บทความสาขาคณิตศาสตร์ by ssupot

โครงงาน

Mathemtics

งานประชุมมนนำาเสนอผลงานวิ �เสนอผลงานวิชชาการโครงงานนั าการโครงงานนักกเรีเรียยนน งานประชุ กลุ่มโรงเรียนจุ ยาลัย (โรงเรี ยนวิยท(โรงเรี ยาศาสตร์ ิภาค) ภาคอี าน ครั ้งที่ ส1าน ประจำ�ปี 2560 กลุฬ่มาภรณราชวิ โรงเรียนจุฬทาภรณราชวิ ทยาลั ยนวิภทูมยาศาสตร์ ภูมิภสาค) ภาคอี Theครั1st้งทีPrincess Chulabhorn HighPCC School Science Symposium Esan Isan Science Symposium 20172017 ่ 1 ประจาปี 2560 The Science 1st Annual

ชื่อบทความ การศึกษาจานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ชื่อบทความ The Study of Finding the Number of Squares which are in a Rectangle ชื่อเจ้าของบทความ นายสุทัศน์ นามบันลือ1 นายกฤตพล บุบผาสุข1 ชื่อเจ้าของบทความ Mr.Suthat Nambanlue1 Mr.Krittaphon Bubphasuk1 สาขาวิชา คณิตศาสตร์ สาขาวิชา Mathematics ชื่ออาจารย์ที่ปรึกษา นางสาวชัชฎาภรณ์ ประจันพล1* นางอมรรัตน์ นิธุรัมย์1* ชื่ออาจารย์ที่ปรึกษา MissChatchadaporn Prachanpol1* Mrs.Amornrat Nituram1* 1นักเรียน โรงเรียนจุฬาภรณราชวิทยาลัย บุรีรัมย์ tongsaithat@gmail.com

tiger_potter@hotmail.com

บทคัดย่อ

โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง การหาจานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้ มีวัตถุประสงค์เพื่อหา จานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาด m  n โดยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ที่มีด้านทั้งสี่ด้านอยู่บน เส้นทแยงมุม มีมุมทั้งสี่มุมอยู่บนจุดตัดของเส้นทแยงมุมของ กริดจัตุรัสที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก m  n และมีขนาด i 2 i 2 ตารางหน่วย เมื่อ i, m , n เป็นจานวนเต็มบวก ที่ i  m  n คณะผู้จัดทาได้หาความสัมพันธ์ระหว่าง  2 2

ขนาดของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากกับจานวนของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เกิดขึ้น จากการลากเส้นทแยงมุมของกริดจัตุรัสในรูป สี่เหลี่ยมมุมฉาก โดยใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์ในเรื่องลาดับ ได้สูตรในการหาจานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนี้ ให้

S i ,mn

แทน จานวนของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน ด้านละ

i 2 หน่วย ที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมมุม 2

ฉาก m  n เมื่อ i, m, n  Z  ที่ i  m  n จะได้ว่า





1 i  1  4i 2  4i  1 2 และสูตรในการหาจานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก m  n แบ่งได้ 2 กรณี ดังนี้ Si ,mn 2mn   2i  1 m  n  

กรณีที่ 1 กรณีที่ 2

m 1

S i 1

i , mn

S i 1

i ,mn

รูป เมือ่ m  n และ

เป็นจานวนคี่

รูป เมื่อ m  n หรือ

เป็นจานวนคู่

Mathematics Oral Presentation in English

147

Mathematics Oral Presentation in English

148 และสร้างเครื่องมือช่วยคานวณด้วยโปรแกรมภาษา JavaScript และใช้โปรแกรม HTML เพื่อคานวณและ แสดงผลได้อย่างถูกต้อง รวดเร็ว และแม่นยาและนอกจากนี้นาไปประยุกต์ใช้ในการออกแบบและนับจานวนกระเบื้องที่อยู่ ในแนวทแยง 45 โดยใช้โปรแกรมภาษา Python ซึ่งเป็นประโยชน์แก่ผู้ต้องการออกแบบหรือผู้ที่มีความสนใจลวดลาย ดังกล่าว

Abstract The purpose of this study are to quantify all squares in m  n , rectangle to write a computer calculation program from the formula and to apply the formula and write another program to design and count the number of tiles in diagonal lines.This square has four sides on the diagonal and four corners at the intersection of the diagonal of square grid in m  n rectangle and the area is i 2 2



i 2

(unit ) 2

when i, m , n are positive integers that i  m  n . We calculated for the

relationship between the size of the rectangle and the number of squares formed by the diagonal line of the square grids. We used sequence of real number to make a formula to calculate the number of all squares as follows. If m n

S i ,mn

when

is number of square shape with a long side of

i , m, n  Z



and i  m  n , so

Si ,mn 2mn   2i  1 m  n  

1 2

i 2 2

 1  4i i

unit in a rectangular grid size is



 4i  1

The formula to find the number of all squares which are in m  n rectangle divided into two cases: m 1

case 1 :

S

case 2 :

S

i 1

i , mn

i 1

i ,mn

square when

mn

square when

mn

and m is odd. or

m is

even .

we also wrote a computer calculation program from Java Script and HTML .Furthermore, this finding can be applied to write a program to design and calculate the number of tiles in the diagonal lines by using Python.

1. ที่มาและความสาคัญ

จากการลากเส้นทแยงมุมของกริดจัตุรัสแต่ละ ช่องที่อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาดใด ๆ พบว่า เส้น ทแยงมุมและจุดตัดของเส้นทแยงมุมเหล่านั้นทาให้เกิดรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านทั้งสี่ด้านอยู่บนเส้นทแยงมุม และ มุมทั้งสี่มุมอยู่บนจุดตัดของเส้นทแยงมุมขึ้นมากมายหลาย ขนาด คณะผู้จัดทาจึงเกิดคาถามว่า “ถ้ารูปสี่เหลี่ยมมุม

ฉากนั้นมีขนาดใหญ่ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เกิดจากเส้นทแยง มุมและจุดตัดของเส้นทแยงมุมของกริดจัตุรัสก็จะมี จานวนมากและขนาดแตกต่างกันมากขึ้น แล้วเราจะ สามารถนับจานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดที่เกิดขึ้นได้ อย่างไร” ทางคณะผูจ้ ัดทาจึงสนใจที่จะหาวิธีการหา จานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เกิดขึ้นทั้งหมด โดยเริ่มจากการ หาความสัมพันธ์ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เกิดจากเส้นทแยง

149

2. วัตถุประสงค์

1. เพื่อหาสูตรในการหาจานวนรูปสี่เหลี่ยม จัตุรัสทั้งหมดที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาด m  n เมื่อ m และ n เป็นจานวนเต็มบวก ที่ m  n 2. เพื่อเขียนโปรแกรมในการคานวณหาจานวน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรสั 3. เพื่อนาสูตรที่ได้ไปประยุกต์ใช้ในการ ออกแบบและนับจานวนกระเบื้องที่ปูในแนวทแยง

3. ขอบเขตการศึกษา 1. ศึกษาเฉพาะจานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน ทั้งสี่ด้านอยู่บนเส้นทแยงมุมและมีมุมทั้งสี่มุมอยู่บนจุดตัด ของเส้นทแยงมุมของกริดจัตุรัสที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ขนาด m  n เมื่อ m และ n เป็นจานวนเต็มบวก ที่ m  n 2. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรสั แต่ละรูปสามารถซ้อนทับ กันได้

4. วิธีการดาเนินการ

1. ศึกษาจานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทุกขนาดที่อยู่ในรูป สี่เหลี่ยมมุมฉาก m  n ตัวอย่างเช่น รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก 2  2

จากรูปที่ 1 จะเห็นว่า รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ ภายในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก 2  2 มีขนาด 2  2 2

จานวน 4 รูป และขนาด 2  2 จานวน 1 รูป และเมื่อศึกษาจานวนของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทุก ขนาดแล้ว นาไปบันทึกผลดังตารางต่อไปนี้ ตารางที่ 1 ตารางแสดงจานวนรูปสี่เหลี่ยม จัตุรัสที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาดต่าง ๆ จาแนกตามความยาวด้านทั้งสี่ด้านของรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัส ความยาวด้านสี่เหลี่ยม จานวนของรูปสี่เหลี่ยม จัตุรัส (หน่วย) จัตุรัสแยกตามความยาว ด้าน (รูป) ขนาดสี่เหลี่ยม มุมฉาก (หน่วย2)

2 2

2 2 2

11

1 2

22

23

33

2. สร้างสูตรการหาจานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใด ๆ กาหนดให้ จานวนของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน ทั้งสี่ด้านยาวด้านละ i 2 หน่วย ที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมมุม 2

ฉาก m  n เขียนแทนด้วย S i,mn เมื่อ i, m, n  Z  ที่ i  m  n จะได้สูตรในการหาจานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ขนาดใด ๆ คือ Si ,mn 2mn   2i  1 m  n  

รูปที่ 1 รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก 2  2

Mathematics Oral Presentation in English

มุมของกริดจัตุรัสและขนาดของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งถ้า เราทราบความสัมพันธ์นั้นแล้ว ก็จะสามารถหาสูตรที่ใช้ใน การหาจานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดได้ และใช้ ภาษาคอมพิวเตอร์ช่วยในการคานวณและแสดงผล เพื่อให้สูตรนี้สามารถใช้ได้อย่างสะดวก รวดเร็ว ถูกต้อง และแม่นยามากยิ่งขึ้น

1 2

 1  4i i



 4i  1

Mathematics Oral Presentation in English

150 3. สร้างสูตรในการจานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดที่ อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก 3.1 พิจารณารูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก m  n เมื่อ m และ n เป็นจานวนเต็มบวก ที่ m  n สามารถ แบ่งรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากได้ทั้งหมด 6 กรณี แล้วศึกษา ขนาดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เกิดขึ้นในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก m  n ทั้ง 6 กรณี โดยพิจารณาจากตารางที่ 1 ตาราง แสดงจานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ขนาดต่าง ๆ จาแนกตามความยาวด้านทั้งสี่ด้านของรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนี้ กรณีที่ 1 m  n และ m , n เป็นจานวนคี่ จะเห็นว่า รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เกิดขึ้นในรูป สี่เหลี่ยมมุมฉาก m  n มีความยาวด้านตั้งแต่

 m  1 2 2 2 2 3 2 , , , ..., หน่วย 2 2 2 2 กรณีที่ 2 m  n และ m , n เป็นจานวนคู่

จะเห็นว่า รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เกิดขึ้นในรูป สี่เหลี่ยมมุมฉาก m  n มีความยาวด้านตั้งแต่ 2 2 2 3 2 m 2 หน่วย , , , ..., 2 2 2 2

กรณีที่ 3 m  n แต่ m , n เป็นจานวนคี่ จะเห็นว่า รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เกิดขึ้นในรูป สี่เหลี่ยมมุมฉาก m  n มีความยาวด้านตั้งแต่ 2 2 2 3 2 m 2 หน่วย , , , ..., 2 2 2 2

กรณีที่ 4 m  n แต่ m , n เป็นจานวนคู่ จะเห็นว่า รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เกิดขึ้นในรูป สี่เหลี่ยมมุมฉาก m  n มีความยาวด้านตั้งแต่ 2 2 2 3 2 m 2 หน่วย , , , ..., 2 2 2 2 กรณีที่ 5 m  n , m เป็นจานวนคี่ และ n

เป็นจานวนคู่ จะเห็นว่า รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เกิดขึ้นในรูป สี่เหลี่ยมมุมฉาก m  n มีความยาวด้านตั้งแต่ 2 2 2 3 2 m 2 หน่วย , , , ..., 2 2 2 2

กรณีที่ 6 m  n , m เป็นจานวนคู่ และ n เป็นจานวนคี่ จะเห็นว่า รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เกิดขึ้นในรูป สี่เหลี่ยมมุมฉาก m  n มีความยาวด้านตั้งแต่ m 2 2 2 2 3 2 หน่วย , , , ..., 2 2 2 2

3.2 สร้างสูตรในการหาจานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ทั้งหมดที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก m  n โดยหาจาก ผลรวมของจานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทุกขนาดที่เกิดขึ้นใน รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก m  n 3.3 เขียนโปรแกรมภาษา JavaScript และ HTML แสดงผลการคานวณตามสูตรในการหาจานวนรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก m  n

5. สรุป อภิปรายผลและข้อเสนอแนะ

5.1 สรุปผลการศึกษา จากการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างจานวนรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เกิดจากเส้นทแยงมุมของกริดจัตุรัสที่อยู่ ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาด m  n และขนาดของรูป สี่เหลี่ยมมุมฉากขนาด m  n จะได้ว่า จานวนรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน i 2 หน่วย ที่อยู่ในรูป 2

สี่เหลี่ยมมุมฉากขนาด m  n เมื่อ i, m, n  Z  ที่ i  m  n เขียนแทนด้วย Si ,mn จะได้ว่า Si ,mn 2mn   2i  1 m  n  



 รูป

1 i  1  4i 2  4i  1 2

และ จานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดที่อยู่ในรูป สี่เหลี่ยมมุมฉากขนาด m  n คือผลรวมของจานวนรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสทุกขนาดที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก m  n แบ่งเป็น 2 กรณี ซึ่งเท่ากับ กรณีที่ 1 m เป็นจานวนคี่

m 1

S i 1

i , mn

รูป เมื่อ m  n และ

กรณีที่ 2

S i 1

i ,mn

รูป เมื่อ m  n หรือ

m เป็นจานวนคู่

5.2 อภิปรายผลการศึกษา การศึกษาจานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรสั ทุกขนาดที่ เกิดขึ้นในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาดต่าง ๆ เกิดขึ้นจากการ ต้องการแก้ไขข้อสงสัยอย่างมีแบบแผน ถูกต้องแม่นยา และสามารถตรวจสอบได้ มีวัตถุประสงค์เพื่อหาจานวนรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด โดยศึกษาจากความสัมพันธ์ของรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เกิดจากเส้นทแยงมุมของกริดจัตุรัสและ ขนาดของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก เมื่อสามารถหา ความสัมพันธ์ได้ ก็จะสร้างสูตรในการคานวณได้ ผล การศึกษาครั้งนี้ทาให้ได้สูตรที่ใช้ในการหาจานวนรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก m  n ซึ่งผลจากการใช้สูตรทาให้สามารถคานวณและแสดงผล การหาจานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดต่าง ๆ และจานวน รูปสี่เหลี่ยมทั้งหมดได้อย่างถูกต้อง รวดเร็ว และแม่นยา มากขึ้นโดยใช้โปรแกรมภาษา JavaScript และ HTML

6. ข้อเสนอแนะ

คณะผู้จัดทากาลังศึกษาเพิ่มเติมในเรื่องการหา จานวนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่สามารถเกิดขึ้นได้ทั้งหมดใน รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาด m  n

7. เอกสารอ้างอิง

กิตติเชฎฐ ยิ่งกิจไพบูลย์, ดวงกมล กลีบจินดา. การพัฒนา เว็บด้วย JAVASCRIPT, CSS, และ DOM. สานักพิมพ์ เคทีพี, 2006. ฉวีวรรณ รัตนประเสริฐ. (2548). พีชคณิต โครงการ ตาราวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์มูลนิธิ สอวน. กรุงเทพมหานคร : บริษัทด่วนสุทัทธาการพิมพ์ จากัด. ชัชฎาภรณ์ ประจันพล. (2559). เอกสารประกอบการ เรียนการสอน เรือ่ ง ระบบสมการเชิงเส้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5. บุรีรัมย์ : โรงเรียนจุฬาภรณราช วิทยาลัย บุรีรัมย์

Mathematics Oral Presentation in English

151

Mathematics Oral Presentation in English

152 งานประชุมมนนำาเสนอผลงานวิ �เสนอผลงานวิชชาการโครงงานนั าการโครงงานนักกเรีเรียยนน งานประชุ กลุ่มโรงเรียนจุ ยาลัย (โรงเรี ยนวิยท(โรงเรี ยาศาสตร์ ิภาค) ภาคอี าน ครั ้งที่ ส1าน ประจำ�ปี 2560 กลุฬ่มาภรณราชวิ โรงเรียนจุฬทาภรณราชวิ ทยาลั ยนวิภทูมยาศาสตร์ ภูมิภสาค) ภาคอี Theครั1st้งทีPrincess Chulabhorn HighPCC School Science Symposium Esan Isan Science Symposium 20172017 ่ 1 ประจาปี 2560 The Science 1st Annual

