9789144182322

RIK MATEMATIK 3B Lärarpaket – Tryckt + Digitalt

LÄS OCH PROVA LÄRARPAKETETS SAMTLIGA DELAR

RIK MATEMATIK 3B Lärarpaket – Tryckt + Digitalt Rik matematik är utvecklat för en undervisning där både elever och lärare är aktiva. Eleverna får resonera, diskutera och lösa problem, och utveckla en djupare förståelse för matematik.

LÄRARHANDLEDNING I lärarhandledningen får du det stöd och de resurser du behöver för att planera och genomföra din undervisning. Det finns mer än 100 detaljerade lektionsförslag per läsår, som ger konkret stöd och tips på saker att betona, frågor att ställa och exempel att visa.

Bildspelen, som hör till varje lektion, fungerar som ett stöd genom hela lektionen, både visuellt för att fånga elevernas uppmärksamhet och för att tydliggöra matematiken med pedagogiska animeringar och bilder. I lärarhandledningen finns även avslutslappar, diagnoser, extra övningsblad m.m.

DIGITALT LÄROMEDEL Det digitala lärarmaterialet är ett komplement till den tryckta lärarhandledningen. Här finns alla digitala resurser samlade, samt kom igång-hjälp och annat stöd som du kan behöva.

Interaktiv version av lärarmaterialet, i vilket det går att söka, stryka under, anteckna och länka.

klicka på bilden och prova

Fungerar på dator, surfplatta och mobiltelefon.

3B Lärarhandledning

3B Lärarhandledning Andreas Ryve Manuel Tenser Patrik Gustafsson Jannika Lindvall Hillevi Gavel Daniel Brehmer Fredrik Blomqvist

Innehållsförteckning Välkommen till Rik matematik! .................................................................5 Ikoner i lärarhandledningen ......................................................................9 Kapitel 6 Mer om skriftliga räknemetoder ............................................10 6.0 Introduktion ....................................................................................... 11 6.1 Omgruppera tal ................................................................................. 17 6.2 Uppskattning vid addition och subtraktion .......................................21 6.3 Addition med skriftliga räknemetoder ..............................................25 6.4 Subtraktion med skriftliga räknemetoder ..........................................29 6.5 Två att välja på – del 1 .......................................................................33 6.6 Två att välja på – del 2 .......................................................................37 6.7 Välja lämplig räknemetod .................................................................. 41 6.8 Repetition ..........................................................................................45 6.9 Diagnos .............................................................................................49 Kapitel 7 Repetition – geometri, storheter och mätning, algebra, statistik och samband ............................................................................54 7.0 Introduktion .......................................................................................55 7.1 Tvådimensionella geometriska objekt ................................................59 7.2 Symmetri ............................................................................................63 7.3 Tredimensionella geometriska objekt ................................................ 67 7.4 Tid och klockan .................................................................................. 71 7.5 Längd ................................................................................................. 75 7.6 Förminskning, förstoring och skala ....................................................79 7.7 Massa och volym ................................................................................83 7.8 Area....................................................................................................87

7.9 Lika med, större än och mindre än.....................................................91 7.10 Obekanta tal och ekvationer ............................................................95 7.11 Talföljder ...........................................................................................99 7.12 Mönster .......................................................................................... 103 7.13 Statistik ........................................................................................... 107 7.14 Sannolikhet ......................................................................................111 7.15 Proportionella samband ................................................................. 115 7.16 Hämta skatten ................................................................................ 119 Kapitel 8 Repetition – tal och tals användning .................................... 124 8.0 Introduktion ..................................................................................... 125 8.1 Tals egenskaper ............................................................................... 129 8.2 Positionssystemet ............................................................................ 133 8.3 Tallinjen ............................................................................................ 137 8.4 Bråk.................................................................................................. 141 8.5 Tanketavlan, addition och subtraktion ............................................. 147 8.6 Huvudräkning vid addition och subtraktion .................................... 151 8.7 Uppskattning ................................................................................... 155 8.8 Skriftliga beräkningar med + och − ................................................ 159 8.9 Tanketavlan, multiplikation och division ........................................... 163 8.10 Huvudräkning vid multiplikation och division ................................ 167 8.11 Analysera räknehändelser .............................................................. 171 8.12 ALP vid problemlösning ................................................................. 175 8.13 Problemlösning .............................................................................. 179

Välkommen till Rik matematik!

Med Rik matematik får du stöd att varje lektion bedriva en strukturerad undervisning där eleverna får resonera, lösa problem, diskutera, tänka och räkna matematik.

Rik matematikundervisning kännetecknas också av att både läraren och eleverna är aktiva – en elevaktiv och lärarledd undervisning. För att genomföra detta har lärarhandledningen mer än 100 detaljerade lektionsförslag per läsår, med bildspel till varje lektion, medan elevboken är full av forskningsbaserade uppgifter och problem. Bildspelen hjälper dig att visualisera och förklara den matematik som ni arbetar med och blir en utgångspunkt för resonemangen.

I din digitala lärarresurs finns lektionernas alla bildspel men där finns också fler resurser, såsom färdighetsträning, avslutslappar, diagnoser och kopieringsunderlag. Lärarresursen når du via licensen som du får när du köper lärarhandledningen.

Inloggning sker på sidan "Min bokhylla" som du hittar på Studentlitteratur.se.

Kapitelstrukturen Alla kapitel här i lärarhandledningen inleds med en kort matematisk och didaktisk genomgång: Vad är det för matematik, vad vet vi från forskning om hur barn lär sig den och hur har vi därför lagt upp undervisningen? Varje lektion har en översiktssida där du bland annat hittar lektionsmålen och en sammanfattning av lektionen. Är du erfaren räcker det kanske att läsa sammanfattningen och klicka igenom bildspelet innan lektionen.

Lektionerna Vill du ha mer stöd så ger lektionsförslaget också en detaljerad bild av hur du med bildspelet kan genomföra lektionen. Här får du konkret stöd och tips på saker att betona, frågor att ställa, exempel att visa. På lektionens sista sida får du tips på vanliga missuppfattningar och fel, hur du kan agera då, och hur du kan ge elever extra stöd och mer utmaning vid behov.

Lektionerna inleds alltid med en uppstartsfas. Här repeterar ni det viktigaste i föregående lektion,

och här får eleverna möta innehållet i den nya lektionen, ofta genom en lärarledd genomgång med stöd av bildspelet. I aktivitetsfasen diskuterar, tänker, räknar och löser eleverna problem, ofta i grupp eller par. Läraren har en viktig roll under aktivitetsfasen i att utmana elever, ställa frågor för att uppmana tänkande och diskussion, samla information inför avslutningen av lektionen, etc. Naturligtvis finns det också tid för enskild färdighetsträning. I avslutsfasen sammanfattar du lektionen tillsammans med eleverna och lyfter upp den centrala matematiken. Ofta gör eleverna en avslutslapp där de får visa vad de lärt sig och samtidigt tänka igenom det mest centrala i lektionen.

Var beredd att anpassa Se lektionsplaneringen som ett förslag, inte som ett strikt manus. Följ inte alltid lektionsplaneringen till punkt och pricka utan utgå ifrån vad eleverna säger och tänker, och styr mot den matematik som de ska lära sig. Om du inte tror att grupparbete kommer att funka, kör par eller enskilt. Förstod de inte? Förklara på ett annat sätt. Och hoppa över delar som eleverna redan förstått.

5

Avslutslappar och diagnoser

Lärarens viktiga roll

Många lektioner avslutas med en avslutslapp.

Det är ett effektivt sätt för dig att ta reda på vad eleverna kan:

Läraren har en central roll i klassrummet. Du planerar undervisningen, diskuterar mål, utmanar elever, förklarar matematik, ställer frågor för att få igång diskussioner, summerar och pekar ut viktiga samband, bedömer, uppmuntrar, skapar struktur, etc. Rik matematik är utvecklat för en undervisning där både elever och lärare är aktiva.

• Har eleverna nått målen?

• Är det något som många har missat?

• Finns det enskilda elever som behöver arbeta mer med något?

Nästan varje kapitel avslutas också med att eleverna gör en diagnos. Svaren matar du enkelt in i diagnosverktyget som visar en sammanställning på klass- och elevnivå. Då kan du svara på frågor som: • Vad kan eleverna bra, vad är svårare?

• Vilka behöver extra anpassningar eller särskilt stöd?

• Vilka behöver utmanas mer?

När du har koll på det kan du fundera på hur din undervisning påverkat resultaten: • Vad gick bra och varför?

• Vad gick mindre bra och varför?

• Vad tar du med dig?

Lärarhandledningen ger dig stöd vid analysen, inte bara av hur elevernas resultat är på individ- och klassrumsnivå utan också hur du kan planera och genomföra framtida undervisning.

Både avslutslappar och diagnoser finns att ladda ner och skriva ut från din digitala lärarresurs.

