Teza de doctorat Florina Potra by Octavian Popa

Investește în oameni! Axa prioritară: 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere” Domeniul major de intervenţie: 1.5 „Programe doctorale şi postdoctorale în sprijinul cercetării” Titlul proiectului: “Creşterea atractivităţii şi performanţei programelor de formare doctorală şi postdoctorală pentru cercetători în ştiinţe inginereşti - ATRACTING” Cod Contract: POSDRU/159/1.5/S/137070 Beneficiar: Universitatea Politehnica Timişoara

FACULTATEA DE INGINERIA MATERIALELOR ȘI A MEDIULUI •

Ing.

Florina Liliana URECHE (căs. POTRA)

TEZĂ DE DOCTORAT CERCETĂRI PRIVIND OPTIMIZAREA PARAMETRILOR MODELĂRII PROCESULUI TEHNOLOGIC DE PRELUCRARE A MATERIALELOR PRIN EROZIUNE ELECTRICĂ Conducător ştiinţific, Prof.dr.ing. Vasile Filip SOPORAN

Comisia de evaluare a tezei de doctorat: PREŞEDINTE: - Prof.dr.ing. .................. - Facultatea de Ingineria Materialelor şi a Mediului, Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca; MEMBRI: - Prof.dr.ing. .................. - referent, Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca; - Prof.dr.ing. .................. - referent, Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca; - Prof.dr.ing. .................. - referent, Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca; - Prof.dr.ing. .................. - referent, Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca;

CUPRINS

LISTA DE FIGURI ȘI TABELE ................................................................................................................ 7 LISTA DE ABREVIERI, NOTAȚII, MĂRIMI ȘI SIMBOLURI UTILIZATE ................................................ 11 INTRODUCERE .................................................................................................................................... 15 OBIECTIVELE TEZEI DE DOCTORAT ................................................................................................. 19 Partea I. ANALIZĂ A CERCETĂRILOR DIN DOMENIUL PRELUCRĂRII MATERIALELOR PRIN ELECTROEROZIUNE............................................................................................................ 21 Capitolul 1. CONSIDERAȚII ȘI APRECIERI ASUPRA PROCESULUI ȘI LIMITELE TEHNOLOGICE ALE ACESTUIA ................................................................................................ 21 1.1.

Introducere .................................................................................................................... 21

1.2.

Încadrarea EDM-ului în cadrul tehnologiilor neconvenționale ........................................ 25

1.3.

Factori care au impus dezvoltarea și perfecționarea prelucrării prin electroeroziune..... 29

1.4.

Tipuri de materiale care se pot prelucra prin eroziune electrică..................................... 30

1.5.

Aplicații industriale care folosesc prelucrarea prin electroeroziune ................................ 32

1.6.

Concluzii parțiale ........................................................................................................... 35

Capitolul 2. CONSIDERAȚII ASUPRA PROCESELOR ESENȚIALE DIN CADRUL EDM ÎN VEDEREA MODELĂRII ACESTORA........................................................................................... 37 2.1.

Analiza procesului prin intermediul matricei fenomenologice a dinamicii proceselor care au loc la EDM ........................................................................................................ 37

2.2.

Analiza continuității desfășurării fenomenelor ................................................................ 39

2.2.1.

Analiza fenomenelor de natură electrică ................................................................ 39

2.2.2.

Analiza fenomenelor de natură termică ................................................................. 42

2.2.3.

Analiza fenomenelor mecanice .............................................................................. 48

2.2.4.

Analiza fenomenelor chimice ................................................................................. 49

2.2.5.

Analiza fenomenelor hidrodinamice ....................................................................... 49

2.3.

Concluzii premergătoare în vederea modelării .............................................................. 50

Capitolul 3. CONSIDERAȚII ȘI APRECIERI ASUPRA STADIULUI ACTUAL AL CERCETĂRILOR CU PRIVIRE LA MODELAREA PROCESULUI TEHNOLOGIC DE PRELUCRARE PRIN ELECTROEROZIUNE ............................................................................... 57 Partea II. CERCETĂRI ȘI APLICAȚII PRIVIND OPTIMIZAREA PRIN PROBLEMA............................ 63 Capitolul 4. CERCETĂRI ASUPRA OPTIMIZĂRII PROCESELOR ESENȚIALE CARE APAR LA PRELUCRAREA PRIN EDM .................................................................................................. 63 4.1.

Optimizarea aproximării fluxului energiei termice printr-o regresie de tip spline cubic ... 65

4.2.

Condiția la limită de tip Neumann aplicată proceselor EDM .......................................... 68

4.3.

Condiția la limită Stefan de tip salt aplicată proceselor EDM ......................................... 70

4.4.

Modele de frontieră liberă folosite în determinarea câmpului termic care apare în procesul EDM ................................................................................................................ 72

4.4.1.

Frontiera liberă S(t ) în cazul semisferei ............................................................... 72

4.4.2.

Frontiera liberă S (t ) de tip calotă sferică ............................................................. 74

4.4.3.

Frontiera liberă de tip semielipsoid de rotație ........................................................ 78

4.5.

Concluzii parțiale ........................................................................................................... 84

Capitolul 5. MODELAREA NUMERICĂ APLICATĂ ÎN APROXIMAREA CÂMPULUI TERMIC DIN EDM ............................................................................................................................... 85 5.1.

Aplicarea algoritmului FAHP procesului tehnologic de electroeroziun ........................... 86

5.2.

Discuție privind partea experimentală .......................................................................... 104

5.3.

Fluxul energiei termice de tip spline obținut prin interpolarea funcției Gauss cu funcții spline cubice cardinale ................................................................................................ 110

5.4.

Concluzii parțiale ......................................................................................................... 114

Capitolul 6. UTILIZAREA NUMERELOR FUZZY ȘI A ALGORITMULUI FAHP PRIVIND OPTIMIZAREA PROCESELOR CARE INTERVIN ÎN ELECTROEROZIUNE ............................... 115 6.1.

Funcții membru ............................................................................................................ 116

6.1.1.

Funcția membru triunghiulară .............................................................................. 117

6.1.2.

Funcția membru rampă ........................................................................................ 118

6.1.3.

Funcții membru triunghiulare canonice ................................................................ 118

6.2.

Proprietăți ale mulțimilor fuzzy ..................................................................................... 119

6.2.1.

Nucleul și suportul fuzzy ...................................................................................... 121

6.2.2.

Puncte de tăietură și puncte mediane .................................................................. 121

6.2.3.

Înălțimea unei mulțimi fuzzy ................................................................................. 122

6.3.

Operații cu mulțimi fuzzy .............................................................................................. 122

6.4.

Numere fuzzy............................................................................................................... 126

6.5.

Operații cu numere fuzzy ............................................................................................. 128

6.6.

Concluzii parțiale ......................................................................................................... 133

Capitolul 7. APLICAȚII NUMERICE ALE LOGICII NUMERELOR FUZZY PRIVIND OPTIMIZAREA UNOR PROCESE ESENȚIALE CARE APAR ÎN EDM ..................................... 135 7.1.

Matricile MOF de ierarhizare a proceselor din EDM .................................................... 135

7.1.1.

O analiză a calităților de performanță privind procesele EDM ............................. 136

7.1.2.

Ponderile de cea mai bună aproximație locală și globală .................................... 142

7.1.3.

Histogramele ponderilor locale și globale ............................................................ 145

7.2.

Optimizarea fuzzy privind tipurile de materiale folosite la electrodul sculă................... 146

7.2.1.

Caracteristicile esențiale atribuite materialelor componente ale electrozilor ........ 146

7.2.2.

Ponderile locale și globale de cea mai bună aproximație .................................... 151

7.2.3.

Histogramele ponderilor locale și globale ............................................................ 152

7.3.

Model numeric FAHP aplicat în optimizarea polarizării electrozilor sculă și piesă de prelucrat din EDM ........................................................................................................ 153

7.3.1.

Principalele categorii de mișcări ale celor doi electrozi ........................................ 154

7.3.2.

Matricile MOF de ierarhizare a caracteristicilor esențiale ale d (S, P ) ................. 154

7.3.3.

Ponderile de cea mai bună aproximație locală și globală .................................... 158

7.3.4.

Histogramele ponderilor locale și globale ............................................................ 160

7.4.

Concluzii ...................................................................................................................... 160

Capitolul 8. CONCLUZII GENERALE ȘI CONTRIBUȚII PERSONALE ................................. 161 BIBLIOGRAFIE .................................................................................................................................... 163 ANEXE ................................................................................................................................................ 171

LISTA DE FIGURI ȘI TABELE

Figura 1.1. Schema de principiu a unei instalații de prelucrare prin descărcări electrice ....................... 22 Figura 1.2. Model practic al principiului prelucrării prin electroeroziune (după firma AGIE, 1972) ......... 28 Figura 1.3. Mașină specializată de prelucrare prin EDM ...................................................................... 32 Figura 1.4. Piese prelucrate prin electroeroziune .................................................................................. 33 Figura 1.5. Componente aerospațiale și medicale produse prin electroeroziune de către AAEDM Corporation .......................................................................................................................... 34 Figura 2.1. Schema de principiu a prelucrării prin eroziune electrică..................................................... 38 Figura 2.2. Distribuția fluxului de energie termică în interstițiu ............................................................... 43 Figura 2.3. Surse termice parțiale la nivelul craterului elementar .......................................................... 43 Figura 2.4. Structura stratului superficial modificat termic ..................................................................... 44 Figura 4.1. Imaginea geometrică a distribuției fluxului termic pentru a) modelul Gauss, b) spline cubic de regresie ..................................................................... 66 Figura 4.2. Imaginea punctelor de regresie ........................................................................................... 67 Figura 4.3. Imaginea geometrică a condiției Stefan de tip salt............................................................... 71 Figura 4.4. Imaginea geometrică a calotei sferice ................................................................................. 75 Figura 4.5. Imaginea geometrică a semielipsoidului de rotație .............................................................. 78 Figura 5.1. Schema logică de ordonare fuzzy ....................................................................................... 86 Figura 5.2. Schema logică fuzzyficată a caracteristicilor esențiale din EDM ......................................... 87 Figura 5.3. Schema logică a ponderilor locale ..................................................................................... 103 Figura 5.4 AGIE Agietron 50 – Mașina de electroeroziune cu electrod masiv ..................................... 105 Figura 5.5. Histograma timpului final de execuție pentru cele trei cazuri, optimist, pesimist și moderat ............................................................................................. 107 Figura 5.6. Histograma semiaxei craterului pentru cele trei cazuri, optimist, pesimist și moderat ....... 108 Figura 5.7. Imaginea geometrică a craterului Gaussian ...................................................................... 114 Figura 5.8. Imaginea geometrică a craterului Spline............................................................................ 114 Figura 6.1. Funcția membru triunghiulară ............................................................................................ 117 Figura 6.2. Funcția membru cotriunghiulară ........................................................................................ 117 Figura 6.3. Funcția membru ................................................................................................................. 118 Figura 6.4. Funcția membru corampă .................................................................................................. 118 Figura 6.5. Imaginea geometrică a funcției fuzzy triunghiulare canonice ............................................. 119 Figura 6.6. Imaginea geometrică a incluziunii mulțimii fuzzy GA  GB ............................................... 123 Figura 6.7. Imaginea geometrică a două mulțimi fuzzy GA și GB reprezentate în același sistem ....... 124

Figura 6.8. Imaginea geometrică a reuniunii a două mulțimi fuzzy, GA  GB  GAB ......................... 124 Figura 6.9. Imaginea geometrică a intersecției a ................................................................................. 124 Figura 6.10. Imaginea geometrică a mulțimii fuzzy convexe ............................................................... 126 Figura 6.11. Imaginea geometrică a unui număr fuzzy ........................................................................ 127 Figura 6.12. imaginea geometrică a unei mulțimi fuzzy G A , care nu este număr fuzzy ...................... 127 Figura 6.13. Imaginea geometrică a scufundării numărului fuzzy N A în intervalul A  [a, b] ............ 127 Figura 6.14. Imaginea geometrică a numerelor fuzzy canonice........................................................... 130 Figura 6.15. a), b) ,c) Imaginea geometrică a numerelor fuzzy de tăietură, cazul pesimist ................. 131 Figura 7.1. Schema logică propusă în cazul propus în Tabelul 7.11. .................................................. 140 Figura 7.2. Schema logică a ponderilor locale ..................................................................................... 142 Figura 7.3. Hisograma ponderilor locale pentru cele trei cazuri propuse ............................................. 145 Figura 7.4. Hisograma ponderilor globale pentru cele trei cazuri propuse ........................................... 146 Figura 7.5. Schema logică de ordonare fuzzy ..................................................................................... 148 Figura 7.6. Schema logică a ponderilor locale ..................................................................................... 151 Figura 7.7. Histograma ponderilor locale pentru cele trei cazuri .......................................................... 153 Figura 7.8. Histograma ponderilor globale relativ la cele trei cazuri..................................................... 153 Figura 7.9. Schema logică de ordonare fuzzy ..................................................................................... 156 Figura 7.10. Schema logică a ponderilor locale ................................................................................... 159 Figura 7.11. Histograma ponderilor locale ........................................................................................... 160 Figura 7.12. Histograma ponderilor globale ......................................................................................... 160 Tabelul 1.1. Clasificarea materialelor pe baza proprietăților termofizice și electrice ............................. 31 Tabelul 2.1. Principalele caracteristici tehnologice ale EDM .................................................................. 53 Tabelul 4.1. Definirea constantelor care intervin în ecuația Fourier-Kirchhoff ........................................ 64 Tabelul 5.1. Înzestrarea cu caracteristici și fuzzyficarea lor ................................................................... 86 Tabelul 5.2. Defuzzyficarea numerelor atribuite caracteristicilor EDM ................................................... 89 Tabelul 5.3. Defuzzyficarea inverselor numerelor atribuite caracteristicilor EDM .................................. 89 Tabelul 5.4. Valorile ponderilor locale pentru cele trei cazuri ............................................................... 102 Tabelul 5.5. Valorile ponderilor globale pentru cele trei cazuri............................................................. 103 Tabelul 5.6. Tabelul datelor experimentale .......................................................................................... 107 Tabelul 5.7. Rezultatele finale privind optimizarea timpului de execuție și a semielipsoidului de rotație folosind FAHP................................................................. 107 Tabelul 5.8. Tabelul datelor necesare reprezentării grafice a suprafeței ce aproximează craterul încazul Gaussian ..................................................................... 109 Tabelul 5.9. Tabelul constantelor fixe .................................................................................................. 111 Tabelul 5.10. Tabelul constantelor pentru cazul Gaussian .................................................................. 113 Tabelul 5.11. Tabelul constantelor pentru cazul spline ........................................................................ 113

Tabelul 6.1. Principalele domenii de activitate în care se poate aplica logica numerelor fuzzy ........... 115 Tabelul 7.1. Descrierea caracteristicilor esențiale ale proceselor EDM ............................................... 136 Tabelul 7.2. Atribuirea de numere fuzzy .............................................................................................. 141 Tabelul 7.3. Defuzzyficarea numerelor fuzzy ....................................................................................... 143 Tabelul 7.4. Defuzzyficarea inverselor numerelor fuzzy ...................................................................... 143 Tabelul 7.5. Valorile ponderilor globale pentru cele trei cazuri............................................................. 144 Tabelul 7.6. Valorile ponderilor globale pentru cele trei cazuri............................................................. 145 Tabelul 7.7. Caracteristicile materialelor esențiale folosite în confecționarea electrodului sculă ........ 147 Tabelul 7.8. Valorile numerice reale ale numerelor fuzzy .................................................................... 151 Tabelul 7.9. Valorile numerile reale ale inverselor numerelor fuzzy ..................................................... 151 Tabelul 7.10. Valorile ponderilor locale pentru cele trei cazuri ............................................................. 152 Tabelul 7.11. Valorile ponderilor globale pentru cele trei cazuri........................................................... 152 Tabelul 7.12. Caracteristicile esențiale ale d (S, P ) ............................................................................. 154 Tabelul 7.13. Defuzzyficarea numerelor fuzzy ..................................................................................... 158 Tabelul 7.14. Defuzzyficarea inverselor numerelor fuzzy .................................................................... 158 Tabelul 7.15. Valorile ponderilor locale pentru cele trei cazuri ............................................................. 159 Tabelul 7.16. Valorile ponderilor globale pentru cele trei cazuri........................................................... 159

LISTA DE ABREVIERI, NOTAȚII, MĂRIMI ȘI SIMBOLURI UTILIZATE

Abrevieri CAD CATIA CIM EDM L.B.M. LASER MASER MOF MRR RC SA STAS TN U.S.A. ZD ZMB ZT

Computed Aided Design; Computer Aided Three Dimensional Interactive Application; Computer Integrated Manufacturing; Electrical Discharge Machining, prelucrarea materialelor conductoare de electricitate prin descărcări electrice; Laser Beam Machining; Light Amplification by Stimulated Emission of radiation; Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation; matrice de ordonare fuzzy; Material Removal Rate; Circuit electric resistor-condensator; strat alb; Standard de stat, prescurtare dată standardelor de stat românești; Tehnologii Neconvenlționale; United States of America; zona durificată; zonă nemodificată (material de bază); zona influențată termic;

Notații, mărimi și simboluri utilizate

CR j

caracteristica căreia i se atribuie număr fuzzy;

Q de

căldura disipată în interstițiu prin conducție termică de la electrod;

Q ds

căldura disipată în interstițiu prin conducție termică de la semifabricat;

Q dc

căldura disipată în interstițiul din coloana descărcării electrice;

căldura latentă de topire [J / kg ] ;

0

căldura latentă de topire a materialului folosit;

căldura latentă de vaporizare [J / kg ] ;

căldura specifică a mediului de lucru; 11

câmpul termic din mediul de lucru în coordonate cilindrice nestaționar;



coeficient de dilatare termică [ o C 1 ] ;



coeficientul de conductibilitate termică [Wm 1K 1 ] ;



coeficientul lui Poisson;

conductivitatea termică a materialului [ J /( mK s )] ;

L* M*

constanta de integrare a ecuației diferențiale în variabilă temporală;



densitatea [N / m 3 ] ;

diametrul craterului;



difuzivitatea termică a materialului [ m 2 / s ] ;

distanța radială de la origine [ m ] ;

t d ,t î ,t s ,t p ,t 0 ,t e

duratele de amorsare, întârziere, străpungere, perioada impulsurilor, pauza

constanta de integrare a lui Bessel;

impulsurilor, respectiv durata descărcării [ s ] ;

energia descărcării [mJ ] ;

Qae

energia termică de activare a straturilor de metal aparținând electrodului;

Qas

energia termică de activare a straturilor de metal aparținând semifabricatului;

energia termică de topire și vaporizare de pe suprafața semifabricatului;

energia termică de topire și vaporizare de pe suprafrața electrodului;

este câmpul termic la momentul t  0 , adică valoarea temperaturii ambiante;

factor de transfer către catod;

frecvența impulsurilor [kHz ];

S (t )

frontiera liberă a craterului, suprafața dintre materialul topit și cel solid;

 cot r

funcția comembru triunghiulară;

funcția de gradul întâi Bessel;

 cora

funcția membru corampă;

 ra

funcția membru rampă;

 tr

funcția membru triunghiulară;

A

funcție membru;



greutatea specifică [ kg / m 3 ] ;

indici de rugozitate [ m ] ;



indici de uzură [ m ] ;

intensitatea curentului electric [A] ; 12

interstițiu lateral [mm ] ;

d k nk1

măsurători experimentale în vederea calculării medii ponderate

G A ( A )

mulțime fuzzy;

N ( A )

nucleul funcției membru;

număr fuzzy;

poderile globale;

ponderile locale;

productivitatea prelucrării [mm 3 / min] ;

puterea medie a descărcării [W ] ;

r (t )

raza calotei variabile;



raza clopotului Gauss;

a( t f )

raza craterului;

R(t )

raza sferei variabile;

raza sursei de căldură la suprafața catodului [ m ] ;

n

rădăcina pătratică a ecuației J 1 ( n ro )  0 ;

e

rezistivitatea statică [ m ] ;

rugozitatea [ m ] ;

u( t , x, y, z )

soluția unică a ecuației Fourier-Kirchhoff, câmpul termic ce apare în piesa;

s( r )

splineul cubic de regresie;

Supp(  A )

suportul funcției membru;

  (0,1)

tăietura de înălțime h ;

temperatura absolută de topire a materialului folosit;

temperatura ambientală [ K ] ;

temperatura de topite [ o C ] ;

tensiunea medie în descărcare [V ] ;

timpul mediu final de descărcare a unui impuls; universul de discurs, universul elementelor fuzzy;

A *

Q (t f )

valoarea câmpului termic la momentul final t f ;

L, M

constantele de integrare, soluția unică a problemeri Stefan de tip discontinuu;

li (t ) , le (t ) ~ ~ i, j

limite laterale a condiției Stefan de tip salt; numere fuzzy; 13

căldura specifică [ J / kgK ] ;

modul de elasticitate [N / mm 3 ] ;

erf m P

eroarea funcției; căldura latent de topire [kJ/kg]; indice de prelucrabilitate;

fluxul termic [ W / m 2 ] ;

axa radială [ m ]

ro t

raza suprafeței izolate a piesei de prelucrat [m]; timpul [ s ] ;

Tm V

temperatura de topire [K]; tensiunea de descărcare [V ] ;

INTRODUCERE

Prelucrarea materialelor extrem de dure și realizarea formelor complexe de dimensiuni mici și foarte mici a condus la apariția “tehnologiilor neconvenționale”, dar nu numai. Astfel a apărut prelucrarea prin electroeroziune, abreviată EDM, iar ulterior prelucrarea materialelor cu laser. Tehnologiile neconvenționale sunt tehnologii apărute relativ recent și astfel este natural să suporte contribuții de modernizare și o permanentă optimizare din unghiuri diferite. În prezenta teza se abordează două modele de optimizare în EDM. Primul model se referă la aproximarea fluxului energiei termice care produce canalul de plasmă în interiorul căruia se ating temperaturi de topire de până la 37000 [ o C ] , temperaturi utilizate în prelucrarea materialelor prin acest procedeu. În cercetările realizate până în prezent s-au obținut rezultate suficient de bune relativ la aproximarea energiei termice prin funcția lui Gauss (clopotul lui Gauss). Dacă ținem seama de dimensiunile nano care se produc în canalul de plasmă, clopotul lui Gauss nu se anulează la extremitatea razei craterului unui impuls, vezi Figura 4.1.a). Clopotul lui Gauss nu este o aproximație suficient de bună în acest proces de prelucrare EDM deoarece această funcție gaussiană se anulează atunci când raza tinde la infinit. Observând acest aspect matematic am propus o regresie cu puncte de pe clopotul lui Gauss care la capătul razei să ia valoarea zero, vezi Figura 4.1.b). Determinarea acestei funcții spline cubice cardinale de regresie constituie o optimizare suficient de bună (pe care o apreciem ca fiind cea mai bună) privind aproximarea fluxului energiei termice care produce canalul de plasmă, prin care se realizează topirea materialului, obținându-se astfel prelucrarea prin electroeroziune. Extinderea acestei idei la prelucrarea prin laser o apreciem a fi una naturală. Cu toate că rezultatele numerice obținute prin acestă optimizare nu diferă foarte mult de cele obținute prin utilizarea clopotului lui Gauss, dar dacă se ține seama de dimensiunile nanomaterialelor, ele sunt esențiale. Dezvoltări ale unor cercetări teoretice și experimentale pe acestă idee credem că vor pune în evidență acest model matematic care conduce la aproximarea câmpului termic ce generează fenomenul EDM la un nivel superior. În realizarea acestui model s-a ajuns la ecuații de tip punct fix, adică la ecuații de forma x  f (x ) . Pentru rezolvarea acestei ecuații există o întreagă teorie matematică. În cazul de față am propus o primă aproximație întrucât această teorie depășește obiectivul urmărit în acestă teză. Credem că rezultatele numerice care nu diferă foarte mult de cele propuse prin funcția lui Gauss se datorează și acestei aproximări grosiere relativ la soluția ecuației de tip punct fix. A doua abordare este determinată de posibilitatea de cuantificare și optimizare a proceselor din EDM, care pot fi exprimate obiectiv prin informații lingvistice. Această abordare este posibilă dacă folosim logica numerelor fuzzy. 15

În acest scop am prezentat succint elementele de bază ale acestei teorii Fuzzy , ținând cont de faptul că și acestă teorie este o noutate în domeniu. Explicațiile făcute relativ la numerele fuzzy triunghiulare de tăietură au condus la înțelegerea algoritmului FAHP (Fuzzy Analytic Hierarchy Process), algoritm care stă la baza optimizării în cazul cercetării bazate pe informații lingvistice. Remarcăm un lucru esențial și anume că algoritmul FAHP nu exclude procedeele de optimizare folosind numerele crisp, dealfel acest algoritm a fost introdus prin anii 1960 de către japonezi folosind doar numere crisp reale. În capitolul cinci al prezentei teze combinăm rezultatele crisp cu numere fuzzy. Menționăm faptul că majoritatea modelelor de optimizare în EDM propuse în acestă teză sunt bazate pe algoritmul FAHP. Detalii relativ la contribuțiile originale sunt prezentate în capitolul opt, intitulat „Concluzii generale și contribuții personale”. Lucrarea este compusă din două părți, care cuprinde opt capitole. Prima parte, intitulată “Analiză a cercetărilor din domeniul prelucrării materialelor prin electroeroziune”, cuprinde trei capitole. Primul capitol se referă la importanța cercetărilor în EDM privind evoluția acestora, cum ar fi elemente de teoria tehnologiilor neconvenționale și a factorilor care au impus dezvoltarea și perfecționarea prelucrării prin electroeroziune. Am acordat o atenție deosebită tipurilor de materiale care se pot prelucra prin acest procedeu și a materialelor din care este confecționat electrodul sculă de prelucrare. Am încercat în acest fel să punem în evidență zece materiale esențiale și calitățile lor prin indicele de prelucrabilitate, calități care vor permite ulterior fuzzyficarea lor. În al doilea capitol, care continuă în mod natural ideile din precedentul capitol, ne aplecăm asupra analizei proceselor esențiale din EDM. Analiza celor trei etape principale ale unei descărcări electrice în impuls se realizează prin intermediul matricei fenomenologice a dinamicii proceselor care au loc la EDM. Analiza fenomenelor de natură electrică, termică, mecanică, chimică și hidrodinamică se realizează pentru fiecare din următoarele etape: - Amorsarea descărcării electrice; - Dezvoltarea descărcării electrice; - Prelevarea materialului de la electrozi. Din punct de vedere termic, capitolul doi este unul esențial pentru prezentarea aspectelor științifice care stau la baza procesului EDM, și anume, studiul câmpului termic impreună cu studiul fluxului energiei termice produs de apartul electric. Acest fenomen este urmărit în vederea optimizării acestor procese prin utilizarea funcțiilor spline cubice cardinale, respectiv prin teoria logicii fuzzy. În capitolul trei se fac referiri asupra stadiului actual al cercetărilor cu privire la modelarea procesului tehnologic de prelucrare prin electroeroziune. Pentru o mai bună întelegere a conceptului de modelare se definesc și câțiva termini care țin de aceasta. Partea a doua intitulată „Cercetări și aplicații privind optimizarea prin problema Stefan și logica numerelor fuzzy a proceselor EDM”, aspecte anunțate deja în partea întâi, abordează aplicarea funcțiilor

spline și a logicii numerelor fuzzy. În capitolul patru aplicăm problema Stefan de tip discontinuu, determinată de fenomenele produse de tehnologiile neconvenționale ce intervin în EDM, prin care obținem soluția unică a câmpului termic care apare în spațiul de lucru. Capitolul al cincilea abordează metodele numerice care conduc la determinarea constantelor de integrare care apar în soluția generală a ecuației Fourier Kirchhoff și obținerea ecuației craterului produs de EDM printr-un procedeu optimal atât relativ la problema Stefan cât și relativ la condiția la limită. Aceasta s-a realizat prin înlocuirea clopotului lui Gauss cu un tip special de funcție spline care are calitatea de a se anula la capătul razei craterului, spre deosebire de clopotul lui Gauss care se anulează când raza craterului devine infinită, fapt care nu corespunde realității. Capitolul șase presupune o prezentare a teoriei numerelor fuzzy cât și utilizarea algoritmului FAHP privind optimizarea proceselor care intervin în electroeroziune. Capitolul șapte se ocupă de aplicații numerice ale logicii numerelor fuzzy privind optimizarea unor procese esențiale care apar în EDM. Aceasta se realizează în vederea obținerii unor aprecieri „crisp” privind informațiile lingvistice asupra celor mai importante dintre acestea, procese care nu pot fi apreciate prin formule sau ecuații respectiv inecuații de numere „crisp”. Ținem să menționăm că această parte a cercetării este una originală în domeniu. Capitolul opt conține concluziile generale cât și contribuțiile originale aduse în această teză de doctorat. * *

În final doresc să aduc mulțumiri deosebite conducătorului meu de doctorat prof. dr. ing. Vasile Filip Soporan care a acceptat această temă de cercetare ce conține o mare gamă de modele de cercetare științifică și aplicații tehnice. Îi aduc mulțumirile și respectul cuvenit pentru îndrumarea profesională și sprijinul acordat în deosebi a publicării de articole în reviste naționale și internaționale. Mulțumiri respectuoase aduc și domnului prof. dr. ing. Marcel Popa, profesor al Facultății Construcții de Mașini, care a acceptat colaborarea și m-a sprijinit în realizarea prezentei teze de doctorat. Mulțumiri călduroase aduc și familiei care m-a sprijinit, îndrumat și încurajat în toți acești ani de pregătire a stagiului de doctorat. Doresc să le mulțumesc și colegilor de departament care mereu m-au ajutat și mi-au oferit sfaturi valoroase în redactarea și finalizarea tezei de doctorat. Teza a fost realizată în cadrul proiectului strategic POSDRU/159/1.5/S/137070 (2014) a Ministerului Național de Educație, Romania, cofinanțat prin Fondul Social European prin Programul Operațional sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013.

OBIECTIVELE TEZEI DE DOCTORAT

1. Definirea obiectivului principal al tezei de doctorat Obiectivul principal al tezei de doctorat constă în modelarea fenomenelor fizice și tehnologice prezente în cadrul procesului de electroeroziune cu scopul tehnologic de optimizare a parametrilor tehnologici în vederea previzionării formei amperentei generate în cadrul procesului urmărind creșterea productivității și optimizarea rugozității. Materializarea acestui obiectiv a impus dezvoltarea teoretică a unui instrument constituit din două părți care se completează reciproc. Prima parte urmărește optimizarea aproximării fluxului energiei termice produs de aparatul EDM. Aproximarea se realizează printr-o funcție spline cubică de regresie care se anulează la capătul razei și care utilizează punctele de regresie aflate în mare majoritate pe clopotul lui Gauss. Cercetările experimentale arată că aproximarea Spline corespunde mai fidel realității fizice a proceselor EDM. A doua parte, diferită de prima, dar care conduce tot la optimizări ale proceselor EDM, este compusă din aplicarea logicii numerelor fuzzy triunghiulare de tăietură și a algoritmului FAHP (Fuzzy Analytic Hierarchy Process) asupra unor caracteristici esențiale din EDM. Acestea sunt aplicate în vederea realizării unor modele matematice care să permită intervenții în cadrul proceselor importante în scopul optimizării rezultatelor obținute prin prelucrarea materialelor care se pretează la electroeroziune. Acest model matematic fuzzy, care este o noutate în domeniu, are efecte benefice, utilizând atât calitățile caracteristicilor esențiale al proceselor EDM cât și măsurătorile experimentale obținute cu ajutorul aparatului de prelucrare prin electroeroziune. Printre obiectivele secundare, care nu sunt neglijabile, se pot semnala câte unul din fiecare parte din cele prezentate anterior. Din prima parte atragem atenția asupra problemei Stefan de tip salt care presupune introducerea unui tip de crater rezultat în urma aplicării EDM. În această teză am propus un crater de forma unui elipsoid de rotație pe care l-am studiat în detaliu. În cea de-a doua parte am introdus un model de depistare a erorilor care pot fi provocate de posibilitatea introducerii unor date subiective care să realizeze modele optimale. În acest scop am realizat cele trei modele cunoscute a cazurilor „Optimist”, „Moderat” și Pesimist”. Ținem să precizăm că teste de depistare a erorilor folosind informația din histogramele ponderilor locale și globale se pot inlocui cu unele teste chiar mai performante.

2. Acțiuni în realizarea obiectivului propus În realizarea obiectivului propus în acestă teză de doctorat cele mai importante acțiuni au constat în:  Realizarea unui model numeric bazat pe teoria „punctului fix”, model care ne-a permis să determinăm aproximarea constantelor de integrare din soluția generală a ecuației Fourier-Kirchhoff. Soluția ne-a permis să deducem ecuația craterului obținut prin EDM, crater care indică calitatea prelucrării materialelor prin electroeroziune cât și volumul de material expulzat, dorindu-se astfel optimizarea procesului de eroziune electric prin creșterea productivității;  Analiza procesului tehnologic de electroeroziune prin intermediul matricei fenomenologice a dinamicii proceselor care au loc la EDM;  Analiza interdependenței dintre forma craterului și forma fluxului termic de tip Spline cubic de regresie care intră în piesa prelucrată;  Analiza dependenței cantității de material dislocat din piesa de lucru de anumiți parametrii: polaritate, conductivitate termică, punct de topire al materialului și al electrodului, curentul aplicat între electrod și piesă, frecvența impulsurilor;  Apelarea unui program cu ajutorul căruia am putut determina valorile și vectorii proprii corespunzători matricilor MOF (matrici de ordonare fuzzy), valori care sunt esențiale în vederea determinării ponderilor de cea mai bună aproximație, ponderi locale și ponderi globale;  Realizarea schemei logice de trecere de la ponderile locale la cele globale. Este cunoscut faptul că ponderile din teoria fuzzy au calitățile ponderilor din componența “variabilelor aleatoare”. În consecință modelul de realizare a ponderilor globale din cele locale este unic. Apreciem că schema logică propusă este unică și aparține autoarei prezentei teze de doctorat;  Analiza formei craterului obținut prin electroeroziune, cu ajutorul microscopului electronic cu baleiaj JEOL.

Partea I. ANALIZĂ A CERCETĂRILOR DIN DOMENIUL PRELUCRĂRII MATERIALELOR PRIN ELECTROEROZIUNE

Capitolul 1. CONSIDERAȚII ȘI APRECIERI ASUPRA PROCESULUI ȘI LIMITELE TEHNOLOGICE ALE ACESTUIA

1.1.

