Turbo

Deuxi` eme ann´ ee ´ D´ epartement Energie : Production, Transformation

Module SE142

Machines ` a fluides - Turbomachines Mathieu Jenny

Ann´ ee universitaire 2013 - 2014

Table des mati` eres Cours de machines ` a fluides de Mathieu Jenny, ENSMN.

Introduction

1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage 1.1

1.2

5 7

Cin´ematique : composition des mouvements par changement de r´ef´erentiel . . . . . . . . . . .

8

1.1.1

R´ef´erentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2

Vecteur rotation d’un r´ef´erentiel tournant autour d’un axe fixe Oz . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Composition des d´eriv´ees temporelles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.4

Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.5

Composition des acc´el´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Cin´etique des masses et inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1

Distribution de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2

Centre d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.3

R´esultante et moment cin´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.4

Tenseur d’inertie d’un solide ind´eformable : g´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.5

Tenseur d’inertie : th´eor`eme de Huyghens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.6

Tenseurs d’inertie de solides homog`enes de forme simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3

Lois fondamentales de la dynamique - Bilans d’efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4

Probl`eme de l’´equilibrage d’un rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Pompes 2.1

23

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1

R´esultats du cours de m´ecanique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.2

Pompes volum´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.3

Configuration d’une turbopompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2

Triangle des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3

Principe de quantit´e de mouvement angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4

Notions de charge relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5

Caract´eristique d’une pompe centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5.1

Caract´eristique th´eorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.2

Caract´eristique r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5.3

Bilan de rendements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6

Pompes ` a h´elices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.7

Probl`emes g´en´eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.7.1

Point de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.7.2

Hauteur d’aspiration et amor¸cage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2

Table des mati` eres 2.7.3

Groupement de pompes : s´erie et parall`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.8

2.7.4 Cavitation - rudiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ´ Etude dimensionnelle et similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.9

NPSH (Net positive Suction Head) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.10 TD : Pompes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.10.1 R´epartion de pompes sur un ol´eoduc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.10.2 Choix d’une pompe par similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ´ 2.10.3 Etude d’une pompe centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ´ 2.10.4 Etude d’une pompe multicellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.10.5 Exemple d’utilisation du NPSH (R. Jouli´e, M´ecanique des fluides appliqu´ee) 3 Turbines hydrauliques 3.1

. . . . . 45 47

G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.1

Les turbines ` a action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.2

Les turbines ` a r´eaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2

Bilan d’´energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3

Turbine ` a action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4

3.5

3.3.1

La turbine Pelton

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.2

Turbine Crossflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.3

Non-Pelton wheel impulse turbine (Dental drill) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Turbines ` a r´eaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4.1

Organes communs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4.2

Triangle des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4.3

Caract´eristiques g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4.4

Diffuseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4.5

Cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4.6

Limite de la hauteur d’aspiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

TD : Turbines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.5.1

Turbine Pelton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.5.2

Dental drill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.5.3 3.5.4

Tourniquet hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 ´ Etude d’une turbine Francis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.5.5

Turbine aux ench`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4 Notions th´ eoriques sur les ´ eoliennes 4.1

4.2

4.3

77

Le vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.1.1

Variation de la vitesse du vent dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1.2

Les variations de vitesse de vent dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1.3

Etude statistique du vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Notions d'a´erodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2.1

D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2.2

Actions de l'air sur l'aile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.2.3

Param`etres influant sur les Cz et Cx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Calcul a´erodynamique d'une ´eolienne `a axe horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.3.1

Th´eorie de Betz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Table des mati` eres

3

4.3.2

Effets de la rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.3.3

Prise en compte de l’´el´ement de la pale d’h´elice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3.4

Corrections de Prandtl et de Glauert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.3.5

Dimensionnement optimal des pales pour une puissance maximale . . . . . . . . . . . 89

Bibliographie

91

4

Table des mati` eres

Introduction Ce document de cours-TD de Machines ` a fluides - Turbomachines est destin´e aux ´el`eves de deuxi`eme ann´ee de l’´ecole nationale sup´erieure des Mines de Nancy ayant ´ choisi le d´epartement Energie : Production, Transformation. Il correspond au module SE142. Une version pdf de ce document est accessible sur http ://energie.mines-nancy.univ-lorraine.fr/2A/turbo2a.pdf .

Ce cours se situe ´evidemment dans la continuit´e du cours de m´ecanique des milieux continus solides et fluides de premi`ere ann´ee (Plaut 2009b), et de celui de m´ecanique des fluides de deuxi`eme ann´ee (Plaut 2009a). Nous utilisons les mˆemes notations : les caract`eres gras surmont´es d’une barre (exemple : v) d´esignent les vecteurs, les caract`eres gras surmont´es de deux barres (exemple : D) d´esignent les tenseurs d’ordre 2.

Pour ´echanger de l’´energie entre un fluide et un syst`eme m´ecanique, on utilise ce qu’on appelle des machines `a fluides. Ce sont souvent des machines tournantes ou turbomachines. Le transfert de l’´energie de la machine vers le fluide se fait grˆace `a des pompes. La transformation inverse est faite par des turbines. Ces derni`eres peuvent alors, soit transmettre directement l’´energie m´ecanique ` a une autre machine ` a faire fonctionner, soit, `a leur tour, ´echanger leur ´energie m´ecanique avec un alternateur pour la transformer en ´electricit´e. L’´energie des fluides provient soit de leur ´energie potentielle, dans le cas d’une chute d’eau et de l’´energie - renouvelable ! - hydraulique, soit de leur ´energie cin´etique dans le cas des ´eoliennes, soit encore d’une source d’´energie thermique : ´energie nucl´eaire ou ´energie de combustion. Les turbomachines sont donc en premi`ere ligne pour la production d’´energie utilisable par la soci´et´e que ce soit `a des fins industrielles ou de consommation domestique.

On pr´esente dans le chapitre 1, r´edig´e par Emmanuel Plaut, la probl´ematique de l’´ equilibrage des machines tournantes. Les chapitres 2 `a 3, r´edig´es par Mathieu Jenny, pr´esentent les pompes puis les turbines hydrauliques. Ces chapitres sont tr`es largement inspir´es du cours de Souhar (2009–2010). On pr´esentera les notions th´eoriques n´ecessaires au choix des turbomachines en fonction d’un cahier des charges et de leur int´egration dans un circuit hydraulique. Le chapitre 4 est une introduction aux ´ eoliennes qui peuvent ˆetre consid´er´ees comme des turbines qui utilisent le vent. Ce chapitre est une reprise de la pr´esentation th´eorique du TP ´eolienne r´edig´e par Oph´elie Caballina et Alexandre Labergue (cours ENSEM, 3A ´energie).

6

Introduction

Pour pr´eparer la premi`ere s´eance de ce cours, on vous demande de lire tr`es attentivement le chapitre 1 de ce document, sujet de TD compris (dans la derni`ere section du chapitre). Le cours durera seulement 45 minutes, et on enchainera sur le TD `a 9h30.

Les cinq s´eances suivantes de ce cours porteront sur les chapitres 2, 3 et 4. Le contrˆole se fera sous la forme d’un test ´ecrit. Il aura lieu lors de la septi`eme s´eance et sera suivi d’une correction.

Je remercie tr`es vivement Emmanuel Plaut pour la r´edaction du chapitre 1, Mohamed Souhar, professeur `a l’ENSEM, chercheur au LEMTA, pour m’avoir permis de reproduire en grande partie dans mes chapitres 2 et 3 son cours de turbomachines et enfin Oph´elie Caballina, maˆıtre de conf´erences `a l’ENSEM et au LEMTA, pour son cours sur les ´eoliennes.

Nancy, le 18 f´evrier 2014.

Mathieu Jenny.

Chapitre 1

Effets des forces d’inertie sur les turbomachines - Probl´ ematique de l’´ equilibrage Une machine ` a fluides tournante est un objet solide en interaction avec un ou plusieurs fluides environnants, `a qui elle communique ou de qui elle tire son ´energie cin´etique de rotation. Dans ce chapitre on s’int´eresse ` a un aspect important de la « m´ ecanique des solides » qui constituent des machines tournantes, ` a savoir l’effet de la force d’inertie centrifuge sur ces solides. On va red´emontrer (cf. les ´equations 1.21 et 1.59) que, si ω est la vitesse (constante dans le temps) de rotation angulaire de la turbomachine autour de l’axe fixe Oz, dans le r´ef´erentiel tournant li´e ` a cette machine la force volumique d’inertie d’entrainement centrifuge fie = −ργ e

(1.1)

avec ρ le champ de masse volumique de la machine, γ e = ωez ∧ (ωez ∧ OM)

(1.2)

le champ d’acc´el´eration d’entrainement, M d´esignant le point de l’espace o` u ces champs sont consid´er´es. En utilisant un syst`eme de coordonn´ees cylindriques (r, θ, z) d’origine O et d’axe Oz, on obtient γ e = −ω 2 rer

=⇒

fie = ρω 2 rer

(1.3)

qui est d’autant plus grande que ω est grande. Cette force d’inertie va devoir ˆetre ´equilibr´ee par des r´ eactions de liaison des paliers qui supportent l’arbre de la machine. Minimiser la contribution de cette force d’inertie ` a ces r´eactions de liaison est exactement le but de l’´ equilibrage des rotors, que l’on pr´esentera ci-apr`es dans la cadre de la m´ ecanique des solides ind´ eformables.

Se pr´eoccuper de la r´ esistance des mat´ eriaux d´ eformables constituant la machine tournante aux contraintes internes engendr´ees par la force volumique (1.3) serait l’´etape suivante, que nous ne pourrons malheureusement pas aborder, faute de temps. Nous renvoyons le lecteur int´eress´e ` a G´eradin & Rixen (1996).

Un calcul d’ordre de grandeur montre l’importance des forces (1.3). Une turbine a` vapeur de centrale thermique ou nucl´eaire tourne, dans le cas d’un couplage avec alternateur `a 2 pˆoles, ` a

8

Chapitre 1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage

3000 tr/mn, ce qui donne, en unit´es SI, ω = 3000

2π rad = 314 rad/s .

60 s

Les pales de cette turbine ´etant de taille m´etrique, l’acc´el´eration d’entrainement correspondante est γe ' (314 rad/s)2 1 m ' 98700 m/s2 ' 10000 g avec g l’acc´el´eration de la pesanteur, qui constitue une r´ef´erence...

Une approche scientifique du probl`eme de l’´equilibrage des rotors n´ecessite des bases en m´ ecanique des solides ind´ eformables ; c’est l’objet de ce chapitre que de les donner. On ne se limite pas strictement aux notions qui seront utilis´ees pour l’´equilibrage, de fa¸con `a fournir un document de cours un peu ´etoff´e, qui pourra ˆetre utile dans d’autres contextes 1 . L’´equilibrage proprement dit sera trait´e en TD, lors de l’´etude du probl`eme de la section 1.4.

1.1

1.1.1

Cin´ ematique : composition des mouvements par changement de r´ ef´ erentiel R´ ef´ erentiels

Un r´ ef´ erentiel est un observateur r´eput´e immobile qui mesure des mouvements. Se donner un r´ef´erentiel c’est donc se donner un mouvement solide ind´ eformable de r´ ef´ erence, `a savoir le mouvement de la chaise sur laquelle l’observateur imaginaire est assis.

Le mouvement d’un r´ ef´ erentiel relatif R dans un r´ ef´ erentiel absolu R0 d’origine O est en cons´equence un mouvement de solide ind´eformable, caract´eris´e d’apr`es le chapitre 2 de Plaut (2009b) par une translation, mouvement en bloc avec la vitesse vR0 (A ∈ R, t) =

dOA

dt R0

(1.4)

d’un point particulier A de R, et une rotation, caract´eris´ee par le vecteur vitesse de rotation instantan´ ee 2 ω, ω = ω R/R0 (t) .

(1.5) Le champ des vitesses des points M de R dans R0 est ainsi le champ de moments vR0 (M ∈ R, t) = vR0 (A ∈ R, t) + ω(t) ∧ AM(t) .

1.1.2

(1.6)

Vecteur rotation d’un r´ ef´ erentiel tournant autour d’un axe fixe Oz

Dans ce cas souvent rencontr´e, en notant φ(t) l’angle de la rotation effectu´ee entre les instants 0 et t, les positions instantan´ees sont donn´ees par l’action de l’op´erateur de rotation correspondant ROz,φ(t) selon OM(t) = ROz,φ(t) · OM(0) 1. On ignore aussi volontairement le fait que certains, en fonction de leur classe pr´eparatoire, ont d´ej` a vu telle ou telle notion ; cela ne leur fera pas de mal de « r´eviser »...

2. Ou, de fa¸con plus concise, vecteur rotation.

1.1 Cin´ ematique : composition des mouvements par changement de r´ ef´ erentiel

9

avec, dans la base fixe {eX ,eY ,ez },

Mat ROz,φ(t)

  cos φ(t) − sin φ(t) 0 n o   , eX ,eY ,ez =  sin φ(t) cos φ(t) 0 .

0 0 1

Par d´erivation de OM(t) par rapport au temps on obtient pour le champ de vitesse instantan´e ˙ v(M,t) = v(O,t) + φ(t)e z ∧ OM(t) , o` u, en fait, v(O,t) = 0. Par identification avec (1.6) on voit que le vecteur rotation instantan´ee vaut dans ce cas ˙ ω(t) = φ(t)e (1.7) z o` u le point d´esigne la d´eriv´ee par rapport au temps. Ce vecteur caract´erise bien compl`etement la rotation ROz,φ(t) , sachant que φ(0) = 0. On notera que dans le cas d’une rotation `a vitesse angulaire constante, o` u φ(t) = ωt, on obtient ω(t) = ωez .

1.1.3

(1.8)

Composition des d´ eriv´ ees temporelles de vecteurs

Soit w(t) un vecteur de nature physique (vecteur mat´eriel ´eventuellement, mais aussi, peutˆetre, vecteur vitesse, vecteur acc´el´eration, vecteur force, etc...) ´evoluant au cours du temps. On se pose la question de savoir comment les deux observateurs pr´ec´edemment nomm´es peuvent relier leurs mesures de dw(t) . dt Pour cela on part de l’´ecriture de w(t) dans une base {ex (t),ey (t),ez (t)} li´ee au mouvement solide de R : w(t) = x(t)ex (t) + y(t)ey (t) + z(t)ez (t) .

(1.9) Par d´efinition, puisque cette base est fixe pour R, dw(t)

˙ ˙ ˙

= x(t)e x (t) + y(t)e y (t) + z(t)e z (t) . dt R

(1.10)

Dans R0 par contre non seulement les composantes de w(t) mais aussi les vecteurs ex (t), ey (t) et ez (t) ´evoluent dans le temps, et pour calculer dw(t)

dt R0 il faut en cons´equence d´eterminer les valeurs des d´eriv´ees dex (t)

, dt R0

dey (t)

dt R0

et

dez (t)

. dt R0

Pour cela on peut noter que chacun de ces vecteurs de base peut ˆetre vu comme un bipoint reliant l’origine A(t) de R ` a un point fixe de R, par exemple ex (t) = AB(t) .

10

Chapitre 1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage

En appliquant l’´equation (1.6) on obtient dex (t)

= vR0 (B ∈ R,t) − vR0 (A ∈ R,t) = ω R/R0 (t) ∧ AB(t) = ω R/R0 (t) ∧ ex (t) , (1.11)

dt R0 cette forme de relation ´etant en fait valable pour n’importe quel vecteur fixe de R, d’o` u en particulier dey (t)

dt R0 dez (t)

dt R0

= ω R/R0 (t) ∧ ey (t) ,

(1.12)

= ω R/R0 (t) ∧ ez (t) .

(1.13)

En appliquant la formule de Leibniz ` a (1.9) on obtient la loi de composition des d´ eriv´ ees temporelles de vecteurs : dw(t)

dw(t)

=

+ ω R/R0 (t) ∧ w(t) dt R0 dt R

1.1.4

(1.14)

Composition des vitesses

Consid´erons maintenant le probl`eme consistant `a relier les observations de vitesse d’un certain point mat´eriel mobile M(t) faites • par l’observateur immobile li´e au r´ef´erentiel absolu R0 : va (t) =

dOM(t)

vitesse absolue de M(t) ;

dt R0

(1.15)

• d’autre part par l’observateur mobile, li´e au r´ef´erentiel relatif R : vr (t) =

dAM(t)

vitesse relative de M(t) . dt R

(1.16)

Par transitivit´e puis application de (1.14) on obtient va (t) =

dOA(t)

dAM(t)

dAM(t)

= vR0 (A ∈ R,t) +

+

+ ω R/R0 (t) ∧ AM(t) . dt dt dt R0 R0 R

Il apparaˆıt ve (t) = vR0 (A ∈ R,t) + ω R/R0 (t) ∧ AM(t) = vR0 (M ∈ R,t)

(1.17)

vitesse du point du r´ef´erentiel mobile R co¨ıncidant `a l’instant t avec M(t) (cf. l’´equation 1.6) ; ve (t) est la vitesse d’entrainement du point M(t). Au bilan on obtient la loi de composition des vitesses, dite aussi « loi de Galil´ ee » : va (t) = vr (t) + ve (t) vitesse absolue = vitesse relative + vitesse d’entrainement.

