9789144145334 by Smakprov Media AB

PYRAMID 2 Elevpaket – Digitalt + Tryckt

LÄS OCH PROVA ELEVPAKETETS SAMTLIGA DELAR

PYRAMID 2 Elevpaket – Digitalt + Tryckt

Pyramid 2 är ett elevpaket som består av två delar: elevbok och digitalt läromedel. På följande sidor kan du provläsa och bilda dig en uppfattning om såväl det digitala läromedlet som den tryckta delen.

ELEVBOK Serien Pyramid – Matematik från grunden innehåller förklarande texter för fördjupad förståelse och ett stort antal övningar. Pyramid 2 handlar om tal i bråkform, tal i decimalform, procent och negativa tal. Boken behandlar såväl huvudräkning som skriftlig räkning och visar hur olika räknelagar kan användas vid mer komplexa beräkningar.

DIGITALT LÄROMEDEL Den interaktiva elevboken är inläst med autentiskt tal och textföljning, vilket gör innehållet tillgängligt också för elever med särskilda behov. Filmer, digitala övningar och test ger ett bra komplement till teorin och övningarna i boken.

Interaktiv version av b oken, inläst med autentiskt tal och textföljning

Interaktiva övningar

Fungerar på dator, surfplatta och mobiltelefon

klicka på bilden och prova

2 MATEMATIK FRÅN GRUNDEN

Bråk, procent och negativa tal Christian Bennet och Madeleine Löwing

Studentlitteratur AB Box 141 221 00 LUND Besöksadress: Åkergränden 1 Telefon 046-31 20 00 studentlitteratur.se

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access skolkopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess. Formgivning: Johanna Szemenkar Remgard Omslagsbild och kapitelinledande bilder: Shutterstock.com Art.nr 43845 ISBN 978-91-44-14533-4 © Författarna och Studentlitteratur AB 2022 Upplaga 1:1 Printed by Latgales Druka, Latvia 2022

Innehåll Förord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Schema över innehållet i boken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Bild över de olika talområden som nämns i boken . . . . . . . . 6 Inledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1. Tal i bråkform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 En del av en helhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Nämnarens innebörd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Täljarens innebörd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 En del av ett antal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Förlängning och förkortning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Stambråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Tal i bråkform och tal i blandad form på tallinjen . . . . . . . . . 24

7. Multiplikation med tal i decimalform . . . . . . . . . . . 69 Att multiplicera med tiotal eller tiondelar . . . . . . . . . . . . . . . 70 Multiplikation med ett naturligt tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Multiplikation med två tal i decimalform . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Skriftlig multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8. Division med tal i decimalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Att dividera med tiotal eller tiondelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Division med ett tal i decimalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Skriftlig division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Tal med oändlig decimalutveckling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9. Andel som procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Tal i bråkform med samma nämnare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Tal i bråkform med olika nämnare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Några räknelagar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Procent som del av en helhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Att beräkna en andel givet en procentsats . . . . . . . . . . . . . . . 96 Huvudräkning och procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Att beräkna procentsatsen utifrån helhet och del . . . . . . . 100 Några minnesregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3. Multiplikation med tal i bråkform . . . . . . . . . . . . . . . 35

10. Procentuell förändring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Multiplikation där den ena faktorn är ett naturligt tal . . . . 36 Multiplikation av två tal i bråkform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Fler räknelagar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Procentenhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Ränta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Förändringsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Upprepad procentuell förändring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2. Addition och subtraktion med tal i bråkform . . . 27

4. Division med tal i bråkform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Division med ett naturligt tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Division med stambråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Division med allmänna bråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5. Tal i decimalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Tallinjen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Att storleksordna tal i decimalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Räknelagar för tal i decimalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6. Addition och subtraktion med tal i decimalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Att addera ett naturligt tal eller subtrahera från ett naturligt tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Addition med tiondelar och hundradelar . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Subtraktion med tiondelar och hundradelar . . . . . . . . . . . . . 63 Skriftlig addition och subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

11. Negativa tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Addition och subtraktion med hela tal . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Multiplikation med hela tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Division med hela tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Negativa rationella tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

12. De reella talen – mot nya mål . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Reella tal som inte är rationella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Nya mål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Förord Den här boken vänder sig till dig som behöver utveckla dina kunskaper i grundläggande matematik om de rationella talen. Vi förutsätter att du redan har lärt dig de fyra räknesätten för naturliga tal – addition, subtraktion, multiplikation och division. Du vet att de naturliga talen är 0, 1, 2, 3, 4 och så vidare och du kan beräkna till exempel 23 + 18, 147 – 59, 11 · 31 och 125 delat med 5. Du känner till grundläggande räknelagar, som de kommutativa lagarna för addition och multiplikation, och kan räkna både i huvudet och skriftligt. Här går vi vidare från de naturliga talen och introducerar rationella tal, alltså tal som kan skrivas som bråk, och negativa tal. Det innebär att du får lära dig att räkna med rationella tal i bråkform, som 1 och 7 , rationella tal i decimalform, 4 8 som 0,75 och 37,2, och med negativa tal som –3 och –0,5. Du får också lära dig hur procent används i olika sammanhang och hur man räknar med procent. Det är viktigt att du gör alla uppgifter i boken. Precis som inom idrott är det övning som ger resultat. Förutom uppgifterna i boken finns det digitala uppgifter som du kan göra. Det finns också digitala test där du kan pröva om du har förstått ett lite längre avsnitt. Digitala uppgifter och test ändras automatiskt om du gör dem flera gånger. Inför vissa avsnitt kan du också titta på en kort film där vi som har skrivit boken beskriver innehållet. Filmer, övningar och test finns på bokens webbplats .

