Bareme si solutii culegere evaluare nationala la matematica 2015 (1) 301 623 by ion purdel

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

SUBIECTUL III 1.

a) În ∆ BAD BD2=AB2+AD2; BD=6 2 În ∆MAB, MB2= AB2+AM2,

puncte) 5p

MB=6 2 = MD deci ∆MBD echilareral

c) Unghiul dintre MC şi (ABC) este egal cu unghiul dintre MC şi AC; MA 6 3 sin ( ∠ MCA)= = = MC 6 3 3

a)Fie DE ⊥ BC, E ∈ BC; ∆ DEC dreptunghic în E şi m( ∠ CDE)=300 ⇒ DC (teor. unghiului de 300) EC= ; DE2=DC2-EC2; DE=4 3 cm rezultă 2 PABCD=4(9+ 3 )cm

b)AABCD=

(12 + 16)4 3 ; AABCD=56 3 m2; A=56٠1,7 m2=95,2 m2 2

nf o. ro

b) Fie AC ∩ BD = {O}, AO ⊥ DB (diagonalele pătratului sunt perpendiculare) 1p MA ⊥ (ABC), AO ⊥ BD; AO, BD ⊂ (ABC) rezultă MO ⊥ BD 2p. Calculează MO=3 6 deci d(M, BD) = 3 6 cm 3p

c) Preţul parchetului este de 95,2٠30 lei=2856 lei<2900 lei. Deci sunt suficienţi 2900 lei

301

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Prof Mişca Maria

Varianta 113 SUBIECTUL I

5 2

10 3

113

nf o. ro

5p 5p

(30 de puncte)

SUBIECTUL II

(30 de puncte)

Desenează corect prisma 4 puncte, notează 1 punct.

x2=54+36 2

y2=54-36 2

Finalizare n=a(a2-1)

n=a(a-1)(a+1)

n este produs de trei numere consecutive, deci divizibil cu 3

1 x -1p;În anul al doilea 4 60 3 9 1 9 an s-a construit ٠x= x 1p;scrierea ecuaţiei : x + x +72=x 1p; 100 4 20 4 20 rezolvarea ecuaţiei şi scrierea soluţiei; lungimea autostrăzii este 240 km 2p

b) 240 – 72 = 168; Pentru 168 km firma primeşte 168٠3000 : 240 = 2100 milioane euro

a) Fie x lungimea autostrăzii; În anul I s-a construit

302

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

Alegerea corectă a punctelor de pe grafic (exemplu A(2;0) şi B(1;-2)) 2p; Repreprezentarea corectă a punctelor în sistemul de axe ortogonale 2p Finalizare 1p

(30 de puncte) SUBIECTUL III 5p

nf o. ro

a) At = l2 3 2p; At = 3 dm2

2 b) V = l V = 1,41 : 12 dm3 = 0,1175 dm3=117,5 ml 12

c) Cantitatea de lapte necesară pentru o zi este 117,5ml٠650=76375ml=76,375l; 3٠76,375=229,125 deci 229,125 lei costă cantitatea de lapte pentru o zi.

a) Aria teren =50 ٠100 m2 = 5000 m2

Ariapistei = 1944 m2

b) Ariapistei = ( 100 + 12) ٠ ( 50 + 12 ) - 5000; Ariapistei = 6944 - 5000

c) Sunt necesare 5000٠30g = 150000g de seminţe = 150 kg seminţe.

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Prof. Mişca Maria

SUBIECTUL I

Varianta 114

(30 de puncte)

0, 1, 2, 3

25 π

303

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 6.

www.mateinfo.ro

5p SUBIECTUL II

Desenează corect piramida patrulateră 4 puncte, notează 1 punct.

340-

15 ٠340 = 289; noul preţ al bicicletei este de 289 lei 100

5p 5p

nf o. ro

(30 de puncte)

n = 9x2 + 12x + 4 + 9x2 – 4 - 18x2 - 12x; n=0 ∈ Z

a) M(a;-1) ∈ Gf ⇔ f(a) = -1 ⇔ a2 + 2a = -1 ⇔ a2 + 2a + 1 = 0 ⇔ (a + 1)2 = 0 ⇒ a = -1

b) a = -1 ⇒ f(x)= -x - 2 1p alegerea corectă a punctelor de pe grafic 2p reprezentarea corectă a punctelor şi trasarea graficului 2p

Fie n numărul merelor din coş. n = 6c1 + 2; n = 8c2 + 2; n-2 = 6c1 = 8c2; n – 2 = [6,8], n=26, deci cel mai mic număr de mere din coş este 26.

SUBIECTUL III

a) DD' ⊥ (ABC); DB ⊥ AC; AC ∩ DB = {O}; DO, AC ⊂ (ABC) ⇒ (teorema celor trei perpendiculare) D'O ⊥ AC ⇒ d(D', AC)=D'O 3p DB 8 2 DO = = = 4 2 ⇒ D'O=4 6 m 2p 2 2

b) BB' ⊥ (A'B'C') ⇒ BB' ⊥ B'D'; B'D'=8 2 ; BB'=8 ; A BB'D'=32 2 m2.

c) Al = 4AABB'A' = 4٠64 = 256; Al = 256m2; 256 : 40=6,4 deci sunt necesare 7 cutii cu vopsea

(30 de puncte)

a) l = 50 cm ⇒ raza = 25 cm

b) Apătrat - Adisc = 2500 - 625 π = 2500 - 1962,5 = 537,5. Pierderea este de 537,5 cm2

c) Lcerc mare + Lcerc mic=2 ⋅ 25π +2 ⋅ 10π =50 π +20 π = 70 π = 219,8 ;

219,8 cm = 2,198 m

304

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Prof Mişca Maria

Varianta 115 SUBIECTUL I

(30 de puncte)

995

240

nf o. ro

5p 5p 5p 5p

(30 de puncte)

Desenează corect 4 puncte, notează corect 1 punct.

5+6+ x = 7 ⇒ 11 + x = 21 ⇒ x = 10. Trebuie să obţină nota 10. 3

Punctul de pe graficul funcţiei care are coordonate egale are forma M(a,a) 1 (1p) M ∈ Gf ⇔ f(a) = a ⇔ 4a-1= a ⇔ a = (3p). Deci punctul de pe 3 1 1 graficul funcţiei de coordonate egale are forma M ( ; ) 3 3

a) Notăm cu x numărul persoanelor şi cu y preţul obiectului.(1p) Obţinem 25x = y-50 şi 35x = y + 40 (4p)).

b) Rezolvarea sistemului şi scrierea soluţiei : x = 9 şi y = 275, deci sunt 9 persoane iar obiectul costă 275 lei.

a b c = = = k ⇒ a = 2k, b = 3k, c = 5k (2p) 2∙2k + 5∙3k + 7∙5k = 108 ⇔ 2 3 5 54k = 108 ⇒ k=2 (2p) deci a=4, b=6, c=10. (1p)

SUBIECTUL II

SUBIECTUL III

305

(30 de puncte)

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 1.

www.mateinfo.ro

AB 2 3 62 3 a) At = 3∙AB∙ AAʹ+ 2∙ ; At = 3∙6∙8 + 2∙ ; At = 18 ( 8 + 4 4

b) AAʹ ⊥ ABC), fie AM ⊥ BC, M ∈ BC; AM, BC ⊂ (ABC) ⇒ (T3 ⊥ ) AʹM ⊥ BC ⇒ d(Aʹ,BC) = AʹM. Aplicând teoreme lui Pitagora în triunghiul AʹAM avem: AʹM2 = AʹA2 + AM2; AʹM2 = 82 + (3 3 )2, AʹM = 91 cm

c) AM ⊥ BC, AʹM ⊥ BC ⇒ ∠ ((ABC), ( Aʹ BC))= ∠ (AM, AʹM); AA′ 8 8 3 tg ∠ AʹMA= = ; tg ∠ AʹMA= AM 3 3 9

a) Pteren = AB + BE + CE + DC + AD = 120 ∙ 5 = 600. Sunt necesari 600 m de gard pentru împrejmuirea terenului

l2 3 ; Ateren = (14400 + 3600 3 ) m2 ; 4 Ateren = 20520 m2 ; 20520∙0,50 = 10260, deci amenajarea cu gazon a costat 10260 lei

nf o. ro

3 ) cm2

b) Ateren= AABCD + ABCE = l2 +

c) Fie M un punct în interiorul pătratului ABCD. d(M;AB) + d(M;BC) + d(M;CD) + d(M;AD) = AB + BC = 240 = constant

306

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 116

Prof Molea F Gheorghe SUBIECTUL I

1800

0,91

530

100 3

nf o. ro

143

5p 5p

(30 de puncte)

SUBIECTUL II

Desenează corect paralelipipedul dreptunghic

Desenează corect secţiunea diagonală

Notează corect

Determină primul număr (15)

Determină următoarele două numere (16 şi 17)

Calculează media aritmetică (16)

9a-6b=5a+2b

a=2b

b 1 = a 2

Finalizare

(30 de puncte)

b = 0,5 a

a)Determinarea coordonatelor a două puncte care aparţin graficului funcţiei4p

307

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

Reprezentarea graficului funcţiei f b) Fie K ∈ G f ∩Gg ⇒ f ( a ) = g ( a ) ⇒ 2a-1=3a+1

Determină a =-2

Obţine K(-2;-5)

9 - 4 5 =| 2 - 5 |= 5 - 2

5 -2- 5 +3

a∈N

2 2

a) sin 450 =

SUBIECTUL III

AB ⋅ AD ⋅ sin BAD 2

A BAD =

ABAD =

3x 2 4

Aplică corect teorema bisectoarei

5p 1p

1p AB BD = AC DC

15 dam 7

Substituie valorile şi determină BD = AC ⋅ AD ⋅ sin 450 = =x 2 2

AABC =

(30 de puncte)

b)Calculează BC=5dam

c) ACAD

a = 1 =1

nf o. ro

AB ⋅ AC = 6dam2 2

ABAD + ACAD = AABC

308

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

12 2 7

a)Calculează AB=8cm

Finalizare x = 2.

www.mateinfo.ro

Deduce că A′BDC ′ este un tetraedru regulat de muchie 8 2cm 256 3 cm 3

ABDA′ = 32 3cm 2

32 3 8 3 ⋅ d ( A, ( BDA′ ) ) , de unde d ( A, ( BDA′ ) ) = cm 3 3

b) Apiesei = 12 ⋅ AABA′ + 4 ⋅ ABDA′

AABA′ = 32cm 2

VABDA′ =

Apiesei = 384 + 128 3cm 2

c)Fie O centrul bazei ABCD, A′O = C ′O = 4 6 cm

AOA′C ′ = 32 2cm 2

AOA′C ′ =

OA′ ⋅ OC ′ ⋅ sin A′OC ′ 2

Finalizare sin A′OC ′ =

2 2 3

309

Demonstrează că ∢ ( ( BDA′ ) ; ( BDC ′ ) ) = ∢ ( A′O; C ′O ) = ∢A′OC ′

nf o. ro

VABDA′ =

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 117

Prof.Molea F.Gheorghe SUBIECTUL I

-1,0,1

5 12

380

125

nf o. ro

(30 de puncte)

SUBIECTUL II

Desenează corect un triunghi dreptunghic

Construieşte înălţimea din vârful unghiului Aˆ

Specifică proiecţia vârfului unghiului drept pe ipotenuză.

Condiţiile x ≠ 1; x ≠ 2

− x2 + 4x − 4 = − x2 + 2x − 1

3 2

9 3  3 3 A = a + 3a + + =  a +  + 4 4  2 4 2

3 Finalizare S =   2

3   a +  ≥ 0, pentru 2 

(30 de puncte)

(∀) a ∈ R

310

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 Finalizare A > 0, ( ∀ ) a ∈ R

a) E ( x ) = x 2 − 4 x + x − 4

= x ( x − 4) + ( x − 4)

= ( x − 4 )( x + 1)

b) E ( x ) = x 2 + x ( a − 4 ) + 4 + b − 2a

a − 4 = −3 ⇒ a = 1

B = ( b 2 + 9b + 14 )( b 2 + 9b + 18 ) + 4

B = ( c + 2 ) = ( b 2 + 9b + 16 )

Notează b 2 + 9b + 14 = c, unde c ∈ Z ⇒ B = c ( c + 4 ) + 4 2

B este pătratul unui număr întreg deoarece b 2 + 9b + 16 ∈ Z, ( ∀ ) b ∈ Z

AB = 12m 2

d ( O, AB ) =

(30 de puncte)

CD =6m 2

a) d ( O, CD ) =

d ( AB, CD ) = d ( O, AB ) + d ( O, CD ) = 18m

b) Construieşte DD′ ⊥ AB, D′ ∈ ( AB ) şi calculează AD′ = 6m Calculează AD = 6 10m

SUBIECTUL III

4 + b − 2a = −4 ⇒ b = −6

nf o. ro

www.mateinfo.ro

PABCD = AB + BC + CD + DA = 36 + 12 10m c) AAOB = 144m 2

2p 1p

311

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

AABCD = 324m 2

AAOD + ABOC = AABCD − ( AAOB + ACOD ) = 144m 2

Finalizare AAOB = AAOD + ABOC

nf o. ro

ACOD = 36m 2

a) Notăm cu L,l lungimile muchiilor bazelor,iar cu D,d lungimile D d diagonalelor bazelor. D = L 2, d = l 2, = = k , k > 0 3 2 L=

3k 2 2k 2 , l= 2 2

cos 600 =

L −l =

L −l ⇒ L − l = 4cm 2at

k 2 ⇒k =4 2 2

www.mateinfo.ro

)

(

Calculează înălţimea trunchiului 2 3cm

b)Triunghiul VMM’ este echilateral (isoscel cu un unghi de măsură 600 ) , unde M şi M’ sunt mijloacele laturilorBC, respectiv AD. 2p VM=MM’ , VM=12cm PB ⋅ a p

= 288cm 2

Al piramida =

c) d ( M , (VAD ) ) = d ( M ,VM ′ )

d ( M , (VAD ) ) =

L 3 = 6 3cm 2

BCII (VAD ) ⇒ d ( M , (VAD ) ) = d ( B, (VAD ) ) = 6 3cm

312

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 118

Prof. Molea F. Gheorghe SUBIECTUL I

11 30

S={-1,0}

K(3;3)

5 2

27000

nf o. ro

(30 de puncte)

5p 5p 5p

SUBIECTUL II

Desenează corect trapezul

Desenează corect linia mijlocie

Notează corect

2 4 6 5 n=număr natural par ⇒ a = 1 − − − = − 3 5 5 3

n=număr natural impar ⇒ a = 1 +

2 4 6 11 + + = 3 5 5 3

 5 11  Finalizare a ∈  − ;   3 3

(30 de puncte)

(1 − 3 )

=|1 − 3 |= 3 − 1

13 − 4 3 =|1 − 2 3 |= 2 3 − 1

b = 27 ⋅ | 3 − 1 − 2 3 + 1|

313

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 b = 81 = ( ±3) 4.

a) b=0 ⇒

www.mateinfo.ro

1 =1 b +1

1 4 =− a +1 5

nf o. ro

4a+4=-5 Finalizare a = −

9 4

a a +1 −1 1 = = 1− a +1 a +1 a +1

b 1 = 1− b +1 b +1

a b 1  9  1 + = 2− + = a +1 b +1  a +1 b +1  5 5

3 7 7  x − 3x + 4 =  x −  + ≥ 2 4 4 

5p 2p

1 3 3  y + y +1 =  y +  + ≥ 2 4 4  2

Expresia are valoare minimă dacă x −

2p 3 1 3 1 = 0 şi y + = 0 ⇒ x = ; y = − 1p 2 2 2 2

SUBIECTUL III

(30 de puncte)

a) PABCD = AB + BC + CD + DA

PABCD = 230 + 120 + 100 + 50

Finalizare PABCD = 500m

b) Demonstreză că patrulaterul AMCD este paralelogram Determină MB=130m

2p 1p

314

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

Foloseşte reciproca teoremei lui Pitagora în triunghiul BCM

Deduce m ( ∢BCM ) = 900

c) Construieşte CC ' ⊥ AB

AABC =

CM ⋅ CB 600 = m MB 13

AB ⋅ CC ' 69000 2 = m 2 13

Finalizare AABC = 0,53ha

a) Fie M mijlocul muchiei BC.Deduce VM=4m folosind T.P.în △VMC

5 ⋅ 48 = 2, 4m 2 100

Pirdere material =

Pb ⋅ VM = 32m 2 , Atotala = Ab + Al = 48m 2 2

Abazei = 16m2 , Alaterala =

nf o. ro

Calculeză CC ' =

www.mateinfo.ro

Necesarul de material = 50, 4m2 ⇒ nu sunt suficienţi 50 m 2 de material 1p

b)Calculeză înălţimea piramidei ,obţinând 2 3m ,aplicând T.P. în △VOM 2p Scrie corect formula pentru volumului piramidei V p = 32 3 3 m 3

Deduce V =

AVAC =

AC ⋅ VO = 4 6m 2 2

VC ⋅ d ( A, CV )

Obţine d ( A, VC ) =

c) AC = l 2 = 4 2m AVAC =

Ab ⋅ h 3

4 30 m 5

315

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta119

Prof.Muşat Claudia

SUBIECTUL I

−5 3

nf o. ro

(30 de puncte)

5p 5p 5p 5p 5p

Desenează paralelipipedul

E(a,b)=4ab

Finalizare E(a,b)=4∙21=84

a+b=34

a-3=b+1

a=19

4p 1p

(30 de puncte)

Notează paralelipipedul

SUBIECTUL II

b=15

a) 5 x3 + 10 x 2 − 15 x = 5 x( x + 3)( x − 1)

x 2 + 3 x = x( x + 3)

E ( x) = 5( x − 1)

b) 5 x − 5 = 2 x − 14

316

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

3 x = −9

x= −3 ∉ R − {0, −3} deci x ∈ ∅ .

f (3 x − 1) = −6 x + 5

f (3 x − 1) − 3 f ( x) = −6 x + 5 + 6 x − 9

nf o. ro

www.mateinfo.ro

= −4 ∈ Z

SUBIECTUL III

a) A =

( B + b) ⋅ h 2

1p 1p

AE = 6m

b) BC 2 = CF 2 + FB 2

BC 2 = 64 + x 2

A = 4(30 + x)

AB = 18 + x

1p 1p

x 2 = 100 , x > 0

x = 10 .

c) Atrapez = 160m2

64 + x 2 = 164

160∙18,5=2960 lei

(30 de puncte)

95%∙2960=2812lei

a) OC =

l 2 2

OC = 4 2

317

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

VO 2 = VC 2 − OC 2

VO = 3m

b) V =

Ab ⋅ h 3

nf o. ro

Ab = l 2

Ab = 64m 2

V = 64m3

c) Al =

Pb ⋅ a p

Pb = 4l = 32m VE = 5m Al = 80m 2

82,5 ⋅ 50 = 4125lei

1p 1p 1p 1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Prof. Muşat Claudia

SUBIECTUL I

Varianta 120

(30 de puncte)

-1

318

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

y = 2x + 1

5p SUBIECTUL II

Desenul

Respectarea dimensiunilor

nf o. ro

1 = −1 − 2 x

1< 2 < 2 −2 < − 2 < − 1

−3 < − 1 − 2 < − 2

x 4

Restul este

3x reprezintă suma cheltuită în prima zi. 4

Notăm cu x suma lui Ionel.

−1 − 2 ∈ (−3, −2)

x + 8 reprezintă suma cheltuită în a doua zi 6 3x x + + 108 = x 4 6

x = 1296 lei

(30 de puncte)

3 a) G f ∩ Ox = B ( ; 0) 5

G f ∩ Oy = A(0, 3)

Reprezentarea corectă a celor două puncte

Trasarea graficului b) Fie P = prGf M , MP = 2 ⋅ d (O, G f )

319

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

3 26 5

d (O, G f ) =

MP =

3 26 26

3 26 13

nf o. ro

AB =

E (4) = (−1) 2012 − 12012

www.mateinfo.ro

2p 2p

= 1 −1

a) A =

(24 + x) ⋅16 2

( B + b) ⋅ h 2

SUBIECTUL III

2p 2p

b) A△ ABC = 192m 2

A = 8(24 + x)m 2

A△ ADC = 8 x

24 x = 192

x = 8m

c)Ateren=256m2

256∙4=1024kg roşii

95%∙1024=972,8 kg

972,8∙3=2918,4lei

(30 de puncte)

320

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 a)V=Llh

V=1152m3

b)Al=288m2

288∙2=576m2

576∙2=1152kg vopsea

nf o. ro

www.mateinfo.ro

c)Hsiloz=BB’+d(F’,B’C’) d(F’,B’C’)=

12 3 = 6 3 (Înălţime în triunghi echilateral) 2

H = 4+6 3

1p 1p

6 3 > 6 ⇒ H > 10

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 121

(30 de puncte) 5p 5p

1 5

2012

SUBIECTUL I

Prof. Muşat Claudia

SUBIECTUL II

321

(30 de puncte)

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

Desenează prisma

Notează prisma

a + b = 117

a 5 = ⇒ 4a = 5b b 4

1p 1p

nf o. ro

4a + 4b = 468

b = 52

a = 65 3.

www.mateinfo.ro

Notăm cu x numărul merelor rămase, x<150

x − 4 ∈ M 16

1p 1p

x − 4 ∈ M 18

⇒ x − 4 ∈ M 144

x − 4 = 144 ⇒ x = 148 , deci a mâncat 2 mere. a) (2 x − y ) 2 = 4 x 2 − 4 xy + y 2

( x − 2 y ) 2 = x 2 − 4 xy + 4 y 2

E ( x, y ) = 4 x 2 − 12 y 2

b) 2 x + 5 y = 70 + x + y pătrat perfect, x, y cifre ⇒ 0 ≤ x + y ≤ 18 ⇒ x + y = 11

x = 5 şi y = 6

E (5, 6) = −332

x x −1 2x + 1 ≤ ≤ 2 5 4

( x − 3 y )( x + 3 y ) = x 2 − 9 y 2

10 x ≤ 4 x − 4 ≤ 10 x + 5 ⇒

322

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

0 ≤ −6 x − 4 ≤ 5 ⇒ −

1p 1p

3 2 ≤x≤− 2 3

x ∈ Z ⇒ x ∈ {−1, 0}

a) m( AB) = 90 ⇒ m∡ ( ACB) = 45

1p 1p

m( AC ) = 150 ⇒ m∡( ABC ) = 75 m∡ ( BAC ) = 60

(30 de puncte)

nf o. ro

SUBIECTUL III

Fie BE ⊥ AC , E ∈ AC , m∡( ABE ) = 30 ⇒ AE = x ⇒

BE = x 3m

b) AC = AE + EC ;△ BECdr.is. ⇒ BE = EC = x 3m AC = x(1 + 3) ⇒

abc 4 A△ ABC

BC = 2 6

A△ ABC = (2 3 + 6)m 2

R = 2 2m

a) m∡ ( ECD) = 60 . Fie Q = prCD E , QC = 2m ⇒ DC = 5m

EQ = 2 3m

w 2.

x = 2m

c) R =

323

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

( B + b) ⋅ h 2

1p 1p

A = 6 3m 2 3 = 1, 7 avem A = 10, 2m 2

3p 1p

nf o. ro

b)Pentru

10,2:2=5,1 litri vopsea

5,1∙20=102 lei.

c) △ EQB dreptunghic în Q

EB 2 = EQ 2 + QB 2

QB 2 = QC 2 + BC 2 ⇒ QB = 29

EB = 41m

324

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 122

Prof. Nicolaescu Nicolae

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

-11

30 3 cm2

nf o. ro

5p 5p

Desenează şi notează triunghiul. Desenează mediatoarea.

n=15c1+1, n=18c2+1

SUBIECTUL II

2p 1p 1p

[15,18]=90

Cel mai mare multiplu comun de 3 cifre=90·11=990

n=991

n − 1 ∈ M 15 ∩ M 18

(30 de puncte)

f(m2)=m

m2-6=m

m1=-2, m2=3

a) După raţionalizare a = 2 + 3 + 2 − 3 = 4

3p 2p

b = 2 2 +1

325

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

2 < 1,5

2p 3p

b = 2 2 + 1 < 2i1,5 + 1 = 4 = a

Prima zi: 50% din S=

A doua zi:

S 2

5 S 5S din = 8 2 16

nf o. ro

1p 1p

S 5S S= + + 300 2 16

S=1600

SUBIECTUL III

(30 de puncte)

ONAM pătrat cu latura=r.Atunci BP=BM=20-r şi CP=CN=20-r 1p

BC=40-2r

T Pitagora în ∆ BAC, 202 + 202 = ( 40 − 2r )

40 − 2r = ±20 2 ⇒ r = 20 − 10 2 ( r = 20 + 10 2 nu convine)

b) ∆ BMO dreptunghic în M

OM = r = 20 − 10 2

BM = 20 − r = 10 2

326

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

(

T. Pitagora în ∆ BMO ⇒ BO 2 = 10 2

www.mateinfo.ro

) + ( 20 − 10 2 ) 2

(

= 400 2 − 2

)

1p 1p

BO = 20 2 − 2

c) Agradina = Asec tor circular + A∆BMO + A∆CNO + AONAM

π OB 2 ⋅135 360

(

)

π ⋅ 400 2 − 2 ⋅135 360

m( BOC ) = 135o

(

)

= 150 2 − 2 π , deoarece

A∆BMO + A∆CNO + AONAM = 100

(

nf o. ro

Asec tor circular =

(

)

2 − 1 + 100

(

)

( (

)

(

)

2 − 1 + 200 3 − 2 2 = 200(2 − 2)

)

Agradina = 150 2 − 2 π + 200 2 − 2 = 50 2 − 2 ( 3π + 4 ) m2

Barem a) Fie M mijlocul laturii BC. AM ⊥ BC , A ' M ⊥ BC ⇒ ∢(( ABC ), ( A ' BC )) = ∢A ' MA

AM = 3 3 iar din triunghiul A’AM obţinem A ' M = 127

V piesă = AABC ⋅ h = 9 3 ⋅10 = 90 3 cm3

AABC ⋅ AA ' = 30 3 3

VA ' ABC =

cos ( ∢A ' MA ) =

AM 3 3 = A' M 127

x ⋅ 90 3 = 30 3 ≈ 33,3% 100

b) ABCC ' B ' A ' = AA ' B 'C ' + ABCC ' B ' + AA ' BC + ABB ' A ' + ACC ' A '

ABCC ' B ' A ' = 9 3 + 60 + 3 127 + 30 + 30 = 120 + 9 3 + 3 127

c) V piesă = AABC ⋅ h = 9 3 ⋅10 = 90 3 cm3 VA ' ABC =

1p 1p

2p 2p

2p 3p

AABC ⋅ AA ' = 30 3 cm3 3

x ⋅ 90 3 = 30 3 ≈ 33,3% 100 1p

327

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 123

Prof. Nicolaescu Nicolae

SUBIECTUL I

9 cm2

12,5 mld lei

nf o. ro

(30 de puncte)

5p 5p 5p

Desenează prisma.

4p 1p

abc + bca + cab = 666 ⇒ 111(a+b+c)=666

a+b+c=6, a,b,c ≠ 0

Cel mai mic număr este 114

f(2)+f(22 )+...+f(210 )=2(2+22 + ... + 210 ) + 3 ⋅10

(30 de puncte)

Notează prisma.

SUBIECTUL II

Fie S= 2+2 2 + ... + 210 , atunci 2S= 2 2 +23 + ... + 211 ,deci 2S-S=S=211-2=2046

2p 1p

Suma este egală cu 4092+30=4122

1 2x 3  1  a) E(x)=  = + − 2 : 2  x + 2 x −1 x + x − 2  x − 2x +1   x −1 x+2 2x 3 + − =   : 2  ( x + 2 ) ( x − 1) ( x + 2) ( x − 1) ( x + 2) ( x − 1)  ( x − 1)

328

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

( x + 2 )( x − 1)

⋅

( x − 1)

www.mateinfo.ro

x −1 3( x + 2)

(

3 +3

) 3 (1 + 3 )

3 −1 6

nf o. ro

b) E( 3 + 1 )=

Cele trei numere sunt 4x,x,4x+6.

9x+6=150,deci x=16

Numerele sunt 64, 16, 70.

a) A = AABCD + 2 Asemicerc

SUBIECTUL III

Aalee = 30m 2

( 20 + 100 ) ⋅ 30 + 252 π = 1800 + 625π A= 2

(30 de puncte) 2p 3p

.1p

Apiatra cubică = 400cm2 = 0, 04m 2

Nr.buc = 30 : 0, 04 = 750

3p 2p

P = 120 + 50π = 120 + 157 = 277 m

c) P = AB + CD + 2lsemicerc

402 3 a) A = + 3 ⋅ 30 ⋅ 40 = 400 3 + 3600 4 A < 400 ⋅1,8 + 3600 = 720 + 3600 = 4320 cm2

Nu este suficientă bucata respectivă.

329

2p 3p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro 2p

1p 1p

nf o. ro

Răspunsul este afirmativ, o soluţie ar fi ca în figura de mai sus.Construind liniile mijlocii, suprafaţa fiecărui triunghi echilateral este partiţionată în patru suprafeţe echivalente, iar volumul fiecărei prisme triunghiulare asfel formate este un sfert din volumul cutiei iniţiale.

20 ⋅ 50 = 60 cm 100 Diagonala cubului = 60 3 cm < 60 ⋅1, 74 = 104, 4 cm 104, 4 < 104,5 , deci în vas nu se poate introduce bagheta

c) Muchia cubului după mărire 50 +

2p 2p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 124

Prof. Nicolaescu Nicolae

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

-7

330

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 4.

www.mateinfo.ro 5p

16 3 cm2 3

3 cm

9 mii lei

Desenează trunchiul de piramidă.

Notează trunchiul de piramidă.

23n = 512 =29, deci n=3

(

3 + m 2 = 1+ 2

)

(30 de puncte)

nf o. ro

SUBIECTUL II

2p 2p

= 3+ 2 2

m=2

x+3 < 1 ⇒ -2 ≤ x+3<2 ⇒ -5 ≤ x< -1 2

m=1

b) G f ∩ Oy = A(0, 3)

a) g(1)=2 ⇒ 3-m=2

A = {−5, −4, −3, −2}

−1 ≤

G f ∩ Ox = B (3, 0)

Gg ∩ Oy = C (0, −1)

1p A∆ABC = A∆AOB + A∆COB A∆ABC =

3 ⋅ 3 1⋅ 3 + =6 2 2

331

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

( x + 3)

www.mateinfo.ro

− x − 3 = ( x + 3) − ( x + 3) =

( x + 3) ( x + 3)

− 1 = ( x + 2 )( x + 3)( x + 4 ) 

a) AABDE =

( 60 + x ) 40 = 20(60 + x)

l∆echilateral = 40 2 + (60 − x ) 2

( 60 − x )2 + 402  3  = 4

Asup rafaţă

( 60 − x )2 + 402  3  = + 20(60 − x ) 4

b) 402 + ( 60 − x ) = 502

A∆BCD

60 − x = ±30

x=30 (x=90 nu convine deoarece ED<AB)

25 3 25 ⋅1,8 < = 15 3 3

2p 2p 1p

c) r =

(30 de puncte)

nf o. ro

SUBIECTUL III

Adisc < 225π ≃ 706,5m 2

Nu se poate înscrie un rond circular cu aria 706,5 m2.

a) ∡((OA ' D '), ( A ' B ' C ' D ')) = ∡OO ' M ,unde M este mijlocul lui A’D’ şi O’ centrul lui A’B’C’D’

3p 2p

m(∡OO ' M ) = 45 (OO’M triunghi dreptunghic isoscel) 0

332

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

b) V = V=

www.mateinfo.ro

AADD ' A ' ⋅ OT unde T este proiecţia lui O pe AD 3

1200 ⋅ 30 = 12000 cm3 3

c) A = ABCC ' B ' + AABB ' A ' + ACC ' D ' D + AOAA ' + AOA ' D ' + AODD '

nf o. ro

2p 2p

A = 1200 + 1800 + 1800 + 150 13 + 600 2 + 150 13

A = 4800 + 300 13 + 600 2 cm2

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Prof: Nicolaescu Nicolae

Varianta 125

w 1.

(30 de puncte) 5p 5p 5p 5p

8 3 cm2

SUBIECTUL I

SUBIECTUL II

(30 de puncte)

Desenează tetraedrul

Notează tetraedrul

2 x − 1 = ±5

x=3

333

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

x=-2

A ∩ N = {3}

a+b=105

nf o. ro

a 8 = b 13 Rezolvare sistem

a=40 b=65

a)f(2)=5

m=-9

1  b) G f ∩ Ox = A ,0  3 

G f ∩ Oy = B (0,1)

tg Aˆ = 3 5

www.mateinfo.ro

E ( x) =

12 x −4

w a) DC = 25 3 m

(

)

Lungimea gardului= 25 5 + 3 m

c) CE=x,

(30 de puncte) 2p

DA=25 m

b) Aria=

SUBIECTUL III

625 3 2 m 2

(25 + x )25 2

25 3 (50 − x ) 2

334

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

25 2

a) V=

(

)

3 4 + 25 + 4 ⋅ 25 = 39 m 3 3

b) Vapă scoasă =

nf o. ro

V=39000 dm3=39000l

)

(

Vcub = 15,625 m 3

2p 1p

Finalizare c) AC = 5 2 ,

134 2

3p 1p

Distanţa maximă este 5 2

A’C=

1,5 4 + 3,5 2 + 4 ⋅ 3,5 2 = 11,625 m 3 3

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 126

Prof: Nicolaescu Nicolae

SUBIECTUL I

240

(30 de puncte)

335

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

5 2 6

Desenează trunchi de piramidă

Notează trunchiul 2.

a b = 3 4

a 2 + b 2 = (5k ) x+10%x=

11x 10

(30 de puncte)

nf o. ro

SUBIECTUL II

11x 11x − 20% ⋅ = 176 10 10

x=200 a) m = 4 − 2

n = 4+ 2

m+n =4 2

Mg =

(4 − 2 )(4 + 2 ) =

w b) M a =

f(0)+f(1)+…+f(2011)=3(0+1+…+2011)- 2∙2012= 3 ⋅

1006∙6029=6065174 SUBIECTUL III

2011 ⋅ 2012 − 2 ⋅ 2012 = 2

a) 9π + 36π = 45π m 2

(30 de puncte) 5p

336

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

b) Aria aleii=15 m2

Aria plăcii=0,04 m2

Numărul plăcilor este 375 c) Distanţa maximă se realizează când cercurile sunt tangente colţurilor 2

a)Aria plăcii de tablă=1,5m2

nf o. ro

dreptunghiului şi este egală cu

41 + 16 = 1937 2

Suprafaţa vasului ==5∙0,25m2=1,25 m2 Finalizare

2p 1p

b)Distanţa maximă este diagonala unui dreptunghi cu dimensiunile 1,5m,respectiv 0,5m

c)V cubului=0,125m3

d = 1,5 2 + 0,5 2 = 2,5m

2p 2p

Volumul cubuleţ=0,000125 m3

2p 1p

Numărul cubuleţelor este 1000

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 127

Prof. Nicolaescu Nicolae

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

2x2+4x+10

25%

337

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

80 3 cm3

5p SUBIECTUL II

Desenează paralelipipedul

nf o. ro

Notează paralelipipedul 2.

n=3

f(1)=1

m=1 sau m=-2

a) Verificarea relaţiei

b) x + 3 ∈ D3 = {± 1,±3}

A doua zi

2 3x x ⋅ = 3 4 2

x x + + 80 4 2

x=320

x 4

Prima zi

−2 ∉ R − {−3, −2,3} deci x ∈ {−4, 0, −6}

(30 de puncte)

1p SUBIECTUL III

(30 de puncte)

a) Diametrul cercului=20 cm

Latura pătratului= 10 2cm

Aria pătratului=200 cm2

338

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

b) Aria material îndepărtat=(100 π -200)cm2

p ⋅ 100π = (100π − 200 ) 100

2p 1p

p ≈ 36,31% c) l = 288 = 12 2 diametrul cercului=24 cm

nf o. ro

r=12 cm, deci trebuie să crească cu 2 cm

a) Vmaterial = V paralelipiped − V piramidă = 16 ⋅ 10 −

10 2 2

5 2 2

(

b) tg∠O ' AO =

16 ⋅ 10 320 = dm 3 3 3

)

16 ⋅ 104 + 16 = 16 26 + 1 > 96 deci nu este suficientă foiţa 2 respectivă

c) At =

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 128

Prof Nicolaescu Nicolae

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

3 4

339

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

56 cm2

45o

120

Desenează prisma Notează prisma

 13 17  A = − '   2 2

3p 2p

a)n=12c1+7 n=15c2+10

n=25c3+20

n=295

1p 1p

u (3 295 ) = 7

b) u 2 295 = 8

u ( 4 295 ) = 4

n+5 ∈ M 12 ∩ M 15 ∩ M 25 ⇒ n + 5 ∈ M 300

( )

E(x)=x ∈ N

A ∩ Z = {− 6,−5....,8} 3.

