Soluciones tema 6 vectores by José Antonio Tarifa Garzón

VECTORES

Página 171 REFLEXIONA Y RESUELVE Multiplica vectores por números ■

Copia en un papel cuadriculado los cuatro vectores siguientes:

Representa: 8

a) 2 a

b) 5 b

1 8 c 3

Expresa el vector d como producto de uno de los vectores a , b o c por un número. Designa los vectores anteriores mediante pares de números. Por ejemplo: 8 a (2, 3) Repite con pares de números las operaciones que has efectuado anteriormente. 8

• d = –2,5 b = 8

–5 8 b 2

• a (2, 3)

1/3 c

b(–2, –2)

c (3, 0)

d (5, 5) 8

d = –5/2 b

• 2 a = 2 (2, 3) = (4, 6) 8

5 b = 5 (–2, –2) = (–10, –10) 1 8 1 c = (3, 0) = (1, 0) 3 3

Unidad 7. Vectores

Suma vectores ■

Efectúa gráficamente: 8

a) a + c

b) b + c 8

c) b + a

d) a + b + c

siendo a , b y c los del ejercicio anterior. Realiza las mismas sumas con pares de números. 8

Por ejemplo: a + c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3) 8

a) a + c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3) b) b + c = (–2, –2) + (3, 0) = (1, –2) c) b + a = (–2, –2) + (2, 3) = (0, 1) 8

d) a + b + c = (2, 3) + (–2, –2) + (3, 0) = (3, 1) 8

b+c

a+c

b+a

a+b+c

Combina operaciones

■

Con los vectores u, v y w efectúa las siguientes operaciones gráficamente y mediante pares de números: 8

a) 2 u + 3v

b) –v + 5w

c) 2 u + 3 v – 4 w

¿Cómo designarías al vector resultante de esta última operación? 8

a) 2 u + 3 v = 2 (3, 1) + 3 (2, –2) = (6, 2) + (6, –6) = (12, –4) b) – v + 5 w = –(2, –2) + 5 (3, –1) = (–2, 2) + (15, –5) = (13, –3) 8

c) 2 u + 3 v – 4 w = 2 (3, 1) + 3 (2, –2) – 4 (3, –1) = (6, 2) + (6, –6) + (–12, 4) = (0, 0) 8

Vector nulo: 0

Unidad 7. Vectores

UNIDAD

–v

5w 8

–v + 5w

2u + 3v

3v 8

–4w

Página 175 8

1. Si u(–2, 5) y v (1, –4) son las coordenadas de dos vectores respecto de una base, halla las coordenadas respecto de la misma base de: 8 8 8 8 8 8 1 8 1 8 a) 2 u + v b) u – v c) 3 u + d) – u – 2 v v 3 2 8

a) 2 u + v = 2 (–2, 5) + (1, –4) = (–4, 10) + (1, –4) = (–3, 6) 8

b) u – v = (–2, 5) – (1, –4) = (–2, 5) + (–1, 4) = (–3, 9)

(

) ( ) 1 1 –5 11 d) – u – 2 v = – (–2, 5) – 2 (1, –4) = (1, + (–2, 8) = (–1, 2 2 2 ) 2 ) 1 8 1 1 –4 –17 41 v = 3 (–2, 5) + , = , (1, –4) = (–6, 15) + 3 3 3 3 3 3

c) 3 u +

Página 176 8

1. Dos vectores u y v cumplen que: |u| = 4, |v| = 8

a) u · v 8

b) v · u 8

d) (3u) · (–5v ) 8

ì 3 8 8 , ( u, v ) = 30°. Calcula: 2

e) u · u ì 8 8

a) u · v = |u| |v| cos ( u, v ) = 4 · 8

c) (–u) · v 8

f) v · (–v )

√3 3 · cos 30° = 6 · = 3√3 2 2

b) v · u = u · v = 3√3 8

c) (–u) · v = – ( u · v ) = –3√3 8

d) (3u) · (–5v ) = 3(–5) ( u · v ) = –15 · 3√3 = –45√3 8

e) u · u = |u| 2 cos 0° = 16 8

f) v · (–v ) = –v · v = –|v|2 = –

Unidad 7. Vectores

9 4

8 8

2. Si |u| = 3, |v| = 5 y u · v = –2, averigua el ángulo ( u, v ). (Usa la calculadora). 8

ì u·v –2 2 8 8 =– 8 ( u, v ) = 97° 39' 44'' 8 8 = 15 |u||v| 3 · 5

8 8

cos ( u, v ) =

ì 8 8

3. Halla u · ( v + u) y v · ( v – u) sabiendo que |u| = 3, |v| = 5, ( u, v ) = 120°. 8

u · ( v + u) = u · v + u · u = |u| |v| cos 120° + |u| |u| cos 0° =

( )

=3·5· – 8

1 15 3 +3·3=– +9= 2 2 2

( )

v · ( v – u) = v · v – v · u = 25 – –

15 65 = 2 2

Página 178 8

4. Dados los vectores u y v mediante sus coordenadas respecto a una base or8 8 tonormal, u (3, – 4), v (–1, 3), halla: 8

a) u · v y v · u 8

ì 8 8

b) |u|, |v| y ( u, v ) 8

c) El valor de k para que (4, k) sea perpendicular a v . 8

d) Un vector unitario perpendicular a u. 8

a) u · v = (3, –4) · (–1, 3) = 3 · (–1) + (–4) · 3 = –15 v · u = (–1, 3) · (3, –4) = (–1) · 3 + 3 · (–4) = –15 8

b) |u| = √32 + (–4)2 = 5 8

|v| = √(–1)2 + 32 = √10 ì

ì –15 u·v 8 8 — = –0,9486832981 8 ( u, v ) = 161° 33' 54'' 8 8 = |u||v| 5√ 10 4 c) (4, k ) 2 (–1, 3) 8 (4, k ) · (–1, 3) = 0 8 –4 + 3k = 0 8 k = 3 8 8

cos ( u, v ) =

Para que (4, k ) sea perpendicular a v , ha de ser k =

4 . 3

d) Un vector perpendicular a u (3, –4) es, por ejemplo, (4, 3). Un vector unitario paralelo a (4, 3) es

Hay dos vectores unitarios perpendiculares a (3, –4). Son

( ) ( ) ( )

1 1 4 3 · (4, 3) = (4, 3) = , |(4, 3)| 5 5 5

4 3 4 3 , y – ,– . 5 5 5 5

Unidad 7. Vectores

UNIDAD

Página 182 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR

Los vectores y sus operaciones 1 La figura ABCDEF es un hexágono.