(1.18)

1.2 Cin´ etique des masses et inertie

1.1.5

11

Composition des acc´ el´ erations

Posons maintenant la question du lien entre • l’acc´ el´ eration absolue d’un point mobile M(t) vue par l’observateur immobile li´e au r´ef´erentiel R0 : d2 OM(t)

γ a (t) = (1.19)

, dt2 R0 • et l’acc´ el´ eration relative de ce mˆeme point mobile M(t) vue par l’observateur mobile li´e au r´ef´erentiel R : d2 AM(t)

γ r (t) = (1.20)

. dt2 R Dans ce but partons de l’´equation (1.18), que l’on explicite sous la forme dAM(t)

dOA(t)

dOM(t)

=

+

+ ω R/R0 (t) ∧ AM(t) . dt dt dt R0 R R0 Par d´erivation par rapport au temps dans le r´ef´erentiel R0 et utilisation de la loi de d´erivation compos´ee (1.14) on obtient d2 OA(t)

dAM(t)

dAM(t)

˙ γ a (t) = γ r (t)+ω R/R0 (t)∧

+

+ω R/R0 (t)∧AM(t)+ω R/R0 (t)∧

. dt dt2 dt R R0 R0 Apr`es application au dernier terme de la loi (1.14) on voit apparaˆıtre • l’acc´el´eration du point du r´ef´erentiel mobile R co¨ıncidant `a l’instant t avec M(t), acc´ el´ eration d’entrainement du point M : γ e (t) =

d2 OA(t)

+ ω˙ R/R0 (t) ∧ AM(t) + ω R/R0 (t) ∧ [ω R/R0 (t) ∧ AM(t)] , (1.21)

dt2 R0

que l’on obtient par d´erivation par rapport au temps de (1.6) ; • l’acc´ el´ eration de Coriolis du point M : γ c (t) = 2ω R/R0 (t) ∧ vr (t) .

(1.22)

Au bilan on peut ´ecrire la loi de composition des acc´ el´ erations : γ a (t) = γ r (t) + γ e (t) + γ c (t)

(1.23)

acc´el´eration absolue = acc´el´eration relative+acc´el´eration d’entrainement+acc´el´eration de Coriolis.

1.2

Cin´ etique des masses et inertie

Les objets de la m´ecanique des solides sont pesants. On va d´efinir et caract´eriser pr´ecis´ement cette distribution de masse, notamment grˆace `a la notion de centre d’inertie. D’autre part on peut noter qu’un solide ind´eformable poss`ede, en vertu de la structure de champ de moments de son champ de vitesse, 6 degr´es de libert´e : 3 degr´es de libert´e de translation et 3 degr´es de libert´e de rotation. Il faut donc d´efinir, pour caract´eriser pr´ecis´ement son mouvement autour d’un point O de r´ef´erence, sa quantit´e de mouvement de translation ou r´ esultante cin´ etique 3 et sa 3. ‘Linear momentum’ en anglais.

12

Chapitre 1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage

quantit´e de mouvement de rotation ou moment cin´ etique 4 . C’est ce que nous allons faire dans cette section, en terminant par l’introduction du tenseur d’inertie, outil commode pour le calcul du moment cin´etique.

1.2.1

Distribution de masse

En g´en´eral la masse est distribu´ee dans le volume de la machine consid´er´ee, volume que nous noterons Ωt . La masse totale peut donc s’´ecrire ZZZ

d3 m

m =

(1.24)

Ωt

avec d3 m = ρ d3 x

(1.25)

l’´el´ement de masse, d3 x ´etant l’´el´ement de volume, ρ la masse volumique.

Dans certains cas on pourra mod´eliser une partie du syst`eme, tr`es mince dans une ou deux directions, en consid´erant qu’elle est ` a distribution surfacique ou lin´eique de masse ; on remplacera l’int´egrale triple dans des formules d´efinissant des quantit´es extensives du type (1.24) par une int´egrale double ou simple, l’´el´ement de masse ´etant proportionnel `a un ´el´ement de surface ou de longueur. On pourra aussi consid´erer que certaines masses sont « ponctuelles » ; alors l’int´egrale sera une somme discr`ete.

1.2.2

Centre d’inertie

Le centre d’inertie du syst`eme est d´efini comme le point G barycentre de la distribution de masse du syst`eme, tel que ZZZ

OM d3 m .

∀O, mOG =

(1.26)

Ωt

1.2.3

R´ esultante et moment cin´ etiques

Dans le r´ef´erentiel R0 o` u O est fixe, nous d´efinissons la quantit´ e de mouvement de translation totale du syst`eme, ZZZ

v(M,t) d3 m =

p(t) := Ωt

ZZZ

˙ ˙ OM(t) d3 m = mOG(t) .

(1.27)

Ωt

La commutation de la d´eriv´ee par rapport au temps et de l’int´egrale sur la distribution de masse, ZZZ p = Ωt

dOM 3 d d m = dt dt

ZZZ

OM d3 m ,

(1.28)

Ωt

r´esulte en fait de la conservation de la masse, et de la formule de transport d’une densit´e massique, ZZZ ZZZ d de 3 3 ed m = d m, (1.29) dt Ωt Ωt dt 4. ‘Angular momentum’ en anglais.

1.2 Cin´ etique des masses et inertie

13

d´emontr´ee dans la sous-section 3.1.3 de Plaut (2009b).

Comme on l’a expliqu´e au d´ebut de cette section, on doit aussi introduire la quantit´e de mouvement de rotation du syst`eme par rapport ` a ce point O, soit ZZZ

OM(t) ∧ v(M,t) d3 m

σ(O,t) :=

(1.30)

Ωt

En utilisant la relation de transitivit´e AM = OM − OA ainsi que la d´efinition (1.27), on observe que ∀O,A, σ(A,t) = σ(O,t) + p(t) ∧ OA

(1.31)

ce qui montre que σ est un champ de moments de r´esultante p. On d´esigne pour cette raison σ(O,t) comme le moment cin´ etique du syst`eme par rapport au point O, et p(t) comme la r´ esultante cin´ etique du syst`eme.

1.2.4

Tenseur d’inertie d’un solide ind´ eformable : g´ en´ eralit´ es

On se place toujours dans un r´ef´erentiel R0 o` u un point O du solide S ´etudi´e est fixe. Si S est un solide ind´ eformable, on peut utiliser le fait que son champ de vitesse est un champ de moments. La formule des champs de moments donne alors v(M ∈ S,t) = v(O ∈ S,t) + ω ∧ OM(t) = ω ∧ OM(t) ,

(1.32)

ω = ω S/R0 (t)

(1.33)

avec le vecteur vitesse de rotation instantan´ee de S dans R0 . Le produit OM ∧ v `a int´egrer pour obtenir le moment cin´etique (1.30) s’´ecrit donc

h i OM ∧ ω ∧ OM = OM2 ω − OM · ω OM = OM2 1 − OM ⊗ OM · ω .

Introduisons le tenseur d’inertie de S par rapport au point O, ZZZ

h

I(O,t) =

i OM2 (t)1 − OM(t) ⊗ OM(t) d3 m .

(1.34)

Ωt

Ce tenseur d’inertie est de fait l’application lin´eaire qui, au vecteur vitesse de rotation instantan´ee ω, associe le moment cin´etique en O, I(O,t) : R3 −→ ω

R3

7−→ σ(O,t) = I(O,t) · ω .

.

(1.35)

On a int´erˆet `a expliciter ce tenseur dans un rep`ere Oxyz li´e `a S, car il y aura des composantes ind´ependantes du temps. En coordonn´ees cart´esiennes, le vecteur OM ´etant rep´er´e par OM = xex + yey + zez , l’´equation (1.34) s’explicite selon   Ixx Ixy Ixz h i

  =  Ixy Iyy Iyz  Mat I(O), ex ,ey ,ez Ixz Iyz Izz

(1.36)

14

Chapitre 1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage

o` u apparaissent les moments d’inertie par rapport aux axes x, y, z, ZZZ ZZZ ZZZ 2 2 3 2 2 3 Ixx = (y + z ) d m , Iyy = (z + x ) d m , Izz = (x2 + y 2 ) d3 m , Ωt

Ωt

Ωt

(1.37) et les produits d’inertie : ZZZ

xy d3 m ,

Ixy = Iyx = − Z Z ZΩt Iyz = Izy = −

yz d3 m ,

Ωt

ZZZ

zx d3 m .

Izx = Ixz = −

(1.38)

Ωt

On peut noter que ZZZ

HM2 d3 m

Izz =

(1.39)

Ωt

avec H le projet´e orthogonal de M sur l’axe Oz. Ainsi Izz est d’autant plus grand que la masse de S est en moyenne loin de l’axe Oz. D’autre part Ixy > 0 (resp. < 0) indique qu’en moyenne la masse de S est dans le demi-espace xy < 0 (resp. > 0) ; Ixy = 0 indique que la masse de S est ´equir´epartie entre les demi-espaces xy < 0 et xy > 0.

Le calcul des int´egrales (1.37) et (1.38) ne pose pas de probl`emes dans son principe ; des r´esultats types seront donn´es en sous-section 1.2.6. En pratique, dans le cas de solides de forme compliqu´ee, les logiciels de Conception Assist´ee par Ordinateur effectuent automatiquement et num´eriquement tous ces calculs.

De mani`ere g´en´erale, I(O,t) ´etant sym´ etrique peut se diagonaliser dans une certaine base orthonorm´ee li´ee au solide S. Les axes Ox, Oy, Oz correspondants sont appel´es axes principaux d’inertie du solide, tandis que les ´el´ements diagonaux correspondants Ixx , Iyy , Izz sont appel´es moments principaux d’inertie du solide.

Sans aller ´eventuellement jusqu’` a cette diagonalisation compl`ete, on a souvent int´erˆet `a calculer le tenseur d’inertie dans une base o` u le solide pr´esente certaines sym´etries.

Par exemple, si le solide admet xOy comme plan de sym´ etrie, on observe, en faisant le changement de variable z 7→ −z dans les int´egrales, que Ixz = Iyz = 0 .

Ceci prouve que l’axe Oz est axe principal d’inertie du solide ; alors les deux autres axes principaux se trouvent forc´ement dans le plan xOy. Si l’un des axes de base, par exemple Oz, est axe de sym´ etrie du solide, alors le changement de variable (x,y) 7→ (−x, − y) montre qu’on a aussi Ixz = Iyz = 0 .

L`a encore l’axe Oz est axe principal d’inertie.

Si Oz est axe de r´ evolution on aboutit aux mˆemes r´esultats. De plus, en faisant le changement de variable (x,y) 7→ (−y,x) correspondant `a une rotation de π/2, on montre que Ixy = 0

1.2 Cin´ etique des masses et inertie

15

et Ixx = Iyy .

Ceci signifie que les axes Ox, Oy, Oz sont axes principaux d’inertie, et que les deux premiers moments principaux d’inertie sont ´egaux.

1.2.5

Tenseur d’inertie : th´ eor` eme de Huyghens

Afin d’examiner le lien entre les tenseurs d’inertie en deux points origines diff´erents O et A, ins´erons la relation de transitivit´e OM = OA + AM dans le tenseur ´el´ementaire ` a int´egrer pour calculer I(O) ´equation (1.34). Il vient

OM2 1 − OM ⊗ OM = OA2 + 2OA · AM + AM2 1

− OA ⊗ OA + AM ⊗ OA + OA ⊗ AM + AM ⊗ AM .

On en d´eduit par int´egration, et en utilisant l’´equation (1.26) pour A `a la place de O, la relation h

i I(O) = m OA2 + 2OA · AG 1 − OA ⊗ OA + AG ⊗ OA + OA ⊗ AG + I(A) .

(1.40) Cette relation se simplifie remarquablement si A co¨ıncide avec le centre d’inertie G du solide ; on aboutit alors au th´ eor` eme de Huyghens :

I(O) = m OG2 1 − OG ⊗ OG + I(G)

(1.41)

Ce th´eor`eme, qui permet de d´eduire I en un point quelconque O de la connaissance de I(G), justifie que l’on ne donne dans le formulaire de la section 1.2.6 que les valeurs de I(G).

1.2.6

Tenseurs d’inertie de solides homog` enes de forme simple

Donnons les tenseurs d’inertie de solides homog`enes de forme g´eom´etrique simple. Pour le premier exemple ci-dessous, les calculs se font en coordonn´ees cart´esiennes, avec lesquelles OM = xex + yey + zez , d3 x = dx dy dz .

(1.42)

Un calcul pr´eliminaire de la masse totale, selon l’´equation (1.24), donne la valeur de ρ. On peut alors calculer I(G) ` a partir de l’´equation (1.34).

Exemple 1 : parall´ el´ epip` ede rectangle droit : z

V = {(x,y,z) ∈ [−a,a] × [−b,b] × [−c,c]} , ρ = 2b

G

2c y 2a

x

m , 8abc



 2 + c2 b 0 0 h

i m  Mat I(G), ex ,ey ,ez = c2 + a2 0  .  0 3 0 0 a2 + b2 (1.43)

16

Chapitre 1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage Pour les exemples 2 ` a 5 suivants, les calculs se font en coordonn´ees cylindriques, avec lesquelles

OM = r cos θ ex + sin θ ey + zez , d3 x = r dr dθ dz .

(1.44)

Exemple 2 : cylindre creux de r´ evolution :

z

V = {(r,θ,z) ∈ [a,b] × [0,2π] × [−h,h]} , ρ =

y 2h

G x 2a 2b

a2 + b2 h2 +  4 3  h

i  Mat I(G), ex ,ey ,ez = m 0   0

2π(b2

m , − a2 )h



 0 a2

+ 4

b2

0 +

h2 3

0

   .

0    2 2 a +b 2 (1.45)

Exemple 3 : cylindre de r´ evolution : ce cylindre plein peut ˆetre vu comme un cylindre creux avec a = 0 :

z

V = {(r,θ,z) ∈ [0,b] × [0,2π] × [−h,h]} , ρ =

G

b2 h2 4 + 3  h

i  = m Mat I(G), ex ,ey ,ez 0   0

m , 2πb2 h



y 2h

x 2b

 0 b2 4

+ 0

h2 3

0   .

0   2 b 2 (1.46)

Exemple 4 : anneau torique :

z a G 2b

x

√ √ V = {(r,θ,z) ∈ [b− a2 − z 2 ,b+ a2 − z 2 ]×[0,2π]×[−a,a]} , m ρ = , 2π 2 a2 b  2  5a b2 0 0  8 + 2    h 2 2

i   5a b Mat I(G), ex ,ey ,ez = m .

0 + 0   8 2   2 3a 0 0 + b2 4 (1.47)

1.3 Lois fondamentales de la dynamique - Bilans d’efforts

17

Exemple 5 : cerceau : Se d´eduit du pr´ec´edent dans la limite a → 0, d’o` u

y

b2 2 h

i  Mat I(G), ex ,ey ,ez = m 0 

x

G

0

0 b2 2 0



0   .

0

(1.48)

b2

2b Pour les derniers exemples, les calculs se font en coordonn´ees sph´eriques, avec lesquelles

OM = r sin θ cos φ ex + sin φ ey + cos θez , d3 x = r2 sin θ dr dθ dφ .

(1.49) Exemple 6 : sph` ere creuse :

z b

V = {(r,θ,φ) ∈ [a,b] × [0,π] × [0,2π]} , 3m ρ = , 4π(b3 − a3 ) 2 b5 − a5 I(G) = m 3 1.

5 b − a3

a y

G

(1.50)

x Exemple 7 : sph` ere : Dans le cas a = 0 on obtient pour une sph`ere pleine de rayon b que I(G) =

1.3

2 m b2 1 .

5

(1.51)

Lois fondamentales de la dynamique - Bilans d’efforts

On se place dans un premier temps dans un r´ef´erentiel R0 r´eput´e galil´ een, o` u les seules forces agissant sur un syst`eme S sont les forces physiques : • densit´ e volumique de forces fvol agissant dans le volume Ωt , par exemple fvol = ρg pour le poids, g ´etant le champ gravitationnel, fvol = ρe (E + v ∧ B) pour la force ´electromagn´etique, ρe ´etant la densit´e volumique de charge, E le champ ´electrique, B le champ magn´etique ; • densit´ e surfacique de forces T agissant sur la fronti`ere ∂Ωt de Ωt .

La premi`ere loi de Newton est la loi d’´ evolution de la r´ esultante cin´ etique, p˙ = Rext r´esultante des efforts ext´erieurs appliqu´es ext

R

ZZZ

3

=

ZZ

fvol d x + Ωt

T d2 S .

(1.52) (1.53)

∂Ωt

D’apr`es les ´equations (1.27) et (1.29), on peut ´ecrire la d´eriv´ee par rapport au temps de la quantit´e de mouvement de deux fa¸cons diff´erentes, ZZZ ¨ . ˙p = γ R0 (M) d3 m = mOG (1.54) Ωt

18

Chapitre 1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage

La deuxi`eme loi de Newton est la loi d’´ evolution du moment cin´ etique, ˙ σ(O) = Γext (O) moment en O des efforts ext´erieurs appliqu´es ext

Γ

ZZZ

3

ZZ

OM ∧ T d2 S .

OM ∧ fvol d x +

(O) = Ωt

(1.55)

(1.56)

∂Ωt

D’apr`es (1.29), la d´efinition (1.30) et la formule (1.35), on peut ´ecrire la d´eriv´ee par rapport au temps du moment cin´etique de deux fa¸cons diff´erentes, ZZZ i dh ˙ σ(O) = OM ∧ γ R0 (M) d3 m = I(O) · ω S/R0 .

(1.57) dt Ωt Il importe de constater que le champ de vecteurs Γext (O) pr´esente une structure de champ de moments, de r´esultante Rext : ∀A, O,

Γext (A) = Γext (O) + Rext ∧ OA = Γext (O) + AO ∧ Rext .

(1.58)

Ceci justifie le terme « moment des efforts » ; on parle aussi de « couples » appliqu´es pour d´esigner des contributions ` a Γ.

