Turbo by Side Ben

Deuxi` eme ann´ ee ´ D´ epartement Energie : Production, Transformation

Module SE142

Machines ` a fluides - Turbomachines Mathieu Jenny

Ann´ ee universitaire 2013 - 2014

Table des mati` eres Cours de machines ` a fluides de Mathieu Jenny, ENSMN.

Introduction

1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage 1.1

1.2

5 7

Cinématique : composition des mouvements par changement de référentiel . . . . . . . . . . .

1.1.1

R´ef´erentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2

Vecteur rotation d’un r´ef´erentiel tournant autour d’un axe fixe Oz . . . . . . . . . . .

1.1.3

Composition des d´eriv´ees temporelles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.4

Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.5

Composition des acc´el´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Cin´etique des masses et inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1

Distribution de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2

Centre d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.3

R´esultante et moment cin´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.4

Tenseur d’inertie d’un solide indéformable : généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.5

Tenseur d’inertie : th´eor`eme de Huyghens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.6

Tenseurs d’inertie de solides homog`enes de forme simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3

Lois fondamentales de la dynamique - Bilans d’efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4

Probl`eme de l’´equilibrage d’un rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Pompes 2.1

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1

R´esultats du cours de m´ecanique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.2

Pompes volum´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.3

Configuration d’une turbopompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2

Triangle des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3

Principe de quantit´e de mouvement angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4

Notions de charge relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5

Caract´eristique d’une pompe centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5.1

Caract´eristique th´eorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.2

Caract´eristique r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5.3

Bilan de rendements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6

Pompes ` a h´elices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.7

Problèmes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.7.1

Point de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.7.2

Hauteur d’aspiration et amor¸cage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Table des mati` eres 2.7.3

Groupement de pompes : s´erie et parall`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.8

2.7.4 Cavitation - rudiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ´ Etude dimensionnelle et similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.9

NPSH (Net positive Suction Head) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.10 TD : Pompes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.10.1 Répartion de pompes sur un oléoduc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.10.2 Choix d’une pompe par similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ´ 2.10.3 Etude d’une pompe centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ´ 2.10.4 Etude d’une pompe multicellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.10.5 Exemple d’utilisation du NPSH (R. Joulié, Mécanique des fluides appliquée) 3 Turbines hydrauliques 3.1

. . . . . 45 47

Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.1

Les turbines ` a action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.2

Les turbines ` a r´eaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2

Bilan d’´energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3

Turbine ` a action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4

3.5

3.3.1

La turbine Pelton

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.2

Turbine Crossflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.3

Non-Pelton wheel impulse turbine (Dental drill) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Turbines ` a r´eaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4.1

Organes communs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4.2

Triangle des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4.3

Caractéristiques générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4.4

Diffuseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4.5

Cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4.6

Limite de la hauteur d’aspiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

TD : Turbines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.5.1

Turbine Pelton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.5.2

Dental drill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.5.3 3.5.4

Tourniquet hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 ´ Etude d’une turbine Francis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.5.5

Turbine aux ench`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4 Notions th´ eoriques sur les ´ eoliennes 4.1

4.2

4.3

Le vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.1.1

Variation de la vitesse du vent dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1.2

Les variations de vitesse de vent dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1.3

Etude statistique du vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Notions d'a´erodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2.1

D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2.2

Actions de l'air sur l'aile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.2.3

Param`etres influant sur les Cz et Cx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Calcul aérodynamique d'une éolienne à axe horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.3.1

Th´eorie de Betz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Table des mati` eres

4.3.2

Effets de la rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.3.3

Prise en compte de l’élément de la pale d’hélice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3.4

Corrections de Prandtl et de Glauert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.3.5

Dimensionnement optimal des pales pour une puissance maximale . . . . . . . . . . . 89

Bibliographie

Table des mati` eres

Introduction Ce document de cours-TD de Machines ` a fluides - Turbomachines est destiné aux élèves de deuxième année de l’école nationale supérieure des Mines de Nancy ayant ´ choisi le département Energie : Production, Transformation. Il correspond au module SE142. Une version pdf de ce document est accessible sur http ://energie.mines-nancy.univ-lorraine.fr/2A/turbo2a.pdf .

Ce cours se situe évidemment dans la continuité du cours de mécanique des milieux continus solides et fluides de première année (Plaut 2009b), et de celui de mécanique des fluides de deuxième année (Plaut 2009a). Nous utilisons les mêmes notations : les caractères gras surmontés d’une barre (exemple : v) désignent les vecteurs, les caractères gras surmontés de deux barres (exemple : D) désignent les tenseurs d’ordre 2. Pour échanger de l’énergie entre un fluide et un système mécanique, on utilise ce qu’on appelle des machines à fluides. Ce sont souvent des machines tournantes ou turbomachines. Le transfert de l’énergie de la machine vers le fluide se fait grâce à des pompes. La transformation inverse est faite par des turbines. Ces dernières peuvent alors, soit transmettre directement l’énergie mécanique ` a une autre machine ` a faire fonctionner, soit, à leur tour, échanger leur énergie mécanique avec un alternateur pour la transformer en électricité. L’énergie des fluides provient soit de leur énergie potentielle, dans le cas d’une chute d’eau et de l’énergie - renouvelable ! - hydraulique, soit de leur énergie cinétique dans le cas des éoliennes, soit encore d’une source d’énergie thermique : énergie nucléaire ou énergie de combustion. Les turbomachines sont donc en première ligne pour la production d’énergie utilisable par la société que ce soit à des fins industrielles ou de consommation domestique. On présente dans le chapitre 1, rédigé par Emmanuel Plaut, la problématique de l’´ equilibrage des machines tournantes. Les chapitres 2 à 3, rédigés par Mathieu Jenny, présentent les pompes puis les turbines hydrauliques. Ces chapitres sont très largement inspirés du cours de Souhar (2009–2010). On présentera les notions théoriques nécessaires au choix des turbomachines en fonction d’un cahier des charges et de leur intégration dans un circuit hydraulique. Le chapitre 4 est une introduction aux ´ eoliennes qui peuvent être considérées comme des turbines qui utilisent le vent. Ce chapitre est une reprise de la présentation théorique du TP éolienne rédigé par Ophélie Caballina et Alexandre Labergue (cours ENSEM, 3A énergie).

Introduction

Pour préparer la première séance de ce cours, on vous demande de lire très attentivement le chapitre 1 de ce document, sujet de TD compris (dans la dernière section du chapitre). Le cours durera seulement 45 minutes, et on enchainera sur le TD à 9h30. Les cinq séances suivantes de ce cours porteront sur les chapitres 2, 3 et 4. Le contrôle se fera sous la forme d’un test écrit. Il aura lieu lors de la septième séance et sera suivi d’une correction. Je remercie très vivement Emmanuel Plaut pour la rédaction du chapitre 1, Mohamed Souhar, professeur à l’ENSEM, chercheur au LEMTA, pour m’avoir permis de reproduire en grande partie dans mes chapitres 2 et 3 son cours de turbomachines et enfin Ophélie Caballina, maˆıtre de conférences à l’ENSEM et au LEMTA, pour son cours sur les éoliennes. Nancy, le 18 février 2014. Mathieu Jenny.

Chapitre 1

Effets des forces d’inertie sur les turbomachines - Probl´ ematique de l’´ equilibrage Une machine ` a fluides tournante est un objet solide en interaction avec un ou plusieurs fluides environnants, à qui elle communique ou de qui elle tire son énergie cinétique de rotation. Dans ce chapitre on s’intéresse ` a un aspect important de la « m´ ecanique des solides » qui constituent des machines tournantes, ` a savoir l’effet de la force d’inertie centrifuge sur ces solides. On va redémontrer (cf. les équations 1.21 et 1.59) que, si ω est la vitesse (constante dans le temps) de rotation angulaire de la turbomachine autour de l’axe fixe Oz, dans le référentiel tournant lié ` a cette machine la force volumique d’inertie d’entrainement centrifuge fie = −ργ e

(1.1)

avec ρ le champ de masse volumique de la machine, γ e = ωez ∧ (ωez ∧ OM)

(1.2)

le champ d’accélération d’entrainement, M désignant le point de l’espace o` u ces champs sont considérés. En utilisant un système de coordonnées cylindriques (r, θ, z) d’origine O et d’axe Oz, on obtient γ e = −ω 2 rer

=⇒

fie = ρω 2 rer

(1.3)

qui est d’autant plus grande que ω est grande. Cette force d’inertie va devoir être équilibrée par des r´ eactions de liaison des paliers qui supportent l’arbre de la machine. Minimiser la contribution de cette force d’inertie ` a ces réactions de liaison est exactement le but de l’´ equilibrage des rotors, que l’on présentera ci-après dans la cadre de la m´ ecanique des solides ind´ eformables. Se préoccuper de la r´ esistance des mat´ eriaux d´ eformables constituant la machine tournante aux contraintes internes engendrées par la force volumique (1.3) serait l’étape suivante, que nous ne pourrons malheureusement pas aborder, faute de temps. Nous renvoyons le lecteur intéressé ` a Géradin & Rixen (1996). Un calcul d’ordre de grandeur montre l’importance des forces (1.3). Une turbine a` vapeur de centrale thermique ou nucléaire tourne, dans le cas d’un couplage avec alternateur à 2 pôles, ` a

Chapitre 1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage

3000 tr/mn, ce qui donne, en unit´es SI, ω = 3000

2π rad = 314 rad/s . 60 s

Les pales de cette turbine étant de taille métrique, l’accélération d’entrainement correspondante est γe ' (314 rad/s)2 1 m ' 98700 m/s2 ' 10000 g avec g l’accélération de la pesanteur, qui constitue une référence... Une approche scientifique du problème de l’équilibrage des rotors nécessite des bases en m´ ecanique des solides ind´ eformables ; c’est l’objet de ce chapitre que de les donner. On ne se limite pas strictement aux notions qui seront utilisées pour l’équilibrage, de fa¸con à fournir un document de cours un peu étoffé, qui pourra être utile dans d’autres contextes 1 . L’équilibrage proprement dit sera traité en TD, lors de l’étude du problème de la section 1.4.

1.1

1.1.1

Cin´ ematique : composition des mouvements par changement de r´ ef´ erentiel R´ ef´ erentiels

Un r´ ef´ erentiel est un observateur réputé immobile qui mesure des mouvements. Se donner un référentiel c’est donc se donner un mouvement solide ind´ eformable de r´ ef´ erence, à savoir le mouvement de la chaise sur laquelle l’observateur imaginaire est assis. Le mouvement d’un r´ ef´ erentiel relatif R dans un r´ ef´ erentiel absolu R0 d’origine O est en conséquence un mouvement de solide indéformable, caractérisé d’après le chapitre 2 de Plaut (2009b) par une translation, mouvement en bloc avec la vitesse vR0 (A ∈ R, t) =

dOA

dt R0

(1.4)

d’un point particulier A de R, et une rotation, caract´eris´ee par le vecteur vitesse de rotation instantan´ ee 2 ω, ω = ω R/R0 (t) . (1.5) Le champ des vitesses des points M de R dans R0 est ainsi le champ de moments vR0 (M ∈ R, t) = vR0 (A ∈ R, t) + ω(t) ∧ AM(t) .

1.1.2

(1.6)

Vecteur rotation d’un r´ ef´ erentiel tournant autour d’un axe fixe Oz

Dans ce cas souvent rencontré, en notant φ(t) l’angle de la rotation effectuée entre les instants 0 et t, les positions instantanées sont données par l’action de l’opérateur de rotation correspondant ROz,φ(t) selon OM(t) = ROz,φ(t) · OM(0) 1. On ignore aussi volontairement le fait que certains, en fonction de leur classe préparatoire, ont déj` a vu telle ou telle notion ; cela ne leur fera pas de mal de « réviser »... 2. Ou, de fa¸con plus concise, vecteur rotation.

1.1 Cin´ ematique : composition des mouvements par changement de r´ ef´ erentiel

avec, dans la base fixe {eX ,eY ,ez },

Mat ROz,φ(t)

  cos φ(t) − sin φ(t) 0 n o   , eX ,eY ,ez =  sin φ(t) cos φ(t) 0 . 0 0 1

Par dérivation de OM(t) par rapport au temps on obtient pour le champ de vitesse instantané ˙ v(M,t) = v(O,t) + φ(t)e z ∧ OM(t) , o` u, en fait, v(O,t) = 0. Par identification avec (1.6) on voit que le vecteur rotation instantanée vaut dans ce cas ˙ ω(t) = φ(t)e (1.7) z o` u le point désigne la dérivée par rapport au temps. Ce vecteur caractérise bien complètement la rotation ROz,φ(t) , sachant que φ(0) = 0. On notera que dans le cas d’une rotation à vitesse angulaire constante, o` u φ(t) = ωt, on obtient ω(t) = ωez .

1.1.3

(1.8)

Composition des d´ eriv´ ees temporelles de vecteurs

Soit w(t) un vecteur de nature physique (vecteur matériel éventuellement, mais aussi, peutêtre, vecteur vitesse, vecteur accélération, vecteur force, etc...) évoluant au cours du temps. On se pose la question de savoir comment les deux observateurs précédemment nommés peuvent relier leurs mesures de dw(t) . dt Pour cela on part de l’écriture de w(t) dans une base {ex (t),ey (t),ez (t)} liée au mouvement solide de R : w(t) = x(t)ex (t) + y(t)ey (t) + z(t)ez (t) . (1.9) Par définition, puisque cette base est fixe pour R, dw(t)

˙ ˙ ˙

= x(t)e x (t) + y(t)e y (t) + z(t)e z (t) . dt R

(1.10)

Dans R0 par contre non seulement les composantes de w(t) mais aussi les vecteurs ex (t), ey (t) et ez (t) ´evoluent dans le temps, et pour calculer dw(t)

dt R0 il faut en conséquence déterminer les valeurs des dérivées dex (t)

, dt R0

dey (t)

dt R0

dez (t)

. dt R0

Pour cela on peut noter que chacun de ces vecteurs de base peut ˆetre vu comme un bipoint reliant l’origine A(t) de R ` a un point fixe de R, par exemple ex (t) = AB(t) .

Chapitre 1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage

En appliquant l’´equation (1.6) on obtient dex (t)

= vR0 (B ∈ R,t) − vR0 (A ∈ R,t) = ω R/R0 (t) ∧ AB(t) = ω R/R0 (t) ∧ ex (t) , (1.11)

dt R0 cette forme de relation ´etant en fait valable pour n’importe quel vecteur fixe de R, d’o` u en particulier dey (t)

dt R0 dez (t)

dt R0

= ω R/R0 (t) ∧ ey (t) ,

(1.12)

= ω R/R0 (t) ∧ ez (t) .

(1.13)

En appliquant la formule de Leibniz ` a (1.9) on obtient la loi de composition des d´ eriv´ ees temporelles de vecteurs : dw(t)

dw(t)

+ ω R/R0 (t) ∧ w(t) dt R0 dt R

1.1.4

(1.14)

Composition des vitesses

Considérons maintenant le problème consistant à relier les observations de vitesse d’un certain point matériel mobile M(t) faites • par l’observateur immobile lié au référentiel absolu R0 : va (t) =

dOM(t)

vitesse absolue de M(t) ;

dt R0

(1.15)

• d’autre part par l’observateur mobile, lié au référentiel relatif R : vr (t) =

dAM(t)

vitesse relative de M(t) . dt R

(1.16)

Par transitivit´e puis application de (1.14) on obtient va (t) =

dOA(t)

dAM(t)

= vR0 (A ∈ R,t) +

+ ω R/R0 (t) ∧ AM(t) . dt dt dt R0 R0 R

Il apparaˆıt ve (t) = vR0 (A ∈ R,t) + ω R/R0 (t) ∧ AM(t) = vR0 (M ∈ R,t)

(1.17)

vitesse du point du référentiel mobile R co¨ıncidant à l’instant t avec M(t) (cf. l’équation 1.6) ; ve (t) est la vitesse d’entrainement du point M(t). Au bilan on obtient la loi de composition des vitesses, dite aussi « loi de Galil´ ee » : va (t) = vr (t) + ve (t) vitesse absolue = vitesse relative + vitesse d’entrainement.

