Daniel Dufåker
Roger Fermsjö
Attila Szabo
Niclas Larson
Innehåll
1.2 Räkneregler för potenser 25
Tankekarta, Historia, Uppslaget, Blandade uppgifter, Kapiteltest 41
2 Algebra
2.1 Algebraiska uttryck 52
2.2 Ekvationer 66
2.3 Potensekvationer och olikheter 81
2.4 Formler och talföljder 94
Historia, Uppslaget, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest 111
3 Procent
3.1 Procentuella förändringar 122
3.2 Privatekonomi i kalkylprogram 141
Uppslaget, Historia, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest 150
4 Samband och
Linjära samband
Uppslaget, Historia, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest
5
Nya ämnesplanen
Innehållet i Matematik Origo nivå 1b är anpassat efter ämnesplanen som träder i kraft 2025.
Historia, Uppslaget, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest
Slumpförsök i flera steg
Uppslaget, Historia, Tankekarta, Blandade uppgifter, Kapiteltest
Matematik Origo
nivå 1b
Matematik Origo är en serie matematikböcker för gymnasiet som gör det lätt att arbeta med problemlösning, resonemang och förståelse. Till Matematik Origo nivå 1b hör en elevbok, en Lärarguide, kopieringsmaterialet Prov, Övningsblad och Aktiviteter och det digitala presentationsmaterialet Lärarstöd+ samt appen Alva. De olika komponenterna ger möjlighet att planera, variera och genomföra undervisningen utifrån elevernas behov.
Elevboken består av sex kapitel och lyfter särskilt fram matematikens relevans. Här finns tydliga genomgångar på ett lättillgängligt språk och varierade uppgiftstyper på tre nivåer.
Lärarguiden följer elevboken uppslag för uppslag med tips, idéer och inspiration till din undervisning.
Prov, Övningsblad och Aktiviteter är ett kopieringsmaterial med prov, övningsblad och aktiviteter till varje kapitel i elevboken. Materialet säljs som nedladdningsbara pdf:er.
Prov, övningsblad och aktiviteter
I Lärarstöd+ har vi samlat elevboken, Lärarguiden och Prov, Övningsblad och Aktiviteter på ett ställe. Allt innehåll från elevboken – teoritext, exempel och uppgifter – kan visas separat och klickas fram stegvis.
Lärarstöd
I appen Alva får dina elever hjälp när de ska jobba på egen hand efter lektionerna. Där finns förklarande matematikfilmer och lösningar till vissa uppgifter.
Sannolikhet
Sannolikhetslära har starka kopplingar till vardagliga problem, både i privatlivet och i samhället i stort. Med hjälp av sannolikhetslära kan man t.ex. uppskatta sannolikheten att en jordbävning inträffar inom ett visst område, göra en prognos över aktiemarknadens utveckling eller skapa en modell som beskriver hur smittan av ett influensavirus sprids i en befolkning. Dessutom är sannolikhetslära förstås ett viktigt område inom matematikämnet.
I det centrala innehållet i Matematik nivå 1b anges att undervisningen om sannolikhet ska behandla tillämpningar inom spel samt risk- och säkerhetsbedömningar. Inom dessa områden finns en rik flora av tillämpningar som brukar intressera elever, t.ex. sannolikheten att få 13 rätt på Stryktipset eller det så kallade Monty Hallproblemet.
Historia: Sannolikhetslära
Grunden till den moderna sannolikhetsteorin lades under senare hälften av 1600-talet. En viktig del i denna utveckling var en berömd brevväxling mellan de båda franska matematikerna Blaise Pascal och Pierre de Fermat. I breven diskuterade de ett problem som brukar kallas delningsproblemet, eller le problème des partis. Det handlar om hur en pott ska fördelas rättvist mellan två spelare om deras spel måste avbrytas i förtid. Pascal ansåg att en rättvis fördelning av potten borde reflektera varje spelares sannolikhet att vinna vid den tidpunkt då spelet måste avbrytas. Pascal och Fermat löste problemet och utvecklade i sin brevväxling helt nya begrepp som än i dag är en del av den moderna sannolikhetsteorin. En variant av det berömda delningsproblemet presenteras i introduktionsproblemet Dela potten
Kommentarer till kapitlets innehåll
I delkapitlet 6.1 Enkla slumpförsök definierar vi de viktigaste begreppen och arbetar med problem som kan modelleras med en likformig sannolikhetsfördelning. Vi behandlar också hur man kan bestämma sannolikheten för en händelse med hjälp av experiment.
I 6.2 Slumpförsök i flera steg introducerar vi begreppen beroende och oberoende händelser och beräknar sannolikheter i flera steg med hjälp av träddiagram och komplementhändelse.
Sannolikhet
Delkapitel
Begreppen oberoende och beroende händelse samt komplementhändelse. Metoder för att beräkna sannolikheter i flera steg. Tillämpningar inom spel samt risk- och säkerhetsbedömningar. Centralt innehåll
Lästips
Mer om sannolikhetsteorins historiska utveckling och lösningen av delningsproblemet finns i boken The unfinished game av Keith Devlin (2010).
Kapitelintroduktion
I Lärarguiden får du en bakgrund till varje kapitel och kommentarer kring hur författarna har tänkt kring kapitlets innehåll och struktur. Här finns även kommentarer och lösningar till kapitlets introduktionsproblem.
Tips
Sannolikhetsläran är ett viktigt hjälpmedel inom naturvetenskap, ekonomi och industri. Den har också stor betydelse inom olika former av hasardspel, som till exempel poker, stryktips och roulett.
Sannolikheten att få färg direkt på given i poker, eller att få dubbelsexa vid kast med två tärningar, går att beräkna med hjälp av matematik.
Men för att beräkna hur stor sannolikheten är att det regnar i övermorgon, eller hur stor risken är att någon ska drabbas av en yrkesskada, behöver man ta stöd i statistiskt material. Ämnesområdena statistik och sannolikhet hänger därför naturligt samman.
I det här kapitlet får du inledningsvis repetera att du kan beräkna sannolikheter i ett steg
Svar till Spader dam
Spader dam
Du har en vanlig kortlek med 52 kort. Du blandar leken noga och drar ett kort.
Hur stor är sannolikheten att du drar spader dam?