(30 de puncte)

nf o. ro

SUBIECTUL II

u (5

295

)=5 1p

Deci ultima cifră este 4 a+r+n=120

a=3n

340

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

n=5+r

n=25 c=75 r=20

2p SUBIECTUL III

a) A = AABCD + 2 ⋅ A∆BAE = 36 + 2 ⋅

(

3 2 ⋅6 = 18 2 + 2 2

b)BD+CE=6 2 + 6 2 + 6 = 6 + 12 2 c) ∆BAE isoscel , deci m∠ABE =

)

nf o. ro

(30 de puncte)

180 0 − 135 0 = 22 0 30 ' 2

2p 3p

a) Din ∆ VO’B’,obţinem VO’=2 V=83+

64 ⋅ 2 1664 3 = m 3 3

2 1 = ,unde M este mijlocul lui A’D’,O’ centrul lui A’B’C’D’ 4 2

1p 4p

c) DB’= 8 3 <14m

b) tg∠VMO' =

m∠OBE = m∠OBA + m∠ABE = 45 0 + 22 0 30 ' = 67 0 30 '

DV= VO 2 + DO 2 = 100 + 32 = 132 < 14

Finalizare

341

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 129

Prof:Oláh Csaba

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

a = 2,b = 3

( a ⋅b = 2 , a < b ≤ 3 ⇒ a = 2 , b = 3 ) 2.

nf o. ro

( n = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅100 + 62 = 3 (1⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅100 + 20 )+ 2 = 3k + 2 = 3⋅20 + 2

k ∈N

Dupa teorema împărţirii cu rest, restul la împărţirea lui n la 3 este 2) 3.

( 2012 ⋅101 − 100 ⋅ 2012 − 2011 = 2012 ⋅ (101 − 100 )− 2011 = 1 ) =1

20 cm 3

B+b = 2

B 2 = 3B ⇒ B = 4 ⋅ 5 = 20 cm - lungimea bazei mari) 2 4 3 3

B+

(5 = l =

a>b

( x + x + 1 + x + 2 = 24 ⇒ 3 x + 3 = 24 ⇒ 3 x = 21 ⇒ x = 7 , al doilea număr 7 +1 = 8 )

( a = 27 − 2 = 126 , b = 3 + 9 + 27 + 81 = 120 ⇒ a > b )

SUBIECTUL II

(30 de puncte)

Latura acestui cub va avea lungimea c.m.m.m.c.[12,16,18] = 144 , pentru că

12 = 22 ⋅ 3 , 16 = 2 4 , 18 = 2 ⋅ 32 , [12,16,18] = 24 ⋅ 32 = 144 .

342

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

Simplificând cu 2 în b se obţine b =

a+b = 2

1 3 1023 + + ... + , 2 4 1024

1 1 1 1 3 1023 + + ... + + + + ... + 2 4 1024 2 4 1024 = 2

1023  1 1 3 1  1 1 +  + +  + + ... +  +  2 2 4 4  1024 1024  =1

m(B) 4

m (C ) 5

1 + 10 ⋅1 11 = = 5,5 . 2 2

m ( A) + m ( B ) + m ( C ) 3+ 4 +5

180 = 15 12

13 ⇒ y ∈ {0,1, 2,3, 4} ⇒ B = {0,1, 2,3, 4} . 3

b) A \ B = {5} , B \ A = ∅ ⇒

⇒ A∆B = ( A \ B ) ∪ ( B \ A ) = {5} ∪ ∅ = {5} .

Desenează trapezul

Notează trapezul.

w 1.

a) 2 x ≤ 32 ⇔ 2 x ≤ 25 , x ∈ {0,1, 2,3, 4,5} ⇒ A = {0,1, 2,3, 4,5} 3 y + 1 < 14 ⇒ y <

 m ( A) = 15 ⇒ m ( A ) = 45   3  m( B) = 15 ⇒ m ( B ) = 60 .  4   m (C ) = 15 ⇒ m ( C ) = 75   5

m ( A)

nf o. ro

www.mateinfo.ro

SUBIECTUL III

(30 de puncte)

a) dacă R e mijlocul muchiei A′B′ , atunci lungimea drumului furnicii este AR + RC ′ = 2 AR = 2 12 2 + 6 2 = 2 5 ⋅ 62 = 12 5cm . = 4⋅6

343

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

b) AB ⊥ ( BCC ′B′ ) , C ′B ∈ ( BCC ′B′ ) ⇒ C ′B ⊥ AB , de unde rezultă că

(

)

d C ' , AB = C ′B = 122 + 122 = 12 2cm .

c) MN = MB′2 + B′N 2 = 32 + 42 = 25 = 5cm

nf o. ro

NP = NB 2 + BP 2 = 82 + 62 = 100 = 10cm

C ' MNPA  = C ′M + MN + NP + PA = 9 + 5 + 10 + 6 = 30cm AR + RC ′ = 12 5cm ≈ 26,83cm

30 − 12 5 ≈ 30 − 26,83 = 3,17 -aproximativ, cu atât e mai lung drumul frunicii inapoi, faţă de drumul din a).

(

)

= x 2 +1

(

)

(

)(

)

x2 + 1 − x2 x2 + 1 + x2 + 1 − x x 4 + x 2 + 1 x 4 + 2 x 2 + 1− x 2 a) 2 = = = = x + x +1 x2 + x + 1 x2 + x + 1 x2 + x + 1

= x2 − x + 1

(

)

x2 x2 − 1 x 2 ( x − 1)( x + 1) x4 − x2 +1 = +1 = + 1 = x ( x − 1) + 1 = x 2 − x + 1 x ( x + 1) x ( x + 1) x ( x + 1) E ( x ) = x2 − x + 1 +

(

)

1 ⋅ x2 − x + 1 = x2 − x + 1 + 1 = x2 − x + 2 . x − x +1 2

b) E ( 6 ) = 62 − 6 + 2 = 36 − 4 = 32

c) E ( x ) = x 2 − x + 2 , x ∈ N , min E ( x ) = −

x∈R

⇒ E ( x) ∈ N , x ∈ N .

∆ −7 7 =− = >0 ⇒ 4a 4 4

344

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 130

Prof:Oláh Csaba

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

a>b

( a = 32 = 38 = 81 ⋅ 81 = 6561 , b = 23 = 29 = 512 ⇒ a > b ) 2.

nf o. ro

25 1  250  ( ⋅ 2⋅  = 25 ) 4  5 

3 şi 8

x=6

( x + x + 1 + x + 2 + ... + x + 9 = 105 ⇒ 10 x + 1 + 2 + ... + 9 = 105 ⇒ x = 6 ) 5.

69 pagini

= 45

( 9 pagini cu o cifră, 129 − 9 = 120 , 120 : 2 = 60 pagini cu 2 cifre ⇒ 69 pagini)

BC = 12cm

SUBIECTUL II

1 1 1 1 1 1 = − , = − , ... x ( x + 1) x x + 1 ( x + 1)( x + 2 ) x + 1 x + 2

(Lungimea ipotenuzei este dublu faţă de lungimea catetei opuse unghiului de 30 ⇒ BC = 2 ⋅ 6 = 12cm )

E ( x) =

(30 de puncte)

1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + ... + − = − = x x +1 x +1 x + 2 x + 9 x + 10 x x + 10

10 . x ( x + 10 )

Fie m -numărul marinarilor de pe vapor, atunci

345

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

60 ⋅ m = ( m + 30 ) ⋅ 50 ⇒ 60m = 50m + 1500 ⇒ 10m = 1500 ⇒ m = 150

Numărul persoanelor de pe vapor : 150 + 30 = 180 .

1 = x +1 − x ⇒ E ( x) = x +1 + x + x +1 − x = 2 x +1 x +1 + x

(

3+ 2+ 3− 2

)

= 2⋅ 2 3

)

= 2 ⋅12 = 24

a) analizând datele problemei în sistemul cartezian se observă, că graficul funcţiei intersectează axele în B ( 2, 0 ) şi C ( 0, 2 )

f ( x ) = ax + b , f ( 2 ) = 0 ⇒ 2a + b = 0 , f ( 0 ) = 2 ⇒ b = 2 ⇒

⇒ 2a = −2 , adică a = −1

f ( x) = −x + 2 .

b) folosind notaţiile din a) se observă că triunghiul OAC este dreptunghic si OA ⋅ AC 2⋅ 2 isoscel în A , atunci AOAC = = =1. 2 2

Se poate observa că AB = AC + CB ⇒ C ∈ ( AB ) -punctele A, B şi C sunt

1p 2p

E ( a ) = E ( 24 ) = 2 24 + 1 = 10 . 4.

(

nf o. ro

În mod similar a = 2 ⋅

coliniare ⇒

⇒ AABC = 0 .

2p SUBIECTUL III

= 2( x − 2 )

2 x + 5 2 x −4 + 4 + 5 2 x − 4 9 9 a) = = + = 2+ ∈Z ⇒ x−2 x−2 x−2 x−2 x−2 9 ∈ Z , D9 = {−9, −3, −1,1,3,9} ⇒ x − 2 ∈ {−9, −3, −1,1,3,9} , x−2

x ∈ {−7, −1,1,3,5,11} ∩ N ⇒ x ∈ {1,3,5,11} .

346

(30 de puncte) 1p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 3 ⋅ (5x − 2) 5x − 2 ∈Z ⇒ ∈Z 3x + 1 3x + 1

3 ⋅ (5x − 2) 3x + 1 ⇒

= 5( 3 x +1)

15 x − 6 −5 + 5 15 x + 5 11 11 = − = 5− ∈Z ⇒ 3x + 1 3x + 1 3x + 1 3x + 1

11 ∈ Z , D11 = {−11, −1,1,11} ⇒ 3x + 1∈ {−11, −1,1,11} , 3x + 1

1p 2p

nf o. ro

www.mateinfo.ro

2 10   x ∈ −4, − , 0,  ∩ N = {0} . 3 3 

c) probabilitatea ca alegând un element din A , acesta să fie şi în B , înseamnă:

probabilitatea ca alegând un element din A , acesta să fie în A ∩ B

a) triunghiul B′C ′M este dreptunghic în B ' , MC ′ = 2 MB′ ⇒ m ( B′CM ′ ) = 30

tg ( B′CM ′ ) =

x x 2 3 2 3 ⇒ B′C ′ = = = = 6cm . B′C ′ tg ( B′CM ′ ) tg 30 3 3

cum A ∩ B = ∅ , probabilitatea este zero : p = 0 .

b) triunghiul MBD este dreptunghic în B ( MB ⊥ ( ABCD ) ),

(

)

MB = BB′ − B′M = 6 − 2 3 cm , BD = 6 2cm (diagonala pătratului ABCD )

Scriem teorema lui Pitagora în triunghiul MBD :

(

MD 2 = MB 2 + BD 2 = 6 − 2 3

(

) + (6 2 ) 2

= 36 − 24 3 + 12 + 72 =

)

= 120 − 24 3 = 24 5 − 3cm .

c) V BMC ' D'  = V[ BB′C ′D′] − V[ MB′C ′D′] = 



AB′C ′D′ ⋅ BB′ AB′C ′D′ ⋅ MB′ − = 3 3

62 A = B′C ′D′ ( BB′ − MB′ ) = 2 6 − 2 3 = 6 6 − 2 3 = 12 3 − 3 cm3 3 3

(

) (

347

)

(

)

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

V ABCDA' B'C ' D'  = AB 3 = 63 = 216cm3 

V BMC ' D'  



V ABCDA' B'C ' D'  



(

12 3 − 3 216

) = 3−

nf o. ro



BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 131

Prof:Oláh Csaba

SUBIECTUL I

(30 de puncte) 5p

(Ultima cifră a numărului 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 99 este 0 , pentru că e multiplu de 10 , atunci ultima cifră a numărului 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 99 + 1 este 1 ) 1

( 3654 ⋅1236 − 1235 ⋅ 3654 − 3653 = 3654 ⋅ (1236 − 1235 )− 3653 = 1 )

35km

x=2

(Într-o oră primul biciclist face 15km , iar al doilea 20km , înseamnă că înainte cu o oră de a se întâlni, distanţa dintre ei va fi 15km + 20km = 35km )

( 3ax − 12bx = 3x ⋅ ( a − 4b ) = 3x ⋅ 6 = 18 x , atunci

3ax − 12bx = 36 ⇔ 18 x = 36 ⇒ x = 2 )

(Dacă produsul costa, iniţial x lei, atunci După scumpirea cu 20% :

120 6x x= , dupa ieftinirea din urmă, cu 10% : 100 5

348

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

6 x 9 54 x 108 x ⋅ = = , de unde se vede că preţul de după ieftinire e cu 8% 5 10 50 100 mai mare faţă de preţul iniţial.)

143

( f ( 0 ) + f (1) + ... + f (10 ) = 2 ⋅ ( 0 + 1 + ... + 10 )+ 3 + 3 + ... + 3 = = 2 ⋅ 55 + 11 ⋅ 3 = 143 )

11− ori

nf o. ro

= 55

SUBIECTUL II

(30 de puncte)

n ( n + 1)( n + 2 ) este un produs de 3 numere consecutive, deci este divizibil

⇒ a = 3k + 1 nu e divizibil cu 3 (la împărţire dă restul 1 ).

Desenează piramida Se notează piramida.

cu 3 , înseamnă că poate fi scris sub forma n ( n + 1)( n + 2 ) = 3k , k ∈ N ⇒

Primul număr prim este 2 , deci suma primelor 20 de numere prime o să fie un număr impar (sumă de 19 numere impare plus un număr impar) rezultă

4p 1p 4p 1p

nu se împarte la 2 .

a) c.m.m.m.c.[1, 2,3] = 6 , atunci lucrând 6 ore:

primul muncitor ar termina de 2 ori , al doilea de 3 ori iar al treilea de 6 ori lucrarea,

daca ar lucra împreună 6 ore ar termina de 2 + 3 + 6 = 11 -ori lucrarea, deci

lucrarea ar termina în

6 360 8 ore, adică in = 32 minute. 11 11 11

b)dacă ar mai veni un muncitor, în 6 ore ar termina de 2 + 3 + 6 + 6 = 17 ori lucrarea ar termina în

6 360 3 = 21 minute. ore, adică în 17 17 17

349

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 5

www.mateinfo.ro

Dacă în vârfuri sunt cuburile roşii, numărul cuburilor albe este 12 + 12 + 4 ⋅ 4 + 2 ⋅ 4 = 48 , ( 12 pe două feţe opuse, 4 în centru si 2 pe margini pe restul de 4 feţe) care este şi numărul total de cuburi albe, după enunţul problemei

Numărul cuburilor roşii: 125 − 48 = 77 .

(30 de puncte)

nf o. ro

SUBIECTUL III

a) dacă raza cercului înscris in triunghiul AOB este r , atunci

O1O2 = O2O3 = ...O6O1 = 2r ⇒ O1O2O3O4O5O6 este hexagon regulat.

b) AO1O2O3O4O5O6 = 6 ⋅ AOO1O2 , OO1O2 este tirunghi echilateral, O1O2 = 2r =

12 3 1 ⋅ = 4 3 cm ( r înseamnă o treime din înălţimea triunghiului 2 3 AOB )

( O1O2 )

(4 3) ⋅ = 6⋅ 2

AO1O2O3O4O5O6 = 6 ⋅ AOO1O2 = 6 ⋅

= 2⋅

= 72 3cm 2 .

AAOB − AC ( O1 ,r ) 3

S1 = 6 ⋅

c) fie aria zonei haşurate din interiorul hexagonului S1 , iar cea din exteriorul hexagonului S2

(

)

(

)

(

)

2 = 2 36 3 − r 2π = 2  36 3 − 2 3 π  =  

(

)

= 2 36 3 − 12π = 24 3 3 − π cm ( S1 se compune din 6 ”vârfuri” de 2

triunghi, congruente - aria a trei „vîrfuri” este egală cu diferenta dintre aria triunghiului AOB şi a cercului inscris triunghiului AOB ) S2 este diferenţa dintre aria cercului circumscris hexagonului ABCDEF

( 144π cm 2 )şi aria hexagonului ABCDEF ( 216 3cm 2 ) AOB ( = 36 3cm 2 )

(

)

S 2 = 144π − 216 3 = 72 2π − 3 3 cm 2

Atunci

350

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

( (

www.mateinfo.ro

) )

24 3 3 − π S1 1 3 3 − π  1 5,19 − 3,14 1 2, 05  = = ⋅ ≈ ⋅ = ⋅ = 0, 62  .  S 2 72 2π − 3 3 3 2π − 3 3  3 6, 28 − 5,19 3 1, 09 

a) G1G2 = C ′B + BF + FD′ = 3 + 6 + 3 = 12cm

AG1G2G3 =

6 3 1 ⋅ = 2 3cm 2 3

nf o. ro

înălţimea triunghiului G1G2G3 este h = G3G ' = 2 ⋅ G1G2 ⋅ h 12 ⋅ 2 3 = = 12 3cm 2 . 2 2

b) triunghiul G1G2 D este dreptunghic in G2 , G1G2 = 12cm ,

2 6 3 = 2 3cm , G2 D = ⋅ 3 2

)

(

G1 D = G1G2 2 + G2 D 2 = 122 + 2 3

= 12 ⋅12 + 12 = 3 ⋅ 4 ⋅13 = 2 39cm .

c) dacă I e centrul cercului înscris în triunghiul G1G2G3 , iar r este raza acestui cerc, atunci r o să fie înălţime pentru triunghiurile G1G2 I , G2G3 I şi G3G1 I

AG1G2G3 = AG1G2 I + AG2G3 I + AG3G1I =

G1G2 ⋅ r G2G3 ⋅ r G3G1 ⋅ r + + = 2 2 2

 r r  ⋅  G1G2 + G2G3 + G3G1  = 12 + 8 3 = 2r 3 + 2 3 ,   2 2  =12 =4 3 =4 3 

(

)

(

)

dar AG1G2G3 = 12 3cm 2 ⇒ 2r 3 + 2 3 = 12 3 ⇒ r =

2 6 3 ⋅ = 4 3cm 3 2

G1G2 = G2G3 = 2 ⋅ BG1 = 2 ⋅

6 3 = 3+ 2 3

(

6 3 2 3 −3

(

2 3

)

− 32

) = 36 − 18 3

(

12 3

2 3+ 2 3

)

= 12 − 6 3 cm .

351

)

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 132

Prof.Oláh Csaba SUBIECTUL I

{0,1, 2,3, 4,5, 6}

nf o. ro

(30 de puncte)

5p 5p

SUBIECTUL II

Fiecare latura creşte cu 10% ,

 11a  Aria =   =  10 

( 20 + x + y )⋮9 ,

1p 2p

x + y ∈ {7,16}

(30 de puncte)

121a 2 , aria a crescut cu 21% 100

( x, y ) ∈ {( 0, 7 ) , (1, 6 ) , ( 2,5 ) , ( 3, 4 ) , ( 4,3) , ( 5, 2 ) , ( 6,1) , ( 7, 0 ) , ( 9, 7 ) , ( 8,8) , ( 7, 9 )}

144 = a 2 − b2 = ( a − b )( a + b ) =

12 ( a − b ) ⇒ a − b = 12 ,

1p 1p

b = 0 , a = 12

352

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

b =0 a

1p 2p

3x 3 = 3− x +1 x +1

nf o. ro

D3 = {1, 2} , A = {0, 2}

b) 33 = 27,35 = 243

2p 2p

27 < 3x < 243

B = {3, 4,5}

Lungimea ipotenuzei 17

Ipotenuza este diametrul cercului circumscris

17 2

SUBIECTUL III

7 13 x ⋅ = 91 , 10 10

2p 2p

x = 100 , preţul iniţial

b) preţul iniţial x se măreşte cu p % ,

(30 de puncte) 1p

13 x după scumpire 10

a) x preţul iniţial,

p + 100 x preţul mărit 100

7 100 + p ⋅ x = x, 10 100

p = 42,85%

353

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

c) 91 +

www.mateinfo.ro

3 13 ⋅ 91 ⋅ 91 = preţul nou mărit 10 10

preţul micşorat cu 30% :

7 13 ⋅ 91 ⋅ = 10 10

2p 1p

nf o. ro

= 82,81

a) m ( ( ABCD ) , (VBC ) ) = m (VM 1O ) , O centrul bazei, M 1 piciorul apotemei

VM 1 = VO 2 + OM 12 = 17

cos (VM 1O ) =

OM 1 17 = VM 1 17

8 17 17

VM 1

d ( M 2 , VM 1 ) =

2 AVM1M 2

b) AVM1M 2 = 4 , M 2 piciorul apotemei pe [ AD ]

M 2P = ( P proiecţia lui M 2 pe VM 1 ) VM 2

c) sin (VM 2 , VP ) = 8 17

354

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 133

Prof.Oláh Csaba SUBIECTUL I

−4000

1 2

255

{2,3, 4}

(30 de puncte)

nf o. ro

2k 6k 2 ∈ N ⇒ 3a = = 2+ ∈N 3k − 1 3k − 1 3k − 1

k =1

m ( IBC ) + m ( ICB ) = m ( BIC ) = 180 −

(30 de puncte)

D2 = {1, 2} ,

SUBIECTUL II

180 − m ( A ) 2

180 − 80 = 2

= 130 , deci măsura unghiului căutat este 180 − 130 = 50 2p Trasarea sistemului

Reprezentarea funcţiilor

355

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 4.

a) x numărul elevilor clasei,

www.mateinfo.ro

x 3x blonzi, şateni 4 4

x 1 3 x 1 11x ⋅ + ⋅ = 4 2 4 5 40

11x ∈ N ⇒ x este multimplu de 40 40

nf o. ro

x este 40

b) elevi cu ochii albaştri

11 ⋅ 40 = 11 ( 12,5% + 15% = 27, 5% ) 40

nu au ochii albaştri: 40 − 11 = 29 , ( 100% − 27, 5% = ) în procente: 72,5%

2p 1p 2p

-în paranteză este o altă rezolvare, care nu necesită rezultatul de la punctul a)., care se punctează la fel, cu 5p in total.

a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) ,

a 2 − c 2 = ( a + c )( a − c )

1p 1p 1p

scoaterea factorului comun şi

SUBIECTUL III

a) forma lui f : f ( x ) = ax + b , a, b ∈ R, a ≠ 0

scrierea rezultatului ( a − b )( a − c )( c − b )

(30 de puncte) 1p 2p

f (1) = 2 , f ( 0 ) = 3

f ( x) = −x + 3 b)din perpendicularitate rezultă că D ( 0,1) se găseşte pe graficul lui g

g ( 0 ) = 1 , g (1) = 2

356

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

g ( x) = x +1

c) AB = 2

AC = 22 + 22 = 2 2 ,

1p 2p

AB ⋅ AC 2 ⋅2 2 = = = 2 2

nf o. ro

AABC =2

www.mateinfo.ro

a) suma distanţelor este triplul laturii

latura are 3cm b) volumul cubului este 33 = 27cm3

2p 2p

27cm3 = 27 ⋅1000mm3 = 27.000mm3 ,

se poate construi din 27.000 cuburi

aria laterală: 4 ⋅

3⋅

3 5 2 = 2

2p 1p

=9 5

3 5 2

c). Înălţimea unei feţe laterale

357

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 134

Prof.Oláh Csaba SUBIECTUL I

(30 de puncte)

3 = 0,3 10

432 2

3 5

nf o. ro

x = 3k , y = 4k , z = 5k

1 a 3 a 3 r= ⋅ = 3 2 6

2 3 = R−r =

(30 de puncte) 3p 2p 2p

2 a 3 a 3 ⋅ = 3 2 3

x2 + y 2 = z 2

SUBIECTUL II

a 3 ⇒ 6

⇒ a = 12

P1 + P2 = 96 ani

P1 + P2 + P3 = 108 ani

P3 = 12 ani

358

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

a)punctele sunt necoliniare, câte două

formează un pentagon convex/concav

in total 10 drepte

b) 4 puncte sunt coliniare

realizarea desenului

nf o. ro

www.mateinfo.ro

numărul se împarte la 5 şi 9

y ∈ {0,5}

1p 1p

y = 0 ⇒ ( x + 20 )⋮ 9 y = 5 ⇒ ( x + 25)⋮ 9

( x, y ) ∈ {( 7, 0 ) , ( 2, 5)}

1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − , = − ,..., = − 1⋅ 2 1 2 2 ⋅ 3 2 3 9 ⋅10 9 10

SUBIECTUL III

1 1 1 1 1 1 S1 = − + − + ... + − = 1 2 2 3 9 10 1 = 10

9 10

1 1 1 1 1 1 = − ,...., = − 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 2 ⋅ 3 9 ⋅10 ⋅11 9 ⋅10 10 ⋅11

(30 de puncte)

= 1−

S2 = =

1 1 1 1 − + ... + − = 1⋅ 2 2 ⋅ 3 9 ⋅10 10 ⋅11

1 1 27 − = 2 110 55

359

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

pornind invers

99 1 = 1− 100 100 99 1 1 1 1 1 = 1 − + − + ... + − = 100 2 2 3 99 100

1 1 + ... + , are 99 membri 1⋅ 2 99 ⋅100

a) V =

nf o. ro

www.mateinfo.ro

a3 2 , a = 12cm 12

123 2 = 144 2cm 12

b) în triunghiul VMN : G1G2 MN ( G1 , G2 centre de greutate în VAC şi VBC ,

VG1 G1G2 = VM MN

2 MN = 4cm 3

G1G2 =

M , N sunt mijloacele laturilor [ AB ] şi [ BC ] )

c) x, y, z , t distanţele de la feţe, aria unei feţe: 36 3 ,

36 3 V= ( x + y + z + t ) = 12 3 ( x + y + z + t ) , 3

x+ y+ z +t =

144 2 12 6 = cm = 4 6cm . 3 12 3 a 6 , unde a este lungimea unei muchii) 3

(Obs.: caz general - x + y + z + t =

360

2p 1p 2p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 135

Prof.Oláh Csaba SUBIECTUL I

2 3

nf o. ro

(30 de puncte)

10a + b − 18 = 10b + a

a −b = 2

SUBIECTUL II

2p 2p

mediana care porneşte din unghiul drept este jumătate din ipotenuză

lungimea catetei - 8cm

aria triunghiului - 24cm2

a = 7 , b = 5 , numărul este 75

(30 de puncte)

6 =2 3, 3

2 3 = 12 , 3 2 = 18

3 2>

6 3

a)trasarea sistemului cartezian

361

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

reprezentarea grafică a funcţiei

b) −3 x + 2 = 2 x − 3

x =1

AABCD = 8 ADQP = 8 A ,

AAMNCPQ AABCD =

nf o. ro

www.mateinfo.ro

8A − 2A = = 8A

3 4

SUBIECTUL III

1 1 1 = 3 − 2 ,..., = 10 − 9 = 2 −1 , 2 +1 3+ 2 10 + 9

= 10 − 1

1− 2 1 2− 3 1 1 9 − 10 1 1 = − ,..., = − = − 1, 2 2 6 3 2 90 10 9 1 1 1 1 1 −1 + − + ... + − = 2 3 2 10 9

S2 =

1 −1 10

c) −

S1 = 2 − 1 + 3 − 2 + ... + 10 − 9 =

(30 de puncte)

9 1 1 1 1 1 1 = −1 = −1+ − + ... + − = 10 100 2 3 2 100 99

1− 2 2− 3 99 − 100 , + + ... + 2 6 9900

S2 are 99 membri.

362

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

a) BU = 2 R ⇒ BM = R 3 BC = 2 R R=3

(

)

3 + 1 = 12

)

3 − 1 cm

b) BM = R 3 =

3p 2p

= (9 − 3 3)cm

AABC

( 2R ) =

2R =

(

)

3 +1   4

AUVW R2 3 = = AABC R 2 3 + 1 2 3

)

(

)

3 +1

)

3 +1

1 2− 3 = 2 4+2 3

(

= R2 3

c) AUVW

nf o. ro

363

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta136

Prof Păcurar Cornel-Cosmin

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

7,5

9 3

nf o. ro

5p 5p

Desenează piramida Notează piramida

(30 de puncte) 4p 1p

Fie x numărul mai mic ⇒ x + 8 este numărul mai mare

x + x +8 = 10 2

SUBIECTUL II

2 x + 8 = 20

x = 6 e numărul mai mic și 14 e numărul mai mare

A ( 3;3a ) ∈ G f ⇔ f ( 3) = 3a

( 5 − a ) ⋅ 3 + 3 = 3a ⇔ 15 − 3a + 3 = 3a

Finalizare: a = 3 a)Se notează cu x pretul inițial al telefonului ⇒ x − 10% ⋅ x = după prima ieftinire

364

9 ⋅ x este prețul 10

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

9 9 9 15  153  ⋅ x − 15% ⋅ ⋅ x = ⋅ x ⋅ 1 − ⋅ x este prețul după a doua ieftinire = 10 10 10  100  200

b) 200 − 153 = 47

nf o. ro

153 ⋅ x = 153 ⇔ x = 200 200

p % ⋅ 200 = 47 ⇔

p ⋅ 200 = 47 ⇔ p ⋅ 2 = 47 100

p = 47 : 2 = 23,5 ⇒ p % = 23, 5% 5

1 = 16 x2

SUBIECTUL III

1p (30 de puncte)

a)Notăm cu VABCD piramida și O centrul bazei ABCD ⇒ OA = 2 2 cm

VA2 = VO 2 + AO 2

1p 2p

b) Ab = 42 = 16 cm2

Finalizare: VO = 2 2 cm

x2 +

1 = 14 x2

x2 − 2 +

1   x −  = 14 x 

VVABCD =

Ab ⋅ h 3

Finalizare: VABCD =

c) AtVABCD = 4 ⋅

32 2 3 cm 3

42 3 + 42 = 16 3 + 16 4

365

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

100 ⋅ AtVABCD = 1600 3 + 1600

1p 2p

3 ≻ 1, 73 ⇒ 1600 ⋅ 3 ≻ 2768 ⇒ 1600 ⋅ 3 + 1600 ≻ 4368

a) 48 ha=480000 m2

b) AB = AE = x

6 ⋅ A△ ABE = AABCD ⇔ 6 ⋅

nf o. ro

x2 = x ⋅ BC 2

3 ⋅ x 2 = x ⋅ BC ⇔ 3 ⋅ x = BC

⇒ BC = 3 AB

c) AABCD = 480000 ⇔ 3 x 2 = 480000

⇒ BE = 400 2 m

x = 400 m ⇒ AB = AE = 400

1p 2p

BE = 320000 ≃ 565, 685 ⇒ BE ≃ 566 m

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta137

Prof.Păcurar Cornel-Cosmin

SUBIECTUL I

[3;7]

108

(30 de puncte)

366

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 6.

www.mateinfo.ro

Marți și vineri

5p SUBIECTUL II

Desenează prisma

Notează prisma

nf o. ro

Fie x numărul cărților de literatură ⇒ 12 − x e numărul cărților de matematică

14 x + 8 ⋅ (12 − x ) = 144 ⇔ 14 x + 96 − 8 x = 144 ⇔ 6 x = 48 Finalizare: x = 8

Reprezentarea corectă a altui punct care aparține graficului funcției

Trasarea graficului funcției

a) 20% ⋅ S =

20 ⋅ S lei cheltuiește în prima zi 100

30 ⋅ x lei cheltuiește a doua zi 100

30% ⋅ x =

1 25 ⋅x = ⋅ x lei cheltuiește a treia zi 4 100

20 25 30 ≺ ≺ 100 100 100

⇒ persoana cheltuiește cel mai puțin în prima zi

Evident 20 ≺ 25 ≺ 30 ⇒

Reprezentarea corectă a unui punct care aparține graficului funcției

(30 de puncte)

1p 1p 2p

20 30 25 ⋅S + ⋅S + ⋅ S + 100 = S 100 100 100

⇔ 20 S + 30 S + 25S + 10000 = 100 S

75S + 10000 = 100 S

25S = 10000 ⇔ S = 400 lei

367

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

x 2 + x − 20 = x 2 + 5 x − 4 x − 20 = x ( x + 5 ) − 4 ( x + 5) = ( x + 5 )( x − 4 )

x 2 − 9 x + 20 = x 2 − 5 x − 4 x + 20 = x ( x − 5 ) − 4 ( x − 5 ) = ( x − 5 )( x − 4 ) 2p

x + x − 20 ( x − 4 )( x + 5 ) x + 5 = = x 2 − 9 x + 20 ( x − 4 )( x − 5 ) x − 5 2

nf o. ro

SUBIECTUL III

(30 de puncte)

a) BD ' = L2 + l 2 + h 2

BD ' = 102 + 62 + 32 = 100 + 36 + 9 = 145 = 3 15 m b) Alaterală = Pbazei ⋅ h = 32 ⋅ 3 = 96 m2

Pbazei = 2 ( L + l ) = 2 (10 + 6 ) = 32 m

Abazei = L ⋅ l = 10 ⋅ 6 = 60 m2

Alaterală + Abazei = 96 + 60 = 156 m =15600 dm

Aplăci = 402 = 1600 cm2=16 dm2

975 : 25 = 39 numărul de cutii de gresie

15600 :16 = 975 numărul de plăci de gresie

L = 10 m=100 dm,l=6m=60 dm

c)Fie x dm înălțimea până la care se ridică apa în bazin

Vapei = L ⋅ l ⋅ x = 100 ⋅ 60 ⋅ x = 6000 ⋅ x

6000 ⋅ x = 150000 ⇔ x = 150000 : 600

x = 25 dm=2,5 m

a) Fie O mijlocul lui

[CD ] ⇒ R = OD = OC =

DC 80 = = 40 m Lsemicerc = π R = 40π m 2 2

2p 1p

368

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

AD+AB+BC=40+80+40=160

⇒ lungimea gardului este de 40π + 160 m 1p

AABCD = 80 ⋅ 40 = 3200 m2

nf o. ro

b) ⇒ Asemicerc = π R 2 : 2 = π ⋅ 40 2 : 2 = 800π m2

Agrădină = 3200 + 800π m2

π ≻ 3,14 ⇒ 800π ≻ 2512 ⇒ 3200 + 800π ≻ 5712

⇒ Agrădină ≻ 5712

△ EOC ⇒ EC = 40 2

c) △ ABC ⇒ AC = 802 + 402 = 6400 + 1600 = 8000 = 40 5 m

Q mijlocul lui [ AB ] , △ AEQ ⇒ AE = 40 5

(

)

AC + CE + AE = 40 5 + 40 2 + 40 5 = 80 5 + 40 2 = 40 2 5 + 2

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta138

Prof.Păcurar Cornel+Cosmin

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

208

2; 4

369

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 6.

www.mateinfo.ro

13,1

5p SUBIECTUL II

Desenează piramida

Notează piramida

2a − b − 5c = 12 ⋅ 2 ⇒ 4a − 2b − 10c = 24

a + 5b + 9c = 21 ⋅ 3 ⇒ 3a + 15b + 27c = 63

nf o. ro

(30 de puncte)

2p 2p

Prin însumarea relaţiilor 4a − 2b − 10c = 24 şi 3a + 15b + 27c = 63

⇒ 7 a + 13b + 17c = 87

Fie x numărul de pagini citite în prima zi ⇒ x + 5, x + 10, x + 15, x + 20 reprezintă numărul de pagini cititite a doua ,a treia ,a patra, respectiv a cincea zi

x + x + 5 + x + 10 + x + 15 + x + 20 = 230 ⇔ 5 x + 50 = 230

5 x = 180 ⇔ x = 36

a)Reprezentarea corectă a unui punct care aparţine graficului funcţiei f

Reprezentarea corectă a altui punct care aparţine graficului funcţiei f

Trasarea graficului funcţiei f

b) f ( 0 ) = −4 ⇒ G f ∩ Oy = { A ( 0; −4 )}

41 e număr prim,deci a doua zi numărul de pagini citite de Victor reprezintă un număr prim

36,41,46,51,56 reprezintă numărul de pagini citite în cele cinci zile

g ( 0 ) = 4 ⇒ Gg ∩ Oy = { B ( 0; 4 )}

f ( x ) = g ( x ) ⇔ x − 4 = −3 x + 4 ⇔ 4 x = 8 ⇔ x = 2 f ( 2 ) = −2

G f ∩ Gg = {C ( 2; −2 )} , D ( 0; −2 )

370

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

A△ ABC =

CD ⋅ AB 2 ⋅ 8 = =8 2 2

a = 3+ 2 6 + 2− 6 −2− 6 + 6

⇒ a = 9∈ℕ

nf o. ro

www.mateinfo.ro

SUBIECTUL III

a) △ DEF echilateral de latură 3,fie DQ ⊥ EF , Q ∈ EF ⇒ DQ =

(30 de puncte)

3 3 2

Cum prisma este dreaptă ⇒ ( BCF ) ⊥ ( DEF )

l 2 3 32 3 9 3 2 = = m 4 4 4

A△ ABC =

b) Vcort = Ab ⋅ h = A△ ABC ⋅ CF

3 3 2

⇒ DQ ⊥ ( BCF ) ⇒ d ( D, ( BCF ) ) = DQ =

Vcort = A△ ABC =

c) Al = Pb ⋅ h = 3 ⋅ 3 ⋅ 4 = 36 m2

At = 36 +

1p 2p

2p 1p

9 3 ⋅ 4 = 9 3 m3 4

At = Al + 2 ⋅ Ab = 36 + 2 ⋅

9 3 4

243 = 36 + 60, 75 ≺ 36 + 7,8 4

At ≺ 43,8 ≺ 44 ,deci sunt suficienţi 44 m2

a) PABCD = 2 ( 28 + 14 ) = 2 ⋅ 42 = 84 m

Lungimea gardului = PABCD − ( BG + GE ) = 84 − (10 + 8) = 84 − 18 = 66 m

371

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro 2p

ABGFE = BE ⋅ BG = 8 ⋅10 = 80 m2

Aria curţii = AABCD − ABGFE = 392 − 80 = 312 m2

c)Din teorema lui Pitagora în △ ABC ⇒ AC 2 = AB 2 + BC 2 = 196 + 784 = 980 ⇒ AC = 14 5

nf o. ro

b) AABCD = AB ⋅ BC = 28 ⋅14 = 392 m2

△ EFC ⇒ FC 2 = EF 2 + EC 2 = 100 + 400 = 500 ⇒ FC = 10 5

1p 1p

△ AGF ⇒ AF 2 = AG 2 + GF 2 = 16 + 64 = 80 ⇒ AF = 4 5

⇒ AF + FC = AC ⇒ A, F , C coliniare

372

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 139

Prof. Valer Pop SUBIECTUL I

(30 de puncte)

{1,2,3,4,6,12}

4 7

144

nf o. ro

5p 5p

A doua maşină transportă 3600:3=1200 kg de zahăr

Cele două maşini transportă 4800 kg de zahăr

f(x)=g(x) ,

rezultă x+2=2x-3, de unde x=5, rezultă a=5

Construcţia figurii

Notarea figurii

(30 de puncte)

SUBIECTUL II

f(a)=a+2=5+2=7, rezultă b=7

a) Un termen al şirului este de forma 7k+2, k ∈ ℕ

107 = 7∙15+2, deci aparţine şirului

b) Se pot cumpăra maximum 3 stilouri

Răspuns: 3 cărţi şi 2 stilouri

( x − 2)2 = x 2 − 4 x + 4

373

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

(

www.mateinfo.ro

)

x ( x − 2 ) + 2 3x 2 − 1 − 5x = x3 + 2 x 2 − x − 2

( x − 1)( x + 1) (x + 2) = x3 + 2 x 2 − x − 2

1p Finalizare

(30 de puncte)

nf o. ro

SUBIECTUL III

a) BC=CD=DA=10m

1p 3p

PABCD=56m

28 de stâlpi b) Gardul costă 1400 de lei

c) A∆ABC=120 m2

4 pachete de sămânţă de gazon 2.

