A vuela pluma Número 21 Matemáticas by Sofía Vaz Romero

Las Matemรกticas

A vuela pluma. Mayo de 2014, nยบ 21

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Las Matemáticas

Índice Saludo de nuestra Delegada Provincial de Educación Saludo del Alcalde de Llerena y Presidente de la Diputación de Badajoz Circuito matemático Fractales Curiosidades matemáticas Primos, amigos, perfectos... ¿De qué hablamos? Números cotidianos José de Hermosilla y Sandoval Juan Martínez Guijarro, Cardenal Silíceo Gauss, una mente maravillosa Paseo matemático por Llerena La Matemática Grecorromana Sophie Germain Reseñas literarias Qué tal un poco de lógica matemática (Entretenimientos matemáticos)

Fe de erratas Créditos

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Saludo de nuestra Delegada Provincial de Educación

s para mí un gran honor atender a la invitación que me habéis realizado para la presentación de este número especial de la revista “A vuela pluma”, dedicada a la celebración de la fase autonómica de la “XXIV Olimpiada Matemática” en el Instituto de Enseñanza Secundaria “Llerena” de nuestra localidad. Lo es por diversas razones: la primera de ellas es porque es mi centro, tanto de alumna como de profesora, y hasta de directora; mi ciudad, donde vivo y está mi familia, mis compañeros, mi gente, con los que tantos momentos he compartido como profesional y docente, Rosario, Pura, los Juanes, Tomás, Isabel y Benito. Unos siguen con esta dura tarea a la par que gratificante y otros gozan de un más que merecido descanso, aunque siguen colaborando en lo que pueden. Otra buena razón es quien me lo pide, A VUELA PLUMA, la revista que creamos entre todos dando un soplo de aire fresco a la creatividad, al pensamiento, al intercambio de culturas, al conocimiento, noticias… Por último, y no por ello menos importante, es el evento que se celebra, la XXIV Olimpiada Matemática, en la que tantas veces he participado. Y como una más, como siempre, esta ocasión no iba a ser menos. Como Delegada de Educación y Cultura de Badajoz, me complace enormemente comprobar cómo los Centros Educativos de nuestra provincia responden satisfactoriamente, a aquellas actividades y programas que tienen como finalidad la de incentivar el interés por el aprendizaje y el conocimiento por parte de nuestros alumnos, lo cual supone siempre, un gran paso adelante en pos de la mejora de la calidad de la enseñanza en nuestra Comunidad, objetivo que nos hemos fijado en nuestra Consejería y que poco a poco vamos alcanzando. Esta olimpiada se transforma en el escenario en el que los participantes demuestran sus conocimientos, en un área del saber tan útil como son las matemáticas, una de las siete competencias clave que se ha de alcanzar en la enseñanza no universitaria; y que, como herramienta, ayudará a construir el armazón que sustentará el conocimiento y la formación que recibiremos en nuestra vida. Que la sede de tan importante acontecimiento sea “mi” centro, y que todos los participantes y asistentes en general puedan disfrutar de la belleza, la historia y la hospitalidad de mi pueblo, acrecienta en gran medida la alegría que me produce dirigirme a todos vosotros desde esta tribuna. Para acabar, solo me resta desearos a todos, participantes, familiares, organizadores, y a todos los miembros de la comunidad educativa, que disfrutéis de estas olimpiadas, que gane el mejor. Y no olvidéis disfrutar de nuestra acogedora y magnifica ciudad que lo hace con los brazos abiertos. Después de las matemáticas no hay nada como sentarse en la plaza y tomarse un café contemplando nuestra magnífica torre. Un cordial saludo. Condepción Cajaraville Bonilla

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Saludo del Alcalde de Llerena y Presidente de la Diputación de Badajoz

e enorgullece la ocasión que se me brinda para dar la bienvenida a los alumnos finalistas de la fase autonómica de la XXIV Olimpiada Matemática a esta vuestra ciudad. Y digo vuestra ciudad porque si algo caracteriza a Llerena es su hospitalidad, el cobijo y arropo con el que recibe al invitado, sus aromas cálidos y aires frescos. Agradezco también el honor que se me ofrece para dedicar unas líneas, a vuela pluma, que sirvan de preludio a la revista escolar que tenéis a bien publicar, teniendo siempre presente que el que suscribe estando lejos de ser un erudito de la materia, profesa abiertamente ser gran amante de las matemáticas. Las matemáticas han viajado a lo largo del tiempo en un retorcido camino, repleto de dificultades, progresos y retrocesos, hasta convertirse en la imprescindible y hermosa ciencia que hoy conocemos. Si realizáramos un recorrido desde los albores de la humanidad hasta la Grecia de comienzos de la era cristiana en el que mostráramos algunos de los frutos más destacados de las matemáticas, desde la aparición de los sistemas de numeración a las aportaciones realizadas por las antiguas civilizaciones egipcia, babilónica, china, árabe, india y por supuesto la griega, nos encontraríamos con grandes matemáticos como Pitágoras, Euclides, Tsu Chúng-Chih, Bhaudayana. Si seguimos caminando tropezaríamos en la Edad Media, con eruditos árabes y persas, que continuaron desarrollando las matemáticas de los griegos, siendo la fundamentación del álgebra actual la aportación más importante de los matemáticos islámicos. Renacimiento y Edad Moderna establecen unas nuevas matemáticas, con las bases de la geometría analítica, el desarrollo del concepto de función y el tratamiento más sistemático del infinito, dándonos a matemáticos de la talla de Kepler, Descartes, Pascal o Newton. Es en el Siglo XIX cuando las matemáticas comenzaron a desarrollarse como una ciencia formal, independiente de las ciencias naturales. Surgieron nuevos campos como el análisis complejo imponiéndose un nuevo rigor para las demostraciones matemáticas. Pero más allá de épocas históricas y matemáticos insignes, lo cierto es que las matemáticas están presentes en cualquier aspecto de nuestra vida cotidiana. En el uso de un cajero automático de un banco, la comunicación por telefonía móvil o la predicción del tiempo, hay matemáticas. Incluso en una obra de arte o en la publicidad a la que nos someten subyace esta atractiva ciencia. La conexión existente entre las matemáticas y otras disciplinas está vinculada al diario de nuestras vidas, por lo que es sumamente necesario inculcar que su estudio puede llegar a ser una experiencia apasionante y cautivadora, incluso aunque nunca llegue a niveles muy avanzados de entendimiento. Agradecer siempre al equipo de docentes que acercan las ciencias exactas a un alumnado ávido de saber, entender e incluso rivalizar en unas Olimpiadas en las que Llerena hará las veces de la villa de Olimpia, aún siendo ciudad para vivirla. Con el firme deseo de que disfrutéis y aprendáis, un afectuoso saludo. Valentín Cortés Cabanillas Página 4

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CIRCUITO MATEMÁTICO Llerena, mayo de 2015

ndo por a e s a P . 1 a b e Pru

Autores: Isabel Chavero, Juan García, Juan Guerra, Benito Llerena, Tomás Merchán, Purificación Muñoz, Rosario Tena y Pilar Valdés (Departamento de Matemáticas del I.E.S. de Llerena).

la ciudad

El siguiente plano de Llerena te servirá para orientarte en el recorrido, pero no sabemos la escala a la que está trazado... Hemos medido la distancia que separa los puntos A, B y C,((AB) ̅+(BC) ̅), sobre la calle Santiago, y nos ha dado 860 metros. ¿Puedes calcular la escala? Una vez determinada la escala, localiza sobre el plano (en la calle Santiago) la Biblioteca Pública y la Cámara Agraria (actual centro cultural “La Merced”), y determina la distancia que separa ambos edificios.

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rena

jes de Lle a n o s r e P . 2 a b Prue

AÑO DE NACIMIENTO 1520 1526 1620 1715

NOMBRE

APELLIDOS

PROFESIÓN

LUIS JUAN PEDRO JOSÉ

HERMOSILLA ZAPATA ZURBARÁN CIEZA

PINTOR ARQUITECTO CRONISTA ESCRITOR

Ordena los personajes siguiendo las pistas: 1. Los años de nacimiento de ZURBARÁN y PEDRO se diferencian en un siglo. 2. El año de nacimiento de ZURBARÁN es un múltiplo de 3. 3. El año de nacimiento del ARQUITECTO es el mínimo común múltiplo de 35 y 343. 4. LUIS y el CRONISTA nacieron en el mismo siglo. 5. El año de nacimiento de ZAPATA no es múltiplo de 5. 6. HERMOSILLA celebra su santo el 19 de marzo. 7. CIEZA es el más antiguo. 8. El año de nacimiento del ESCRITOR está muy próximo a la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1079.

n refresco u s o m a m o t s o Prueba 3. N e Llerena. d ía r e d e p s o H en la Junto a la Plaza Mayor se encuentra la Hospedería “Mirador de Llerena”, ubicada en una bonita casa palacio que data de 1902. En esta Hospedería podemos disfrutar comiendo en su restaurante o simplemente tomando una copa en uno de sus patios. Por cierto, el otro día estuve allí tomando un refresco y me lo sirvieron en una copa cónica. Las dimensiones de esta copa son 10 cm de profundidad y 8 cm de diámetro de la circunferencia del borde. Podríais decirnos: a)¿Qué cantidad de refresco contiene la copa llena? b)Si después de un trago, el líquido sólo alcanza la mitad de la altura (es decir, 5cm), ¿qué cantidad de refresco me queda aún? c)¿Qué altura habría alcanzado el líquido si hubiera bebido la mitad del refresco? Página 6

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étricos

nos geom r o d A . 4 a b e u Pr

En la fachada de una de las casas de la calle Fuente nos encontramos con una moldura que representa el siguiente trazado geométrico:

Sabiendo que el radio de la circunferencia mide 30 cm., ¿puedes calcular el área de la figura sombreada?

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Y conociendo el dato de la figura anterior, ¿puedes calcular el perímetro de la nueva figura sombreada?

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apata

io de los Z c la a P . 5 a b e u Pr El palacio de los Zapata lo mandó construir el licenciado Luis Zapata, consejero de los Reyes Católicos, a finales del siglo XV. Hasta principios del siglo XIX albergó al tribunal de la Santa Inquisición de Llerena y desde 1974 alberga el juzgado de primera instancia e instrucción del Partido Judicial de Llerena. En su patio interior se localiza un pozo cuyo brocal es un prisma recto de base hexagonal: realiza las medidas necesarias para calcular el área total de dicho prisma (área total es el área lateral más el área de las dos bases). Utilizando los instrumentos de dibujo necesarios, dibuja el desarrollo de dicho prisma.

arán

nte de Zurb e u F . 6 a b e u r P

radio

apotema

lado

En la Plaza de España, al lado del Ayuntamiento, se encuentra una de las señas de la ciudad: la fuente, símbolo que aparece en el escudo oficial de Llerena. Sabemos que su diseño fue obra del pintor Francisco de Zurbarán. Su base es un prisma recto de base octogonal: mide el lado del octógono y, conociendo que la relación del radio de la circunferencia circunscrita al lado es la proporción cordobesa (cuyo valor es 1´3), calcula la apotema y el volumen. Esta fuente tiene cuatro grifos, y uno solo de ellos tarda en llenarla 2h12’33’’. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenarla los cuatro grifos funcionando a la vez? Página 8

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Prueba 7.

en la Código secreto Casa Maestral

El cifrado César es uno de los primeros métodos de lenguaje cifrado conocidos históricamente. Julio César lo usó para enviar órdenes a sus generales en los campos de batalla. Consistía en escribir el mensaje con las letras del alfabeto desplazadas un número natural de posiciones a la derecha.

Aplica este método para descifrar y contestar el siguiente mensaje, sabiendo que el número de posiciones que se desplazan las letras del alfabeto es la solución de la siguiente ecuación: Ecuación : 1- (2x-2)/15=x/3+(x-1)/5 Mensaje cifrado: PWOGTQ FG CTEQU FGN RCVKQ FG NC ECUC OCGUVTCNGP ECNNG ECTEGN (La Casa Maestral fue la residencia de los Maestres de la Orden de Santiago. Restaurada entre 2007 y 2008, conserva su patio de construcción mudéjar de ladrillo, con pilares y arcos de medio punto en un nivel inferior y escarzados en el superior).

onjas m s la e d s e lc u d s Prueba 8. Lo de Santa clara

Uno de los edificios más representativos de la calle Corredera es el convento de Santa Clara. Fundado en 1508, desde sus comienzos ha sido ocupado por monjas de Santa Clara. Se trata de un bello edificio cuya fachada es un ejemplo de arquitectura clasicista. Una de las ocupaciones de las monjas de este convento es la elaboración de dulces. Tras anunciarse en Internet, sus ventas han aumentado considerablemente. Deciden especializarse en la fabricación de tres dulces típicos de la zona: perrunillas, sultanas y almendrados. El año pasado vendieron perrunillas en cajas de 500 gr, sultanas en cajas de 750 gramos y almendrados en cajas de 1200 gramos. Si sabemos que en 2014 vendieron el mismo nº de kilos de cada producto y que los kg vendidos de cada producto están comprendidos entre 2077 y 2087, calcula: a) El nº de kilos de perrunillas, sultanas y almendrados que vendieron en 2014. b) El nº de cajas de cada producto que vendieron. c) El beneficio obtenido en caja de perrunillas, de sultana y de almendrados sabiendo que en cada caja de sultanas obtiene un 20% más de beneficio que en la de perrunilla, que en la caja de almendrados obtiene un 10% más de beneficio que la de sultana y que el beneficio total obtenido es de 29356.20€. A vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

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ralla

e la Mu d a t r e u p a L . 9 Prueba En la muralla del Castillo Viejo existe una puerta que queremos cerrar. Nos han dado un presupuesto para una puerta de madera labrada a razón de 350 euros el metro cuadrado. Toma las medidas necesarias para determinar el coste de dicha puerta. (Nota: ten en cuenta que hay que añadir el IVA, que es el 21%.)

n el parque Prueba 10. E ibertad” lazuela de la L “P

En el plano de Coello, de 1848, ya se llamaba plaza de la Libertad, aunque ha pasado por diferentes nombres a lo largo de su historia. Se encuentra situada junto al Palacio de los Zapata, actual Palacio de Justicia. En la zona central de este parque podemos ver varias figuras de granito que son cuerpos geométricos: esferas, pirámides y prismas. a) Averigua cuántas esferas y pirámides tiene el parque, si se sabe que el número de pirámides es la tercera parte del número de esferas más uno, y entre esferas y pirámides suman 17. (Plantear y resolver la ecuación) b) Encuentra las figuras de las que trata el problema y comprueba la solución. c) Calcula el volumen de granito necesario para elaborar una esfera, tomando las medidas adecuadas para determinar su radio. Página 10

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Fractales

Pura Muñoz Enamorado (Departamento de Matemáticas)

uando observamos la naturaleza, esta nos sorprende con formas extrañas y aparentemente complicadas que llaman profundamente nuestra atención. Si lo estudiamos detenidamente, veremos que esa complejidad frecuentemente se produce a través de la repetición de un mismo modelo muy muy simple. Pues bien, eso un fractal. Un fractal es un objeto que presenta la misma estructura al cambiar indefinidamente la escala de observación. Mira a tu alrededor y verás que hay muchas cosas con estructura fractal, por ejemplo si le arrancas un trozo a una coliflor y lo miras detenidamente, te parecerá una coliflor entera y lo mismo pasa con muchas plantas. Fíjate en los helechos, o en las ramas y hojas de un árbol que son como arboles pequeñitos. Fíjate en un río con sus afluentes, o en la forma caprichosa de una costa...