Lägg tillbaka det kort du drog. Blanda leken noga och lägg undan 10 kort utan att titta på dem. Hur stor är nu sannolikheten att du drar spader dam bland de kort som du har kvar?
Dela potten
Pierre och Blaise har bestämt sig för att tävla i bäst av fem slantsinglingar. Båda bidrar med lika stor insats till potten. Pierre satsar på krona och Blaise satsar på klave. Tyvärr måste de avbryta slantsinglingen efter tre kast, när Pierre leder med två mot ett. Hur ska de på ett så rättvist sätt som möjligt fördela potten mellan varandra?
När du är klar med det här kapitlet ska du kunna använda begreppet sannolikhet använda experiment för att bestämma sannolikheten för en händelse beräkna sannolikheter vid slumpförsök i flera steg använda begreppen beroende och oberoende händelser beräkna sannolikheten för en händelse med hjälp av komplementhändelse 277
Ett sätt att inleda kapitlet om sannolikhetslära är att låta eleverna ge förslag på var de tror att den kommer till användning i vardagsliv, vetenskap och samhälle.
Sannolikhetsläran är användbar t.ex. inom försäkringsmatematik, vid väderprognoser och smittspridning, samt för att beräkna sannolikheten att vinna på Lotto eller i andra spel. Men sannolikhetslära kan också användas för att bestämma sannolikheten för att en viss gen ska föras vidare till nästa generation eller för att bestämma sannolikheten att en idrottsman faktiskt är dopad om dopningsprovet är positivt. Företag kan använda sannolikhetslära för att göra riskbedömningar. Då vägs kostnaderna för att åtgärda ett fel mot riskerna och kostnaderna som följer av en olycka. Sannolikhetsteori kan också användas för att reda ut om en förändring i väljarsympatierna i en opinionsundersökning beror på slumpen i urvalet eller om den visar en verklig svängning i väljarnas åsikter. Det fick eleverna studera i kapitel 5.
u Sannolikheten är i båda fallen lika stor, nämligen 1 52 . Även om du lägger undan ett antal kort, så är kortet som du slutligen drar helt slumpmässigt valt. Ett extremfall, som kanske kan belysa principen, är att man i stället lägger undan 51 kort. Vad är då sannolikheten att det kvarvarande kortet är spader dam?
Svar till Dela potten
u Slantsinglingen avbröts vid ställningen två mot ett i Pierres favör. De möjliga utfallen i de två kvarvarande myntkasten är (Kr, Kr), (Kr, Kl), (Kl, Kr) och (Kl, Kl). Tre av dessa utfall gör att Pierre vinner slantslingningen, medan Blaise endast vinner om utfallet blir (Kl, Kl). Om fördelningen ska reflektera vardera spelares chans att vinna, så borde potten fördelas så att Pierre får tre fjärdedelar av potten.
Problemet ”Dela potten” brukar engagera elever, inte minst eftersom de kan ha andra uppfattningar om vad som är en rättvis fördelning av potten än den som föreslogs av Fermat och Pascal på 1600-talet (se rubriken Historia på föregående sida). Den italienske matematikern Luca Pacioli behandlade ett liknande problem redan under slutet av 1400-talet. Till skillnad från Pascal och Fermat tyckte han att potten skulle fördelas utifrån hur många omgångar spelarna hade vunnit fram till dess. Nackdelen med ett sådant system är att om spelet avbryts efter endast en omgång så vinner den spelare som vann första omgången hela potten, trots att mycket kan hända i de kvarvarande omgångarna.
Tips till din undervisning
I Lärarguiden hittar du mängder med tips till din undervisning. Det kan vara förslag på inledande problem, kommentarer till kritiska punkter i lärandet, en historisk utvikning eller en matematisk fördjupning.
Koordinatsystemet
Den grundläggande idén med ett koordinatsystem är att man kan ange en punkts läge med hjälp av talpar. Samma idé används i kartböcker för att ange en plats eller för att beskriva en schackpjäs placering på ett schackbräde, men i dessa fall anges läget med en bokstav och ett tal. En annan viktig skillnad är att koordinaterna i kartböcker och på schackbräden beskriver ett område och inte en exakt punkt. Ett sätt att introducera koordinatsystem är att markera en punkt på tavlan och instruera eleverna att ange var punkten befinner sig. Eleverna brukar ganska snart komma på att man kan beskriva punktens läge med hjälp av koordinataxlar.
Viktiga begrepp
koordinat, ett av de tal som används för att ange en punkts läge i ett koordinatsystem. koordinatsystem, ett referenssystem där en punkts läge anges med hjälp av tal, så kallade koordinater. rätvinkligt koordinatsystem, ett (kartesiskt) koordinatsystem där koordinataxlarna är vinkelräta mot varandra. punkt, ett objekt med position som saknar utsträckning. kvadrant, en av de fyra sektorer som de två koordinataxlarna delar in planet i. origo, punkten som i ett koordinatsystem i planet har koordinaterna (0, 0).
Historia: Descartes och
koordinatsystemet
Vårt koordinatsystem skapades av den franske matematikern och filosofen René Descartes (1596–1650).
Hans latinska namn är Cartesius, och därför kallas vårt koordinatsystem kartesiskt. Det sägs att han kom på idén till koordinatsystemet när han såg en fluga i taket och funderade på hur han skulle beskriva dess läge.
Descartes var en av dem som var först med att binda samman geometri och algebra, det område inom matematik som i dag kallas analytisk geometri. Han var också en framstående filosof, bland annat känd för att ha myntat uttrycket ”Cogito, ergo sum”, som betyder ”Jag tänker, alltså finns jag”. År 1649 kom Descartes till Sverige för att arbeta som lärare och rådgivare åt drottning Kristina, men avled året därpå i lunginflammation.
4.1 Linjära samband
Koordinatsystemet
I figuren har vi ritat två tallinjer som skär varandra under rät vinkel. De bildar tillsammans ett koordinatsystem Tallinjerna kallas koordinataxlar. Den horisontella koordinataxeln kallas oftast för x axel och den vertikala för y axel Den punkt där de båda axlarna skär varandra kallas origo och svarar mot talet noll på båda axlarna. Koordinataxlarna delar planet i fyra kvadranter som numreras moturs.