O M

R A

Compara el módulo, la dirección y el sentido de los siguientes pares de vectores: 8

a) AB y BC 8

b) FE y BC

c) BM y DE

d) OS y OE

a) |AB | = |BC |. Tienen distinta dirección. b) Los dos vectores tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo mó8 8 dulo, luego: FE = BC . 8

c) |BM | =

1 8 DE . Tienen la misma dirección y el mismo sentido. 2 8

Luego: BM = 8

1 8 DE . 2

d) | OS | < | OE |. Sus direcciones son perpendiculares: OS 2 OE .

2 Busca en la figura del ejercicio 1 tres vectores iguales a NC y otros tres igua8 les a AS . 8

NC = BN = FR = RE

AS = SF = CP = PD

Unidad 7. Vectores

3 Sustituye los puntos suspensivos por un número, de forma que estas igualdades sean verdaderas para el hexágono del ejercicio 1: 8

a) CD = 2 CP

b) MN = … AC

c) OP = …OS 8

a) CD = 2 CP

b) MN = 8

c) OP = – OS

d) NB = … BC

1 8 AC 2

d) NB = –

1 8 BC 2

4 Completa las igualdades siguientes con las letras que faltan para que, en el hexágono del ejercicio 1, sean verdaderas: 8

a) AF + B… = AE c) O… + SO = FD 8

b) AS + …C = SF d) AM + A… = AB

a) AF + BC = AE

b) AS + CC = SF 8

c) OP + SO = FD

d) AM + AM = AB

5 Observa el rombo de la figura y calcula: 8

a) AB + BC

b) OB + OC c) OA + OD A

d) AB + CD

e) AB + AD D

f ) DB – CA Expresa los resultados utilizando los vértices del rombo. 8

a) AC 8

b) AB = DC 8

d) AA = 0

c) BA – CD 8

e) AC

f) 2 DC

6 Considera el vector w: 8

w 8

Dibuja en cada uno de estos casos un vector v que sumado con u dé co8 mo resultado w: a)

b) 8

Unidad 7. Vectores

UNIDAD

7 Los vectores a , b y c los hemos obtenido operando con los vectores x, 8 8 y , z . ¿Qué operaciones hemos hecho en cada caso? 8

–z

–x

a=y–z–x

b=x+y– z

c =x–y+ z

Bases y coordenadas 8 A la vista de la figura, dibuja los vectores: 8

– u + v, u – v, u + v, 8

– u – v, – u + 2v, u – 2v

Si tomamos como base (u, v ), ¿cuáles son las coordenadas de los vectores que has dibujado? 8

–u + v 8

–u

u+v

u – 2v

– u – v = (–1, –1)

Unidad 7. Vectores

–u

u – v = (1, –1) 8

–v

– u + v = (–1, 1)

–u + 2v

–2v

–u – v

u–v

–v

– u + 2v = (–1, 2)

u + v = (1, 1)

u – 2 v = (1, –2)

8 8

9 Escribe los vectores u, v , w como combinación lineal de x e y .

w 8

¿Cuáles serán las coordenadas de esos vectores respecto a la base B (x, y )? 8

u=–

(

8 18 18 1 1 x + y , luego u = – , 2 2 2 2

) respecto de B (x, y). 8

( ) 3 3 w = x + y , luego w = ( , 1) respecto de B ( x , y ). 2 2

v= 8

8 8 8 38 8 3 x + y , luego v = , 1 respecto de B ( x , y ). 4 4 8

Página 183 8

10 Escribe las coordenadas de los vectores a , b, c , d, con respecto a la base 8 8 B (x, y ). 8

a = (2, 2); b = (0, –3); c = (–1, 0); d = (–1, 3)

11 En una base ortonormal las coordenadas de un vector son v (2, –5). Halla 8 las coordenadas de v en la base B = {(1, –1), (0, –1)}. 8

x (1, –1) ° 8 8 8 § v = ax + by 8 y(0, –1) ¢ 8 § (2, –5) = a(1, –1) + b (0, –1) = (a, –a) + (0, –b ) = (a, –a – b ) v(2, –5) £ 2=a ° a=2 ¢ –5 = –a – b £ b = +3 8

Las coordenadas de v en la nueva base son (2, 3).

Unidad 7. Vectores

UNIDAD 8

12 Si las coordenadas de los vectores u y v son (3, –5) y (–2, 1), obtén las coordenadas de: 8

a) –2 u +

18 v 2

8 38 b) – u – v 5

a) –2 (3, –5) +

b) – (3, –5) –

(

) (

)

) (

)

1 1 21 = –7, (–2, 1) = (–6, 10) + –1, 2 2 2

(

3 6 –3 –9 72 (–2, 1) = (–3, 15) + , = , 5 5 5 5 5

1 8 8 – 2 8 8 (u + v ) (u – v ) 2 3

1 2 1 2 (3, –5) + (–2, 1) – (3, –5) – (–2, 1) = (1, –4) – (5, –6) = 2 3 2 3

[

]

[

]

( 12 , –2) + ( –103 , 4) = ( –176 , 2)

8 8 8 8 8 18 13 Halla el vector b tal que c = 3 a – b , siendo a (–1, 3) y c (7, –2). 2

(7, –2) = 3 (–1, 3) –

° 7 = –3 – (1/2)b1 8 b1 = –20 ° 1 (b , b ) 8 ¢ ¢ 2 1 2 £ –2 = 9 – (1/2)b2 8 b2 = 22 £

b (–20, 22) 8

14 Dados los vectores a (3, –2), b(–1, 2) y c (0, –5), calcula m y n de modo que: 8 8 8 c = m a + n b. ° 0 = 3m – n (0, –5) = m (3, –2) + n (–1, 2) 8 ¢ £ –5 = –2m + 2n Resolvemos el sistema: Despejando en la primera ecuación, n = 3m, y sustituyendo en la segunda: –5 = –2m + 6m 8 –5 = 4m 8 m =

–5 –15 8 n= 4 4 8

15 Expresa el vector a (– 1, – 8) como combinación lineal de b (3, –2) y 8

(

c 4, –

)

1 . 2 8

☛ Calcula m y n tales que a = m b + n c . 8

(

1 (–1, –8) = m (3, –2) + n 4, – 2

)

° –1 = 3m + 4n § 1 8 ¢ § –8 = –2m – —n 2 £

Resolvemos el sistema por reducción (por ejemplo).