Pentru muncitor se plăteşte suma de 252 de lei

a) Fie h înălţimea piramidei şi H înălţimea prismei. Avem

h 3 = şi H 5

3p 2p 2p

h+H=2,4 m=24 dm ,

rezultă h=0,9 m=9 dm

b) Apotema piramidei este de

95 dm

Aria totală a piramidei: 16( 4+ 95 ) dm2

2p 1p

Aria totală a prismei: 608 dm2

Aria totală a ornamentului: 16(42+ 95 ) dm2

c) Volumul piramidei este de 192 dm3

Volumul prismei: 960 dm3

Volumul ornamentului: 1152 dm3

Masa ornamentului: M = V ⋅ ρ = 1152 ⋅1,5kg / dm3 = 1728kg

374

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 140

Prof. Valer Pop SUBIECTUL I

nf o. ro

(30 de puncte)

36 =6

9 cm

64 cm3

11 elevi

Figura

Notarea figurii

4p 1p 3p

376 de elevi în şcoală

f(1) = -1, rezultă A ∈ G f

f(5) = 6, rezultă B ∉ G f

a) 67 = 13∙5+2

b) 7∙6 + 6∙5 = 72 > 69, rezultă că nu ajung bomboanele

E(x) = 9 ∈ ℕ

E(x) nu depinde de x

(30 de puncte)

190 de elevi la gimnaziu

SUBIECTUL II

SUBIECTUL III

375

(30 de

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro puncte)

a) AABCD = 864m2

PABCD =120m

b) Aria maximă de teren pe care o poate paşte calul este aria unui cerc cu raza de 9m.

nf o. ro

Aria cercului este 81π m2 ≈254,34 m2

254,34 30 < 864 100

L l i = = = k ⇒ L = 4k , l = 3k , i = 2k 4 3 2

Fie d diagonala bazei . Avem d 2 = L2 + l 2 = 16k 2 + 9k 2 = 25k 2 = 9 ⇒ k =

Dimensiunile rezervorului sunt: L = 2,4 m, l = 1,8 m, i =1,2 m.

b) Volumul rezervorului V = Lli = 2, 4 ⋅1,8 ⋅1, 2 = 5,184m3 .

3 . 5

2p 2p

3p 1p

Rezervorul plin cu apă are masa de 5700 kg.

c) Rezervorul plin conţine 5184 l de apă.

75% din capacitatea rezervorului este de 3888 litri .

Se poate uda o suprafaţă de 486 m2 de teren.

Apa din rezervor are masa de 5184 kg .

376

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 141

Prof. Valer Pop SUBIECTUL I

(30 de puncte)

x=3

33 lei

80 lei

180 cm2

900

Anul 2008

nf o. ro

5p 5p

Figura Notarea figurii A = {4,5,6,7,8}

4p 1p 4p 1p

16,(6) kg

a) 2f(x)+3 = -2x+9

g(x)-2 = 2x-3

w 5

(30 de puncte)

A∩[2;8) = {4,5,6,7}

3. 4.

SUBIECTUL II

rezultă ecuaţia -2x+9 = 2x-3 cu soluţia x=3

b) - f(-3) = -6

g(-2) = -5

Rezultă propoziţia -6>-5, propoziţie falsă

Se găseşte n=5

377

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

Se găseşte x=6

3p SUBIECTUL III

a) Volumul silozului 1728 m3

Volumul grâului din siloz: 1555,2 m3

nf o. ro

Volumul lăzii unui camion : 11,52 m3

Numărul de transporturi: 135

b) 933,12 tone

c) 419.904 lei

a) OC=OB=30 m AB=72 m

(30 de puncte)

AAOCD = 1260 m2 , Aria sfertului de cerc este 225 π m2

1p 2p 1p

b) (144+15 π ) metri

Aria terenului: (1260+225 π ) m2

Aria terenului este de aproximativ 1966,50 m2

c) AABD = 1080 m2

Aproximarea prin lipsă de 1m2 este de 886 m2

Aria cultivată cu trandafiri este de aproximativ 886,5 m2

378

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 142

Prof. Valer Pop

SUBIECTUL I

3 2

12 cm

50 cm2

nf o. ro

(30 de puncte)

5p 5p 5p

Desenul

Notaţia figurii

SUBIECTUL II

1p 2p

Preţul maşinii de spălat: 1280 de lei.

Preţul maşinii de spălat după scumpire: 1344 de lei .

Preţul celor două obiecte: 1888 de lei.

Preţul televizorului după ieftinire: 544 de lei

(30 de puncte)

|1 − 3 |= 3 − 1

1p 1p

12 = 2 3

Rezultatul: 0 a) Notăm: x – nr. metrilor de stofă pentru uniforma de fată y - nr. metrilor de stofă pentru uniforma de băiat

379

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

5 x + 8 y = 34 Avem sistemul  9 x + 6 y = 36

Rezolvarea sistemului şi soluţia x = 2, y = 3 . 2p

nf o. ro

Pentru o uniformă de băiat sunt necesari 3m de stofă.

b) O uniformă de fată şi 3 uniforme de băiat

sau 4 uniforme de fată şi o uniformă de băiat.

Ecuaţia: f ( x) = 2 x , adică − x + 6 = 2 x

2p 2p

Soluţia ecuaţiei : x = 2

Aflarea coordonatelor lui M: M(2;4)

AEBCDGF = 1728 – x2

3p 3p

x = 24 m

c) 575 m2 = 5,76 ari

5,76∙1200 = 6912 Euro

b) AAEFG = AABCD:3 = 576 m2

(30 de puncte)

a) AEBCDGF =AABCD – AAEFG

SUBIECTUL III

6912∙ 4,20 = 29.030,4 lei

a) Volumul vasului: 96.000 cm3

Aria bazei vasului: 1600 cm2

Înălţimea vasului: 60 cm.

b) Dacă introducând cubul în vas, nivelul apei se ridică în vas cu 5 cm rezultă că volumul cubului este echivalent cu al unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile: 40 cm, 40 cm , 5cm.

380

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

Muchia cubului are lungimea de 20 cm.

c) Aria laterală a vasului: 9600 cm2

Aria totală a cubului: 2400 cm2

nf o. ro

Volumul cubului: 8000 cm3.

Raportul este egal cu 4

381

Evaluare Naţională 2010-2011 Modele de subiecte

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 143

Prof. Popa Camelia Sanda SUBIECTUL I

(30 de puncte)

81 π

nf o. ro

5p 5p

Desenează prisma Notează prisma

SUBIECTUL II

x − nr.carti; y − nr.rafturi

(30 de puncte) 4p 1p 2p

x = 70carti

−3 ≤ 2 x − 1 ≤ 3 ⇒ A = [ −1;2]

50 y + 10 = x  60 ( y − 4 ) = x

−3 ≤

4X − 3  3  ≤ 3 ⇒ B =  − ;3 3  2 

A ∩ B = [ −1;2]

a) Alegerea corectă a două puncte care aparțin graficului

Trasarea graficului funcței

382

Evaluare Naţională 2010-2011 Modele de subiecte

www.mateinfo.ro

b) f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( n ) − 2n = n + n ( n + 1) − 2n = n 2

n ∈ N ⇒ n2 = n ∈ N 5

E ( x) =

5x − 2 x

2p 2p

nf o. ro

2 x ≤ 16 ⇒ x ≤ 8 ⇒ x ∈ {0;1;...;8}

x ∉ {0;3} ⇒ x ∈ {1;2; 4;5;6;7;8}

SUBIECTUL III

a) Aint. = 222m 2

Vapa = 21hl

Vint. = 280m3 ;Vext . = 360m3

c) Lext . = 15m; lext . = 6m

a) SQ = 13m

p = 77, ( 7 ) %

PSNPQ = 70m

b) S SMQ = 30m 2

30 ⋅15 = 450kg

450 : 5 = 90cutii

c) S MNPQ = 100m2

(30 de puncte) 5p

b) Vapa = 2,1m3

cost final=1320 lei

383

Evaluare Naţională 2010-2011 Modele de subiecte

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 144

Prof. Popa Camelia Sanda SUBIECTUL I

(30 de puncte)

-6

120

105

nf o. ro

5p 5p 5p 5p

Desenează piramida

a b = 11 4

Notează piramida

SUBIECTUL II

(30 de puncte) 4p 1p 1p 1p

a = 2b + 30

a = 110

b = 40

a + b = 60

a = 2,75 b

a = 44; b = 16

x -numărul de ani; 44 − x = 3 (16 − x )

x=2

384

Evaluare Naţională 2010-2011 Modele de subiecte

www.mateinfo.ro

a) f (1) = 3a + 1; f ( −1) = a + 1

3a 2 + 4a − 7 = 0

2p 1p

nf o. ro

 7 a ∈ 1; −   3

b) Aflarea coordonatelor a două puncte situate pe grafic și trasarea graficului

MN ⊥ AB ⇒ d ( M , G f ) = MN

1p 1p

A△ MAB = 12

A△ MAB

( x + 2) − ( x + 2)

AB ⋅ MN = ⇒ MN = 4 2 2

2 ( x + 2 ) ( x + 2 ) − 1

Finalizare

SUBIECTUL III

(30 de puncte) 3p

8000 : 250 = 32 zile

a) V = l 3 ⇒ V = 8m3 = 8000l

b) A = 5l 2 ⇒ A = 20m 2

20 ⋅ 2 = 40l

40 : 4 = 10cutii

c) d = l 3 ⇒ d = 2 3

2 3m < 3,5m ⇒ nu se poate scufunda

385

Evaluare Naţională 2010-2011 Modele de subiecte a)

CE = 20m EF = 36 − x

2p 3p

ACDEF = 720 − 20 x m

b) AABGE = 1296m 2

720 − x = 30 0 0 ⋅1296

nf o. ro

www.mateinfo.ro

x = 16,56 c) Agard = 216m 2

3p 2p

216 ⋅ 25 = 5400lei

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 145

Prof. Popa Camelia Sanda

210

180

(30 de puncte) 5p 5p 5p

138

SUBIECTUL I

250

5p SUBIECTUL II

(30 de puncte)

Desenează prisma

Notează prisma

a − b = 120

386

Evaluare Naţională 2010-2011 Modele de subiecte

www.mateinfo.ro

a = 5c1; b = 3c2

c1 = 20 + c2

5c1 − 3c2 = 120

1p 1p

x − nr.adulti, y − nr.copii ⇒ x + y = 630

25 x + 10 y = 9525

E1 ( x ) =

1 x+3

b) x 2 − 9 = ( x + 3)( x − 3) 1 x E2 ( x ) = 2 x+3

a) x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3)

1p 1p

x = 215; y = 415 4.

nf o. ro

a = 150; b = 30

1p 2p 2p

x ∈ {−6; −4; −2} f ( a 2 ) = 3a + 1

2a 2 − 3a − 2 = 0

1  a ∈ 2; −  2 

SUBIECTUL III

(30 de puncte)

a) V = Ab ⋅ h

V = 2m3

b) VM ⊥ AD;VN ⊥ BC ⇒△VMNechilateral ⇒ VM = 2m

387

Evaluare Naţională 2010-2011 Modele de subiecte Al =

www.mateinfo.ro

Pb ⋅ a p

Al = 8m 2

4 3 400 3 + 2)m3 = ( + 2000)litri 3 3

nf o. ro

Vrezervor = V piramida + V prisma = (

2p 2p

200 3 Vrezervor : 20 = + 100 ≃ 215, 45 min 3

A  x  a) △ AEF =   A△ ABC  400  3x2 8

1 ( A△ ABC − A△ AEF ) 3

b) A△ AEF =

A△ AEF =

2p 1p 4p

x = 200m

mgrau = 22,5kg

c) A△ AEF = 15000m2 = 1,5ha

pret grau = 135lei

pret final = 108lei

388

Evaluare Naţională 2010-2011 Modele de subiecte

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 146

Prof. Popa Camelia Sanda SUBIECTUL I

13 30

nf o. ro

(30 de puncte)

Desenează prisma

SUBIECTUL II

d = i ⋅ c + r, r < i

⇒ i > 37

i = 143

9 ( a − b) = a ( a − b)

a = 9, b = 5 ⇒ ab = 95

a) 2a 2 − 3a + 1 = 0

4p 1p

2039 = i ⋅ c2 + 37,37 < i

(30 de puncte)

Notează prisma

2168 = i ⋅ c1 + 23, 23 < i

1  a ∈  ,1 2 

389

Evaluare Naţională 2010-2011 Modele de subiecte

www.mateinfo.ro

3p b) f ( x ) = 2 x − 2

Alegerea corectă a două puncte care aparțin graficului

( x + 2)

nf o. ro

Trasarea graficului funcței 5

− x − 2 = ( x + 2 )( x + 3)( x + 1)

1p 1p

x 2 + 5 x + 6 = ( x + 2 )( x + 3)

E ( x) = x +1

n ∈ N ⇒ E (n) ∈ N

SUBIECTUL III

Al = 18000cm 2

Ab = 3600cm 2

a) At = Al + 2 Ab

At = 21600cm

(30 de puncte) 1p 2p 1p 1p

b) ∢  AD′, ( ABC )  ≡ ∢D′AD

2p 2p

AD′ = 15 41

5 41 sin ∢D′AD = 41

c) Vg = 0, 27m3

0, 27 ⋅ 200 = 54 puieti

a) a) S p = 225cm 2

2p 2p

390

Evaluare Naţională 2010-2011 Modele de subiecte

www.mateinfo.ro

S f = 4500000cm2

20000 pietre 2p

Vtotal = 13,5m3

nf o. ro

b) V p = 675cm3

c) 13,5 ⋅ 20 = 270lei

270 − 15% ⋅ 270 = 229,5 lei

391

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 147

Prof Raţ Cristina

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

4 9

24 5

100

nf o. ro

SUBIECTUL II

Desenează piramida Notează piramida

3 4 1 Mg(x,y)= ( ⋅ 0, (1) + ⋅ 0,1 − )(1,5 ⋅ 4) 4 3 15

2 x + 4 ≥ 3x + 2 → x ≤ 2 Finalizare x={0,1,2}

3p 2p

4p 1p

2 2

Finalizare Mg(x,y)= 3.

(30 de puncte)

a) Scrierea corectă a ecuaţiei din care se află preţul iniţial Rezolvarea corectă a calculelor Finalizarea preţul iniţial=200 lei

2p 2p 1p

b) Scrierea corectă a ecuaţei din care se află preţul dupa a prima scumpire Rezolvarea corectă a calculelor Finalizarea preţul după a prima scumpire=220 lei

2p 2p 1p

Înlocuirea lui x cu 2 Finalizarea E(2)=8

3p 2p SUBIECTUL III

392

(30 de

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro puncte)

L l h = = =K 6 4 8 L2 + l 2 + h 2 = 1044 116 K 2 = 1044 → K 2 = 9 → K = 3 Finalizare L=18, l=12, h=24

1p 1p 2p 2p 3p

c) x = 0, 5l ⋅1440m 2 → 60 cutii de vopsea(720 litri in cutii de 12l vopsea) 60 ⋅ 50 = 3000 lei

2p 1p 2p

a) Adreptunghi= 10 ⋅ 20 = 200m 2 π R2 A semicerc= 2 A= A dreptunghi-A semicerc=43 m 2

1p 2p 2p

nf o. ro

b) Al = 2 Lh + 2lh Finalizare Al=1440 m 2

b) Perimetrul=60 cm Lungimea celor 4 semicercuri 62,8 m Finalizare suma celor 2=122,8 m

c) 157 m 2 : 10 m 2 =15,7 m 2 rezulta 16 m 3

393

2p 2p 1p 5p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 148

Prof Raţ Cristina

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

x=1

20 cm

216

8,11

nf o. ro

5p 5p 5p 5p

SUBIECTUL II

(30 de puncte)

Desenaţi cubul Notaţi cubul

a b c = = =K 2 3 4 Înlocuim a,b,c in relaţia dată: 4 K 2 + 9 K 2 + 16 K 2 = 261 → K = 3 Finalizare a=6,b=9,c=12

x=1 y=2

2p 3p

a) a+b=6 f(0)=4 → b = 4 a=2

w 5

4p 1p

2p 1p

2p 2p 1p

b)f(x)=2x+4 2x+4=8 → x = 2

2p 3p

x=8 y=2 x+y=10 20% ⋅ 10=2

1p 1p 1p 2p SUBIECTUL III

394

(30 de puncte)

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 1.

www.mateinfo.ro

a) Perimetrul ABCD=32 m l 2 OB = =4 2 2 VB= 41 Finalizare L=57,6 m <60

1p 1p

b)Al=4 ⋅ AVBC

1p 2p

c) T=2L \Aflarea lui T=20 lei Finalizarea L=10 lei

a)MNPQ=romb (diagonale perpediculare) d1 ⋅ d 2 Aromb = 2 l Diagonala2= ( linie mijlocie △ AMB ) 2 Finalizare A=16 m 2 b) Aparchet=48 m 2 48:2=24 pachete 24 ⋅ 75=1800 lei

1p 1p 3p

nf o. ro

BC ⋅ VM Calculul ariei lui VBC folosind formula 2 2 Finalizare Al= 80 m

c) 16 ⋅ 25=400 lei(gresie) 12 ⋅ 60=720 lei(parchet) Finalizare 720+400=1120 lei

395

2p 1p 1p 1p

2p 1p 2p 2p 2p 1p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 149

Prof Raţ Cristina

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

{5,8}

29 9

7 2

21 cm 3

4 3

nf o. ro

5p 5p

SUBIECTUL II

(30 de puncte)

Desenţi paralelipipedul Notaţi paralelipipedul

Factor comun 6 n E= 6 n (2+36-15), E= 6 n ⋅ 22 E ⋮11

2p 2p 1p

x=2 y=5

3p 2p

w 5

4p 1p

a) Scoaterea factorilor de sub radical Finalizare x+y=0

3p 2p

b) calculul lui x,x= 14 3 − 15 2

2p 3p

calculul lui y,y= 15 2 − 14 3

f(-1)=-1 f(3)=11 Finalizare -11

2p 2p 1p SUBIECTUL III

396

(30 de puncte)

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 a) Al=2( Lh+lh)=192 m 2 1m 2 conine 2 plăci → 192 ⋅ 2 = 384 plăci

3p 2p

b) 384 ⋅ 15 lei=5760 lei

c)384:16=24 pachete Calculul volumului=8m 3 24 ⋅ 8=193 m 3 , 200 m 3

1p 2p 2p

nf o. ro

www.mateinfo.ro

a)3 rânduri de locuri de parcare si 2 culoare 36:1,5=24(locuri pe un rând) 24 ⋅ 3=72(locuri în total)

1p 2p 2p

b)Aria dreptunghiului =396 m 2 suprafaţa ocupată de locurile de parcare 36 ⋅ 2 ⋅ 3=216 m 2 396-216=180 m 2 suprafaţa culoarelor

1p 2p 2p

c)15 ⋅ 1=15 lei in prima oră numărul de maşini din a doua oră = 10 , 10 ⋅ 1=10 lei in a doua oră 72 ⋅ 1=72 lei in a treia oră Suma : 72+10+15=97 lei

1p 1p 1p 2p

397

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 150

Prof.RICU ILEANA

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

2,01

A ∩ B = [ −1;1]

26620000 locuitori

72m2

40cm2

3 ore

nf o. ro

5p 5p

SUBIECTUL II

Desenează prisma Notează prisma

Not.cu a,a+2,a+4cele trei numere naturale impare consecutive ⇒

a + ( a + 2 ) + ( a + 4 ) = 155 2

2 x = 3 y 2 x = 3 y  ⇒ x y  2 + 2 = 20  x + y = 40 Finalizare x=24˚; y=16˚

a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul functiei f Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul functiei f Trasarea graficului functiei

b) G f ∩ Ox = { A ( 2;0 )}

2p 2p 1p 1p 1p

G f ∩ Oy = {B ( 0; −4 )}

AB = OA2 + OB 2 = 2 5 sin α =

4p 1p

a1 = 5 ∈ ℕ ⇒ 5;7;9 ⇒ a + 4a − 45 = 0 ⇒  a2 = −9 ∉ ℕ 2

(30 de puncte)

OA 2 5 = = AB 2 5 5

398

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 5

( x + 5 + x − 5 )( x + 5 − x + 5)

E ( x) =

www.mateinfo.ro =

10 x 4 x 2 + 25

4 x + 20 x + 25 + 4 x − 20 x + 25 1 Presupunem ca E ( x ) ≤ , ∀x ∈ ℝ 2 10 x 1 20 x − 4 x 2 − 25 , x ⇔ ≤ ∀ ∈ ℝ ⇔ ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ 4 x 2 + 25 2 4 x 2 + 25 2

4 x 2 + 25

≤ 0, ∀x ∈ ℝ Este adevarata ∀x ∈ ℝ

SUBIECTUL III

a) A△ AHE =

7,5 ⋅ 3 = 11, 25m 2 2 2

562.5kgˑ 2lei=1125 lei 2,5 ⋅ 3 = 3,75m 2 2

168,75kgˑ 1,5lei=253,125 lei

2p 2p

⇒ 3,75m ˑ45kg=168,75kg ardei

c) ABEDC = 10 ⋅ 3 = 30m 2

(30 de puncte) 2p 2p

⇒ 11,25m ˑ50kg=562.5kg vinete

b) A△ AHB =

pBEDC = 10 ⋅ 2 + 13 ⋅ 2 = 26m lungimea gardului 30m2 : 1m2=30 păsări maxim

a) pr( ADD′) ( BD′ ) = AD′ ⇒ ∢ ( BD′; ( ADD′ ) ) = ∢AD′B

În △ AD′B ( m ( ∢D′AB ) = 90 ) calculăm tg ( ∢AD′B ) =

AB ( ∗) AD′

În △ ADD′ ( m ( ∢ADD′ ) = 90 ) ⇒ AD′ = 100 + 2025 = 5 85

T . Pitagora

Înlocuim în rel.(*) ⇒ tg ( ∢AD′B ) =

2 85 85

3 3 din AA′ ⇒ ⋅ 45 = 33,75cm 4 4 = Abazei ⋅ h = 100 ⋅ 33,75 = 3375cm3 = 3,375dm3 = 3,375l

b)Înălţimea apei în vază este de Vapei

nf o. ro

( 2 x − 5) −

c) V1 = VABCDA′B′C ′D′ = Abazei ⋅ h = 100 ⋅ 45 = 4500cm3 = 4,5dm3 = 4,5l se pot pune în vază ⇒ 4,5litri - 4litri=0,5litri = 0,5dm3 = 500cm3 este volumul bilei introduse 4π r 3 375 3 = 500 ⇒ r 3 = ⇒ r = 53 ⇒ 3 π π

399

1p 2p 2p 1p 1p 1p 2p 1p 2p 3p 2p 2p 1p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 151

Prof.RICU ILEANA

SUBIECTUL I

4 3

10236

210 g

OC=16

81cm2

9 capitole

nf o. ro

(30 de puncte)

5p 5p 5p

Notează piramida

a 2 + b 2 = ( a + b ) − 2ab =

25 − 2 ⋅

1 1 49 = 25 − = 4 2 2

3p 2p 3p

x=bile rosii;y=bile galbene x = 5y  x = 45  x = 5 y ⇔ ⇔  5 y − 5 = 4 y + 4 y = 9  x − 5 = 4 ( y + 1)

a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul functiei f Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul functiei f

2p 2p 1p

(30 de puncte)

Desenează piramida

SUBIECTUL II

Trasarea graficului functiei

  3  b) G f ∩ Ox =  A  ; 0     2 

Gg ∩ Ox = { B ( 6;0 )} ⇒ AB = OB − OA = 6 − G f ∩ Gg = {C ( 3;3)} A△ ABC =

3 9 = 2 2

1p 2p

AB ⋅ yC 27 = 2 4

400

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 5

www.mateinfo.ro 2p

a b c = = = k si 2b=9d ⇒ 2 3 4 2 a=2k;b=3k;c=4k; d = k 3

Calculam 2a2 + b2 + 3c2 + 10d2=65k2+

40 2 625 2 k = k 9 9

a)Calculam AC=10m Perpendiculara dusă din B pe AC intersectează A′C ′ in B′′ si pe AC in B′ ⇒ AB ⋅ BC = 4,8m şi BB′′ = 3,8m BB′ = AC A′B BC ′ A′C ′ BB′′ = = = △ A′BC ′ ∼△ ABC ( A′C ′ AC ) ⇒ ⇒ A′B = 3,8m si BB′ AB BC AC B′C = 4, 75m Finalizare:Lung.gard.=22,55m

b)Calculam A′C ′ = 7,91m ( AC + A′C ′) ⋅ B′B′′ = 39, 5m2 Aalee=Atrapez= 2

c)Fie O centrul cercului înscris în △ ADC şi notăm cu r raza acestuia A△ ADC = A△ AOC + A△ AOD + A△ DOC ⇒ r=2 m Finalizare: Acerc = 4π m2 a) Pbazei = 2 ( L + l ) = 2 ⋅ 34 = 68m

Al = Pbazei ⋅ h = 68 ⋅ 2,5 = 170m

⇒ 170+240=410m2faianta

b) Vbazin = Abazei ⋅ h = 240 ⋅ 2,5 = 600m3

Vapei = 80% ⋅ Vbazin = 80% ⋅ 600 = 480m = 480000litri 3

480000 litri : 1000=480kWh consum energie electrica 480kWh ˑ0,35leiˑ 4=672 lei costă lunar schimbarea apei în bazin Vapei = Abazei ⋅ h

⇒ 480m3 == 240 ⋅ h ⇒ h =

1p 1p 1p

2p 2p 1p 1p 2p 1p 1p

Abazei = L ⋅ l = 24 ⋅ 10 = 240m 2

(30 de puncte)

nf o. ro

SUBIECTUL III

1p 2p 1p 1p 2p

480 = 2m 240

401

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta152

Prof.RICU ILEANA

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

x=44

120˚

18cm

11cm2

nf o. ro

15 5 = 36 12

5p 5p

SUBIECTUL II

Desenează prisma

Notează prisma

c(a-b+3)=3293 ⇒ 89(a-b+3)=3293

Scrierea complementului lui α Scrierea suplementului lui α 90 − α 1 = ⇔ 180 − α 19 Finalizare: α=85˚

1p 1p 1p

a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul functiei f Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul functiei f

Trasarea graficului functiei

3p 2p

w 4.

3p 2p

⇒ a-b+3=37 ⇒ a-b=34

(30 de puncte)

⇔ 3 − 4x −1 ≥ 4x

2p 2p 1p 2p

1 4 Cum x ∈ ℕ ⇒ S = {0}

⇔ 8x ≤ 2 ⇔ x ≤

2p 1p

2 x − y = 4 3 ⇒ x = ; y = −1  2 2 x + y = 2

3p 2p

402

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

Finalizare 4 x 2 + y 2 =10 SUBIECTUL III

(30 de puncte)

a)Raza dusă în punctul de tangenţă este perpendiculară pe tangentă.

⇒ OA ⊥ l ; PC ⊥ l ⇒ OA PC ⇒ OACP trapez ;dar m ( ∢A ) = 90 ⇒ OACP este trapez dreptunghic Ducem PH ⊥ OA ;aplicăm teor.Pitagora în △ PHO ⇒ PH= 6 3cm

⇒ AOACP =

( OA + PC ) PH 2

nf o. ro

12 ⋅ 6 3 = 36 3cm 2 2

OP ⇒ m ( ∢OPH ) = 30 ⇒ m ( ∢O ) = 60 2 a 2 3 81 3 2 = ⇒ △OAB echilateral ⇒ A△OAB = cm 4 4 În trapezul OACP cu m ( ∢O ) = 60 ⇒ m ( ∢OPC ) = 120

b)Observam în △ PHO : OH =

În △ BPC isoscel ducem PM ⊥ BC ⇒ PM bisect. ⇒ m ( ∢BPM ) = 60 şi

BC ⋅ PM 9 3 2 = cm 2 4

⇒ A△ PBC =

A△ ABC = A△OACP − A△OAB − A△ PBC =

π ⋅ R2 ⋅α

27 3 2 cm 2

c) Asec t .cerc =

3 3 cm ⇒ BC = 3 3cm 2

m ( ∢MBP ) = 30 ⇒ PM=3/2cm.Calc. MB =

360 π ⋅ 92 ⋅ 60 27π 2 = A1 = Asec t .C (O;9) = cm 360 2 π ⋅ 32 ⋅ 120 = 3π cm 2 A2 = Asec t .C ( P ;3) = 360 33π 11π  = 3  12 3 − ⇒ A = A△OACP − A1 − A2 = 36 3 − 2 2 

2p  2  cm 

a) Baza hexagon regulat ⇒ AB = OB = 10 m VO ⊥ ( ABC )  0 T .P. → c12 + c22 = ip 2 ⇒  ⇒ VO ⊥ OB ⇒ ∆VOB : m ( ∠O ) = 90  OB ⊂ ( ABC )  VO= 13 2 − 10 2 = 69 m Fie VM apotema piramidei în faţa laterală VAB. Avem AM = 5 m 2

VM = VA − AM

= 12 m 2p

b) SABCDEF=150 3 m2 Alaterala =

Pbazei ⋅ ap 60 ⋅ 12 = 360m 2 ⇒ Alat . = 2 2

403

2p 1p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

VVABCDEF=150 23 m3 c) Necesarul de material 2 ⋅ Alaterala = 720 m2. Costul materialului 720 ⋅ 13,50 = 9720 lei. Costul podelei: 150 3 m2ˑ20lei=300 3 lei ≈ 519lei ⇒ 9720 lei+519lei=10239lei total costuri

nf o. ro

2p 1p

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 153

Prof. Ricu Ileana

SUBIECTUL I

-6

5+ 3 11

(30 de puncte)

P=0,5

42 lei

156cm2

1180 persoane

SUBIECTUL II

5p 5p

(30 de puncte)

a + b + c = 200  ⇒ a=55;b=45;c=100 a + b = c a − b = 10 

V=Abazei·h ⇒ h=8cm

(x-13)+(5+3x)=180 ⇒ x=47

 x 2 + x − x 2 x − x + 1  x ( x − 1)( x + 1)  = 2 x ( x − 1) : = 2 ⋅ a) E ( x ) = 2     2 2 x 2 − 1  x +1 1  ( x + 1)  ( x + 1) 

404

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

(

) +8 = 4−2

2 −1

www.mateinfo.ro 2 + 8 2 + 8 12 + 6 2 = = 2 +1 2 +1

( 2 ) + 8 = 2 +1 b) 6(2 + 2 ) 6(2 2 − 2 + 2 − 2 ) = = =6 2 2

2 −1

2 +1

Atrapez=

( B + b) h ⇒ 2

Atrapez=( 7 − 1 )( 7 − 1 )=7-1=6cm2 SUBIECTUL III

a)Adormitor=20 m2 ⇒ 20:1,25=16 cutii parchet

b)Atrapez=

( 4 + 2 ) ⋅ 5 = 15 m2

π ⋅ 25 4

= 6, 25π ≈ 19,625m 2

Asector cerc=

π R2

(30 de puncte)

nf o. ro

Not.MN==linia mij. ; B+b=2MN ⇒ B+b=2( 7 − 1 );

⇒ Aterasa=15+19,625=34,625m2

c)34,625·32=1108 lei costă gresia 2.

1 ⋅ BD=10cm;ED=40cm 5

a)Calc.BD=50cm;BE =

In ∆MED avem:MD=40 2 cm ⇒ A∆MDB=

BD ⋅ ME = 1000cm2 2

ME ⊥ ( ABC )   T .3 perp. b)Ducem EF ⊥ BC ;avem BC ⊂ ( ABC )  ⇒ MF ⊥ BC  ME ⊥ ( ABC )  EF DC ⇒△ BEF ∼△ BDC ⇒

BE EF = ⇒ EF = 8cm BD DC

In ∆MEF: MF = ME 2 + EF 2 = 2 421 c) ( MCB ) ∩ ( ADB ) = BC ; ∡ ( ( MCB ) ; ( ADB ) ) = ∢ ( MF ; EF ) = ∢MFE

405

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

⇒ tg ( ∢MFE ) =

www.mateinfo.ro

ME 40 = =5 EF 8

Varianta 154

nf o. ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Prof. Ricu Ileana

SUBIECTUL I 1.