Eftersom boken börjar med det mest grundläggande kanske du redan behärskar en del avsnitt. Sådana avsnitt kan du läsa igenom snabbt och du behöver bara göra några uppgifter, läsa sammanfattningarna och för säkerhets skull göra de digitala test som avslutar vissa avsnitt. Ibland kanske du i stället har glömt hur något hänger ihop och då kan du gå tillbaka och göra fler uppgifter eller läsa de faktarutor som finns i texten. För att det ska vara enkelt för dig att lösa uppgifterna finns det rader i boken att skriva svaret på och plats för att göra beräkningar. Lycka till på din fortsatta resa in i matematiken!

Schema över innehållet i boken Hela den här boken handlar om rationella tal. Här ser du hur de olika kapitlen i boken hänger ihop och du kan följa pilarna bakåt för att se vilka förkunskaper som behövs för de olika avsnitten. När du är klar med hela boken kan du en hel del matematik och är redo att gå vidare till nästa bok, Pyramid 3 Matematik från grunden – algebra. 1

Tal i bråkform 5

Tal i decimalform

Addition och subtraktion med tal i bråkform

Addition och subtraktion med tal i decimalform

Multiplikation med tal i bråkform

Multiplikation med tal i decimalform

Division med tal i bråkform

Division med tal i decimalform 11

Negativa tal

Andel som procent

Procentuell förändring

De reella talen – mot nya mål

Bild över de olika talområden som nämns i boken I boken nämns de naturliga talen, de positiva talen, de negativa talen, heltalen, de rationella talen och de reella talen. Här är en bild som visar hur dessa olika talområden är relaterade. Positiva tal –√2 –3 4 √3 –8,75

–5

3 4

0,45

Negativa tal

Alla tal i hela bilden är reella tal. Bland de reella talen finns de rationella talen. Att ett tal är rationellt innebär att det kan skrivas i bråkform, med ett heltal i nämnaren och ett heltal i täljaren. Rationella tal kan också skrivas i decimalform och då är decimalutvecklingen ändlig eller periodisk. Bland de rationella talen finns heltalen, alltså talen …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, … Alla reella tal förutom talet 0 är antingen negativa eller positiva. I bilden ligger de negativa talen till vänster och de positiva till höger. Talen 0, 1, 2, 3, … , alltså de positiva heltalen tillsammans med talet 0, är de naturliga talen.

Inledning

Titta på Film 1 på bokens webbplats.

Den här boken handlar om tal, men inte så mycket om naturliga tal. I stället förutsätter vi att du redan vet en hel del om de naturliga talen 0, 1, 2, 3, … och om hur man kan addera, subtrahera, multiplicera och dividera naturliga tal. Vi tänker oss att du kan faktorisera, det vill säga dela upp naturliga tal i faktorer, och att du vet vad ett primtal är. Du behöver särskilt använda dina tidigare kunskaper om division av naturliga tal, med och utan rest. Glöm inte heller hur likhetstecknet används i matematiken för att uttrycka att två värden är lika. Att 2 + 3 = 1 + 4 innebär att de båda summorna är samma, i det här fallet lika med 5. Känner du dig osäker kan det vara bra om du repeterar, till exempel i Pyramid 1 Matematik från grunden – de fyra räknesätten. De naturliga talen används bland annat för att ange antal och för att beräkna antal. Om Moa har lånat 5 böcker under sommaren och Abel har lånat 7, så har de tillsammans lånat 5 + 7 = 12 böcker. Om Moa väljer mellan 5 mössor och 3 tröjor så har hon 5 · 3 = 15 olika kombinationer att välja mellan. Om Moa har 17 spelkort och ger 11 till Abel så har hon 17 – 11 = 6 spelkort kvar. Men ibland räcker det inte med naturliga tal. Om Moa har 7 kakor och vill dela lika med Abel, så måste hon dela en kaka i två halvor. Nu är 7 inte ett naturligt 2 tal, så talområdet naturliga tal behöver utvidgas även till tal som 1 (en halv), 1 2 3 (en tredjedel) och 7 (sju halva). I den här boken får du lära dig hur det går till. 2 Du får också lära dig att räkna med tal i decimalform, som 3,5 (tre komma fem) och du kommer att förstå att 3,5 och 7 bara är två olika sätt att skriva samma 2 tal. Senare får du också lära dig att räkna med negativa tal, som att beräkna 7 – 9 = –2, och med andelar i form av procent, som när vi säger att 20 % (tjugo procent) röstade på ett visst politiskt parti eller att 50 % rabatt innebär att priset är hälften av det normala priset. Du kommer att lära dig hur du ska addera, subtrahera, multiplicera och dividera med tal i olika form, det vill säga med tal skrivna på olika sätt. Mycket av detta är kanske nytt för dig, men en hel del kommer du antagligen att känna igen. Exempelvis kommer du att använda samma räknelagar som du använder när du räknar med naturliga tal. Boken tar dig med på en spännande resa genom olika talsystem, olika sätt att skriva och olika sätt att räkna, men vi börjar med matematiken för tal i bråkform, alltså för tal som 1 och 7 . 3 2

Kapitel 1

Tal i bråkform

Titta på Film 2 på bokens webbplats.