Si maintenant on se place dans un r´ef´erentiel non galil´ een R dont le mouvement est connu par rapport au r´ef´erentiel absolu galil´een R0 , on peut injecter dans les membres de gauche des lois de Newton, ` a savoir (1.54) et (1.57), la formule de composition des acc´el´erations (1.23). On observe que les lois de Newton restent valables dans le r´ef´erentiel R `a condition d’introduire des forces d’inertie volumiques dans les membres de droite, fi =

fie |{z}

+

force d’inertie d’entrainement

1.4

= −ργ e − ργ c .

fic |{z}

(1.59)

force d’inertie de Coriolis

Probl` eme de l’´ equilibrage d’un rotor

On consid`ere un rotor S solide ind´eformable, de masse totale m, comprenant un axe Oz en rotation sur un chassis grˆ ace ` a des liaisons pivots situ´ees aux points P1 et P2 :

S

x

y

G

z P1

P2

On choisit un rep`ere de travail Oxyz li´e au solide S, d’origine O = P1 . On a alors OP2 = lez .

D’autre part le centre de gravit´e G de S est rep´er´e par OG = OH+HG avec H projet´e orthogonal de G sur l’axe Oz, OH = cez , HG = aex + bey .

On s’int´eresse au r´egime de rotation o` u la vitesse angulaire ω de S dans le r´ef´erentiel absolu du laboratoire R0 est constante. Dans ce r´ef´erentiel, le rotor est soumis `a des efforts au niveau des liaisons pivots :

1.4 Probl` eme de l’´ equilibrage d’un rotor

19

• le champ de forces exerc´e au niveau de la liaison P1 a une r´esultante ´egale `a la r´ eaction de liaison R1 et un couple en P1 ´egal au couple de liaison Γ1 ; • le champ de forces exerc´e au niveau de la liaison P2 a une r´esultante ´egale `a la r´ eaction de liaison R2 et un couple en P2 ´egal au couple de liaison Γ2 .

D’autre part des efforts dˆ us ` a l’environnement, par exemple l’action de fluides, existent ; on env env note R leur r´esultante, Γ leur couple en O. Enfin l’action de la gravit´ e terrestre constitue une troisi`eme source d’efforts.

La moiti´e des mini-groupes de TD traitera la question 1 ci-dessous par la voie a, l’autre moiti´e par la voie b.

1 Explicitez les lois fondamentales de la dynamique de ce syst`eme 1.a soit dans le r´ef´erentiel R0 du laboratoire, 1.b soit dans le r´ef´erentiel R li´e ` a S, donc en rotation par rapport `a R0 avec le vecteur vitesse instantan´ee de rotation ω = ωez .

Dans les deux cas faites intervenir les composantes Ixz et Iyz de la matrice repr´esentant le tenseur d’inertie I(O) de S dans la base tournante {ex ,ey ,ez }.

1.c On fait l’hypoth`ese que les liaisons pivots sont « parfaites » au sens o` u, en l’absence d’actions dues `a l’environnement, les couples de liaison Γ1 et Γ2 sont nuls. Observant d’autre part que le syst`eme d’´equations que l’on vient d’obtenir est lin´eaire vis-`a-vis de tous les efforts appliqu´es, on s’int´eresse dans ce qui suit aux r´eactions de liaison R1 et R2 qui compensent seulement les termes inertiels, dˆ us aux membres de gauche des ´equations de la dynamique (1.52) et (1.55) dans le calcul de 1.a, ou aux forces d’inertie dans le calcul de 1.b. Montrez que ces r´eactions sont d´efinies par le syst`eme R1 + R2 = ω 2 R , OP1 ∧ R1 + OP2 ∧ R2 = ω 2 S ,

(1.60)

en donnant la d´efinition des vecteurs R et S tournants li´es `a S, qui ne d´ependent que de la g´eom´etrie de la distribution des masses de S. Proposez une interpr´etation physique expliquant l’origine et la nature des termes −ω 2 R et −ω 2 S. 2.a D´eterminez autant que possible les composantes de R1 et R2 , en notant qu’il demeure une composante inconnue de liaison.

2.b Montrez que l’´equilibrage complet du rotor, i.e. l’annulation des termes sources R et S dans le syst`eme (1.60), revient aux conditions suivantes : • condition d’´ equilibrage statique : le vecteur « balourd » mHG = 0, i.e. a = b = 0, i.e. le centre d’inertie G se trouve sur l’axe de rotation Oz ; • condition d’´ equilibrage dynamique : les moments d’inertie Ixz = Iyz = 0, i.e. l’axe de rotation Oz est axe principal d’inertie de S. Montrez en sus que la condition d’´equilibrage statique revient `a assurer que le terme de couple dˆ u au poids, OG ∧ mg, est effectivement statique au sens o` u il est ind´ependant du temps.

3 On d´esire ´equilibrer le rotor en disposant sur S une masse ponctuelle mα au point A de son bord rep´er´e par OA = xα ex + yα ey + zα ez et une autre masse ponctuelle mβ au point B de son

20

Chapitre 1 Effets des forces d’inertie - Probl´ ematique de l’´ equilibrage

bord rep´er´e par OB = xβ ex + yβ ey + zβ ez .

3.a Calculez les coordonn´ees a0 , b0 et c0 du centre de gravit´e G0 du syst`eme S 0 = S ainsi modifi´e, et explicitez la condition d’´equilibrage statique de S 0 .

0 et I 0 , du syst` 3.b Calculez les produits d’inertie en O, Ixz eme S 0 , et explicitez la condition yz d’´equilibrage dynamique de S 0 .

3.c Pourquoi ne doit-on pas en g´en´eral disposer les masses mα et mβ dans un mˆeme plan perpendiculaire `a l’axe de rotation, d’´equation z = constante ?

4 D’un point de vue pratique, comme on n’a pas acc`es directement `a la position du centre d’inertie ou aux moments d’inertie, on utilise la m´ ethode des coefficients d’influence pour ´equilibrer un rotor. Pour cela on caract´erise quantitativement le d´es´equilibre du rotor, en r´egime de rotation `a vitesse angulaire constante ω, en mesurant dans le r´ef´erentiel R0 une des composantes de R1 et R2 grˆace `a deux capteurs de forces, plac´es en P1 et P2 , et orient´es perpendiculairement `a l’axe de rotation. Si on appelle eX la direction de mesure de ces capteurs, on peut former une base fixe dans R0 `a l’aide des vecteurs

eX , eY , eZ = eX , ez ∧ eX , ez .

Dans cette base fixe la base li´ee au rotor ex , ey , ez est tournante, avec un angle de rotation

φ(t) := eX\ , ex (t) = ωt , et on mesure donc s1 (t) = R1 · eX grˆ ace au capteur 1,

s2 (t) = R2 · eX grˆace au capteur 2.

4.a En utilisant les r´esultats de la question 2.a, donnez l’expression g´en´erale de s1 et s2 . Montrez que l’on peut associer naturellement ` a ces signaux temporels oscillants des amplitudes complexes z1 et z2 dont on donnera l’expression. Vous introduirez enfin les amplitudes complexes normalis´ees Z1 = z1 /ω 2 et Z2 = z2 /ω 2 .

Indication-commentaire : vous constaterez que la r`egle utilis´ee en traitement de signaux oscillants, s(t) = sx cos(ωt) − sy sin(ωt) = Re[z exp(iωt)]

←→

amplitude z = sx + isy ,

se marie harmonieusement, ici, avec la r`egle utilis´ee en analyse complexe pour associer un complexe `a un vecteur.

4.b Quelles conditions doit-on r´ealiser pour ´equilibrer le rotor ?

4.c La strat´egie propos´ee par la m´ethode des coefficients d’influence consiste `a ´equilibrer le syst`eme en positionant des masses ` a la p´eriph´erie de deux disques faisant partie de S, situ´es l’un en z = zα , l’autre en z = zβ 6= zα . On rep`ere la valeur de ces masses et leur position dans les plans de ces disques par les « balourds » bα = mα (xα + iyα ) , bβ = mβ (xβ + iyβ ) en notations complexes.

On commence par mesurer les amplitudes complexes normalis´ees Z1 et Z2 sur S tournant seul ; on note les valeurs correspondantes Z10 et Z20 .

1.4 Probl` eme de l’´ equilibrage d’un rotor

21

On arrˆete alors S, et on place mα en un point A du premier disque de S. On mesure - apr`es retour au r´egime de rotation permanent - les nouvelles valeurs Z1α et Z2α des amplitudes complexes normalis´ees des signaux s1 et s2 . Montrez que l’on a alors Z1α = Z10 + c1α bα , Z2α = Z20 + c2α bα o` u l’on peut faire apparaˆıtre (i.e. mesurer pratiquement) des coefficients d’influence c1α et c2α dont on donnera la valeur th´eorique.

On arrˆete `a nouveau le syst`eme, on enl`eve mα , et on dispose mβ en un point B du deuxi`eme disque de S. On mesure ensuite les nouvelles valeurs Z1β et Z2β des amplitudes complexes normalis´ees des signaux s1 et s2 . Montrez que l’on peut introduire des coefficients d’influence c1β et c2β de sorte que Z1β = Z10 + c1β bβ , Z2β = Z20 + c2β bβ .

Dans le cas g´en´eral o` u on dispose mα en A point du premier disque et mβ en B point du deuxi`eme disque, montrez que les amplitudes vibratoires de s1 et s2 sont donn´ees par : Z1αβ = Z10 + c1α bα + c1β bβ , Z2αβ = Z20 + c2α bα + c2β bβ .

D´ecrivez `a partir de ces r´esultats une m´ethode pratique d’´equilibrage.

Vous noterez que, d’un point de vue th´eorique, cette m´ethode fonctionne si la matrice des coefficients d’influence ! c1α c1β [C] = c2α c2β est inversible ; vous v´erifierez th´eoriquement que cela est bien le cas.

5 En prenant un peu de recul par rapport `a ce probl`eme, on peut remarquer que l’on a privil´egi´e un point particulier O de l’axe de rotation dans tout le traitement. Montrez donc que si le rotor S est ´equilibr´e vis ` a vis de O, alors il est ´equilibr´e vis `a vis de tout autre point O0 de l’axe de rotation.

Chapitre 2

Pompes 2.1

Introduction

Une pompe est une machine hydraulique qui permet d’augmenter la charge H d’un fluide moyennant une puissance ext´erieure Pext > 0 fournie au fluide. Cette puissance est en g´en´eral fournie par un rotor en rotation.

2.1.1

R´ esultats du cours de m´ ecanique des fluides ω

S

s

S

v

e

s

v

e

Fig. 2.1 – Section d’une turbopompe.

On consid`ere un tube de courant de fluide incompressible en r´egime permanent (figure 2.1). On a donc la loi de conservation de la masse qui s’applique : X

v.ndS = 0

⇒

qv = ve Se = vs Ss

(2.1)

δΩ

Le bilan ´energ´etique dans un tube de courant qui contient une source (ou un puits) d’´energie s’´ecrit en l’absence de perte de charge : Pext = ρgqv (Hs − He )

(2.2)

avec les charges d’entr´ee He et de sortie Hs du tube de courant. On rappelle la d´efinition de la charge H (voir l’´equation (1.33) du cours de m´ecanique des fluides Plaut 2009a) : H=

p hvi2 +z+α ρg 2g

(2.3)

24

Chapitre 2 Pompes

p est la pression du fluide au point d’altitude z. La vitesse hvi d´esigne la vitesse d´ebitante `a travers une surface S et α est le coefficient d’´energie cin´etique qui sont d´efinis par les relations (1.34) du cours de m´ecanique des fluides Plaut 2009a. Si la puissance ext´erieure est ´echang´ee via un rotor en rotation, alors elle peut s’exprimer comme : Pext = Cext ω

(2.4)

ce qui fait intervenir le couple appliqu´e au rotor Cext et sa vitesse angulaire de rotation ω.

On appellera Hth = Hs − He > 0 la charge th´eorique atteinte lorsqu’il n’y a pas de perte dans la pompe. D’apr`es la d´efinition de la charge, on en d´eduit que : " 2 # Se ρ qv2 1− ps − pe = ρgHth + (2.5) 2 2 Se Ss En g´en´eral dans une pompe, Se . Ss ce qui rend le deuxi`eme terme n´egligeable. On a donc une augmentation de pression ` a travers une pompe (∆p = ps − pe > 0).

Plac´ee dans un circuit, une pompe peut-ˆetre consid´er´ee comme une singularit´e qui augmente la charge.

Dans une turbopompe (en g´en´eral hydromachines qui incluent les turbines), il n’y a aucun organe d’´etanch´eit´e entre l’entr´ee et la sortie. On peut traverser la machine par un chemin continu trac´e dans le fluide. Il y a d’autres classes de pompes o` u ce n’est pas le cas, par exemple, les pompes volum´etriques.

2.1.2

Pompes volum´ etriques

piston

e

1

2

s

Fig. 2.2 – Sch´ema d’une pompe ` a piston (volum´etrique). Clapet d’aspiration 1, clapet de refoulement 2.

– En phase d’aspiration, le clapet 1 est ouvert et le 2 ferm´e.

– En phase de refoulement, le clapet 1 est ferm´e et le 2 ouvert.

Dans ce cas l’entr´ee est d´econnect´ee de la sortie et on ne peut pas passer par un chemin continu entre les points e et s.

Il existe d’autres types de pompes volum´etriques : – pompes ` a palettes, – pompes ` a engrenages, – pompes ` a ´ecrasement de tuyaux, – ...

2.1 Introduction

25

air

q fluctuant

P

q presque constant eau

Fig. 2.3 – Capacit´e pneumatique.

dont les principales caract´eristiques sont un faible d´ebit mais de grandes pressions de refoulement.

De plus, ces pompes conduisent ` a des d´ebits fluctuants dans le temps, ce qui n´ecessite assez souvent la mise en place de capacit´e pneumatique pour stabiliser le d´ebit (figure 2.3).

Les machines volum´etriques sont surtout utilis´ees comme organes de puissance (∆p grands) ou commande de puissance.

2.1.3

Configuration d’une turbopompe

Il existe plusieurs technologies de pompes. On peut les classer en deux cat´egories principales : les pompes volum´etriques et les turbopompes. Les pompes volum´etriques sont celles qui permettent le saut de pression le plus important mais cela n’est vrai qu’avec des fluides incompressibles et cela se fait en g´en´eral au d´etriment du d´ebit et de sa r´egularit´e. Enfin, du fait de l’´etanch´eit´e interne ` a la pompe (le volume de fluide captur´e ne doit pas pouvoir s’´echapper), ce sont souvent des pompes fragiles qui tol`erent mal les fluides charg´es en particules solides et abrasives comme, par exemple, du sable. C’est pourquoi les turbopompes sont tr`es largement utilis´ees dans un contexte industriel.

Dans une turbopompe, le transfert d’´energie s’effectue entre le fluide et une roue mobile. La th´eorie g´en´erale est la mˆeme quelque soit le sens de transfert (pompe ou turbine). On distingue : – les machines ` a passage tangentiel, surtout pour la turbine Pelton o` u l’on peut encore raisonner en turbomachine car il existe des pompes `a passage tangentiel, mais il est difficile de les consid´erer comme des turbomachines. qv

ω

– Les machines ` a passage radial (pompes centrifuges).

H

26

Chapitre 2 Pompes

Fig. 2.4 â&#x20AC;&#x201C; Exemples de pompes volum´etriques.

2.2 Triangle des vitesses

27 sortie

entree

– Les machines ` a passage axial ou h´elico¨ıdal (pompes `a h´elices). ω

La disposition g´en´erale d’une turbomachine comporte : – Une roue mobile o` u se fait le transfert d’´energie.

– Des dispositifs fixes (dans certains cas orientables) d’entr´ee - sortie destin´es `a amener ou ` a ´evacuer le fluide en lui donnant une orientation convenable.

– La roue mobile est munie soit d’augets (g´en´eralement `a l’air libre) soit d’aubes g´en´eralement noy´ees dans le fluide.

2.2

Triangle des vitesses

Consid´erons une pompe centrifuge :

v

e w

S2

u M

M’

ω r

R1

R1

S1 O ω

R2

R2

b

Fig. 2.5 – Triangle de vitesse sur une roue de pompe centrifuge.

Soit un point M du rotor (aube), sa vitesse d’entrainement est u : u = ω ∧ OM;

|u| = rω

(2.6)

avec w la vitesse relative du fluide telle que sur le rotor w.nrotor = 0. La vitesse absolue est donn´ee par v = u + w. On d´efinit l’angle β = (u, w) ce qui permet de dessiner le triangle des vitesses ` a l’entr´ee et `a la sortie.

28

Chapitre 2 Pompes w1

v1 w2

vn1 β

S1 R1

n1

1

R ω 1

v2 β

S2 u1

R2

entree

vn2

2 R ω 2

n2

u2

sortie

Fig. 2.6 – Triangle des vitesses entr´ee et sortie

Le d´ebit qv =

RR S

v.ndS se conserve. Si n est le nombre d’aubes, on a donc : qv = vn1 (2πR1 − ne1 )b1 = vn2 (2πR2 − ne2 )b2

(2.7)

avec ei l’´epaisseur des aubes ` a l’entr´ee (1) et `a la sortie (2).

On fait une hypoth` ese importante : le triangle des vitesses dans le fluide au point M’ situ´e 0 entre 2 aubes est le mˆeme au point M situ´e sur le rotor si |OM| = |OM |. En r´ealit´e ceci n’est pas tout `a fait exact et mˆeme en fluide parfait, de part et d’autre d’une aube, wintrados 6= wextrados .

De plus, comme les fluides sont visqueux, on a w(M ) = 0 (adh´erence). Ainsi, la th´eorie qui suit est une th´eorie approch´ee.

2.3

Principe de quantit´ e de mouvement angulaire

Le principe de quantit´e de mouvement angulaire s’´ecrit : ZZZ ZZ ZZZ X

∂ d OM ∧ (ρv)dV = OM ∧ (ρv) dV + OM ∧ (ρv) v.ndS = Γext (O) dt ∂t V S V (2.8) On fait l’hypoth`ese que le r´egime est quasi-permanent, c’est-`a-dire que ∂/∂t = 0. Consid´erons un S volume de contrˆ ole fluide V limit´e par une surface ferm´ee S = 6i=1 Si en pointill´e sur la figure 2.7.