SAMBAND OCH FUNKTIONER u 4.1 LINjäRA SAMBAND 164 4 De centrala begreppen Lärarguiden lyfter fram de centrala begreppen. Här finner du definitioner och kommentarer till de viktigaste begreppen i varje avsnitt.
Vi kommer endast att arbeta med tvådimensionella koordinatsystem där koordinataxlarna skär varandra under rät vinkel, så kallade rätvinkliga koordinatsystem.
Ett koordinatsystem är ett slags referenssystem där en punkts läge anges med hjälp av tal, som kallas koordinater. Punkter namnges ofta med stora bokstäver. I figuren här ovanför har punkten A koordinaterna (2, 3). Det första talet är punktens position i förhållande till x-axeln och det andra talet punktens position i förhållande till y-axeln. Punkten B har på samma sätt koordinaterna (−3,5; 2,5), punkten C koordinaterna (−2, −3) och origo som brukar betecknas O har koordinaterna (0, 0). De streckade linjerna i figuren är hjälplinjer för att visa var på axlarna koordinaterna ska avläsas.
Exempel I koordinatsystemet till höger är punkterna
A, B, C och D markerade.
a) Ange punkternas koordinater.
b) Vilken av punkterna ligger i andra kvadranten?
c) Bestäm avståndet mellan punkterna A och B
Lösning: a) Vi avläser punkternas koordinater i koordinatsystemet.
x-koordinaten avläses på x-axeln
Svar: A = (1, −2), B = (1, 2), C = (−1, 4), D = (−2, −3)
y-koordinaten avläses på y-axeln
b) Punkten C ligger i andra kvadranten.
c) B ligger 4 steg ovanför A
Svar: Avståndet mellan A och B är 4 l.e.
ett koordinatsystem anger man avstånd i längdenheter, som förkortas l.e.
Nivå 1
Exempel Beräkna arean av en rektangel vars hörn har koordinaterna (1, 1), (1, 4), (9, 4) och (9, 1)
Lösning: Vi markerar punkterna i ett koordinatsystem.
Avståndet mellan (1, 1) och (9, 1) ger längden av rektangelns bas, som är 8 l.e.
Avståndet mellan (1, 1) och (1, 4) ger rektangelns höjd, som är 3 l.e.
Rektangelns area = 8 · 3 a.e. = 24 a.e.
I ett koordinatsystem anger man area i areaenheter, som förkortas a.e.
4101 Rita ett koordinatsystem och markera följande punkter.
a) A med koordinaterna (3, 5)
b) B med koordinaterna (−1, 4)
c) C med koordinaterna (2, −3)
d) D med koordinaterna (2,5; 4,5)
4102 Vilka är punkternas koordinater?
4104 När Stina kommer till fjällstugan slår hon på värmen. Hon antecknar temperaturen de första sex timmarna.
Tid efter start (h)Temperatur (°C)
Att tänka på
De flesta elever är vana vid att arbeta med koordinatsystem och har en god uppfattning om hur man till exempel anger koordinaterna för en punkt. Däremot kan de ha en begränsad erfarenhet av att arbeta med något annat än heltalskoordinater. Det kan därför vara bra att ägna särskild uppmärksamhet åt hur man skriver koordinater för punkter som inte har heltalskoordinater, t.ex. (1,5; −3,5).
En del elever kan missa att skriva ut parenteserna runt en punkts koordinater. Påpeka gärna att (2, 3) är koordinaterna för en punkt medan 2,3 är ett tal skrivet i decimalform.
Det kan också vara bra att framhålla att (2, 3) utläses ”två tre” medan 2,3 utläses ”två komma tre”.
Kommentarer och exempel
4103 Figuren visar en rät linje i ett koordinatsystem. Ange koordinaterna för
a) den punkt där linjen skär y-axeln
b) den punkt där linjen skär x-axeln
a) (5, −1) och (5, 8) b) (2, −3) och (−3, −3) c) (111, 114) och (111, −57) Svara i längdenheter. y x 1 1 C D B A y x 1 1
Markera punkterna i ett koordinatsystem. Låt tiden vara x-koordinat och temperaturen y-koordinat.
I Lärarguiden finns författarnas kommentarer till teoritexter och exempel. Det finns också kompletterande exempel till varje avsnitt. I några avsnitt ger vi även förslag till Exituppgifter som du kan använda för att utvärdera vad eleverna har lärt sig.
4105 Bestäm avståndet mellan punkterna med koordinaterna
Exempel
Rita ett koordinatsystem och markera följande punkter:
A = (5, −4), B = (−3,5; −2,5) och C = (0, 3).
Ange också i vilken kvadrant punkterna ligger.
Lösning/Kommentar
Punkt A ligger i fjärde kvadranten och punkt B i tredje kvadranten. Punkt C ligger på y-axeln och tillhör därmed inte någon kvadrant.
Att origo har koordinaterna (0, 0) är de flesta elever medvetna om. Men det är inte självklart för alla elever att x-koordinaten är 0 för samtliga punkter på y-axeln, och att y-koordinaten är 0 för samtliga punkter på x-axeln. Detta är viktigt att känna till, exempelvis när man grafiskt ska bestämma f(0) eller algebraiskt bestämma var en linje skär x-axeln.
Exempel
a) Ange koordinaterna för några punkter som ligger 8 l.e. från punkten (1, 2).
b) Hur många sådana punkter finns det?
Lösning/Kommentar
a) T.ex. (−7, 2), (9, 2), (1, 10), (1, −6).
b) Det finns oändligt många sådana punkter, nämligen alla punkter på cirkeln med medelpunkt i (1, 2) och radien 8 l.e. y x 2 2
En möjlig utvidgning av deluppgift a) är att ange koordinaterna i exakt form för en punkt i den tredje kvadranten som ligger 8 l.e. från punkten (1, 2). Eleverna behöver då känna till Pythagoras sats.
Övningsblad
■ Koordinatsystem
Exempel
Ett bråk med täljaren 12 och nämnaren 5 divideras med ett annat bråk, där täljaren är 3 och nämnaren är 7. Beräkna kvoten.
Lösning/Kommentar
12
5 ska divideras med 3 7 . Det inverterade talet till 3 7 är 7 3
Vi förlänger med det inverterade talet och förkortar sedan.
