Soluciones vectores espacio by José Antonio Tarifa Garzón

VECTORES EN EL ESPACIO

Página 133 REFLEXIONA Y RESUELVE Relaciones trigonométricas en el triángulo ■

Halla el área de este paralelogramo en función del ángulo a:

5 cm

Área = 8 · 5 sen a = 40 sen a cm2

a 8 cm

■

Halla el área de este triángulo en función del ángulo b: Área triángulo = a b sen b 2

a b b

Diagonal de un ortoedro ■

Halla la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones son c = 3 cm, b = 4 cm y a = 12 cm.

c c

b b a

Diagonal = √3 2 + 4 2 + 12 2 = √169 = 13 cm ■

Escribe la expresión general de la diagonal de un ortoedro de aristas a, b y c. En general: Diagonal = √a 2 + b 2 + c 2

Unidad 5. Vectores en el espacio

Volumen de un paralelepípedo ■

Halla el volumen de este paralelepípedo en función de a y de b: Área base = 40 sen a ° ¢ Altura = 10 cos b £

10 cm

Volumen = 400 sen a cos b cm3 b a

5 cm 8 cm

■

¿Cuál será el volumen de un paralelepípedo de aristas a, b, c, tal que las dos aristas de la base formen entre sí un ángulo a, y las aristas laterales formen un ángulo b con la perpendicular? c

Volumen = a b c sen a cos b b a

b a

Página 135 8

1. La propiedad a · (b · v ) = (a · b) · v relaciona el producto de números por vectores con el producto entre números. a) De los cuatro productos que aparecen, ¿cuáles son del primer tipo y cuáles del segundo? 8

b) Interpreta dicha propiedad para a = 3, b = –2 y v un vector cualquiera representado sobre el papel. a) Producto de números por vectores: 8

v)8 –2 ·(

–6

b) a · (b · v ) = 3 · (–2v ) ° 8 8 8 8 ¢ 3 · (–2v ) = –6v (a · b) · v = –6v £

Producto entre números: a · b

–2

b · v ; (a · b) · v ; a · (b · v )

Unidad 5. Vectores en el espacio

UNIDAD 8

2. La propiedad distributiva (a + b) · v = a · v + b · v relaciona la suma de números con la suma de vectores. a) De las dos sumas que aparecen, ¿cuál es de cada tipo? 8

b) Interpreta dicha propiedad para a = 3, b = 5 y v un vector cualquiera representado sobre el papel. a) Suma de números: a + b 8

3v 8

b) (a + b) · v = 8v ° 8 8 8 8 8 8 8 ¢ 8v = 3v + 5v av + bv = 3v + 5v £

5v 8

8v 8

Suma de vectores: av + bv

Página 137 8

1. Si u(–3, 5, 1), v(7, 4, –2), halla las coordenadas: 8

a) 2 u

b) 0 v

c) – u

d) 2 u + v

e) u – v

f ) 5u – 3v

a) 2u = 2 · (–3, 5, 1) = (–6, 10, 2) 8

b) 0 · v = (0, 0, 0) 8

c) –u = –(–3, 5, 1) = (3, –5, –1) 8

d) 2u + v = 2(–3, 5, 1) + (7, 4, –2) = (1, 14, 0) 8

e) u – v = (–3, 5, 1) – (7, 4, –2) = (–10, 1, 3) 8

f) 5u – 3v = 5(–3, 5, 1) –3(7, 4, –2) = (–36, 13, 11) 8

2. Sean los vectores x(1, –5, 2), y(3, 4, –1), z(6, 3, –5), w(24, –26, – 6). Halla a, b, c para que se cumpla: 8

ax + by + cz = w

a (1, –5, 2) + b (3, 4, –1) + c (6, 3, –5) = (24, –26, –6) (a + 3b + 6c, –5a + 4b + 3c, 2a – b – 5c) = (24, –26, –6) a + 3b + 6c = 24 –5a + 4b + 3c = –26 2a – b – 5c = –6

° § ¢ § £

Unidad 5. Vectores en el espacio

1 3 6 –5 4 3 = –92 2 –1 –5

| a=

| c=

24 3 6 –26 4 3 –6 –1 –5 –92

1 3 24 –5 4 –26 2 –1 –6 –92

–552 = 6; b = –92

–368 =4 –92

1 24 6 –5 –26 3 2 –6 –5 –92

184 = –2; –92

Solución: a = 6, b = –2, c = 4, es decir, 6 x – 2 y + 4 z = w.

Página 139 1. Respecto de una base ortonormal, las coordenadas de tres vectores son 8 8 8 u(3, –1, 5), v(4, 7, 11), w(–2, k, 3). 8

a) Calcula u · v. 8

b) Halla k para que v y w sean perpendiculares. 8

a) u · v = (3, –1, 5) · (4, 7, 11) = 3 · 4 + (–1) · 7 + 5 · 11 = 12 – 7 + 55 = 60 8

b) Como v ? 0 y w ? 0, son perpendiculares si v · w = 0 8 8

8 v · w = 4 · (–2) + 7 · k + 11 · 3 = –8 + 7k + 33 = 7k + 25 = 0 8 k = –

25 7

Página 141 8

1. Dados los vectores u(5, –1, 2), v(–1, 2, –2), calcula: 8

a) u · v

8 8

b) | u | y | v | 8

c) ( u, v ) 8

d) Proyección de u sobre v y proyección de v sobre u. (Segmento y vector). e) ¿Cuánto tiene que valer x para que el vector (7, 2, x) sea perpendicular a 8 u? 8

a) u · v = –5 – 2 – 4 = –11 8

b) | u | = √25 + 1 + 4 = √30 ≈ 5,48 8

| v | = √1 + 4 + 4 = √9 = 3 ì 8 8

c) cos ( u, v ) =

ì u·v 8 8 –11 ≈ –0,669 8 ( u, v ) = 132° 1' 26'' 8 = |u||v| √ 30 · 3 8

Unidad 5. Vectores en el espacio

UNIDAD 8

u·v –11 d) Segmento proyección de u sobre v = = = –3,67 8 3 |v| 8

Significa que el vector proyección de u en la dirección de v tiene módulo 3,67 8 y sentido contrario al de v. 8 8

u · v 8 –11 v= (–1, 2, –2) 8 9 |v|2

Vector proyección de u sobre v =

8 8

Segmento proyección de v sobre u = 8 8

u·v –11 = ≈ –2,008 8 |u| √ 30

v · u 8 –11 u= (5, –1, 2) 8 30 |u|2

Vector proyección de v sobre u =

e) (5, –1, 2) · (7, 2, x) = 35 – 2 + 2x = 33 + 2x = 0 8 x =

–33 2

2. Obtén tres vectores perpendiculares a v que no sean paralelos entre sí: 8

v(3, 2, 7)