S2 n2

S5 S6

S3 S1

S4

M

O Fig. 2.7 – Volume fluide de contrˆole autour du rotor.

Calculons le terme

ZZ

OM ∧ (ρv) v.ndS

S

de la relation de conservation de quantit´e de mouvement 2.8.

2.3 Principe de quantit´ e de mouvement angulaire

29

– Sur S5 et S6 , n5 = −n6 donc la contribution est nulle.

– Sur S3 et S4 , on a ZZ ZZ ZZ

OM ∧ (ρv) v.ndS = OM ∧ (ρv) u.ndS + S3 ∪S4

S3

OM ∧ (ρv) u.ndS (2.9)

S4

car v = u + w et w.n = 0. De plus, si l’on fait l’hypoth`ese que l’aube est de faible ´epaiseur, alors, u3 = u4 , w3 ' w4 ⇒ v3 ' v4 et n3 ' −n4 . On en d´eduit que ZZ

OM ∧ (ρv) v.ndS ' 0 (2.10) S3 ∪S4

– Enfin, on trouve : ZZ

ZZ

OM ∧ (ρv) v.ndS

OM ∧ (ρv) v.ndS =

(2.11)

S1 ∪S2

S

Calculons maintenant le terme X

ext

Γ

ZZ OM ∧ t(M )dS

(O) = S

de l’´equation 2.8. t(M ) = −pn d´esigne la contrainte au point courant M. RR – Sur S5 et S6 , S5 ∪S6 OM ∧ t(M )dS = 0 car n5 = −n6 .

RR – Sur S3 et S4 , S3 ∪S4 OM ∧ t(M )dS = Crotor→f luide .

RR RR – Sur S2 (ou S1 ), S2 OM ∧ t(M )dS = S2 OM ∧ (−p2 n2 )dS avec OM = R2 n2 d’o` u ZZ OM ∧ t(M )dS = 0 S1 ∪S2

Ainsi, on trouve la relation qui existe entre le bilan de quantit´e de mouvement angulaire et le couple qu’exerce le rotor sur le fluide : ZZ

OM ∧ (ρv) v.ndS = C (2.12) S1 ∪S2

En multipliant les termes de l’´equation 2.12 par ω et en utilisant la propri´et´e du produit mixte : ω.(OM ∧ ρv) = OM.(ρv ∧ ω) = ρv.(ω ∧ OM) = ρv.u D’o` u l’expression de la puissance hydraulique : ZZ Pext = C.ω =

(ρu.v)v.ndS

(2.13)

S1 ∪S2

Comme u et v sont constants sur S1 et S2 , que − Pext = ρgqv Hth , on en d´eduit que : Hth =

RR S1

v1 .n1 dS =

u2 .v2 − u1 .v1 g

RR S2

v2 .n2 dS = qv et que

(2.14)

On voit donc que Hth est directement li´ee aux triangles des vitesses et donc `a la configuration (dessins des aubes). Hth ne d´epend pas du fluide v´ehicul´e.

Remarque 1 : Si u et v ne sont pas constants sur S1 et S2 , on prend une valeur moyenne. C’est le cas des pompes ` a h´elices par exemple.

Remarque 2 : On trouve le mˆeme r´esultat pour les turbines avec un signe −, c’est-`a-dire que Hth = (u1 .v1 − u2 .v2 )/g.

30

Chapitre 2 Pompes

2.4

Notions de charge relative

On a Hth = Hs − He , donc Hs − u2g.v2 = He − u1g.v1 . Comme ui .vi = ui .(ui + wi ) = u2i + ui wi , Hi −

pi w2 − u2i ui .vi = + zi + i g ρg 2g

(2.15)

en posant H1 = He et H2 = Hs . On appelle la charge relative, la quantit´e : Hr =

p w2 − u2 +z+ ρg 2g

(2.16)

et on a alors, Hr (2) = Hr (1)

(2.17)

La charge relative se conserve dans une turbomachine.

2.5 2.5.1

Caract´ eristique d’une pompe centrifuge Caract´ eristique th´ eorique

Compte tenu de la configuration d’une pompe centrifuge (2.5), on peut concevoir que l’´ecoulement est radial en R1 . On admet qu’il reste radial `a l’entr´ee de S1 , d’o` u le triangle des vitesses ` a l’entr´ee 2.8. w1

v1

β

vn1 2 u1

Fig. 2.8 – Triangle th´eorique `a l’entr´ee.

On a u1 .v1 = 0 d’o` u: Hth =

w2

u2 .v2 g

(2.18)

v2 β

vn2

2 u2

Fig. 2.9 – Triangle th´eorique `a la sortie.

u2 .v2 = u22 + u2 w2 cos(β2 )

(2.19)

2.5 Caract´ eristique d’une pompe centrifuge

31

Comme on a w2 = vn2 / sin(β2 ), vn2 S2 = qv et ω = 2πN avec N le nombre de tour par seconde, on peut ´ecrire : Hth =

(2πR2 )2 2 2πR2 cos(β2 ) N + N qv g gS2 | sin(β2 )|

(2.20)

Ainsi, la caract´eristique th´eorique Hth (qv , Nf ixe ) est donn´ee sur la figure 2.10.

β<π/2

Hth

β=π/2

β>π/2 qv Fig. 2.10 – Caract´eristique th´eorique d’une pompe centrifuge.

2.5.2

Caract´ eristique r´ eelle

Perte par choc ` la sortie de S2 , on installe des ´el´ements fixes (redresseurs) qui permettent de mieux canaliser A le fluide vers la sortie de la pompe (figure 2.11).

w 2 w2

v2

qv w

β 2

β 2 a

v2

u2

2

b

β v 2 2

u2

c

u2

Fig. 2.11 – Redresseurs N fix´e.

– Pour le cas a, on voit que l’´ecoulement rentre sans chocs dans les redresseurs. Ceci se produit pour un d´ebit qv = qa (d´ebit d’adaptation).

– Pour le cas b, le d´ebit qv > qa et il se produit un choc entre l’´ecoulement et les redresseurs.

Il y a donc des pertes de charge par choc. De mˆeme, dans le cas c, o` u qv < qa . ` A l’entr´ee de S1 , on a le mˆeme sc´enario, sauf que le choc se fait `a l’entr´ee de l’aube.

Comme les pertes de charge s’´ecrivent en Kqv2 et comme il n’y a pas de perte de charge par choc pour le d´ebit d’adaptation qa , on admet que les pertes de charge par choc s’´ecrivent : ∆Hchoc = Kc (qv − qa )2 avec Kc un coefficient de perte de charge par choc.

(2.21)

32

Chapitre 2 Pompes

w

v

1

w1

1

v1

qv

a

w1

β 1

β 1 u1

b

u1

v1 c

β 1 u1

Fig. 2.12 – a : qv = qa , b : qv > qa et c : qv < qa .

Perte par frottement et par singularit´ e L’´ecoulement du fluide sur les parois des aubes et les parois des redresseurs induisent une perte de charge par frottement visqueux analogue `a celle rencontr´ee dans les tubes. Pour simplifier, on prend une loi de type rugueux (Moody) : ∆Hf = Kf qv2

(2.22)

De plus, l’´ecoulement depuis l’entr´ee `a la sortie traverse plusieurs singularit´es : coudes, ´elargissement, changement de directions complexes, etc ... Ces singularit´es causent aussi des pertes de charge singuli`eres qu’on mod´elise par : ∆Hs = Ks qv2

(2.23)

d’o` u la perte de charge par frottement et singularit´e : ∆Hf s = Kf s qv2

(2.24)

avec Kf s = Kf + Ks .

On appelle alors la perte de charge interne ∆Hi : ∆Hi = ∆Hchoc + ∆Hf s

(2.25)

et la charge nette Hn de la pompe est Hn = Hth − ∆Hi

(2.26)

Le rendement interne est donn´e par : ηi =

Hn Hth

(2.27)

Ainsi, on en d´eduit la caract´eristique r´eelle de la pompe figure 2.13.

En g´en´eral, on trace Hn et ηi sur la mˆeme courbe. La partie ascendante de Hn peut conduire a` une instabilit´e de pompage.

2.5.3

Bilan de rendements

Le bilan d’´energie peut-ˆetre sch´ematis´e comme suit figure 2.14.

Sur la cascade d’´energie, on distingue :

2.5 Caract´ eristique d’une pompe centrifuge

33

15

Hth

∆ Hchoc ∆H

fs

Hn

H (m)

10

5

qc qa

0 0

2

4 −2 3 6 qv (x10 m /s)

8

10

Fig. 2.13 – Caract´eristique r´eelle `a N fix´e.

pm ρgq ∆H v i

Cω ρgq H v th ρgq H v n

transfert Fig. 2.14 – Cascade de l’´energie dans une pompe.

– – – – –

Cω la puissance disponible sur l’arbre fournie par le moteur. pm la puissance perdue par frottement m´ecanique dans les paliers. ρgqv Hth la puissance th´eorique. ρgqv ∆Hi la puissance perdue par choc et frottement visqueux. ρgqv Hn la puissance r´eellement r´ecup´er´ee par le fluide.

On introduit donc trois types de rendement : – Rendement m´ecanique : ηm = ρgqv Hth /Cω.

– Rendement interne ou hydraulique : ηi = Hn /Hth . Ce rendement peut atteindre 90% pour les pompes de grandes puissances.

– Rendement total : η = ηm ηi . Ce dernier prend en compte tous les types de pertes aussi bien m´ecanique qu’hydraulique.

34

Chapitre 2 Pompes

2.6

Pompes ` a h´ elices

L‘’´ecoulement est principalement axial (h´elico¨ıdal dans la roue). Le fluide entre par un convergent et ressort par un divergent appel´e diffuseur. La figure 2.15 pr´esente le sch´ema de principe. pales distributeur

redresseur

M Rm ω

Fig. 2.15 – Sch´ema de principe d’une pompe `a h´elice.

Une coupe de la pale au point M au rayon moyen Rm conduit `a la construction du triangle des vitesses figure 2.16. distributeurs fixes

u1

u2

w2

γ

vn1

γ α 11 w1 v1 β 1

pales

vn2

α 2 2 v2

redresseurs fixes

β 2

Fig. 2.16 – Triangle des vitesses dans une pompe `a h´elice.

On a : u1 = u2 = Rm ω

et vn1 = vn2 =

qv S

(2.28)

Dans certaines configurations (notamment en turbine), les distributeurs sont orientables, ainsi que les pales de l’h´elice. Les angles les plus pertinents sont les angles qui indiquent les directions des distributeurs et des pales par rapport `a la direction principale de l’´ecoulement, c’est-`a-dire α1 et γ2 , compt´es alg´ebriquement. Dans ce cas, on a : gHth = u2 .v2 − u1 .v1

(2.29)

ce qui donne :

gHth

= u[u + vn (tan(γ2 ) − tan(α1 ))] = u u + 2vn

sin(γ2 − α1 ) cos(γ2 + α1 ) + cos(γ2 − α1 )

(2.30)

2.7 Probl` emes g´ en´ eraux

35

Comme on sait que u ∝ N et vn ∝ qv , on retrouve : Hth =

(2πRm )2 2 2πRm N qv (tan(γ2 ) − tan(α1 )) N + g gSm

(2.31)

Selon les valeurs de γ2 et de α1 , la caract´eristique th´eorique a l’allure suivante : tan(γ )-tan(α )>0 2 1

Hth

tan(γ )-tan(α )=0 2 1

tan(γ )-tan(α )<0 2 1 qv

Fig. 2.17 – Caract´eristique th´eorique pour N fix´e.

En r´ealit´e, il y a des pertes par chocs `a l’entr´ee de la pale. Ces derniers peuvent ˆetre limit´es si la direction de w1 est la mˆeme que la direction principale de la pale, i. e. si γ1 = γ2 . Pour α1 ` la donn´e et une vitesse de rotation N donn´ee, il existe un d´ebit qa qui satisfait cette condition. A sortie, il faut ´eviter les chocs sur les redresseurs qui ont comme rˆole de rendre l’´ecoulement axial.

La condition id´eale de sortie est donc α2 = 0. Pour qa donn´e, il existe un N qui permet d’avoir ´ α2 = 0. En conclusion, pour α1 donn´e, il existe qa et N pour qu’il n’y ait pas de choc. Etant donn´e les nombreux param`etres que l’on peut faire varier (qv , N , α1 et γ2 ), il est difficile de donner une forme `a l’expression de ∆Hchoc .

Les pertes par frottement sont aussi difficiles `a quantifier. La figure 2.18 donne des exemples de l’allure des caract´eristiques r´eelles d’une pompe `a h´elice. η

Hn

η

Hn

80% 80%

qv

zone instable

qv

Fig. 2.18 – Exemples de carcat´eristiques.

2.7 2.7.1

Probl` emes g´ en´ eraux Point de fonctionnement

Le point de fonctionnement F se trouve `a l’intersection de la caract´eristique du circuit C(qv ) et de la charge nette de la pompe Hn (qv ) (figure 2.19). Ce point de fonctionnement fournit le d´ebit de fonctionnement qf onct et le rendement de fonctionnement ηf onct .

36

Chapitre 2 Pompes H η Hn F

C(qv)

η fonct

qfonct

qv

Fig. 2.19 – Point de fonctionnement.

2.7.2

Hauteur d’aspiration et amor¸cage Lorsque la pompe est pleine d’air sans d´ebit, sa mise en fonctionnement fait monter le niveau d’eau d’une hauteur h.

S

v = 0 ⇒ pS − pE = ρair gHn (0) et pS = patm

E

p + ρeau gz = cste dans l’eau : patm + 0 = pE + ρeau gh d’o` u hasp

z

air

h= h

ρair Hn (0) ρeau

Pour que la pompe s’amorce, il faut hasp ≤ h. ⇒

crepine

Exemple : si Hn (0) = 50 m ⇒ hasp ≤ 6.25 cm car ρair

ρair Hn (0) ρeau ' 1.25 kg/m3 . hasp ≤

Les cons´equences sont les suivantes : – Il faudra pr´evoir des dispositifs d’amor¸cage dans le cas o` u la pompe est situ´ee au dessus du niveau du r´eservoir amont. Cela peut se faire, soit par remplissage manuel du corps de la pompe, soit par remplissage avec un r´eservoir d’amor¸cage ou encore avec une pompe auxiliaire (pompe de gavage). On peut aussi ajouter une cr´epine d’aspiration avec un clapet anti retour pour ´eviter le d´esamor¸cage `a l’arrˆet.

– Dans le cas o` u la cr´epine d’aspiration n’est pas assez immerg´ee, il se produit une admission partielle de l’air ` a partir de la surface libre. Ceci a pour cons´equence une chute de la hauteur de refoulement et du rendement. Cela ne doit pas ˆetre confondu avec un ph´enom`ene de cavitation.

2.7.3

Groupement de pompes : s´ erie et parall` ele

S´ erie qv

1

2 P1

3 P2

qv 1

'

3 P

2.7 Probl` emes g´ en´ eraux

37

Le d´ebit traversant chaque pompe q1 = q2 = qv est le mˆeme et H1 = H2 − Hn1 (qv ), H2 = H3 − Hn2 (qv ) donc H1 = H3 − (Hn1 (qv ) + Hn2 (qv ))

(2.32)

d’o` u la caract´eristique ´equivalente (figure 2.20).

Parall` ele q1 qv

P1

1

2

qv 1

P2

q2

2 P

'

En n´egligeant les pertes de charge ` a la bifurcation (1) et `a la jonction (2), on a Hn1 = Hn2 , mais qv = q1 + q2 , d’o` u la caract´eristique figure 2.20.

H

H Heq Hn2

qcritique Hn1

Hn1

Heq Hn2

qv

(s)

qv

(p)

Fig. 2.20 – Caract´eristiques de deux pompes en s´erie (s) et en parall`ele (p).

Remarque : Branch´ee sur un circuit conduisant `a qv < qcritique , la pompe 2 fonctionnera en r´egime turbine.

2.7.4

Cavitation - rudiments

La cavitation apparaˆıt lorsque la pression du fluide devient ´egale `a la pression de vapeur saturante psat . C’est donc un ph´enom`ene d’´ebullition sous faible pression `a temp´erature ordinaire. Au point o` u la pression devient ´egale ` a psat une bulle de vapeur se forme.

Cavitation locale B bulles A

R v

2

2

ω

2

pA + ρ v2 ' pB + ρ u2 , or u = Rω et v u, donc pB ' pA − ρ (Rω) 2 . Cela implique que la pression pB diminue quand ω augmente. Ainsi, lorsque pB = psat , il y a formation de bulle de

38

Chapitre 2 Pompes

vapeur. Les bulles de vapeur sont transport´ees par l’´ecoulement et d`es qu’elles arrivent dans une zone o` u la pression est l´eg`erement sup´erieure `a la pression de vapeur saturante, elles implosent en des temps tr`es brefs (microseconde). Pour une bulle de 1 mm de rayon, cela correspond `a une vitesse locale du fluide de l’ordre de 1 km/s ! Les vitesses sont donc tr`es grandes au voisinage du point d’implosion et on enregistre des variations de pression de quelques centaines de bars. Les parois sont donc soumises ` a des efforts ´enormes et des coups de belier tr`es destructeurs. Il faut donc faire travailler les turbomachines dans des conditions o` u il n’y a pas d’apparition de cavitation.

Si la cavitaion apparaˆıt, on injecte des bulles d’air en petite quantit´e dans le fluide. Ces bulles compressibles servent d’amortisseurs et permettent l’´elimination de bruits et de vibrations.

Cavitation globale Lorsque la pompe n’est pas en charge ou en charge, il arrive qu’au point A d’entr´ee, p(A) = psat .

Dans ce cas, il y a cavitation globale ` a l’entr´ee de la pompe. Dans les deux cas, on entend un bruit 1 caract´eristique de cailloux roul´es .