En la segunda mitad del siglo XX, varios matemáticos ven que esa geometría no da respuesta a la complejidad que se observa en el mundo natural, y proponen el uso de una nueva geometría, la geometría fractal. El termino “fractal” fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. Las figuras fractales pueden crearse con lápiz y papel, basándonos en un modelo muy simple que intentaremos repetir de forma infinita. En este artículo se os mostrará cómo a partir de una línea recta se pueden elaborar modelos fractales, que han llegado a ser muy famosos, y que por esa razón tienen nombre propio. Vamos a empezar: Cogemos un segmento, lo dividimos en tres trozos iguales y eliminamos el tercio central. Ahora, con cada uno de los dos segmentos que tienes hacemos lo mismo, lo dividimos en tres y quitamos el centro. Otra vez, y otra, y otra... A este modelo se le conoce como Polvo de Cantor.

Durante mucho tiempo se produjo un cierto rechazo a esta extrema complejidad y se priorizaron las formas sencillas,como rectas o círculos... más fáciles de entender y medir, y así apareció la geometría Euclidiana. A vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

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Otro ejemplo: Dibujamos una linea recta horizontal. A continuación la transformamos así:

El triángulo de “Sierpinski” Dibujamos un triángulo equilátero grande, unimos los puntos medios de sus lados y extraemos el triángulo central.

A cada uno de los cuatro segmentos trazados hazles la misma transformación anterior, y así una vez y otra, y otra... Repetimos el proceso una y otra vez...

Como puede verse, la estrategia más sencilla para conseguir un fractal, es coger una figura y reproducirla en versiones más pequeñas.

El copo de nieve de Koch Dibuja un triángulo equilátero. Ahora, en cada uno de sus lados reemplazas el tercio central. Así:

Anímate a jugar un poco construyendo tus propios fractales. Sigue los pasos anteriores e inventa tus propios modelos repitiendo una y otra vez las transformaciones realizadas... y quién sabe si dentro de unos años un fractal será famoso por llevar tu nombre.

Benoît Mandelbrot, padre de la geometría fractal. Página 12

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Curiosidades matemáticas La leyenda de ajedrez

Por Isabel Chavero Hernández (Departamento de Matemáticas).

na antiquísima leyenda cuenta que Sheram, príncipe de la India, quedó tan maravillado cuando conoció el juego del ajedrez, que quiso recompensar generosamente a Sessa, el inventor de aquel entretenimiento. Le dijo: “Pídeme lo que quieras”. Sessa le respondió: “Soberano, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así sucesivamente hasta la casilla 64”. El príncipe no pudo complacerle, porque el resultado de esa operación: S = 1 + 2 + 4 + ... + 263 es aproximadamente 18 trillones de granos. Para obtenerlos habría que sembrar la Tierra entera 65 veces. Pulula por los círculos matemáti-

cos un sorprendente final de la historia: Sheram, preocupado al haber empeñado su palabra, mandó llamar al matemático del reino, un tal Pepe Martínez Aroza, el cual razonó de la siguiente manera: “Alteza, puesto que no tenéis trigo suficiente para pagar la deuda contraída con Sessa, igual os daría deberle aún más. Sed, pues, magnánimo y aumentad vuestra recompensa a la cantidad: S = 1 + 2 + 4 + 8 + ... hasta el infinito. Observad que, a partir de la segunda casilla, todas las cantidades a sumar son pares, lo cual nos permite escribir: S = 1 + 2 × ( 1 + 2 + 4 + 8 + ... ), o lo que es lo mismo, S = 1 + 2 × S. Ahora, vos mismo podéis resolver esta sencilla ecuación de primer grado y, veréis que la única solución es S = -1. Podéis decir a Sessa que no solamente puede considerarse pagado con creces, ya que habéis aumentado enormemente vuestra recompensa, sino que actualmente os adeuda un grano de trigo.”

Pi menus erre

Por Juan Santiago García Zapata (Departamento de Matemáticas).

ue a las familias les preocupe el sentido práctico de los aprendizajes de sus hijos no es nada nuevo, como tampoco lo es el hecho de que algunos alumnos presuman de saber más de lo que saben con tal de evitar una buena bronca. ¡Y más si está la aritmética por medio! Veamos, si no, este fragmento de un curioso poema, escrito en castúo, a principios del siglo XX, por Gabriel y Galán, en el que un padre le hace una pregunta a su hijo estudiante para comprobar sus conocimientos. Pa sabel sus saberis le ije: «Sácame la cuenta del aceiti que hogaño nos toca del lagal pol la parti que es nuestra. Se maquilan sesenta cuartillos p’acá parti entera, y nosotros tenemus, ya sabis, una media tercia que tu madre hereó de una quinta que tenía tu agüela Teresa». ¡Ya ves tú que se jaci en un verbu! Sesenta la entera,

doci pa la quinta, cuatru pa la tercia, quita dos pa una media, y resultan dos pa la otra media. Pus el mozu empringó tres papelis de rayas y letras, y pa ensenrearsi de aquella maeja, ijo que el aceiti que a mí me tocaba era «pi menus erre», ¿te enteras?

Como cabe esperar, el padre de este muchacho no quedó muy conforme con el rendimiento académico de su hijo. A vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

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MATEMÁTICAS Y NATURALEZA Por Juan Santiago García Zapata (Departamento de Matemáticas).

amos a intentar dar solución matemática a un problema que, quizá, nos hemos planteado alguna vez en nuestra vida: ¿Por qué las abejas hacen los panales con celdillas hexagonales? Si se trataba de elegir, como forma para las celdillas, una figura regular, es decir, con los lados iguales, ¿por qué precisamente un hexágono y no cualquier otro polígono regular? En principio, se debieron inclinar por una figura regular que ajustara perfectamente con otras iguales, sin dejar entre ellas espacio alguno desperdiciado. Para ello, y según se observa en los dibujos siguientes, eso sólo lo cumplen tres figuras: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono.

Luego el problema de las abejas se reducirá a elegir celdas en forma de triángulo equilátero, de cuadrado o de hexágono regular. ¿Cuál será la celda más económica de fabricar (mínimo contorno) para encerrar la misma cantidad de miel? O lo que es lo mismo, ¿cuál de las figuras anteriores tiene menor perímetro para una misma área? Pues bien, invito a los alumnos de 3º o 4º de ESO para que con sus profesores comprueben que, a igual área, los perímetros del triángulo y el cuadrado son, respectivamente, un 22’5% y un 7’5% superiores al perímetro del hexágono.

¿?

MEDIDAS DEL PLANETA TIERRA Por Tamara Alcuéscar Tena (3º de ESO A)

En 1791 fue creado el metro, unidad fundamental de longitud, por la Academia de Ciencias de Francia; y se definió como la diezmillonésima parte de un cuadrante de un meridiano terrestre. Por tanto, un cuadrante del meridiano terrestre medirá diez millones de metros, o lo que es lo mismo, 10.000 km. Y por consiguiente el meridiano medirá 40.000 km. Si un meridiano es una circunferencia que rodea a la Tierra, a partir de ahí podemos determinar su radio.

Una vez conocido el radio de la Tierra, podemos calcular su Superficie:

Y también su Volumen:

Otra pregunta que nos podemos plantear es que si fuéramos capaces de atravesar la Tierra siguiendo su diámetro, y viajáramos en un coche a 100km/h, ¿cuánto tardaríamos en salir por Nueva Zelanda? Puesto que el diámetro de la Tierra 6366 x 2 = 12732 km, a 100 km/h tardaríamos unas 127 horas. Página 14

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Primos, amigos, perfectos,…. ¿De qué hablamos? Tomás Merchán Barroso (Departamento de Matemáticas)

esde la antigüedad, el hombre ha estudiado los números y ha intentado averiguar, a veces sin mucho éxito, propiedades y relaciones numéricas, atribuyéndoles en ocasiones “propiedades mágicas y/o religiosas”. El tipo de número más estudiado por sus propiedades y características son los números primos, que analizaremos a continuación más detenidamente. Además, a lo largo de la historia, se han estudiado y se continúan estudiando otros tipos de números: números amigos, números perfectos, números abundantes o números deficientes, entre otros. Vamos a explicar estos tipos de números intentando respetar lo máximo posible la definición matemática y utilizando la terminología matemática justo lo estrictamente necesario. La rama de las Matemáticas que estudia este tipo de números se llama Teoría de Números, que aunque es un área muy teórica tiene importantes aplicaciones prácticas, como veremos a continuación. NÚMEROS PRIMOS Es uno de los tipos de números más importantes, debido a su relevancia tanto teórica como práctica. Cuando realizamos una división exacta (el resto de la división ha de ser 0)

decimos que 15 es un divisor de 120. De la misma forma, 8 es también divisor de 120 . Cuando un número tiene exactamente dos divisores (1 y él mismo ) se dice que es un número primo. Cuando el número es primo, no se puede repartir en partes iguales, en otras cantidades (8 veces 15 es 120, 15 veces 8 es 120). 1 no es un número primo porque solo tiene un divisor, el número 1, y por tanto, no cumple la definición dada. El único número primo par que existe es el número 2. Cualquier otro número par, es divisible por 2. Luego ya tiene como mínimo 3 divisores y por tanto, no es primo. Los números primos son como los cimientos de una casa. Son la base para formar cualquier otro número. Cualquier número se puede expresar como producto de números primos y de forma única (sin cambiar el orden de los factores). 2, 3, 5, 7, 11, 13... son los primeros números primos de una lista infinita, de la cual solo conocemos algunos de ellos. El problema es que no conocemos, hasta ahora, una expresión o fórmula que nos permita averiguar TODOS LOS A vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

¿CÓMO CALCULAR TODOS LOS DIVISORES DE UN NÚMERO?

Utilizamos para ello una técnica básica. Se fundamenta en la división exacta entre dos números. Al realizar una división exacta, el divisor y el cociente de dicha división son divisores del dividendo. En la división

15 y 8 son divisores de 120.

Vamos a calcular todos los divisores de 120. El primer divisor de cualquier número natural es 1. Al realizar la división, el cociente es 120. Los divisores de 120 hallados hasta el momento son 1,………,120 El siguiente número natural mayor que 1 es 2. Al realizar la división por 2, obtenemos que es exacta y el cociente es 60. Los divisores de 120 hallados hasta el momento son 1, 2,……60, 120

Probamos ahora con 3 (que es el número que sigue a 2) y su cociente es 40. Los divisores de 120 hallados hasta el momento son 1, 2, 3,… 40, 60, 120 Observamos que los divisores de 120 cada vez se acercan más entre sí. El proceso acaba cuando repitamos el divisor en la lista anterior.

Siguiendo el proceso, los divisores de 120 son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120. Observa que si multiplicamos el primer y último divisor, obtenemos 120; si multiplicamos el segundo divisor y el penúltimo, obtenemos 120; y así sucesivamente.