Un vector, u (x, y, z), es perpendicular a v (3, 2, 7) si: u · v = 3x + 2y + 7z = 0 Por ejemplo: (0, –7, 2); (–7, 0, 3); (–2, 3, 0) 3. Halla un vector que sea perpendicular a los dos vectores dados: 8

u (5, –1, 2)

v (–1, 2, –2) 8

Queremos hallar las coordenadas de un vector w(x, y, z) que sea perpendicular a u 8 y a v: 8

w 2 u ò (5, –1, 2) · (x, y, z) = 5x – y + 2z = 0 ° ¢ 8 8 w 2 v ò (–1, 2, –2) · (x, y, z) = –x + 2y – 2z = 0 £ Este sistema tiene infinitas soluciones proporcionales. Una de ellas es x = –2, y = 8, z = 9. Es decir, el vector buscado puede ser (–2, 8, 9) o cualquier otro paralelo a él.

Página 144 8

1. Halla el producto vectorial de u (3, 7, – 6) y v (4, 1, –2). 8

u Ò v = (3, 7, –6) Ò (4, 1, –2) = (–8, –18, –25) 8

2. Halla un vector perpendicular a u (3, 7, – 6) y a v (4, 1, –2). 8

u Ò v = (3, 7, –6) Ò (4, 1, –2) = (–8, –18, –25) o cualquier vector proporcional a él.

Unidad 5. Vectores en el espacio

3. Halla el área del triángulo determinado por los vectores: 8

u (3, 7, – 6) y v (4, 1, –2) 8

Área del paralelogramo determinado por u y v: 8

| u Ò v | = |(3, 7, –6) Ò (4, 1, –2)| = |(–8, –18, –25)| = √8 2 + 18 2 + 25 2 = √1 013

√ 1 013 ≈ 15,91 u2

Área del triángulo =

Página 145 8

1. Halla el volumen del paralelepípedo definido por u (3, –5, 1), 8 w (0, 6, 1).

v (7, 4, 2) y

3 –5 1 8 8 8 [ u, v, w] = 7 4 2 = 53 8 Volumen = 53 u3 0 6 1 8

2. Halla el valor de x para que los vectores u (3, –5, 1), v (7, 4, 2) y z (1, 14, x) sean coplanarios (es decir, que el volumen del paralelepípedo determinado por ellos sea cero).

3 –5 1 7 4 2 = 47x = 0 8 x = 0 1 14 x

Unidad 5. Vectores en el espacio

UNIDAD

Página 149 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR

Dependencia lineal 8

1 Dados los vectores u (3, 3, 2), v (5, –2, 1), w (1, –1, 0): 8

a) Halla los vectores u – 2v + 3w, –2u + v – 4w. 8

b) Calcula a y b tales que u = a v + b w. 8

a) u – 2 v + 3 w = (3, 3, 2) – 2(5, –2, 1) + 3(1, –1, 0) = (–4, 4, 0) 8

–2 u + v – 4 w = –2(3, 3, 2) + (5, –2, 1) – 4(1, –1, 0) = (–5, –4, –3) b) (3, 3, 2) = a (5, –2, 1) + b (1, –1, 0) = (5a + b, –2a – b, a) 3 = 5a + b 3 = –2a – b 2= a

° b = –7 ° § § 8 8 8 ¢ b = –7 ¢ Solución: a = 2, b = –7, es decir: u = 2 v – 7 w. § § £ a= 2 £ 8

2 Comprueba que no es posible expresar el vector x (3, –1, 0) como combi8 8 nación lineal de u (1, 2, –1) y v (2, –3, 5). ¿Son linealmente independien8 8 8 tes x, u y v ? 8

x = a u + b v 8 (3, –1, 0) = a (1, 2, –1) + b (2, –3, 5)

3 = a + 2b ° 1 2 3 § –1 = 2a – 3b ¢ A' = 2 –3 –1 § –1 5 0 0 = –a + 5b £

(

)

Como | A' | = 28 ? 0, el sistema es incompatible. 8

Luego no es posible expresar x como combinación lineal de u y v. Como ran (A' ) = 3, los tres vectores son linealmente independientes. 8

3 Comprueba que cualquiera de los vectores a (1, 2, 3), b (2, 1, 3), c (1, 0, 1) puede expresarse como C.L. de los otros dos. 8

a = x b + y c 8 (1, 2, 3) = x (2, 1, 3) + y (1, 0, 1)

1 = 2x + y ° y = –3 ° 8 § § 8 8 2= x ¢ x = 2 ¢ Por tanto: a = 2 b – 3 c § § 3 = 3x + y £ y = –3 £ 8

De aquí, también obtenemos que: b =

Unidad 5. Vectores en el espacio

1 8 3 8 8 –1 8 2 8 a+ c; c = a+ b 2 2 3 3

s4 Determina m y n para que los siguientes conjuntos de vectores sean linealmente dependientes: 8

a) u (m, –3, 2), v (2, 3, m), w (4, 6, – 4) 8

b) u (3, 2, 5), v (2, 4, 7), w (1, –1, n)

m –3 2 a) 2 3 m = –6m2 – 24m – 24 = –6(m2 + 4m + 4) = –6(m + 2) 2 = 0 8 m = –2 4 6 –4 Si m = –2, los vectores son linealmente dependientes.

3 2 5 –5 b) 2 4 7 = 8n + 5 = 0 8 n = 8 1 –1 n Si n =

–5 , los vectores son linealmente dependientes. 8

s5 ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son una base?: A = {(1, 2, 1), (1, 0, 1), (2, 2, 2)} B = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0,1)} C = {(–3, 2, 1), (1, 2, –1), (1, 0, 1)} A = {(1, 2, 1), (1, 0, 1), (2, 2, 2)} Como (2, 2, 2) = (1, 2, 1) + (1, 0, 1), los vectores son linealmente dependientes. Por tanto, no son una base. B = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)} Al ser cuatro vectores en

Á3, son dependientes, luego no son una base.