Förstå läromedlets grundtankar Forskning visar att det kan vara lätt att missförstå grundtanken med ett läromedel – och att normer, rutiner och gamla vanor ibland kan vara ett hinder för förbättring av undervisningen. I Sverige är det t.ex. väldigt vanligt att lärare låter eleverna sitta och räkna själva i boken större delen av lektionerna, i tron att de utvecklas matematiskt på det sättet. I rik matematikundervisning ligger tyngdpunkten på att eleverna lär och utvecklas i samspel med läraren och med varandra. När de arbetar i boken färdighetstränar de oftast för att befästa kunskaper. Vi vet också att allt för få lektioner har en avslutning där den centrala matematiken och lärandet lyfts fram, diskuteras och repeteras. Vi lyfter därför här några viktiga grundtankar i den undervisning som Rik matematik stödjer.

6

Stöd för diskussion och interaktion Att som lärare låta eleverna komma till matematisk förståelse genom att resonera, argumentera och lyssna i matematiska diskussioner är ett arbetssätt som är utmanande för alla lärare, men det är också roligt och stimulerande.

Läromedlet tillhandahåller strukturer och resurser som ger stöd för att du ska lyckas med detta.

Utöver lektionsförlag med tydliga mål och bildspel, tillhandahåller läromedlet en ”verktygslåda” med en uppsättning diskussionstyper, lärartaktiker och en repertoar av frågetyper som du kan använda för att styra diskussion och interaktion mot avsett mål.

Ramverk för diskussion och interaktion

Målfokus istället för sidfokus Ha fokus på mål och lärande istället för ett fokus på hur långt eleverna kommit i elevboken. Alla ska inte göra alla uppgifter. När eleverna nått målen ska ni gå vidare till nästa lektion, och nästa mål.

Det viktiga är elevernas lärande och större delen av lärandet sker under aktiviteter där de inte sitter själva och löser uppgifter i boken. Det är också viktigt att eleverna inte tror att matematik handlar om att räkna många uppgifter så snabbt som möjligt. Matematiker tänker, funderar och försöker förstå begrepp och samband. Matematiker löser problem.

Elevbok Det är en vanlig missuppfattning att alla elever måste göra alla uppgifter i elevboken, under eller efter lektionen. Det är inte tanken. Det viktiga är att eleverna når lektionsmålen.

Om du har elever som är snabba eller behöver utmanas kan de arbeta med de mer utmanande uppgifterna, vilka markeras med en eller två cirklar innan instruktionen.

När snabba elever räcker upp handen och anser sig klara med alla uppgifterna, måste du kontrollera om de verkligen löst uppgifterna med tillräcklig noggrannhet och kvalité. Utmana dem i att vara noggranna istället för snabba, genom att låta dem göra om slarvigt eller felaktigt utförda uppgifter, och uppmana dem att i fortsättningen vara noggranna från början.

Korta pass med färdighetsträning Lägg in färdighetsträningspass mellan lektionerna.

Det är bra att kunna saker utantill eftersom det frigör utrymme för tänkande och problemlösning. Lägg in pass på 5–20 minuter emellanåt då eleverna får träna för att befästa delar av matematiken, exempelvis genom arbete i elevboken eller träning med winnetkakort.

Winnetkakort är små papperskort med ett räkneuttryck på ena sidan, till exempel en addition, där summan av additionen framgår av kortets baksida.

Korten är lämpliga för färdighetsträning som syftar till att eleverna ska bli mer förtrogna med olika räknestrategier och automatisera grundläggande talkombinationer. Winnetkakort finns för utskrift i den digitala lärarresursen.

Tomoyo Tomoyo är ett spelifierat, digitalt läromedel där arbetet med de matematiska momenten varvas med fantasifulla berättelser. Tomoyo ingår i elevpaketet.

Klassrumsnormer och Professor Uggla För att kunna bedriva en rik matematikundervisning är det viktigt med ett tillåtande och respektfullt klassrumsklimat där eleverna vågar berätta vad de tänker, vågar göra fel och är tysta och lyssnar när någon annan har ordet. Strukturer och resurser som stödjer detta arbetssätt finns inbyggt i materialet. Till din hjälp har du även karaktären Professor Uggla som dyker upp i bildspelen och hjälper till att etablera de viktigaste klassrumsnormerna.

Ramverk för Rika klassrumsnormer

Arbeta långsiktigt!

Arbeta med tålamod och långsiktighet! Rik matematikundervisning är mer utmanande än att låta eleverna sitta ensamma och räkna i boken. Stressa inte upp dig om det inte fungerar perfekt direkt. Kapitel och lektioner kan ta längre tid i början.

I takt med att ni – du och eleverna – lär er hur Rik matematik fungerar och kommer in i arbetssättet, kommer det att gå allt lättare och bättre. Låt det ta den tid det tar! Tänk på att du ska ha eleverna i tre läsår.

Ta hjälp av det stöd som finns i den digitala lärarresursen och hos Rik-matematikkollegor för att snabbare komma in i läromedlet. Skriv till oss på Rik matematik-sidan på Facebook om du behöver råd och stöd.

Elevens motivation och engagemang höjs när hen får snabb återkoppling och samlar poäng och märken.

Svårighetsnivån regleras automatiskt. Övningarna anpassas så att eleven får dem på samma, enklare eller svårare nivå, beroende på hens tidigare svar.

I Tomoyo är all text inläst och till varje övning finns det skräddarsydd hjälp i form av filmer, tips och begreppsförklaringar.

Som lärare kan du skapa ett digitalt klassrum och på så sätt följa dina elevers arbete och skicka uppdrag.

Här hittar du även förberedda uppdrag som är kopplade till lektionerna i Rik matematik.

7

Digitalt stöd Det digitala stöd som hör till lärarhandledningen finns i din digitala lärarresurs.

Lärarresursen når du via licensen som du får när du köper lärarhandledningen.

Inloggning sker på sidan "Min bokhylla" som finns på studentlitteratur.se.

För att visa bildspelen (ppt) som inleder varje lektion, laddar du först ner dem till din dator och öppnar sedan upp dem med Powerpoint.

Bildspelen är ofta animerade. Se till att starta bildspelen så att du får en verklig bild av hur de ser ut.

Om din skola inte har en installerad version av Powerpoint kan du använda den webbaserade gratisversionen av Powerpoint.

Om du arbetar med en Chromebook kan du se filmen nedan för att lära dig om hur du då startar upp bildspelen.

Så här fungerar bildspelen i Rik matematik Så här fungerar de webbaserade bildspelen i Rik matematik Så här fungerar Rik matematiks bildspel med Chromebook

8

Ikoner i lärarhandledningen Förmågeikoner Ikonerna visar vilken/vilka förmågor som lektionen direkt utvecklar.

|B|

Begreppsförmåga

|K|

Kommunikationsförmåga

| M | Metodförmåga |P|

Problemlösningsförmåga

|R|

Resonemangsförmåga

Konstellationsikoner Dessa ikoner visar i vilken konstellation en aktivitet är tänkt att genomföras i.

Undervisning under lärarens ledning Enskilt arbete Enskilt arbete i elevboken Arbete i par Arbete/diskussioner i grupp

Övriga ikoner

Här kommer du direkt till bildspelet.

Ljudfil i bildspelet Visar att det finns en särskild funktion i bildspelet och att läraren måste klicka på ett särskilt sätt för att använda funktionen.



Stanna upp innan du klickar fram svaret. Fråga hur ni kan göra.

BETÄNKETID Film Dokumentet kan laddas ner.

Övrigt

Referat av det som sägs av berättarrösten Extra information Guldkantslektion

9

Kapitel 6

Mer om skriftliga räknemetoder

3B Lärarhandledning 10

| Introduktion

6.0 Introduktion Syftet med kapitlet är att befästa elevernas förståelse för positionssystemet, talsorterna och skriftliga räknemetoder för addition och subtraktion. Syftet är också att eleverna ska bli säkrare på att beräkna additioner och subtraktioner inom talområdet 0–999 med skriftliga räknemetoder.

Sammanfattning I kapitlets första lektion repeterar ni hur positionssystemet fungerar, och eleverna får öva på att omgruppera tal.

I lektion 2 repeterar ni vad en uppskattning är och hur man kan göra uppskattningar av summan respektive differensen vid addition och subtraktion.

Eleverna övar sedan på att göra uppskattningar.

I Lektion 3 och 4 repeterar ni de skriftliga räknemetoder för addition och subtraktion som ni arbetat med tidigare, och eleverna får öva på att göra beräkningar med skriftliga räknemetoder.

Efter detta följer guldkantslektionen Två att välja på, som är uppdelad på två lektioner där del 1 utgörs av lektion 5 och del 2 av lektion 6. I del 1 påminner professor Uggla om vad kombinatorik är, och eleverna får försöka komma på hur man kan beräkna antalet möjliga kombinationer istället för att ta reda på svaret genom att pröva sig fram.

I del 2 bygger ni vidare på detta med att ha två att välja på när eleverna får upptäcka det binära talsystemet. Eleverna får där upptäcka att man även med det binära talsystemet kan skriva oändligt många tal, trots att man bara har två siffror att välja på, 0 och 1.

I lektion 7 får eleverna resonera om i vilken mån olika skriftliga räknemetoder är effektiva beroende på situation, dvs. vilka tal som ingår i beräkningen och om beräkningen kräver att växling görs eller inte. Eleverna får också felsöka exempel på beräkningar med skriftliga räknemetoder för att ta reda på vad som blivit fel och vad det kan bero på.