NÚMEROS PRIMOS, que nos permita generar todos ellos. Gracias al desconocimiento de esta expresión o fórmula, podemos garantizar la seguridad del uso de las tarjetas de crédito en Internet. Usando el producto de números primos muy grandes (desconocidos para casi todo el mundo y muy difíciles de calcular) se les asignan números a nuestras tarjetas de créditos. Si dichos números primos fuera posible obtenerlos mediante una fórmula, la seguridad en el uso de nuestras tarjetas sería prácticamente nula. Una lista de los 10.000 primeros números primos la puedes encontrar en la página http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/ conocer/10000_primos.htm Euclides, matemático griego, en su libro IX de los Elementos demostró allá por el año 300 a.C. que existen infinitos números primos. La demostración de este resultado es una de las más bellas y elegantes que se pueden encontrar. Euclides supone que solo hay un número finito de númePágina 15

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ros primos, por ejemplo K. Considera el producto de todos ellos (los puede multiplicar porque son finitos) y le suma 1. Al nuevo número obtenido lo llamamos P. Luego P = 2. 3. 5... k + 1 Al dividir P por 2, 3, 5... k siempre se obtiene de resto 1. Luego los números primos 2, 3,..., k no dividen ninguno a P. Por tanto, los únicos divisores de P son 1 y P. P solo tiene dos divisores y por tanto, es primo. Obtenemos así una forma de calcular números primos a partir de los primos conocidos. 2. 3 + 1 = 7, que es un número primo 2. 3. 5 + 1 = 31, que es un nº primo. Averigua el siguiente número primo que se obtiene al multiplicar los 4 primeros números primos y sumarle 1. Averigua el siguiente número primo que se obtiene al multiplicar los 5 primeros números primos y sumarle 1. Eratóstenes, también matemático griego, realizó su famosa Criba, la tabla que se adjunta, que nos permite calcular los números primos comprendidos entre 1 y otro dado. Por ejemplo, vamos a calcular todos los números primos comprendidos entre 2 y 235. Vamos coloreando en negrita los números de la tabla que son múltiplos de 2, 3, 5… Los números que aparecen con fondo blanco son números primos. Estos son los números primos menores que 235. Para averiguar si un número menor que 235 es primo, basta con mirar en esta tabla y comprobarlo. Existen decenas completas en las cuales no hay ningún número primo. Por ejemplo, entre 200 y 210 (como se puede comprobar en la tabla adjunta), 320 y 330, 510 y 520… Podemos construir “cadenas” de números consecutivos que no contengan ningún número primo, cadenas tan largas como queramos. Por ejemplo, una cadena de 5 números consecutivos que no contiene ningún número primo es 120, 121, 122, 123, 124. (120 es el producto de los cinco primeros números naturales, excluido el 0) En la sucesión de Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 7, 12, 19… existen muchos números primos (en la lista anterior, los marcados en negrita), aunque no se Página 16

ha podido demostrar si son infinitos. Los elementos de esta sucesión se obtienen como la suma de los dos anteriores, dando los dos primeros valores (1 y 1 ) 2=1+1 3=2+1 5 = 2 + 3, …. Sigue construyendo la sucesión de Fibonacci anterior y encuentra, al menos, dos números primos más.

primo. Por ejemplo: si n = 4, obtenemos que 24– 1 = 16 -1 = 15 =3 . 5 Sin embargo, si n es primo 2n -1 no tiene por qué ser primo. Por ejemplo, n = 11 es un número primo y sin embargo 211 -1 = 2048 - 1 = 2047 = 23 .89 Además no todos los números primos son de esta forma pues hay muchos de ellos que no responden a esta estructura: 41 y 47 son dos ejemplos de ello. A pesar de que esta forma de calcular Marin Mersenne (franciscano francés, números primos, es una expresión útil para calcular números primos muy teólogo, filósofo, autor de varios grandes. trabajos matemáticos y amigo de Descartes) afirmó que si n es primo Como curiosidad, uno de los mayoentonces 2n -1 es también un número res números primos de Mersenne primo siempre que n fuese menor que encontrado es 257.885.161 -1 , que es un 257, afirmación que no es cierta. Sin número con 14.425.170 cifras y fue embargo, facilitó una forma de calcuhallado en 2013. lar “posibles” números primos. Una de las aplicaciones más imporSi n no es primo, entonces 2n -1 no es tantes de los números primos es la criptografía. Mediante el uso de números primos muy grandes se codifican 2 3 4 5 6 7 mensajes bastante complicados de 8 9 10 11 12 13 descodificar si no se conocen dichos 14 15 16 17 18 19 números primos. Este es el método co20 21 22 23 24 25 nocido como “clave pública” o también 26 27 28 29 30 31 “ RSA “. 32 33 34 35 36 37 Algunas conjeturas sobre números 38 39 40 41 42 43 primos son: 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 • Existen infinitos números primos de 56 57 58 59 60 61 la forma p y p + 2 Por ejemplo: 5 y 7 ; 62 63 64 65 66 67 11 y 13 ; 17 y 19,… 68 69 70 71 72 73 Utilizando la tabla de la Criba de 74 75 76 77 78 79 Eratóstenes, halla parejas de núme80 81 82 83 84 85 ros primos que se diferencias en dos 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 unidades. 98 99 100 101 102 103 • Todo número par mayor que 2 se 104 105 106 107 108 109 puede escribir como suma de dos 110 111 112 113 114 115 números primos (Conjetura de Gol116 117 118 119 120 121 dbach). 122 123 124 125 126 127 Por ejemplo 12 = 5 + 7. 128 129 130 131 132 133 Intenta expresar 140 como suma de 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 dos números primos (utiliza la tabla de 146 147 148 149 150 151 la Criba de Eratóstenes). 152 153 154 155 156 157 • Todo número entero mayor que 5 158 159 160 161 162 163 se puede expresar como suma de tres 164 165 166 167 168 169 números primos (También propuesta 170 171 172 173 174 175 por Goldbach). 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 Por ejemplo: 20 = 2 + 5 + 13 188 189 190 191 192 193 Intenta expresar 60 como suma de tres 194 195 196 197 198 199 números primos. (Utiliza la tabla de la 200 201 202 203 204 205 Criba de Eratóstenes). 206 207 208 209 210 211 Aunque son resultados fáciles de 212 213 214 215 216 217 enunciar, exigen profundos conoci218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 mientos matemáticos para poder ser 230 231 232 233 234 235 demostrados. A vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

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Como curiosidad, existen polinomios que nos permiten obtener números primos. Por ejemplo, con el polinomio P(x) = x2 + x + 41 obtenemos números primos para cualquier valor natural de x entre 1 y 39. Algunos de ellos son los que se calculan a continuación. Todos están en la Criba de Eratóstenes en blanco, luego son números primos. Valor de x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Valor del polinomio 12 + 1 + 41 = 1 + 1 + 41 = 43 22 + 2 + 41 = 4 + 2 + 41 = 47 32 + 3 + 41 = 9 + 3 + 41 = 53 42 + 4 + 41 = 16 + 4 + 41 = 61 52 + 5 + 41 = 25 + 5 + 41 = 71 62 + 6 + 41 = 36 + 6 + 41 = 83 72 + 7 + 41 = 49 +7 + 41 = 97 82 +8 + 41 = 64 + 8 + 41 = 113 92 + 9 + 41 = 81 + 9 + 41 = 131 102 + 10 + 41 = 100 + 10 + 41 = 151 112 + 11 + 41 = 121 + 11 + 41 = 173 122 + 12 + 41 = 144 + 12 + 41 = 197 132 + 13 + 41 = 169 + 13 + 41 = 223

NÚMEROS PERFECTOS Este tipo de números siempre han ejercido una atracción especial por su significado para los antiguos matemáticos. Los números perfectos son “raros”, hay muy pocos. Estos matemáticos consideraban que “Los números perfectos son como la virtud, que raramente aparece”. Un número es perfecto si la suma de todos divisores es el doble del número dado, o lo que es lo mismo, si la suma de todos su divisores propios (excluido él mismo) da como resultado el mismo número. El primer número perfecto es 6. Los divisores de 6 son : 1, 2, 3, y 6 , cuya suma es 12 = 2. 6. El número 6 tiene una interpretación divina: 6 días tardó Dios en crear la Tierra, según la Biblia. El siguiente número perfecto es 28. Sus divisores son 1, 2, 4, 7, 14 y 28. Su suma es 56 = 2. 28 Este número también tiene asociado otra interpretación especial: 28 días tarda la Luna en dar una vuelta completa a la Tierra. El siguiente número perfecto es 496. Los divisores de 496 son: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496 cuya suma da el doble del número dado. 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 + 496 = 992 = 2 . 496 El primer matemático en dar una forma de hallar números perfectos fue, de nuevo, Euclides. Los números de la forma 2n-1. (2n -1) son perfectos cuando 2n -1 es un número primo. Euler, matemático suizo, demostró que si n es perfecto y par, entonces es de la forma 2n-1. (2n -1) siendo 2n -1 un número primo. Por ejemplo: 6 = 22-1 . (22 -1) = 2 . 3 y 3 es un número primo. 28 = 23-1 . (23 -1) = 4 . 7 y 7 es un número primo. Intenta calcular el valor de n en la expresión 2n-1. (2n -1) para obtener el número 496. Calcula, utilizando la expresión de los números perfectos 2n-1. (2n -1), el siguiente número perfecto. A vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

No se ha encontrado, incluso utilizando potentes ordenadores, ningún número perfecto impar. Es más, no se ha podido demostrar la existencia de números perfectos impares. En la actualidad, es uno de los retos de la teoría de números. NUMEROS AMIGOS Dos números son amigos si cada uno de ellos es la suma de los divisores del otro, excluido el propio número. Los números amigos más pequeños son 220 y 284. Divisores propios de 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 . Su suma es 284. Divisores propios de 284: 1,2, 4, 71, 142 . Su suma es 220 Desde la antigüedad, a estos pares de números se les ha atribuido un carácter mágico. Tal y como aparece en la Biblia, Jacob ofreció a su hermano 220 ovejas cuando pensaba que lo iba a matar. 220 es un número mágico. La siguiente pareja de números amigos son 1184 y 1210. En la actualidad, con la ayuda de potentes ordenadores, se ha aumentado considerablemente la lista de números amigos. En la página http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/ numamigos_esp.pdf se puede consultar una lista de este tipo de números. NÚMEROS ABUNDANTES Un número es abundante si la suma de sus divisores propios (excluido el propio número) es mayor que dicho número. Por ejemplo, 12 es un número abundante. Los divisores propios de 12 son 1, 2, 3, 4, y 6 que suman 16, que es mayor que 12. Algunos números abundantes son 12, 18, 20, 24 y 30. El número abundante impar más pequeño es 945. Sus divisores propios son 1, 3, 5, 7 ,9, 15, 21, 27, 35, 45, 63, 105, 135, 189, 315. Estos divisores suman 975, que es mayor que 945. Existen infinitos números abundantes pares e impares. Cualquier múltiplo de un número perfecto (que no sea él mismo) es abundante. 6 es un número perfecto. 12, 18, 24... son números abundantes. Comprueba que 56 es un número abundante ( 56 =2 .28). NUMEROS DEFICIENTES Un número es deficiente si la suma de sus divisores propios es menor que dicho número, es decir, la suma de sus partes es menor que el número dado. Para los matemáticos antiguos, ”Un número deficiente tiene una falta en la naturaleza, como el Cíclope que nació con un solo ojo”. 7 es un número deficiente. Su único divisor propio es 1, que es menor que 7 Todos los números primos son deficientes, y las potencias de ellos, también. 3 es un número primo. Las potencias de 3: 9, 27, 81, 243,… son todos números deficientes. Comprueba que 8 es un número deficiente ( 8 = 2.2.2 y 2 es un número primo). Página 17

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NÚMEROS COTIDIANOS Juan Santiago García Zapata (Departamento de Matemáticas)

ue nuestra vida está rodeada de números es un hecho que no se le escapa a nadie. Pero cómo se construyen algunos de esos números, no es algo tan familiar, por ejemplo ¿os habéis parado a pensar en las matrículas de los coches? ¿vale cualquier combinación de números y letras? ¿cuántos coches se pueden matricular con el actual sistema? Actualmente las matrículas de los coches constan de 4 números y 3 letras, pero no todas las letras sirven; si observáis no encontraréis ninguna vocal, el motivo está claro, a nadie le gustaría tener un coche que incluyera en su matrícula palabras como FEO, PEO, MEA, RIP, DEP, OSO, PIG, JOE u otras combinaciones indeseables. Tampoco aparecen la Ñ ni la Q, quizá el motivo sea su parecido con la N y el cero. Por tanto nos quedamos con solo 20 letras que se combinan de tres en tres, así que… veamos cuántas combinaciones son posibles. Por cada letra que está en la primera posición se pueden poner 20 letras en la segunda posición, así mismo por cada letra que está en la segun-

da posición se pueden colocar 20 letras en el tercera posición. Por tanto, el número de combinaciones de tres letras será 20x20x20=8000 combinaciones. Ahora bien, cada combinación de tres letras se acompaña con un número de los comprendidos entre el 0000 y el 9999. Por consiguiente tendremos 8000x10000=80000000 de matrículas. Teniendo en cuenta que en España se vienen matriculando aproximadamente 1200000 coches anuales, con el actual sistema de matriculación tendremos para unos 66 años. Otro número imprescindible en nuestras vidas es el NIF, número de identificación fiscal, compuesto por un número de 8 cifras y una letra aunque tampoco aquí todas las letras valen, se han eliminado la letras I, Ñ, O y U. Lo curioso del NIF es que la letra y el número guardan relación, de tal forma que si dividimos el número entre 23 nos dará un resto que será un número comprendido entre 0 y 22. Cada uno de estos restos está asociado a una letra según la siguiente tabla:

Te propongo, amigo lector, un juego con el que impresionar a tus familiares y amigos. Consiste en averiguar la letra de sus NIF si ellos te facilitan el número. Como ya te he dicho, sólo tienes que dividir el número entre 23 y comprobar qué letra corresponde al resto. Si tienes una calculadora a mano, una forma sencilla de obtener el Página 18

resto es la siguiente: • Divides el número entre 23. • Al resultado que aparece en la pantalla le restas la parte entera. • Por último multiplica lo obtenido por 23 y ya tienes el resto.