C = {(–3, 2, 1), (1, 2, –1), (1, 0, 1)}

–3 2 1 1 2 –1 = –12 ? 0 8 Los vectores son linealmente independientes. 1 0 1

Un conjunto de tres vectores de Á3.

Á3 linealmente independientes es una base de

s6 ¿Para qué valores de a el conjunto de vectores S = {(1, 1, 1), (a, 1, 1), (1, a, 0)} es una base? Como son tres vectores de dientes:

1 a 1

1 1 a

Á3, formarán base cuando sean linealmente indepen-

1 1 = a 2 – a = a (a – 1) = 0 0

a=0 a=1

Por tanto, S es una base cuando a ? 0 y a ? 1.

Unidad 5. Vectores en el espacio

UNIDAD

Producto escalar 8

7 En una base ortonormal tenemos a (1, 2, 2) y b (–4, 5, –3). Calcula: 8

a) a · b

b) | a | y | b | ì 8 8

c) ( a, b ) 8

d) El vector proyección de b sobre a . 8

a) a · b = (1, 2, 2) · (–4, 5, –3) = –4 + 10 – 6 = 0 8

b) | a | = √1 2 + 2 2 + 2 2 = √9 = 3 8

| b | = √(–4) 2 + 5 2 + (–3) 2 = √50 = 5 √2 ≈ 7,07 8

8 8

c) Como a · b = 0 8 ( a, b ) = 90° 8

d) Vector proyeccción de b sobre a = 8

8 Dados los vectores a = i + m j + k y 8 8 los vectores a y b sean:

8 a· b 8 8 8 2 a = 0 · a = 0 (vector cero) |a| 8

b = –2 i + 4 j + m k halla m para que

a) Paralelos. b) Ortogonales. 8

a(1, m, 1);

b(–2, 4, m)

–2 4 m = = 1 m 1

8 m = –2

8 8

b) a · b = (1, m, 1) · (–2, 4, m) = –2 + 4m + m = 5m – 2 = 0 8 m = 8

2 5

9 Halla el vector proyección del vector u (3, 1, 2) sobre el vector v (1, –1, 2). 8

Vector proyección de u sobre v : (3, 1, 2) · (1, –1, 2) 3–1+4 6 (1, –1, 2) = 2 (1, –1, 2) = (1, –1, 2) 2 + 22 (1, –1, 2) = 2 1 + 1 | (1, –1, 2)| 6 8

La proyección es el propio vector v. Razonadamente: Longitud de la proyección: 8

(3, 1, 2) · (1, –1, 2)

8 8

| u | cos ( u, v ) = √32 + 12 + 22 =

3–1+4 —— √ 12 + 12 + 22

Unidad 5. Vectores en el espacio

—— √ 32 + 12 + 22

√6

——

√ 12 + 12 + 22

= √6

El vector proyección se obtiene multiplicando su longitud por un vector unitario 8 v 8 que tenga la misma dirección y sentido que v: 8 | v| 8

Vector proyección de u sobre v : (1, –1, 2)

√6 ·

—— √ 12 + 12 + 22

√6 (1, –1, 2) = (1, –1, 2) √6

10 ¿Son a (1, 2, 3) y b (2, –2, 1) ortogonales? Si no lo son, halla el ángulo que forman. 8 8

a · b = (1, 2, 3) · (2, –2, 1) = 2 – 4 + 3 = 1 ≠ 0 8 no son ortogonales.

Si llamamos a al ángulo que forman, entonces: 8

a· b 1 cos a = 8 8 = — — ≈ 0,089 8 a = 84° 53' 20'' |a||b| √ 14 √ 9 8

11 Calcula m para que el vector a (1, 3, m) sea ortogonal al vector b (1, –2, 3). 8

a2 b

8 8

a · b = (1, 3, m) · (1, –2, 3) = 1 – 6 + 3m = 3m – 5 = 0

5 3

12 Comprueba que el vector u (1/2, 1/2, 0) no es unitario y da las coordena8 das de un vector unitario de la misma dirección que u. 8

|u|=

√( ) ( ) 1 — 2

1 + — 2

+ 02 =

√

1 8 1 = ? 1 8 u no es unitario. 2 √2 8

Un vector unitario de la misma dirección que u sería: 8

(

)

(

)

u √ 2 , √ 2 , 0 . También podría ser – √ 2 , – √ 2 , 0 . = 2 2 2 2 |u| 8

Producto vectorial 8

13 Dados u = 2 i – j + k y v = – i + 3 j + 2 k, comprueba que los vectores u Ò v 8 8 y v Ò u son opuestos, y halla su módulo. 8

u (2, –1, 1); v(–1, 3, 2)

u Ò v = (–5, –5, 5); v Ò u = (5, 5, –5) = – u Ò v 8

| u Ò v | = √(–5) 2 + (–5) 2 + 5 2 = √3 · 25 = 5 √3 ≈ 8,66 8

14 Halla el área del paralelogramo que forman los vectores a (7, –1, 2) y 8 b (1, 4, –2). 8

Área = | a Ò b | = |(–6, 16, 29)| = √(–6) 2 + 16 2 + 29 2 = √1 133 ≈ 33,66 u 2

Unidad 5. Vectores en el espacio

UNIDAD 8

15 Halla un vector perpendicular a u (2, 3, 1) y a v (–1, 3, 0) y que sea unitario. 8

u Ò v = (–3, –1, 9)

| u Ò v | = √(–3) 2 + (–1) 2 + 92 = √91

(√

–3 –1 9 , , 91 √ 91 √ 91

Luego el vector que buscamos es: 8

)

16 Halla un vector ortogonal a u (1, –1, 0) y v (2, 0, 1) cuyo módulo sea √24 . 8

1 1 , 2 2

–1 0

Un vector ortogonal a u y a v es u Ò v . 8

uÒ v =

–1 0

0 0 , 1 1

)

= (–1, –1, 2) 8

Un vector unitario perpendicular a u y a v es: 1 | (–1, –1, 2)|

(–1, –1, 2) =

√6

(–1, –1, 2)

Para que el módulo sea √24 :

√24 (–1, –1, 2) = 2(–1, –1, 2) = (–2, –2, 4) √6 8

El vector (–2, –2, 4) es perpendicular a u y a v, y su módulo es √24 . También cumple estas condiciones su opuesto: (2, 2, –4).