I olika sammanhang används ofta uttryck som hälften och en tredjedel. Vi kan till exempel säga att Lucas är hälften så gammal som Alice eller att en tredjedel av barnen ville spela fotboll. Men vad betyder det egentligen? Om Ali är 24 år och Leia är hälften så gammal som Ali, hur gammal är då Leia? Hur många är en tredjedel av 12? Här förklarar vi hur uttryck som hälften och en tredjedel kan kopplas till tal som vi skriver i bråkform och hur man kan räkna med sådana tal.

En del av en helhet Om ni är två kompisar som ska dela lika på åtta kronor så får ni fyra kronor 8 var eftersom = 4. Om ni i stället är två kompisar som ska dela ett äpple lika 2 så delar ni äpplet i två lika delar, där varje del är hälften av äpplet. Talet 4 anger hälften av 8, men inget naturligt tal anger hälften av en hel, det vill säga hälften av 1. Det finns heller inget naturligt tal som anger hälften av 3 eller något annat udda tal. Här inför vi andra tal än de naturliga för att komma till rätta med den bristen. Tidigare har vi angett de naturliga talen i en talrad: 0

8 9

10 11

12 13 14 …

0 är det minsta naturliga talet och sedan blir talen större ju längre åt höger de står. Du vet att talet 2 är dubbelt så stort som talet 1, att 3 är tre gånger så stort som 1 och att 4 är fyra gånger så stort som 1 och dubbelt så stort som 2. Du vet också att 2 är hälften av 4 och att 1 är hälften av 2. Men bland de naturliga talen finns det inget tal som är hälften av 1 eller hälften av 3 eller hälften av 7. 3 Delar du 3 med 2 får du rest 1. Du får = 1 med rest 1, eftersom 3 = 1 · 2 + 1. 2 7 Delar du 7 med 3 får du = 2 med rest 1, eftersom 7 = 2 · 3 + 1. 3 1 Delar du 1 med 2 går divisionen inte heller jämnt upp. Du får 0 och rest 1, = 0 2 med rest 1, eftersom 1 = 0 · 2 + 1. Men nu ska vi införa fler tal än bara de naturliga och med vars hjälp vi kan ange 1 3 hur stor del till exempel hälften av något är. Vi ska se hur uttryck som , och 2 2 7 kan ses som tal. 2 Vi börjar med att göra om talraden till en tallinje genom att tänka oss att de naturliga talen ligger på linje, som på en linjal: 0

4 …

1. Tal i bråkform | © Författarna och Studentlitteratur

Om sträckorna från ett tal till nästa är lika långa så är sträckan från 0 till 2 dubbelt så lång som sträckan från 0 till 1, sträckan från 0 till 3 är tre gånger så lång som sträckan från 0 till 1 och sträckan från 0 till 4 är fyra gånger så lång som sträckan från 0 till 1 och dubbelt så lång som sträckan från 0 till 2. Men nu kan vi också markera en punkt på linjen som ligger mitt emellan 0 och 1: 0

4 …

Den nya punkten delar avståndet från 0 till 1 i två lika långa delar. Avståndet från 0 till den nya punkten är alltså hälften så långt som avståndet från 0 till 1. Därför placerar vi in ett nytt tal där som vi döper till en halv och som vi skriver 1 . 2 0

1 2

4 …

När vi skriver 1 säger vi att vi har skrivit talet i bråkform. Ibland säger vi helt 2 enkelt att 1 är ett bråk. 2 Vi kan också dela in sträckan från 0 till 1 i fyra lika delar med hjälp av punkter på tallinjen: 0

4 …

Avståndet från 0 till den första av dessa är då en fjärdedel av avståndet till 1, avståndet från 0 till nästa punkt är två fjärdedelar av avståndet från 0 till 1 och avståndet till den tredje punkten är 3 fjärdedelar av avståndet från 0 till 1. Därför placerar vi in nya tal så här: 1 0 4

2 4

3 4

4 …

2 Om vi nu tänker oss att talen är punkter på tallinjen, så ser du att punkten 4 är samma punkt som punkten 1 , det vill säga 2 = 1 . Punkten ligger mitt emellan 2 4 2 0 och 1. På samma sätt gäller att 1 = 2 = 4 . Sträckan från 0 till 1 är lika lång som 2 4 två halvor och som fyra fjärdedelar av hela sträckan. Varje punkt har alltså flera olika namn i bråkform. Här ser du också att de nya talen har ett samband med räknesättet division; både 2 delat med 2 och 4 delat med 4 är lika med 1.

1.1 Uppgift

a) Sätt ut talet 1 och talet 1 på tallinjen. 2 4 0

b) Sätt ut talet 1 och talet 5 på tallinjen. 3 6 0

c) Sätt ut följande tal på tallinjen 1 , 2 , 3 , 1 och 5 . 4 4 4 8 8 0

d) Gå tillbaka till tallinjen ovanför. Sätt ut följande tal under tallinjen: 2 , 6 och 4 . 8 8 8 e) Titta igen på tallinjen ovan. Placera ut talet 1 . Vilka andra namn finns på samma tal? 2 1.2 Uppgift

Placera ut följande tal på tallinjen. För att placera talet 2 på tallinjen delar du in sträckan från 0 till 1 i tredjedelar. Gör den 3 indelning som bestäms av nämnaren i följande bråk och placera talet på tallinjen. Rita fler tallinjer om det behövs. a) 3 5 0

De rationella talen är de tal som kan skrivas i bråkform. Olika uttryck i språket betecknar olika saker. Exempelvis betecknar Stockholm Sveriges huvudstad och siffran 5 betecknar talet fem. Bråk kan beteckna delar av en helhet.