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José de Hermosilla y Sandoval Juan Guerra Berjmejo (Departamento de Matemáticas)

ermosilla, uno de los arquitectos (de formación neoclásica e historicista) más importantes e influyentes en la España del siglo XVIII, nació en Llerena el día 12 de Mayo 1715 y murió en Leganés el 21 de Junio de 1776. Influido por sus padres, comenzó la carrera eclesiástica en Sevilla, que la abandonó para estudiar ciencias y matemáticas. Poco tiempo después ingresó en el Real Cuerpo de Ingenieros Militares. En 1748 le asignaron una beca en la Academia de San Luca de Roma, donde tomó como modelo los grandes monumentos de la Antigüedad Clásica. A su regreso a España, lo nombraron director de la sección de Arquitectura de la Academia de Bellas Artes de San Fernando; durante su mandato levantó los planos de El Escorial y escribió su Tratado de Arquitectura Civil Teórica y Práctica, que sirvió de libro de texto para la Academia. Dejó el referido cargo y se incorporó, como capitán de Ingenieros, al ejército, en el que le asignaron la misión de levantar los planos de la Alhambra, incluido el palacio de Carlos V, y de la Mezquita de Córdoba. Entre sus obras más importantes destacan: el palacio Anaya en Salamanca, el salón del Prado en Madrid, la alineación de las fuentes de Neptuno, Apolo y Cibeles, y el nuevo Hospital General en la calle Atocha-Santa Isabel, edificio que ocupa en la actualidad el Centro de Arte Reina Sofía. En Llerena dirigió la reforma de la torre de la Iglesia de la Granada, solamente el lado de la torre que abre a la Plaza Mayor, con el fin de continuar con la balconada o arquería de la fachada del templo. Desde el punto de vista matemático, nos interesa su Tratado de Arquitectura Civil Teórica y Práctica, pues consta de un tratado preliminar (Compendio de Geometría práctica), del cual vamos a comentar algunos puntos. Aunque la obra no se publicó, disponemos del manuscrito original, que se conserva en la Biblioteca Nacional de Madrid con la signatura Mss. 7573, y su reproducción en microfilm (Architectura Civil de Don Joseph de Hermosilla i De Sandoval). Para entender el significado de esta obra, tenemos que conocer la siA vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

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tuación de la ciencia en la España de la época. En la primera mitad del siglo XVIII la ciencia española estaba en manos del ejército, destacando el cuerpo de ingenieros militares. A partir de 1750 la población civil reclamará su derecho a obtener una formación similar a la que se proporcionaba en centros militares, lo que llevó al surgimiento de establecimientos, como las Academias de Bellas Artes, que se presentaban como una alternativa a las universidades, entonces anquilosadas y teóricas. Estas nuevas instituciones, ante la escasez de personal civil cualificado para la enseñanza de las materias científicas, recurrieron a ingenieros militares, como fue el caso de José de Hermosilla. La Real Academia de Bellas Artes de San Fernando se creó en 1752, y su principal objetivo era aplicar las ciencias a las artes, para conseguir acabar con el atraso que en esos momentos tenía el arte español con respecto al europeo. Su objetivo era la creación de un cuerpo de arquitectos que diesen continuidad a los programas constructivos y, de esa forma, poner “orden” en el caótico campo de la edificación de esa época, y conseguir la cohesión necesaria para la realización de obras concebidas y realizadas según las normas estéticas del barroco clasicista dominante en las cortes europeas. La finalidad no era otra que abandonar la decoración barroca y oponerse al barroco castizo que dominaba en España. Los primeros académicos, como Ventura Rodríguez o José de Hermosilla, eran contrarios al arte de los maestros de obra que acaparaban la clientela municipal y religiosa de las ciudades españolas. No es extraño, por tanto, que la Academia, desde un primer momento, se preocupase de trazar, por medio de titulaciones, una neta separación entre arquitectos y maestros de obra; y que luchase constante y encarecidamente contra los gremios y las cofradías tradicionales que pretendían seguir ejerciendo la arquitectura como lo habían hecho siempre. La cultura y los conceptos de arquitectura y de docencia de los académicos chocaban con el sentido rutinario y practicón de los alarifes y maestros de cantería y albañilería tradicionales. En consecuencia, Hermosilla escribe este tratado preliminar porque considera las matemáticas, y en particular la geometría, fundamentales en la formación de los arquitectos. En el prólogo escribe: “La Geometría, la razón de tratarla en un breve tratado que principiando la obra, será como la llave de la Arquitectura” Este tratado de Geometría práctica es, en la práctica, un libro de texto para la instrucción de futuros arquitectos, alejado en contenido y forma de las tareas de los matemáticos de la época. Así lo reconoce el autor cuando expresa su intención: “no escribo para admirar a los doctos, mi ánimo solo es facilitar el modo de aprender a los ignorantes… para que aquella sea el provecho de los Principiantes, y esta haga menos Página 20

ingrata la lección a los Inteligentes.” Llaman la atención algunas proposiciones, sobre todo en el capítulo titulado “Práctica de las más principales Operaciones”, donde trata las principales construcciones geométricas, por la sencillez con la que presenta el método de construir un pentágono: “Prop. 3. Construir un Pentágono sobre una recta dada y terminada. Sea la recta AB. Operación. Desde la extremidad A, con la distancia AB descríbase el arco BDH. Álcese la perpendicular AC (prop. 3 capítulo 7) descrivase el Arco BC en cinco partes iguales, que serán IDLM. Trácese la recta AD. Cártese la línea AB en dos iguales en O (prop 1.eod). Álcese la perpendicular OE. Desde el punto E con la distancia EA, descrívase el circulo ABFGH, repitase quatro veces la línea AB, sobre la circunferencia del círculo y quedará formado el Pentágono pedido.”

Igualmente resulta de gran utilidad la proposición 5, válida para construir cualquier polígono, desde el hexágono hasta el dodecágono “Prop. 5. Sobre una línea recta dada descriva qualquier Polígono desde el exágono hasta el Dodecágono. Sea AB la línea dada. Operacion. Divídase la Línea AB en dos partes iguales en O (prop. 1 Cap. 7) álzese la perpendicular OI (prop.2 cod.) Desde el punto B con la distancia AB, descrívase el arco AC, que termina en la perpendicular OI. Divídase este arco en seis partes iguales, que son M, N, P, Q, R. Si se ha de hacer un eptágono, desde el punto C, con la distancia CM, se descrivirá el arco MD, y D será el Centro para descrivir un círculo, capaz de contener siete vezes la línea AB, y este será el eptágono. Si se ha de hacer un Otágono, Desde el punto C, con la distancia delas dos partes CN, se descrivirá el arco NE, y E será el Centro de un A vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

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Círculo capaz de contener ocho vezes la línea AB. Si se ha de hacer un Enágono se tomarán las tres partes CP. y asi delos demas, creciendo siempre una parte por cada uno delos restantes hasta el dodecágono. Prevengo que todos los círculos que nacen de los centros señalados en la perpendicular OI, deven pasar por los extremos dela línea dada AB.”

más utilizados, y la tabla que relaciona los distintos tipos de pies, pasándolos todos a una unidad común, “partes milésimas”. Realmente es un intento de unificar las unidades de medida, para tratar de resolver la dificultad de comparar esquemas y proyectos arquitectónicos, no solo de diferentes naciones, sino incluso de diferentes provincias de un mismo país, lo que convierte a este capítulo en un precedente del acuerdo internacional al que se llegó en Europa en el año 1792, con el que se adoptó el sistema decimal de medida, que establece como unidad inalterable el metro y sus múltiplos y divisores, origen de las unidades actuales.

De todos los capítulos, me parecen más acertados los de tratamiento práctico que los teóricos y, en particular el capítulo 7, del que he destacado las dos construcciones. Capítulo aparte merece el apéndice del “Compendio de Geometríxa práctica”, titulado “Apéndice Sobre las Medidas y sus proporciones”, en el que trata las medidas de longitud tradicionales (la palma, la vara, el pie y la cana) y su utilización en diferentes aplicaciones y en diferentes regiones y países. Supongo que resultaría realmente muy útiles el dibujo que hace de la relación geométrica entre los tipos de pies Tabla de diferentes “Pies” relacionados todos a una misma unidad “Partes Milesimas”

En resumen, el Compendio de Geometría practica debió de resultar muy útil para la formación de los arquitectos de su época. No obstante, su aportación en el “sentido” matemático me parece un poco “tardío”: con constantes referencias a Vitrubio, a Mons. Perrault y a Tomás Vicente Tosca, olvida (o ignora), entre otros, a Leonardo da Vinci y a Galileo Galilei, autores de teorías más innovadoras, desde la óptica físico-matemática, sobre elementos arquitectónicos como, por ejemplo, los arcos. Pese a estas objeciones, no deja de ser, desde el punto de vista docente y práctico, un más que acertado manual didáctico. A vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

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Juan Martínez Guijarro Cardenal Silíceo Rosario Tena Morales (Departamento de Matemáticas)

uan Martínez Guijarro nació en Villagarcía de la Torre en 1477, en una familia de humildes labradores y murió en 1557 en Toledo. Se cree que comenzó sus estudios en Llerena y a los 16 años se Trasladó a Valencia para continuarlos. A los 21 años marchó a París donde estudió Latin , Dialéctica y Lógica. En París llegó a ser profesor de Universidad. Regresa a España llamado por la Universidad de Salamanca que le ofreció la Cátedra de Lógica Nominalista. Es en esta ciudad donde se ordenó sacerdote y cambia su apellido Gujarro por Silíceo. En 1534 Carlos I lo nombró preceptor del príncipe Felipe. En 1541 fue designado obispo de Cartagena; posteriormente, en 1545 fue nombrado arzobispo de Toledo y más tarde Cardenal. Su obra más famosa “ Ars Arithmetica”, está considerada como uno de los libros de matemáticas más importantes del siglo XVI. Esta obra se divide en dos partes: una Aritmética teórica que trata de los números y sus cualidades y otra práctica que trata de las operaciones numéricas. Cada una de las partes se dividen además en tratados. De la segunda parte, se extrae lo siguiente: “TRATADO QUINTO: SOBRE CUESTIONES QUE HABLANDO VULGARMENTE, SON CUESTIONES DE ORO (...) Así pues, en este quinto y último tratado de este libro voy a exponer una regla fundamental que los antiguos llamaron la regla de tres. Después seguirán doce condiciones. ... condiciones que si se conocen bien facilitarán las soluciones de cualquier cuestión. Pero, para que quede claro este tema, téngase en cuenta las Página 22

cuestiones siguientes... REGLA FUNDAMENTAL Dados en orden tres números, a saber el de lo comprado, el del precio, y el de la pregunta, se multiplica el número del medio por el tercero y el resultado se divide por el primero. Y el cociente es la solución de la cuestión propuesta (...) CUESTION PRIMERA Un general tomó a un soldado a su servicio para un año y le prometió que si le servía todo el año le daría 100 escudos, un caballo y las armas propias de un soldado; terminados los tres primeros meses, el genera ya no necesitó al soldado y la dio, por su trabajo de tres meses, un caballo y las armas diciéndole: “toma este caballo y estas armas por tu tabajo y vete”. Y el soldado tuvo permiso del general para irse. Se pregunta ahora: ¿Cuánto valen el caballo y las armas? Respuesta: Se mira cuántos meses quedan para acabar el año y se ve que son 9, en los cuales, si el soldado hubiese servido habría recibido los 100 escudos; se colocan entones los datos de acuerdo con la regla de tres diciendo: si en 9 meses se dan 100 escudos ¿cuántos escudos se drán en tres meses?. Si se opera de acuerdo con la regla de tres, se verá que el caballo y la armas valen 33 escudos 11 duodenos y 8 turonos (...) “ El Ars Aritmética ha sido traducida del latín al castellano por : D. José Cobos Bueno y D. Eustaquio Sánchez Salor. Bibliografía COBOS BUENO, J.M. y SÁNCHEZ SALOR, E. ( Eds. 1996) Juan Martínez Silíceo. Ars Arithmética. Madrid, Editora Regional de Extremadura y Servicio de Publicaciones de la Universidad de Extremadura A vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

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Sophie Germain Juan Santiago García Zapata (Departamento de Matemáticas)

ophie Germain nació en París el 1 de abril de 1776. Su padre, diputado de la Asamblea, disponía de una gran biblioteca a la que ella sacó gran provecho; desde los 13 años leía toda la tarde y al anochecer simulaba acostarse para luego continuar su lectura. Aprendió latín para poder leer a Newton y a Euler. Al enterarse sus padres de sus estudios científicos, pusieron el grito en el cielo: la dejaron sin luz y calefacción para que no pudiera seguir leyendo por la noche, pero ella escondía una vela para continuar estudiando envuelta en una manta. El día que la encontraron dormida rodeada de cálculos matemáticos comprendieron que no conseguirían disuadirla y, aunque le permitieron que siguiera estudiando, jamás tuvo su apoyo; pensaban que una científica jamás podría casarse. Las mujeres no pudieron estudiar en la Escuela Politécnica de París hasta 1972 pero eso no impidió que Sophie tuviera acceso a las enseñanzas del prestigioso matemático Lagrange. Consiguió sus apuntes utilizando un falso nombre masculino, AntoineAuguste Le Blanc, y llegó a presentarle un trabajo firmado con ese seudónimo. Había tal brillantez en sus reflexiones que Lagrange quiso conocerle. A pesar de su sorpresa al encontrarse ante una mujer siguió reconociendo su valía y se convirtió en su profesor, con lo que logró entrar en las tertulias científicas. No fue la única vez que utilizó el seudónimo de Le Blanc, también lo hizo para cartearse con Gauss después de leer su obra Disquisiciones Aritméticas. Esa obra despertó su pasión por la teoría de números, volcándose con la conjetura de Fermat y consiguiendo el mayor avance desde hacía dos siglos en su resolución con el Teorema de Germain. Nunca podremos saber hasta dónde hubiera llegado Germain con una educación matemática reglada; pero su genialidad y tenacidad queda patente en su participación en el concurso de la Academia. En 1809, la Academia de las Ciencias de París convoca un premio extraordinario para aquella persona que justificara el comportamiento de las partículas cuando son sometidas a una vibración. El reto era tan duro que sólo Sophie presentó un trabajo (1811) y no ganó el premio al faltarle rigor (sin duda por lo errático de su formación). Aun así, su ensayo dio nuevas pautas a la investigación y se amplió el plazo A vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

del premio dos años más. Allí estuvo de nuevo Sophie con su Mémoire sur les Vibrations des Surfaces Élastiques y de nuevo quedó el premio desierto, aunque esta vez tuvieron que dar una mención honorífica a su trabajo. No se rindió: estudió, corrigió, revisó y por fin, en 1815, la Academia le concedió la medalla de oro. Maria-SophieGermain murió de cáncer de mama en París el 27 de Junio de 1831 sin poder disfrutar de la posición que Gauss le había conseguido en la Universidad de Göttingen. NOTA: En la siguiente dirección hay un video muy interesante sobre MUJERES MATEMÁTICAS. Una parte de este video está dedicado a ShophieGermain. http://www.rtve.es/alacarta/videos/universo-matematico/universo-matematico-20-09-10/882229/ Página 23