ชื่อบทความ จำนวนเต็มบวก n ที่หำรด้วย 19 ลงตัว ชื่อบทความ Positive Integer n Divided by 19 Perfectly

ชื่อเจ้าของบทความ นำงสำวฐิตำพร ศรีสำรำญ1 นำยสุขเกษม พันธ์หล้ำ1 ชื่อเจ้าของบทความ MissThitaporn Srisamran1 Mr.Sookkaseam Phanlar1 สาขาวิชา คณิตศำสตร์ สาขาวิชา Mathematics ชื่ออาจารย์ที่ปรึกษา นำงสำวสุมำลี ไกลเมือง1* ชื่ออาจารย์ที่ปรึกษา MissSumalee Klaimuang1* 1นักเรียน โรงเรียนจุฬาภรณราชวิทยาลัย เลย phang_jung@hotmail.com 1*ครูชานาญการ โรงเรียนจุฬาภรณราชวิทยาลัย เลย si_la_wan@hotmail.com

บทคัดย่อ จำกกำรที่ผู้จัดทำมีโอกำสได้ศึกษำทฤษฎีจำนวนในเรื่องสมภำค ซึ่งมีเนื้อหำส่วนหนึ่งกล่ำวถึงทฤษฎีบทเกี่ยวกับกำรพิจำรณำ จำนวนเต็มบวกที่หำรด้วย 9 ลงตัว มีอยู่ว่ำ “จำนวนเต็มบวก n หำรด้วย 9 ลงตัวเมื่อ ผลบวกของเลขโดดทุกหลักของ n หำรด้วย 9 ลงตัว” จำกทฤษฎีบทข้ำงต้นผู้จัดทำจึงเกิดควำมสนใจที่จะหำสูตรหรือแนวคิดในกำรหำจำนวนเต็มบวก n ที่หำรด้วย 19 ลงตัว เนื่องจำก 19 เป็นจำนวนเฉพำะที่สำมำรถเขียนในรูป 19 = 20 – 1 จำกสมกำรสำมำรถเขียนในรูปกำรหำรลงตัวได้ว่ำ 19|(20 – 1) จึงนำไปสู่กำรหำ ควำมสัมพันธ์ของจำนวนเต็มบวก n ที่หำรด้วย 19 ลงตัว จำกกำรศึกษำจึงได้แนวคิดเป็นขั้นตอนดังนี้ 1. เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ต้องกำรทรำบว่ำ n หำรด้วย 19 ลงตัวหรือไม่ ให้นำ

20|(n+k)

n+k

เมื่อ

k



ที่ทำให้

2. นำค่ำที่ได้จำกข้อ 1 หำรด้วย 20 3. เมื่อได้ค่ำ

n+k 20

จำกข้อ 2 ให้นำค่ำที่ได้มำคูณกับ 19

4. นำจำนวนเต็มบวก n ลบกับค่ำที่ได้จำกข้อ 3 นั่นคือ 5. พิจำรณำค่ำที่ได้จำกข้อ 4 ถ้ำ

n+k  n - 19    20 

n+k  n - 19    20  หำรด้วย 19 ลงตัว แล้วจำนวนเต็มบวก n จะหำรด้วย 19 ลงตัว

หำกค่ำที่ได้ยังเป็นเลขที่มีจำนวนหลักมำกอยู่ให้ทำซ้ำตั้งแต่ข้อแรกจนถึงข้อสุดท้ำยจนกว่ำเลขที่ได้จะมีจำนวนหลักน้อยๆ ซึ่งสะดวกต่ อกำร คำนวณ คำสำคัญ: ทฤษฎีจานวน, จานวนเต็มบวก n, จานวนเฉพาะ

Abstract

From the creators have a chance to study about number theory in the congruence. There is a part about positive integer divided by 9 perfectly says "positive integer n divided by 9 perfectly when the sum of the digits of all of the n divided by 9 perfectly the "according to the theorem the creators want to find a formula or ideas to find a positive integer n that is divided by 19 perfectly. 19 as a prime number that can be written in the figure 19 = 20 – 1. From the equation can be written in the image of the exact division form that 19|(20 - 1). Leads to find the relationship of the positive integer n divided by 19 perfectly. We got concepts from this study as follows: 1 . When n is a positive integer you want to know that can the n divided by 1 9 

perfectly? You can take n + k when k  that can make 20|(n+k) . 2. Remove the value from the article 1. divided by 20. 3. When you get the value

n+k from 2. and multiplied it by 19. 20

 n+k    20 

4. Take the positive integer n minus the value from the article 3) that is n - 19 

5. Consider the value from the article 4. If divisible by 19 perfectly, The positive integer n is divided by 19 perfectly. If the value or number that you get has many numbers, repeat from the first to the last until the value have few numbers and easy to calculate. Keyword: Number Theory, Positive Integer n, Prime Number

1. ความสาคัญและปัญหา โรงเรียนจุฬำภรณรำชวิทยำลัยเลย เป็น โรงเรียน ที่เปิดโอกำสทำงกำรศึกษำ ให้นักเรียนที่มี ควำมสำมำรถ พิเศษ ทำงด้ำนคณิตศำสตร์และ วิทยำศำสตร์ได้ส่งเสริมให้นักเรียนสอบคัดเลือก โครงกำรโอลิมปิกวิชำกำรในแต่ละสำขำวิชำตำมควำม สมัครใจ ซึ่งผูจ้ ัดทำได้ผ่ำนกำรคัด เลือกเข้ำค่ำย 1 จึง มีโอกำสศึกษำทฤษฎีจำนวนในเรื่อง สมภำค ซึ่งมี เนื้อหำส่วนหนึ่งกล่ำวถึงทฤษฎีบทเกี่ยวกับกำรพิจำรณำ จำนวนเต็มบวกที่หำรด้วย 9 หรือ11 ลงตัว มีอยู่ว่ำ “จำนวนเต็มบวก n หำรด้วย 9 ลงตัวเมื่อผลบวกของ เลขโดดทุกหลัก ของ n หำรด้วย 9 ลงตัว” และ “สำหรับจำนวนเต็มบวก n ซึ่งเขียนด้วยเลขฐำน 10 ได้เป็น n = ak(10)k +ak-1(10)k-1+ … +a1(10) +a0

โดยที่ 0 ≤ aj ≤ 9 สำหรับทุก j = 0, 1, 2, …, k ให้ s = a0 – a1 + a2 - … + (-1)kak จะได้ว่ำ 11 หำร n ลงตัวก็ต่อเมื่อ 11 หำร s ลงตัว” จำกทฤษฎีบทข้ำงต้น ผู้จัดทำจึงเกิดควำม สนใจ ที่จะหำสูตรหรือแนวคิดในกำรหำจำนวนเต็มบวก n ที่หำรด้วย 19 ลงตัว เนื่องจำก 19 เป็นจำนวน เฉพำะที่สำมำรถเขียนในรูป 19=20 –1จำกสมกำร สำมำรถเขียนในรูปกำรหำรลงตัวได้ว่ำ 19|(20 – 1) ซึ่งมีค่ำ เท่ำกับ 20 ≡ 1 (mod19) จึงนำไปสู่กำรหำ ควำมสัมพันธ์ของจำนวนเต็มบวก n ที่หำรด้วย 19 ลง ตัว 2. วัตถุประสงค์ของการวิจัย / การศึกษา

Mathematics Oral Presentation in English

153

Mathematics Oral Presentation in English

154 2.1 เพื่อหำคุณสมบัติของจำนวนเต็มบวก n ที่ หำรด้วย 19 ลงตัว 2.2 เพื่อหำแนวทำงใหม่ในกำรพิจำรณำจำนวน เต็มบวก n ที่หำรด้วย 19 ลงตัว 2.3 เพื่อกำรนำไปประยุกต์ในกำรแก้ปัญหำทำง คณิตศำสตร์ 3. แนวคิดและทฤษฎี 3.1 จำนวนเต็ม 3.2 สมภำค 3.3 หลักอุปนัยเชิง คณิตศำสตร์และกำรพิสูจ น์ แบบอุปนัยเชิงคณิตศำสตร์ 4. ขอบเขตของการวิจัย / การศึกษา ศึกษำเฉพำะจำนวนเต็มบวก 5. สมมติฐานการวิจัย ได้แนวคิดในกำรตรวจสอบจำนวนเต็มบวก n ว่ำ หำรด้วย 19 ลงตัวหรือไม่ 6. วิธีดาเนินการวิจัย 6.1 กำหนดหัวข้อ และขอบเขตที่จะศึกษำ 6.2 ศึ ก ษำเอกสำร ต ำรำ ทฤษฎี หลั ก กำร เกี่ยวกับจำนวนเต็มบวก 19n เมื่อ n ≥ 1 6.3 ศึกษำเอกสำรตำรำทฤษฎีหลักกำรเกี่ยวกับ เนื้อหำวิชำคณิตศำสตร์เรื่อง สมภำค เพื่อนำองค์ควำมรู้ ที่ได้มำเป็นแนวทำงในกำรหำสูตรของจำนวนเต็มบวก n ที่หำรด้วย 19 ลงตัว และเป็นแนวทำงสำหรับกำรพิสูจน์ สูตร โดยกำรศึกษำหำคุณสมบัติของจำนวนเต็มบวก ที่หำรด้วย 19 ลงตัว โดยกำรนำมำเขียนลงในตำรำง ที่มี 50 แถว 20 หลักและหำควำมสัมพันธ์จำกตำรำง 6.4 นำหลักกำรทฤษฎีต่ำงๆ ที่ศึกษำในข้อที่ 2. และ ข้อที่ 3. มำหำแนวคิดสำหรับกำรหำจำนวนเต็ม n ที่หำรด้วย 19 ลงตัว โดยกำรใช้แนวคิดของระบบส่วน ตกค้ำงมอดุโลมำช่วยในกำรหำชั้นของจำนวนเต็มบวกที่ หำรด้วย 19 ลงตัว

6.5 นำแนวคิดที่ได้จำกข้อ 4. มำพิสูจน์แนวคิด เพื่อจะแสดงว่ำ แนวคิดที่ได้นั้นใช้ได้กับโครงงำนที่จัดทำ ขึ้นหรือไม่โดยใช้กำรพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศำสตร์ 6.6 สรุปและอภิปรำย 7. สรุปผลการวิจัย / การศึกษา 7.1 จำกกำรนำควำมรู้เกี่ยวกับสมภำค มำใช้ใน กำรศึกษำแนวคิด ในกำรตรวจสอบจำนวนเต็มบวก n ที่ หำรด้วย 19 ลงตัว ทำให้ได้ ว่ำ 19|n ก็

 n+k  หำรด้วย 19 ลงตัว เมื่อ   20 

ต่อเมื่อ n-19 

n+k  20



โดยที่ 1  k  20 เมื่อนำ

จำนวนเต็มบวกที่หำรด้วย 19 ลงตัว มำเขียนแบ่งเป็น ชั้นชั้นละ 20 จำนวน จะมีจำนวนที่หำรด้วย 19 ลง ตัว ในชั้นนั้นๆ อย่ำงน้อย 1 จำนวน ในชั้นที่ 19, 38, 57, … จะมีจำนวนเต็มบวกที่หำรด้วย 19 ลงตัว 2 จำนวน 7.2 แนวคิดของกำรหำจำนวนเต็มบวก n ที่หำร ด้วย 19 ลงตัว เหมำะสำหรับใช้ในกำรพิจำรณำจำนวนที่ มีหลำยหลัก ซึ่งเป็นแนวคิดใหม่ ในกำรพิจำรณำจำนวน เต็มบวก n ว่ำหำรด้วย 19 ลงตัวหรือไม่ 7.3 จำกกำรศึกษำเรื่องกำรหำรลงตัวสำมำรถ นำแนวดังกล่ำวไปใช้กับโจทย์ที่เกี่ยวกับกำรหำผลลัพธ์ ของจำนวนที่หำรด้วย 19 ลงตัวได้ 8. อภิปรายผล / การศึกษา สำหรับกำรศึกษำแนวคิดดังกล่ำวที่ใช้ในกำรช่วย ในกำรประมำณช่วงของจำนวนนั้น ๆ ว่ำอยู่ในช่วงใดโดย ใช้ 20xi เมื่อ x i = 1, 2, 3, ... เป็นตัวแบ่งช่วงทำ ให้ทรำบว่ำจำนวนนั้นๆ อยู่ในช่วงใดของ 20xi และเมื่อ คูณกลับจำนวนนั้นด้วย 19 จะได้จำนวนเต็มบวกที่หำร ด้วย 19 ลงตัว แต่ ต้องบวกเข้ำด้วย 19N ก่อน เมื่อ N = 1, 2, 3, ... เนื่องจำก 19 และ 20 มีกำรแบ่งชั้น ที่ต่ำงกัน ซึ่งสอดคล้องกับหลักกำรของระบบส่วน ตกค้ำงมอดุโลในเรื่องสมภำค

9. ข้อเสนอแนะ / การศึกษา 9.1 ควรมีกำรพัฒนำแนวที่ได้จำกโครงงำน ให้ กลำยเป็นสูตรสำหรับกำรพิจำรณำจำนวนเต็มบวก n ว่ำหำรด้วย 19 ลงตัวหรือไม่ 9.2 สูตร หรือ แนวคิดที่ได้ ควรมีควำมซับซ้อน น้อยและเข้ำใจง่ำยขึ้น 9.3 ควรมีกำรคิดสูตรหรือแนวคิดใหม่ๆ สำหรับ กำรหำจำนวนเต็มบวก n ที่หำรด้วย 19 ลงตัว

10. เอกสารอ้างอิง [1] จิรัชยำ ใจสะอำดซื่อตรง. Congruence and Residues. [เอกสำรประกอบกำรอบรมโอลิมปิก] [2] นิยม แก้วคง.จำนวนเต็ม. [เอกสำรประกอบ กำร สอน]. ปีที่วิจัย 2551. [3] พัฒนำ พลวัน. ทฤษฎีจำนวน. [เอกสำร ประกอบกำรสอน] [4] http://kru-nat.blogspot.com [5] http//th.wikipedia.org [6] http://th.tni.wikia.com [7] https://en.wikipedia.org [8] https://mathpwk.wordpress.com

Mathematics Oral Presentation in English

155

Mathematics Oral Presentation in English

156 งานประชุ งานประชุมมนำน�เสนอผลงานวิ าเสนอผลงานวิชชาการโครงงานนั าการโครงงานนักกเรีเรียยนน กลุ่มโรงเรียนจุกลุ ฬาภรณราชวิ ย (โรงเรีทยยาลั นวิทยยาศาสตร์ ภูมทิภยาศาสตร์ าค) ภาคอีภสูมาน ้งที่ 1 สประจำ ่มโรงเรียนจุทฬยาลั าภรณราชวิ (โรงเรียนวิ ิภาค)ครัภาคอี าน �ปี 2560 st ้งที่ 1 ประจาปี 2560 The 1st Annual PCC Esan Science Symposium 2017 The 1ครั Princess Chulabhorn Science High School Isan Science Symposium 2017

ชื่อบทความ การหาความสัมพันธ์ของพื้นที่และความยาวด้านของสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ต่อ สามเหลี่ยมหน้าจั่วที่แนบรูปสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ ชื่อบทความ The relation of the area and the long side of the Morley triangle between the isosceles triangle which attach the Morley triangle ชื่อเจ้าของบทความ นายศรัณย์ เชื้อนานนท์ นางสาวภัทราพร ทองอาจ นางสาวไรวิณ โมทอง ชื่อเจ้าของบทความ Mr.Saran Chuananon MissPattaraporn Thongard MissRaiwin Mothong สาขาวิชา คณิตศาสตร์ สาขาวิชา Mathematics ชื่ออาจารย์ที่ปรึกษา นางไสลา รูปเหลี่ยม นางสาวฉันทนา นามวงษา ชื่ออาจารย์ที่ปรึกษา Mrs.Saila Rooplaim MissChantana Namwongsa บทคัดย่อ