Unidad 7. Vectores

Para ello, multiplicamos la segunda ecuación por 8 (en los dos miembros) y sumamos miembro a miembro las dos: –1 =

3m + 4n

–64 = –16m – 4n –65 = –13m 8 m =

–65 =5 –13

Sustituyendo en una de las dos ecuaciones y despejando n : –1 = 3m + 4n 8 –1 = 3 · (5) + 4n 8 –16 = 4n 8 n = –4 8

Así, podemos decir: a = 5 b – 4 c

16 ¿Cuáles de los siguientes pares de vectores forman una base? 8 8 8 8 2 ,2 a) u(3, –1), v (1, 3) b) u(2, 6), v 3

( )

a) Sí, tienen distinta dirección ( u ? k v para cualquier k). Basta con representarlos gráficamente para comprobarlo. 8

b) No, pues tienen la misma dirección ( u = 3 v ).

Producto escalar. Módulo y ángulo 17 En una circunferencia de centro O y de radio 2 cm, se inscribe un hexágono regular de vértices A, B, C, D, E, F. Calcula los productos: 8

a) OA · OB

b) OA · OC 8

c) AB · ED

d) BC · EF

8 8 8 8 8 8 1 a) OA · OB = |OA| · |OB | cos (OA, OB ) = 2 · 2 · cos 60° = 2 · 2 · =2 2

( 12 ) = –2

8 (*)

b) OA · OC = 2 · 2 · cos 120° = 2 · 2 · – (*)

c) AB · ED = 2 · 2 · cos 0° = 2 · 2 · 1 = 4 (*)

60°

F O

OAB es un triángulo equilátero, luego: 8

|AB | = |OA| = 2 8

Razonamos igual para |ED |. 8

d) BC = – EF (mismo módulo, misma dirección y sentido opuesto) 8

Luego: BC · EF = 2 · 2 · cos 180° = 2 · 2 · (–1) = –4

Unidad 7. Vectores

UNIDAD 8

18 Dados los vectores x(5, –2), y (0, 3), z (–1, 4), calcula: 8

a) x · y

b) x · z

c) y · z

a) x · y = (5, –2) · (0, 3) = –6 b) x · z = (5, –2) · (–1, 4) = –5 – 8 = –13 c) y · z = (0, 3) · (–1, 4) = 12

19 Calcula k para que el producto u · v sea igual a 0 en los siguientes casos: 8

a) u(6, k), v (–1, 3) 8

b) u

(

)

8 1 , –2 , v (k, 3) 5

c) u(–3, –2), v (5, k)

a) u · v = (6, k ) · (–1, 3) = 0 8 –6 + 3k = 0 8 k = 2 b) u · v =

( )

1 k , –2 · (k, 3) = 0 8 – 6 = 0 8 k = 30 5 5

c) u · v = (–3, –2) · (5, k ) = 0 8 –15 – 2k = 0 8 k = –

15 2

20 Dados u(2, 3), v (–3, 1) y w(5, 2), calcula: 8

a) (3 u + 2 v ) w 8

b) u · w – v · w 8

c) ( u · v ) w 8 8

d) u( v · v ) ☛ a) Halla primero las coordenadas de 3 u + 2 v . 8

c) Efectúa u · v . Multiplica el resultado (un número) por el vector w . Obtendrás un vector. 8

a) 3 u + 2 v = 3 (2, 3) + 2 (–3, 1) = (6, 9) + (–6, 2) = (0, 11) 8

(3 u + 2 v ) · w = (0, 11) · (5, 2) = 0 · 5 + 11 · 2 = 0 + 22 = 22 8

b) u · w = (2, 3) · (5, 2) = 10 + 6 = 16 ° ¢ 8 8 8 v · w = (–3, 1) · (5, 2) = –15 + 2 = –13 £ 8

8 u · w – v · w = 16 – (–13) = 16 + 13 = 29 8

c) u · v = (2, 3) · (–3, 1) = –6 + 3 = –3 8

( u · v ) w = –3 (5, 2) = (–15, –6) 8

d) v · v = (–3, 1) · (–3, 1) = 9 + 1 = 10 8

u ( v · v ) = (2, 3) · 10 = (20, 30)

Unidad 7. Vectores

21 Halla el módulo de cada uno de los siguientes vectores: 8

u(3, 2) 8

(

√2 √2 2

)

v (–2, 3)

w(–8, –6)

t (5, 0)

r (1, 1)

| u | = √32 + 22 = √13 8

|w| = √(–8)2 + (–6)2 = 10 8

| v | = √(–2)2 + 32 — √2 2 8 — + |z| = 2

√( ) ( )

| t | = √52 + 02 = 5

| r | = √12 + 12 = √2 8

22 Halla el valor de m para que el módulo del vector u

|u| =

√( )

3 — 5

= √13 — √2 2 — =1 2

9 16 + m2 = 1 8 + m2 = 1 8 m2 = 25 25

(

)

3 , m sea igual a 1. 5 4 m1 = — 5 4 m2 = – — 5 8

23 Calcula x, de modo que el producto escalar8de a (3, –5) y b(x, 2) sea igual 8 a 7. ¿Qué ángulo forman los vectores a y b? (3, –5) · (x, 2) = 7 8 3x – 10 = 7 8 x = 8

cos a =

17 3

7 a·b 8 a = 78° 28' 34,6'' 8 = —— —— 8 |a||b| (√ 32 + (–5)2 ) (√ (17/3)2 + 22 )

24 Halla el ángulo que forman los siguientes pares de vectores: 8

a) u(3, 2), v (1, –5) 8

b) m (4, 6), n (3, –2)

(

8 8 1 c) a (1, 6), b – , –3 2

) 8

a) Utilizamos las dos expresiones para calcular u · v: 8

u · v = 3 · 1 + 2 (–5) = –7 8

8 8

u · v = |u| · | v|· cos ( u, v ) = √ 13 · √ 26 · cos ( u, v ) Igualando las dos expresiones, se tiene: ì 8 8

