2,, (fs3+ La surface dS est en équilibre. On a 5 Xn - 5 fs = 5 0 n Soit T11 n1 + T12 n2 + T13 n3 = fs1 T12 n1 + T22 n2 + T23 n3 = fs2 T13 n1 + T23 n2 + T33 n3 = fs3 On en déduit:

fsi = Tij nj

à la surface

Remarque: Quand la surface est libre d’efforts, alors on a 4.2

Tij nj = 0

Théorie des cordes vibrantes

Les cordes vibrantes ont été étudiées par de nombreux scientifiques dont d’Alembert est le premier à avoir écrit le comportement avec précision. Il est possible d’écrire des modèles de différents niveaux de complexité en prenant en compte de nombreux facteurs, dont la varition de la tension avec la vibration (la corde en vibrant change sa tension) amortissement lié à l’air, la dissipation de leurs supports, le couplage des vibrations d’une corde à l’autre… Nous décrirons dans ce paragraphe la théorie la plus simple qui permet néanmoins de donner avec précision les fréquences propres d’une corde pour une tension de précharge donnée. 4.2.1

Hypothèses :

H1 : Les cordes sont des systèmes mécaniques à raideur nulle en flexion. H2 : Les cordes ont un diamètre négligeable. H1 et H2 nous permettent de ne pas écrire les vibrations de flexion avec une théorie des poutres. 4.2.2

Mise en equation

http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Standing_wave.gif

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4.3

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Vibrations longitudinales (traction - compression)

5 5 VV5 On part de l'équation d'équilibre: K 0 = fv +div([T]) en uniaxial et en l'absence de forces de volume l’équation s’écrit: 6Txx 6Rxx 6! u(x;t) div(Txx)= =E =E 6x 6x 6x! 6! u(x;t) 6! u(x;t) d’où E =K 6x! 6t! soit a =

E alors l'équation s'écrit: K

6! u(x;t) 6! u(x;t) - a! =0 6t! 6x!

On sépare les variables d'espace et de temps (à notre échelle). 4$q''(t)+!! q(t) = 0 !! u(x,t) = X(x).q(t) alors on peut écrire: 3 $2X''(x)+ a! X(x)= 0 On en déduit: q(t) = Q cos(! t+"q) et X(x) = U cos(! x/a + "x) En fait on écrira u(x,t) sous la forme suivante: N *! x*! x-Q u(x;t)=MA Sin) ,+ B Cos) ,P Cos(! t+"q) L ( a + ( a +O X(x)=amplitude

q(t)=vibration

E la vitesse de l'onde de traction - compression dans le matériau. K ES a! k et k = et m = K S l soit = l l! m Conditions aux limites : avec a =

- Encastrement en x=I : u(I,t)=0 : X(I)=0 - Libre en x=I : N(I,t)=0 : Txx(I;t)= 0 : Rxx(I;t)= 0 :

6 u(I;t) =0 : X’(I)=0 6x

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Poutre

Solution générale mode pulsation n )a %n ) x( ' *n= "n(x)=B Cos$ $ ' # & k n k *n= n ) Fn= m 2 m

Libre – Libre m,k,l

x=0 !u(0;t) =0 !x

x=l !u(l;t) =0 !x

Encastrée – Encastrée m,k,l u(0,t)=0

u(l,t)=0

Encastrée - Libre m,k,l x=0 u(0,t)=0

u(0,t)=0 Masse – Masse m,k,l

Noeud

pulsation n )a %n ) x( ' *n= "n(x)=A Sin$ $ ' # & k n k *n= n ) Fn= m 2 m mode pulsation (2n-1))a %(2n-1))x( ' *n= "n(x)=A Sin$ $ 2 ' 2 # &

(2n-1)) *n= 2

Encastrée Masse m,k,l

M1 M2

mode

x=l !u(l;t) =0 !x

1 Mode propre mode pulsation )a % ) x( "1(x)=Cos$ ' *1= $ ' # & !1

2eme Mode propre mode pulsation 2 )a %2 ) x( ' *2= "2(x)=Cos$ $ ' # &

3!4

mode

% ) x( "1(x)=Sin$ ' $ ' # & !1

mode

%)x( "n(x)=Sin$ ' $2 ' # &

k (2n-1) k Fn= m 4 m er 1 Mode: approximation grossière mode pulsation % m x( + ' "1(x)=A Sin$ *1= M M $ 2 '& # m<<M mode pulsation + "1(x)=A Sin(*t+,) *1= M1 M2 M1+M2 m<<M