Introducere

Tema cercetării pe care o urmărim în acestă lucrare se încadrează în domeniul ingineriei materialelor, având ca obiect de studiu modelarea prelucrării materialelor prin tehnica neconvenţinală de prelucrare: electroeroziunea. Domeniul de competenţă ştiinţific, definit prin activitatea îndelungată a conducătorului de doctorat este ingineria materialelor. Tema propusă se încadrează în preocupările colectivului de cercetare, urmărind ca şi scop principal optimizarea procesului de modificare a structurii prin topire a metalelor (feroase şi neferoase). Topirea sau vaporizarea unor volume elementare de material sunt două dintre principalele fenomene fizice care stau la baza procesului de prelucrare prin electroeroziune. Definiţia electroeroziunii Conform STAS 12640-88 electroeroziunea se poate defini ca fiind un “procedeu, care aparţine metodei eroziunii de prelucrare a materialelor conducătoare de electricitate, bazat pe efectul eroziv al descărcărilor electrice în impulsuri, amorsate repetat între doi electrozi, piesă şi sculă – denumită electrod, separaţi de un fluid dielectric” [88]. Deşi standardul STAS 12640-88 denumeşte procedeul “electroeroziune” şi prelucrarea asociată acestuia ca “prelucrarea prin electroeroziune”, în prezent în lucrările ştiinţifice ale unor oameni de ştiinţă din diferite centre universitare din Romania această prelucarare se denumeşte “prelucrare prin eroziune electrică”, ambele variante fiind corecte şi recunoscute. Procesul de prelucare prin electroeroziune este un procedeu de prelucrare neconvențional care aparține metodei eroziunii, deci făcând parte din procedeele de eroziune termică, bazându-se preponderent pe eroziunea termică a materialelor. În urma procesului au loc acțiuni de rupere de material (distrugerea materialului în straturile superficiale ale acestuia) și îndepărtarea surplusului de material [88],[106],[109]. 21

Procesul folosește un electrod masiv de formă dorită (din grafit sau cupru de obicei) care produce o cavitate care este imaginea simetrică a electrodului. Nu există contact direct între electrod și piesa de prelucrat. Scânteile (descărcările electrice) traversează lichidul dielectric (în mod obișnuit un ulei ușor) la o distanță controlată. Atât electrodul cât și piesa de lucru trebuie să fie conducătoare de electricitate [24]. Avantajele prelucrării prin descărcare electrică sunt: 

este posibilă prelucrarea cavităților cu pereți și fețe subțiri deoarece procesul nu implică contact direct între electrod și piesa de lucru;



formele dificil de realizat sunt în general posibile cu acest procedeu de prelucrare;



în ciuda faptului că gradul de îndepărtare este raportat la caracteristicile de topire a materialului ce urmează a fi prelucrat, în procesul de prelucrare prin EDM nu este o problemă duritatea piesei de lucru, materialele cu prelucrabilitate slabă, gen carbură de wolfram sau sculele din oțel călit pot fi prelucrate prin acest proces;



EDM este un proces silențios.

Figura 1.1. Schema de principiu a unei instalații de prelucrare prin descărcări electrice [24]

Un studiu bibliografic general în acest domeniu este baza de plecare a cercetărilor din această teză de doctorat. Cercetările de ultimă oră în domeniul fenomenologiei prelucrărilor suprafeţelor cu aplicarea descărcărilor electrice în impuls au permis constatarea următoarelor: [33],[35],[36],[47],[71],[76],[85],[100].  La prelucrarea dimensională în mediul lichid, bula de gaz care se formeză în jurul canalului de plasmă există un timp mai îndelungat şi după terminarea descărcării electrice în impuls, ceea ce infimă teoria clasică, potrivit căreia metalul lichid este extras de pe suprafaţa electrozilor sub acţiunea depresiunii din interstiţiu. În acelaşi timp această constatare confirmă faptul că, la prelucrarea dimensională numai în faza de amorsare descărcarea electrică decurge în mediul lichid, după care, odată cu formarea bulei de gaz toate fazele descărcării electrice în impuls decurg în mediul gazos (şi este logic pentru că particulele mediului gazos sunt mai mobile, iar ionizarea gazului cu formarea plasmei îl transformă într-un conductor foarte bun).  În urma filmărilor ultrarapide executate de către Hockenberry Electric Came s-a constatat că amorsarea descărcării electrice în impuls se datorează în principal emisiei de electroni şi ionizării în avalanşă sub acţiunea intensităţii înalte a câmpului electric din interstiţiu.  Particulele de impurităţi, cele rezultate la prelucrarea dimensională în procesul prelevării de material de pe suprafeţele electrozilor sub acţiunea câmpului electric din interstiţiu se electrizează, acumulând sarcină la doi poli (anod şi catod), însă sarcina sumară a acestora este pozitivă din cauză că locul de ieşire al electronilor este mult mai mic decât al ionilor.  Pentru cazul prelucrărilor dimensional formarea bulelor de gaz, ce apar în interstiţiu, variază de la una eliptică la cea sferică în funcţie de mărimea interstiţiului (fapt care arată că în interstiţiu concurează fenomene hidrodinamice, termice şi electrodinamice).  Au fost depistate cratere de eroziune electrică care se deosebesc esenţial între ele şi anume: primele au suprafaţa calotei sferice netedă, următoarele au suprafaţa calotei sferice rugoasă, iar ultimele sunt centrate în jurul unui menisc de formă conică sau eliptică.  A fost depistată formarea meniscurilor de formă conică pe suprafaţa electrodului anod cu suprafaţa semirotundă şi în cea a craterului catodului, executat din titan de puritate tehnică.  Pentru mărimi constante ale interstiţiului şi a energiei acumulate pe bateria de condensatoare a generatorului de impulsuri de curent, se atestă divizarea craterului pe suprafaţa prelucrată a electrodului în câteva cratere de dimensiuni mai mici (ceea ce se poate datora numai interacţiunii suprafeţei prelucrarte cu mai multe canale separate de descărcare).  În decursul descărcării electrice în impuls solitare se atestă scânteieri ale canalului de plasmă (ceea ce confirmă că, de fapt există simultan sau se perindă în timp naşterea şi dispariţia mai multor canale de conductivitate).  Rugozitatea suprafeţei prelucrate este direct proporţională cu puterea degajată în interstiţiu în perioada descărcării electrice în impuls. 

Este înaintată ipoteza unui nou mecanism de formare a craterului la electroeroziune în 23

baza dezvoltării undelor capilare pe suprafaţa metalului lichid în câmpul electric al descărcării electrice în impuls.  Cu ajutorul sistemului fuzzy și a rețelelor neuronale se pot monitoriza și controla cu succes parametrii de optimizare ai EDM; natura regulilor fuzzy și a relațiilor între diferite mulțimi fuzzy a făcut posibilă implementarea unui sistem de modelare care poate rezolva sisteme expert tradiționale, modele matematice, abordări statistice foarte dificile. O problemă provocatoare în acest domeniu este cea a scânteilor și a arcurilor electrice diferențiate, adică aceste două pulsuri sunt similare iar cunoașterea despre cum se pot distinge este incompletă și vagă corespunzătoare cu fenomenul de descărcare în sine. Prin analiza semnalului electric de impedanță și extrăgând carcateristici din acest semnal, folosind raționamentul sistemului fuzzy ca și clasificator, s-a reușit diferențierea scânteielor de arcurile electrice, o metodă care poate procesa pulsuri individuale rezultând într-o monitorizare mai precisă a fenomenului care poate fi măsurat.  În urma experimentelor și a optimizării procesului de prelucrare EDM folosind rețelele neuronale artificiale și algoritmii genetici a rezultat că: - o creștere a curentului la o tensiune constantă duce la creșterea ratei de îndepărtare a materialului; - în cazul aluminiului și a aliajelor acestuia valoarea ratei de îndepărtare a materialului crește o dată cu creșterea intensității curentului și scade o dată cu scăderea acestuia la o valoare a tensiunii constantă; - există o reducere considerabilă a mediei pătratice a erorii în cazul în care rețeaua este optimizată cu algoritmi genetici; - dintr-o analiză de senzivitate rezultă că tipul de material are cea mai mare influență asupra tuturor măsurilor de performanță.  Creșterea timpului de impuls determină variație cu maxim a productivității prelucrării, scăderea uzurii relative a electrozilor și creșterea rugozității și a grosimii interstițiului.  Creșterea timpului de pauză determină micșorarea productivității prelucrării și creșterea ușoară a uzurii relative a electrozilor.  Creșterea indirectă a tensiunii de lucru are drept urmare variația cu maxim a productivității prelucrării și scăderea lentă a uzurii relative la electrozii din cupru și variații nesemnificative în cazul electrozilor din grafit și wolfram-cupru.  Un alt studiu interesant a fost abordat în lucrarea care propune o optimizare a parametrilor de proces prin utilizarea unei mixturi de praf care se introduce în fluidul dielectric, o pulbere conductoare de electricitate care reduce puterea de izolare a fluidului dielectric și crește interstițiul de lucru dintre electrodul sculă și piesa de prelucrat, ca urmare procesul devine mai stabil prin acesta îmbunătățind rata de material îndepărtat și procesul de finisare a suprafeței. Sa observat că pulberi de aluminiu și de grafit existente în lichidul dielectric aduc îmbunătățiri în procesul de finisare a suprafeței mai bune decât dacă s-ar introduce doar pudră de siliciu. Există un efect de corelare care este creat cu un ados de pulbere de siliciu facilitând dispersia în descărcare în mai multe trepte, ca urmare mai multe traiectorii de descărcare formează o structură de impuls de intrare unică și astfel mai multe puncte de descărcare sunt create rezultând o îmbunătățire a ratei de îndepărtare de material cât și a finisării suprafeței. Panta 24

curbei indică faptul că rata de îndepărtare a materialului crește o dată cu creșterea concentrației din pulbere a siliciului.  Efectul Joule de încălzire este principala sursă de energie termică pentru a crește temperatura în canalul de descărcare și care ajută la topirea și vaporizarea materialului electrodului sculă și a piesei de prelucrat.  Eficiența de îndepărtare a materialului de la anod este mai mică decât de la catod deoarece există o cantitate mare de energie care merge spre anod și deasemenea o răcire mai rapidă a materialului de la anod. Acest fenomen poate fi explicat de diferența conductivității termice a catodului și a anodului.  Cercetările făcute în acest domeniu au demonstrat că există o relație între rata uzurii electrodului sculă, proprietățile termice a electrodului sculă și a piesei de lucru experimentate pe mai multe tipuri de materiale.  Controlul lățimii interstițiului de lucru folosind măsurarea tensiunii și a curentului a fost de altfel implementată cu succes în a indepărta influența acestora în uzura electrodului sculă.  De altfel, modul repetitiv a prelucrării este eficient pentru aparatul de lucru doar la o distanță anume între electrodul sculă și piesa de prelucrat existând multe cercetări în simularea geometrică a EDM-ului ținându-se cont de relațiile dintre rata de material îndepărtat din piesa de lucru și înălțimea interstițiului de lucru.  Au fost dezvoltate modele care pot prezice cu exactitate schimbarea geometriei piesei de prelucrat și a sculei în timpul procesului de prelucrare datorită uzurii capătului și al colțurilor electrodului sculă și a interacțiunii cu piesa de prelucrat. 1.2.

Încadrarea EDM-ului în cadrul tehnologiilor neconvenționale

Prelucrarea neconvențională a fost definită ca o prelucrare a materialelor care folosește niște procedee speciale, bazate pe alte principii de cât cele folosite la prelucrarea clasică. În dicționarul limbii române definiția convenționalului este: “stabilit prin tradiție, acceptat prin convenție”, iar neconvențional: “care nu se supune convențiilor, original, care nu a fost impus prin folosire îndelungată”. Pornind de la aceste definiții și referindu-ne la tehnologie, înseamnă că tehnologiile convenționale sunt tehnologiile cunoscute practic pe tot globul pământesc, tehnologii care se aplică în practica industrială în toate intreprinderile iar tehnologiile neconvenționale (TN) sunt tehnologii noi, mai puțin cunoscute și care se aplică pe o scară mai redusă, acolo unde le sunt cunoscute, având o eficiență superioară tehnologiilor convenționale [105]. Tehnologiile neconvenționale sunt tehnologii care utilizează drept „instrument” energiile concentrate sub diferite forme ca: descărcările electrice în impuls, temperatura ce o poate crea un fascicol de electroni, ioni, neutroni sau laser, plasma fenomenelor de electroliză, ultrasuntele și jetul de apă. La toate aceste tehnologii prelucrarea se face prin îndepărtarea de pe suprafața piesei a unei cantități de material sub formă de particule mici, însă în număr mare în unitate de timp, fenomen 25

caracteristic eroziunii, de unde și numele dat acestor tehnologii, și anume tehnologii prin eroziune [55]. Cerințele industriei din multe țări au făcut sa se scurteze substanțial perioada de tranziție de la descoperirea de bază a fenomenologiei până la aplicarea industrială a acesteia. Primele echipamente electrice au luat naștere doar în timpul celui de-al Doilea Război Mondial, când Lazarenko le-a folosit în prelucrarea dispozitivelor de artilerie. În ceea ce privește laserul, realizarea ciclului de stagiu industrial a fost mai scurtă. Atât pentru MASER (Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation – Amplificarea de Microunde prin Emisia Stimulată a Radiației) cât și pentru LASER (Light Amplification by Simulated Emision of Radiation – Amplificarea Luminii prin Emisie Stimulată a Radiației), fundamentele au fost direcționate de cercetătorii E. Rutherford și N.Bohr, iar în ceea ce privește structura atomului în anul 1960, ca aplicații militare, deasemenea aceasta a dus la primul laser cu rubin în Belt Telephone Laboratories, U.S.A., bazat pe cercetările din Shawlow și Townes. Primul laser cu gaz (He-Neon) a fost conceput în același laborator, iar mai târziu, în anul 1962, prof. I. Agârbiceanu, concepe primul laser românesc (He-Neon) cu radiație infraroșu (  1,15 [ m ]) . Astfel au apărut multe aplicații de la L.B.M. (Laser Beam Machining – dispozitiv de prelucrare cu fascicol laser) la aplicații medicale, sinteze (compozite) chimice, procedee de masurare și transmitere a informației sau “războiul stelelor”. În ceea ce privește laserul, aceste descoperiri de mai sus sunt cele mai importante trei descoperiri specifice, cu proprietăți speciale a radiației laser, realizarea unor noi materiale și un capital mare de investiții in industria militară. Astăzi aplicațiile criogenice (temperaturi foarte joase) sunt extrem de folosite la tehnologiile clasice neconventionale, de exemplu răcirea prin criogenare a electrodului în procesul de prelucrare prin electroeroziune sau in prelucrarea electrochimică. Un alt domeniu modern de cercetare este reprezentat de Water Jet Cutting (Așchierea (tăierea, debitare) prin jet de apă) care are multe variante (jet de apă, lustruire prin jet de apă) presiunea jetului de apă crește de la 400 [ bari ] și de la o viteză de 600 [m / s ] îndeajuns să taie o tablă de oțel de 250 [mm ] grosime. O caracteristică importantă a acestei tehnologii este gradul mare de generalitate,

prelucrarea prin jet de apă, se poate aplica la orice tip de material. Aplicațiile industriale a acestei tehnologii au fost materializate în domeniul militar de către Boeing in anul 1979. Trecerea de la “epoca industrială” la “epoca informației” este o evoluție desăvârșită de spațiu (timp). Spațiul industrial afectează toate elementele naționale de securitate și are o strănsă legătură cu tehnologiile neconvenționale. O cheie de colaborare spre economia națională, putere și prestigiu este esențială pentru apărarea națională. Încă de la Desert Storm (Furtuna Deșertică - 1991) aplicațiile militare a sistemului spațial și a tehnologiilor neconvenționale sunt bine cunoscute. Spațiul aerian a fost și el integrat deasemenea, ca și catalizator, în epoca informației. “Convergența tehnologiei înspre computere și telecomunicații schimbă lumea radical ca și revoluția industrială care a avut loc acum 200 de ani” (Information Industry Study, 1996). Desingul asistat de calculator și prelucrarea asistată de calculator (CAD, CIM) au transformat radical metodele, structura și cultura industriei aeronautice. Multe instrumente de design asistate de calculator pentru aeronautică sunt disponibile pentru intreaga industrie. Două dintre produsele notabile 26

sunt CATIA, dezvoltată de Dassault of France și folosită de către Boeing și Computer vision, dezvoltat în USA și folosite de către partenerii Airbus. O noțiune nouă și modernă este producția agilă (iute) “Producția agilă este un termen generic pentru un număr de inițiative de imbunătățire a competenței care include factori flexibili și de înclinare, sisteme de informare legate în rețea și o graniță ( limită ) transversală prin intermediul comunicațiilor și între diferite șiruri de valori. Această viziune a fost prima dată descrisă de către Agile Manufacturing Enterprise Forum ținut în 1991. Agilitatea este capacitatea de-a înflori în perioade de incertitudine, fără posibilitatea de a anticipa și schimbări repetate. Producția agilă este integrarea resurselor tehnologice, a managementului și forței de muncă într-un sistem coordonat interdependent (producție, inginerie, marketing, putere de cumpărare, finanțe, gestiune, vânzare și unități de cercetare). Materialele contribuie la bogăția și puterea statelor. De altfel Morganthau și Thompson (1985) enumeră materia primă (neprelucrată) unul dintre cei mai importanți și relevanți factori de stabilitate care influențează statutul unei țări și securitatea ei națională. Câteva materiale sunt atât de importante încât ele sunt asociate cu istoria în sine. (epoca de bronz, oțel, silicon sau materiale compozite). Prelucrarea câtorva materiale moderne este imposibilă cu “tehnologia clasică de prelucrare” având nevoie de o tehnologie de prelucrare neconvențională sau micro tehnologii. Materialele moderne sunt un subansamblu a materialelor produse sau create fiind acel loc avantajos. Materialele moderne se împart în două categori, metale speciale (ex. titanul, beriliu) și compozite moderne: ceramice, polimeri, metale matrițate și compozite cu conductivitate termică ridicată. Metalele speciale sunt întâlnite în multe aplicații militare de exemplu la turbina motoarelor, armamente nucleare, vehicule blindate, cadre zburătoare, sisteme optice. (Abbot, 1997). Tehnologia și inovația au o mulțime de impacturi asupra utilizării materialelor. În afară de reciclare, tehnologia viitoare mai oferă o nouă explorare dar și metode de extracție mult mai eficinte utilizate pentru materiale. Noua structură artificială a materialelor (de ex. compozite sau ceramice) vor înlocui construcția și componența mineralelor actuale. Tehnologia neconvențională poate construi (produce, face) materiale noi, dându-le proprietăți avansate materialelor neîntâlnite în natură, (USA Committee on Materials Science, 1989). Tehnologiile neconvenţionale apărute recent în activitatea de producţie, printre care se găseşte şi prelucrarea prin electroeroziune, mai precis EDM, prezintă unele avantaje faţă de tehnologiile clasice. Ceea ce caracterizează, în primul rând, aceste tehnologii neconvenţionale este gradul avansat de automatizare, productivitatea ridicată şi folosirea lor cu precădere în domenii cu aplicaţie ce nu sunt satisfăcute de tehnologiile convenţionale. Eroziunea electrică a unui material metalic este un fenomen observat de multă vreme, uzura pieselor de contact în echipamentele de joasă și înaltă tensiune, datorită arcului electric. C. Marti afirma că primele observații privind acțiunea unui metal se atribuie lui Priestley (1768), dar Benediks (1912) este acela care explică eroziunea metalului print-un fenomen complex termic și electric, opinie la care au ajuns de altfel, majoritatea cercetătorilor. De-abia în anul 1943 Lazarenko, din Rusia, a realizat primele instalații industriale de prelucrare a materialelor prin descărcări electrice, prelucrare denumită “Prelucrare prin scântei electrice”.

Cererile tot mai mari ale industriei au condus la nevoia de prelucrare a tot mai multor materiale, la realizarea de forme complexe și cu dimensiuni foarte mici. Astfel s-au dezvoltat tot mai mult tehnologiile neconvenționale, în special a prelucrării prin electroeroziune. Această dezvoltare a urmărit creșterea productivității prelucrării Qw, precizia de prelucrare a suprafețelor dar și netezimea suprafețelor prelucrate. Ținându-se cont și de factorul economic, utilizarea tehnologiilor de prelucrare se recomandă să se facă astfel [88]: 

Pentru materiale greu prelucrabile (oțeluri înalt aliate, refractare, carburi matalice, mineraloceramice și compozite) se recomandă utilizarea tehnologiilor neconvenționale, respectiv prelucrarea prin electroeroziune.



Pentru materialele cu prelucrabilitate bună se recomandă aplicarea tehnologiilor convenționale, corelat însă cu influența celorlalți doi indicatori. Din punct de vedere al complexității suprafețelor prelucrate, utilizarea tehnologiilor de prelucrare se apreciază să se facă astfel [88]: 

Pentru suprafețe foarte complexe se recomandă utilizarea tehnologiilor neconvenționale dintre care preponderent tehnologiile de prelucrare prin electroeroziune.



Pentru suprefețe simple, cu complexitate mică, se recomandă aplicarea tehnologiilor convenționale, corelat însă și cu influența celorlalți doi indicatori. Din punct de vedere al dimensiunilor suprafețelor prelucrate, utilizarea tehnologiilor de prelucrare se apreciază să se facă astfel: 

Pentru suprafețe cu dimensiuni mari și foarte mari se recomandă utilizarea tehnologiilor convenționale, corelat însă și cu influența celorlalți doi indicatori.



Pentru suprafețe cu dimensiuni mici se recomandă aplicarea tehnologiilor neconvenționale.

Figura 1.2. Model practic al principiului prelucrării prin electroeroziune (după firma AGIE, 1972) [88]

Pe baza analizei influenței celor trei variabile asupra principalelor caracteristici ale prelucrării, rezultă că tehnologiile neconvenționale, în general, și prelucrarea prin electroeroziune, în special, se recomandă să se aplice preponderent la materialele greu prelucrabile, chiar dacă complexitatea suprafețelor este mică sau dimensiunile acestora sunt mari, la suprafețe cu complexitate mare și foarte mare chiar dacă materialele sunt ușor prelucrabile și dimensiunile suprafețelor sunt mari și la prelucrarea unor suprafețe cu dimensiuni foarte mici, chiar dacă materialul este ușor prelucrabil iar complexitatea suprafeței este mică. 1.3.

Factori care au impus dezvoltarea și perfecționarea prelucrării prin electroeroziune

Principalele tendinţe care au impus introducerea şi dezvolatrea prelucrării prin eroziune electrică sunt [88]: 

creşterea ponderii materialelor greu prelucrabile, cu proprietăţi de înaltă duritate, rezistenţă la uzură, materiale precum: oţeluri inoxidabile şi refractare, carburi metalice, materiale mineralo-ceramice, materiale compozite;



creşterea ponderii suprafeţelor foarte complexe ale pieselor, acestea determinând dezvoltarea continuă şi chiar descoperirea unor noi metode şi procedee de prelucrare.



creşterea preciziei de prelucare a pieselor referitor la: - precizia dimensiunilor (liniare şi unghiulare); - precizia formei macrogeometrice a suprafeţelor (forma profilelor, a suprafeţei); - precizia poziţiei relative a suprefeţelor: poziţia nominală, orientarea; - precizia formei microgeometrice: netezimii suprafeţelor; - precizia proprietăţilor stratului superficial al suprafeţelor.



creşterea diversificării gamei dimensionale a pieselor, existând două tendinţe: - miniaturizarea produselor determinată de dezvoltarea microelectronicii, - agabaritizarea produselor. Principalii factori care au impus introducerea şi dezvoltarea prelucrării prin eroziune electrică sunt: 

viteza de funcţionare a produselor care variază în limite foarte largi: ( (1  2)[ m / s ]  (2000  3000 )[ m / s ] sau (0.3  0.5)[ rot / min]  1500000 [rot / min] ;



puterea de funcţionare a aparatelor: 0.002[W ]  (1500000  2000000 )[CP ] ;



temperatura de funcţionare a produselor: (200  220 )[ o K ]  (6000  12000 )[ o K ] ;



presiunea de funcţionare a produselor: (10 13  10 14 ) [tori]  presiuni de sute de mii atmosfere.

Aceşti factori au determinat dezvoltarea celor mai performante metode şi procedee de prelucrare şi pe acestă bază, a tehnologiilor asociate acestora, printre care şi cele de prelucrare prin electroeroziune. Se apreciază că din totalul tehnologiilor neconvenţionale aplicate, tehnologiile de prelucrare prin electroeroziune se aplică în proporţie de aproximativ 80%. 29

Metoda este deosebit de eficientă la prelucrări de degroșare datorită productivității ridicate, în condițiile unei calități scăzute a stării suprafețelor prelucrate. Astfel, la degroșare se pot atinge productivități de circa 10 5 [mm 3 / min] , la rugozități de peste R z  50 [ m ] , adâncimi ale stratului modificat termic de ordinul milimetrilor. La operații de finisare se pot obține la productivități de circa 50 [ mm 3 / min] rugozități de ordinul R z  6.3 [ m ] până la R z  12.5 [ m ] . În comparație cu alte

procese se realizează un consum de energie scăzut (de la 1.4 [kW / kg ] până la 1.8 [kW / kg ] ) acestea micșorându-se o dată cu creșterea adâncimii stratului prelevat [106]. Din punct de vedere ştiinţific procesele EDM permit introducerea elementelor de calcul tehnologic care conduc la obţinerea de rezultate superioare din punct de vedere calitativ cât şi a optimizării tehnologiei de prelucrare, din pespectiva timpului de prelucrare, respectiv a preţului de cost. Pentru cazul prelucrării prin eroziune electrică, optimizarea trebuie dirijată în special asupra productivităţii prelucrării, unul dintre principalii factori limitativi ai operaţiei. 1.4.

Tipuri de materiale care se pot prelucra prin eroziune electrică

Prelucrarea prin eroziune electrică cu impulsuri generate pe cale electrică se poate aplica la toate materialele electroconductoare, însă, în general, această prelucrare se aplică în cazul materialelor greu prelucrabile, cele care necesită geometrii complexe și la toate categoriile de prelucrări microdimensionale. în general sunt prelucrate următoarele material [85],[88],[106],[109]: 

materialele metalice feroase, precum oțelul, fonta și toate aliajele fierului;



materialele metalice neferoase, și anume cuprul, aluminiul, alama, bronzul, etc. Și toate aliajele neferoase;



carburile metalice de orice fel;

 materialele compozite, numai cele cu proprietăți de conductibilitate electrică. Comportarea materialului piesei de prelucrat la EDM se apreciază printr-o caracteristică a acestuia, denumită “prelucrabilitate”. Prelucrabilitatea este însușirea unui material de a se prelucra printr-un procedeu în condiții normale, tehnice și economice. Cu cât prelucrabilitatea unui material este mai bună cu atât productivitatea și precizia sunt mai mari și, corespunzător, timpul de prelucrare este mai mic. Aprecierea comportării materialului piesei la EDM se face în mod direct, pe baza “criteriilor de stabilitate sau rezistență” la electroeroziune și în mod indirect, pe baza “funcțiilor și indicilor de proces”, respectiv a funcțiilor și indicilor de prelucrabilitate. Dependența prelucrabilității materialelor la electroeroziune de proprietățile termofizice, electrice și mecanice este exprimată de formula (1.1),

P

E     e  (1  ) c    ( )    (Tt  TO ) 2  Ct  Cv

unde cu P este notată prelucrabilitatea. 30

(1.1)

Aprecierea prelucrabilității pe baza criteriilor de stabilitate sau rezistență se bazează pe legătura dintre stabilitate și prelucrabilitate, respectiv “cu cât un material are o stabilitate sau rezistență mai bună la electroeroziune, cu atât el are o prelucrabilitate mai mică”. Tabelul 1.1. Clasificarea materialelor pe baza proprietăților termofizice și electrice [88]

Locul

Materialul

Indicele de prelucrabilitate

Magneziul

Aluminiul

Alama

1,6

Cuprul

1,1

Oțelul – material de referință

Nichel

0,8

Titan

0,6

Molibden

0,5

Aliaje dure

0,4

Wolfram

0,3

Comform formulei prelucrabilității rezultă că aceasta variază direct proporțional cu modulul de elasticitate E , coeficientul de dilatare termică  , rezistivitatea  e și coeficientul lui Poisson  , respectiv crește cu creșterea valorilor acestor caracteristici. Prelucrabilitatea variază invers proporțional cu căldura specifică c, densitatea  sau greutatea specifică  , coeficientul de conductibilitate termică  , temperatura de topite Tt , căldura latentă de topire C t , și căldura latentă de vaporizare C v , respectiv scade cu creșterea valorilor acestor proprietăți ale materialului. În funcție de proprietățile termofizice și electrice, determinate pe baza criteriului lui Palatnik, se poate realiza, pe baza calculului indicelui relativ de prelucrabilitate a unui material, clasificarea diferitelor materiale, din punct de vedere al prelucrabilității prin electroeroziune. Intensitatea curentului electric este direct proporțională cu productivitatea prelucrării Q w , iar pentru o valoare dată a intensității I e , prelucrabilitatea depinde de materialul piesei. În raport cu oțelul, magneziul, aluminiul, alama și cuprul au o prelucrabilitate mai bună, în schimb nichelul, titanul, molibdenul și aliajele dure, carburile și wolframul se prelucrează mai greu ca și oțelul. Pentru aprecierea prelucrabilității pe baza funcțiilor și indicilor de proces au fost realizate cercetări care au vizat două direcții principale, și anume: 

cercetarea prelucrabilității unor oțeluri, pe baza uzurii electrozilor, în funcție de procentul elementelor de aliere – carbon, wolfram, crom;



cercetarea prelucrabilității unor materiale, în funcție de tipul acestora, pe baza unor funcții 31

și indice de proces, și anume: funcția și indicii de productivitate, Q w , funcția și indicii de interstițiu lateral, S L , funcția și indicii de rugozitate, R a și funcția și indicii de uzură  . Pobjimov a studiat procesul de uzare al electrozilor la prelucrarea prin electroeroziune a oțelurilor, în funcție de procentele de aliere ale acestora, și a determinat relația masei de material prelevată de la electrozi. În concluzie, oțelurile cu procent mare de carbon, wolfram, crom și vanadiu au o prelucrabilitate scăzută prin electroeroziune iar oțelurile cu procent mare de molibden și nichel au o prelucrabilitate bună. 1.5.

Aplicații industriale care folosesc prelucrarea prin electroeroziune

Utilizarea tehnologiei prin electroeroziune conduce la obținerea unor însemnate economii anuale pentru prelucrarea diferitelor piese (ștanțe, matrițe, cochile...), economii care permit ca termenul de amortizare a investițiilor (recuperarea cheltuielilor) pentru utilaje de prelucrare prin electroeroziune să fie de circa 3-7 ani, atunci când sunt utilizate și exploatate în mod rațional. Se apreciază că, în cazul producției de serie bine organizate, termenul de amortizare poate fi mai mic. La sfârșitul secolului douazeci, prelucrarea prin electroeroziune ocupă primul loc în cadrul tehnologiilor neconvenționale de prelucrare, atât în ceea ce privește numărul echipamentelor (aproape că nu există intreprindere mecanică mare sau mijlocie care să nu dispună de cel puțin o mașină de prelucrat prin electroeroziune, cu electrod masiv sau cu electrod filiform), cât și volumul de ansamblu al prelucrărilor. Caracteristicile prelucrării au permis însă dezvoltarea unei game foarte variate de procedee, care înregistrează diferențe legate de modul în care sunt amorsate descărcările electrice, schema de lucru a prelucrării, parametrii regimului de lucru, modul de acces al mediului de lucru spre zona de prelucrare sau altele [106]. De exemplu, mașinile speciale și specializate sunt folosite la: -

executarea paletelor pentru turbine termice, executarea calibrelor pentru controlul sau execuția de laminare a produselor cu profil periodic (fier-beton), executarea individuală sau multiplă a unor alezaje submilimetrice (pompe de injecție, filtre și site metalice, carburatoare ale motoarelor), extragerea sculelor rupte din piese (alezoare, burghie, tarozi), marcarea suprafețelor metalice.

Chiar dacă aplicarea prelucrării prin descărcare electrică este limitată de conductivitatea 32

Figura 1.3. Mașină specializată de prelucrare prin EDM [107]

electrică a materialului piesei de prelucrat, procesul are capacitatea de a prelucra aceste materiale indiferent de duritatea și rezistența acestora. Materialele neconductoare de electricitate precum sticla, ceramica sau plasticul nu pot fi prelucrate cu ajutorul acestei tehnologii însă prelucrarea oțelului călit elimină tratamentul termic necesar în urma prelucrării tradiționale care ar produce posibile deformări. Deasemenea pot fi realizate forme complexe în oțel călit sau carburi fără a fi necesare secționări costisitoare [24]. Procesul EDM este extrem de folosit în fabricarea sculelor, SDV, matrițelor, ștanțelor, matrițelor de ambutisat, matrițelor pentru turnarea sub presiune, matrițe pentru injectare, filiere, matrițe de extrudare, fiind din ce în ce mai mult aplicată pentru realizarea de prototipuri și părți de producție în special în industria aerospațială și electronică în care cerințele de producție sunt relativ mici. Majoritatea aplicațiilor în EDM sunt în producția de matrițe cu clișee de oțel datorită rentabilităților economice aduse folosind procesul EDM. Extrudarea, laminarea, forjarea, scoaterea sculelor rupte și realizarea de matrițe sau matrițe pentru plastic turnat pot fi făcute cu ajutorul EDM. Aplicațiile posibile cu ajutorul EDM sunt cele care prelucrează părți în miniatură sau făcute din pereți subțiri sau fragili care nu pot fi prelucrați cu ajutorul tehnicilor convenționale de prelucrare, sau forme rotunde sau iregulare complicate cu dimesiuni mai mici de 0,05 [mm] în diametru, care merge până la o rată de 20:1. Fante înguste chiar mai mici de 0,05 [mm] pot fi deasemenea realizate cu ajutorul procesului de electroeroziune. Cu ajutorul acestei tehnologii de prelucrare prin descărcări electrice sunt obținute piese complexe utilizate în construcția de mașini pentru scule și ștanțe, în industria aerospațială și nucleară sau în industria automobilului, optică, medicală, telefoane mobile, computere, energetică, electronică.

Figura 1.4. Piese prelucrate prin electroeroziune

Prin introducerea acestei tehnologii productivitatea sculăriilor din orice industrie a crescut cu 4050%. Cât despre calitate, faptul că se poate realiza prin prelucrare un număr identic de piese și toate să fie realizate la același nivel calitativ și de toleranțe este un fapt de deosebită importanță ce va generaliza și

mai mult procedeul. Înafara unor găuri și profile speciale, se pot realiza suprafețe prelucrate foarte fin fără a mai fi nevoie de alte prelucrări, de șlefuiri speciale, de adânciri, de debavurări, de lustruiri, de tăieri și contururi bidimensionale [109]. În România, primele mașini industriale de prelucrat prin eroziune electrică au fost realizate la “Electrotimiș” Timișoara, dintre ele amintim ELER-01-GEP-50F, prevăzută cu senzori optici pentru poziționarea mesei mașinii, ELER-02 și ELER-21. Iar pe plan mondial se remarcă firme consacrate care produc mașini de prelucrat prin electroeroziune, dintre care amintim: “Charmilles” și “Agie” Elveția, “Ona” Spania, “Japax” Japonia, “VJK” Cehia, “Erozimat” Ungaria. După 1990, societatea mixtă româno- italiană cu capital majoritar privat STIMEL Timișoara, fabrică mașini de prelucrat prin eroziune electrică cu electrod masiv și filiform [88]. AA EDM Corporation USA, Michigan, este cea mai mare firmă care construiește și meține modele personalizate de prelucrare prin electroeroziune pentru cereri speciale de producție și de volum mare. Personalul lor de ingineri și tehnicieni au mulți ani de experiență în eletroeroziune combinație între desing personalizat, aplicații, cereri, automatizare și producție. Generatoarele folosite pentru mașinile de electroeroziune au un desing sofisticat, multiple procesoare, procesoare prin semnal digital și o interfață de operare unică și extrem de intuitivă. Mașinile de electroeroziune dispun de o construcție modulară cu o arhitectură repartizată a rețelei de fibră optică pentru o mai bună fiabilitate și întreținere cu urmări neplăcute minime. Rezultatul este producerea rapidă și precisă a pieselor de schimb, fiabile, ușor de utilizate și de lungă durată pentru mașină. Produc și prelucrează dispozitive medicale, valve pentru mosoare hidraulice și pneumatice, componente aerospațiale, palete și lamele pentru cele mai importante companii din lume, Bosch, Delphi, Caterpillar, Cummins, Magellan și altele [104].