(1.18)

1.2 Cin´ etique des masses et inertie

1.1.5

Composition des acc´ el´ erations

Posons maintenant la question du lien entre • l’acc´ el´ eration absolue d’un point mobile M(t) vue par l’observateur immobile lié au référentiel R0 : d2 OM(t)

γ a (t) = (1.19)

, dt2 R0 • et l’acc´ el´ eration relative de ce même point mobile M(t) vue par l’observateur mobile lié au référentiel R : d2 AM(t)

γ r (t) = (1.20)

. dt2 R Dans ce but partons de l’´equation (1.18), que l’on explicite sous la forme dAM(t)

dOA(t)

dOM(t)

+ ω R/R0 (t) ∧ AM(t) . dt dt dt R0 R R0 Par dérivation par rapport au temps dans le référentiel R0 et utilisation de la loi de dérivation composée (1.14) on obtient d2 OA(t)

dAM(t)

˙ γ a (t) = γ r (t)+ω R/R0 (t)∧

+ω R/R0 (t)∧AM(t)+ω R/R0 (t)∧

. dt dt2 dt R R0 R0 Après application au dernier terme de la loi (1.14) on voit apparaˆıtre • l’accélération du point du référentiel mobile R co¨ıncidant à l’instant t avec M(t), acc´ el´ eration d’entrainement du point M : γ e (t) =

d2 OA(t)

+ ω˙ R/R0 (t) ∧ AM(t) + ω R/R0 (t) ∧ [ω R/R0 (t) ∧ AM(t)] , (1.21)

dt2 R0

que l’on obtient par d´erivation par rapport au temps de (1.6) ; • l’acc´ el´ eration de Coriolis du point M : γ c (t) = 2ω R/R0 (t) ∧ vr (t) .

(1.22)

Au bilan on peut ´ecrire la loi de composition des acc´ el´ erations : γ a (t) = γ r (t) + γ e (t) + γ c (t)

(1.23)

accélération absolue = accélération relative+accélération d’entrainement+accélération de Coriolis.

1.2

Cin´ etique des masses et inertie

Les objets de la mécanique des solides sont pesants. On va définir et caractériser précisément cette distribution de masse, notamment grâce à la notion de centre d’inertie. D’autre part on peut noter qu’un solide indéformable possède, en vertu de la structure de champ de moments de son champ de vitesse, 6 degrés de liberté : 3 degrés de liberté de translation et 3 degrés de liberté de rotation. Il faut donc définir, pour caractériser précisément son mouvement autour d’un point O de référence, sa quantité de mouvement de translation ou r´ esultante cin´ etique 3 et sa 3. ‘Linear momentum’ en anglais.

Chapitre 1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage

quantit´e de mouvement de rotation ou moment cin´ etique 4 . C’est ce que nous allons faire dans cette section, en terminant par l’introduction du tenseur d’inertie, outil commode pour le calcul du moment cin´etique.

1.2.1

Distribution de masse

En général la masse est distribuée dans le volume de la machine considérée, volume que nous noterons Ωt . La masse totale peut donc s’écrire ZZZ

d3 m

m =

(1.24)

Ωt

avec d3 m = ρ d3 x

(1.25)

l’élément de masse, d3 x étant l’élément de volume, ρ la masse volumique. Dans certains cas on pourra modéliser une partie du système, très mince dans une ou deux directions, en considérant qu’elle est ` a distribution surfacique ou linéique de masse ; on remplacera l’intégrale triple dans des formules définissant des quantités extensives du type (1.24) par une intégrale double ou simple, l’élément de masse étant proportionnel à un élément de surface ou de longueur. On pourra aussi considérer que certaines masses sont « ponctuelles » ; alors l’intégrale sera une somme discrète.

1.2.2

Centre d’inertie

Le centre d’inertie du système est défini comme le point G barycentre de la distribution de masse du système, tel que ZZZ

OM d3 m .

∀O, mOG =

(1.26)

Ωt

1.2.3

R´ esultante et moment cin´ etiques

Dans le référentiel R0 o` u O est fixe, nous définissons la quantit´ e de mouvement de translation totale du système, ZZZ

v(M,t) d3 m =

p(t) := Ωt

ZZZ

˙ ˙ OM(t) d3 m = mOG(t) .

(1.27)

Ωt

La commutation de la dérivée par rapport au temps et de l’intégrale sur la distribution de masse, ZZZ p = Ωt

dOM 3 d d m = dt dt

ZZZ

OM d3 m ,

(1.28)

Ωt

r´esulte en fait de la conservation de la masse, et de la formule de transport d’une densit´e massique, ZZZ ZZZ d de 3 3 ed m = d m, (1.29) dt Ωt Ωt dt 4. ‘Angular momentum’ en anglais.

1.2 Cin´ etique des masses et inertie

démontrée dans la sous-section 3.1.3 de Plaut (2009b). Comme on l’a expliqué au début de cette section, on doit aussi introduire la quantité de mouvement de rotation du système par rapport ` a ce point O, soit ZZZ

OM(t) ∧ v(M,t) d3 m

σ(O,t) :=

(1.30)

Ωt

En utilisant la relation de transitivit´e AM = OM − OA ainsi que la d´efinition (1.27), on observe que ∀O,A, σ(A,t) = σ(O,t) + p(t) ∧ OA

(1.31)

ce qui montre que σ est un champ de moments de résultante p. On désigne pour cette raison σ(O,t) comme le moment cin´ etique du système par rapport au point O, et p(t) comme la r´ esultante cin´ etique du système.

1.2.4

Tenseur d’inertie d’un solide ind´ eformable : g´ en´ eralit´ es

On se place toujours dans un référentiel R0 o` u un point O du solide S étudié est fixe. Si S est un solide ind´ eformable, on peut utiliser le fait que son champ de vitesse est un champ de moments. La formule des champs de moments donne alors v(M ∈ S,t) = v(O ∈ S,t) + ω ∧ OM(t) = ω ∧ OM(t) ,

(1.32)

ω = ω S/R0 (t)

(1.33)

avec le vecteur vitesse de rotation instantanée de S dans R0 . Le produit OM ∧ v à intégrer pour obtenir le moment cinétique (1.30) s’écrit donc h i OM ∧ ω ∧ OM = OM2 ω − OM · ω OM = OM2 1 − OM ⊗ OM · ω . Introduisons le tenseur d’inertie de S par rapport au point O, ZZZ

I(O,t) =

i OM2 (t)1 − OM(t) ⊗ OM(t) d3 m .

(1.34)

Ωt

Ce tenseur d’inertie est de fait l’application linéaire qui, au vecteur vitesse de rotation instantanée ω, associe le moment cinétique en O, I(O,t) : R3 −→ ω

7−→ σ(O,t) = I(O,t) · ω .

(1.35)

On a intérêt à expliciter ce tenseur dans un repère Oxyz lié à S, car il y aura des composantes indépendantes du temps. En coordonnées cartésiennes, le vecteur OM étant repéré par OM = xex + yey + zez , l’équation (1.34) s’explicite selon   Ixx Ixy Ixz h i   =  Ixy Iyy Iyz  Mat I(O), ex ,ey ,ez Ixz Iyz Izz

(1.36)

Chapitre 1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage

o` u apparaissent les moments d’inertie par rapport aux axes x, y, z, ZZZ ZZZ ZZZ 2 2 3 2 2 3 Ixx = (y + z ) d m , Iyy = (z + x ) d m , Izz = (x2 + y 2 ) d3 m , Ωt

Ωt

(1.37) et les produits d’inertie : ZZZ

xy d3 m ,

Ixy = Iyx = − Z Z ZΩt Iyz = Izy = −

yz d3 m ,

Ωt

ZZZ

zx d3 m .

Izx = Ixz = −

(1.38)

Ωt

On peut noter que ZZZ

HM2 d3 m

Izz =

(1.39)

Ωt

avec H le projeté orthogonal de M sur l’axe Oz. Ainsi Izz est d’autant plus grand que la masse de S est en moyenne loin de l’axe Oz. D’autre part Ixy > 0 (resp. < 0) indique qu’en moyenne la masse de S est dans le demi-espace xy < 0 (resp. > 0) ; Ixy = 0 indique que la masse de S est équirépartie entre les demi-espaces xy < 0 et xy > 0. Le calcul des intégrales (1.37) et (1.38) ne pose pas de problèmes dans son principe ; des résultats types seront donnés en sous-section 1.2.6. En pratique, dans le cas de solides de forme compliquée, les logiciels de Conception Assistée par Ordinateur effectuent automatiquement et numériquement tous ces calculs. De manière générale, I(O,t) étant sym´ etrique peut se diagonaliser dans une certaine base orthonormée liée au solide S. Les axes Ox, Oy, Oz correspondants sont appelés axes principaux d’inertie du solide, tandis que les éléments diagonaux correspondants Ixx , Iyy , Izz sont appelés moments principaux d’inertie du solide. Sans aller éventuellement jusqu’` a cette diagonalisation complète, on a souvent intérêt à calculer le tenseur d’inertie dans une base o` u le solide présente certaines symétries. Par exemple, si le solide admet xOy comme plan de sym´ etrie, on observe, en faisant le changement de variable z 7→ −z dans les intégrales, que Ixz = Iyz = 0 . Ceci prouve que l’axe Oz est axe principal d’inertie du solide ; alors les deux autres axes principaux se trouvent forcément dans le plan xOy. Si l’un des axes de base, par exemple Oz, est axe de sym´ etrie du solide, alors le changement de variable (x,y) 7→ (−x, − y) montre qu’on a aussi Ixz = Iyz = 0 . Là encore l’axe Oz est axe principal d’inertie. Si Oz est axe de r´ evolution on aboutit aux mêmes résultats. De plus, en faisant le changement de variable (x,y) 7→ (−y,x) correspondant à une rotation de π/2, on montre que Ixy = 0

1.2 Cin´ etique des masses et inertie

et Ixx = Iyy . Ceci signifie que les axes Ox, Oy, Oz sont axes principaux d’inertie, et que les deux premiers moments principaux d’inertie sont ´egaux.

1.2.5

Tenseur d’inertie : th´ eor` eme de Huyghens

Afin d’examiner le lien entre les tenseurs d’inertie en deux points origines différents O et A, insérons la relation de transitivité OM = OA + AM dans le tenseur élémentaire ` a intégrer pour calculer I(O) équation (1.34). Il vient OM2 1 − OM ⊗ OM = OA2 + 2OA · AM + AM2 1 − OA ⊗ OA + AM ⊗ OA + OA ⊗ AM + AM ⊗ AM . On en déduit par intégration, et en utilisant l’équation (1.26) pour A à la place de O, la relation h i I(O) = m OA2 + 2OA · AG 1 − OA ⊗ OA + AG ⊗ OA + OA ⊗ AG + I(A) . (1.40) Cette relation se simplifie remarquablement si A co¨ıncide avec le centre d’inertie G du solide ; on aboutit alors au th´ eor` eme de Huyghens : I(O) = m OG2 1 − OG ⊗ OG + I(G)

(1.41)

Ce théorème, qui permet de déduire I en un point quelconque O de la connaissance de I(G), justifie que l’on ne donne dans le formulaire de la section 1.2.6 que les valeurs de I(G).

1.2.6

Tenseurs d’inertie de solides homog` enes de forme simple

Donnons les tenseurs d’inertie de solides homogènes de forme géométrique simple. Pour le premier exemple ci-dessous, les calculs se font en coordonnées cartésiennes, avec lesquelles OM = xex + yey + zez , d3 x = dx dy dz .

(1.42)

Un calcul préliminaire de la masse totale, selon l’équation (1.24), donne la valeur de ρ. On peut alors calculer I(G) ` a partir de l’équation (1.34). Exemple 1 : parall´ el´ epip` ede rectangle droit : z

V = {(x,y,z) ∈ [−a,a] × [−b,b] × [−c,c]} , ρ = 2b

2c y 2a

m , 8abc



 2 + c2 b 0 0 h i m  Mat I(G), ex ,ey ,ez = c2 + a2 0  .  0 3 0 0 a2 + b2 (1.43)

Chapitre 1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage Pour les exemples 2 ` a 5 suivants, les calculs se font en coordonn´ees cylindriques, avec lesquelles OM = r cos θ ex + sin θ ey + zez , d3 x = r dr dθ dz .

(1.44)

Exemple 2 : cylindre creux de r´ evolution :

V = {(r,θ,z) ∈ [a,b] × [0,2π] × [−h,h]} , ρ =

y 2h

G x 2a 2b

a2 + b2 h2 +  4 3  h i  Mat I(G), ex ,ey ,ez = m 0   0

2π(b2

m , − a2 )h



 0 a2

+ 4

0 +

h2 3

   . 0    2 2 a +b 2 (1.45)

Exemple 3 : cylindre de r´ evolution : ce cylindre plein peut ˆetre vu comme un cylindre creux avec a = 0 :

V = {(r,θ,z) ∈ [0,b] × [0,2π] × [−h,h]} , ρ =

b2 h2 4 + 3  h i  = m Mat I(G), ex ,ey ,ez 0   0

m , 2πb2 h



y 2h

x 2b

 0 b2 4

+ 0

h2 3

0   . 0   2 b 2 (1.46)

Exemple 4 : anneau torique :

z a G 2b

√ √ V = {(r,θ,z) ∈ [b− a2 − z 2 ,b+ a2 − z 2 ]×[0,2π]×[−a,a]} , m ρ = , 2π 2 a2 b  2  5a b2 0 0  8 + 2    h 2 2 i   5a b Mat I(G), ex ,ey ,ez = m . 0 + 0   8 2   2 3a 0 0 + b2 4 (1.47)

1.3 Lois fondamentales de la dynamique - Bilans d’efforts

Exemple 5 : cerceau : Se déduit du précédent dans la limite a → 0, d’o` u

b2 2 h i  Mat I(G), ex ,ey ,ez = m 0 

0 b2 2 0



0   . 0

(1.48)

2b Pour les derniers exemples, les calculs se font en coordonn´ees sph´eriques, avec lesquelles OM = r sin θ cos φ ex + sin φ ey + cos θez , d3 x = r2 sin θ dr dθ dφ . (1.49) Exemple 6 : sph` ere creuse :

z b

V = {(r,θ,φ) ∈ [a,b] × [0,π] × [0,2π]} , 3m ρ = , 4π(b3 − a3 ) 2 b5 − a5 I(G) = m 3 1. 5 b − a3

a y

(1.50)

x Exemple 7 : sph` ere : Dans le cas a = 0 on obtient pour une sph`ere pleine de rayon b que I(G) =

1.3

2 m b2 1 . 5

(1.51)

Lois fondamentales de la dynamique - Bilans d’efforts

On se place dans un premier temps dans un référentiel R0 réputé galil´ een, o` u les seules forces agissant sur un système S sont les forces physiques : • densit´ e volumique de forces fvol agissant dans le volume Ωt , par exemple fvol = ρg pour le poids, g étant le champ gravitationnel, fvol = ρe (E + v ∧ B) pour la force électromagnétique, ρe étant la densité volumique de charge, E le champ électrique, B le champ magnétique ; • densit´ e surfacique de forces T agissant sur la frontière ∂Ωt de Ωt . La première loi de Newton est la loi d’´ evolution de la r´ esultante cin´ etique, p˙ = Rext résultante des efforts extérieurs appliqués ext

ZZZ

fvol d x + Ωt

T d2 S .

(1.52) (1.53)

∂Ωt

D’après les équations (1.27) et (1.29), on peut écrire la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement de deux fa¸cons différentes, ZZZ ¨ . ˙p = γ R0 (M) d3 m = mOG (1.54) Ωt

Chapitre 1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage

La deuxième loi de Newton est la loi d’´ evolution du moment cin´ etique, ˙ σ(O) = Γext (O) moment en O des efforts extérieurs appliqués ext

ZZZ

OM ∧ T d2 S .

OM ∧ fvol d x +

(O) = Ωt

(1.55)

(1.56)

∂Ωt

D’après (1.29), la définition (1.30) et la formule (1.35), on peut écrire la dérivée par rapport au temps du moment cinétique de deux fa¸cons différentes, ZZZ i dh ˙ σ(O) = OM ∧ γ R0 (M) d3 m = I(O) · ω S/R0 . (1.57) dt Ωt Il importe de constater que le champ de vecteurs Γext (O) présente une structure de champ de moments, de résultante Rext : ∀A, O,

Γext (A) = Γext (O) + Rext ∧ OA = Γext (O) + AO ∧ Rext .