S={6;-3;-1;4}

13 15

P=0,2

Diferenta=9,016 lei

16 3

198 = 3,96 carti 50

SUBIECTUL II

3 3−2 ;B = ;A<B 10 10

5p 5p 5p

(30 de puncte) 5p

Not.x=pretul initial ; 20%·x=lei se reduce pretul ⇒ x-20%·x=320 ⇒ 20   x 1 −  = 320 ⇒ x=400 lei  100 

Not.P(a;b) ⇒ 2a=3b(1) P ∈ G f ⇔ f ( a ) = b (2)

(30 de puncte)

2a = 3b a = 9 ⇔ ⇒ ⇒ P(9;6) a − 3 = b b = 6

406

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

2  a + 2  a ( a − 2a + 1) a−3 a −1 E (a) =  − + = ⋅ 2  ( a − 1)( a + 1) a ( a + 1) a ( a − 1)  a + a + 2a + 2

a ( a − 1) a 2 − 3a − a 2 + 2a − 1 + a 2 + 2a + a + 2 a) = ⋅ = a ( a − 1)( a + 1) ( a + 1)( a + 2 ) 2

a ( a − 1) ( a + 1) a +1 = ⋅ = a ( a − 1)( a + 1) ( a + 1)( a + 2 ) a + 2 b) E(a ) =

nf o. ro

a −1 a + 2 −1 a + 2 1 1 = − = 1− ; ⇒ E (a) = a+2 a+2 a+2 a+2 a+2

E ( a ) ∈ ℕ ⇔ a + 2 / 1 ⇔ a + 2 ∈ {±1} si a ∈ ℕ ;

Avem a+2=1 ⇒ a= -1 ∉ ℕ ; a+2= -1 ⇒ a= -3 ∉ ℕ ; Deci a ∈∅ 5

48:12=4cm lungimea unei muchii A=a2 ⇒ A=16cm2

SUBIECTUL III

Calculam B′D′ = 12 2 cm; folosim teor.Pitagora în △ BB′O′ , m ( ∢B′ ) = 90

(30 de puncte)

⇒ O′B = 6 6

b) D′C A′B ⇒ ∢ ( AD′, A′B ) = ∢AD′C Triunghiul AD/C este echilateral (laturile sunt diagonale ale feţelor cubului) m(∠( AD/,A/B)) = m(∠ AD/C) = 600

( BB′D ) AD′ ⊥ ( A′B′D ) ⇒

c) AC ⊥

⇒ AC ⊥ B′D (*) ;

AD′ ⊥ B′D (**);

Din (*) şi (**) rezultă

B′D ⊥ (AD′C)

a)Vpiramidei=Abazei·h=49·20=980cm3

b)Vcilindru= π R 2 h =135 π cm3

c) m = V ⋅ ρ ⇒ m=135 π ·11,3=1525,5 π grame≈4790.07grame≈4,790kg

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

407

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

Varianta 155

Prof. Ricu Ileana SUBIECTUL I

(30 de puncte)

4 ⋅ x − 3 ⋅ x + 3 + 2 x − 3 = 0 ⇒ 2 x − 3 ( 2 x + 3 + 1) = 0 ⇒ x − 3 = 0 ⇒ x = 3

nf o. ro

1 Sau 2 x + 3 + 1 = 0 ⇒ x + 3 = − (nu are solutii;stim ca x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ) 2 Deci A={3}; | x- 1 | ≤ 2 ⇔ -2 ≤ x-1 ≤ 2 ⇔ -1 ≤ x ≤ 3 ⇔ B=[-1;3] A ∩ B={3}

1 1 4 6 + = 5 ∉ ;  a b 5 5

4 6

Februarie

SUBIECTUL II

(30 de puncte)

x y z 180 = = = ⇒ z = 90 14 12 26 52

M ∈ G f ⇔ f ( a ) = b ⇔ 2a − 1 = b (1)

Notam x=masura unui unghi ⇒ 5x=masura unghiului mai mare ⇒ x+5x+72=180 ⇒ x=18◦ ⇒ 5x=90◦

2 x 2 + x − 1 ≠ 0  a)E(x) are sens daca: 2 x 2 − x − 1 ≠ 0 2 x 2 + 1 ≠ 0 

M ∈ Gg ⇔ g ( a ) = b ⇔ a − 3 = b ( 2 )

Din (1) si (2) ⇒ a= -2;b= -5

Consideram 2x2+x-1=0 ⇔ x2+x+x2-1=0 ⇔ x(x+1)+(x+1)(x-1)=0 ⇔ 1 (x+1)(2x-1)=0 ⇔ x= -1sau x= ; 2 1 Analog,consideram 2x2-x-1=0 ⇔ x=1 sau x= 2 2x2+1≠0, ∀x ∈ ℝ (deoarece 2x2≥0, ∀x ∈ ℝ si 2x2+1>0, ∀x ∈ ℝ ) 1  Deci x ∈ ℝ \ ±1; ±  2 

408

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

2  ( 2 x − 1)2  x − 1  ( 2 x − 1) ( 2 x + 1)  x − 1 2 x + 1) ( E ( x) =  + = + = ⋅  ⋅ 2  ( x + 1)( 2 x − 1) ( x − 1)( 2 x + 1)  2 x 2 + 1  ( x + 1) − + x x 1 2 1 ( )    

 4 x 2 + 2  x − 1  2 ( 2 x 2 + 1)  x − 1 2 ⋅ 2 = ⋅ 2 = =     ( x + 1)( x − 1)  2 x + 1  ( x + 1)( x − 1)  2 x + 1 x + 1

Not.a;a+1;a+2 laturile paralelipipedului ⇒ a 2 + ( a + 1) + ( a + 2 ) = 5 2 ⇒ 2

nf o. ro

a2+a2+2a+1+a2+4a+4=50 ⇒ a2+2a-15=0 ⇒ a1= -5nu convine); a2=3 ⇒ 3;4;5 sunt lungimile muchiilor ⇒ V=60cm3 SUBIECTUL III 1.

a)pr(ABC)SB=AB ⇒ ∢ ( SB; ( ABC ) ) = ∢SBA

(30 de puncte) 5p

In ∆ABD(AB≡AD=lat.romb; m ( ∢A) = 60 ) ⇒ m ( ∢ABD ) = m ( ∢ADB ) = 60 ⇒

∆ABC echilateral ⇒ AB=AD=BC=DC=14cm In ∆SAB( m ( ∢A) = 90 ) ⇒cf.teor.Pitagora:SB=14 2 cm

AO=7 3 ⇒ AC=2AO=14 3 cm;

b)Not.BD∩AC={O};calculam diagonalaAC astfel:in ∆AOB( m ( ∢O ) = 90 ) ⇒

In ∆SAC( m ( ∢O ) = 90 ) ⇒ SC=28cm ⇒ sin ( ∢ACS ) =

m ( ∢ACS ) = 30

(

( (

)

h S + s + Ss ;S=50·5=250m2;s=10m2 ⇒ 3 2, 4 V= 250 + 10 + 250 ⋅10 = 0,8 ( 250 + 10 + 50 ) = 248m3 3

b)248:0,5=496 roabe

a) V =

)

SA 14 1 = = ⇒ SC 28 2

c) P△ SBC = 14 3 + 2

c)248:4=62 transporturi de camion

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 156

Prof. Ricu Ileana

409

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

SUBIECTUL I

{

(30 de puncte)

}

A ∩ ( ℝ \ ℚ ) = −3 2; π

S={-3;5}

d=13cm

60◦

44 miliarde

nf o. ro

5p 5p

19 = 0,021 900

SUBIECTUL II

(30 de puncte)

a + 8 = b   a + 5 8 ;rezolvând sistemul obţinem a=11;b=19  b − 1 = 9

L l=800;aria devine:

Apistei=

Alat .cilindru 2π rg = = π ⋅ 4 ⋅ 5 = 20π m2 2 2

1 1 1 25 A= ( l + 25% ⋅ l )( L + 25% ⋅ L ) = lL + lL + lL + lL = lL = 1250cm 2 4 4 16 16

E ( x) = a)

x − 1− x

x + 1− x

x + 1− x − x + 1− x 2 1− x = x − (1 − x ) 2x −1

(

)

⇒ E 2 3 −3 =

−

2 1− 2 3 + 3

(

)

2 2 3 − 3 −1

(

= ( rationalizare ) = −2 3 3 + 5

(

2 1− 3 4 3 −7

)

2 1− 3 4 3 −7

(

3 −1

4 3 −7

)

1 − x ≥ 0 1  ⇔ 1 − x = 2 x − 1; cond :  ⇔ x ∈  ;1 2  2 x − 1 ≻ 0 1  b)E(x)=2 Avem :1 − x = 4 x 2 − 4 x + 1 ⇔ 4 x 2 − 3 x = 0 ⇔ x1 = 0 ∉  ;1 si 2  3 1  x2 = ∈  ;1 4 2 

410

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

Not.AD=a cm ⇒ AB=2a;PABCD=30 ⇒ 4a+2a=30 ⇒ a=5cm Cateta opusa unghiului de 30◦este ½ din ipotenuza. ⇒ h=2,5cm. ⇒ AABCD=b·h=10·2,5=25cm2

SUBIECTUL III

(30 de puncte)

MA ⊥ ( ABCD )

  Teor .3 perp. a) DC ⊂ ( ABCD )  ⇒ MD ⊥ DC  AD ⊥ DC ( m ( ∡ADC ) = 90 )  Ducem OE ⊥ DC ⇒ OE AD,dar O=mijl.segm.[MC] ⇒ OE=linie mijl.a MD ;in △ MDC calc.MD=60cm ⇒ OE=30cm △ MDC ⇒ OE= 2

b)In △ ADM ( m ( ∡A ) = 90 ) avem: sin ( ∡ADM ) =

nf o. ro

MA 36 3 = = MD 60 5 AB 27 3 In △ ABM ( m ( ∡A) = 90 ) avem: cos ( ∡ABM ) = = = unde BM s-a MB 45 5 calc.in △ MAB ( m ( ∡A ) = 90 ) cu teor.Pitagora In △ ADB ( m ( ∡A) = 90 ) avem: tg ( ∡ADB ) =

AD 48 16 = = AB 27 9 428 ⇒ sin ( ∢ADM ) + 3cos ( ∢ABM ) + 4tg ( ∢ADB ) = 45 CD ⊥ MD ( cf . pct.a ) )

a)Vcub=3,375m3 Vpiramida=1,125m3 ⇒ V =4,5m3 corp

p ⋅ ap 1,5 ⇒ 4,5 2 ;ap.= Slat.piram.= m 2 2 2 Slat.cub=p·h=6·1,5=9m2

 c)Avem  ⇒ CD ⊥ ( MD; AD ) ⇒ CD ⊥ ( MAD ) CD ⊥ AD ( lat.dreptunghi )  ⇒ pr(MAD)CM=MD=60cm(s-a calc.la pct.a))

b)Slat.piram.=

c) ρ =

m ⇒ m=V ρ =4500dm3·1,5=6750kg V

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 157

Prof. Ricu Ileana SUBIECTUL I

411

(30 de puncte)

Evaluare NaÅ£ionalÄ&#x192; MatematicÄ&#x192; 2014-2015

www.mateinfo.ro

x=17-3 2 â&#x2021;&#x2019; propozitie falsa

S={-11;14}

x=16

135

0,4

56,25%

nf o. ro

5p 5p

SUBIECTUL II

a â&#x2C6;&#x2C6; ( 2;5 ) â&#x2021;&#x201D; 2 < a < 5 â&#x2021;&#x2019; a-2>0 si a-5<0

( a â&#x2C6;&#x2019; 2)

( a â&#x2C6;&#x2019; 5)

= a â&#x2C6;&#x2019;2 + a â&#x2C6;&#x2019;5 = a â&#x2C6;&#x2019; 2â&#x2C6;&#x2019; a +5 = 3

(30 de puncte)

2x-60=155-3x â&#x2021;&#x2019; x=43

ï£±ï£´ x + y = 30 ï£± x = 18 Notam x=nr.fetelor;y=nr.baietilor â&#x2021;&#x2019; ï£² â&#x2021;&#x2019;ï£² ï£´ï£³ x + 3 = 3 ( y â&#x2C6;&#x2019; 5 ) ï£³ y = 12

a) a) n â&#x2C6;&#x2C6; N* avem:Caz I: n = 2k â&#x2021;&#x2019; 32 k = 9 k = (4 â&#x2039;&#x2026; 2 + 1) = 4 p + 1 â&#x2021;&#x2019; r = 1 .

5p 5p

Caz II : n = 2k + 1 â&#x2021;&#x2019; 32 k +1 = 9 k â&#x2039;&#x2026; 3 = (4 p + 1) â&#x2039;&#x2026; 3 = 12 p + 3 â&#x2021;&#x2019; r = 3 .Suma resturilor este: 3 + 1 + 3 + 1 + 3+ â&#x2039;¯ +

1 + 3 = 4 â&#x2039;&#x2026; 1003 + 3 = 4015 . 2006 termeni

b) S = 3 + 32 + 33 + â&#x20AC;¦ + 32007 = 3(1 + 3) + 33 (1 + 3) + â&#x20AC;¦ + 32005 (1 + 3) + 32007 =

(

)

= 4 3 + 33 + â&#x20AC;¦ + 32005 + 12 p + 3 â&#x2021;&#x2019; restul este 3.

AO=

2 4 3 AM= ; â&#x2C6;¢ (VA; ( ABC ) ) = â&#x2C6;¢ (VA; AO ) = â&#x2C6;¢ (VAO ) = 60 (cf.ipot.) â&#x2021;&#x2019; 3 3

â&#x2C6;¢AVO = 30 â&#x2021;&#x2019; VA=2AO=

Not.d(O;VA)=h;Aâ&#x2C6;&#x2020;VOA=

8 3 ;Inâ&#x2C6;&#x2020;VAO,cf.teor.Pitagora obtinem VO=4cm 3

VA â&#x2039;&#x2026; h AO â&#x2039;&#x2026; VO = â&#x2021;&#x2019; h=2 2 2

412

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

SUBIECTUL III

(30 de puncte)

b) n △ MCB ( m ( ∢C ) = 90 ) ⇒ MB= 4 2 cm ⇒ AB=MB=MA= 4 2 cm ⇒

∆MAB echilateral ⇒ A∆MAB=

⇒d =

d= 30

A△ ABC ⋅ MC A△ ABM ⋅ h 4 3 = ⇒ h= 3 3 3

a)d =

a2 3 = 8 3 cm2 4

c)Not. d ( C ; ( MAB ) ) = h ;exprimam vol.piramidei in 2 moduri ⇒

nf o. ro

MC ⊥ ( ABC )( ip )   Re cipr .Teor .3 perp. a)Construim MN ⊥ AB;avem: AB ⊂ ( ABC ) ⇒ CN ⊥ AB   MN ⊥ AB ( constr.)  AB ⋅ CN AC ⋅ BC Calc.AB= 4 2 cm(Teor.Pitagora); A△ ABC = = ⇒ CN= 2 2 2 2 In △ MCN ( m ( ∢C ) = 90 ) ⇒ MN= 2 6 cm

c) Sfaianta = 956 m2 = 9 560 000 cm2 Suprafaţa de faianţă ce poate fi acoperită cu o cutie de faianţă : S’ = 40·20 = 800 cm2.

b)Sfaianta=Alaterala+Abazei Al = 2 (L·l + l·h) ⇒ Al = 2 (50·14 + 14·2) =256 m2 Ab = L·l ⇒ Ab = 50·14 = 700 m2 ⇒ S = 256 + 700 = 956 m2

Numărul de cutii: n =

. ⇒ n=

= 11 950 cutii.

⇒ costul lucrării este:11 950 · 15 = 179 250 lei

413

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 158

Prof. Soare Roxana

SUBIECTUL I

nf o. ro

(30 de puncte)

u=60

144

SUBIECTUL II

desen

(30 de puncte) 5p 5p

B(1,2)

C(-2,-1) Obţinem a)

;

414

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

⇔ x ∈ {−3; −1;0; 2}

5p 5p

nf o. ro

5 SUBIECTUL III

a) A=32m2 , deci cantitatea de parchet necesară este 35m2 . costul pentru 1m2 = 36 lei , deci costul parchetului este 1260 lei .

;

a) înălţimea piramidei este

)m2

c) aria suprafeţei neacoperite de covor este (32-

(30 de puncte)

5p 5p

⇒cantitatea de staniol necesară este 72 cm2

415

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 159

Prof Soare Roxana

SUBIECTUL I

8 38cm

nf o. ro

(30 de puncte)

5p 5p 5p

Desen +notaţie

(30 de puncte) 5p 5p

SUBIECTUL II

Deci x este un divizor comun al numerelor 360,240,480 cuprins între 50 şi 80, de unde x=60 .

⇔

a) Notăm cu x suma iniţială . Obţinem ecuaţia :

lei. b) În prima zi elevul a cheltuit 30 lei , iar în a doua zi 60 lei.

5p 5p

416

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

SUBIECTUL III

b) MNPQ este romb

c) costul gresiei este 105 ˑ45=4725 lei, costul chitului este 472,5 lei , iar costul manoperei este 5670 lei , deci costul total este 10867,5 lei

a) Notăm cu x numărul natural impar, deci trei numere naturale impare consecutive x, x+2,x+4 ⇒x=5.

. Notăm

⇒

c)Fie BM⊥B’C⇒

nf o. ro

(30 de puncte)

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 160

SUBIECTUL I

(30 de puncte) 5p

300

810

Prof. Soare Roxana

416

7,33

SUBIECTUL II

417

(30 de uncte)

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

Desen + notaţie

5p ⇔

nf o. ro

De unde obţinem 4.

Notăm cu x numărul de bănci .Obţinem ecuaţia :

, de unde rezultă că numărul de elevi este 33.

a) b)

SUBIECTUL III

5p 5p

c)patrulaterul AFDE este dreptunghi.

(30 de puncte)

⇒numărul necesar de cutii este

vor încăpea 36 de cuburi de gheaţă.

cutii c)

;

418

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 161

Prof. Ştefan Maria Lăcrămioara

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1265

-6

nf o. ro

5p 5p 5p 5p

Desenează prisma Notează prisma

SUBIECTUL II

3x + 1 ∈ ℤ ⇔ ( 2 x − 5 ) | ( 3 x + 1) 2x − 5

Formează sistemul:

4p 1p 1p

( 2 x − 5) | ( 3x + 1)   ⇒ ( 2 x − 5 ) |  2 ( 3 x + 1) − 3 ( 2 x − 5 )  ( 2 x − 5) | ( 2 x − 5 )

Scrie divizorii ( 2 x − 5) ∈ D17 = {−17; −1; +1; +17} ⇒ 2 x ∈ {−12; 4; 6; 22}

Determină mulţimea A = {−6; +2; +3; +11}

Notează x numărul paginilor din carte.

(30 de puncte)

Scrie modelul matematic:

3 1 3 1 ⋅ x + 5 = x sau ⋅ x + 5 + x = x 7 2 7 2

Rezolvă ecuaţia şi obţine soluţia x = 70

Finalizare: Cartea are 70 pagini

419

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 4.

www.mateinfo.ro

a) Amplifică şi aduce la acelaşi numitor: −( x + 2 )  x −2 x + 1 4 6  2x2 − 5x + 2 E ( x) =  − 2 − ⋅ x+2 x −4 2 − x  x+3 

x 2 + 5x + 6 2 x2 − 5x + 2 ⋅ x+3 ( x − 2 )( x + 2 )

E ( x) =

nf o. ro

Descompune numărătorii: x 2 + 5 x + 6 = ( x + 2 )( x + 3)

2 x 2 − 5 x + 2 = 2 x 2 − 4 x − x + 2 = ( 2 x − 1)( x − 2 ) Simplifică şi obţine rezultatul final: ( x + 3)( x + 2 ) ⋅ ( x − 2 )( 2 x − 1) = 2 x − 1 E ( x) = x+3 ( x + 2 )( x − 2 )

b) E ( x ) + 3 5 =

= 4 ⇒ E ( x) = 7

( E ( x )) − (3 5 )

4 ⇒  E ( x ) + 3 5  ⋅  E ( x ) − 3 5  = 4 E ( x) − 3 5

Rezolvă ecuaţia 2 x − 1 = 7 şi obţine soluţiile x ∈ {−3; 4} ,dar

{

}

1 x ∈ ℝ \ −3; −2; ; 2 ⇒ x = 4 2 mg = a ⋅ b

Aplică formule de calcul prescurtat

( 7 − 4 3 )(3 + 5 )( 7 + 4 3 )(3 − 5 ) =

mg =

Finalizare mg = 4 = 2

( 49 − 48)( 9 − 5 ) 2p

SUBIECTUL III

420

(30 de puncte)

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

a) MN =

nf o. ro

a) B+b unde b = ZE 2

ZC ⊥ BA; C ∈ BA   CD = ZE = 40 cm ED ⊥ BA; D ∈ BA

( ) ( )

m Cˆ = 90°  ∆ZCA :  ⇒ m Zˆ = 45° ⇒ ∆ZCA isoscel ˆ m A = 45°  

( )

⇒ CA = ZC = 60 m

MN = 100 m

A1 2100 ⋅ 100 = ⋅ 100 = 53,84% A2 3900

c) p% =

BA + MN h ⋅ = 3900 m2 2 2

A2 =

MN + CD h ⋅ = 2100 m2 2 2

b) A1 =

BA = BD + DC + CA = 160 m

a) L = 24m = 2400cm ⋮ 30

l = 3m = 300cm⋮ 30

h = 2 , 4m = 240cm ⋮ 30

b) Calculează aria laterală şi aria bazei A = 129,6 m2 + 72 m2 = 201,6 m2.

c) suprafaţa acoperită de o cutie de faianţă 50 ⋅ 0 , 09 = 4 ,5 m2.

Necesarul de faianţă: 225,6 m2 ⋅105% = 211, 68 m2. Numărul de cutii necesare 211,68 : 4,5 = 47,04 Sunt necesare 48 cutii.

421

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 162

Prof. Ştefan Maria Lăcrămioara

SUBIECTUL I

nf o. ro

(30 de puncte)

243

600

60 ha

5p 5p 5p

Desenează tetraedrul

Notează tetraedrul

SUBIECTUL II

2x + 3 2x + 3 ≤ 3 ⇔ −3 ≤ ≤3 5 5

(30 de puncte) 5p

Un pix costă 3 ⋅1,8 = 5, 4

−9 ≤ x ≤ 6 ⇒ A = [ −9; 6]

5 caiete costă 5 ⋅1,8 = 9

4 pixuri costă 5, 4 ⋅ 4 = 21, 6 Total: 9 + 21,6 = 30,6

a) f : ℝ; f ( x ) = 2 x − 5 ⇒ f ( 0 ) = −5

G f ∩ Oy = { A ( 0; −5 )}

422

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

2x − 5 = 0 ⇒ x =

b) A∆AOB =

5   5  ⇒ G f ∩ Ox =  B  ;0   2   2 

AO ⋅ OB 2

3 −5

)

+ 3⋅

(

3−2

)

nf o. ro

AO = 5  25  (u.a.) 5  ⇒ A∆AOB = 4 BO =  2

= 3 3 − 5 + 3⋅ 3 − 2

3 3 >5⇒ 3 3 −5 =3 3 −5 3−2 =2− 3

n = 3 3 − 5 + 6 − 3 3 ⇒ n = 1 = 12

3 <2⇒

www.mateinfo.ro

SUBIECTUL III

a) [ AC = bisectoare ⇒ m ( ∡CAB ) = 30°

∆ABC :

(30 de puncte) 5p

m ( ∡B ) = 90° 1  ⇒ BC = AC ⇒ AC = 2 BC = 48 m 2 m ( ∡A ) = 30° 

b) [ AC = bisectoare ⇒ ∡DAC ≡ ∡CAB

DC AB : AC = secantă ⇒ ∡CAB ≡ ∡ADC (alterne interne)

⇒ ∡ACD ≡ ∡DAC ⇒ ∆ADC = isoscel ⇒ [ AD ] = [ DC ]

Fie P ∈ AC : AP = PC = 24 ⇒ DP ⊥ AC

( )

AP 3 24 ∆ADP : m Pˆ = 90° ⇒ cos Aˆ = ⇒ = ⇒ AD = 16 3 AD 2 AD

c) P = AB + BC + CD + DA

P = 24 3 + 24 + 16 3 + 16 3 = 56 3 + 24 = 120,88 < 120 m ; este insuficent.

423

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 2.

www.mateinfo.ro

a) A = 2 ⋅ BC ⋅ CF = 4000 m2

b) V = Ab ⋅ = 1000 3 m3

Ab =

l2 3 = 3 4

c) Asectiunii = 3 ≃ 1,73

nf o. ro

Debitul pe secundă: 2m3 / s ⋅ 1,73 = 3,46m3 / s

Debitul pe oră: 3600 ⋅ 3, 46m3 / s = 12456m3 / h

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 163

Prof. Ştefan Maria Lăcrămioara

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

−x

x =8 5

9 5

w 1.

5p 5p

200

SUBIECTUL II

Desenează piramida.

(30 de puncte) 5p

Notează piramida. Calculează f ( 0 ) = −7 şi f ( 3) = −5

Finalizează f ( 0 ) − 2 f ( 3) = 3

424

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 3.

www.mateinfo.ro

Notează cele două numere cu a şi b

a = b + 11,6 ma =

a+b ⇒ a + b = 63, 4 2

nf o. ro

Determină b = 25,9 şi a = 37,5 4  ( x + 1)( x − 1)  1 + ⋅ 3x − 1  x +1 x −1 

a) E ( x ) =  E ( x) =

5x + 3 ∈ Z ⇔ ( 3x − 1) ( 5 x + 3) 3x − 1

Formează sistemul

( 3x − 1) ( 5 x + 3)   ⇒ ( 3x − 1) (15 x + 9 ) − (15 x − 5 ) ⇒ ( 3x − 1) 14 ( 3x − 1) ( 3x − 1) 

( x + 1)( x − 1) ⇒ E x = 5 x + 3 5x + 3 ⋅ ( ) 3x − 1 3x − 1 ( x + 1)( x − 1)

 

1  3 

x ∈ {1;5}

( 3x − 1) ∈ D14 = {1;2;7;14} ⇒ 3x ∈ {2;3;8;15} ⇒

dar x ∈ ℝ − −1; ;1 ⇒ x = 5

n = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 4021 =

( 4021 + 1) ⋅ 2011: 2

SUBIECTUL III

n = 2011 ⋅ 2011 = 2011∈ ℕ

(30 de puncte) 1 2

a) Fie A = aria paralelogramului ⇒ A ( ∆ABD ) = A CM 10 2  = = A ( ∆MNC )  2  2 CB 15 3  RT .Th ⇒ ⇒ ∆ MNC ∼ ∆ BDC ⇒ =  MN BD  CN 6 2  A ( ∆BDC )  3  = = CD 9 2  ⇒ A ( ∆MNC ) =

4 2 A ( ∆BDC ) = A 9 9

425

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 1 2

b) A ( ∆ABM ) = ⋅ AB ⋅ BM ⋅ sin Bˆ = A ( ∆ADN ) =

www.mateinfo.ro 5p

45 ⋅ sin Bˆ 2

1 45 ⋅ AD ⋅ DM ⋅ sin Dˆ = ⋅ sin Dˆ 2 2

Sau A ( ∆ABM ) = A ( ∆ADN ) =

BM ⋅ h BC ⋅ h 1 = = A 2 6 6

DN ⋅ h ' DC ⋅ h ' 1 = = A 2 6 6

nf o. ro

∡B ≡ ∡D ⇒ A ( ∆ABM ) = A ( ∆ADN )

c) A ( ∆AMN ) = A ( ABCD ) − ( A ( ABM ) + A ( MNC ) + A ( AND ) )

4 1 1 2 = A −  + +  A = A = 2 ⋅ A ( ∆MNC ) 9 6 6 9

a) V = Ab ⋅ h = 80 m3

b) Transformă volumul în hl: 80m3 = 8000hl

5p 5p

Capacitatea silozului 72kg / hl ⋅ 8000hl = 576000kg = 576t

90% din 576t = 518, 4t

2 din 518, 4t = 345,6 3

c) Cantitatea livrată din siloz

345, 2 :12,8 = 27 zile

426

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 164

Prof. Ştefan Maria Lăcrămioara

SUBIECTUL I

2 6

60°

87%

nf o. ro

4x 2

(30 de puncte)

Desenează cubul.

Notează cubul.

SUBIECTUL II

29   5 A =  −3; ; 4 5;24;8;  5   2

(30 de puncte) 5p

 5  A ∩ ℚ =  −3; ;24;8  2 

2    270  3 A ∩ ℚ = − ; 1 +   ; 262 − 102 ; 43  30 4  

P ( a;1) ∈ G f ⇔ f ( a ) = 1

3a − 5 = 1 ⇒ a = 2 P ( 2;1) ∈ G f

427

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

a) Notează x = nr. apartamentelor cu 4 camere

y = nr. apartamentelor cu 2 camere

 x + y = 19 ⇒ y = 19 − x  4 x + 2 y = 48

Formează sistemul 

nf o. ro

Rezolvă 2 x = 48 − 38 ⇒ x = 5 Interpretează rezultatul 5 apartamente cu 4 camere b) Calculează y = 19 − 5 = 14

Interpretează rezultatul 14 apartamente cu 2 camere. METODA ARITMETICĂ

Se presupune că sunt numai apartamente cu 2 camere. În total ar fi 19 ⋅ 2 = 38 camere. Diferenţa de camere 48 − 38 = 10 camere rezultă din diferenţa 4 − 2 = 2 camere pe apartament.

10 : 2 = 5 apartamente cu 4 camere

14 apartamente cu 2 camere 5

x 2 + 6 x + 13 = x 2 + 6 x + 9 + 4 =

( x + 3)2 + 22 ≥ 2 ( x + 3)2 ≥ 0 ( ∀ ) x ∈ ℝ

y 2 − 10 y + 34 = y 2 − 10 y + 25 + 9 =

( y − 5)2 + 32 ≥ 3 ( y − 5)2 ≥ 0 ( ∀ ) y ∈ ℝ

E ( x) ≥ 2 + 3 ⇒ E ( x) ≥ 5

SUBIECTUL III

(30 de puncte)

a) V = L ⋅ l ⋅ h

Fie lăţimea l = x . Atunci lungimea L = 2 x şi înălţimea h = V = 2x ⋅ x ⋅

3x = 3 x3 2

3t = 3 m3 apă

428

L + l 2 x + x 3x = = 2 2 2

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

3x3 = 3m3 ⇒ x = 1 m L = 2 m ; l = 1 m ; h = 1,5 m

b) 120l

..............................1 minut ..............................x minute

nf o. ro

3000l

120 1 3000 ⋅ 1 = ⇒x= = 25 minute 3000 x 120

c) Calculează volumul de apă după 9 minute 120l ⋅ 9 = 1080l = 1080 dm3

Ah = L ⋅ l = 2m ⋅ 1m = 2m2 = 200 dm2

1080 = 5, 4dm = 0,54m . 200

1080dm3 = 200dm 2 ⋅ h ' ⇒

V = Ah ⋅ h ' şi află înălţimea la care se ridică apa

a) AD = π R 2 = π ⋅ 402 = 1600π cm2

2 ⋅ AD = 3200π = 3200π cm2

b) L = 4 R = 160 cm

l = 2 R = 80 cm

A = L ⋅ l = 160cm2 ⋅ 80cm = 12800 cm2

c) Adeseu = 12800cm2 − 3200π cm 2 = 3200 ( 4 − π ) Adeseu

Adreptunghi

3200 ( 4 − π ) 12800

4 − π 4 − 3,15 0,85 = = = 0, 215 = 21, 25% < 22% 4 4 4

429

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 165

Prof. Ştefan Maria Lăcrămioara

−99

0,37

45°

16°C

5p 5p 5p 5p 5p

(30 de puncte)

nf o. ro

SUBIECTUL I

Desenează prisma.

SUBIECTUL II

(30 de puncte) 5p

Notează prisma.

2 x − 7 ≤ 5 ⇒ −5 ≤ 2 x − 7 ≤ 5

⇒ 2 ≤ 2 x ≤ 12 ⇒ A = {1;2;3;4;5;6}

B = {−2; −1;0;1; 2;3} A ∩ B = {1;2;3}

a = 7 ⋅ c1 + 3 a − 4 = 7 ⋅ ( c1 + 1) ⇒ a + 4 = [ 7;9] = 63 ⇒ a = 59 ⇒ a = 9 ⋅ c2 + 5 a + 4 = 9 ⋅ ( c2 + 1)

a) Reprezintă un punct pe grafic.

Reprezintă al doilea punct pe grafic. Trasează graficul funcţiei.

430

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 x

f ( x)

www.mateinfo.ro

f (0) = 3

b) OA = 3 OB =

3 2

AB 2 = OA2 + OB 2 = 9 +

9 3 5 ⇒ AB = 4 2

OA ⋅ OB 3 5 = AB 5

d ( O; AB ) =

nf o. ro

f (1) = 1

1−

n +1 n 2 1 3 2 9 − + − + ... + − = 2 2 6 6 n ( n + 1) n ( n + 1) 10

1 1 1 1 1 9 + − + ... + − = 2 2 3 n n + 1 10

n + 1 −1 9 = ⇒ n + 1 = 10 ⇒ n = 99 10 n +1

a) A =

c1 ⋅ c2 6 ⋅ 24 = = 72 m2 2 2

SUBIECTUL III

b) MN || AB ⇒ ∆CMN ∼ ∆CAB ⇒

(30 de puncte) 5p

MN CN = =k AB BC

A∆AMV 1 2 = k2 = ⇒ k = 2 A∆ABC 2 MN 2 = ⇒ MN = 3 2 6 2

431

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

(

CN 2 = ⇒ CN = 12 2 ⇒ NB = BC − CN = 24 − 12 2 = 12 2 − 2 24 2

c) A( ABCD ) =

AB ⋅ BC 2 = 72 m 2

nf o. ro

1 2 A( AMNB ) = A( ∆ABC ) = 36 m 2

Costul mochetei 36 ⋅ 18,75 lei = 675 lei 2.

a) V =

Ab ⋅ h 6 ⋅ 6 ⋅ 6 2 = = 72 cm 3 3

b) At = 6 ⋅ a 2 = 6 ⋅ 36 = 216 cm2 2

Preţul: 0,0216 ⋅ 250 = 5,4 lei

216 cm = 0,0216 m

)

c) Vcutie − V piatra = 216 − 72 = 144 cm2

432

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 166

Prof. Telteu Constantin

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

-1

240

nf o. ro

5p 5p 5p 5p

SUBIECTUL II

(30 de puncte)

ma =

x+ y+ z ……………………………………………………………. 2

ma = 2 ( a + b + c ) ……………………………………………………………..

433

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 3.

www.mateinfo.ro

Cifrele numere prime sunt 2;3;5;7……………………………………………..

La 19 pagini s-a folosit cifra 2 La 17 pagini s-a folosit cifra 3(afară de cele care au şi cifra 2 şi pe care le-am numărat deja)

nf o. ro

La 15 pagini s-a folosit cifra 5(afară de cele care au şi cifra 2 şi 3 pe care leam numărat deja) La 13 pagini s-a folosit cifra 7(afară de cele care au şi cifra 2 ; 3 şi 5pe care le-am numărat deja)…………………………………………………………

3p 1p

Total 64 pagini…………………………………………………………… a) f ( x ) = g ( x ) ⇒ x = −1

G f ∩ Gg = {(1;0 )}

reprezentarea grafică pentru f……………………………………..

reprezentarea grafică pentru g…………………………………….. Formula pentru aria triunghiului şi rezultatul A = 1 ………………

2p 2p 1p

a + b = 10

ab = 9

434

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

(a + b)

www.mateinfo.ro

= 100

a 2 + b 2 = 82

(30 de puncte)

nf o. ro

SUBIECTUL III

a) Dimensiunile interioare sunt: L = 15 dm; l = 10 dm; h = 5 dm ………….

Vint = 416 dm3 = 416 l > 400 l ……………………………………………..

Răspuns: Da………………………………………………………………

1p 2p

V pereti = 750 dm3 − 416dm3 = 334 dm3 …………………………………….

c) 2 ⋅13 ⋅ 4 + 2 ⋅ 8 ⋅ 4 + 13 ⋅ 8 = 272 dm 2 ……………………………………..

b) Volumul cu tot cu pereţi = 15 ⋅10 ⋅ 5 dm3 = 750 dm3 ……………………

În figură este desenat un sfert din coala lui Andrei.

l l 2 +r = 2 2

435

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

(

www.mateinfo.ro

)

2 −1 2

b) Răspuns: Irina. Se vede pe desen că diametrul discurilor desenate de ea au diametrul jumătate din latura foii de desen, iar cele desenate de Andrei sunt mai mici.(Se poate argumenta şi prin calcul observând că: l

(

)<1 =r

2 −1 2

Irina

c) Aria nepictată = l 2 − 4π

Aria unui disc =

πl2 16

nf o. ro

rAndrei =

l2 0,8... = l2 ⋅ > 0, 2 ⋅ l 2 ……………………… 16 4

3,14... 2 ⋅ l < 0, 2 ⋅ l 2 ……………………………….. 16

2p 1p

Răspuns: Da…………………………………………………………………..

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Prof. Telteu Constantin

Varianta 167

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

2000

100

6,76 (rezultatul calculului este 6,7(6), dar fiind vorba de media clasei…)

SUBIECTUL II

436

(30 de puncte)

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro 5p

nf o. ro

mg = xy …………………………………………………………………..

(

)(

)

mg = 3 − 8 3 + 8 ……………………………………………………..

mg = 1 ……………………………………………………………………… Dacă deschid cartea la pag: 90-91; 92-93; 94-95; 96-97; 98-99, suma numerelor cu care sunt numerotate paginile este 945…………………………

La o deschidere a cărţii, suma numerelor cu care sunt notate paginile vizibile este număr impar, iar suma a cinci numere impare este număr impar. R: NU

437

2p 1p

2p 2p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

nf o. ro

2a =

a+b ⇒ 2 b = 3a ⇒

3 2

b) d ( A, Oy ) = x A = −

 3 1 A  − , −  ∈ G f ∩ Gg  2 2

1  3 f ( x ) = g ( x ) ⇒ x =; f  −  = − ⇒ 2  2

w w

1 a= ⇒ 4 3 b= 4

a<b⇒

1p SUBIECTUL III

a) Vmetal = V prisma − V piramida =

(30 de puncte) 1p 2p

36 3 36 3 6 = ⋅6 − ⋅ = 4 4 3

= 72 3 cm3

438

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

b) Suprafaţa ce trebuie vopsită are aria: A = Al . pir + Al . pr + Ab. pr

Fie D şi E mijloacele muchiilor [ BC ] şi [ B ' C '] . OD = 3 cm; EO = 39 cm ⇒ Al . pir = 9 39 cm2 …………………………

(

)

39 + 12 + 3 cm 2 ……………………………………………………

A=9

36 3 2 cm ………………………………………… 4

nf o. ro

A = 9 39 cm 2 + 18 ⋅ 6cm 2 +

BC B ' C ' ⇒ BC ( OB ' C ') ⇒ d ( C , ( OB ' C ') ) = d ( D, ( OB ' C ') )

Fie F = prEO D . Avem:

B ' C ' ⊥ OE  B ' C ' ⊥ ( OED )  B ' C ' ⊥ DF  ⇒ ⇒  ⇒ DF ⊥ ( OB ' C ' ) B ' C ' ⊥ DE  DF ⊂ ( OED )  EO ⊥ DF 

DF =

DO ⋅ ED 6 13 = cm . OE 13

SAU: Se poate arăta că distanţa este DF, cu reciproca a II-a a Teoremei celor trei perpendiculare. a) Abazin = Adreptunghi + Adisc =

439

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

= ( 200 + 25π ) m 2

b) Abazin +bordura = 20 ⋅14 + π ⋅ 7 2 =

= ( 280 + 49π ) m2 .

nf o. ro

= 20 ⋅10 + π ⋅ 52 =

Abordura = 280 + 49π − 200 − 25π ≈ 155, 36 m 2

c) Pext = 2 ⋅ 20 + 2π ⋅ 7 = ( 40 + 14π ) m

2p 2p

Pint = ( 40 + 10π ) m

Diferenţa = 4π m ≈ 12,56 m.

Varianta 168

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Prof. Telteu Constantin

−

(30 de puncte) 5p

3 4

SUBIECTUL I

7 6

4 3

9 3

270

440

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

SUBIECTUL II

1 2

y=−

1 3

z<x< y

x - numărul pozelor efectuate de o fată. x + 5 - numărul pozelor efectuate de un băiat…………………………….

9 x + 13 ( x + 5 ) = 373

x = 14

a) f ( −1) = 0

−a + 3 = 0

a=3

w 4.

1 2

z=−

x=−

nf o. ro

(30 de puncte)

441

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 b) f ( 2 ) = 5 − a

2a + 3 = 5 − a

a= 5

www.mateinfo.ro

2 3.

nf o. ro

1  9  x = 2+  =2 2  2

1  1  y = 2−  =2 2 

x2 + y 2 = 5

SUBIECTUL III

a) Volumul paralelipipedului iniţial Vi = 250 dm3

Volumul paralelipipedului scos din cel iniţial Vs = 40 dm3

Volumul corpului Vc = 210 dm3

= 254 dm 2

b) Ac = (aria totală a paralelipipedului iniţial) −2 AEFF ' E ' + 2 AFGG ' F ' =

c) FB = 3 2 dm

Din ∆FBC ⇒ FC = 43 dm.

a) AC = 10 5 m

DO = 4 5 m, OC = 2 5 m

(30 de puncte)

OA = 8 5m;

şi cu asemănare OB = 16 5 m

442

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BD = 20 5 m

b) Tot din asemănare sau cu t. lui Pitagora AB = 40 m

cu t. lui Pitagora CB = 10 13 m

(

)

nf o. ro

PABCD = 10 7 + 3 m

c) Fie V intersecţia dreptelor AD şi BC. Din asemănarea triunghiurilor VDC şi 20 80 VAB se obţine VD = m ⇒ VA = m ……………………………….. 3 3 VB =

100 m 3

= 10, ( 6 ) m

S = p

p = 50 m

443

1p 1p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 169

Prof. C. Telteu

SUBIECTUL I

1100 lei

80%

nf o. ro

(30 de puncte)

5p 5p 5p 5p

SUBIECTUL II

(30 de puncte)

2. 3.