Figura 1.5. Componente aerospațiale și medicale produse prin electroeroziune de către AAEDM Corporation [104]

1.6.

Concluzii parțiale

Prelucrarera prin electroeroziune este un procedeu des folosit și satisfăcător în multe domenii de activitate de la industria producătoare de scule și auxiliare pentru acestea până la industria aeronautică sau nucleară. Dezvoltarea domeniului de cercetare este util în vederea optimizării parametrilor acestui proces și analiza comparativă a diferitelor procese și procedee de prelucrare în vederea satisfacerii restricțiilor tehnico-economice impuse.

Capitolul 2. CONSIDERAȚII ASUPRA PROCESELOR ESENȚIALE DIN CADRUL EDM ÎN VEDEREA MODELĂRII ACESTORA

2.1.

Analiza procesului prin intermediul matricei fenomenologice a dinamicii proceselor care au loc la EDM

Prelevarea de material prin eroziune are loc sub formă de particule submilimetrice, microscopice sau dizolvate, în prezența unui mediu de lucru lichid sau gazos și a cuplului tehnologic “sculăsemifabricat” [17],[84],[88],[109]. Transformarea energiei primare (electrică) în energie de efect (termică) se realizează la nivelul petelor electrodice şi duce la formarea unui crater de eroziune (prelevare) pe suprafaţa de prelucrat a semifabricatului, respectiv a unui crater de eroziune (uzare) pe suprafaţa activă a electrodului. Prelucrarea prin eroziune electrică este un proces de prelevare a materialului prin acțiunea repetată a descărcărilor electrice în impuls, desfășurate într-un lichid dielectric, între două obiecte metalice conectate la o sursă de energie. Prelucrarea, în cazul cel mai general, este “o transformare locală sau globală prin care se modifică dimensiunile, forma, constitutia sau aspectul unui material pentru obținerea unor produse finite”. Se consideră produs finit unul din cele trei elemente: piesa, subansamblul, ansamblul. Prelucrarea cuprinde procese de transformare fizică în care se modifică dimensiunile și forma, dar și procese complexe chimice sau de altă natură prin care se modifică constituția și aspectul acesta referindu-se la toate posibilitățile de modificare a acestuia prin metode denumite de acoperiri iar constituția se referă la modificarea compoziției chimice, structurii și proprietăților materialului, prin metode de tratament chimic și termochimic. Prelevarea de material reprezintă, în sens tehnic, mijlocul de separare a unor particule de dimensiuni submilimetrice din materialul de bază al semifabricatului prin fenomene nemecanice. Eroziunea electrică este procesul de prelucrare în care particulele de material de pe suprafața semifabricatului sunt îndepărtate prin efect preponderent termo-rezistiv, asociat descărcărilor electrice într-un mediu lichid, de tip dielectric. Descărcările electrice se amorsează succesiv și se localizează selectiv în diferite zone ale spațiului dintre electrod și semifabricat, numit interstițiu, în funcție de realizarea locală a condițiilor de formare a arcului electric. Acționând discontinuu fiecare arc electric constituie un proces elementar de eroziune, desfășurat într-un spațiu restrâns limitat de coloana descărcării și de petele electrodice, de contact cu stratul de material. În funcție de natura predominantă a energiei de efect și a mecanismului elementar de eroziune, 37

procesul de prelucrare prin eroziune, utilizate la ora actuală în industria constructoare are ca energie de efect energia termică mecanismul de prelevare este unul de topire si vaporizare iar sursa de energie este arcul electric. Principalele fenomene fizice care stau la baza mecanismului de eroziune sunt următoarele: - fenomene termice: topirea și vaporizarea unor volume elementare de material; - fenomene mecanice și hidraulice: ruperea de material în straturile de suprafață ale semifabricatului; - fenomene chimice: coroziunea.

Figura 2.1. Schema de principiu a prelucrării prin eroziune electrică [91]

Principalele categorii de fenomene, din punct de vedere al elementului care compune structura procesului avem: fenomene la catod, fenomene la anod, fenomene în dielectric, iar din punct de vedere al naturii fenomenului de prelucrare: fenomene electrice, fenomene termice, fenomene chimice, fenomene mecanice și fenomene termodinamice. Procesul de prelucrare prin eroziune electrică se desfășoara de-a lungul mai multor etape elementare, ciclice: 

etapa amorsării descărcării electrice,



etapa dezvoltării descărcării electrice și



etapa prelevării materialului de la electrozi.

2.2.

Analiza continuității desfășurării fenomenelor 2.2.1. Analiza fenomenelor de natură electrică

Procesul de electroeroziune presupune în primul rând aplicarea de impulsuri care să provoace descărcări electrice și nu o tensiune continuă evitând astfel transformarea acesteia în arc electric continuu. Procesul de erodare al metalului trebuie să fie perfect controlat. Mașinile de electroeroziune au ca sursă de descărcare electrică două tipuri de generatoare: - generatoare de relaxare, circuit RC în diverse variante constructive, - generatoare de impulsuri cu semiconductoare. Indiferent de tipul constructiv funcțiile principale ale acestor generatoare sunt: - să furnizeze tensiunea necesară procesului, - să limiteze curentul și durata descărcării, - să impună frecvența de repetiție a descărcărilor. De-a lungul celor trei etape elementare ciclice ale unei descărcări electrice fenomenele electrice diferă și pot fi descrise după cum urmează: A. Etapa amorsării descărcărilor electrice Din punct de vedere electric în acestă etapă au loc mai multe fenomene electrice însă caracteristica principală a acestui proces este timpul de amorsare pe care îl notăm cu T1, timpul de întârziere necesar pregătirii locale a condițiilor de străpungere, timp scurs din momentul aplicării impulsului de tensiune între cei doi electrozi și până la străpungerea lichidului dielectric din interstițiu. Acestă etapă se desfășoară în interstițiul de lucru între două puncte de distanță minimă, condiția fizică necesară străpungerii rezistenței electrice a dielectricului. Electronii emiși, cu ajutorul generatorului, sunt dirijați de câmpul electrostatic în direcția anodului. Tensiunea începe să scadă foarte puțin de la valoarea de mers în gol la o tensiune corespunzătoare iar curentul începe ușor să crească de la valoarea 0 în funcție de condițiile din interstițiu. Următoarea fază este caracterizată de timpul T2, timpul de străpungere în care tensiunea începe să scadă din nou ajungând practic egală cu valoarea tensiunii în descărcare. În timpul de străpungere asupra particulelor electrice care formează curentul în descărcare acționează forțele electrice elementare datorate efectului Skin care imping particulele din axa descărcării spre exterior determinând formarea unui canal de descărcare și mărirea continuă a diametrului acestuia. Conform teoriei amorsării descărcărilor în lichide dielectrice ideale sau pure această etapă a procesului se bazează pe acțiunea de autoemisie termoelectronică și a străpungerii în trepte a dielectricului. Sub acțiunea câmpului electric are loc un proces de autoemisie termoelectronică de către catod a unui număr mare de electroni, electroni care sunt atrași de anod iar în încercarea lor de a străbate interstițiul de lucru se ciocnesc cu moleculele de dielectric. În dielectric apar incinte gazoase iar în urma ciocnirii acestora cu electronii acestea sunt ionizate și în interstițiu apar din dielectric ioni pozitivi I  și ioni negativi I  .Particulele electrice existente în interstiţiu, respectiv electronii, e  , şi 39

ionii, I  şi I  , sunt atrase de către cei doi electrozi, cele negative la anod iar cele pozitive la catod. B. Etapa dezvoltării descărcărilor electrice În urma amorsării descărcărilor electrice și deci a străpungerii interstițiului are loc contactul dintre particulele electrice și cei doi electrozi, respectiv a electronilor și a ionilor negativi cu anodul și a ionilor pozitivi cu catodul. Tot din punct de vedere al fenomenelor electrice în vecinătatea fiecărui electrod se creează zone spațiale de particule și anume o zonă negativă la anod și una pozitivă la catod care determină apariția unei mari diferențe de potențial în imediata vecinătate a acestora și a unor căderi mari de tensiune între catod, coloana descărcărilor și anod. Acestă etapă poate fi caracterizată din punct de vedere electric de fazele: 

Ionizarea microcraterului gazos și formarea unei coloane de plasmă;



Trecerea curentului prin microcanal și declanșarea descărcării electrice.

Această etapă este caracterizată de timpii T3 , timp de ionizare și T4 timpul de descărcare. Locul de desfășurare a acestei etape este atât la electrozi, anod și catod, cât și în interstițiul de lucru. C. Etapa prelevării materialului de la electrozi Această etapă începe practic în momentul când impulsul de tensiune atinge valoarea zero, scăderea tensiunii și curentului în descărcare la valoarea zero având ca și efect implozia bulei de gaz datorită presiunii din interiorul acesteia mai mică decât cea din dielectric și mediul ambiant înconjurător. Ca rezultat, pe baza unor procese complexe, materialul lichefiat pe o anumită adâncime este absorbit din microcratere în interstițiu. Etapa prelevării materialului de la electrozi poate fi împărțită în trei timpi: timpul T5 , de stingere în care are loc stingerea arcului electric și expulzarea materialului, timpul T6 , de distrugere a canalului gazos și timpul T7 de formare a craterului de eroziune. Principalii parametrii electrotehnici ai impulsurilor electrice comandați de generatorul de impulsuri independente și cu ajutorul cărora se pot stabili valorile optime ale procesului sunt: 

Forma impulsurilor de tensiune și curent;



Durata de amorsare a descărcării:



t d  t î  t s [ s ]

(2.1)

t p  t i  t o  t d  t e  t o [ s ]

(2.2)

Perioada impulsurilor:

Frecvența impulsurilor:

fp 

1 [kHz ] tp

(2.3)



Tensiunea medie în descărcare: t

ue 



1 e u e (t )  dt [V ] t e 0

(2.4)

Intensitatea curentului în descărcare: t

1 e i e   u e (t )  dt [A] te 0



(2.5)

Energia descărcării: te

We   u e (t )  i e (t )  dt  u e  i t  t e [mJ ]

(2.6)



Puterea medie a descărcării: t

Pe 

1 e u e (t )  i e (t )  dt  U e  I e [W ] t e 0

(2.7)

Ca și concluzie privind toate cele trei etape mari care se pot desfășura în spațiul de lucru elementar, la nivel microscopic, la o singură descărcare electrică, se pot defini următoarele fenomene electrice grupate din punct de vedere al elementului care compune structura procesului: 

La anod: - combinarea ionilor negativi și atragerea la anod, - procese de interacțiune electrod-anod.



La catod: - emisie de electroni, autoemisie și emisie secundară, - smulgerea de particule electrice și acțiunile electrostatice dintre acestea.



În dielectric: - de combinare a particulelor și de acțiune și reacțiune datorate forțelor dintre acestea, - de străpungere a mediului dielectric și transformare a acestuia din dielectric în mediu bun conductor, - prin proprietățile sale de ionizare, dielectricul conduce în mare măsură procesul de amorsare a descărcărilor și în final de realizare a procesului de prelucrare.

2.2.2. Analiza fenomenelor de natură termică A. Etapa amorsării descărcărilor electrice În acestă etapă fenomenele termice sunt rezultat al existenței electronilor și a câmpului electrostatic care îi dirijează pe aceștia în direcția anodului iar în urma ciocnirilor frecvente pe care le au cu moleculele de lichid dielectric produc ridicarea temperaturii lichidului din jurul spațiului elementar. În acest fel au loc transformări locale de stare formându-se microincinte gazoase. B. Etapa dezvoltării descărcărilor electrice Această transformare de energie electrică în energie termică are loc la nivelul petelor electrodice care se comportă ca surse termice locale de temperatură ridicată, capabile să declanșeze procesul de eroziune termică. Datorită temperaturii mari din coloana descărcării, zonele de dielectric învecinate acesteia se vaporizează și în jurul canalului apare o bulă de gaz al cărui diametru crește continuu. Această bulă de gaz cu presiune mare separă canalul descărcării de lichidul dielectric. C. Etapa prelevării materialului de la electrozi În acestă etapă au loc mai multe procese complexe, preponderent termodinamice, în urma cărora materialul lichefiat pe o anumită adâncime, în jurul fiecărei pete electrodice este absorbit din microcratere în interstițiu unde se condensează sub formă de particule care impurifică dielectricul de lucru. Pe cei doi electrozi apar două „pete” numite pete electrodice. Aceste pete sunt zone puternic încălzite de impactul cu particule electrice și care se comportă ca niște surse de căldură. În vecinătatea lor, gradientul de căldură este foarte mare. Acest gradient conduce la încălzirea, topirea-lichefierea și vaporizarea unei părți a materialului electrozilor din zonele învecinate petelor. Prelucrarea se poate realiza sub formă de picături-lichid sau de vapori în funcție de cel mai important parametru de prelucrare și anume durata propriu-zisă a descărcărilor electrice. Astfel la durate foarte mici și mici ale descărcărilor, materialul din jurul petelor electrodice nu are timp să se încălzească și apoi să se lichefieze ci trece direct din stare solidă în stare de vapori, prelevarea se face sub formă de vapori. Rezultă pe suprafața piesei cât și a electrodului o rugozitate mică, foarte fină, o productivitate mică și o precizie mare. Când duratele de descărcare sunt mari și foarte mari materialul electrozilor are timpul necesar să se încălzească și să se lichefieze. Prelucrarea se face sub formă de picături iar ca rezultat pe suprafața electrozilor se obțin microcratere de dimensiuni mari care determină o rugozitate mare dar o productivitate mare și în general o precizie scăzută. Fluxul termic generat de prezenţa în interstiţiu a coloanei de plasmă termică, la nivelul careia are loc conversia energiei electrice în energie termică, are următoarele componente (Figura 2.2) :  Q e , Q s - energie termică de topire şi vaporizare a metalului de pe suprafaţa electrodului, respectiv a semifabricatului; 42

 Q ae , Qas - energie termică de activare a straturilor de metal aparţinând celor două corpuri;  Q dc - caldură disipată in interstiţiu din coloana descărcării electrice;  Q de , Q ds - caldură disipată in interstiţiu prin conducţie termică de la electrod şi semifabricat ( e - electrod, s - semifabricat)

Figura 2.2. Distribuția fluxului de energie termică în interstițiu [84]

Conform legilor termodinamicii, fluxul total de căldură, care se propagă pe direcţia axei descărcării, rezultă ca o sumă formată din fluxurile generate de sursele parţiale de căldură existente la nivelul craterului de metal topit (Figura 2.3). În realitate, influențele de temperatură se suprapun prin acțiunea reciprocă a surselor de căldură, formându-se o izometrie sferică, confirmată experimental prin forma (aproximativă) de calotă sferică a secțiunii axiale a craterului de eroziune. Un studiu bazat pe regresii de tip spline cubic cardinal de cea mai bună aproximație privind evaluarea fluxului de energie termică în interstițiul de lucru se va realiza în cadrul prezentei teze de doctorat. Este bine cunoscut că în cercetările clasice acest flux este aproximat prin funcții Gauss. Aceste rezultate bazate pe funcții Gauss sunt eficiente, exceptând procesele nanomaterialelor. Din acest motiv având în vedere că în EDM avem de-a face cu fenomene de tip Stefan și nanomateriale, intervenția prin funcții de regresie spline conduce la evaluări mai exacte ale fluxului de energie termică în interstițiu.

Figura 2.3. Surse termice parțiale la nivelul craterului elementar [84]

Eroziunea electrică în stratul de suprafață al materialului supus prelucrării este însoțită de procese termice intense, care determină topirea și vaporizarea locală a materialului. Cea mai mare parte din materialul topit este expulzat în mediul lichid sub formă de picături, formând aglomerări de particule solide, numit deșeu tehnologic, iar o mică parte se resolidifică pe suprafața și în jurul craterului de eroziune. Pot fi identificate, în stratul de suprafață al materialului, următoarele zone: stratul alb – SA, zona durificată – ZD, zona influențată termic – ZT, zona nemodificată (material de bază) – ZMB.

Figura 2.4. Structura stratului superficial modificat termic [84]

Grosimea medie și structura primelor trei zone sunt influențate de: - valorile parametrilor electrotehnologici, care determină nivelul energetic al descărcărilor, - proprietățile electro-fizice ale materialului piesei de prelucrat, - proprietățile electro-fizice ale dielectricului lichid. În procesul EDM o energie electrică este transmisă către electrozi iar o temperatură extrem de mare este creată fiind responsabilă de îndepărtarea materialului, căldura fiind creată datorită intensității mari a curentului care traversează canalul de plasmă. Bazându-se pe acest fenomen, modelele EDM de eroziune au fost derivate asumându-și problema de conductibilitate termică. Ecuația diferențială parțială pentru problema conductivității termice este dată de:  2T 1 T  2T 1 T (2.8)    r 2 r r z 2  t unde, T este temperatura [K ] , r este axa radială [m ] , z este axa verticală, t este timpul [s ] și 

este difuzivitatea termică a materialului [ m 2 / s ] . Difuzivitatea termică poate fi scrisă ca:



Kt C p

(2.9)

unde K t este conductivitatea termică a materialului [J /(mK s )] ,  este densitatea materialului [ kg / m 3 ] și C p este căldura specifică [J / kgK ] . 44

O abordare interesantă a fost descrisă în lucrarea „Cristical assessment and numerical comparison of electro-thermal models in EDM” în care autorii S. H. Yeo, W. Kurnia, P.C. Tan au făcut o comparare critică între modele electro-termice din cadrul procesului EDM [91]. În această lucrare cele cinci modele ale lui Snoeys, Van Dijck, Beck, Jilani și DiBitonto sunt analizate din punct de vedere a distribuției temperaturii, a geometriei craterului rezultat și al materialului îndepărtat de la catod. Pentru aceste modele au fost folosite două ipoteze în care o dată sursa de căldură este considerată de tip disc sau în care sursa de căldură este considerată de tip punctiform. Modelele Snoey, Van Dijck, Beck și Jilani sunt dezvoltate folosind o sursă de căldură de tip disc în timp ce modelul DiBitonto este dezvoltat folosind ca sursă de căldură un punct. Toate modelele urmăresc distribuția câmpului de temperatură dat de scânteia care se produce asupra catodului. Căldura de topire este luată în considerare în ecuația difuzitivității termice  ' :

' 

Kt  (C p  m / Tm )

(2.10)

unde m este căldura latentă de topire [kJ/kg] și Tm este temperatura de topire [K]. Fluxul termic generat în canalul de plasmă și transmis către catod și anod a fost definit de ecuațiile:  FcVI ; sursa caldura tip disc 2   rc q  FcVI ; sursa caldura tip punctiform   2r 2

(2.11)

unde q este fluxul termic [W / m 2 ] , V este tensiunea de descărcare [V ] , I este curentul de descărcare [A] , FC este factor de transfer către catod, rc este raza sursei de căldură la suprafața catodului [m ] iar r este distanța radială de la origine [m ] .

Analizele materialului îndepărtat de pe piesa de lucru s-au bazat pe ipoteza că volumul materialului îndepărtat la sfârșitul impulsului este complet înlăturat de unda de șoc generată în dielectric. De altfel limita craterului rezultat este luată ca și suprafață izotermă a temperaturii de topire a materialului prelucrat. În cazul modelului dezvoltat de către Snoeys și Van Dijck în anul 1971 distribuția temperaturii la catod este dată de relația:

  cn z z J 0 (n r )e nz [erf (n  ' t  )  1  e nz [erf (n  ' t  )  1] (2.12) n 1 2n 2  't 2  't   

T (r , z , t )  T0  

unde T0 este temperatura ambientală [K ] , J 0 este funcția de gradul întâi Bessel, erf este eroarea funcției și c n este dată de: 45

cn 

2qrc J1 (n rc ) K t n ro2 J12 (n ro )

(2.13)

unde, J1 este funcția Bessel de ordinul întâi, ro este raza suprafeței izolate a piesei de prelucrat [m], iar rădăcinile n sunt determinate de J 0 (n r0 )  0 pentru n  1,2,3... Modelul lui Van Dijch și Dutre, 1974, ia în considerare natura bidimensională a fluxului de căldură rezolvat pentru două cazuri, în care dimensiunea pe direcția z este o dată finită și o dată infinită. Distribuția căldurii este dată de ecuația:

T (r , z , t )  T0 

qrc Kt

 



 



 a n J 0 (n r )  sinh( n z )   c mn sin(  m z ) exp[ ' (2n   m2 t ]) n 1

m 1

(2.14)

unde:

an 

2J1 (n rc ) cosh( n l )[ n ro J1 (n ro )] 2

(2.15)

  m  ( )( 2m  1)

(2.16)

c mn

( 1) m n cosh( n l )  l (  m2  2n )

(2.17)

În modelul dezvoltat de către Beck, 1981, transferul termic este dat de ecuația:

T (r , z , t )  Ti 

2qrc  rc B( z , t )  C i ( z , t )J 0 (i r )J 1 (i rc )     K t  ro2 2[ i ro J 0 (i rc )] 2  i 1

(2.18)

unde Ti este temperatura [K ] , r0 este raza spre exterior a cilindrului izolant [m ] , n este rădăcina pătratică a ecuației J1 (n ro )  0 iar:  z B( z , t )  t ierfc   2 t

  z C i ( z , t )  e zi 1  erf  i t  2 t  

  

 zi  z   e erfc  i t  2 t  

(2.19)

  

(2.20)

Modelul lui Jilani și Pandey 1983, 1986, presupune că căldura de la canalul de plasmă este transferată către piesa de prelucrat sau către electrodul sculă doar prin transmitere. Aproape 90% din totalul energiei degajate este transmisă către interstițiul de descărcare și este distribuit egal între anod și catod. Ecuația transferului de căldură fost derivată folosindu-se un număr infinit de puncte de căldură instantanee distribuite în jurul cercului este: T (r , z , t ) 

qrc2 Kt

 1 r2 z2  ' t exp    dt (2.21)   ' 2 '  '  0  4 t  rc 4 t  ( 4 t  rc2 ) t

Raza plasmei de la catod este considerată fiind mai mică ca și cea de la anod în cazul modelului DiBitonto, 1989, iar ecuația transferului de căldură este dată de:

T (r , z , t )  T0 

qr r ( ) K t erfc 2 t

(2.22)

În urma analizei și comparării rezultatelor teoretice cu datele experimentale pentru aceste modele a rezultat că coeficintul cantității materialului îndepărtat (MRR – material removal rate) în urma datelor experimentale variază în domeniul 0.33  925 mJ rezultatele modelului lui DiBitonto fiind cele mai apropiate din punct de vedere al productivității cu 1.2  46 coeficient MRR. Acesta este urmat de către Jilani cu 2  45 coeficient MRR, Snoeys 3.9  203 .2 coeficient MRR, Beck 4.9  197 .7 coeficient MRR și Van Dijck 26.8  1399 coeficient MRR. Descărcarea energiei prin canalele de ionizare pe vârful microneregularităților electrozilor are ca și efect topirea, vaporizarea și condensarea materialului de la suprafața piesei de prelucrat și mai puțin de pe suprafața electrodului sculă. Starea de agregare a materialului prelevat depinde de parametrii impulsurilor de tensiune aplicate – energie, durată, coeficient de umplere. Din punct de vedere termic fenomenele prezente în cele trei zone esențiale ale desfășurării electrice, anod, catod, interstițiu de lucru sunt: 

La anod: - încălzirea; - topirea materialului în stratul de suprafață; - vaporizarea.



La catod: - încălzire, topire și vaporizare de materiale; - încălzire și modificare a temperaturii straturilor inferioare învecinate.



În dielectric: - încălzirea dielectricului; - formarea incintei gazoase prin vaporizarea lui; - acțiunea de încălzire a straturilor din imedita vecinătate și de transformare pe această bază a structurii și proprietății acestora. 47

2.2.3. Analiza fenomenelor mecanice A. Etapa amorsării descărcărilor electrice În timpul de străpungere și imediat după acesta la începutul dezvoltării descărcării electrice, asupra particulelor electrice care formează curentul în descărcare acționează forțele electrice elementare datorate efectului Skin, care împing particulele din axa descărcării spre exterior, detreminând formarea unui canal de descărcare și mărirea continuă a diametrului acestuia. Dielectricul suportă parțial efectul forțelor electromagnetice Skin. B. Etapa dezvoltării descărcărilor electrice Asupra sarcinilor electrice din cele două zone, respectiv zona catodică și zona anodică, ca și din coloană, acționează forțe elementare date de efectul Pinch, care tind să concentreze sau să „împingă” particulele electrice spre axa descărcării, diamterul reducându-se continuu. Dielectricul suportă parțial efectul forțelor electromagnetice Pinch. C. Etapa prelevării materialului de la electrozi Procesul de expulzare a materialului de la electrozi, conform teoriei ruperii mecanice a particulelor de material, poate fi explicat astfel: prelevarea se face prin crearea unor eforturi puternice de comprimare a particulelor de material aflate în axa descărcării (datorate dilatării sub influența temperaturii) de către zonele învecinate de material și expulzării lor de către forțelor mecanice care iau naștere în vecinătatea axei canalului în material. Teoria explică existența ruperilor, dar nu explică cantitatea mare de material obținut în urma unei descărcări. Fenomenele mecanice sunt determinate de existența în piesa de prelucrat a bulelor de gaz care, datorită dilatării termice expulzează particule de material. Totodată, sub acțiunea forțelor care însoțesc descărcările în impuls, materialul prelevat, sub formă de vapori sau picături, este expulzat în interstițiu unde se solidifică sub forma produselor de eroziune care trebuie evacuate. Din punct de vedere mecanic principalele fenomene care au loc sunt: 

La anod: - contracții; - dilatări; - ruperi; - fisuri;



La catod: - contracții: - dilatări; - ruperi; - fisuri; 48



În dielectric: - dielectricul suportă forțele hidrodinamice ale undei de șoc rezultate din imploziile bulelor de gaz din jurul canalelor de descărcare; - suportă parțial efectul forțelor electromagnetice Skin și Pinch. 2.2.4. Analiza fenomenelor chimice

A. Etapa amorsării descărcărilor electrice și Etapa dezvoltării descărcărilor electrice În aceaste două etape principalele fenomene fizice care au loc sunt cele electrice și termice, fenomenele chimice apar doar în urma expulzării materialului de la electrozi. B. Etapa prelevării materialului de la electrozi În urma fenomenelor electrice și termice are loc expulzarea materialului de la electrozi, deci a impurificării lichidului dielectric cu particule foarte mici care se dizlocă din materialul piesă și cel sculă. Apar astfel reacții chimice ale materialului de bază cu elementele componente din dielectric și coloană și reacții de combinare a unor elemente din dielectric cu cele de pe anod și catod, de formare pe acestea a unor pelicule de protecție. Ca urmare a modificării temperaturii are loc piroliza dielectricului. Temperatura ridicată din canalele de ionizare favorizează apariția fenomenului de piroliză sau a fenomenului de dizolvare anodică, dacă dielectricul este apa. Efectele pirolizei sunt: - formarea unui amestec de gaze (60-70% H2, acetilenă 15-20%), parafină, olefine și oxigen; - formarea unei pelicule subțiri de grafit pe suprafața electrodulu sculă, datorită oxigenului care este absorbit de metal și astfel se reduce uzura sculei; - influențarea directă a inițierii canalelor de ionizare. 2.2.5. Analiza fenomenelor hidrodinamice Fenomenele hidrodinamice apar tot în etapa de prelevare a materialului de la electrozi ca urmare a acțiunii fenomenelor electrice, termice și chimice asupra celor trei zone din spațiul de lucru elementar. Conform teoriei expulzării hidrodinamice această etapă se pune pe seama forțelor hidrodinamice care iau naștere ca efecte ale undei de șoc rezultată în urma imploziei bulei de gaz din descărcare. Ca rezultat suprafața anodului, cât și a catodului, suportă acțiunea forțelor hidrodinamice de expulzare a materialului din crater. Ca efect apar cratere cu margini ușor rotunjite. Dielectricul suportă creșterea presiunii bulei de gaz, scăderea acesteia și acțiunea undei de șoc și a forțelor hidrodinamice care iau naștere odată cu implozia bulelor. Principalele categorii de fenomene care au loc în cadrul prelucrării prin electroeroziune în toate cele trei etape ale unei descărcări electrice sunt prezentate sub formă de tabel în Anexa 1 a prezentei teze de doctorat. 49

2.3.

Concluzii premergătoare în vederea modelării

Pentru a putea trece la modelarea proceselor din cadrul EDM este nevoie să cunoaștem principalele caracteristici tehnologice. Aceste caracteristici prezente la prelucrarea cu impulsuri generate electric se prezintă în Tabelul 2.1. Din această perspectivă se urmăresc în principal două aspecte, şi anume: - dimensionarea electrozilor; - optimizarea tehnologiei de prelucrare. În ceea ce priveşte dimensionarea electrozilor, construcţia şi forma geometrică a acestora trebuie să ţină cont de următoarele caracteristici: - uzura produsă ca urmare a fenomenelor electroerozive, în special pe suprafaţa activă frontală (direcţia de avans a electrodului); - forma şi dimensiunile electrozilor depind direct de forma şi dimensiunile suprafeţei ce urmează să se prelucraze prin electroeroziune; - precizia dimensiunilor electrozilor determină precizia de prelucrare a suprafeţelor prin electroeroziune. Un mare avantaj al acestei tehnologii este acela că ne dă posibilitatea să facem o cercetare de optimizare a acesteia. Optimizarea operaţiilor tehnologice constituie o problemă deosebită în cazul proceselor de prelucrare dimensională cu îndepărtare de material [84]. Pentru întocmirea unui studiu corect, este necesar: - determinarea criteriilor de bază; - determinarea restricţiilor. Principalele variabile ale procesului de prelucrare prin electroeroziune sunt intensitatea curentului electric, durata descărcărilor, durata pauzei impulsurilor, polaritatea, materialul piesei de prelucrat și a electrodului care sunt dependente de principalele caracteristici tehnologice ale procesului: productivitatea prelucrării, uzura, rugozitatea, interstițiul de lucru [88]. Pentru cazul prelucrării prin eroziune electrică, optimizarea trebuie dirijată în special asupra productivităţii prelucrării, unul dintre principalii factori limitativi ai operaţiei. Pentru fiecare tip de aparat de prelucrat și tip de material prelucrat se fac experimete pentru a putea fi determinate aceste dependențe dintre caracteristicile tehnologice și variabilele procesului neexistând posibilitatea generalizării acestora. Este important să cunoaștem, în acest caz, prelucrabilitatea materialului, rezistența la electroeroziune, funcțiile acestora și indicii asociați. Caracteristicile termofizice ale electrodului sculă, caracteristicile termofizice ale piesei de prelucrat, polaritatea prelucrării, mărimile care definesc suprafața de interacțiune ale acestora, parametrii regimului electrotehnologic de prelucrare, intensitatea medie a curentului în descărcare ie, durata impulsurilor ti, durata descărcărilor te, durata pauzei impulsurilor t0, tensiunea de lucru, aria suprafeței prelucrate, natura dielectricului, metoda de spălare a interstițiului sunt principalele variabile care determină productivitatea

prelucrării piesei QW, uzura electrodului QE, coeficientul de uzare relativă volumică

TE

, interstițiul efectiv,

lateral SL și frontal SF, rugozitatea suprafeței Ra, adâncimea stratului modificat termic HZIT. Relațiile de dependență dintre variabilele de proces se denumesc funcții de proces, ca de exemplu: funcția productivitatea prelucrării piesei, funcția uzării electrodului QE...Funcțiile de proces se pot obține prin două metode diferite existând funcții de proces teoretice obținute prin modelare analitică și de regresie determinate prin modelare experimentală realizată prin aplicarea statisticii matematice și analizei regresionale. Funcțiile de proces de regresie se pot aplica cu succes în modelarea teoretică a proceselor complexe și deducerea pe acestă cale a unor funcții de proces sau modele teoretice cu grad înalt de valabilitate și de cuprindere a unui număr cât mai mare de parametri electrotehnologici, la optimizarea proceselor de prelucrare prin electroeroziune cu copierea formei, caz în care funcțiile de proces de regresie definesc o parte din restricțiile modelului matematic al funcției obiectiv, analiza comparativă a diferitelor procese, respectiv, procedee de prelucrare, unde se pot utiliza entități simple, definite convențional și care se denumesc indici de proces și determinarea prelucrabilității și a rezistenței materialelor, respectiv a posibilității sau imposibilității efectuării unei prelucrări date, în condiții de lucru prestabilite (satisfacerea sau nesatisfacerea restricțiilor tehnico-economice impuse) care se datorează modului în care acționează caracteristicile materialului de prelucrat, respectiv ale electrodului, precum și alte variabile de proces. O problemă importantă în procesul EDM este determinarea câmpului termic care se produce și care este în general nestaționar este foarte important deoarece el ne permite în primul rând să stabilim forma craterului, dimensiunile acestuia și volumul de material eliberat prin microtopire. Este cunoscut că în procesul de electroeroziune se obțin cratere de diametre foarte mici și prin microtopire aceste cratere își măresc în timp volumul. Dacă S(t) este frontiera craterului, adică o supafață care separă partea de materialul lichid de cea solidă, atunci, în timp suprafața S(t) se modifică, mai exact se deplasează dinspre partea lichidă înspre cea solidă. Suprafața S(t) se numește frontieră liberă sau frontieră variabilă. Rezolvarea unei probleme Stefan constă în determinarea frontierei libere cât și a soluției ecuației Fourier-Kirchhoff, care satisface în plus condiția inițială, condiția la limită clasică și condiția de salt a fluxului termic în punctele frontierei libere. Aceste condiții la limită presupun cunoașterea fluxului termic sau o aproximare a acestuia. Deci, studiul teoretic se realizează folosind problema Stefan de tip salt, aplicată la determinarea câmpului termic realizat prin microtopire. Problemele Stefan de tip salt apar atunci când procesul de cristalizare, respectiv decristalizare se produc rapid și în timp foarte scurt și la temperaturi foarte înalte, adică fluxul termic este discontinuu în punctele frontierei libere, ceea ce presupune să admită un salt. În urma unui studiu a literaturii de specialitate din domeniul electroeroziunii asupra utilizării factorului de căldură prin efectul Joule în procesul EDM rezultă că [47],[73]: 

Domeniul este considerat unul axisimetric.



Raza electrodului este de douăzeci de ori mai mare ca și raza craterului de descărcare iar cilindrul exterior este adiabatic bazate pe cercetările lui Dijck.



Canalul de descărcare electrică este de formă cilindrică uniformă.



Descărcarea în EDM se face într-un mediu vaporizat în care un curent constant îl traversează. 51



Există o conversie parțială a energiei electrice în energie termică – efectul Joule – în canalul de descărcare.



Piesa de prelucrat cât și electrodul sculă sunt omogene și izotropice.