Producto mixto 17 Halla el producto mixto de los tres vectores que aparecen en cada caso: 8

a) u (1, –3, 2), v (1, 0, –1), w (2, 3, 0) 8

b) u (3, 2, 1), v (1, –2, 0), w (–4, 1, 1) 8

c) u (1, 2, –1), v (3, 0, 2), w (–1, 4, –4) Calcula, en cada apartado, el volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores.

1 –3 2 8 8 8 a) [ u, v, w] = 1 0 –1 = 15 2 3 0 El paralelepípedo tiene un volumen de 15 u3. 8 8 8

b) [ u, v, w] =

3 2 1 –2 –4 1

1 0 = –15 1

El paralelepípedo tiene un volumen de 15 u3. Unidad 5. Vectores en el espacio

8 8 8

c) [ u, v, w] =

1 2 –1 3 0 2 =0 –1 4 –4

Los tres vectores no forman un paralelepípedo (los vectores son coplanarios). 8

s18 Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por u (1, 2, 3), 8 8 8 8 v (–2, 1, 0) y w = u Ò v. 8 8 Justifica por qué el resultado es | u Ò v |2. 8

• w = u Ò v = (1, 2, 3) Ò (–2, 1, 0) = (–3, –6, 5)

1 2 –2 1 [ u, v, w] = –3 –6 8 8 8

3 0 = 70 8 Volumen = 70 u3 5

• | u Ò v | = √9 + 36 + 25 = √70 8 8 8

[ u, v, w] = ( u Ò v ) · w = ( u Ò v ) · ( u Ò v ) = | u Ò v |2 19 Calcula el volumen del tetraedro determinado por los vectores siguientes: 8

a (3, –1, 1), b (1, 7, 2), c (2, 1, –4)

3 –1 1 1 8 8 8 [ a, b, c ] = 1 7 2 = –111 8 Volumen = · 111 = 18,5u3 6 2 1 –4 8

s20 Calcula el valor de m para que los vectores u (2, –3, 1), v (1, m, 3) y 8 w (– 4, 5, –1) sean coplanarios. 8 8 8

[u, v, w] =

2 –3 1 1 m 3 = 2m + 8 = 0 8 m = –4 –4 5 –1

Página 150 PARA RESOLVER s21 Prueba que los vectores (1, a, b), (0, 1, c), (0, 0, 1) son linealmente independientes cualesquiera que sean a, b y c.

1 0 0

a 1 0

b c = 1 ? 0 para cualquier valor de a, b, c. 1

Por tanto, son linealmente independientes.

Unidad 5. Vectores en el espacio

UNIDAD 8

22 Dados los vectores a (1, 2, –1) y b (1, 3, 0), comprueba que el vector a Ò b 8 8 8 8 es perpendicular a a + b y a a – b. 8

a (1, 2, –1)

b (1, 3, 0)

a + b = (2, 5, –1) a – b = (0, –1, –1) a Ò b = (3, –1, 1) 8

( a + b ) · ( a Ò b ) = (2, 5, –1) · (3, –1, 1) = 0. Por tanto, a + b 2 a Ò b 8

( a – b ) · ( a Ò b ) = (0, –1, –1) · (3, –1, 1) = 0. Por tanto, a – b 2 a Ò b

Hasta aquí, la comprobación rutinaria, numérica. Más interesante es la siguiente reflexión: 8

a–b

a+b

Los vectores a + b y a – b son las diagonales del paralelogramo determinado 8 8 por a y b . Por tanto, están en el plano 8 8 8 8 definido por a y b . Y el vector a Ò b es perpendicular a dicho plano. 8

Así, a + b y a – b son perpendiculares a a Ò b . 8

23 a) Comprueba que el paralelogramo determinado por los vectores u (3, –2, 1) 8 y v (4, 3, – 6) es un rectángulo. b) Halla su área multiplicando la base por la altura y comprueba que obtie8 8 nes el mismo resultado si hallas | u Ò v | . 8 8

a) u · v = (3, –2, 1) · (4, 3, –6) = 12 – 6 – 6 = 0. Luego u y v son perpendiculares, y el paralelogramo es un rectángulo. —

b) Base = | u | = √ 14 ° — ¢ Área = √854 ≈ 29,22 u2 8 Altura = | v | = √ 61 £ Por otra parte: 8

| u Ò v | = |(9, 22, 17)| = √854 ≈ 29,22 u2 8

24 Dado el vector v (–2, 2, – 4), halla las coordenadas de los siguientes vectores: 8

a) Unitario y perpendicular a v.

b) Paralelos a v y de módulo 6.

a) u (x, y, z) ha de cumplir –2x + 2y – 4z = 0 y ser unitario. Por ejemplo,

(

)

√2 , √2 , 0 . 2

b) (–√6 , √6 , –2√6 ) y (√6 , –√6 , 2√6 ) Unidad 5. Vectores en el espacio

25 Halla un vector ortogonal a u (2, 3, –1) y a v (1, 4, 2) cuya tercera componente sea 1. 8

u Ò v = (10, –5, 5) // (2, –1, 1)

El vector que buscamos es (2, –1, 1). 8

s26 Dados los vectores u1 (2, 0, 0), u2 (0, 1, –3), u3 = a u1 + b u2, ¿qué relación 8 8 deben cumplir a y b para que u3 sea ortogonal al vector v (1, 1, 1)? 8 u3

= a (2, 0, 0) + b (0, 1, –3) = (2a, b, –3b) 8

Para que u3 sea perpendicular a v ha de ser: 8 u3

· v = (2a, b, –3b) · (1, 1, 1) = 2a + b – 3b = 2a – 2b = 0, es decir, a = b. 8

s27 Calcula las coordenadas de un vector u que sea ortogonal a v (1, 2, 3) y 8 8 8 8 w (1, –1, 1) y tal que [ u, v, w] = 19. 8

v Ò w = (5, 2, –3) 8

Un vector ortogonal a v y a w es de la forma (5k, 2k, –3k). 8 8 8

[ u, v, w] =

| |

5k 2k –3k 5 2 –3 1 2 3 = k 1 2 3 = k · 38 = 19 8 k = 1 2 1 –1 1 1 –1 1

Por tanto: u

(

5 –3 , 1, 2 2

)

s28 a) Obtén l para que los siguientes vectores sean linealmente dependientes: 8 u1

= (3, 2, 5), u2 = (2, 4, 7), u3 = (1, –3, l) 8

b) Para l = 3, expresa el vector v = (7, 11, 14) como combinación lineal 8 8 8 de u1, u2 y u3.