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Gauss, una mente maravillosa (Fragmento del libro “Breve historia de las Matemáticas” del autor Egmont Colerus)

auss, matemático alemán, nació en 1777 en Brunswick, donde residía su padre, albañil “Maestro de Aguas”, es decir un hombre que trabajaba en la construcción de fuentes y acueductos. En los primeros años de su vida, como él mismo relata, aprendió antes a contar que a hablar. Seguidamente empezó a pedir cartas a sus familiares con las que pronto supo leer y escribir, sin que nadie supiese cómo había hecho para aprender. A los siete años entró en una escuela elemental junto con un centenar de condiscípulos, donde no se distinguió de modo especial. Solo a los 9 años un hecho casual vino a revelar sus dotes. El maestro había puesto como tarea a sus alumnos que sumasen todos los números que van del 1 al 60, una vez resuelto el problema los niños debían colocar sus soluciones sobre la mesa del maestro, unas encima de otras, a medida que iban terminando, de esa forma, el maestro podía controlar la rapidez y la exactitud de la solución. A los pocos minutos de haber enunciado el problema, el pequeño Gauss se precipita a todo correr sobre la mesa diciendo: ¡ya lo tengo! El maestro, fusta en mano, amenaza al niño: “Bien, allá tú, la fusta hará que se te pasen las ganas de bromas”. Cuando al fin después de mucho tiempo están todas las soluciones encima de la mesa, el maestro va mirándolas una a una distribuyendo elogios y reproches. Cuando llega a la solución del pequeño Gauss exclama: ¿Cómo es posible? ¡La solución es correcta! ¿Cómo se las habrá apañado el muy granuja? ¿Sabría de memoria la solución? Pero Gauss explica con toda sencillez cómo lo ha hecho, ha escrito uno debajo de otro, el número más alto y el más bajo, el inmediato más alto y el inmediato más bajo y así sucesivamente de la siguiente forma:

El maestro dejó caer la fusta y tuvo un gesto que le hizo digno de un monumento. Facilitó a Gauss un libro de Matemáticas que hizo traer de Hamburgo, y muy pronto reconoció que ya no le quedaba nada por enseñarle. Pero ni el Politécnico ni la Universidad de Göttingen tenían nada que ofrecer a aquella gran cabeza que, a la prematura edad de 15 años estudiaba ya las teorías de Newton, Euler y Lagrange. A los 23 años era admitido como miembro de la academia de San Petesburgo y a los 25 asombraba al mundo con la determinación de la órbita de Cerere. El planeta Cerere había desaparecido de la vista de los astrónomos al poco tiempo de su descubrimiento, y no se sabía cómo hallarlo de nuevo. El joven matemático se sentó a la mesa, llenó varias hojas de cálculos y declaró haber determinado la órbita. Había de dirigirse a tal punto: se le buscó en el lugar indicado y se le encontró de inmediato, con ello se convirtió en un prodigio de fama mundial, y todos los países empezaron a cortejarle. A fin de retenerle en su patria, se le nombró director del observatorio astronómico de Göttingen, que aún no había sido construido y allí trabajó hasta su muerte en 1855, aportando grandes descubrimientos en Matemáticas, Física y Astronomía.

1 2 3 4 5 ……….. 30 + + + + + + 60 59 58 57 56 ……….. 31 ___________________________________________ 61 61 61 61 61 ………. 61 A continuación había ido sumando dos a dos los mencionados números, obteniendo siempre el mismo resultado, 61. Por tanto, bastaba multiplicar 30 por 61 lo que da el resultado de 1830. Página 24

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Paseo matemático por Llerena

Este artículo, es un breve resumen del texto del mismo nombre realizado por Juan Guerra Bermejo (Departamento de Matemáticas)

sta actividad utiliza la propia ciudad como valor intrínseco y como espacio de aprendizaje y conocimiento. De una parte, para reivindicar nuestro rico patrimonio cultural, y de otra, para apoyarse en este valor como medio de aprendizaje de conceptos matemáticos, geométricos y espaciales. Para esta tarea, proponemos el siguiente recorrido por nuestra ciudad:

Los conceptos matemáticos deben servirnos para enriquecer nuestra mirada y, en consecuencia, el placer del descubrimiento, para tratar de identificar las formas, su trazado y sus fundamentos matemáticos. Los elementos que vamos a identificar en el recorrido son, fundamentalmente: 1.- Arcos, bóvedas y cúpulas. Los arcos son estructuras que nos permiten abrir grandes huecos en los muros y cubrir grandes luces con piezas pequeñas. Pertenecen al grupo de las estructuras que resisten por forma gracias a sus características geométricas. En estas las fuerzas son transmitidas de la estructura al terreno a través de un canal definido por la forma. Manteniéndose estables siempre que la línea de empujes quede contenida en el grosor del mismo. Son estructuras que trabajan a compresión, las fuerzas aplicadas comprimen la estructura, por eso los materiales que constituyen la estructura tienen una resistencia característica a la compresión. Veremos varios tipos de arcos en nuestro recorrido. Dos ejemplos: Arco carpanel, de la fachada de la Iglesia de la Consolación y arco ojival del interior de la Iglesia de la Granada. A vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

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Estudio geométrico sobre arco carpanel.

Las bóvedas son elementos constructivos superficiales, generadas por el movimiento de un arco generatriz a lo largo de un eje (traslación de un arco). Como el arco que la genera, sus piezas trabajan a compresión. Sirve para cubrir el espacio comprendido entre dos muros o pilares alineados. E igual que los arcos, las fuerzas que soportan se transforman en empujes laterales sobre los puntos de apoyo, que suelen ser contrafuertes o estribos, que contrarrestan estas fuerzas para mantener la estructura en equilibrio. Existen diferentes tipos de bóvedas, que iremos identificando en nuestro recorrido. Como ejemplo, en la Puerta de Montemolín, podemos identificar una bóveda de Cañón generada por un arco de medio punto que se traslada a lo largo de un eje.

Arco ojival romano.

Puerta de Montemolín

Las cúpulas son elementos constructivos superficiales, generadas por el movimiento de arcos de perfil semicircular, parabólicos u ovoidal, rotados respecto a un punto central o eje de simetría. Como el arco que la genera, sus piezas trabajan a compresión. Sirve para cubrir el espacio de planta circular, cuadrada, poligonal o elíptica. Sirva como ejemplo la cúpula del Hospital de San Juan (Actual Biblioteca Municipal de Llerena) sobre planta circular y cubierta octogonal. Página 26

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2.- Fachadas y plantas. Sus proporciones. Considerando las diferentes ideas de proporción y armonía, y de los cánones geométricos que, en las grandes épocas del arte, han podido servir para la composición de los trazados arquitectónicos. En nuestro recorrido estudiaremos algunas construcciones geométricas sencillas sobre plantas y fachadas, para saber cuáles han sido generadas a partir de figuras simples como cuadrados, rectángulos, polígonos… Como ejemplo, el trazado del rectángulo áureo sobre la fachada del Hospital de San Juan (Biblioteca Pública de Llerena). Recuerda que la proporción en un rectángulo se define como p =

lado mayor lado menor

Como ayuda para clasificar los rectángulos, en la siguiente tabla aparecen los rectángulos más comunes utilizados en arquitectura: Nombre

Proporción numérica

Cuadrado

r =1

Rectángulo Sesquiáltero Rectángulo Duplo Rectángulo Quíntuplo

3 2

r=2

r =5

Nombre Rectángulo

Proporción numérica

Rectángulo de Plata Rectángulo Áureo Rectángulo Cordobés

r = 2 = 1,414... J = 1 + 2 = 2,414...

Φ= r=

1+ 5 = 1,618... 2 1 2− 2

= 1,307...

3.- Teselaciones y adornos. En esta primera parte vamos a estudiar algunos de los campos que han utilizado los diseños geométricos para rellenar una superficie. A este tipo de diseño se le llama mosaico o teselación. En ellos, una serie de figuras se ajustan perfectamente a sus vecinas para cubrir completamente una superficie sin dejar huecos ni solaparse. La estrella octogonal, al aplicar giros de 180º respecto de vértices alternos, determina un mosaico que aparece en múltiples diseños:

Detalle de la entrada de la casa-Palacio del Colegio Santo Ángel. A vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

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Enlazado de figuras geométricas. Es frecuente ver decoraciones de figuras geométricas que se enlazan y se mezclan, dando lugar a un motivo que se repite periódicamente a lo largo de toda la decoración. Trataremos de determinar las figuras geométricas que se han tomado como modelo para la construcción de las decoraciones.

Estrella sobre octógono (detalle sobre cornisa Iglesia de Sta. Clara. Llerena).

4.- Curvas abiertas como adornos: Las Espirales. La espiral, un instrumento esencial con que cuenta la naturaleza, se repite con frecuencia en muchas manifestaciones de esta, crecimiento de algunas flores, conchas de caracoles, la detectamos en el agua y en las nubes,… Con muchísima frecuencia es utilizada en adornos o terminaciones en diferentes edificaciones. Espirales en la puerta de la Iglesia-Palacio de la Merced en Llerena. Se trata de una espiral de base rectangular: Cuando la base modular es un polígono irregular, como es el presente caso, la espiral cambia rápidamente su recorrido, alternando, de modo también brusco, aunque parcialmente constante, las longitudes de sus radios.

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LA MATEMÁTICA GRECORROMANA José Tomás Saracho Villalovos (Departamento de Latín, Griego y Cultura Clásica

entro de la matemática, los pitagóricos realizaron importantes avances (teorema de Pitágoras); en la Academia platónica se cultivó la geometría; pero la figura más notable fue Euclides, autor de un manual (Elementos) que tiene un valor inapreciable. La matemática griega y su implicación en la educación infantil y juvenil la conocemos por dos textos platónicos fundamentales, el primero tomado de la República (VII 525530) y el segundo de Leyes (VII, 817c-820d). La astronomía dio figuras tan notables como Eudoxo y, sobre todo, Aristarco de Samos, llamado el Copérnico de la Antigüedad. Pero el gran problema que plantea la ciencia antigua es contestar a la pregunta de por qué, de hecho, no pasó del puro nivel especulativo. Ciencia oriental y ciencia griega Sin dejar de reconocer que Oriente ha dejado su huella en los orígenes de la ciencia griega -por lo menos una gran acumulación de datos objetivos luego racionalizados por Grecia-, el paso que conduce de la preciencia oriental a la ciencia helénica es un paso decisivo. Y ello por una serie de razones. Primero, porque el genio matemático griego era sólo un aspecto del genio filosófico de la raza. Y, en efecto, las matemáticas desempeñaron un gran papel en la filosofía griega, hasta el punto de que a veces no puede entenderse una obra si no se está en posesión de una buena formación matemática. Pero hay, además, otro A vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

hecho: es cierto que Oriente logró acumular un enorme caudal de datos y observaciones. Pero aparte el hecho de que la ciencia griega acumuló un caudal todavía mayor, debemos contar con un hecho decisivo: el racionalismo griego -que es uno de los rasgos de su genio- transformó el puro conocimiento empírico oriental en una auténtica ciencia especulativa. Un dato puede servir de ejemplo: sabemos que los agrimensores egipcios llegaron a conocer, por métodos puramente empíricos, la idea del llamado teorema de Pitágoras. Podían “demostrar” que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa era equivalente a la suma del cuadrado de los catetos. ¿Cómo lo demostraban? Dividiendo los paralelogramos cuadrados construidos sobre cada uno de estos lados en varios cuadraditos iguales, demostrando así que la suma de los pequeños cuadrados del polígono construidos sobre la hipotenusa contenía el mismo número que los construidos en los catetos, de acuerdo con esta figura:

Por su parte, los asirios y babilonios, en el caso particular de un triángulo rectángulo de hipotenusa 5 y catetos 3 y 4, llegaron también a establecer el contenido del teorema. Pero sólo en este caso particular. Los griegos, en cambio, tras una serie de tanteos, lograron una demostración puramente matemática. La conquista matemática que significa el descubrimiento del teorema de Pitágoras (que Página 29

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en algunas fuentes se atribuye a este filósofo, y en otras se habla simplemente de los pitagóricos, pero el problema es el mismo) no es un dato aislado y carente de significación. Zeuthe, un gran historiador de las matemáticas, llegó a afirmar, que el teorema de Pitágoras y su demostración racional por parte de los griegos fue nada menos que el origen de la geometría racional. El genio griego fue, pues, un genio esencialmente matemático. El carácter especulativo que presentan otras ciencias griegas -la misma física lo fue casi siempre en Grecia, si excluimos casos como los de Arquímedes y algún otro- son el resultado de esta vocación matemática. A ello han contribuido otros factores. Se ha insistido, por ejemplo, en que la misma estructura del griego ha sido un factor de importancia decisiva en la elaboración de la ciencia. La misma terminología matemática ha sido elaborada a partir del lenguaje cotidiano. Es un hecho que esta terminología ha sido tomada por la ciencia occidental, que, en este sentido, vive de prestado. Para los griegos eso ya no es verdad: términos como isósceles, paralelogramo, hipotenusa, cateto están tomados de la lengua común, de manera que para un griego no se trataba de términos raros, sino muy vivos, que hablaban directamente al espíritu griego. Pero, además, los griegos, con su espíritu lógico, desarrollaron muy pronto un principio de la demostración. Demostración que se apoya, ante todo, en unos principios, porque toda ciencia debe partir de algo que no necesite demostración, sino que se imponga por sí mismo. Estos principios se llaman axiomas (en griego: “exigencia”). A partir de esos recursos elementales desarrollaron los griegos la teoría de la demostración. Todo debe ser probado. Para solucionar los problemas matemáticos disponen los griegos de diversos procedimientos: por un lado, el de la reducción, que consiste en reducir un problema dado a otro más sencillo. Un segundo procedimiento es el del análisis (en griego: “disolución”) definido por Papo del modo siguiente: “En el análisis damos por averiguado lo que se busca, como si ya se hubiera hallado, e inquirimos la causa de esto y, de nuevo, cuál es la causa antecedente de la segunda, y así sucesivamente, hasta que, desandando nuestros pasos, llegamos a lago ya conocido o que pertenece a la clase de los principios”. Otro procedimiento fue el método de la reducción al absurdo; se parte de una hipótesis (en griego: “suposición”) contradictoria de la que deseamos probar; seguimos luego el mismo principio del análisis retrocediendo hasta que llegamos a un absurdo. Un ejemplo de este método son las famosas paradojas Página 30

de Zenón. Los grandes momentos de la matemática y de la astronomía griegas Que la filosofía está íntimamente relacionada con el genio matemático helénico lo demuestra el hecho de que el primer filósofo griego fue al tiempo el primer matemático y astrónomo. Se trata de Tales de Mileto. Es seguro que tuvo conocimientos de los grandes progresos que la agrimensura egipcia había realizado, pues sabemos que viajó a este país, cuna entonces de la sabiduría. Pero el genio de Tales pudo racionalizar estos conocimientos empíricos, llegando, por ejemplo, a explicar una serie de principios matemáticos y a establecer una serie de teoremas que lo califican como uno de los grandes científicos de la historia. Así, de acuerdo con los datos de la tradición helénica, sabemos que Tales logró demostrar una serie de teoremas, como los siguientes: 1.- Un círculo es dividido por el diámetro en dos partes iguales. 2.- Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. 3.- Si dos rectas se cortan, los ángulos opuestos son iguales. 4.- El ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto. A partir de sus conocimientos teóricos logró Tales también resolver ciertos problemas prácticos, como medir la distancia a que se halla un barco en el mar, y establecer la altura de las pirámides utilizando como base la sombra proyectada por las mismas. Tales fue asimismo un astrónomo que predijo eclipses. Sin duda conocía la ciencia astronómica de los babilonios. Con Pitágoras y su escuela las matemáticas pasan a ocupar un papel de primer orden en el pensamiento griego. Con él se llega a la construcción de un universo matemático en el que el número y la proporción constituyen la base. Buena parte de los conocimientos matemáticos sistematizados por Euclides en sus Elementos (siglo IV a.C.) parece que habían sido descubiertos ya por los pitagóricos. Debemos a Pitágoras y a su escuela esencialmente una teoría de los números, establecida de un modo que puede parecer raro al lector moderno: números pares, impares, primos, mixtos, por un lado; pero, por otro, una curiosa concepción que establecía los números triangulares, cuadrados, oblongos, poligonales, que corresponden a diversas figuras, en tanto que los números “sólidos” A vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

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podían equivaler a pirámides, cubos, paralelepípedos, etc.