Proprietățile materialului electrozilor și a dielectricului sunt independente de căldură, fiind folosită media valorilor proprietăților fizice termice a acestora.



Căldura transferată la electrozi are loc prin conducție.



În canalul descărcării electrice nu există variație a potențialului electric pe direcția radială.



Efectul Joule de încălzire este principala sursă de energie termică pentru a crește temperatura în canalul de descărcare și care ajută la topirea și vaporizarea materialului electrodului sculă și a piesei de prelucrat.



Temperatura maximă din canalul de descărcare este un indicator de comportare a modelului termic.



Eficiența de îndepărtare a materialului de la anod este mai mică decât de la catod deoarece există o cantitate mare de energie care merge spre anod și deasemenea o răcire mai rapidă a materialului de la anod. Acest fenomen poate fi explicat de diferența conductivității termice a catodului și a anodului.



Încălzirea prin efectul Joule apare atunci când energia disipată de un curent electric care străbate un conductor este transformată în energie termică. Asocierea apare de la două surse, conductivitatea în problema electrică este dependentă de temperatură iar căldura generată în interior în problema termică este o funcție a curentului electric. Partea termică a problemei include toți parametrii conductibilității termice și a căldurii acumulate (căldura specifică și cea latentă).



În prelucrarea prin descărcare electrică gradienții termici cauzați de descărcarea electrică crează o creștere termică locală de unde iau naștere tensiunile termice care se desfășoară la nivelul straturilor superioare ale materialelor prelucrate. Aceste tensiuni termice, dacă excludem tensiunile de curgere, pot rămâne în piesa de prelucrat devenind reziduri după răcire.



În prezenta teză de doctorat a fost dezvoltat un model care poate estima distribuțiile de temperatură și tensiunile termice și reziduale rezultate în urma încălzirii aplicării unui singur impuls electric. Acest model numeric ia în considerare condițiile la limită fizice și dependența temperaturii de proprietățile fizice și mecanice a materialului, putându-se dezvolta o importantă bază de date care poate fi utilă în optimizarea parametrilor procesului EDM ducând la determinarea mai precisă a proprietăților termo-fizice în lărgirea domeniului termic pentru a elimina eventualele tensiuni superficiale reziduale care duc la crăpături dezvoltâdu-se și ideea de a introduce carbon în straturile superioare a piesei de prelucrat. Caracteristicile tehnologice sunt mărimi care exprimă cantitativ și calitativ transformările suferite în urma proceselor de eroziune electrică atât la piesa de prelucrat cât și la electrodul sculă de prelucrare [84]. Valoarea caracteristicilor tehnologice este determinată de parametrii obiectului de prelucrat impus prin proiectare și de parametrii procesului de prelucrare care se aleg în funcție de cei impuși. [17] În categoria parametrilor impuși intră calitatea materialului de prelucrat, mărimea și forma suprafeței, calitatea necesară a suprafeței. 52

Parametri procesului de prelucrare prin care se pot asigura cei impuși sunt în principal următorii: parametri electrici ai impulsurilor (curent, tensiune, frecvență, coeficient de umplere), mecanici, legați de tipul constructiv al mașinii, de electrozi și dielectric (caracteristicile lichidului de lucru). Ponderea cea mai mare în procesul prelucrării prin electroeroziune cu impulsuri generate electric o au parametrii electrici. S-a arătat că energia unui impuls electric se calculează cu relația: ti

E i  U a   idt

(2.23)

Tabelul 2.1. Principalele caracteristici tehnologice ale EDM Denumire

Prelevarea materialului

Definiție

Simbol

Unitate de măsură

[mm3/min]

Ra, Rz

[ m ]

Adâncimea stratrului de material modificat structural

[mm]

Adâncimea de pătrundere a microfisurilor în stratul de suprafață

[mm]

Abaterea totală de precizie a dimensiunilor suprafeței prelucrate

t

[mm]

Debitul de material uzat de la suprafața electrodului de lucru

[mm3/min]

Raportul procentual al debitelor de material erodat din electrod și piesa de prelucrat



[%]

Energia consumată pentru erodarea unui mm de material de la suprafața obiectului prelucrat

[W]

Debitul de material prelevat de la suprafața piesei de prelucrat Rugozitatea

Caracteristici de calitate

Precizie dimensională

Caracteristici de uzare

Consum specific de energie

Productivitatea prelucrării la un impuls este direct dependentă de energia impulsului electric:

Q i  c   E i

(2.24)

unde:  - coeficient de eficiență; c – coeficient de proporționalitate; Deci: ti

Q i  c   U a  idt

(2.25)

Extinzând relația la totalitatea impulsurilor care determină productivitatea globală a unei prelucrări, se obține: n

Qt   n  c   E i  N  c   E i 1

unde: N – numărul total de impulsuri; 53

(2.26)

Pentru mărirea productivității se poate acționa prin diferite mijloace exterioare care influențează diferiți parametri limitați din proces. Calitatea suprafeței prelucrate rezultă din însumarea craterelor ce se formează la fiecare impuls. Pentru aplicații practice se poate considera: h  C H  E ip

(2.27)

unde: CH – coeficientul în funcție de material; h – înălțimea craterului realizat în urma unui impuls electric. Exprimând energia Ei:

Ei 

Um  Im f

(2.28)

se obține:

 I U  h  CH  m m   f 

(2.29)

unde: Im – valoarea medie a curentului de lucru; Um – valoarea medie a tensiunii pe interstițiu; f – frecvența; Rezultă că rugozitatea suprafeței prelucrate crește la mărirea intensității curentului și la micșorarea frecvenței. Calitatea suprafeței trebuie privită și sub aspectul microdeformațiilor ce apar pe stratul superficial. În timpul procesului eroziv temperaturile ridicate ale descărcărilor provoacă modificări structurale ale stratului de suprafață. Se constată existența unor starturi influențate termic pe suprafața de lucru a piesei prelucrate. Din punct de vedere al caracteristicilor procesului modelele pot fi împărțite în trei părți numite canalul de plasmă (gaz ionizat), eroziunea anodului și eroziunea catodului. Proprietățile plasmei biatomice sunt luate ca și constante iar ecuația fluidului dinamic a fost inclusă în model. Eubank et al. (1993) a relatat faptul că volumul plasmei cilindrice crește o dată cu timpul [91]. Modelele care au fost dezvoltate pentru a determina materialul îndepărtat au ca bază de plecare mecanismul electro-termic unde eroziunea materialului de la anod și de la catod are loc ca și rezultat al temperaturii înalte cauzată de intensitatea curentului care traversează canalul de plasmă. Schulze et al. (2004) s-au bazat pe măsurătorile actuale ale curentului și tensiunii în descărcarea electrică pentru a estima cantitatea căldurii de la nivelul canalului de plasmă și schimbarea geometriei plasmei în așa fel în cât să poată estima influența zonei termice asupra suprafeței prelucrate a materialului folosind metode de element finit, care ulterior sunt comparate cu corespondența geometriei craterului măsurat. Tot cu ajutorul analizei prin element finit, Marafona și Chousal (2006) au analizat distribuția 54

temperaturii prin canalul de plasmă și de la electrozi folosindu-se de sursa de căldură care provine de la conversia energiei electrice în energie termică datorită încălzirii Joule. Rezultatele materialului topit pe o singură descărcare electrică au fost comparate ulterior cu cele ale lui DiBitonto et al. (1989). Salah et al. (2006) utilizează metode numerice pentru a prezice distribuția temperaturii prin interiorul electrodului bazată pe starea de regim staționar a modelului de difuzie a căldurii utilizând condițiile Gausiene la limită a absorbției de căldură și a răcirii prin convecție. Distribuția temperaturii printr-un electrod bazată pe modelul de difuzie a caldurii tranzitorii cu o sursă de căldură instantanee a fost prezisă de către Snoeys și Van Dijck (1971), Van Dijck și Dutre (1974), Beck (1981), Jilani și Pandey (1983), Pandey și Jilani (1986), DiBitonto et al. (1989) și Patel et al. (1989) cu ajutorul metodelor numerice.

Capitolul 3. CONSIDERAȚII ȘI APRECIERI ASUPRA STADIULUI ACTUAL AL CERCETĂRILOR CU PRIVIRE LA MODELAREA PROCESULUI TEHNOLOGIC DE PRELUCRARE PRIN ELECTROEROZIUNE Obiectivul principal al tezei de doctorat constă în modelarea fenomenelor fizice și tehnologice prezente in cadrul EDM, cu scopul tehnologic de optimizare a parametrilor tehnologici în vederea previzionării formei amprentei generate în cadrul procesului. Materializarea acestui obiectiv a impus dezvoltarea tehnologică a unui instrument constituit din două părți care se completează reciproc. Prima parte urmărește optimizarea aproximării fluxului energiei termice produs de aparatul EDM. Aproximarea se realizează printr-o funcție spline cubică de regresie care se anulează la capătul razei și care utilizează punctele de regresie aflate în mare majoritate pe clopotul lui Gauss. Cercetările experimentale arată că aproximarea Spline coespunde mai fidel realității fizice a proceselor EDM. A doua parte, diferită de prima, dar care conduce tot la optimizări ale proceselor EDM, este compusă din aplicarea logicii numerelor fuzzy triunghiulare de tăietură și a algoritmului FAHP (Fuzzy Analytic Hierarchy Process) asupra unor caracteristici esențiale din EDM. Acestea sunt aplicate în vederea realizării unor modele matematice care să permită intervenții în cadrul proceselor importante în scopul optimizării rezultatelor obținute prin prelucrarea materialelor care se pretează la electroeroziune. Acest model matematic fuzzy, care este o noutate în domeniu, are efecte benefice, utilizând atât calitățile caracteristicilor esențiale al proceselor EDM cât și măsurătorile experimentale obținute cu ajutorul aparatului de prelucrare prin electroeroziune. Pentru înțelegerea mai bună a conceptului de modelare a proceselor tehnologice reamintesc definiția modelării, condițiile modelării și etapele necesare pentru realizarea acestei activități folosind elemente prezentate în lucrarea prof. Vasile Soporan (V. Soporan, C. Vamoș, C. Pavai – Modelarea numerică a solidificării, Editura Dacia, 2003, Cluj-Napoca). Astfel “schematizarea, modelarea, simularea sunt noțiuni cu sens apropiat, utilizate pentru a face referiri la diferite etape ale demersului general de cunoaștere, o tentativă pentru a propune o reprezentare schematică și simplificată a realității fizice, tehnice sau industriale, cu scopul de a progresa în perfecționarea acțiunilor tehnologice concrete”.[82] În același timp, obiectivele modelării pot fi sintetizate în următoarele: cunoașterea, prevederea, optimizarea, reglarea și controlul dinamic al desfășurării fenomenelor prezente în cadrul procesului tehnologic. La nivelul funcțiilor modelării, acestea pot fi exprimate astfel: “modelarea ca o reprezentare a realității, modelarea ca pârghie de acțiune, modelarea ca analogie, modelarea ca act experimental, modelarea ca atribut al inteligenței artificiale. [82] La nivelul metodologiei de abordare a modelării procesului tehnologic s-a prelucrat parțial cea dezvoltată de prof. Vasile Soporan, care este sintetizată în cele ce urmează: 57

descrierea fenomenologică a procesului analizat; stabilirea importanței și priorității fenomenelor în contextul general analizat; stabilirea ecuațiilor matematice care guvernează desfășurarea fenomenelor; unicizarea soluției sistemului de ecuații matematice prin impunerea condițiilor geometrice, fizice, inițiale și la limită; - discretizarea ecuațiilor guvernante; - stabilirea algoritmului numeric; - verificarea soluțiilor obținute prin stabilirea unor experimente test. Înainte de prezentarea domeniului fenomenologic ales pentru modelare, care va face obiectul analizei prezentei teze, remarc complexitatea întregului proces, în cadrul acestuia fiind prezente fenomene fizice esențiale: “topirea sau vaporizarea unor volume elementare de material; ruperea de material în straturile de suprafață ale semifabricatului;coroziune”. Aceasta este și motivația pentru care activitatea de modelare este dificilă, însăși procesele fiind divizate în grupe în funcție de preponderența “mecanismului neconvențional de interacțiune între elementele participante sau de prezența prioritară a “mediului neconvențional pentru transmiterea energiei”. Mecanismul de dislocare este esential, procesele fiind clasificate în funcție de energia de efect și de natura acesteia. În cadrul prelucrării prin eroziune electrică există catalogate procedee în care fenomenul fundamental care declanșează și susține dislocarea este de natură termică, mecanismul de prelevare fiind materializat prin topire, iar sursa de energie este reprezentată ca rezultantă a arcului electric. Chiar dacă mecanismul acestuia este esential, o să cantonăm partea de modelare fizică considerând prezența acestuia ca o sursă de căldură într-un sistem de componente tehnologice. Modul în care acestea sunt afectate va fi analizat în cadrul activităâii de modelare, urmărindu-se cu precădere constituirea amprentei craterului. Prin urmare modelarea procesului de prelucrare prin electroeroziune este făcută pentru varianta de prelucrare prin descărcare electrică EDM. Faptul că nu am luat în considerare toate fenomenele în cadrul procesului de modelare, structurează desfășurarea acesteia în două etape: prima, în care s-a aproximat funcția fluxului de energie și frontiera liberă; a doua, includerea în procesul de aproximare a funcției fuzzy prin procesul de fuzzyficare a influenței asupra procesului. La nivelul descrierii fenomenologice a procesului tehnologic de prelucrare prin electroeroziune, se ia în considerare schema de prezentare a domeniilor participante din figura 3.1. În cadrul acesteia avem utilizate notațiile cu următoarele semnificații: D1 – domeniul electrodului, D2 – domeniul piesei care urmează a fi prelucrată, D3 – domeniul dielectricului, S12 – frontiera stabilită între domeniul dielectricului și domeniul piesei, S13 – frontiera între electrod și dielectric, S23 – frontiera între piesă și dielectric, S1ma – frontiera între electrod și miediul ambient, S2ma – frontier între piesă și mediul ambient, S3ma – frontiera între dielectric și mediul ambient, D1l – domeniul electrodului

transformat în fază lichidă (topit), D1s – domeniul electrodului în fază solidă, D1ls – domeniul electrodului care este cuprins între faza temperature solidus și temperature lichidus (zona păstoasă între lichidus și solidus), D2l – domeniul piesei de prelucrat care este transformată în fază lichidă (topită); D2s – domeniul piesei de prelucrat în fază solidă; D2ls – domeniul piesei care se găsește între temperatura lichidus și solidus (zona păstoasă între lichidus și solidus). În cadrul procesului tehnologic apar următoarele fenomene fizice: - fenomene termice între domeniile participante definite prin intermediul frontierelor și la nivelul strict al domeniilor; - fenomene de natură electrică între domeniile definite; - fenomene de natură mecanică; - fenomene de natură hidraulică; - fenomene de transport de masă. În cadrul etapelor procesului tehnologic de electroeroziune, prezența fenomenelor fizice este descrisă în cadrul tabelului 3.1. Tabel 3.1. Fenomenele fizice prezente în cadrul etapelor procesului tehnologic de electroeroziune

Nr. crt

Etapa procesului tehnologic

Fenomenele fizice prezente

Amorsarea arcului electric și consolidarea acestuia

Fenomene de natură electrică generatoare de energie termică

Transformarea energiei electrice în energie termică

Sursă de energie termică la interfața domeniilor

Transferul energiei termice în domeniul piesei

Proces conductiv în masa materialului piesei

Transferul energiei termice în domeniul electrodului

Proces conductiv în masa materialului electrodului

Acumularea de energie termică în masa piesei de prelucrat

Topirea masei piesei proporțional cu căldura înmagazinată și apariția fazei lichide

Dislocare de material pe conturul delimitat de Procese de natură hidrodinamică la nivelul faza lichidă și obținerea craterului dielectricului și a fazei lichide a topiturii

Continuarea procesului într-un alt strat

Reluarea fenomenelor sau desfășurarea concomitentă a acestora

În cadrul procesului considerăm ca fiind foarte importante fenomenele termice care sunt prezente la contactul electrod – piesă turnată prin intermediul dielectricului la care participă și mediul ambient desfășurării acestuia. 59

Cunoașterea și modelarea fenomenelor termice se materializează, în cadrul modelării, prin cunoașterea câmpului termic la nivelul piesei și al electrodului. Valorile temperaturilor punctuale și distribuția acestora în timp ne dau informații asupra materialului topit și a potențialului de dislocare a acestuia. Aceste date ne dau informații asupra cavității care urmează a fi realizată în masa materialului piesei, prin urmare, având în vedere obiectivul activității de modelare, acela de determinare a cavității care se formează, considerăm că discuția preliminară modelării este necesară a se cantona în zona modelării proceselor termice la nivelul domeniilor participante (electrod, piesă și dielectric). Pentru acesta se construiește un detaliu al sistemului analizat prin modelarea fenomenelor termice, prezentarea acestuia se realizează în figura 3.2. Asupra acesteia se vor face următoarele observații analitice asupra fenomenelor prezente: - amorsarea arcului electric între electrod și piesă, direct sau prin intermediul dielectricului, determină transformarea energiei electrice în energie termică la interfața domeniilor menționate, interfețele funcționează ca sursă de căldură; - de la nivelul interfețelor fluxul de căldură se transmite prin intermediul acestora în cele două corpuri, corpul electrodului și corpul piesei, din punctul de vedere al modelării acest proces va fi reprezentat de o condiție de tip Neumann prin intermediul fluxului de căldură; - la nivelul corpurilor piesei și electrodului, transmiterea de căldură se realizează prin conductivitate termică, ecuația fizico-matematică de reglementare a acesteia este ecuația Fourier-Kirchhoff; - pe măsură ce căldura generată în cadrul procesului se transmite corpurilor menționate apare în interiorul acestora un proces de topire al materialului de bază, de obicei de la nivelul suprafețelor de contact al acestora spre interior. În acest fel, ia naștere o nouă interfață la separația între faza solidă și cea lichidă, caracteristica esențială a acesteia este dată de faptul că ea se deplasează pe măsură ce procesul de electroeroziune evoluează, frontiera fiind denumită variabilă; - în continuare, pe măsura consolidării fazei lichide, apar fenomene termice complexe. Astfel, la nivelul frontierei variabile se stabilizează un schimb termic determinat cu precădere prin consolidarea unui flux termic. Acest lucru se exprimă matematic prin existența unei condiții Neumann. În același tmp, se apreciază că la nivelul fazei lichide la contact cu faza solidă pot să apară fenomene de tip convectiv, fapt care se traduce printr-o condiție de tip Cauchy sau de impunere a unui coefficient global de transfer termic la nivelul frontierei; - la nivelul fazei lichide în contact cu mediul exterior poate să apară fenomenul contrar topirii, acela al solidificării sub forma unei pojghițe foarte subțiri, care va cuprinde faza lichidă aflată într-o expansiune dimensională. Din acestă prezentare preliminară a procesului de modelare se pot trage câteva concluzii care determină greutatea rezolvării acestei probleme, aceea a determinării câmpului termic și din analiza acestuia a cavității care se formează prin electroeroziune: dificultatea aproximării formei interfeței care se stabilizează între electrod și piesă, mai precis a frontierei care se formează între faza lichidă și solidă la nivelul piesei, procesul de la nivelul electrodului de lucru fiind neglijat;

dificultatea precizării condițiilor la limită la frontiera liberă variabilă, atât sub aspectul geometriei acesteia cât și a fluxului de energie; cuprinderea în calculul numeric al fenomenelor esențiale care într-o așezare a importanței acestora sunt prezente în cadrul procesului de prelucrare prin electroeroziune.

Având în vedere prezentarea modalității de abordare a modelării, lucrarea va dezvolta găsirea formei optime a craterului prin raportare la soluția dată de însumarea datelor experimentare. Variantele de analizat sunt prezentate în tabelul 3.2. Tabel 3.2. Variantele de analiză pentru forma craterului obținut prin EDM

Aproximarea funcției fluxului de energie

Aproximarea frontierei libere

Gauss frontiera tip sferă

Spline Gauss

fontiera tip calotă sferică

Spline Gauss

frontiera tip semielipsoid de rotație

Spline

În același timp, având în vederea complexitatea fenomenelor prezente în cadrul procesului de prelucrare prin electroeroziune, lucrarea propune utilizarea numerelor fuzzy în realizarea algoritmului FAHP privind optimizarea fenomenelor care intervin în electroeroziune. Această metodă este dezvoltată în cadrul acestei lucrări, fiind apreciată ca parte originală importantă a acesteia. Metoda propusă se diferențiază de alte lucrări prezente în literatura de specialitate.

Figura 3.1. Schema domeniilor participante în cadrul procesului EDM

Figura 3.2. Detaliu al sistemului analizat în cadrul procesului de prelucrare prin electroeroziune

D1 – domeniul electrodului; D2 – domeniul piesei; D3 – domeniul dielectricului.

Partea II. CERCETĂRI ȘI APLICAȚII PRIVIND OPTIMIZAREA PRIN PROBLEMA STEFAN ȘI LOGICA NUMERELOR FUZZY A PROCESELOR EDM

Capitolul 4. CERCETĂRI ASUPRA OPTIMIZĂRII PROCESELOR ESENȚIALE CARE APAR LA PRELUCRAREA PRIN EDM

Prelucrarea materialelor prin electroeroziune se încadrează în tehnologiile neconvenționale. Orice abordare de optimizare relativă la procesele EDM trebuie să țină seama de teoria matematică adecvată acestor procese. În cazul de față, topirea materialului prin electroeroziune este un proces care presupune generarea de cratere ale căror frontiere se modifică în timp. În consecință, suntem în situația unei “probleme la limită cu frontieră liberă”. Problemele la limită cu frontieră liberă, numite probleme Stefan, se împart în două categorii: 

Probleme la limită cu frontieră liberă de tip continuu, care se produc atunci când fenomenul de deformare se realizează lent, astfel încât frontiera nu suportă rupturi adică deformarea în timp a frontierei se realizează continuu.



Problema la limită de tip discontinuu sau “probleme la limită de tip salt” care se produc în timp scurt și din punct de vedere fizic prin agresiune sau rupturi ale materialului prelucrat. În acest caz frontiera liberă, (deformată) suferă modificări care în cazul tehnologiilor neconvenționale a nanomaterialelor nu produc deformații incontrolabile. În procesele EDM se întâlnesc, din punct de vedere al frontierei libere, fenomene din categoria a doua. Matematica corespunzătoare adecvată acestor procese este problema lui Stefan de tip salt. Problema la limită de tip salt presupune impunerea condițiilor la limită în ecuația generală Fourier-Kirchhoff, condiția ca saltul discontinuității soluției să fie controlat de o valoare dată. Această abordare a fost făcută pentru EDM și în lucrarea [17]. Eroziunea electrică în stratul de suprafață al materialului supus prelucrării este însoțită de procese termice intense, care determină topirea și vaporizarea locală a materialului. Se ține seama de faptul că în procesele electroeroziunii mediul de lucru este omogen și izotrop. În consecință putem folosi coordonatele cilindrice. Cu aceste precizări, ecuația cu derivate parțiale de ordinul doi care guvernează câmpul termic 63

din mediul de lucru, numită și ecuația Fourier-Kirchhoff este reprezentată de ecuația (4.1). Ecuația Fourier-Kirchhoff este:

  2u 1 u  2u  u   a 2  2   t r r z 2   r

(4.1)

unde u *  u(t , r , z ) , (t , r , z )  3 reprezintă câmpul termic din mediul de lucru în coordonate cilindrice nestaționar, unde variabila unghiulară  este neglijată din cauza izotropiei, iar constanta a 2 este dată de: a2 

K  m  (c p u m   m )

(4.2)

Semnificațiile constantelor care intervin în ecuația (4.2) sunt prezentate în Tabelul 4.1.

Tabelul 4.1 Definirea constantelor care intervin în ecuația Fourier-Kirchhoff

Simbol

Definiția constantei

Valoare [unitatea de măsură] W  43    nK 

Conductivitatea termică

Căldura specifică a mediului de lucru

 J  370    kg  K 

0

Căldura latentă de topire a materialului folosit

J  270·103    kg 

Temperatura absolută de topire a materialului folosit

1810 [K ]



Densitatea materialului folosit

 kg  7860  3  m 

Soluția generală a ecuației (4.1) se obține prin metoda separării variabilelor și în cazul de față o reprezentăm folosind seria Bessel: n

( 1) n  x  J 0 (x )   , x  2   n 0 ( n! )  2 

(4.3)

Constantele de integrare care intervin în soluția generală, notate prin L,M > 0, respectiv funcțiile definite de aceste constante, notate prin R0(L,M); Z0(M), T0(L) se determină prin condițiile inițiale, condițiile la limită de tip Neumann și, respectiv, condițiile Stefan de tip discontinuu. Soluția generală a problemei de transfer termic Fourier-Kirchhoff este dată prin: 64

u * (t , r , z )  R0 (L,M )  Z0 (M ) T0 (L)  J 0 (r L2  M 2 )  e Mz  L t

(4.4)

Din condiția inițială:

u * (t , r , z ) t 0  u 0

(4.5)

se obține: R0 (L,M )  Z0 (M ) T0 (L)  u 0

(4.6)

unde u 0 este câmpul termic la momentul t  0 adică valoarea temperaturii ambiante. În consecință, soluția generală (4.4) devine: 2

u * (t , r , z )  u 0  J 0 (r L2  M 2 )  e ( Mz L t )

(4.7)

Observăm că o parte din constantele de integrare au fost determinate, ne referim la funcțiile R0, Z0, T0, și au rămas de determinat constantele L și M, care apar în ecuația (4.7) și se vor determina prin condițiile la limită a fluxului energiei termice generat de aparatul electric care produce prelucrarea prin EDM, respectiv prin condițiile Stefan de tip salt. 4.1.

Optimizarea aproximării fluxului energiei termice printr-o regresie de tip spline cubic

Cercetările efectuate până în prezent asupra impunerii condițiilor la limită prin fluxul energiei termice au folosit în exclusivitate funcția lui Gauss ca aproximant al fluxului energiei termice. În condițiile de prelucrare a materialelor prin metode convenționale (prin expulzare de macroparticule) aceste aproximări prin clopotul lui Gauss dau rezultate suficient de bune. În cazul de față fluxul termic se anulează la frontiera craterului, fapt care, din cauza proceselor neconvenționale, folosind expulzări de particule fine de dimensiune nano, aproximarea fluxului termic prin funcția lui Gauss produce erori mari la frontiera craterului, vezi Figura 4.1.a). Optimizarea aproximării fluxului energiei termice, din acestă perspectivă este justificată. Reprezentarea matematică pentru altă funcție decât clopotul lui Gauss, care să păstreze calitățile acestuia, dar care să anuleze fluxul la frontiera craterului, se poate realiza printr-o funcție spline. Funcțiile spline prin excelență au calitatea de a fi capabile să-și modifice alura după necesitățile urmărite. În acest scop se va folosi o regresie generată de punctele luate de pe clopotul lui Gauss cu excepția a două puncte care coboară sub clopot, iar ultimul ia valoarea zero la frontiera craterului, vezi Figura 4.2.b. Regresia se construiește folosind funcții spline cubice cardinale [17]. 65

Forma fluxului energiei termice care generează graficele din Figura 4.1.a) și b) este dată de:

q( r )  qmax  e



2 r2 2

(4.7)

s( r )    k  k ( r )

(4.8)

k 1

unde funcțiile spline cardinale sunt date de: 3  1  2 3 1 ( x )  1  9 x   10 x   16  x   2    3   2 ( x )  x   7 x 2  3 x 3  4 x  1   2 2    3 1   2 3  3 ( x )  12 x   16 x   32  x   2    3   4 ( x )  3 x 2  6 x 3  16  x  1  2     3  ( x )  1 x 2  x 3  4 x  1       5 2 2   

(4.9)

q max

Gauss

Spline

q max



0

Figura 4.1. Imaginea geometrică a distribuției fluxului termic pentru a) modelul Gauss, b) spline cubic de regresie

Parametrii  k , k  1  5 se determină din condițiile de regresie menționate anterior. În consecință, condiția la limită va folosi funcția din (4.8). 66

Determinarea regresiei se obține minimizând forma pătratică: 5   L(  )    yi    j j ( xi ) i 1  j 1  n

(4.10)

În (4.10) necunoscute sunt componentele vectorului  .

  1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 

(4.11)

care definesc fluxul termic (4.8) iar punctele M i ( xi , yi ) , i  1  n sunt propuse ca în Figura 4.2.

Mn-2 Mn-1

Mnr Figura 4.2. Imaginea punctelor de regresie

Este cunoscută proprietatea regresiei de a fi o funcție unică care se apropie cel mai mult de punctele propuse M i ( x i , y i ) , i  1  n . Din proprietatea formei pătratice L(  ) de a avea punct minim unic putem determina acest punct

  ( 1, 2 ,...,5 ) rezolvând sistemul liniar: L  0 , j  1 5 B j

(4.12)

Dacă se ține seama de (4.10) și (4.12) obținem sistemul liniar:

n j 1  i 1 5

 

  j ( x i ) k ( x i ) j   y i  k ( x i )

i 1

k  1 5

(4.13)

Matriceal, ecuația (4.13) este:

A T  C

(4.14)

unde: A  (a jk ) 55 , C  (c j )

a jk   j ( x i ) k ( x i )

(4.15)

i 1

j 1 5 ,

c j   y i j (x i )

(4.16)

i 1

Se verifică imediat că det A  0 deci soluția sistemului (4.13) este unică. În studiul de caz această regresie va fi determinată efectiv. Am prezentat în detaliu etapele de determinare ale acestei regresii, întrucât ea este o contribuție originală a autorului acestei teze de doctorat. 4.2.

Condiția la limită de tip Neumann aplicată proceselor EDM

În teoria matematică a condițiilor la limită pentru ecuații cu derivate parțiale se întâlnesc două tipuri de condiții:  condiții la limită de tip Dirichlet, atunci când se cunosc valorile soluției generale în punctele frontierei.  condiții la limită de tip Neumann atunci când se cunosc valorile fluxului la frontieră. În cazul de față avem de-a face cu cea de-a doua formă. De remarcat este faptul că sunt situații când pe unele porțiuni ale frontierei se pot pune condiții Dirichlet, iar pe alte porțiuni condiții Neumann. Aceste abordări poartă denumirea de “condiții la limită mixte”. Fluxul termic, sau fluxul energiei termice este generat de aparatul folosit în EDM. Matematic se presupune că este cunoscută o funcție u i continuă și definită prin: u i : [t 0 , )   *    , unde  *  reprezintă suprafața lui  pe care se formează craterul. Dacă u : [t 0 , )     este soluția generală (4.4) și u

 n , * 

notează derivata după

 direcția normalei n la frontiera  *  , adică: u

 n , * 

  n , u

(4.17)

unde u este gradientul funcției u :  u u u  u   , ,  , ( x , y , x )    x y z 

(4.18)

atunci fluxul energiei termice q * se definește prin: q *  u

(4.19)

 n , * 

  0 o constantă dată. În consecință condiția la limită Neumann este:  u

 n , * 

 u1

(4.20)

Dacă suprafața  *  are ecuația: F(x, y , z)  0

(4.21)

și z  z( x , y ) , este funcția implicită definită de (4.21).

 Rezultă că normala n la  *  este:   p q 1 n  , , 2 2 2 2  1 p  q 1 p  q 1 p2  q 2  unde: p 

   

z z ,q y x

(4.22)

(4.23)

Cu aceste precizări fluxul energiei termice devine:

 p u q u 1 u  q *       1  p 2  q 2 x 1  p 2  q 2 y 1  p 2  q 2 z  

(4.24)

cu precizarea:

Fy' Fx' p ' , q ' Fz Fz

(4.25)

Dacă notăm:

A

F   F   F  ' 2 x

' 2 y

' 2 z

(4.26)

atunci fluxul termic devine: q  *

 Fz' 

u u u   Fx'  Fy'   A  x y z 

(4.27)

În cazul de față, ținând cont de faptul că fluxul energiei termice a fost determinat printr-o regresie spline, ecuația (4.20) devine: 

 Fz'  Fx' 

5 u u u   Fy'    A y k  k (r )  0 x y z  k 1

(4.28)

În relația (4.28) funcția u( x, y, z ) se definește prin (4.7) cu precizarea:

u (t , x , y , z )  u * (t , r , z )

r  x 2 y 2

(4.29)

analog:

 k (r )

r  x2 y 2

  k* ( x , y )

(4.30)

Asupra relației (4.20) se va reveni în cazul când se vor preciza toate datele, ne referim la ecuațiile suprafeței  *  . 4.3.

Condiția la limită Stefan de tip salt aplicată proceselor EDM

Problema lui Stefan de tip discontinuu (de tip salt) se definește calculând saltul soluției într-un punct arbitrar al frontierei libere S(t ) . Calculul saltului se obține prin limitele laterale după direcția normalei la frontieră în punctul produs de descărcarea electrică. În cadrul proceselor EDM, topirea materialului face ca frontiera (suprafața dintre materialul topit și cel solid) să se modifice, deci această frontieră depinde de timp. Din punct de vedere matematic această problemă poartă numele de problema lui Stefan sau problemă la limită Neumann cu frontieră liberă S(t ) . În vecinătatea simetrică a frontierei S(t ) există material topit și solid, din frontiera liberă este de fapt o stare teoretică a separării materialului topit de cel solid. În cazul “neconvențional” al prelucrării materialelor prin electroeroziune, prelucrarea se face prin impulsuri electrice, deci în timp scurt și cu efecte de rupere a materialului (a nanomaterialului) care conduce la condiții la limită Stefan de tip discontinuu. Acesta este motivul pentru care matematic se abordează condiția la limită de tip salt.   Dacă n este normala la suprafața S(t ) , l i (t ) , respectiv, l e (t ) notează limita pe direcția n a soluției u(t , r , z ) când punctul de pe normală se deplasează dinspre partea lichidă spre partea solidă către S(t ) , pe care o numim limită interioară, respectiv când punctul se deplasează dinspre partea solidă către

partea lichidă, atunci saltul se definește prin:

 (t )  l (t )  l (t ) *

(4.31)

În ipoteza că S (t ) este definit prin ecuația: F (t , x , y , z )  0

(4.32)

unde F este continuă și cu derivate parțiale de ordinul întâi continue, condiția la limită Stefan de tip discontinuu se poate defini prin:

  * (t )( x * , y * , z * )  

 F (t , x * , y * , z * )  F ,n t

1

(4.33)

3

Ilustrăm în Figura 4.3 imaginea geometrică a condiției Stefan de tip salt. Mai precizăm în plus că limitele laterale li (t ) și l e (t ) sunt finite și diferite, fapt care justifică existența formulei (4.33), iar constantele  și  sunt precizate în Tabelul 4.1.

x S(t )

M *  M(x * , y * ,z * )

N y

le(t)

li(t) z

Figura 4.3. Imaginea geometrică a condiției Stefan de tip salt

 În formula (4.33) expresia F , n

1 3

reprezintă:

 F , n

1 3



1  F , n

(4.34) 3

În aplicațiile EDM care se încadrerază în procese neconvenționale (de eliminare a unor particule nanomateriale) se propun diverse tipuri de frontiere libere S(t ) , în funcție de materialul prelucrat, puterea fluxului energiei termice (a aparatului electric) ca de exemplu semisfere, calote sferice, semielipsoid de rotație, respectv, calotă de elipsoid de rotație. În aceste situații, funcția F (t , x , y , z ) este binedefinită. În consecință saltul definit prin (4.33) conține doar limitele laterale ale soluției câmpului termic a ecuației Fourier-Kirchhoff care conține cei doi parametri L și M . 71

Dacă ținem seama de (4.28) și (4.33) se observă că suntem în posesia a două ecuații din care se pot determina constantele de integrare L și M și în consecință soluția unică a problemei Stefan de tip discontinuu cu condiții Neumann și condiție inițială. Prezentăm în cele ce urmează un tabel sinteză al relațiilor care se folosesc întotdeauna atunci când rezolvăm o problemă la limită cu frontieră liberă de tip Stefan cu salt. Tabelul 4.2. Formulele generale de determinare a constantelor de integrare

Nr .