ì 8 8

–7 = √ 13 · √ 26 · cos ( u, v ) 8 cos ( u, v ) =

–7 — — = –0,38 √13 · √ 26

ì 8 8

Luego: ( u, v ) = 112° 22' 48"

Unidad 7. Vectores

UNIDAD

b) Despejando directamente en la definición: 8

m · n = |m| · | n | · cos ( m, n ) 8 8

m·n 4 · 3 + 6 · (–2) 0 8 cos ( m, n ) = 8 8 = = — — =0 — — |m||n| √52 · √13 √52 · √13 8

de donde: ( m, n ) = 90° (basta con ver que m · n = 0) ì

8 8

c) cos ( a, b ) =

a·b –37/2 –1/2 – 18 –1 √2 = =– 8 = — — — = 8 2 |a||b| 37 √ 2 /2 √37 · √37/2 √2

(

)

ì 8 8

Luego: ( a, b ) = 135° 8

25 Dado el vector u(–5, k) calcula k de modo que: 8

a) u sea ortogonal a v (4, –2). 8

b) El módulo de u sea igual a √34 . 8

a) u 2 v ò u · v = 0 8 (–5, k) · (4, –2) = 0 8 –20 – 2k = 0 8 k = –10 8

b) | u | = √ (–5)2 + k 2 = √ 25 + k 2 = √ 34 8 25 + k 2 = 34 8 k 2 = 9 8 k = ±3 Hay, pues, dos soluciones. 8

26 Dado el vector u(6, – 8), determina: 8

a) Los vectores unitarios (módulo 1) de la misma dirección que u. 8

b) Los vectores ortogonales a u que tengan el mismo módulo que u. 8

c) Los vectores unitarios y ortogonales a u. ☛ Mira el problema resuelto número 4. 8

a) Calculamos: | u | = √62 + (–8)2 = 10 8

Los vectores de la misma dirección que u y de módulo 1 son: 1 3 4 8 v1 = (6, –8) = , – 10 5 5 8

v2 =

( (

1 3 4 (–6, 8) = – , 10 5 5

) )

b) Se obtienen permutando las coordenadas de u y cambiando el signo de una de ellas. 8

v 1 = (8, 6)

v 2 = (–8, –6)

También se pueden hallar expresando analíticamente las dos condiciones y resolviendo el sistema que obtenemos:

Unidad 7. Vectores

v 2 u 8 (x, y) · (6, –8) = 0 8 6x – 8y = 0 8 x = 8

8y 4 = y 6 3

| v | = | u | 8 √ x 2 + y 2 = 10 8 x 2 + y 2 = 100

( 43 y) + y 2

16 2 25 2 y + y 2 = 100 8 y = 100 8 y 2 = 36 8 y = ±6 9 9

= 100 8

8 4 6 = 8 8 v 1 (8, 6) 3

• Si y1 = 6 8 x1 =

• Si y2 = –6 8 x2 = –8 8 v 2 (–8, –6) c) Teniendo en cuenta a) y b), haremos: 8

v1 =

v2 =

( ) ( )

1 4 3 (8, 6) = , 10 5 5

1 4 3 (–8, –6) = – , – 10 5 5

O bien, resolviendo el sistema:

u 2 v 8 6x – 8y = 0 8 x =

( 4y3 ) + y 2

=1 8

8y 4y = 6 3

3 4 3 4 8 x1 = · = 5 3 5 5

• Si y2 =

–3 4 –3 –4 8 x2 = · = 5 3 5 5

( 45 , 35 ),

16 2 25 2 25 3 y + y2 = 1 8 y = 1 8 y2 = 8 y=± 9 9 9 5

• Si y1 =

Así, v 1 =

° § ¢ § £

|v| = 1 8 √x 2 + y 2 = 1 8 x 2 + y 2 = 1

( ) ( –45 , –35 )

Página 184 PARA RESOLVER 8

27 Halla las coordenadas de un vector v(x, y), ortogonal a u(3, 4) y que mida 8 el doble que u. ° § ¢ 8 8 2 2 | v | = 2| u | 8 √ x 2 + y 2 = 2 √ 9 + 16 = 2 √ 25 = 10 8 x + y = 100 § £ Resolvemos el sistema: 8

u 2 v 8 u · v = 0 8 3x + 4y = 0

Despejamos x en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:

Unidad 7. Vectores

UNIDAD

–4 y 8 3

( –43 y) + y

Si y1 = 6 8 x1 =

= 100 8

16 2 25 2 y + y 2 = 100 8 y = 100 8 y = ±6 9 9

8 –4 · 6 = –8 8 v 1 (–8, 6) 3

8 v1 8

8 –4 Si y2 = –6 8 x2 = · (–6) = 8 8 v 2 (8, –6) 3

El problema tiene dos posibles soluciones, tales que: 8

v1 = –v2

8 v2

28 Dados a(2, 1) y b(6, 2), halla un vector v tal que v · a = 1 y v 2 b. (x, y) · (2, 1) = 1 8 2x + 2y = 1 ° ¢ Resolvemos el sistema: (x, y) · (6, 2) = 0 8 6x + 2y = 0 £ Multiplicamos los dos miembros de la primera ecuación por (–1) y sumamos miembro a miembro: –2x – 2y = –1 6x + 2y = 0 = –1 8 x =

–1 4

Sustituimos en una ecuación, por ejemplo en la segunda, y despejamos la otra incógnita: –1 6 3 3 6x + 2y = 0 8 6 · + 2y = 0 8 2y = = 8 y= 4 4 2 4

( )

Así, nuestro vector será: v

( –14 , 34 )

29 Siendo u(5, –b) y v(a, 2), halla a y b, sabiendo que u y v son ortogo8 nales y que |v| = √13 . 8

Si u 2 v , entonces u · v = 0 8 (5, –b) · (a, 2) = 0 8 5a – 2b = 0 8

Si | v | = √ 13 , entonces √ a 2 + 22 = √ 13 8 a 2 + 4 = 13 Resolvemos el sistema: a 2 + 4 = 13 8 a = ±3 Entonces: Si a = 3 8 b =