Kapitlet avslutas med en repetitionslektion följt av en diagnos.

Lektionsöversikt

sidan

1: Omgruppera tal

17

2: Uppskatta vid addition och subtraktion

21

3: Addition med skriftliga räknemetoder

25

4: Subtraktion med skriftliga räknemetoder

29

5: Två att välja på – del 1

33

6: Två att välja på – del 2

37

7: Välja lämplig räknemetod

41

8: Repetition

45

9: Diagnos

49

Pedagogisk planering – Mer skriftliga räknemetoder Uppgifternas koppling till förmågorna, kunskapskrav, centralt innehåll och mätområden

11

Kapitel 6 | Mer om skriftliga räknemetoder

6.0.1 Positionssystemet, talsorter och uppskattningar Vårt skrivsystem för tal är ett positionssystem med basen 10. Det bygger på att en siffras betydelse i ett tal beror av vilken siffran är och vilken position siffran står på i talet. Det gör det möjligt att beteckna tal av vilken storlek som helst med ett begränsat antal symboler, siffrorna 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 och 0.

Tiobassystemet är konstruerat så att i ett heltal så är siffran längst till höger entalssiffran. Entalssiffran visar hur många ental som talet har. Varje steg till vänster innebär en ökning med en faktor 10 i det decimala systemet.

Det innebär att andra siffran, den som är till vänster om entalssiffran, visar hur många tiotal som talet har. Den kallas tiotalssiffran. Enligt samma logik är siffran till vänster om tiotalssiffran hundratalssiffran, till vänster om den står tusentalssiffran, och så vidare. Med matematisk notation kan man skriva att talet abcd ska tolkas som a · 1000 + b · 100 + c · 10 + d · 1

eller, om man använder potenser, som

a · 103 + b · 102 + c · 101 + d · 100

Man använder ibland ordet platsvärde för en siffra i talet; platsen där a står har i det här fallet platsvärdet 1000.

Systemet kan också vidareutvecklas med siffror till höger om entalssiffran. Dessa kallas decimaler. Decimaler kommer vi in på i åk 4–6.

Förstå och använda positionssystemet För att eleverna ska utveckla en grundläggande förståelse för positionssystemet, talsorter och platsvärde har vi arbetat systematiskt med det sedan starten åk 1. Det började med att utveckla deras grundläggande taluppfattning, förståelse för tals egenskaper, räknesätten och hur man kan representera tal, utsagor och räkneoperationer på olika sätt med matematiska symboler, tiobasmaterial och bilder.

Förståelse för tiobassystemet bygger på:

1) förståelse för tiobasidén och färdighet i att gruppera i grupper om tio; Förståelse för tiobassystemet är avhängigt en tillräckligt god taluppfattning för att eleven ska kunna förstå samma tal på flera olika sätt, t.ex. 32 som tre tiotal och två ental samtidigt som ett tiotal och 22 ental. Detta kallas för ekvivalent gruppering: Oavsett hur ett visst tal grupperas så är det alltid samma antal. När elever förstår detta kan de gruppera i, och operera med, 10-grupper och 100-grupper på ett flexibelt sätt.

12

2) förståelse för och färdighet i att läsa av och skriva tal med siffror; Eleverna behöver kunna koppla ihop uttalade tal och tal skrivna med bokstäver med tal skrivna med siffror.

3) förståelse för platsvärde;

Eleverna behöver kunna koppla ihop tiobasidén och hur man läser och skriver tal med en förståelse för platsvärde. Det räcker inte att eleverna kan säga t.ex. ”siffran 3 i talet 35 står för tre tiotal”. De behöver också ha en djupare förståelse för vad det betyder: Eftersom siffran 3 står på tiotalsplatsen talar den om att det finns tre grupper om tio i talet 35, vilket är lika mycket som 30.

De behöver också förstå siffran 0:s funktion som platshållare. I t.ex. talet 302 visar nollan att talet saknar tiotal, samtidigt som den gör att trean representerar tre hundratal eftersom den står två steg till vänster om entalspositionen.

4) sambandet mellan allt detta; tiobasidén, talsorter och hur tal representeras med siffror i vårt positionssystem.

Uppskattningar Uppskattningar, också kallat överslag eller överslagsräkning, har länge haft en undanskymd roll i matematikundervisningen, trots att det av flera orsaker visat sig vara en mycket viktig färdighet. Att arbeta med uppskattningar är ett bra sätt att utveckla taluppfattning och förståelse för positionssystemet, platsvärde och talsorterna. Det är också bra att kunna göra uppskattningar av andra skäl – dels för att kunna bedöma om svaret som har räknats fram är rimligt eller inte så att man snabbt upptäcker om man har räknat fel, dels för att det i många situationer i vardagen räcker med att göra en uppskattning istället för en faktisk beräkning.

Det finns många olika strategier för uppskattning av beräkningar. I Rik matematik fokuserar vi på avrundning, kompensering och kompatibla tal.

6.0.2 Skriftliga räknemetoder

Skriftliga räknemetoder, ibland kallat algoritmer, är ett samlingsnamn för olika sätt att stegvis genomföra en beräkning enligt ett standardiserat mönster. När man använder en skriftlig räknemetod utför man en beräkning, steg för steg, i enlighet med metoden.

Det kanske mest kända exemplet på en skriftlig räknemetod är uppställning, även kallad standardalgoritmen.

Vi kallar metoden för uppställning.

Räknemetoder i detta kapitel bygger på tillämpningar av den teori för addition och subtraktion som gåtts

| Introduktion igenom i åk 2. Vid behov kan du gå tillbaka och läsa valda delar av kapitelintroduktionerna i relevanta kapitel, främst kapitel 8 i åk 2.

Undervisa om skriftliga räknemetoder Liksom i tidigare undervisning om skriftliga räknemetoder kommer vi här att arbeta med flera olika skriftliga räknemetoder på flera olika sätt. Eleverna får resonera om hur metoderna fungerar och vilka metoder som har för- och nackdelar i olika situationer. Det är nämligen viktigt att eleverna förstår metoderna som de använder istället för att enbart memorera stegen och utföra dem rent mekaniskt. Alla elever behöver dock inte kunna alla metoder. Poängen är att alla elever ska ha en repertoar av metoder så att de alltid har någon metod som fungerar bra, oavsett vilken situation de hamnar i. Exakt vilka metoder varje elev föredrar är en smaksak, och därför är det bra att de får möjligheten att lära sig flera för att hitta de metoder som de gillar mest. Däremot bör alla kunna de skriftliga räknemetoderna Uppställning och Hopp på tallinjen mycket väl, eftersom det är hållbara metoder oavsett vilka termer som ingår i beräkningen.

Vid det här laget förstår förhoppningsvis alla elever åtminstone några metoder ganska väl. Det är då viktigt att de färdighetsträngar för att befästa förståelsen och uppnå en högre grad av säkerhet och räkneflyt med metoderna, vilket detta kapitel delvis syftar till.

Skriftliga räknemetoder för addition Det finns många olika skriftliga räknemetoder för addition. Nedan sammanfattar vi kortfattat de vanligaste.

Uppställning behandlas i ett eget avsnitt under rubriken Uppställning.

Talsorterna för sig I metoden Talsorterna för sig delas de ingående termerna upp i talsorter, varpå talsorterna adderas var för sig.

I denna metod skapar man en ny term för varje talsort som motsvarar båda de ursprungliga termernas antal av respektive talsort, varpå de nya termerna adderas. Ett exempel är 122 + 34 = 100 + 50 + 6 = 156. Metoden är särskilt lämplig om beräkningarna inte kräver växling över talsorterna.

Hopp på tallinjen Metoden Hopp på tallinjen innebär att en av termerna delas upp i talsorter varpå dessa adderas till den andra termen en i taget. Ett exempel är 57 + 22 = 77 + 2 = 79. Även denna metod är lämplig om beräkningarna inte kräver några växlingar över talsorterna. En fördel med metoden är att den är lätt att illustrera med hjälp av tallinjen.

Kompatibla tal I metoden Kompatibla tal flyttar man ental från den ena termen för att skapa ett jämnt tiotal i den andra. Ett exempel är 46 + 39 = 50 + 35 = 85 där man flyttar fyra ental från 39 till 46 för att skapa ett jämnt tiotal i den ena termen. Metoden är särskilt lämplig vid addition med växling. I metoden Kompatibla tal underlättas växlingen genom att eleven kan använda sina tidigare kunskaper om 10-kamrater.

Skriftliga räknemetoder för subtraktion Precis som för addition så finns det många olika skriftliga räknemetoder för subtraktion. Vi fokuserar på några, utöver uppställning, vilka alla fungerar för alla subtraktioner, även om de är mer eller mindre effektiva beroende på vilka termer uttrycken har. Nedan beskriver vi metoderna kortfattat.

Talsorterna för sig I denna metod delas de ingående termerna upp i talsorter varpå talsorterna subtraheras var för sig. Ett exempel är 88 − 32 = 50 + 6 = 56 där man först subtraherat tre tiotal ifrån den första termens åtta tiotal, och sedan subtraherat två ental ifrån den första termens åtta ental.