12 5 3 7 = 12 5 ∙ 7 3 3 7 ∙ 7 3 = 12 5 ∙ 7 3 1 = 12 5 ∙ 7 3 = 84 15 = 28 5
För att få enklare beräkningar kan man förkorta innan man multiplicerar ihop täljare och nämnare. Vi får då direkt: 12 5 3 7 =
Att tänka på
Exempel: Beräkna a) 4 9 5 12 b) 10 7 / 4
Lösning: Vi beräknar kvoten genom att multiplicera täljaren
Ett vanligt misstag många elever gör är att de förväxlar multiplikation av heltal och bråk med förlängning av bråk.
Exempelvis kan 3 ∙ 2 5 felaktigt förväxlas med 3 ∙ 2 3 ∙ 5
Poängtera gärna att multiplikation i detta fall kan uppfattas som upprepad addition, dvs. 3
Övningsblad
■ Bråkräkning 1
■ Bråkräkning 2
■ Tärningsspel med bråk 1 4
Aktivitet
Övningsblad och Aktiviteter
En del elever behöver mer färdighetsträning än vad som erbjuds i läroboken, medan andra elever i stället behöver mer utmanande arbetsuppgifter. Till många avsnitt i läroboken finns därför extra färdighetsträning i form av Övningsblad och mer omfattande uppgifter, inte sällan med en laborativ vinkel, som vi kallar Aktiviteter. Övningsbladen och aktiviteterna säljs separat som nedladdningsbara dokument.
1155 Beräkna
a) hälften av en tiondel
b) sjättedelen av ett dygn, uttryckt i timmar
c) två tredjedelar av fem timmar, uttryckt i minuter
d) antal tiondelar som går på tre femtedelar
1156 Visa genom multiplikation av bråk att ”två tredjedelar av en tredjedel” är lika med ”en tredjedel av två tredjedelar”.
1157 Diana ska ha fest och planerar att bjuda på pizza. Hon beställer 12 pizzor, eftersom hon räknar med att varje person kommer att äta 2/3 av en pizza. Hur många personer är de på festen?
Nivå 2
1158 I en klass fick en tredjedel av eleverna chansen att delta i ett tvprogram. Eleverna ville i demokratisk ordning välja ut en tredjedel av flickorna och en tredjedel av pojkarna till programmet. Det lyckades inte, så till slut lottade man ut deltagarna till programmet.
a) Varför kunde de inte välja ut en tredjedel av flickorna och pojkarna?
b) Skulle en annan klass kunnat lösa uppgiften? Motivera ditt svar.
1159 Hur stor andel av de två cirklarnas sammanlagda yta är färgad?
1161 I ett recept för fyra personer står det bland annat ”600 g mjöl, 2 ägg, 150 g socker, lite salt och ett kryddmått ingefära”. Hur skulle receptet se ut för a) tre personer b) fem personer Motivera ditt svar.
1162 Följande problem är hämtat ur Rhindpapyrusen (ca 1700 f.Kr.): ”Se, där kommer herden med 70 oxar.” Den som räknade frågade herden: ”Hur stor del av din talrika hjord för du med dig?” Herden svarade: ”Två tredjedelar av tredjedelen. Hur stor är då hela min hjord?”
Kommentarer och ledtrådar till uppgifterna Till varje avsnitt finns kommentarer till avsnittets uppgifter. Där diskuteras bland annat svårigheter och uppgifternas koppling till olika förmågor. Vi ger också förslag på ledtrådar till utvalda uppgifter.
Nivå 3
1163 Hefi målar en vägg på 4 timmar. För Sixten tar
1160 Rita figurer som illustrerar följande divisioner a) 5 6 / 1 6
b) 3 4 / 1 8
1164 Beräkna summan a + b + c om a = 2 5 , a ∙ b = 2 15 och a ∙ b c = 1 10
1165 a) Vilket är talet som multiplicerat med 2 5 ger 5 2 ? b) Vilket är talet som multiplicerat med a b ger b a där a och b är hela tal samt a ≠ 0 och b ≠ 0?
TAL u 1.1 TAL i OLikA fORMER 19
Exituppgift
Beräkna och svara i enklaste form
a) 2 − 4 3 + 1 2
b) 7 ∙ 16 28
c) två tredjedelar av en fjärdedel
Svar:
a) 2 − 4 3 + 1 2 = 12 6 − 8 6 + 3 6 = 7 6
b) 7
Kommentarer till uppgifterna
Avsnittets inledande uppgifter är av procedurkaraktär, sedan följer mer textbaserade uppgifter med tydliga inslag av begreppsförståelse. Om någon elev behöver mer träning på grundläggande bråkräkning kan man använda övningsbladen Bråkräkning 1 och Bråkräkning 2 i kopieringsmaterialet Prov, Övningsblad och Aktiviteter
Många elever tycker att det är svårt när det står ”Visa att …”. Därför kan det vara givande att diskutera uppgift 1156
I uppgift 1159 är det lätt att missa att man ska beräkna andelen färgad yta av båda cirklarnas totala yta. Lägger man ihop delarna 4 9 och 1 6 får man andelen 11 18
Total andel färgad yta blir då 11 36
Det kan underlätta för elever om de kan representera bråk med hjälp av figurer. Detta får de öva på i uppgift 1160.
Uppgift 1162 hör till kategorin historiskt matematiskt problem, som nämns i kursens centrala innehåll. Mer om Rhindpapyrusen finner du här nedanför.
Ledtrådar till uppgifterna
1158 a) Tänk på att inte alla tal är delbara med 3.
1159 Ställ upp totala andelen som en summa av två bråk. Gör liknämnigt och förenkla.
1160 Studera figurerna i teoritexten på sidan 17.
1162 Ställ upp en ekvation, där två tredjedelar av en tredjedel av hjorden motsvarar 70 oxar.
1163 Hur stor andel av en hel vägg målar var och en på en timme? Hur stor andel av en hel vägg målar de tillsammans på en timme?
Historia: Rhindpapyrusen
Rhindpapyrusen har en totallängd på ca 5 meter och är ett av de äldsta matematiska dokument som man har funnit. Den är en av de främsta källorna till vår kunskap om tidig egyptisk matematik. Rhindpapyrusen innehåller 85 matematiska problem och lösningar. Uppgift 1162 är ett av dessa problem. Papyrusen nedtecknades av den egyptiske skrivaren Ahmose (eller Ahmes) ca 1650 f.Kr., men är en avskrift av ett något äldre verk. Rhindpapyrusen är namngiven efter britten Alexander Rhind som köpte den år 1858. Numera finns verket på British museum i London.
