BACHILLERATO
Unidad 9. Aplicaciones de las derivadas
Matemáticas II
Resuelve Página 269
Optimización ■■ Una
persona se acerca a una estatua de 2 m de altura. Los ojos de la persona están 1 m por debajo de los pies de la escultura. ¿A qué distancia se debe acercar para que el ángulo, φ, bajo el cual ve la estatua sea máximo? Hay una hermosa resolución por métodos geométricos. Obsérvala: Se traza una circunferencia que pasa por los puntos A y B y es tangente a la recta r.
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Demuestra que el punto de tangencia, T, es el lugar de la recta r desde el que se ve el segmento AB con ángulo máximo.
B
A O
T
r
Para probar que el ángulo trazado desde el punto de tangencia T es el mayor posible entre todos los trazados desde puntos de la recta usaremos la siguiente propiedad: “Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco son iguales”. Sea P un punto cualquiera situado sobre la recta r (análogamente se razonaría si se encuentra en la posición de Q). Unimos el punto P con B y obtenemos el punto de corte P con la circunferencia. El % % % % ángulo APB es menor que el ángulo AP'B pero AP'B = ATB porque los dos son ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco AB. En consecuencia el ángulo trazado desde P es menor que el trazado desde el punto de tangencia T. Así, cualquier ángulo trazado desde puntos de % la recta distintos de T es menor que ATB , de donde se deduce que este es el mayor ángulo posible.
B
A P'
Q' O
Q
P
T
1
r