Därefter summeras de tiotal och ental som blev kvar, i det här fallet fem tiotal och sex ental. Metoden är lämplig vid subtraktion utan växling. Vid växlingar är det vanligt att eleverna gör misstag, då de glömmer att tal måste omgrupperas. Uppmuntra därför eleverna att i dessa fall använda en annan räknemetod.

Hopp på tallinjen Metoden innebär att den andra termen, den som ska subtraheras ifrån den första termen, delas upp i talsorter som sedan subtraheras från den första termen. Ett exempel är 72 − 25 = 52 − 5 = 47. En fördel med metoden är att den är lätt att illustrera med visuellt stöd.

Kompatibla tal Metoden går ut på att omgruppera den andra termen för att skapa en enklare subtraktion. Ett exempel är 72 − 25 = 72 − 22 − 3 = 50 − 3 = 47. Metoden passar extra bra om beräkningen kräver växling över tiotalet.

Denna metod innebär då färre steg än de två tidigare metoderna och är lättare att göra i huvudet.

Tänk addition (Jämföra på tallinjen) Metoden Tänk addition passar bra när de ingående termerna ligger mycket nära varandra. Ett exempel är subtraktionen 151 − 149, där det endast är två steg på tallinjen från 151 till 149 och 149 + 2 = 151. Då tallinjen

13

Kapitel 6 | Mer om skriftliga räknemetoder är ett kraftfullt verktyg för att illustrera metoden kallas den också Jämföra på tallinjen.

Uppställning Alla elever behöver vara helt säkra på den skriftliga räknemetoden Uppställning, både för addition och subtraktion. Detta bygger på att eleven har en god förståelse för talsorter och positionssystemet. Om eleverna säkert kan beräkna med uppställning så utgör detta tillsammans med t.ex. metoden Hopp på tallinjen en bra grundläggande repertoar av metoder som gör att eleven kan göra alla olika typer av beräkningar, oavsett räknesätt och om eleven måste göra flera växlingar eller inte.

Addition med uppställning Den skriftliga räknemetoden uppställning går ut på talsortsuppdelning. Formen för uppställningen kan beskrivas som en tabell där termerna står på rader och där kolumnerna utgör talsortskolumner, se exemplet nedan.

Den nedersta raden kan ses som summeringsraden.

Termerna placeras på raderna ovanför summeringsraden så att entalssiffrorna hamnar i entalskolumnen, tiotalssiffrorna i tiotalskolumnen, etc. Om termerna har olika antal siffror placeras de överskjutande positionerna i nya kolumner åt vänster.

Här illustreras hur 975 + 864 beräknas med uppställning: 00 01 01 00

00

01 00 00

00 01 00 00

00 01 00 00

975 975 975 975 +864 +864 +864 +864 1443 4 4 9 1 4 39 1 8 3 9

Först adderas antalet ental, vilka ges av entalssiffrorna.

Här ger det additionen 5 + 4 = 9. Resultat ger antalet ental i summan, vilket noteras på summeringsraden i entalskolumnen. Därefter adderas antalet tiotal på motsvarande sätt. Tänk på att det är antalet tiotal som adderas. Det spelar här ingen roll att det är just tiotal. Här ger det additionen 7 + 6 = 13. Det är då alltså sammanlagt ett antal om 13 tiotal. I talet 13 anger siffran 3 hur många tiotal som ska noteras på summeringsraden i tiotalskolumnen och siffran 1 hur många hundratal som ska noteras i hundratalskolumnen ovanför den översta termen (se exemplet ovan). Tio stycken tiotal är som bekant ett hundratal. Därefter adderas antalet hundratal enligt samma princip: 1 + 9 + 8 = 18. Det är då alltså sammanlagt ett antal om 18 hundratal. I talet 18 anger då siffran 8 hur många hundratal som ska noteras på summeringsraden i hundratalskolumnen och siffran 1 hur många tusental som ska noteras i tusentalskolumnen men på summeringsraden. Att den noteras där beror på att det inte är några termer som ska adderas i tusentalskolumnen. Uppställningen är klar, additionen är genomförd.

14

Uppställning kan användas för addition med tal med fler siffror än tre, och för fler termer än två. Man startar alltid med minst signifikanta talsorten, vilket är ental så länge man bara arbetar med heltal, och adderar en talsort i taget. Om summan av antalet av en viss talsort blir flersiffrig, t.ex. 13, så noteras siffrorna till vänster om nämnda summas entalssiffra, i det här fallet siffran 1, som en minnessiffra överst i nästa talsortskolumn. Detta fungerar eftersom positionen ett steg till vänster i vårt positionssystem alltid är värd tio gånger mer än positionen till höger. Tio ental motsvarar ett tiotal, tio tiotal motsvarar ett hundratal, etc.

Uppställning fungerar även för decimaltal. Eftersom olika termer kan ha olika antal decimaler är det då avgörande att förstå principen om att de positioner i termerna som representerar samma talsort ska stå i samma talsortskolumn. Man bör därför aldrig säga att det är ”sista siffran” man går efter, utan istället uttrycka det som ”entalssiffra över entalssiffra”, etc.

Subtraktion med uppställning Även subtraktion med uppställning bygger på talsortsuppdelning och formen är i stort sett densamma som för addition (se exempel nedan). Det finns dock en avgörande skillnad. Skillnaden är att subtraktionens första term måste skrivas i den översta raden, eftersom subtraktion till skillnad från addition inte är kommutativt.

I övrigt noteras termerna på samma sätt så att siffrorna hamnar i rätt talsortskolumn. Den nedersta raden är differensraden där differensen kommer att noteras.

Här visas subtraktionen 1839 − 864: 00 01 10 00

00

01 00 00

00 01 10 00

00 10 10 00

1839 1839 1839 1839 −864 −864 −864 −864 1975 975 1975 975

Det är den andra termen som ska subtraheras ifrån den första, och den andra termen står alltså alltid under den första termen. Man börjar med den minst signifikanta talsorten, i det här fallet ental. Först subtraheras alltså fyra ental ifrån nio ental, vilket ger subtraktionen 9 − 4 = 5. Differensen av den uppställda subtraktionen kommer alltså att ha fem ental, och siffran 5 noteras därför i entalskolumnen på differensraden.

Av tiotalskolumnen framgår att sex tiotal ska subtraheras ifrån tre tiotal, vilket inte går: man kan inte ta bort sex tiotal om man bara har tre att ta bort ifrån. Svaret är därför odefinierat. Därför får man ta ett av de åtta hundratalen och växla till tio stycken tiotal som läggs till överst i tiotalskolumnen. Detta markeras genom att man noterar 10 överst i tiotalskolumnen och drar ett streck över 8:an. Nu har man istället 13 tiotal ifrån vilka

| Introduktion sex tiotal ska subtraheras, och det ger en subtraktion som går att lösa endast med naturliga tal: 13 − 6 = 7.

Differensen av den uppställda subtraktionen kommer alltså att ha sju tiotal, och siffran 7 noteras på differensraden i tiotalskolumnen.

Vi har tidigare starkt avrått ifrån att lära eleverna minnesregeln ”störst går först”. Här är ett bra exempel på varför. Elever som arbetar efter ”störst går först” kommer att vilja dra det minsta talet från det största och därför beräkna 6 − 3 = 3. När eleven då noterar siffran 3 i tiotalskolumnen blir differensen felaktig.

Slutligen ska hundratalen subtraheras. Av de sju hundratalen i första termen − observera att det är just sju hundratal eftersom siffran 8 i hundratalskolumnen sedan tidigare är överstruken då ett hundratal tidigare har växlats mot tio stycken tiotal − ska åtta subtraheras, eftersom det är åtta hundratal i den andra termen.

Detta går inte heller enbart med naturliga tal och man får därför göra på samma sätt som med tiotalen: man får växla första termens enda tusental mot tio hundratal. Detta visas genom att 1:an i tusentalskolumnen på första termens rad stryks över och 10 noteras överst i hundratalskolumnen. Nu har man istället 17 hundratal, från vilka åtta hundratal ska subtraheras, vilket ger 17 − 8 = 9. Differensen av den uppställda subtraktionen kommer alltså att ha nio hundratal, och siffran 9 noteras på differensraden i hundratalskolumnen.

Efter detta är den uppställda subtraktionen genomförd eftersom det inte finns några talsorter kvar att subtrahera.

Vanliga problem och missuppfattningar En vanlig missuppfattning avseende uppställning är att eleven vill räkna från vänster till höger, dvs. i läsriktningen, istället för att börja med entalen.

Ett vanligt problem vid uppställning, precis som med andra skriftliga räknemetoder, är att elever memorerar hur stegen i metoden rent mekaniskt går till utan utveckla förståelse för vad som sker när de använder den. Det kan i många fall bero på att de fått undervisning som inte varit förståelseorienterad. Elever som har förståelse för stegen i en räknemetod kan återkonstruera metoden när den behövs istället för att hänga upp den på att behöva minnas utantill hur den rent mekaniskt går till. På så sätt minskar också risken för att göra fel utan att man upptäcker det.