(1.58)

Ceci justifie le terme « moment des efforts » ; on parle aussi de « couples » appliqués pour désigner des contributions ` a Γ. Si maintenant on se place dans un référentiel non galil´ een R dont le mouvement est connu par rapport au référentiel absolu galiléen R0 , on peut injecter dans les membres de gauche des lois de Newton, ` a savoir (1.54) et (1.57), la formule de composition des accélérations (1.23). On observe que les lois de Newton restent valables dans le référentiel R à condition d’introduire des forces d’inertie volumiques dans les membres de droite, fi =

fie |{z}

force d’inertie d’entrainement

1.4

= −ργ e − ργ c .

fic |{z}

(1.59)

force d’inertie de Coriolis

Probl` eme de l’´ equilibrage d’un rotor

On considère un rotor S solide indéformable, de masse totale m, comprenant un axe Oz en rotation sur un chassis grˆ ace ` a des liaisons pivots situées aux points P1 et P2 :

z P1

On choisit un repère de travail Oxyz lié au solide S, d’origine O = P1 . On a alors OP2 = lez . D’autre part le centre de gravité G de S est repéré par OG = OH+HG avec H projeté orthogonal de G sur l’axe Oz, OH = cez , HG = aex + bey . On s’intéresse au régime de rotation o` u la vitesse angulaire ω de S dans le référentiel absolu du laboratoire R0 est constante. Dans ce référentiel, le rotor est soumis à des efforts au niveau des liaisons pivots :

1.4 Probl` eme de l’´ equilibrage d’un rotor

• le champ de forces exercé au niveau de la liaison P1 a une résultante égale à la r´ eaction de liaison R1 et un couple en P1 égal au couple de liaison Γ1 ; • le champ de forces exercé au niveau de la liaison P2 a une résultante égale à la r´ eaction de liaison R2 et un couple en P2 égal au couple de liaison Γ2 . D’autre part des efforts dˆ us ` a l’environnement, par exemple l’action de fluides, existent ; on env env note R leur résultante, Γ leur couple en O. Enfin l’action de la gravit´ e terrestre constitue une troisième source d’efforts. La moitié des mini-groupes de TD traitera la question 1 ci-dessous par la voie a, l’autre moitié par la voie b. 1 Explicitez les lois fondamentales de la dynamique de ce système 1.a soit dans le référentiel R0 du laboratoire, 1.b soit dans le référentiel R lié ` a S, donc en rotation par rapport à R0 avec le vecteur vitesse instantanée de rotation ω = ωez . Dans les deux cas faites intervenir les composantes Ixz et Iyz de la matrice représentant le tenseur d’inertie I(O) de S dans la base tournante {ex ,ey ,ez }. 1.c On fait l’hypothèse que les liaisons pivots sont « parfaites » au sens o` u, en l’absence d’actions dues à l’environnement, les couples de liaison Γ1 et Γ2 sont nuls. Observant d’autre part que le système d’équations que l’on vient d’obtenir est linéaire vis-à-vis de tous les efforts appliqués, on s’intéresse dans ce qui suit aux réactions de liaison R1 et R2 qui compensent seulement les termes inertiels, dˆ us aux membres de gauche des équations de la dynamique (1.52) et (1.55) dans le calcul de 1.a, ou aux forces d’inertie dans le calcul de 1.b. Montrez que ces réactions sont définies par le système R1 + R2 = ω 2 R , OP1 ∧ R1 + OP2 ∧ R2 = ω 2 S ,

(1.60)

en donnant la définition des vecteurs R et S tournants liés à S, qui ne dépendent que de la géométrie de la distribution des masses de S. Proposez une interprétation physique expliquant l’origine et la nature des termes −ω 2 R et −ω 2 S. 2.a Déterminez autant que possible les composantes de R1 et R2 , en notant qu’il demeure une composante inconnue de liaison. 2.b Montrez que l’équilibrage complet du rotor, i.e. l’annulation des termes sources R et S dans le système (1.60), revient aux conditions suivantes : • condition d’´ equilibrage statique : le vecteur « balourd » mHG = 0, i.e. a = b = 0, i.e. le centre d’inertie G se trouve sur l’axe de rotation Oz ; • condition d’´ equilibrage dynamique : les moments d’inertie Ixz = Iyz = 0, i.e. l’axe de rotation Oz est axe principal d’inertie de S. Montrez en sus que la condition d’équilibrage statique revient à assurer que le terme de couple dˆ u au poids, OG ∧ mg, est effectivement statique au sens o` u il est indépendant du temps. 3 On désire équilibrer le rotor en disposant sur S une masse ponctuelle mα au point A de son bord repéré par OA = xα ex + yα ey + zα ez et une autre masse ponctuelle mβ au point B de son

Chapitre 1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage

bord repéré par OB = xβ ex + yβ ey + zβ ez . 3.a Calculez les coordonnées a0 , b0 et c0 du centre de gravité G0 du système S 0 = S ainsi modifié, et explicitez la condition d’équilibrage statique de S 0 . 0 et I 0 , du syst` 3.b Calculez les produits d’inertie en O, Ixz eme S 0 , et explicitez la condition yz d’équilibrage dynamique de S 0 .

3.c Pourquoi ne doit-on pas en général disposer les masses mα et mβ dans un même plan perpendiculaire à l’axe de rotation, d’équation z = constante ? 4 D’un point de vue pratique, comme on n’a pas accès directement à la position du centre d’inertie ou aux moments d’inertie, on utilise la m´ ethode des coefficients d’influence pour équilibrer un rotor. Pour cela on caractérise quantitativement le déséquilibre du rotor, en régime de rotation à vitesse angulaire constante ω, en mesurant dans le référentiel R0 une des composantes de R1 et R2 grâce à deux capteurs de forces, placés en P1 et P2 , et orientés perpendiculairement à l’axe de rotation. Si on appelle eX la direction de mesure de ces capteurs, on peut former une base fixe dans R0 à l’aide des vecteurs eX , eY , eZ = eX , ez ∧ eX , ez . Dans cette base fixe la base liée au rotor ex , ey , ez est tournante, avec un angle de rotation φ(t) := eX\ , ex (t) = ωt , et on mesure donc s1 (t) = R1 · eX grˆ ace au capteur 1,

s2 (t) = R2 · eX grˆace au capteur 2.

4.a En utilisant les résultats de la question 2.a, donnez l’expression générale de s1 et s2 . Montrez que l’on peut associer naturellement ` a ces signaux temporels oscillants des amplitudes complexes z1 et z2 dont on donnera l’expression. Vous introduirez enfin les amplitudes complexes normalisées Z1 = z1 /ω 2 et Z2 = z2 /ω 2 . Indication-commentaire : vous constaterez que la règle utilisée en traitement de signaux oscillants, s(t) = sx cos(ωt) − sy sin(ωt) = Re[z exp(iωt)]

←→

amplitude z = sx + isy ,

se marie harmonieusement, ici, avec la règle utilisée en analyse complexe pour associer un complexe à un vecteur. 4.b Quelles conditions doit-on réaliser pour équilibrer le rotor ? 4.c La stratégie proposée par la méthode des coefficients d’influence consiste à équilibrer le système en positionant des masses ` a la périphérie de deux disques faisant partie de S, situés l’un en z = zα , l’autre en z = zβ 6= zα . On repère la valeur de ces masses et leur position dans les plans de ces disques par les « balourds » bα = mα (xα + iyα ) , bβ = mβ (xβ + iyβ ) en notations complexes. On commence par mesurer les amplitudes complexes normalisées Z1 et Z2 sur S tournant seul ; on note les valeurs correspondantes Z10 et Z20 .

1.4 Probl` eme de l’´ equilibrage d’un rotor

On arrête alors S, et on place mα en un point A du premier disque de S. On mesure - après retour au régime de rotation permanent - les nouvelles valeurs Z1α et Z2α des amplitudes complexes normalisées des signaux s1 et s2 . Montrez que l’on a alors Z1α = Z10 + c1α bα , Z2α = Z20 + c2α bα o` u l’on peut faire apparaˆıtre (i.e. mesurer pratiquement) des coefficients d’influence c1α et c2α dont on donnera la valeur théorique. On arrête à nouveau le système, on enlève mα , et on dispose mβ en un point B du deuxième disque de S. On mesure ensuite les nouvelles valeurs Z1β et Z2β des amplitudes complexes normalisées des signaux s1 et s2 . Montrez que l’on peut introduire des coefficients d’influence c1β et c2β de sorte que Z1β = Z10 + c1β bβ , Z2β = Z20 + c2β bβ . Dans le cas général o` u on dispose mα en A point du premier disque et mβ en B point du deuxième disque, montrez que les amplitudes vibratoires de s1 et s2 sont données par : Z1αβ = Z10 + c1α bα + c1β bβ , Z2αβ = Z20 + c2α bα + c2β bβ . Décrivez à partir de ces résultats une méthode pratique d’équilibrage. Vous noterez que, d’un point de vue théorique, cette méthode fonctionne si la matrice des coefficients d’influence ! c1α c1β [C] = c2α c2β est inversible ; vous vérifierez théoriquement que cela est bien le cas. 5 En prenant un peu de recul par rapport à ce problème, on peut remarquer que l’on a privilégié un point particulier O de l’axe de rotation dans tout le traitement. Montrez donc que si le rotor S est équilibré vis ` a vis de O, alors il est équilibré vis à vis de tout autre point O0 de l’axe de rotation.

Chapitre 2

Pompes 2.1

Introduction

Une pompe est une machine hydraulique qui permet d’augmenter la charge H d’un fluide moyennant une puissance extérieure Pext > 0 fournie au fluide. Cette puissance est en général fournie par un rotor en rotation.

2.1.1

R´ esultats du cours de m´ ecanique des fluides ω

Fig. 2.1 – Section d’une turbopompe.

On consid`ere un tube de courant de fluide incompressible en r´egime permanent (figure 2.1). On a donc la loi de conservation de la masse qui s’applique : X

v.ndS = 0

⇒

qv = ve Se = vs Ss

(2.1)

δΩ

Le bilan énergétique dans un tube de courant qui contient une source (ou un puits) d’énergie s’écrit en l’absence de perte de charge : Pext = ρgqv (Hs − He )

(2.2)

avec les charges d’entrée He et de sortie Hs du tube de courant. On rappelle la définition de la charge H (voir l’équation (1.33) du cours de mécanique des fluides Plaut 2009a) : H=

p hvi2 +z+α ρg 2g

(2.3)

Chapitre 2 Pompes

p est la pression du fluide au point d’altitude z. La vitesse hvi désigne la vitesse débitante à travers une surface S et α est le coefficient d’énergie cinétique qui sont définis par les relations (1.34) du cours de mécanique des fluides Plaut 2009a. Si la puissance extérieure est échangée via un rotor en rotation, alors elle peut s’exprimer comme : Pext = Cext ω

(2.4)

ce qui fait intervenir le couple appliqué au rotor Cext et sa vitesse angulaire de rotation ω. On appellera Hth = Hs − He > 0 la charge théorique atteinte lorsqu’il n’y a pas de perte dans la pompe. D’après la définition de la charge, on en déduit que : " 2 # Se ρ qv2 1− ps − pe = ρgHth + (2.5) 2 2 Se Ss En général dans une pompe, Se . Ss ce qui rend le deuxième terme négligeable. On a donc une augmentation de pression ` a travers une pompe (∆p = ps − pe > 0). Placée dans un circuit, une pompe peut-être considérée comme une singularité qui augmente la charge. Dans une turbopompe (en général hydromachines qui incluent les turbines), il n’y a aucun organe d’étanchéité entre l’entrée et la sortie. On peut traverser la machine par un chemin continu tracé dans le fluide. Il y a d’autres classes de pompes o` u ce n’est pas le cas, par exemple, les pompes volumétriques.

2.1.2

Pompes volum´ etriques

piston

Fig. 2.2 – Sch´ema d’une pompe ` a piston (volum´etrique). Clapet d’aspiration 1, clapet de refoulement 2.

– En phase d’aspiration, le clapet 1 est ouvert et le 2 fermé. – En phase de refoulement, le clapet 1 est fermé et le 2 ouvert. Dans ce cas l’entrée est déconnectée de la sortie et on ne peut pas passer par un chemin continu entre les points e et s. Il existe d’autres types de pompes volumétriques : – pompes ` a palettes, – pompes ` a engrenages, – pompes ` a écrasement de tuyaux, – ...

2.1 Introduction

air

q fluctuant

q presque constant eau

Fig. 2.3 – Capacit´e pneumatique.

dont les principales caractéristiques sont un faible débit mais de grandes pressions de refoulement. De plus, ces pompes conduisent ` a des débits fluctuants dans le temps, ce qui nécessite assez souvent la mise en place de capacité pneumatique pour stabiliser le débit (figure 2.3). Les machines volumétriques sont surtout utilisées comme organes de puissance (∆p grands) ou commande de puissance.

2.1.3

Configuration d’une turbopompe

Il existe plusieurs technologies de pompes. On peut les classer en deux catégories principales : les pompes volumétriques et les turbopompes. Les pompes volumétriques sont celles qui permettent le saut de pression le plus important mais cela n’est vrai qu’avec des fluides incompressibles et cela se fait en général au détriment du débit et de sa régularité. Enfin, du fait de l’étanchéité interne ` a la pompe (le volume de fluide capturé ne doit pas pouvoir s’échapper), ce sont souvent des pompes fragiles qui tolèrent mal les fluides chargés en particules solides et abrasives comme, par exemple, du sable. C’est pourquoi les turbopompes sont très largement utilisées dans un contexte industriel. Dans une turbopompe, le transfert d’énergie s’effectue entre le fluide et une roue mobile. La théorie générale est la même quelque soit le sens de transfert (pompe ou turbine). On distingue : – les machines ` a passage tangentiel, surtout pour la turbine Pelton o` u l’on peut encore raisonner en turbomachine car il existe des pompes à passage tangentiel, mais il est difficile de les considérer comme des turbomachines. qv

– Les machines ` a passage radial (pompes centrifuges).

Chapitre 2 Pompes

Fig. 2.4 â&#x20AC;&#x201C; Exemples de pompes volumÂ´etriques.

2.2 Triangle des vitesses

27 sortie

entree

– Les machines ` a passage axial ou hélico¨ıdal (pompes à hélices). ω

La disposition générale d’une turbomachine comporte : – Une roue mobile o` u se fait le transfert d’énergie. – Des dispositifs fixes (dans certains cas orientables) d’entrée - sortie destinés à amener ou ` a évacuer le fluide en lui donnant une orientation convenable. – La roue mobile est munie soit d’augets (généralement à l’air libre) soit d’aubes généralement noyées dans le fluide.

2.2

Triangle des vitesses

Consid´erons une pompe centrifuge :

e w

u M

M’

ω r

S1 O ω

Fig. 2.5 – Triangle de vitesse sur une roue de pompe centrifuge.

Soit un point M du rotor (aube), sa vitesse d’entrainement est u : u = ω ∧ OM;

|u| = rω

(2.6)

avec w la vitesse relative du fluide telle que sur le rotor w.nrotor = 0. La vitesse absolue est donnée par v = u + w. On définit l’angle β = (u, w) ce qui permet de dessiner le triangle des vitesses ` a l’entrée et à la sortie.

Chapitre 2 Pompes w1

v1 w2

vn1 β

S1 R1

R ω 1

v2 β

S2 u1

entree

vn2

2 R ω 2

sortie

Fig. 2.6 – Triangle des vitesses entr´ee et sortie

Le d´ebit qv =

RR S

v.ndS se conserve. Si n est le nombre d’aubes, on a donc : qv = vn1 (2πR1 − ne1 )b1 = vn2 (2πR2 − ne2 )b2

(2.7)

avec ei l’épaisseur des aubes ` a l’entrée (1) et à la sortie (2). On fait une hypoth` ese importante : le triangle des vitesses dans le fluide au point M’ situé 0 entre 2 aubes est le même au point M situé sur le rotor si |OM| = |OM |. En réalité ceci n’est pas tout à fait exact et même en fluide parfait, de part et d’autre d’une aube, wintrados 6= wextrados . De plus, comme les fluides sont visqueux, on a w(M ) = 0 (adhérence). Ainsi, la théorie qui suit est une théorie approchée.

2.3

Principe de quantit´ e de mouvement angulaire

Le principe de quantité de mouvement angulaire s’écrit : ZZZ ZZ ZZZ X ∂ d OM ∧ (ρv)dV = OM ∧ (ρv) dV + OM ∧ (ρv) v.ndS = Γext (O) dt ∂t V S V (2.8) On fait l’hypothèse que le régime est quasi-permanent, c’est-à-dire que ∂/∂t = 0. Considérons un S volume de contrˆ ole fluide V limité par une surface fermée S = 6i=1 Si en pointillé sur la figure 2.7.

S2 n2

S5 S6

S3 S1

O Fig. 2.7 – Volume fluide de contrˆole autour du rotor.

Calculons le terme

OM ∧ (ρv) v.ndS

de la relation de conservation de quantit´e de mouvement 2.8.