Svar till Rätt eller fel?
1 Fel. Man ska multiplicera sannolikheterna.
2 Rätt.
3 Rätt.
4 Fel. Det finns ingen övre gräns för hur många händelser som produktregeln är tillämpbar på.
5 Rätt.
Svar
till Undersök
Två kort
Om kortets ovansida är vit, så finns det tre möjligheter. En möjlighet är att sidan som visas är framsidan till kortet som har ett kryss. En annan möjlighet är att sidan som visas är framsida till det helvita kortet. Den tredje möjligheten är att sidan som visas är baksida till det helvita kortet. I endast ett av dessa fall har den motsatta sidan ett kryss. Sannolikheten att den motsatta sidan har ett kryss är alltså 1 3
De två lådorna
u Sannolikheten att du vinner om du drar lapparna ur lådan med 7 lappar är
P(vinst med låda 1) = 4 7 ∙ 3 6 ∙ 2 5 ∙ 1 4 = 1 35 ≈ 0,029
medan sannolikheten att du vinner om du drar lapparna ur lådan med 14 lappar är
P(vinst med låda 2) = 8 14 ∙ 6 13 ∙ 4 12 ∙ 2 11 = 16 1 001 ≈ 0,016
För att ha störst chans att vinna ska du välja lådan med 7 lappar.
u Sannolikheten att du drar lapparna i rätt ordning från lådan med 7 lappar är
P(rätt ordning) = 1 7 ∙ 1 6 ∙ 1 5 ∙ 1 4 = 1 840
Detta är bara 1 24 av sannolikheten att vinna när
lapparna inte behöver dras i ordning. För att tjäna på att anta förslaget skulle du alltså behöva få mer än 24 gånger den ursprungliga prissumman. Alltså bör du inte anta erbjudandet.
Rätt eller fel?
Om man beräknar sannolikheten för två händelser efter varandra, adderar man sannolikheterna.
Om man ska beräkna sannolikheter vid kast med två tärningar, är ett utfallsdiagram användbart.
Undersök
Två kort
u Klipp ut två likadana kort av tjockt papper. Sätt ett kryss på en av sidorna på det ena kortet. Det får inte synas igenom till den andra sidan. Framsida Baksida Framsida Baksida Kort 1 Kort 2
u Blanda korten och vänd dem fram och tillbaka flera gånger. Lägg sedan ut ett av korten på bordet.
Om kortet visar ett kryss, så blandar du noggrant om och lägger på nytt ut ett av korten på bordet.
Om kortet saknar kryss, ska du gissa vad som finns på kortets andra sida – en sida utan kryss, eller sidan med krysset. Vänd och kontrollera om du har rätt.
Träddiagram är ett bra verktyg när man beräknar sannolikheter i flera steg.
Produktregeln går att använda endast om antalet händelser som ska inträffa inte är fler än två.
I problem av typen ”åtminstone en röd” är komplementhändelse användbart.
u Är någon av strategierna ”gissa alltid helvit sida” eller ”gissa alltid kryss” mer framgångsrik än den andra? undersök genom upprepade försök med vardera strategin.
De två lådorna
u Bör du anta erbjudandet? Motivera ditt svar. Uppslaget
u upprepa försöket många gånger och notera resultaten, så att du kan ange hur stor andel av gångerna du gissade rätt.
u Förklara resultatet av undersökningarna ovan.
Du är med i en tävling. Framför dig har du två lådor. I den ena lådan ligger 7 lappar med bokstäverna M A T C H E N. I den andra lådan ligger 14 lappar med samma bokstäver. Varje bokstav finns här på två lappar. Om du ur en låda drar 4 lappar utan återläggning och bokstäverna på de lapparna kan bilda ordet META, så vinner du. u Vilken låda ska du välja för att ha störst chans att vinna?
Innan du börjar dra lappar, får du följande erbjudande: Om du drar lapparna i rätt ordning så att de bildar ordet META, vinner du i stället den dubbla prissumman. Misslyckas du att dra dem i rätt ordning, så vinner du inget.
Fullständiga lösningar I Lärarguiden finns svar och lösningar till Resonemang och begrepp, Historia och Uppslaget.
Problemlösning och modellering
Snörspel och dobbel
– Hör upp gott folk. överlista mig i snörspelet och vinn en slant!
På Kiviks marknad försöker bondfångaren Putte
locka folk att spela ett spel med honom
– Hur gör man då? frågar Ingrid.
– Jo, jag håller tre snören i min högra hand på det här viset. Du behöver bara knyta ihop de övre snörändarna med de undre. Om snöret är hopknutet i en enda ring då jag öppnar handen så vinner du.
– Vad vinner jag? undrar Ingrid.
– Oddset är 2,00. Har du satsat 10 kronor så får du 20 av mig vid vinst, svarar Putte. Ingrid funderar en stund och rynkar pannan.
– Det låter som ett dåligt odds.
– Nej, det är jättemånga som vinner, påstår Putte.
– Om det gäller två snören i stället för tre så ställer jag upp, säger Ingrid.
– Bara två snören! Då förlorar jag ju varje gång, snäser Putte.
Teoretiskt odds = 1 P(vinst)
Vinstmarginal i decimalform = 1 - givet odds teoretiskt odds
u Vi börjar med att Putte har två snören i handen. Om man ska knyta ihop två snören till en ring, så börjar man med en snörända ovanför handen. Hur många är då de gynnsamma utfallen, det vill säga de snörändar på undersidan av handen som kan ge en ring?
u Hur stor är sannolikheten att man knyter ihop två snören till en ring?
u Varför passar oddset som Putte ger till Ingrid bättre till två snören än till tre?
u Om Putte har tre snören i handen, hur stor är då sannolikheten att man knyter ihop alla tre till en ring?
u Hur stor vinstmarginal får Putte på sitt odds till tre snören?
u Hur stor är sannolikheten att knyta ihop fyra respektive fem snören till en ring?
u Hur stor är sannolikheten att knyta ihop n stycken snören till en ring?
u Förklara hur du kom fram till resultatet i föregående fråga.