När det gäller addition med uppställning är ett vanligt problem att elever efter att ha beräknat talsorterna var för sig tappar kopplingen till positionssystemet och t.ex. kommer fram till att 57 + 69 = 1116. Eleven har

då först adderat entalen, 7 + 9 = 16, och noterat 16 på summeringsraden istället för att bara notera siffran 6 i entalskolumnen på summeringsraden och siffran 1 överst i tiotalskolumnen. Därpå har eleven adderat tiotalen, 5 + 6 = 11, och noterat 11 till vänster om 16 på summeringsraden. På så sätt ges att summan av 57 + 69 är lika med 1116. Här har eleven inte memorerat exakt hur stegen i räknemetoden går till och inte förstått metoden.

Om du märker att elever har det här problemet bör du ställa frågor till dem för att försöka få dem att se orimligheten i den typen av felsvar. Ett sätt är att låta dem lösa uppgiften med en annan räknemetod och/eller använda tiobasmaterial, samt låta dem uppskatta svaren i förväg för att bedöma rimligheten i sina svar. Du kan också låta dem skriva upp de partiala summorna och sedan addera.

Hjälp dem att förstå vad de gör kopplat till positionssystemet och i termer av talsorter.

När det gäller subtraktion med uppställning är det vanligt att elever flyttar siffror mellan termer för att få lättare beräkningar och t.ex. byter plats på sjuan och nian så att 57 − 29 blir 59 − 27. Denna missuppfattning tacklas bäst med modellering med konkret material. Modellera uppgiften med 10-rutor och tiobasmaterial för att visa orimligheten i bytet för eleven.

Arbeta vidare med skriftliga räknemetoder För att eleverna ska bli säkra på skriftliga räknemetoder måste de färdighetsträna kontinuerligt. Skriv gärna upp en eller ett par additioner eller subtraktioner med och utan växling som eleverna får lösa på egen hand med en skriftlig räknemetod. Detta är utmärkt att göra på färdighetsträningspass eller i väntan på att alla elever kommer in från rast och liknande. Använd gärna övningsblad, spel och annat som ni tidigare har arbetat med och gör anpassningar vid behov.

6.0.3 Referenser

Baroody, A. J., & Purpura, D. J. (2017). Early number and operations: Whole numbers. I C. J. (Red.), Compendium for research in mathematics education (s. 308–354). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Carpenter, T., Franke, M., Jacobs, V., Fennema, E., & Empson, S. (1998). A longitudinal study of invention and understanding in children’s multidigit addition and subtraction. Journal for Research in Mathematics Education, 29(1), 3-20 Fischer, J. P., Vilette, B., Joffredo-Lebrun, S., Morellato, M., Le Normand, C., Scheibling-Seve, C., & Richard, J. F. (2019). Should we continue to teach standard written 15

Kapitel 6 | Mer om skriftliga räknemetoder algorithms for the arithmetical operations? The example of subtraction. Educational Studies in Mathematics, 101(1), 105–121.

Foegen A., & Dougherty, B. (2017). Instruction that meets the needs of students with mathematical disabilities and difficulties I C. J. (Red.), Compendium for research in mathematics education (s. 893–907). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

McIntosh, A. (2020). Förstå och använda tal: En handbok.

Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning.

Selter, C. (2001). Addition and subtraction of three-digit numbers: German elementary children’s success, methods and strategies. Educational Studies in Mathematics, 47(2), 145–173.

Van de Walle, J. A., Karp, K. S., & Bay-Williams, J. M. (2020). Elementary and middle school mathematics: Teaching Developmentally, Global Edition (uppl. 10).

Pearson Education.

Woodward, J. (2006). Developing automaticity in multiplication facts: Integrating strategy instruction with timed practice drills. Learning Disability Quarterly, 29(4), 269–289

16

|B|K|R|

Lektion 1 | Omgruppera tal

6.1 Omgruppera tal Syftet med lektionen är att befästa elevernas förståelse för positionssystemet genom att undersöka hur ett och samma tal kan konstrueras och uttryckas på olika sätt med hundratal, tiotal och ental. Den förståelsen är nödvändig för att kunna förstå och utföra omgrupperingar vid huvudräkning och skriftliga beräkningar.

Lektionsmål • Eleven förstår att ett och samma tal kan grupperas på olika sätt och visar det genom att gruppera t.ex. 246 på fler sätt än som två hundratal, fyra tiotal och sex ental.

Matematiska begrepp: Ental, tiotal, hundratal, tusental, omgruppera, utvecklad form.

Material: Tiobasmaterial och/eller läromedelspengar (hundralappar, tiokronor och enkronor) att ge elever vid behov.

Förberedelser • Skriv ut avslutslappar.

Avslutslapp

SvA: Gruppera, dela upp

1 2 3

1 2 3

Uppstart

Repetition: Positionssystemet Du repeterar sambandet mellan talsorterna (ental till tusental) och hur positionssystemet fungerar: Varje siffra i ett tal visar hur många av en viss talsort talet har beroende på vilken plats i talet som siffran står på.

Repetition: Utvecklad form Du repeterar med 2487 som exempel hur man skriver tal i utvecklad form.

Genomgång: Omgruppera tal Du går igenom att man kan omgruppera tal, men att det är samma tal hur man än grupperar det.

Genomgång: Beräkna med hjälp av omgruppering Du visar och förklarar hur man kan omgruppera tal för att underlätta beräkningar.

10 min

1 2 3

Aktivitet

Parabete: Omgruppera på tre olika sätt Paren omgrupperar talet 246 på tre olika sätt.

Redovisning: Olika grupperingar av 246 Du låter några par redovisa hur de har grupperat talet 246 genom att säga hur många hundratal, tiotal och ental de har använt. Du sammanfattar varje gruppering med att förtydliga att talet fortfarande är 246 även om det är grupperat på ett annat sätt.

Avslut

Sammanfattning: Vad har vi lärt oss?

Du sammanfattar att tal kan grupperas på olika sätt och att man ibland behöver omgruppera ett tal för att underlätta en beräkning. Du visar ett exempel på det med subtraktionen 246 − 83 där växling måste göras.

Avslutslapp

Elevboken s. 6–8

30 min

10 min

17

Kapitel 6 | Mer om skriftliga räknemetoder

Uppstart 2 Repetition: Positionssystemet

10 min

Peka och säg att talet har ett ental, vilket visas med siffran 1 på entalsplatsen. Klicka och lägg till ett ental i taget. Stanna på talet 9. Fråga: ”Vad händer om vi lägger till ett ental till?”

BETÄNKETID. Påminn om JAG MED och låt någon svara. Konstatera att det då är tio ental, alltså ett tiotal, eftersom en grupp om tio ental är ett tiotal.

Fråga: ”Hur visar man med siffror att talet har ett tiotal och noll ental?” BETÄNKETID. Låt någon svara, och om hen ger en bra förklaring låter du någon annan ÅTERGE den. Visa och konstatera att man skriver siffran 0 på entalsplatsen för att visa att talet har noll ental, och siffran 1 på tiotalsplatsen för att visa att talet har ett tiotal.

Säg: ”Ett tiotal är tio gånger större än ett ental. Ett ental är en tiondel så stort som ett tiotal.”

Visa och förklara att tio stycken tiotal är ett hundratal, vilket motsvarar talet 100. Siffran 1 på hundratalsplatsen visar att talet har ett hundratal, och siffran 0 på tiotalsplatsen och entalsplatsen visar att talet har noll tiotal och noll ental. Ett hundratal är tio gånger större än ett tiotal. Ett tiotal är en tiondel så stort som ett hundratal.

Visa och förklara på samma sätt med ett tusental.

3 Repetition: Utvecklad form Peka och förklara: ”Man kan skriva ett tal i utvecklad form. Det betyder att man skriver ett uttryck som visar vad varje siffra i ett annat tal står för. I talet 2487 står siffran 2 på tusentalsplatsen och visar att talet har två tusental. Två tusental motsvarar 2000.”

Klicka, och fortsätt förklara på samma sätt tills talet är skrivet i utvecklad form.

4 Genomgång: Omgruppera tal Peka på tiobasmaterialet (16 tiotal och tre ental). Fråga: ”Vilket tal är det här?” Låt eleverna SURRA . Fördela ordet tills någon svarar ”163”. Visa och förklara att man kan omgruppera och skapa ett hundratal av tio stycken tiotal så att det är ett hundratal, sex tiotal och tre ental.

Klicka, och talet omgrupperas till ett hundratal, fem tiotal och 13 ental.  Fråga: ”Vilket tal är det nu?” BETÄNKETID Fördela ordet tills någon svarar ”163” eller ”samma tal”. Påminn om JAG MED och be hen förklara hur hen tänker. Låt någon annan ÅTERGE om det är en bra förklaring. Förklara själv vid behov: Oavsett hur man grupperar så är det fortfarande lika mycket, det är fortfarande samma tal.

5 Genomgång: Beräkna med hjälp av omgruppering Visa och förklara: ”Man kan omgruppera tal för att lättare kunna göra subtraktionsberäkningar där man behöver växla mellan talsorter. Om man t.ex. ska beräkna 163 − 48 kan man omgruppera 163 till ett hundratal, fem tiotal och 13 ental. Om man sedan subtraherar åtta ental och fyra tiotal så kan man konstatera att 163 – 48 = 115.”