Morley’s Triangle เป็นทฤษฎีที่เกิดจากการค้นพบของ แฟรงค์ มอร์ลีย์ โดยมีสามเหลี่ยมใดๆ และได้ทาการ แบ่งของมุมภายในแต่ละมุม โดยแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆกัน จากนั้นได้ลากเส้นออกมาหาจุดตัด และเชื่อมจุดตัดทั้ง สามเข้าด้วยกัน ซึ่งเกิดเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า และไม่ว่าจะทาการเพิ่มหรือลดความยาวของสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าอย่างไร ก็ตาม จุดตัดก็จะเชื่อมได้เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าเสมอ ทางคณะผู้จัดทาจึงมีแนวคิดที่จะศึกษา 1) อัตราส่วนพื้นที่ของ สามเหลี่ยมด้านเท่าที่ติดกับสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ต่อสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ ได้ความสัมพันธ์ คือ

2) อัตราส่วนความยาวด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ติดกับสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ต่อสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ได้ความสัมพันธ์ คือ

และ 3) เพื่อนาความสัมพันธ์ไปประยุกต์กับการสร้างเก้าอี้ในรูปทรงสามเหลี่ยมทาให้เกิดความสะดวกสบายในการใช้งาน และเกิดความสวยงามของรูปแบบผลิตภัณฑ์ คำสำคัญ : สามเหลี่ยมมอร์ลีย์ อัตราส่วนพื้นที่ อัตราส่วนความยาวด้าน

Abstract

Morley’s Triangle is the theory that based on the discovery of Frank Morley with scalene triangle and divided the angles within each corner into three equal parts then draw a line to find the intersection and connect the three intersections together which is an equilateral triangle and whether or not to increase or decrease the length of the scalene triangle however, the intersection will

always be connected to the equilateral triangle. So the productiom has developed the idea to study 1) The ratio of the area of the equilateral triangles which are adjoin the Morley triangle to the Morley triangle and the relationship is

2) The ratio of the side length of the equilateral triangles which are adjoin the Morley triangle to the Morley triangle and the relationship is

and 3) To apply the relationship to the chair in a triangle shape makes it convenient to use and the beauty of the product. Key Words : Morley triangle , the ratio of the area , the ratio of the side length

1. ความสาคัญและปัญหา

Morley’s Triangle เป็นสามเหลี่ยม มหัศจรรย์ที่เกิดจากการค้นพบของแฟรงค์ มอร์ลีย์ (Frank Morley) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ มอร์ลีย์ได้ศึกษาทางด้าน คณิตศาสตร์อย่างหลากหลายไม่ว่าจะเป็น ด้านพีชคณิต เรขาคณิต ซึ่ง Morley ก็ได้ทาการคิดค้นทฤษฎีใหม่ๆ ทางคณิตศาสตร์มากมาย อันได้แก่ Morley’s trisector theorem , Plane Geometry ซึ่งการ ค้นพบที่ทาให้เค้ามีชื่อเสียงและได้รับความสนใจนั้นคือ การค้นพบ Morley’s triangle และมีนักคณิตศาสตร์ กว่า 6 ท่านได้ทาการพิสูจน์ Morley’s triangle โดยใช้ วิธีการ หลักการทางคณิตศาสตร์ และจินตนาการที่ แตกต่างกันไป Morley ได้คิดค้น Morley’s triangle ซึ่งมี สามเหลี่ยมใดๆ และได้ทาการแบ่งของมุมภายในแต่ละ มุม โดยแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆกัน จากนั้นได้ ลากเส้นออกมาหาจุดตัด และเชื่อมจุดตัดทั้งสามเข้า ด้วยกัน ซึ่งเกิดเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า และไม่ว่าจะทา การเพิ่มหรือลดความยาวของสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า อย่างไร ก็ตาม จุดตัดก็จะเชื่อมได้เป็นสามเหลี่ยมด้าน เท่าเสมอ คณะผู้จัดทาจึงมีความสนใจศึกษาอัตราส่วน

พื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ติดกับสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ ต่อสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ และอัตราส่วนความยาวด้านของ สามเหลี่ยมด้านเท่าที่ติดกับสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ต่อ สามเหลี่ยมมอร์ลีย์ เพื่อนาความสัมพันธ์ไปประยุกต์กับ การสร้างเก้าอี้ในรูปทรงสามเหลี่ยมทาให้เกิดความ สะดวกสบายในการใช้งาน และเกิดความสวยงามของ รูปแบบผลิตภัณฑ์

2. วัตถุประสงค์ของการวิจัย / การศึกษา 2.1 เพื่อหาความสัมพันธ์ของความยาวด้าน ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ติดกับสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ต่อ ความยาวด้านของสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ และพื้นที่รูป สามเหลี่ยมหน้าจั่วต่อพื้นที่รูปสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ 2.2 เพื่อนาไปประยุกต์ในการประดิษฐ์โมเดล เก้าอี้สามเหลี่ยม

3. แนวคิดและทฤษฎี

3.1 ทฤษฎีบทปีทากอรัส 3.2 ตรีโกณมิติ

Mathematics Oral Presentation in English

157

Mathematics Oral Presentation in English

158 4. ขอบเขตของการวิจัย / การศึกษา

4.1 ศึกษาความยาวด้านและพื้นที่ของ สามเหลี่ยมมอร์ลีย์ พื้นที่สามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ติดกับ สามเหลี่ยมมอร์ลีย์ 4.2 ศึกษาการสร้างเก้าอี้ทรงสามเหลี่ยมจาก ความสัมพันธ์ที่ศึกษา

5. สมมติฐานการวิจัย

5.1 สามารถหาความสัมพันธ์ของอัตราส่วน พื้นที่ระหว่างพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ติดกับ สามเหลี่ยมมอร์ลีย์ต่อพื้นที่สามเหลี่ยมมอร์ลีย์ได้ 5.2 สามารถหาความสัมพันธ์อัตราส่วนความ ยาวด้านของสามเหลี่ยมที่ติดกับสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ต่อ ความยาวด้านของสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ได้

6. วิธีดาเนินการวิจัย จากรูป เมื่อลากส่วนของ เส้นตรง BG จะพบว่า ∆BFG เป็นสามเหลี่ยมมุม ฉาก กาหนดให้ และ

จากสูตรมุมครึ่งเท่าจะได้ว่า = 2) แทนค่าสมการ 1) ลงในสมการ 2) = =

จาก

พิจารณาสามเหลี่ยมหน้าจั่ว กาหนดให้ และ เมื่อลากส่วนของเส้นตรง BG จะพบว่า ∆BFG เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก จากทฤษฎีบทปีทากอรัส

จาก

เมื่อ F D = 20° และ F G = 10° จากตรีโกณมิติ =

6.2 หาความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ของรูป สามเหลี่ยมหน้าจั่วแล้วสามเหลี่ยมมอร์ลีย์

จะได้ว่า

7.2 การศึกษาอัตราส่วนความยาวด้านของ สามเหลี่ยมด้านเท่าที่ติดกับสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ต่อ สามเหลี่ยมมอร์ลีย์ จากการการศึกษาอัตราส่วนความยาวด้านของ สามเหลี่ยมด้านเท่าที่ติดกับสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ต่อ สามเหลี่ยมมอร์ลีย์ ได้ความสัมพันธ์เป็น จากสูตรหาพื้นที่สามเหลี่ยม คือ

จะ

8. อภิปรายผล / การศึกษา

ได้ว่า

1) จากสูตรหาพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า คือ

8.1 การหาความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ และรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่แนบมอร์ลีย์พบว่า อัตราส่วนของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมมอร์ลีย์และรูป สามเหลี่ยมหน้าจั่วที่แนบมอร์ลีย์เป็นค่าคงที่เสมอ ซึ่งมีความสัมพันธ์เป็นสมการดังนี้

จะได้ว่า

2) อัตราส่วนของพื้นที่สามเหลี่ยมหน้าจั่วต่อพื้นที่ สามเหลี่ยมด้านเท่าคือ

7. สรุปผลการวิจัย / การศึกษา

7.1 การหาความสัมพันธ์อัตราส่วนพื้นที่ของ สามเหลี่ยมด้านเท่าที่ติดกับสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ต่อ สามเหลี่ยมมอร์ลีย์ จากการหาความสัมพันธ์อัตราส่วนพื้นที่ของ สามเหลี่ยมด้านเท่าที่ติดกับสามเหลี่ยมมอร์ลีย์ต่อ สามเหลี่ยมมอร์ลีย์ ได้ความสัมพันธ์เป็น

8.2 การหาความสัมพันธ์ของความยาวด้าน รูปสามเหลี่ยมมอร์ลีย์และรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่แนบ มอร์ลีย์ พบว่าอัตราส่วนของความยาวด้านรูป สามเหลี่ยมมอร์ลีย์และรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่แนบมอร์ ลีย์มีค่าคงที่เสมอ ซึง่ ทาเป็นสมการได้ ดังนี้

9. ข้อเสนอแนะ / การศึกษา 9.1 หาความสัมพันธ์ของรูปอื่นๆภายในรูป สามเหลี่ยมเดิมเพิ่มขึ้น 9.2 นาไปประยุกต์ในการประดิษฐ์รูปทรง ต่างๆ

Mathematics Oral Presentation in English

159

160 งานประชุ เสนอผลงานวิชชาการโครงงานนั งานประชุมมนำน�าเสนอผลงานวิ าการโครงงานนักกเรีเรียยนน กลุ่มโรงเรียนจุกลุ ฬาภรณราชวิ ย (โรงเรีทยยาลั นวิทยยาศาสตร์ ภูมทิภยาศาสตร์ าค) ภาคอี ้งที่ 1สประจำ ่มโรงเรียนจุทฬยาลั าภรณราชวิ (โรงเรียนวิ ภูมสิภานาค)ครัภาคอี าน �ปี 2560 The 1ครัst ้งPrincess HighPCC School Science Symposium EsanIsan Science Symposium 20172017 ที่ 1 ประจChulabhorn าปี 2560 TheScience 1st Annual

ชื่อบทความ การหาผลบวกของตัวเลขที่อยู่ในกรอบรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ชื่อบทความ Find the sum of the numbers in a rectangular frame

ชื่อเจ้าของบทความ นางสาวเบญญาภา ใกล้กลาง1 นางสาววิลาสินี ศรีสมบัติ1 นางสาวศศิธร มีโส1 ชื่อเจ้าของบทความ MissBenyapa Klaiklang1 MissWilasinee Srisombut1 MissSasithon Meeso1 สาขาวิชา คณิตศาสตร์ สาขาวิชา Mathematics ชื่ออาจารย์ที่ปรึกษา นายสุริยัน หนันดูน ชื่ออาจารย์ที่ปรึกษา Mr.Suriyun Nundoon 1

Mathematics Oral Presentation in Thai

นักเรียน โรงเรียนจุฬาภรณราชวิทยาลัย บุรีรัมย์ benyapa.klaiklang@gmail.com

บทคัดย่อ โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง “การหาผลบวกของตัวเลขที่อยู่ในกรอบรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก” มีวัตถุประสงค์ เพื่อ หาผลบวกของจานวนที่อยู่ในกรอบรูปสี่เหลี่ยม 𝑚𝑚 × 𝑛𝑛 ของตารางที่มีทุกขนาด ผลการศึกษาพบว่า สามารถหาสูตร อย่างง่ายในการคานวณหาผลบวกของจานวนที่อยู่ในกรอบรูปสี่เหลี่ยม 𝑚𝑚 × 𝑛𝑛 ของตารางที่มีขนาด 𝑘𝑘1 𝑥𝑥 𝑘𝑘2 (𝑘𝑘1 แทนจานวนแถวในตาราง 𝑘𝑘2 แทนจานวนหลักในตาราง) โดยสูตรอย่างง่ายสาหรับคานวณหาผลบวกของตัวเลขที่ อยู่ในกรอบรูปสี่เหลี่ยม คือ 2𝑎𝑎1 + 𝑘𝑘2 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘2 − 1 ) 𝑆𝑆𝑘𝑘1 ×𝑘𝑘2 ,𝑚𝑚×𝑛𝑛 = (𝑚𝑚 × 𝑛𝑛) ( 2 เมื่อ k1 , k 2 , m, n    โดยที่ 𝑘𝑘1 , 𝑘𝑘2 ≥ 𝑚𝑚, 𝑛𝑛 เมื่อ S k k ,mn คือ ผลบวกของจานวนนับในกรอบสี่เหลี่ยมมุมฉากที่เลือกที่มีขนาด m  n ของตารางที่มีขนาด 1

k1  k 2

a11 คือ ตัวเลขในตาแหน่งแถวที่ 1 หลักที่ 1 ในกรอบสี่เหลี่ยมมุมฉากที่เลือก

𝑘𝑘1 คือ จานวนแถวทั้งหมดในตาราง 𝑘𝑘2 คือ จานวนหลักทั้งหมดในตาราง 𝑚𝑚 คือ จานวนแถวในกรอบรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่เลือก 𝑛𝑛 คือ จานวนหลักในกรอบรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่เลือก

161 Abstract

Mathematics Projects on “Find the sum of the numbers in the picture frame rectangle” with the purpose. To find the of the numbers in square m  n table with a size k1  k 2 The study found that, can find a simple formula to calculate the sum of the numbers in the square frame m  n of the table with the size k1  k 2 ( k 1 instead of rows k 2 instead of the main). The research to find relevant documents and process invented a simple formula in finding the sum of number in the form of rectangular frame and Application The school counselor project wait for instructions. By a simple formula for calculating the sum of the numbers in the square frame. 𝑆𝑆𝑘𝑘1 ×𝑘𝑘2 ,𝑚𝑚×𝑛𝑛 = (𝑚𝑚 × 𝑛𝑛) (

2𝑎𝑎1 + 𝑘𝑘2 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘2 − 1 ) 2

When k1 , k 2 , m, n    ; 𝑘𝑘1 , 𝑘𝑘2 ≥ 𝑚𝑚, 𝑛𝑛 m is the number of rows n is the number of k 1 is the number of rows of the grid. k 2 is the number of tables

1. ความสาคัญและปัญหา

จากการศึกษาหนังสือเรื่อง “101 โครงงาน คณิตศาสตร์” ซึ่งเป็นหนังสือที่รวบรวมโครงงาน คณิตศาสตร์ที่น่าสนใจทั้งหมด 101 โครงงาน รวมถึง โครงงานเรื่อง “กลปฏิทิน” ซึ่งเป็นโครงงานที่ศึกษา เกี่ยวกับการหาผลบวกของตัวเลขในปฏิทินที่มีตาราง ขนาด 7 × 5 โดยการให้ผู้เล่นคนที่ 1 เลือกจานวน 9 จานวน วงรอบตัวเลขไว้เป็นรูปสี่เหลี่ยมบนปฏิทินและ ให้บอกจานวนที่ต่าที่สุดในจานวน 9 จานวนนั้น ต่อจากนั้นให้ผู้เล่นคนที่ 2 บวก 8 เข้ากับจานวนที่ต่า ที่สุดในจานวน 9 จานวนนั้น และคูณด้วย 9 จะสามารถ ให้คาตอบของผลบวกของจานวน 9 จานวนที่ถูกต้องได้ ทาให้ผู้จัดทาเกิดความสนใจที่จะจัดทาโครงงาน คณิตศาสตร์ขึ้น โดยนาหลักการของโครงงาน เรื่อง “กล

ปฏิทิน” มาใช้ แต่มีการขยายขอบเขตของตาราง ให้มีขนาดใหญ่ขึ้น เพื่อเสนอแนวคิดใหม่

2. วิธีดาเนินงาน

ขั้นตอนที่ 1 กาหนด 𝑘𝑘1 คือ จานวนแถวทั้งหมด ในตาราง 𝑘𝑘2 คือ จานวนหลักทั้งหมดในตาราง m คือ จานวนแถวในกรอบรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่เลือก n คือ จานวนหลักในกรอบรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่เลือก a11 คือ จานวนนับที่น้อยที่สุดในกรอบสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาด m  n จากนั้นหาความสัมพันธ์ผลบวกของ a11 กับ

Mathematics Oral Presentation in Thai

The 𝑆𝑆𝑚𝑚×𝑛𝑛,𝑘𝑘1 ×𝑘𝑘2 is the sum of the frame rectangle of size 𝑚𝑚 × 𝑛𝑛 grid size 𝑘𝑘1 × 𝑘𝑘2