2.3 Principe de quantit´ e de mouvement angulaire

– Sur S5 et S6 , n5 = −n6 donc la contribution est nulle. – Sur S3 et S4 , on a ZZ ZZ ZZ OM ∧ (ρv) v.ndS = OM ∧ (ρv) u.ndS + S3 ∪S4

OM ∧ (ρv) u.ndS (2.9)

car v = u + w et w.n = 0. De plus, si l’on fait l’hypothèse que l’aube est de faible épaiseur, alors, u3 = u4 , w3 ' w4 ⇒ v3 ' v4 et n3 ' −n4 . On en déduit que ZZ OM ∧ (ρv) v.ndS ' 0 (2.10) S3 ∪S4

– Enfin, on trouve : ZZ

OM ∧ (ρv) v.ndS

OM ∧ (ρv) v.ndS =

(2.11)

S1 ∪S2

Calculons maintenant le terme X

ext

ZZ OM ∧ t(M )dS

(O) = S

de l’´equation 2.8. t(M ) = −pn d´esigne la contrainte au point courant M. RR – Sur S5 et S6 , S5 ∪S6 OM ∧ t(M )dS = 0 car n5 = −n6 . RR – Sur S3 et S4 , S3 ∪S4 OM ∧ t(M )dS = Crotor→f luide . RR RR – Sur S2 (ou S1 ), S2 OM ∧ t(M )dS = S2 OM ∧ (−p2 n2 )dS avec OM = R2 n2 d’o` u ZZ OM ∧ t(M )dS = 0 S1 ∪S2

Ainsi, on trouve la relation qui existe entre le bilan de quantit´e de mouvement angulaire et le couple qu’exerce le rotor sur le fluide : ZZ OM ∧ (ρv) v.ndS = C (2.12) S1 ∪S2

En multipliant les termes de l’équation 2.12 par ω et en utilisant la propriété du produit mixte : ω.(OM ∧ ρv) = OM.(ρv ∧ ω) = ρv.(ω ∧ OM) = ρv.u D’o` u l’expression de la puissance hydraulique : ZZ Pext = C.ω =

(ρu.v)v.ndS

(2.13)

S1 ∪S2

Comme u et v sont constants sur S1 et S2 , que − Pext = ρgqv Hth , on en d´eduit que : Hth =

RR S1

v1 .n1 dS =

u2 .v2 − u1 .v1 g

RR S2

v2 .n2 dS = qv et que

(2.14)

On voit donc que Hth est directement liée aux triangles des vitesses et donc à la configuration (dessins des aubes). Hth ne dépend pas du fluide véhiculé. Remarque 1 : Si u et v ne sont pas constants sur S1 et S2 , on prend une valeur moyenne. C’est le cas des pompes ` a hélices par exemple. Remarque 2 : On trouve le même résultat pour les turbines avec un signe −, c’est-à-dire que Hth = (u1 .v1 − u2 .v2 )/g.

Chapitre 2 Pompes

2.4

Notions de charge relative

On a Hth = Hs − He , donc Hs − u2g.v2 = He − u1g.v1 . Comme ui .vi = ui .(ui + wi ) = u2i + ui wi , Hi −

pi w2 − u2i ui .vi = + zi + i g ρg 2g

(2.15)

en posant H1 = He et H2 = Hs . On appelle la charge relative, la quantit´e : Hr =

p w2 − u2 +z+ ρg 2g

(2.16)

et on a alors, Hr (2) = Hr (1)

(2.17)

La charge relative se conserve dans une turbomachine.

2.5 2.5.1

Caract´ eristique d’une pompe centrifuge Caract´ eristique th´ eorique

Compte tenu de la configuration d’une pompe centrifuge (2.5), on peut concevoir que l’écoulement est radial en R1 . On admet qu’il reste radial à l’entrée de S1 , d’o` u le triangle des vitesses ` a l’entrée 2.8. w1

vn1 2 u1

Fig. 2.8 – Triangle théorique à l’entrée.

On a u1 .v1 = 0 d’o` u: Hth =

u2 .v2 g

(2.18)

v2 β

vn2

2 u2

Fig. 2.9 – Triangle th´eorique `a la sortie.

u2 .v2 = u22 + u2 w2 cos(β2 )

(2.19)

2.5 Caract´ eristique d’une pompe centrifuge

Comme on a w2 = vn2 / sin(β2 ), vn2 S2 = qv et ω = 2πN avec N le nombre de tour par seconde, on peut ´ecrire : Hth =

(2πR2 )2 2 2πR2 cos(β2 ) N + N qv g gS2 | sin(β2 )|

(2.20)

Ainsi, la caractéristique théorique Hth (qv , Nf ixe ) est donnée sur la figure 2.10.

β<π/2

Hth

β=π/2

β>π/2 qv Fig. 2.10 – Caract´eristique th´eorique d’une pompe centrifuge.

2.5.2

Caract´ eristique r´ eelle

Perte par choc ` la sortie de S2 , on installe des ´el´ements fixes (redresseurs) qui permettent de mieux canaliser A le fluide vers la sortie de la pompe (figure 2.11).

w 2 w2

qv w

β 2

β 2 a

β v 2 2

Fig. 2.11 – Redresseurs N fix´e.

– Pour le cas a, on voit que l’écoulement rentre sans chocs dans les redresseurs. Ceci se produit pour un débit qv = qa (débit d’adaptation). – Pour le cas b, le débit qv > qa et il se produit un choc entre l’écoulement et les redresseurs. Il y a donc des pertes de charge par choc. De même, dans le cas c, o` u qv < qa . ` A l’entrée de S1 , on a le même scénario, sauf que le choc se fait à l’entrée de l’aube. Comme les pertes de charge s’écrivent en Kqv2 et comme il n’y a pas de perte de charge par choc pour le débit d’adaptation qa , on admet que les pertes de charge par choc s’écrivent : ∆Hchoc = Kc (qv − qa )2 avec Kc un coefficient de perte de charge par choc.

(2.21)

Chapitre 2 Pompes

β 1

β 1 u1

v1 c

β 1 u1

Fig. 2.12 – a : qv = qa , b : qv > qa et c : qv < qa .

Perte par frottement et par singularit´ e L’écoulement du fluide sur les parois des aubes et les parois des redresseurs induisent une perte de charge par frottement visqueux analogue à celle rencontrée dans les tubes. Pour simplifier, on prend une loi de type rugueux (Moody) : ∆Hf = Kf qv2

(2.22)

De plus, l’écoulement depuis l’entrée à la sortie traverse plusieurs singularités : coudes, élargissement, changement de directions complexes, etc ... Ces singularités causent aussi des pertes de charge singulières qu’on modélise par : ∆Hs = Ks qv2

(2.23)

d’o` u la perte de charge par frottement et singularit´e : ∆Hf s = Kf s qv2

(2.24)

avec Kf s = Kf + Ks . On appelle alors la perte de charge interne ∆Hi : ∆Hi = ∆Hchoc + ∆Hf s

(2.25)

et la charge nette Hn de la pompe est Hn = Hth − ∆Hi

(2.26)

Le rendement interne est donn´e par : ηi =

Hn Hth

(2.27)

Ainsi, on en déduit la caractéristique réelle de la pompe figure 2.13. En général, on trace Hn et ηi sur la même courbe. La partie ascendante de Hn peut conduire a` une instabilité de pompage.

2.5.3

Bilan de rendements

Le bilan d’énergie peut-être schématisé comme suit figure 2.14. Sur la cascade d’énergie, on distingue :

2.5 Caract´ eristique d’une pompe centrifuge

Hth

∆ Hchoc ∆H

H (m)

qc qa

0 0

4 −2 3 6 qv (x10 m /s)

Fig. 2.13 – Caractéristique réelle à N fixé.

pm ρgq ∆H v i

Cω ρgq H v th ρgq H v n

transfert Fig. 2.14 – Cascade de l’´energie dans une pompe.

– – – – –

Cω la puissance disponible sur l’arbre fournie par le moteur. pm la puissance perdue par frottement mécanique dans les paliers. ρgqv Hth la puissance théorique. ρgqv ∆Hi la puissance perdue par choc et frottement visqueux. ρgqv Hn la puissance réellement récupérée par le fluide.

On introduit donc trois types de rendement : – Rendement m´ecanique : ηm = ρgqv Hth /Cω. – Rendement interne ou hydraulique : ηi = Hn /Hth . Ce rendement peut atteindre 90% pour les pompes de grandes puissances. – Rendement total : η = ηm ηi . Ce dernier prend en compte tous les types de pertes aussi bien m´ecanique qu’hydraulique.

Chapitre 2 Pompes

2.6

Pompes ` a h´ elices

L‘’écoulement est principalement axial (hélico¨ıdal dans la roue). Le fluide entre par un convergent et ressort par un divergent appelé diffuseur. La figure 2.15 présente le schéma de principe. pales distributeur

redresseur

M Rm ω

Fig. 2.15 – Schéma de principe d’une pompe à hélice.

Une coupe de la pale au point M au rayon moyen Rm conduit `a la construction du triangle des vitesses figure 2.16. distributeurs fixes

vn1

γ α 11 w1 v1 β 1

pales

vn2

α 2 2 v2

redresseurs fixes

β 2

Fig. 2.16 – Triangle des vitesses dans une pompe `a h´elice.

On a : u1 = u2 = Rm ω

et vn1 = vn2 =

qv S

(2.28)

Dans certaines configurations (notamment en turbine), les distributeurs sont orientables, ainsi que les pales de l’hélice. Les angles les plus pertinents sont les angles qui indiquent les directions des distributeurs et des pales par rapport à la direction principale de l’écoulement, c’est-à-dire α1 et γ2 , comptés algébriquement. Dans ce cas, on a : gHth = u2 .v2 − u1 .v1

(2.29)

ce qui donne :

gHth

= u[u + vn (tan(γ2 ) − tan(α1 ))] = u u + 2vn

sin(γ2 − α1 ) cos(γ2 + α1 ) + cos(γ2 − α1 )

(2.30)

2.7 Probl` emes g´ en´ eraux

Comme on sait que u ∝ N et vn ∝ qv , on retrouve : Hth =

(2πRm )2 2 2πRm N qv (tan(γ2 ) − tan(α1 )) N + g gSm

(2.31)

Selon les valeurs de γ2 et de α1 , la caract´eristique th´eorique a l’allure suivante : tan(γ )-tan(α )>0 2 1

Hth

tan(γ )-tan(α )=0 2 1

tan(γ )-tan(α )<0 2 1 qv

Fig. 2.17 – Caractéristique théorique pour N fixé.

En réalité, il y a des pertes par chocs à l’entrée de la pale. Ces derniers peuvent être limités si la direction de w1 est la même que la direction principale de la pale, i. e. si γ1 = γ2 . Pour α1 ` la donné et une vitesse de rotation N donnée, il existe un débit qa qui satisfait cette condition. A sortie, il faut éviter les chocs sur les redresseurs qui ont comme rôle de rendre l’écoulement axial. La condition idéale de sortie est donc α2 = 0. Pour qa donné, il existe un N qui permet d’avoir ´ α2 = 0. En conclusion, pour α1 donné, il existe qa et N pour qu’il n’y ait pas de choc. Etant donné les nombreux paramètres que l’on peut faire varier (qv , N , α1 et γ2 ), il est difficile de donner une forme à l’expression de ∆Hchoc . Les pertes par frottement sont aussi difficiles à quantifier. La figure 2.18 donne des exemples de l’allure des caractéristiques réelles d’une pompe à hélice. η

80% 80%

zone instable

Fig. 2.18 – Exemples de carcat´eristiques.

2.7 2.7.1

Probl` emes g´ en´ eraux Point de fonctionnement

Le point de fonctionnement F se trouve à l’intersection de la caractéristique du circuit C(qv ) et de la charge nette de la pompe Hn (qv ) (figure 2.19). Ce point de fonctionnement fournit le débit de fonctionnement qf onct et le rendement de fonctionnement ηf onct .

Chapitre 2 Pompes H η Hn F

C(qv)

η fonct

qfonct

Fig. 2.19 – Point de fonctionnement.

2.7.2

Hauteur d’aspiration et amor¸cage Lorsque la pompe est pleine d’air sans d´ebit, sa mise en fonctionnement fait monter le niveau d’eau d’une hauteur h.

v = 0 ⇒ pS − pE = ρair gHn (0) et pS = patm

p + ρeau gz = cste dans l’eau : patm + 0 = pE + ρeau gh d’o` u hasp

air

h= h

ρair Hn (0) ρeau

Pour que la pompe s’amorce, il faut hasp ≤ h. ⇒

crepine

Exemple : si Hn (0) = 50 m ⇒ hasp ≤ 6.25 cm car ρair

ρair Hn (0) ρeau ' 1.25 kg/m3 . hasp ≤

Les conséquences sont les suivantes : – Il faudra prévoir des dispositifs d’amor¸cage dans le cas o` u la pompe est située au dessus du niveau du réservoir amont. Cela peut se faire, soit par remplissage manuel du corps de la pompe, soit par remplissage avec un réservoir d’amor¸cage ou encore avec une pompe auxiliaire (pompe de gavage). On peut aussi ajouter une crépine d’aspiration avec un clapet anti retour pour éviter le désamor¸cage à l’arrêt. – Dans le cas o` u la crépine d’aspiration n’est pas assez immergée, il se produit une admission partielle de l’air ` a partir de la surface libre. Ceci a pour conséquence une chute de la hauteur de refoulement et du rendement. Cela ne doit pas être confondu avec un phénomène de cavitation.

2.7.3

Groupement de pompes : s´ erie et parall` ele

S´ erie qv

2 P1

3 P2

qv 1

3 P

2.7 Probl` emes g´ en´ eraux

Le d´ebit traversant chaque pompe q1 = q2 = qv est le mˆeme et H1 = H2 − Hn1 (qv ), H2 = H3 − Hn2 (qv ) donc H1 = H3 − (Hn1 (qv ) + Hn2 (qv ))

(2.32)

d’o` u la caract´eristique ´equivalente (figure 2.20). Parall` ele q1 qv

qv 1

2 P

En négligeant les pertes de charge ` a la bifurcation (1) et à la jonction (2), on a Hn1 = Hn2 , mais qv = q1 + q2 , d’o` u la caractéristique figure 2.20. H

H Heq Hn2

qcritique Hn1

Hn1

Heq Hn2

(s)

(p)

Fig. 2.20 – Caractéristiques de deux pompes en série (s) et en parallèle (p).

Remarque : Branchée sur un circuit conduisant à qv < qcritique , la pompe 2 fonctionnera en régime turbine.

2.7.4

Cavitation - rudiments

La cavitation apparaˆıt lorsque la pression du fluide devient égale à la pression de vapeur saturante psat . C’est donc un phénomène d’ébullition sous faible pression à température ordinaire. Au point o` u la pression devient égale ` a psat une bulle de vapeur se forme. Cavitation locale B bulles A

R v

pA + ρ v2 ' pB + ρ u2 , or u = Rω et v u, donc pB ' pA − ρ (Rω) 2 . Cela implique que la pression pB diminue quand ω augmente. Ainsi, lorsque pB = psat , il y a formation de bulle de

Chapitre 2 Pompes

vapeur. Les bulles de vapeur sont transportées par l’écoulement et dès qu’elles arrivent dans une zone o` u la pression est légèrement supérieure à la pression de vapeur saturante, elles implosent en des temps très brefs (microseconde). Pour une bulle de 1 mm de rayon, cela correspond à une vitesse locale du fluide de l’ordre de 1 km/s ! Les vitesses sont donc très grandes au voisinage du point d’implosion et on enregistre des variations de pression de quelques centaines de bars. Les parois sont donc soumises ` a des efforts énormes et des coups de belier très destructeurs. Il faut donc faire travailler les turbomachines dans des conditions o` u il n’y a pas d’apparition de cavitation. Si la cavitaion apparaˆıt, on injecte des bulles d’air en petite quantité dans le fluide. Ces bulles compressibles servent d’amortisseurs et permettent l’élimination de bruits et de vibrations. Cavitation globale Lorsque la pompe n’est pas en charge ou en charge, il arrive qu’au point A d’entrée, p(A) = psat . Dans ce cas, il y a cavitation globale ` a l’entrée de la pompe. Dans les deux cas, on entend un bruit 1 caractéristique de cailloux roulés .

Fig. 2.21 – Photo : National Research Council of Canada, Institute for Ocean Technology (NRC-IOT).

2.8

´ Etude dimensionnelle et similitude

L’étude dimensionnelle permet d’avoir une représentation sous forme adimensionnelle et de ` mettre en évidence les nombres sans dimensions à respecter lors de l’examen de la similitude. A titre d’exemple, si on fait des essais sur une petite maquette et que l’on souhaite extrapoler les résultats pour le prototype, il faut que les nombres sans dimensions pertinents soient les mêmes pour le prototype et la maquette. Dans la configuration de la figure 2.22, on cherche la loi : gH = F (qv , N, D, ρ, µ, L1 , l2 , . . . , α1 ,α2 , . . .) 1. En TD de mécanique des fluides, on montre comment calculer la pression ` a l’entrée A d’une pompe.