18

Lektion 1 | Omgruppera tal

Aktivitet 6 Parabete: Omgruppera på tre olika sätt

30 min

Dela in eleverna i par och be dem slå upp s. 4 i elevboken. Se till att det finns tiobasmaterial och/eller läromedelspengar till de som behöver.

Visa talet 246 med tiobasmaterial i bildspelet. Fyll i två stora kvadrater, fyra stavar och sex små kvadrater och konstatera: ”Talet 246 är grupperat i två hundratal, fyra tiotal och sex ental.”

Säg: ”Nu ska ni omgruppera talet 246 på tre olika sätt. Omgruppera betyder att man grupperar samma tal på ett annat sätt.

När ni kommit på ett sätt fyller ni i så många av varje talsort i elevboken och skriver hur många hundratal, tiotal och ental det är.”

Låt paren börja när alla har förstått. CIRKULERA .

7 Redovisning: Olika grupperingar av 246 Låt några par redovisa hur de har grupperat talet 246 genom att säga hur många hundratal, tiotal och ental de har använt. Övriga par kan beräkna omgrupperingen för att se att det är talet 246.

Det räcker med tre–fyra olika förslag. Sammanfatta varje gruppering med att förtydliga att talet fortfarande är 246, även om man grupperat talet på ett annat sätt.

8 Elevboken s. 6–8

Avslut 9 Sammanfattning: Vad har vi lärt oss?

10 min

Sammanfatta och visa: ”Tal kan grupperas på olika sätt, och man behöver ibland omgruppera ett tal för att underlätta en subtraktionsberäkning där man behöver växla mellan talsorter. Här är talet 246 grupperat som två hundratal, fyra tiotal och sex ental. Om man ska subtrahera 83 ifrån 246, alltså beräkna subtraktionen 246 − 83, kan man växla ett hundratal till tio stycken tiotal och därmed omgruppera talet 246 till ett hundratal, 14 tiotal och sex ental. Sedan kan man subtrahera tre ental och åtta tiotal och då ser man att 246 – 83 = 163.”

10 Avslutslapp Eleverna omgrupperar talet 123 på något annat sätt än ett hundratal, två tiotal och tre ental.

19

Kapitel 6 | Mer om skriftliga räknemetoder

6.1.1 Uppmärksamma och stötta Det är viktigt att eleverna förstår att de kan gruppera ett givet tal på olika sätt och att talet är detsamma oavsett gruppering. Att elever har denna förståelse, och kan omgruppera tal på det sättet, är viktigt av flera skäl.

Framför allt är det nödvändigt för att senare kunna förstå och göra omgrupperingar vid huvudräkning och skriftliga beräkningar.

Talet 263 går t.ex. att gruppera som två hundratal, sex tiotal och tre ental eller som ett hundratal, 14 tiotal och 23 ental. Dessa olika grupperingar av 263 är ekvivalenta grupperingar. Att de är ekvivalenta betyder att de visar samma tal. Att kunna göra ekvivalenta omgrupperingar underlättar i många sammanhang, t.ex. vid huvudräkning och skriftliga beräkning. Ett exempel är subtraktionen 263 – 172. Man kan då gruppera om 263 till 100 + 160 + 3 för att kunna göra växlingen som krävs när en uppställning används. Beräkningen blir då 100 + 160 + 3 – 100 – 70 – 2 = 90 + 1 = 91.

Fråga gärna elever när de är klara med en omgruppering vilket tal de har grupperat. De bör kunna svara direkt, eftersom hen nyss grupperat samma tal på ett annat sätt.

De bör förstå att talet inte har ändrats.

Eleverna behöver förstå att när de vid omgruppering växlar ett hundratal mot t.ex. tiotal så måste det nya materialet motsvara värdet av det gamla. Var därför uppmärksam på elever som t.ex. växlar ett hundratal mot nio stycken tiotal eller fem tiotal mot fem ental, eller liknande. Uppmärksamma elever som när de ska omgruppera lägger till eller tar bort bitar så att det blir ett annat tal.

20

Förenkla Låt elever som behöver det använda konkret material i paraktiviteten i steg 6 och i arbetet med elevboken.

Lämpligt är att använda tiobasmaterial, men om de hanterar den högre abstraktionen kan de istället använda sig av läromedelspengar.

Utmana mer I paraktiviteten Omgruppera på tre olika sätt i steg 6 kan du vid behov ge par en extra utmaning: Försök gruppera talet 246 genom att fylla i totalt 30 stycken ental, tiotal och hundratal. Om de lyckas med en sådan gruppering kan du ge dem ytterligare en utmaning: Undersök om det finns fler sätt att göra det på, och ta reda på vilka det är i så fall.

Detta går att göra på två olika sätt: ett hundratal, 13 tiotal och 16 ental respektive 24 tiotal och sex ental.

Du kan också utmana par att omgruppera andra tal än 246 och då i ett högre talområde.

Avslutslappen Avslutslappen visar om eleven kan omgruppera ett tresiffrigt tal, talet 123. Om eleven inte lyckas behöver du undersöka om det rör sig om ett slarvfel eller om förståelsen brister. Om det är det sistnämnda kan du låta eleven göra om avslutslappen, men med stöd av tiobasmaterial eller läromedelspengar.

Om eleven trots det inte klarar av att omgruppera talet så tyder det på allvarliga brister i grundläggande taluppfattning och sambandet mellan talsorterna, och eleven behöver då repetition i positionssystemet och platsvärde.

|M|

Lektion 2 | Uppskattning vid addition och subtraktion

6.2 Uppskattning vid addition och subtraktion Syftet med lektionen är att befästa elevernas färdighet i att uppskatta summan respektive differensen vid additioner och subtraktioner. Eleverna behöver kunna uppskatta beräkningsresultat för att avgöra om deras svar är rimligt när de gör beräkningar med skriftliga räknemetoder.

Lektionsmål • Eleven behärskar en hållbar strategi för uppskattning vid addition respektive subtraktion och visar det genom att använda strategin för att uppskatta summan och differensen för olika additioner och subtraktioner.

Matematiska begrepp: Uppskatta, avrunda

1 2 3

SvA: Rimligt, ungefär Material: Miniwhiteboard, penna och sudd till varje par.

Förberedelser • Inga särskilda.

1 2 3

Uppstart

Repetition: Omgruppera tal Du repeterar hur man kan omgruppera tal för att t.ex. underlätta en beräkning.

Genomgång: Varför uppskatta?

Du berättar att när man uppskattar summan eller differensen tänker man ut ungefär vad en beräkning kommer att bli. Eleverna SURRAR om när det är bra att uppskatta.

Genomgång: Uppskatta vid addition Eleverna uppskattar summan av 74 + 48. Du visar och förklara hur man kan uppskatta summan genom att antingen avrunda båda termerna eller bara den första eller andra termen.

1 2 3

Aktivitet

Parövning: Uppskatta Du visar en addition/subtraktion. Paren uppskattar summan/differensen på sina miniwhiteboards. Du låter ett par som använt en hållbar strategi redogöra för vad de kom fram till och hur. Du visar och sammanfattar vid behov hur man kan tänka. Sedan gör ni på samma sätt med nästa uppgift.

Avslut

Sammanfattning: Vad har vi lärt oss?

Du sammanfattar: Att göra en uppskattning är effektivt när man snabbt vill veta vad summan eller differensen är på ett ungefär. Man ska använda en strategi som man kan bra och som man gillar.

Elevboken s. 9–11

Genomgång: Avrunda till närmsta tiotal Du berättar och visar hur man kan uppskatta genom att avrunda båda termerna eller bara en av termerna till närmsta tiotal, samt när man avrundar uppåt respektive nedåt.

Genomgång: Uppskatta vid subtraktion Du berättar att när man uppskattar differensen av en subtraktion kan man avrunda båda termerna antingen uppåt eller nedåt, eller göra om termerna så att de har samma ental.

Genomgång: Uppskatta större tal Du går igenom hur man tänker på samma sätt när man ska uppskatta summan av större tal.

20 min

25 min

5 min

21

Kapitel 6 | Mer om skriftliga räknemetoder

Uppstart 2 Repetition: Omgruppera tal

20 min

Peka på talet 325, visat med siffror och tiobasmaterial. Berätta att talet har tre hundratal, alltså tre 100-grupper vilket är 300. Talet har två tiotal, alltså två 10-grupper vilket är 20 samt fem ental vilket är 5.

Klicka, och talet omgrupperas: det ena tiotalet växlas till tio ental.  Fråga: ”Vilket tal är det nu?” BETÄNKETID. Fördela ordet tills någon säger 325, och be då hen utveckla varför hen tänker det.

Om eleven säger att ett tal inte ändras bara för att det omgrupperas låter du någon ÅTERGE det.

Visa 325 – 108 och repetera att beräkningen kan göras med hjälp av omgruppering, eftersom man måste göra en talsortsväxling.

Talet 325 omgrupperas till tre hundratal, ett tiotal och 15 ental.

Visa hur åtta ental och sedan ett hundratal subtraheras, och konstatera att 325 – 108 = 217.

