บทที่ 1 การสร้างตัวแบบการเปลี่ยนแปลง (Modeling Change) บทนา เพื่อช่วยให้เราเข้าใจโลกของเรายิง่ ขึน้ บ่อยครัง้ มีการอธิบายบางปรากฏการณ์ในรูปคณิตศาสตร์ เช่น แทนการอธิบายปรากฏการณ์ดงั กล่าวนัน้ ด้วยกราฟ สมการ ความสัมพันธ์ และฟั งก์ชนั เป็ นต้น สิง่ ต่างๆเหล่านี้ คือ ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ ซึ่งจะเห็นว่าตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์หนึ่งนัน้ เป็ นการแทนหนึ่ง รูปแบบเชิงอุดมคติของปรากฏการณ์จริงด้วยรูปแบบคณิตศาสตร์หนึ่ง และข้อเท็จจริงก็คอื ไม่สามารถใช้ตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์แทนปรากฏการณ์จริงได้สมบรูณ์ อย่างไรก็ตาม ถึงแม้ตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ท่ี พัฒนาขึน้ จะมีขอ้ จากัด แต่ตวั แบบเชิงคณิตศาสตร์ทด่ี ี สามารถให้ผลลัพธ์และข้อสรุปทีม่ ปี ระโยชน์มาก
ตัวแบบเชิ งคณิ ตศาสตร์ (Mathematical Models) การสร้างแบบจาลองเพื่ออธิบายปรากฏการณ์จริง สิง่ ทีน่ ่ าสนใจประการหนึ่งคือ การทานายค่าที่ ต้องการทราบ สาหรับบางค่าเวลา เช่น จานวนประชากรในอนาคตทีม่ ผี ลต่อค่าอสังหาริมทรัพย์ หรือจานวน ผูต้ ดิ เชือ้ ในภาวะทีม่ โี รคระบาดว่ามีแนวโน้มจานวนเป็ นเท่าใด ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ช่วยให้เราเข้าใจ รูปแบบพฤติกรรมของปรากฏการณ์ดขี น้ึ ทาให้สามารถวางแผนรับมือกับสิง่ ทีจ่ ะเกิดขึน้ ในอนาคต ตัวแบบ เชิงคณิตศาสตร์ทาให้ทราบข้อสรุปเชิงคณิตศาสตร์เกีย่ วกับรูปแบบพฤติกรรมของปรากฏการณ์ทก่ี าลังศึกษา สามารถแปลผลจากข้อสรุปเชิงคณิตศาสตร์ แล้วตีความเพื่อทานายหรืออธิบายปรากฏการณ์ทก่ี าลังศึกษา นาไปสูก่ ารตัดสินใจวางแผนสาหรับอนาคต ซึ่งสามารถสรุปเป็ นแผนผังได้ดงั รูปที่ 1.1
รูปที่ 1.1 แผนผังกระบวนการสร้างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ ซึ่งเริม่ ต้นด้วยการพิจารณาสถานการณ์หรือปรากฏการณ์
การลดความซับซ้อน (Simplification) ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์สว่ นใหญ่สร้างขึน้ ภายใต้การลดเงื่อนไขต่างๆทีซ่ บั ซ้อนของความเป็ นจริง ดังนัน้ จึงสามารถอธิบายพฤติกรรมของปรากฏการณ์ได้โดยประมารเท่านัน้ ตัวอย่างตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ อย่างง่ายทีอ่ ธิบายปรากฏการณ์ได้ด ี เช่น การอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปรด้วยสัดส่วน บทนิ ยาม ตัวแปรสองตัว เป็ น สัดส่วนซึ่งกันและกัน ต่อเมื่อ สามารถเขียนตัวแปรหนึ่งในรูปค่าคงทีค่ ูณ ด้วยตัว แปรอีกตัวหนึ่ง นัน่ คือ y kx , k R, k 0
ซึ่งเราอาจมองในรูปความสัมพันธ์
y x
ตัวอย่างที ่ 1 การทดสอบเกีย่ วกับสัดส่วน (Testing for Proportionality) พิจารณาระบบสปริงมวล (Spring-mass system) ดังรูปที่ 1.2 เราสร้างการทดลองเพื่อวัดการยืด ของสปริงในรูปฟั งก์ชนั ของมวลวัตถุทแ่ี ขวนกับสปริงซึ่งวัดเป็ นค่าออกมาเป็ นหน่ วยน้ าหนัก ข้อมูลทีเ่ ก็บได้ จากการทดลองตามตารางที่ 1.1 กราฟการกระจายข้อมูลของการยืด (elongation) ของสปริงกับมวลของ วัตถุ (mass) ทีใ่ ช้แขวนสามารถประมาณได้ด้วยเส้นตรงผ่านจุดกาเนิดดังรูปที่ 1.3 มวล (g) 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550