(2.33)

´ 2.8 Etude dimensionnelle et similitude

T, (C) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

psat , (kpa) 0.611 1.227 2.337 4.242 7.375 12.34 19.92 31.16 47.35 70.11 101.33

Tab. 2.1 – Pression de vapeur saturante de l’eau.

H N

D qv Fig. 2.22 – Configuration pour l’´etude dimensionnelle.

On choisit des grandeurs fondamentales D, N , ρ (determinant non nul) et on construit le tableau suivant : L M T

D 1 0 0

N 0 0 -1

ρ -3 1 0

gH 2 0 -2

qv 3 0 -1

µ -1 1 -1

Li 1 0 0

αi 0 0 0

Exemple :

ΠLi =

Li α D N β ργ

   α − 3γ = 1 ⇒ −β = 0   γ = 0

⇒ α = 1, β = 0, γ = 0

et donc ΠLi = Li /D. Suivant la même méthode, on construit : – Le pouvoir manométrique : m = ΠgH =

gH N 2 D2

(2.34)

Chapitre 2 Pompes – Le pouvoir d´ebitant : δ = Πqv =

qv N D3

(2.35)

– Le nombre de Reynolds : 1 µ = Πµ = Re ρN D2

(2.36)

La relation 2.33 s’écrit, d’après le théorème de Vashy-Buckingham : m = F (δ, Li /D, αi )

(2.37)

car en général, les écoulements sont suffisamment rapides pour que 1/Re → 0. Ainsi, pour des machines géométriquement semblables, si δ1 = δ2 , alors m1 = m2 . On appelle donc m et δ les invariants de Rateau. Par conséquent, une seule caractéristique m = f (δ) suffit à déterminer les caractéristiques réelles de toutes les machines géométriquement semblables. Si on s’intéresse ` a la puissance P de deux machines 1 et 2, on a : P1 ρ1 q1 (gH1 ) P1 /(ρ1 N13 D15 ) δ1 m1 = ⇒ = P2 ρ2 q2 (gH2 ) δ2 m2 P2 /(ρ2 N23 D25 )

(2.38)

Or si δ1 = δ2 ⇒ m1 = m2 , donc P/(ρN 3 D5 ) est aussi un invariant. De mˆeme pour le couple P = Cω ∝ CN , C/(ρN 2 D5 ) est un invariant. On remarque que le rendement η est aussi un invariant. En pratique, on a un effet d’´echelles (figure 2.23). η

D1 D2

Fig. 2.23 – D1 > D2 .

2.9

NPSH (Net positive Suction Head)

Cette notion permet de mieux dimensionner la hauteur d’aspiration qui est d’une grande importance quand : – Le liquide est volatile o` u` a température élevée. – Le liquide est stocké sous vide. Un bon fonctionnement de la pompe est caractérisé par le NPSH qui sert à définir la pression nécessaire à l’entrée de la roue pour avoir en tout point du fluide (y compris à l’intérieur de la pompe) une pression supérieure ` a la pression de vapeur saturante psat de fa¸con à éviter la cavitation.

2.9 NPSH (Net positive Suction Head)

Cette quantité est donnée par le constructeur sous l’appelation NPSH requis. Elle tient compte de la chute de pression que subit le fluide lors de son accélération à l’entrée de la roue. ∆p >0 f

Fig. 2.24 – u > uE donc p < pE .

Le NPSH requis est le supplément minimal de pression qu’il faut ajouter à psat au niveau de l’entrée de la pompe pour avoir p(M ) > psat , ∀M à l’intérieur de la pompe. En conclusion, la pompe fonctionne correctement si : ptE ≥ psat + N P SHrequis

(2.39)

N P SHrequis ≤ ptE − psat

(2.40)

qui peut s’écrire aussi : o` u N P SHrequis est donné par le constructeur et ptE −psat est le N P SH disponible, calculé à partir de l’installation. Exemple de calcul de NPSH disponible

A E

h2 h1

z A

On a :

1 1 2 2 pA + ρgzA + αA ρvA = pE + ρgzE + αE ρvE − ∆pconduite 2 2 Le plus souvent vA vE , donc : 1 2 ptE = pE + αE ρvE = pA + ρg(zA − zE ) − ∆pconduite 2

(2.41)

Comme N P SHdisp = ptE −psat et si on divise l’´equation 2.41 par ρg pour obtenir une expression qui fait intervenir les charges, on obtient : N P SHdisp (m) = HA − hsat + zA − zE − ∆Hconduite

(2.42)

Chapitre 2 Pompes

o` u HA = pA /ρg et hsat = psat /ρg. ∆Hconduite représente les pertes de charge dans la conduite. Si pA = patm , alors au niveau de la mer, HA = 10.33 m et à 1500 m, HA = 8.6 m. hsat est fonction de la température. Si le NPSH disponible est insuffisant, on peut : – Diminuer la température pour abaisser hsat. – Diminuer les pertes de charge ∆Hconduite en augmentant la section des tuyaux et en ouvrant les vannes. – Augmenter h1 = zA − zE . – Diminuer h2 = |zA − zE |. – Diminuer la vitesse de rotation de la pompe.

2.10

TD : Pompes

2.10.1

R´ epartion de pompes sur un ol´ eoduc

Une conduite cylindrique horizontale de diamètre d = 0.5 m et de rugosité moyenne e = 0.2 mm, transporte une huile lourde de viscosité dynamique µ = 0.35 Pa.s et de masse volumique ρ = 920 kg/m3 . La circulation de l’huile dans loléoduc est assurée par des pompes placées tous les 14 km sur la conduite :

1. En supposant l’écoulement d’huile laminaire dans la conduite, donner l’expression de la perte de charge par unité de longueur ∆H/L en fonction du débit volumique qv (dans cette expression, les autres paramètres auront été remplacés par leur valeur numérique). 2. On utilise des pompes du type n°1 (caractéristiques jointes). Déterminer le débit d’huile dans l’oléoduc et vérifier l’hypothèse faite en 1. 3. On remplace les pompes précédentes par des pompes de type n°2 (caractéristiques jointes) en conservant le même débit. Quelle devra être la nouvelle distance entre deux pompes successives ? 4. Sans tenir compte de l’investissement, quelle est la solution la plus économique en fonctionnement ?

2.10 TD : Pompes

2.10.2

Choix d’une pompe par similitude

Une pompe de diamètre D = 0.25 m tournant à 1450 tr/min a les caractéristiques suivantes :

On dispose de pompes géométriquement semblables de diamètres 0.3 m, 0.25 m, 0.22 m et 0.19 m pouvant tourner ` a 1750, 1450 et 1150 tr/min. 1. Quel diamètre et quelle vitesse de rotation doit-on choisir pour obtenir un débit de 0.0523 m3 /s et une hauteur nette de 15.4 m ?

Chapitre 2 Pompes 2. Calculer la puissance absorb´ee (ou puissance utile Pi ) par la pompe choisie au point de fonctionnement de la question 1.

(—) Hn et (− −) η. Pompe D = 0.25 m, N = 1450 tr/min.

2.10.3

´ Etude d’une pompe centrifuge

Une pompe centrifuge débite 24 litres d’eau par seconde sous une hauteur nette Hn = 27 m avec un rendement manométrique η = 75%. On admet que la perte de charge interne totale ∆Hi vaut 5 fois l’énergie cinétique de l’eau dans son mouvement relatif ` a la sortie de la roue (vitesse relative W2 ). L’eau entre radialement dans la roue. Le diamètre extérieur de la roue est D2 = 0.20 m et la section utile à la sortie S2 = 0.2D22 . 1. Calculer les valeurs numériques de la vitesse relative W2 et de la vitesse débitante V2d à la sortie de la roue. ~ 2, W ~ 2 ). 2. Tracer le triangle des vitesses ` a la sortie et calculer l’angle de sortie β2 = (U ` partir de la relation d’Euler, calculer la valeur numérique de la vitesse d’entrainement U2 3. A et en déduire la vitesse de rotation N de la roue.

2.10.4

´ Etude d’une pompe multicellulaire

Une pompe multicellulaire est constituée par 8 roues de diamètres extérieur et intérieur D2 = 40 cm et D1 = 20 cm. Ces roues sont disposées en série et tournent à 3000 tr/min.

2.10 TD : Pompes

1. Vide d’eau, ` a quelle hauteur cette pompe peut-elle aspirer l’eau dans la conduite d’aspiration (on admettra qu’` a débit nul, le rendement manométrique est de 50%). 2. Le diffuseur est tracé pour annuler les pertes par choc (point d’adaptation) lorsque les vitesses relatives et absolues sont égales en module à la sortie de la roue (V2 = W2 ). Dans ce cas, le rendement manométrique vaut 90% et l’entrée dans la roue s’effectue radialement. Calculer la hauteur nette au point d’adaptation. 3. L’angle réel de sortie de l’eau des aubes est β2 = 150° et la largeur des roues à la sortie vaut 2 cm, la section des aubes occupe 10% de la section de sortie. Calculer le débit et la puissance de la pompe au point de fonctionnement précédent ainsi qu’au point de fonctionnement correspondant ` a une hauteur manométrique nulle. 4. Tracer la courbe de rendement manométrique de la pompe. En déduire le rendement maximal. Calculer la vitesse spécifique de chaque roue au point o` u le rendement est maximal.

2.10.5

Exemple d’utilisation du NPSH (R. Jouli´ e, M´ ecanique des fluides appliqu´ ee)

Pour irriguer des jardins on utilise l’eau d’un canal dont le niveau se trouve à 2 m en dessous de l’axe horizontal de la pompe, qui doit débiter 170 m3 /h d’eau. Dans ces conditions, le NPSH requis est de 6.5 mCE. Entre le canal et la pompe on doit installer une canalisation de 80 m de long en tube bitumé de rugosité 0.5 mm, comprenant un coude à 90° de coefficient de perte de charge k1 = 0.26, une crépine - filtre placé ` a l’extrémité de la conduite, donc immergé dans le canal -, et un clapet de pied - pour maintenir la conduite et la pompe pleines d’eau (question d’amor¸cage) dont le coefficient global de perte de charge est k2 = 0.9. Le NPSH disponible impose le choix du diamètre de conduite, sachant bien que le prix dépend de cette dimension. Déterminer le diamètre minimal - donc le moins coˆ uteux - ` a donner à cette conduite, parmi les valeurs commerciales : 100, 125, 150, 200, 300 (mm). La température de l’eau ne dépassant pas 20°C dans le canal, on prendra pour pression de vapeur saturante 2338 Pa, pour masse volumique 998 kg/m3 et pour viscosité cinématique 10−6 m2 /s. Pour le coefficient de perte de charge linéaire le long de la conduite, utiliser l’abaque (2.25).

Chapitre 2 Pompes

Fig. 2.25 â&#x20AC;&#x201C; Coefficient de perte de charge Îť(Re, ).

Chapitre 3

Turbines hydrauliques 3.1

G´ en´ eralit´ es

Les turbines sont ` a l’inverse des pompes des machines à fluides capables d’en extraire de l’énergie. Le fluide cède donc de l’énergie dont une partie sera récupérée sur l’arbre de la turbine sous forme d’énergie mécanique : P = Cω. Du point de vue du fluide, la puissance mécanique Pm est négative. En changeant le signe de Pm , on obtient une quantité positive Pi appelée puissance interne ou puissance indiquée : Pi = ρqv (u1 .v1 − u2 .v2 )

(3.1)

en utilisant les mêmes notations que dans le chapitre pompes. En général, on classe les turbines en deux catégories.

3.1.1

Les turbines ` a action

La diminution de la charge est due exclusivement à la perte d’énergie cinétique : ∆H = ∆

v2 2g

, or H '

v2 p + ⇒ ∆p = 0 2g ρg

(3.2)

On définit alors le degré de réaction par : r=

p2 − p1 p2 − p1 ou ρgH ρN 2 D2

(3.3)

et ici r = 0. Toute l’´energie cin´etique du fluide est disponible dans un ou plusieurs jets et le passage est tangentiel.

3.1.2

Les turbines ` a r´ eaction

Dans ce cas, r 6= 0, l’énergie hydraulique transmise se présente sous forme d’énergie cinétique et d’énergie de pression. Le transfert d’énergie de pression nécessite une grande surface de contact entre le fluide et la roue. C’est pourquoi le rotor et les aubes sont noyés dans le fluide.

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

3.2

Bilan d’´ energie

– HG : hauteur de génératrice. – Hp : hauteur de perte (perte de charge régulière et singulière). – Hr : hauteur résiduelle à la sortie de la turbine, le fluide dispose d’une énergie ρgqv Hr qui n’est pas récupérée sur l’arbre de la turbine.

On appelle la hauteur nette : Hn = HG − Hp − Hr

(3.4)

Toute cette énergie (Hn ) ne sera pas intégralement transférée au rotor. En effet, en traversant les organes fixes et mobiles, le fluide perd de l’énergie par frottement et par choc. On désigne ces pertes par perte de charge interne ∆Hi . Seule l’énergie restante (hauteur interne) est transférée au rotor : Hi = Hn − ∆Hi

(3.5)

Ci ω = ρgqv Hi

(3.6)

L’énergie disponible au rotor est : o` u Ci désigne le couple interne. Sa puissance mécanique disponible en bout d’arbre est : Cω = Ci ω − Pf

(3.7)

o` u Pf est la puissance dissip´ee par frottement au niveau des paliers. Hp Hr ∆H i P /(ρgq ) f v

HG Hn

hydraulique

C ω/(ρgq ) i v

Cω/(ρgq ) v

mecanique

Fig. 3.1 – Diagramme de transfert d’´energie pour une turbine.

Le bilan d’énergie est illustré par le diagramme 3.1. Ce diagramme définit plusieurs rendements :

3.3 Turbine ` a action

– Le rendement interne (ou manométrique) : ηi = Hi /Hn . Ce dernier rend compte des pertes hydrauliques. – Le rendement mécanique : ηm = Cω/Pi = C/Ci . Ce rendement rend compte des frottements mécaniques. – Le rendement total : η = Cω/ρgqv HG . Ce rendement rend compte de la dissipation et de l’utilisation faite de l’énergie hydraulique disponible. Le fonctionnement nominal est en général choisi lorsque le rendement total est maximum, c’est-à-dire quand Hp + Hr + ∆Hi est minimum.

3.3

Turbine ` a action

Dans cette catégorie, un jet libre impacte sur des augets ou des aubes profilées, fixées sur la périphérie de la roue mobile. Ces jets exercent une force sur les augets en mouvement de rotation qui est transformée en couple et puissance mécanique sur l’axe de la turbine. Les turbines ` a action sont caractérisées par le fait que l’énergie transformée au niveau des aubages est entièrement sous forme d’énergie cinétique. Le transfert d’énergie entre l’eau et l’aubage a lieu à pression constante, généralement à la pression atmosphérique. La roue de la turbine est dénoyée ou partiellement dénoyée (cross-flow) et tourne dans l’air. Dans cette catégorie, on trouve la turbine Pelton, la turbine Crossflow (Banki-Mitchell), la roulette de dentiste (dental drill), etc ...

3.3.1

La turbine Pelton

Elle travaille ` a débit relativement faible sous une hauteur de chute élevée (300 m à 1200 m, voire davantage) avec une grande vitesse de rotation. Sch´ ema de principe

deflecteur alimentation roue v

auget

jet aiguille Fig. 3.2 – Turbine Pelton

Le jet exerce une force F sur l’auget qui conduit à un couple moteur qui fait tourner la roue de la turbine. L’injecteur est relié au réservoir (HG ) amont par une conduite forcée. L’aiguille coulisse dans la partie convergente de l’injecteur soit par une commande manuelle soit par un servo-moteur. Le déplacement de l’aiguille fait varier la section de sortie et par conséquent le débit qv = vS (v vitesse du jet et S section du jet). En effet, on a :

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

v2 = HG − ∆Htuyaux − ∆Hinjecteur 2g p Comme HG est très grand et que le tuyau est long, v ' 2g(HG − ∆Htuyaux ). Quand on veut arrêter rapidement la turbine Pelton, on ne ferme jamais brusquement la vanne amont ou l’injecteur en raison des coups de belier qui pourraient endommager la conduite d’amenée, mais, on dévie le jet grˆ ace ` a un déflecteur. Ensuite, on ferme lentement l’injecteur. Le déflecteur doit être fixé solidement pour résister aux efforts souvent énormes exercés par le jet. Exercice : Calculer F en fonction de v et S.

