Coordenadas Polares
UNIVERSIDAD "FERMÍN TORO" SISTEMA INTERACTIVO DE EDUCACIÓN A DISTANCIA. SAIA ESCUELA DE INGENIERÍA CABUDARE
Profesor:
Editor:
JOSÉ PÉREZ
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Coordenadas Polares Definición Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia, definido por un origen O y una línea semi-infinita L saliendo del origen. A L se le conoce también como eje polar.
120 a. C.) creó una tabla trigonométrica que daba la longitud de una cuerda en función del ángulo y existen referencias del uso de coordenadas polares para establecer la posición de las estrellas. Cavalieri utilizó en primer lugar las coordenadas polares para resolver un problema relacionado con el área dentro de una espiral de Arquímedes. Blaise Pascal utilizó posteriormente las coordenadas polares para calcular la longitud de arcos parabólicos. Sin embargo, el concepto abstracto de sistema de coordenada polar se debe a Sir Isaac Newton, quien en su Método de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736, introduce ocho nuevos sistemas de coordenadas (además de las cartesianas) para resolver problemas relativos a tangentes y curvas, uno de los cuales, el séptimo, es el de coordenadas polares
Historia Si bien existen ejemplos de que los conceptos de ángulo y radio se conocen y manejan desde la antigüedad, no es sino hasta el siglo XVII, posterior a la invención de la geometría analítica, en que se puede hablar del concepto formal de sistema coordenadas polares.
El término actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por los escritores italianos del siglo XVIII. El término aparece por primera vez en inglés en la traducción de 1816 efectuada por George Peacock del Tratado del cálculo diferencial y del cálculo integral de Sylvestre François Lacroix, mientras que Alexis Clairaut fue el primero que pensó en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones.
Los primeros usos empíricos de relaciones entre ángulos y distancias se relacionan con aplicaciones a la navegación y el estudio de la bóveda celeste. El astrónomo Hiparco (190 a. C.JOSÉ PÉREZ
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Coordenadas Polares
Representación de puntos con coordenadas polares
• En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL. •
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El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL. El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL.
Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas polares es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes, lo cual no sucede en el sistema de coordenadas cartesianas. Esto ocurre por dos motivos: •
Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado
por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto (r, θ) se puede representar como (r, θ ± n×360°) o (−r, θ ± (2n + 1)180°), donde n es un número entero cualquiera. El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo. Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto, se suele limitar r a números no negativos r ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o (−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (−π, π]).
Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes.
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Coordenadas Polares Convertir coordenadas polares a coordenadas rectangulares y viceversa Coordenadas rectangulares
hacia la derecha en el eje x y hacia arriba en el eje y.) El procedimiento para localizar y marcar un punto cuyas coordenadas se dan, se denomina graficar el punto. En el sistema de coordenadas a cada par de números reales (x, y) corresponde a un punto definido del plano, y a cada punto del plano corresponde un par único de coordenadas. Los ejes de coordenadas cortan el plano en cuatro zonas separadas, que se denominan cuadrantes y se numeran como se indica en la figura 1-7. En esa figura se muestran los signos de las coordenadas para cada cuadrante.
Sea P cualquier punto del plano de los ejes. Su distancia ortogonal al eje y se denomina coordenada x o abscisa. La abscisa y la ordenada juntas, se denominan coordenadas cartesianas o rectangulares de P. Las coordenadas de un punto se escriben como par ordenado, entre paréntesis, escribiendo la coordenada x al principio. Así, las coordenadas de Pen la figura 1-5 son (2,5, 3.5) y las de P y Q, en la figura 1-6, son, respectivamente, (3,4) y (-2,-5). (Por convencionalismo, el sentido positivo se toma JOSÉ PÉREZ
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Coordenadas Polares Coordenadas Polares Ejemplos de coordenadas rectangulares En un sistema de ejes rectangulares, situar los siguientes puntos: a) (3, 7) y (17, -5) b) (0, -9) y (9, 0) c) (-2, 2) y (-11,7) d) (-4, -6) y (-2, -1)
Tomemos en cuenta ahora un sistema de coordenadas, en el cual se localiza un punto, definiendo su distancia y su dirección a un punto fijo. Este es el sistema que se emplea al decir, por ejemplo: que cierto pueblo B se halla 30 km al noroeste de otro pueblo A; donde conocemos la distancia y la dirección de B a A (noroeste), en vez de conocer las distancias norte y este. Al trazar puntos cuyas coordenadas ( ρ ,θ ) se conocen, ρ será la distancia dirigida del origen al punto. El ángulo θ se ha medido desde OA en el sentido opuesto al movimiento de las agujas de un reloj.
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Ejemplo de Coordenadas Polares
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Coordenadas Polares Conversión de Coordenadas
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Coordenadas Polares Aplicaciones De rectangular a polar Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x, y) y lo quieres en coordenadas polares (r, θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados. Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?
Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):
r 2 = 12 2 + 5 2 r = (12 2 + 5 2 ) r = 144 + 25 r = 169 r = 13 Usa la función tangente para calcular el ángulo:
tan(ϑ ) = 5 / 12
ϑ = a tan(5 / 12) = 22.6° Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x, y) a polares (r, θ) son:
r = (x2 + y 2 )
ϑ = a tan( y / x) JOSÉ PÉREZ
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Coordenadas Polares De polares a rectangulares Si tienes un punto en coordenadas polares (r , ϑ ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x, y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo: Ejemplo: ¿qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas?
Usamos la función coseno para x:
cos( 23 °) = x / 13
Cambiamos de orden y resolvemos:
x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 = 11.98
Usamos la función seno para y:
sin( 23 °) = y / 13
Cambiamos de orden y resolvemos:
y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 = 5.08
Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y) son:
x = r. cos(ϑ )
y = r. sin(ϑ )
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