3 2 a) 2 4 1 –3

5 7 = 8l + 27 = 0 8 l = –27 8 l 8

b) Para l = 3, tenemos que: u1(3, 2, 5); 8

8 u2 (2,

Expresamos v como combinación lineal de

4, 7);

8 u3(1,

–3, 3)

8 8 8 u1, u2 , u3:

(7, 11, 14) = a (3, 2, 5) + b (2, 4, 7) + c (1, –3, 3) 3a + 2b + c = 7 ° § 2a + 4b – 3c = 11 ¢ § 5a + 7b + 3c = 14 £

3 2 5

2 4 7

1 –3 = 51 3

Unidad 5. Vectores en el espacio

UNIDAD

| a=

| c=

7 11 14

2 1 4 –3 7 3 51

3 2 5

2 7 4 11 7 14 51

102 = 2; b = 51

–51 = –1 51

3 2 5

7 1 11 –3 14 3 51

| =

51 = 1; 51

Por tanto: v = 2 u1 + u2 – u3 s29 a) Determina los valores de a para los que resultan linealmente dependientes los vectores (–2, a, a), (a, –2, a) y (a, a, –2). b) Obtén en esos casos una relación de dependencia entre los vectores.

–2 a a a) a –2 a = 2a3 + 6a 2 – 8 = 2(a – 1) (a + 2) 2 = 0 a a –2

a= 1 a = –2

Para a = 1 y para a = –2, los tres vectores dados son linealmente dependientes. b) Para a = 1, queda: (–2, 1, 1), (1, –2, 1), (1, 1, –2), y tenemos que: –1 · (–2, 1, 1) – 1 · (1, –2, 1) = (1, 1, –2) Para a = –2, queda: (–2, –2, –2), (–2, –2, –2), (–2, –2, –2), y tenemos que: –1 · (–2, –2, –2) + 0 · (–2, –2, –2) = (–2, –2, –2) 8

s30 Dados los vectores u (1, –1, 2) y v (3, 1, –1), halla el conjunto de vectores 8 8 8 que, siendo perpendiculares a u, sean coplanarios con u y v. 8

Sea w(x, y, z) un vector tal que: 8

1.°) Es perpendicular a u, es decir: (x, y, z) · (1, –1, 2) = x – y + 2z = 0 8

2.°) Es coplanario con u y v, es decir:

1 –1 2 8 8 8 [ u, v, w] = 3 1 –1 = –x + 7y + 4z = 0 x y z Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones: x – y + 2z = 0 ° ¢ –x + 7y + 4z = 0 £

x + 2z = y ° ¢ –x + 4z = –7y £

Sumando:

6z = –6y 8 z = –y x = y – 2z = y + 2y = 3y

Soluciones: (3l, l, –l) l ? 0

Unidad 5. Vectores en el espacio

s31 Dados los vectores u (a, 1 + a, 2a), v (a, 1, a) y w (1, a, 1), se pide: 8 8

a) Halla los valores de a para los que los vectores u, v y w son linealmente dependientes. 8

8 8

b) Estudia si el vector c (3, 3, 0) depende linealmente de u, v y w para el caso a = 2. 8

c) Justifica razonadamente si para a = 0 se cumple la igualdad u · (v Ò w) = 0.

1+a 1 a

a 8 8 8 a) [ u, v, w] = a 1

2a a = a 3 – a = a(a 2 – 1) = 0 1 8 8

a= 0 a= 1 a = –1

b) Para a = 2, los vectores u, v y w son linealmente independientes. Como son tres vectores de Á3 linealmente independientes, forman una base de Á3. 8

Así, cualquier otro vector, y, en particular c(3, 3, 0), depende linealmente de ellos. Obtenemos la combinación lineal: 8

Para a = 2, tenemos que: u(2, 3, 4), v(2, 1, 2), w(1, 2, 1) (3, 3, 0) = x (2, 3, 4) + y (2, 1, 2) + z (1, 2, 1) 2x + 2y + z = 3 ° § 3x + y + 2z = 3 ¢ § 4x + 2y + z = 0 £

| x=

| y=

| z=

3 3 0

2 1 2 6

1 2 1

2 3 4

3 3 0 6

1 2 1

2 3 4

2 1 2 6

3 3 0

2 2 1 3 1 2 =6 4 2 1

–9 –3 = ; 6 2

9 3 = ; 6 2

18 =3 6

Por tanto: 8

–3 8 3 8 8 u + v + 3w 2 2

8 8 8

c) u · ( v Ò w) = [ u, v, w] = 0 para a = 0. Está probado en el apartado a).

Unidad 5. Vectores en el espacio

UNIDAD

s32 a) Halla el número de vectores linealmente independientes que hay en el conjunto S = {(1, 1, 1), (0, 2, 1), (2, 0, –3), (–1, 1, 2)}. b) Un vector no nulo tiene sus tres componentes iguales. ¿Puede escribirse como combinación lineal de los dos primeros vectores de S ? c) Determina un vector que, teniendo sus dos primeras componentes iguales a 1, se pueda poner como combinación lineal de los vectores segundo y tercero de S. a) Tenemos que hallar el rango de la matriz:

( )

1 0 M= 2 –1

1 1 2 1 0 –3 1 2

Como

1 1 1 0 2 1 = –8 ? 0, ran (M) = 3. 2 0 –3

Por tanto, hay tres vectores linealmente independientes en S. 8

b) Sí. Si tiene sus tres componentes iguales y es no nulo, es de la forma: u = (k, k, k) con k ? 0. Entonces, podemos obtenerlo a partir de los dos primeros vectores de S como sigue: 8

u = k · (1, 1, 1) + 0 · (0, 2, 1) 8

c) Sea v(1, 1, x) el vector que buscamos. Para que se pueda poner como combinación lineal de los vectores segundo y tercero de S, tenemos que: (1, 1, x) = a (0, 2, 1) + b (2, 0, –3) 1 2b = 1 ° Debe tener solución: b = —, a= § 2 2a = 1 ¢ 1 3 § —–—=x a – 3b = x £ 2 2

1 — 2 –2 8 x = — = –1 8 x = –1 2

Por tanto, el vector es v (1, 1, –1). 8

s33 Halla un vector u de la misma dirección que v (1, –2, 3) y tal que deter8 mine con el vector w (–2, 4, –1) un paralelogramo de área 25 u2. 8