Denumirea tipului de condiție

Formulele adecvate

Condiția inițială

R0 (L,M )  Z0 (M ) T0 (L)  u 0

Condiția la limită de tip Neumann

 0 u

Condiția la limită Stefan de tip salt

0  * (t )x * , y * , z *   

 n , * 

 u 1 (t , x , y , z )

 F (t , x * , y * , z * )  F , n t

1 3

Cercetările experimentale au condus la idea că în cazul proceselor EDM drumul de urmat în problema la limită cu frontieră liberă, respectiv problema Stefan, este de a propune diverse tipuri de frontieră liberă. În acest sens s-au propus, până în prezent, ca tipuri de frontieră liberă, semisfere și calote sferice. În această lucrare încercăm o soluție nouă, cazul elipsoidului de rotație, mai precis, semielipsoidului de rotație și al calotei elipsoidice de rotație. 4.4.

Modele de frontieră liberă folosite în determinarea câmpului termic care apare în procesul EDM

Notăm în continuare cu S(t ) frontiera liberă, Figura 4.3. Cazurile particulare, S(t ) semisferă și calotă sferică au fost studiate în detaliu în [17]. Totuși le prezentăm succint pentru a se vedea continuitatea cercetării. Cazurile când S(t ) este semielipsoid de rotație, respectiv calotă de elipsoid se vor studia în detaliu, deoarece ele constituie o contribuție originală a autorului acestei teze de doctorat. 4.4.1. Frontiera liberă S(t ) în cazul semisferei Presupunem că S(t ) se definește prin ecuația: S(t ) : x 2  y 2  z 2  R 2 (t )  0 ,

z0

(4.35)

sau: S(t )  F (t , x , y , z )  0

z0

(4.36)

unde F (t , x , y , z )  x 2  y 2  z 2  R 2 (t ) este o funcție continuă cu derivate parțiale continue, care depinde de parametrul R (t ) , reprezentând raza sferei, rază care urmează a fi determinată. Remarcăm faptul că, deoarece z  0 , ea reprezintă o semisferă. Folosind formulele din Tabelul 4.2 se determină două elemente esențiale ale proceselor care apar în EDM: - S(t ) , frontiera liberă, care ne permite să cunoaștem dimensiunile craterelor obținute prin -

EDM și acuratețea prelucrării supeafeței propuse. u(t , x , y , z ) , soluția unică a ecuației Fourier-Kirchhoff, care reprezintă câmpul termic ce apare în piesa prelucrată prin EDM

Din condițiia inițială: u(t , x , y , z ) t 0  u 0 se determină, folosind (4.4): R0 (L,M )  Z0 (M ) T0 (L)  u 0

(4.37)

unde u 0 notează temperatura mediului ambiant. În consecință, soluția câmpului termic devine: 2

u(t , x , y , z )  u 0  J 0 ( (L2  M 2 )( x 2  y 2 ) )  e ( M z L t )

(4.38)

Se observă ca în (4.38) au rămas constantele de integrare L și M care se determină din condiția la limită de tip Neumann, respectiv condiția la limită Stefan de tip salt. Aceste două condiții la limită se aplică porțiunilor de frontieră liberă S1 (t ) și S2 (t ) unde:



S1 (t )  ( x , y , z )  3 / z  0;



S2 (t )  ( x , y , z )  3 / z  0;

  R (t )

x 2  y 2  2 (t )

x2  y 2  z2

(4.39) (4.40)

În consecință, trebuie precizat că

S(t )  S1 (t )  S2 (t )

(4.41)

Denumirea de semisferă este oarecum improprie deoarece S(t ) conține și porțiunea plană S1 (t ) pe lângă semisfera proprie S2 (t ) . Cu aceste precizări, din [17] cele două constante L și M sunt date de:

M

q max K  u0

(4.42)

Iar în ipoteza condiției Stefan cu fluxul termic gausian: L  f (  , L)

(4.43)

unde funcția continuă f are forma: f (  , L) 

y *  ln J 0 ( x * )   tf

(4.44)

unde: x *    t f L2 

y* 

2 q max K 2u 02

(4.45)

2   2  t f2

(4.46)

2

Se observă că ecuația de tip punct fix are soluție unică, deoarece f este o funcție continuă. În consecință M, L sunt bine determinate. Pentru determinarea punctului fix L se poate aplica o procedură numerică, care va face obiectul capitolului următor. În aceste relații t f notează timpul final de descărcare al unui impuls. În ipoteza fluxului termic spline de regresie condiția Stefan de tip salt are forma:

0Mu 0 J 0 s  r (t f ) e L tf  s * (t f ) 2

(4.47)

În concluzie obținem ecuația de tip punct fix: L  f ( L ) , unde:

f (L) 

ln A  J 0 (s  r (t f ))  M* , unde: A  0 * 0   tf s (t f )

(4.48)

4.4.2. Frontiera liberă S (t ) de tip calotă sferică Deoarece calota sferică și semielipsoidul respectiv calota de elipsoid de rotație au comportament asemănător și cum interesul nostru este să studiem elipsoidul, partea de calotă sferică se va prezenta puțin mai detaliat. Pentru a putea fi folosite rezultatele de la semisferă, ne referim în special la S1 (t ) , vom scrie ecuația de rază R (t ) cu centrul în punctul A(0,0,z 0 ) , z 0  0 astfel încât calota să se realizeze la intersecția sferei cu planul z  0 . 74

În consecință: S * (t ) : x 2  y 2  (z  z 0 ) 2  R 2 (t )

(4.49)

Condiția inițială se obține analog la t  0 și soluția obținută este: 2

u * (t , r , z )  u 0 J (s  x 2  y 2 )  e ( M z  L t )

(4.50)

Analog cazului semisferei, condiția la limită de tip Neumann conduce la:

M

q max K  u0

(4.51)

Este necesar să facem observația că dacă se propune o frontieră liberă a cărei ecuație este dată de funcția implicită F (t , x , y , z ) , adică frontiera liberă S(t ) se definește prin: S(t ) :

F (t , x , y , z )  0

(4.52)

Atunci produsul scalar este:  F , n  (Fx' ) 2  (Fy' ) 2  (Fz' ) 2

(4.53)

În consecință, condița la limită Stefan de tip salt, în forma sa cea mai generală este:

0 [q ](x * ) (Fx' ) 2  (Fy' ) 2  (Fz' ) 2  

F t

(4.54)

A(0,0,-z0) O(0,0,0)

h(t)

B(r(tf),0,0)

C(0,0,h(t))

z Figura 4.4. Imaginea geometrică a calotei sferice

În cazul acestei calote sferice funcția care definește sfera corespunzătoare este:

S(t ) :

F (t , x , y , z )  x 2  y 2  (z  z 0 ) 2  R 2 (t )  0

(4.55)

În consecință (4.54) devine:

0 [q ](x * )  2 x 2  y 2  ( z  z 0 ) 2  

F t

(4.56)

Cum: F  2R (t )  R ' (t ) t

(4.57)

Și dacă se ține seama de notația:

  0 [q ](x * )  0

(4.58)

2  R(t )  2R(t )  R ' (t )

(4.59)

atunci (4.56) devine:

În consecință se obține ecuația diferențială:

R ' (t )  

(4.60)

Integrând (4.60) se obține soluția generală: R(t )    t  C

(4.61)

Constanta C se determină din condiția inițială t  0 , rezultă că:

R(0)  z 0

(4.62)

R(0)  C

(4.63)

R(t )    t  z 0

(4.64)

Pe de altă parte, din (4.61):

și deci, soluția problemei Cauchy este:

Notăm cu t f , timpul mediu final de descărcare a unui impuls. Înseamnă că procesul EDM intr-un impuls se desfășoară în timpul t  [0,t f ] . În cele ce urmează se determină z 0 și h(t ) , înălțimea calotei.

1 z 0  h(t f )  R (t f ) [17]. 2

Se arată că:

În concluzie au loc relațiile: z0    tf ;

h(t f )    t f

(4.65)

Astfel avem: R(t )   (t  t f ) ,

t  [0,t f ]

(4.66)

R (t ) reprezentând raza sferei variabile, iar raza calotei variabile este:

r (t )    t  3

(4.67)

Cu aceste rezultate se poate trece la determinarea ecuației de tip punct fix: L  f * (  , L)

(4.68)

folosind condiția la limită Neumann și fluxul termic Gaussian obținem: q * (r )  0

u * z

z 0

 0  M  u 0  J 0 (s  r )  e L tf

z 0

(4.69)

Dacă în plus se ține seama că:

0  M  u 0 J 0 (s  r (t f ))  e

L2tf

 q max  e



2 r 2 ( tf ) 2

(4.70)

obținem relația: L  f * (  ,L) unde:

f (  , L)  *

2  2 q max   1    ln J L  t 3   0 f  k 2u 02   2 t f  

6 2 t f

(6.71)

Dacă notăm cu Q * (t f ) , valoarea câmpului termic la momentul final t f , adică: 2

Q * (t f )  u 0 J 0 (s x 2  y 2 )  e ( M z L tf )

(4.72)

Se poate explicita z  0 prin logaritmare și obținem ecuația craterului: z  f (x, y )

(4.73)

unde: f (x, y ) 

0  u 0 q max



u0  J 0 ( x 2  y 2 )(M 2  L2 )   L  Q * (t f ) 2



(4.74)

Unde L și M sunt constantele de integrare determinate anterior. Dacă folosim energia fluxului termic aproximată de splinul de regresie atunci ecuația de tip punct fix L  f (L) are forma:

f (L) 

 u M* ln AJ0 (r (t )(M 2  L2 )) , unde A  0 * 0   tf s (t f )

(4.75)

4.4.3. Frontiera liberă de tip semielipsoid de rotație Cercetările experimentale, așa cum am mai menționat, au sugerat că forma craterului se apropie cel mai mult de forma unui elipsoid de rotație. În acest sens, definim frontiera liberă S * (t ) prin: S * (t )  S1* (t )  S2* (t ) , unde:



S1* (t )  ( x , y , z )  3 / z  0,



x 2  y 2  a 2 (t )

(4.76)

  r2 z2 S2* (t )  ( x , y , z )   3 / 2  2  1 a (t ) b (t )  

(4.77)

unde: r  x2  y2 , a  b  0

(4.78)

-b(t) 0 a(t)

-a(t)

b(t)

* 1

S 2*

Figura 4.5. Imaginea geometrică a semielipsoidului de rotație

Funcția care definește S * (t ) are forma: x2  y2 z2 F (t , x , y , z )  2  2  1, a (t ) b (t )

z0

(4.79)

În coordonate cilindrice, funcția devine: F (t , r , z ) 

r2 z2   1, z  0 a 2 (t ) b 2 (t )

(4.80)

Aceste rezultate conduc la:

Fx' 

2x 2y 2z , Fy'  2 , Fz'  2 2 b (t ) a (t ) a (t )

(4.81)

 Produsul scalar corespunzător, F , n definit prin:  F , n  Fx'  n x  Fy'  n y  Fz'  nz

(4.82)

 F , n  (Fx' ) 2  (Fy' ) 2  (Fz' ) 2

(4.83)

F  (Fx' ,Fy' ,Fz' )

(4.84)

 Fx' n x   (Fx' ) 2  (Fy' ) 2  (Fz' ) 2  Fy'  n y  (Fx' ) 2  (Fy' ) 2  (Fz' ) 2   Fz' n   z (Fx' ) 2  (Fy' ) 2  (Fz' ) 2 

(4.85)

devine:

deoarece:

Dacă se ține seama de definiția funcției F , (4.79) și de (4.83), avem:  F , n 

2 b 4 (t )  (a 2 (t )  b 2 (t ))  z 2 2 a (t )b (t )

(4.86)

Cu aceste rezultate putem trece la condiția inițială, condiția Neumann la limită și condiția Stefan de tip salt. Pentru t  0 condiția inițială și în acest caz, este u 0 , care notează temperatura mediului 2

ambiant și deoarece soluția generală este tot (4.4) deci u * (t , r , z )  u 0 J 0 (sr )  e ( M z L t ) unde: u 0  R0 (L,M )  Z0 (M ) T0 (L)

(4.87)

În ceea ce privește sistemul format de condițiile Neumann și Stefan, avem: u *  0 z

z 0

 q max  e



2r 2 2

(4.88)

În cazul energiei fluxului termic de tip gaussian, respectiv:  0

u * z

z 0

 s(r )

(4.89)

unde s( r ) este splinul cubic de regresie definit de (4.8). În ambele cazuri constanta M este:  * q max in cazul Gaussian M  0 u 0   *  * s (0) M   u in cazul splinului cubic de regresie 0 0 

(4.90)

Condiția Stefan de tip salt este: 



 F (t , x , y , z )  F , n t

1 3



(4.91)



unde:     * (t ) ( x , y , z ) , ( x , y , z )  S * (t ) . Dacă se ține seama de rezultatele anterioare și de expresia derivatei parțiale



x2  y 2 '  F z2  2 3  a ( t )  3  b ' (t )  t b (t )  a (t ) 

F , dată de: t

(4.92)

obținem: 

 F (t , x , y , z ) z 0  F , n t

1 3 z 0



z 0

 *

(4.93)

În consecință (4.93) se transformă în ecuația diferențială:

a ' (t )   *

(4.94)

a(t )   * t  c

(4.95)

a(t )   *  t

(4.96)

t  0 implică c  0 , deci:

Este important de remarcat faptul că raza elipsoidului la timpul final t f adică a(t f ) cât și t f se determină empiric combinat cu un procedeu Fuzzy folosind algoritmul FAHP. Aplicând un raționament analog cazului când S * (t ) , este o calotă sferică, se poate propune 1 b(t )  a (t ) . 2

În consecință avem sistemul: a(t )   *  t   1 * b(t )   t 2 

(4.97), (4.98)

Aceste rezultate conduc la forma suprafeței libere S * (t ) definită prin:

a(0)  0  x  y  z  0 S * (t ) :  2 2 2 x  y  4z  a(t )  0,

z  0, t  0

(4.99)

cu a(t ) definit în (4.96). Apreciem că acest rezultat este o contribuție originală a autorului acestei teze de doctorat. Analog cercetărilor anterioare se propune ecuația de tip punct fix din care se va determina constanta de integrare L . Sigur că ecuația de tip punct fix depinde de propunerea făcută relativ la expresia fluxului energiei termice, gausiană respectiv spline cubic de regresie. În acest mod am pus în evidență modelul unic de abordare privind studiul acestui fenomen “neconvențional” care apare în EDM. Constanta de integrare, definită în (4.90) se obține analog cazurilor S * (t ) semisferă respectiv

S * (t ) calotă sferică, acesta deoarece condiția la limită Neumann se adresează soluției generale (4.4) care nu depinde de forma suprafeței libere S * (t ) . În ceea ce privește constanta L pe care am precizat-o deja, ea se va determina separat, pentru cazul fluxului energiei termice, gaussian respectiv spline de regresie. 81

În cazul gaussian r se va înlocui cu a(t f )   *  t f unde t  t f este timpul mediu final de execuție a unui impuls ca și în cazurile precedente. Astfel (4.88) devine: u *  0 z

z 0

 q max  e



2a 2 ( tf ) 2

(4.100)

0M u 0 J 0 (a(t f ) M  L )  q max  e *

 L2tf 

2a 2 ( tf ) 2

(4.101)

Prin logaritmare în (4.101) se obține: ln

0M * u 0 q max

2 2a 2 (t f ) J 0 a(t f ) M *  L2     L2  t f  2  

(4.102)

Din relația (4.102), ținând seama că L  0 , se obține: L  f (  * , L)

(4.103)

unde funcția continuă f (L) are forma: 2

ln J 0 (a(t f ) M *  L2 ) f (  , L)  A   tf *

(4.104)

unde constanta A are forma:

A

1   tf

 0u 0M * 2  a 2 (t f )   ln  2   q max

(4.104)

Forma funcției f (L) , respectiv a constantei A presupune utilizarea unor metode numerice de determinare aproximativă ale acestora. Aceste metode numerice vor face obiectul capitolului următor care va conține și alte abordări necesare întregului capitol 4. Această abordare se reia acum în cazul când fluxul energiei termice este aproximat prin splinul cubic de regresie, (4.8). Astfel avem:  u * *   z 0  s (r )  0 t  * a(t )   t  1 b(t )  a(t ) 2 

(4.106)

Cum

u * z

z 0

are forma: u * z

z 0

 0M * u 0  J 0 (a(t f ) L2  M * )  e L tf

(4.107)

În consecință (4.107) devine: s * (a(t f )) L2 tf J 0 ( a (t f ) L  M )  e 0M * u 0 2

(4.108)

Dacă în (4.108) se logaritmează se ajunge la ecuația de tip punct fix: L  f (  * , L)

(4.109)

unde: 2  1  0u 0M * f (  , L)  ln *  J 0 (a(t f ) L2  M * )   t f  s (a(t f ))  *

(4.110)

Pentru cele două tipuri de flux termic, Gauss, respectiv, spline cubic se poate da o aproximație a graficului craterului rezultat în urma unui impuls EDM [17]. Astfel, dacă notăm prin Q * (t f ) valoarea câmpului termic la momentul final, atunci putem scrie: 2

* 2t ) f

Q * (t f )  u 0 J 0 (a(t f ) L*  M * )  e ( 2M a ( tf )L

(4.111)

În consecință se poate face aproximația: 2 * *2 2   u 0 J 0  x 2  y 2  M *  L*   e ( M z L t ))  Q * (t )  

(4.110)

Dacă din (1.112) se explicitează z  0 , se obține ecuația craterului aproximativ prin ecuația dată de: Z

2 u 1 [ln J o (r  s * )    L*  t  ln * 0 * M Q (t f )

unde r  x 2  y 2 , s *  L*  M * .

(4.111)

Este important de precizat că L* și M * depind de condițiile la limită și Stefan. Aceste rezultate se vor preciza în cazul aplicațiilor numerice din capitolul următor. 4.5.

Concluzii parțiale

Acest capitol este dedicat unei cercetări pur teoretice care pune în evidență atât continuarea cazurilor în care se propun două frontiere libere de tip sferă la care se aplică condiția la limită Stefan de tip salt, cât și extinderea frontierei libere la elipsoidul de rotație, păstrând aceeași metodologie relativ la condițiile Neumann și Stefan. Rezultatele obținute au caracter de originalitate și de o aproximare mai fină relativ la aproximarea craterului cât și la aproximarea fluxului energiei termice, folosind spline-ul cubic de regresie. În legătură cu spline-ul cubic de regresie trebuie menționat că punctele de regresie au fost luate de pe clopotul lui Gauss, până când acesta se apropie de raza craterului în cazul momentului inițial t  0 și z  0 . Pentru sugestia utilizării acestui procedeu am luat ultimele două puncte sub clopot, iar ultimul chiar în planul z  0 . În acest fel suntem în situația de a face o aproximație superioară în ceea ce privește fluxul energiei termice produs de instalația aparatului folosit în EDM. Procesele care apar în EDM cât și proprietățile materialului folosit în electrozi și dielectric conțin o mulțime de informații lingvistice esențiale care nu pot fi studiate prin teoria prezentată în acest capitol. În sensul întregirii acestei cercetări care face obiectul tezei de doctorat, am introdus o nouă teorie matematică bazată pe logica numerelor fuzzy și algoritmul FAHP. Această nouă teorie foarte fecundă în cercetările moderne nu exclude rezultatele obținute în acest capitol, dimpotrivă, le completează, de exemplu, folosim algoritmul FAHP pentru determinarea aproximativă a razei craterului a( t f ) și a timpului final de execuție a unui impuls electric din procesul EDM.

Capitolul 5. MODELAREA NUMERICĂ APLICATĂ ÎN APROXIMAREA CÂMPULUI TERMIC DIN EDM

Complexitatea formulelor de calcul care apar în capitolul patru ne obligă la apelarea softurilor de calcul numeric. În primul rând ne referim la ecuații de recurență (șiruri de recurență) generate de ecuațiile de tip punct fix. În al doilea rând, trebuie să abordăm procedee de tip Fuzzy, chiar dacă teoria numerelor fuzzy se va prezenta în capitolul șase, aceasta deoarece rezultatele sunt strâns legate de câmpul termic care guvernează procesele EDM. În cazul elipsoidului de rotație mai precis a semielipsoidului de rotație, Figura 4.5, avem două ecuații de tip punct fix ale căror soluție unică este valoarea constantei de integrare L > 0, soluție a ecuației: L  f (   , L)

(5.1)

Prima se referă la cazul când în condiția Stefan de tip salt se folosește aproximarea energiei fluxului termic prin funcția gaussiană (4.88) respectiv când fluxul termic se aproximează cu splinul cubic de regresie (4.89), mai exact aceste ecuații transformate în ecuații de recurență de tip punct fix sunt:

L

   tf







 

  t f   2 ln J 0     t f L2 

2 q max 20  u 02

    2   2  t 2  f   

(5.2)

respectiv:

L

2  s  (0) 1 s  (0)  ln *   J 0 (    t f L2  2 2 )   t f  s (  t f ) 0  u 0   

(5.3)

Se observă că în (5.2) și în (5.3) intervin datele experimentale tf și a(tf). Din acest motiv, pentru a intra în aplicarea teoriei ecuațiilor recurente de tip punct fix generate de (5.2) și (5.3) este necesar să determinăm mai întâi aproximarea valorilor tf și a(tf). În acest scop vom folosi anticipat, așa după cum am menționat deja, algoritmul FAHP, algoritm care va fi prezentat în detaliu în capitolele următoare. Descrierea succintă a pașilor folosiți în FAHP se va face concomitent pe exemplul concret al acestei probleme. Primul pas presupune descrierea caracteristicilor esențiale ale EDM. Tabelul următor conține această descriere cât și fuzzyficarea informațiilor lingvistice corespunzătoare.

5.1.

Aplicarea algoritmului FAHP procesului tehnologic de electroeroziun

Fuzzyficarea înseamnă să înlocuim fiecare informație lingvistică cu un număr fuzzy. În acest scop există un criteriu suficient de precis bazat pe faptul că numerele fuzzy formează o mulțime total ~ ordonată. Aceasta înseamnă că se stabilește precis dacă numărul fuzzy i este mai mic decât numărul ~ fuzzy j . Folosim această ordonare atribuind unei informații lingvistice mai importantă decât o alta un număr fuzzy mai mare decât celei de-a doua. În tabelul următor se prezintă aceste caracteristici și fuzzyficarea lor. Tabelul 5.1. Înzestrarea cu caracteristici și fuzzyficarea lor NR. FUZZY SEMNIFICAȚIE ATRIBUIT

NR. CR1

Gradul electrozilor de a fi buni conducători de electricitate

CR2

Gradul generatorului de curent electric de a furniza o tensiune și un curent sub formă de impuls

CR3

Nivelul evitării contactului fizic și electric a electrozilor

~ 7 ~ 1 3 ~ 9

CR4

Nivelul calității dielectricului de concentrare a energiei fiecărei descărcări electrice facilitând amorsarea acestora în vederea copierii formei electrodului sculă

~ 1 1

CR5

Gradul de modificare a proprietăților dielectrice și de compoziție ale interstițilui de lucru.

CR6

Nivelul de deformare plastică a suprafețelor electrozilor sculă respectiv piesă în urma proceselor EDM

CR7

Nivelul de reducere a uzurii electrodului sculă

CR8

Viteza de îndepărtare a electrodului de electrodul piesă

~ 9

~ 1 1 ~ 5

~ 1 3

Pe baza datelor din Tabelul 5.1 se poate propune schema logică de generare a matricilor MOF: MOF1

CR1

CR2 CR1

CR2

CR3 CR3

CR4

CR1

CR22 CR

CR5

CR4

MOF2

CR6

CR5

CR6

CR7

CR8

CR6

MOF3

CR7

CR5

CR3

MOF4

CR8

CR3 CR MOF2

CR8

CR7

MOF3 MOF4

MOF2

MOF3

C1 C1 C1 C2

MOF4

C2 Figura 5.1. Schema logică de ordonare fuzzy

Folosind atribuirea de numere fuzzy caracteristicilor, schema logică din Figura 5.1 devine: CR1 CR1

CR2

~ 13 1

CR2 ~ 13 1

CR3 ~ 1 9

CR4 ~ 1 11

CR5 ~ 1 9

CR6 ~ 1 11

CR7 ~ 7

CR3

~ 13 

CR4

~ 9

~ 13 1

~ 1 11

~ 9

CR5

~ 13 1

CR6

~ 1 1

~ 13 1

~ 1 1

CR7

~ 13 1

CR8

~ 9

~ 13 1

~ 1 11

~ 9

~ 1 1

CR8

~ 13 1

CR1 CR2 CR3

~ ~ 1 CR1 1 1 CR2 13 CR3 ~ 1 ~ 1 9 1 1~3 1 13   ~ ~ ~ ~ 1 1 13  13 11 3  7 ~ ~ 9  1~3 1 13 1 1 

~ 13 

~ 1 1~1 1 1 1

~ 1 1 CR5 ~ 1 1 ~ 1 9 1

~ 13 

CR4 CR4

~ 1 9  CR5

~ 13 

MOF2 MOF2

CR6

~ 1 11

CR7

CR8

~ 13  MOF3

~ 1 1 CR6

MOF3

MOF4

~ 13 

~ 15 

CR8 ~ 13 1

~ 1 11

~ 13 1

~ 13 

~ 13  MOF4 ~ 13 1

C2 ~ 15 1

CR7 ~ 1 1

Figura 5.2. Schema logică fuzzyficată a caracteristicilor esențiale din EDM

Numerele fuzzy folosite sunt cele triunghiulare de tăietură. Scufundarea în mulțimea intervalelor este dată de formula (5.4). Pentru numerele fuzzy triunghiulare de tăietură funcția membru generală se definește prin:

 0,  x  a  b  a ,  A (x )   c  x , c  b   0,

x a x  [a, b ] (5.4)

x  [ b, c ] x c

Formulele pentru numerele fuzzy triunghiulare atribuite caracteristicilor esențiale din EDM sunt:

~ 1 ~ 5 ~ 7 ~ 9

 [1, 3  2 ]

~ 1 1  [ 9  2 , 13  2 ] ~ 13  [11  2 , 15  2 ] ~ 15  [13  2 , 17  2 ]

 [ 3  2 , 7  2 ]  [ 5  2 , 9  2 ]  [ 7  2 , 11  2 ]

~ 1 1  1   9  2    (13  2 ) ~ 13  1   11  2    (15  2 ) ~ 15  1   13  2    (17  2 )

~ 5  1   3  2    (7  2 ) ~ 7  1   5  2    (9  2 ) ~ 9  1   7  2    (11  2 )

(5.5)

(5.6)

Organizarea în matricile MOF, C și G presupune cunoașterea inverselor acestor numere fuzzy, care sunt definite prin: ~ 1  1 1   ,  3  2 ~ 1  1 5   ,  7  2

 1 

1  ~  1 1 11   ,  13  2 9  2  1  ~  1 131   ,  15  2 11  2 

1  3  2 

1  ~ 1  1 7   ,   9  2 5  2  1  ~ 1  1 9   ,  11  2 7  2 

1   1 ~ 151   ,  17  2 13  2 

(5.7)

 ~ 1 1   5   7  2 3  2  ~ 1 1   7   9  2 5  2 1   ~ 1 9   11  2 7  2

1   ~ 1 11   13  2 9  2 1   ~ 131   15  2 11  2 1   ~ 151   17  2 13  2

(5.8)

În urma calculelor matematice de înlocuire a parametrilor  și  cu valori reale, în funcție de dorințele și cunoștințele față de fenomenul studiat și completat cu atribuirea numerelor fuzzy caracteristicilor esențiale, în formulele de mai sus, au rezultat următoarele valori numerice pentru numerele fuzzy alese: Tabelul 5.2. Defuzzyficarea numerelor atribuite caracteristicilor EDM





~ 5

~ 7

~ 9

~ 1 1

~ 1 3

~ 1 5

Caz moderat

1 2

3 4

5.5000

7.5000

9.5000

11.5000

13.5000

15.5000

Caz optimist

1 4

1 2

5.0000

7.0000

9.0000

11.0000

13.0000

15.0000

Caz pesimist

3 4

1 4

4.7500

6.7500

8.7500

10.7500

12.7500

14.7500

Tabelul 5.3. Defuzzyficarea inverselor numerelor atribuite caracteristicilor EDM





~ 1 5

~ 1 7

~ 1 9

~ 1 11

~ 131

~ 151

Caz moderat

1 2

3 4

0.2292

0.1563

0.1188

0.0958

0.0804

0.0692

Caz optimist

1 4

1 2

0.2198

0.1497

0.1143

0.0926

0.0780

0.0673

Caz pesimist

3 4

1 4

0.1919

0.1385

0.1084

0.0890

0.0756

0.0656

Aplicarea metodei valorilor proprii și vectorilor proprii în determinarea ponderilor de cea mai bună aproximație se realizează cu ajutorul programului Matlab unde se introduc matricile încărcate cu valorile defuzzyficate. 89

Pentru cele trei cazuri, moderat, optimist, pesimist, avem:

1  1) Caz moderat    , 2  1.0000

0.0804

13.5000 9.5000

3 4

 

0.0958

0.1188

0.0958

7.5000

0.0804

1.0000 13.5000

13.5000

1.0000

0.0804

1.0000

0.0958

1.0000

0.0958

9.5000

0.0804

0.0804 11.5000

1.0000

11.5000

1.0000

11.5000

0.0804

9.5000

0.0804

1.0000

0.0958

1.0000

0.0958

9.5000

0.0804

11.5000

0.0804 11.5000

1.0000

11.5000

1.0000

11.5000

0.0804

0.1563

0.0804

0.0958

0.1188

0.0958

1.0000

0.0804

13.5000

1.0000 13.5000

13.5000

1.0000

MOF1= 11.5000

0.1188

Valoarea proprie cea mai mare rezultată în urma apelării programului Matlab pentru matricea MOF1 este 1  11.8753 , care ne conduce către vectorul propriu X 1 cu ajutorul căruia putem calcula ponderile locale pentru cazul moderat cu ajutorul formulei: w 1i 

x 1i , s

s   x 1i ,

i 

(5.9)

i 1

Unde x 1i sunt valorile vectorului propriu X 1 . 0.0245  0.6820    0.0522    0.1780   X1  0.0522    0.1780  0.0147    0.6820 

 x 1i  1.8636 i 1

Valorile ponderilor locale pentru MOF1 sunt: w 11  0.0131

w 13  0.0280

w 15  0.0280

w 17  0.0079

w 12  0.3660

w 14  0.0855

w 16  0.0955

w 18  0.3660

1.0000

0.0804

0.1188

MOF2 = 13.5000

1.0000 13.5000

9.5000

0.0804 1.0000

Valoarea proprie cea mai mare rezultată în urma apelării programului Matlab pentru matricea MOF2 este 2  3.6819 , care ne conduce către vectorul propriu X 2 cu ajutorul căruia putem calcula ponderile locale pentru cazul moderat cu ajutorul formulei: w 2i 

x 2i s

s   x 2i ,

i 

(5.10)

i 1

Unde x 2 i sunt valorile vectorului propriu X 2 .

 0.0366  X 2   0.9865   0.1593 

 x 2i

 1,1824

i 1

Valorile ponderilor locale pentru MOF2 sunt:

w 21  0.0310

MOF3 =

w 23  0.1347

w 22  0.8343

1.0000 11.5000 0.0958 1.0000

Valoarea proprie cea mai mare rezultată în urma apelării programului Matlab pentru matricea MOF3 este 3  2.0496 , care ne conduce către vectorul propriu X 3 cu ajutorul căruia putem calcula ponderile locale pentru cazul moderat cu ajutorul formulei: w 3i 

x 3i s

s   x 3i ,

i 

i 1

Unde x3i sunt valorile vectorului propriu X 3 . 0.9959  X3    0.0909 

 x 3i i 1

 1.0868

(5.11)

Valorile ponderilor locale pentru MOF3 sunt:

w 31  0.9164

w 32  0.0836

1.0000

11.5000

0.0804

MOF4 = 0.0958

1.0000

0.0804

13.5000 13.5000

1.0000

Valoarea proprie cea mai mare rezultată în urma apelării programului Matlab pentru matricea MOF4 este 4  3.7899 , care ne conduce către vectorul propriu X 4 cu ajutorul căruia putem calcula ponderile locale pentru cazul moderat, cu ajutorul formulei: w 4i 

x 4i s

s   x 4i

i 

i 1

Unde x 4 i sunt valorile vectorului propriu X 4 .

 0.1694  X 4   0.0342   0.9850 

 x 4i

 1,1886

i 1

Valorile ponderilor locale pentru MOF2 sunt:

w 41  0.1425

w 42  0.0288 C1 1

Ponderea locală pentru matricea C1 are valoarea 1:

w 51  1 1.0000

0.0804

13.5000

1.0000

C2 =

w 43  0.8287

(5.12)

Valoarea proprie cea mai mare rezultată în urma apelării programului Matlab pentru matricea C2 este 6  2.0418 care ne conduce către vectorul propriu X 6 cu ajutorul căruia putem calcula ponderile locale pentru cazul moderat, cu ajutorul formulei: w 6i 

x 6i s

s   x 6i

i 

(5.13)

i 1

Unde x6i sunt valorile vectorului propriu X 6 . 0.0769  X6    0.9970 

 x 6i

 1.0739

i 1

Valorile ponderilor locale pentru C2 sunt:

w 61  0.0716

w 62  0.9284

1.0000

0.0692

15.5000

1.0000

Valoarea proprie cea mai mare rezultată în urma apelării programului Matlab, pentru matricea G, este 7  2.0357 care ne conduce către vectorul propriu X 7 cu ajutorul căruia putem calcula ponderile locale pentru cazul moderat, cu ajutorul formulei: w 7i 

x 7i s

s   x 7i

i 

(5.14)

i 1

Unde x7i sunt valorile vectorului propriu X 7 . 0.0769  X7    0.9970 

 x 7i

 1.0645

i 1

Valorile ponderilor locale pentru G sunt:

w 71  0.0627 93

w 72  0.0974

1  2) Caz optimist    , 4 

1 2

 

1.0000

0.0780

0.1143

0.0926

0.1143

0.0926

7.0000

0.0780

13.0000

1.0000

13.0000

1.0000

9.0000

0.0780

1.0000

0.0926

1.0000

0.0926

9.0000

0.0780

MOF1 = 11.0000

0.0780

11.0000

1.0000

11.0000

1.0000

11.0000

0.0780

9.0000

0.0780

1.0000

0.0926

1.0000

0.0926

0.1143

0.0780

11.0000

0.0780

11.0000

1.0000

11.0000

1.0000

11.0000

0.0780

0.1497

0.0780

0.1143

0.0926

0.1143

0.0926

1.0000

0.0780

13.0000

1.0000

13.0000

1.0000

Valoarea proprie cea mai mare rezultată în urma apelării programului Matlab pentru matricea MOF1 este 1  11.1630 , care ne conduce către vectorul propriu X 1 cu ajutorul căruia putem calcula ponderile locale pentru cazul optimist cu ajutorul formulei: w 1i 

x 1i s

s   x 1i

i 

(5.15)

i 1

unde x 1i sunt valorile vectorului propriu X 1 .