Fig. 2.21 – Photo : National Research Council of Canada, Institute for Ocean Technology (NRC-IOT).

2.8

´ Etude dimensionnelle et similitude

L’´etude dimensionnelle permet d’avoir une repr´esentation sous forme adimensionnelle et de ` mettre en ´evidence les nombres sans dimensions `a respecter lors de l’examen de la similitude. A titre d’exemple, si on fait des essais sur une petite maquette et que l’on souhaite extrapoler les r´esultats pour le prototype, il faut que les nombres sans dimensions pertinents soient les mˆemes pour le prototype et la maquette.

Dans la configuration de la figure 2.22, on cherche la loi : gH = F (qv , N, D, ρ, µ, L1 , l2 , . . . , α1 ,α2 , . . .)

1. En TD de m´ecanique des fluides, on montre comment calculer la pression ` a l’entr´ee A d’une pompe.

(2.33)

´ 2.8 Etude dimensionnelle et similitude

39

T, (C) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

psat , (kpa) 0.611 1.227 2.337 4.242 7.375 12.34 19.92 31.16 47.35 70.11 101.33

Tab. 2.1 – Pression de vapeur saturante de l’eau.

H N

P

D qv Fig. 2.22 – Configuration pour l’´etude dimensionnelle.

On choisit des grandeurs fondamentales D, N , ρ (determinant non nul) et on construit le tableau suivant : L M T

D 1 0 0

N 0 0 -1

ρ -3 1 0

gH 2 0 -2

qv 3 0 -1

µ -1 1 -1

Li 1 0 0

αi 0 0 0

Exemple :

ΠLi =

Li α D N β ργ

   α − 3γ = 1 ⇒ −β = 0   γ = 0

⇒ α = 1, β = 0, γ = 0

et donc ΠLi = Li /D. Suivant la mˆeme m´ethode, on construit : – Le pouvoir manom´etrique : m = ΠgH =

gH N 2 D2

(2.34)

40

Chapitre 2 Pompes – Le pouvoir d´ebitant : δ = Πqv =

qv N D3

(2.35)

– Le nombre de Reynolds : 1 µ = Πµ = Re ρN D2

(2.36)

La relation 2.33 s’´ecrit, d’apr`es le th´eor`eme de Vashy-Buckingham : m = F (δ, Li /D, αi )

(2.37)

car en g´en´eral, les ´ecoulements sont suffisamment rapides pour que 1/Re → 0. Ainsi, pour des machines g´eom´etriquement semblables, si δ1 = δ2 , alors m1 = m2 . On appelle donc m et δ les invariants de Rateau. Par cons´equent, une seule caract´eristique m = f (δ) suffit `a d´eterminer les caract´eristiques r´eelles de toutes les machines g´eom´etriquement semblables.

Si on s’int´eresse ` a la puissance P de deux machines 1 et 2, on a : P1 ρ1 q1 (gH1 ) P1 /(ρ1 N13 D15 ) δ1 m1 = ⇒ = P2 ρ2 q2 (gH2 ) δ2 m2 P2 /(ρ2 N23 D25 )

(2.38)

Or si δ1 = δ2 ⇒ m1 = m2 , donc P/(ρN 3 D5 ) est aussi un invariant. De mˆeme pour le couple P = Cω ∝ CN , C/(ρN 2 D5 ) est un invariant. On remarque que le rendement η est aussi un invariant.

En pratique, on a un effet d’´echelles (figure 2.23). η

m

D1

D1 D2

D2

δ

δ

Fig. 2.23 – D1 > D2 .

2.9

NPSH (Net positive Suction Head)

Cette notion permet de mieux dimensionner la hauteur d’aspiration qui est d’une grande importance quand : – Le liquide est volatile o` u` a temp´erature ´elev´ee.

– Le liquide est stock´e sous vide.

Un bon fonctionnement de la pompe est caract´eris´e par le NPSH qui sert `a d´efinir la pression n´ecessaire `a l’entr´ee de la roue pour avoir en tout point du fluide (y compris `a l’int´erieur de la pompe) une pression sup´erieure ` a la pression de vapeur saturante psat de fa¸con `a ´eviter la cavitation.

2.9 NPSH (Net positive Suction Head)

41

Cette quantit´e est donn´ee par le constructeur sous l’appelation NPSH requis. Elle tient compte de la chute de pression que subit le fluide lors de son acc´el´eration `a l’entr´ee de la roue. ∆p >0 f

u

uE

E

p

pE

Fig. 2.24 – u > uE donc p < pE .

Le NPSH requis est le suppl´ement minimal de pression qu’il faut ajouter `a psat au niveau de l’entr´ee de la pompe pour avoir p(M ) > psat , ∀M `a l’int´erieur de la pompe. En conclusion, la pompe fonctionne correctement si : ptE ≥ psat + N P SHrequis

(2.39)

N P SHrequis ≤ ptE − psat

(2.40)

qui peut s’´ecrire aussi : o` u N P SHrequis est donn´e par le constructeur et ptE −psat est le N P SH disponible, calcul´e `a partir de l’installation.

Exemple de calcul de NPSH disponible

A E

h2 h1

z A

E

On a :

1 1 2 2 pA + ρgzA + αA ρvA = pE + ρgzE + αE ρvE − ∆pconduite 2 2 Le plus souvent vA vE , donc : 1 2 ptE = pE + αE ρvE = pA + ρg(zA − zE ) − ∆pconduite 2

(2.41)

Comme N P SHdisp = ptE −psat et si on divise l’´equation 2.41 par ρg pour obtenir une expression qui fait intervenir les charges, on obtient : N P SHdisp (m) = HA − hsat + zA − zE − ∆Hconduite

(2.42)

42

Chapitre 2 Pompes

o` u HA = pA /ρg et hsat = psat /ρg. ∆Hconduite repr´esente les pertes de charge dans la conduite.

Si pA = patm , alors au niveau de la mer, HA = 10.33 m et `a 1500 m, HA = 8.6 m. hsat est fonction de la temp´erature.

Si le NPSH disponible est insuffisant, on peut : – Diminuer la temp´erature pour abaisser hsat.

– Diminuer les pertes de charge ∆Hconduite en augmentant la section des tuyaux et en ouvrant les vannes.

– Augmenter h1 = zA − zE .

– Diminuer h2 = |zA − zE |.

– Diminuer la vitesse de rotation de la pompe.

2.10

TD : Pompes

2.10.1

R´ epartion de pompes sur un ol´ eoduc

Une conduite cylindrique horizontale de diam`etre d = 0.5 m et de rugosit´e moyenne e = 0.2 mm, transporte une huile lourde de viscosit´e dynamique µ = 0.35 Pa.s et de masse volumique ρ = 920 kg/m3 . La circulation de l’huile dans lol´eoduc est assur´ee par des pompes plac´ees tous les 14 km sur la conduite :

1. En supposant l’´ecoulement d’huile laminaire dans la conduite, donner l’expression de la perte de charge par unit´e de longueur ∆H/L en fonction du d´ebit volumique qv (dans cette expression, les autres param`etres auront ´et´e remplac´es par leur valeur num´erique).

2. On utilise des pompes du type n°1 (caract´eristiques jointes). D´eterminer le d´ebit d’huile dans l’ol´eoduc et v´erifier l’hypoth`ese faite en 1.

3. On remplace les pompes pr´ec´edentes par des pompes de type n°2 (caract´eristiques jointes) en conservant le mˆeme d´ebit. Quelle devra ˆetre la nouvelle distance entre deux pompes successives ?

4. Sans tenir compte de l’investissement, quelle est la solution la plus ´economique en fonctionnement ?

2.10 TD : Pompes

2.10.2

43

Choix d’une pompe par similitude

Une pompe de diam`etre D = 0.25 m tournant `a 1450 tr/min a les caract´eristiques suivantes :

On dispose de pompes g´eom´etriquement semblables de diam`etres 0.3 m, 0.25 m, 0.22 m et 0.19 m pouvant tourner ` a 1750, 1450 et 1150 tr/min.

1. Quel diam`etre et quelle vitesse de rotation doit-on choisir pour obtenir un d´ebit de 0.0523 m3 /s et une hauteur nette de 15.4 m ?

44

Chapitre 2 Pompes 2. Calculer la puissance absorb´ee (ou puissance utile Pi ) par la pompe choisie au point de fonctionnement de la question 1.

(—) Hn et (− −) η. Pompe D = 0.25 m, N = 1450 tr/min.

2.10.3

´ Etude d’une pompe centrifuge

Une pompe centrifuge d´ebite 24 litres d’eau par seconde sous une hauteur nette Hn = 27 m avec un rendement manom´etrique η = 75%.

On admet que la perte de charge interne totale ∆Hi vaut 5 fois l’´energie cin´etique de l’eau dans son mouvement relatif ` a la sortie de la roue (vitesse relative W2 ). L’eau entre radialement dans la roue. Le diam`etre ext´erieur de la roue est D2 = 0.20 m et la section utile `a la sortie S2 = 0.2D22 .

1. Calculer les valeurs num´eriques de la vitesse relative W2 et de la vitesse d´ebitante V2d `a la sortie de la roue. ~ 2, W ~ 2 ).

2. Tracer le triangle des vitesses ` a la sortie et calculer l’angle de sortie β2 = (U ` partir de la relation d’Euler, calculer la valeur num´erique de la vitesse d’entrainement U2 3. A et en d´eduire la vitesse de rotation N de la roue.

2.10.4

´ Etude d’une pompe multicellulaire

Une pompe multicellulaire est constitu´ee par 8 roues de diam`etres ext´erieur et int´erieur D2 = 40 cm et D1 = 20 cm. Ces roues sont dispos´ees en s´erie et tournent `a 3000 tr/min.

2.10 TD : Pompes

45

1. Vide d’eau, ` a quelle hauteur cette pompe peut-elle aspirer l’eau dans la conduite d’aspiration (on admettra qu’` a d´ebit nul, le rendement manom´etrique est de 50%).

2. Le diffuseur est trac´e pour annuler les pertes par choc (point d’adaptation) lorsque les vitesses relatives et absolues sont ´egales en module `a la sortie de la roue (V2 = W2 ). Dans ce cas, le rendement manom´etrique vaut 90% et l’entr´ee dans la roue s’effectue radialement. Calculer la hauteur nette au point d’adaptation.

3. L’angle r´eel de sortie de l’eau des aubes est β2 = 150° et la largeur des roues `a la sortie vaut 2 cm, la section des aubes occupe 10% de la section de sortie. Calculer le d´ebit et la puissance de la pompe au point de fonctionnement pr´ec´edent ainsi qu’au point de fonctionnement correspondant ` a une hauteur manom´etrique nulle.

4. Tracer la courbe de rendement manom´etrique de la pompe. En d´eduire le rendement maximal.

Calculer la vitesse sp´ecifique de chaque roue au point o` u le rendement est maximal.

2.10.5

Exemple d’utilisation du NPSH (R. Jouli´ e, M´ ecanique des fluides appliqu´ ee)

Pour irriguer des jardins on utilise l’eau d’un canal dont le niveau se trouve `a 2 m en dessous de l’axe horizontal de la pompe, qui doit d´ebiter 170 m3 /h d’eau. Dans ces conditions, le NPSH requis est de 6.5 mCE. Entre le canal et la pompe on doit installer une canalisation de 80 m de long en tube bitum´e de rugosit´e 0.5 mm, comprenant un coude `a 90° de coefficient de perte de charge k1 = 0.26, une cr´epine - filtre plac´e ` a l’extr´emit´e de la conduite, donc immerg´e dans le canal -, et un clapet de pied - pour maintenir la conduite et la pompe pleines d’eau (question d’amor¸cage) dont le coefficient global de perte de charge est k2 = 0.9. Le NPSH disponible impose le choix du diam`etre de conduite, sachant bien que le prix d´epend de cette dimension. D´eterminer le diam`etre minimal - donc le moins coˆ uteux - ` a donner `a cette conduite, parmi les valeurs commerciales : 100, 125, 150, 200, 300 (mm). La temp´erature de l’eau ne d´epassant pas 20°C dans le canal, on prendra pour pression de vapeur saturante 2338 Pa, pour masse volumique 998 kg/m3 et pour viscosit´e cin´ematique 10−6 m2 /s. Pour le coefficient de perte de charge lin´eaire le long de la conduite, utiliser l’abaque (2.25).

46

Chapitre 2 Pompes

Fig. 2.25 â&#x20AC;&#x201C; Coefficient de perte de charge Îť(Re, ).

Chapitre 3

Turbines hydrauliques 3.1

G´ en´ eralit´ es

Les turbines sont ` a l’inverse des pompes des machines `a fluides capables d’en extraire de l’´energie. Le fluide c`ede donc de l’´energie dont une partie sera r´ecup´er´ee sur l’arbre de la turbine sous forme d’´energie m´ecanique : P = Cω. Du point de vue du fluide, la puissance m´ecanique Pm est n´egative. En changeant le signe de Pm , on obtient une quantit´e positive Pi appel´ee puissance interne ou puissance indiqu´ee : Pi = ρqv (u1 .v1 − u2 .v2 )

(3.1)

en utilisant les mˆemes notations que dans le chapitre pompes.

En g´en´eral, on classe les turbines en deux cat´egories.

3.1.1

Les turbines ` a action

La diminution de la charge est due exclusivement `a la perte d’´energie cin´etique :

∆H = ∆

v2 2g

, or H '

v2 p + ⇒ ∆p = 0 2g ρg

(3.2)

On d´efinit alors le degr´e de r´eaction par : r=

p2 − p1 p2 − p1 ou ρgH ρN 2 D2

(3.3)

et ici r = 0. Toute l’´energie cin´etique du fluide est disponible dans un ou plusieurs jets et le passage est tangentiel.

3.1.2

Les turbines ` a r´ eaction

Dans ce cas, r 6= 0, l’´energie hydraulique transmise se pr´esente sous forme d’´energie cin´etique et d’´energie de pression. Le transfert d’´energie de pression n´ecessite une grande surface de contact entre le fluide et la roue. C’est pourquoi le rotor et les aubes sont noy´es dans le fluide.

48

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

3.2

Bilan d’´ energie

HG

Hp

– HG : hauteur de g´en´eratrice.

– Hp : hauteur de perte (perte de charge r´eguli`ere et singuli`ere).

– Hr : hauteur r´esiduelle `a la sortie de la turbine, le fluide dispose d’une ´energie ρgqv Hr qui n’est pas r´ecup´er´ee sur l’arbre de la turbine.

Hr

On appelle la hauteur nette : Hn = HG − Hp − Hr

(3.4)

Toute cette ´energie (Hn ) ne sera pas int´egralement transf´er´ee au rotor. En effet, en traversant les organes fixes et mobiles, le fluide perd de l’´energie par frottement et par choc. On d´esigne ces pertes par perte de charge interne ∆Hi . Seule l’´energie restante (hauteur interne) est transf´er´ee au rotor : Hi = Hn − ∆Hi

(3.5)

Ci ω = ρgqv Hi

(3.6)

L’´energie disponible au rotor est : o` u Ci d´esigne le couple interne. Sa puissance m´ecanique disponible en bout d’arbre est : Cω = Ci ω − Pf

(3.7)

o` u Pf est la puissance dissip´ee par frottement au niveau des paliers.

Hp Hr ∆H i P /(ρgq ) f v

HG Hn

hydraulique

Hi

C ω/(ρgq ) i v

Cω/(ρgq ) v

mecanique

Fig. 3.1 – Diagramme de transfert d’´energie pour une turbine.

Le bilan d’´energie est illustr´e par le diagramme 3.1. Ce diagramme d´efinit plusieurs rendements :

3.3 Turbine ` a action

49

– Le rendement interne (ou manom´etrique) : ηi = Hi /Hn . Ce dernier rend compte des pertes hydrauliques.

– Le rendement m´ecanique : ηm = Cω/Pi = C/Ci . Ce rendement rend compte des frottements m´ecaniques.

– Le rendement total : η = Cω/ρgqv HG . Ce rendement rend compte de la dissipation et de l’utilisation faite de l’´energie hydraulique disponible.

Le fonctionnement nominal est en g´en´eral choisi lorsque le rendement total est maximum, c’est-`a-dire quand Hp + Hr + ∆Hi est minimum.

3.3

Turbine ` a action

Dans cette cat´egorie, un jet libre impacte sur des augets ou des aubes profil´ees, fix´ees sur la p´eriph´erie de la roue mobile. Ces jets exercent une force sur les augets en mouvement de rotation qui est transform´ee en couple et puissance m´ecanique sur l’axe de la turbine.

Les turbines ` a action sont caract´eris´ees par le fait que l’´energie transform´ee au niveau des aubages est enti`erement sous forme d’´energie cin´etique. Le transfert d’´energie entre l’eau et l’aubage a lieu `a pression constante, g´en´eralement `a la pression atmosph´erique. La roue de la turbine est d´enoy´ee ou partiellement d´enoy´ee (cross-flow) et tourne dans l’air.

Dans cette cat´egorie, on trouve la turbine Pelton, la turbine Crossflow (Banki-Mitchell), la roulette de dentiste (dental drill), etc ...

3.3.1

La turbine Pelton

Elle travaille ` a d´ebit relativement faible sous une hauteur de chute ´elev´ee (300 m `a 1200 m, voire davantage) avec une grande vitesse de rotation.

Sch´ ema de principe

HG

ω

deflecteur alimentation roue v

auget

jet aiguille Fig. 3.2 – Turbine Pelton

Le jet exerce une force F sur l’auget qui conduit `a un couple moteur qui fait tourner la roue de la turbine. L’injecteur est reli´e au r´eservoir (HG ) amont par une conduite forc´ee.