Si u es de la misma dirección que v (1, –2, 3), será de la forma u(x, –2x, 3x), con x ? 0. 8

Para que forme con w (–2, 4, –1) un paralelogramo de área 25 u 2, ha de ser: 8

| u Ò w | = |(–10x, –5x, 0)| = √100x 2 + 25x 2 = | x | √125 = 25; es decir: 125x 2 = 625 8 x 2 = 5 8 x = ± √5 Por tanto, hay dos soluciones: ( √5 , –2 √5 , 3 √5 ) y (– √5 , 2 √5 , –3 √5 ) Unidad 5. Vectores en el espacio

s34 Halla un vector v coplanario con a (2, –1, 1) y b (1, 0, 3) y ortogonal a c (2, 3, 0). 8

Sea v (x, y, z) tal que: 8

1.°) es coplanario con a y b, es decir:

x y 2 –1 1 0

z 1 = –3x – 5y + z = 0 3 8

2.°) es ortogonal a c, es decir: (x, y, z) · (2, 3, 0) = 2x + 3y = 0 Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones: ° 9 1 § z = 5y + 3x = 5y – — y = –– y 2 2 –3x – 5y + z = 0 ° –3x + z = 5y § ¢ 3 2x + 3y = 0 £ 2x = –3y ¢§ y § x = –— 2 £ Soluciones: (–3l , 2l , l ) (l ? 0) Todos los vectores de esta forma cumplen las condiciones. Por ejemplo, para l = 1, tenemos el vector (–3, 2, 1). 8

8 8

s35 Sean a y b tales que | a | = 4 y | b | = 2, con ( a, b ) = 60°. 8

Calcula | a + b | y | a – b |. 8

8 8

| a + b |2 = ( a + b) · ( a + b) = a · a + b · b + 2 a · b = 8

8 8

= | a | 2 + | b |2 + 2 · | a | · | b | · cos ( a, b ) = 8

= 16 + 4 + 2 · 4 · 2 · cos 60° = 16 + 4 + 8 = 28 8 | a + b | = √28 = 2 √7 Por otra parte: 8

8 8

| a – b |2 = ( a – b) · ( a – b) = a · a + b · b – 2 a · b = 8

8 8

= | a | 2 + | b |2 – 2 · | a | · | b | · cos ( a, b ) = 8

= 16 + 4 – 8 = 12 8 | a – b | = √12 = 2 √3 8

s36 De dos vectores u y v sabemos que son ortogonales y que | u | = 6 y | v | = 10. 8

Halla | u + v | y | u – v |. 8

Si u y v son ortogonales, entonces u · v = 0. Así: 8

| u + v | 2 = (u + v ) · (u + v ) = u · u + v · v + 2u · v = 8

= | u | 2 + | v | 2 + 0 = 36 + 100 = 136 8 | u + v | = √136 ≈ 11,66 8

8 8

| u – v | 2 = (u – v ) · (u – v ) = u · u + v · v – 2 u · v = 136 8 8

8 | u – v | = √136 ≈ 11,66

Unidad 5. Vectores en el espacio

UNIDAD 8

Observación: Si u 2 v , entonces forman los lados de un rectángulo con base y 8 8 8 8 8 8 altura | u | y | v |. En este caso, u + v y u – v son sus diagonales, que tienen el mismo módulo (por tratarse de un rectángulo). Además, para hallar la longitud de la diagonal, podemos aplicar en este caso el teorema de Pitágoras:

x 2 = 102 + 6 2 8 x 2 = 136 8 x = √136 ≈ 11,66

10 8

a y b sabiendo que | a | = 3, | b | = 5 y

s37 Calcula el ángulo que forman 8 8 | a + b | = 7. 8

Puesto que | a + b | 2 = ( a + b ) · ( a + b ), empecemos desarrollando esta expresión: 8

8 8

| a + b | 2 = (a + b ) · (a + b ) = a · a + a · b + b · a + b · b = 8

= | a | 2 + | b | 2 + 2( a · b ) 8

8 8

Sustituimos | a + b | , | a | y | b | por sus valores, y a · b por su expresión, 8 8

ì 8

a · b = | a | | b | cos ( a, b ): ì 8 8

72 = 32 + 52 + 2 · 3 · 5cos ( a, b ) ì 8

ì 1 8 8 8 ( a, b ) = 60° 2

cos ( a, b ) =

Veamos otra forma de resolverlo, basada en la resolución de triángulos aprendida en 1.° de Bachillerato: Aplicamos el teorema del coseno a este triángulo: 8

72 = 32 + 52 – 2 · 3 · 5cos a 8

8 cos a =

72 – 32 – 52 1 =– 8 a = 120° –2 · 3 · 5 2

a 8

Observamos que el ángulo buscado es el suplementario de a: 8

ì 8 8

( a, b ) = 180° – a = 180° – 120° = 60° a 8

Unidad 5. Vectores en el espacio

38 De los vectores u y v sabemos que cumplen u + v = a, 2u – 3v = b, siendo 8 8 8 8 a (2, –1, 0) y b (1, 3, –1). Halla el ángulo formado por u y v. 8

u + v = a ° 3u + 3v = 3a 8 8 8¢ 8 8 8 2u – 2 v = b £ 2u – 3v = b 8 8 8 5u = 3a + b 8

2u + 2v = 2a 8 8 8 –2 u + 3 v = – b 8 8 8 5v = 2a – b

El ángulo formado por u y v coincide con el ángulo formado por u' = 5 u y 8 v' = 5 v:

8 8

u' = (7, 0, –1);

v' = (3, –5, 1)

u' · v' = 20 8

| u' | = √50 ;

| v' | = √35 8

cos ( u', v') = ì

20 u' · v' — — = 0,4781 8 8 = |u'||v'| √ 50 √ 35

8 8

( u, v ) = ( u', v') = 61° 26' 21'' 8 8

39 Los vectores u, v y w cumplen las siguientes condiciones: 8

| u | = 5, | v | = 4, | w | = 7, u + v + w = 0 8 8

8 8

Calcula u · v + u · w + v · w. ☛ Desarrolla el siguiente producto escalar: 8

( u + v + w) · ( u + v + w)

Desarrollando el producto escalar indicado: 8

8 8

( u + v + w ) · ( u + v + w ) = | u | 2 + | v | 2 + | w | 2 + 2( u · v) + 2( u · w) + 2( v · w) 8

8 8

Por otra parte: ( u + v + w ) · ( u + v + w ) = 0 · 0 = 0 8 8

8 8

Así: 52 + 42 + 72 + 2( u · v + u · w + v · w) = 0 8 8

8 8

u· v+u·w +v·w= –

90 = –45 2

Página 151 CUESTIONES TEÓRICAS 8 8

8 8

40 Si u · v = u · w, ¿podemos asegurar que v = w ? 8

No. Por ejemplo, si u(3, –2, 0), v(5, 1, 0) y w(7, 4, 0), tenemos que: 8

u · v = 15 – 2 = 13 ° 8 8 8 8 ¢ u· v= u·w 8 8 u · w = 21 – 8 = 13 £ 8

Sin embargo, v ? w.