b) 4 7

c) 5 8

d) 7 10

e) 3 4

f) 4 6 1

De tal som på det här sättet kan skrivas i bråkform och som svarar mot punkter på tallinjen kallas rationella tal. De rationella talen utgörs av de naturliga talen som du redan känner till tillsammans med de nya tal som vi kan skriva i bråkform. Vi börjar här tallinjen med talet 0, men senare, i kapitlet om negativa tal, kommer du se att tallinjen också fortsätter till vänster om 0. Bråk som 1 , 2 , 3 och 4 kan beteckna delar av en helhet. På tallinjen är den 4 4 4 4 helheten sträckan från 0 till 1. Om det är en decimeter från 0 till 1, så är det en fjärdedel av en decimeter från 0 till 1 , två fjärdedelar av en decimeter från 0 till 2 , 4 4

1. Tal i bråkform | © Författarna och Studentlitteratur

tre fjärdedelar av en decimeter från 0 till 3 och fyra fjärdedelar av en decimeter 4 från 0 till 1. Men det kan också handla om andra helheter. Om du delar en rund tårta i fyra lika delar, utgör varje del en fjärdedel av hela tårtan: 1 4

1 4

Om vi i stället delar en rektangel i fyra lika delar kan det se ut så här om vi färgar en fjärdedel blå:

Här har vi i stället färgat tre fjärdedelar blå:

När vi skriver ett rationellt tal som 1 i bråkform, säger vi att 1 är ett bråk. Det 4 4 övre talet är bråkets täljare och det nedre talet är bråkets nämnare. Vi använder alltså samma ord som när vi talar om division, men det streck som vi använder som tecken för division kallas här för bråkstreck. täljare nämnare

3 4

bråkstreck

När till exempel 8 betecknar division så betecknar nämnaren antalet delar och 4 täljaren det antal vi delar upp. 8 innebär att vi delar 8 i fyra delar. Resultatet 4 är 2 eftersom 2 går fyra gånger i 8: 8 = 2, eftersom 8 = 2 · 4. 4

1 är ett bråk. Det övre talet är 4 bråkets täljare och det nedre talet är bråkets nämnare. Strecket där emellan är ett bråkstreck. Kom ihåg att nämnaren står nederst.

På samma sätt betecknar nämnaren i 1 att vi delar något i fyra delar och täljaren 4 att vi här delar 1, en helhet, i fjärdedelar. Vi har delat in en rektangel i tolftedelar 1 och färgat en av dem blå. Vi har alltså färgat 12 blå:

När ett tal skrivs i bråkform som a är a bråkets täljare och b bråkets nämnare . En b minnesregel kan här vara att nämnaren står nederst . Strecket kallas för bråkstreck . Ibland är det opraktiskt att använda bråkstreck vid division, till exempel om ett bråk ska divideras med ett annat eller om man vill peka på att det är division som menas snarare än ett tal i bråkform . I sådana fall använder vi ofta / för att beteckna division . 1 I stället för 2 skriver vi alltså ofta 1 2 3 5

/ 35 för att uttrycka en halv delat med tre

femtedelar .

1. 3 Uppgift

I vilka figurer är en fjärdedel färgad? Figur A

Figur B

Figur C

1. Tal i bråkform | © Författarna och Studentlitteratur

1.4 Uppgift

I vilka figurer är en tredjedel färgad? Figur A

Figur B

Figur C

1.5 Uppgift

Färga 1 av figuren på olika sätt. 3

Eftersom nämnaren och täljaren har olika innebörd när vi skriver tal i bråkform, så behandlas de olika också när vi använder de olika räknesätten för bråk. Därför är det extra viktigt att förstå vad nämnaren och vad täljaren i ett bråk står för.

Nämnarens innebörd Som du såg tidigare anger nämnaren hur många delar som en helhet delas in i. Om du delar en hel chokladkaka i två lika delar utgör en av dessa delar en halv, 1 , chokladkaka: 2

Delar du i stället chokladkakan i tre lika delar utgör en av dessa en tredjedel, 1 , 3 av chokladkakan:

Och delar du chokladkakan i fyra lika delar är en av dessa en fjärdedel, 1 , av 4 chokladkakan:

Nämnaren anger alltså i hur många delar chokladkakan är delad. Om du i stället tittar på en tallinje anger nämnaren hur många delar sträckan mellan 0 och 1 är indelad i.

Täljarens innebörd Täljaren anger i stället hur många delar som avses. Tar du tre av de fyra delarna av chokladkakan får du tre fjärdedelar, 3 , av chokladkakan: 4

När du adderar tal i bråkform kan du tänka på samma sätt som när du adderar naturliga tal: En fjärdedel plus en fjärdedel plus en fjärdedel är tre fjärdedelar: 1+1+1=3 4 4 4 4 Du kan också tänka i termer av multiplikation: 3∙1=1+1+1=3 4 4 4 4 4 Om du tar alla fyra fjärdedelarna så har du tagit hela chokladkakan: 4∙1=1+1+1+1=4=1 4 4 4 4 4 4

Att i grunden förstå innebörden av nämnaren och täljaren gör att det blir enklare att tänka när man utför beräkningar med tal i bråkform. 1.6 Uppgift (Fler liknande uppgifter hittar du på bokens webbplats.)

Beräkna.

a) 1 + 1 = 3 3

d) 2 – 1 = 3 3

b) 1 + 1 + 1 = 4 4 4

e) 2 ∙ 1 = 3

c) 2 + 2 = 5 5

f) 5 · 1 = 7

1. Tal i bråkform | © Författarna och Studentlitteratur

En del av ett antal Om du tittar på figurerna nedan så ser du att den färgade tolftedelen kan ses

som en av tolv rutor eller, som i den högra figuren, en av tolv bollar. Bråket 1 12 kan alltså både ses som en tolftedel av en helhet och som en av tolv, alltså som en tolftedel av ett antal.