{7}

x = 6c1 + 3; x = 15c2 + 3, c1 , c2 ≠ 0

x − 3 ∈ M 30

x − 3 = 30k > 1000 ⇒ k = 34 ⇒ x = 1023

444

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015  3 2   3 2 3 2 a) A  − ;0  ∈ G f . ⇒ f  −  = 0 ⇒ m = 5  5   5 

b) Precizarea a două puncte ale graficului

Reprezentarea lor în plan

Desenarea dreptei

Scrierea formulei a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b )

nf o. ro

www.mateinfo.ro

(sau ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc ) 2

− 3 x + 1) − ( x 2 + 4 x + 1) = −7 x  2 x 2 + x + 2  2

Finalizarea

(30 de puncte)

SUBIECTUL III

MB = 2 6 cm

b) MC = 2 2 cm

BM + MA ' = 4 6 cm

c) BA ' = 4 2 cm

d ( M , BA ') = 4 cm

445

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

ABMA ' =

= 8 2 cm 2

a) Suprafaţa zidurilor clasei: 108 m2

Ferestrele şi uşa la un loc: 16, 2 m2

nf o. ro

BA '⋅ d ( M , BA ' )

www.mateinfo.ro

b) Suprafaţa tablei: 5, 4 m2

De zugrăvit: 86, 4 m2

c) Suprafaţa clasei: 72 m 2

 72  Număr elevi:   = 28 .  2,5 

Varianta 170

x=0

50%

4 3 m2

5. 6.

(30 de puncte) 5p

SUBIECTUL I

Prof. C. Telteu

SUBIECTUL II

446

(30 de puncte)

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro 5p

{12}

244 = c1n + 4

nf o. ro

99 = c2 n + 3

90 = c3 n + 6

n = ( 240,96,84 ) = 12

a=0

b) f ( x ) = x + 3

a) f (1) = 3

Scrierea formulelor: ( a ± b ) = a 2 ± 2ab + b 2 şi a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b )

2p 2p

Aplicarea lor corectă

Reducerea termenilor asemenea

Intersecţia cu Oy: ( 0;3)

Intersecţia cu Ox: ( −3; 0 )

SUBIECTUL III

(30 de puncte)

a) 32,5 m=3250 cm; 3250:15=216,(6), deci pt. lungime sunt nec. 217 pietre.

850:15=56,(6), deci pentru lăţime sunt necesare 57 pietre.

În total sunt necesare: 217 ⋅ 57 = 12369 pietre,

447

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 b) O piatră are volumul: 15 ⋅15 ⋅ 3 = 675cm3 .

Toate pietrele au la un loc volumul: 12369 ⋅ 675 = 8349075cm3 = 8,349075m3 .

c) 8, 349075m3 ⋅1000lei / m3 ≈ 8349 lei

a) Acirc = π R 2 = 252 π = 625π m 2

b) Aarena = π r 2 = 400π m 2

nf o. ro

www.mateinfo.ro

Nr. maxim spectatori: 706,5 : 0, 5 = 1413 .

c) Acirc − Aarena = 225π m 2 ≈ 706,5 m2 (aproximare prin lipsă)

Varianta 171

275

(30 de puncte) 5p 5p 5p

SUBIECTUL I

Prof. C Telteu

5p SUBIECTUL II

448

(30 de puncte)

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro 5p

nf o. ro

100 elevi reprezintă 25% din numărul de elevi ai şcolii

Numărul de elevi ai şcolii este 400.

a) M

(

)

2, a ∈ G f ⇒ f

B \ M = {1, 2,3, 4} = B 3.

M = {7}

( 2) = a

3p 2p

a=0

b) f ( b ) < 0

b< 2

 x −1   x + 1   4x   x −1 x + 1   4x  −   −2+  − 2  =   − 2  =  x +1  x −1   x −1   x + 1 x −1   x −1  2

 −4 x   4 x  =  2  − 2  = 0  x −1   x −1  2

449

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

SUBIECTUL III

a) 2 dulapi în lungime, 16 în lăţime şi 13 în înălţime

2 ⋅16 ⋅13 = 416 dulapi

b) Volumul dulapilor este Vdulap ⋅ nr.dulapi = 500 ⋅15 ⋅15 ⋅ 416cm3 =

= 46,8m3 .

nf o. ro

c) Vcontainer = 12 ⋅ 2,5 ⋅ 2m3 = 60m3

3p 2p

Vliber = 13, 2m3

a) Adisc = π R 2

Adisc = 25π cm2 ≈ 78,5cm 2

(30 de puncte)

48 discuri

b) 8 discuri pe lungime şi 6 discuri pe lăţime

c) Din fiecare pătrat cu latura de 10 cm se pierde acelaşi procent ca în cazul întregii foi.

3p 2p 2p

100cm 2 − 78,5cm 2 = 21,5cm 2

Deci se pierde 21,5% din material

450

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

Varianta 172

Prof. C. Telteu SUBIECTUL I

(30 de puncte)

x=2

650

87,5%

nf o. ro

5p 5p

2cm2

500 elevi

SUBIECTUL II

(30 de puncte)

D5 = {1;5} , B = {0;1;...;9}

451

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

D5 ∩ B = D5

Dacă x este vârsta unui frate al Irinei, atunci x + x + 2 x = 12

x = 3 ani

a) f ( x ) = 0

nf o. ro

 3  3 ⇒  , 0  ∈ G f 5  5 

b) x ∈ ℤ;

3 3 ∉ℤ ⇒ x − ∉ℤ 5 5

Răspuns: 0

 2 E   = 0  3

E ( x) = 0

2 2 x2 − 2 E ( x) = 2 ⋅ −1 x −2 2 2

www.mateinfo.ro

1p (30 de puncte)

a) 10 ⋅ 8 ⋅100000cm 2 = 8000000cm 2

8000000cm 2 = 800m 2

SUBIECTUL III

b)Toată piatra are volumul V = 800m 2 ⋅ 0, 06m = 48m3

48 ⋅ 3 :15 = 9, 6

2p 1p

Deci au fost necesare 10 camioane. c) Volumul de piatră necesar 6000m 2 ⋅ 6cm = 6000m 2 ⋅ 0, 06m = 360m3 . Preţul fără manoperă: 360m3 ⋅ 3t ⋅100

lei = 108000lei. t

452

1p 2p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

Preţul cu manoperă este: 108000lei +

10 ⋅108000lei = 118800 lei. 100

a) Ducem CE || AD, E ∈ ( AB ) ⇒ AECD romb ⇒ CE = AE = 15 cm

∆BEC dreptunghic în C (recipr. T.Pit.)

nf o. ro

www.mateinfo.ro

CF = 12 cm (cu T. Înălţimii)

AABCD = 330 cm 2

b) ∆MDC ∼ ∆MAB (T .F . A.)

2p 2p

PMDC = 36 cm

Din proporţionalitatea laturilor ⇒ MD = 9 cm; MC = 12 cm

3 8

c) ∆MDC ∼ ∆MAB şi raportul de asemănare este

Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare

AMDC 9 = AMAB 64

453

2p 1p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 173

Prof: Iuliana Traşcă SUBIECTUL I

0,815

900

nf o. ro

(30 de puncte)

5p 5p 5p 5p

Desenează piramida

Desenează apotema

SUBIECTUL II

Fie x preţul iniţial, dupa scumpirea de 20% preţul devine 24 x 25

După ieftinirea cu 20% preţul va fi

24 x Scrierea relaţiei =960 şi aflarea lui x=1000 25

1521 = 39

6x 5

2p 1p

1888- 1521 =1849

1849 = 43

2p 2p

Notează piramida 2.

(30 de puncte)

a) Scrierea relaţiei f(0)=0

454

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

Finalizare m=2

b) Scrierea relaţiei f(x)=3x Aflarea a două puncte ale graficului

Trasarea graficului

nf o. ro

Se notează x2+2x cu y iar expresia devine :

y ( y + 2) + 1

y ( y + 3) + 2

y2 + 2 y +1 y2 + 3y + 2

Descompunerile y 2 + 2 y + 1 = ( y + 1) şi y 2 + 3 y + 2 = ( y + 1)( y + 2 )

Simplificarea raportului prin y+1

y + 1 x2 + 2 x + 1 Scrierea rezultatului final = . y + 2 x2 + 2 x + 2

SUBIECTUL III

a) a) Scrierea relaţiei AABCDE=AABCD+ADEC

BC=6 dm

2p 1p

b) Scrierea relaţiei 5x=60

Aflarea lui x=12 dm.

(30 de puncte)

AABCDE=60+5x

c) Cum M este mijlocul lui DC şi EM ⊥ DC, rezultă că triunghiul EDC este isoscel (ED=EC), DM =5 dm Aflarea lui DE din triunghiul dreptunghic DME, ∡M = 900 , cu teorema lui Pitagora, DE=13 dm=EC, PABCDE=48 dm

a) Fie l latura bazei, a p apotema piramidei, Ab =

3⋅ l ⋅ ap l2 3 , Al = 4 2

l 3 3 l 3 , h 2 + ab 2 = a p 2 , află l = 6 Fie ab apotema bazei, ab = 6 2 Al = 18 3 cm

Deducerea relaţiei a p =

455

2p 3p

1p 1p 1p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

Ab ⋅ h ⇔ V = 9 3 cm3 3

b) Fie A f aria unei feţe laterale, iar d distanţa cerută, V = 2

2p 2p

⇔ Af = 6 3 cm 2

nf o. ro

Af =

l ⋅ ap

Af ⋅ d

Finalizare d = 4,5 cm

l 3 h , R= ⇔ R = 2 3 cm R 3 ( R= raza cercului circumscris bazei )

c) Fie α unghiul căutat tgα =

4p 1p

3 Finalizare tgα = . 2

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 174

(30 de puncte) 5p

SUBIECTUL I

Prof: Iuliana Traşcă

(9x-11y)(9x+11y)

5 8

SUBIECTUL II

456

(30 de puncte)

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 1.

www.mateinfo.ro

Desenarea şi notarea corectă a cubului ABCDMNPQ

Desenarea diagonalei

1p 3p

x y = , 6y=5z, x+y+z=30 8 10

NS 2 = MS ⋅ SP ⇔ SP =5cm

2p 1p

MP =50 cm Finalizare AMNPQ = MP ⋅ SN = 750 cm 2

 3 a − 2 + 7  5 a − 2 + 11 a) f  = 5 2   a − 2 =1

nf o. ro

Finalizare x=8, y=10, z=12

2p 2p

Finalizare a ∈ {1,3}

b) f 2 ( n ) = 25n 2 − 20n + 4 , 8 ⋅ f ( n + 1) = 40n + 24 25n 2 + 20n − 21 = 0 ⇔ ( 5n − 3) ⋅ ( 5n + 7 ) = 0 3 5

Finalizare n =

1093 − 1162 = 1093 − 1162 , 1934 − 1051 = 1051 − 1934

7 ∈ℤ x−2

2p 2p 1p

x ∈ {−5,1,3,9}

a = 1+

SUBIECTUL III

a) ) BN=MC=1 m

(30 de puncte) 1p

BC= 13m

AD=11 m

AF= 3 m

457

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro 1p

60 m. 13 720 2 = m . 13

b) DM =

AABCD

ABDC = 30m 2 , AABD = AABCD − ABDC , AABD =

330 759 2 + 33 = m 13 13

23 pungi 2.

a) VA=10 cm

AO=OB=OC=R=6 cm

R = 3 cm , BM = R + ab ⇔ BM = 9 cm . 2

AB 3 ⇔ AB = 6 3 cm 3 Ab = 27 3 cm 2

a p = 73 cm

Al = 9 219 cm 2

b) R =

ab =

c) Fie h înălţimea piramidei mici, V volumul piramidei iniţiale şi v volumul piramidei mici A ⋅ VO V= b = 72 3 cm 3 3 v = 9 3 cm 3

nf o. ro

c) AABDEF =

330 2 m 13

V  VO  8 =  ⇔ 8 =   ⇔ h = 4 cm v  h  h

458

1p 1p 2p 1p

2p 1p 2p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 175

Prof: Iuliana Traşcă SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1250

nf o. ro

5p 5p 5p 5p

SUBIECTUL II

Desenarea şi notarea corectă a piramidei

Desenarea apotemei VM

V 2 = 25 mm 6 ⇔ V = 5 mm 3

Finalizare : Piatra cântăreşte 0,025 g.

Între viteză şi timp există o proporţionalitate inversă.. Fie x numărul minutelor cerute de problemă avem: 60km / h ⋅ 4h 8 ⇔ x= h. x= 90km / h 3

Punctul M mijlocul lui BC

(30 de puncte)

1p 3p 1p

x= 160 minute

a) x ∈ ℝ \ {-1,0,1}

x+4 x

x+7 4 ⇔ E ( x + 3) = 1 + x+3 x+3

E ( x) =

b) E ( x + 3) =

459

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

x + 3 ∈ {-4, -2, -1, 1, 2, 4} ⇔ x ∈ {-7, -5, -4, -2, -1, 1} 3p f(-2a+1)= 8a -1

3-4a=8a-1

Finalizare a =

nf o. ro

1 3

SUBIECTUL III

(30 de puncte)

a) CE=DF ipotenuze în triunghiuri dreptunghice congruente, CE = 2 5 m 2π i2 2π i4 lDE ⇔ lCF ⇔ lDE = = π m, lCF = = 2π m 4 4 pDECF = 4 5 + 3π m.

(

)

ACOE = AFOD = 4 m 2

c) Aria sfertului de cerc cu raza 4 m este egală cu 4π m2 Aria sfertului de cerc cu raza 1 m este egală cu

π 4

15π 2 m 4

a) ab =

2p 2p 2p

Aria cerută este:

b) AEOD = π m2, ACOF = 4π m2, Abazin = π m2.

Agradina = AEOD + ACOF + 2 ACOE − Abazin ⇔ Agradina = ( 8 + 4π ) m2

l 3 ⇔ ab = 3 dm 6

h 2 + ab 2 = a p 2 ⇔ a p = 5 dm Al = 45 3 dm 2 , Ab =

b) V =

l2 3 = 27 3 dm 2 , Al = 72 3 dm 2 4

Ab ⋅ h = 36 3 dm3 = 36 3 litri 3

460

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

36 3 litri>36 litri , deci în interiorul obiectului încap 36 litri de apă

2p 2

4 dm 3

nf o. ro

A 27 3  4  4 c) Fie x distanţa cerută, b =   ⇔ =  Asec t  x  3 3 x

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 176

Prof: Iuliana Traşcă

1 2

360 44'36 ''

(30 de puncte)

5p 5p

5p 5p 5p

1000

SUBIECTUL I

5p SUBIECTUL II

(30 de puncte)

Desenarea corectă a prismei triunghiulare regulate ABCA’B’C’

Notaţia corectă

Desenarea înălţimii OO ’

461

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

x y z x + y + z 62 = = = = = 60 1 1 1 1 1 1 31 + + 2 3 5 2 3 5 30

x=30, y=20, z=12

 x + y = 300  90  110  x ⋅ 100 + y ⋅ 100 = 312

nf o. ro

Soluţia finală x=210 şi y=90

 a+b  a) f(a) =3a+1, f(b)=3b+1, f   = a + b +1  3 

Finalizare

Calcului sumei 1 + 2 + ... + n =

b) Scrierea relaţiei 3(1+2+...+n) +n=650 n(n + 1) 2

Rezolvarea ecuaţiei 3n 2 + 5n − 1300 = 0 ⇔ ( n − 20 ) ⋅ ( 3n + 65 ) = 0 şi aflarea lui n=20 E ( x) = 3 +

1 x + 6 x + 11

E ( x) = 3 +

2p 1p

( x + 3)

Pentru x+3=0, adică x = −3 se obţine valoarea maximă pentru E ( x)

Emax =

7 2

1p SUBIECTUL III

(30 de puncte)

a) AD BM ; AD=BC

m ( ∡BCM ) = m ( ∡BMC ) = 600 ⇔ ∆BCM echilateral cu latura de 8 m

1p 1p

462

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

AABCD =

8 3 =4 3 m 2

( B + b) ⋅ h = 4 2

3 ( 4 + x ) m2

b) AABDM = DM ⋅ h=4 3 x

AABDM = 50% AABCD ⇔ 4 3 x = 2 3 ( 4 + x )

nf o. ro

Fie h=d(B,DC)=

www.mateinfo.ro

2p 1p

x=4 m

c) AABCD = 4 3 ( 4 + 4 ) ⇔ AABCD = 32 3 m 2

Preţul tablei va fi: 15 ⋅ 32 3 = 480 3 ≃ 830, 4 lei

2p 1p

830,4< 1000, deci suma de bani e suficientă pentru a cumpăra tabla. 4   6 a) L=  +  ⋅ 4 2 =20m, l=15 m, h=5 m  8 2 2

0,05 dam=5 dm, Aplaca = 25 dm 2

30000:25=1200 plăci de gresie

b) V = Ab ⋅ h = 1500 m3 = 1500000 litri

Vapa = 60% ⋅1500000 = 900000 litri

Ab = 20 ⋅15 m 2 = 300 m 2 = 30000 dm 2

(

)(

)

27 − 2 ⋅ 3 3 + 2 ⋅ 2 =25 2 m

Diagonala bazei este:

202 + 152 = 25 1p

(

Fie H înălţimea căutată: H 2 + 252 = 25 2

463

)

⇔ H = 25 m

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 177

Prof.: Vasile Uleanu SUBIECTUL I

5p 5p

nf o. ro

(30 de puncte)

2 2 [-7 , 9)

5p 5p 5p 5p

SUBIECTUL II

(30 de puncte)

Desen şi notaţie corespunzătoare

X= (5 – 1 +3 +1)36 = 836 = (23)36 = 210

Ip= 10 cm , A= 20 cm2 , c1 = 2 5 şi c2 = 4 5 ⇒ P= 6 5 +10 cm

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 18 a) a= − + − + − + − = − = 1 3 3 7 7 12 12 19 1 19 19

1 18 19 b) < < 3 19 20

Se amplifică în paranteză cu n2+1 şi se obţine n16 ⋅ n2 = n18 = (n9)2 = p.p.

454= (22)54 = 2108 ⇒ x ∈ A

SUBIECTUL III

5p 5p

(30 de puncte)

a) 60000 litri – capacitatea maximă , 48000 litri – în bazin

b) 75 de familii

464

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

c)nov= 30 zile , 800 ⋅ 30 = 24000 l = 24 m3 , 24 ⋅ 4,25 = 102 lei

a) Fie GF=x ⇒ AG=EF=AE=BG=x ⇒ DE= 30-x ⇒ A ▭ EFCD = ( x + 10)(30 − x) = 150 ⇒x= 20 ⇒AB= 40 ⇒ 2

nf o. ro

Aria ABCD=750 m2 b) A △ BGF = 200 m2 Aria AGFE=400 m2 ⇒50%

c) P dr AGFE =80m ; 6400 lei

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 178

Prof.: Vasile Uleanu

200

24 3

1. 2.

5p 5p 5p

800

(30 de puncte)

SUBIECTUL I

5p SUBIECTUL II

(30 de puncte)

Desen corect si notat corespunzător

Se notează x2 + 2x = y şi după descompunere se obţine iar după simplificare şi înlocuire se obţine ;

465

( y + 2)2 , ( y + 1)( y + 2)

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

x2 + 2 x + 2 x2 + 2 x + 1

3 , y = -3 . 3

a= 56 , b= 24 , c=21 .

nf o. ro

87,5%

d / 2n + 7 d / 5(2n + 7) Fie d= (2n+7 , 5n+17 ) ⇒  ⇒ ⇒ d / 5n + 17 d / 2(5n + 17)

d/10n+35 –10n-34 ⇒ d/1 ⇒

f = ireductibila

(30 de puncte)

SUBIECTUL III

a) L= 6m , h= 4 m , V=144 m3 = 144000 dm3 = 144000 l

b )676800 lei

c) 135360 lei 2.

a) AB= l6=R , AE = l3=R 3 , BE= d=2R ⇒ R= 10 km ⇒

5p 5p

P △ AEC =30 3 km

b)Lc= 2 π R = 20 ⋅ 3,14 = 62,8 km , 1h15min = 1

D = 50,24 km/h t

Vm =

15 5 h= h ⇒ 60 4

n(n − 3) ⇒ D6= 9 artere principale de circulaţie Obs că sunt 6 artere 2 egale cu l3 şi 3 artere egale cu d ⇒ 6R 3 +6R < 120 3

c) Dn =

⇒ 60 3 +60

< 120 3

⇒ 1< 3 „A”

466

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 179

Prof.: Vasile Uleanu SUBIECTUL I

(30 de puncte)

4x+13

72 cm

24 5

nf o. ro

SUBIECTUL II

Desen corect şi notat

4L+4l+4h=84 ⇒L+l+h=21⇒( L + l+ h)2 = 212 ⇒

(30 de puncte) 5p 5p

L2+ l2 + h2 + 2Ll +2Lh +2lh =441 ⇒ d2 + 392 = 441 ⇒ d=7 1 1 1 1 1 33 1 1 1 1 1 28 X= ( + + + ..... + ): )⋅ = ( + + + ..... + = 7 2 6 12 132 28 7 1 ⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 11 ⋅12 33

1 1 4 1 ( − )⋅ = 1 12 33 9

a)fie x= distanţa dintre localităţi ⇒ x= 60 km , I= 15 km , II = 20 km . b) II = 20 km ⇒

5p 5p

20 = 33.(3) % 60

| 5 − 2 3 | + | 2 3 − 7 | + | 7 + 5 |= 10

SUBIECTUL III

467

(30 de puncte)

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 1.

www.mateinfo.ro

L l h = = = k ⇒ L=5k , l=3k , h=k ⇒16k2 = 256 ⇒ k=4 5 3 1 ⇒L= 20 m , l= 12 m , h= 4 m ⇒ V= 960 m3

b) V= 960 m3 ⇒ 16 transporturi în 5 zile

c) V1 = L ⋅ l ⋅ h1 = 20 ⋅ 12 ⋅ 3 = 720 m3 = 720000 litri

nf o. ro

a)Al= 2h(L+l),

a) L= 40m ⇒ l= 20 m . Cele 4 parcele au forma de : I= trapez dreptunghic , II= triunghi dreptunghic , III = dreptunghi , IV= dreptunghi ⇒ A1 = 300 m2 , A2 = 100 m2 , A3 = 200 m2 , A4 = 200 m2 .

b) A1 + A3= 500 m2 ( roşii ) , A2 + A4= 300 m2 ( castraveţi ) ; 3500 kg roşii , 3000 kg castraveţi ; 14000 lei ( roşii ) , 7500 lei ( castraveţi ) ; total 21500 lei .

c) 30%+7%+10%+13% = 60% ( cheltuieli ) ⇒ 40% profit =8600 lei

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 180

8 3

suplementare

250

5. 6.

(30 de puncte) 5p

SUBIECTUL I

Prof.: Vasile Uleanu

SUBIECTUL II

Desen corect şi notaţie corespunzătoare

468

(30 de puncte) 5p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

f(x) liniară ⇒ f(x) = ax + b , A(-2;5 ) ∈ Gf ⇒ f(-2) = 5 şi B(-3;4 ) ∈ Gf ⇒ f(-3) = 4 ⇒ f(x)= x+7

Ma.p =

a1p1 + a 2 p 2 + a 3p3 p1 + p 2 + p3

= 7,8

b) triunghiul este dreptunghic în C ⇒ A=

27 3 u.a. şi R= 3 3 u.l. 2

S= {(0,1)}

SUBIECTUL III

l2 3 = 9 3 m2 ⇒ V prismă= 180 3 m3 4

b) V prismă = Ab ⋅ h ⇒ Ab =

a) Ab = L ⋅ l = 20 ⋅ 6 = 120 m2 ⇒ 120: 3 = 40 ovine

nf o. ro

a) | a − 9 | + | b − 3 3 | + | c − 6 3 |= 0 ⇒ a= 9 , b =3 3 , c=6 3 u.l.

(30 de puncte)

⇒ Cantitatea de nutreţ = 1800 3 ⋅ 30 kg = 5400 3 kg ≃ 9342 kg 5p

a) Aromb = 72 m2 ⇒ Adr = 72 m2 ⇒ L=12 m , l= 6m ⇒ P= 36 m

b) 75%

c) consumul = 9000kg , rest = 342 kg

6300 lei

c) Promb +Pdr = 84 m ;

469

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 181

Prof.: Vasile Uleanu SUBIECTUL I

1 6

3 10

7830

1 4

nf o. ro

(30 de puncte)

800 euro

SUBIECTUL II

Desen corect şi notat corespunzător

1. 2.

a=36 , b=48

(30 de puncte) 5p 5p

CD = x  AD = x + 1  a) CD<AD<BC<AB ⇒  ⇒ x+ x+1 +x+2 +x+3 = 18 ⇒ x=3  BC = x + 2  AB = x + 3 2 ⇒ A = 18 cm

3 şi y = − 2 2

(2 x − 3) 2 + ( y + 2) 2 = 0 ⇒ x=

b) Fie CF ⊥ AB şi AE ⊥ BC ⇒

A △ ABC =

CF= 4,8 cm

470

BC ⋅ AE AB ⋅ CF = ⇒ 2 2

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 3 x − 1/ 2 x + 3 2x + 3 ∈Z ⇒ ⇒ 3x − 1 3 x − 1/ 3 x − 1 ⇒ x ∈ { 0, 4 } ⇒ A= { 0, 4 }

www.mateinfo.ro 3 x − 1/ 6 x + 9 ⇒  3 x − 1/ 6 x − 2

3x-1 / 11

SUBIECTUL III

Al = 6000 cm2 , b)

Ab = 3600 cm2 , V = 48000 cm3

c) 52,8 kg 2.

(30 de puncte) 5p

nf o. ro

a) R=30 2 cm , h= 40 cm , ab = 30 cm , ap = 50 cm , l= 60 cm ,

a) R=105 m . Dimensiunile terenului de joc sunt : L= 120 m , l= 70 m A=8400m2

b) Dimensiunile stadionului sunt :

- teren de joc+tribuna I + tribuna II au forma unui dreptunghi cu dimensiunile de 120 m ,210 m şi cele 2 peluze care formează un cerc cu R= 105 m

S= 1575 (7 π +16 ) m2

c) 56966 lei

471

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 182

Prof Uruc Doina

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

290

36 3

[ 0, +∞ )

nf o. ro

5p 5p

Desenează piramida Notează piramida

E ( x ) = ( 3 x − 1) − 4

( 3x − 1)

≥0

Deci min E ( x ) = −4

−4 x − 2 y = 0

−3 x = −3

x =1

Înlocuiește x

y = −2

a) Calculează corect două valori ale funcției

Reprezintă corect punctele corespunzătoare

w 4.

(30 de puncte)

E ( x ) = 9 x2 − 6 x + 1 − 4

SUBIECTUL II

472

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

b) ∩Ox : f ( x ) = 0

 1  M  − ,0  2 

∩Oy : x = 0

nf o. ro

Trasează graficul

N ( 0,1)

1 A = u2 4

www.mateinfo.ro

3 + 2 2 = 1+ 2

5+2 6 = 2 + 3

7 + 2 12 = 3 + 2

S = −1

Raționalizează cu conjugatele

SUBIECTUL III

Al = 4lh

1p 1p

V l = Al 4

(30 de puncte)

a) V = l 2 h

l = 10m

h = 8m

b) Ab = 100m 2

Gresie ncesară: 102m2

Cutii gresie: 17 buc.

473

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

Preț: 467,5 lei

c) BM ⊥ B1C

d ( A, B1C ) = AM

AM =

10 2337 41

a) CC ' ⊥ AB , C ' ∈ AB , CC ' = 10 3m

( B + b) ⋅ h =

AABCD = 350 3m2 AABCD ≃ 606m 2 DC ED EC = = AB EA EB

1p 1p

AB = 40m

AABCD

nf o. ro

1p 40 41 BM = 41

1p 1p 1p 1p

30 EC = ; EC = 60 40 EC + 20

ED = 30 3

P = ED + DC + EC

(

)

P = 90 + 30 3 = 30 3 + 3 m

c) F ' = prDE F , FF ' = 10m

2p 2p

F ' D = 20 3m

DF = 10 13m

474

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 183

Prof Uruc Doina

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

200

2 5

nf o. ro

5p 5p 5p

Desenează piramida

Notează piramida

Rezolvă corect parantezele

E ( x ) = −3

120% ⋅ x = 60

x = 60 ⋅

(30 de puncte)

Aduce la același numitor

SUBIECTUL II

100 120

x = 50 lei

a) f (1) = 1 ⇒ a + b = 1

f ( 2 ) = 0 ⇒ 2a + b = 0

1p 2p

Rezolvă sistemul: a = -1; b = 2 1p

475

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

f ( x) = −x + 2 b) ∩Ox : C ( 0, 2 )

∩Oy : B ( 2, 0 )

BC = 2 2

d= 2

5 muncitori ar termina restul lucrării în 6 ore

3 muncitori ar termina restul lucrării în x ore

5 ⋅ 6 = 3 ⋅ x (mărimi invers proporționale)

x = 10 ore

nf o. ro

d ( O, BC ) este înălțimea triunghiului dreptunghic isoscel OBC

SUBIECTUL III

h△ ABC

a) AD ⊥ ( BCC ') ⇒ d ( A, ( BCC ') ) = AD

1p (30 de puncte) 2p 1p

l 3 = 2

AD = 2 3

l = BC = 4m

b) V = Ab ⋅ h

Vvagon = 160m3

1p 1p

V piesă = 40 3m3

V piesă Vvagon

3 4

p ≃ 42,5%

476

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

1p c) A =

2 Al 3

Al = Pb ⋅ h

Al = 120m 2

nf o. ro

A = 80m 2

a) număr de pași parcurși = 200

AA ' = 160m

d 2 2

l = 80 2m

b) BC = 2m ⇒ AB = 2m , AD = AD ' = 1m , AD ⊥ BC , D ∈ ( BC ) Aalee = ABCC ' B ' + AABC + AA ' B 'C '

1p 1p 1p

ABCC ' B ' = BC ⋅ DD ' = 316m

AABC = AA ' B 'C ' = 1m 2

Aalee = 318m 2

c) Realizează desenul corespunzător enunțului

2p 1p

150 120 = 240 120 + x x = 72cm

477

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 184

Prof Uruc Doina

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

107

985

45o

-2

7,60

nf o. ro

5p 5p

Desenează prisma Notează prisma Prima zi: 30% ⋅ x

SUBIECTUL II

A doua zi:

4p 1p 1p 1p

5 ⋅ 70% ⋅ x 9

−28 x = −90 ⋅ 28

30 5 70 x+ ⋅ x + 28 = x 100 9 100

(30 de puncte)

x = 90km

a = 27c1 + 5 ; a = 24c2 + 5

a − 5 = 27c1 ; a − 5 = 24c2

a − 5 = [ 27, 24]

1p 1p

[ 27, 24] = 216

478

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 a = 221

a) Aduce la același numitor rapoartele din paranteze

Obține pentru paranteză rezultatul

( x − 1)( x + 1)

Descompune x 2 − 4 x + 3 = ( x − 3)( x − 1) x−3 x +1

E ( x) =

x−3 4 = 1− ∈ℤ x +1 x +1

x + 1∈ {±1, ±2, ±4}

x ∈ {0,3} −2 x ≤ −2

x ≥1

x ∈ [1, +∞ )

ap =

3p 1p

(30 de puncte) 1p

l 3 3 = m 6 2

a) ab =

SUBIECTUL III

1p 1p

4 ∈ℤ x +1

nf o. ro

www.mateinfo.ro

l 3 3 3 = m 2 2 1p

h = a − a ⇒ h = 6m 2

2 p

2 b

l2 3 At = 4 ⋅ 4

1p 1p

At = 9 3m

479

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro 1p

PM PN 1 = = ⇒ MN || VA MA NV 2

VA ⊂ (VAC ) ⇒ MN || (VAC ) △ PMN ∼△ PAV ⇒

MN 1 = AV 3

l 3 = 3m ; AN = VM = 6m 3

c) AM = VN =

P△VAN = 3 + 3 + 6

2 PP ' = 2 , ( PP ' ⊥ VA, P ' ∈ (VA) ) 3 3 2 2

A△VAN =

a) BD = x, BC = x + 48

1p 1p

x 2 + 48 x − 2025 = 0

( x + 75 )( x − 27 ) = 0

AB 2 = BD ⋅ DC

BD = 27 m

Fie NR ⊥ VA, R ∈ (VA ) NR =

nf o. ro

MN = 1m

b) △ DEB ∼△CDA

DE EB BD = = CD AD AC

A△ DEB  BD  =  A△CDA  AC 

1p 1p

A△ DEB 81 = A△CDA 400

480

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

c) DE ⊥ AB ⇒ m ( ∢DEA ) = 90o

DF ⊥ AC ⇒ m ( ∢DFA) = 90o

1p 1p

m ( ∢A ) = 90o ⇒ AEDF - dreptunghi

AD = EF

nf o. ro

EF = 36m

481

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 185

Prof. Badea Daniela

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

108

-10

36π

12 SUBIECTUL II

fo .ro

5p (30 de puncte)

Desenează trunchiul de piramidă Notează trunchiul de piramidă

2 5 +3 3 2 5 +3 3 ∈ 2 5;3 3 ⇔ 2 5 < <3 3 2 2 3 3+2 5 2 5 < 3 3+2 5 ⇔ 4 5 < 3 3 + 2 5: 2 ⇔ 2 5 < 2 3 3+2 5 <3 3 2 5 < 3 3+3 3 ⇔ 2 5 + 3 3 < 6 3: 2 ⇔ 2

a) x,y, z sumele celor trei fraţi ⇒ x + y + z = 130 x y 3z 5k = = = k ⇒ x = 4k ; y = 3k ; z = 4 3 5 3 5k 4k + 3k + = 130 ⇔ k = 15 3 x = 60; y = 45; z = 25.

w .m

)

(

at ei n

b) 75%din60 = 45 2 2 din45 = 30; din25 = 10. 3 5

E ( x) 4

2p 1p 1p 2p 3p

x +1 ⇔ x2 + 1 = 2 x2 − x − 5 2x − x − 5

x − x−6 = 0 2

x 2 − x − 6 = 0∆ = 25 ⇒ x1,2 =

S = {3}

4p 1p

1± 5 ⇒ x1 = 3; x2 = −2 2

482

1p 2p 1p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

SUBIECTUL III 1.

a) ∆VO`D ∼ ∆VOA ⇒

(30 de puncte)

VD DO` 1 = = VA AO 2

VD = DA = 30 cm ⇒ VA = 60 cm

AO 1 ∆VAO, ∢A = 1dr ⇒ cos A = = VA 2 m ( ∢A) = 600

π R2 H

∆VAO, ∢A = 1dr ⇒ sin A =

fo .ro

b) V =

1p 1p

VO 3 = ⇒ VO = 30 3cm = H VA 2

R α = G 3600 30 ⋅ 3600 α= = 1800 60

at ei n

V = 9000π 3cm3

BC AD = = k ⇒ BC = 5k ; AD = 4k 5 4

w .m

BM ⊥ DC ⇒ ∆BMCdr ⇒ MC = 6cm; BM = AD = 4k Aplicând teorema Pitagora ⇒ MC = 3k = 6 ⇒ k = 2 ⇒ BC = 10cm

( AB + CD ) ⋅ AD

b) AABCD = AD = 8cm

2p 2p 3p

2p 1p 1p 1p

AABCD = 80cm

c) DP ⊥ BC ⇒ ∆DPCdr ∡M ≡ ∡P; ∡C ≡ ∡C ⇒ ∆BMC ∼ ∆DPC BM BC 8 10 = ⇔ = DP DC DP 13 52 DP = 5

483

1p 1p 2p 1p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 186

Prof Boer Elena Milena

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

2 3

at ei n

SUBIECTUL II

Desenează piramida

w .m

Notează piramida 2.

fo .ro

Deoarece

7 <4⇒

A doua zi,

(30 de puncte) 4p 1p

2p 1p

4 − 7 + 4 + 7 = 8∈ N Prima zi a parcurs

7 −4 = 4− 7

9 = 4+ 7 4− 7

x , unde cu x am notat lungimea traseului 4

1 3x x ⋅ = 3 4 4

1p 1p

2 x x A treia zi ⋅ = 3 2 3 x x x + + + 10 = x ⇒ x = 60km 4 4 3

484

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 4.

www.mateinfo.ro

a) Reprezentarea unui punct care aparține graficului funcției f

Reprezentarea altui punct care aparține graficului funcției f

Trasarea graficului funcției

b) f ( x) = x

(

−2 x + 3 = x ⇒ x = 1

A(1,1)

x−2 2

)

= x2 − 4 2x + 8

( 2 − x) = 2 − 2 2 x + x 2

fo .ro

1p 1p 3p

at ei n

E ( x) = − x 2 − x 2 + 4 2 x − 8 + 4 − 4 2 x + 2 x 2 + 4 = 0 SUBIECTUL III

a) AABFE =

( AB + EF ) AA ' , AA ' ⊥ EF 2

w .m

△ DA ' E − dreptunghic, ∢DEA ' = 60 , sin(∢DEA ') =

DA ' DE

(30 de puncte)

1p 1p

DA ' = 30 3 m ⇒ AA ' = 60 + 30 3 m

EM ⇒ EM = 30 m ⇒ EF = 120 m cos(∢DEA ') = ED

AABFE =

(60 + 120)(60 + 30 3) = 5400 + 2700 3 m2 2

b) △ FBC - obtuzunghic. Construim BB ' ⊥ EF A△ FBC = A△ FBC =

BC ⋅ FB ' 2

2p 2p 1p

60 ⋅ 30 = 900 m 2 2

485

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

c) △ FBC ≡△ EDA; A△ FBC + A△ EDA = 1800 m 2

1800 ⋅15 ⋅1,5 = 40500 lei costă florile fără reducere.