Svar till Problemlösning och modellering
Snörspel och dobbel
u Det finns två möjliga utfall, varav ett är gynnsamt.
u P(2 snören till en ring) = = antalet gynnsamma utfall antalet möjliga utfall = 1 2
u Det teoretiska oddset för två snören är: 1
P(vinst) = 1 / 1 2 = 2, vilket är samma odds som Putte ger.
u P(3 snören till en ring) = 2 3 ∙ 1 2 = 1 3
För att bilda en ring får man aldrig knyta ihop två ändar av samma snöre. I första steget är sannolikheten 2 3 att man knyter ihop den valda änden med änden av ett annat snöre. Förutsatt att detta sker är sannolikheten att man i nästa steg knyter ihop den valda änden med ”rätt” ände 1 2 . I det tredje steget finns inga alternativ – man knyter ihop de två ändar som finns kvar.
u Det teoretiska oddset för att vinna med tre snören är: 1
P(vinst) = 1 / 1 3 = 3. Pelle ger oddset 2.
Vinstmarginalen ges av 1 − givet odds teoretiskt odds = 1 − 2 3 = = 1 3 ≈ 0,33 = 33 %
Vinstmarginalen är ca 33 %.
u P(4 snören till en ring) = 3 4 ∙ 2 3 ∙ 1 2 = 1 4
P(5 snören till en ring) = 4 5 ∙ 3 4 ∙ 2 3 ∙ 1 2 = 1 5
u P(n snören till en ring) = 1 n
u Vid första valet är sannolikheten n − 1 n att man väljer en fungerande ände. I det andra valet är sannolikheten n − 2 n − 1 , i det tredje n − 3 n − 2 osv., tills man vid sista valet har sannolikheten 1 2 att välja rätt ände.
Produktregeln ger P(n snören i en ring) = = n − 1 n ∙ n − 2 n − 1 ∙ n − 3 n − 2 ∙ … ∙ 2 3 ∙ 1 2
Täljaren i varje bråk kan förkortas med nämnaren i det nästkommande bråket. Efter dessa förkortningar återstår bara täljaren i det sista bråket (1) och nämnaren i det första bråket (n), dvs.
P(n snören till en ring) = 1 n
SANNOLIKHET
Kryptiska funktioner
Ett substitutionskrypto kan ses som en funktion som till varje bokstav i klartexten ordnar precis en bokstav i kryptotexten. Om man i ett sådant krypto låter slumpen bestämma vilken bokstav som ska krypteras med vilken, är det svårt att beskriva krypteringsfunktionen med en ekvation eller en formel. Då passar det bra att i stället beskriva funktionen med en tabell, t.ex.
Klartext (invärde) Kryptering (utvärde)
A K
B C
C Ö
D A
E E
F U
Om f är krypteringsfunktionen så gäller alltså f(A) = K; f(B) = C osv.
Exemplet visar att det inte alltid lämpar sig att beskriva en funktion med en ekvation och att definitionsmängd och värdemängd inte alltid består av tal.
Svar till historiefrågorna
u Caesarkoden: Regnet står som spön i backen Alfabetet är i koden förskjutet två steg åt höger.
u Brädgårdskryptot: HEMLIGTMEDDELANDE
Lästips
Mer om kryptering finns att läsa i Kodboken av Simon Singh (2000).
Definitionsmängden för en funktion behöver inte alltid vara tal utan kan, som här, t.ex. vara bokstäver.
Klartext Kryptotext f f −1
Kryptering
Hemlig skrift
Ordet kryptering kommer från grekiskans krypto som betyder dölja. Behovet av att kryptera information man skickar, genom att skapa hemlig skrift, har alltid varit stort. Ofta är ett krypterat meddelande arrangerat så att varje bokstav i klartexten, alltså den okrypterade texten, byts ut mot en annan bokstav. Det kallas för ett substitutionskrypto. Ett sådant omnämns redan i Julius Caesars skildring av sitt fälttåg i Gallien. Han lät bokstäverna i alfabetet förskjutas ett visst antal steg. En förskjutning med två steg gav exempelvis ett C i stället för A och ett F i stället för D. Den här formen av krypto kallas därför ofta för ett Caesarkrypto
Den regel som används för att överföra en klartext till en kryptotext är ett exempel på en funktion För funktionen som beskriver kryptotexten här ovanför gäller exempelvis att f(A) = C och f(D) = F. För att avkryptera meddelandet används en omvänd funktion (invers), f −1 som kallas nyckel. Den omvända funktionen visar vad varje bokstav i kryptotexten ska ersättas med för att få klartexten. Exempelvis gäller för den omvända funktionen att f −1(C) = A och f −1(F) = D.
Om man flyttar om bokstäverna i stället för att förskjuta dem, har man fått ett transpositionskrypto. Ett exempel på ett sådant är brädgården. Där skriver man meddelandet på två rader med varannan bokstav på övre och varannan på undre raden. Sedan sätter man ihop övre och undre raden efter varandra. Om meddelandet som ska krypteras är ”vi anfaller i gryningen” så blir det krypterat ”vafleirnneinalrgyign”.
Rad 1 vafleirnne
Rad 2 inalrgyign
Krypteringsmaskiner
Försök att lista ut Caesarkoden. Ge en algoritm och en nyckel för att få klartext. TGIPGV UVÖT UQO URBP K DCEMGP ?
HMITEDLNEELGMDEAD ?
Tyd meddelandet som är ett brädgårdskrypto.
Genom århundradena har allt mer komplicerade krypton tagits fram, men det har också utvecklats allt mer avancerade metoder för att knäcka koderna. Under 1900-talet tillverkades maskiner för att underlätta krypteringen. En känd sådan krypteringsmaskin är Enigma. Det var den som gav den tyska armén en mycket svårforcerad kod under andra världskriget. Enigmakoden knäcktes till slut av matematiker och detta hade stor betydelse för slutfasen av och de allierades seger. I dag krypteras stora mängder information med hjälp av datorer. Det är exempelvis tack vare den krypteringen som vi kan betala för saker via nätet utan att någon utomstående kommer åt våra betalningsuppgifter.