Titta nu på följande bild.

Här har vi färglagt tre tolftedelar i form av tre av de tolv bollarna. Men vi har också färglagt en av de fyra kolumnerna alltså en fjärdedel av alla bollar. Alltså 3 gäller att 3 = 1 . Av figuren ser du också att 1 + 1 + 1 = 3 och att 3 · 1 = . 12 4 12 12 12 12 12 12 Det går alltså att addera och multiplicera tal i bråkform och du får snart lära dig mer om hur det går till. Varje tal kan i själva verket skrivas på flera olika sätt i bråkform. När vi talar om till exempel en fjärdedel så behöver figuren inte vara delad i fyra lika delar. Du kan lika gärna ha en figur eller ett antal indelad i åtta eller tolv lika delar och tala om en fjärdedel. Här är en fjärdedel av hela figuren färgad, även om den är indelad på olika sätt.

1 4

1 eller 2 4 8

1 eller 3 12 4

1.7 Uppgift (Fler liknande uppgifter hittar du på bokens webbplats.)

Beräkna. a) Hur mycket är hälften av 16? b) Hur mycket är en tredjedel av 12? c) Hur mycket är en femtedel av 15? d) Hur mycket är en fjärdedel av 16? © Författarna och Studentlitteratur | 1. Tal i bråkform

1.8 Uppgift (Fler liknande uppgifter hittar du på bokens webbplats.)

a) Hur mycket är två femtedelar av 20? b) Hur mycket är tre fjärdedelar av 16? c) Hur mycket är två tredjedelar av 18? d) Hur mycket är fem sjättedelar av 30? 1.9 Uppgift (Fler liknande uppgifter hittar du på bokens webbplats.)

a) En brödkaka är delad i 6 bitar. Hugo åt upp en tredjedel av brödkakan. Hur många bitar åt Hugo? b) I en kartong ligger 24 jordgubbar. Liam tar en tredjedel av jordgubbarna. Sedan tar Maja hälften av de jordgubbar som är kvar i kartongen. Hur många jordgubbar finns kvar i kartongen efter det?

Titta på Film 3 på bokens webbplats.

Förlängning och förkortning Varje bråk kan skrivas på oändligt många olika sätt. Här får du se varför det är så. Vi börjar med ett exempel. Titta på talet 1 . Det kan visas med en bild, där en 4 fjärdedel av figuren är färgad blå:

Om vi nu delar varje fjärdedel i tre lika delar, kan det se ut så här:

Då ser du att 3 av de sammanlagt 12 rutorna är färgade. 1 av figuren är alltså 4 detsamma som 3 av figuren. 12

1. Tal i bråkform | © Författarna och Studentlitteratur

Om vi i stället delar varje fjärdedel i sex lika delar så blir det så här:

Fortfarande är en fjärdedel av helheten färgad blå, men nu är det i stället sammanlagt 24 rutor och sex rutor av de 24 som är blå, det vill säga 6 . 24 Alltså gäller att en fjärdedel är en lika stor andel av en hel som tre tolftedelar och som sex tjugofjärdedelar, det vill säga 1= 3 = 6 . 4 12 24

På motsvarande sätt visar följande två bilder att 2 = 6 : 5 15

Två rutor av fem 2 5

är samma andel som =

sex rutor av 15. 6 15 Det vi nu har gjort kallas att förlänga ett bråk. Vi har förlängt 2 med 3. Varje 5 femtedel är delad i tre delar och vi får tre gånger så många blå delar och tre gånger så många delar totalt. Andelen blå delar av hela figuren är alltså densamma. Här är ytterligare ett exempel. Bråket 2 kan genom förlängning med 2 skrivas 3 som 4 eller genom förlängning med 3 som 6 eller genom förlängning med 6 9 6 som 12 : 18 2 = 4 = 6 = 12 3 6 9 18

Vid förlängning multipliceras täljare och nämnare med samma tal. Förlängning kan visas med hjälp av bilder:

2 3

4 6

6 9

12 18

För att se att 2 = 4 delar du varje tredjedel i två lika delar, som i den andra 3 6 figuren. Då får du sjättedelar i stället för tredjedelar och de två färgade tredjedelarna svarar nu mot fyra färgade sjättedelar: 2= 2·2 =4 3 3·2 6 Du får dubbelt så många delar totalt, det vill säga nämnaren blir dubbelt så stor, och dubbelt så många färgade, det vill säga täljaren blir dubbelt så stor. Både täljare och nämnare multipliceras med 2. Om du i stället delar varje tredjedel i tre lika delar, som i den tredje figuren, så får du niondelar och de två färgade tredjedelarna svarar mot sex färgade niondelar: 2= 2·3 =6 3 3·3 9 Du får tre gånger så många delar totalt och tre gånger så många färgade delar. Både täljare och nämnare multipliceras med 3. Delar du varje tredjedel i sex lika delar, som i den fjärde figuren, så får du artondelar: 2 = 2 · 6 = 12 3 3 · 6 18 Nu svarar de två färgade tredjedelarna mot 12 färgade artondelar. Igen har täljare och nämnare multiplicerats med samma tal. Det är praktiskt att kunna uttrycka samma tal i bråkform på olika sätt. Exempelvis är det enklast att addera två bråk om de först skrivs om så att de får samma nämnare. Att skriva om 2 som 4 eller 6 på det sätt vi just har gjort innebär att bråkets 3 6 9 värde inte förändras om vi multiplicerar täljare och nämnare med samma tal. Här är fler exempel: 1 = 1 · 3 = 3 och 1 = 1 · 6 = 6 och 2 = 2 · 3 = 6 4 4 · 3 12 4 4 · 6 24 5 5 · 3 15