3 Genomgång: Varför uppskatta?

Berätta att när man uppskattar summan eller differensen tänker man ut ungefär vad av en beräkning kommer att bli. Låt eleverna SURRA om när det är bra att uppskatta. Fördela ordet. Konstatera att uppskattningar är bra att göra innan eller efter en skriftlig beräkning, så att man kan bedöma om resultatet är rimligt eller inte. Det kan också vara bra att uppskatta i andra situationer, t.ex. om man vill veta ungefär vad något kommer att kosta så att man vet om ens pengar räcker. Visa symbolen ≈ och repetera att den betyder ungefär lika med.

4 Genomgång: Uppskatta vid addition  Låt eleverna SURRA för att uppskatta summan av 74 + 48. Fråga vad de kommit fram till att 74 + 48 är ungefär lika med och fördela ordet. När någon svarar något inom intervallet 118–124 ber du hen förklara hur hen kom fram till det. Om hen ger en bra förklaring (t.ex. avrundat ena eller båda termerna) låter du någon annan ÅTERGE förklaringen.

Visa och förklara själv hur man kan uppskatta summan av 74 + 48 genom att antingen avrunda båda termerna eller bara den första eller den andra termen.

5 Genomgång: Avrunda till närmsta tiotal Konstatera att man kan uppskatta genom att avrunda båda termerna eller bara en av termerna till närmsta tiotal. Berätta och visa med tallinjen att det är entalssiffran som avgör om termen ska avrundas uppåt eller nedåt. Talet 74 är närmare 70 än 80, därför avrundas det nedåt. Talet 78 är närmare 80 än 70, alltså avrundas det uppåt. Visa och berätta att tal med entalssiffran 5 brukar avrundas uppåt.

22

Lektion 2 | Uppskattning vid addition och subtraktion

6 Genomgång: Uppskatta vid subtraktion Berätta att när man uppskattar differensen av en subtraktion, t.ex. 183 − 65, så kan man avrunda båda termerna antingen uppåt till 190 − 70, eller nedåt till 180 − 60. I båda fallen blir uppskattningen att 183 – 65 ≈ 120.

Visa att ett annat sätt att uppskatta differensen på är att göra om termerna så att de har samma ental.

Berätta att man ska välja en strategi man själv gillar.

7 Genomgång: Uppskatta vid större tal Visa och förklara att när man ska uppskatta summan av en addition där termerna är lite större tal, som i 1613 + 768, så kan man avrunda till närmsta hundratal istället för till närmsta tiotal. Tittar man på tiotalssiffrorna ser man att 1613 ska avrundas nedåt till 1600 och 768 uppåt till 800. Eftersom 1600 + 800 = 2400 så är 1613 + 768 ≈ 2400.

Aktivitet 8 – 11 Parövning: Uppskatta

25 min

Dela in eleverna i par och förse dem med miniwhiteboards.

Påminn om att MATEMATIKER LYSSNAR OCH FÖRSÖKER FÖRSTÅ .

Gör så här: • Visa en addition/subtraktion  och låt paren uppskatta summan/differensen. Om de behöver kan eleverna använda sina miniwhiteboards för beräkningen. CIRKULERA och VÄLJ UT ett par som använder en hållbar strategi (t.ex. någon av de ni gått igenom).

• Låt det utvalda paret redogöra för vad de kom fram till och hur de gjorde uppskattningen. Påminn vid behov om att alla som gjort likadant kan visa det med JAG MED -tecknet. Om paret ger en bra förklaring låter du någon annan ÅTERGE förklaringen.

• Sammanfatta genom att visa några lösningar i bildspelet eller klicka på triangeln för att gå till nästa uppgift.

Gör på samma sätt med nästa uppgift.

12 Elevboken s. 9–11

Avslut 13 Sammanfattning: Vad har vi lärt oss?

5 min

Sammanfatta: Att göra en uppskattning är effektivt när man snabbt vill veta vad summan eller differensen är på ett ungefär och det inte är viktigt att veta exakt. Uppskattningar går även att göra i multiplikation och division, och det kommer eleverna få lära sig längre fram.

Berätta att när eleverna ska uppskatta så får de själv välja en strategi som de kan bra och gillar. Olika strategier kan passa olika bra i olika situationer. Det finns ingen strategi som alltid är bäst.

23

Kapitel 6 | Mer om skriftliga räknemetoder

6.2.1 Uppmärksamma och stötta Undvik att peka ut någon strategi som bäst eller mest lämplig generellt, eftersom deras lämplighet beror av sammanhanget och vilka termerna är. Det viktigaste är att eleverna behärskar åtminstone en hållbar strategi för uppskattning.

Förenkla Låt eleverna under parövningen Uppskatta i steg 8–11 och i elevboksarbetet ha tillgång till tallinjer för att underlätta avrundning till närmsta tiotal. Om det behövs kan du sänka talområdet så att de enbart fokuserar på tal där termer och summa/differens ligger inom talområdet 0–100.

24

Utmana mer Du kan utmana elever att uppskatta summan/differensen av additioner/subtraktioner med fler termer än två.

Du kan också utmana elever att göra uppskattningar av resultatet av beräkningar med flera termer och där både additioner och subtraktion förekommer.

Du kan även låta elever analysera olika strategier för uppskattning för att försöka ta reda på i vilken typ av fall som respektive strategi ger den bästa uppskattningen och varför.

|K|M|R|

Lektion 3 | Addition med skriftliga räknemetoder

6.3 Addition med skriftliga räknemetoder Syftet med lektionen är att befästa elevernas färdighet när det gäller att göra additionsberäkningar med skriftliga räknemetoder inom talområdet 0–999.

Lektionsmål • Eleven behärskar någon hållbar skriftlig räknemetod för addition och visar det genom att beräkna additioner med skriftliga räknemetoder.

Förberedelser • Skriv ut avslutslappar.

• Övningsblad finns. Skriv ut vid behov.

Matematiska begrepp: Addition, term, summa, ental, tiotal, hundratal, tusental, uppskatta SvA: Metod

Avslutslapp Övningsblad grundläggande Övningsblad utmanande

Material: Miniwhiteboard, penna och sudd. Tiosidig tärning numrerad 0–9.

1 2 3

1 2 3

Uppstart

Repetition: Uppskatta Du spelar den animerade genomgången med berättarröst.

Repetition: Skriftliga räknemetoder Ni repeterar att skriftliga räknemetoder är bra för additioner som man inte kan huvudräkna, om man inte har en miniräknare, eller om man vill visa hur man har tänkt.

Repetition: Skriftliga räknemetoder för addition Du spelar en animerad genomgång med berättarröst för varje metod som du anser behöver repeteras.

1 2 3

Aktivitet

Parövning: Närmast 1000 Ni spelar Närmast 1000. En tiosidig tärning (0-9) slås nio gånger. Eleverna i paren placerar talen i ordning så att tre tresiffriga tal bildas. Det par som har en summa av de tre talen som är närmst talet 1000 vinner.

Led en kort diskussion om hur man kan tänka för att komma så nära 1000 som möjligt.

Elevboken s. 12–14

Genomgång: Addition med tre termer Eleverna SURRAR om hur man kan göra för att beräkna en addition med tre termer: 114 + 59 + 225. Ni konstaterar att man först adderar två av termerna, sedan adderas summan av det med den tredje termen.

Du förevisar två additioner med tresiffriga tal med två olika metoder och gör sedan en tredje addition med uppställning där eleverna får förklara för dig hur du ska göra.

10 min

Avslut

Sammanfattning: Vad har vi lärt oss?

Du sammanfattar att skriftliga räknemetoder är bra när man behöver göra beräkningar som man inte kan huvudräkna, om man inte har en miniräknare, eller om man behöver visa hur man har kommit fram till svaret.

Det finns flera olika skriftliga räknemetoder för addition, och olika metoder passar olika bra beroende på vilka termer som ska adderas. Det är bra att kunna flera metoder, så att man alltid kan en som passar. Man ska också använda de skriftliga räknemetoder man gillar mest.

Avslutslapp

30 min

10 min

25

Kapitel 6 | Mer om skriftliga räknemetoder

Uppstart 2 Repetition: Uppskatta

10 min

Att göra en uppskattning innebär att man tar reda på vad svaret ungefär kommer att bli. Alltså inte exakt. Att uppskatta kan vara bra att göra innan man gör en beräkning för att lättare kunna se om beräkningen är rimlig när man räknat ut det exakta svaret.

Det finns olika sätt att uppskatta på och det finns ingen strategi som alltid är bäst. Välj därför en strategi som du känner dig trygg med. Om man ska beräkna 124 + 47 så kan man t.ex. avrunda båda termerna till närmsta hela tiotal och beräkna 120 + 50 vilket är 170. Alltså är 124 + 47 ≈ 170. Ska man uppskatta 124 − 47 kan man avrunda båda termerna uppåt eller nedåt, alltså beräkna 130 − 50 eller 120 − 40. Båda ger svaret 80, alltså är 124 – 47 ≈ 80.

3 Repetition: Skriftliga räknemetoder Fråga: ”Varför kan man behöva en skriftlig räknemetod?” Låt eleverna SURRA och fördela sedan ordet. Konstatera att man kan använda skriftliga räknemetoder när man inte kan beräkna med huvudräkning, om man inte har tillgång till en miniräknare eller om man vill visa hur man har gjort beräkningen.