0.0251  0.6835    0.0533    0.1735   X1  0.0413    0.1735  0.0151    0.6835 

 x 1i  1.9847 i 1

Valorile ponderilor locale pentru MOF1 sunt: w 11  0.0126

w 13  0.0269

w 15  0.0208

w 17  0.0076

w 12  0.3444

w 14  0.0874

w 16  0.0874

w 18  0.3444

1.0000 MOF2 = 13.0000 9.0000

0.0780

0.1143

1.0000

13.0000

0.0780

1.0000

Valoarea proprie cea mai mare rezultată în urma apelării programului Matlab pentru matricea MOF2 este 2  3.5773 , care ne conduce către vectorul propriu X 2 cu ajutorul căruia putem calcula ponderile locale pentru cazul optimist cu ajutorul formulei: w 2i 

x 2i s

s   x 2i

i 

(5.16)

i 1

Unde x 2 i sunt valorile vectorului propriu X 2 .

 0.0363  X 2   0.9866   0.1587 

 x 2i  1,1816 i 1

Valorile ponderilor locale pentru MOF2 sunt:

w 21  0.0307

w 22  0.8350

1.0000

11.0000

0.0926

1.0000

w 23  0.1343

MOF3 =

Valoarea proprie cea mai mare rezultată în urma apelării programului Matlab pentru matricea MOF3 este 3  2.0093 , care ne conduce către vectorul propriu X 3 cu ajutorul căruia putem calcula ponderile locale pentru cazul optimist cu ajutorul formulei: 95

w 3i 

x 3i s

s   x 3i

i 

(5.17)

i 1

Unde x 3 i sunt valorile vectorului propriu X 3 . 0.9958  X3    0.0914 

 x 3i

 1.0872

i 1

Valorile ponderilor locale pentru MOF3 sunt:

w 32  0.0841

w 31  0.9159 1.0000 MOF4 = 0.0926 13.0000

11.0000

0.0780

1.0000

0.0780

13.0000

1.0000

Valoarea proprie cea mai mare rezultată în urma apelării programului Matlab pentru matricea MOF4 este 4  3.6880 , care ne conduce către vectorul propriu X 4 cu ajutorul căruia putem calcula ponderile locale pentru cazul optimist, cu ajutorul formulei: w 4i 

x 4i s

s   x 4i

i 

(5.18)

i 1

Unde x 4 i sunt valorile vectorului propriu X 4 .

 0.1693  X 4   0.0344   0.9850 

 x 4 i  1,1887 i 1

Valorile ponderilor locale pentru MOF2 sunt:

w 41  0.1424

w 42  0.0289 C1 1 96

w 43  0.8286

Ponderea locală pentru matricea C1 are valoarea 1:

w51  1 1.0000

0.0780

13.0000

1.0000

C2 =

Valoarea proprie cea mai mare rezultată în urma apelării programului Matlab pentru matricea C2 este 6  2.0070 care ne conduce către vectorul propriu X 6 cu ajutorul căruia putem calcula ponderile locale pentru cazul optimist, cu ajutorul formulei: w 6i 

x 6i s

s   x 6i

i 

(5.19)

i 1

Unde x 6 i sunt valorile vectorului propriu X 6 . 0.0772  X6    0.9970 

 x 6i

 1.0742

i 1

Valorile ponderilor locale pentru C2 sunt:

w 62  0.9281

w 61  0.0719 1.0000

0.0673

15.0000

1.0000

Valoarea proprie cea mai mare rezultată în urma apelării programului Matlab, pentru matricea G, este 7  2.0047 care ne conduce către vectorul propriu X 7 cu ajutorul căruia putem calcula ponderile locale pentru cazul optimist, cu ajutorul formulei: w 7i 

x 7i s

s   x 7i

i 

i 1

(5.20)

unde x 7 i sunt valorile vectorului propriu X 7 . 0.0668  X7    0.9978 

 x 7i

 1.0645

i 1

Valorile ponderilor locale pentru C2 sunt:

w 71  0.0627

3  3) Caz pesimist    , 4 

w 72  0.9373

1 4

 

1.0000

0.0756

0.1084

0.0890

0.1084

0.0890

6.7500

0.0756

12.7500

1.0000

12.7500

1.0000

8.7500

0.0756

1.0000

0.0890

1.0000

0.0890

8.7500

0.0756

MOF1 = 10.7500

0.0756

10.7500

1.0000

10.7500

1.0000

10.7500

0.0756

8.7500

0.0756

1.0000

0.0890

1.0000

0.0890

8.7500

0.0756

8.7500

0.0756 10.7500

1.0000

10.7500

1.0000

10.7500

0.0756

0.1385

0.0756

0.1084

0.0890

0.1084

0.0890

1.0000

0.0756

12.7500

1.0000 12.7500

12.7500

1.0000

Valoarea proprie cea mai mare rezultată în urma apelării programului Matlab pentru matricea MOF1 este 1  11.1711 , care ne conduce către vectorul propriu X 1 cu ajutorul căruia putem calcula ponderile locale pentru cazul pesimist cu ajutorul formulei: w 1i 

x 1i s

s   x 1i

i 

i 1

unde x 1i sunt valorile vectorului propriu X 1 .

(5.21)

0.0240  0.6829    0.0515    0.1769   X1  0.0515    0.1726  0.0146    0.6829 

 x 1i  1.8569 i 1

Valorile ponderilor locale pentru MOF1 sunt: w 11  0.0129

w 13  0.0277

w 15  0.0277

w 17  0.0079

w 12  0.3678

w 14  0.0953

w 16  0.0930

w 18  0.3678

1.0000 MOF2 = 12.7500 8.7500

0.0756

0.1084

1.0000

12.7500

0.0756

1.0000

Valoarea proprie cea mai mare rezultată în urma apelării programului Matlab pentru matricea MOF2 este 2  3.5066 , care ne conduce către vectorul propriu X 2 cu ajutorul căruia putem calcula ponderile locale pentru cazul pesimist cu ajutorul formulei: w 2i 

x 2i s

s   x 2i

i 

(5.22)

i 1

unde x 2 i sunt valorile vectorului propriu X 2 .

 0.0366  X 2   0.9869   0.1574 

 x 2i  1,1809 i 1

Valorile ponderilor locale pentru MOF2 sunt:

w 21  0.0310

MOF3 =

w 22  0.8357 1.0000

10.7500

0.0890

1.0000 99

w 23  0.1333

Valoarea proprie cea mai mare rezultată în urma apelării programului Matlab pentru matricea MOF3 este 3  1.9781 , care ne conduce către vectorul propriu X 3 cu ajutorul căruia putem calcula ponderile locale pentru cazul optimist cu ajutorul formulei: w 3i 

x 3i s

s   x 3i

i 

(5.23)

i 1

unde x 3 i sunt valorile vectorului propriu X 3 . 0.9959  X3    0.0906 

 x 3i

 1.0865

i 1

Valorile ponderilor locale pentru MOF3 sunt:

w 31  0.9166

w 32  0.0834

1.0000

10.7500

0.0756

MOF4 = 0.0890

1.0000

0.0756

10.7500

1.0000

10.7500

Valoarea proprie cea mai mare rezultată în urma apelării programului Matlab pentru matricea MOF4 este 4  3.4775 , care ne conduce către vectorul propriu X 4 cu ajutorul căruia putem calcula ponderile locale pentru cazul optimist, cu ajutorul formulei: w 4i 

x 4i s

s   x 4i

i 

(5.24)

i 1

Unde x 4 i sunt valorile vectorului propriu X 4 .

 0.1894  X 4   0.0367   0.9812 

 x 4 i  1,2073 i 1

Valorile ponderilor locale pentru MOF2 sunt:

w 41  0.1569

w 42  0.0304 C1 1

100

w 43  0.8127

Ponderea locală pentru matricea C1 are valoarea 1:

w 51  1 1.0000

0.0756

12.7500

1.0000

C2 =

Valoarea proprie cea mai mare rezultată în urma apelării programului Matlab pentru matricea C2 este 6  1.9818 care ne conduce către vectorul propriu X 6 cu ajutorul căruia putem calcula ponderile locale pentru cazul optimist, cu ajutorul formulei: w 6i 

x 6i s

s   x 6i

i 

(5.25)

i 1

unde x 6 i sunt valorile vectorului propriu X 6 . 0.0768  X6    0.9970 

 x 6i

 1.0738

i 1

Valorile ponderilor locale pentru C2 sunt:

w 61  0.0715

w 62  0.9285

1.0000

0.0656

14.7500

1.0000

Valoarea proprie cea mai mare rezultată în urma apelării programului Matlab, pentru matricea G, este 7  1.9837 care ne conduce către vectorul propriu X 7 cu ajutorul căruia putem calcula ponderile locale pentru cazul optimist, cu ajutorul formulei: w 7i 

x 7i s

s   x 7i

i 

i 1

unde x7i sunt valorile vectorului propriu X 7 .

101

(5.26)

0.0665  X7    0.9978 

 x 7i

 1.0645

i 1

Valorile ponderilor locale pentru G sunt:

w 71  0.0625

w 72  0.9375

În Tabelul 5.4 sunt prezentate toate ponderile locale pentru cele trei cazuri, moderat, optimist și pesimist. Tabelul 5.4. Valorile ponderilor locale pentru cele trei cazuri

Ponderea

Caz moderat

Caz optimist

Caz pesimist

w 11

0.0131

0.0126

0.0129

w 12

0.3660

0.3444

0.3678

w 13

0.0280

0.0269

0.0277

w 14

0.0955

0.0874

0.0953

w 15

0.0280

0.0208

0.0277

w 16

0.0955

0.0874

0.0930

w 17

0.0079

0.0076

0.0079

w 18

0.3660

0.3444

0.3678

w 21

0.0310

0.0307

0.0310

w 22

0.8343

0.8350

0.8357

w 23

0.1347

0.1343

0.1333

w 31

0.9164

0.9159

0.9166

w 32

0.0836

0.0841

0.0834

w 41

0.1425

0.1424

0.1569

w 42

0.0288

0.0289

0.0304

w 43

0.8287

0.8286

0.8127

w 51

1.0000

w 61

0.0716

0.0719

0.0715

w 62

0.9284

0.9281

0.9285

w 71

0.0627

0.0625

w 72

0.9373

0.9375

102

Cu ajutorul ponderile locale și a schemei logice de ordonare fuzzy a caracteristicilor esențiale din EDM putem construi schema logică de ordonare a ponderilor locale care ne conduce la formulele (5.27) cu ajutorul cărora putem calcula ponderile globale de cea mai bună aproximație.

w 13

w 12

w 11

w 21

w 22

w 14

w 23

w 15

w 16

w 31 w 32

w 18

w 17

w 41

w 42 w 43

w 61 w 62

w 51

w 71 w 72

Figura 5.3. Schema logică a ponderilor locale

Calculul ponderilor globale se realizează, conform schemei logice de ordonare a ponderilor locale după formulele: W1  w 71  w 21

W5  w 72  w 61  w 32

W2  w 72  w 22

W6  w 72  w 62  w 41

W3  w 71  w 23

W7  w 72  w 62  w 42

W4  w 72  w 61  w 31

W8  w 72  w 62  w 43

(5.27)

Tabelul 5.5. Valorile ponderilor globale pentru cele trei cazuri

Caz moderat

0.00194

0.05231

0.00844

0.06150

0.00561

0.12400

0.02506

0.72110

Caz optimist

0.00192

0.05235

0.00842

0.06172

0.00566

0.12380

0.02514

0.72080

Caz pesimist

0.00193

0.05239

0.00833

0.06144

0.00556

0.13650

0.02646

0.70742

103

Folosind ponderile globale w 1 , w 2 , ...,w 8 și datele experimentale asupra timpilor finali t f , respectiv ale semiaxelor a(t f ) , corespunzătoare eplisoidului S(t ) propus, se pot determina trei tipuri de timpi finali, respectiv semiaxe finale de cea mai bună arpoximație, dacă parametrul de defuzzyficare corespunde cazurilor: optimist, pesimist, moderat. În acest fel utilizăm următoarele notații:

      a(t )

8 i ,o i 1

- mulțimea ponderilor globale corespunzătoare cazului optimist

8 i ,p i 1

- mulțimea ponderilor globale corespunzătoare cazului pesimist

8 i ,m i 1 i f

8 i 1

- mulțimea ponderilor globale corespunzătoare cazului moderat - mulțimea valorilor măsurate ale semiaxelor

Cu aceste notații avem: 8

t f ,o   k ,o  t fk

(5.28)

k 1

t f ,p   k ,p  t fk

(5.29)

k 1 8

t f ,m   k ,m  t fk

(5.30)

k 1

a(t f ,o )   k ,o  a(t fk )

(5.31)

k 1 8

a(t f ,p )  k ,p  a(t fk )

(5.32)

k 1

a(t f ,o )   k ,o  a(t fk )

(5.33)

k 1

5.2.

Discuție privind partea experimentală

Măsurătorile experimentale au fost efectuate în cadrul Laboratorului de Tehnologii Neconvenționale și Fabricație Inovativă din cadrul catedrei de Tehnologia Construcțiilor de Mașini a Universității Tehnice din Cluj-Napoca care deține o mașină de electroeroziune cu electrod masiv și comandă numerică cu posibilitatea de schimbare automată a electrodului în timpul prelucrării complexe a metalelor dure. În acest capitol sunt prezentate cazuri concrete care conțin măsurători efectuate în laborator cât și modelul numeric în detaliu privind algoritmul FAHP. Remarcăm un lucru important care apare în acest model matematic, acesta referindu-se la posibilitatea introducerii unor date subiective. Această facilitate existentă în FAHP poate fi un mare avantaj dar poate crea și dificultăți de aproximare optimală. 104

Depistarea situațiilor nedorite care pot să apară se realizează folosind histogramele ponderilor locale cât și a celor globale. O cercetare riguroasă privind procedeele de optimizare a defecțiunilor în FAHP poate constitui tema unei valoroase teze de doctorat. Din punct de vedere experimental toată cercetarea din această teză are scopul de a realiza aplicații experimentale în vederea obținerii rezultatelor cât mai bune privind prelucrarea materialelor prin electroeroziune. În ceea ce privește prima parte, teoria propusă ne-a condus la obținerea formei și dimensiunii craterului. Acest rezultat este bazat pe modelul numeric propus în problema Stefan de tip salt. Dacă modelul numeric se modifică, în mod sigur forma și dimensiunile craterului se vor modifica. Măsurătorile cu ajutorul unui micrometru de mare putere au arătat că craterul realizat cu acest model se apropie mai mult de craterul real obținut în laboratorul mai sus menționat. Relativ la măsurătorile polarității electrozilor sculă respectiv piesă, măsurători efectuate tot în laboratorul facultății, s-a dovedit a fi bune deoarece ele se apropie mult de polarițățile Fuzzy. În teză sunt prezentate și alte acțiuni experimentale legate de problematica propusă. O analiză laborioasă asupra histogramelor ponderilor locale și globale, va conduce la adevărul care stă în teoria propusă. Mașinile de electroeroziune cu electrod masiv Agietron 50 sunt mașini dedicate setărilor rapide, operațiilor simple și pot fi utilizate la orice tip de prelucrare caracteristică acestui tip de prelucrare.

Figura 5.4 AGIE Agietron 50 – Mașina de electroeroziune cu electrod masiv

Principalele caracteristici tehnice ale acestei mașini sunt: - Unitate de control integrată, - Sistem de operare Windows, - Vizualizarea datelor procesului, display cu putere, stabilitate, viteză și adâncime, - Posibilitatea de stocare a datelor, - Dimensiuni de prelucrare pe axele X/Y/Z 600/450/160, - Greutatea maximă a electrodului 70 kg., - Putere de 30 A, - Tensiune de 50 Hz, 3x380 V. 105

Măsurarea dimensiunilor craterelor cât și analiza și caracterizarea suprafeței s-a realizat cu ajutorul microscopuliu electronic cu baleiaj JSM-5600 LV (JEOL) cu spectometru EDS (Oxfosrd Instruments), microscop care aparține Catedrei de Știința și Tehnologia Materialelor, Laboratorul de Microscopie Electronica din cadrul Universității Tehnice Cluj-Napoca. Acest microscop este unul foarte performant fiind aplicabil în foarte multe domenii având ca și mod de lucru vidul înalt și vidul redus, o rezoluție de până la 3,5 nm, mărire de până la 300000x și având posibilitatea detectării elementelor de la Bor la Uraniu cu o rezoluție de 133 eV. Posibilitățile de investigare cu ajutorul acestui microscop constau în studiul structurilor metalografice, analiza topografică a suprafețelor, analiza domeniilor magnetice, analiza ruperii și deformațiilor, studiul compoziției fazice a aliajelor, determinarea compoziției chimice locale și studiul distribuției elementelor chimice. Cu ajutorul softului INCA 200 și a softurilor de imagine Image Pro Plus și Materials Pro, caracteristicile suprafețele scanate pot fi stocate în memoria calculatorului. În figura 5.4 se poate observa imaginea scanată a unui crater rezultat în urma aplicării unui singur impuls asupra piesei de prelucrat. Forma craterului este una puțin alungită ducând mai degrabă spre cea a unui semieplipsoid de rotație.

Figura 5.4. Imaginea scanată a unui crater real

În tabelul 5.6 sunt trecute datele măsurate în urma experimentelor effectuate. Parametrii înregistrați de către mașina de electroeroziune au fost: - Intensitatea curentului I [A] care a luat valorile: I = {1.2, 1.8, 2.4, 3.2, 4.4, 6.2, 8, 10}; - Tensiunea de lucru U [V] cu o valoare medie aproximativă U = 25 [V]; - polarizarea pozitivă dintre cei doi poli; Pentru aceste date, la fiecare timp final de execuție a unui impuls a rezultat mărimea semiaxei craterului notată în tabelul 5.6.

106

Tabelul 5.6. Tabelul datelor experimentale

Nr. Crt.

Timp final măsurat

Semiaxă crater

t f [ s ]

a(t f ) [ m ]

17.8

6.62

23.7

8.06

27.4

9.21

31.6

12.15

42.2

20.35

86.6

25.55

115.5

44.61

154.0

55.48

Tabelul 5.6 este tabelul datelor experimantale măsurate relativ la timpul final de execuție a unui impuls și a semiaxei craterului corespunzător. Folosind aceste date numerice din Tabelul 5.6 și formulele (5.4)-(5.9) obținem datele numerice optimizate relativ la timpul de execuție t f și semiaxa a(t f ) a craterului de forma semielipsoid de rotație. Tabelul 5.7. rezultatele finale privind optimizarea timpului de execuție și a semielipsoidului de rotație folosind FAHP

t f ,o

t f ,m

t f ,p

a(t f ,o )

a(t f ,m )

a(t f ,p )

128.32880

127.50741

128.37100

45.65364

45.28942

45.66745

În acest mod histogramele corespunzătoare cazurilor optimist, pesimist, respectiv moderat, atât pentru timpii finali cât și pentru semiaxe sunt prezentate în cele ce urmează.

140.00 Caz optimist

135.00

Caz pesimist

130.00

Caz moderat

125.00 120.00 Timpul final de execuție, tf

Figura 5.5. Histograma timpului final de execuție pentru cele trei cazuri, optimist, pesimist și moderat

107

46 46 Caz optimist

Caz pesimist

Caz moderat

45 45 45 Semiaxa craterului a(tf)

Figura 5.6. Histograma semiaxei craterului pentru cele trei cazuri, optimist, pesimist și moderat

Cu aceste date numerice obținute prin teoria logicii numerelor fuzzy, se poate trece la aproximarea constantei de integrare L  0 . În prima fază facem următoarea aproximare acceptabilă [17] și anume, din seria J 0 ( x ) , (4.3) luăm primii doi termeni, anume: J 0 (x)  1

x 2

(5.34)

Un calcul algebric conduce la: L2  1  1 

 *  tf 2 

(5.35)

Un calcul mai rafinat privind constanta L  0 , presupune ca în seria de puteri J 0 ( ) să se folosească mai mulți termeni. Aceste rezultate se referă la cazul când condiția la limită Neumann folosește funcția lui Gauss. Se observă că L2 în acest caz depinde doar de informațiile relative la constantele de material care intră în  ; valorile condiției Stefan de tip salt care intră în  , respectiv timpul final de execuție al unui impuls și direct sau indirect de semiaxele a(t f ) , b(t f ) , fapt care arată că procesul de determinare a constantelor L și M este unul natural. Cu aceste precizări se pot întocmi tabelele datelor de intrare în cazurile optimist, pesimist și moderat care servesc la posibilitatea reprezentării grafice de aproximare a craterului unui impuls EDM. Toate acestea se referă la cazul când energia fluxului termic produsă de aparatul EDM se aproximează prin funcția lui Gauss, în care intră și  , raza clopotului Gauss.

108

Pentru cazul optimist, tabelul datelor necesare reprezentării grafice a suprafeței ce aproximează craterul este: Tabelul 5.8. Tabelul datelor necesare reprezentării grafice a suprafeței ce aproximează craterul încazul Gaussian

Nr. Crt.

Simbol

Denumire [unitate măsură]

Formula

Valoare

- timpul final de descărcare [ s ]

măsurat

120

- intesitatea curentului [A]

q max

4.56  f c  U  I 2 

6,793  108

a (t f )

- raza craterului [ m ]

măsurat

57.12



- raza clopotului Gauss

4.673  I 0.43  t f0.44  10 6

1.0336  10-4

- fluxul termic gaussian 2

[W / m ]

- constanta aproximativă de integrare - constanta aproximativă de inegrare

1 1

( * )2  tf 2

q max k  u0

Figura 5.6. Graficul craterului corespunzător datelor din tabelul 5.8.

109

3.682211

5.3889  104

În cazul condiției la limită Neumann de tip spline, trebuie să ținem cont de faptul că punctele de regresie sunt luate de pe clopotul lui Gauss cu excepția ultimelor două puncte. În consecință toate constantele care apar în cazul gaussian în M * și L* intervin și în cazul spline-ului de regresie. Cu aceste precizări, tabelele cu datele de intrare conțin aceleași elemente ca și în cazul gaussian.

5.3.

Fluxul energiei termice de tip spline obținut prin interpolarea funcției Gauss cu funcții spline cubice cardinale

Folosind funcția lui Gauss (4.7) interpolanta spline este:

q s (r )  33  1 (r )  35  10 1  2 (r )  16  10 5  3 (r )  41  10 10   4 (r )

(5.36)

Dacă avem în vedere definiția funcțiilor spline cubice cardinale, date în (4.9), atunci energia fluxului termic produsă de aparatul proceselor EDM are forma finală a unui spline cubic cardinal, dat prin:

245   q s (r )  33  35  10 1  r    297   10 1  192  10 5  123  10 10   r2  2   3 1 5 10 330  105  10  256  10  246  10  r 



 528  140  10



1



(5.37)

 1  512  10 5  656  10 10  r    2 

Formula acestui spline cubic cardinal dat de (5.37) este contribuția originală a autoarei acestei teze de doctorat. Acest rezultat s-a obținut printr-o interpolare a clopotului lui Gauss cu excepția ultimelor două puncte, ca în Figura 4.1.b. Folosim acest rezultat pentru aproximarea soluției (punctului fix) ecuației definită în (5.3). În acest scop utilizăm rezultatele experimentale obținute folosind programul Mathcad [17], care furnizează valorile constantelor de material, folosit în electrodul piesă. În cazul de față materialul folosit este un oțel de scule. Schimbarea materialului presupune determinarea constantelor corespunzătoare.

110

Tabelul 5.9. Tabelul constantelor fixe

Nr. crt

Simbol

Unitate de măsură

Valoare/materia l

Tensiunea curentului

[V ]

Temperatura mediului

[K ]

293.15

Căldura specifică

 m2   2 K  s 

370

Conductivitatea termică

 kg  m   K  s3   

Temperatura absolută de topire

[K ]

1810



Densitatea materialului

 kg  m3   

7860

m

Căldura latentă de topire

J   kg   

270  103

m2     s 

1054  10-6

[K ]

1810

0.18  0.5



Denumire

k 

m  Difuzivitatea termică 

  c p 

Temperatura în material

10.

Factor de distribuție a fluxului în piesă



u m 

Pentru atingerea scopului propus de a obține punctul fix, sunt necesare un șir de aproximații numerice relative atât la aproximarea sumei seriei Bessel J 0 ( x ) , cât și la aproximarea soluției ecuației (5.3). În acest scop folosim metoda C.P.P (metoda Conțiu, Popa, Potra) [17]. Această metodă propune următoarele aproximări: J 0 (x )  1

x 2

(5.38)

Folosim acest rezultat pentru a obține constantelor de integrare M  0 , L  0 , separat pentru cazul Gauss, respectiv cazul spline. 111

În cazul aproximării fluxului energiei termice de tip Gauss avem:

M

q max K  u0

(5.39)

respectiv: L2  1  1 

 2t f 2

(5.40)

Dacă în plus, aproximanta saltului Stefan, notată prin  se propune a fi: 1 , n N * n 2



(5.41)

și introducând aceste rezultate în funcția care definește prin graficul său aproximarea craterului, dată de: z



1 ln   J 0 (s  x 2  y 2 ) M



(5.42)

unde:

s  L2  M 2 , iar



(5.43)

GL  e L tf

cu GL reprezentând temperatura din material, atunci pentru diverse valori ale numărului natural n  N * ecuația conduce la obținerea craterelor corespunzătoare acestor valori. În cazul aproximării fluxului energiei termice prin spline-ul cubic cardinal dat prin (5.37), folosind aproximația (5.38) constantele de material M și L2 sunt aproximate prin relațiile:

M

q s (0) K  u0 și: (5.44)

L2  1  1 

 2  tf 2

În aplicațiile numerice efective sunt necesare al doilea tip de set de constante, care diferă între ele relativ la cazul Gauss, respectiv cazul spline. 112

În cazul aproximării fluxului energiei termice, aproximat de:

q (r )  q max  e



2r 2 2

(5.45)

pentru cazul gaussian, tabelul constantelor este: Tabelul 5.10. Tabelul constantelor pentru cazul Gaussian Nr. crt

Simbol

Denumire [unitate de măsură]

Formula

Valoare/material

Timpul final de descărcare [ s ]

80.8

Intensitatea curentului [A]

6.2

q max

4.56  fc  U  I 2 

8.64068108

Diametrul craterului [ m ]

Măsurat

47.16



Raza clopotului Gauss [ m ]

4.673  I 0.43  t f0.44  10 6

7,21655  10-5

Constanta de integrare a ecuației diferențiale în variabilă temporală

Constanta de integrare a lui Bessel

Fluxul termic [W / m ]

1 1

( 1 ) 2  t f 2 

q max k  u0

3,200123

6,85471  104

iar pentru cazul spline, tabelul constantelor are forma:

Tabelul 5.11. Tabelul constantelor pentru cazul spline Nr. crt

Simbol

qs (r * )

Diametrul craterului [ m ]

Constanta de integrare a ecuației diferențiale în variabilă temporală

Constanta de integrare a lui Bessel

Denumire

Formula

Valoare/material

Timpul final de descărcare [ s ]

90.6

Intensitatea curentului [A]

7.2

4.56  fc  U  I 2 

6.60504  108

Măsurat

82.22

Fluxul termic [W / m ]

113

1 1

( 1 ) 2  t f 2 

q max k  u0

3.4198 6.2828  104

Figura 5.7. Imaginea geometrică a craterului Gaussian

5.4.

Figura 5.8. Imaginea geometrică a craterului Spline

Concluzii parțiale

Acest capitol reprezintă un model de abordare experimentală a celor două metode de optimizare a câmpului termic care apare în procesele EDM, folosind fluxul energiei termice clasic (pe baza clopotului lui Gauss) combinat cu logica numerelor fuzzy, și aproximarea fluxului energiei termice printr-un spline cubic cardinal, combinat deasemenea cu utilizarea FAHP. O cercetare de amploare presupune utilizarea unui număr mai mare de situații relativ la valorile din tabelele constantelor, cazul gaussian respectiv cazul spline și realizarea unor comparații între ele, respectiv ale celor spline între ele și comparațiile între rezultatele gaussiene. Este important de remarcat că rezultatele Gauss și Spline sunt apropiate, acesta deoarece spline-ul este o interpolare a funcției gaussiene. Câștigul se află în complexitatea calculului. Acest aspect se va vedea atunci când numărul de puncte de interpolare se va lua mult mai mare.

114

Capitolul 6. UTILIZAREA NUMERELOR FUZZY ȘI A ALGORITMULUI FAHP PRIVIND OPTIMIZAREA PROCESELOR CARE INTERVIN ÎN ELECTROEROZIUNE

Așa cum se poate observa din cercetările anterioare, utilizarea numerelor fuzzy într-o astfel de abordare este esențială. Întruncât teoria matematică a logicii fuzzy și în special a logicii numerelor fuzzy este ea însăși o noutate, mai mult, modul de abordare al acestei teorii în aplicații depinde de domeniul în care este aplicată, presupune o prezentare cel puțin succintă a acestei teorii. În plus utilizarea și interpretarea informațiilor lingvistice, folosind această nouă teorie matematică se realizează prin algoritmul FAHP (Fuzzy Analytic Hierarchy Process). Și acest algoritm depinde esențial de domeniul în care este aplicat. Toate aceste observații ne conduc la necesitatea prezentării succinte a unei liste în care să apară domeniile științifice, economice, culturale, financiare etc.

Tabelul 6.1. Principalele domenii de activitate în care se poate aplica logica numerelor fuzzy Domeniul de activitate

Aplicațiile FAHP

Cercetări teoretice și aplicații în domeniul energetic

- controlul automat al barajelor la hidrocentrale - studiul fiabilității generatoarelor de energie neconvențională - creșterea siguranței reactoarelor nucleare - prelucrarea materialelor prin electroeroziune - pelucrarea materialelor prin procedee laser - monitorizarea optică a liniei de asamblare

Activități de proiectare și execuție în domeniul tehnic

- proiectarea și execuția proceselor de sudură prin procedee laser - determinarea secvențelor optime pentru asamblarea automobilelor - alimentarea optimală cu motorină în camera de ardere a motoarelor diesel - controlul eficient și stabil

Activități IT

- procesarea imaginilor digitale - diagnosticarea imagistică a bolilor - controlul roboților

Optimizări în domeniul artelor și culturii

- recunoașterea formelor în pictură - recunoașterea scrisului - analiza imaginilor în serviciul poștal

Cercetări și aplicații în domeniul financiarbancar

- consultanță bancară - evaluarea și optimizarea riscurilor în domeniul bancar - analiza activităților bursei de mărfuri - optimizarea activităților antreprenoriale

115

Această expunere ne arată că cercetările în diverse domenii de activitate se pot realiza prin metode matematice “crisp” metode matematice “aleatorii” (probabilități și statistică, procese stochastice), metode matematice bazate pe logica numerelor fuzzy, în care aceste metode nu se exclud, dimpotrivă se completează pentru a obține rezultate cât mai apropiate de cazurile reale. Orice aproximare este un rezultat, aceasta nu înseamnă că este cel mai bun rezultat. Înformațiile ligvistice nu s-au putut cuantifica în afara teoriei fuzzy. În consecință, putem afirma că abordarea în prezenta teză de doctorat a teoriei fuzzy cu teoriile “crisp” conduce la rezultate superioare care pot fi dezvoltate pe viitor. Ca exemplu ne putem referi la razele craterului și a timpului final de execuție a unui impuls EDM, prezentate în capitolul 5. 6.1.

Funcții membru

Scopul construcției matematicii fuzzy a fost de a prelucra numeric informații ligvistice. Formalizarea teoretică a acestui obiectiv lasă impresia îndepărtării de scopul propus. În acestă teză de doctorat se pun în evidență majoritatea obiectivelor urmărite. Din acest motiv descrierea teoretică va fi însoțită de exemplele prezentate în teză. Este important de remarcat faptul că informațiile caracterizate de numere “crisp” nu sunt excluse de teoria fuzzy. Dacă notăm cu A mulțimea “caracteristicilor”, mulțimea pe care o considerăm abstractă și pe care o denumim “universul elementelor fuzzy” atunci atribuirea fiecărui element a unui număr fuzzy, adică fuzzyficarea universului înseamnă să definim o funcție  A : A  0,1 .

Graficul funcției  A se definește în mod obișnuit ca fiind format din perechile x ,  A ( x ) , adică din produsul cartezian al elementelor din A cu mulțimea imaginilor lui  A , notate prin Im(  A ) . Se numește mulțime fuzzy, notată prin GA (  A ) , adică, mulțimea punctelor graficului. GA ( A )  A  Im( A )

(6.1)

În literatura de specialitate, funcția  A se numește „funcție membru” iar universul elementelor fuzzy A se mai numește “universul de discurs”. Această denumire este legată de faptul că A conține informații lingvistice, dar nu numai. Funcția membru  A , cu denumirea provenită din limba engleză “membership function”, se mai notează prescurtat „ mf ”. În prezent introducerea funcției membru  A se mai numește și proces de fuzzyficare. În majoritatea aplicațiilor fuzzyficarea înseamnă să înlocuim fiecare caracteristică cu un număr fuzzy. Numerele fuzzy vor fi descrise în paragrafele următoare ale acestui capitol. Prezentăm în cele ce urmează câteva astfel de funcții membru care îndeplinesc două condiții minimale:  A : A  0,1 , există x 0  A astfel încât  A (x0 )  1

(6.2)

  x , y  A și  z cu x  y  z să avem A (z )  min A ( x ), A ( y )

(6.3)

116

Este sugestiv să prezentăm cele mai frecvente funcții membru folosite. 6.1.1. Funcția membru triunghiulară Definim mai întâi funcția “putere trunchiată”. Fie    și n  N , atunci puterea trunchiată notată prin ( x   ) n se definește:

0, x    ( x   ) n   n ( x   ) , x  

(6.4)

Folosind aceste rezultate, definim funcția membru triunghiulară, notată prin tr : (x  a)  b  a , x  b tr ( x )    (b  x )  , x  b  c  b

(6.5)

În (6.5) observăm că b  a și c  b , tr :   0,1, deci universul elementelor fuzzy este

   , . În general, dacă  A este funcția membru, atunci 1   A se numește funcția comembru. În cazul funcției membru triunghiulare, notată tr , funcția comembru triunghiulară se notează prin  cot r . În consecință avem:   1, x  ( ,a ]  [c ,)   (b  x )   cot r ( x )   , x  [a, b ]  ba  ( x  b)  , x  [ b, c ]   c b

(6.6)

Graficele celor două funcții sunt prezentate în Figura 6.1, respectiv Figura 6.2

 (x )

Figura 6.1. Funcția membru triunghiulară

Figura 6.2. Funcția membru cotriunghiulară

117

6.1.2. Funcția membru rampă Funcția membru rampă notată prin  ra , respectiv corampă, notată prin cora au ambele domeniul de definiție , adică universul elementelor fuzzy, mulțimea numerelor reale  .