S v

La roue est ` a passage tangentiel et le transfert se fait à la périphérie de la roue dans des augets en nombre et forme calculés. Le jet frappe des augets de forme coquille symétrique. L’angle d’entrée β1 doit être faible ce qui conduit ` a construire une arête d’entrée très affutée, dont l’usure constitue le problème principal. L’angle de sortie β20 = π − β2 doit être également faible. Cependant, un retour complet (β20 = 0) de jet provoque un phénomène de talonnage qui diminue le rendement. Le talonnage est du ` a l’impact du jet sortant sur l’extrados de l’auget suivant. w2 β’ 2

β v1

Fig. 3.3 – Coupe de l’auget d’une turbine Pelton.

Le nombre de tours sp´ecifique Ns est d´efini par :

3.3 Turbine ` a action

Ns =

N P 1/2 ρ1/2 (gHG )5/4

(3.8)

Pour les turbines Pelton, Ns = 0.0025 → 0.08. Le meilleur rendement est obtenu pour environ Ns ' 0.08. Attention : ces valeurs sont donn´ ees avec N en tr/min et P en chevaux. Si la vitesse spécifique est calculée avec d’autres unités, les valeurs numériques données ici doivent être converties. Il est aussi important de définir le rapport 2R/d entre le rayon de la roue R et le diamètre du jet d. Pour que le rendement soit convenable, il faut que 9 < 2R/d < 30 avec une valeur optimale de 12. On peut montrer que Ns ' 0.2d/2R. Si la roue est munie de plusieurs jets n, sa puissance totale est n fois plus grande et son nombre √ de tours spécifique Ns , n fois plus grand. n peut atteindre 6, mais en pratique, les turbines Pelton possèdent 2 à 4 jets.

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

3.3 Turbine ` a action

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

Caract´ eristique de la turbine Pelton L’écoulement dans l’auget peut se schématiser comme sur la figure 3.3. On en déduit le triangle des vitesses. w2 v1 u1

v2 u2

` l’entr´ee, β1 = 0 et ` A a la sortie β2 ' π si β20 ' 0. On a alors, u1 ' u2 et |u1 | ' |u2 | = Rω = u. La puissance interne est donn´ee par : Pi = ρqv (u1 .v1 − u2 .v2 )

(3.9)

Pi = ρqv [uv − u2 .(u2 + w2 )] = ρqv uv − u2 − u2 w2 cos(β2 )

(3.10)

et donc

La charge relative entre 1 et 2 se conserve : w2 − u21 p2 w2 − u22 p1 + 1 = + 2 ρg 2g ρg 2g

(3.11)

Si le degr´e de r´eaction r = 0, alors p1 = p2 ' patm et u1 = u2 donc w1 = w2 = v − u et Pi = ρqv u(v − u)(1 − cos(β2 ))

(3.12)

Cela montre que le meilleur transfert a lieu pour β20 = 0. Mais dans ce cas, on a le phénomène de talonnage. En général, on construit les augets avec β20 ∼ 4 à 7. √ Si on suppose que v est fixée (' ρgHn ), qv est fixé (ouverture de l’injecteur fixé), u étant proportionnel ` a N , alors : Pi = Aρqv N (Nmax − N )

(3.13)

o` u A = (2πR)2 (1−cos(β2 )) et Nmax = v/(2πR). Nmax correspond à la vitesse de rotation théorique d’emballement. Dans ce cas, v = u, ce qui signifie que l’auget va à la même vitesse que le jet. Il n’y a donc pas de transfert d’énergie. On en déduit les caractéristiques des turbines Pelton.

qv qv

Nmax N

Fig. 3.4 – Caract´erisques de turbines Pelton.

Nmax

3.3 Turbine ` a action

On note que Pi = Ci ω et donc Ci = A0 ρqv (Nmax − N ). De plus, si v est fixé, alors Nmax l’est aussi. Le rendement interne ηi = Hi /Hn est proportionnel à Pi . Le rendement maximal a donc lieu pour u ' v/2 et ηi ∼ 1. qv est fixé par l’ouverture de l’injecteur et par la hauteur génératrice. Le débit est donc indépendant de N .

η i

qv qv3 qv2 qv1

Nmax/2

Nmax

Remarque 1 : On remarque que le couple est maximum au démarrage et que la vitesse d’emballement reste finie (v). Elle est fixée par la hauteur génératrice HG aux pertes de charge près. Remarque 2 : En raison du frottement du fluide sur les parois de l’auget qui conduit à une perte de charge interne et ` a w2 < w1 , on trouve que ηmax est obtenu pour u/v légèrement inférieur à 1/2. Remarque 3 : Dans les grosses turbines Pelton dont la roue peut atteindre plusieurs mètres de diamètre, la puissance maximale réellement obtenue dépasse les 90% de la valeur théorique (1/2)ρqv v 2 et on réalise des machines qui fournissent 40000 chevaux par roue soit 29.44 M W . Remarque 4 : La hauteur de chute varie entre 40 m et plus de 1000 m. Cela entraine des vitesses de rotation élevées.

3.3.2

Turbine Crossflow

Cette turbine est aussi appelée turbine à flux traversant et turbine de Banki-Mitchell. C’est une machine à action o` u l’eau traverse deux fois la roue. C’est une machine de construction simple et son utilisation est très répandue dans les pays en voie de développement. Le schéma de principe est donné sur la figure 3.5. Elle est constituée de : – Un injecteur de section rectangulaire (largeur l) équipé d’une vanne papillon pour régler le débit qv . – Une roue (diamètre D) en forme de tambour munie d’aubes cylindriques profilées qui sont relativement élastiques et qui sont source de bruit à cause des chocs périodiques de l’eau sur les aubes. La roue est autonettoyante parce que l’eau la traverse deux fois. – N est généralement faible ce qui nécessite un multiplicateur à engrenage ou à courroie pour le couplage au générateur.

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

Fig. 3.5 – Turbine cross-flow

– L’injecteur et la roue sont souvent divisés en 2 secteurs de largeur 1/3 et 2/3 qui peuvent être mis en fonctionnement séparément ou ensemble. Avec ce système, il est possible d’obtenir un rendement satisfaisant (ηmax = 80% à 83%) sur toute la plage de débits (figure 3.3.2).

On donne quelques formules empiriques. – Pour le d´ebit : qv = 0.25α

lD p 2gHn 2

(3.14)

3.3 Turbine ` a action

√ α est en radian, π/2 ≤ α ≤ 2π/3 donc lD = 1.13 `a 0.75qv / Hn . – La vitesse de rotation : p 2 ω = 0.45 2gHn D

– – – –

3.3.3

(3.15)

√ d’o` u D = 38 Hn /N , l = 0.02 . . . 0.03qv N/Hn . N est en tr/min. l/D = 0.3 . . . 4. La vitesse d’emballement est ´egale ` a 1.8 fois la vitesse nominale (∼ Pelton). La fr´equence principale de vibration est f = nombred0 aubes × (N/60). Il y a entre 24 et 32 aubes.

Non-Pelton wheel impulse turbine (Dental drill)

Ce type de turbine ` a action est couramment utilis´e avec des gaz. Son principe de fontionnement est donn´e sur la figure 3.6.

Fig. 3.6 – Images tir´ees de Fundamentals of Fluid Mechanics (5eme ´edition), Munson Young Okicshi, Ed. John Whiley & Son (2006).

3.4 3.4.1

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

Turbines ` a r´ eaction Organes communs

Pour ce type de turbines, on utilise a` la fois l’énergie cinétique et l’énergie de pression. Cette dernière nécessite pour le transfert une grande surface de contact entre le fluide et la roue. C’est pourquoi les aubes sont noyées. Deux principes sont à la base de leur fonctionnement. – La création d’un tourbillon ` a l’aide d’une bache spirale d’aubages directeurs (directrices) ou des deux ` a la fois. – La récupération du mouvement tourbillonnaire par les aubes d’une roue mobile en rotation qui épousent les filets d’eau afin de leur donner une direction parallèle à l’axe de rotation.

Les aubages se comportent comme une aile d’avion. La portance qui en r´esulte induit un couple sur l’arbre de la turbine et fait avancer l’aube `a une vitesse d’entrainement u. portance i

u w

Dans cette catégorie de turbines, on distingue : – La turbine Francis. – La turbine Hélice. – La turbine Kaplan (hélice ` a pales orientables même pendant le fonctionnement). Le système d’alimentation est presque le même pour les trois types de turbines. Il est constitué d’une bache spirale et d’un distributeur actionné par un cercle de vannage. La bache spirale est raccordée à la conduite amont et elle est en général sous la forme de colima¸con.

3.4 Turbines ` a r´ eaction

Fig. 3.7 – Bache spirale du lac Hodges (Canada) et sch´ema de la turbine Francis de la centrale de Martigny-Bourg (Suisse).

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

Le distributeur sert ` a régler le débit. Il est constitué par une série de directrices profilées toutes solidaires les unes des autres et actionnées par le cercle de vannage. Ces distributeurs servent également à fixer l’angle d’entrée. Le principe de fonctionnement est illustré par la figure 3.8.

3.4 Turbines ` a r´ eaction

Fig. 3.8 – Roue de turbine Francis. Cercle de vannage, distributeurs fermés et ouverts et vue schématique d’une turbine ` a réaction de type Francis.

Les turbines Kaplan ont un nombre de pales compris entre 3 et 8. Les pales sont orientables. La m´ecanique de commande des pales oblige, lorsque le nombre de pales devient important (6–8)

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

à augmenter le rapport du diamètre moyen au diamètre D de la roue.

Nombre de pales 3 4 5 6 7` a8

chute (m) 2–3 3–15 15–20 20–25 ≥ 30

Dm /D 0.38 0.40 0.45 0.50 0.60

Fig. 3.9 – Roue de turbine Kaplan.

` la sortie de la turbine ` A a réaction, l’eau possède toujours une certaine énergie cinétique qu’on peut récupérer en partie grˆ ace ` a un diffuseur qui est constitué d’une canalisation évasée conduisant l’eau vers le canal (ou lac) de fuite.

Fig. 3.10 – Diffuseur.

3.4 Turbines ` a rÂ´ eaction

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

3.4.2

Triangle des vitesses

Turbine Francis

Turbine ` a h´ elice

3.4.3

Caract´ eristiques g´ en´ erales

Ce sont les mˆemes calculs que pour les pompes. Hn = Hth + ∆Hchoc + ∆Hf

et η =

Hth Hn

(3.16)

3.4 Turbines ` a r´ eaction

Hth

∆ Hchoc ∆ Hf

Fig. 3.11 – N et ouverture fix´es.

Exemple de courbes caractéristiques à N fixé et ouverture de vannage variable.

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

CaractÂ´eristique ` a charge constante et N variable.

3.4 Turbines ` a rÂ´ eaction

CaractÂ´eristique ` a charge constante, N et ouverture variables.

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

5/4

Exemples de caractÂ´eristiques. ns = nP 1/2 /Hn

avec n en tr/min, P en chevaux et Hn en m`etre.

3.4 Turbines ` a r´ eaction

Diagramme de s´election d’une turbine.

3.4.4

Diffuseur

Le diffuseur (figure 3.10) sert ` a récupérer de l’énergie cinétique à la sortie de la turbine.

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

2 zT 4

turbine

3 diffuseur

L’axe de la turbine est situé ` a zT positif ou négatif. Si on sort directement à l’atmosphère p2 = patm et zT = 0. Il reste une charge résiduelle Hres = v22 /2g. On a P ∝ H1 − H2 avec H1 donné. On obtient donc une puissance maximum pour H2 minimum. S’il n’y a pas de diffuseur, H2 = et avec diffusueur : H2 =

patm v2 + zT + 2 ρg 2g

(3.17)

p2 v02 + zT + 2 ρg 2g

(3.18)

avec v20 ∼ v2 . On a donc intérêt ` a avoir p2 le plus faible possible, mais tel que p2 ≥ psat pour éviter la cavitation. Pour zT donné, la hauteur résiduelle est mesurée par Hr = (patm − p2 )/ρg. On peut également diminuer la cote zT (négatif) en pla¸cant la turbine sous le niveau du lac de fuite. Dans ce cas :

H2 = H3 + ∆Hreg + ∆Hsing v2 H3 = H4 + 3 2g patm H4 = ρg

(3.19) (3.20) (3.21)

avec ∆Hreg les pertes de charge régulières dans le diffuseur et ∆Hsing les pertes de charge singulières éventuelles. Ainsi, H2 =

patm v2 + ∆Hreg + ∆Hsing + 3 ρg 2g

(3.22)

et finalement : p2 patm v 2 − v22 = − zT + ∆Hreg + ∆Hsing + 3 ρg ρg 2g

(3.23)

zT étant fixé, v2 l’étant aussi par le débit, pour avoir p2 le plus faible possible il faut minimiser ∆Hreg + ∆Hsing + v32 /2g. Ainsi, un bon diffuseur doit avoir : – Un élargissement important pour que v3 → 0. – Une perte de charge ∆Hreg faible. ´ Evidemment, ces critères sont contraints par le génie civil. L’importance du diffuseur se chiffre par le coefficient K=

(patm − p2 )/ρg Hr = Hn Hn

(3.24)

3.4 Turbines ` a r´ eaction

En utilisant l’´equation 3.23, on obtient : ∆Hreg + ∆Hsing zT 1 v32 − v22 K= − + Hn Hn Hn 2g

(3.25)

Pour une sortie ` a l’air libre, zT = 0, ∆H = 0 et v3 = 0, K ' v22 /(2gHn ). On donne enfin quelques ordres de grandeur : – Pour les turbines Francis lentes, K ∼ 10%. – Pour les turbines Kaplan tr`es rapides, K ∼ 60%.

3.4.5

Cavitation

La cavitation peut se produire sur les aubes de la turbine, ou à la sortie de la turbine. Cavitation sur les aubes L’écoulement sur une aube dans le repère relatif est analogue à un écoulement sur une aile d’avion : dépression sur l’extrados, surpression sur l’intrados. La résultante de ces forces conduit à une force de portance qui fait tourner la roue. Ceci peut être schématisé par la figure 3.12. portance p sat -

A B C

+ +

Fig. 3.12 – Sur la zone AB, p < psat , formation des bulles de vapeur et zone BC, p > psat , implosion des bulles de vapeur.

Fig. 3.13 – D´egats par cavitation sur les aubes d’une turbine Francis.

Cavitation ` a la sortie de la turbine (torche ` a vapeur) ` la sortie de la turbine, un tourbillon se forme. Ce dernier ne disparait complètement qu’au A point de fonctionnement nominal (v1 axial). Pour des débits inférieurs, entre 40% et 60% du débit

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

nominal, le tourbillon de sortie devient très intense et conduit à des instabilités. L’écoulement dans le tourbillon est presque du type vortex libre : u ∼ A/r ⇒ p & quand r → 0. La pression atteint p = psat et les bulles de vapeur apparaissent sous forme de torche (figure 3.14).

Fig. 3.14 – Torche de cavitation.

Plus loin, les bulles implosent violemment. Il s’en suit des chocs (coup de belier) qui peuvent mettre en danger l’installation. Pour y rem´edier, on injecte des bulles d’air (par A sur la figure 3.14) qui permettent d’amortir les chocs. Mais cela entraˆıne une baisse de rendement de 1% `a 2%.

3.4.6

Limite de la hauteur d’aspiration

La hauteur d’aspiration Hs d’une turbine à réaction est définie par :

Hs>0

Hs<0

Si on raisonne en hydrostatique (en négligeant les pertes de charge et les termes v 2 /2g), la hauteur d’aspiration théoriquement possible est Hsth = Ha − Hv avec Ha = patm /ρg et Hv = psat /ρg. Les dépressions sur l’aubage font que la pression de vapeur saturante est atteinte pour

3.5 TD : Turbines

Hs < Hsth . Pour tenir compte de ceci, on utilise en pratique un coefficient σ, le coefficient de Thoma. On a alors : Hs = Hsth − σHn

(3.26)

au-delà duquel apparaˆıt une cavitation capable d’endommager la roue. Le coefficient σ est déterminé expérimentalement (voir figure 3.15).

1/2

3/4

Fig. 3.15 – Coefficient de cavitation. nq = nqv /Hn

avec n en tr/min, qv en m3 /s et Hn en m.

Remarque : – Ha dépend de l’altitude. Au niveau de la mer Ha = 10.33 m et à 1500 m, Ha = 8 m. – Hv dépend de la température.

3.5

TD : Turbines

3.5.1

Turbine Pelton

On dispose d’un jet de diamètre d = 3 cm et de vitesse v = 45 m/s. 1. Calculer la hauteur génératrice HG .