Mac

Page 72/80 er

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!2 0

pulsation )a *1=

mode

pulsation 2 )a *2=

%2 ) x( ' "2(x)=Sin$ $ ' # & !1

pulsation )a *n= 2

mode

pulsation 3)a %3)x( ' *2= "2(x)=Sin$ $2 ' 2 # & !1

! x

1er Mode: approximation plus fine mode pulsation % + m x( "1(x)=Sin$ *1= ' m m $ ' M+ M+ 3 & 3 #

mode % % x( m "1(x)=A $Sin$*1 '# # a & M1 pulsation + *1= M1 M2 m + M1+M2 3

1 M1M2 % x( ( + Cos$*1 ' ' 3 m(M1+M2) # a& &

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Mac

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4.4 Vibrations longitudinales (Torsion) On peut traiter aisément de la torsion des poutres dans le cas où le flux de cisaillement est circulaire c’est à dire dans les sections circulaires pleines ou pas. Dans les autres cas la théorie développée ici peut encore être utilisée mais il faudra calculer la raideur de section GJ qui sera différente de GI0. On part de l'équation d'équilibre: &" !(x;t) 1 J !¨ =" Moments # ! dm R" !¨ = dMt # $% R4dx = dMt 2 &t" &" !(x;t) dMt &!(x;t) Mt 1 2 Mt # $% R4 = or = = 2 dx G I0 G % R4 &t" &x &" !(x;t) &" !(x;t) d’où G =$ &x" &t" G la vitesse de l’onde de cisaillement, alors l'équation s'écrit: $

Soit c =

&"!(x;t) &" !(x;t) - c" =0 &t" &x"

C'est le même problème qu'en traction.

) /3 x2 /3 x2, !(x;t)=(A Sin. 1+ B Cos. 1+ Sin(3 t+4) ' - a 0 - a 0* 5(x)=amplitude soit

q(t)=vibration

GI0 avec k= (*) et Ja = $ I0

k Ja

Conditions aux limites : - Encastrement en x=6 7 !(6,t)=0 7 5(6)=0 & !(6;t) - Libre en x=6 7 Mt(6,t)=0 7 8(6;t)= 0 7 =0 7 5’(6)=0 &x

(*)

Notez que ces formules ne sont valables que pour des poutres de révolution. Pour d’autres poutres, l’erreur sera d’autant plus grande que la section n’est pas de révolution (cas le plus défavorable pour les profilés ouverts du type section en U).

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Poutre Libre – Libre Ja,k,

!"(0;t) =0 !x

Solution générale mode pulsation n *c &n * x) ( +n= #n(x)=Cos% % ( $ ' k n k +n= n * Fn= Ja 2 Ja

1er Mode propre mode pulsation *c & * x) #(x)=Cos% ( += % ( $ '

mode

x=0

!"(l;t) =0 !x

Encastrée – Encastrée Ja,k,l

"(l,t)=0

Encastrée – Libre Ja,k,l x=0 "(0,t)=0

mode

!1 0

pulsation (2n-1)*c +n= 2

Inertie – Inertie k,Ja J1

J2 J1

mode

&*x) #1(x)=Sin% ( %2 ( $ ' !1

k Ja

1er Mode: approximation grossière mode pulsation & Ja x ) k ( #1(x)=Sin% +1= J2( J % $ '

mode

pulsation

#1(x)=A Sin(+t+,)

+1=

J1 J2 J1+J2

si Ja <<J

2eme Mode propre mode pulsation 2 *c &2 * x) ( +2= #2(x)=Cos% % ( $ '

3!4

Encastrée Inertie Ja,k,l J

& * x) #1(x)=Sin% ( % ( $ '

&(2n-1)*x) ( #n(x)=Sin% % 2 ( $ ' (2n-1)* k (2n-1) +n= Fn = 2 Ja 4

x=l !"(l;t) =0 !x

pulsation n *c &n * x) ( +n= #n(x)=Cos% % ( $ ' n* k n k +n= Fn = 2 Ja 4 Ja

"(0,t)=0

Mac

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pulsation *c +1=

mode

&2 * x) ( #2(x)=Sin% % ( $ '

! x

pulsation *c +1= 2

pulsation 2 *c +2=

mode

pulsation 3*c &3*x) ( +2= #2(x)=Sin% %2 ( 2 $ ' !1

! x

1er Mode: approximation plus fine mode pulsation & Ja x) k #1(x)=Sin% +1= ( Ja Ja % J+ ( J+ 3 ' 3 $

& & x) Ja #1(x)=A %Sin%+1 ($ $ c ' J1

1 J1J2 & x) ) + Cos%+1 ( ( +1= 3 Ja(J1+J2) $ c' '

J1 J2 Ja + J1+J2 3

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4.5

Mac

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Vibrations de flexion des poutres droites

Ici, il faut reprendre la RDM des poutres. y

Mz(x)

G(x+dx)

G(x) x

En l’absence de charges réparties (ou en les négligeant localement face aux forces d'inertie, on écrit:

$"PFD/y: r S %!Uy(x;t) = dTy dx %t! # dMz !" Ty = - dx

%! Uy(x;t) % x! D'où l'équation générale suivante: %! Uy(x;t) d Ty %4 Uy(x;t) d! Mz &S = == -EIz =Cte = -'! dx dx! % t! % x4 Or on a déjà vu: Mz= EIz

Soit

%! Uy(x;t) %4 Uy(x;t) + EIz =0 % t! % x4

On sépare les fonctions d'espace et de temps et on écrit Uy(x,t) de la manière suivante: Uy(x,t) = ((x).q(t) L’équation différentielle ci dessus devient : & S ( q’’ + E Iz q (’’’’=0 q'' EIz ('''' ) == cte =-'! q &S ( $"d!q(t) +'! q(t) =0 dt! On en déduit #d4((x) avec '!>0 &S "! dx4 -'!EIz ((x)= 0 d’où q(t)= Q1 sin('t) + Q2 cos('t) et ((x)= * sin(+ x) + B cos(+ x) + C sh(+ x) + D ch(+ x) . 1 Uy(x;t)=--A Sin(+ x)+B Cos(+ x)+C Sh(+ x)+D Ch(+ x)00 Sin(' t+2) , / ((x)=amplitude

avec

$" + = 4 &S '! EI # 2 EI "!ou '=+! &S

q(t)=vibration

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posons +L=X alors

X X! += et '= L L!

EI = X! &S

EI "m:masse de la poutre " mL3 "L:longueur de la poutre

Vous remarquez l’écriture de la fréquence :

Fréq=

1 X! 23 L!

E &

I S

Avec : X Ø fonction des CL et du n° du mode L Ø La longueur de la poutre E ØLa vitesse de l'onde dans la matière = coefficient matériau & I Ø la raideur spécifique de la section = coefficient section S Conditions aux Limites

$ " " # " " !

$"((4) =0 Encastrement en x=4 ) ) #d((4) "! dx = 0 $"((4)=0 $"v(4;t)=0 # Appui simple en x=4 ) ) #d!((4) = 0 !"Mz(4;t)=0 !" dx! d!((4) $ =0 " "$Mz(4;t)=0 dx! Extrémité Libre en x=4 ) # )# d"((4) !"Ty(4;t)=0 !" dx" = 0 "$v(4;t)=0 # !"5(4;t)=0

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Poutr Equation e

X21

X22

Xn2

1+Ch(X) Cos(X)=0 E-L A+C=0 et B+D=0 E-A

tg(X)=th(X) A+C=0 et B+D=0 tg(X) = th(X)

L-A A=C et B=D 1-Ch(X) Cos(X)=0 L-L A=C et B=D

3,516 22,03 ((2n-1)$/2)! approximation.. 15,41 49,96 ((4n+1)$/4)! approximation. ((4 n-3)$/4)! 15,41 49,96 approximation.

A+C=0 et B+D=0

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X1 X21 Premier Mode : !1= "1= L L!

X2 X22 Deuxième Mode !2= "1= L L!

EI #S (

(

)

%(x)=A'Sin (!x)-Sh (!x)*+B'Cos(!x)-Ch(!x)*

( &

+ )

( &

((2 n+1)$/2)! 22,37 61,67 approximation.

22,37 61,67 ((2n+1)$/2)!

( &

+ ( ) &

Sin(X) = 0 B=C=D=0

4 $!

n! $!

+ )

%(x)=A 'Sin(!x)-Sh(!x)*+B 'Cos(!x)-Ch(!x)*

approximation. A-A

+ )

%(x)=A 'Sin (!x)+Sh(!x)*+B'Cos(!x)+Ch (!x)*

1-Ch(X) Cos(X)=0 E-E

Mac

%(x)=A Sin(!x)

EI #S

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Applications sur les vibrations des poutres continues : # & " On part de v(x;t)="A Sin(' x)+B Cos(' x)+C Sh(' x)+D Ch(' x)%% Sin(( t+)) ! $ A Sin(' x) + B Cos(' x) + C Sh(' x) +D Ch(' x) -+)(x)= )'(x)= A' Cos(' x) - B' Sin(' x) +C' Ch(' x) +D' Sh(' x) On a , )''(x)= -A '! Sin(' x) -B '! Cos(' x) +C '! Sh(' x) +D '! Ch(' x) +*)'''(x)= - A '3Cos(' x) +B '3 Sin(' x) +C '3 Ch(' x) +D '3 Sh(' x) Cas de la poutre encastrée - encastrée: -+)(0)=0 (1) -+)(L)=0 (3) , à l’encastrement. et , à l’extrêmité encastrée. *+)’(0)=0 (2) *+)'(L)=0 (4) -+)(0)=0 (1) -+)(L)=0 -+B+D=0 D’où , .,A+C=0 et , . *+ *+)’(0)=0 (2) *+)'(L)=0 -+A Sin('L)+B Cos('L)-A Sh('L)-B Ch('L)=0 , *+A Cos('L)-A Ch('L)-B Sin('L)-B Sh('L)=0 B Cos('L)-B Cosh('L) -+ A=Sin('L)-Sh('L) ., . +*A Cos('L)-A Ch('L)-B Sin('L)-B Sh('L)=0 B Cos('L)-B Cosh('L) -+ A=Sin('L)-Sh('L) , +*-1+ Ch('L)Cos('L)=0 D’où les solutions de -1+ Ch('L)Cos('L)=0 à l’intersection de la fonction

