UNIVERSIDAD METROPOLITANA VICERRECTORÍA ASOCIADA DE DESARROLLO Y RETENCIÓN
Programa de Tutorías
Factorizar una diferencia de cuadrados y Factorización por agrupación
¿Cómo factorizar una diferencia de cuadrados? Las siguientes son diferencias de cuadrados:
x 9 2
49 x
2
a 2 49b 2
Diferencia de cuadrados Para factorizar una diferencia de dos cuadrados, escribimos la raíz cuadrada de la primera expresión sumado a la raíz cuadrada de la segunda y lo multiplicamos por la raíz cuadrada de la primera menos la raíz cuadrada de la segunda. A2 B 2 ( A B)( A B)
Re cuerda : A2 A 2
( 8) 8 8
(10) 2 10 10
Verifiquemos si la igualdad A2 B 2 ( A B)( A B) es cierta.
Empecemos multiplicando los binomios y luego veremos si obtenemos la diferencia de cuadrados. (A+B)(A-B) A2 AB BA B 2
A2 AB AB B 2 A2 0 B 2 A2 B 2
Los términos AB y BA son equivalentes por la propiedad conmutativa de la multiplicación, así que BA=AB.
-AB +AB = 0
Ejemplo 1: Factoriza el polinomio A2 B 2 ( A B)( A B)
x 2 9 x 2 32 ( x 3)( x 3)
Para que veamos claramente la diferencia de cuadrados, escribimos el 9 como el cuadrado de 3.
Diferencia de la raíz cuadrada del primer término y la raíz cuadrada del segundo término.
Suma de la raíz cuadrada del primer término y la raíz cuadrada del segundo término.
Ejemplo 2: Factoriza el polinomio 16 x 6 9 y 2
A B ( A B)( A B) 2
2
16 x 9 y (4 x ) (3 y) (4 x 3 y)(4 x 3 y) 6
2
3 2
Buscamos la raíz cuadrada de cada término …
16 x 6 4 x 3 9 y2 3y
2
3
… y luego, para ver claramente la diferencia de cuadrados, escribimos las expresiones así:
3
16 x 6 (4 x 3 ) 2 9 y 2 (3 y ) 2
Ejemplo 3: Factoriza el polinomio
1 x 49 2
A B ( A B)( A B) 2
2
2
1 1 1 1 2 x x x x 49 7 7 7 2
Buscamos 1 la raíz cuadrada de 49 :
1 1 49 7
… y luego, para ver claramente la diferencia de cuadrados, escribimos
1 1 así: 49 7
2
¿La suma de cuadrados factoriza? 2 2 A B ? A B 2
2 puede ser factorizado únicamente si los términos tienen un factor común.
Muchos estudiantes piensan que su factorización es ( A B )2 esto no es cierto. Veamos por qué. 2
( A B )
y
tiene un exponente 2, el cual indica que el binomio hay que multiplicarlo 2 veces. 2
A B ( A B )(A B ) A2 AB BA B 2 A2 AB AB B 2 A 2 AB B 2
2
Obtuvimos un trinomio.
2
Factoriza (3x ) (9 y)
2
Esto es una suma de cuadrados, veamos si los términos tienen algún factor común. 2
2
(3x) (9 y) 9 x 81y 2
2
9( x 9 y ) 2
2
Ejemplo 4:Factoriza el polinomio 625x m 1296m 4
Hay un factor común, m.
625x m 1296m m(625x 1296) 4
4
m (25 x
Buscamos las raíces cuadradas:
2)
2
36 2
625 x 4 25 x 2 1296 36
… y luego, para ver claramente la diferencia de cuadrados, escribimos los términos así: 2
625 x (25 x 2 ) 4
2
1296 ( 36 )
m (25 x 2 36)( 25 x 2 36) No puede ser factorizado pues es una suma de cuadrados, y no tiene factor común.
Esto a su vez es una diferencia de cuadrados y la factorizamos.
m (25 x 2 36) (5 x 2 6 )( 5 x 2 6 )
Ejemplo 5: Factoriza completamente por agrupación x3 4 x 2 9 x 36 (x 3 4 x 2) ( 9 x 36)
Agrupamos los primeros dos términos, y agrupamos los dos últimos. Como escribí la resta fuera del paréntesis hay que cambiar los signos de los términos 9x y 36 dentro del paréntesis.
x ( x 4) 9 (x 4 )
Sacamos el factor común de cada pareja de términos.
( x 4)( x 9)
Observamos que x+4 es un factor común, entonces lo sacamos y asociamos x 2 y 9.
2
2
x 2 9 es una diferencia de cuadrados y la
( x 4)( x 2 32 ) ( x 4)( x 3)( x 3)
factorizamos.
Ejemplo 6: Factoriza completamente y 10 y 25 x 2
2
Si tratamos de factorizar este polinomio formando grupos de dos términos, no lo vamos a lograr. Si te fijas, agrupando los primeros tres términos, formaremos un trinomio cuadrado perfecto. Recuerda que al factorizar un trinomio cuadrado perfecto obtenemos el cuadrado de un binomio. Entonces terminaremos teniendo que factorizar una diferencia de cuadrados. Veamos:
y 2 10 y 25 x 2 trinomio cuadrado perfecto
( y 2 10 y 25) x 2
Agrupamos los primeros tres términos y entonces tenemos un trinomio cuadrado perfecto .
Factorizamos el trinomio.
( y 5)( y 5) x 2
Por las leyes de exponentes (y+5)(y+5)=(y+5)2.
diferencia de cuadrados 2
( y 5) x 2 (y 5) x ( y 5) x
Ahora tenemos una diferencia de cuadrados y la factorizamos.
Referencia Bittinger, M.L., Intermediate Algebra, 10e, (2007) Chapter 4: Polynomials and Polinomial Functions, Section 4.6: Special Factoring, p. 371-377
Preparado por: Luz M. Díaz Laguna – Tutora de Matemáticas
Revisado por: María Yáñez – Coordinadora de Tutorías