Відповіді та вказівки до розв'язування
6 клас 1. На шкільному подвір'ї росли тополі та клени. Кленів серед них було 60%. Весною в парку посадили тополі, після чого кленів стало 20%. А восени посадили клени і кленів стало знову 60%. У скільки разів збільшилась кількість дерев у парку за рік? Розв'язання. До початку посадок тополі складали 2 5 , а клени - 3 5 всіх дерев. До літа кількість кленів не змінилась, однак вони стали складати 1 5 всіх дерев. Значить, кількість всіх дерев у парку збільшилась втричі. При цьому тополі складали 4 5 всіх дерев. До зими не змінилась кількість тополь, але вони стали складати 2 5 усіх дерев. Значить, кількість дерев збільшилася ще вдвічі. Таким чином, за рік кількість дерев збільшилася в 6 разів. Відповідь: В 6 разів. 2. Доведіть, що трицифрове число, записане трьома однаковими цифрами, ділиться на 37. Чи буде 2016 цифрове число ділитись на 37, якщо воно записане однаковими цифрами? Розв'язання. 1) Безпосередня перевірка 111 = 37·3 aaa a 111 a 3 37 . Оскiльки число можна подати у виглядi добутку натуральних чисел, одне з яких дорiвнює 37, то будь-яке число, записане трьома однаковими цифрами дiлиться на 37. 2) 2016-цифрове число представимо у вигляді суми
aaa000 ...000 ... 00 aaa000 aaa aaa0 2013 2013
aaa 10
2010 2010
aaa 10
aaa aaa 10 2013 10 2010 1 37 A.
Тому 2016-цифрове число дiлиться на 37. 3. Уздовж прямої дороги стоять підряд п'ять будинків A, B, C, D і E (саме в такому порядку, якщо дивитися зліва направо). Дах одного з них пофарбований в жовтий колір, а іншого – у зелений, причому будинок із жовтим дахом лівіше будинку із зеленим дахом. Відстань між А и С – 7 км, між будинком із жовтим дахом і B – 8 км, між будинком із зеленим дахом і D – 9 км. Знайдіть відстань між будинками із жовтим та зеленим дахами. Відповідь обґрунтуйте. Розв'язання. Будинки A і C не можуть бути з жовтим дахом, тому що за умовою відстань від них до B менше відстані між A і C, тобто 7 км, а від будинку з жовтим дахом до B - дорівнює 8 км. Зрозуміло, що B не може бути з жовтим дахом. Не може це бути й E, тому що праворуч повинен бути будинок із зеленим дахом. Тому будинок з жовтим дахом - D, а Е - будинок із зеленим дахом, а відповідно відстань між D і Е дорівнює 9 км. Відповідь: 9 км. 4. Кожен із чотирьох гномів – Перший, Другий, Третій і Четвертий – a6o завжди каже правду, a6o завжди бреше. Одного разу під час їхньої зустрічі відбулась наступна розмова: Перший (до Другого) – Ти брехун; Четвертий ( до Першого) – Сам ти брехун; Третій (до Четвертого) – Так вони ж обидва брехуни. (а, подумавши додав) Утім, й ти також брехун. Хто з гномів завжди каже правду, a хто завжди бреше? Відповідь: Другий і Четвертий кажуть правду, а Перший і Третій — брешуть. Якщо Третій каже правду, то з третьої умови випливає, що всі інші гноми є брехунами, але тоді з першої умови одержуємо, що Перший сказав правду. Суперечність. Отже, Третій — брехун. Тоді з третьої умови випливає, що Четвертий — правдивий, із другої, що Перший — брехун, а з першої, що Другий — правдивий.