Att multiplicera täljare och nämnare i ett bråk med samma tal kallas att förlänga bråket och är en användbar teknik i flera sammanhang, till exempel när man ska jämför vilket tal som är störst eller när man ska addera tal i bråkform. Att multiplicera både täljare och nämnare med talet a är att förlänga bråket med a. Exempelvis förlängde vi 2 med 3 för att visa att 2 = 6 . 5 5 15 Här följer ett första exempel där förlängning är användbart. Antag att du vill veta vilket av talen 5 och 6 som är störst. För att enkelt kunna 7 9 jämföra talen skriver vi dem som bråk med samma nämnare. Det första talet

Att förlänga ett bråk med ett tal a innebär att både täljaren och nämnaren multipliceras med a. Förlängning ändrar inte ett bråks värde. Här förlänger vi 2 med 3: 7 2= 2·3 = 6 7 7 · 3 21

har nämnaren 7 och det andra har nämnaren 9. Förlänger vi nu det första bråket med 9 så får vi 7 · 9 = 63 i nämnaren. Förlänger vi det andra bråket med 7 får vi 9 · 7 = 63 i nämnaren. Eftersom 7 · 9 = 9 · 7 = 63 får vi på det sättet två bråk med samma nämnare: Vi förlänger 5 med 9 och får 7 5 = 5 · 9 = 45 . 7 7 · 9 63 Vi förlänger sedan 6 med 7 och får 9 6 = 6 · 7 = 42 . 9 9 · 7 63 Nu ser vi att 45 > 42 , så 5 > 6 . 63 63 7 9 1.10 Uppgift (Fler liknande uppgifter hittar du på bokens webbplats.)

Vilket av de två talen är störst? Ringa in det största talet. Börja med att titta på bråken och avgör vilken nämnare som är störst och vilken som är minst. a) 1 eller 1 4 5

b) 3 eller 3 7 5

5 eller 5 12 9

1.11 Uppgift (Fler liknande uppgifter hittar du på bokens webbplats.)

Vilket av de två talen är störst? Ringa in det. Här behöver du kanske förlänga för att kunna avgöra. a) 2 eller 3 3 4

b) 7 eller 6 9 8

c) 6 eller 4 7 5

1.12 Uppgift (Fler liknande uppgifter hittar du på bokens webbplats.)

Skriv följande bråk på minst fem andra sätt i bråkform. a) 3 4 b) 2 5 c) 4 7

1.13 Uppgift (Fler liknande uppgifter hittar du på bokens webbplats.)

Skriv om följande bråk så att de får samma nämnare. a) 3 och 2 4 5 b) 2 och 4 5 7 c) 3 och 5 4 6

På motsvarande sätt som att bråkets värde inte ändras om vi multiplicerar täljaren och nämnaren med samma tal, så ändras det inte heller om vi dividerar täljaren och nämnaren med samma tal. Detta kallas för att förkorta bråket. Både 6 och 9 är delbara med 3 och om vi delar täljaren och nämnaren i 6 med 9 3 så får vi 2 . Alltså gäller 6 = 2 . Att 2 kan förlängas med 3 till 6 innebär att 6 3 9 3 3 9 9 kan förkortas till 2 genom att vi dividerar både täljare och nämnare med 3. 3 Här är ett annat exempel på förkortning: Eftersom både täljarna och nämnarna i 45 och 42 är delbara med 3 kan vi förkorta 45 till 15 och 42 till 14 . 63 63 63 21 63 21 Att 45 > 42 är alltså detsamma som att 15 > 14 . 63 63 21 21 Här använder du dina kunskaper från multiplikationstabellen. För att beräkna 45 kan du tänka att 45 = 15 eftersom 3 · 15 = 45. Eftersom 42 är 3 mindre än 45 3 63 blir 42 = 14. För att beräkna 63 = 21 kan du till exempel använda kort division. 3 3 Att dividera täljaren och nämnaren i ett bråk med samma tal kallas alltså för Att förkorta ett bråk med ett tal a innebär att både täljaren och nämnaren divideras med a. Förkortning ändrar inte ett bråks värde. Här förkortar vi 18 med 3: 21 18 = 18 / 3 = 6 21 21 / 3 7

att förkorta bråket. Precis som vid förlängning, så ändras inte bråkets värde vid förkortning. Att dividera bråkets täljare och nämnare med a är att förkorta bråket med a. När vi skrev om 6 som 2 förkortade vi med 3. 9 3 Att förkorta ett bråk så långt det går innebär att dividera täljaren och nämnaren så att de inte längre har någon faktor gemensamt annat än 1. Här följer ett exempel. Titta på talet 20 . Här ser du att både täljare och nämnare är delbara med 10. 80 Förkortar du med 10 får du 20 = 2 . Du ser också att både täljare och nämnare 80 8 är jämna tal. Förkortar du med 2 får du 2 = 1 . Eftersom 1 och 4 inte har någon 8 4 annan gemensam faktor än 1 har du nu förkortat så långt det går och får 20 = 1 . 80 4

Här följer ett exempel till: Titta på talet 70 . Här ser vi att både täljaren och 105 nämnaren kan divideras med 5 eftersom 70 = 14 · 5 och 105 = 21 · 5. Förkortar vi 70 med 5 får vi alltså 70 = 14 . Nu är både 14 och 21 delbara med 7 efter105 105 21 som 14 = 2 · 7 och 21 = 3 · 7. Alltså har vi 14 = 2 . 21 3 Nu har 2 och 3 ingen gemensam faktor annat än 1 och vi har förkortat så långt det går: 70 = 14 = 2 105 21 3 Här förkortade vi först med 5 och sedan med 3. Kanske såg du att vi redan från början hade kunnat förkorta direkt med 15. Att först förkorta med a och sedan med b är alltid detsamma som att direkt förkorta med a · b.