L’aiguille coulisse dans la partie convergente de l’injecteur soit par une commande manuelle soit par un servo-moteur. Le d´eplacement de l’aiguille fait varier la section de sortie et par cons´equent le d´ebit qv = vS (v vitesse du jet et S section du jet). En effet, on a :

50

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

v2 = HG − ∆Htuyaux − ∆Hinjecteur 2g p Comme HG est tr`es grand et que le tuyau est long, v ' 2g(HG − ∆Htuyaux ).

Quand on veut arrˆeter rapidement la turbine Pelton, on ne ferme jamais brusquement la vanne amont ou l’injecteur en raison des coups de belier qui pourraient endommager la conduite d’amen´ee, mais, on d´evie le jet grˆ ace ` a un d´eflecteur. Ensuite, on ferme lentement l’injecteur. Le d´eflecteur doit ˆetre fix´e solidement pour r´esister aux efforts souvent ´enormes exerc´es par le jet.

Exercice : Calculer F en fonction de v et S.

F

S v

La roue est ` a passage tangentiel et le transfert se fait `a la p´eriph´erie de la roue dans des augets en nombre et forme calcul´es. Le jet frappe des augets de forme coquille sym´etrique. L’angle d’entr´ee β1 doit ˆetre faible ce qui conduit ` a construire une arˆete d’entr´ee tr`es affut´ee, dont l’usure constitue le probl`eme principal.

L’angle de sortie β20 = π − β2 doit ˆetre ´egalement faible. Cependant, un retour complet (β20 = 0) de jet provoque un ph´enom`ene de talonnage qui diminue le rendement. Le talonnage est du ` a l’impact du jet sortant sur l’extrados de l’auget suivant. w2 β’ 2

u

β v1

1

u

Fig. 3.3 – Coupe de l’auget d’une turbine Pelton.

Le nombre de tours sp´ecifique Ns est d´efini par :

3.3 Turbine ` a action

51

Ns =

N P 1/2 ρ1/2 (gHG )5/4

(3.8)

Pour les turbines Pelton, Ns = 0.0025 → 0.08. Le meilleur rendement est obtenu pour environ Ns ' 0.08. Attention : ces valeurs sont donn´ ees avec N en tr/min et P en chevaux. Si la vitesse sp´ecifique est calcul´ee avec d’autres unit´es, les valeurs num´eriques donn´ees ici doivent ˆetre converties.

Il est aussi important de d´efinir le rapport 2R/d entre le rayon de la roue R et le diam`etre du jet d. Pour que le rendement soit convenable, il faut que 9 < 2R/d < 30 avec une valeur optimale de 12. On peut montrer que Ns ' 0.2d/2R. Si la roue est munie de plusieurs jets n, sa puissance totale est n fois plus grande et son nombre √ de tours sp´ecifique Ns , n fois plus grand. n peut atteindre 6, mais en pratique, les turbines Pelton poss`edent 2 `a 4 jets.

52

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

3.3 Turbine ` a action

53

54

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

Caract´ eristique de la turbine Pelton L’´ecoulement dans l’auget peut se sch´ematiser comme sur la figure 3.3. On en d´eduit le triangle des vitesses. w2 v1 u1

β

2

w1

v2 u2

` l’entr´ee, β1 = 0 et ` A a la sortie β2 ' π si β20 ' 0. On a alors, u1 ' u2 et |u1 | ' |u2 | = Rω = u.

La puissance interne est donn´ee par : Pi = ρqv (u1 .v1 − u2 .v2 )

(3.9)

Pi = ρqv [uv − u2 .(u2 + w2 )] = ρqv uv − u2 − u2 w2 cos(β2 )

(3.10)

et donc

La charge relative entre 1 et 2 se conserve : w2 − u21 p2 w2 − u22 p1 + 1 = + 2 ρg 2g ρg 2g

(3.11)

Si le degr´e de r´eaction r = 0, alors p1 = p2 ' patm et u1 = u2 donc w1 = w2 = v − u et Pi = ρqv u(v − u)(1 − cos(β2 ))

(3.12)

Cela montre que le meilleur transfert a lieu pour β20 = 0. Mais dans ce cas, on a le ph´enom`ene de talonnage. En g´en´eral, on construit les augets avec β20 ∼ 4 `a 7. √ Si on suppose que v est fix´ee (' ρgHn ), qv est fix´e (ouverture de l’injecteur fix´e), u ´etant proportionnel ` a N , alors : Pi = Aρqv N (Nmax − N )

(3.13)

o` u A = (2πR)2 (1−cos(β2 )) et Nmax = v/(2πR). Nmax correspond `a la vitesse de rotation th´eorique d’emballement. Dans ce cas, v = u, ce qui signifie que l’auget va `a la mˆeme vitesse que le jet. Il n’y a donc pas de transfert d’´energie. On en d´eduit les caract´eristiques des turbines Pelton.

Pi

Ci

qv qv

Nmax N

Fig. 3.4 – Caract´erisques de turbines Pelton.

Nmax

N

3.3 Turbine ` a action

55

On note que Pi = Ci ω et donc Ci = A0 ρqv (Nmax − N ). De plus, si v est fix´e, alors Nmax l’est aussi. Le rendement interne ηi = Hi /Hn est proportionnel `a Pi . Le rendement maximal a donc lieu pour u ' v/2 et ηi ∼ 1. qv est fix´e par l’ouverture de l’injecteur et par la hauteur g´en´eratrice. Le d´ebit est donc ind´ependant de N .

η i

qv qv3 qv2 qv1

Nmax/2

Nmax

N

N

Remarque 1 : On remarque que le couple est maximum au d´emarrage et que la vitesse d’emballement reste finie (v). Elle est fix´ee par la hauteur g´en´eratrice HG aux pertes de charge pr`es.

Remarque 2 : En raison du frottement du fluide sur les parois de l’auget qui conduit `a une perte de charge interne et ` a w2 < w1 , on trouve que ηmax est obtenu pour u/v l´eg`erement inf´erieur `a 1/2.

Remarque 3 : Dans les grosses turbines Pelton dont la roue peut atteindre plusieurs m`etres de diam`etre, la puissance maximale r´eellement obtenue d´epasse les 90% de la valeur th´eorique (1/2)ρqv v 2 et on r´ealise des machines qui fournissent 40000 chevaux par roue soit 29.44 M W .

Remarque 4 : La hauteur de chute varie entre 40 m et plus de 1000 m. Cela entraine des vitesses de rotation ´elev´ees.

3.3.2

Turbine Crossflow

Cette turbine est aussi appel´ee turbine `a flux traversant et turbine de Banki-Mitchell. C’est une machine `a action o` u l’eau traverse deux fois la roue. C’est une machine de construction simple et son utilisation est tr`es r´epandue dans les pays en voie de d´eveloppement. Le sch´ema de principe est donn´e sur la figure 3.5.

Elle est constitu´ee de : – Un injecteur de section rectangulaire (largeur l) ´equip´e d’une vanne papillon pour r´egler le d´ebit qv .

– Une roue (diam`etre D) en forme de tambour munie d’aubes cylindriques profil´ees qui sont relativement ´elastiques et qui sont source de bruit `a cause des chocs p´eriodiques de l’eau sur les aubes. La roue est autonettoyante parce que l’eau la traverse deux fois.

– N est g´en´eralement faible ce qui n´ecessite un multiplicateur `a engrenage ou `a courroie pour le couplage au g´en´erateur.

56

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

Fig. 3.5 – Turbine cross-flow

– L’injecteur et la roue sont souvent divis´es en 2 secteurs de largeur 1/3 et 2/3 qui peuvent ˆetre mis en fonctionnement s´epar´ement ou ensemble. Avec ce syst`eme, il est possible d’obtenir un rendement satisfaisant (ηmax = 80% `a 83%) sur toute la plage de d´ebits (figure 3.3.2).

On donne quelques formules empiriques.

– Pour le d´ebit : qv = 0.25α

lD p 2gHn 2

(3.14)

3.3 Turbine ` a action

57

√ α est en radian, π/2 ≤ α ≤ 2π/3 donc lD = 1.13 `a 0.75qv / Hn .

– La vitesse de rotation : p 2 ω = 0.45 2gHn D

– – – –

3.3.3

(3.15)

√ d’o` u D = 38 Hn /N , l = 0.02 . . . 0.03qv N/Hn . N est en tr/min. l/D = 0.3 . . . 4.

La vitesse d’emballement est ´egale ` a 1.8 fois la vitesse nominale (∼ Pelton).

La fr´equence principale de vibration est f = nombred0 aubes × (N/60).

Il y a entre 24 et 32 aubes.

Non-Pelton wheel impulse turbine (Dental drill)

Ce type de turbine ` a action est couramment utilis´e avec des gaz. Son principe de fontionnement est donn´e sur la figure 3.6.

Fig. 3.6 – Images tir´ees de Fundamentals of Fluid Mechanics (5eme ´edition), Munson Young Okicshi, Ed. John Whiley & Son (2006).

58

3.4 3.4.1

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

Turbines ` a r´ eaction Organes communs

Pour ce type de turbines, on utilise a` la fois l’´energie cin´etique et l’´energie de pression. Cette derni`ere n´ecessite pour le transfert une grande surface de contact entre le fluide et la roue. C’est pourquoi les aubes sont noy´ees. Deux principes sont `a la base de leur fonctionnement.

– La cr´eation d’un tourbillon ` a l’aide d’une bache spirale d’aubages directeurs (directrices) ou des deux ` a la fois.

– La r´ecup´eration du mouvement tourbillonnaire par les aubes d’une roue mobile en rotation qui ´epousent les filets d’eau afin de leur donner une direction parall`ele `a l’axe de rotation.

Les aubages se comportent comme une aile d’avion. La portance qui en r´esulte induit un couple sur l’arbre de la turbine et fait avancer l’aube `a une vitesse d’entrainement u. portance i

u w

Dans cette cat´egorie de turbines, on distingue : – La turbine Francis.

– La turbine H´elice.

– La turbine Kaplan (h´elice ` a pales orientables mˆeme pendant le fonctionnement).

Le syst`eme d’alimentation est presque le mˆeme pour les trois types de turbines. Il est constitu´e d’une bache spirale et d’un distributeur actionn´e par un cercle de vannage. La bache spirale est raccord´ee `a la conduite amont et elle est en g´en´eral sous la forme de colima¸con.

3.4 Turbines ` a r´ eaction

59

Fig. 3.7 – Bache spirale du lac Hodges (Canada) et sch´ema de la turbine Francis de la centrale de Martigny-Bourg (Suisse).

60

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

Le distributeur sert ` a r´egler le d´ebit. Il est constitu´e par une s´erie de directrices profil´ees toutes solidaires les unes des autres et actionn´ees par le cercle de vannage. Ces distributeurs servent ´egalement `a fixer l’angle d’entr´ee. Le principe de fonctionnement est illustr´e par la figure 3.8.

3.4 Turbines ` a r´ eaction

61

Fig. 3.8 – Roue de turbine Francis. Cercle de vannage, distributeurs ferm´es et ouverts et vue sch´ematique d’une turbine ` a r´eaction de type Francis.

Les turbines Kaplan ont un nombre de pales compris entre 3 et 8. Les pales sont orientables.

La m´ecanique de commande des pales oblige, lorsque le nombre de pales devient important (6–8)

62

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

`a augmenter le rapport du diam`etre moyen au diam`etre D de la roue.

Nombre de pales 3 4 5 6 7` a8

chute (m) 2–3 3–15 15–20 20–25 ≥ 30

Dm /D 0.38 0.40 0.45 0.50 0.60

Fig. 3.9 – Roue de turbine Kaplan.

` la sortie de la turbine ` A a r´eaction, l’eau poss`ede toujours une certaine ´energie cin´etique qu’on peut r´ecup´erer en partie grˆ ace ` a un diffuseur qui est constitu´e d’une canalisation ´evas´ee conduisant l’eau vers le canal (ou lac) de fuite.

Fig. 3.10 – Diffuseur.

3.4 Turbines ` a r´ eaction

63

64

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

3.4.2

Triangle des vitesses

Turbine Francis

Turbine ` a h´ elice

3.4.3

Caract´ eristiques g´ en´ erales

Ce sont les mˆemes calculs que pour les pompes.

Hn = Hth + ∆Hchoc + ∆Hf

et η =

Hth Hn

(3.16)

3.4 Turbines ` a r´ eaction

65

Hth

∆ Hchoc ∆ Hf

η

H

Hn

0

qv

0

qv

Fig. 3.11 – N et ouverture fix´es.

Exemple de courbes caract´eristiques `a N fix´e et ouverture de vannage variable.

66

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

Caract´eristique ` a charge constante et N variable.

3.4 Turbines ` a r´ eaction

Caract´eristique ` a charge constante, N et ouverture variables.

67

68

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

5/4

Exemples de caract´eristiques. ns = nP 1/2 /Hn

avec n en tr/min, P en chevaux et Hn en m`etre.

3.4 Turbines ` a r´ eaction

69

Diagramme de s´election d’une turbine.

3.4.4

Diffuseur

Le diffuseur (figure 3.10) sert ` a r´ecup´erer de l’´energie cin´etique `a la sortie de la turbine.

70

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

1

2 zT 4

turbine

3 diffuseur

L’axe de la turbine est situ´e ` a zT positif ou n´egatif. Si on sort directement `a l’atmosph`ere p2 = patm et zT = 0. Il reste une charge r´esiduelle Hres = v22 /2g. On a P ∝ H1 − H2 avec H1 donn´e. On obtient donc une puissance maximum pour H2 minimum. S’il n’y a pas de diffuseur, H2 = et avec diffusueur : H2 =

patm v2 + zT + 2 ρg 2g

(3.17)

p2 v02 + zT + 2 ρg 2g

(3.18)

avec v20 ∼ v2 . On a donc int´erˆet ` a avoir p2 le plus faible possible, mais tel que p2 ≥ psat pour ´eviter la cavitation. Pour zT donn´e, la hauteur r´esiduelle est mesur´ee par Hr = (patm − p2 )/ρg.

On peut ´egalement diminuer la cote zT (n´egatif) en pla¸cant la turbine sous le niveau du lac de fuite. Dans ce cas :

H2 = H3 + ∆Hreg + ∆Hsing v2 H3 = H4 + 3 2g patm H4 = ρg

(3.19) (3.20) (3.21)

avec ∆Hreg les pertes de charge r´eguli`eres dans le diffuseur et ∆Hsing les pertes de charge singuli`eres ´eventuelles. Ainsi, H2 =

patm v2 + ∆Hreg + ∆Hsing + 3 ρg 2g

(3.22)

et finalement : p2 patm v 2 − v22 = − zT + ∆Hreg + ∆Hsing + 3 ρg ρg 2g

(3.23)

zT ´etant fix´e, v2 l’´etant aussi par le d´ebit, pour avoir p2 le plus faible possible il faut minimiser ∆Hreg + ∆Hsing + v32 /2g. Ainsi, un bon diffuseur doit avoir : – Un ´elargissement important pour que v3 → 0.

– Une perte de charge ∆Hreg faible. ´ Evidemment, ces crit`eres sont contraints par le g´enie civil.

L’importance du diffuseur se chiffre par le coefficient K=

(patm − p2 )/ρg Hr = Hn Hn

(3.24)

3.4 Turbines ` a r´ eaction

71

En utilisant l’´equation 3.23, on obtient :

∆Hreg + ∆Hsing zT 1 v32 − v22 K= − + Hn Hn Hn 2g

(3.25)

Pour une sortie ` a l’air libre, zT = 0, ∆H = 0 et v3 = 0, K ' v22 /(2gHn ). On donne enfin quelques ordres de grandeur : – Pour les turbines Francis lentes, K ∼ 10%.

– Pour les turbines Kaplan tr`es rapides, K ∼ 60%.

3.4.5

Cavitation

La cavitation peut se produire sur les aubes de la turbine, ou `a la sortie de la turbine.

Cavitation sur les aubes L’´ecoulement sur une aube dans le rep`ere relatif est analogue `a un ´ecoulement sur une aile d’avion : d´epression sur l’extrados, surpression sur l’intrados. La r´esultante de ces forces conduit `a une force de portance qui fait tourner la roue. Ceci peut ˆetre sch´ematis´e par la figure 3.12. portance p sat -

i

u

A B C

w

+ +

Fig. 3.12 – Sur la zone AB, p < psat , formation des bulles de vapeur et zone BC, p > psat , implosion des bulles de vapeur.

Fig. 3.13 – D´egats par cavitation sur les aubes d’une turbine Francis.

Cavitation ` a la sortie de la turbine (torche ` a vapeur) ` la sortie de la turbine, un tourbillon se forme. Ce dernier ne disparait compl`etement qu’au A point de fonctionnement nominal (v1 axial). Pour des d´ebits inf´erieurs, entre 40% et 60% du d´ebit

72

Chapitre 3 Turbines hydrauliques

nominal, le tourbillon de sortie devient tr`es intense et conduit `a des instabilit´es. L’´ecoulement dans le tourbillon est presque du type vortex libre : u ∼ A/r ⇒ p & quand r → 0.

La pression atteint p = psat et les bulles de vapeur apparaissent sous forme de torche (figure 3.14).

Fig. 3.14 – Torche de cavitation.

Plus loin, les bulles implosent violemment. Il s’en suit des chocs (coup de belier) qui peuvent mettre en danger l’installation. Pour y rem´edier, on injecte des bulles d’air (par A sur la figure 3.14) qui permettent d’amortir les chocs. Mais cela entraˆıne une baisse de rendement de 1% `a 2%.

3.4.6

Limite de la hauteur d’aspiration

La hauteur d’aspiration Hs d’une turbine `a r´eaction est d´efinie par :

Hs

Hs>0

Hs

Hs<0

Si on raisonne en hydrostatique (en n´egligeant les pertes de charge et les termes v 2 /2g), la hauteur d’aspiration th´eoriquement possible est Hsth = Ha − Hv avec Ha = patm /ρg et Hv = psat /ρg. Les d´epressions sur l’aubage font que la pression de vapeur saturante est atteinte pour

3.5 TD : Turbines

73

Hs < Hsth . Pour tenir compte de ceci, on utilise en pratique un coefficient σ, le coefficient de Thoma. On a alors : Hs = Hsth − σHn

(3.26)

au-del`a duquel apparaˆıt une cavitation capable d’endommager la roue. Le coefficient σ est d´etermin´e exp´erimentalement (voir figure 3.15).