4 Repetition: Skriftliga räknemetoder för addition Visa 57 + 124. Berätta att det finns många olika sätt att beräkna additionen på. De skriftliga räknemetoder eleverna arbetat med tidigare är: Talsorterna för sig, Hopp på tallinjen, Kompatibla tal och Uppställning.

Klicka på namnen på metoderna så spelas en animerad genomgång upp. Välj de metoder som behöver repeteras.

5 – 6 Genomgång: Addition med tre termer Visa additionen 114 + 59 + 225. Fråga: ”Hur kan man göra för att beräkna en addition med tre termer?” Låt eleverna SURRA och fördela sedan ordet. När någon säger att man först kan addera två av termerna och sedan addera summan av det med den tredje termen så låter du någon annan ÅTERGE det sagda.

Förklara: Eftersom addition är kommutativt kan man ändra ordningen på termerna utan att resultatet av beräkningen förändras, och det spelar heller ingen roll i vilken ordning man gör additionerna. Man kan börja med att beräkna 114 + 225 eftersom det är enklast. Då behöver man inte växla och man kan exempelvis använda metoden Talsorterna för sig.” Visa att 114 + 225 = 300 + 30 + 9 = 339.

Fortsätt: ”När man sedan ska beräkna 339 + 59 kan man använda en annan metod, t.ex. Kompatibla tal.” Visa att 339 + 59 = 340 + 58 = 398.

Visa och förklara: ”Man kan också beräkna 114 + 59 + 225 med Uppställning.” Låt eleverna förklara för dig hur du ska göra beräkningen, och klicka fram stegvis i bildspelet i takt med att de ger dig instruktioner. Ställ frågor för att hjälpa dem vid behov.

Visa och sammanfatta själv hur uppställningen gick till så att alla förstår.

26

Lektion 3 | Addition med skriftliga räknemetoder

Aktivitet 7 Parövning: Närmast 1000

30 min

Dela in eleverna i par och förse dem med miniwhiteboards. Visa ett rutnät i bildspelet och be paren göra ett likadant rutnät på sina tavlor. Berätta att man i spelet Närmast 1000 så ska skapa tre tal vars summa är så nära 1000 som möjligt. Gör så här (förklara vid behov med bildspelet hur spelet går till): 1. Du slår en tiosidig tärning numrerad 0–9 och visar eller skriver vad tärningen visar på tavlan.

2. Be paren placera siffran någonstans i sina rutnät. Sedan får den inte flyttas. Påminn om att de ska försöka skapa tre tal vars summa är så nära 1000 som möjligt.

Upprepa moment 1 och 2 ovan tills alla rutor är fyllda.

Fortsätt: 3. Låt paren beräkna summan av de tre termerna med valfri skriftlig räknemetod.

4. Be ett par säga vilken summa de har. Fråga om något par har en summa som är närmare 1000. Fortsätt så tills ni hittat summan som är närmast 1000.

5. Led en kort diskussion om hur det är smartast att tänka för att komma så nära 1000 som möjligt och ha störst chans att vinna: Är det några siffror som är bättre att skriva på hundratalsplatsen än på tiotals- eller entalsplatsen, och vice versa?

Varför då? Spelar det någon roll om man placera ut hundratalen tidigt eller sent? Hur mycket påverkar entalssiffrorna?

Spela några omgångar till.

Om tid finns kan du eventuellt, när paren har skapat sina tal, låta dem diskutera hur de skulle flytta om siffrorna i respektive tal för att få en summa som är så nära 1000 som möjligt.

8 Elevboken s. 12–14

Avslut 9 Sammanfattning: Vad har vi lärt oss?

10 min

Skriftliga räknemetoder är bra att kunna när man behöver göra beräkningar som man inte kan huvudräkna och man inte har miniräknare. Om man behöver visa hur man kommit fram till svaret är de också bra. När man gör en beräkning med en skriftlig räknemetod visar man ju samtidigt hur man har tänkt. Då kan man också lättare att undersöka vad som kan ha blivit fel om man tycker att resultatet är orimligt.

Det finns flera olika skriftliga räknemetoder för addition, och olika metoder passar olika bra beroende på vilka termer som ska adderas. Det är bra att kunna flera metoder, så att man alltid har en som passar. Man ska också använda de skriftliga räknemetoder som man gillar mest.

10 Avslutslapp 27

Kapitel 6 | Mer om skriftliga räknemetoder

6.3.1 Uppmärksamma och stötta Uppmuntra eleverna när de arbetar i elevboken att uppskatta summan innan de beräknar den, även om det inte uttryckligen står i uppgiftsbeskrivningen att de ska göra så. Det är en god vana, dels för att det utvecklar deras taluppfattning, dels för att det minskar risken att de räknar fel utan att reagera på det.

Var uppmärksam på hur elever tar sig an uppgifter där de själva får välja räknemetod. Fråga elever som verkar välja metod på måfå hur de tänkte när de valde. Visa hur man kan titta på termerna och därefter välja en passande metod.

Det är viktigt att eleverna redovisar hur de har löst uppgifterna. När de gör beräkningar med skriftliga räknemetoder så visar de samtidigt hur de kommer fram till svaret. Det förekommer emellertid att elever suddar ut själva beräkningen och låter svaret stå ensamt kvar.

Påminn dem om att det är viktigt för matematiker att andra kan se hur man har räknat, så att man lättare kan rätta till eventuella misstag men också så att man kan förstå hur någon annan har tänkt.

Om spelet i steg 7, Närmast 1000, drar ut på tiden så kan du hoppa över elevboksuppgifterna och istället låta eleverna färdighetsträna under ett kortare färdighetsträningspass innan nästa lektion.

Förenkla Du kan förenkla spelet Närmast 1000, som ni spelar i steg 7, genom att låta eleverna skapa tresiffriga tal vars

28

summa är så nära 100 som möjligt. En ännu enklare variant är låta dem skapa tre tal vars summa är antingen så stor eller så liten som möjligt.

Utmana mer Du kan göra spelet Närmast 1000 mer utmanande genom att arbeta med fyrsiffriga tal och låta eleverna skapa tre tal vars summa är så nära 10 000 som möjligt.

Om du bedömer att det lämpligt kan du låta elever spela Närmast 1000 enskilt istället för i par.

Avslutslappen Avslutslappen visar om eleverna behärskar en hållbar skriftlig räknemetod för addition.

Om eleven inte klarar att beräkna uppgifterna med en hållbar räknemetod behöver du följa upp det och fråga hur hen tänkte. Du kan ge eleven tillgång till tiobasmaterial om det gör det lättare för hen att beskriva hur hen tänker. Om det visar sig att eleven inte behärskar någon hållbar skriftlig räknemetod för addition kommer hen att behöva mer träning och undervisning i detta parallellt med den fortsatta undervisningen för att nå målen i åk 3.

Om eleven endast skriver svar behöver du samtala med eleven så att hen förstår att det är viktigt att man kan se hela beräkningen. Då kan man lättare upptäcka eventuella fel.

Studentlitteratur AB Box 141 221 00 LUND Besöksadress: Åkergränden 1 Telefon 046-31 20 00 studentlitteratur.se

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Copyright Access skolkopieringsavtal, är förbjuden. Kopieringsunderlag får dock kopieras under förutsättning att kopiorna delas ut endast i den egna undervisningsgruppen. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.

Användning av detta verk för text- och datautvinningsändamål medges ej.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 46124 ISBN 978-91-44-18232-2 Upplaga 3:1 © Andreas Ryve, Rik matematik AB och Studentlitteratur 2024 © Andreas Ryve, Rik matematik AB och Bonnierförlagen Lära 2022 Formgivning: Marit Messing – Go Form AB, Frangkle Illustrationer: Jessica Svendeborn (uggla och barn), Sinnebild (alla saker och ting, förutom geometriska figurer, hästar, siluetter: Hillevi Gavel, örhängen: Anatolir/Shutterstock) Foto: blommig tapet, tröja, ballong, katt, pannkaka, kulpåse, lamm, snäckor, rep: Manuel Tenser Printed by Eurographic Group, 2024

Rik matematik 3B – Lärarhandledning

Rik matematik ger lärare stöd att planera, genomföra och utvärdera rik matematikundervisning. Rik matematikundervisning kännetecknas av aktiva elever och en aktiv lärare där begrepp, resonemang och problemlösning står i fokus. Varje årskurs innehåller mer än 100 strukturerade lektioner med bildspel. Lektionerna har tydliga inledningar och avslutningar där central matematik betonas. Med Rik matematik får läraren stöd att varje lektion bedriva en undervisning som engagerar och utvecklar elevernas matematiska tänkande.

Rik matematik är utvecklat i ett nära samarbete mellan lärare och forskare och noggrant utprovat i klass.

I Rik matematik 3B Lärarpaket ingår utöver det tryckta lärarmaterialet, även en digital lärarresurs samt tillgång till förberedda uppdrag i Tomoyo, en digital spelifierad färdighetsträning. De digitala delarna nås via Min bokhylla på Studentlitteratur.se

Rik matematik 3B omfattar 3 områden: Kapitel 6 – Mer om skriftliga räknemetoder

Kapitel 7 – Repetition – geometri, storheter och mätning, algebra, statistik och samband Kapitel 8 – Repetition – tal och tals användning

Art.nr 46124

studentlitteratur.se