De entre los descubrimientos que se atribuyen a la escuela pitagórica o al maestro Pitágoras, pues resulta siempre difícil distinguir lo que es propio del fundador de la escuela y lo que se debe a sus discípulos, podemos señalar los siguientes: Por un lado, la demostración del teorema que lleva su nombre, y que recoge Euclides en sus Elementos; pero asimismo parece que se debe a él el descubrimiento de la teoría de las proporciones, así como la de las medias, en especial, la llamada media perfecta que utiliza Platón en el Timeo (diálogo de profunda influencia pitagórica) y que se determina así: en la que el segundo y tercer término son respecti-

vamente, la medida aritmética y armónica entre a y b. un caso particular que responde a esta medida es: 12:9 = 8:6. Finalmente, Pitágoras descubrió que los intervalos musicales corresponden a cierta razón aritmética entre las longitudes de cuerda sometidas a la misma tensión. Así, la octava corresponde a la razón 2:1, la quinta a 3:2, etc. La matemática en los siglos V a.C. y comienzos del VI a.C. Los grandes matemáticos de la época clásica son: Hipias de Elis, Hipócrates de Quíos (que no debe confundirse con el médico contemporáneo suyo), Demócrito, Arquitas de Tarento, Teodoro de Cirene, Teeteto y Eudoxo de Cnido. Debemos a estos científicos una serie de descubrimientos que llevaron a superar la matemática anterior, planteándose unos problemas que hasta entonces no habían ocupado las mentes griegas. Los principales problemas de esta A vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

geometría superior a la euclidiana son: 1.- El problema de la cuadratura del círculo. 2.- Forma de dividir un ángulo en tres partes iguales. 3.- La duplicación del cubo. 4.- Fundamento matemático de la mecánica. Hipias, un sofista, se ocupó del problema de la trisección de un ángulo. Hipócrates de Quíos realizó una compilación de elementos matemáticos preparando así la obra de Euclides, escrita más tarde. Se ocupó sobre todo del problema de la duplicación del cubo, que no logró resolver, pero que redujo a otro, el de encontrar dos medidas proporcionales en proporción continua entre dos rectas de acuerdo con este esquema:

Teodoro de Cirene, maestro de matemáticas de Platón, se ocupó de los números irracionales, estableciendo la irracionalidad de

de acuerdo con los datos que nos proporciona Platón en el Teeteto (147 d). Teeteto continuó desarrollando la teoría de los irracionales y se ocupó de la geometría sólida, descubriendo el octaedro y el icosaedro. Pero el genio matemático más grande de esta época, que preanuncia ya la gran floración de la matemática y la astronomía del período helenístico fue Eudoxo de Cnido, que vivió entre 408 y 355 a.C. Discípulo del pitagórico Arquitas de Tarento, vivió en Cizico y Atenas, sobresaliendo tanto en matemáticas como en astronomía. Como matemático, Eudoxo trabajó de un modo especial en la teoría de las proporciones. Sobre todo, se aplicó a resolver las dificultades que el descubrimiento de lo inconmensurable planteaba en lo que respecta a la proporción. Su descubrimiento que se conoce como la gran teoría de la proporción, aplicable tanto a las magnitudes conmensurables como a las inconmensurables, se nos ha conservado en los Elementos, de Euclides (libro V, Def. 5): su clave radica en la definición de las razones iguales, que reza así: Se dice que la razón de una primera magnitud con una segunda es la misma que la de una tercera con una cuarta cuando tomando cualquier múltiplo de la primera y de la tercera, de la segunda y cuarta, el múltiplo de la primera es mayor, igual o menor que la de la segunda, según que el de la tercera sea Página 31

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mayor, igual o menor que el de la cuarta.

Otro importante descubrimiento de Eudoxo fue el descubrimiento del método de exhaución para la medición de espacios curvilíneos y sólidos. En última instancia, su enunciado es que se puede inscribir un polígono en un círculo que se aproxime a la igualdad de ésta tanto como nos plazca. A este método debió la geometría muchos de sus grandes triunfos. En el campo de la astronomía, Eudoxo es el autor de la teoría de las esferas concéntricas, que sirvió para explicar los movimientos aparentes de los planetas y de un modo especial sus aparentes puntos estacionarios y retrocesos. Aunque Platón no era propiamente un matemático concedió a su estudio gran importancia. En el diálogo Menón utiliza algunos de los principios de la geometría para apuntar su doctrina de las ideas; y en la República recomienda a los filósofos el estudio matemático. En el Timeo recoge todos los grandes descubrimientos matemáticos y astronómicos, además de los biológicos y médicos, de su tiempo. El período helenístico y romano Como ocurre con el resto de las ciencias, la matemática y la astronomía realizaron enormes progresos durante el período ulterior de la cultura griega. En el campo matemático-astronómico, haya que citar a Autólico de Pitane, precursor de Euclides, y autor de un tratado Sobre la esfera móvil y sobre las salidas y puestas. La figura más conocida -aunque no la más genial- de este período es sin duda Euclides (330275 a.C.), que llegó a ser director de la escuela de matemáticas del Museo de Alejandría. Aparte de sus Elementos, escribió dos obras de geometría elemental (Datos y otra que sólo se nos ha conservado en su versión árabe, Sobre divisiones); de entre sus tratados de geometría superior, hay que mencionar las Cónicas, los Prismas y los Espacios planos. Estas obras se han perdido, pero mucho de su contenido se ha conservado en obras de matemáticos posteriores, como Apolonio de Pérgamo y Papo. Escribió asimismo tratados de matemática aplicada, como los Fenómenos (en los que continuaba parte de la obra de Autólico de Pitane), la Óptica, y un tratado, conocido con el nombre latino de Sectio cononis, que sin duda no es de él. Pero la obra clásica de Euclides es Elementos, en trece libros, donde se sistematiza, de un Página 32

modo definitivo, la matemática antigua. Es, pues, importante no sólo por su contenido y su método, sino porque en este libro se conservan muchos de los descubrimientos realizados hasta su tiempo: de Tales, de Pitágoras, de Eudoxo, de Hipócrates de Quíos, etc. Ha sido llamado “uno de los libros más influyentes de la historia de la humanidad”. Con él se vuelve canónica la forma de exposición y el método de la matemática. Es, en suma, una verdadera enciclopedia de los conocimientos matemáticos de Grecia en el siglo IV a.C. Tuvo en la Antigüedad numerosos comentaristas, entre los que destaca Proclo (siglo V d.C.). Situado entre Euclides y Arquímedes, Aristarco de Samos es uno de los genios astronómicos y matemáticos más grandes que ha tenido la Humanidad. Nació en los últimos años del siglo IV (seguramente en 310 a.C.) y a él se debe el intento por defender la hipótesis heliocéntrica, esto es, que el Sol ocupa el centro de su sistema, y que la Tierra se mueve alrededor del Sol. Es la gran hipótesis que Copérnico resucitó en el siglo XVI. Partió, para su descubrimiento, del supuesto defendido por Heráclito, según el cual la Tierra gira sobre su eje; pero dio un paso más y sostuvo que la Tierra, al igual que los demás planteas, se mueven alrededor del Sol. Hipótesis genial, de la que tenemos noticias por Arquímedes, pero que fue arrinconada por la que en el siglo II d.C. sostuvo Ptolomeo, esto es, la teoría según la cual la Tierra ocupa el centro, y que habría de prevalecer a lo largo de toda la Edad Media hasta Copérnico. La mayor parte de la obra de Aristarco -llamado el Copérnico de la Antigüedad- se ha perdido para nosotros, aunque conservamos algunos fragmentos. Su tratado, Sobre el tamaño y distancia del Sol y de la Luna, conservado en griego, no habla para nada de su hipótesis heliocéntrica, y se ocupa de un problema que ya había preocupado a los científicos más antiguos: el del tamaño del Sol. Por primera vez con Aristarco se plantea el tema de la insignificancia de la Tierra medido en términos astronómicos. Sus cálculos fueron buenos en cuanto al método, pero erróneos en algunos puntos, como en la valoración de determinados ángulos formados por las rectas que unen el Sol y la Tierra. Sus conclusiones fueron, en este terreno: - que el diámetro del Sol es unas 18 ó 20 veces el de la Luna; - que el diámetro del Sol es entre 19 y 43 veces el de la Tierra; - que el diámetro de la Luna es entre 2/45 y 1/30 de la distancia del centro de la Luna a nuestra vista. Contemporáneo algo más joven de ArisA vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

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tarco fue Arquímedes, cuya actividad se desarrolló en Siracusa durante gran parte del siglo III a.C. (nació alrededor del 287 a.C. y murió en el sitio de Siracusa por las tropas romanas del 212 a.C.). Su figura es enormemente simpática, y se recuerdan de él dichos que han pasado al acervo común de las anécdotas más famosas, como el famoso “¡Heureka!” y la expresión “Dadme un punto de apoyo y levantaré el mundo”. Se cuenta que el rey de Siracusa Hierón II había entregado a un orfebre una pieza de oro puro para hacer una corona. La estatua de la diosa lucía la corona, pero el rey sospechaba que el orfebre había mezclado oro y plata se había quedado con parte del oro. Arquímedes debía descubrir si esto era cierto y cómo lo había hecho el orfebre. Después de mucho pensar, un día vio que al entrar en la bañera se vertía agua y salio gritando, desnudo, Heureka. Una vez vestido, Arquímedes llevó a cabo el experimento: introdujo una pieza de oro puro del mismo peso que la corona en un recipiente con agua y midió el agua desplazada; hizo lo mismo con una pieza de plata y finalmente con la corona; había descubierto el engaño porque la cantidad de agua desplazada por la plata no era la misma. El peso era el mismo, pero no la densidad y el volumen.

Su genio fue fundamentalmente matemático, pero supo aplicar esta ciencia al campo de la física -hecho notable, pues la física antigua fue eminentemente especulativa- y a la ingeniería, hasta el punto que se hicieron famosos sus inventos. Es un genio parecido a Leonardo. Así durante el asedio de su ciudad natal, Siracusa, inventó una máquina capaz de levantar los barcos romanos: Desde ese momento se inició el ataque a Siracusa simultáneamente por tierra y por mar; por tierra desde el Hexápilo y por mar desde Acradina, cuyas murallas bañan las olas. Y como habían tomado Leontinos con el susto del primer asalto, confiaban en penetrar por un sitio o por otro en aquella ciudad extensa y dispersa, y acercaron a las murallas maquinaria de asalto de todo tipo. La operación puesta en marcha con tanto ahínco habría tenido éxito de no haber sido por la presencia de un hombre singular en Siracusa en aquellos momentos. Era éste Arquímedes, un observador sin par del cielo y de los astros, pero más extraordinario como inventor y constructor de máquinas de guerra con las que sin esforzarse mucho burlaba las más laboriosas operaciones del enemigo. La muralla se extendía a lo largo de un terreno desigual, elevado y de difícil acceso en muchos puntos, pero con tramos en depresión a los que se podía llegar por vaguadas horizontales, y en cada sitio emplazó los artefactos de todo tipo que resultaban más apropiados. Marcelo atacaba la muralla de Acradina, bañada por el mar como ya se ha dicho, con sesenta quinquerremes. Desde algunas de las naves, arqueros y honderos, e incluso vélites, cuyo venablo son incapaces de devolver los que no son expertos, alcanzaban a casi todo aquel que permaneciera sobre la muralla; éstos A vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

mantenían sus naves a distancia del muro porque el lanzamiento de proyectiles requiere espacio. Otras quinquerremes, emparejadas de dos en dos después de eliminar los remos interiores para adosar costado con costado, propulsadas por la bancada exterior de remos como si fuera una sola nave, transportaban torres de varios pisos y otros artefactos para batir los muros. Frente a este dispositivo naval emplazó Arquímedes en los muros máquinas de diversos tamaños. Contra las naves que estaban a distancia lanzaban piedras de gran tamaño; las más cercanas las atacaban con proyectiles más ligeros, y por eso mismo más frecuentes. Finalmente, con objeto de que los suyos lanzaran sus proyectiles sobre el enemigo sin ser alcanzados, abrió en los muros de arriba abajo numerosas troneras aproximadamente de un codo, y a través de éstas, y sin descubrirse, atacaban al enemigo, unos con flechas y otros con escorpiones de tamaño medio. Algunas naves se acercaban más para quedar, por dentro, lejos del alcance de los proyectiles; sobre la proa de estas naves se lanzaba, por medio de una especie de grúa que sobresalía por encima de la muralla, una mano de hierro sujeta con una sólida cadena; un pesado contrapeso de plomo hacía retroceder la mano hacia tierra e izando la nave por la proa la situaba en vertical sobre la popa; luego, al soltarla de repente como si cayera desde el muro, con gran pánico de la tripulación, sufría la nave tal embate contra las olas que entraba bastante agua aunque cayese horizontal. De este modo se frustró el ataque por mar, y todas las esperanzas se cifraban en un ataque por tierra con todos los efectivos. Pero también aquí cada sector estaba igualmente equipado con un dispositivo de artefactos de todas clases, después de largos años de previsión por parte de Hierón y a sus expensas, y gracias al ingenio singular de Arquímedes. Ayudaba también la naturaleza del terreno, porque la roca sobre la que se asentaban los cimientos de la muralla era en gran parte tan pendiente que caían pesadamente sobre el enemigo no sólo los proyectiles lanzados a máquina sino incluso los que rodaban por su propio peso. Por la misma razón era difícil el acceso subiendo por ella, pues se afirmaba el pie de forma poco estable. De modo, pues, que se celebró un consejo, y en vista de que todos los intentos resultan fallidos se decidió desistir del asalto y bloquear al enemigo por tierra y mar (Livio, XXIV,33,9-34).