 ( x  a)  , x b   ra ( x )   b  a , ab  1 x b 

(6.7)

 1 x a  cora ( x )   (b  x ) , ab  , x a   b a

(6.8)

Graficele celor două funcții sunt date în Figura 6.3, respectiv, Figura 6.4.

 (x )

 (x ) 1

Figura 6.3. Funcția membru

Figura 6.4. Funcția membru corampă

În literatura de specialitate  ra se numește funcția fuzzy rampă ascendentă, iar funcția cora se numește funcția fuzzy rampă descendentă. 6.1.3. Funcții membru triunghiulare canonice Aceste funcții membru au o importanță esențială, deoarece ele sunt frecvent folosite în aplicații. În cadrul acestei teze de doctorat se vor folosi aceste funcții membru. Deoarece ele reprezintă un caz special ale funcțiilor triunghiulare tr și  cot r se vor nota cu

T : [1,)  [0,1] și se definesc prin:

118

x  2k , x  [ 2k , 2k  1]  , k N*  x  2k  1, x  [ 2k  1,2k  2]  

T ( x )  

(6.9)

Imaginea geometrică corespunzătoare funcției membru triunghiulare canonice este reprezentată în Figura 6.5.

 (x ) 1

...

2k  1

2k  2 x

Figura 6.5. Imaginea geometrică a funcției fuzzy triunghiulare canonice

Se observă că universul elementelor fuzzy A  [1,) , și  T , fiind funcția fuzzy triunghiulară canonică este o combinație de funcții rampă ascendente și descendente, de fapt un caz particular de funcții triunghiulare. 6.2.

Proprietăți ale mulțimilor fuzzy

În literatura de specialitate relativă la teoria fuzzy se utilizează frecvent anumite notații specifice , care pot conduce la confuzii atunci când utilizatorul nu este bine informat. Din acest motiv prezentăm explicațiile necesare acestor notații. Întâlnim trei tipuri de univers al elementelor fuzzy. 1) Universul A este format dintr-o mulțime finită de elemente: A  { x1 , x 2 ,...,x n },

n  N * , n finit

(6.10)

În acest caz folosim notația pentru A : n

A   xk k 1

119

(6.11)

Se observă că semnul

 k 1

nu reprezintă suma numerelor x k , care în matematica obișnuită ar

fi semnul însumării. În ceea ce privește funcția membru mai exact pentru elementele mulțimii fuzzy: GA  x1, A ( x1 ); x 2 , A ( x 2 );...;x n , A ( x n ) folosim notația:

x k ,  A ( x k )   A ( x k ) xk

(6.12)

și cu specificațiile anterioare, putem scrie: n

A (xk )

k 1

GA  

(6.13)

2) În ipoteza că A este o mulțime numărabilă, adică o mulțime infinit în bijecție cu N * , adică: A  x1 , x 2 ,...,x n ,... scriem: 

A   xn

(6.14)

n 1

respectiv: 

A (xn )

n 1

GA  

(6.15)

3) Dacă universul elementelor fuzzy A este un interval [ a, b] , finit sau infinit, adică o mulțime de puterea continuului, din analiza matematică în acest caz semnele se transformă în integrale. Păstrând acest principiu, putem scrie: b

A   x k dx

(6.16)

A   {x }

(6.17)

  (x )  GA    A   x 

(6.18)

sau pentru a elimina confuzia scriem:

respectiv:

120

6.2.1. Nucleul și suportul fuzzy Fie GA și  A o mulțime fuzzy și “funcția sa membru”. Nucleul funcției membru, notat prin N (  A ) se definește prin:

N( A )  x  A / A ( x )  1

(6.19)

În teoria operatorilor, nucleul anulează operatorul, deci este vorba de o analogie. Suportul funcției membru  A , notat prin Supp(  A ) este definit prin:

Supp( A )  x  A / A ( x )  0

(6.20)

Dacă ținem seama de definiția nucleului avem:

N ( A )  Supp(  A )

(6.21)

proprietate evidentă. Următoarea observație în aplicațiile teoriei fuzyy este esențială, mai ales când informațiile sunt de natură lingvistică. Astfel putem face următoarele două aprecieri: 1)

Dacă dimensiunea mulțimii N (  A ) este mică, adică nucleul funcției membru este sărac în

numărul de elemente, înseamnă că mulțimea fuzzy GA la rândul său este săracă în elemente care asigură succesul. În consecință este indicat să se refacă procesul de fuzzyficare, adică de redefinire a funcției membru  A . 2)

În mod analog, dacă suportul funcției membru este sărac în elemente, înseamnă că

demersul în acțiunea respectivă nu este bine orientat și deci fuzzyficarea  A este neperformantă. Apreciem că acestă observație poate constitui un criteriu (două criterii) de control asupra oportunității alegerii funcției membru și după cum vom vedea în cele ce urmează alegerii numerelor fuzzy, care înlocuiesc informațiile lingvistice sau numerele “crisp” în vederea cercetărilor fenomenului în cauză. 6.2.2. Puncte de tăietură și puncte mediane Fie GA o mulțime fuzzy, x 0  A se numește punct median pentru GA , dacă:

A (x0 ) 

1 2

Dacă   (0,1) definim tăietura de înălțime h pentru GA prin: 121

(6.22)

   A   x  A /  A ( x )    

(6.23)

Definim tăietura strictă de înălțime  prin:  o   A   x  A /  A ( x )    

(6.24)

6.2.3. Înălțimea unei mulțimi fuzzy Dacă GA este mulțimea fuzzy asociată mulțimii elementelor fuzzy A  Ø și  A : A  [0,1] funcția sa membru, atunci “înălțimea” mulțimii GA , notată cu h(GA ) se definește prin:

h(GA )  Supp A ( x ), x  A

(6.25)

Au loc relațiile: o

Supp ( A)  [  A ]

(6.26)

N ( A)  [  A ]1

(6.27)

În teoria numerelor fuzzy de tăietură, foarte importantă în aplicații, atunci când se impune o modificare a schimbării funcției membru (dacă anumite propuneri nu sunt satisfăcătoare) se recomandă să se utilizeze noțiunile de puncte de tăietură și înălțimea mulțimii fuzzy. 6.3.

Operații cu mulțimi fuzzy

Operațiile clasice cu mulțimi, egalitatea, incluziunea, reuniunea, respectiv intersecția se definesc aproximativ la fel și în cazul mulțimilor fuzzy, astfel avem: 1) GA  GB dacă și numai dacă: A  B și  A  B

(6.28)

2) GA  GB dacă și numai dacă: A  B și  A ( x )  B ( x ), 

122

xA

(6.29)

3) GA  GB  GC , unde: GC  GAB și A  B , respectiv:

 AB ( x )  max A ( x ),  A ( x )

(6.30)

xA

Deoarece funcția lui Gauss este de mare interes în acestă cercetare, având în vedere că și spline-ul de regresie este format tot din puncte de pe clopotul lui Gauss, vom ilustra cu un exemplu legat de clopotul lui Gauss. Fie A   și luăm ca funcție membru: 1   0, x   2  2x  1,  1  x  0  2 A (x )    2x  1, 0  x  1  2  1  0 , x 2 

(6.31)

respectiv: 2

B ( x )  e  x , B  R

(6.32)

Se verifică, că  A  B , în consecință GA  GB , această incluziune poate fi prezentată și grafic. Pentru reuniune, folosim o ilustrație dată tot de funcția lui Gauss. Fie A  B  R :

A (x )  e x

B ( x )  1  e x

Figura 6.6. Imaginea geometrică a incluziunii mulțimii fuzzy

123

(6.33)

GA  GB

Se observă că  A ( x )  B ( x ) are soluțiile: x1  ln 2 și x 2  ln 2 . Dacă reprezentăm graficele celor două funcții în același sistem de coordonate, obținem:

Figura 6.7. Imaginea geometrică a două mulțimi fuzzy

GA și GB reprezentate în același sistem

Figura 6.8. Imaginea geometrică a reuniunii a două mulțimi fuzzy,

GA  GB  GAB

Este importantă următoarea observație: Definiția numerelor fuzzy s-a redus la graficul definit de universul de discurs și funcția sa membru. Pentru o interpretare fidelă a operațiilor cu mulțimi fuzzy este util să considerăm ca mulțime fuzzy toate punctele din planul XOY , cuprinse între axa O x și graficul funcției membru. Zonele hașurate în Figura 6.7 și Figura 6.8 se bazează pe această observație. În acest fel, noțiunea de incluziune are sens, cât și reuniunea, respectiv intersecția. 4) Intersecția a două mulțimi se definește în modul următor: Fie GA și GB două mulțimi fuzzy, atunci intersecția lor notată cu GA  GB  GAB este definită prin: A  B și  AB ( x )  min A ( x ), B ( x )

(6.34)

xA

Dacă luăm aceleași elemente A  B  R și  A  e  x , B  1  e  x , atunci GA  GB are următoarea imagine geometrică:

Figura 6.9. Imaginea geometrică a intersecției a două mulțimi fuzzy,

G A  GB  G AB

124

5) Complementara unei mulțimi fuzzy Fie A universul elementelor mulțimii fuzzy  A funcția sa membru și GA mulțimea corespunzătoare, iar GA mulțimea fuzzy generată de funcția mumbru  A  1   A . Menționăm că am mai folosit noțiunea de complementară și am notat cu co A . Desigur, noțiunea de complementară a unei mulțimi fuzzy diferă esențial de noțiunea de complementară din teoria clasică a mulțimilor. Cu toate acestea, legile lui De Morgan, din teoria clasică a mulțimilor, rămân valabile și în cazul teoriei mulțimilor fuzzy, adică au loc relațiile: __________ `

GA  GB  GA  GB

(6.35)

__________ `

GA  GB  GA  GB

În termenii funcțiilor mumbru, relația (6.35) se exprimă astfel:









1  max  A ( x ), B ( x )  min 1   A ( x ), 1  B ( x ) xA

respectiv









(6.36)

1  min  A ( x ), B ( x )  max 1   A ( x ), 1  B ( x ) xA

6) Suma și produsul algebric GA  GB a două mulțimi fuzzy GA și GB cu funcțiile membru corespunzătoare  A și B , definite peste același univers A se definește prin funcția membru (Poincare) corespunzătoare:

 AB ( x )   A ( x )  B ( x )   A ( x )  B ( x )

(6.37)

În mod analog produsul algebriic se definește prin:

 AB ( x )   A ( x )  B ( x )

(6.38)

7) Suma și produsul direct a două mulțimi fuzzy GA și GB , notată cu GA  GB , respectiv, GA  GB , cu funcțiile membru corespunzătoare  AB , respectiv  AB și se definesc prin:

 AB ( x )  min1,  A ( x )  B ( x ) xA

respectiv

 AB ( x )  max 0,  A ( x )  B ( x ) xA

125

(6.39) (6.40)

6.4.

Numere fuzzy

Fie GA o mulțime fuzzy și Gˆ A o submulțime fuzzy, Gˆ A  GA este convexă dacă funcția membru

ˆ A corespunzătoare mulțimii Gˆ A este concavă. Dacă funcția membru ˆ A este de două ori derivabilă, ea este convexă dacă și numai dacă are loc relația:

ˆ A // ( x )  0 , x  Aˆ

(6.41)

unde Aˆ  A este universul elementelor fuzzy pe care este definită funcția membru ˆ A . Altfel spus, există a1 , a2   , unice astfel încât Aˆ  [a1, a2 ] și în plus pentru orice x  Aˆ , funcția membru ˆ A să fie concavă pe Aˆ . Un exemplu de mulțime fuzzy convexă generată printr-o funcție membru concavă este dată în Figura 6.10.

Figura 6.10. Imaginea geometrică a mulțimii fuzzy convexe

O altă interpretare a unei mulțimi fuzzy convexe poate fi dată prin noțiunea de tăietură, foarte importantă în aplicații. Fie dreapta de ecuație y  x , care intersectează graficul funcției membru ˆ A în punctele A1(a1, ˆ A (a1 )) și A2 (a2 , ˆ A (a2 )) . Mulțimea punctelor din  3 mărginită de A1, A2 și graficul funcției ˆ A deasupra dreptei A1 A2 se numește număr fuzzy de tăietură. În Figura 6.11 și Figura 6.12 prezentăm două situații în care avem un număr fuzzy de tăietură și un exemplu care nu este număr fuzzy de tăietură. Definiția generală a numărului fuzzy este următoarea: Fie GA o mulțime fuzzy, submulțimea sa, notată cu N A , N A  GA se numește număr fuzzy dacă îndeplinește condițiile: - N A este convexă în  2 , - există x 0   , unic, astfel încât ˆ A ( x 0 )  1 126

(6.42)

Figura 6.11. Imaginea geometrică a unui număr fuzzy

Observăm că în Figura 6.11 avem în același timp un număr fuzzy ca și în Figura 6.10, dar acesta este și număr fuzzy de tăietură.

Figura 6.12. imaginea geometrică a unei mulțimi fuzzy G A , care nu este număr fuzzy

O noțiune importantă folosită în teoria numerelor fuzzy (dar nu numai) este cea de “scufundare”, care se definește în felul următor: Fie A, B două mulțimi nevide. Dacă există o funcție continuă și bijectivă f : A  B , atunci oricare ar fi x  A , f (x ) este scufundatul lui x în f (x ) . Cu alte cuvinte, elementele x din A se înlocuiesc cu elementele f (x ) din B prin scufundarea f. Un exemplu de scufundare este dat de proiecția ortogonală a punctelor ( x , ˆ A ( x )) pe axa O x în intervalul [a, b ] , Figura 6.13.



ˆ A

Figura 6.13. Imaginea geometrică a scufundării numărului fuzzy N A în intervalul A  [a, b ]

127

În aplicațiile numerelor fuzzy, intermediar, se vor scufunda în intervale și folosind teoria matematică a intervalelor vom folosi această teorie și pentru numere fuzzy. 6.5.

Operații cu numere fuzzy 1) Adunarea numerelor fuzzy

Fie N A și N A/ două numere fuzzy și scufundatele lor N A  [a1, a2 ] , N A'  [a1' , a2' ] atunci: N A  N A'  N A'' , N A''  [a1'' , a2'' ]

(6.43)

a1''  a1  a1'/ , a2''  a2  '2

2) Conjucția și disjuncția numerelor fuzzy, elemente de logică fuzzy Fie GA și x , y  A , conjucția și disjuncția se definesc prin x  y  minx , y 

(6.44)

x  y  max x , y 

3) Produsul unui număr fuzzy cu scalar (condensarea și dilatarea unui număr fuzzy) Fie N A  [a1, a2 ] ,   (0,1)

  N A  a1' , a2'   [  a1,   a2 ]

dacă a1 , a2  0

(6.45)

este o condensare, respectiv pentru   1 se obține o dilatare. Pentru    , produsul cu scalar este analog:

  N A  [  a1,   a2 ] , a1, a2  0

(6.46)

și   0 ,   N A  [ x , y ] , x    a1    a2 , y    a1    a2 . 4) Produsul a două numere fuzzy N A  N A'  N A''/ , unde





N A''  a1  a1' , a2  a2' ,

128

(6.47)

dacă: a1a1'  a1  a1'  a1  a2'  a2a1'  a2a2' a2a2'  a1a1'  a1a2'  a2a1'  a2aa'

pentru   L , avem  N A  [ a2 ,a1 ] . 5) Diferența a două numere fuzzy (scăderea) N A  N A'  N A  (N A' )

(6.48)

6) Împărțirea numerelor fuzzy Fie N A și N A' , N A  [a1, a2 ] , N A'  [a1' , a2' ] cu a1'  0 și a2'  0 atunci:

N A : N A'  a1'' 

a1 a1 a2 a2    a1' a2' a1' a2'

a2'' 

a1 a1 a2 a2    a1' a2' a1' a2'

NA  [a1'' , a2'' ] ' NA

(6.49)

7) Inversul numărului fuzzy Fie GA și N A  [a1, a2 ] , a1  0 , a2  0 , N A1 

a1' 

1  [a1' , a2' ] , unde: NA

1 1 1 1  , a2'   a1 a2 a1 aa

(6.50)

8) Ordonarea numerelor fuzzy În matematică există două tipuri de ordonare a elementelor unei mulțimi nevide M . - ordonarea totală (atunci când  x , y  M , x  y sau y  x ) - ordonarea parțială (atunci când  x , y  M cu x  y sau y  x ). În cazul numerelor fuzzy este vorba de ordonare parțială. Aceasta înseamnă că nu toate numerele fuzzy sunt ordonate. 129

Fie N A și N A' numere fuzzy ale lui GA , NA  [a1, a2 ] , NA'  [a1' , a2' ] , N A  N A' dacă și numai dacă:

a1  a1' și a2  a2' sau

a1  a2 a1'  a2'  2 2

(6.51)

De remarcat faptul că numărătorul (în cazul de față) are două elemente. În toate aplicațiile fuzzy din acestă teză se vor folosi două tipuri de numere fuzzy: numere fuzzy canonice și numere fuzzy de tăietură, prezentate în Figura 6.14 și Figura 6. a, b, c. Numerele fuzzy canonice au forma geometrică formată din triunghiurile isoscele fără bază.

 1

~ 3

~ 1

~ 5

2k  1

2k 2k  1 2k  2

...

Figura 6.14. Imaginea geometrică a numerelor fuzzy canonice

Dacă folosim scufundarea numerelor fuzzy în mulțimea intervalelor, avem: ~ ~ ~ ~ 1  [1, 2] , 3  [2, 4] , 5  [ 4, 6] , …, 2k  1  [ 2k , 2k  2]

(6.52)

Observăm că are loc ordonarea: ~ ~ ~ ~ ~ 1  3  5  ...  2k  1  2k  3 ...

(6.53)

După cum se va vedea în cele ce urmează, avem nevoie de inversele acestor numere fuzzy. 1 ~ 1 ~ 1  1  ~ 1  1 1   1 k   , 2 1 1   ,1, 3   ,  , ....,  2k  2 2k  4 2 2 

1

~ ~1 ~1 1  3  ...  2k  1  ...

130

(6.54)

Plecând de la aceste numere fuzzy, putem defini “numerele fuzzy de tăietură” ca în figura 6.15.

 C1

 A1

1 2

~ 1o B1 A3

~ 3 o

B3 A5

C2 k 1

~ 5 o B5

A2k+

2 k  1 o

B2k+1

2 k 2k  1 2k  2

...

Figura 6.15. a) Imaginea geometrică a numerelor fuzzy de tăietură, cazul optimist

 C1

 1

~ 1o B1 A3

~ 3 o

B A5

C2 k 1

~ 5 o B5

A2k+

2 k  1 o

B2k+1

...

2 k 2k  1 2k  2

Figura 6.15. b) Imaginea geometrică a numerelor fuzzy de tăietură, cazul moderat

 1

~ 1o

~ 3 o

C2 k 1

~ 5 o

2 k  1 o

1 2



B1 A3

A2k+

B2k+1

...

2 k 2k  1 2k  2

Figura 6.15. c) Imaginea geometrică a numerelor fuzzy de tăietură, cazul pesimist

131

Din Figura 6.15 se deduce: ~ 1  [1, 3  2 ] ~





2k  1  2k  1  2 , 2k  3  2 , k  2

(6.55)

~ ~ ~ ~ valorile pentru 10 , 2k  1o și 1p , 2k  1p .

1 Pentru cazul moderat (  ) se obține: 2

~ 1 1  [1, 2] m

2 ~



2k  1m 1  2k , 2k  2 2



(6.56)

Din punct de vedere geometric, Figura 6.15, avem: ~ _____ ______ 1  A1C1  B1C1 , adică reuniunea intervalelor ~

__________ ___

2k  1  A2k 1C2k 1  B2k 1C2k 1

(6.57)

În mod analog și numerele fuzzy de tăietură sunt ordonate crescător, iar inversele lor sunt ordonate descrescător, adică: ~ ~ ~ 1  3  ...  2k  1  ...

(6.58)

~ ~ 1 ~1 1  32  ...  2k  11  ...

(6.59)

respectiv:

Verificarea formulelor (6.58) și (6.59) este imediată dacă folosim media aritmetică de ordonare fuzzy. Se observă că numerele fuzzy de tăietură sunt formate geometric din reuniunea laturilor congruente ale triunghiurilor. Din punct de vedere al scufundării în intervale, numerele fuzzy se obțin proiectând pe axa O x reuniunea celor două laturi. Se pune, în mod natural, întrebarea de ce este necesară acestă scufundare. Răspunsul este natural, dacă se ține seama că toată acestă modelare trebuie implementată pe calculator. Până în prezent se realizează procesul de “FUZZYFICARE”, adică “scufundarea informațiilor lingvistice”, dar nu numai, în numere fuzzy. 132

Pasul următor este cel de “DEFUZZYFICARE”, pentru a înlocui “informația lingvistică”, în cazul nostru “caracteristicile” proceselor EDM cu numere reale (numere crisp). Dacă acest fapt este realizat, se poate trece la aplicarea “algoritmilor matematici”, a soft-urilor pe calculator. Acest proces face obiectul capitolului următor. Procesul de defuzzyficare este abordat printr-o mulțime de metode. S-a demonstrat că cel mai eficient proces de defuzzyficare este cel prin care se transformă un interval în combinația sa convexă. Fie [a, b]   un interval finit, numărul [a, b]   , numit “combinația convexă” de parametri

  [0, 1] a intervalului [a, b ] , se definește prin: [a, b]  (1   )  a    b

(6.60)

Se observă că dacă   0 , atunci [a, b]0  a , iar dacă   1 , [a, b]1  b . Cum funcția de argument  , definită de (6.58) este bijectivă și continuă, rezultă o scufundare a intervalului [a, b ] într-un număr real. În consecință se poate trece la aplicarea soft a procesului reprezentat de numere reale crisp. Alte detalii, relativ la acest model matematic se vor prezenta în capitolul 7. 6.6.

Concluzii parțiale

Scopul construcției matematicii fuzzy a fost de a prelucra numeric informații lingvistice. Este important de remarcat faptul că informațiile caracterizate de numere “crisp” nu sunt excluse de teoria fuzzy. Dacă notăm cu A mulțimea “caracteristicilor”, mulțimea pe care o considerăm abstractă și pe care o denumim “universul elementelor fuzzy” atunci atribuirea fiecărui element a unui număr fuzzy, adică

fuzzyficarea universului înseamnă să definim o funcție  A : A  0,1 . Utilizarea și interpretarea informațiilor lingvistice, folosind această nouă teorie matematică se realizează prin algoritmul FAHP (Fuzzy Analytic Hierarchy Process). Orice aproximare este un rezultat, aceasta nu înseamnă că este cel mai bun rezultat. Înformațiile ligvistice nu s-au putut cuantifica înafara teoriei fuzzy. În consecință, putem afirma că abordarea în prezenta teză de doctorat a teoriei fuzzy cu teoriile “crisp” conduce la rezultate superioare care pot fi dezvoltate pe viitor. Ca exemplu ne putem referi la razele craterului și a timpului final de execuție a unui impuls EDM, prezentate în capitolul 5.

133

Capitolul 7. APLICAȚII NUMERICE ALE LOGICII NUMERELOR FUZZY PRIVIND OPTIMIZAREA UNOR PROCESE ESENȚIALE CARE APAR ÎN EDM

Baza matematică folosită în acest capitol este constituită de un algoritm care la începuturile sale prin anii 1961 a avut numele “Analytic Hierarchy Process” abreviat AHP, a fost ulterior modernizat folosind procesul de scufundare a informațiilor lingvistice în numere “crisp”. În acest fel, a apărut algoritmul FAHP “Fuzzy Analytic Hierarchy Process”, obținându-se în acest mod ponderi de cea mai bună aproximație corespunzătoare fiecărei caracteristici luată în considerare. Aceste ponderi pot fi folosite ca informații directe sau pot constitui componentele unor medii ponderate. Întrucât FAHP constituie o teorie matematică modernă, este necesară o prezentare cel puțin succintă a sa. 7.1.

Matricile MOF de ierarhizare a proceselor din EDM

Propunem în scopul optimizării unor procese esențiale din EDM, o mulțime formată din opt caracteristici, prezentate în Tabelul 7.1. Schema logică a ierarhizării este precedată de procesul de “fuzzyficare” adică de atribuirea fiecărei caracteristici CR j ,

j  1  8 a unui număr fuzzy.

Acest proces de fuzzyficare este la fel de important ca și schema logică care face legătura între caracteristici și mai mult între matricile MOF (matricile de ierarhizare fuzzy). Nu avem un studiu științific care să indice dacă una sau alta din aceste intervenții: de fuzzyficare sau de ierarhizare este mai importantă, acest proces este unul subiectiv și depinde de utilizator (specialistul propus pentru acest lucru). Un criteriu obiectiv relativ la fuzzyficare este dat de ordonarea numerelor fuzzy de tăietură. Se ~ ~ poate demonstra că dacă numerele naturale i , j  N * , i  j rezultă că i  j . În acest mod, la atribuire, dacă caracteristica CR j este mult mai importantă decât decât caracteristica CR i , atunci se va face fuzzyficarea: ~ ~ CR i  i și CR j  j ,

(i  j )

(7.1)

În rest, corectarea celor două intervenții de schemă logică și aprecierea importanței caracteristicilor rămân în totalitate la dispoziția utilizatorului. Introducerea numerelor fuzzy de tăietură a 135

fost făcută să se poată interveni cu modificarea parametrului   (0,1) , dacă rezultatele finale nu corespund situațiilor reale. 7.1.1. O analiză a calităților de performanță privind procesele EDM Analiza calităților de performanță privind procesele EDM impune descrierea caracteristicilor esențiale. Acest lucru este prezentat schematic în tabelul 7.1. Tabelul 7.1. Descrierea caracteristicilor esențiale ale proceselor EDM

NR.

CARACTERISTICA ESENȚIALĂ

NR. FUZZY ATRIBUIT

~ 7

CR1

Gradul electrozilor de a fi buni conducători de electricitate

CR2

Gradul generatorului de curent electric de a furniza o tensiune și un curent sub formă de impuls

CR3

Nivelul evitării contactului fizic și electric a electrozilor

~ 9

CR4

Nivelul calității dielectricului de concentrare a energiei fiecărei descărcări electrice facilitând amorsarea acestora în vederea copierii formei electrodului sculă

~ 1 1

CR5

Gradul de modificare a proprietăților dielectrice și de compoziție ale interstițilui de lucru.

~ 9

CR6

Nivelul de deformare plastică a suprafețelor electrozilor sculă respectiv piesă în urma proceselor EDM

~ 1 1

CR7

Nivelul de reducere a uzurii electrodului sculă

CR8

Viteza de îndepărtare a electrodului de electrodul piesă

~ 1 3

~ 5

~ 1 3

Abordarea fenomeneologică se face în trei variante: varianta procesului optimist, varianta procesului pesimist si varianta procesului moderat. Prin urmare în această activitate de intervenție cu   (0,1) s-au propus trei modele: -

Dacă fenomenul se dezvoltă pozitiv, cazul unui proces “optimist” se va folosi 1    1; 2

În cazul unui proces moderat 1 2

 ; 136

În cazul în care procesul se dezvoltă pessimist

  (0,

1 ]. 2

Introducerea unui proces pe calculator, în care să se ruleze un număr mare de cazuri, optimist sau pesimist, respectiv cazul moderat, are obiectivul de a compara rezultatele obținute cu măsurătorile experimentale. Defuzzyficarea prin combinația convexă, care la rândul său introduce un nou parametru

  (0, 1) , este utilă pentru a putea folosi în loc de intervale numere crisp reale, dar cel mai important este faptul că  poate fi utilizat ca și  . În consecință, utilizatorul are la îndemână două modalități de modificare  și  pentru a crea rezultate finale cât mai bune, adică posibilitatea de optimizare a aproximării proceselor care apar în EDM. Cercetări mai riguroase în folosirea celor doi parametri  și  pot fi propuneri de dezvoltare a modelului prezentat în acestă teză de doctorat. Prezentăm în continuare defuzzyficarea prin combinația convexă a numerelor fuzzy de tăietură, respectiv a inverselor acestora. ~ Se știe că un interval se scufundă în  prin (6.57): 1  [1, 3  2 ] atunci: 1 ,  1  2 (1   )

(7.2)

și (2k  1)  [ 2k  1  2 , 2k  3  2 ] atunci: (2k  1) ,  2(k   )  1   (5  4 )

(7.3)

Pentru inversele acestor numere fuzzy, scufundarea în numere crisp reale, se procedează tot pe baza formulei combinației convexe (6.57). 11, 

(2k  1)1, 

1   3  2

 1   2(k   )  3 2(k   )  1

Numerele fuzzy triunghiulare atribuite caracteristicilor esențiale din EDM au formulele: 137

(7.4)

(7.5)

~ 1  [1, 3  2 ] ~ 5  [ 3  2 , 7  2 ] ~ 7  [ 5  2 , 9  2 ] ~ 9  [ 7  2 , 11  2 ]

~ 1 1  [ 9  2 , 13  2 ] ~ 13  [11  2 , 15  2 ] ~ 15  [13  2 , 17  2 ]

(7.6)

(7.7)

Organizarea în matricile MOF, C și G presupune cunoașterea inverselor acestor numere fuzzy, care sunt definite prin:

~ 1  1 1   ,  3  2 ~ 1  1 5   ,  7  2

 1 

1  ~  1 , 1 11   13  2 9  2  1  ~  1 131   , 15  2 11  2 

1  3  2 

1  ~ 1  1 7   ,  9  2 5  2  1  ~ 1  1 9   , 11  2 7  2 

(7.8)

1   1 ~ 151   , 17  2 13  2 

1   ~ 1 11   13  2 9  2 1   ~ 131   15  2 11  2 1   ~ 151   17  2 13  2

 ~ 1 1   5   7  2 3  2  ~ 1 1   7   9  2 5  2 1   ~ 1 9   11  2 7  2

(7.9)

Aceste formule care dau scufundarea numerelor fuzzy în numere crisp reale sunt esențiale în formarea matricilor MOF. Sigur că se mai adaugă și ordonarea numerelor fuzzy.

138

În sfârșit suntem în posesia datelor necesare pentru a construi schema logică de ierarhizare fuzzy și implicit pentru a construi matricele MOF corespunzătoare, Figura 7.1. Dacă schema logică din Figura 7.1 are în totalitate un caracter subiectiv, bazat pe experiența utilizatorului , încărcarea matricilor MOF (matricea de ordonare fuzzy) se realizează pe baza unei teorii matematice numită “Metoda valorilor și vectorilor proprii”. Acestă metodă conține trei pași: Pasul 1. Bazându-ne pe schema logică de ordonare și ierarhizare, în care s-au indicat caracteristicile și implicit numerele fuzzy pentru fiecare matrice MOF, în această etapă se încarcă aceste matrici. Încărcarea se face după regula: dacă a~ este elementul generic al matricei MOF și dacă linia ij 

i este înzestrată cu numărul fuzzy ik , , iar coloana j cu j k , , atunci:

a~ij ,

1 , dacă i  j  ~ ~ ~   ik , , dacă ik ,  j k , ~ ~ ~  j k,1 , dacă ik ,  j k , 

(7.10)

În modelul propus schema logică este prezentată în Figura 7.1. În notațiile (7.11) ÷ (7.18) sunt prezentate încărcările matricilor.

~ 7 ~ 13  ~ 9

~ 1 1

MOF1=

~ 9 ~ 1 1

~ 5 ~ 13 

~ 7

~ 13 

~ 9

~ 1 1

~ 9

~ 1 1

~ 5

~ 13 

~ 131

~ 1 9

~ 1 11

~ 1 9

~ 1 11

~ 7

~ 131

~ 13 

~ 13 1

~ 1 11

~ 13 1

~ 9

~ 13 1

~ 13 

~ 1 11

~ 13 

~ 9

~ 1 11

~ 13 

~ 9

~ 1 9

~ 1 11

~ 13 1

~ 9

(7.11)

~ 13 1

~ 13 

~ 13 1 ~ 9

~ 13 1 ~ 1 1

~ 13 1

139 ~ 13 1

~ 1 9

~ 1 11

CR1

CR2

CR3

CR4

CR5

CR6

CR7

CR8

CR1 CR2 CR3 CR4

MOF1

CR5 CR6 CR7 CR8

C R 2 2 1

MOF2

CR3 CR4

CR5

MOF3

CR6

CR MOF2

MOF

4 MOF

MOF3

CR8

MOF

MOF2 MOF3

CR7

MOF4

MOF5

C1 C1

Figura 7.1. Schema logică propusă în cazul propus în Tabelul 7.11.

MOF2=

~ 7

~ 13 

~ 7

~ 131

~ 13 

CR7

MOF3=

~ 9

~ 13  ~ 9

~ 13 

~ 1 11

CR7

MOF4=

~ 9

~ 13  ~ 9

~ 13 

~ 1 11

CR7

~ 9

(7.12)

(7.13)

(7.14)

140

~ 13 

~ 5

MOF5=

~ 5

~ 13 1

~ 13 

(7.15)

CR7

Pasul 2. În matricile MOF care nu au atribuiri directe de numere fuzzy cum este cazul matricilor C1, C2 și G, atribuirea rămâne la dispoziția utilizatorului. Tabelul 7.2. Atribuirea de numere fuzzy

C1 ~ 1 3

MOF4

~ 1 1

~ 9

MOF3

~ 1 1

MOF5

~ 1 3

~ 1 1

~ 13  C1= ~ 9

~ 9

~ 13 

~ 13 1

~ 9

MOF2

~ 13 

C2=

~ 13 

~ 1 1

~ 13 

~ 9

~ 1 1

~ 9 ~ 9

~ 9

(7.16)

~ 13 1

(7.17)

~ 1 11

(7.18)

141

7.1.2. Ponderile de cea mai bună aproximație locală și globală Aceste ponderi sunt proprii acestei metode FAHP. Mai întâi se determină ponderile locale folosind metoda valorilor și vectorilor proprii. Acest porces este cunoscut în teoria algebrei liniare de spații vectoriale. Pe scurt, se iau pe rând matricile MOF. Fiecărei matrici i se determină valorile proprii. Fie Ann una din matricile MOF. Se rezolvă ecuația de gradul n : det( Ann    In )  0

(7.19)

Din cele n rădăcini n , x  1  n se ia 0  0 cea mai mare valoare proprie pozitivă. Se determină vectorul propriu de componențe pozitive x 0  ( x10 , x 20 , ... , x n0 ) . Se definesc ponderile locale ale matricii A : x k0 , k 1  n wk  0 x1  x 20  ...  x n0

(7.20)

Ponderile globale se determină pe baza schemei logice de ierarhizare. În cazul de față schema logică de determinare a ponderilor globale este prezentată în Figura 7.2.

w 12

w 11

w 13

w 15

w14

w 16

w 18

w 17

w 21

w 31

w 42

w 51

w 22

w 32

w 42

w 52

w 61

w 71

w 62

w 72

w 81 w 82 Figura 7.2. Schema logică a ponderilor locale

Calculul ponderilor globale se realizează, conform schemei logice de ordonare a ponderilor locale după formulele: 142

W1  w 81  w 61  w 21

W5  w 82  w 71  w 41

W2  w 81  w 61  w 22

W6  w 82  w 71  w 42

W3  w 81  w 62  w 31

W7  w 82  w 72  w 51

W4  w 81  w 62  w 32

W8  w 82  w 72  w 52

(7.21)





~ 5

~ 7

~ 9

~ 1 1

~ 1 3

~ 1 5

Caz moderat

1 2

3 4

5.5000

7.5000

9.5000

11.5000

13.5000

15.5000

Caz optimist

1 4

1 2

5.0000

7.0000

9.0000

11.0000

13.0000

15.0000

Caz pesimist

3 4

1 4

4.7500

6.7500

8.7500

10.7500

12.7500

14.7500

Tabelul 7.4. Defuzzyficarea inverselor numerelor fuzzy





~ 1 5

~ 1 7

~ 1 9

~ 1 11

~ 131

~ 151

Caz moderat

1 2

3 4

0.2292

0.1563

0.1188

0.0958

0.0804

0.0692

Caz optimist

1 4

1 2

0.2198

0.1497

0.1143

0.0926

0.0780

0.0673

Caz pesimist

3 4

1 4

0.1919

0.1385

0.1084

0.0890

0.0756

0.0656

În Tabelul 7.5 sunt prezentate toate ponderile locale pentru cele trei cazuri, moderat, optimist și pesimist.