162 ตัวเลขในกรอบสี่เหลี่ยมมุมฉากที่เราเลือกในแต่ละ ตารางและได้ความสัมพันธ์ ขั้นตอนที่ 2 นามาหาสูตรของแต่ละกรอบรูป สี่เหลี่ยมมุมฉากที่เลือกในแต่ละตารางมาหา ความสัมพันธ์โดยใช้อนุกรมเลขคณิต ขั้นตอนที่ 3 นามาหาสูตรของแต่ละตารางมาหา ความสัมพันธ์โดยใช้อนุกรมเลขคณิต

3. ผลการดาเนินงาน

ผลการศึกษาระยะห่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ในกรอบ รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากในตารางขนาดต่างๆ ทาให้สามารถ สร้างสูตรในการหาผลบวกของตัวเลขที่อยู่ในกรอบรูป สี่เหลี่ยมมุมฉากในตารางได้

Mathematics Oral Presentation in Thai

4. สรุปและอภิปรายผล

4.1 อภิปรายผลการศึกษา การศึกษาผลบวกของตัวเลขที่อยู่ในกรอบสี่เหลี่ยม มุมฉากขนาดต่างๆนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อหาสูตรในการหา ผลบวกของตัวเลขในรูปกรอบสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีขนาด m  n ในตารางทุกขนาด โดยศึกษาจากระยะห่าง ระหว่างตัวเลขในกรอบรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งผล การศึกษา ทาให้ได้สูตรที่ใช้ในการหาผลบวกของตัว เลขที่อยู่ในกรอบรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก และจากการใช้ สูตรสามารถคานวณได้อย่างแม่นยา 4.2 สรุปผลการศึกษา จากการศึกษาระยะห่างระหว่างตัวเลขในกรอบรูป สี่เหลี่ยมมุมฉาก m  n ในตาราง k1  k 2 ที่เรียง จากซ้ายไปขวา สามารถสร้างสูตรในการหาผลบวกของ ตัวเลขที่อยู่ในกรอบรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก m  n ใน ตาราง

เมื่อ

k1  k 2

เท่ากับ

k1 , k 2 , m, n    โดยที่

5. ข้อเสนอแนะ

มีการศึกษาเพิ่มเติมเมื่อตัวเลขในตารางเริ่มจาก จานวนนับที่ไม่ใช่เลข1และแสดงผลการคานวณโดยใช้ โปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อความแม่นยาและรวดเร็ว ยิ่งขึ้น

6. เอกสารอ้างอิง

[1] จริยาพร เสริมศาสตร์. (2550). http://www. thaigoodview.com/library/teachershow. [2] ธันย์ชนก ตั้งวัชรพงศ์. (2550). ชุด คมคิดคณิตสา สตร์ เรื่อง ลาดับและเลขาคณิต ช่วงชั้นที่ 4 ระดับ มัธยมศึกษาตอนปลาย. เจริญรัฐ การพิมพ์:บริษัท สานักพิมพ์เดอะบุ๊ค จากัด. [3] https://sathaporn2510.wordpress.com /about/ [4] http://www.doesystem.com/abe0324453cc 7626f2ae1c83481a9ce8/ [5] ม.ป.ป.. (10 มีนาคม 2556). สี่เหลี่ยมมุมฉาก. [6] https://th.wikipedia.org/wiki.

163 งานประชุ เสนอผลงานวิชาการโครงงานนักเรียน งานประชุมมนำน�าเสนอผลงานวิ กลุ่มโรงเรียนจุกลุ ฬาภรณราชวิ ย (โรงเรีทยยาลั นวิทยยาศาสตร์ ิภาค) ภาคอี ้งที่ 1สาน ประจำ�ปี 2560 ่มโรงเรียนจุฬทยาลั าภรณราชวิ (โรงเรียนวิภทูมยาศาสตร์ ภูมสิภาน าค)ครัภาคอี The 1ครัst้งPrincess HighPCC School Science Symposium EsanIsan Science Symposium 20172017 ที่ 1 ประจChulabhorn าปี 2560 TheScience 1st Annual

ชื่อบทความ การศึกษาสมบัติของเส้นสัมผัสวงกลมที่ตัด ชื่อบทความ The properties of intersection points on circle’s tangent lines

บทคัดย่อ รูปร่างทางเรขาคณิตนั้นสามารถพบได้ในธรรมชาติรอบตัว และรูปเรขาคณิตที่นิยมนามาประยุกต์ใช้กันมาก อย่างหนึ่ง คือ รูปวงกลม ซึ่งรูปวงกลมนั้นมีสมบัติบางประการที่น่าศึกษา คือเส้นสัมผัสของรูปวงกลม จากการพันเส้นด้าย เก็บเป็นก้อนกลมโดยพันทบกันเป็นชั้น ๆพบว่าเกิดเป็นสมบัติเส้นด้ายที่สามารถมองเทียบเส้นด้ายที่พันทบกันเป็นชั้นนั้น ได้กับเส้นสัมผัสวงกลมทางคณะผู้จัดทาจึงมี ความสนใจในการศึกษาการเกิดรูปแบบที่มีการเปลี่ยนแปลง โดยใช้หลักการ ทางคณิตศาสตร์ด้านเรขาคณิตและลาดับอนุกรมมาทาการพิสูจน์ร่วมกับโปรแกรม เพื่อหาความสัมพันธ์สัดส่วนด้าน และ สามารถหาอัตราส่วนสี่เหลี่ยมรูปว่าวในลาดับชั้นที่ ได้ดังนี้ 1. จานวนชั้นหาได้จาก จานวนจุดตัดของวงกลมจะมีค่าเป็น 2 เท่าของของจานวนชั้น และจานวนชั้นจะมีค่า เป็นจานวนเต็มจึงทาให้มีค่าเท่ากับ

เมื่อ เป็นเลขคู่ และ

เมื่อ เป็นเลขคี่และ ต้องมีค่ามากกว่าเท่ากับ 3 จึง

จะเกิดชั้น 1 ชั้นขึ้นมาได้ 2. อัตราส่วนด้านสั้นต่อด้านยาวของรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าวที่เกิดขึ้นจากเส้นสัมผัสวงกลมที่ตัดกันกับรัศมีของวงกลม ที่มีระยะห่างระหว่างจุดต่างๆบนวงกลมที่เท่ากัน เมื่อimax 3. จานวนจุดตัดสามารถหาได้จากการแบ่งแยกกรณีของจานวนเส้นที่ตัดกันเป็นเลขคู่และเลขคี่ ซึ่งหาได้จากการ หารูปแบบจากการหาผลรวมจานวนคู่ที่หาได้มีค่าเท่ากับ จานวนคี่เท่ากับ คำสำคัญ: เส้นสัมผัสวงกลมวงกลม ความยาวด้าน

Mathematics Oral Presentation in Thai

ชื่อเจ้าของบทความ นายชนาธิป วิชาชัย นางสาวบัณฑิตา ตันสุ นายเศรษฐวิชญ์ เอื้อวงษ์ประเสริฐ ชื่อเจ้าของบทความ Mr.Chanathip Wichachai MissBanthita Tansu Mr.Settawit Auewongprasert สาขาวิชา คณิตศาสตร์ สาขาวิชา Mathematics ชื่ออาจารย์ที่ปรึกษา นางไสลา รูปเหลี่ยม นางสาวฉันทนา นามวงษา ชื่ออาจารย์ที่ปรึกษา Mrs.Saila Rooplaim MissChantana Namwongsa

164 Abstract

Geometric shape that can be found in the natural surroundings. The most popular geometry that was applied is circular. The circles some interesting studies is tangent line of circle. From the collection yarn into a ball by repeatedly bound, we can find the treasure of yarn that yarn’s folded layers as the tangent line to circle. So, we interested in studying the patterns that occur. Using the mathematical principles of geometryand serial sequences to prove with the program to determine the relative proportion and a ratio of the kite's sidesin the n as follows : 1 . The total number of layers can find from the number of intersection points on the circlethat will have a value of 2 times the number of layers and the number of layers must be integer. Thus, the value is

when nis an odd number, and

when n is an even number but n

must be a value greater than 3. 2. The ratio of long to short side of the kite formed by intersecting circles tangent to the radius of the circle with the distance between points on the same circle is

Mathematics Oral Presentation in Thai

when imax 3. The intersection can be obtained from the separation of the lines intersect is even and odd numbers. That we can calculated from the pattern and the sum value of intersection points and odd number equation is from equationof the even number is Keyword : circle, circle tangent, Side len

1. ความสาคัญและปัญหา

จากการพันเส้นด้ายเก็บเป็นก้อนกลมโดยพัน ทบกันเป็นชั้น ๆพบว่าเกิดเป็นสมบัติเส้นด้ายที่สามารถ มองเที ย บเส้ น ด้ า ยที่ พั น ทบกั น เป็ น ชั้ น นั้ น ได้ กั บ เส้ น สัมผัสวงกลมโดยความสัมพันธ์ของอัตราส่วนของเส้น สัมผัสวงกลมที่ตัดกันโดยเป็นลาดับที่มีเอกลักษณ์อย่าง ชัดเจน นั่นคืออัตราส่วนความยาวด้านที่ตัดกันของเส้น สัมผัส ที่ได้สร้างสี่เหลี่ยมรูปว่าวขึ้นมารอบชั้นวงกลมถัด จ าก ชั้ น ส าม เห ลี่ ย ม จ น เป็ น n ชั้ น ซึ่ งจ ะมี การ เปลี่ยนแปลงอัตราส่วน ทุกๆลาดับชั้นที่เปลี่ยนไป

2. วัตถุประสงค์ของการวิจัย / การศึกษา

1. ศึกษาจานวนชั้นของเส้นสัมผัสได้ 2. ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างอัตราส่วนด้านสั้น ต่อด้านยาวของสี่เหลี่ยมรูปว่าวที่เกิดขึ้นจากเส้น สัมผัสวงกลมที่ตัดกัน 3. ศึกษาจานวนจุดตัดของเส้นสัมผัสวงกลม

3. แนวคิดและทฤษฎี

1. สมบัติของวงกลมและเส้นตั้งฉาก 2. กฎของไซน์ 3. ความสัมพันธ์ระหว่างมุม 4. Co-function

165 ตารางแสดงมุมตรงข้ามของด้านต่างๆ

4. ขอบเขตของการวิจัย / การศึกษา

ศึกษาภายใต้เส้นสัมผัสวงกลมที่ตัดกันn เส้น ศึกษาภายใต้ระยะห่างของจุดสัมผัสในชั้นแต่ละ ชั้นที่เท่ากัน

5. สมมติฐานการวิจยั

6. วิธีดาเนินการวิจัย

6.1 จานวนชั้น กรณีที่ 1 จานวนเส้นสัมผัสเป็นจานวนคู่ จ านวนคู่ มี ค่ า เท่ ากั บ n เมื่ อ n = 2k , ∃k∊ เนื่องจาก

จานวนชั้น คือ

ถ้า x = k

หรือ

เมื่อ n เป็นจานวนคู่

กรณีที่ 2 จานวนเส้นสัมผัส เป็นจานวนคี่จานวนคี่มีค่า เนื่ อ งจาก เท่ า กั บ n เมื่ อ และ ชั้น คือ

หรือ

จานวน เมื่อ nเป็นจานวนคี่

6.2 ความสัมพันธ์ระหว่างอัตราส่ว นด้านสั้นต่อ ด้า น ยาวของรูปสี่เหลี่ยมรูปว่ าวที่เกิดขึ้ นจากเส้น สัมผั ส วงกลม ให้ i แทนคู่ของล าดับ ด้านของรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าวโดย เรียงจากด้านที่สั้นที่สุดไปยาวที่สุด S แทนความยาวด้านสั้น L แทนความยาวด้านยาว กฎของ sine

และใช้ co-function ได้สูตรคือ

เมื่อ imax 6.3 การศึกษาจานวนจุดตัดของเส้นสัมผัสวงกลม พิจารณาเส้นสัมผัสเลขคี่ จะได้ พิสูจน์ กาหนดให้ มีค่า เท่ากับ ขั้นฐาน ขั้ น อุ ป นั ย ก าหนดให้ เป็นจริง จาก

ดังนั้น เป็นจริง โดยวิธีอุปนัยทาง คณิตศาสตร์ เท่ากับ

เป็นจริง

ดังนั้น เป็ น จริ ง จะแสดงว่ า

Mathematics Oral Presentation in Thai

1. สามารถหาจานวนชั้นของเส้นสัมผัสได้ 2. อัตราส่วนด้านกว้างต่อด้านยาวของสี่เหลี่ยมรูป ว่าวมีความสัมพันธ์กัน 3. สามารถหาค่ า จ านวนจุ ด ตั ด ของเส้ น สั ม ผั ส วงกลมได้

166 พิจารณาเส้นสัมผัสเลขคู่ จะได้

postulate ของ Euclidean geometry จานวนจุดตัด ของวงกลมจะมีค่าเป็น 2 เท่าของของจานวนชั้น และ จานวนชั้นจะมีค่าเป็นจานวนเต็มจึงทาให้มีค่า เท่ากับ

พิสูจน์ กาหนดให้ เท่ากับ ขั้นฐาน เป็นจริง ขั้นอุปนัย กาหนดให้ เป็นจริง จาก

ดังนั้น เป็นจริงจะแสดงว่า

เมื่อ n เป็นเลขคู่ และ

เมื่อ nเป็นเลข

คี่และ n ต้องมีค่ามากกว่าเท่ากับ 3 จึงจะเกิดชั้น 1 ชั้น ขึ้นมาได้ 2. อัตราส่วนด้านสั้นต่อด้านยาวของรูปสี่เหลี่ยม รูปว่าวที่เกิดขึ้นจากเส้นสัมผัสวงกลมที่ตัดกันกับรัศมี ของวงกลมที่มีระยะห่างระหว่างจุดต่างๆบนวงกลมที่ เท่ากันหาได้จากการลากเส้นและหารูปแบบของมุมได้ จากนั้นแทนค่าที่ได้ลงไปในกฎของ sine และใช้ cofunctionเปลี่ยนจาก sin เป็น cos จนได้มีค่าเท่ากับ

Mathematics Oral Presentation in Thai

เมื่อ imax ดังนั้น เป็นจริง โดยวิธีอุปนัยทาง คณิตศาสตร์ ซึ่งมีค่า เท่ากับ

เป็นจริง

7. สรุปผลการวิจัย / การศึกษา 1. จานวนชั้นมีค่าเท่ากับ

เมื่อ n เป็นเลขคู่

เมื่อ nเป็นเลขคี่ 2.อัตราส่วนด้านสั้นต่อด้านยาวค่าเท่ากับ

3.จานวนจุดตัดมีค่าเท่ากับ คี่ เมื่อ nเป็นเลขคู่

8. อภิปรายผล / การศึกษา

เมื่อ n เป็นเลข

1. จานวนชั้นหาได้จากการที่รู้คุณสมบัติของ การตัดกันของเส้นตรงและทฤษฎีที่นามาอ้างอิงคือ 5th

และอัตราส่วนและรัศมี

ได้จากตรีโกณมิติ 3. จานวนจุดตัดสามารถหาได้จากการแบ่งแยกกรณี ของจานวนเส้นที่ตัดกันเป็นเลขคู่และเลขคี่ ซึ่งหาได้จาก การหารูปแบบจากการหาผลรวมจานวนคู่ที่หาได้มีค่า เท่ากับ จานวนคี่เท่ากับ

9. ข้อเสนอแนะ / การศึกษา

1. ควรศึกษาจานวนของรูปที่เกิดขึ้น 2. ศึกษาพื้นที่ของรูปต่างๆที่เกิดขึ้น

10. เอกสารอ้างอิง

ณรงค์ ปั้นนิ่ม. ทฤษฎีจานวน. กรุงเทพฯ: สานักพิมพ์ ภูมิบัณฑิต, 2545. นิตติยา ปภาพจน์. ทฤษฎีจานวน. กรุงเทพฯ: เอกสาร ประกอบการสอน มหาวิทยาลัยหอการค้าไทย, 2544. สมใจ จิตพิทักษ์. ทฤษฎีจานวน. พิมพ์ปรับปรุง ครั้งที่ 2 สงขลา : มหาวิทยาลัยทักษิณ, 2545.

167

Mathematics Oral Presentation in Thai

เสรี สุขโยธิน. ประวัติของโปรแกรม Geometer’s Sketchpad (GSP). กรุงเทพฯ: 2556. กฎของโคไซน์และไซน์ . เข้าถึงจาก http://www. focus-physics.com. (วันที่ ค้นข้อมูล 30 กันยายน 2016).