Koordinatsystem
x-axel och y-axel
origo fyra kvadranter en punkts läge beskrivs av två koordinater x y)
Funktion
samband regel oberoende och beroende variabel definitionsmängd och värdemängd funktionsuttryck
Representation av funktioner
funktionsuttryck ekvation graf värdetabell
Samband och funktioner
Linjära funktioner
räta linjens ekvation i k-form: y = kx + m
allmän form: ax + by + c = 0
riktningskoefficienten k beskriver linjens lutning
konstanttermen m anger linjens skärning med y-axeln
förstagradsfunktion grafen är en rät linje proportionalitet: y = kx linjära modeller beskriver situationer där något ökar eller minskar i jämn takt
Exponentialfunktioner
f(x) = Cax variabeln x är i exponenten a > 1 0 < a < 1 y
exponentiella modeller beskriver situationer där något ökar eller minskar med lika många procent
Potensfunktioner
f x) = Cxa variabeln x är bas i en potens
4
Arbetsförslag 1
Ett sätt att repetera viktiga begrepp i kapitlet är att låta eleverna fundera kring den öppna frågan: ”Hur kan en graf till en funktion se ut?” Det ger möjlighet att sammanfatta egenskaperna hos graferna till exponential- och potensfunktioner samt funktioner som beskriver linjära samband. Men det kan också leda vidare till frågan om en graf till en funktion kan se ut hur som helst. Kan en graf till en funktion ha formen av ett U? Av ett S? På det här sättet kan definitionen av en funktion repeteras och fördjupas.
Arbetsförslag 2
För att sammanfatta funktionsavsnittet kan det vara en god idé att låta varje elev skriva ner eller rita allt de associerar till ordet funktion. Elevernas associationer i form av ord, formler, grafer och exempel kan sedan sammanfattas på tavlan och en liknande tankekarta som den i boken kan växa fram.
Arbetsförslag
I varje kapitel ges ett nytt förslag på hur man kan arbeta med tankekartan.
En variant på övningen är att eleverna får ett antal post-itlappar där de antecknar alla ord, formler eller bilder som de associerar till ordet funktion. Exempel på begrepp kan vara koordinatsystem, kvadrant, värdetabell, graf, ekvation, linjär modell, beroende variabel, oberoende variabel, funktion, definitionsmängd, värdemängd, riktningskoefficient, m-värde, proportionalitet, exponentialfunktion och potensfunktion. Eleverna kan också välja att skissa grafer eller skriva formler
som y = kx + m, f(x) = C ∙ ax eller k = Δy Δx .
Eleverna ska sedan fästa post-it-lapparna på ett A4-papper och dra streck mellan de lappar som de tycker hör ihop.
De får sedan muntligt förklara sin tankekarta för en kamrat. Om en elev dragit ett streck mellan begreppen funktion och graf, eller funktion och ekvation, så ska eleven förklara hur dessa begrepp är relaterade till varandra. Tankekartorna kan utgöra ett rikt underlag då man som lärare vill göra sig en bild av hur långt en klass, eller en enskild elev, har kommit i sin begreppsförståelse.
Om eleverna har tillgång till dator kan motsvarande övning göras i något digitalt verktyg.
2334 T jord 2 r jord 3 = TSat 2 r Sat 3
Lösningar
Med angivna omloppstider i år och radier i km får vi 12 ( 1,496 ∙ 108 ) 3 = 29,52 r Sat 3
Vi inverterar båda leden: ( 1,496 ∙ 108 ) 3 12 = r Sat 3 29,52
29,52 ∙ ( 1,496 ∙ 108 ) 3 = r Sat 3
rSat = 3√29,52 ∙ ( 1,496 ∙ 108 ) 3
2354 −2x2 − 2 > −20
Multiplicera båda led med −1. Vänd samtidigt på olikhetstecknet.
2x2 + 2 < 20
x2 + 1 < 10
x2 < 9
Här följer lösningarna till Nivå 3-uppgifterna och Kapiteltesten i elevboken Matematik Origo nivå 1b. Vi presenterar för det mesta en lösning till varje uppgift. Inte sällan finns det flera möjliga lösningar som är lika bra – eller kanske till och med bättre. Utrymmet tvingar oss att skriva kortfattat. I många fall finns liknande uppgifter lösta i läroboken. De lösningarna innehåller som regel fler steg och är dessutom mer utförligt kommenterade.
rSat = 3√29,52 ∙ 1,496 ∙ 108 km
Fullständiga lösningar
För att x2 ska vara mindre än 9, måste x ligga mellan −3 och 3.
Svar: −3 < x < 3
Längst bak i Lärarguiden finns även lösningar till bokens Nivå 3uppgifter samt till Kapiteltesten.
2355 Vi undersöker när dessa två uttryck är lika stora:
2n + 3 = n + 10
Lösningar till Uppslaget och Historia finner du på motsvarande uppslag i Lärarguiden.
Vi vill veta förhållandet mellan planeternas radier.
rSat
rjord = 3√29,52 ∙ 1,496 ∙ 108 1,496 ∙ 108 = 3√29,52 ≈ 9,5
Svar: Saturnus är 9,5 gånger längre bort från solen än vad jorden är.
Innehåll
2335 x 5 2 + x 5 2 + x 5 2 √x = 75
1 Tal
3x 5 2
x 1 2 = 75
x 5 2 x 1 2 = 25
x 5 2 − 1 2 = 25
2 Algebra
x2 = 25
x = ±5
Svar: x = 5 (x ≠ −5 eftersom √−5 inte är definierat).
2336 a) Vi sätter in t = 14 och K = 5 000 i uttrycket samt
3
sätter det lika med 8 000. Det ger ekvationen:
5 000 ∙ ( 1 + p 100 ) 14 = 8 000
( 1 + p 100 ) 14 = 8 000 5 000
1 + p 100 = 14√ 8 5
Negativ lösning kan uteslutas, eftersom 1 + p 100 är en förändringsfaktor och kan därför inte vara negativ.
p 100 = 14√ 8 5 – 1
p = 100 ( 14√ 8 5 − 1 )
p ≈ 3,4
Svar: Räntesatsen är ca 3,4 %.
b) Vi sätter in t = 7 och K = 5 000 i uttrycket samt
sätter det lika med 8 000. Det ger ekvationen:
5 000 ∙ ( 1 + p 100 ) 7 = 8 000
( 1 + p 100 ) 7 = 8 000 5 000
1 + p 100 = 7√ 8 5
p 100 = 7√ 8 5 – 1
p = 100 ( 7√ 8 5 − 1 ) ≈ 6,9
Svar: Räntesatsen är ca 6,9 %.