Chapitre 3 Turbines hydrauliques 2. Calculer le diamètre de la roue D. 3. Calculer la vitesse de rotation d’emballement Nmax et la vitesse de rotation optimale Nopt . 4. Donner la taille de l’auget. 5. Calculer la puissance maximale Pmax . 6. La roue tourne ` a N = 600 tr/min, calculer la hauteur résiduelle Hr . 7. La roue tourne ` a N = 1193 tr/min, calculer la hauteur résiduelle Hr . 8. Calculer l’effort sur le déflecteur. 45o

d v

3.5.2

Dental drill

La turbine Pelton ` a air comprimé entrainant la roulette de dentiste est schématisée sur la figure 3.16 ci-dessous.

Fig. 3.16 – Dental drill.

La vitesse de rotation est N = 300000 tr/min. On estime le diam`etre du jet `a d = 1 mm (justifier cette valeur). 1. Calculer la vitesse moyenne u.

3.5 TD : Turbines

2. On souhaite qu’il n’ait pas de choc ` a l’entrée et que la vitesse de sortie v2 soit axiale. Tracer dv) l’angle les triangles des vitesses. On désigne par β2 l’angle de sortie. On note α = (u, de sortie du jet. Calculer v = f (u,α). et en déduire la puissance Pi par jet (pour α petit). Calculer le nombre de Mach M a. 3. On a 8 jets (justifier cette valeur). Quelle est la puissance totale Pit ? 4. Les buses de jet sont alimentées par un réservoir à la pression p et à la température T = 18C. Calculer la pression p en négligeant les pertes de charge et en faisant l’approximation fluide incompressible. 5. Estimer la température de sortie. Qu’en pensez-vous ?

3.5.3

Tourniquet hydraulique

Un tourniquet hydraulique est constitué par un réservoir cylindrique muni à sa base de deux tuyaux horizontaux diamétralement opposés de même longueur R. Ces bras sont terminés par des orifices qui permettent aux jets de s’échapper sous un angle θ par rapport à la tangente de la trajectoire de l’extrémité. Par réaction, le système est mis en rotation. La hauteur du fluide dans le réservoir est maintenue constante à une hauteur H. 1. Calculer la vitesse relative de sortie w de l’eau en fonction de H, de R et de la vitesse angulaire ω supposée constante. Quel est le couple C appliqué au tourniquet ? 2. En admettant qu’il n’ait pas de frottement, quelle vitesse maximale ωm peut atteindre la machine ? Cette vitesse peut-elle augmenter indéfiniment ? 3. Dans le cas général, calculer le rendement énergétique de la machine. Discuter suivant les valeurs de θ. 4. Application numérique : R = 1 m, θ = 0 pour ω = 0 le tourniquet consomme 3 l/s d’eau et le couple appliqué est de 2 m.kgf . Quels seront le débit qv , le couple C, la puissance P et le rendement η, si la vitesse du tourniquet est de 120 tr/min. On prendra g = 10 m/s2 .

3.5.4

´ Etude d’une turbine Francis

Une turbine Francis tournant ` a N = 600 tr/min absorbe un débit qv = 1 m3 /s. Les diamètres d’entrée et de sortie sont de 1 m et 0.45 m. Les sections de passage corespondantes sont de 0.14 m2 et 0.09 m2 . L’angle α1 de sortie des directrices vaut 15 et l’angle de sortie de la roue est de 135. Sachant que le rendement manométrique de cette turbine est égal à 78%, calculer la hauteur de chute nette, ainsi que le couple et la puissance mécanique sur l’arbre (g = 9.81 m/s2 ).

3.5.5

Turbine aux ench` eres

Une turbine hydraulique neuve est mise en vente aux enchères. Le rendement est garanti égal ou supérieur à 70% pour des puissances comprises entre 180 kW et 300 kW , ceci pour N = 300 tr/min et une chute d’eau de 5 m. 1. Quel est le type de cette turbine ? 2. Cette machine intéresse un utilisateur qui ne dispose que d’une chute d’eau de 3 m. Quelles puissances pourra-t-il obtenir dans les mêmes conditions de rendement et quelle sera la vitesse de rotation de la machine ?

Chapitre 3 Turbines hydrauliques 3. Désirant obtenir au moins 150 kW , il envisage d’approfondir le bief aval de manière à porter la chute ` a 3.20 m. (a) En conservant le rendement de 70 %, quels seraient la vitesse de rotation, les puissances et les débits correspondants qv1 et qv2 ? Le résultat désiré peut-il être atteint ? (b) L’installation comporte un diffuseur dont la perte de charge est 0.3v02 /2g, v0 étant la vitesse moyenne dans la section d’entrée du diffuseur. La surface S0 d’entrée du diffuseur se trouve dans le même plan que la surface libre aval. Peut-on craindre la cavitation dans les conditions données par le tableau 2.1 (S0 = 1.05 m2 , altitude 0 m et température 20C) ? 4. La roue mobile est ` a passage axial et offre une section constante S0 . Un distributeur fixe la précède et lui envoie l’eau dans une direction indépendante du débit et faisant un angle de 70 avec le plan de la roue ` a son diamètre moyen Dm = 1.10 m. (a) Construire sur ce diamètre les triangles des vitesses de part et d’autre du rotor dans les conditions définies précédemment. (b) En admettant que le rendement maximal soit atteint pour qv = (qv1 + qv2 )/2 et qu’il s’obtient lorsque la vitesse absolue de sortie est axiale, calculer ce rendement maximal. On admettra dans les calculs que le rendement mécanique de la machine est égal à 1.

Chapitre 4

Notions th´ eoriques sur les ´ eoliennes Nomenclature et relations usuelles R : rayon de la pale r : distance ` a l’axe d’une section de pale considérée l(r) : longueur de la corde de la section de pale située ` a la distance r de l’axe B : nombre de pales du rotor θ : angle de vrillage α : angle d’incidence ou d’attaque φ : angle d’inclinaison avec φ = θ + α V1 : vitesse du vent en amont de l’éolienne V2 : vitesse du vent en aval de l’éolienne V ’ : vitesse du vent traversant les pales

Rω V1

λ0 = λ =

rω V1

: vitesse sp´ecifique locale

F : force axiale exercée par l’air sur les pales (poussée) M : moment du couple moteur ω : vitesse de rotation du rotor Pelec : puissance électrique P = F.V ’ : puissance captée par les pales Pu = M.ω : puissance mécanique P Cp = 0.5ρAV 3 : coefficient de puissance avec 1 A la surface balayée par le rotor

CM = ment

4.1

: vitesse sp´ecifique

M 0.5ρARV12

Cp λ0

: coefficient de mo-

Le vent

Le vent est d´efini par sa direction et sa vitesse. Ces deux grandeurs sont variables dans le temps (turbulence, variations saisonni`eres,...) et dans l'espace (topologie du terrain,...).

4.1.1

Variation de la vitesse du vent dans le temps

Les ph´ enom` enes instantan´ es : turbulence du vent La vitesse du vent et sa direction peuvent varier très rapidement. En moins d'une seconde, l'intensité du vent peut doubler et sa direction changer de 20°. Lorsque les fluctuations en direction sont trop rapides, il est impossible pour une éolienne d'avoir son axe aligné en permanence dans la direction du vent, en raison de l'inertie de la machine. Il est donc important de tenir compte de ces variations qui sont les fluctuations les plus gênantes. De plus, un vent ` a rafales imposera des contraintes qu'il faudra prendre en compte dans le calcul du support de l’éolienne, la plupart des systèmes de régulation ayant une inertie largement supérieure à la durée d'une rafale.

Chapitre 4 Notions th´ eoriques sur les ´ eoliennes

Plusieurs facteurs contribuent ` a déterminer les variations du vent : – le temps qu'il fait – la topographie du terrain – les obstacles. Ces variations de la vitesse du vent font varier la production énergétique de l'éolienne bien que l'inertie du rotor compense, dans une certaine mesure, les variations les plus courtes. On a intérêt à placer le rotor en dehors de toute zone turbulente et à une hauteur suffisamment élevée pour que le gradient de vitesse dans le sens vertical ne soit pas trop important. Les ph´ enom` enes journaliers Les vents subissent les fluctuations journalières dues à des effets convectifs. La chaleur spécifique du sol étant inférieure ` a celle de l'eau, la terre s'échauffe plus rapidement que la mer sous l'effet du rayonnement solaire. Ainsi, on peut parler de : Brise de mer et brise de terre

Fig. 4.1 – Illustration de la brise de mer (A) et de la brise de terre (B).

En journée, la terre se réchauffe plus rapidement que la mer, ce qui provoque un soulèvement de l'air chaud qui s'étend ensuite vers la mer. Ainsi, une dépression se crée près de la surface de la terre, attirant l'air froid provenant de la mer, c'est la brise de mer (Figure 4.1.A). Le soir, le phénomène s'inverse, la terre se refroidissant plus vite que la mer c'est la brise de terre (Figure 4.1.B). Les vents de montagne Les régions montagneuses donnent naissance à beaucoup de phénomènes climatologiques parmi eux la brise de vall´ ee. Le matin, les sommets sont r´ echauff´ es avant les vall´ ees. L'air commence alors à s'élever vers le sommet de la montagne, produisant ce que l'on appelle une brise montante. La nuit, le phénomène s'inverse et une brise descendante se produit. Les vents s'écoulant le long des versants des montagnes peuvent être très violents.

4.1 Le vent

Les ph´ enom` enes saisonniers La vitesse et la direction du vent varient en fonction des zones de haute et de basse pression. Ces aires anticycloniques et cycloniques sont liées à la position du soleil par rapport à l'équateur, ainsi le vent subit une variation annuelle plus ou moins cyclique. En France, la vitesse du vent est plus importante en hiver que pendant les mois d'été.

4.1.2

Les variations de vitesse de vent dans l'espace

La r´ epartition g´ eographique du vent au sol Le vent est plus fort sur les océans que sur les continents. Cette disparité s'explique notamment par le relief et la végétation qui freinent le mouvement de l'air. Aussi, les zones généralement les plus favorables pour les sites éoliens sont situées en bordure de côtes sur les continents. De plus, certaines régions sont connues pour la régularité de leur vent : les alizés de part et d'autre de l'équateur, les moussons en Asie du Sud-est,... La vitesse du vent en fonction de l'altitude (Cisaillement) La vitesse du vent dépend essentiellement de la nature du terrain au-dessus duquel se déplacent les masses d'air. En effet, la réduction du vent auprès du sol est due à la friction exercée par la végétation, les obstacles et les bˆ atiments. Les gradients de vitesse sont donc plus ou moins marqués en fonction de la topologie du terrain. Habituellement, la variation de la vitesse avec l'altitude est représentée par la loi : V1 = V2

h1 h2

α (4.1)

V1 et V2 représentent les vitesses de vent horizontal aux hauteurs respectives h1 et h2 . Cette loi est une loi statistique qui repose sur de nombreuses observations. Généralement, h2 est voisin de 10 m (hauteur moyenne des anémomètres dans les stations météorologiques), α est un coefficient qui varie de 0,10 ` a 0,40. Cette variation avec l'altitude peut également être représentée par une loi logarithmique en introduisant la rugosité du terrain par le paramètre h0 : V1 = ln V2

h1 h0

/ln

h2 h0

(4.2)

La loi logarithmique donne les meilleurs résultats jusqu'à 30 à 50 m de hauteur au-dessus du sol mais au delà de la couche limite, la première relation est la plus utilisée. L'exposant α caractérise le terrain comme dans le tableau ci-dessous : Nature du terrain Lisse, Plat : neige, glace, mer, herbes courtes Rugosité modérée, peu accidenté : champs et pâturages, cultures Rugueuse, Accidenté : bois, zones peu habitées Très accidenté : villes, immeuble élevés Avec α = 0.096lg h0 + 0.016(lg h0 )2 + 0.24.

In´egalit´e du sol h0 en m 0,001 – 0,02

Exposant α 0,10 - 0,11

0,02 – 0,3

0,15 - 0,30

0,3 - 2 2 - 10

0,20 - 0,27 0,27 - 0,4

Chapitre 4 Notions th´ eoriques sur les ´ eoliennes

Les sites les plus intéressants pour la récupération d'énergie éolienne sont les sites peu ou pas accidentés pour lesquels l'exposant α est faible. On bénéficie dans ce cas de vitesses du vent près du sol élevées et la variation de la vitesse de vent avec l'altitude est faible (la vitesse de vent en haut et en bas de la machine sont sensiblement les mêmes), ce qui à pour conséquence de diminuer les contraintes cycliques sur les pales du moteur éolien (d'autant plus important lorsque le diamètre de l'hélice est grand). Influence du relief sur l'intensit´ e du vent L'intensité du vent est influencée par le relief et tous les obstacles isolés rencontrés par le vent. Le relief peut être ` a l'origine d'accélération locale du vent (passage de collines par ex.) mais aussi de zones de forte turbulence et de décollement de couche limite (phénomènes défavorables). La zone de turbulence créée par un obstacle s'étend sur une distance d'environ trois fois la hauteur de cet obstacle, cette turbulence est plus forte derrière l'obstacle que devant, on veillera donc ` a limiter la présence d'obstacles aux abords d'une éolienne, en particulier dans la direction des vents dominants (devant l'éolienne).

4.1.3

Etude statistique du vent

A la lumière des informations précédentes, on voit que plusieurs informations sont déterminantes dans l'étude d'un site éolien : – vitesse moyenne du vent – direction moyenne du vent – la durée des périodes de vent sur l'année pour évaluer la production annuelle et les durées de vent improductif. On peut en premier ressort s'appuyer sur la rose des vents établie par chaque station météorologique locale. La direction d'o` u vient le vent est répartie ici sur 360° (figure 4.2). Ainsi, le Nord est par convention indiqué en haut du diagramme (360°), l'Ouest est à 270°, le Sud à 180° et l'Est à 90°. Au centre du diagramme, se trouve un cercle à l’intérieur duquel on peut lire 29.6. Ce nombre correspond au pourcentage de temps annuel pendant lequel la vitesse du vent a été inférieure ` a 1.5 m/s, toutes directions confondues. Ce temps est considéré comme une période de calme. Tout autour du cercle central, on retrouve une surface bleue. La longueur des traits contenus dans cette surface, est proportionnelle a` la durée annuelle exprimée en pourcentage, pendant laquelle les vents de vitesses comprises entre 1.5 − 4.5 m/s, ont soufflé dans la direction considérée, avec un écart maximum de 10°. Le contour suivant est relatif aux vents de vitesses comprises entre 4.5 − 8 m/s et le dernier plus petit, de couleur orange, correspond aux vents de vitesse supérieure ` a 8 m/s. L’échelle de pourcentage est portée sur la figure. A Nancy, la direction du vent dominante est Nord-est et Sud-ouest. Si un champ d’éoliennes devait être installé dans la région, on disposerait les machines, de fa¸con perpendiculaire aux vents dominants, suivant une ligne droite orientée Sud-est, Nord-Ouest. Les régimes de vent ainsi que la capacité énergétique tendent à varier d'une année à une autre (en général d'environ 10 % au maximum) - par conséquent, pour obtenir un résultat crédible, les stations basent leurs calculs sur des observations faites sur plusieurs années. Dans la suite, nous allons nous intéresser aux notions d'aérodynamique régissant le fonctionnement d'une éolienne. L'objectif est d'arriver à construire un modèle aérodynamique de l'éolienne

4.2 Notions d'a´ erodynamique

pour pr´edire son rendement en fonctionnement r´eel.

Fig. 4.2 – Rose des vents de la région de Nancy fournie par la station métérologique d'Essey-Les-Nancy.

4.2

Notions d'a´ erodynamique

Nous allons ici introduire brièvement les notions d'aérodynamique sur une aile portante. En effet l'élément principal de l'éolienne est la pale. Cette dernière n'est autre chose qu'une aile portante. Pour dimensionner de fa¸con optimale les principaux éléments, il est indispensable d'avoir quelques connaissances sur les actions aérodynamiques qu'exerce un vent donné sur un profil d'aile.

4.2.1

D´ efinitions

Si on consid`ere le profil d'aile donn´e sur la Figure 4.3 ci-dessous.

Fig. 4.3 – Sch´ema d’un profil d’aile.

Chapitre 4 Notions th´ eoriques sur les ´ eoliennes

On appelle bord d'attaque, les points du profil les plus éloignés des points B o` u se trouve le bord de fuite. AB est appelée la corde l du profil ; AMB représente l'extrados du profil et ANB l'intrados. Pour tenir compte de l'inclinaison de l'aile par rapport au vent incident (supposé horizontal sur la figure), on introduit plusieurs angles : – Angle d'incidence ou d'attaque : angle i formé par la corde et la direction du vent vu par l'aile – Angle de portance nulle : angle α0 représentant l'angle d'incidence pour lequel la portance est nulle. Cet angle est généralement négatif pour les profils usuels (représenté de cette fa¸con sur la figure) – Angle de portance : angle α formé par la direction du vent relatif et la direction de portance nulle. En valeur algébrique, α = α0 + i.