การยืด (cm) 1.000 1.875 2.750 3.250 4.375 4.875 5.675 6.500 7.250 8.000 8.750
รูปที่ 1.2 ระบบสปริงมวล
รูปที่ 1.3 ข้อมูลจากระบบสปริงมวล ข้อมูลทีเ่ ห็นเป็ นไปตามหลักการของสัดส่วนซึ่งจะได้วา่ การยืด ( e ) เป็ นสัดส่วนกับ มวล ( m ) เขียน ได้เป็ น e m เส้นตรงทีเ่ กิดขึน้ ผ่านจุดกาเนิด ซึ่งด้วยความเข้าใจเชิงเรขาคณิต ทาให้เรามองดูขอ้ มูลว่ามี ลักษณะสมเหตุสมผลตามสมมติฐานการเป็ นสัดส่วนหรือไม่ ถ้าเป็ นเราจะประมาณค่าความชัน k ซึ่งในกรณี นี้ สมมติฐานสมเหตุสมผล ประมาณค่าคงทีข่ องสัดส่วนโดยใช้จุด 200,3.25 และ 300, 4.875 ซึ่งเป็ นจุด ของค่าสังเกตทีอ่ ยูบ่ นเส้นตรงทีส่ ร้างขึน้ ดังรูปที่ 1.4 เราคานวณค่าความชันของเส้นตรงทีเ่ ชื่อมต่อจุดทัง้ สอง ได้คอื
ความชัน
4.875 3.25 0.01625 300 200
นัน่ คือค่าคงทีข่ องสัดส่วนประมาณคือค่าประมาณใกล้เคียง 0.0163 และเราประมาณตัวแบบเป็ น e 0.0163m
แล้วเราตรวจสอบว่าตัวแบบของเรากับค่าสังเกตใกล้กนั หรือไม่โดยการสร้างกราฟตามสมการของตัว แบบรวมกับกราฟการกระจ่ายของค่าข้อมูลดังรูปที่ 1.4 กราฟทาให้เห็นว่าตัวแบบสัดส่วนทีไ่ ม่ซบั ซ้อนนี้ สมเหตุสมผล
รูปที่ 1.4 ข้อมูลจากระบบสปริงมวลกับเส้นตรงของสัดส่วน
ตัวแบบการเปลี่ยนแปลง (Modeling Change) กระบวนทัศน์ทท่ี รงประสิทธิภาพทีใ่ ช้ในการสร้างตัวแบบการเปลีย่ นแปลง คือ เราจะพิจารณาค่าของ สิง่ ต่างๆ ทีเ่ กิดในแต่ละช่วงเวลาว่า ค่าอนาคต (future value) = ค่าปั จจุบนั (present value) + การเปลีย่ นแปลง ( change) การทีจ่ ะสร้างตัวแบบการเปลีย่ นแปลงได้นนั ้ จะต้องมีการสังเกตข้อมูลการเปลี่ยนแปลงอย่างละเอียดซึ่งจาก กระบวนทัศน์ดงั กล่าวนี้ เราจะอาศัยการสังเกตค่าการเปลีย่ นแปลงในรูป การเปลีย่ นแปลง (change) = ค่าอนาคต (future value) – ค่าปั จจุบนั (present value)
การสังเกตค่าการเปลีย่ นแปลงนี้ ต้องมีการเก็บข้อมูลมาเป็ นระยะเวลาพอสมควร แล้วทากราฟข้อมูลเพื่อ วิเคราะห์ผลของค่าการเปลีย่ นแปลงทีไ่ ด้ แล้วสร้างเป็ นตัวแบบ ซึ่งสามารถแบ่งตัวแบบการเปลีย่ นแปลง ออกเป็ น 2 รูปแบบ ถ้ารูปแบบของปรากฏการณ์ทศ่ี กึ ษาอยู่มลี กั ษณะเป็ นช่วงเวลาแบบไม่ต่อเนื อ่ ง (Discrete time periods) ตัวแบบทีส่ ร้างสาหรับปรากฏการณ์กรณีน้จี ะอยูใ่ นรูป สมการเชิ งผลต่าง (Difference equations) แต่ถา้ หากรูปแบบของปรากฏการณ์ทก่ี าลังศึกษาอยูม่ ลี กั ษณะเป็ นช่วงเวลา แบบต่อเนื อ่ ง (Continuous time periods) ตัวแบบทีส่ ร้างสาหรับกรณีน้จี ะอยู่ในรูป สมการเชิ งอนุพนั ธ์ (Difference equations) ซึง่ ทัง้ สมการเชิงผลต่างและสมการเชิงอนุ พนั ธ์ต่างถือค่าเป็ นตัวแบบทีม่ ี ประสิทธิภาพค่อนข้างสูงในการทานาย