1/2

3/4

Fig. 3.15 – Coefficient de cavitation. nq = nqv /Hn

avec n en tr/min, qv en m3 /s et Hn en m.

Remarque : – Ha d´epend de l’altitude. Au niveau de la mer Ha = 10.33 m et `a 1500 m, Ha = 8 m.

– Hv d´epend de la temp´erature.

3.5

TD : Turbines

3.5.1

Turbine Pelton

On dispose d’un jet de diam`etre d = 3 cm et de vitesse v = 45 m/s.

1. Calculer la hauteur g´en´eratrice HG .

74

Chapitre 3 Turbines hydrauliques 2. Calculer le diam`etre de la roue D. 3. Calculer la vitesse de rotation d’emballement Nmax et la vitesse de rotation optimale Nopt .

4. Donner la taille de l’auget.

5. Calculer la puissance maximale Pmax .

6. La roue tourne ` a N = 600 tr/min, calculer la hauteur r´esiduelle Hr .

7. La roue tourne ` a N = 1193 tr/min, calculer la hauteur r´esiduelle Hr .

8. Calculer l’effort sur le d´eflecteur.

45o

F

d v

3.5.2

Dental drill

La turbine Pelton ` a air comprim´e entrainant la roulette de dentiste est sch´ematis´ee sur la figure 3.16 ci-dessous.

Fig. 3.16 – Dental drill.

La vitesse de rotation est N = 300000 tr/min. On estime le diam`etre du jet `a d = 1 mm (justifier cette valeur).

1. Calculer la vitesse moyenne u.

3.5 TD : Turbines

75

2. On souhaite qu’il n’ait pas de choc ` a l’entr´ee et que la vitesse de sortie v2 soit axiale. Tracer dv) l’angle les triangles des vitesses. On d´esigne par β2 l’angle de sortie. On note α = (u, de sortie du jet. Calculer v = f (u,α). et en d´eduire la puissance Pi par jet (pour α petit).

Calculer le nombre de Mach M a.

3. On a 8 jets (justifier cette valeur). Quelle est la puissance totale Pit ?

4. Les buses de jet sont aliment´ees par un r´eservoir `a la pression p et `a la temp´erature T = 18C. Calculer la pression p en n´egligeant les pertes de charge et en faisant l’approximation fluide incompressible.

5. Estimer la temp´erature de sortie. Qu’en pensez-vous ?

3.5.3

Tourniquet hydraulique

Un tourniquet hydraulique est constitu´e par un r´eservoir cylindrique muni `a sa base de deux tuyaux horizontaux diam´etralement oppos´es de mˆeme longueur R. Ces bras sont termin´es par des orifices qui permettent aux jets de s’´echapper sous un angle θ par rapport `a la tangente de la trajectoire de l’extr´emit´e. Par r´eaction, le syst`eme est mis en rotation.

La hauteur du fluide dans le r´eservoir est maintenue constante `a une hauteur H. 1. Calculer la vitesse relative de sortie w de l’eau en fonction de H, de R et de la vitesse angulaire ω suppos´ee constante. Quel est le couple C appliqu´e au tourniquet ?

2. En admettant qu’il n’ait pas de frottement, quelle vitesse maximale ωm peut atteindre la machine ? Cette vitesse peut-elle augmenter ind´efiniment ?

3. Dans le cas g´en´eral, calculer le rendement ´energ´etique de la machine. Discuter suivant les valeurs de θ.

4. Application num´erique : R = 1 m, θ = 0 pour ω = 0 le tourniquet consomme 3 l/s d’eau et le couple appliqu´e est de 2 m.kgf . Quels seront le d´ebit qv , le couple C, la puissance P et le rendement η, si la vitesse du tourniquet est de 120 tr/min. On prendra g = 10 m/s2 .

3.5.4

´ Etude d’une turbine Francis

Une turbine Francis tournant ` a N = 600 tr/min absorbe un d´ebit qv = 1 m3 /s. Les diam`etres d’entr´ee et de sortie sont de 1 m et 0.45 m. Les sections de passage corespondantes sont de 0.14 m2 et 0.09 m2 . L’angle α1 de sortie des directrices vaut 15 et l’angle de sortie de la roue est de 135.

Sachant que le rendement manom´etrique de cette turbine est ´egal `a 78%, calculer la hauteur de chute nette, ainsi que le couple et la puissance m´ecanique sur l’arbre (g = 9.81 m/s2 ).

3.5.5

Turbine aux ench` eres

Une turbine hydraulique neuve est mise en vente aux ench`eres. Le rendement est garanti ´egal ou sup´erieur `a 70% pour des puissances comprises entre 180 kW et 300 kW , ceci pour N = 300 tr/min et une chute d’eau de 5 m.

1. Quel est le type de cette turbine ?

2. Cette machine int´eresse un utilisateur qui ne dispose que d’une chute d’eau de 3 m. Quelles puissances pourra-t-il obtenir dans les mˆemes conditions de rendement et quelle sera la vitesse de rotation de la machine ?

76

Chapitre 3 Turbines hydrauliques 3. D´esirant obtenir au moins 150 kW , il envisage d’approfondir le bief aval de mani`ere `a porter la chute ` a 3.20 m. (a) En conservant le rendement de 70 %, quels seraient la vitesse de rotation, les puissances et les d´ebits correspondants qv1 et qv2 ? Le r´esultat d´esir´e peut-il ˆetre atteint ? (b) L’installation comporte un diffuseur dont la perte de charge est 0.3v02 /2g, v0 ´etant la vitesse moyenne dans la section d’entr´ee du diffuseur. La surface S0 d’entr´ee du diffuseur se trouve dans le mˆeme plan que la surface libre aval. Peut-on craindre la cavitation dans les conditions donn´ees par le tableau 2.1 (S0 = 1.05 m2 , altitude 0 m et temp´erature 20C) ?

4. La roue mobile est ` a passage axial et offre une section constante S0 . Un distributeur fixe la pr´ec`ede et lui envoie l’eau dans une direction ind´ependante du d´ebit et faisant un angle de 70 avec le plan de la roue ` a son diam`etre moyen Dm = 1.10 m. (a) Construire sur ce diam`etre les triangles des vitesses de part et d’autre du rotor dans les conditions d´efinies pr´ec´edemment. (b) En admettant que le rendement maximal soit atteint pour qv = (qv1 + qv2 )/2 et qu’il s’obtient lorsque la vitesse absolue de sortie est axiale, calculer ce rendement maximal.

On admettra dans les calculs que le rendement m´ecanique de la machine est ´egal `a 1.

Chapitre 4

Notions th´ eoriques sur les ´ eoliennes Nomenclature et relations usuelles R : rayon de la pale r : distance ` a l’axe d’une section de pale consid´er´ee l(r) : longueur de la corde de la section de pale situ´ee ` a la distance r de l’axe B : nombre de pales du rotor θ : angle de vrillage α : angle d’incidence ou d’attaque φ : angle d’inclinaison avec φ = θ + α V1 : vitesse du vent en amont de l’´eolienne V2 : vitesse du vent en aval de l’´eolienne V ’ : vitesse du vent traversant les pales

Rω V1

λ0 = λ =

rω V1

: vitesse sp´ecifique locale

F : force axiale exerc´ee par l’air sur les pales (pouss´ee) M : moment du couple moteur ω : vitesse de rotation du rotor Pelec : puissance ´electrique P = F.V ’ : puissance capt´ee par les pales Pu = M.ω : puissance m´ecanique P Cp = 0.5ρAV 3 : coefficient de puissance avec 1 A la surface balay´ee par le rotor

CM = ment

4.1

: vitesse sp´ecifique

M 0.5ρARV12

=

Cp λ0

: coefficient de mo-

Le vent

Le vent est d´efini par sa direction et sa vitesse. Ces deux grandeurs sont variables dans le temps (turbulence, variations saisonni`eres,...) et dans l'espace (topologie du terrain,...).

4.1.1

Variation de la vitesse du vent dans le temps

Les ph´ enom` enes instantan´ es : turbulence du vent La vitesse du vent et sa direction peuvent varier tr`es rapidement. En moins d'une seconde, l'intensit´e du vent peut doubler et sa direction changer de 20°. Lorsque les fluctuations en direction sont trop rapides, il est impossible pour une ´eolienne d'avoir son axe align´e en permanence dans la direction du vent, en raison de l'inertie de la machine. Il est donc important de tenir compte de ces variations qui sont les fluctuations les plus gˆenantes.

De plus, un vent ` a rafales imposera des contraintes qu'il faudra prendre en compte dans le calcul du support de l’´eolienne, la plupart des syst`emes de r´egulation ayant une inertie largement sup´erieure `a la dur´ee d'une rafale.

78

Chapitre 4 Notions th´ eoriques sur les ´ eoliennes

Plusieurs facteurs contribuent ` a d´eterminer les variations du vent : – le temps qu'il fait – la topographie du terrain – les obstacles.

Ces variations de la vitesse du vent font varier la production ´energ´etique de l'´eolienne bien que l'inertie du rotor compense, dans une certaine mesure, les variations les plus courtes. On a int´erˆet `a placer le rotor en dehors de toute zone turbulente et `a une hauteur suffisamment ´elev´ee pour que le gradient de vitesse dans le sens vertical ne soit pas trop important.

Les ph´ enom` enes journaliers Les vents subissent les fluctuations journali`eres dues `a des effets convectifs. La chaleur sp´ecifique du sol ´etant inf´erieure ` a celle de l'eau, la terre s'´echauffe plus rapidement que la mer sous l'effet du rayonnement solaire. Ainsi, on peut parler de : Brise de mer et brise de terre

Fig. 4.1 – Illustration de la brise de mer (A) et de la brise de terre (B).

En journ´ee, la terre se r´echauffe plus rapidement que la mer, ce qui provoque un soul`evement de l'air chaud qui s'´etend ensuite vers la mer. Ainsi, une d´epression se cr´ee pr`es de la surface de la terre, attirant l'air froid provenant de la mer, c'est la brise de mer (Figure 4.1.A). Le soir, le ph´enom`ene s'inverse, la terre se refroidissant plus vite que la mer c'est la brise de terre (Figure 4.1.B).

Les vents de montagne Les r´egions montagneuses donnent naissance `a beaucoup de ph´enom`enes climatologiques parmi eux la brise de vall´ ee. Le matin, les sommets sont r´ echauff´ es avant les vall´ ees. L'air commence alors `a s'´elever vers le sommet de la montagne, produisant ce que l'on appelle une brise montante. La nuit, le ph´enom`ene s'inverse et une brise descendante se produit. Les vents s'´ecoulant le long des versants des montagnes peuvent ˆetre tr`es violents.

4.1 Le vent

79

Les ph´ enom` enes saisonniers La vitesse et la direction du vent varient en fonction des zones de haute et de basse pression.

Ces aires anticycloniques et cycloniques sont li´ees `a la position du soleil par rapport `a l'´equateur, ainsi le vent subit une variation annuelle plus ou moins cyclique. En France, la vitesse du vent est plus importante en hiver que pendant les mois d'´et´e.

4.1.2

Les variations de vitesse de vent dans l'espace

La r´ epartition g´ eographique du vent au sol Le vent est plus fort sur les oc´eans que sur les continents. Cette disparit´e s'explique notamment par le relief et la v´eg´etation qui freinent le mouvement de l'air. Aussi, les zones g´en´eralement les plus favorables pour les sites ´eoliens sont situ´ees en bordure de cˆotes sur les continents.

De plus, certaines r´egions sont connues pour la r´egularit´e de leur vent : les aliz´es de part et d'autre de l'´equateur, les moussons en Asie du Sud-est,...

La vitesse du vent en fonction de l'altitude (Cisaillement) La vitesse du vent d´epend essentiellement de la nature du terrain au-dessus duquel se d´eplacent les masses d'air. En effet, la r´eduction du vent aupr`es du sol est due `a la friction exerc´ee par la v´eg´etation, les obstacles et les bˆ atiments. Les gradients de vitesse sont donc plus ou moins marqu´es en fonction de la topologie du terrain. Habituellement, la variation de la vitesse avec l'altitude est repr´esent´ee par la loi : V1 = V2

h1 h2

α (4.1)

V1 et V2 repr´esentent les vitesses de vent horizontal aux hauteurs respectives h1 et h2 . Cette loi est une loi statistique qui repose sur de nombreuses observations. G´en´eralement, h2 est voisin de 10 m (hauteur moyenne des an´emom`etres dans les stations m´et´eorologiques), α est un coefficient qui varie de 0,10 ` a 0,40.

Cette variation avec l'altitude peut ´egalement ˆetre repr´esent´ee par une loi logarithmique en introduisant la rugosit´e du terrain par le param`etre h0 : V1 = ln V2

h1 h0

/ln

h2 h0

(4.2)

La loi logarithmique donne les meilleurs r´esultats jusqu'`a 30 `a 50 m de hauteur au-dessus du sol mais au del`a de la couche limite, la premi`ere relation est la plus utilis´ee.

L'exposant α caract´erise le terrain comme dans le tableau ci-dessous : Nature du terrain Lisse, Plat : neige, glace, mer, herbes courtes Rugosit´e mod´er´ee, peu accident´e : champs et pˆaturages, cultures Rugueuse, Accident´e : bois, zones peu habit´ees Tr`es accident´e : villes, immeuble ´elev´es Avec α = 0.096lg h0 + 0.016(lg h0 )2 + 0.24.

In´egalit´e du sol h0 en m 0,001 – 0,02

Exposant α 0,10 - 0,11

0,02 – 0,3

0,15 - 0,30

0,3 - 2 2 - 10

0,20 - 0,27 0,27 - 0,4

80

Chapitre 4 Notions th´ eoriques sur les ´ eoliennes

Les sites les plus int´eressants pour la r´ecup´eration d'´energie ´eolienne sont les sites peu ou pas accident´es pour lesquels l'exposant α est faible. On b´en´eficie dans ce cas de vitesses du vent pr`es du sol ´elev´ees et la variation de la vitesse de vent avec l'altitude est faible (la vitesse de vent en haut et en bas de la machine sont sensiblement les mˆemes), ce qui `a pour cons´equence de diminuer les contraintes cycliques sur les pales du moteur ´eolien (d'autant plus important lorsque le diam`etre de l'h´elice est grand).

Influence du relief sur l'intensit´ e du vent L'intensit´e du vent est influenc´ee par le relief et tous les obstacles isol´es rencontr´es par le vent.

Le relief peut ˆetre ` a l'origine d'acc´el´eration locale du vent (passage de collines par ex.) mais aussi de zones de forte turbulence et de d´ecollement de couche limite (ph´enom`enes d´efavorables). La zone de turbulence cr´e´ee par un obstacle s'´etend sur une distance d'environ trois fois la hauteur de cet obstacle, cette turbulence est plus forte derri`ere l'obstacle que devant, on veillera donc ` a limiter la pr´esence d'obstacles aux abords d'une ´eolienne, en particulier dans la direction des vents dominants (devant l'´eolienne).

4.1.3

Etude statistique du vent

A la lumi`ere des informations pr´ec´edentes, on voit que plusieurs informations sont d´eterminantes dans l'´etude d'un site ´eolien : – vitesse moyenne du vent – direction moyenne du vent – la dur´ee des p´eriodes de vent sur l'ann´ee pour ´evaluer la production annuelle et les dur´ees de vent improductif.

On peut en premier ressort s'appuyer sur la rose des vents ´etablie par chaque station m´et´eorologique locale.

La direction d'o` u vient le vent est r´epartie ici sur 360° (figure 4.2). Ainsi, le Nord est par convention indiqu´e en haut du diagramme (360°), l'Ouest est `a 270°, le Sud `a 180° et l'Est `a 90°.

Au centre du diagramme, se trouve un cercle `a l’int´erieur duquel on peut lire 29.6. Ce nombre correspond au pourcentage de temps annuel pendant lequel la vitesse du vent a ´et´e inf´erieure ` a 1.5 m/s, toutes directions confondues. Ce temps est consid´er´e comme une p´eriode de calme.

Tout autour du cercle central, on retrouve une surface bleue. La longueur des traits contenus dans cette surface, est proportionnelle a` la dur´ee annuelle exprim´ee en pourcentage, pendant laquelle les vents de vitesses comprises entre 1.5 − 4.5 m/s, ont souffl´e dans la direction consid´er´ee, avec un ´ecart maximum de 10°. Le contour suivant est relatif aux vents de vitesses comprises entre 4.5 − 8 m/s et le dernier plus petit, de couleur orange, correspond aux vents de vitesse sup´erieure ` a 8 m/s. L’´echelle de pourcentage est port´ee sur la figure. A Nancy, la direction du vent dominante est Nord-est et Sud-ouest. Si un champ d’´eoliennes devait ˆetre install´e dans la r´egion, on disposerait les machines, de fa¸con perpendiculaire aux vents dominants, suivant une ligne droite orient´ee Sud-est, Nord-Ouest.

Les r´egimes de vent ainsi que la capacit´e ´energ´etique tendent `a varier d'une ann´ee `a une autre (en g´en´eral d'environ 10 % au maximum) - par cons´equent, pour obtenir un r´esultat cr´edible, les stations basent leurs calculs sur des observations faites sur plusieurs ann´ees.

Dans la suite, nous allons nous int´eresser aux notions d'a´erodynamique r´egissant le fonctionnement d'une ´eolienne. L'objectif est d'arriver `a construire un mod`ele a´erodynamique de l'´eolienne

4.2 Notions d'a´ erodynamique

81

pour pr´edire son rendement en fonctionnement r´eel.