5a 15 = 2 2

Si a = –3 8 b =

Unidad 7. Vectores

5a –15 = 2 2

(

)

–15 8 , v (3, 2) 2

Luego hay dos posibles soluciones: u 5, 8

(

O bien: u 5,

)

15 8 , v (–3, 2) 2

30 Dados los vectores a = 2 u –8v y b = –3 u + k v, siendo u = (2, 3) y v = (–3, 0), 8 8 8 halla k de modo que ( a + b) sea ortogonal a ( a – b). 8

☛ Escribe las coordenadas de (a + b ) y (a – b). 8

Si ( a + b ) 2 ( a – b ), entonces ( a + b ) · ( a – b ) = 0. Obtendrás una ecuación cuya incógnita es k. 8

a = 2 (2, 3) – (–3, 0) = (7, 6) ° a + b = (1 – 3k, –3) ° 8 ¢ 8 ¢8 8 b = –3 (2, 3) + k (–3, 0) = (–6 – 3k, –9) £ £ a – b = (13 + 3k, 15) Ahora, como el producto escalar de ambos vectores debe ser 0, por ser ortogonales: (1 – 3k, –3) · (13 + 3k, 15) = 0 8 (1 – 3k) (13 + 3k) + (–3) · 15 = 0 13 + 3k – 39k – 9k 2 – 45 = 0 8 9k 2 + 36k + 32 = 0 k=

–36 ± √ 1 296 – 1 152 –36 ± √ 144 = = 18 18 –36 ± 12 = 18

–24/18 = –4/3 = k1 –48/18 = –8/3 = k2

31 Halla el valor que debe tener k para que los8 vectores x = k a + b e y = k a – b 8 sean perpendiculares, siendo a(3/2, 4) y b(5, 0).

° § § § 3 3k 8 ¢ Entonces: y = k , 4 – (5, 0) = – 5, 4k § 2 2 § 8 8 8 8 § Como queremos x 2 y ò x · y = 0 £ 8

x=k

(

( (

3 3k , 4 + (5, 0) = + 5, 4k 2 2

)(

)

) )

(

)(

)

3k 3k 3k 3k + 5, 4k · – 5, 4k = 0 8 +5 – 5 + (4k )(4k ) = 0 8 2 2 2 2

( ) ( )

10 9k 2 73 2 – 25 + 16k 2 = 0 8 k = 25 8 k = ± (dos soluciones) 4 4 √73

Unidad 7. Vectores

UNIDAD 8

32 Dados los vectores u(k, –6) y v(3, h), calcula k y h de modo que |u| = 10 8 8 y u 2 v. 8

| u | = √k 2 + (–6)2 = 10 8 k 2 + 36 = 100 8 k 2 = 64 8 8 k = ±8 (dos soluciones) 8

• Si k = 8 8 u (8, –6); u 2 v 8 (8, –6) · (3, h ) = 0 8 24 – 6h = 0 8 h = 4 8

• Si k = –8 8 u (–8, –6); u 2 v 8 (–8, –6) · (3, h ) = 0 8 –24 – 6h = 0 8 8 h = –4 8

33 Calcula las coordenadas de un vector u tal que |u| = 1 y u · v = 1 siendo 8 v(2, 1). 8

u (a, b ) 8 | u | = 1 8 √a2 + b 2 = 1

° Resolvemos el sistema: 8 u · v = 1 8 (a, b ) · (2, 1) = 1 8 2a + b = 1 ¢ £ b = 1 – 2a 8 a2 + (1 – 2a)2 = 1 8 a2 + 1 + 4a2 – 4a = 1 8 5a2 – 4a = 0 8

a=0 8 b=1 4 3 a= 8 b=– 5 5 8

Soluciones : u 1(0, 1) y u 2 8

(

4 3 ,– 5 5

)

34 Expresa los vectores a, b y c como 8 8 combinación lineal de x e y.

8 8

a=–

18 8 x + 2y 2

18 8 x–y 2

35 De los vectores a y b sabemos que |a| = 3 y |b| = 5 y que forman un án8 8 gulo de 120°. Calcula |a – b|. ☛ Mira el problema resuelto número 8. 8

2 2 Como: v · v = |v| |v| cos 0° = |v| · 1 = |v|

entonces podemos decir que: 8

|a – b|2 = (a – b) · (a – b) = a · a – 2a · b + b · b = 8

ì 8 8

2 2 = |a| – 2 |a| |b| cos ( a, b ) + |b| =

( 12 ) + 25 = 49

= 32 – 2 · 3 · 5 · cos 120° + 52 = 9 – 30 · – 8

Luego: |a – b| = 7 Unidad 7. Vectores

36 Si |u|= 3 y (u + v ) · (u – v ) = –11, halla |v|. 8

☛ ( u + v ) · ( u – v ) = u · u – v · v = –11. 8

Como u · u = |u|2 = 9, calcula |v|. 8

2 2 (u + v) · (u – v) = u · u – v · v = |u| – |v| = –11 8

Como |u| = 3, se tiene que: 8

2 2 32 – |v| = –11 8 |v| = 20 8 |v| = √ 20

37 Sabiendo que |u| = 3, |v| = 5 y u 2 v, halla |u + v| y |u – v|. 8

|u + v|2 = (u + v) · (u + v) = u · u + 2u · v + v · v = (*)

2 2 = |u| + |v| = 32 + 52 = 34 8 |u + v| = √ 34

(*)

u2v 8 u·v=0

|u – v|2 = (u – v ) · (u – v) = u · u – 2u · v + v · v = 8

2 2 = |u| + |v| = 32 + 52 = 34 8 |u – v| = √ 34

8 8

38 Sea B( x, y) una base ortonormal. Calcula |x + y| y |x – y|. ☛ Mira el problema resuelto número 7. 8

|x + y|2 = (x + y) · (x + y) = x · x + 2x · y + y · y = |x| + 0 + |y| = 2 8 |x + y| = √2 |x – y|2 = (x – y) · (x – y) = x · x – 2x · y + y · y = |x| – 0 + |y| = 2 8 |x – y| = √2

39 Si |u| = 4, |v| = 3 y |u + v| = 5, ¿qué ángulo forman u y v ? Razonando como en el problema resuelto número 7, llegamos a: 8