Un rasgo típico de la obra de Arquímedes -escrita en dialecto dorio, es decir, en la lengua hablada en su tierra, y no en una lengua artificial, como el jónico, que usaron otros científicos- es su carácter de obra monográfica. De entre sus obras matemáticas hay que citar: De la esfera y el cilindro, en dos libros; La medida del círculo; Sobre conoides y esferoides; Sobre las espirales; Sobre el equilibrio y los planos; el Arenario y Sobre la cuadratura de la parábola. Su tratado titulado Método fue descubierto en 1906. Su tratado Sobre los cuerpos floPágina 33

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tantes es un texto de física matemática y de él nos ocuparemos al hablar de esta ciencia. Y fruto, en parte de estos conocimientos es el llamado tornillo de Arquímedes:

A una generación posterior pertenece Apolonio de Perga (hacia 260- hacia 200 a.C.), asimismo matemático, cuya obra, las Cónicas, nos ha llegado en griego sólo parcialmente (los cuatro primeros libros completos, y los tres restantes en una versión árabe; el octavo se ha perdido). La gran aportación del “gran geómetra” -como se le conoció en su tiempo- consiste sobre todo en haber definido mucho más exactamente que sus precursores el concepto mismo de sección cónica. Eratóstenes, contemporáneo estricto de Arquímedes, aunque le sobrevivió algunos años (280?-192? a.C.), es famoso sobre todo por su obra De la medición de la tierra, cuya circunferencia calculaba en unos 220.000 estadios -un estadio vale 177’7 m.

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Eratóstenes calculó la circunferencia de la tierra al observar que los rayos del sol no tenían la misma inclinación el mismo día y a la misma hora en dos lugares diferentes y llegar a la conclusión de que la superficie de la tierra es curva y que su circunferencia medía 220.000 estadios (unos 39.459 kilómetros, hoy sabemos que son 39.710). El más grande astrónomo de la antigüedad fue sin duda Hiparco de Nicea, que vivió en pleno siglo II a.C. (160-126 a.C.) Utilizando los progresos realizados por Aristarco y Eratóstenes, fue el creador de la Astronomía matemática, empleando la trigonometría de un modo sistemático. Entre sus grandes logros está el de la precisión de los equinoccios, el cálculo del mes lunar y la elaboración del primer catálogo de estrellas conocido. La mayor parte de su obra se nos ha perdido y sólo conservamos su Comentario a los fenómenos de Arato y Eudoxo. De los restantes matemáticos y astrónomos (Teodosio de Bitinia, autor de un tratado sobre Esféricas y que vivió en el siglo I; Herón de Alejandría, que vivió hacia el 90 d.C. y que fue físico y matemático; Nicómaco de Gerasa, que vivió en el siglo II; Papo, del siglo III, y Diofanto de Alejndría, que se cree vivió en el siglo IV) hay que destacar la figura de Claudio Ptolomeo. Vivió en pleno siglo II d.C. Su obra principal, titulada Orden Matemática y luego con el nombre de Gran Orden, pasó al árabe con el de Al-Magisti para convertirse en el vulgar Almagesto; fue sin duda el libro que más influencia ejerció durante toda la Edad Media. De este libro se ha dicho: “Desde el siglo II de nuestra hasta el XVI las doctrinas de Ptolomeo han hecho reinar el orden en la ciencia astronómica”. Sus doctrinas arrinconaron enteramente la hipótesis de Aristarco y quedó establecido, hasta Copérnico, que la Tierra ocupaba el centro del Universo y que el Sol y los demás astros giran a su alrededor. Fue asimismo importante matemático y geógrafo, así como un notable físico que se ocupó de óptica.

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La aritmética o cómo hacer cuentas. Los griegos usaban una numeración aditiva, donde se incluyen diferentes signos ortográficos, no sólo las letras (ver tabla en la página anterior). Los Romanos usaban una numeración de tipo sumativa cuyos símbolos principales son: I, V, X, L, C, D, M, correspondientes a nuestros 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Un símbolo de valor mayor que viene seguido de otro de valor menor se suma a este último, mientras que si lo precede, se resta. Así: 0=5=V 10 = X 1=I 11 = XI 6 = VI 2 = II 7 = VII 90 = XC 3 = III 156 = CLVI 8 = VIII 4 = IV 9 = IX 2500 = MMD

se interesaba por la relación estación-tierra, por la utilización de los recursos agrarios, etc. Desde la época de los Césares los agrimensores y los gromatici quedaron incorporados a una especie de cuerpo semioficial al servicio de lo civil y lo militar: tanto se ocupaban de la agricultura, como del establecimiento de un campamento, la fundación de una colonia, etc. Incluso, durante el Imperio, los agrimensores fueron sometidos a exámenes para demostrar su preparación. En la época de Trajano sobresalieron varios: Higinio, Balbo, Sículo Flaco, etc.

Hay que notar en la numeración romana la ausencia del cero. Este sistema de numeración comporta notables dificultades en la realización de las cuatro operaciones aritméticas, sobre todo para los valores altos. En Roma se servían, en un principio, de piedras pequeñas para hacer las operaciones de cálculo (palabra que deriva precisamente de la palabra calculus, que significa “piedrecita”). La unidad matemática se llamaba as (ex asse significa “en total”). Estaba dividida en doce unciae; su mitad se llamaba semis, y triens era su tercera parte, que se dividían de la siguiente manera: As Uncia Semias as Media uncia Cuarto de uncia as Quinto de uncia Sexto de Uncia

1/12 de as 6/12, esto es 1/2 de 1/24 de as 4/12, esto es 1/3 de 5/12 de as 1/2 de as

Pero los romanos no se interesaban en gran manera por las matemáticas teóricas; su interés se redujo a su aplicación práctica a la agrimensura, o medición de la superficie de las tierras, ciencia cuya invención se atribuye a los egipcios y que conectaba muy bien con el espíritu campesino del romano, que creía que la fuerza y la moralidad de Roma estaban ligadas al cultivo de la tierra. Catón trató el tema de una forma muy alentadora para su época; en su obra De agri cultura nos habla de una agricultura experimental que A vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

Frontino (siglo I d.C.) escribió un tratado de geometría catastral, titulado Sobre la cualidad de los campos, las controversias, los límites y el arte de medir las tierras. El gaditano Columela (siglo I d.C.), a quien se considera el mayor agrónomo de la literatura romana, en su obra De re rustica nos explica la Página 35

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manera de calcular la superficie de un terreno cuadrado, rectangular, triangular, etc. Su obra es de gran precisión y riqueza, cosa no muy frecuente en la Antigüedad. Dice Columela, por ejemplo: La medida de un cuadrado es muy fácil; porque al tener los lados de un mismo número de pies se multiplican dos lados entre sí, y el producto da el número de pies cuadrados que contiene (De re rustica, V,2).

En cuanto a la mecánica podíamos destacar la invención de la balanza de un solo platillo, de origen campaniense, y la de la grúa para levantar pesos. En los siglos IV y V se difundió de manera considerable el molino hidráulico, que en el mundo romano se usaba sólo para moler trigo. Máquinas de contar Tanto los griegos como los romanos aprendía a contar con los dedos, método llamado indigitatio, y hay varias anécdotas que nos lo recuerdan, así Juvenal, feliz de haber retrasado tanto tiempo la muerte, contaba ya sus “decenas” con la mano derecha, lo que implica que empezaban a contar con la izquierda (Juvenal: Sátiras, IV,10,248-9) y Suetonio nos describe a un gladiador que cuenta de esta manera las monedas de oro de un premio (Suetonio: Vida de Claudio, 21), pero para cuentas con muchas cantidades, cifras grandes o decimales contaban con dos tipos de máquinas para hacer cálculos: el ábaco y la tabla multiplicatoria. La palabra ábaco deriva del hebreo ab-aq, “polvo”, lo que demuestra que los antiguos pueblos mediterráneos se servían de polvo o de arena para preparar las tabletas para la escritura y el cálculo. No conservamos ningún ábaco griego, todos los ejemplares que tenemos son romanos, estos constan de una tabla divida por la mitad por una línea paralela al lado mayor, la parte superior es más pequeña y la inferior más grande. En cada una de estas dos partes se encuentran alineadas, paralelamente al lado menor del rectángulo ocho filas arriba y nueve abajo y servían para contar respectivamente las unidades, las decenas, las centenas, etc. Horacio nos describe la siguiente escena: Los niños romanos aprenden con largas cuentas a dividir la unidad en cien partes. “Que diga el hijo de Albino; si a cinco dozavas se le quita una dozava, Página 36

¿qué queda? Lo podías haber dicho”. “Un tercio”. “¡Bravo! Podrás conservar tu hacienda. Se le suma una dozava, ¿qué resulta?”. “Una mitad”. (Horacio: Epistola ad Pisones, 326-330).

Los griegos, por su parte, contaban por decenas, siguiendo el sistema natural de las unidades corporales: ¿Por qué todos los hombres, tanto bárbaros como griegos, cuentan hasta diez y no hasta otro número cual 2, 3, 4, 5; y a partir de él repiten: uno cinco, dos cinco… tal como en uno diez, dos diez…? ¿Será porque todos los hombres nacieron con diez dedos? Teniendo, pues, en casa las piezas para tal número cuentan con él las demás cosas. (Aristóteles: Problemas, XV, 3910b 23911 a 1).

Los romanos usaron no el sistema decimal, sino el duodecimal, que tiene más fracciones exactas; para ello Victorio de Aquitania, en el siglo V, inventó la tabla multiplicativa, así para la multiplicación de los cincuenta primeros números da 1 a 1000 y para las fracciones 1/12, 2/12, 3/12… 11/12, 1/24, 1/78, 1/72, 1/144, 1/1244, de manera que se aumentaba el número de fracciones exactas sin necesidad de usar decimales.

Las matemáticas fueron tan importantes en la antigüedad que a ella debemos aportaciones como la figura del tetraedro, el hexaedro, el octaedro, la teoría de la proporción y las fórmulas para el cálculo del volumen de una esfera, de una pirámide y de un cono, los términos elipse, parábola o hipérbola son palabras que también debemos a los griegos; por eso en la puerta de la Academia de Platón podía leerse la siguiente inscripción: QUE NO ENTRE EN MI CASA NADIE QUE NO SEPA GEOMETRÍA. A vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

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él una gran aventura, en la siguiente evaluación aprueba las matemáticas con una buena nota y no vuelve a suspender. Nunca olvidó al mago.”

LLERENATECA Reseñas literarias

ERNESTO APRENDIZ DE MATEMAGO Los alumnos de 1º y 2º de ESO han leído, a propuesta de sus profesores de matemáticas, el libro titulado “ERNESTO EL APRENDIZ DE MATEMAGO” escrito por José Muñoz Santonja (Nivola libros y ediciones S.L., 2003). A continuación mostramos un resumen de este libro realizado por Magdalena Pierzchala de 2º de ESO B. “Ernesto es un chico de 15 años que tiene problemas con las matemáticas ya que nunca consigue aprobarlas. Un día fue al Gran Circo Mundial Hermanos Tartini, donde conoció a un mago llamado Minler, que lo sacó a actuar como ayudante en su espectáculo. Al final de la función Ernesto fue a ver al mago a su camerino, donde habló con Minler y le pidió que le explicase algunos trucos. Se hicieron amigos y quedaron en verse al día siguiente para aprender más. Ernesto iba aprendiendo trucos y se daba cuenta de que la clave estaba en las matemáticas. Volvió a suspender las matemáticas en el segundo trimestre pero estaba mejorando mucho gracias a los trucos de magia. El mago le enseñaba trucos con números, con dados, con cartas, con sumas y restas, con calendarios, con la calculadora, con cuerdas e incluso le enseñó cómo hacer parecer que tenía una mente prodigiosa y era capaz de acordarse de cosas complicadas. Una vez le enseñó un puzle del que, al moverlo, una de las piezas que lo componía desaparecía. Cuando el circo se iba a ir de la ciudad, el mago le reveló a Ernesto su secreto, él, en verdad, era un mago muy viejo llamado Merlín que vive hace varios siglos y cambia su nombre pero siempre lo forma con las mismas letras en otro orden diferente. Invitó a Ernesto a participar en la función de despedida del circo, lo que fue para A vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