168 งานประชุมมนนำาเสนอผลงานวิ �เสนอผลงานวิชชาการโครงงานนั าการโครงงานนักกเรีเรียยนน งานประชุ กลุ่มโรงเรียนจุ ยาลัย (โรงเรี ยนวิยท(โรงเรี ยาศาสตร์ ิภาค) ภาคอี าน ครั ้งที่ ส1าน ประจำ�ปี 2560 กลุฬ่มาภรณราชวิ โรงเรียนจุฬทาภรณราชวิ ทยาลั ยนวิภทูมยาศาสตร์ ภูมิภสาค) ภาคอี Theครั1st้งทีPrincess Chulabhorn HighPCC School Science Symposium Esan Isan Science Symposium 20172017 ่ 1 ประจาปี 2560 The Science 1st Annual

ชื่อบทความ การคานวณหาค่าคงตัว a, b และ c ของสมการที่มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ระหว่างข้อมูล ชื่อบทความ calculating the constant a, b and c of the equation that has a functional

Mathematics Oral Presentation in Thai

ชื่อเจ้าของบทความ นายกิตติศักดิ์ พรหมรักษา1 นายธีรดนย์ วิไลรัตน์1 ชื่อเจ้าของบทความ Mr.Gittisak Promragsa1 Mr.Teeradon Wilairat1 สาขาวิชา คณิตศาสตร์ สาขาวิชา Mathematics ชื่ออาจารย์ที่ปรึกษา ดร.ทนงเกียรติ พลไชยา1* นายปรัชญากร ฮดมาลี1* ชื่ออาจารย์ที่ปรึกษา Dr.Tanongkiat Polchaiya1* Mr.Pradchyakorn Hodmalee1* 1

นักเรียน โรงเรียนจุฬาภรณราชวิทยาลัย เลย dnj00123@hotmail.com 1* ครูชานาญการพิเศษ โรงเรียนจุฬาภรณราชวิทยาลัย เลย Tanongkiat_p@hotmail.com

บทคัดย่อ

โครงงานคณิ ต ศาสตร์นี้ เ ป็น การศึก ษาเพื่ อ หาสู ต รในการค านวณหาค่า คงตั ว a, b และ c ของสมการที่มี ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล และประยุกต์ใช้สูตรที่ได้โดยการสร้างโปรแกรมคานวณหาค่าคงตัว a, b, c และ สมการรูปทั่วไปสาเร็จรูปโดยได้ผลดาเนินงาน ดังนี้ สมการเส้นตรง สมการปกติสาหรับเส้นตรง y  ax  b ได้ค่า a  tr  ne และ b  re  ts สมการพาราโบลา

r 2  ns

สมการปกติสาหรับพาราโบลา y  ax 2  bx  c IW  KZ ZL  WJ ,b ได้ค่า a  IL  JK IL  JK และ

n n 2 n  y  (a  x  b  x ) i i i i 1 i 1 c  i 1 n

คำสำคัญ: สมการที่มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล, สมการเส้นตรง, สมการพาราโบลา

169 Abstract

This mathematical project is a study to find the formula for calculating the constant a, b and c of the equation that has a functional relationship between the data. And apply the formula by creating a program to find the constant a, b, c and the general equation. Linear Equation Normal Linear Equation y  ax  b tr  ne re  ts and b  a r 2  ns r 2  ns Parabola Equation

Keyword: The equation that has a functional relationship between the data, Linear Equation Parabola Equation

1. ความสาคัญและปัญหา

ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างตัวแปรตาม Y กับตัวแปรอิสระ X จะได้สมการปกติในรูปสมการ เส้นตรงและสมการพาราโบลาจากที่ผู้ทาโครงงานได้ เรียนและทาโจทย์ในเนื้อหาคณิตศาสตร์เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลในคาบเรียนและ ในการสอบต่างๆ ผู้จัดทาได้ทาการแก้สมการในการหา ค่าคงตัว a, b และ c ของสมการที่มีความสัมพันธ์เชิง ฟังก์ชันระหว่างข้อมูล พบว่ามักจะเกิดปัญหาในการหา คาตอบของสมการ ดังนั้นผู้จัดทาโครงงานจึงได้มีแนวคิดในการ พัฒนาสูตรการหาค่าคงตัว a, b และ c ของสมการที่มี ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล โดยนาความรู้ เรื่องกฏของคราเมอร์มาช่วยในการแก้สมการหาค่าคง ตัวตัว a, b และ c ของสมการที่มีความสัมพันธ์เชิง ฟังก์ชันระหว่างข้อมูล และนาสูตรที่หาได้ไปสร้างเป็น โปรแกรมสาหรับคานวณการหาสมการรูปทั่วไปของ

สมการที่มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน เพื่อให้ผู้ที่ใช้มีความ สะดวกสบายมากขึ้น

2. วัตถุประสงค์ของการวิจัย / การศึกษา 2.1 เพื่อหาสูตรที่ใช้ในการคานวณหาการหาค่า คงตั ว a, b และ c ของสมการที่ มี ค วามสั ม พั น ธ์ เ ชิ ง ฟังก์ชันระหว่างข้อมูล 2.2 เพื่อพิสูจน์สูตรที่หาได้ว่าสามารถใช้ได้จริง 2.3 เพื่อสร้างโปรแกรมคานวณการหาค่าคงตัว a, b, c และสมการรูปทั่วไปของสมการที่มี ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล

3. แนวคิดและทฤษฎี

3.1 การแก้สมการด้วยวีธีการของคราเมอร์ 3.2 สมการเส้นตรงและพาราโบลา

Mathematics Oral Presentation in Thai

Normal Parabola Equation y  ax 2  bx  c n n 2 n  y i  (a  x i  b  x i ) IW  KZ ZL  WJ i 1 i 1 a ,b and c  i  1 IL  JK IL  JK n

170 4. ขอบเขตของการวิจัย / การศึกษา

1. ค่าคงตัวของสมการเส้นตรงและพาราโบลา 2. การเขียนโปรแกรมเบื้องต้น

5. สมมติฐานการวิจัย

ได้แนวคิดในการค านวณหาการหาค่าคงตัว a, b และ c ของสมการที่ มี ค วามสั ม พั น ธ์ เ ชิ ง ฟั ง ก์ ชั น ระหว่างข้อมูล

Mathematics Oral Presentation in Thai

6. วิธีดาเนินการวิจัย

6.1 กาหนดหัวข้อ และขอบเขตที่จะศึกษา 6.2 ศึ ก ษารู ป แบบความสั ม พั น ธ์ เ ชิ ง ฟั ง ก์ ชั น ระหว่างตัวแปรตาม Y กับตัวแปรอิสระ X 6.3 ศึ ก ษาเอกสาร ต ารา ทฤษฎี หลั ก การ เกี่ยวกับการแก้สมการโดยใช้กฎของคราเมอร์ 6.4 นาหลักการทฤษฎี ต่างๆ ที่ศึกษาในข้อที่ ผ่านมา มาหาแนวคิดส าหรับการหาค่าคงตัวตัว a, b และ c ของสมการที่มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่าง ข้อมูล 6.5 นาแนวคิดที่ได้จากข้อที่แล้ว (6.4) มาพิสูจน์ แนวคิดเพื่อจะแสดงว่าแนวคิดที่ได้มานั้นใช้ได้กับโครงงานที่ จั ดท าขึ้ นหรื อไม่ โดยการน ามาใช้ กั บโปรแกรมส าหรั บ คานวณการหาสมการรูปทั่วไป 6.6 สรุปและอภิปราย

7. สรุปผลการวิจัย / การศึกษา

7.1 จากการนาความรู้เกี่ยวกับการแก้ส มการ มาใช้ในการหาสูตรที่ใช้ในการคานวณและได้โปรแกรม สมการรูปทั่วไปในการคานวณหาค่าคงตัว a, b, และc ของสมการที่มีความสัมพันธ์เชิง ฟังก์ชันระหว่างข้อ มูล จะได้ สมการรูปทั่วไปสาหรับเส้นตรง y  ax  b คือ re  ts tr  ne a และ b  r 2  ns r 2  ns

และสมการรูปทั่วไปสาหรับพาราโบลา ZL  WJ IW  KZ ,b  y  ax 2  bx  c คือ a  IL  JK IL  JK n n 2 n   y (a x b  i  i  xi ) i 1 i 1 และ c  i  1 n 7.2 แนวคิ ดของ การ ห า สู ต ร ที่ ใ ช้ ใ น การ คานวณหาการหาค่าคงตัว a, b และ c ของสมการที่มี ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล เหมาะสาหรับใช้ ในการหาสมการรูปทั่วไป ซึ่งจะช่วยให้หาสมการได้เร็ว ขึ้นโดยการใช้โปรแกรม 7.3 จากการที่ ไ ด้ ศึ ก ษาเรื่ อ งการหารลงตั ว สามารถนาแนวดังกล่าวไปใช้กับโจทย์ที่เกี่ยวกับการหา สมการรูปทั่วไปของสมการที่มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ได้

8. อภิปรายผล / การศึกษา

สาหรับแนวคิดดังกล่าวใช้ในการหาสูตรที่ใช้ในการ คานวณหาการหาค่าคงตัว a, b และ c ของสมการที่มี ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลและสร้าง โปรแกรมคานวณการหาค่าคงตัวพร้อมสมการรูปทั่วไป โดยใช้วีธีการของคราเมอร์และสมการรูปทั่วไปโดยไม่ใช้ และใช้โปรแกรม พบว่าค่าที่คานวณได้มีค่าแตกต่างกัน น้อยมากกัน ดังนั้นสูตรนี้จึงเป็นสูตรที่เชื่อถือได้

9. ข้อเสนอแนะ / การศึกษา

9.1 ควรมีการศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับสมการที่มี ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันแบบอื่นๆ 9.2 ค ว ร มี ก า ร พั ฒ น า โ ป ร แ ก ร ม ใ ห้ มี ประสิทธิภาพมากยิ่งขึ้น 9.3 ควรมีการคิดสูตรหรือแนวคิดใหม่ๆ สาหรับ การหาค่าคงตัว a, b และ c ของสมการที่มีความสัมพันธ์ เชิง ฟัง ก์ชันระหว่างข้อมูลที่ตัวแปรน้อยกว่านี้ เพื่อลด ความสับสน

171

จิรัชยา ใจสะอาดซื่อตรง. Congruence and Residues. [เอกสารประกอบการอบรมโอลิมปิก] รศ.ดร.บุญชม ศรีสะอาด. 2538. วิธีการทางสถิติ สาหรับการวิจัย. เล่มที่ 1. พิมพ์ครั้งที่ 4.สุวีริยา สาส์น กรุงเทพมหานคร การเขียนโปรแกรมภาษา C เบื้องต้น (Introduction to C Programming)[ออนไลน์]. 10 กุมภาพันธ์ 2559 เข้าถึงจาก : http://www.vcharkarn. com/varticle/18065 บริษัทโอเพ่นดูเรียน จากัด. กฎของคราเมอร์ (Cramers Rule) [ออนไลน์]. 10 กุมภาพันธ์ 2559 เข้าถึง จาก : https://www.openduriancom/learn/ cramers_rule/ พาราโบลา (Parabola). (2557)[ออนไลน์]. 10 กุมภาพันธ์ 2559 เข้าถึงจาก : http://www.tewfree.com รศ.ยืนภู่วรวรรณ.สานักบริการคอมพิวเตอร์. มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์.การสร้างรูปแบบ โมเดล “คณิตศาสตร์เชิงเส้น” [ออนไลน์]. 10 กุมภาพันธ์ 2559 เข้าถึงจาก: https://www.web.ku.ac.th/ วิธีการติดตั้งโปรแกรม Dev-C++ 4.9.9.2 (Install Dev-C++ 4.9.9.2) [ออนไลน์]. 10 กุมภาพันธ์ 2559 เข้าถึงจาก : http://www.comscicafe. com/article/34

Mathematics Oral Presentation in Thai

10. เอกสารอ้างอิง

172 งานประชุ งานประชุมมนำน�เสนอผลงานวิ าเสนอผลงานวิชชาการโครงงานนั าการโครงงานนักกเรีเรียยนน กลุ่มโรงเรียนจุกลุ ฬาภรณราชวิ ย (โรงเรีทยยาลั นวิทยยาศาสตร์ ภูมทิภยาศาสตร์ าค) ภาคอีภูมสิภานาค)ครัภาคอี ้งที่ 1 สประจำ ่มโรงเรียนจุทฬยาลั าภรณราชวิ (โรงเรียนวิ าน �ปี 2560 st The 1ครั Princess High PCC School Science Symposium EsanIsan Science Symposium 20172017 ้งที่ 1 ประจChulabhorn าปี 2560 TheScience 1st Annual b

ชื่อบทความ แบบรูปทั่วไปของจำนวนเต็มบวกที่อยู่ในรูปa√ =√a

ชื่อบทความ The general form of the positive integer in the form a√ =√a

ชื่อเจ้าของบทความ นำยณัชพงศ์ พรหมธิรำช1 นำยอธิบดี วสันต์1 ชื่อเจ้าของบทความ Mr.Natchaphong Phromthiratch1 Mr.Athibadee Wasun1 สาขาวิชา คณิตศำสตร์ สาขาวิชา Mathematics ชื่ออาจารย์ที่ปรึกษา ดร. ทนงเกียรติ พลไชยำ1* ชื่ออาจารย์ที่ปรึกษา Mr.Tanongkiat Polnchaiya1* 1

นักเรียน โรงเรีนจุฬาภรณราชวิทยาลัย เลย dreamweverz@gmail.com 1* ครูชานาญการพิเศษ โรงเรีนจุฬาภรณราชวิทยาลัย เลย Tanongkiat_p@hotmail.com

บทคัดย่อ โครงงำนคณิตศำสตร์ เรื่อง แบบรูปทั่วไปของจำนวนเต็มบวกที่อยู่ในรูป

Mathematics Poster Presentation in English

มีวัตถุประสงค์เพื่อหำรูปทั่วไปของจำนวนเต็มบวกที่อยู่ในรูป โดยกำรใช้ควำมรู้เรี่องระบบจำนวนเต็ม กำร หำรลงตัว ตัวหำรร่วมมำก ตัวคูณร่วมน้อย และทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น เพื่อนำไปหำควำมสัมพันธ์ของตัวแปรทั้งสำมตัว แปรซึ่งทำให้สมกำรเป็นจริงโดยใช้วิธีกำรพิสูจน์เชิงทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น ผลปรำกฏว่ ำ จำกกำรพิ สู จ น์ ห ำรู ป ทั่ ว ไปของจ ำนวนเต็ ม บวกที่ อ ยู่ ใ นรู ป b=a และ c=a2 -1 คำสำคัญ: ทฤษฎีจานวน, จานวนเต็มบวกที่อยู่ในรูป

สรุ ป ได้ ว่ ำ

173 Abstract The general form of the positive integer in the form

The purpose is to find

the generalof the positive integer in the form By the knowledge ofpositive integer system , divisibility , greatest common divisor , least common multiple and Number Theory To find the relation of three variables that’s make the equation equivalent by using the Number Theory and methods of proof By proving to find the generalof the positive integer in the form b=a and c=a2 -1

then we get

Key Words : Number Theory, Positive integer in the form

คณิตศำสตร์เป็นสิ่งที่เป็นนำมธรรมเพรำะสิ่ง ต่ำงๆ ในคณิตศำสตร์เริ่มต้นมำจำกควำมคิดในขณะเดี ยวกัน ค ณิ ต ศ ำส ตร์ ก็ ต้ อ ง กำรค วำมชั ด เจ นดั ง นั้ น เพื่ อ กำหนดกำรมีจริงของสิ่งต่ำงๆในคณิตศำสตร์เรำจะเริ่ม ด้วยกำรกำหนดคำที่ใช้แทนสิ่งนั้นโดยให้คำนี้เป็น คาอนิ ยามแล้วถ่ำยทอดควำมคิดที่บ่งบอกลักษณะและกำรมี จริ ง ของสิ่ ง นั้ น ออกมำเป็ น ข้ อ ควำมที่ รั ด กุ ม เรำเรี ย ก ข้อควำมเหล่ำนี้ว่ำสัจพจน์ (axiom หรือpostulate) ยิ่ง สัจพจน์ใกล้เคียงกับแนวคิดที่เป็นธรรมชำติของมนุษ ย์ เท่ำไหร่ก็จะทำให้เรำยอมรับกำรมีจริงของสิ่งที่กำหนด โดยสัจพจน์ดังกล่ำวเท่ำนั้นกำรพิสูจน์ข้อควำมต่ำงๆเพื่อ สร้ำงเป็นทฤษฎีบทก็เพื่อควำมง่ ำยในกำรน ำไปใช้ ใ น ลักษณะที่แตกต่ำงกันออกไปโดยกำรพิสูจน์นั้นต้องใช้ นิยำมหรือทฤษฎีบทที่มีอยู่ก่อนหน้ำและกำรให้เหตุผ ล ทำงคณิตศำสตร์เพื่อแสดงให้เห็นชัดเจนว่ำข้อควำมนั้น เป็นจริงเช่นเดียวกันกับโครงงำนคณิตศำสตร์เรื่องนี้ซึ่ง ผู้จัดทำมีควำมสนใจที่จะหำรูปทั่วไปของจำนวนเต็มบวก b