12 = 35640 lei costă florile după reducere 40500 − 40500 ⋅ 100 2.

2p 1p

a) At = π OB (OB + VB )

△VOB - dreptunghic – isoscel; VO = OB = 10m; VB = 10 2 m;

3p 1p

π OB 2VO

b) V =

1000π 3 m 3

c) V ' =

π R '2 h ' 125π 3

( R 2 + R '2 + RR ' ) =

5π 875π 3 (100 + 25 + 50) = m 3 3

1 7

3p 2p

Vtrunchi

π htrunchi

w .m

Vtrunchi =

at ei n

fo .ro

At = 100π (1 + 2) m 2

486

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 187

Prof Boer Elena Milena

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

9 2

36π

-1

at ei n

fo .ro

SUBIECTUL II

5p (30 de puncte) 4p

Notează trunchiul de piramidă triunghiulară regulată.

M g = a ⋅b =

7 ⋅ 28 = 14

a+b 7 + 28 3 7 = = 2 2 2

Ma =

3 7 63 14 < deoarece prin ridicare la pătrat 14 < 2 4

Desenează trunchiul de piramidă triunghiulară regulată.

w .m

n : 5 = c1 + 3; n : 7 = c2 + 5; n :10 = c3 + 8;

n = 5c1 + 3 = 7c2 + 5 = 10c3 + 8;

Adunând lui n pe 2, obținem n + 2 = 5c1 + 5 = 7c2 + 7 = 10c3 + 10;

1p 1p

n + 2 = [5, 7,10] = 70

Dar numărul căutat se găsește între 100 și 200, ceea ce înseamnă că este 138.

487

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 4.

www.mateinfo.ro

a) f (2) = −2 + 4 = 2;

f (−3) = 3 + 4 = 7;

A ∈ Gf ; B ∉ Gf

b) f (0) = 4;

f ( x) = 0 ⇒ x = 4; Triunghiul format de graficul funcției și axele de coordonate este 4⋅4 dreptunghic și isoscel ceea ce înseamnă că d (O, Gf ) = =2 2 4 2

x 2 − x = x( x − 1); x 2 − 1 = ( x − 1)( x + 1); x 2 + x = x( x + 1);

fo .ro

at ei n

x 2 + 3 x + 2 = ( x + 1)( x + 2); x3 − 2 x 2 + x = x( x − 1) 2 ;

x −1 x −1 ( x + 1)2 E ( x) = ⋅ = x + 1 ( x + 2) ⋅ ( x + 1) x + 2

w .m

SUBIECTUL III

(30 de puncte)

a) △ MON − dreptunghic; MO − rază;

Conform teoremei lui Pitagora: NO 2 = MO 2 − MN 2 ⇒ NO = 8 dam

π R2

− AMNOP − APQRS − APOBS

b) Asup =

MN = 6 dam, NO = 8 dam ⇒ AMNOP = 48 dam2

PS = 6 dam; OR = 10 dam; △QOR − dreptunghic ⇒ OQ = 8 dam; APQRS = 12 dam 2

PS = 6 dam; OB = 10 dam; PO = 6 dam ⇒ APOBS = 48 dam 2

Asup = 50 ⋅ 3,14 − 48 − 12 − 48 = 49 dam 2

c) Construim RR ' ⊥ OB . △ AR ' R − dreptunghic; RR ' = 8 dam; AR = 16 dam.

△ RR ' B − dreptunghic; △ BNM − dreptunghic; NB = 18 dam;

488

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

△ ANM − dreptunghic;

Aplicăm succesiv teorema lui Pitagora și obținem:

AR = 8 5 dam; RB = 4 5 dam; 1p Distanța parcursă de Andrei este de 12 5 dam

MB = 6 10 dam; AM = 2 10 dam

fo .ro

Distanța parcursă de Bogdan este de 8 10 dam 12 5 > 8 10 deoarece ridicând la pătrat 720 > 640 .

Andrei parcurge un drum mai lung. a)

R G = ; 2π RG = 96π ⇒ R = 6cm; G = 8cm. 3 4

at ei n

V = π R 2G ; V = 288π cm3

Vcon =

w .m

b) m = ρ ⋅ Vcon ;

π R2h 3

= 96π = 301, 44 cm ⇒ m = 2351, 232 g ≈ 2kg

w w

Vcorp rămas Vcilindru

2p 1p 4p

c) Vcilindru = 288π cm3 ; Vcon =

π R2h 3

= 96π cm3 ; Vcorp rămas = 192π cm3 ;

⋅100 = 66, (6)%

489

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 188

Prof Brabeceanu Ionel

SUBIECTUL I

(30 de puncte) 2p

1 1 5 + 0, 5 = + 2 2 10

1 5 1 1 + = + =1 2 10 2 2 3 x 3 = ⇒x= 4 2 2

fo .ro

3 4 ⋅ x + 4 = 4 ⋅ + 4 = 10 2

x = −2 ⇒ f (−2) = 2 − (−2) = 4

=m C AB = AC ⇒ m B

( )

w .m

= 180o m A + 2⋅ m B

1p 2p

AB = BC = 6cm şi AA′ = BB ′ = CC ′ = 8cm

68 + 68 + 57 = 193

230 −193 = 37

2p SUBIECTUL II

∆BCC ′ dreptunghic în C ⇒ BC ′ 2 = BC 2 + CC ′ 2 = 36 + 64 = 100 ⇒ BC ′ = 10cm

o o = 180 − 70 = 55o m B 2

( )

at ei n

(30 de puncte)

Desenează prisma

Notează prisma

490

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 2.

www.mateinfo.ro 1p

1 − 2 = 2 −1

2p 8 − 3 = 3− 8 = 3− 2 2

n = 2 − 2 + 2 −1 + 3 − 2 = 0 ∈ ℕ 3.

x - numărul băieţilor şi 1 x−7 = x +3 3

fo .ro

1 x − x = 10 ⇒ x = 15 băieţi 3

at ei n

1 ⋅15 = 5 fete 3 4.

1 x numărul fetelor 3

 x g ( x ) = −4 1−  + 7 = 2 x + 3  2 

Reprezentarea unui punct al graficului funcţiei g

w .m

Reprezentarea altui punct al graficului funcţiei g

2p 1p 1p 1p

Trasarea graficului funcţiei

a) x = −2 ⇒ 12 − 2m + 2 = 0

−2m = −14 ⇒ m = 7

b) m = 7 ⇒ 3 x 2 + 7 x + 2 = 0

△= 49 − 24 = 25

−7 ± 5 1 x1,2 = ⇒ x1 = − şi x2 = −2 6 3

1 − cealaltă soluţie a ecuaţiei 3

SUBIECTUL III

491

(30 de puncte)

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 1.

www.mateinfo.ro 1p

3 3 ⋅l2 a) Ahexagon = 2

Ahexagon =

3 3 ⋅ 400 = 600 3 2

2p 1p

Ahexagon < 1050 ⇔ 600 3 < 1050 3 < 1, 75 ⇔ 600 3 < 600 ⋅1, 75 ⇔ 300 3 < 1050

MN =

BE + AF 40 + 20 = = 30cm 2 2 AC 1 = ⋅ 20 3 = 10 3cm 2 2

c) △CEQ dreptunghic în E

CQ 2 = CE 2 + EQ 2 2

(

)

CQ = 10 13cm

2p 1p 1p

a) △VO ′A′ ∼△VOA

VO ′ r = VO R

+ 10 = 1200 + 100 = 1300

w .m

CQ = 20 3

at ei n

AMNPQ = MQ ⋅ MN = 300 3cm 2

fo .ro

b) MO =

VO ′ VO ′ 6 6 = ⇒ = VO 10 24 −VO ′ 10

1p 2p

VO ′ = 9cm b) VO = 24 − 9 = 15cm

VA2 = VO 2 + OA2

VA2 = 152 + 102 = 325

492

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

VA = 5 13cm c) Vtrunchi =

πh 2 R + r2 + R⋅ r 3

(

)

Vtrunchi = 1568πcm3

π R2h Vcon = 3

π ⋅100 ⋅15 π ⋅ 36 ⋅ 9 + = 608πcm3 3 3

w .m

at ei n

Vlemn indepartat = 1568π − 608π = 960πcm3

fo .ro

V1 , V2 volumele conurilor; V1 + V2 =

493

1p 1p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 189

Prof Brabeceanu Silvia

SUBIECTUL I

(30 de puncte) 2p

2 1 = 6 3

2 1 3 + = =1 3 3 3

10 ⋅ x = 10 ⋅

12 = 24 5

x=0 ⇒ f (0) = 1 ⇒ y = 1 G f ∩ Oy = A (0,1)

fo .ro

5 4 12 = ⇒x= 3 x 5

P = 2l + 2 L

w .m

40 = 2 ⋅ 6 + 2L

at ei n

3p 3p

2p 3p 2p

1p 2p 2p

At = 4 ⋅ AABC = 4 ⋅ 6 3 = 24 3cm 2

25 elevi

L = 14cm

5p SUBIECTUL II

(30 de puncte)

Desenează piramida

Notează piramida

(2 3 + 1) 2 = 12 + 4 3 + 1 = 13 + 4 3

2p 2p

( 3 − 2) 2 = 3 − 4 3 + 4 = 7 − 4 3

494

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

n = 20 ∈ ℕ 3.

x - reprezintă a treia parte

30 3 x = x - a doua parte 100 10

40 3 12 ⋅ x= x - prima parte 100 10 100

fo .ro

12 30 x+ x + x = 710 100 100 142 x = 710 ⇒ x = 500 100 a) f (−1) = 5

at ei n

−m + 2m + 1 = 5

m=4

w .m

b) f ( x) = 4 x + 9

f ( x) = x

1p 1p

1p 2p 2p 2p 1p 1p

4x + 9 = x

E ( x) = −

x = −3

E ( x) =

−

x +1

( x − 3)( x + 3) ( x − 3)2

−x 2 + 3 x − x 2 − 4 x − 3

( x − 3) ( x + 3) −x − 3

( x − 3) ( x + 3)

E ( x) = −

( x − 3)

495

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

SUBIECTUL III

(30 de puncte) 1p

a). BC 2 = BF 2 + CF 2

BC 2 = 202 + 152 = 625

BC = 25cm

b). Dacă FG ⊥ BC ⇒ EF = 25 − 2 ⋅ FG FG =

BF ⋅ CF BC

EF = 25 − 2 ⋅12 = 1cm

at ei n

FG = 12cm

c). Dacă FG ⊥ AB, AABFE =

( AB + EF )⋅ FG 2

w .m

BG = ( 25 −1) : 2 = 12cm

2p 1p

1p 1p 1p 1p

FG 2 = BF 2 − BG 2 = 202 −122 = 256

FG = 16cm

(25 + 1)⋅16 2

= 26 ⋅ 8 = 208cm 2

AABFE =

fo .ro

PABCD = 25 ⋅ 4 = 100cm

a). L = 2π R, R raza bazei conului AA1

AA1

π ⋅12 ⋅ 240 = = 16πcm 180

2π R = 16π ⇒ R = 8cm

2p 1p

b). At = π R (G + R)

G = VA = 12cm

496

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

At = π ⋅ 8 (8 + 12) = 160πcm2

, α - planul bazei, sin VAO = VO c). m VA , α = m VAD VA

(

)

(

)

1p 1p

VO 2 = VA2 − AO 2 = 122 − 82 = 80 ⇒ VO = 4 5

4 5 5 = 12 3

5 2 < 0, 75 ⇔ 5 < 2, 25 ⇔ 5 < (2, 25) ⇔ 5 < 5, 625 3

w .m

at ei n

< 0, 75 ⇔ sin VAO

fo .ro

= sin VAO

497

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 190

Prof: Constantin Corina - Carmen

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

2016

∅

-2

1 2

at ei n

fo .ro

SUBIECTUL II

Desenează tetraedrul

a =2− 3

(

)(

A doua zi parcurge

1 x + 2 , unde x este distanţa parcursă 3

1 x 2

4p 1p

1p 3p

1 1 x + 2 + x + 40 = x ⇒ x = 252 km 3 2 4.

(30 de puncte)

)

În prima zi parcurge

2− 3 2+ 3 =1

mg = 3.

w .m

Notează tetraedrul

a) f ( m − 2 ) = 2 ( m − 2 ) − 5

2 (m − 2) − 5 = 7 ⇔ m = 8

498

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 b) f ( x ) = 0 ⇒ x =

www.mateinfo.ro 2p

5 5 ⇒ OA = 2 2

f ( 0 ) = −5 ⇒ OB = 5 Deci AAOB = 5

OA ⋅ OB 25 = 2 4

2 3 5 − x + 10 − + = 2 x−3 x+3 9− x ( x − 3)( x + 3)

2p 2p

E ( x) =

x ( x − 3) − x + 10 −x ⋅ = 2 ( x − 3)( x + 3) ( x − 10 )( x + 2 ) x + 5 x + 6

at ei n

SUBIECTUL III

fo .ro

x 2 − 8 x − 20 = ( x − 10 )( x + 2 ) şi x 2 − 3x = x ( x − 3)

a) R = 7 m ⇒ AD = 49π m2

1 1 49π 2 ⋅ ⋅ 49π = m 2 4 8

w .m

Atrandafiri portocalii =

(30 de puncte) 3p 2p

Aalei = 35 ⋅ 0,5 = 17,5 m2 = 175000 cm2

Apătrat = 102 = 100 cm2

b) AE + 3 ⋅ OB = 35 m

175000 :100 = 1750 pietre cubice

c) L = 7π m şi LDC = LBA = APE

7π m ⇒ Ltraseu = 10,5π + 28 m 4

3p 2p

π < 3,15 ⋅10,5 ⇒ 10,5π < 33,075 +28 ⇒ Ltraseu < 61, 075 < 62 m 2.

a) H = 144 − 4 = 2 35 ≃ 2 ⋅ 5,91 = 11,82 cm V=

11,82π (100 + 64 + 80 ) ≃ 3018, 6704 cm3 ≃ 3, 0186704 dm3 ≃ 3 litri 3

499

2p 3p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

b) k =

www.mateinfo.ro

A A r 8 4 16 9 = = şi l con mic = k 2 = ⇒ l trunchi con = Al con mare Al con mare R 10 5 25 25

Al trunchi con = π (10 + 8) ⋅ 12 = 216π cm2 ⇒ Al con mare = 600π cm2 Adisc = 100π cm2 şi

x 100 ⋅ Al con mare = Adisc ⇒ x = = 16, ( 6 ) ≃ 17% 100 6

1p 2p

d = 20π ≃ 20 ⋅ 3,14 ≃ 63 s v

w .m

at ei n

fo .ro

c) d = Lcerc mare = 2π ⋅ 10 = 20π cm

500

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 191

Prof: Constantin Corina - Carmen

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1612

[−3,0 )

at ei n

fo .ro

SUBIECTUL II

Desenează prisma

w .m

Notează prisma

5p 5p 5p (30 de puncte) 4p 1p 2p

x y = = k ⇒ x = 4 k , y = 6k 4 6

2 x + 3 y = 52 ⇔ 8k + 18k = 52 ⇔ k = 2

x este numărul elevilor, 600 < x < 700

Deci x = 8 şi y = 12

 x = 6c1 + 4   x = 9c2 + 4 ⇒  x = 15c + 4 3 

 x − 4⋮ 6   x − 4⋮ 9 şi [6,9,15] = 90  x − 4⋮15 

3p 1p

Deci x − 4 = 630 ⇒ x = 634 4.

a) f ( −8 ) = 24 + a

f ( −8 ) ≤ 2 ⇔ 24 + a ≤ 2 ⇔ −2 ≤ 24 + a ≤ 2 ⇔ −26 ≤ a ≤ −22

501

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

Deci a ∈ [ −26, −22 ]

b) a = −1 ⇒ f ( x ) = −3x − 1

1p 1p

1 1 f ( x ) = 0 ⇒ x = − ⇒ OA = 3 3

f ( 0 ) = −1 ⇒ OB = 1

Deci d (O , AB ) =

OA ⋅ OB 10 = AB 10

x 2 + x − 20 = ( x + 5)( x − 4 ) şi x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1)

( x − 1)

− 9 = ( x + 2 )( x − 4 ) şi x 2 + x − 2 = ( x + 2 )( x − 1)

x+5 a+5 ⇒ =3⇒a=4 x −1 a −1

w .m

Deci E ( x ) =

SUBIECTUL III

at ei n

10 3

fo .ro

△OAB dreptunghic în O ⇒ AB =

a) DO = R = 6 m

2p 2p

1p (30 de puncte) 1p

l 3 =6 ⇒ 2

△ DEF echilateral ⇒ DO =

⇒ lromb = 4 3 m

b) Adisc = π R 2 = 36π m2

Aromb =

d1 ⋅ d 2 CD ⋅ EF = = 24 3 m2 2 2

Agazon = Adisc − Aromb ≃ 113, 04 − 41,52 = 71,52 m2

c) d ( E , DF ) = hromb

502

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

△ DEF echilateral ⇒ d ( E , DF ) = DO = 6 m

a) A = 4π R 2 = 900π cm2

4π R 3 = 4500π cm3 3

b) L = 800 cm, l = 600 cm, h = 500 cm

800 : 30 ≃ 26   ⇒ 26 ⋅ 20 = 520 mingi pe baza depozitului 600 : 30 = 20 

fo .ro

www.mateinfo.ro

500 : 30 ≃ 16 nivele ⇒ 520 ⋅ 16 = 8320 mingi în total

w .m

at ei n

c) 8320 ⋅ 25 = 208000 lei

503

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta192

Prof.Ferdoschi Dana

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

-3

196π (cm2)

216

(cm2)

1. X=lungime drum

5p 5p (30 de puncte) 5p 5p

w .m

at ei n

SUBIECTUL II

fo .ro

x/4 (in prima zi); 1p

30% din (x-x/4) = 9x/40 ;1p x/4 +9x/40 +63=x ;1p

n=4 -2 |+2(2 -4 )+2 ; n=4(2 - )+4 -8 +2 ; n=8 -4 +4 -8 +2 ;

2p 1p 1p

n=2 єN ;

x=120 km ;2p

Calcularea a două valori ale funcţiei şi precizarea a două puncte de pe grafic

Trasarea graficului

Descompunerea în factori a numărătorului

504

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

Descompunerea în factori a numitorului

Efectuarea scăderii din paranteză

Finalizare: E=-3x+10 6

Notarea numerelor cu două litere

Scrierea ecuaţiilor sistemului 2x-3y=2 2p

Rezolvarea sistemului şi aflarea nr. x= 4 ; y=2 SUBIECTUL III

a)A=64π (formula 2p ;înlocuire şi calculare 3p)

at ei n

b)latura pătratului =8

A= 128

(30 de puncte) 5p 5p

w .m

c)L=8π+16=41,12 2.

fo .ro

3x+2y=16

a)V=πr2 h=π122 . 10=1440π (m3)=4521600 litri

b)Argumentare unghi 2p

Calcularea tgB=2/3

c)Calcularea generatoarei =20 m

Al=πrg=π.12.20=240π=240.3,14=753,60 ≈754 (m3) 3p

505

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta193

Prof. FerdoschiDana

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

19,5 lei

7/50

2304π cm

fo .ro

at ei n

SUBIECTUL II

5p (30 de puncte)

desen

Notarea cu două litere a nr. de elevi şi a nr.de calculatoare 1p

w .m

5p 10p

Scrierea celor două ecuaţii 2y+5=x 3(y-2)=x

Rezolvare sistem ; x=27 şi y=11

Calcularea a două valori ale funcţiei şi notarea punctelor

Trasarea graficului

Aplicarea formulelor de calcul

Finalizare calcul a=4 є N

2p 1p

506

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 5

Aplicarea formulelor

Finalizare calcule

www.mateinfo.ro 5p

a)AF=AB+BF=24+12=36m

P=AF+FE+ED+DA=36∙2+12∙2=96 m

b)A=L∙l=36∙12=432 ( m )

at ei n

(30 de puncte)

fo .ro

SUBIECTUL III

A teren cultivat=432 :2= 216 (

)

A cerc= πrla2= π∙(12√10)∙(12√10)=1440π ( m ) 2.

w .m

c)DF=12√10 m

a)At=Al+2Ab =Pb∙h+2∙Ab

At=384+128=512 ( m )

b) r=8:2=4m V=Ab∙h

1p 3

V=π∙16∙12=192π ( m )

c)Desfăşurarea laterală a dreptunghiurilor ABB’A’,BB’C’C,CC’D’D. Drumul cel mai scurt este AD’.

Calcul AD’= 12 5

507

www.mateinfo.ro

w .m

at ei n

fo .ro

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

508

Evaluare NaţionalăMatematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta194

Prof. Isofache Cătălina Anca

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1612

-10

7,5

972π

at ei n

fo .ro

desen

x=4 y=3 |x − y|=1

(30 de puncte) 5p 2p

1p 1p

n numărul de ani ⇒ 30+ n = 3 (6+ n)

n= 6

a)Reprezentarea corectă a unui punct A ce aparține graficului funcției

Reprezentarea corectă a altui punct B ce aparține graficului funcției

Reprezentarea grafică a dreptei AB

36-6= 30 ani are tatăl

w .m

SUBIECTUL II

b) Determinarea coordonatelor punctului M de intersecție cu axa Ox

Determinarea coordonatelor punctului N de intersecție cu axa Oy

509

Evaluare NaţionalăMatematică 2014-2015

= În triunghiul MON , tgMNO

www.mateinfo.ro

√

)=30 m(MON 1 2 8 3(x + 1) + − = x − 5 5 + x 25 − x (x − 5)(x + 5)

x − 4x − 5 (x + 1)(x − 5) = x − 10x + 25 (x − 5)

Finalizare

1p SUBIECTUL III

a)Perimetrul = AB+BC+CD+AD BC= 8√2 m

at ei n

fo .ro

Lungimea gardului= 8(5+√2) m. b)A = A − (A + A

)

w .m

!"#$% = 128&

(30 de puncte) 1p 2p 2p 1p 1p 1p

!%$( = 40&

!"#( = 24&

A = 64&

c) d(M;BC)=MN= 8√2 m , N∈BC

MC=4√26 m

CN=12√2 m

CN>BC, rezultă N∉ interiorului terenului ABCD

1p 1p

Distanța minimă este MB=4√5 m a) V=πR h V= 800π m

2p 3p

510

Evaluare NaţionalăMatematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

b)A0 = 160π m

A0 =504 m

Suprafața vopsită = 1080 m

Cantitatea de vopsea= 705,6 l

B’

AB=πR , rezultă AB=32 m

w .m

at ei n

AB’=8√17 m AB’=33 m

A’

fo .ro

c) A’

511

1p 2p 1p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta195

Prof. Marcu Daniela

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

10,20,30,40,50,60,70,80,90

25 ⋅ 3

100

at ei n

SUBIECTUL II

Desenează prisma

5p 5p (30 de puncte) 4p 1p 2p

mg = a ⋅ b = 1

În a treia zi parcurge 20% din traseu

20 ⋅ x = 200 ⇒ x = 1000km 100

a) f (0) = − a

− a = −3 ⇒ a = 3

b) f ( x) = 2 ⋅ x − 3 ⇒ A(0, −3)

a = 3− 8

w .m

Notează prisma 2.

fo .ro

2⋅ x −3 = 0 ⇒ x =

3 3 ⇒ B ( , 0) 2 2

Reprezentarea grafică

512

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 5

www.mateinfo.ro

x2 − 9 = x−3 x+3

( x + 1) 2 − 1 = x+2 x

E ( x) = 2 ⋅ x − 1 ⇒ E ( x) − 2 ⋅ x + 1 = 0 1p

a) S [ ABED ] = =

( AD + BE ) ⋅ AB = 2

(10 + 20) ⋅10 = 150m 2 2

at ei n

3p 2p

DE = 10 ⋅ 2m ⇒ BE 2 = BD 2 + DE 2

c) AB + BD + DC + CE =

w .m

b) BD = 10 ⋅ 2m, BC = CE = 10m

= 30 + 10 ⋅ 2m

2p 2p

a) L = 2π ⋅ OA = 50π cm

l = AA' = 100cm

b) AB ' = 50 ⋅ 5cm

BB ' 2 ⋅ 5 sin B AB = = AB ' 5

c) Al = 2π RG = 2π ⋅ 25 ⋅100 = 5000π cm 2

π < 3,15 ⇒ Al < 15750cm2 = 1,575m 2

2 < 1,5 ⇒ 30 + 10 ⋅ 2m < 30 + 15 = 45m

(30 de puncte)

fo .ro

SUBIECTUL III

513

www.mateinfo.ro

w .m

at ei n

fo .ro

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

514

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 196

Prof Marcu Daniela

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

0,2,4

3 4

4 ⋅π 3

120

at ei n

fo .ro

SUBIECTUL II

5p (30 de puncte) 4p

Notează paralelipipedul

3+ 2 = 5+ 2⋅ 6 3− 2

2p 2p

Desenează paralelipipedul

w .m

3− 2 = 5− 2⋅ 6 3+ 2 1p

Suma = 10 ∈ N

Notăm cu x lungimea traseului ⇒ 10 +

40 20 ⋅x+ ⋅x = x 100 100

3p 2p

x = 25km 4.

a) f (3) = 6 − 3 ⋅ a

6 − 3⋅ a = 0 ⇒ a = 2

515

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

b) f ( x) = 2 ⋅ x − 6 ⇒ A(0, −6)

2 ⋅ x − 6 = 0 ⇒ x = 3 ⇒ B (3, 0)

Reprezentarea grafică

x −1 x −1 1 = = x − 3 ⋅ x + 2 ( x − 1) ⋅ ( x − 2) x − 2

x−2 x−2 1 = = 2 x − 4 ⋅ x + 4 ( x − 2) x−2

E ( x) = 1

a) S parcela = =

S [ ABCD] = 3

1800 = 600m 2 3

at ei n

SUBIECTUL III

fo .ro

L = 60m

w .m

b) Notăm cu L lungimea grădinii, şi cu l lăţimea grădinii, deci L ⋅ l = 1800 ⇒ 2 ⋅ l 2 = 1800 ⇒ l = 30m

(30 de puncte) 3p

2p 3p 2p

c) DP = PA = 15m, DQ = 40m, QC = 20m

PQ = PR = 5 ⋅ 73m, QN = NR = 25m , deci perimetrul este 50 + 10 ⋅ 73

3p 2p

a) Notăm OO ' = h . Ducem A' M ⊥ AB ⇒ AM = R − r = 3cm, AA' = 5cm

h = 4cm

b) V =

π ⋅h 3

⋅ (R2 + r 2 + R ⋅ r) =

= 532 ⋅ π ⋅ cm3

c) Notăm V = AA' ∩ OO ' . Avem △VO ' A' ∼△VOA

516

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

VA' r 10 65 = = ⇒ VA = cm VA R 13 3

w .m

at ei n

fo .ro

⇒

www.mateinfo.ro

517

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 1

Prof Marcu Ştefan Florin

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

Desenează piramida

ma =

w .m

Notează piramida

at ei n

SUBIECTUL II

fo .ro

a+b =2 2

5p 5p (30 de puncte) 4p 1p 2p 2p

mg = a ⋅ b = 1

ma =2 mg 3.

Notăm cu x pretul iniţial ⇒ x −

10 ⋅ x = 180 lei 100

3p 2p

x = 200 lei 4.

a) f (1) = a − 4

a−4=0⇒ a = 4

b) f ( x) = 4 ⋅ x − 4 ⇒ A(0, −4)

518

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

4 ⋅ x − 4 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ B (1, 0)

Reprezentarea grafică

3⋅ x − 9 3 ⋅ ( x − 3) = x − 4 ⋅ x + 4 ( x − 2) 2

x 2 − 6 ⋅ x + 9 ( x − 3)2 = x−2 x−2

SUBIECTUL III

a) Notăm cu l latura pătratului. Atunci distanţa = 8 ⋅ l = = 8 ⋅ 50 = 400m

at ei n

fo .ro

1p 3 E ( x) = ⇒ concluzia. ( x − 2) ⋅ ( x − 3)

(30 de puncte) 3p 2p 2p

Analog △ ADQ este isoscel şi m(∡ADQ ) = 150 ⇒ m(∡DAQ ) = 15

w .m

b) △ ABP este isoscel şi m(∡ABP ) = 150 ⇒ m(∡BAP ) = 15

Deci m(∡PAQ ) = 60

c) Sroşii = l 2 = 2500m 2

2p 2p

l2 ⋅ 3 2 = 4⋅ = l ⋅ 3 = 2500 ⋅ 3m2 4

Sceapă

S roşii

Sceapă

1 ∈ (0, 55; 0,58) 3

a) Notăm cu l latura triunghiului echilateral. Atunci VO =

20 ⋅ 3 = 10 ⋅ 3cm 2

l⋅ 3 = 2

b) R = OA = 10cm, h = 10 ⋅ 3cm

519

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

π ⋅ R2 ⋅ h 3

1000 ⋅ 3 ⋅ π cm3 3

c) △VO ' A' ∼△VOA ⇒

VO ' 1 = VO 2

VO = 5 ⋅ 3cm ⇒ OO ' = 5 ⋅ 3cm 2

w .m

at ei n

fo .ro

VO ' =

www.mateinfo.ro

520

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 198

Prof Marcu Ştefan Florin

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

990

6,85

Desenează cubul

5p (30 de puncte) 4p 1p 3p

3+ 2 < 2 ⇔ 2 < 1 + 2 ⋅ 3 adevărat 2+ 3

Notăm cu x preţul iniţial al bicicletei ⇒ x +

3+ 2 ⇔ 3 − 2 < 1 adevărat 2+ 3

w .m

Notează cubul

at ei n

SUBIECTUL II

fo .ro

10 ⋅ x = 770 100

3p 2p

x = 700 lei

a) f (0) = 1 ⇒ b = 1

f (1) = 2 ⇒ a + b = 2 ⇒ a = 1

b) f ( x) = x + 1 ⇒ A(0,1)

x + 1 = 0 ⇒ x = −1 ⇒ B (−1, 0)

521

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

Reprezentarea grafică

x2 − 2 ⋅ x + 1 ( x − 1) 2 x −1 = = 2 x −1 ( x − 1)( x + 1) x + 1

2⋅ x + 4 2 ⋅ ( x + 2) 2 = = x + 3 ⋅ x + 2 ( x + 1) ⋅ ( x + 2) x + 1

E ( x) = 1

a) A[ ABCD] = AB ⋅ AC ⋅ sin(∢ABC ) =

= 10 ⋅10 ⋅ 3 ⋅

3 = 150m 2 2

b) △ MBA ≡△ NDC

at ei n

fo .ro

SUBIECTUL III

⇒ MB = DN , MA = CN , MD = BN , deci MBND este dreptunghi.

3p 2p

2p 3p 3p

În △ MND : MN 2 = MD 2 + DN 2 = 400 + 100 ⋅ 3 < 576 ⇒ MN < 24m

a) În △VOA : VO 2 + OA2 = VA2 ⇒ VO = OA = 5 ⋅ 2cm

π ⋅ R2 ⋅ h

250 ⋅ 2 ⋅ π = cm3 3

w .m

c) În △ MBA : m(∢MBA) = 30 ⇒ MA = 5m, MB = 5 ⋅ 3m, MD = 5 + 10 ⋅ 3m

(30 de puncte)

Vcon =

b) Din VO = OA = OB ⇒ m(∢AVO) = m(∢OVB ) = 45

Deci m(∢AVB ) = 90

c) Notăm cu r, raza secţiunii . Se ştie că :

⇒

VM 2 = VO 3

r 2 10 ⋅ 2 = ⇒r= cm . OA 3 3

522

2p 3p

www.mateinfo.ro

w .m

at ei n

fo .ro

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

523

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 199

Prof. Marcu Tamara

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

240

0; 1; 2

Desen

w .m

Notaţie corectă

at ei n

SUBIECTUL II

5p 5p (30 de puncte) 4p 1p

| 7 − 4 3 |= 7 − 4 3

| 48 − 6 |= 48 − 6

1p 3p

| 7 − 4 3 | + | 48 − 6 |= 1

Fie

a fracţia cerută. b

fo .ro

a+5 =1 b

a 1 = b+8 2

a 13 = b 18 4.

a) Reprezentarea corectă a unui punct

524

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

Reprezentarea corectă a celui de-al doilea punct

Reprezentarea corectă a graficului

b) Determinarea intersecţiilor graficului cu axele de coordonate

Formula ariei triunghiului dreptunghic

1 Aria = u 2 4

x 2 − 4 = ( x − 2 )( x + 2 )

x3 + 2 x 2 − x − 2 = ( x + 2 )( x − 1)( x + 1) Finalizare

x−2 x2 − 1

a) AABCD = AB ⋅ BC

w .m

AABCD = 60m 2

at ei n

SUBIECTUL III

fo .ro

www.mateinfo.ro

b) Fie CE ⊥ DB ⇒ d ( C , BD ) = CE

2p 1p

(30 de puncte) 1p 4p

1p 2p

DB = 13m

60 CE = m 13

c) 14 plopi

a) Asemidisc =

π R2

Asemidisc = 50π cm 2

b) V =

π R2h

V = 60000π cm3 = 60π dm3

525

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

V ≃ 188, 4l

c) A = 12100π cm 2

2p 1p

m ≃ 7,5988 kg < 7, 7 kg

w .m

at ei n

fo .ro

A ≃ 3, 7994m 2

526

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 200

Prof. Marcu Tamara

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1089

450

36π

Desen

a = 2 3 +1

5p 5p (30 de puncte) 5p

a+b = 2

M a = (a + b + c) : 3

b = 1− 2 3

(8 + 3 + c) : 3 = 9

c = 16

w .m

at ei n

SUBIECTUL II

fo .ro

a) A(1; a − 1) ∈ G f ⇔ f (1) = a − 1

a − 1 = −1

a=0

b) Reprezentarea corectă a unui punct Reprezentarea corectă a celui de-al doilea punct

527

2p 2p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

Reprezentarea corectă a graficului 5

x 2 + xy = x ( x + y ) Finalizare

x x− y

R G = 5 6

G = 12dm

at ei n

R + G = 22 R = 10dm

b) A secţiunii axiale = 2 RG

1p 1p 1p 1p

V = π R2 ⋅ h

V = 1200π dm3

w .m

a) AAEB =

A secţiunii axiale = 240 dm 2

(30 de puncte)

fo .ro

SUBIECTUL III

AB 2 3 4

AAEB = 4 3cm2

b) m(∡DAE ) = 300

m(∡ADE ) = 750

c) Fie DF ⊥ AE , F ∈ AE ⇒ d ( D, AE ) = DF m(∡DAF ) = 300 ⇒ DF =

1p 3p

AD 2

528

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

DF = 2cm

w .m

at ei n

fo .ro

529

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 201

Prof. Marcu Tamara

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

67 0

260π

Desen

17 72

25 2

21 37

5p (30 de puncte) 5p 1p

100% − 35% = 65%

65% ⋅ 1600 = 1040km

M ap =

w .m

at ei n

SUBIECTUL II

fo .ro

a) A( x; 2 x) ∈ G f

3x − 1 = 2 x

A(1;2)

b) Reprezentarea corectă a unui punct

530

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

Reprezentarea corectă a celui de-al doilea punct

Reprezentarea corectă a graficului

( x + 1)2 = x 2 + 2 x + 1

( x − 1) 2 = x 2 − 2 x + 1

1p 1p

( x − 1)( x + 1) = x 2 − 1

SUBIECTUL III

a) d = 2 ⋅ R

Rrond = 3,5 : 2 Rrond = 1, 75m b)

Arond = π R 2

w .m

Arond = 3, 0625π m 2

at ei n

c) Lcerc = 2π r

(30 de puncte) 1p 2p 2p 1p 4p

1p 1p

Lcerc = 628m

r = 1m = 100cm

628:15,7 = 40 crizanteme

fo .ro

finalizare

a) Al = 2π RG

1p 4p

Al = 300π cm2 b) V = Ab ⋅ h

Ab =

1p 2p

d2 = 8 cm2 2

531

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

V = 600 cm3 c) Vcilindru = 942cm3

2p 1p

p 600 = 100 942 p = 63, 69

w .m

at ei n

fo .ro

532

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 202

Prof. Marcu Tamara

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

0,3

150, 153, 156, 159

450π

1 2

at ei n

fo .ro

SUBIECTUL II

Desen

ma = (a + b) : 2 ma = 7

w .m

5p 5p

(30 de puncte) 4p 1p 1p 1p

mg = a ⋅ b

mg = 1

a b = 2 5

a + b = 280

a = 80

b = 200

a) 1 −

1p 2p

x 3 =− x −3 x −3

533

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

3 x = x−3 x −3

Finalizare 5p

2 x − 3 = −3 x + 2

x =1

y = −1

G f ∩ Gg = P (1; −1)

a) P = 4 ⋅ l l = 18cm R = 6cm

w .m

at ei n

SUBIECTUL III

(30 de puncte) 1p 4p 1p 2p

A material îndepărtat = 72π cm 2

A figură = 324 − 72π = 36(9 − 2π )cm2

A material îndepărtat = 2π R 2

c) A pătrat = 324cm 2

fo .ro

b) x ∈ {−3; −1;1}

h con = 40 cm

h cilindru = 2m = 200cm

H coloană = 240 cm (=2,4 m)

b) Al cilindru = 12000 π cm 2

1p 1p

Ab = 900π cm 2

Al con = 1500 π cm 2

534

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

At = 14400 π cm 2

c) V cilindru = 180000 π cm3

V con = 12000 π cm3

V coloană = 192000 π cm3

1p 2p

w .m

at ei n

fo .ro

m coloană = 5003,904 kg

535

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 203

Prof Mocanu Ana- Gabriela

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

3 2

[3;+ ∞ )

60 °

at ei n

fo .ro

SUBIECTUL II

Desenează trunchiul

(

w .m

Notează trunchiul 3+ 2 3+ 2

)(

3− 2

)

−

(

3− 2

)

5p 5p 5p (30 de puncte) 4p 1p 2p

3+ 2 − 3+ 2 3− 2

2p 1p

3+ 2− 3+ 2 =2 2

În prima zi parcurge 40% ⋅x +6=

2x + 6 ,unde x 5

2x + 6 +120= x ⇒ x = 210km 5

este lungimea întregului traseu

3p 2p

4 3

a) f (0) = − ⋅ 0 + a

3p a=4

536

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

b) f ( x) = 0 ⇒ x = 3 ⇒ OA = 3

f (0) = 4 ⇒ OB = 4

Teorema lui Pitagora în △ AOB ⇒ AB = 5

şi x 2 − x = x ( x − 1)

( x + 1)

E ( x) =

− 4 = ( x − 1)( x + 3)

( x − 1)( x + 3) x

⋅

x3 = x 2 + 3x x ( x − 1)

SUBIECTUL III

a)AC=AE+EC=20m

1p 2p

Teorema catetei în △ ABC ⇒ AC 2 = EC ⋅ AC ⇒ AC 2 = 300 ⇒ AC = 10 3m

AABCD = 10 ⋅10 3 = 100 3m 2

w .m

100 3 < 100 ⋅1, 74 < 200

c) Aflori = AAEB + ACFD

Aflori = 25 3m 2 =

25 3

w Agrădină

100 3

BE = DF = 5 ⋅15 = 5 3m

Aflori

AABCD <200 m 2 =2ari

(30 de puncte)

Teorema catetei în △ ABC ⇒ AB 2 = AE ⋅ AC ⇒ AB 2 = 100 ⇒ AB = 10m

at ei n

fo .ro

m 2 + 3m = 4 ⇔ m 2 + 3m − 4 = 0 ⇒ m1 = −4, m2 = 1 ,dar m ≠ 1 ⇒ m= - 4

1 ⇒ 25% 4

a)VO=16 cm

AO=12 cm ⇒ Abazei = 144π cm2

144π ⋅16 = 768π cm3 3

Vcon =

b) 2π r = 6π ⇒ r = 3cm ,unde r este raza secţiunii

2p 3p

537

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

VO ' r = ,unde VO’ este distanţa de la punctul V la planul de secţiune,de VO AO

unde VO’=4cm 2p

Al _ tr − con = π ⋅15 (12 + 3)

Al _ tr − con =225 π cm 2

w .m

at ei n

fo .ro

c)VA’=5cm,unde VA’ este generatoarea conului mic format în urma secţionării ⇒ AA’=15cm,unde AA’ este generatoarea trunchiului de con format în urma secţionării

538

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 204

Prof.Mocanu Ana-Gabriela

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

104

Desenează prisma

w .m

Notează prisma

at ei n

SUBIECTUL II

fo .ro

3 = 9 < 2 3 = 12 ⇒ 3 − 2 3 < 0 ⇒ a= 3 − 2 3

)(

5p (30 de puncte) 4p 1p 2p 1p

b= 3 + 2 3 = 2 3 + 2 mg =

=2 3 −3

)

3 − 3 2 3 + 3 = 12 − 9 = 3

Notăm cu b numărul de bănci b − 7 = ( b − 5) ⋅ 2 + 1

b = 16

3. 4.