4.2.2

Actions de l'air sur l'aile

Usuellement, la résultante aérodynamique exercée par l'air sur l'aile est projetée suivant un système d'axes associés ` a la vitesse V du vent vu par l'aile. Ceci est illustré sur la Figure 4.4 suivante :

Fig. 4.4 – Forces s’exer¸cant sur un profil d’aile.

– la composante Fz (perpendiculaire à la direction du vent) est appelée la portance – la composante Fx (parallèle ` a la direction du vent) est appelée la traˆınée A partir de cette décomposition, on introduit classiquement deux coefficients sans dimension : Fz – le coefficient de portance : Cz = 1 ρAV 2 – le coefficient de traˆınée : Cx =

2 Fx 1 ρAV 2 2

o` u A est la surface alaire de l'aile (corde * envergure) et ρ la masse volumique de l'air.

4.2.3

Param` etres influant sur les Cz et Cx

Les deux paramètres jouant sur les valeurs des coefficients de portance et de traˆınée pour un profil d’aile donné sont le nombre de Reynolds et l'incidence de l'aile en régime incompressible. La Figure 4.5 ci-dessous illustre l'évolution habituelle de ces deux coefficients en fonction de l'angle d'incidence i ` a Reynolds fixe.

4.3 Calcul a´ erodynamique d'une ´ eolienne ` a axe horizontal

Fig. 4.5 – Polaire d’Eiffel d’un profil d’aile.

On constate que pour les faibles incidences, le coefficient de portance évolue de fa¸con quasi linéaire avec l'angle d'incidence. Pour une incidence donnée, le coefficient de portance atteint un maximum, c'est la crise de portance. On appelle cet angle d'incidence particulier, l'angle de décrochage. Sur l'exemple donné, l'angle de portance nulle est bien négatif et vaut environ -5°. En parallèle, le coefficient de traˆınée passe vers un minimum autour de cet angle pour augmenter légèrement avec l'augmentation de l'incidence. La courbe portant le coefficient de traˆınée en abscisse et le coefficient de portance en ordonnée est appelée la polaire d'Eiffel d'une aille. Elle est généralement graduée en angle d'incidence i.

4.3

Calcul a´ erodynamique d'une ´ eolienne ` a axe horizontal

Une première théorie permettant d'estimer la puissance d'une éolienne est la théorie de Betz qui s'applique essentiellement aux machines à axe horizontal.

4.3.1

Th´ eorie de Betz

Cette théorie suppose que l'éolienne est placée dans un air animé à l'infini d'une vitesse amont V1 et à l'aval d'une vitesse V2 . La puissance mécanique captée par le disque rotor est exprimée par la relation suivante (Figure 4.6) : 1 1 1 P = ρA1 V13 − ρA2 V23 = ρ A1 V13 − A2 V23 2 2 2 (Différence de puissance entre les flux d'air amont et aval au rotor) En exprimant la conservation de la masse : ρA1 V1 = ρA2 V2 = m ˙

[W ]

(4.3)

[kg/s]

(4.4)

[W ]

(4.5)

on obtient ainsi, 1 ˙ V12 − V22 P = m 2

Chapitre 4 Notions th´ eoriques sur les ´ eoliennes

Fig. 4.6 – Repr´esentation des lignes de courant traversant l’´eolienne.

On peut trouver une autre expression de cette puissance, en appliquant le théorème d'Euler au tube de courant représenté par le jet d’air. Ainsi, la force F qu'exerce l'air sur le rotor s'exprime par : F =m ˙ (V1 − V2 )

[N ]

(4.6)

donnant lieu `a une puissance m´ecanique convertie par la rotor : P = F V 0 = m(V1 − V2 )V 0

[W ]

(4.7)

o` u V 0 est la vitesse du vent dans le plan de rotation des pales. Par identification avec les deux formulations de la puissance récupérée P , on obtient : V0 =

1 (V1 + V2 ) 2

[m/s]

(4.8)

Ce qui au final, nous permet d’écrire la puissance du rotor rapportée à l’aire balayée A par ce dernier : 1 P = F V 0 = ρA(V1 + V2 )2 (V1 − V2 ) 4

[W ]

(4.9)

On peut à partir de cette relation exprimée le coefficient de puissance Cp qui est le rapport entre la puissance récupérée sur le rotor par la puissance disponible dans le flux d’air basé sur la vitesse du vent et la surface balayée par le rotor : Cp =

1 4 ρA (V1

+ V2 )2 (V1 − V2 ) 1 = 1 3 2 2 ρAV1

V2 2 V2 1+ 1− V1 V1

[−]

(4.10)

Si on d´efinit le coefficient d’induction b = V2 /V1 , on obtient l’´evolution du coefficient de puissance (Figure 4.7).

4.3 Calcul a´ erodynamique d'une ´ eolienne ` a axe horizontal

Fig. 4.7 – Evolution du coefficient de puissance en fonction du rapport des vitesses amont et aval.

En r´e´ecrivant le coefficient b comme la fraction de diminution de la vitesse du vent entre la vitesse amont V1 et celle traversant le rotor V ’ on obtient un nouveau coefficient a : V 0 = (1 − a)V1

(4.11)

On peut montrer que ce coefficient est maximum pour a = 1/3, et que dans ce cas Cp = 16/27 ≈ 0.596. En reportant cette valeur particuli`ere dans l’expression de la puissance P , on obtient pour la puissance maximale susceptible d’ˆetre recueillie, la valeur : Pmax =

4.3.2

8 ρAV13 27

[W ]

(4.12)

Effets de la rotation

Pour le rotor idéal de la théorie de Betz, il n’y a pas de prise en compte de la rotation dans le sillage. Or dans la pratique, le sillage possède une certaine rotation qui peut être prise en compte en appliquant le théorème d’Euler pour les machines tournantes en s’appuyant sur les triangles des vitesses dans les sections entrée-sortie du rotor de la Figure 4.8. Si on applique ce dernier sur un volume de contrˆ ole infinitésimal d’épaisseur dr, on obtient l’expression de la puissance transmise : 2 0 dP = dmωrV ˙ θ = 2πr ρV ωVθ dr

(4.13)

avec Vθ la composante azimutale de la vitesse absolue après le rotor et V ’ est la vitesse axiale ` a travers le rotor. Nous avons vu que la vitesse axiale à travers le rotor peut être exprimée par le coefficient d’induction a. De la même manière, on définit le facteur d’interférence tangentiel a’ et la vitesse de rotation Vθ dans le sillage par (conservation du moment cinétique) :

Chapitre 4 Notions th´ eoriques sur les ´ eoliennes

Vθ = 2a0 ωr

(4.14)

La puissance élémentaire s’écrit donc comme : dP = 4πρω 2 V1 a0 (1 − a) r3 dr

(4.15)

Fig. 4.8 – Triangle des vitesses pour une section du rotor

Après intégration de 0 ` a R, on obtient la puissance totale récupérée par le rotor : 2

P = 4πρω V1

a0 (1 − a) r3 dr

(4.16)

On voit ici que si on veut maximiser la puissance récupérée, il faut maximiser l’expression : f a,a0 = a0 (1 − a)

(4.17)

Or si les angles d’attaque locaux sont inférieurs à l’angle de décrochage, ces deux coefficients ne sont pas indépendants, on a ainsi : tan φ =

a0 ωr (1 − a) V1 = aV1 (1 + a0 ) ωr

(4.18)

Ce qui conduit ` a la relation entre a et a’ : (ωr/V1 )2 a0 (1 + a0 ) = a (1 − a). L’optimisation conduit donc ` a: df da0 = (1 − a) − a0 = 0 da da

(4.19)

2 0 ωr et (1 + 2a0 ) da = 1 − 2a. Ceci conduit à la relation suivante entre a et a’ optimisant la da V1 puissance récupérée : a0 =

1 − 3a 4a − 1

Ceci permet finalement d’obtenir le tableau de valeurs suivant :

(4.20)

4.3 Calcul a´ erodynamique d'une ´ eolienne ` a axe horizontal a 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,333

a0 5,5 2,375 1,333 0,812 0,500 0,292 0,143 0,031 0,00301

λ = ωr/V1 0,073 0,157 0,255 0,374 0,529 0,753 1,15 2,63 8,58

A partir de ces relations, le coefficient de puissance optimal peut être obtenu par intégration. Ceci a été réalisé par Glauert pour différentes vitesses spécifiques λ0 = ωR/V1 avec une comparaison avec la limite de Betz de 16/27 (cas qui correspond à a0 = 0). Ces résultats sont reportés dans le tableau ci-dessous : λ0 = ωR/V1 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 5,0 7,5 10,0

4.3.3

27Cp /16 0,486 0,703 0,811 0,865 0,899 0,963 0,983 0,987

Prise en compte de l’´ el´ ement de la pale d’h´ elice

Jusqu’à présent, la géométrie effective du rotor (nombre de pales B, les lois de vrillage θ (r) et de corde l (r) et le profil de pale) n’est pas prise en compte. Nous allons ici coupler le théorème de quantité de mouvement avec les efforts locaux sur la pale. Nous allons pour cela faire l’hypothèse suivante : – Chaque élément annulaire est indépendant des autres. Nous pourrons établir que : – la poussée élémentaire vaut : dF = 4πrρV12 a(1 − a)dr – le moment élémentaire : dM = 4πρωV1 a0 (1 − a)r3 dr = dP/ω On peut évaluer ces termes en considérant l’écoulement local autour de la pale en se basant sur le triangle des vitesses suivant :

Chapitre 4 Notions th´ eoriques sur les ´ eoliennes

avec θ l’angle de vrillage local de la pale, c’est-à-dire l’angle local entre la corde et le plan de rotation du rotor. Puis, α est l’angle d’attaque local, c’est à dire l’angle local entre la corde et la direction du vent relatif, Vrel . Enfin, φ est l’angle d’inclinaison défini par φ = θ + α. Nous pouvons donc écrire avec ces définitions que : 1 2 1 2 L = ρVrel l(r)Cz et D = ρVrel l(r)Cx (4.21) 2 2 pour l’expression des forces de portance et de traˆınée par unité de longueur, en supposant connus les coefficients de portance et de traˆınée. De fa¸con à obtenir une expression de la poussée et du moment élémentaire, il faut projeter ces forces suivant les directions normale et tangentielle au plan de rotation du rotor. Ce qui conduit à : pT = L sin φ − D cos φ

(4.22)

CT = Cz sin φ − Cx cos φ

(4.23)

1 V1 (1 − a)ωr(1 − a0 ) dM = ρB l(r)CT rdr 2 sin φ cos φ

(4.24)

pN = L cos φ + D sin φ, et CN = Cz cos φ + Cx sin φ, Apr`es quelques calculs, on obtient que : 1 V 2 (1 − a)2 dF = ρB 1 2 l(r)CN dr, 2 sin φ

avec B le nombre de pales et l(r) la loi de corde. Par identification, on obtient que les coefficients d’induction axial et tangentiel doivent satisfaire aux relations suivantes : a=

1 4 sin2 σCN

l(r)B 2πr

a0 = +1

1 4 sin φ cos φ σCT

−1

(4.25)

o` u σ (r) = représente la solidité locale du rotor. Ainsi, l’algorithme de calcul pour déterminer la puissance récupérée par le rotor est le suivant : (1) – Initialisation des coefficients a et a0 (2) – Calcul de l’angle φ (3) – Détermination de l’angle d’incidence local α (4) – Lecture des coefficients de portance et de traˆınée

4.3 Calcul a´ erodynamique d'une ´ eolienne ` a axe horizontal

(5) – Déduction des coefficients normaux et tangentiels (6) – Calcul des coefficients a et a0 suivant les dernières expressions (7) – Réitération jusqu’` a convergence sur les valeurs de a et a0 (8) – Détermination des efforts locaux sur l’élément considéré Cette approche est la plus simple pour prendre en compte la géométrie du rotor. Pour obtenir une bonne approximation, il faut cependant faire deux corrections : correction de Prandtl (effets en bout de pale) et correction de Glauert (effets du décrochage).

4.3.4

Corrections de Prandtl et de Glauert

Correction de Prandtl Cette correction permet la prise en compte des effets 3D en bout de pale (associés au nombre de pales). Ceci a pour conséquence de modifier la vorticité dans le sillage du rotor. Prandtl a donc défini un facteur correctif f pour la poussée et le couple élémentaire : dM = 4πρωV1 a0 (1 − a)r3 f dr

dF = 4πrρV12 a(1 − a)f dr

o` u f (facteur de r´eduction de la circulation) a pour expression f = Ceci conduit aux expressions corrig´ees pour les facteurs a et a0 : a=

1 4f sin2 φ σCN

a0 = +1

2 π

cos−1 (e−m ), avec m =

(4.26) B R−r 2 r sin φ .

1 4f sin φ cos φ σCT

(4.27)

−1

Correction de Glauert Lorsque le facteur d’interférence axial a devient plus grand qu’approximativement 0.4, l’application du théorème d’Euler tombe en défaut. Des relations empiriques ont été établies pour approcher les mesures expérimentales, parmi lesquelles : ( dF 4a(1 − a)f a ≤ 31 CF = 1 2 = (4.28) 4a(1 − (1/4)(5 − 3a)a)f a > 13 2 ρV1 2πrdr ou encore : dF CF = 1 2 = 2 ρV1 2πrdr

(

4a(1 − a)f a ≤ ac 4(a2c + (1 − 2ac )a)f

a > ac

(4.29)

ac vaut approximativement 0.2. A ces expressions, correspond une relation modifi´ee pour le coefficient a.

4.3.5

Dimensionnement optimal des pales pour une puissance maximale

1−3a La conception d’une forme optimale de la pale d’une hélice implique que la relation a0 = 4a−1 correspondant ` a une puissance maximale soit satisfaite. On peut faire l’hypothèse de négliger les frottements en prenant Cx = 0. Les expressions de a et a0 deviennent :

1 4 sin2 φ σCz cos φ

a0 = +1

1 4 cos φ σCz

−1

(4.30)

En utilisant la relation reliant les deux facteurs d’interf´erence a et a0 , on obtient une seconde relation exprimant le facteur a :

Chapitre 4 Notions th´ eoriques sur les ´ eoliennes

4 cos φ σCz + 12 cos φ

(4.31)

L’égalité des deux expressions de a donne une équation quadratique, dont l’inconnue est le terme σCz : (σCz )2 + 8 cos φσCz − 16 sin2 φ = 0

(4.32)

dont la racine acceptable est σCz = 4 (1 − cos φ). Ceci donne l’expression optimale de la corde le long de la pale : l(r) =

8πr (1 − cos φ) BCz

Si on reprend la relation donnant l’angle φ, tan φ = nous obtenons : λ=

(1−a)V1 (1+a0 )ωr

(4a − 1) (1 − a) 1 a tan φ

(4.33) =

(1−a) (1+a0 )λ ,

et en substituant a0 ,

(4.34)

En rempla¸cant a par sa valeur et apr`es quelques simplifications, on aboutit finalement `a la loi de vrillage optimale : φ=

1 2 tan−1 3 λr

θ = φ − αopt

o` u αopt est l’angle d’incidence optimale, qui donne (Cz /Cx )max .

(4.35)

Bibliographie Caballina, O. 2011–2012 Notions théoriques sur les éoliennes. Cours ENSEM 3A - Filière énergie. ´res, D. L. 2008 Les éoliennes : Théorie, conception et calcul pratique. Editions du Moulin Gourie Cadiou. ´radin, M. & Rixen, D. 1996 Théorie des vibrations : application ` Ge a la dynamique des structures. Masson. Hansen, M. O. 2008 Aerodynamics of Wind Turbines – Second Edition. Earthscan Edition. Mahri, Z., Rouabah, M. & Zid, S. 2007 Calcul des efforts aérodynamiques agissant sur les pales d’une petite éolienne. Revue des Energies Renouvelables 10 (2), 241–256. Plaut, E. 2009a Mécanique des fluides. Cours de l’école des Mines de Nancy (2A), téléchargeable sur http ://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mf/pol.pdf. Plaut, E. 2009b Mécanique des milieux continus solides et fluides. Cours de l’école des Mines de Nancy (1A), téléchargeable sur http ://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc/. Souhar, M. 2009–2010 Turbomachines. Cours ENSEM 3A.