ที่อยู่ในรูปa√c =√a c

2. วัตถุประสงค์ของการวิจัย / การศึกษา

2.1 เพื่อหำแบบรูปทั่วไปของจำนวนเต็มบวกที่ b

อยู่ในรูปa√ =√a c c

2.2 เพื่อกำรนำไปประยุกต์ในกำรแก้ปัญหำทำง คณิตศำสตร์

3. แนวคิดและทฤษฎี 3.1 ระบบจำนวนเต็ม 3.2 ตัวหำรร่วมมำก ตัวคูณร่วมน้อย 3.3 กำรหำรลงตัว 3.4 กำรพิสูจน์เชิงทฤษฎีจำนวน

4. ขอบเขตของการวิจัย / การศึกษา ศึกษำเฉพำะจำนวนเต็มบวกเท่ำนั้น

5. วิธีดาเนินการวิจัย

5.1 กำหนดหัวข้อและขอบเขตที่จะศึกษำ 5.2 ศึ ก ษำเอกสำร ทฤษฎี หลั ก กำรเกี่ ยวกั บ เนื้อหำวิชำคณิตศำสตร์ เรื่องระบบจำนวนเต็มตัวหำรร่วม มำก ตัวคูณร่วมน้อย กำรหำรลงตัว กำรพิสูจน์เชิงทฤษฎี

Mathematics Poster Presentation in English

1. ความสาคัญและปัญหา

174 จำนวนเพื่อนำองค์ควำมรู้ที่ได้มำเป็นแนวทำงในกำรหำรูป b

ทั่วไปของจำนวนเต็มบวกที่อยู่ในรูป a√c =√a c

5.3 นำหลักกำรทฤษฎี ต่ำงๆ ที่ศึกษำในข้อที่ 2. มำใช้ในกำรพิสูจน์เพื่อหำรูปทั่วไปของจำนวนเต็มบวกที่ b

อยู่ในรูปa√ =√a

5.4 สรุปและอภิปรำย

6. สรุปผลการวิจัย / การศึกษา

จำกกำรพิสูจน์หำรูปทั่วไปของจำนวนเต็มที่อยู่ b

ในรูป a√c =√a c สรุปได้ว่ำb=a และ c=a2 -1

7. อภิปรายผลการวิจัย / การศึกษา จำกกำรหำรูปทั่วไปของจำนวนเต็มที่อยู่ในรูป b

a√c =√a c จนได้ควำมสัมพันธ์สุดท้ำยโดยใช้ควำมรู้ เรื่องกำรหำรลงตัวตัวหำรร่วมมำก ตัวคูณร่วมน้อย ทฤษฎีจำนวนและกำรพิสูจน์เชิงทฤษฎี จำนวนเบื้องต้นดำเนินกำรจนได้รูปแบบสำเร็จซึ่ง สำมำรถหำค่ำของตัวแปรแต่ละตัวออกมำได้อย่ำง แน่นอน

Mathematics Poster Presentation in English

8. ข้อเสนอแนะ / การศึกษา

8.1 เพิ่ ม วิ ธี ใ นกำรพิ สู จ น์ เ พื่ อ หำรู ป ทั่ ว ไปให้ มี ควำมแตกต่ำงจำกวิธีเดิม 8.2 หำกจะนำไปต่อยอดควรปรับแบบรูปของ สมกำร เช่น ใช้รำกที่สำมแทนรำกที่สอง หรือ อำจมีบำง จำนวนที่เป็นจำนวนเต็มลบ เพื่อควำมแปลกใหม่

9. เอกสารอ้างอิง

[1] กำรหำรลงตัว [เอกสำรประกอบกำรอบรม ค่ำย1สอวน. วิชำทฤษฎีจำนวน] [2] ตัวหำรร่วมมำก [เอกสำรเสริมควำมรู้ วิช ำ คณิตศำสตร์ เรื่องทฤษฎีจ ำนวน สถำบันส่ง เสริมกำร สอนวิทยำศำสตร์และเทคโนโลยี] [3] ตัวคูณร่วมน้อย [เอกสำรเสริมควำมรู้ วิช ำ คณิตศำสตร์ เรื่องทฤษฎีจ ำนวน สถำบันส่ง เสริมกำร สอนวิทยำศำสตร์และเทคโนโลยี] [4] http//th.wikipedia.org/wiki/จำนวนเต็ม

175 งานประชุมมนนำาเสนอผลงานวิ �เสนอผลงานวิชชาการโครงงานนั าการโครงงานนักกเรีเรียยนน งานประชุ กลุ่มโรงเรียนจุ ยาลัย (โรงเรี ยนวิยท(โรงเรี ยาศาสตร์ ิภาค) ภาคอี าน ครั ้งที่ ส1านประจำ�ปี 2560 กลุฬ่มาภรณราชวิ โรงเรียนจุฬทาภรณราชวิ ทยาลั ยนวิภทูมยาศาสตร์ ภูมิภสาค) ภาคอี Theครั1st้งทีPrincess Chulabhorn HighPCC School Science Symposium ่ 1 ประจาปี 2560 The Science 1st Annual Esan Isan Science Symposium 20172017

ชื่อบทความ ลำดับเกมกบโดดและกำรประยุกต์ใช้ในกำรขนส่ง ชื่อบทความ Sequence of Krobkradod game applied to transportation

ชื่อเจ้าของบทความ นำงสำวกันตินันท์ จันทิตย์1 นำงสำวจิรัชยำ ศรัทธำพันธ์1 ชื่อเจ้าของบทความ MissKantinan Chantit1 MissJirachaya Satthapun1 สาขาวิชา คณิตศำสตร์ สาขาวิชา Mathematics ชื่ออาจารย์ที่ปรึกษา นำงสำวพรปวีณ์ ตำลจรุง1* นำงสำวพรทิพำ เมืองโคตร1* ชื่ออาจารย์ที่ปรึกษา MissPonprawee Tanjrung1* MissPornthipa Meaungkot1* 1

นักเรียน โรงเรียนจุฬาภรณราชวิทยาลัย มุกดาหาร E-mail : gardty33@gmail.com ครูชานาญการ โรงเรียนจุฬาภรณราชวิทยาลัย มุกดาหาร E-mail : watpoojanpc@gmail.com

กำรศึกษำควำมสัมพันธ์ของลำดับในกำรเคลื่อนย้ำยกบกระโดด เพื่อศึกษำจำนวนครั้งในกำรกระโดดของกบกับ จำนวนตัวกบ ศึกษำควำมสัมพันธ์ของจำนวนครั้งในกำรกระโดดของกบกับจำนวนกบและจำนวนใบบัว ซึ่งควำมสัมพันธ์ ที่ได้จำกกำรทดลองมีดังนี้ 1. ศึกษำควำมสัมพันธ์จำนวนครั้งกำรกระโดดของกบกับจำนวนตัวกบ โดยแบ่งกบออกเป็นสองฝั่งและเพิ่ม จำนวนกบทั้งสองข้ำงซึ่งจำนวนกบทั้งสองข้ำงแตกต่ำงกันและจำนวนใบบัวต้องมำกกว่ำจำนวนกบที่เพิ่มขึ้น จำกกำรศึกษำ พบว่ำเกิดควำมสัมพันธ์ในกำรเคลื่อนย้ำยกบ คือ am = m2 + 2m + mn + n เมื่อ am แทน จำนวนครั้งที่กระโดด , m แทนจำนวนกบฝั่งซ้ำย และ n แทนจำนวนกบสองฝั่งที่ต่ำงกัน 2. ศึกษำควำมสัมพันธ์จำนวนครั้งกำรกระโดดของกบกับจำนวนกบและจำนวนใบบัว โดยกำรแบ่งกบออกเป็น สองฝั่งและเพิ่มจำนวนกบทั้งสองข้ำงซึ่งกบทั้งสองข้ำงต้องมี จำนวนเท่ำกันและเพิ่มจำนวนใบบัว จำกกำรศึกษำพบว่ำเกิด ควำมสัมพันธ์ในกำรเคลื่อนย้ำยกบ คือ ax = x2 + 2xy เมื่อ ax แทนจำนวนครั้งที่กบกระโดด , x แทน จำนวนใบบัวที่ ว่ำง และ y แทนจำนวนกบฝั่งขวำ นำผลกำรศึกษำที่ได้มำประยุกต์ใช้ในกำรขนส่ง ซึ่งในกำรทำโครงงำนนี้ผู้จัดทำได้นำกำรขนส่งมำใช้กับกำรวำง แผนกำรท่องเที่ยวโดยมีรูปแบบเช่นเดียวกับกำรกระโดดของกบ คาสาคัญ : ลำดับ เกมกบกระโดด กำรขนส่ง

Abstract

A study of the relations of sequence in a jumping of Kobkradod game for studying a number of the jumping of frogs with a number of frogs, and for studying relations of a number of the jumping of frogs with a number of frogs and a number of lotus leaves. The relations obtained from the experiment are as follow. Study the relations of a number of the jumping of frogs with a number of frogs by dividing a number of the frogs into two sides, and then add the frogs to each side by those two sides have a

Mathematics Poster Presentation in English

บทคัดย่อ

176 different number of frogs. Additionally, a number of lotus leaves must be greater than a number of frogs added into both sides. According to the study, it showed the relation of the jumping of the frogs as am = m2 + 2m + mn + n where am is a number of the jumping, m is a number of the frogs on the left side, and n is a different a number of the frogs for both sides. Study the relations of a number of the jumping of frogs with a number of the frogs and a number of the lotus leaves by dividing a number of the frogs into two sides, and then add the frogs to each side by those two sides have a same number of the frogs and increase a number of the lotus leaves. According to the study, it showed the relation of the jumping of the frogs as a x = x2 + 2xy where ax is a number of the jumping, x is a number of empty lotus leaves, and y is a number of the frogs on the right side. The results of the study have been applied for transportation. In this project, the organizer have brought the transportation to use with travel planning as the same pattern with the jumping of the frogs. Keyword : Sequence Krobkradod game Tranportation

Mathematics Poster Presentation in English

1. ความสาคัญและปัญหา

เกมมีทั้งเกมที่มีประโยชน์และไม่มีประโยชน์ เกมที่ มีป ระโยชน์จ ะได้ฝึ กกำรคิด ที่ดีค ณะผู้จั ดท ำ เห็นว่ำเกมกบกระโดดเป็นเกมที่ต้องใช้ควำมคิด จึง นำเกมกบกระโดดมำศึกษำ จำกกำรศึกษำเกมกบ กระโดดพบว่ำ วิธีกำรเดินที่ทำให้ชนะเกม ได้จำนวน ครั้งกำรกระโดดที่จำกัดและมีเพียงวิธีเดียวเนื่องจำก ในเกมกบกระโดดมีจำนวนกบข้ำงละ 3 ตัวมีใบบัวที่ เดิ น ได้ ทั้ ง หมด 7 ใบ แต่ ค ณ ะผู้ จั ด ท ำเล็ ง เห็ น ประโยชน์ ของเกมกบกระโดดและคิ ด ว่ ำเกมไม่ มี ควำมหลำกหลำยจึงได้กำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติม โดย ศึกษำกำรเปลี่ยนแปลงของจำนวนตัวกบและจำนวน ใบบัว ซึ่งได้ศึกษำ 2 กรณีคือ 1 ศึกษำควำมสัมพันธ์ จำนวนครั้งกำรกระโดดของกบกับจำนวนตัวกบ 2 ศึกษำควำมสัมพันธ์จำนวนครั้งกำรกระโดดของกบ จำนวนกบและจำนวนใบบัว พบว่ำ จำนวนกบและ จำนวนใบบัวมีผลกับจำนวนครั้งในกำรกระโดดของ กบแบบเป็ นล ำดับ จำกล ำดับที่ ได้จ ำกกำรศึ กษำ คณะผู้จัดทำได้นำมำประยุกต์ใช้กับกำรขนส่ง

2. วัตถุประสงค์ของการวิจัย / การศึกษา

1. เพื่ อ ศึ ก ษำควำมสั ม พั น ธ์ ข องจ ำนวนครั้ง ในกำร กระโดดของกบกับจำนวนตัวกบ

2. เพื่ อ ศึ ก ษำควำมสั ม พั น ธ์ ข องจ ำนวนครั้ ง ในกำร กระโดดของกบกับจำนวนกบและจำนวนใบบัว 3. สำมำรถนำไปประยุกต์ใช้กับกำรขนส่งได้

3. กรอบความคิดในการศึกษาโครงงาน

ศึกษำกำรเคลื่อนย้ำยของกบในเกมกบ กระโดดเพื่อหำควำมสัมพันธ์ทำงคณิตศำสตร์

4. ขอบเขตของการวิจัย / การศึกษา

ด้านเนื้อหา รูปแบบควำมสัมพันธ์ ลำดับและอนุกรม ด้านสถานที่ โรงเรียนจุฬำภรณรำชวิทยำลัย มุกดำหำร ด้านระยะเวลา พฤษภำคม 2559 – กุมภำพันธ์ 2560

5. ตัวแปรในการทดลอง

กำรทดลองที่ 1 ตัวแปรต้น :จำนวนกบฝั่งซ้ำย ตัวแปรตำม :จำนวนครั้งในกำรกระโดด ตัวแปรควบคุม:จำนวนกบทั้งหมดน้อยกว่ำ จำนวน ใบบัวอยู่ 1 :จำนวนกบฝั่งซ้ำยน้อยกว่ำกบฝั่งขวำ อยู่ n ตัว; n≥1 กำรทดลองที่ 2 ตัวแปรต้น : จำนวนกบ : จำนวนใบบัวที่ว่ำง

177

6. วิธีดาเนินการวิจัย

แบ่งกำรทดลองออกเป็น 2 ตอน ตอนที่ 1 ศึกษำควำมสัมพันธ์จำนวนครั้งกำร กระโดดของกบกับจำนวนตัวกบ แบ่งกบออกเป็นสองฝั่งโดยกำหนดจำนวนกบ ฝั่งซ้ำย 1 ตัว และเพิ่มจำนวนกบฝั่งซ้ำยทีละตัวจนถึง m ตัว ฝั่งขวำเพิ่มขึ้นตำมจ ำนวนกบฝั่ง ซ้ำย โดย กำหนด ผลต่ำงฝั่งซ้ำยและฝั่งขวำ เริ่มจำก 1 จำนวนและเพิ่มขึ้น ทีละ 1 จ ำนวน จนถึง n จำนวน ในกำรเพิ่มจำนวนกบ ในกำรศึกษำทุกครั้งจะมีจำนวนใบบัวมำกกว่ำจำนวนกบ ที่เพิ่มขึ้นอยู่ 1 จำนวน ทำกำรศึกษำ 3 กรณี โดยกรณีที่ 1 ให้ผลต่ำง ของจ ำนวนกบเป็ น 1 ตั ว กรณี ที่ 2 ให้ ผ ลต่ ำ งของ จำนวนกบเป็น 2 ตัว กรณีที่ 3 ให้ผลต่ำงของจำนวนกบ เป็น 3 ตัว ดังตำรำงที่ 1 จานวน กบฝั่ง ซ้าย 1 2 3 4