ì 8 8

|u + v|2 = |u|2 + 2 |u| |v| cos ( u, v ) + |v|2 Sustituyendo los valores conocidos: ì 8 8

52 = 42 + 2 · 4 · 3 · cos ( u, v ) + 32 ì 8 8

25 = 16 + 24 cos ( u, v ) + 9 ì 8 8

cos ( u, v ) =

ì 25 – 25 8 8 = 0 8 ( u, v ) = 90° 24

Unidad 7. Vectores

UNIDAD

40 Calcula x para que los vectores a(7, 1) y b(1, x) formen un ángulo de 45°. 8

a · b = 7 + x = |a| | b| cos 45° 8 8 7 + x = √ 50 · √ 1 + x 2 ·

√2 8 2

14 + 2x = √1 + x 2 8 10

8 14 + 2x = √ 100 (1 + x 2) 8

2 7+x = √ 1 + x 2 8 49 + x + 14x = 1 + x 2 8 5 25

8 49 + x 2 + 14x = 25 + 25x 2 8 24x 2 – 14x – 24 = 0 8 8 12x 2 – 7x – 12 = 0 8 x =

7 ± √ 49 + 576 24

x1 = 4/3 x2 = –3/4

41 Calcula x para que a(3, x) y b(5, 2) formen un ángulo de 60°. 8

a · b = |a| | b| cos 60° 15 + 2x = √ 9 + x 2 · √ 29 ·

1 8 30 + 4x = √ 29 (9 + x 2) 8 2

8 900 + 16x 2 + 240x = 29 (9 + x 2) 8 13x 2 + 240x – 639 = 0 x= =

–240 ± √ 57 600 + 33 228 –240 ± √ 90 828 = = 26 26 x1 = –2,36 x2 = 20,82

–240 ± 301,4 26

42 Halla las coordenadas de cierto vector x, sabiendo que forma un ángulo de 8 60° con a(2, 4) y que los módulos de ambos son iguales. — 8 8 |a| = √20 = |x| ° 8 8 8 8 8 ¢ 8 a · x = |a| |x| cos 60° 8 Sea x(m, n ) £ — — 1 ° § 2m + 4n = √20 · √20 · — 8 2m + 4n = 10 2 8 ¢ — § —— 2 + n 2 = √20 8 m 2 + n 2 = 20 √ m £

Resolvemos el sistema: m=

10 – 4n = 5 – 2n 2

Sustituyendo en la segunda ecuación: (5 – 2n )2 + n 2 = 20 8 25 + 4n 2 – 20n + n 2 = 20 8 n 2 – 4n + 1 = 0 n=

4 ± √ 16 – 4 4 ± 2√3 = 2 2

n1 = 0,27 n2 = 3,73 8

• Si n1 = 0,27 8 m1 = 5 – 2 · 0,27 = 4,46 8 x1 = (4,46; 0,27) 8

• Si n2 = 3,73 8 m2 = 5 – 2 · 3,73 = –2,46 8 x2 = (–2,46; 3,73) Unidad 7. Vectores

43 Determina un vector a que forme con b(–1, –2) un ángulo de 30° y tal que 8

|a| = √3|b|. 8 ° –x – 2y = |a8||b | cos 30° 8 8 Sea a (x, y) 8 §¢ § √x 2 + y 2 = √3 · √5 £

( )

° √3 § –x – 2y = √ 3 · √ 5 · √ 5 · 2 8 ¢ § 2 2 £ x + y = 15

(

)

° 15 § –x – 2y = 2 8 ¢ § 2 2 £ x + y = 15

Resolvemos el sistema: x = –2y –

15 2

Sustituyendo en la segunda ecuación:

(4y

)

225 165 + 30y + y 2 = 15 8 5y 2 + 30y + =0 4 4

20y 2 + 120y + 165 = 0 8 4y 2 + 24y + 33 = 0 –24 ± √ 576 – 528 –24 ± 4 √ 3 √3 = = –3 ± 8 8 2

Así: a

(

√3 –3 – √ 3 , –3 + 2 2

)

o a=

(

√3 –3 + √ 3 , –3 – 2 2

)

44 Dados los vectores u(1, 3) y v(6, 4), halla la proyección de v sobre u. 8

☛ Sabes que u · v = |u| · proyu8 ( v). 8

u · v = |u| · (proy. de v sobre u) 8

u·v 6 + 12 18 18 √ 10 9 √ 10 = = = (proy. de v sobre u) = 8 = 10 5 |u| √ 10 √ 10 8

45 Dados8los vectores a(5, 2) y b(4, –3), calcula la proyección de a sobre b y 8 la de b sobre a. 8

8 8 8 a · b = |a| · (proy. de b sobre a ) °§ ¢ 8 8 8 8 8 a · b = |b| · (proy. de a sobre b) §£ 8

proy. de b sobre a =

a·b 20 – 6 14 14 √ 29 = = = 8 29 |a| √ 29 √ 29

a·b 20 – 6 14 = proy. de a sobre b = 8 = 5 |b| √ 25 8

Unidad 7. Vectores

UNIDAD 8 8

46 De una base B = {u, v } se sabe que |u| = 2, |v| = 1 y u · v = –1. En esa base 8 8 8 8 las coordenadas de dos vectores son x(1, 2) e y(–1, 1). Calcula x · y. ☛ Mira el problema resuelto número 8. 8

x = 1u + 2v = u + 2v 8

y = –1u + 1v = –u + v 8

x · y = (u + 2v) · (–u + v) = –u · u + u · v – 2u · v + 2v · v = 8

= –|u| – u · v + 2|v| = –2 – (–1) + 2 · 1 = 1 8

47 Dados a(1, 2) y b(5, 5), expresa el vector b como suma de dos vectores: 8 8 uno de la misma dirección que a y otro ortogonal a a. ☛ Mira el problema resuelto número 6. 8

b = x + y, donde: 8

• x tiene la misma dirección de a 8 x = k a = k (1, 2) = (k, 2k ) 8

• y 2 a 8 y = h (–2, 1) = (–2h, h ) Entonces: 8

(5, 5) = x + y = (k, 2k ) + (–2h, h ) = (k – 2h, 2k + h ) 5 = k – 2h ° k = 3 ¢ 5 = 2k + h £ h = –1 8