Fig. 4.2 – Rose des vents de la r´egion de Nancy fournie par la station m´et´erologique d'Essey-Les-Nancy.

4.2

Notions d'a´ erodynamique

Nous allons ici introduire bri`evement les notions d'a´erodynamique sur une aile portante. En effet l'´el´ement principal de l'´eolienne est la pale. Cette derni`ere n'est autre chose qu'une aile portante.

Pour dimensionner de fa¸con optimale les principaux ´el´ements, il est indispensable d'avoir quelques connaissances sur les actions a´erodynamiques qu'exerce un vent donn´e sur un profil d'aile.

4.2.1

D´ efinitions

Si on consid`ere le profil d'aile donn´e sur la Figure 4.3 ci-dessous.

Fig. 4.3 – Sch´ema d’un profil d’aile.

82

Chapitre 4 Notions th´ eoriques sur les ´ eoliennes

On appelle bord d'attaque, les points du profil les plus ´eloign´es des points B o` u se trouve le bord de fuite.

AB est appel´ee la corde l du profil ; AMB repr´esente l'extrados du profil et ANB l'intrados.

Pour tenir compte de l'inclinaison de l'aile par rapport au vent incident (suppos´e horizontal sur la figure), on introduit plusieurs angles : – Angle d'incidence ou d'attaque : angle i form´e par la corde et la direction du vent vu par l'aile – Angle de portance nulle : angle α0 repr´esentant l'angle d'incidence pour lequel la portance est nulle. Cet angle est g´en´eralement n´egatif pour les profils usuels (repr´esent´e de cette fa¸con sur la figure) – Angle de portance : angle α form´e par la direction du vent relatif et la direction de portance nulle.

En valeur alg´ebrique, α = α0 + i.

4.2.2

Actions de l'air sur l'aile

Usuellement, la r´esultante a´erodynamique exerc´ee par l'air sur l'aile est projet´ee suivant un syst`eme d'axes associ´es ` a la vitesse V du vent vu par l'aile. Ceci est illustr´e sur la Figure 4.4 suivante :

Fig. 4.4 – Forces s’exer¸cant sur un profil d’aile.

– la composante Fz (perpendiculaire `a la direction du vent) est appel´ee la portance – la composante Fx (parall`ele ` a la direction du vent) est appel´ee la traˆın´ee A partir de cette d´ecomposition, on introduit classiquement deux coefficients sans dimension : Fz – le coefficient de portance : Cz = 1 ρAV 2 – le coefficient de traˆın´ee : Cx =

2 Fx 1 ρAV 2 2

o` u A est la surface alaire de l'aile (corde * envergure) et ρ la masse volumique de l'air.

4.2.3

Param` etres influant sur les Cz et Cx

Les deux param`etres jouant sur les valeurs des coefficients de portance et de traˆın´ee pour un profil d’aile donn´e sont le nombre de Reynolds et l'incidence de l'aile en r´egime incompressible.

La Figure 4.5 ci-dessous illustre l'´evolution habituelle de ces deux coefficients en fonction de l'angle d'incidence i ` a Reynolds fixe.

4.3 Calcul a´ erodynamique d'une ´ eolienne ` a axe horizontal

83

Fig. 4.5 – Polaire d’Eiffel d’un profil d’aile.

On constate que pour les faibles incidences, le coefficient de portance ´evolue de fa¸con quasi lin´eaire avec l'angle d'incidence. Pour une incidence donn´ee, le coefficient de portance atteint un maximum, c'est la crise de portance. On appelle cet angle d'incidence particulier, l'angle de d´ecrochage. Sur l'exemple donn´e, l'angle de portance nulle est bien n´egatif et vaut environ -5°.

En parall`ele, le coefficient de traˆın´ee passe vers un minimum autour de cet angle pour augmenter l´eg`erement avec l'augmentation de l'incidence.

La courbe portant le coefficient de traˆın´ee en abscisse et le coefficient de portance en ordonn´ee est appel´ee la polaire d'Eiffel d'une aille. Elle est g´en´eralement gradu´ee en angle d'incidence i.

4.3

Calcul a´ erodynamique d'une ´ eolienne ` a axe horizontal

Une premi`ere th´eorie permettant d'estimer la puissance d'une ´eolienne est la th´eorie de Betz qui s'applique essentiellement aux machines `a axe horizontal.

4.3.1

Th´ eorie de Betz

Cette th´eorie suppose que l'´eolienne est plac´ee dans un air anim´e `a l'infini d'une vitesse amont V1 et `a l'aval d'une vitesse V2 .

La puissance m´ecanique capt´ee par le disque rotor est exprim´ee par la relation suivante (Figure 4.6) :

1 1 1 P = ρA1 V13 − ρA2 V23 = ρ A1 V13 − A2 V23 2 2 2 (Diff´erence de puissance entre les flux d'air amont et aval au rotor) En exprimant la conservation de la masse : ρA1 V1 = ρA2 V2 = m ˙

[W ]

(4.3)

[kg/s]

(4.4)

[W ]

(4.5)

on obtient ainsi,

1 ˙ V12 − V22 P = m 2

84

Chapitre 4 Notions th´ eoriques sur les ´ eoliennes

Fig. 4.6 – Repr´esentation des lignes de courant traversant l’´eolienne.

On peut trouver une autre expression de cette puissance, en appliquant le th´eor`eme d'Euler au tube de courant repr´esent´e par le jet d’air. Ainsi, la force F qu'exerce l'air sur le rotor s'exprime par : F =m ˙ (V1 − V2 )

[N ]

(4.6)

donnant lieu `a une puissance m´ecanique convertie par la rotor : P = F V 0 = m(V1 − V2 )V 0

[W ]

(4.7)

o` u V 0 est la vitesse du vent dans le plan de rotation des pales. Par identification avec les deux formulations de la puissance r´ecup´er´ee P , on obtient : V0 =

1 (V1 + V2 ) 2

[m/s]

(4.8)

Ce qui au final, nous permet d’´ecrire la puissance du rotor rapport´ee `a l’aire balay´ee A par ce dernier : 1 P = F V 0 = ρA(V1 + V2 )2 (V1 − V2 ) 4

[W ]

(4.9)

On peut `a partir de cette relation exprim´ee le coefficient de puissance Cp qui est le rapport entre la puissance r´ecup´er´ee sur le rotor par la puissance disponible dans le flux d’air bas´e sur la vitesse du vent et la surface balay´ee par le rotor : Cp =

1 4 ρA (V1

+ V2 )2 (V1 − V2 ) 1 = 1 3 2 2 ρAV1

V2 2 V2 1+ 1− V1 V1

[−]

(4.10)

Si on d´efinit le coefficient d’induction b = V2 /V1 , on obtient l’´evolution du coefficient de puissance (Figure 4.7).

4.3 Calcul a´ erodynamique d'une ´ eolienne ` a axe horizontal

85

Fig. 4.7 – Evolution du coefficient de puissance en fonction du rapport des vitesses amont et aval.

En r´e´ecrivant le coefficient b comme la fraction de diminution de la vitesse du vent entre la vitesse amont V1 et celle traversant le rotor V ’ on obtient un nouveau coefficient a : V 0 = (1 − a)V1

(4.11)

On peut montrer que ce coefficient est maximum pour a = 1/3, et que dans ce cas Cp = 16/27 ≈ 0.596. En reportant cette valeur particuli`ere dans l’expression de la puissance P , on obtient pour la puissance maximale susceptible d’ˆetre recueillie, la valeur : Pmax =

4.3.2

8 ρAV13 27

[W ]

(4.12)

Effets de la rotation

Pour le rotor id´eal de la th´eorie de Betz, il n’y a pas de prise en compte de la rotation dans le sillage. Or dans la pratique, le sillage poss`ede une certaine rotation qui peut ˆetre prise en compte en appliquant le th´eor`eme d’Euler pour les machines tournantes en s’appuyant sur les triangles des vitesses dans les sections entr´ee-sortie du rotor de la Figure 4.8. Si on applique ce dernier sur un volume de contrˆ ole infinit´esimal d’´epaisseur dr, on obtient l’expression de la puissance transmise : 2 0 dP = dmωrV ˙ θ = 2πr ρV ωVθ dr

(4.13)

avec Vθ la composante azimutale de la vitesse absolue apr`es le rotor et V ’ est la vitesse axiale ` a travers le rotor. Nous avons vu que la vitesse axiale `a travers le rotor peut ˆetre exprim´ee par le coefficient d’induction a. De la mˆeme mani`ere, on d´efinit le facteur d’interf´erence tangentiel a’ et la vitesse de rotation Vθ dans le sillage par (conservation du moment cin´etique) :

86

Chapitre 4 Notions th´ eoriques sur les ´ eoliennes

Vθ = 2a0 ωr

(4.14)

La puissance ´el´ementaire s’´ecrit donc comme : dP = 4πρω 2 V1 a0 (1 − a) r3 dr

(4.15)

Fig. 4.8 – Triangle des vitesses pour une section du rotor

Apr`es int´egration de 0 ` a R, on obtient la puissance totale r´ecup´er´ee par le rotor : 2

R

Z

P = 4πρω V1

a0 (1 − a) r3 dr

(4.16)

0

On voit ici que si on veut maximiser la puissance r´ecup´er´ee, il faut maximiser l’expression :

f a,a0 = a0 (1 − a)

(4.17)

Or si les angles d’attaque locaux sont inf´erieurs `a l’angle de d´ecrochage, ces deux coefficients ne sont pas ind´ependants, on a ainsi : tan φ =

a0 ωr (1 − a) V1 = aV1 (1 + a0 ) ωr

(4.18)

Ce qui conduit ` a la relation entre a et a’ : (ωr/V1 )2 a0 (1 + a0 ) = a (1 − a).

L’optimisation conduit donc ` a: df da0 = (1 − a) − a0 = 0 da da

(4.19)

2 0 ωr et (1 + 2a0 ) da = 1 − 2a. Ceci conduit `a la relation suivante entre a et a’ optimisant la da V1 puissance r´ecup´er´ee : a0 =

1 − 3a 4a − 1

Ceci permet finalement d’obtenir le tableau de valeurs suivant :

(4.20)

4.3 Calcul a´ erodynamique d'une ´ eolienne ` a axe horizontal a 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,333

a0 5,5 2,375 1,333 0,812 0,500 0,292 0,143 0,031 0,00301

87

λ = ωr/V1 0,073 0,157 0,255 0,374 0,529 0,753 1,15 2,63 8,58

A partir de ces relations, le coefficient de puissance optimal peut ˆetre obtenu par int´egration.

Ceci a ´et´e r´ealis´e par Glauert pour diff´erentes vitesses sp´ecifiques λ0 = ωR/V1 avec une comparaison avec la limite de Betz de 16/27 (cas qui correspond `a a0 = 0). Ces r´esultats sont report´es dans le tableau ci-dessous : λ0 = ωR/V1 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 5,0 7,5 10,0

4.3.3

27Cp /16 0,486 0,703 0,811 0,865 0,899 0,963 0,983 0,987

Prise en compte de l’´ el´ ement de la pale d’h´ elice

Jusqu’`a pr´esent, la g´eom´etrie effective du rotor (nombre de pales B, les lois de vrillage θ (r) et de corde l (r) et le profil de pale) n’est pas prise en compte. Nous allons ici coupler le th´eor`eme de quantit´e de mouvement avec les efforts locaux sur la pale. Nous allons pour cela faire l’hypoth`ese suivante : – Chaque ´el´ement annulaire est ind´ependant des autres.

Nous pourrons ´etablir que : – la pouss´ee ´el´ementaire vaut : dF = 4πrρV12 a(1 − a)dr – le moment ´el´ementaire : dM = 4πρωV1 a0 (1 − a)r3 dr = dP/ω On peut ´evaluer ces termes en consid´erant l’´ecoulement local autour de la pale en se basant sur le triangle des vitesses suivant :

88

Chapitre 4 Notions th´ eoriques sur les ´ eoliennes

avec θ l’angle de vrillage local de la pale, c’est-`a-dire l’angle local entre la corde et le plan de rotation du rotor. Puis, α est l’angle d’attaque local, c’est `a dire l’angle local entre la corde et la direction du vent relatif, Vrel . Enfin, φ est l’angle d’inclinaison d´efini par φ = θ + α.

Nous pouvons donc ´ecrire avec ces d´efinitions que : 1 2 1 2 L = ρVrel l(r)Cz et D = ρVrel l(r)Cx (4.21) 2 2 pour l’expression des forces de portance et de traˆın´ee par unit´e de longueur, en supposant connus les coefficients de portance et de traˆın´ee. De fa¸con `a obtenir une expression de la pouss´ee et du moment ´el´ementaire, il faut projeter ces forces suivant les directions normale et tangentielle au plan de rotation du rotor. Ce qui conduit `a : pT = L sin φ − D cos φ

(4.22)

CT = Cz sin φ − Cx cos φ

(4.23)

1 V1 (1 − a)ωr(1 − a0 ) dM = ρB l(r)CT rdr 2 sin φ cos φ

(4.24)

pN = L cos φ + D sin φ, et CN = Cz cos φ + Cx sin φ, Apr`es quelques calculs, on obtient que : 1 V 2 (1 − a)2 dF = ρB 1 2 l(r)CN dr, 2 sin φ

avec B le nombre de pales et l(r) la loi de corde. Par identification, on obtient que les coefficients d’induction axial et tangentiel doivent satisfaire aux relations suivantes : a=

1 4 sin2 σCN

l(r)B 2πr

φ

a0 = +1

1 4 sin φ cos φ σCT

−1

(4.25)

o` u σ (r) = repr´esente la solidit´e locale du rotor.

Ainsi, l’algorithme de calcul pour d´eterminer la puissance r´ecup´er´ee par le rotor est le suivant : (1) – Initialisation des coefficients a et a0 (2) – Calcul de l’angle φ (3) – D´etermination de l’angle d’incidence local α (4) – Lecture des coefficients de portance et de traˆın´ee

4.3 Calcul a´ erodynamique d'une ´ eolienne ` a axe horizontal

89

(5) – D´eduction des coefficients normaux et tangentiels (6) – Calcul des coefficients a et a0 suivant les derni`eres expressions (7) – R´eit´eration jusqu’` a convergence sur les valeurs de a et a0 (8) – D´etermination des efforts locaux sur l’´el´ement consid´er´e Cette approche est la plus simple pour prendre en compte la g´eom´etrie du rotor. Pour obtenir une bonne approximation, il faut cependant faire deux corrections : correction de Prandtl (effets en bout de pale) et correction de Glauert (effets du d´ecrochage).

4.3.4

Corrections de Prandtl et de Glauert

Correction de Prandtl Cette correction permet la prise en compte des effets 3D en bout de pale (associ´es au nombre de pales). Ceci a pour cons´equence de modifier la vorticit´e dans le sillage du rotor. Prandtl a donc d´efini un facteur correctif f pour la pouss´ee et le couple ´el´ementaire : dM = 4πρωV1 a0 (1 − a)r3 f dr

dF = 4πrρV12 a(1 − a)f dr

o` u f (facteur de r´eduction de la circulation) a pour expression f = Ceci conduit aux expressions corrig´ees pour les facteurs a et a0 : a=

1 4f sin2 φ σCN

a0 = +1

2 π

cos−1 (e−m ), avec m =

(4.26) B R−r 2 r sin φ .

1 4f sin φ cos φ σCT

(4.27)

−1

Correction de Glauert Lorsque le facteur d’interf´erence axial a devient plus grand qu’approximativement 0.4, l’application du th´eor`eme d’Euler tombe en d´efaut. Des relations empiriques ont ´et´e ´etablies pour approcher les mesures exp´erimentales, parmi lesquelles : ( dF 4a(1 − a)f a ≤ 31 CF = 1 2 = (4.28) 4a(1 − (1/4)(5 − 3a)a)f a > 13 2 ρV1 2πrdr ou encore : dF CF = 1 2 = 2 ρV1 2πrdr

(

4a(1 − a)f a ≤ ac 4(a2c + (1 − 2ac )a)f

a > ac

(4.29)

ac vaut approximativement 0.2. A ces expressions, correspond une relation modifi´ee pour le coefficient a.

4.3.5

Dimensionnement optimal des pales pour une puissance maximale

1−3a La conception d’une forme optimale de la pale d’une h´elice implique que la relation a0 = 4a−1 correspondant ` a une puissance maximale soit satisfaite. On peut faire l’hypoth`ese de n´egliger les frottements en prenant Cx = 0. Les expressions de a et a0 deviennent :

a=

1 4 sin2 φ σCz cos φ

a0 = +1

1 4 cos φ σCz

−1

(4.30)

En utilisant la relation reliant les deux facteurs d’interf´erence a et a0 , on obtient une seconde relation exprimant le facteur a :

90

Chapitre 4 Notions th´ eoriques sur les ´ eoliennes

a=

4 cos φ σCz + 12 cos φ

(4.31)

L’´egalit´e des deux expressions de a donne une ´equation quadratique, dont l’inconnue est le terme σCz : (σCz )2 + 8 cos φσCz − 16 sin2 φ = 0

(4.32)

dont la racine acceptable est σCz = 4 (1 − cos φ). Ceci donne l’expression optimale de la corde le long de la pale : l(r) =

8πr (1 − cos φ) BCz

Si on reprend la relation donnant l’angle φ, tan φ = nous obtenons : λ=

(1−a)V1 (1+a0 )ωr

(4a − 1) (1 − a) 1 a tan φ

(4.33) =

(1−a) (1+a0 )λ ,

et en substituant a0 ,

(4.34)

En rempla¸cant a par sa valeur et apr`es quelques simplifications, on aboutit finalement `a la loi de vrillage optimale : φ=

1 2 tan−1 3 λr

θ = φ − αopt

o` u αopt est l’angle d’incidence optimale, qui donne (Cz /Cx )max .

(4.35)

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