D’où les solutions: '01L=4,73 '02L=7,82 '03L=11 et '0nL=(2n+1)//2 Pour Ch('0nL ) grand l’équation revient à Cos('0nL)=0+

1 et de la fonction Ch('L): Cos('L)

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Cas de la poutre encastrée libre :

-+)(0)=0 (1) (3) +-A+C=0 à l’extrêmité libre. , .,B+D=0 (4) *+ *+)’(0)=0 (2) -+)''(L)=0 (3) -+B Cos('L)+B Ch('L)+A Sin('L)+A Sh('L)=0 , ., *+)'''(L)=0 (4) *+-A Cos('L)-A Ch('L)+B Sin('L)- B Sh('L)=0 B Cos('L)+B Cosh('L) -+ A=Sin('L)+Sh('L) ., +*1+ Ch('L)Cos('L)=0

On aura

-+)''(L)=0 , *+)'''(L)=0

D’où les solutions de 1+ Ch('L)Cos('L)=0 à l’intersection de la fonction

-1 et de la fonction Ch('L): Cos('L)

D’où les solutions: '01L=1,875 '02L=4,694 '02L=7,8547 '03L=11 et '0nL=(2n-1)//2 Pour Ch('0nL ) grand l’équation revient à Cos('0nL)= 0-

Cas de la poutre libre-libre :

+-)''(0)=0 (1) +-)''(L)=0 (3) +-)''(0)=0 (1) +--B +D=0 , , et , . ,-A+C=0 *+ +*)'''(0)=0 (2) +*)'''(L)=0 (4) +*)'''(0)=0 (2) +-)''(L)=0 (3) +- -A Sin(' L)-B Cos(' L)+A Sh(' L)+B Ch(' L)= 0 , ., +*)'''(L)=0 (4) +* - A Cos(' L)+B Sin(' L)+A Ch(' L)+B Sh(' L)=0 +- -A Sin(' L)-B Cos(' L)+A Sh(' L)+B Ch(' L)= 0 , *+ - A Cos(' L)+B Sin(' L)+A Ch(' L)+B Sh(' L)=0

On aura

+-B = D . ,A=C

-+ 2- Cos('L)+ Cosh('L)5 4 A=B1 ., 0 Sin('L)-Sh('L) 3 +*1+ Ch('L)Cos('L)=0 2- Cos('L)+ Cosh('L)5 1 4 (-Cos(' L)+Ch(' L)) + Sin(' L)+Sh(' L)=0 0 Sin('L)-Sh('L) 3 '01L=4,694 '02L=7,8547 '03L=11 et '0nL=(2n-1)//2 Pour Ch('0nL ) grand l’équation revient à Cos('0nL)= 0-

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5 Maintenance et vibrations 5.1

Capteurs

5.2

Utilisation en maintenance: Il est intéressant et indispensable pour un industriel de mécanique de connaître la durée de vie des différents constituants d'un mécanisme.

Amplitude (mm)

La gestion d'un parc de machines ou d'une machine, est du ressort de la maintenance prédictive et (le moins souvent possible) de la maintenance réparatrice. Il faut donc surveiller en permanence l'activité des machines. Cette surveillance est effectuée le plus souvent par des capteurs de vibrations, les accéléromètres sont les plus courants. On mesure alors un spectre large de vibrations mécaniques en essayant de savoir quel pic de fréquence correspond à tel ou tel élément. On observe alors l'évolution de l'amplitude correspondante à ce pic et lorsque l'amplitude devient trop importante (par rapport à une évolution donnée) on commande la pièce que l'on pense être en passe de devenir défectueuse avant la rupture de celle ci ou un dysfonctionnement du mécanisme dû à cette pièce. A3 A1 A2

F2 F3 F4

F7 Fréquenc e (Hz)

Suivi de l'amplitude A1

Spectre des fréquences d'une machine

Seuil autorisé

év o

i on l ut

p am ' l e

l itu

d de

'un

nd eo

Temps Commande d'une nouvelle pièce