Los vectores pedidos son x(3, 6) e y(2, –1). 8

48 Se sabe que c = a + 2 b y d = 5 a – 4 b son perpendiculares y que a y b 8 8 son unitarios. ¿Cuál es el ángulo que forman a y b? 8

☛ Si c · d = 0 8 ( a + 2 b ) · (5 a – 4 b ) = 0. 8

Si c 2 d 8 c · d = 0 8 (a + 2 b) · (5 a – 4b) = 0 8

5a · a – 4a · b + 10b · a – 8b · b = 0 8

Como a y b son unitarios 8 |a| = 1 = |b| 8

2 2 5 |a| + 6a · b – 8 |b| = 5 + 6a · b – 8 = 0 8

a·b=

8 8 8 8 8 8 8 8 –3 –1 –1 = 8 |a| |b| cos ( a, b ) = cos ( a, b ) = 8 ( a, b ) = 120° 6 2 2

49 Demuestra que el vector ( b · c ) a – ( a · c ) b es perpendicular al vector c. 8

☛ Debes probar que [( b · c ) a – ( a · c ) b ] · c = 0. Hay que probar que el producto escalar de ambos vectores es igual a 0.

Unidad 7. Vectores

• Veamos primero cuáles son las coordenadas del primer vector: 8

8 8

(b · c) a – (a · c) b = (b1c1 + b2c2) (a1, a2) – (a1c1 + a2c2) (b1, b2) =

(

) (

)

= (b1c1 + b2c2) a1, (b1c1 + b2c2) a2 – (a1c1 + a2c2) b1, (a1c1 + a2c2) b2 = = (a1b1c1 + a1b2c2, a2b1c1 + a2b2c2) – (a1b1c1 + a2b1c2, a1b2c1 + a2b2c2) = = (a1b1c1 + a1b2c2 – a1b1c1 – a2b1c2, a2b1c1 + a2b2c2 – a1b2c1 – a2b2c2) = = (a1b2c2 – a2b1c2, a2b1c1 – a1b2c1) • Calculamos ahora:

[(8b · c) a – (a · c ) 8b] · c = 8 8

= (a1b2c2 – a2b1c2, a2b1c1 – a1b2c1) · (c1, c2) = = (a1b2c2 – a2b1c2) c1 + (a2b1c1 – a1b2c1) c2 = = a1b2c2c1 – a2b1c2c1 + a2b1c1c2 – a1b2c1c2 = 0

Página 185 CUESTIONES TEÓRICAS 50 Indica si el resultado de las siguientes operaciones es un número o un vector: 8

b) ( a · b) c 8

a) 2 a · b 8

c) (3 a – 2 b) · c

d) ( a + b) · ( a – b)

a) Número

b) Vector

c) Número

d) Número

51 Si B ( a, b) es una base de los vectores del plano, señala cuáles de los siguientes pares de vectores pueden ser otra base: 8

a) ( 3 a, –2 b) 8

b) ( –a – b, a + b) 8

c) ( a – b, a + b)

d) ( a – b, b – a ) 8

a) Sí, pues no tienen la misma dirección, ya que 3a tiene la dirección de a y –2 b 8 8 8 tiene la dirección de b (que, por ser B (a, b) base, no es la misma). 8

b) No, pues –a – b = –1 (a + b), luego los dos vectores tienen la misma dirección (y sentidos opuestos). c) Sí, pues tienen distinta dirección. 8

a+b

a–b

d) No, pues tienen la misma dirección al ser a – b = –1 ( b – a).

Unidad 7. Vectores

UNIDAD

52 Sean a y b dos vectores no nulos. Indica qué ángulo forman en los siguientes casos: 8

a) a · b = |a| |b| b) a · b = 0 8

c) a · b = –|a| |b| 8

d) a · b = 0,5 |a| |b| ì 8

ì 8

a) cos ( a, b ) = 1 8 ( a, b ) = 0° ì 8

b) a 2 b 8 ( a, b ) = 90° ì 8

ì 8

c) cos ( a, b ) = –1 8 ( a, b ) = 180° ì 8

ì 8

d) cos ( a, b ) = 0,5 8 ( a, b ) = 60°

PARA PROFUNDIZAR 8

53 Dados los vectores a(2, 6) y b(5, 1), calcula: 8

a) Las coordenadas de un vector unitario de la misma dirección que b. 8

b) Un vector de la misma dirección que b y cuyo módulo sea igual a la pro8 8 8 8 yección de a sobre b. (Vector proyección de a sobre b). 8

a) Habrá dos soluciones (v y –v) 8

• Si v es vector unitario 8 |v| = 1 8

• Si v es de la misma dirección que b 8 v = k b = (k 5, k ) 1 √ 26 =± √ 25k 2 + k 2 = 1 8 k = ± 26 √ 26 Luego las soluciones son: 8

(

5 √ 26 √ 26 , 26 26 8

)

y –v =

(

–5 √ 26 √ 26 ,– 26 26

)

a·b 10 + 6 16 16 √ 26 8 √ 26 b) proy. de a sobre b = 8 = = = = 26 13 |b| √ 26 √ 26 8

8 8 √ 26 Luego, |v| = 13 8

y v = k b = (5k, k ) 8

Así: v

Unidad 7. Vectores

° § § ¢ § § £

8 √ 26k 2 =

8 √ 26 8 8 k=± 13 13

–8 , ( 4013 , 138 ), –v ( –40 13 13 ) 8

54 Sean a y b los vectores que definen los lados de un rombo, partiendo de uno de sus vértices (cada vector determina un par de lados paralelos): 8

a) Expresa las diagonales del rombo en función de a y b. b) Demuestra vectorialmente que las diagonales del rombo son perpendiculares. B

8 8 a) AC = 8 a+ b

8 8 8 8 8 BD = b – a = – a + b A

8 8 b) Hay que probar que AC · BD = 0. Veámoslo:

C 8

8 8 8 8 8 8 8 2 8 8 8 8 8 2 AC · BD = ( a + b) · ( b – a) = b · b – a · a = |b| – | a| 8