Att först förkorta med a och sedan förkorta med b är detsamma som att förkorta med a · b.

När du ska förkorta ett bråk så börja med att titta på täljaren och nämnaren. Är båda delbara med 2? Börja då med att förkorta med 2. Du kan också börja med att förkorta med 3, 5 eller 10 om du ser att både täljare och nämnare är delbara med ett av de talen. Titta sedan på det nya bråket, upprepa proceduren och använd multiplikationstabellen baklänges. Här är ett exempel: 18 = 18 / 2 = 9 = 9 / 3 = 3 30 30 / 2 15 15 / 3 5 I det här fallet kanske du direkt ser att de båda talen är delbara med 6: 18 = 18 / 6 = 3 30 30 / 6 5 1.14 Uppgift (Fler liknande uppgifter hittar du på bokens webbplats.)

Förkorta följande bråk så långt det går. a) 24 = 42

d) 35 = 70

b) 12 = 18

e) 60 = 105

c) 56 = 98

f) 19 = 57

Att multiplicera täljaren och nämnaren i ett bråk med samma tal är att förlänga bråket och ändrar inte dess värde a = a · c , för alla tal a, b och c . b b·c 3 3 · 5 Exempelvis gäller = = 15 . 4 4 · 5 20 Att dividera täljaren och nämnaren i ett bråk med samma tal är att förkorta bråket och ändrar inte dess värde: a = a / c , för alla tal a, b och c . b b/c 15 Exempelvis gäller = 15 / 5 = 3 . 20 20 / 5 4

Stambråk Låt oss igen titta på tallinjen, men nu bara på sträckan från 0 till 1: 0

Här kan vi markera halva sträckan, en tredjedel av den, en fjärdedel av den, en femtedel av den och så vidare. Det ser ut så här: 0

1 1 1 6 5 4

1 3

1 2

De olika talen hamnar närmare 0 ju större nämnaren är. 1 är en större andel 2 av 1 än 1 , som i sin tur är en större andel av 1 än 1 , som är större än 1 , som är 3 4 5 större än 1 och så vidare. Detta hänger ihop med att det ryms sex sjättedelar i 1 6 men bara fem femtedelar, fyra fjärdedelar, tre tredjedelar och två halvor. Därför

Vad betyder ryms? 0

Det ryms 5 femtedelar i 1

är en halv större än en tredjedel, som är större än en fjärdedel och så vidare. Hade vi markerat talet 1 så hade det hamnat mycket nära 1 eftersom det ska 100 få plats 100 hundradelar mellan 0 och 1. Ju större nämnaren är, desto mindre blir det rationella talet, men de är alla större än 0. Talen 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 , 1 , … 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Bråk med täljare 1, alltså bråk av typen 1 kallas för stambråk. 7

alltså de tal i bråkform som har 1 som täljare, kallas stambråk, medan tal i bråkform som har något annat än 1 i täljaren, till exempel 3 , ibland kallas allmänna 4 bråk. Alla är de rationella tal och här kallar vi dem oftast tal i bråkform när vi använder täljare, nämnare och bråkstreck. Även de naturliga talen kan skrivas i bråkform. Du vet sedan tidigare att a delat med 1 är lika med a, för alla tal a, det vill säga a = a. Därför kan alla naturliga 1 tal skrivas i bråkform med nämnare 1: 1 = 1 , 2 = 2 , 3 = 3 , 4 = 4 , och så vidare. 1 1 1 1

Tal i bråkform och tal i blandad form på tallinjen De rationella tal som ligger mellan 0 och 1 på tallinjen är större än 0 och mindre än 1. De har alla en täljare som är mindre än nämnaren. Ett tal som i stället har täljaren större än nämnaren är större än 1. Här följer ett exempel. 7 är större än 1: Delar du 7 med 4 får du 1 med rest 3, eftersom 7 = 1 · 4 + 3. 4

Det går fyra fjärdedelar i 1 och har du sju fjärdedelar får du tre fjärdedelar över. Ofta skrivs detta 1 3 , som uttalas en och tre fjärdedelar. När du lär dig att addera 4 tal i bråkform kommer du att se att 13 är detsamma som 1 + 3 . 4 4 14 Talet är större än 3 eftersom 14 delat med 4 är lika med 3 med rest 2. Talet 14 4 4 kan skrivas som 3 2 , alltså som tre och två fjärdedelar. Att skriva ett rationellt 4 tal som ett naturligt tal tillsammans med ett tal i bråkform är att ange talet i

Att skriva ett tal i blandad form är att skriva till exempel 3 2 när man 5 menar 3 + 2 . Uttrycket 3 2 utläses 5 5 tre och två femtedelar.

