Район 7 клас финал решение 2016 - 2017

Відповіді та вказівки до розв'язування

7 клас 1. Цифру 9, із якої починається чотирицифрове число, написали в кінці числа. Нове число на 2016 менше, ніж початкове. Яке було початкове число? Розв’язання.

9abc  abc9  2016  9000  100a  10b  c  1000a  100b  10c  9  2016  900a  90b  9c  6975  100a  10b  c  775 a  b  7,c  5 . Відповідь: 9775.

2. Яку найбільшу кількість прямокутників розміром 1 5 можна вирізати з квадрату 1313 ? Відповідь обґрунтуйте. Відповідь: 33 . Розв’язання. Оскільки площа квадрата 13 13  169 , то розглянемо ділення з остачею: 169  5  33  4 . Тому максимально можна вирізати 33 прямокутника 1 5 . Покажемо, що цей результат досягається. Достатньо, наприклад, зробити розрізання таким чином, як це показано на рис. Неважко зрозуміти, що будь-який прямокутник зі сторонами 5  n легко розрізається на відповідну кількість прямокутників 1 5 .

3. Чи

існують

такі

натуральні

числа

m2 1 2017mn  n2 1  2016 ?

5

3

5

13

5 8

m, n , що задовольняють рівність

Розв’язання. Припустимо, що такі натуральні числа m, n існують. Перепишемо заданий вираз у вигляді m  2017mn  n  2018 . Розглянувши можливі випадки парності m, n робиться висновок що m, n – парні. Якщо обидва або рівно одне з них непарне, то ліва частина рівності – непарна, а права – парна, тому рівність неможлива. Але, якщо m, n – парні, то ліва частина кратна 4 , а права не кратна 4 . Таким чином не існує натуральних чисел m, n , що задовольняють задану рівність .

4. Доведіть, що кожне з чотирицифрових чисел, записаних чотирма однаковими цифрами, ділиться на 101. Чи буде 2016 цифрове число ділитись на 101, якщо воно записане однаковими цифрами. Розв'язання.

1) Безпосередня перевірка 1111 = 101·11.  aaaa  a 1111  a 11101. Оскiльки число можна подати у виглядi добутку натуральних чисел, одне з яких дорiвнює 101, то будь-яке число, записане чотирма однаковими цифрами, дiлиться на 101.

2) 2016 цифрове число представимо у вигляді суми 2

2

aaaa0000 ...0000 ...0000    aaaa0000      aaaa0000  aaaa  2012 2012

 aaaa 10

 aaaa 10

2008 2008

   aaaa 10 4  aaaa  101  A

2016 цифрове число дiлиться на 101.

5. Полінка, Марійка, Світланка та Юля були на математичній олімпіаді. На питання "Хто з вас розв'язав останню задачу?" вони відповіли так: Полінка: "Марійка не розв'язала задачу. Я теж її не розв'язала". Марійка: "Юля розв'язала задачу. А ось Світланка ні." Світланка: "Так, задачу розв'язала Юля. А от я не змогла." Юля: "Полінка розв'язала задачу. Світланка теж." Хто міг розв'язати задачу, якщо кожна дівчинка один раз сказала правду, а один раз помилилася? Розгляньте всі можливі варіанти. Розв'язання Світланка й Марійка стверджують те саме, хоча й у різний послідовності. Виходить, однакові їхні твердження або одночасно правдиві, або одночасно помилкові. Випадок 1. Нехай твердження про те, що Світланка не розв'язала задачу, істинне, а твердження про те, що її розв'язала Юля, невірне. Тоді друге твердження Юлі невірне, а її перше твердження істинне. Виходить, друге твердження Полінки невірне, а перше істинне. У цьому випадку задачу розв'язала тільки Полінка. Випадок 2. Нехай тепер істинним є твердження про те, що Юля розв'язала задачу, а друге твердження Світланки й Марійки помилкове. У цьому випадку задачу розв'язали Світланка, Марійка та Юля. Відповідь: або тільки Полінка, або Світланка, Марійка та Юля.