Unidad 5. Vectores en el espacio

UNIDAD 8

41 Prueba, utilizando el producto escalar, que si a 2 b y a 2 c entonces 8 8 8 a 2 (m b + n c ). 8

8 8

a2b 8

a·b=0

a2c 8

a·c=0

8 8

a 2 (m b + n c ),

Para demostrar que escalar es cero:

tenemos que probar que su producto

8 8

a · (m b + n c ) = m a · b + n a · c = m · 0 + n · 0 = 0 8

Por tanto, a 2 (m b + n c ). 8

42 Demuestra que si a y b son dos vectores no nulos que tienen el mismo 8 8 8 8 módulo, entonces a + b y a – b son ortogonales. 8

Supongamos que | a | = | b | ? 0, entonces: 8

8 8

( a + b) · ( a – b) = a · a + a · b – a · b – b · b = | a |2 – | b |2 = 0 (pues | a | = | b |) 8

Observación: Si recordamos que 8a + b y a – b son las diagonales del parale8 logramo determinado por a y b, hemos probado que las diagonales de un rombo son perpendiculares. 8

8 8

43 a) ¿Puede haber dos vectores u y v tales que u · v = 3, | u | = 1, | v | = 2? 8 8

b) Si dos vectores verifican | u · v | = | u | | v |, ¿qué puedes decir del ángulo que forman? 8 8

8 8

a) u · v = | u | | v | cos ( u, v ) = 1 · 2 · cos ( u, v ) = 2 cos ( u, v ) = –3 8 ì 8 8

8 cos ( u, v ) = –

3 > 1 Imposible. 2

Luego no existen dos vectores que cumplan estas condiciones. 8

b) Si | u | | v | = | u · v |

8 |u||v| =

8 8

+ | u | | v | cos ( u, v )

– | u | | v | cos ( u, v )

8 8 8 8 8 8 8 8 8 °|8 § u | | v | = | u | | v | cos ( u, v ) 8 cos ( u, v ) = 1 8 ( u, v ) = 0° ¢ 8 8 8 8 8 8 8 8 8 § | u | | v | = –| 8 u | | v | cos ( u, v ) 8 cos ( u, v ) = –1 8 ( u, v ) = 180° £ 8

Por tanto, u y v tienen la misma dirección. 8 8

44 Justifica por qué el producto mixto de los vectores a, b y a + b es igual a 8 8 0 cualesquiera que sean a y b. 8 8

Los vectores a, b y a + b son coplanarios; luego el volumen del paralelepípedo determinado por ellos (que coincide con su producto mixto en valor absoluto) es cero.

Unidad 5. Vectores en el espacio

45 Dados los vectores a (1, –2, 3), b (3, 1, 1), c (–2, 0, 1), comprueba que: 8

a) a Ò ( b + c ) = a Ò b + a Ò c 8

b) ( a Ò b ) Ò c ? a Ò ( b Ò c ) 8

a) a Ò ( b + c ) = (1, –2, 3) Ò (1, 1, 2) = (–7, 1, 3) 8

a Ò b + a Ò c = (–5, 8, 7) + (–2, –7, –4) = (–7, 1, 3) 8

b) ( a Ò b) Ò c = (–5, 8, 7) Ò (–2, 0, 1) = (8, –9, 16) 8

a Ò ( b Ò c ) = (1, –2, 3) Ò (1, –5, 2) = (11, 1, –3) 8

46 Si a Ò b = a Ò c, ¿es b = c necesariamente? Pon ejemplos. 8

No. Por ejemplo, si consideramos a(1, 2, 3), b(2, 4, 6) y c(3, 6, 9), entonces: 8

8 8 aÒ b= 0 ° 8 8 8 8 8 8 ¢ 8 a Ò b = a Ò c, pero b ? c. aÒ c= 0 £

8 8

s47 Sean a, b, c tres vectores linealmente independientes. Indica razonadamente cuál o cuáles de los siguientes productos mixtos valen 0: 8

8 8

[ a + c, a – c, a + b + c ], 8 8

8 8

[ a + c, b, a + b ], [ a – c, c – b, b – a ]

Puesto que a, b, y c son L.I., los tomamos como base. Por tanto: 8

a + c = (1, 0, 1);

a – c = (1, 0, –1); a + b + c = (1, 1, 1) 1 0 1 8 8 8 8 8 8 8 [ a + c, a – c, a + b + c ] = 1 0 –1 = 1 ? 0. Son L.I. 1 1 1 Análogamente: 1 0 1 8 8 8 8 8 [ a + c, b, a + b ] = 0 1 0 = –1 ? 0. Son L.I. 1 1 0

1 0 –1 8 8 8 8 8 8 [ a – c, c – b, b – a ] = 0 –1 1 = 0. Son L.D. –1 1 0 Interpretación geométrica de este último resultado: 8

8 8

b–a

Los vectores a – c, c – b, b – a son los lados del triángulo cuyos vértices 8 8 8 son los extremos de a , b y c cuando los situamos con origen común. Por 8 8 8 8 8 8 tanto, a – c, c – b y b – a son coplanarios.