Opiniones de los lectores: Matheus Dias dos Passos (2º ESO): “Me encanta el libro. Los trucos y lo bien que se llevan Ernesto y el mago” Magdalena Pierzchala (2º ESO): “Me ha gustado. He aprendido trucos que he modificado y practicado. También he estudiado matemáticas leyéndomelo”. Alejandro Morales Moruno (1º ESO): “Me ha gustado mucho porque es de magia y he aprendido muchos trucos en los que se mezcla matemáticas y magia. A mí también me gustaría ser amigo de un mago. Se lo recomendaría a mi hermana ya que a ella las mates no se le dan bien y además le gusta la magia” Rafael Tomé Moliner (1º ESO): “Me ha gustado mucho, los trucos son muy chulos”. Roberto Tena León (1º ESO): “Es muy interesante. Yo se lo recomiendo a los compañeros porque aprendes cosas que no se aprenden en clase”. Ángela Romero Rafael (1º ESO): “Es un libro entretenido con trucos que te ayudan a entender mejor las matemáticas”. Paula Zambrano Penco (1º ESO): “Es un libro entretenido y fácil de leer aunque un poco pegajoso. Podría haber contado una historia un poco más concreta en vez de tantos trucos de magia, que a veces, han costado trabajo entender”. Mario García Rodríguez (1º ESO): “Muy buena la idea de enseñar matemáticas a un niño divirtiéndose a la vez”. Lidia Mateos Fuentes (1º ESO): “Me ha encantado este libro porque te ayuda a acercarte a las matemáticas sin miedo. Además descubres que las matemáticas y la magia están muy relacionadas”. Adrián González Rodríguez (1º ESO): “Con su lectura puedes aprender muchos trucos con los que quedar con la boca abierta a tus familiares y amigos”. Pablo Morales Morcillo (1º ESO): “Además de ser divertido te enseña a perder el miedo a las matemáticas, aunque a mí todavía me falta un poco para conseguir dejar de tenerles miedo”. Irene Iñesta Fernández (1º ESO): “Me ha gustado porque tiene muchos trucos y es muy curioso, además Ernesto consigue aprobar las matemáticas”. Sara Corrales González (1º ESO): “Os lo recomiendo porque es muy entretenido, se lee muy rápido y se Página 37

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aprenden muchos trucos cuya explicación es una operación matemática”. María Platero Zambrano (1º ESO): “A mí no me gustan las matemáticas, pero aquí te las presentan de una forma divertida y espontánea”. Candela Rodríguez Millán (1º ESO): “Aprendes que no solo se pueden hacer cuentas y problemas con los números sino que además se puede jugar con ellos, he aprendido trucos de magia con los que impresionar a amigos y familiares”. Sergio Santiago Masedo (1º ESO): “Es muy entretenido y he aprendido un montón de trucos y otras cosas”. Verónica Bélmez Rafael (1º ESO): “Me ha gustado porque he aprendido cosas que me sirven para aprender matemáticas y muchos trucos divertidos que puedo hacer con mis amigos”. Manuela Rodríguez Mosquero (1º ESO): “Me ha gustado este libro porque te hace ver las matemáticas de otra forma”.

3L 4S3S1N4T0 D3L PR0F3S0R D3 M4T3M4T1C4S A propuesta de sus profesores de matemáticas, los alumnos de 3º y 4º de ESO han leído el libro titulado El asesinato del profesor de matemáticas de Jordi Sierra i Fabra (ed. Anaya, 2002). La alumna María Ruiz Medina de 3º de ESO resume así el argumento: Tres alumnos, Luc, Nico y Adela, van a suspender las matemáticas, al no aprobar los exámenes. El profesor los llama y les dice que se esfuercen para aprobar el último examen. Tampoco lo aprueban y Felipe el profe decide ponerle una especie de gymkana con quince pruebas, si la superan aprueban las mates. Los chicos quedan con el Fepe que es como lo llaman. Cuando lo ven aparecer se quedan sorprendidos porque viene cojeando y manchado de sangre. Les dice que le han disparado. Antes de fallecer comenta a sus alumnos que el sobre que hay en su bolsillo les indicará como buscar a su asesino. Van corriendo a buscar a la policía, pero cuando vuelven ya no está allí el cuerpo. En vista de que no pueden hacer nada, intentan ellos resolver las pruebas que hay en el sobre para encontrar al asesino. Opiniones de los lectores: María Ruiz Medina (3º ESO): “Es muy interesante y me ha intrigado mucho”. Página 38

Belén Millán Millán (3º ESO). “Es un libro muy entretenido e interesante, aparte es fácil de entender y tiene su parte de misterio y de suspense, a mí me ha gustado mucho así que lo recomiendo”. Javier Bordallo Platero (3º ESO): “El libro está interesante, tiene intriga hasta el final y el desenlace es totalmente inesperado, me gusta por eso. En mi opinión, le hubiera puesto más acción”. Pablo Mimbrero Abril (3º ESO): “Me ha parecido muy interesante y entretenido, además de curioso. El lector también participa y hace el trabajo de matemático como han hecho los niños para resolver el misterio del asesinato”. Daniel Bordallo Cáceres (3º ESO): “Es muy entretenido y te enseña que las matemáticas no son tan duras ni tan aburridas sino que solo son como un juego en el que hay que resolver cosas”. Francisco Sánchez Rangel (3º ESO): “El libro me ha encantado porque mezcla varios temas. Al principio me resultó aburrido por ser de matemáticas pero acaba siendo muy intrigante y divertido”. Maikel Guardado Subirán (3º ESO): “El libro nos hace ver que, a veces, las matemáticas no son tan difíciles como pensamos y que todo esfuerzo tiene su recompensa. El libro también muestra que el trabajo en equipo es fundamental”.

que antes mos”.

Alba Guardado Guardado(3º ESO): “Muchas veces nos rendimos antes de tiempo y cuando decimos que algo no nos sale cerramos nuestra mente, con este libro he aprendido de rendirnos, al menos lo intente-

Carlos Mota Romero (4º ESO): “No me ha gustado demasiado porque no te mantiene intrigado en quién es el asesino. Las adivinanzas y problemas están bien pensadas e incluso me he parado a resolver un par de ellas”. Angélica González Pérez (4º ESO): “Este es un gran libro que nos demuestra que todo se basa en un querer hacerlo y en el esfuerzo. También nos muestra que las matemáticas pueden ser un juego divertido”. Alba Cabezas Márquez (4º ESO): “Este libro es un excelente ejemplo de que las matemáticas no son difíciles cuando tienes la mente abierta y ganas de entender, un buen incentivo para que te empiecen a gustar”. Sonia Guerrero Espino (4º ESO): “Un libro para estudiar matemáticas pero de forma divertida”. A vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

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Qué tal un poco de lógica matemática (Entretenimientos matemáticos) Isabel Chavero Hernández (Departamento de Matemáticas)

1.- Tenemos tres gorras de tres colores diferentes dentro de las cuales hay un objeto diferen-

te. Las tres están colocadas en fila sobre una mesa, de manera que: a. A la izquierda de la gorra roja está la gorra verde. b. A la izquierda del dado está la moneda. c. A la derecha del anillo está la gorra azul. d. A la derecha de la gorra azul está el dado. ¿Dentro de qué gorra está la moneda? 2.- Seguramente te gustan los crucigramas. ¿Has hecho alguno con números en lugar de letras? Si piensas un poco te saldrá éste: A

HORIZONTAL 1.- El número de esta fila es el triple de la segunda fila horizontal. 2.- Un múltiplo del número que forman las dos últimas casillas de la columna B. 3.- En esta fila, cada cifra es mayor que la de su derecha.

(Un dígito en cada casilla. No hay ceros) VERTICAL A.- La suma de las tres cifras es 18. B.- Cifra impar. Número de dos cifras igual al cuadrado de un número impar. C.- Número de tres cifras divisible por 3.

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3.- Un padre, una madre y sus dos hijos van de excursión. El padre pesa 90 kg, la madre 80, el hijo 60 y la hija pequeña 40. Llevan además una tienda de campaña y unos cuantos víveres que pesan, en total, 20 kg. En un momento de la excursión deben cruzar un río con una barca que solamente puede llevar 100 kg de peso. ¿Cómo se las arreglarán para poder cruzarlo? 4.- Encuentra un número de cuatro cifras que cumpla las siguientes condiciones. Para cada uno de los números que aparecen en la tabla, en la columna B se indica cuántos de sus dígitos coinciden con el número buscado y además se encuentran en su misma posición. En la columna R se indica cuántos de sus dígitos coinciden con el número buscado pero están mal colocados. Con los datos que aparecen en la siguiente tabla encuentra los números que buscamos (puede haber más de una solución)

4587

4076

5370

2168

5.- En mi colegio únicamente hay dos tipos de alumnos, los serios (que siempre dicen la verdad) y los chistosos (que siempre mienten). Un día me encontré con tres alumnos que me dijeron: Juan: Yo soy serio. Pedro:

Mientes, eres chistoso.

Luis:

Mentís los dos.

¿Qué es Luis, serio o chistoso? ¿Podemos saber cómo son Juan y Pedro? 6.- Coloca los 9 primeros números naturales (del 1 al 9) en la siguiente figura de manera que todos los grupos de 3 números alineados en una misma recta sumen 18. 7.- Supón que estás delante de una fuente de agua con dos botellas, una de 5 litros y otra de 7. ¿Cómo podemos obtener exactamente 4 litros con estas dos botellas?

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8.- ¿Qué tal una adivinanza? Yendo a Villavieja, me crucé con siete viejas, cada vieja siete sacos, cada saco siete ovejas. ¿Cuántas viejas y ovejas iban para Villavieja? 9.- Sustituye cada una de las siguientes letras por un valor de 0 a 8 de manera que la operación sea correcta. G A U S S + G R A N G E N I O ( Hay 10 posibles soluciones) 10.- En el famoso concurso televisivo Cifras y letras había una prueba consistente en obtener un número determinado, al que llamaremos número objetivo, operando con seis números que también nos daban, que llamaremos números auxiliares. Los números solamente se podían utilizar una vez y no era necesario utilizarlos todos. Te proponemos que con las siguientes cifras llegues al número objetivo: NÚMEROS AUXILIARES 1 2

OBJETIVO 5

382

11.- Un coche va por una carretera a una velocidad constante. En un momento dado pasa por delante de un poste kilométrico que tiene un número de dos cifras. Al cabo de una hora pasa por delante de otro poste que curiosamente tiene las mismas dos cifras pero en orden inverso. Su sorpresa es enorme cuando al cabo de otra hora pasa por otro poste que lleva las mismas cifras separadas por un cero. ¿A qué velocidad va el coche? 12.- Una oruga se cayó a un pozo de 30 metros de profundidad. Para salir de allí, comenzó a escalar, y el primer día subió 2 metros. Pero por la noche, al quedarse dormida, resbaló y bajó un metro. Si esto se repitiera los siguientes días, ¿cuántos días tardará en salir del pozo?

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1.- Gorra azul 2.-

2 5

C 5 5 2

3.- Pasan el hijo y la hija; regresa el hijo; pasa el padre; regresa la hija; pasan el hijo y la hija; regresa la hija; cruza la madre con la tienda; regresa el hijo; y finalmente cruzan los dos hermanos. 4.- 1768 y 7268 5.- Luis es chistoso. No. 6.- 6 – 7 – 5 // 3 – 2 // 8 – 1 – 9 // 4 7.- 7 – 0 // 2 – 5 // 2 – 0 // 0 – 2 // 7 – 2 // 4 – 5 (botella de 7 l–botella de 5 l)

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8.- Con ninguna. 9.- 13688+1037=14725 // 16388+1064=17452 // 32877+3524=36401 (hay más posibilidades) 10.- (75+25)*(5-1)-9*2=382 11.- A 45 km/h 12.- 29 días 13.- Carmen. 14.-

8 2 9 1 4 5 3 7 6

7 8 2 4 9 6 1 3 5

9 4 5 7 1 3 2 6 8

1 6 3 8 5 2 7 9 4

2 9 6 5 3 4 8 1 7

3 5 8 2 7 1 6 4 9

4 7 1 6 8 9 5 2 3

SOLUCIONES

2 1 8 5 6 9 4 1 2 8 5 7 3 6 2 1 6 5 4 7 3 14.- Y, como no podía faltar, un sudoku para finalizar:

9 6 5 4 2 9 3 7

8 1

¿Quién fue la última en visitar a Elisa? 13.- Amelia, Bárbara, Carmen y Diana visitaron el sábado a Elisa. 1.- El horario de las visitas fue el siguiente (mañana / noche): Amelia, a las ocho. Bárbara, a las nueve. Carmen, a las diez. Diana, a las once. 2.- Por lo menos una de ellas visitó a Elisa entre Amelia y Bárbara. 3.-Amelia no visitó a Elisa antes que Carmen y Diana. 4.- Carmen no visitó a Elisa entre Bárbara y Diana. Las Matemáticas

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FE DE ERRATAS (A vuela pluma Nº 20: El siglo XX) En la página 16, la autoría del artículo Problemas éticos del siglo XX: ¿diseñar hijos? corresponde al alumno Sergi Ruiz Rebollo (3º de Diversificación). En la página 18, en el pie de ilustración correspondiente al cuadro Clarividencia de Magritte, donde pone 1964, debe poner 1936. En la página 38 se ha omitido el nombre del autor del artículo que corresponde a Javier Bordallo Platero (3º de ESO B).

Revista A Vuela Pluma Número extra: Las Matemáticas Mayo de 2015 DEPÓSITO LEGAL: BA-398-05 I.S.S.N.

1699-843X

Portadas y maquetación: Jesús Báez Núñez. Equipo de redacción: Sofía Vaz Romero, Jesús Báez Núñez, Toni Becerra Montalbán. COLABORACIONES: Alumnos: Tamara Alcuéscar Tena, Magdalena Pierzchala, María Ruiz Medina. Profesores: Concepción Cajaraville Bonilla, Isabel Chavero Hernández, Juan García Zapata, Juan Guerra Bermejo, Benito Llerena Llerena, Tomás Merchán Barroso, Pura Muñoz Enamorado, José Tomás Saracho Villalobos, Rosario Tena Morales, Pilar Valdés García. Invitado: Valentín Cortés Cabanillas. Este número se ha impreso con motivo de la celebración de la XXIV Olimpiada Matemática Extremadura. Fase Autonómica. Llerena. Mayo 2015. Convoca: Gobierno de Extremadura, Consejería de Educación y Cultura, Secretaría General de Educación. Organiza: Sociedad Extremeña de Educación Matemática “Ventura Reyes Próper, IES de Llerena. Colaboran: Excelentísimo Ayuntamiento de Llerena, Diputación de Badajoz, Excelentísimo Ayuntamiento de las Casas de Reina, Excelentísimo Ayuntamiento de Fuente del Arco, Caja Rural, CPR de Azuaga, AMPA del IES de Llerena. A vuela pluma. Mayo de 2014, nº 21

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Las Matemรกticas

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