1p a)

f ( x ) = 0 ⇒ x = 1 ⇒ A(1;0) ⇒ OA = 1 f ( 0 ) = −2 ⇒ B(0; −2) ⇒ OB = 2

AOAB =

2p 2p

OA ⋅ OB =1 2

539

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

P ( x; x ) ⇒ f ( x ) = x

2 x − 2 = x ⇒ x = 2 ⇒ P ( 2; 2 )

x 2 − x − 2 = ( x − 2 )( x + 1)

2 1   2 E ( x) =  + 2 −  ( x − 2 )( x + 1)  x + 1 x −1 x −1 

E ( x) =

x −1 ( x + 1)( x − 2 ) = x − 2 x − 1 ( )( x + 1)

m−2 = 2 ⇔ m = 4

SUBIECTUL III

a)BC=12m,CD=20m

at ei n

fo .ro

www.mateinfo.ro

PABCD = AB + BC + CD + DA

1p (30 de puncte) 2p 1p

PABCD = 40 + 12 + 20 + 16 = 88m

DC AB, AD CM ⇒ ADCM − parale log ram ⇒

CM = AD = 16m, AM = DC = 20m, MB = 40 − 20 = 20m

w .m

Reciproca teoremei lui Pitagora ⇒△CMB − dreptunghic, MC ⊥ BC MC ⋅ CB = 96m 2 < 100m 2 = 1ar 2

AMCB =

c) CN ⊥ MB, N ∈ ( MB ) , CN =

MC ⋅ CB = 9,6m MB

2p 1p

AAMCD = AM ⋅ CN = 20 ⋅ 9, 6 = 192m 2

1p 1ha=10000 m

p ⋅10000 = 192 ⇒ p = 1,92 100

Al = π RG = 15 ⋅ 25π Al = 375m

540

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro 1p

b)Fie VO înălţimea conului,VO=20 cm V=

152 ⋅ 20 π = 1500π cm3 3

1l = 1dm3

1p 1500π < 1500 ⋅ 3,15 = 4725cm = 4, 725l < 5l 3

2p c)Fie VO' distanța de la punctul V la planul de secțiune Al _ tr _ con = 3 Al _ con _ mic ⇒ Al _ con = 4 Al _ con _ mic

Al _ con

fo .ro

Al − con _ mic

VO ' 1  VO '  = =  ⇒ VO 2  VO 

w .m

at ei n

VO’=10cm

541

Evaluare NaţionalăMatematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 205

Prof Oprita Elena

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1 5

8 lei

24 cm2

18π cm2

480

at ei n

fo .ro

SUBIECTUL II

Desenează paralelipipedul

w .m

Notează paralelipipedul

5p 5p 5p (30 de puncte) 4p 1p

a = 1+ 2 + 1− 2  ⋅ 4 2  

a = 16

b = 15

mg = a ⋅ b = 4 15

Notăm cu x numărul cărților de biologie și cu y numărul cărților de geografie. Obținem:

 x + y = 15  10 x + 11 y = 158

3p 2p

Aflăm x=7 cărți de biologie 4.

a) Reprezintă două puncte care aparțin graficului funcției

542

Evaluare NaţionalăMatematică 2014-2015

Trasează graficul funcției

b) Găsește punctul de intersecție cu Ox: A(-6,0)

Găsește punctul de intersecție cu Oy: B(0,6)

Calculează aria triunghiului OAB: AΔOAB=18

x( x − 2) x 2 − 1 ⋅ x − 1 2( x − 2) 2 x( x − 2) ( x − 1)( x + 1) = ⋅ x −1 2( x − 2) 2 x( x + 1) = 2( x − 2)

E ( x) =

1. a) Calculează

at ei n

SUBIECTUL III

fo .ro

www.mateinfo.ro

1p (30 de puncte)

AABCED = AABCD + A∆ECD

= (100 + 25 3)cm 2

w .m

b) Calculează d(E,AB)=EF, F ∈ ( AB ), EF ⊥ AB

= (5 3 + 10) cm

c) ∆ADE , ∆BCE triunghiuri isoscele cu m(∡DEA) = m(∡BEC ) = 15°

EF=d(E,DC)+AD

m(∡DEC ) = 60° ( ∆EDC echilateral )

m(∡AEB ) = 30°

A = 4π R 2 = 4π ⋅132

a) Calculează suprafața sferei

= 676π cm 2

2p 3p

b) Aria secțiunii π r 2

Află r=12 cm

543

Evaluare NaţionalăMatematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

c) OO ' = R 2 − r 2 2

OO ' = 5 cm

Vcon1

1 = π r 2 ⋅ AO′, 3 = 384 cm3

AO′ = R − OO = 8 cm '

1 Vcon2 = π r 2 ⋅ BO′, BO′ = R + OO ' = 18 cm 3 Vcon2 = 864 cm3

Vcon2

fo .ro

Vcon1

4 9

w .m

at ei n

Calculează

544

Evaluare NaţionalăMatematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 206

Prof Oprița Elena

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

Soluțiile reale ale ecuației {2; 4}

9 2

32 elevi

at ei n

fo .ro

SUBIECTUL II

5p (30 de puncte) 4p

Notează corect trunchiul de piramidă

Fie n kilograme fructe dintr-o lădiță

 77 = n ⋅ c1 + 5  58 = n ⋅ c2 + 4

n=(72,54),

n=18

Desenează un trunchi de piramidă patrulateră regulată

w .m

Calculează: (2 3 + 2) 2 = 14 + 4 6

(2 5 + 2)(2 5 − 2) = 18 a = 26 ∈ ℕ

2p 1p

a) Reprezintă în reperul cartezian două puncte care aparțin graficului

545

Evaluare NaţionalăMatematică 2014-2015

Trasează corect graficul

b) a = (2 ⋅ 0 + 1) + (2 ⋅1 + 1) + (2 ⋅ 2 + 1) + ... + (2 ⋅ 9 + 1)

a=2(1+2+…+9)+10

a=102 pătrat perfect

Găsește elementele mulțimii A={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0}

Găsește elementele mulțimii B={-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}

Finalizează A ∩ B = {−2, −1, 0}

SUBIECTUL III

a) Află înălțimea trapezului h=2 m AABCD =

at ei n

fo .ro

www.mateinfo.ro

( AB + CD ) h = 9 m2 2

(30 de puncte) 2p 3p

b) Demonstrează că BCDE este paralelogram

w .m

ABCDE = DC ⋅ h = 6 m 2

Prețul=60 bani x 120=72 lei

c) Lungimea gardului 8m

Suprafața gardului 8m2

Numărul florilor=20x6=120 fire

a) În △ BA′A cu m(∢BAA′) = 90 avem tg (∢BAA′) = AA′ = h = 12 cm ( h înălțimea trunchiului de con)

BA′ , se obține AA′

Pentru a afla generatoarea aplicăm formula g 2 = h 2 + ( R − r ) 2

Obținem g = 8 3 cm b) Al = π g ( R + r )

546

Evaluare NaţionalăMatematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

Al = 384π cm 2

c)Notăm cu Vvârful conului din care provine trunchiul de con. △VO′A ∼△VOB și obținem

VO′ O′A VA = = VO OB VB

Obținem VO = 20 cm

200 3π = cm 3 3

w .m

at ei n

Vcon

π R ⋅VO

fo .ro

Vcon =

547

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta207

ProfPăcurar Cornel-Cosmin

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

−99

(30 de puncte)

(

2 2 − 6= 6 −2

6 +2

)−

90 ⋅ 2000 = 1800 lei e prețul după prima reducere 100

95%din1800 =

95 ⋅1800 = 1710 lei e prețul după a doua reducere 100

90%din 2000 =

w 4.

= 6 +2− 6 = 2 3.

Desenează cilindrul circular drept

w .m

at ei n

SUBIECTUL II

fo .ro

a) f (−2) = −2a + 2

−2 a + 2 = 0 ⇔ a = 1

b) f ( x) = 0 ⇔ x = −2 ⇒ OA = 2

f (0) = 2 ⇒ OB = 2

OA = OB ⇒ ∆OAB este isoscel

548

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 5

( x + 2) E ( x) =

www.mateinfo.ro

− 9 = ( x − 1)( x + 3) și x 2 − x = x ( x − 1)

( x − 1)( x + 3) x

⋅

x2 = x+3 x ( x − 1)

m+3= 7 ⇔ m = 4

1p SUBIECTUL III

a) A ABCD = AD ⋅ AB = 400 ⋅100 =

fo .ro

= 40000m 2 b) AMDNB = BN ⋅ DC = 5 ⋅100 =

at ei n

= 500m 2

2p 3p 2p

c) ME ⊥ BC , E ∈ BC , NE = 390m

MN 2 = ME 2 + NE 2 = 1002 + 3902 = 162100

MN = 162100 m

w .m

(30 de puncte)

a) AO = 8cm ⇒ Abazei = 64π cm2

64π ⋅ 6 = 128π cm3 3

Vcon =

b)Notăm cu α planul bazei conului: VO ⊥ α ⇒ m(∢(VA, α )) = m(∢VAO ) sin(∢VAO ) =

2p 3p

VO 6 3 = = VA 10 5

c) π r 2 = 4π ⇒ r = 2cm ,unde r este raza secțiunii VO ' r = ,unde VO ' este distanța de la V la planul de secțiune,de unde VO AO VO ' = 1,5cm

549

3cm

www.mateinfo.ro

w .m

at ei n

fo .ro

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

550

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta208

Prof.Păcurar Cornel-Cosmin

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1,2,3,4,5,6

6,8

at ei n

SUBIECTUL II

Desenează sfera

w .m

Notează centrul sferei 2.

fo .ro

x = 14 − 2 13 − 7 + 13 = 7 − 13 y=

(

36 7 + 13 49 − 13

)(

5p (30 de puncte) 4p 1p 1p 1p

)

(

) =7+

x ⋅ y = 7 − 13 ⋅ 7 + 13 = 49 − 13 = 36

mg = x ⋅ y = 36 = 6

60%dinx = 300 ⇔

60 3 ⋅ x = 300 ⇔ ⋅ x = 300 100 5

5 x = 300 ⋅ ⇔ x = 500 km e lungimea întregului traseu 3 4.

a) f (−3) = −3 + 3 = 0

f (0) = 0 + 3 = 3

551

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

f (−3) + f (0) = 0 + 3 = 3 b)Reprezentarea corectă a unui punct de pe grafic

Reprezentarea corectă a altui punct de pe grafic

Trasarea graficului

( x + 3)

E ( x) =

(

)

6x x2 + 9 ⋅ =6 x2 + 9 x SUBIECTUL III

a) AABCD = AB 2 = 4002 = 160000m 2

2p (30 de puncte)

b) AM = 380m = 38hm, AB = 40hm, MD = 2hm

BM 2 = AB 2 + AM 2 = 1600 + 1444 = 3044 ⇒ BM = 3044m

(

)

c) BD = AB 2 = 400 2m este distanța maximă

a) V = π R 2 h = π ⋅ 42 ⋅ 9 = 144π cm 2

w .m

PMDNB = 2 ( MD + MB ) = 2 2 + 3044 hm

at ei n

− x2 + 9 = x2 + 6 x + 9 − x2 − 9 = 6 x

fo .ro

b) At = 2π R ( R + G ) = 2π ⋅ 4 ⋅ ( 4 + 9 )

At = 8π ⋅13 = 104π cm 2

c) AC 2 = AB 2 + BC 2 = 64 + 81 = 145 ⇒ AC = 145

sin(∢BAC ) =

BC 9 = AB 145

552

www.mateinfo.ro

w .m

at ei n

fo .ro

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

553

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 209

Prof.Pascotescu Anişoara Camelia

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

288π

18 3

168

at ei n SUBIECTUL II

Desen

2x-5-2(3x+1)=3(x-1)+8 -7x=12 x=−

5p 5p (30 de puncte) 5p 2p 2p 1p

a)Alege două puncte pe graficul funcţiei

Reprezintă punctele

Trasează graficul

11x 10 11x 15 11x + ⋅ = 253 10 100 10 x = 200 x + 10% x =

12 7

w .m

fo .ro

554

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

G f ∩ Ox : f ( x ) = 0 ⇒ A ( 2, 0 )

G f ∩ Oy : f ( 0 ) = − 4 ⇒ B ( 0, − 4 )

AB = 2 5 OD =

4 5 5

2p 13 − 4 3 + 13 + 4 3 − 11 =

26 − 11 = 15 ∈ N

1p SUBIECTUL III

a) OA =

BC = 6 cm ; AB=2 ⋅ OA= 12 cm . 4

AABCD = AB ⋅ BC = 288 cm 2

at ei n

fo .ro

(30 de puncte) 2p 3p

b) Cu Teorema lui Pitagora se obţine

CO = OD = 242 + 62 = 6 42 + 1 = 6 17 .

w .m

Lungimea traseului este CO + OD + DC = 2 ⋅ 6 17 + 12 = 12( 17 + 1) cm . c) m ( ∢COD ) = α , ACOD = in ∆COD .

1 DC ⋅ OE ⋅ CO ⋅ OD⋅ sin α = , unde OE e înălţime 2 2

Cum OE = AD = 24 cm , m ( ∢COD ) = α

12 ⋅ 24 12 ⋅ 24 8 rezultă sin α = = = . 6 17 ⋅ 6 17 36 ⋅17 17

a) Aria secţiunii axiale este Aechilateral

l2 3 = 4

3p 2p 2p

1p 2p

l2 3 Rezultă = 64 3 , de unde l = 16 cm ,G=16cm 4

Diametrul bazei e l ⇒ raza R = 8 cm ⇒ Abazei = π ⋅ R 2 = 64π cm 2 .

Generatoarea e l , deci Alaterala = π ⋅ R ⋅ G = 128π cm 2 .

555

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

Atotala = Abazei + Alaterala = 192π cm 2 .

b) Înălţimea h a conului este înălţime în triunghiul echilateral ce reprezintă l 3 secţiunea axiala, deci h = = 8 3 cm . 2 Volumul conului este atunci Vcon

A ⋅ h 512π 3 = bazei = cm3 . 3 3

180

⇒ n = 1800

w .m

at ei n

16π =

π ⋅16 ⋅ n0

fo .ro

c) Sectorul de cerc obţinut prin desfăşurarea laterală a conului poate fi considerat ca provenind dintr-un cerc de rază R = generatoarea conului=16 cm şi având lungimea egală cu lungimea bazei conului, deci L = 2π r = 16π cm .

556

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 210

Prof.Pascotescu Anişoara Camelia

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

-1

250π

-3

Desen

26(20-4)=

5p 5p 5p (30 de puncte) 5p 4p

26 ⋅16 = 416

x 2 3 + ⋅ ⋅ x + 16 = x 4 3 4 x + 2 x + 72 = 4 x x = 72

3p 1p

w .m

at ei n

SUBIECTU L II

fo .ro

(7 − 4 3 ) ⋅ (7 + 4 3 ) =

49 − 16 ⋅ 3 = 1 = 1

(a + b)

= a2 + 2 ⋅ a ⋅ b + b2 =

b) 7 − 4 3 + 7 + 4 3 + 2 ⋅1 = 16

557

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 5

www.mateinfo.ro

 4x 2 ( x − 1) 3 ( x + 1)  x − 1 E ( x) =  2 − 2 + 2 = ⋅ x −1  1  x −1 x −1 4 x − 2 x + 2 + 3x + 3 = x2 −1 5 ( x + 1) =5 x +1

2p 2p 1p

SUBIECTUL III

A = l2

fo .ro

A = 102 = 100

r = 5cm b) Ah = l 2 − π r 2

A∆BEF =

5⋅5 2

( )

π R2

4 402 ⋅ π = 400 cm 2 A= 4

(

w π R2 4

π ⋅ 202

)

(

= 100π cm 2

1p 2p 2p 2p 3p

b)Rămâne un sfert dintru-un cerc de rază R=20cm. A=

5⋅5 = 50 m 2 2

w .m

c) AEFGH = 102 − 4 ⋅

at ei n

Ah = 100 − 25π = 25 ( 4 − π )

(30 de puncte)

2p 3p

)

c) Egalăm lungimea cercului de la baza conului cu un sfert din lungimea cercului initial 2π G 2π ⋅ 40 = 2π R, = 2π R, R = 10(cm) 4 4

2p 1p

Cu teorema lui Pitagora h = 10 3

558

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

π R2 ⋅ h

www.mateinfo.ro

3,14 ⋅100 ⋅10 3 3140 3 = > 1000 3 3 3 1000cm3 = 1dm3 = 1l V=

w .m

at ei n

fo .ro

Rezultă că încape un litru de apa.

559

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 211

Prof. Pisică Lăcrămioara

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

640

Desenează tetraedrul

5p (30 de puncte) 4p 1p

m1 = S : 20 , unde S=suma mediilor tuturor elevilor ⇒ S : 20 = 7 ⇒ S = 140

S = T + 5 ⋅ 4 , unde T=suma mediilor elevilor promovați ⇒ T = 120

m2 = T :15 ⇒ m2 = 8

Notăm cu x numărul de bomboane primite de Smaranda și cu y numărul de bomboane primite de Anca

w .m

Notează tetraedrul

at ei n

SUBIECTUL II

fo .ro

x+2= y−2⇒ y = x+4

y + 2 = 2( x − 2) ⇒ y = 2 x − 6

2p Finalizare x=10 și y=14 4.

a) P (a, a ) ∈ Gf ⇒ f (a ) = a

2a − 3 = a ⇒ a = 3

P (3,3) ∈ Gf

560

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

  3  3 b) Gf ∩ Ox =  A  ;0   ⇒ OA = u.l. 2   2 

Gf ∩ Oy = { B ( 0; −3)} ⇒ OB = 3u.l. 2p

2−

3x + 4 2 − x 3− x 6 și 1 + = = x+3 x+3 x+3 x+3

E ( x) =

2− x x+3 2− x ⋅ = x+3 6 6

fo .ro

OA ⋅ OB 9 ⇒ A△OAB = u.a. 2 4

A△OAB =

6 ⋅ E (n) = 2 − n ⇒ 2 − n ≥ 1 ⇒ n ≤ 1 ⇒ n = 1 , pentru că n ∈ ℕ*

at ei n

SUBIECTUL III

1p 2p

(30 de puncte)

a) PABCD = 4 ⋅ AB ⇒ AB = 6dam

AQMNP = 2 ⋅ AABCD = 2 ⋅ l 2 ⇒ AQMNP = 72dam 2 , unde l = AB

w .m

1dam 2 = 1ar = 0, 01ha ⇒ AQMNP = 72ari = 0, 72ha

b) Aparc = 4 ⋅ AABCD + A△ DPR , unde { R} = DC ∩ QP 2p

A△ DPR

DR ⋅ PR 12 ⋅ 6 = = = 36dam 2 ⇒ Aparc = 180dam 2 2 2

AANPD = Aparc − A△ AMN

A△ AMN =

AM ⋅ MN 18 ⋅12 = = 108dam 2 ⇒ AANPD = 72dam 2 2 2

x% ⋅ Aparc = AANPD ⇒ x = 40%

c) Pparc = AM + MN + NP + DP + AD = 7 ⋅ AD + DP

△ DRP (m ( ∢R ) = 90°) ⇒ DP 2 = DR 2 + RP 2 ⇒ DP = 4 5dam

561

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

(

www.mateinfo.ro

)

Pparc = (42 + 6 5)dam = 42 + 180 dam > (42 + 196)dam = 560m

a) AABCD = 252 =

( AB + CD ) ⋅ ht 2

, unde ht este înălțimea trunchiului de con

56 ⋅ ht ⇒ ht = 9cm 2

H − ht r = , unde H este înălțimea conului din care provine trunchiul H R

r = CD : 2 = 8cm și R = AB : 2 = 20cm

Vcon =

π R2 H 3

H −9 2 = ⇒ 5 H − 45 = 2 H ⇒ H = 15cm H 5

⇒ Vcon =

π ⋅ 400 ⋅15

⇒ Vcon = 2000π cm3

at ei n

Înlocuind , obținem

c) Alat .con = Asec tor .cerc ⇒ π RG =

1p 1p

π R12

w .m

⋅ u° , unde R1 = G este raza cercului din 360° care provine sectorul circular , iar u° reprezintă măsura în grade a unghiului la centru corespunzător acestui sector G 2 = R 2 + H 2 ⇒ G = 25cm

R 20 ⋅ 360° ⇒ u ° = ⋅ 360° ⇒ u ° = 288° G 25

u° =

fo .ro

562

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 212

Prof .Pisică Lăcrămioara

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

( −∞, 4]

16π

45°

200

at ei n

fo .ro

SUBIECTUL II

5p 5p (30 de puncte)

Desenează prisma triunghiulară

Notează prisma triunghiulară

w .m

p ⋅150 = 18 100

x = numărul de elevi

date :

x elevi 4

teste :

1  x 3x ⋅ x −  + 2 = + 2 elevi 4  4 16

finalizare p = 12%

tehnoredactare : 7 elevi

x 3x ecuația problemei devine x = + + 9 4 16 finalizare x = 16 elevi

563

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 4.

www.mateinfo.ro

a) x3 − 3 x 2 − 4 x + 12 = x 2 ( x − 3) − 4 ( x − 3)

(

)

x 2 ( x − 3) − 4 ( x − 3) = ( x − 3) x 2 − 4 = ( x − 3)( x − 2 )( x + 2 )

2p 1p

finalizare a = −3 , b = −2 , c = 2 b) x 2 − x − 6 = x 2 − 3 x + 2 x − 6 = x ( x − 3) + 2 ( x − 3) = ( x − 3 )( x + 2 )

rezolvând paranteza obținem :

fo .ro

  x 3 x2 − 2x − 3 −  =  ( x + 2 )( x − 3) ( x − 3)( x − 2 )( x + 2 )  ( x − 3)( x − 2 )( x + 2 ) înlocuind x 2 − 2 x − 3 = x 2 − 3 x + x − 3 = ( x − 3)( x + 1)

x +1 ( x − 2 )( x + 2 )

finalizare E ( x) = 1

 f ( x) = y G f ∩ Gg = {M ( x, y )} ⇒   g ( x) = y

w .m

at ei n

paranteza devine

1p 1p 1p

y = f (2) ⇒ y = 5

finalizare M ( 2,5 )

f ( x) = g ( x) ⇒ 2 x + 1 = 3x − 1 ⇒ x = 2

SUBIECTUL III

a) Aparc = AABCD + ADCF + AABE

AABCD

( AB + CD ) ⋅ h = 450 =

ADCF =

(30 de puncte) 1p 1p

3 dam

DC 2 3 = 144 3 dam 2 4

564

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

AABE

www.mateinfo.ro

AB 2 3 = = 324 3 dam2 4

Aparc = 918 3 dam 2 ≈ 1588,12 dam 2 = 15,8812 ha

⇒ Aparc > 15 ha

b) DC || AB ⇒△ DOC ∼△ BOA ⇒

OC OD DC = = OA OB AB

⇒

OC FC = OA AE

fo .ro

△ DCF echilateral ⇒ [ DC ] ≡ [ FC ] , △ ABE echilateral ⇒ [ AB ] ≡ [ AE ]

(1)

DC || AB și AC secantă ⇒ ∢DCO ≡ ∢OAB (alterne interne)

at ei n

△ DCF și △ ABE echilaterale ⇒ m ( ∢FCD ) = m ( ∢BAE ) = 60°

⇒ ∢OAE ≡ ∢OCF (sumă de unghiuri congruente) (2)

w .m

Din (1) și (2) → △COF ∼△ AOE cazul II de asemanare c) △COF ∼△ AOE ⇒ ∢AOE ≡ ∢COF

A , O , C coliniare ⇒ m(∢COE ) = 180° − m ( ∢AOE ) = 180° − m ( ∢COF )

⇒ m(∢FOE ) = m ( ∢COE ) + m ( ∢COF ) = 180° ⇒ E , O , F coliniare

a) Vrecipient = AB ⋅ BC ⋅ AE = 1920cm3 = 1, 92dm3 < 2dm3

1dm3 ∼ 1l ⇒ în recipient încap mai puțin de 2l de înghețată

b) Vcon = ⇒ 50 ⋅ V

π R2 H 3 con

3p 2p 3p

= 12π cm3 ≈ 37, 68cm3

= 1884cm3 < Vrecipient ⇒ se pot umple cele 50 de conuri

c) △VAO (m ( ∢VOA ) = 90°) ⇒ VA2 = VO 2 + OA2 ⇒ VA = 85cm

565

2p 2p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

A△VAB =

www.mateinfo.ro

VO ⋅ AB = 18cm 2 2 VA ⋅ VB ⋅ sin ( ∢AVB ) 2

85 ⋅ sin ( ∢AVB )

w .m

at ei n

fo .ro

36 ⇒ sin ( ∢AVB ) = 85

566

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 213

Prof Pisică Lăcrămioara

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

104

350

36 3

200

5p (30 de puncte) 4p

Notează piramida patrulateră

7 5 − 18

2 −5

(

7 5 + 18 25 − 18

)

) = 5+3

= 3 2 −5 = 5−3 2

⇒ a = 10

6 6 1 : 3= ⋅ =2 3 3 3

Desenează piramida patrulateră

w .m

at ei n

SUBIECTUL II

fo .ro

a : b − 1 = 4 = 22 (pătrat perfect)

x = numărul problemelor rezolvate corect pentru care se obțin 10 x puncte

y = numărul problemelor rezolvate greșit pentru care se pierd 5 y puncte 2p

 x + y = 20 ⇒ 10 x − 5 y = 110

567

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

x = 20 − y ⇒ 10 ( 20 − y ) − 5 y = 110 ⇒ y = 6 probleme rezolvate greșit

a) M ( a, 2 ) ∈ G f ⇒ f (a ) = 2

2p 2p

f (a ) = a 2 + 1 ⇒ a 2 = 1

a∈ℕ ⇒ a =1 b) f ( x) = 0 ⇒ G f ∩ Ox = { A ( −1, 0 )}

fo .ro

f (0) = y ⇒ G f ∩ Oy = { B ( 0,1)}

C simetricul originii față de punctul A ⇒ A este mijlocul segmentului OC

A△ ABC = 5

AC ⋅ BO 1 = u.a. 2 2

Notăm n 2 + n + 1 = x

at ei n

⇒ C ( −2, 0 )

(

N = x ( x + 2 ) + 1 = ( x + 1) = n 2 + n + 2

w .m

)

n + n + 2 = n ( n + 1)+ 2 este număr par ( suma a două numere pare ) 2

3p 2p

⋮2

(30 de puncte)

a) AABCD = 2 ⋅ a 2 ⇒ a = 5dm

Diam = AB ⇒ R = a ⇒ R = 5dm

Lsotron = 7 a + Diam = 9a ⇒ Lsotron = 45dm

b) Llinii = 28a + Lcerc = 28a + 2π a ⇒ Llinii = (140 + 10π ) dm

SUBIECTUL III

Llinii = (14 + π ) m ⇒ Cantvopsea = (14 + π ) ⋅1, 5cl

3,14 ≤ π ≤ 3,15 ⇒ 25,71cl ≤ Cantvopsea ≤ 25, 72cl 2p

568

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

O cutie de 250ml = 25cl nu va ajunge pentru a vopsi șotronul

c) notăm {M } = EC ∩ BA și { P} = DC ∩ FA 1p

AAFCE = A△ AEM + A△ FCP + AAMCP △ ENM ≡ CMB (C.U .) ⇒ MN = MB =

A△ AEM = A△ FCP =

125 2 = AM ⋅ AD = dm 4

⇒ AAFCE =

125 = 62,5dm 2 2

a) Diam = 2 R ⇒ R = 6cm

w .m

AM ⋅ EN 125 2 = dm 2 8

at ei n

AAMCP

25 dm 4

fo .ro

AM = AN + MN =

NB 15 = dm 2 4

Asferei = 4π R 2 ⇒ Asferei = 144π cm 2

4π R 3 ⇒ Vsfera = 288π cm3 3

4π r 3 π ⇒ Vbila = cm3 3 6

Vbila =

b) Vsfera =

nr.bile = Vsfera : Vbila ⇒ nr.bile = 1728

c) △VAO dreptunghic isoscel ⇒ VO = OA = 6cm

△VOA (m ( ∢VOA ) = 90°) ⇒ VA2 = OA2 + VO 2 ⇒ VA = 6 2cm

Atot .con = 2π R ( R + G ) ⇒ Atot .con = 72

(

)

2 + 1 π cm

569

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

⇒

Asfera

Atot .con

(

www.mateinfo.ro

)

2 −1

w .m

at ei n

fo .ro

570

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 214

Prof Pisică Lăcrămioara

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

{1, 2}

84°30 '

36π

at ei n

fo .ro

SUBIECTUL II

(30 de puncte)

Notarea prismei patrulatere

2 x + 1 < 5 ⇔ −5 < 2 x + 1 < 5 ⇒ A = ( −3, 2 )

2 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 ⇒ B = {1, 2}

A ∩ B = {1} ⇒ card ( A ∩ B ) = 1

Desenarea prismei patrulatere

w .m

notăm cu a și b vârstele copiilor a =b−4

38 + 6 = 2 ⋅ ( a + 6 ) + ( b + 6 ) 

finalizare a = 5 ani și b = 9 ani

a) ( 2 x + 1) − 1 = 2 x ( 2 x + 2 ) = 4 x ( x + 2 )

571

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

x2 + 2 x = x ( x + 2)

x 2 − 1 = ( x − 1)( x + 1)

⇒ E ( x) =

4 x ( x + 1) x ( x + 2)

b) E (n) ∈ ℤ ⇒

⋅

4 x+2 = ⇒ ( x − 1) ⋅ E ( x) = 4 ( x − 1)( x + 1) x − 1

4 ∈ ℤ ⇒ n − 1 ∈ D4 n −1

⇒ n ∈ {−3, −1, 0, 2,3,5}

at ei n

1 1  m +1  m +1 A , m −  ∈Gf ⇒ f   = m− 2 2  2  2 

fo .ro

n ∈ ℕ ⇒ n ∈ {0, 2,3,5} 5

m +1 3m + 1  m +1  f −1 =  = 3⋅ 2 2  2  3m + 1 1 = m − ⇒ m = −2 2 2

w .m

⇒

SUBIECTUL III

a) PR bisectoarea ∢APC , D ∈ PR , DL ⊥ AP , DS ⊥ PC ⇒ [ DS ] ≡ [ DL ] (orice punct de pe bisectoare este egal de laturile unghiului )

2p (30 de puncte) 3p

AC bisectoarea ∢PAR , F ∈ AC , FN ⊥ AP , FT ⊥ AR ⇒ [ FN ] ≡ [ FT ]

b) notăm m ( ∢PAR ) = 2a ⇒ m ( ∢TAF ) = m ( ∢FAM ) = a 1p

∢OFE ≡ ∢TFA (opuse la vârf) △ FTA ⇒ m ( ∢TFA) = 90° − a ⇒ m ( ∢OFE ) = 90° − a

△OMA ⇒ m ( ∢MOA) = 90° − a ⇒ ∢OFE ≡ ∢MOA ⇒△ EOF isoscel ⇒ [OE ] ≡ [ EF ]

572

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

notăm m ( ∢APC ) = 2b ⇒ m ( ∢SPD ) = m ( ∢ODM ) = b

∢ODE ≡ ∢SDP (opuse la vârf) △SDP ⇒ m ( ∢SDP ) = 90° − b ⇒ m ( ∢ODE ) = 90° − b △OMP ⇒ m ( ∢DOE ) = 90° − b

⇒ ∢DOE ≡ ∢EDO ⇒△ EOD isoscel ⇒ [ ED ] ≡ [OE ]

fo .ro

c) DL ⊥ AP , FN ⊥ AP ⇒ DN || FN ⇒ DFNL trapez dreptunghic

din b) ⇒ E mijlocul lui [ DF ] ⇒ EM linie mijlocie ⇒ EM =

Lroler1 = ST

at ei n

din a) ⇒ 2 EM = SD + FT

DL + FN 2

Lroler 2 = DE + 2 EM + EF = DF + SD + FT = ST

1p 1p 1p

1p 1p

Cei doi roleri termină traseul în acelși timp

a) PABCD = 40dm ⇒ AB = 10dm ⇒ R = 5dm

w .m

3p 2p

Abaza = π R 2 = 25π dm 2

b) AC ∩ OB = {M }

OC || AB ⇒△ BMA ∼△OMC ⇒

AM BM AB = = ⇒ k = 2 (raportul de MC MO OC

asemănare )

A△ BMA A = k 2 ⇒ △ BMA = 4 A△OMC A△OMC

c) Vcilindru = π R 2 H ⇒ Vcilindru = 785dm3

Vcilindru = 0, 785m3

1p 2p

masa ⇒ masa = 0, 588kg > 0,5kg densitatea = volum

573

www.mateinfo.ro

w .m

at ei n

fo .ro

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

574

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 215

Prof.Popa Camelia Sanda

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1,(6)

162

Desenează piramida Notează piramida

(30 de puncte) 4p 1p

a < b ⇒ a = 3, b = 15

f + b = 30, f + 2 = b − 4

f = 12, b = 18

a + b = 18, a = 3k , b = 3 p, (k , p ) = 1

w .m

at ei n

SUBIECTUL II

fo .ro

a) f ( a ) = a 2 + 2 ⇒ a 2 + 2 = 6 ⇒ a 2 = 4

a = ±2

b) f ( x ) = 2 x + 2

1p 2p

f ( x ) = 0 ⇒ x = −1 ⇒ A(−1, 0) și B (0; 2)