8 8

c–b

a–c

Unidad 5. Vectores en el espacio

UNIDAD

PARA PROFUNDIZAR 48 “Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto”. C

HB HA H A

Para demostarlo, llamamos H al punto en que se cortan dos alturas, AHA y BHB. Da los pasos que se indican a continuación: 8

° HA · ( HC – HB) = 0 a) Justifica que ¢ 8 8 8 £ HB · ( HC – HA) = 0 b) De las igualdades anteriores se llega a: 8

HC · ( HB – HA) = 0 8

y de aquí se concluye que HC 2 AB y, por tanto, que las tres alturas se cortan en H. (Justifica las afirmaciones anteriores). 8

a) HC – HB = BC; y, como AHA es la altura correspondiente al lado BC, entonces: 8

BC 2 AHA 8 BC 2 HA 8 HA · BC = 0 8 HA · ( HC – HB ) = 0 8

Análogamente, como HC – HA = AC, tenemos que: HB · ( HC – HA) = 0 8

(1)

b) HC · ( HB – HA) = HC · HB – HC · HA = HB · HC – HA · HC = 8

(2)

= HB · HC – HA · HB = HB · ( HC – HA) = 0 8

(1) HA · HC – HA · HB = 0 8 HA · HC = HA · HB 8

(2) HB · (HC – HA) = 0 8

Por tanto, si HC · ( HB – HA) = 0, como HB – HA = AB, entonces HC 2 AB; luego H también pertenece a la altura correspondiente al vértice C. Así, las tres alturas se cortan en el mismo punto, H.

Unidad 5. Vectores en el espacio

Página 151 AUTOEVALUACIÓN 8

1. a) Halla el valor de m para el cual u (1, 2, –1), v (0, 1, 2) y w(–1, m, 3) son linealmente dependientes. 8

b) Obtén, en este caso, una relación de dependencia entre u , v y w. 8

a) Para que u, v y w sean L.D., el rango de la matriz que forman ha de ser menor que 3. Así:

(

1 0 –1

2 1 m

–1 2 3

)

| M | = –2 – 2m = 0 8 m = –1 8

Si m = –1, los vectores u, v y w son L.D. 8

b) Sea u = a v + b w 8 (1, 2, –1) = a(0, 1, 2) + b(–1, –1, 3) 8 1= –b ° § b = –1 2 = a – b¢ 8 § a=1 –1 = 2a + 3b £ 8

Así, u = v – w. —

8 8

2. u(3, –2, √3), v(4, –2, –4). Halla | u |, | v |, ( u, v ) y el vector proyección de u 8 sobre v. — 8 • | u | = √32 + (–2)2 + (√ 3)2 = √9 + 4 + 3 = √16 = 4 8

• | v | = √42 + (–2)2 + (–4)2 = √16 + 4 + 16 = √36 = 6 8

ì 8 8

• cos ( u, v ) =

u·v 3 · 4 + (–2) · (–2) + (–4) · √3 = 8 8 = 4·6 |u|·|v| 12 + 4 – 4 √3 16 – 4 √3 4 – √3 = = = 0,3780 24 24 6

ì 8 8

( u, v ) = arc cos (0,3780) = 67° 47' 26'' 8

• Vector proyección de u sobre v : 8

(

)

u · v 8 16 – 4 √3 √3 (4, –2, –4) = 1 – (4, –2, –4) 8 2 u = 16 4 |u|

Unidad 5. Vectores en el espacio

UNIDAD 8

3. Dados los vectores u (3, – 4, 0) y v (m, 0, 7): 8

a) Halla m para que los vectores u y v sean perpendiculares. 8

b) Halla un vector w perpendicular a u y a v. 8

c) Obtén tres vectores unitarios. u', v', w', que tengan, respectivamente, la mis8 8 8 ma dirección que u, v y w. 8

d) ¿Forman u ', v' y w' una base ortonormal? 8

8 8

a) Como | u | ? 0 y | v | ? 0, u 2 v ï u · v = 0 8 8

u · v = 3m + (–4) · 0 + 0 · 7 = 3m = 0 8 m = 0 8

Así, v(0, 0, 7). 8

b) w = u Ò v es perpendicular a u y a v. 8

w = (3, –4, 0) Ò (0, 0, 7) = (–28, –21, 0) 8

c) | u | = √32 + (–4)2 + 02 = √25 = 5 8

|v| = 7 8

| w | = 7 √(–4)2 + (–3)2 + 02 = 7 √25 = 7 · 5 = 35 Sean: 1 u' = (3, –4, 0) 5

1 (0, 0, 7) 7

1 (–28, –21, 0) 35

v' = w' =

(

)

3 –4 8 , , 0 // u 5 5 8

v'(0, 0, 1) // v

(

w' –

)

4 3 8 , – , 0 // w 5 5

u', v', w' tienen módulo 1. 8

d) ( u', v', w') no son coplanarios al ser perpendiculares entre sí. Por tanto, forman una base. 8

Por ser perpendiculares entre sí y, además, unitarios, la base ( u', v', w') es ortonormal. 8

4. Halla el área del triángulo determinado por los vectores u (5, –1, 3) y v (4, 0, 7). Área =

1 8 8 1 1 1 | u Ò v | = | (–7, –23, 4)| = √(–7)2 + (–23)2 + 42 = √594 = 12,2 u2 2 2 2 2

5. Halla el volumen del tetraedro determinado por los vectores: 8

u (5, –1, 3), v (4, 0, 7), w (–2, 6, 3)

Volumen =

1 · valor absoluto de 6

Unidad 5. Vectores en el espacio

5 –1 4 0 –2 6

3 7 3

1 56 | –112| = = 18,7 u3 6 3

6. Halla un vector de módulo 10 que sea perpendicular a (3, –1, 0) y forme un ángulo de 60° con (0, 0, 1). Llamamos (x, y, z) al vector buscado: • Su módulo es 10 8 √x 2 + y 2 + z 2 = 10 8 x 2 + y 2 + z 2 = 100 • Es perpendicular a (3, –1, 0) 8 3x – y = 0 • Forma un ángulo de 60° con (0, 0, 1) 8 8

(0, 0, 1) · (x, y, z) z 1 = cos 60° 8 = 8 2z = 10 8 z = 5 | (0, 0, 1)| · | (x, y, z)| 1 · 10 2

Así: x 2 + y 2 + z 2 = 100 ° § 3x – y = 0¢ § z = 5£

x 2 + y 2 + z 2 = 100 y = 3x z= 5

Sustituyendo la 3.a y 2.a ecuación en la 1.a: x 2 + 9x 2 + 25 = 100 8 10x 2 = 75 8 x = ± Soluciones:

(√ √ ) ( √ 15 ,3 2

15 ,5 y – 2

15 , –3 2

√

15 2

√ ) 15 ,5 2

Unidad 5. Vectores en el espacio