blandad form. Skrivs ett tal i blandad form är det ofta lätt att se mellan vilka naturliga tal på tallinjen som talet ligger. Att 0 < 1 < 1 innebär att till exempel 2 1 ligger mellan 2 och 3. 5 5 Om 0 < a < 1 så ligger till exempel 2 a mellan 2 och 3, 7 a ligger mellan 7 och b b b 8 och 38 a ligger mellan 38 och 39. För att ta reda på mellan vilka naturliga tal b ett tal i bråkform ligger är det alltså bra att först skriva om talet i blandad form med hjälp av ett bråk som ligger mellan 0 och 1. Här är ett exempel: Du ska ta reda på mellan vilka naturliga tal 38 ligger. Dividerar du 38 med 11 11 får du 38 = 3 med rest 5, 11

eftersom 3 · 11 = 33 och 38 – 33 = 5. Alltså kan du skriva 38 som 3 5 och du vet 11 11 då att 38 ligger mellan 3 och 4. 11 Här följer ett annat exempel.

Mellan vilka naturliga tal ligger 136 ? Dividerar du 136 med 5 får du 5 136 = 27 med rest 1. 5 Alltså gäller 136 = 27 1 . Du ser då att 136 ligger mellan 27 och 28, alltså att 5 5 5 136 27 < < 28. 5 För att dividera 136 med 5 kan du använda kort division: Du ska beräkna 136 . Du ser att 5 går 2 gånger i 13 och du får 3 kvar. Det ger 36 5 i täljaren. Nu ser du att 5 går 7 gånger i 36 och du får rest 1. Att skriva bråk i blandad form kan också vara ett sätt att jämföra vilket som är störst eller minst. Här följer ett exempel på det. Vi ska avgöra vilket av talen 15 och 17 som är störst. Vi skriver då båda talen i 7 9 blandad form:

15 delat med 7 är lika med 2 med rest 1, alltså gäller 15 = 2 1 . 7 7 17 8 17 delat med 9 är lika med 1 med rest 8, alltså gäller = 1 . 9 9 15 17 Vi ser då att är lite större än 2 medan är lite mindre än 2, det vill säga 17 < 15 . 7 9 9 7 Enklast är förstås att ordna bråk i storleksordning när de har samma nämnare. Du har tidigare lärt dig att tänka på nämnaren som en enhet. Exempelvis är 3 centimeter mindre än 5 centimeter, 7 liter mer än 4 liter och 1 tredjedel mindre än 2 tredjedelar. Vid addition är det viktigt att ha samma enhet. Det är begripligt att addera 3 cm till 5 cm och få 8 cm. På motsvarande sätt är det naturligt att addera 3 tolftedelar till 5 tolftedelar och få 8 tolftedelar, 3 + 5 = 8. 12 12 12 I nästa kapitel ska vi se hur det alltid går att skriva om bråk så att de får samma nämnare. 1.15 Uppgift (Fler liknande uppgifter hittar du på bokens webbplats.)

Mellan vilka två naturliga tal ligger följande bråk? a)

52 12

226 23

39 4

20 19

156 15

675 100

Sammanfattning: Tal i bråkform De rationella talen är de tal som kan skrivas i bråkform, alltså som a . Här är a bråkets b täljare och b bråkets nämnare . Nämnaren står nederst . Strecket kallas för bråkstreck . Att multiplicera täljaren och nämnaren i ett bråk med samma tal a är att förlänga bråket med a . Att dividera täljaren och nämnaren i ett bråk med samma tal a är att förkorta bråket med a . Bråk med täljaren 1 kallas för stambråk . Andra bråk kallas för allmänna bråk . Efter det här kapitlet ska du kunna använda alla de begrepp som är kursiverade och kunna förklara vad de betyder . Du ska kunna förklara täljarens och nämnarens innebörd . Du ska kunna förkorta och förlänga bråk och du ska kunna ordna bråk efter storlek och placera dem på tallinjen .

TESTA DIG SJÄLV

Test 1 När du känner dig säker på de begrepp och uppgifter som finns i det här kapitlet kan du göra Test 1 på bokens webbplats.

Christian Bennet är författare och fil.dr i teoretisk filosofi med doktorskompetens även i matematik. Madeleine Löwing är fil.dr i matematikämnets didaktik och har mångårig erfarenhet av lärarutbildning och kompetensutveckling av lärare.

2 MATEMATIK FRÅN GRUNDEN

Bråk, procent och negativa tal Bokserien Pyramid – Matematik från grunden erbjuder en ny chans att lyckas med matematik, och ger verktyg för grundläggande och fördjupad förståelse. Matematiska missförstånd från tidig inlärning kan orsaka svårigheter i många åldrar, och ytlig förståelse ger problem när matematiken bli mer komplex. Pyramid – Matematik från grunden innehåller förklarande texter för fördjupad förståelse och ett stort antal övningar. Filmer, digitala övningar och test ger ett bra komplement till teorin och övningarna i boken. Böckerna i serien behandlar matematik från grundskolan, men med ett tilltal som passar målgrupperna elever i högstadiet och på gymnasiet, studerande på Komvux och folkhög skola och pedagogisk personal i fortbildning. Böckerna passar som förberedelse för hög skolestudier. Böckerna lämpar sig för dig som vill repetera, bli säkrare på grundläggande räkning och få fördjupad begreppsförståelse. Pyramid 2. Matematik från grunden – Bråk, procent och negativa tal Den andra boken i serien handlar om tal i bråkform, tal i decimalform, procent och negativa tal. Boken behandlar såväl huvudräkning som skriftlig räkning och visar hur olika räknelagar kan användas vid mer komplexa beräkningar.

Art.nr 43845

studentlitteratur.se