Como |b| = | a| por ser la medida de los lados, se cumple que: 8 8 AC · BD = 0 8

55 Busca algunos ejemplos con los que se vea que a · b = a · c no implica que 8 8 b = c. 8 c

Considera los vectores a, b y c del dibujo de la derecha: 8

a · b = | a| · proy. de b sobre a 8

a · c = | a| · proy. de c sobre a

Como ambas proyecciones coinciden: a · b = a · c 8

Y, sin embargo: b ? c 8

56 Prueba, que si a 2 b y a 2 c, entonces: a 2 (m b + n c ), m, n é Á. 8

Hay que probar que a · (m b + n c ) = 0. Veamos: 8

(*)

a · (m b + n c ) = m ( a · b) + n ( a · c)

(*)

Propiedades 6 y 7 del producto escalar. 8

Como: a 2 b 8 a · b = 0 a2c 8 a· c=0 8

° § § § ¢ § § § £

8 a · (m b + n c ) = m · 0 + n · 0

57 Prueba que si a 2 b y a 2 ( b + c ) entonces se verifica que a 2 c . 8

Si a 2 b 8 a · b = 0 ° 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 ¢ 8 a ·c = 0 8 a2c Si a 2 ( b + c ) 8 a · ( b + c ) = a · b + a · c = 0 £

Unidad 7. Vectores

UNIDAD

Página 185 AUTOEVALUACIÓN 8

1. Se consideran los vectores u(–2, 6) y v(1, –2). 8

Calcula u + 2 v y

18 8 u – 3v gráficamente y utilizando coordenadas. 2

u + 2 v = (–2, 6) + 2(1, –2) =

= (–2, 6) + (2, –4) = (0, 2)

u + 2v

18 1 8 u – 3v = (–2, 6) – 3(1, –2) = 2 2

–3v 8

= (–1, 3) – (3, –6) = (–4, 9)

(1/2)u – 3v

(1/2)u

2. Sean u y v dos vectores unitarios que forman un ángulo de 60°. Calcula: 8

a) u · v

a) u · v = |u||v| cos 60° = 1 · 1 · 8

b) (3u ) · (–2 v )

c) proy u8 (u + v )

1 1 = 2 2

b) 3 u · (–2 v ) = –6( u · v ) = –3 8 8

c) proy 8u ( u + v ) =

u · ( u + v) u· u+u· v 1 3 8 8 8 = = |u|2 + u · v = 1 + = 8 2 2 |u| 1 8

3. Expresa el vector a(–1, –9) como combinación lineal de la base B = { (–2, 3), (–1, 5)}. (–1, – 9) = k (–2, 3) + s (–1, 5) = (–2k – s, 3k + 5s ) –1 = –2k – s ° s = 1 – 2k ¢ –9 = 3k + 5s £ –9 = 3k + 5(1 – 2k ) 8 –9 = –7k + 5 8 k = 2 s = 1 – 4 = –3 Por tanto: (–1, –9) = 2(–2, 3) – 3(–1, 5) 8

a = 2u – 3 v

Unidad 7. Vectores

4. Consideramos los vectores u (0, 2) y v (1, √3 ). Calcula: a) Su producto escalar. b) El módulo de ambos vectores. c) El ángulo que forman. 8

a) u · v = (0, 2) · (1, √3 ) = 0 · 1 + 2 · √3 = 2√3 8

b) | u | = √02 + 22 = 2 8

|v | =

—

√12 + √3 2

u·v 2 √3 √3 = = 8 8 2 |u| ·| v| 2 · 2

8 8

c) cos ( u, v ) =

( )

√3

8 8

( u, v ) = arc cos

= 30°

5. Sea u(–3, k), calcula k de forma que: 8

a) u sea ortogonal a v(4, – 6). 8

b) El módulo de u sea igual a 5. a) El producto escalar de dos vectores ortogonales es igual a 0. 8

u2v ï u·v =0

u · v = (–3, k ) · (4, –6) = –12 – 6k = 0 8 k = –2 8

b) | u | = √9 + k 2 = 5 8 9 + k 2 = 25 8 k = ±4 8

6. Determina las coordenadas de un vector a (x, y) que forme con el vector v (–1, 0) un ángulo de 60° y cuyo módulo sea 2. 8

ì 8 8

cos ( a, v ) = cos 60° =

a·v 1 –x = 8 8 = 8 x = –1 2 2·1 |a| ·| v|

| a | = √x 2 + y 2 = √1 + y 2 = 2 8 1 + y 2 = 4 8 y 2 = 3 8 y = ± √3 —

° a (–1, √ 3 ) — Hay dos soluciones para el vector a : ¢ 8 £ a (–1, –√ 3 ) 8

7. Obtén un vector u(x, y) ortogonal a v(8, 6) y cuyo módulo sea la mitad del 8 de v. 8

u2v ï u·v =0 8

| u | = √x 2 + y 2

| v | = √64 + 36 = 10

Unidad 7. Vectores

UNIDAD

(x, y) · (8, 6) = 8x + 6y = 0 1 8 | v | 8 √x 2 + y 2 = 5 8 x 2 + y 2 = 25 2

|u | =

Resolvemos el sistema: 3 –— 8x + 6y = 0 ° x = 4 y ¢ 25 x 2 + y 2 = 25 £ 9 2 — y + y 2 = 25 8 — y 2 = 25 8 y 2 = 16 8 y = ±4 16 16 y = 4 8 x = –3 y = –4 8 x = 3 8

Hay dos soluciones para u : u (–3, 4); u (3, –4) 8

8. Calcula la proyección de v sobre u, siendo u(2, 0) y v(–3, –1). 8

u·v –6 + 0 = = –3 8 2 |u|

proy 8u v =

9. Sean a y b dos vectores unitarios que forman un ángulo de 120°. 8

Calcula |a + b| y |a – b|. 8

| a + b |2 = ( a + b ) · ( a + b ) = a · a + 2 a · b + b · b = 8

( )

8 8

= | a |2 + 2| a || b | cos ( a, b ) + | b |2 = 1 + 2 · –

1 +1= 2

= 1 – 1 + 1 = 1 8 | a + b| = 1 8

| a – b |2 = ( a – b ) · ( a – b ) = a · a – 2 a · b + b · b = 8

ì 8 8

( )

= | a |2 – 2| a || b | cos ( a, b ) + | b |2 = 1 – 2 · – 8

1 +1= 2

= 1 + 1 + 1 = 3 8 | a – b | = √3

Unidad 7. Vectores