กรณีที่ 1 จำนวน จำนวน ใบบัว กบฝั่ง ที่ว่ำง ขวำ 1 2 1 3 1 4 1 5

จานวน กบฝั่ง ซ้าย 1 2 3 4

กรณีที่ 3 จำนวน จำนวน ใบบัว กบฝั่ง ที่ว่ำง ขวำ 1 4 1 5 1 6 1 7

จำนวน ครั้งที่ กระโดด

กรณีที่ 2 จำนวน กบฝั่ง ขวำ 3 4 5 6

จำนวน กบฝั่ง ซ้ำย 1 2 3 4

จำนวน ใบบัวที่ ว่ำง 1 1 1 1

จำนวน กบฝั่ง ซ้ำย 1 2 3 4

กรณีทั่วไป จำนวน จำนวน ใบบัวที่ กบฝั่ง ว่ำง ขวำ 1 n+1 1 n+2 1 n+3 1 n+4

จำนวนครั้ง ที่กระโดด

กรณีที่ 2 กำหนดจำนวนกบเป็น 2 ตัว และให้ จำนวนใบบัวที่ว่ำงเป็น 1, 2, 3,…,x ใบ กรณีที่ 3 กำหนดจำนวนกบเป็น 3 ตัว และให้ จำนวนใบบัวที่ว่ำงเป็น 1, 2, 3,…,x ใบ ดังตำรำงที่ 2 จานวน กบฝั่ง ซ้าย 1 1 1 1

กรณีที่ 1 จำนวน จำนวน ใบบัว กบฝั่ง ที่ว่ำง ขวำ 1 1 2 1 3 1 4 1

จานวน กบฝั่ง ซ้าย 3 3 3 3

กรณีที่ 3 จำนวน จำนวน ใบบัว กบฝั่ง ที่ว่ำง ขวำ 1 3 2 3 3 3 4 3

จำนวน ครั้งที่ กระโดด

จำนวน กบฝั่ง ซ้ำย 2 2 2 2

กรณีที่ 2 จำนวน จำนวน ใบบัว กบฝั่ง ที่ว่ำง ขวำ 1 2 2 2 3 2 4 2

จำนวน ครั้งที่ กระโดด

จำนวน กบฝั่ง ซ้ำย y y y y

กรณีทั่วไป จำนวน จำนวน ใบบัว กบฝั่ง ที่ว่ำง ขวำ 1 y 2 y 3 y 4 y

ตารางที่ 1 ศึกษำควำมสัมพันธ์จำนวนครั้งกำร กระโดดของกบกับจำนวนตัวกบ

ตอนที่ 2 ศึกษำควำมสัมพันธ์จำนวนครั้งกำร กระโดดของกบกับจำนวนตัวกบและจำนวนใบบัว แบ่งกบออกเป็นสองฝั่งโดยกำหนดจำนวนกบ ฝั่ง ซ้ำยและฝั่ งขวำเท่ ำกั น เริ่มศึ กษำจ ำนวนกบ 1 ตั ว และเพิ่มจำนวนกบทีละตัวจนถึง y ตัว กำหนดจำนวน ใบบัวที่ว่ำงระหว่ำงกบสองฝั่ง 1 ใบ และเพิ่มจำนวนขึ้น ทีละใบจนถึง x ใบ ทำกำรศึกษำ 3 กรณี กรณีที่ 1 กำหนดจำนวนกบเป็น 1 ตัว และให้ จำนวนใบบัวที่ว่ำงเป็น 1, 2, 3,…,x ใบ

จำนวน ครั้งที่ กระโดด

ตารางที่ 2 ศึ ก ษำควำมสั ม พั น ธ์ จ ำนวนครั้ ง กำร กระโดดของกบกับจำนวนตัวกบและจำนวนใบบัว

7. สรุปผลการวิจัย / การศึกษา

ผลการทดลอง ตอนที่ 1 ศึกษำควำมสัมพันธ์จำนวนครั้งกำร กระโดดของกบกับจำนวนตัวกบผลกำรศึกษำ ดังตำรำงที่ 3 กรณีที่ 1

จำนวนครั้ง ที่กระโดด

จำนวน ครั้งที่ กระโดด

กรณีที่ 2

จานวน กบฝั่ง ซ้าย 1 2 3 4

จำนวน ใบบัวที่ ว่ำง 1 1 1 1

จำนวน กบฝั่ง ขวำ 2 3 4 5

จำนวน ครั้งที่ กระโดด 5 11 19 29

จำนวน กบฝั่ง ซ้ำย 1 2 3 4

จำนวน ใบบัวที่ ว่ำง 1 1 1 1

จานวน กบฝั่ง ซ้าย 1 2 3 4

กรณีที่ 3 จำนวน จำนวน ใบบัวที่ กบฝั่ง ว่ำง ขวำ 1 4 1 5 1 6 1 7

จำนวน ครั้งที่ กระโดด 9 17 27 39

จำนวน กบฝั่ง ซ้ำย 1 2 3 4

กรณีทั่วไป จำนวน จำนวน ใบบัวที่ กบฝั่ง ว่ำง ขวำ 1 n+1 1 n+2 1 n+3 1 n+4

จำนวน กบฝั่ง ขวำ 3 4 5 6

ตารางที่ 3 ศึกษำควำมสัมพันธ์จำนวนครั้งกำร กระโดดของกบกับจำนวนตัวกบ

จำกผลกำรทดลองเกมกบกระโดด กรณีทั่วไป จำนวนกบทั้งสองฝั่งต่ำงกันอยู่ n ตัว ใบบัวว่ำงหนึ่งใบ จะได้จำนวนครั้งที่กระโดด ดังนี้ n2+3n+1, n2+4n+2 , n2+5n+3, n2+6n+4,…, am,… จำกผลที่ได้ หำผลต่ำงระหว่ำงสองพจน์ที่อยู่ ติดกันได้ดังนี้

จำนวนครั้ง ที่กระโดด 7 14 23 34

จำนวนครั้ง ที่กระโดด n2+3n+1 n2+4n+2 n2+5n+3 n2+6n+4

Mathematics Poster Presentation in English

ตัวแปรตำม : จำนวนครั้งในกำรกระโดด ตัวแปรควบคุม : จำนวนกบทั้งสองข้ำงเท่ำกัน : จำนวนกบทั้งหมดน้อยกว่ำจำนวน ใบบัว

178 n2+3n+1 n2+4n+2 n2+5n+3 n2+6n+4 ผลต่ำงครั้งที่ 1

n+1

จะเห็นว่ำผลต่ำงครั้งที่ 1 คงที่ และมีค่ำ เท่ำกับ n+1 ให้พจน์ทั่วไปของลำดับนี้อยู่ในรูป an=a1+(m-1)d แทน a 1และ d ในสมกำร ซึ่ง a1= n2+3n+1 d=n+1 จะได้สมกำร am = m2 + 2m + mn + n กำรศึกษำพบว่ำเกิดควำมสัมพันธ์ในกำร เคลื่อนย้ำยกบโดยเพิ่มจำนวนกบด้ำนซ้ำยจนถึง m ตัว และให้ผลต่ำงของจำนวนกบทั้งสองฝั่งเป็น n จำนวน จะได้พจน์ทั่วไป คือ am = m2 + 2m + mn + n ตอนที่ 2 ศึกษำควำมสัมพันธ์จำนวนครั้งกำร กระโดดของกบกับจำนวนตัวกบและจำนวนใบบัว ผลกำรศึกษำดังตำรำงที่ 4 กรณีที่ 1

จานวน กบฝั่ง ซ้าย 1 1 1 1

จำนวน ใบบัวที่ ว่ำง 1 2 3 4

กรณีที่ 2

จำนวน กบฝั่ง ขวำ 1 1 1 1

จำนวน ครั้งที่ กระโดด 3 5 7 9

จำนวน กบฝั่ง ซ้ำย 2 2 2 2

กรณีที่ 3 จานวน กบฝั่ง ซ้าย 3 3 3 3

จำนวน ใบบัวที่ ว่ำง 1 2 3 4

จำนวน กบฝั่ง ขวำ 2 2 2 2

จำนวน ครั้งที่ กระโดด 8 12 16 20

กรณีทั่วไป

จำนวน กบฝั่ง ขวำ 3 3 3 3

จำนวน ครั้งที่ กระโดด 15 21 27 33

จำนวน กบฝั่ง ซ้ำย y y y y

จำนวน ใบบัวที่ ว่ำง 1 2 3 4

จำนวน กบฝั่ง ขวำ y y y y

จำนวน ครั้งที่ กระโดด 2y+1 4y+4 6y+9 8y+14

Mathematics Poster Presentation in English

ตารางที่ 4 ศึกษำควำมสัมพันธ์จำนวนครั้งกำร กระโดดของกบกับจำนวนตัวกบและจำนวนใบบัว

จำกผลกำรทดลองเกมกบกระโดด กรณีที่ 4 จ ำนวนกบฝั่ ง ละ y ตั ว ใบบั ว ว่ ำ ง x ใบ ; x≥1 จะได้ จำนวนครั้งที่กระโดด ดังนี้ 2y+1,4y+4, 6y+9, 8y+14 ,…,ay,… จำกผลที่ได้ หำผลต่ำงระหว่ำงสองพจน์ที่อยู่ ติดกันได้ดังนี้ 2y+1 4y+4 6y+9 8y+14 ผลต่ำงครั้งที่ 1 ผลต่ำงครั้งที่ 2

2y+3 2y+5 2y+7 2

จะเห็ น ว่ ำ ผลต่ ำ งครั้ง ที่ ส องคงที่ และมี ค่ ำ เท่ำกับ 2 ให้พจน์ทั่วไปของลำดับนี้อยู่ในรูป an = a2+bn+c แทน x ในพจน์ทั่วไปด้วย 1,2,3 และ 4 จะได้ a1=2y+1 = a+b+c ……….(1) a2=4y+4 = 4a+2b+c ……….(2) a3=6y+9 = 9a+3b+c ……….(3) a4=8y+14= 16a+4b+c……….(4) แก้ระบบสมกำรเชิงเส้นเพื่อหำ a,b และ c ได้ดังนี้ (2)- (1) 2y+3 =3a+b ……………(5) (3)- (2) 2y+5 =5a+b ……………(6) (6)- (5) 2 =2a หรือ a=1 แทน a=1 ใน (5) จะได้ b=2y แทน a=1 และ b=2y ใน (1) จะได้ c= 0 แทน a, b และ c จะได้ ax = x2 + 2xy โดยที่ y แทนจำนวนกบฝั่งซ้ำย x แทนจำนวน ใบบัวที่ว่ำง กำรศึ ก ษำพบว่ ำ เกิ ด ควำมสั ม พั น ธ์ ใ นกำร เคลื่อนย้ำยกบโดยเพิ่มจำนวนกบ y ตัว และจำนวนใบ บัวว่ำง x ใบ จะได้พจน์ทั่วไป คือ ax = x2 + 2xy นำรูปแบบในตอนที่ 1 มำออกแบบกำรขนส่ง ในกำรเดินทำงของทัวร์ โดยใช้ค วำมสัมพันธ์ am = m2 + 2m + mn + n ให้ m แทน จ ำนวนกลุ่ ม ลู ก ทั ว ร์ ที่ น้อย n แทน ผลต่ำงกลุ่มลูกทัวร์ของสองบริษัท

8. อภิปรายผล / การศึกษา

กำรศึกษำเรื่องลำดับเกมกบโดดและกำรประยุกต์ใช้ ในกำรขนส่ง จำกศึกษำกำรเคลื่อนย้ำยของกบในเกมกบ กระโดดหำควำมสั ม พั น ธ์ ท ำงคณิ ตศำสตร์ ไ ด้ ผ ล กำรศึกษำ ดังนี้ 1. ศึกษำควำมสัมพันธ์จ ำนวนครั้ง กำรกระโดด ขอ งก บ กั บ จ ำน วน ตั วก บ ก ำร ศึ ก ษ ำพ บ ว่ ำ เกิ ด ควำมสัมพันธ์ในกำรเคลื่อนย้ำยกบโดยเพิ่มจำนวนกบ ด้ำนซ้ำยจนถึง m ตัว และให้ผ ลต่ำงของจำนวนกบทั้ง สองฝั่งเป็น n จำนวน จะได้พจน์ทั่วไป คือ am = m2 + 2m + mn + n 2. ศึกษำควำมสัมพั นธ์จ ำนวนครั้ง กำรกระโดด ของกบกั บจ ำนวนกบและจ ำนวนใบบั วผลกำรศึ ก ษำ พบว่ำเกิดควำมสัมพั นธ์ในกำรเคลื่อนย้ำยกบโดยเพิ่ ม

179 จำนวนกบ y ตัว และจำนวนใบบัวว่ำง x ใบ จะได้พจน์ ทั่วไป คือ ax = x2 + 2xy 3. กำรออกแบบกำรขนส่ ง ในกำรเดิน ทำงของ ทัวร์ให้เหมำะสมกับ กำรเดินทำงมีหลำยรูป แบบ จำก ควำมสั ม พั น ธ์ ที่ ได้จ ำกศึ ก ษำสำมำรถน ำมำใช้ ในกำร เดิ น ทำงและใช้ ในกำรค ำนวณค่ ำ จ่ ำ ยได้ ง่ ำ ยขึ้ น โดย นำเอำแนวคิดจำกกำรเล่นเกมกบกระโดดมำสรุปจำนวน ครั้งในกำรเดินทำงได้

9. ข้อเสนอแนะ / การศึกษา

1.ควรศึ ก ษำกำรเดิ น เส้ น ทำงที่ ส ำมำรถเดิ น ได้ มำกกว่ำ 2 ทำง 2.ควรนำไปประยุกต์ใช้กับกำรขนส่งในรูปแบบอื่นๆ เพิ่มเติม

10. เอกสารอ้างอิง

Mathematics Poster Presentation in English

วิภำวรรณ พันธุ์สังข์./ “การพัฒนาระบบวางแผนการ ขนส่งเพื่อลดการเดินรถบรรทุกเที่ยวเปล่า.” / มหำวิทยำลัยเทคโนโลยีสุรนำรี ,2554 (สืบค้นวันที่ 20/05/2560) (พ.ศ. 2554) ลาดับคณิต (ออนไลน์):http://kluangun. blogspot.com/2014/11/blogpost_87.html (สืบค้นวันที่ 14/09/2559) (พ.ศ. 2551) ลาดับและอนุกรม (ออนไลน์) : http://www.diaryclub.com/blog/ match/20080113 (สืบค้นวันท19/09/2559) เกมกบกระโดด(ออนไลน์):http://game.siamha.com /name/frog-jump (สืบค้นวันที่ 09/08/2559)

180 งานประชุมนำน�าเสนอผลงานวิ เสนอผลงานวิชาการโครงงานนักกเรีเรียน กลุ่มโรงเรียนจุกลุฬ่มาภรณราชวิ ยาลัย (โรงเรี ยนวิยท(โรงเรี ยาศาสตร์ ิภาค) ภาคอี ้งที่ 1สาน ประจำ�ปี 2560 โรงเรียนจุฬทาภรณราชวิ ทยาลั ยนวิภทูมยาศาสตร์ ภูมสิภาน าค)ครัภาคอี The ครั 1st้งทีPrincess Chulabhorn HighPCC School Science Symposium ่ 1 ประจาปี 2560 TheScience 1st Annual EsanIsan Science Symposium 20172017

ชื่อบทความ ดาวห้าแฉกแสนสนุก ชื่อบทความ The Star miracle of Pentagon

ชื่อเจ้าของบทความ นายเจษฐาพล พลงาม1 นายวสุนันท์ จันทวงศ์1 นายอชิตะ หิรัญวงศ์1 ชื่อเจ้าของบทความ Mr.Jessathapol Polngam1 Mr.Wasunan Jantawong1 Mr.Achita Hirunwong1 สาขาวิชา คณิตศาสตร์ สาขาวิชา Mathematics ชื่ออาจารย์ที่ปรึกษา นางสาวชัชฎาภรณ์ ประจันพล1* นางอมรรัตน์ นิธุรัมย์1* ชื่ออาจารย์ที่ปรึกษา Chatchadaporn Prachanpol1* Amornrat Nituram1* 1

