Відповіді та вказівки до розв'язування
11 клас 1. Зобразіть на координатній площині геометричне місце точок, координати яких відповідають співвідношенню x 2016 y x 2016 y 2017 та знайдіть площу утвореної фігури. 2
Відповідь: 2017 . Розв'язання: Це квадрат із довжиною сторони 2017, сторони якого паралельні осям координат, а центр О(-2016; 0). Його можна побудувати паралельним перенесенням ГМТ, що відповідає
x y x y 2017 , вздовж осі абсцис ліворуч на 2016 . Останнє ГМТ симетричне відносно осей координат. У першій чверті вираз x y x y симетричний відносно бісектриси y x . 1) Будуємо ГМТ
y=x
y`
y
x y 0 ( x y ) ( x y ) 2017 2) Здійснюємо перетворення симетрії відносно бісектриси 1-ої чверті та перетворення симетрії відносно координатних осей отримаємо квадрат зі стороною 2017.
2. Доведіть нерівність
x
y=x+2016
-2016
x`
1017 1 1 1 1 2016 . 2 2 2 ... 2 2016 2 2017 3 4 2016
Доведення: Скористаємось тим фактом, що
1
1
1
< ... ... 2015 2016 2 2 32 4 2 2016 2 2 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2016 ... . 4 2 3 3 4 2015 2016 4 2 2016 4 2017 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 4 3 4 4 5 2016 2017 2 2 32 4 2 2016 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1175 1017 ... 4 3 4 4 5 2016 2017 4 3 2017 4 3 2016 2016 2016
отримати
1 1 1 2 , n N . Тоді можемо n 1 n n n 1 n 1 1 1 1 1
3. Підрахуйте, скільки серед коефіцієнтів многочлена 1 x
2016
Розв'язання:
Розглядаючи
1 x , 1 x , 1 x
по
2
4
два
доданки
512
з
парність
, 1 x
1024
непарними
коефіцієнтів
у
виразах
непарних?
1 x
2n
,
помітимо, що кожний з виразів містить тільки коефіцієнтами (одиниці). Враховуючи, що
2016=1024+512+256+128+64+32, представимо (x+1)
2016
у вигляді
1 x
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x . Перемноживши 6 вирази в дужках, одержуємо 2 64 різних доданків з непарними коефіцієнтами. Відповідь: 64. 2016
32
64
128
256
512
1024
4. В опуклий чотирикутник АВСD, довжини двох сторін якого дорівнюють 2016 та 2017, можна вписати коло. Доведіть, що кола, вписані в трикутники АВC і АCD мають спільну точку дотику. Доведення: Розглянемо задачу у загальному випадку: В опуклий чотирикутник АВСD можна вписати коло. Доведіть, що кола, вписані в трикутники АВC і АCD мають спільну точку дотику.Точки дотику 1 до АВ і ВС поділяють їх на відрізки із довжинами х, z і z, y відповідно. Точки дотику 2 до СD і DA поділяють їх на відрізки із довжинами n, t і t, m відповідно. Маємо, що АС = x + y = m + n. Чотирикутник описаний, отже z + y + n + t = x + z + m + t, тобто y + n = x + m. З системи x + y = m + n і y + n = x + m отримаємо, що 2y = 2 m, тобто y = m. 2
5. Розв’яжіть рівняння 2016 x( 1 x ) x 3 e x x 6 e x . Відповідь: 0;1 . Розв'язання:
Перепишемо
вихідне
рівняння
у
вигляді
2
2016 x x 3 e x 2016 x 2 x 6 e x . Тоді можна побачити, що рівняння має вигляд f ( x ) f ( x 2 ) , де f ( x ) 2016 x x 3 e x . Оскільки f ( x ) 2016 3x 2 e x 0 , то
функція
f
–
зростаюча
(або
скористатись
властивостями
функцій
y x , y x 3 , y e x ), а тому вказана рівність f ( x ) f ( x 2 ) можлива лише при умові x x 2 , звідки й маємо розв’язки: x 0, x 1 .