A△ AOB = 1

575

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 5

www.mateinfo.ro

( x + 2) 2 − ( x + 1) 2 = 2 x + 3 și 4 x 2 + 12 x + 9 = (2 x + 3) 2

E( x ) =

x ⇒ E( −1) + E(3) = 2 x −1 SUBIECTUL III

AO ⊥ BD ⇒ AO = 9 m

AABCD = 6 3 ⋅ 9 = 54 3m 2

AO ⋅ OB 9 81π = ⇒ Acerc = AB 2 4

Agazon = 27(2 3 −

3π ) 4

c) AO 2 = AM ⋅ MB ⇒ AM =

9 3 2

w .m

m(∢MAQ) = 600 ⇒ AM = QM = PN =

MN AC ⇒

fo .ro

a) △ BADechilateral ⇒ BD = 6 3

b) OM = R =

3p 2p

1p 1p

9 3 2

BM MN = ⇒ MN = 6 ⇒ PMNPQ = 12 + 9 3 MA AC 1p

a) AC = 6 2 = AB 2 ⇒ AB = 6

R = 3cm ⇒ Abazei = 9π cm 2

V = 54π cm3

12 + 9 3 < 12 + 16 ⇒ PMNPQ < 28m

(30 de puncte)

at ei n

CM 1 = ⇒ MB = 4cm MB 2

A△ AMO = 6cm

576

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

c) prMO = OB ⇒ ∢MOB

2p 3p

4 5

w .m

at ei n

fo .ro

△ MBOdr. ⇒ MO = 5cm ⇒ sin(∢MOB ) =

577

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 216

Prof.Popa Camelia Sanda

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

500

Desenează piramida

5p 5p (30 de puncte) 4p 1p

x -numărul de bănci, y -numărul de elevi ⇒ 3( x − 2) = y , 2 x + 6 = y

3( x − 2) = 2 x + 6 ⇒ x =12 și y =30

a b c 7650 = = = = 850 2 4 3 9

w .m

Notează piramida

at ei n

SUBIECTUL II

fo .ro

a = 1700, b = 3400, c = 2550

a) f ( a ) = 3a 2 − 2a − 1 ⇒ 3a 2 − 2a − 1 = 0

 1  ∆ = 16 ⇒ a ∈ − ,1  3 

b) f ( x ) = 3 x − 3 ⇒ f ( x ) = 0 ⇒ x = 1 ⇒ A(1;0) și f (0) = −3 ⇒ B (0; −3)

3 10 AB = 10, OM ⊥ AB ⇒ d (O, G f ) = OM = 10

578

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 5

www.mateinfo.ro

x 4 − 5 x 2 + 4 = ( x − 2)( x + 2)( x − 1)( x + 1),

x3 + 2 x 2 − x − 2 = ( x + 2)( x + 1)( x − 1)

E( x ) = x − 2 ⇒ E( a ) = a − 2, a ∈ N , a > 2 ⇒ E( a ) ∈ N

SUBIECTUL III

a) l =

250 = 50m 5

fo .ro

AABCD = L ⋅ l = 12500m 2 = 125ari

b) PABCD = 2( L + l ) = 600m

at ei n

600 :12 = 50 stâlpi

3p 2p

c) DM = CD − CM = 200m ⇒ AM = 50 17

(50 17 )2 < 2502 ⇒ AM < 250m

a)Fie CM ⊥ AB ⇒ BC 2 = BM ⋅ AB

AB = 50cm

b) R =

w .m

(30 de puncte)

AB = 25cm, r = OB − MB = 7cm 2

V = 6792π cm

CM 4 △CMBdr. ⇒ sin(∢CBM ) = = BC 5

c) pr BC = MB ⇒ ∢CMB

579

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 217

Prof Rotariu Ionel

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

102 minute

3,2

10000 metri

Luni

Desenează corect trapezul Notează trapezul Ma=

x+ y 2

w .m

at ei n

SUBIECTUL II

fo .ro

5p 5p (30 de puncte) 4p 1p 1p 1p

x= (1 − 2) 2 = 1 − 2 = −1 + 2

y= (3 − 2) 2 = 3 − 2 = 3 − 2

−1 + 2 + 3 − 2 −1 + 3 2 = = =1 2 2 2

Ma=

Suma detinută=

70 5600 i80 = = 56 lei 100 100

3p 2p

Suma împrumutată=80-56=24 lei 4.

a) Gg ∩ OX=A(x,0) ; Gg ∩ OY=B(0,y) A ∈ Gg ⇒ g(x)=0 ⇒ 3x-4=0 ⇒ x=

4 4 ⇒ OA= 3 3

580

1p 1p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

B ∈ Gg ⇒ g(0)=y ⇒ 3 i 0-4=y ⇒ -4=y ⇒ OB=|-4|=4

∆AOB dreptunghic ⇒ AAOB

4 ∗4 cateta1 ∗ cateta 2 3 16 8 = = = = 2 2 6 3

3m-4=m

2m=4

m=2

fo .ro

at ei n

3 ∈ ℤ ⇒ ( x + 1) ∈ D4 = {1, −1,3, −3} x +1 x+1=1 ⇒ x=0; x+1=-1 ⇒ x=-2;

A ∩ B ={0,2}

x+1=3 ⇒ x=2; x+1=-3 ⇒ x=-4

w .m

Suma=0+2=2

SUBIECTUL III

1p 1p

2p 1p 1p (30 de puncte)

a) Afereastră=Adreptunghi+Atrapez

AABCD=l ∗ L=100 ∗ 120=12000cm2

b) coordonate egale ⇒ g(m)=m

M(2,2) 5

Htrapez=MN-BC=140-100-40cm ADCEF=

B+b 120 + 60 180 ∗h = ∗ 40 = ∗ 40 = 90 ∗ 40 = 3600 cm2 2 2 2

Afereastră=12000+3600=15600 cm2=1,56 m2

b) pret m2=180 ∗ 4,5=810 lei/m2

Cost fereastră=1,56 ∗ 810=1263,6 lei

c) Pferestrei=FE+EC+CB+BA+AD+DF

581

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

FX ⊥ DC, DX=30, DF=25

Pferestrei=60+25+100+120+100+25=430 cm

Nr tuburi=430:80=5,375

6 tuburi 1P a) Ab= π R 2

π R 2 =100 π

fo .ro

R 2 = 100 R= ± 10 ⇒ R=10 cm

at ei n

b) V=Ab ∗ h

1p 2p 1p

V=100 π 30=3000 π =3000 ∗ 3,14=9420 cm3

9420 cm3=9,42 dm3=9,42 litri < 10 litri

c) Necesar tablă:

G2=102+102

w .m

G2=R2+h2

Al= π RG

G=10 2

Necesar tablă= π 10 ∗ 10 2 =100 2 ∗ 3,14=314 2 cm2

582

1p 2p 2p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 218

Prof. Rotariu Ionel

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

110

25431

9 17

at ei n

fo .ro

SUBIECTUL II

Desenează corect

( x + 2) 2 = x 2 + 2 x + 4 x 2 + 2 x + 4 − x 2 ≤ 16

w .m

5p 5p 5p (30 de puncte) 5p

2p 2p

2 x + 4 ≤ 16 x≤3

x=suma initială , cablu TV =

x ∈ {0,1, 2,3}

20 2 80 x ,Internet= x 100 3 100

2 2 8 x− x = 100 10 3 10 2 16 x − x − x = 100 10 30 30 x − 6 x − 16 x = 100 30 8x = 100 30 x = 3000 : 8 = 375 x−

583

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 4.

www.mateinfo.ro

a) f(3)=0

f (1)i f (2)i0i f (4)i f (5) = 0 b)

A ( 2m, m + 1) ∈ G f ⇒

f (2m) = m + 1

2p 1p

f (2m) = 2m − 3

2m − 3 = m + 1 2m − m = 1 + 3

fo .ro

m=4 x 2 − 9 = x 2 − 32 = ( x − 3)( x + 3) x 2 + 4 x + 3 = ( x + 3)( x + 1)

at ei n

( x − 3)2 3( x + 1) + = ( x − 3)( x + 3) ( x + 3)( x + 1) x −3 3 + = x+3 x+3 x −3+ 3 x = x+3 x+3

1p 1p

1p 1p (30 de puncte)

a) A = π R 2 h

R = D : 2 = 20 : 2 = 10

w .m

SUBIECTUL III

A = π i10 2 i400 = 40000π cm3

b) A=L i l

A=400 i 20=8000 cm2

c) 40000π cm3=40 π dm3=0,4 π m3

Greutate trunchi = 0, 4π i 700=280 i 3,14=879,2 kg Nr. trunchiuri=43960:879,2=50

584

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 2.

www.mateinfo.ro

L2 + l 2 + h 2 = 422 + 30 2 + 62

1764 + 900 + 36 = 2700 = 30 3

Vambalaj = Lhl = 42i30i6 = 7560cm3

2p 3p

Vbax = 25iVambalaj = 25i7560 = 189000cm3 At = 2( Ll + Lh + lh)

c) = 2(42i30 + 42i6 + 30i6)

w .m

at ei n

fo .ro

= 2i1692 = 3384cm 2

585

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 219

Prof. Rotariu Ionel

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

2015

102

696

45O

9200

Deseneaza piramida Noteaza piramida

PABCD=AB+BC+CD+DA

w .m

at ei n

SUBIECTUL II

fo .ro

CM ⊥ AB ⇒ CMB − dreptunghic ⇒ MB = 10 − 6 = 4

CM 3 CM ⇒ = ⇒ CM = 4 3 BC 2 8

(30 de puncte) 4p 1p 1p 1p

1p 1p

sin 60 =

MB 1 4 ⇒ = ⇒ BC = 8 BC 2 BC

cos 60 =

PABCD=10+8+6+4 3 =24+4 3 cm

A(m,2m) ∈ Gf ⇒ f (m) = 2m 5-3m=2m, 5=5m, m=1 A(1,2)

2p 2p 1p

a) x ≠ 0

x−2≠ 0⇒ x ≠ 2

x 2 − 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ ±2

586

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

x ∈ ℝ − {0, 2, −2}

1  x2 + 4 x + 4  x − 2 − x  ( x + 2)2 1 − : = :     x2 − 4  x x−2  x( x − 2)  ( x − 2)( x + 2) b) −2 x−2 −2 = i = x( x − 2) x + 2 x( x + 2)

SUBIECTUL III

a) Al=Pbh

w .m

fo .ro

1  2 x−  =6 x  1 1 x 2 − 2 x + 2 = 36 x x 1 x 2 − 2 + 2 = 36 x 1 x 2 + 2 = 36 + 2 x 1 x 2 + 2 = 38 x

at ei n

www.mateinfo.ro

1p 1p

(30 de puncte) 1p 2p

Al=140 i 30=4200cm2

b) V=lLh

Pb=2(L+l)=2 i (40+30)=2 i 70=140 cm

V=40 i 30 i 20=24000cm3=24dm3 1m3=500kg,

1000dm3=500kg ⇒ 1dm3=0,5kg

greutate BCA=24 i 0,5=12kg

c) Vzid=lLh , l=30cm, L=6m=600cm, h=1,6m=160cm

Vzid=30 i 600 i 160=2880000cm3

Nr. bucati=Vzid:VelementBCA=2880000: 24000=120

a) Al = π RG

587

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

R=D:2=12:2=6cm

G = h 2 + R 2 = 82 + 62 = 100 = 10

Al = 10i6π = 60π cm 2

b) V=

36i8π = 12i8π = 96π cm3 = 96i3,14 = 301, 44cm3 3

fo .ro

π R 2h

301,44cm3=0,30144dm3<0,5dm3=0,5l c) rsectiune=3cm,

h1=înălțimea conului obținut după secțiune

se secționează la 4 cm de bază

w .m

at ei n

h1 r h 3 = ⇒ 1 = ⇒ h 1 = 24 : 6 = 4cm h R 8 6

588

2p 2p 1p 3p 1p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 220

Prof:RUSU ELENA IOANA

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

102

108

0,3

at ei n

SUBIECTUL II

fo .ro

5p 5p (30 de puncte)

Deseneaza si noteaza paralelipipedul dreptunghic

X=8

Y=22 Ma=15

w .m

Mb= 4 11 a+b=10

7a+9b=76

Rezolva sistemul si obtine b=3 carti de biologie

a)A(2,10) ∈ Gf → f(2)=10

B(3,12) ∈ Gf → f(3)=12 Deci a=2 si b=6 f(x)=2x+6

589

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

b)Gf ∩ Ox → f(x)=0 → x=-3

Gf ∩ Oy → f(0)=6 A△ =9(u.m.)

E(2)=29

5p SUBIECTUL III

a) A =

( B + b) ⋅ h 2

fo .ro

A=105000m2

P = AB + AD + DC + CB IN △CEB, m(∡E ) = 90

CE 2 + EB 2 = BC 2 BC = 300 2

Da, ajung 1500 m gard.

at ei n

w .m

1m 2 ....10kgrosii.....3kgardei c)

(30 de puncte)

105000m 2 .....xrosii..... yardei x = 1050000kgrosii y = 315000kgardei

1050000 ⋅1 = 1050000lei (rosiile)

315000 ⋅ 3 = 945000lei (ardeii ) 1050000 + 945000 = 1995000(lei )

12 = 239400 100 1995000 − 239400 = 1755600 profit 1995000 ⋅

Alaterala = 2π RG

2. a)

in△ B I DB, B I D = BD = 4m B I DBechilateral , deciB I B = 4cm.. DeciG = H = 4cm

590

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

in△ B I BC , aplicamteoremaluiPitagora

siBC = 4 3 BC = 2π R → R =

2 3

Alaterala = 16 3 b) Vcilindru = π R 2G

nt eoremaluipitagora

12 + 16π 2

fo .ro

BI O =

w .m

at ei n

591

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 221

Prof:RUSU ELENA IOANA

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

288

150°

90°

7,14

at ei n

SUBIECTUL II

fo .ro

5p 5p (30 de puncte)

Desenează si notează corect conul

a=5

b = 15

w .m

a+b ma = = 10 2 mg = a ib = 75 = 5 3

x = 9c1 + 2  x = 5c2 + 2   → x − 2 ∈ M [9,5,8,4] x = 8c3 + 2  x = 6c4 + 2 

[9,5,8, 4] = 360 x − 2 = 360 ⇒ x = 362 4.

a)reprezinta grafic doua puncte si graficul funcţiei b) f (1) + f (2) + ... f (15) =

(4 + 18)i15 = 165 2

592

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 5

E ( x) =

www.mateinfo.ro

x+2 2x − 3

SUBIECTUL III

a) P△ = 30cm b) A△ BCM =

l2 3 =9 3 4

construimCE ⊥ AB,△CEBdreptunghicinE c) aplicămteoremaluiPitagoraşi det er min ăm

CE = 3 3

( B + b) i h = 27 3 2

1 r = 1+ h 3 a) h + r = 13

w .m

h = 9cm

at ei n

Atrapez =

fo .ro

(30 de puncte)

r = 4cm

b) Vcilindru = π R 2G = 144π

Vcilindru = 144i3.14 = 452,16cm3

c) Alaterala = 2π RG = 72π

Alaterala = 226, 08cm 2

593

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 222

Prof Şerban George-Florin

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

120

fo .ro

at ei n

SUBIECTUL II

-Desenul

5p (30 de puncte) 3p

w .m

-Notaţiile

( 2 − 1)2 a= = 2 −1 2 −1

3p 2p

x=-1 , y=1 3.

f(2)=0 , A(2, 0) ∈ G f ; f(0)=-2 , B (0, −2) ∈ G f

Desenarea graficului , dreapta care trece prin punctele A si B

594

www.mateinfo.ro

fo .ro

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

a) E ( x) = x 2 − 4 x + 4 + 3 x − 6 + 2

at ei n

E ( x) = x 2 − x = x ⋅ ( x − 1) b) x 2 − x − 2 = 0

x 2 + x − 2 x − 2 = x ⋅ ( x + 1) − 2 ⋅ ( x + 1) = ( x + 1) ⋅ ( x − 2)

w .m

x+1=0 , x=-1 ; x-2=0 , x=2 S={-1,2}

a b = = k , a=3k , b=5k , a,b>0 deci k>0 3 5

25k − 9k = 64 , 16k = 64 , k = 4 , k>0 deci k=2 2

3p 2p

1p 2p 2p

1p 2p

Deci a=6 , b=10

a) AABCD = AABCD =

SUBIECTUL III

AC ⋅ BD 2

(30 de puncte) 2p 3p

6cm ⋅ 8cm = 24cm 2 2

b) [MQ] , [MN] , [NP] si [PQ] sunt linii mijlocii în triunghiurile ABD , ABC , BD AC BCD , ADC . Deci MQ = PN = , MN = PQ = , MNPQ este 2 2

595

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

paralelogram Fie AC ∩ BD = {O} , AC ∩ MQ = {R} , AC ∩ NP = {S} În triunghiul

∆DOC , [PS] linie mijlocie , deci OS =

OC 2

În triunghiul

∆DOA , [QR] linie mijlocie , deci OR =

OA , deci RS=RO+OS=AO , 2

AO=OC , AC ⊥ BD

c) ABAD =

AABCD AB ⋅ AD ⋅ sin(∢BAD ) = 12cm 2 = 2 2

fo .ro

AABCD = PN ⋅ RS = 4cm ⋅ 3cm = 12cm 2

sin(∢BAD ) =

at ei n

În triunghiul dreptunghic ∆AOB , 3,4 ,5 numere pitagorice , deci AB=5cm 24 25

2p 2p

1p 2p

w .m

R B

a) cos(∢VBO) = cos 300 =

VB 3 OB 6 = = , VB = 4 3 .Din T .300 , VO = =2 3 2 VB VB 2

596

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

Vcon =

π R2h 3

π ⋅ 36 ⋅ 2 3 3

www.mateinfo.ro

= 24π 3cm2 1p

2p b) Atcon = π R ⋅ ( R + G ) = 6π ⋅ (6 + 4 3) Atcon 6π ⋅ (6 + 4 3) = 10 10

fo .ro

10%dinAtcon =

c) ∆VAB isoscel , deci [VO] este bisectoare , VO ⊥ AB , T ∈ [VO] , TM ⊥ VB , M ∈ [VB ] . T este centrul cercului înscris în ∆VAB . MT VT = , r =OT=MT raza cercului înscris OB VB

r VO − OT 2 3 − r = = 6 4 3 4 3

, 4 3r = 12 3 − 6r , r ⋅ (4 3 + 6) = 12 3

12 3 cm 4 3+6

, lcerc = 2π r =

24π 3 cm . 4 3+6

w .m

at ei n

∆VTM ∼ ∆VOB (U.U) ,

M T T O O

597

2p 1p

www.mateinfo.ro

w .m

at ei n

fo .ro

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

598

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 223

Prof Şerban George-Florin

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

-26

(−∞, 6)

20 cm

18 30

at ei n

fo .ro

SUBIECTUL II

Desen

(30 de puncte) 3p 2p

Notaţii

w .m

Ma =

a + b 3− 2 2 +3+ 2 2 = =3 2 2

M g = a ⋅ b = (3 − 2 2) ⋅ (3 + 2 2) = 9 − 8 = 1

Ma + M g = 4

599

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 3.

www.mateinfo.ro

x 2 + 5 x + 4 = x 2 + x + 4 x + 4 = x ⋅ ( x + 1) + 4 ⋅ (x + 1)

x 2 + 5 x + 4 = ( x + 4) ⋅ ( x + 1)

a) f(0)=-1 , A(0, −1) ∈ G f ;

1 1 f ( ) = 0 , B ( , 0) ∈ G f 2 2

2p 3p

w .m

at ei n

fo .ro

Desenarea graficului , dreapta care trece prin punctele A si B

b) f 2 ( x) − f 2 (− x) = ( f ( x) + f (− x)) ⋅ ( f ( x) − f (− x))

Notez cu a=numărul fetelor şi b= numărul baieţilor . a+b=28 şi a=3b deci 3b+b=28 , 4b=28 , b=7, a=21 a=3b=300% din b.

f 2 ( x) − f 2 (− x) = (2 x − 1 − 2 x − 1) ⋅ (2 x − 1 + 2 x + 1) = −8 x

SUBIECTUL III

a) AABCD = l 2 = 64cm2 , AAMN =

AM ⋅ AN 4cm ⋅ 4cm = = 8cm 2 2 2

2p 3p

2p 3p (30 de puncte) 2p 3p

AMNDCB = AABCD − AAMN = 56cm 2 b) Triunghiurile MBC si NDC sunt congruente deoarece sunt dreptunghice, şi

600

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

MB=ND şi BC=DC. Cazul C.C. Rezultă MC=NC, deci triunghiul MNC este isoscel. Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul AMN dreptunghic MN 2 = AM 2 + AN 2 = 32 , MN = 32 = 4 2cm Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic MBC, MC 2 = MB 2 + BC 2 = 80 , MC = 80 = 4 5cm

1p 2p

PMNC = MN + MC + NC = 4 2 + 4 5 + 4 5 = 4 2 + 8 5

fo .ro

c) Fie P intersecţia dintre AC şi MN . Unghiul dintre MN şi MC este unghiul CMN . În triunghiul MNC isoscel ,CP este înălţime (deoarece MN şi BD sunt paralele, iar AC si BD sunt perpendiculare, MN e linie mijlocie în triunghiul ABD) rezultă CP mediană.

PM 32 = MC 2 80

at ei n

În triunghiul MPC dreptunghic in P , cos(∢CMN ) =

w .m

a) Vcilindru = π R 2 h

Vcilindru = π R 2 h = 16π cm 2

b) Atcilindru = 2π R ⋅ ( R + G ) , G=h

Atcilindru = 24π cm 2

601

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

c) Se obţine un dreptunghi cu lungimea egală cu lungimea cercului

L = lcerc = 2π R = 4π cm şi laţimea egală cu inălţimea cilindrului l=4cm 3p

w .m

at ei n

fo .ro

Adreptunghi = L ⋅ l = 16π cm 2

602

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 224

Prof. Stoica Alina Codruṭa

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

409

5p 5p

64π cm 2

21cm

10 C

fo .ro

at ei n

SUBIECTUL II

Desen corect MATE.

30 x + 40 ( 25 − x ) = 880 x = 12

w .m

12 rafturi cu câte 30 de cărṭi si

5p 5p 5p (30 de puncte) 5p

c ( a + b − 1) = 1 − 3

(

)

3 −1 = 1 − 3

25-12=13 rafturi cu câte 40 de cărṭi

c = −1

x −1 x − 2 2x − 3 − = x − 2 x − 1 ( x − 1)( x − 2 )

2p 2p

x 2 − 3 x + 2 ( x − 1)( x − 2 ) a) = x ( 2 x − 3) 2 x 2 − 3x E ( x) =

( x − 1)( x − 2 ) = 1 2x − 3 ⋅ ( x − 1)( x − 2 ) x ( 2 x − 3) x

603

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

1 b) ∈ ℤ ⇒ x ∈ {−1;1} x

A ( 3; 4 ) ∈ G f ⇒ f ( 3) = 4 ⇒ 3a + b = 4

B ( −2;3) ∈ G f ⇒ f ( −2 ) = 3 ⇒ −2a + b = 3

1 5

si b =

17 1 17 ⇒ f ( x) = x + 5 5 5

SUBIECTUL III

a) Construim înălṭimea din C pe AB, E ∈ AB şi aplicăm teorema înălṭimii în ∆ABC ⇒ AD = CE = AE ⋅ EB = 24hm

AD ⋅ DC = 216hm2 2 b) CE ⋅ AB = 600hm 2 aria ( ABC ) = 2

fo .ro

(30 de puncte)

at ei n

aria ( ADC ) =

10lei ⋅ 2160000m 2 = 21600000lei 6lei ⋅ 6000000m2 = 36000000lei

pentru ardei

pentru rosii

w .m

Suprafața cultivată cu roșii este mai profitabilă.

Arialaterala

cilindru

= 2π RG = 2, 4π m 2

a) Ariasfera = 4π R 2 = 1, 44π m 2

Ariarezervor = 3,84π m 2

Vcilindru = π R 2G = 0, 72π m3

b) Vsfera =

Vrezervor

4π R 3 = 0, 288π m3 3 = 1, 008π m3

c) 1, 008 ⋅ 3,15 = 3,1752m3 = 3175, 2dm3 = 3175, 2l > 3166l

604

www.mateinfo.ro

w .m

at ei n

fo .ro

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

605

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 225

Prof………

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

{−3}

2π cm

343m3

11 elevi

at ei n

fo .ro

SUBIECTUL II

Desen corect PRISMA

4 2 + = 7 − 3 + 3 +1 = 7 +1 7+ 3 3 −1

(

)

7 +1

w .m

−2

 7 +1   1  :   =    7 +1  5 

5p 5p 5p (30 de puncte) 5p

 5  :  =  7 +1 

Notam cu x raspunsurile corecte ale lui Mihai

 1 7 +1  1 ⋅   = ∈ ℚ 5  25  7 +1

5 x − 3 ( 30 − x ) = 110 x = 25

a) f ( 0 ) + f ( −1) + f (1) = −8 + 3 − 19 = −24 =

606

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

A ( 2k ,10k ) ∈ G f ⇒ f ( 2k ) = 10k ⇒ b) −22k − 8 = 10k ⇒ k = −

1 4

 1 5 A − , −   2 2 5

2 ( x + 1) 2x 2 4x 2 x2 + 4 x + 2 + + 2 = = x + 1 x − 1 x − 1 ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) 2

2 ( x − 1) 2x 2 4x 2 x2 − 4 x + 2 + − 2 = = x + 1 x − 1 x − 1 ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1)

E ( x) = 4

SUBIECTUL III

a)Notam cu x lungimea segmentului EF.

ADEFC =

( x + 10 )( 30 − x ) =

2 2 20 x − x = 0 ⇒ x = 20m ⇒ AB = 40m

10 ⋅ 40 ⋅ 30 = 6000m 2 2 20 ⋅ 20 = 200m 2 2 = 202 = 400m 2

ABGF =

b) AAGFE

(30 de puncte)

150

w .m

AABCD =

at ei n

fo .ro

ABGF 1 = ⇒ 50% AAGFE 2

p AGFE = 4 ⋅ 20m = 80m

80m ⋅ 80lei = 6400lei

R = 8k , h = 6 k , a)

g = 10k

π R2h

= 128k 3π = 1024π 3 k3 = 8 ⇒ k = 2

R = 16cm, h = 12cm,

g = 20cm

607

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

Ab = 256π cm 2

b) Al = 320π cm 2

At = 576π cm 2

π ⋅162 ⋅ n0 c)

180 n = 2250

= 320π

w .m

at ei n

fo .ro

608

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta…

Prof………

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

109

0,9

at ei n

fo .ro

SUBIECTUL II

Desenează corect.

(30 de puncte) 3p 2p

10% ⋅ 275lei=27,5 lei ; 275-27,5=247,5 lei

Noul preţ este de 247,5 lei.

4 x 2 − 25 y 2 = (2 x − 5 y )(2 x + 5 y )

3p 2p

Finalizare; 2x-5y=2

10% ⋅ 250lei=25 lei ; 250+25=275 lei

w .m

Notează corect.

a ⋅ b=5 ; a ⋅ b+2=7

(a + b) 2 =24

Pt. m ≥ 0 ; m=-1 ∉ m<0; m= -

[0, +∞ )

1 ∈ ( −∞,0) 3

609

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

SUBIECTUL III

1. a) A=

l + 2

(30 de puncte)

π R2

A=4+2 π =2(2+ π )

3 ⋅ 6, A= 36 3 m 2

36 ⋅ 1,73<36 ⋅ 3 <36 ⋅ 1,74= 62 ⋅ 64 Finalizare c) Lungimea balustradei este L b = π

⋅ 2+2

at ei n

2(1 + 3,14) < 2(1 + π ) < 2 ⋅ (1 + 3,15)

2 ⋅4,14 < 2(1 + π ) < 2 ⋅ 4,15 = 8,3m =8,3m Finalizare a)

r R = =k , 2 3

w .m

2p 2p

fo .ro

b) A ABEF =L ⋅ l , A= 6

2p 1p

b) g=10

R=30cm , r=20cm

A t =π g (R + r) + π R2 + π r 2 =

100 π ( 5 2 + 13)cm 2

c) V=

πh 3

2p 3p

( R 2 + r 2 +R ⋅ r)=

1900π cm3 3

610

www.mateinfo.ro

w .m

at ei n

fo .ro

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

611

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 227

Prof Telteu Constantin

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1,05

A sau

2π

{2; 4;6;8;10}

at ei n

fo .ro

SUBIECTUL II

5p 5p 5p (30 de puncte)

Realizarea desenului

a = −0, 7 3 b = = 0, 75 4 2a + 3b = −1, 4 + 2, 25 = 0,85

65 ⋅ x = 130 , x = numărul de pagini 100

1p 3p

w .m

x = 200

 1 a) f  −  = 3  2

2p 3p

a=2 b) f ( x ) = −2 x + 2

Intersecţia cu axa Oy: B ( 0; 2 )

1p 1p 2p

Intersecţia cu axa Ox: A (1; 0 )

AB = 5 (cu t. lui Pitagora sau formula distanţei)

612

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015 5

E ( x) =

www.mateinfo.ro

x ( x − 1)( x + 1) x +1− x 1 ⋅ = x ( x − 1)( x + 1) 2x +1 2x +1

1 Ecuaţia: ⋅ 2 ⋅ ( 2 x + 1) = x + 1 2x +1 x =1 Ecuaţia nu are soluţie, deoarece 1 nu aparţine domeniului de definiţie. SUBIECTUL III

a) Apatrat = l 2 = 25 m 2

Alibera = 850 m 2

w .m

c) Distanţa minimă este FI.

at ei n

Total: 175 m2

Alibera = Acurte − Atarcurilor

Adreptunghi = L ⋅ l = 150 m 2

b) Acurte = 1000 m 2

(30 de puncte)

fo .ro

2p 1p

2p 2p 1p

Cu teorema lui Pitagora în ∆FMI : FI = 5 37 m2

a) Lungimea pastilei = înălțimea cilindrului+de două ori raza

Lungimea pastilei = 25 mm

b) Volumul pastilei = volumul cilindrului plus volumul sferei (două

613

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

semisfere) V pastila = π R 2 h +

V pastila

1p 4π R 3 3

2p 2p

1625π 1, 625 = π cm3 ≈ 1, 7 cm3 mm3 = 3 3

w .m

at ei n

fo .ro

c) Aşezând pastilele astfel ca înălţimea lor să corespundă cu înălţimea cutiei, vor încape: - pe lungime 15:0,5=30 pastile - pe lăţime 10:0,5=20 pastile. Total 30 ⋅ 20 ⋅1 = 600 pastile.

614

1p 1p 1p 2p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 228

Prof Telteu Constantin

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

B sau {3;5;9}

16π

at ei n

fo .ro

SUBIECTUL II

Realizarea desenului

Definiţia mediei aritmetice

(30 de puncte) 5p 1p 1p 3p

1 7 km = din traseu 6 Întregul traseu este de 6 ⋅ 7 = 42 km 42:5 = 8,4 ore = = 8 ore şi 24 minute

1p 1p 2p

a) B ∈ G f ⇒ b = −2

2p 2p

A∈Gf ⇒ a = 1

f ( x) = x − 2

4 Aflarea termenului necunoscut: 7

Înlocuirea

w .m

b) Reprezentarea graficului Triunghiul AOB dreptunghic isoscel Măsura unghiului cerut 45

2p 2p 1p

y = x 2 + 3 x + 1 sau y = x 2 + 3 x

615

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

1 1 ⇒ F ( x) = 5 5 x Ecuaţia = 1 ⇒ x = 5 5

F ( y) =

2p 1p SUBIECTUL III

a) diagonala pătratului este d = 38 m ⇒

fo .ro

Acladire = Apatrat

d2 = = 722 m 2 2

Acurte = Adisc − Apatrat = = 2 ( 200π − 361) m 2

2p 3p

c) După deplasarea gardului Adisc mare = 441π m 2

Aria curţii a crescut cu Adisc mare − Adisc = 41π m 2

2. a)

at ei n

(30 de puncte)

V paralelipiped = 220 ⋅100 ⋅ 80 cm3 =

= 1760000 cm3 = 1760 dm3 =

w .m

= 1760 l

4π ⋅ 33 cm3 = 3 = 36π cm3 =

Vbila =

= 0, 000036 π m3

c) Pe lungime încap maxim 36 bile ( 220 : 6 = 36 rest 4 )

Pe lăţime încap maxim 16 bile ( 100 : 6 = 16 rest 4 )

Pe înălţime încap maxim 13 bile ( 80 : 6 = 13 rest 2 )

În total încap 36 ⋅16 ⋅13 = 7488 bile.

616

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 229

Prof Telteu Constantin

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

−0, 5

∅

50π

273

at ei n

SUBIECTUL II

fo .ro

Realizarea desenului

Media geometrică a numerelor a şi b: mg = ab Înlocuire 3 Rezultat: 3 2 km reprezintă

5p (30 de puncte) 5p 1p 1p 3p

2 din drum, 5

w .m

1 din drum este egal cu 1 km, 5 Deci tot drumul (cinci cincimi) este de 5 km.

617

1p 2p

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

fo .ro

Reprezentarea punctului B Reprezentarea dreptei AB

2p 1p

2p 1p 1p 1p

1 + x x 2 + 1 x ( x + 1)  1 E ( x) =  + ⋅ 2 = ⋅ x x +1  x +1  x 1 = +1 x 1 1 1 E 2 − = +1− = 1∈ ℤ 2 2 2

w .m

b) Reprezentarea punctelor C şi D Diagonalele AC şi BD se înjumătăţesc, deci ABCD este paralelogram Diagonalele AC şi BD sunt congruente, deci ABCD este dreptunghi Diagonalele AC şi BD sunt perpendiculare, deci ABCD este pătrat

at ei n

Reprezentarea punctului A

( )

SUBIECTUL III

Ab ⋅ h = 576 cm3 = 3 3 = 0, 576 dm =

2p (30 de puncte) 2p

V piramidă = a)

= 0, 576 l < 1l

Răspuns: NU.

618

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

b) Calculul apotemei piramidei RO din triunghiul POR, cu t. lui Pitagora: RO = Ap = 6 5 cm

at ei n

fo .ro

Al =

w .m

Aria suprafeţei ude este de fapt aria laterală a piramidei OA ' B ' C ' D ' , adică: Pb ⋅ Ap

= 144 5 cm

c) Punem în acelaşi plan faţa ABB ' A ' a cubului şi faţa laterală OA ' B ' a piramidei. Drumul furnicii este segmentul verde din figura de mai jos (Drumul cel mai scurt între două puncte este cel drept!)

AO se calculează cu t. lui Pitagora din triunghiul OPA , în care

619

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

(

)

OP = OR + RP = 6 2 + 5 cm

OA = 6 10 + 4 5 cm ≈ 26,12 cm

a) hcupă = 4 + 5 + 0,5 = 9,5 cm

2π R3 128π cm3 = = 2 3 3 0,128π 0,128π = dm3 = l= 3 3 128π = ml ≈ 133, 97 ml 3

Vcupă = b)

Vsferă

fo .ro

www.mateinfo.ro

d = 2 ⋅ 2π + 5 + 3 + 0, 5 ≈ 21, 06 cm

w .m

at ei n

c) Drumul furnicii se compune din: un sfert de cerc (pentru a ajunge la marginea de sus a cupei), un sfert de cerc (pentru a ajunge la axul piciorului cupei), lungimea axului cupei, raza suportului şi înălţimea suportului.

620

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 230

Prof Telteu Constantin

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

5 2

Orice număr scris este corect.

{2;3; 4;5;6;7;8;10}

72π 3

107

at ei n

fo .ro

SUBIECTUL II

5p 5p 5p (30 de puncte)

Realizarea desenului

2 3 + y = 14 3

y = 12 3

2p 2p

1 3 1 3 a) A ∈ G f ∩ Gg ⇒ f   = ; g   = 2 2 2 2 Rezultatul: a = b = 1

b) Determinarea a încă unui punct de pe graficul funcţiei f. Determinarea a încă unui punct de pe graficul funcţiei g. Reprezentarea graficului

1p 1p

w 4.

1 din cerc în 2 minute şi 30 sec. 9 7 Mai are de mers din cerc. 9 Pentru a termina de parcurs cercul mai are nevoie de un timp de 7 ori mai mare, adică: 17 minute şi 30 secunde.

Furnica parcurge

w .m

621

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

 4 x −1 E ( x) = : ⋅ = ( x − 1)( x + 1)  ( x − 1)2 x + 1  ( x − 1)( x + 1) = 1 ∈ ℕ 4 = ⋅ 4 ( x − 1)( x + 1) 4

at ei n

fo .ro

w .m

SUBIECTUL III

VM 2 VM 2 = ⇒ = = raportul de asemanare (am adunat numărătorii la MO 3 VO 5 numitori)

3p (30 de puncte)

2p 3p

A' B ' 2 = ⇒ A ' B ' = 4 cm ⇒ Asecţiune = 16 cm 2 AB 5

VM 2 = ⇒ VM = 6 cm ⇒ VO = 15 cm 9 3

OB =

(

DB AB 2 = = 5 2 cm 2 2

)

= VO = 3 2 tg VB , ( ABC ) = tg VBO OB 2

c) Cu t. lui Pitagora VN = 5 10 cm

622

Evaluare Naţională Matematică 2014-2015

www.mateinfo.ro

)

(

= VO = 15 = 3 10 sin ( VBC ) , ( AOD ) = sin VNO VN 5 10 10 2.

h2 = G 2 − R2 h = 12 cm

2p 3p

Vcornet plin = Vcon + Vsemisfera = =

2π R 3 + = 3

3 550π cm3 ≈ = 3 ≈ 575, 67 cm3

fo .ro

π R2h

Dacă x = înălţimea cerută, atunci 550π Vîngheţată = Vcilindru ⇒ = π ⋅ 42 ⋅ x ⇒ 3 275 ⇒x= cm ≈ 11, 46 cm 24

w .m

at ei n

623

1p 1p

2p 3p