นักเรียน โรงเรียนจุฬาภรณราชวิทยาลัย บุรีรัมย์ aem.jg.43@gmail.com

บทคัดย่อ

โครงงานเรื่อง ดาวห้าแฉกแสนสนุก มีจุดประสงค์เพื่อที่จะหาพจน์ทั่วไป (a𝑛𝑛 ) ของพื้นที่รูปดาวห้าแฉกที่ซ้อนทับ กันเรื่อยๆ n ชั้น โดยเขียนในรูปของพจน์ทั่วไปเพื่อให้สามารถหาพื้นที่ของดาวห้าแฉกได้ง่ายขึ้น โดยทางคณะผู้จัดทาได้ใช้ กระบวนการทางคณิตศาสตร์ผนวกเข้ากับความรู้ทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ มุม ตรีโกณมิติ พื้นที่ของรูปเรขาคณิต รวมไปถึงลาดับ เลขคณิตด้วย ซึ่งทั้งหมดนี้ทาให้ทางคณะผู้จัดทาสามารถหาพจน์ทั่วไปได้ เริ่มจากการกาหนดรูปดาวขึ้นมาแล้วสมมติให้ด้านแต่ ละด้านของห้าเหลี่ยมที่อยู่เป็นจุดศูนย์กลางของดาวมีค่าเท่ากับ x แล้วใช้ตรีโกณมิติเพื่อหามุม รวมถึงหาพื้นพื้นที่แฉกของดาว ด้วย ทาเช่นนี้ไปเรื่อยๆ กับดาวทุกชั้นซ้อนกันประมาณ 3 ชั้น จากนั้นวิเคราะห์หาค่าผลต่างร่วม (𝑑𝑑 ) ผลคูณร่วม (𝑟𝑟) เพื่อ พิจารณาลาดับเรขาคณิต เพื่อหาค่าพจน์ทั่วไป จากความสัมพันธ์ลาดับเรขาคณิตสูตร a𝑛𝑛 = a1 𝑟𝑟 𝑛𝑛−1 1 𝑛𝑛−1 ) 6.85

Mathematics Poster Presentation in English

= 5.567104421𝑥𝑥 2 (

1 𝑛𝑛−1 ) ≈ 5.58𝑥𝑥 2 ( 6.85

เมื่อ 𝑥𝑥 แทนด้วย ความยาวด้านของรูปห้าเหลี่ยมในดาวรูปแรกและฐานของแฉกของดาวรูปแรก ดังนั้นเราจึงได้เป็น สูตรสาเร็จดังนี้ 1 𝑛𝑛−1 สูตรในการหาพื้นที่ของรูปดาว n รูป = 5.58𝑥𝑥 2 ( ) 6.85

181 Abstract

“The star miracle” project has a purpose to find the general form of star-shape area, which superimposing n series. We use mathematic process and mathematic knowledge; e.g. trigonometry, angle theory, areas of geometry, arithmetic sequence or geometric sequence, and another theorem. Starting from decides the star shape, by drawing from point to point. A Pentagon will occur when we have finished drawing, and assume each side of pentagon is 𝑥𝑥. Then, use trigonometry to find the angle and area of a star shape via relationship between pentagon. Repeating this method approximately 3 times for find common difference (d) or common ratio (r) for leading to find out the general form geometric sequence a𝑛𝑛 = a1 𝑟𝑟 𝑛𝑛−1 1 𝑛𝑛−1 = 5.567104421𝑥𝑥 2 ( ) 6.85 1 𝑛𝑛−1 ) ≈ 5.58𝑥𝑥 2 ( 6.85 Then we use 𝑥𝑥 as the length of the first image of a Pentagon in stars and the base of the lobes of star first. Therefore, we have a formula as follows. 1

The formula for finding the area of a star n images = 5.58𝑥𝑥 2 (6.85)𝑛𝑛−1

ในปัจจุบันมีการนาสูตรทางคณิตศาสตร์มาใช้ อย่างหลากหลาย ไม่ว่าจะเป็นสูตรของตรีโกณมิติ สูตร ภาคตัดกรวยและสูตรต่างๆอีกมากมาย ซึ่งทางคณะ ผู้จัดทาได้มีความสนใจในการหาความสัมพันธ์ของพื้นที่ ในรูปดาวที่ซ้อนกันหลายๆรูปเพื่อนามาหาความสัมพันธ์ ในการหาพื้นที่ของรูปดาวรูปที่ซ้อนกัน n รูป ศึกษาหาความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ของรูปห้า เหลี่ยมด้านเท่า (Pentagon) และรูปดาวห้าแฉก (star) เมื่อเราวาดรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าขึ้นมาแล้วนามาวาดรูป ดาวโดยวาดจากมุมไปเรื่อยๆ จะได้รูปห้าเหลี่ยมซึ่งมี ด้านทุกด้านเท่ากันเกิดขึ้นอันเนื่องมาจากผลของการ เกิดจากการลากเส้นนั่นเอง โดยทางคณะผู้จัดทามีจุดประสงค์ที่จะศึกษา พื้นที่รูปดาวที่ซ้อนลงในห้าเหลี่ยมด้านเท่าของมันเอง n รูปโดยจะมีการนาความรู้ทางคณิตศาสตร์แขนงอื่นๆมา ปรับใช้ด้วยกัน ได้แก่ ลาดับและอนุกรม มุม กฎของ ไซน์และอื่นๆ ใช้โปรแกรม GSP เพื่อความถูกต้องของ ผลการทดลองอีกด้วย

โดยทางคณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างสูงว่า โครงงานฉบับนี้จะนาเสนอความรู้ความเข้าใจในเรื่อง ของคณิตศาสตร์ผ่านการนาเสนอในรูปแบบของ เรขาคณิตซึ่งซ้อนกันอยู่ได้อย่างมีประสิทธิภาพ

2. วัตถุประสงค์ของการศึกษา

เพื่อหาสูตรสาเร็จในการหาพจน์ดาวพจน์ที่ a𝑛𝑛

3. แนวคิดและทฤษฎี

1. พื้นที่ของรูปเรขาคณิต 2. ลาดับเรขาคณิตศาสตร์ 3. ตรีโกณมิติ

4. ขอบเขตของการศึกษา

1. ในการศึกษาผูจ้ ัดทา ทาการทดลองโดยใช้ พื้นที่รูปดาวห้าแฉกด้านเท่า มุมเท่าเท่านั้น 2. รูปดาวที่ซ้อนกันในรูปห้าเหลี่ยมต้องเป็น ด้านเท่า มุมเท่าเท่านั้น และแต่ละจุดยอดของดาวห้า แฉกต้องอยู่ในมุมของห้าเหลี่ยมนั้นด้วย

Mathematics Poster Presentation in English

1. ที่มาและความสาคัญ

182 5. วิธีการดาเนินงาน

5.1 ขั้นตอนการดาเนินงาน 5.1.1 การหาพื้นที่ของดาวชั้นที่ 1

กาหนดให้ด้านแต่ละด้านของห้าเหลี่ยมด้านเท่าภายใน ดาวเป็น 𝑥𝑥 หาพื้นที่ของ รูปห้าเหลี่ยมใหญ่ จากสูตรหา พื้นที่ห้าเหลี่ยมด้านเท่า = 1.72 ∙ 𝑥𝑥 2 มุมที่อยู่แฉกดาวของรูปสามเหลี่ยมใหญ่คือ 180° − 144° = 36° หาความยาวของด้าน a และ b จาก 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 = = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆

จากรูปแฉกของดาวชั้นที่ 1 แบ่งครึง่ ด้านของห้าเหลี่ยม เพื่อจะหาค่าของ a,b โดยใช้หลักไซน์ 𝑥𝑥 𝑎𝑎 𝑏𝑏 2 = = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆18° 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆90° 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆18°

Mathematics Poster Presentation in English

ดังนั้นจะได้ค่าว่า

𝑥𝑥 ) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠90° 𝑎𝑎 = ( 2𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆18°

𝑥𝑥 ) 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆72° 𝑏𝑏 = ( 2𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆18° จะสามารถหาพื้นที่ของแฉกดาวชั้นที่ 1 ได้ดังนี้ 𝑥𝑥 1 ) (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠72°)(𝑥𝑥) = ( 2 2𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆18°

1 (𝑏𝑏 )(𝑥𝑥) 2

จะได้พื้นที่ดาวรูปขนาดใหญ่ = พื้นที่รูปห้าเหลี่ยมใหญ่ + พื้นที่รูปสามเหลี่ยมใหญ่ 5 รูป = 1.72(𝑥𝑥 2 ) 𝑥𝑥 1 )(𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆72°)(𝑥𝑥) + 5( )( 2 2𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆18°

∴ ดังนั้นพื้นที่รูปดาวชั้นที่ 2 = 1.72(𝑥𝑥 2 ) 1 𝑥𝑥 ) (𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆72°)(𝑥𝑥) + 5( )( 2 2𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆18° = 5.567104421𝑥𝑥 2 5.1.2 การหาพื้นที่ของดาวชั้นที่ 2

หาพื้นที่ของดาวชั้นที่ 2 จากการนา พื้นที่ห้าเหลี่ยมของดาวชั้นที่1 – พื้นที่ สามเหลี่ยมที่อยู่นอกดาวชั้นที่ จานวน 5 รูป มุมที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมคือ 180° − 126° = 54°

หาความยาวของด้าน C และ D 𝑥𝑥 𝐶𝐶 𝐷𝐷 2 = = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆54° 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆90° 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆36°

ดังนั้นจะได้ค่า

183

จะสามารถหาพื้นที่สามเหลี่ยมนอกดาวชั้นที่ 2 1 𝑥𝑥 ) (𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆36°) = (𝑥𝑥) ( 2 2𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆54°

จะได้พื้นที่ของดาวชั้นที่ 2 พื้นที่ = พื้นที่รูปห้าเหลี่ยมใหญ่ – พื้นที่รูป สามเหลี่ยมนอกดาวกลาง 5 รูป

= 1.72(𝑥𝑥 2 ) 1 𝑥𝑥 − 5( )(𝑥𝑥)( )(𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆36°) 2 2𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆54°

∴ ดังนั้นพื้นที่ดาวชั้นที่ 2 = 1.72(𝑥𝑥 2 ) 𝑥𝑥 1 )(𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆36°) − 5( )(𝑥𝑥)( 2𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆54° 2 5.1.3 การหาพื้นที่ของดาวชั้นที่ 3

ให้ความยาวแต่ละด้านของห้าเหลี่ยมของดาวชั้นที่ 2 เท่ากับ E หาพื้นที่ของดาวชั้นที่ 3 จากการนา 𝐸𝐸 = 𝑎𝑎 − 2𝑐𝑐 (จาการหาค่าของดาว ชั้นที่ 2)

𝑥𝑥 ) (𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆90°) =( 2𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆18° 1 𝑥𝑥 ) − 2 ( ) (𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆90°) ( 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆54° 2 𝐸𝐸 𝐹𝐹 = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆36° 2𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆54° 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸36° 𝐹𝐹 = 2𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆54°

พื้นที่รูปดาวชั้นที่ 3 = พื้นที่ห้าเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวเท่ากับ 𝐸𝐸 − พื้นที่สามเหลี่ยมจานวน 5 รูปที่อยู่นอกดาวเล็ก ∴ ดังนั้น พื้นที่รูปดาวชั้นที่ 3

1 = 1.72(𝐸𝐸 2 ) − 5 ( ) (𝐹𝐹 )(𝐸𝐸 ) 2 2 = 0.11844321𝑥𝑥

6. สรุปผลการศึกษา

ศึกษาพื้นที่ของรูปดาวทั้งสามขนาด คือดาว ขนาดใหญ่ ดาวขนาดกลางและดาวขนาดเล็ก โดยใช้ ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์และการคิด วิเคราะห์ดังนั้นจะได้ พื้นที่ของดาวชั้นที่ 1 = 5.567104421𝑋𝑋 2 พื้นที่ของดาวชั้นที่ 2 = 0.81182184𝑋𝑋 2 พื้นที่ของดาวชั้นที่ 3 = 0.11844321𝑋𝑋 2

จากความสัมพันธ์แบบอนุกรมเรขาจะพบว่า เมื่อนาพื้นที่ของรูปดาวชั้นที่ 1/พื้นที่ของรูปดาวชั้นที่ 2 5.567104421X 2 = 0.81182184X 2

Mathematics Poster Presentation in English

1 𝑥𝑥 ) 𝐶𝐶 = ( ) (𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆90°) ( 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆54° 2 𝑥𝑥 2 ) 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆36° 𝐷𝐷 = ( 2𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆54°

184 = 6.857544533

≈ 6.85 เมื่อนา พื้นที่ของรูปดาวชั้นที่ 2/พื้นที่ของรูปดาวชั้นที่ 3 0.81182184x 2 = 0.11844321x 2 = 6.854101978 ≈ 6.85

Mathematics Poster Presentation in English

จากความสัมพันธ์เราพบว่าถ้าเราให้ พื้นที่ของดาวใหญ่เป็น = a1 พื้นที่ดาวกลางเป็น a2 = a1 r พื้นที่ดาวเล็กเป็น a3 = a1 r 2 ทาให้เราทราบว่าเมื่อ นาพื้นที่ของดาวขนาดกลาง x ค่าของ 6.85 = ค่าพื้นที่ของดาวใหญ่ นาพื้นที่ของดาวขนาดเล็ก x ค่าของ 6.852 = ค่าพื้นที่ของดาวใหญ่

∴ พบว่าค่าความสัมพันธ์ของลาดับเรขาคือค่า r = 6.85 การหาพื้นที่ของรูปดาวห้าแฉกโดยใช้ทักษะ กระบวนการทางคณิตศาสตร์และใช้โปรแกรม The Geometer's Sketchpad (GSP) ในการสารวจและ ช่วยคานวณหาความสัมพันธ์ได้อนุกรมเรขาจาก ความสัมพันธ์คือค่า r = 6.85

7. อภิปรายการศึกษา

ทางคณะผู้จัดทาได้ทาการศึกษาโครงงาน คณิตศาสตร์ในเรื่องดาวห้าแฉกแสนสนุก มีความสนใจ ในปัญหาการหาพื้นที่ของรูปดาวที่ซ้อนกันหลายรูปเพื่อ

หาความสัมพันธ์ ซึ่งทางคณะผู้จัดทาได้ใช้แนวคิดในการ หาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรการหาพื้นที่ ความรู้ทางตรีโกณมิติ ความรู้ทางอนุกรมเรขาคณิตเข้า มาเป็นเครื่องมือช่วยในการช่วยคานวณเพื่อช่วย เชื่อมโยงพื้นที่ที่หาได้โดยมีอุปกรณ์ทางเทคโนโลยีคือ เครื่องมือช่วยคานวณทางคณิตศาสตร์ The Geometer's Sketchpad (GSP) ช่วยในการหาพื้นที่ และโปรแกรมนี้ยังช่วยวาดรูปดาว ช่วยสารวจจึงทาให้ มองเห็นความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นและเห็นเป็นรูปธรรม เด่นชัดขึ้นและยังคงสามารถช่วยออกแบบคานวณหา พื้นที่ดาวเมื่อมีขนาดต่างกันโดยได้อาศัยความรู้ในเรื่อง ของลาดับเรขาคณิตเข้ามาประยุกต์ใช้เพื่อหา ความสัมพันธ์เป็นอนุกรมเรขา ทาให้ง่ายต่อการคานวณ และศึกษา มีความสะดวกรวดเร็วในการนาไปใช้และ เป็นพื้นฐานในการศึกษาระดับสูง

8. ข้อเสนอแนะการศึกษา

1. ควรมีการอธิบายทฤษฎีต่างๆที่ยกมาโดยให้มีการคง รูปแบบของทฤษฎีเดิมและมีการอธิบายเพิ่มเพื่อให้ง่าย ต่อผู้ที่สนใจอยากจะศึกษาต่อและนาไปอ้างอิง 2. ควรมีการอธิบายถึงตัวแปรจากรูปภาพ หรือจากสูตร สมการที่เรายกมาเพื่อทาการศึกษาและใช้ในการช่วย คานวณหาพื้นที่และความสัมพันธ์ 3. ควรศึกษาและฝึกใช้งานอุปกรณ์ในการช่วยคานวณ ทางคณิตศาสตร์ The Geometer's Sketchpad (GSP) เพื่อที่จะได้เกิดความง่ายและสะดวกในการใช้ งานมากยิ่งขึ้น

9. เอกสารอ้างอิง Ron Larson (2010). “ Calculus” Edwards Y. Prabhaker Reddy (2007).“Mathematic-l Sequences and Series”I Year B. Tech. Peter Brown (2013). “Algebra and coordinate geometry”Education Services Australia