2n = n + 7 n = 7
I Lärarguiden finns även förslag på svar till diskussionsfrågorna i Resonemang och begrepp
Alltså är uttrycken lika stora då n = 7. Sätter vi in ett större värde, t.ex. n = 10 ger det 2 ∙ 10 + 3 = 23 respektive 10 + 10 = 20, vilket innebär att 2n + 3 > n + 10 då n > 7. På motsvarande sätt provar vi att sätta in ett mindre värde på n, exempelvis n = 0 vilket ger 2 ∙ 0 + 3 = 3 och 0 + 10 = 10. Det innebär att 2n + 3 < n + 10 för n < 7.
Svar: När n < 7 är n + 10 störst. När n = 7 är uttrycken lika, och när n > 7 är 2n + 3 störst.
2356 För att minimera uttryckets värde minimerar vi dess termer. För att 2x ska bli så litet som möjligt måste x vara så litet som möjligt, vilket i detta fallet är x = 2. För att y2 ska bli så litet som möjligt måste y vara så nära 0 som möjligt, eftersom alla negativa tal blir positiva då de kvadreras. Det innebär att det minsta värdet för uttrycket är 2 ∙ 2 + 02 = 4.
6
2357 Inre cirkelns area = 9π cm2
Yttre cirkelns radie = r, där r > 0
Yttre cirkelns area = πr2 cm2
Det färgade områdets area = (πr2 − 9π) cm2
Det färgade områdets area ska vara större än den inre cirkelns area. Det ger olikheten:
πr2 − 9π > 9π
πr2 > 18π
r2 > 18
r > ± √18 (negativ lösning utesluts)
vilket kan skrivas
r > 3√2
Svar: Den yttre cirkelns radie kan vara r > 3√2 cm.
2.4 Formler och talföljder
2417 a) a = 14 b = 10 c = 8
Det ger
s = 1 2 (14 + 10 + 8) = 16
Insättning i Herons formel ger
A = √16(16 − 14)(16 − 10)(16 − 8) = = √16 ∙ 2 ∙ 6 ∙ 8 = = √16 √6 ∙ 16 = = 4 ∙ √16 √6 = = 4 ∙ 4 ∙ √6 = 16√6 a.e.
b) a = a b = a c = a
s = 1 2 (a + a + a) = 3a 2
Insättning i Herons formel ger
A = √ 3a 2 ( 3a 2 − a ) ( 3a 2 − a ) ( 3a 2 − a ) = = √ 3a 2 ∙ a 2 ∙ a 2
2427 a) Vi skriver om Pythagoras sats som c = ±√a2 + b2
där vi bortser från den negativa roten eftersom vi räknar med längder. I ett kalkylblad kan vi nu skriva in kateternas längder i exempelvis cellerna A2 och B2. Med det givet kan vi i cell C2 skriva = ROT(A2*A2 + B2*B2) vilket ger svaret 5 cm.
b) Vi använder samma kalkylark som i deluppgift a), men skriver in 5 och 6 i A2 respektive B2, vilket ger att hypotenusans längd är ca 7,8 cm.
c) Om vi lämnar kvar 5 i A2 och provar andra heltal i B2, så ser vi att kateten 12 ger en hypotenusa på 13 cm.
2444 a) 4, 12, 24, 40, …
Svar: I den fjärde figuren finns 40 tändstickor.
b) Man får antalet tändstickor i en figur genom att dubbla figurens nummer och sedan multiplicera resultatet med nästa figurs nummer:
4 = (2 ∙ 1) ∙ 2
12 = (2 ∙ 2) ∙ 3
24 = (2 ∙ 3) ∙ 4
40 = (2 ∙ 4) ∙ 5
Svar: an = 2n(n + 1)
2445 Beräknar vi några termer får vi 2, 6, 12, 20, … Varje term är en produkt av figurens nummer och nästa figurs nummer. Det ger den slutna formeln an = n ∙ (n + 1).
Svar: an = n ∙ (n + 1)
2446 a) För att komma till figur 5 lägger vi till 5 rutor till figur 4. Figur 5 har alltså 15 rutor.
b) Vi lägger en likadan figur ovanpå så att de tillsammans bildar en rektangel.
n n + 1
Rektangelns bas är n rutor och dess höjd är n + 1 rutor. Det ger den slutna formeln an = n(n + 1) 2 för n ≥ 1.
2463 sn = n(a1 + an) 2 ger
s20 = 20(a1 + a20) 2 = 10(2 + a20) ,
s20 = 268 ger
10(2 + a20) = 268
20 + 10a20 = 268
10a20 = 248
a20 = 24,8
an = a1 + (n − 1) ∙ d ger
a20 = 2 + (20 − 1) ∙ d
a20 = 2 + 19d
a20 = 24,8 ger
24,8 = 2 + 19d
d = 1,2
Det ger slutligen
an = a1 + (n − 1) = 2 + (n − 1) ∙ 1,2
an = 0,8 + 1,2n
2464 a) Vi ser att antalet tändstickor ökar med 6 tändstickor för varje figur vilket innebär att antalet i figur n kan skrivas som 6n − 2. Det ger
a100 = 6 ∙ 100 − 2 = 598
a1 = 4
n = 100
s100 = n(a1 + an) 2 = 100(4 + 598) 2 = 30 100
b) ap = 6 ∙ p − 2
a1 = 4
n = p
sp = p(4 + 6 ∙ p − 2) 2 = 3p2 + p
2465
VL = a1 + an = a1 + (a1 + (n − 1)d) = 2a1 + nd – d
HL = a2 + an − 1 = (a1 + d) + (a1 + ((n − 1) − 1)d) = = 2a1 + nd − d
VL = HL v.s.v.
nivå
Lärarguiden till Matematik Origo nivå 1b följer elevboken uppslag för uppslag med tips, idéer och inspiration till din undervisning.
Här finns bland annat extra exempel didaktiska tips och kommentarer förslag på hur du kan inleda och avsluta lektionen lösningar till flera av elevbokens uppgifter
Till Matematik Origo nivå 1b finns även komponenterna elevbok, Lärarstöd+ samt kopieringsmaterialet Prov, övningsblad och aktiviteter.