143

Tabelul 7.5. Valorile ponderilor globale pentru cele trei cazuri

Ponderea

Caz moderat

Caz optimist

Caz pesimist

w 11

0.0131

0.0126

0.0129

w 12

0.3660

0.3444

0.3678

w 13

0.0280

0.0269

0.0277

w 14

0.0955

0.0874

0.0953

w 15

0.0280

0.0208

0.0277

w 16

0.0955

0.0874

0.0930

w 17

0.0079

0.0076

0.0079

w 18

0.3660

0.3444

0.3678

w 21

0.0716

0.0718

0.0715

w 22

0.9284

0.9282

0.9285

w 31

0.9164

0.9159

0.9166

w 32

0.0836

0.0841

0.0834

w 41

0.9164

0.9159

0.9166

w 42

0.0836

0.0841

0.0834

w 51

0.0716

0.0718

0.0715

w 52

0.9284

0.9282

0.9285

w 61

0.9284

0.9282

0.9285

w 62

0.0716

0.0718

0.0715

w 71

0.0716

0.0718

0.0715

w 72

0.9284

0.9282

0.9285

w 81

0.0836

0.0718

0.0834

w 82

0.9164

0.9282

0.9166

144

În Tabelul 7.6 sunt prezentate toate ponderile globale pentru cele trei cazuri, moderat, optimist și pesimist. Tabelul 7.6. Valorile ponderilor globale pentru cele trei cazuri

Caz moderat

0.00556

0.07206 0.00549 0.00051 0.06013 0.00549 0.06082 0.78987

Caz optimist

0.00479

0.06186 0.00473 0.00044 0.06104 0.00561 0.06185 0.79969

Caz pesimist

0.00554

0.07191 0.00546 0.00049 0.06008 0.00547 0.06086 0.79013

7.1.3. Histogramele ponderilor locale și globale

Pentrul cazurile moderat, optimist și pesimist histograma relativ la ponderile locale este:

w21

0.9

w22

0.8

w31

0.7

w32

0.6

w41

0.5

w42

0.4

w51

0.3

w52

0.2

w61

0.1

w62

w71 Caz moderat

Caz optimist

Caz pesimist

Figura 7.3. Hisograma ponderilor locale pentru cele trei cazuri propuse

145

Pentrul cazul moderat, optimist și pesimist histograma relativ la ponderile globale este:

0.8 0.7

0.6

0.5

W3 W4

0.4

W5 0.3

0.2

0.1

0 Caz moderat

Caz optimist

Caz pesimist

Figura 7.4. Hisograma ponderilor globale pentru cele trei cazuri propuse

În ipoteza unor măsurători experimental, fie acestea d k nk1 și wk nk1 , ponderile globale, media ponderată este: n

d   wk  d k

(7.22)

k 1

 wk

1

(7.23)

k 1

7.2.

Optimizarea fuzzy privind tipurile de materiale folosite la electrodul sculă 7.2.1. Caracteristicile esențiale atribuite materialelor componente ale electrozilor

Caracteristicile esențiale atribuite materialelor componente ale electrozilor sculă de tip masiv au contribuții importante privind utilizarea acestor materiale. Aceste caracteristici sunt prezentate din punct de vedere calitativ doar prin informații lingvistice. Aprecierea obiectivă a contribuției fiecărui tip de material la calitățile electrozilor poate fi realizată cel mai bine folosind algoritmul FAHP. O apreciere bazată pe un procedeu empiric și apoi comparate cele două tipuri de aprecieri este necesară. 146

Această comparație conduce la posibilitatea adaptării cazurilor optimist, moderat și pesimist cât și a combinațiilor convexe pentru a obține o relație stabilă între partea teoretică și cea experimentală. În acest mod se poate propune utilizatorului o abordare fără riscuri mari privind calitățile electrozilor sculă masivi. În acest scop propunem următoarele caracteristici și fuzzyficarea lor în Tabelul 7.7. Tabelul 7.7. Caracteristicile materialelor esențiale folosite în confecționarea electrodului sculă

Nr.

Denumirea caracteristicii prin material

Nr. fuzzy atribuit ~ 9

CR1

Cupru-Grafit

CR2

Grafit

~ 1 1

CR3

Agietal

~ 7

CR4

Telur-Cupru

~ 9

CR5

Wolfram-Cupru

~ 1 3

CR6

Wolfram

~ 1 1

O explicație a conținutului caracteristicilor prezentate în Tabelul 7.7 se poate formula prin: CR1: “CUPRU-GRAFIT” reprezintă un material compus din cupru și grafit. Există două modalități de a combina cuprul cu grafitul pentru a obține electrodul numit “cupru-grafit”. Prima variantă constă în a realiza un amestec de 65% cupru cu 35% grafit. Se obține cel mai valoros electrod din acestă speță dar are dificultăți de obținere și presupune un cost mai ridicat. A doua variantă de electrod “cupru-grafit” se realizează prin acoperirea electrodului confecționat din grafit cu un strat de cupru. Calitățile sale sunt puțin mai reduse însă, cu toate acestea, electrodul confecționat din grafit acoperit cu un strat de cupru este mai puțin fragil, prezintă o uzură mai mică și are o productivitate cu 10-15% mai mare decât electrodul confecționat din grafit pur. CR2: “GRAFIT” - electrodul format numai din grafit. În raport cu un electrod confecționat numai din cupru, variantă care nu a fost aleasă în acest studiu, acesta prezintă o productivitate cu 50-70% mai mare. În procesul EDM, la degroșare prezintă o uzură foarte mică datorită formării unei pelicule protectoare de perografit pe suprafața activă. Cu toate că este inferior din punct de vedere calitativ, acesta este recomandat datorită costurilor de realizare mici. Cu toate acestea, electrodul grafit nu este recomandat la prelucrarea carburilor metalice. CR3: “AGIETAL” este un material obținut de firma “Agie”,are proprietăți apropiate electrodului din grafit. Din punct de vedere al utilizării sale a fost creat pentru a putea fi folosit la prelucrări de semifinisare și finisare. Acest electrod are în plus capacitatea de a prelucra piese formate din oțel. 147

CR4: “TELUR-CUPRU”. Acest electrod posedă următoarele calități: - se prelucrează ușor, prin procedee clasice, convenționale, cum ar fi strunjire, frezare; - prelucrarea electrozilor turnați se realizează cel mai bine din acest aliaj. CR5: “WOLFRAM-CUPRU” este un electrod sculă masiv realizat din cele două componente în proporție de 50-80% wolfram. Cei mai des întâlniți electrozi de acest tip sunt cei în proporție de 75% wolfram și 25% cupru. Cu toate că realizarea acestora se face printr-un cost ridicat, este recomandat pentru calitățile sale privind execuția EDM. În acest sens remarcăm cîteva din aceste calități: - poate fi folosit la prelucrarea carburilor metalice și a oțelurilor călite; - poate fi utilizat pentru finisare, unde prezintă o rigiditate mare și obținerea unor rugozități fine; - la prelucrarea orificilor adânci cu înaltă precizie; - la prelucrarea unghiurilor ascuțite, având uzuri de 3-5 ori mai mici decât cuprul electrolitic. CR6: “WOLFRAM” cu toate că se folosește la electrozi filiformi, comparat cu electrozii masivi se remarcaă prin: - uzura foarte mică și posibilitatea prelucrării dimensiunilor mici; - realizarea de prelucrări cu toleranță de 0,01 [mm]. În vederea optimizării fuzzy privind tipul de material ales în confecționarea electrodului sculă masiv propunem următoarea schemă logică de ordonare fuzzy:

MOF1

CR1

CR2

CR1 CR1

CR2 CR

CR3

CR2

MOF2

CR4

CR3

CR5

CR4

MOF3

CR6

CR5

MOF4

CR6

CR4

CR 3

MOF2 MOF3 MOF4 MOF2 MOF3

MOF4

Figura 7.5. Schema logică de ordonare fuzzy

148

CR6

Înzestrarea cu numere fuzzy a matricilor MOF:

~ 9

MOF2=

~ 9

~ 13  MOF4= ~ 9

~ 1 11

~ 9

(7.24)

~ 9 ~ 1 9

~ 9

~ 13 

~ 9

~ 13 

~ 13 1

~ 7

~ MOF3= 7 ~ 9

~ 1 1

(7.25)

(7.26)

În matricile MOF care nu au atribuiri directe de numere fuzzy cum este cazul matricilor MOF2, ~ MOF3 și MOF4 atribuirea rămâne la dispoziția utilizatorului. Pentru acest caz atribuim MOF2= 1 1 , MOF3= ~ ~ 5 .și MOF4= 13 . ~ 9

~ 5

~ 1 11

~ 9

~ 13 1

~ 5

~ 1 11

~ 13 1

~ 1 11

~ 9

(7.27)

Numerele fuzzy folosite sunt sunt cele triunghiulare de tăietură. Scufundarea în mulțimea intervalelor este dată de formula (5.4). Pentru numerele fuzzy triunghiulare de tăietură funcția membru generală se definește prin:

149

 0,  x  a  b  a ,  A (x )   c  x , c  b   0,

x a x  [a, b ] (7.28)

x  [ b, c ] x c

Formulele pentru numerele fuzzy triunghiulare atribuite caracteristicilor esențiale din EDM au formulele: ~ ~ 9  [ 7  2 , 11  2 ] 1  [1, 3  2 ] ~ ~ (7.29) 5  [ 3  2 , 7  2 ] 1 1  [ 9  2 , 13  2 ] ~ ~ 7  [ 5  2 , 9  2 ] 13  [11  2 , 15  2 ]

~ 1 1  1   9  2    (13  2 ) ~ 13  1   11  2    (15  2 )

(7.30)

1  ~ 1  1 9   , 11  2 7  2  1  ~  1 1 11   , 13  2 9  2  1  ~  1 131   , 15  2 11  2 

 1  1  3  2 

1  ~ 1  1 7   ,  9  2 5  2 

 ~ 1 1   5   7  2 3  2  ~ 1 1   7   9  2 5  2 1   ~ 1 9   11  2 7  2

1   ~ 1 11   13  2 9  2 1   ~ 131   15  2 11  2

(7.31)

(7.32)

Tabelul 7.8. Valorile numerice reale ale numerelor fuzzy

~ 7

~ 9

~ 1 1

~ 1 3

5.5000

7.5000

9.5000

11.5000

13.5000

1 2

5.0000

7.0000

9.0000

11.0000

13.0000

1 4

4.7500

6.7500

8.7500

10.7500

12.7500





~ 5

Caz moderat

1 2

3 4

Caz optimist

1 4

Caz pesimist

3 4

Tabelul 7.9. Valorile numerile reale ale inverselor numerelor fuzzy





~ 1 5

~ 1 7

~ 1 9

~ 1 11

~ 131

Caz moderat

1 2

3 4

0.2292

0.1563

0.1188

0.0958

0.0804

Caz optimist

1 4

1 2

0.2198

0.1497

0.1143

0.0926

0.0780

Caz pesimist

3 4

1 4

0.1919

0.1385

0.1084

0.0890

0.0756

7.2.2. Ponderile locale și globale de cea mai bună aproximație Aplicarea metodei valorilor proprii și vectorilor proprii în determinarea ponderilor de cea mai bună aproximație se realizează cu ajutorul programului Matlab unde se introduc matricile încărcate cu valorile defuzzyficate. Ponderile globale se determină pe baza schemei logice de ierarhizare. În cazul de față schema logică de detreminare a ponderilor globale este prezentată în Figura 7.6.

w 11

w 12

w 13

w 14

w 15

w 16

w 21

w 22

w 31

w 32

w 41

w 42

w 51 w 52

w 53

Figura 7.6. Schema logică a ponderilor locale

151

Calculul ponderilor globale se realizează, conform schemei logice de ordonare a ponderilor locale după formulele: W1  w 51  w 21 W2  w 51  w 22 W3  w 52  w 31

(7.33)

W4  w 52  w 32 W5  w 53  w 41 W6  w 53  w 42 Tabelul 7.10. Valorile ponderilor locale pentru cele trei cazuri

Ponderea

Caz moderat

Caz optimist

Caz pesimist

w 21

0.0836

0.0718

0.0834

w 22

0.9164

0.9282

0.9166

w 31

0.1006

0.1013

0.1001

w 32

0.8994

0.8987

0.8999

w 41

0.9284

0.9282

0.9285

w 42

0.0716

0.0718

0.0715

w 51

0.1425

0.1424

0.1569

w 52

0.0288

0.0289

0.0304

w 53

0.8287

0.8286

0.8127

Tabelul 7.11. Valorile ponderilor globale pentru cele trei cazuri

Caz moderat

0.01192

0.13059

0.00289

0.02591

0.76936

0.05933

Caz optimist

0.01022

0.13217

0.00293

0.02597

0.83409

0.05949

Caz pesimist

0.01309

0.14381

0.00305

0.02735

0.75459

0.05811

7.2.3. Histogramele ponderilor locale și globale Pentrul cazul moderat, optimist și pesimist histograma relativ la ponderile locale este: 152

w21

0.8

w22

0.6

w31 w32

0.4

w41

0.2

w42

0 Caz moderat

Caz optimist

Caz pesimist

w51

Figura 7.7. Histograma ponderilor locale pentru cele trei cazuri

Pentrul cazul moderat, optimist și pesimist histograma relativ la ponderile globale este:

1 W1 0.8

0.6

0.4

0.2

W6 Caz moderat

Caz optimist

Caz pesimist

Figura 7.8. Histograma ponderilor globale relativ la cele trei cazuri

În ipoteza unor măsurători experimental, fie acestea d k nk1 și wk nk1 , ponderile globale, media n

ponderată este: d   wk  d k , k 1

7.3.

 wk

1 .

k 1

Model numeric FAHP aplicat în optimizarea polarizării electrozilor sculă și piesă de prelucrat din EDM

Distanța dintre cei doi electrozi sculă și piesă de prelucrat este un factor esențial în ceea ce privește producția de prelucrare din cadrul procesului de electroeroziune, calitatea suprafeței prelucrate cât și fiabilitatea aparatului folosit în EDM. Din acestă perspectivă s-au făcut numeroase cercetări experimantale și teoretice. Lucrarea de față vine să completeze aceste cercetări luând în considerare acele informații lingvistice esențiale care nu puteau fi introduse în formulele „crisp”. În Tabelul 7.12 se prezintă situațiile care sugerează acele aprecieri lingvistice utile a fi luate în calcul pentru a crea o stare optimală a distanței dintre cei doi electrozi: sculă și piesă de prelucrat. E important de remarcat faptul că logica numerelor fuzzy nu exclude calculele clasice ea vine doar în 153

completarea acestora. Din această perspectivă, printr-o cercetare experimantală se poate observa că aproximările propuse sunt net superioare celora prin “numere reale crisp”. 7.3.1. Principalele categorii de mișcări ale celor doi electrozi Principalele mișcări pe care le efectuează cei doi electrozi din procesul EDM sunt: a) Mișcări pentru poziționarea relativă a elementalor componente, b) Mișcarea pentru poziționarea pe verticală a întregului siatem port-electrod în raport cu electrodul piesă. Această mișcare este obiectul de studiu în acestă aplicație. Sigur că în instalația EDM mai există două mișcări ale piesei pe direcții longitudinale și transversale, mișcări care contribuie la prelucrarea piesei. Vom nota prin d (S, P ) distanța pe verticală dintre cei doi electrozi sculă respectiv piesă de prelucrat. Principalele carcateristici care guvernează d (S, P ) sunt create de “generatorul de impulsuri”.în studiul de față ne referim la cinci astfel de caracteristici. Menționăm că un studiu mai amplu se poate realiza adăugând și alte caracteristici care contribuie la calculul d (S, P ) . În Tabelul 7.12 prezentăm aceste cinci caracteristici cât și numerele fuzzy atribuite. Tabelul 7.12. Caracteristicile esențiale ale d (S, P )

NR.

NR. FUZZY ATRIBUIT

SEMNIFICAȚIE

~ 7

CR1

Capacitatea independenței generatorului de mediul de lucru

CR2

Dominanța formei impulsurilor de tensiune și de curent

CR3

Capacitatea generatorului de prelucrare în regim monocanal sau multicanal

CR4

Capacitatea generatorului de a deține elemente electrice în funcție de firma producătoare

CR5

Capacitatea generatorului în raport cu timpul de prelucrare (degroșare, finisare)

~ 1 3 ~ 9 ~ 1 1 ~ 9

Remarcăm că acest studiu pune în evidență stabilitatea funcției d (S, P ) folosind și informații lingvistice. 7.3.2. Matricile MOF de ierarhizare a caracteristicilor esențiale ale d (S, P ) Vom folosi cinci numere fuzzy și inversele lor,

~ ~ ~ ~ ~ 1 , 7 , 9 , 1 1 ,13

~1 ~1 ~1 ~1 ~1 1 , 7 , 9 , 1 1 , 13 , numere care se atașează caracteristicilor esențiale.

154

respectiv

Aceste numere fuzzy sunt date de: ~ 1  [1, 3  2 ] ~ 7  [ 5  2 , 9  2 ] ~ 9  [ 7  2 , 11  2 ] ~ 1 1  [ 9  2 , 13  2 ] ~ 13  [11  2 , 15  2 ]

~ 7 ~ 9 ~ 1 1 ~ 13

(7.34)

 1   5  2    (9  2 )  1   7  2    (11  2 )  1   9  2    (13  2 )

(7.35)

 1   11  2    (15  2 )

Organizarea în matricile MOF, C și G presupune cunoașterea inverselor acestor numere fuzzy, care sunt definite prin:

~ 1  1 1   ,  3  2 ~ 1  1 7   ,  9  2

 1  1  5  2 

1  ~ 1  1 9   , 11  2 7  2  1  ~  1 1 11   , 13  2 9  2 

(7.36)

1  ~  1 131   , 15  2 11  2 

 ~ 1 1   7   9  2 5  2 1   ~ 1  9  11  2 7  2 1   ~ 1 11   13  2 9  2 1   ~  131  15  2 11  2

155

(7.37)

Cu aceste informații pregătitoare implementarea algoritmului FAHP se realizează după următorii pași:  Ierarhizarea caracteristicilor care contribuie la calculul d (S, P ) ;       

Formarea matricilor de caracteristici parțiale și globale; Înzestrarea cu numere fuzzy a caracteristicilor și de asemenea a categoriilor și subcategoriilor; Încărcarea matricilor de ordonare MOF cu numere fuzzy; Scufundarea în  a matricilor de ordonare fuzzy; Determinarea valorilor și vectorilor proprii pentru toate matricile generate de schema de ordonare; Calculul ponderilor parțiale (luând ca și criteriu vectorul propriu atașat celei mai mari valori proprii pozitive); Determinarea ponderilor globale (luând ca și criteriu produsul ponderilor parțiale indicate de schema de ordonare.

Pentru ilustrarea acestor pași vom prezenta un alt exemplu de model numeric aplicat în optimizarea polarizării electrozilor sculă și piesă de prelucrat din cadrul procesului EDM. În acest sens am propus cinci caracteristici care contribuie la calculul d (S, P ) și pe care le-am prezentat deja în Tabelul 7.12 unde le-am atribuit și numerele fuzzy corespunzătoare. Pe baza datelor din Tabelul 7.12 se poate propune schema logică de generare a matricilor MOF.

MOF1

CR1

CR2

CR1

CR2

CR3

CR4

CR3

CR4

CR1

CR2

CR5

CR4

MOF2

CR5

MOF3

CR5

CR3

CR 3

MOF2 MOF2

MOF3

Figura 7.9. Schema logică de ordonare fuzzy

156

În modelul propus avem încărcările:

CR1

CR2

CR3

CR4

CR5

CR1

~ 13 1

~ 1 9

~ 1 11

~ 1 9

CR2

~ 1 11

MOF1= CR3 1 ~11

MOF2=

CR4

~ 9

~ 13 1

~ 1 11

CR5

~ 9

~ 13 1

~ 9

~ 13 1

~ 1 11

CR1

CR2

CR3

CR1

~ 13 1

~ 1 9

CR2

~ 1 11

CR3

~ 9

~ 13 1

CR4 1

CR5 ~ 9

~ 1 11

MOF3= CR4 CR5

(7.38)

(7.39)

(7.40)

În matricile MOF care nu au atribuiri directe de numere fuzzy cum este cazul matricilor MOF2,și ~ ~ MOF3, atribuirea rămâne la dispoziția utilizatorului. Pentru acest caz atribuim MOF2= 1 1 , MOF3= 13 .

MOF3 MOF3

G= MOF4

MOF4 ~ 13 1

~ 1 11

(7.41)

157

7.3.3. Ponderile de cea mai bună aproximație locală și globală În urma calculelor matematice de înlocuire a parametrilor  și  cu valori reale, în funcție de dorințele și cunoștințele față de fenomenul studiat și completat cu atribuirea numerelor fuzzy caracteristicilor esențiale, în formulele de mai sus, au rezultat următoarele valori numerice pentru numerele fuzzy alese: Tabelul 7.13. Defuzzyficarea numerelor fuzzy

~ 9

~ 1 1

~ 1 3

7.5000

9.5000

11.5000

13.5000

1 2

7.0000

9.0000

11.0000

13.0000

1 4

6.7500

8.7500

10.7500

12.7500





~ 7

Caz moderat

1 2

3 4

Caz optimist

1 4

Caz pesimist

3 4

Tabelul 7.14. Defuzzyficarea inverselor numerelor fuzzy





~ 1 7

~ 1 9

~ 1 11

~ 131

Caz moderat

1 2

3 4

0.1563

0.1188

0.0958

0.0804

Caz optimist

1 4

1 2

0.1497

0.1143

0.0926

0.0780

Caz pesimist

3 4

1 4

0.1385

0.1084

0.0890

0.0756

Aceste ponderi sunt proprii acestei metode FAHP. Mai întâi se determină ponderile locale folosind metoda valorilor și vectorilor proprii. Acest porces este cunoscut în teoria algebrei liniare de spații vectoriale. Pe scurt, se iau pe rând matricile MOF. Fiecărei matrici i se determină valorile proprii. Fie Ann una din matricile MOF. Se rezolvă ecuația de gradul n cu ajutorul ecuației (7.19). Din cele n rădăcini n , x  1  n se ia 0  0 cea mai mare valoare proprie pozitivă. Se determină vectorul propriu de componente pozitive x 0  ( x10 , x 20 , ... , x n0 ) . Se definesc ponderile locale ale matricii A cu formula (7.20) Ponderile globale se determină pe baza schemei logice de ierarhizare. În cazul de față schema logică de detreminare a ponderilor globale este prezentată în Figura 7.10. Calculul ponderilor globale se realizează, conform schemei logice de ordonare a ponderilor locale după formulele (7.42) cu ajutorul schemei logice din Figura 7.10.

158

W1  w 41  w 21 W2  w 41  w 22 W3  w 41  w 23

(7.42)

W4  w 42  w 31 W5  w 42  w 32

w 13

w 11 w 12

w 14

w 21 w 22

w 31

w 23

w 32

w 15

w 41

w 42 Figura 7.10. Schema logică a ponderilor locale

Tabelul 7.15. Valorile ponderilor locale pentru cele trei cazuri

Ponderea

Caz moderat

Caz optimist

Caz pesimist

w 21

0.0310

0.0307

0.0310

w 22

0.8343

0.8350

0.8357

w 23

0.1347

0.1343

0.1333

w 31

0.9164

0.9159

0.9166

w 32

0.0836

0.0841

0.0834

w 41

0.0716

0.0719

0.0715

w 42

0.9284

0.9281

0.9285

Tabelul 7.16. Valorile ponderilor globale pentru cele trei cazuri

Caz moderat

0.00222

0.05974

0.00964

0.85079

0.07761

Caz optimist

0.00221

0.06004

0.00966

0.85004

0.07806

Caz pesimist

0.00222

0.05975

0.00953

0.85107

0.07744

159

7.3.4. Histogramele ponderilor locale și globale Pentrul cazul moderat, optimist și pesimist histograma relativ la ponderile locale este: 1

w21

0.8

w22

0.6

w23 w31

0.4

w32

0.2

w41

0 Caz moderat

Caz optimist

Caz pesimist

w42

Figura 7.11. Histograma ponderilor locale

Pentrul cazul moderat, optimist și pesimist histograma relativ la ponderile globale este:

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

W1 W2 W3 W4 W5

Caz moderat

Caz optimist

Caz pesimist

Figura 7.12. Histograma ponderilor globale

7.4.

Concluzii

În cadrul acestui capitol s-a prezentat o abordare fuzzy AHP pentru ierarhizarea informațiilor lingvistice. Construcția matricei de ierarhizare a caracteristicilor esențiale din cadrul procesului de prelucrare prin electroeroziune presupune o ordonare a acestora în funcție de cunoștințele și experiența cercetătorului. Aceste caracteristici sunt înlocuite cu numere fuzzy în mulțimea cărora procesul de ordonare (ierarhizare) este posibil. Folosirea algoritmului FAHP ne permite determinarea, din mulțimea finită de ponderi care pot fi atribuite caracteristicilor esențiale ale EDM, de șiruri de ponderi de cea mai bună aproximație. Cel mai bun șir de ponderi este acela care face ca media ponderată obținută cu acel șir să fie soluția problemei de cea mai bună aproximare. 160

Capitolul 8. CONCLUZII GENERALE ȘI CONTRIBUȚII PERSONALE

Tema cercetării științifice din acestă teză de doctorat conține două părți distincte, dar care nu se exclud reciproc, dimpotrivă, algoritmul AHP, bazat pe logica numerelor fuzzy triunghiulare de tăietură produce ponderi locale și globale ale caracteristicilor esențiale ce intervin în EDM și care pot fi folosite în optimizarea câmpului energiei termice aflat în craterul prelucrat prin electroeroziune. Prima parte conține optimizarea soluției ecuației Fourier-Kirchhof produsă de o problemă Stefan de tip salt, acesta din cauză că frontiera craterului se modifică în timpul prelucrării deci avem de-a face cu o frontieră liberă. Din cauza impulsurilor electrice apar salturi ale frontierei care definesc suprafața acesteia. Optimizarea se referă la introducerea condiției la limită printr-o funcție spline de regresie care se anulează la capătul exterior al razei craterului spre deosebire de condiția la limită clasică exprimată prin funcția lui Gauss care dă rezultate suficient de bune, dar care se anulează la capătul exterior al razei craterului atunci când acesta tinde la infinit. Având în vedere că lucrăm în domeniul neconvențional al nanomaterialelor, anularea la capătul exterior al razei este esențială, vezi Figura 4.1. b). Diferența dintre cele două soluții ale ecuației F – K, adică soluția corespunzătoare clopotului spline de regresie nu este foarte mare. Diferența dintre cele două soluții ale ecuației Fourier-Kirchhof relativ la clopotul lui spline de regresie nu este foarte mare, aceasta deoarece punctele de regresie au fost luate de pe Clopotul lui Gauss cu excepția a două puncte care duc la anularea fluxului energiei termice la capătul exterior al razei craterului. Partea a doua a cercetării se ocupă cu introducerea teoriei numerelor fuzzy de tăietură și a algoritmului FAHP (Fuzzy Analytic Hierarchy Process). Această cercetare vine în completarea primei părți cu un studiu propriu legat de influanța caracteristicilor esențiale, atât a câmpului termic din crater cât și a optimizării tehnologiilor utilizate în procesul EDM. Apreciem că această abordare prin cele două metode în combinație este una originală, care poate fi aplicată și în alte procese de prelucrare a materialelor. În ceea ce privește contribuțiile originale ale autoarei prezentei teze de doctorat putem afirma că ele sunt compuse din: - introducerea funcției spline de regresie în aproximarea fluxului energiei termice, produs de aparatul electric prin intermediul cilindrului gazos din dielectric în vederea transformării energiei electrice în energie termică; - introducerea setului de caracteristici esențiale pentru diferitele probleme studiate în vederea posibilității fuzzyficării acestora, respectiv a defuzzyficării prin combinațiile convexe; 161

generarea programelor pe calculator privind determinarea ponderilor locale și a ponderilor globale care scot în evidență comportarea locală respectiv globală a fenomenelor EDM în timpul proceselor de prelucrare a materialelor prin electroeroziune; introducerea histogramelor ponderilor locale și globale care constituie modele de apreciere a acurateței datelor subiective introduse în procesele de fuzzyficare și defuzzyficare.

Apreciem că o cercetare mai laborioasă privind comportarea matricilor de ordonare fuzzy MOF care guvernează întreg procesul algoritmului FAHP, ar conduce la rezultate optimale privind prelucrarea materialelor prin electroeroziune. Această afirmație se bazează pe faptul că cercetarea propusă în acestă teză de doctorat studiază fenomenul termic apărut în EDM cât și comportarea din punct de vedere tehnologic privind aparatura folosită în vederea obținerii unor rezultate performante, dacă se ține seama de tipul de material din electrodul sculă și tehnologia folosită.

162

BIBLIOGRAFIE [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14]

[15]

[16]

Abbasbandy, S., Hajjari, T., A new approach for ranking of trapezoidal fuzzy numbers, Computers & Mathematics with Applications, 57 3 (2009) 413-419; Addison, J.A., Howison, S.D., King, J.R., Ray methods for Free Boundary Problems, Oxford, U.K., (2005) 1-23; Agarwal, R., Optimization of Process Parameters of Micro Wire EDM, Departament of Mechanical Engineering National Institute of Technology, Rourkela, India, 2010 Altun, I., Simsek, H., Some fixed point theorems on ordered metric spaces and application, Fixed Point Theory and Applications, 2010; Amza, G., Dumitru, G.M., Randasu, O.V., Tehnologia materialelor, Vol.1, București, Editura tehnică, 1997; Balaș, M.O., Cercetări privind optimizarea parametrilor la prelucrarea prin electroeroziune, Teza de doctorat, Universitatea Tehnică Cluj Napoca, 2011; Ban, A.I., Triangular and parametric approximations of fuzzy numbers inadvertences and corrections, Fuzzy Sets and Systems, 160 21 (2009) 3048-3058; Baricz, A., On a product of modified Bessel functions, Proceedings of the American Mathematical Society, 137 (2009) 189-193; Bhattacharyya, B., Gangopadhyay, S., Sarkar, B.R., Modelling and analysis of EDM job surface integrity, Journal of Materials Processing Technology, 189 1-3 (2007) 169-177; Călușaru, A., Depunerea electrolitică a pulberilor metalice, Editura științifică și enciclopedică, București, 1976; Ceaușescu, Nicu, Popescu, Tehnologii neconvenționale, Editura Scrisul Românesc, Craiova, 1982; Chatterjee, S., Das, S., Micro-Electric Discharge Machining in Standard Setup, Proceedings of the 35th International MATADOR, Conference, Londra (2007) 77-80; Chen, S.M., Wang, C.H., Fuzzy Sets and Systems, Expert Systems with Application, 36 3 (2009) 5576-5581; Conțiu, G., Popa, M., Free Boundary value problem applied to the electro-thermal erosion, Quality and Innovation in Engineering and Management, Cluj-Napoca, România, 17-19 martie, pag. 401-404, ISBN 978-973-662-614-2; Conțiu, G., Popa, M., Potra (Ureche), F.L., Optimisation of the EDM process from the point of view of the thermal energy flux of Gauss-Spline type, International Conference on Production Reserch, 3rd International Conference on Quality and Innovation in Engineering and Management, 2014; Conțiu, G., Popa, M., Potra (Ureche), F.L., The EDM process studied using the cubic spline of regression type Stefan’s problem, Acta Technica Napocensis, Series: Applied Mathematics and Mechanics, 56 1 (2013) 83-88; 163

[17]

[18]

[19] [20] [21]

[22] [23] [24] [25] [26] [27] [28]

[29] [30] [31] [32] [33]

[34]

Conțiu, G., Studii și cercetări privind procesul de eroziune electrică folosind problema la limită cu frontier liberă (Problema de tip Stefan), Teza de doctorat, Universitatea Tehnică din Cluj Napoca, Facultatea Construcții de mașini, 2011; Dodun, O., Goncalves-Coelho, A.M., Slătineanu, L., Nagîț, G., Using wire electrical discharge machining for improved corner cutting accuracy of thin parts, Journal of Materials Processing Techology, 41 (2009) 858-864; Donaldson, R., Generalised Stefan Problems, liniar analysis and computation, The University of British Columbia, december 2003; Doyle, L.E., Keyser, C.A., Leach, J.L., Schra-der, G.F, Singer, M.B., Manufacturing Processes and Materials for Engineering; Dubbel, Manualul Inginerului Mecanic, Fundamente, Editura tehnică, București, 1998, ISBN 973-31-1271-2; Elman, C.J., Electrical Discharge Machining, Society of Manufacturing Engineers, 2001, 329 pag; Erzurumlu, T., Oktem, H., Comparison of response surface model with neural network in determining the surface quality of moulded parts, Materials and Design, 28 (2008) 459-465; Fuller, J.E., Rockwell International, Electrical Discharge Machining, Volume 16 of ASM Handbook, pag. 557-565, 2010; Gavrilaș , I., Marinescu, N.I., Prelucrări neconvenționale în construcția de mașini, Editura Tehnică, București, 1991; Gavrilaș, I., Marinescu, N.I., Prelucrarea prin electroeroziune și electrochimic-abrazivă, Vol. 1, 2, București, Editura tehnică, 1980; Gladcov, P., Tehnologia prelucrării materialelor, Vol. 2, Editura Universitatea Politehnică București, 1997; Guo, D., Zhang, M., Jin, Z., Kang, R., Effect of direct current and pulse plating on the EDM performance of copper-zirconium diboride composites, Journal of University of Science and Technology, Beijing, 14 5 (2007) 464-468; Guu, Y.H., AFM surface imaging of AISI D2 tool steel machined by EDM process, Applied Surface Science, (2004) 245-250; Han, F., Yamadab, Y., Kawakami, T. Kunieda, M., Experimental attempts of sub-micrometer order size machining using micro-EDM, Precision Engineering 30 (2006) 123-131; Ivanov, A., Koleva, Svetlana, Ferri, C., micro EDM process modelling and process Capability, Universitatea din Ruse, Cercetare, (47) 2 (2008) 12-16; Jain, V.K., Tandon, S., Kumar, P., Experimental investigations into electrochemical spark machining of composites, Journal of Engineering for Industry, S.U.A., 112 (1990) 194-197; Jeong, Y.H., Min, B.K., Geometry prediction of EDM-drilled holes and tool electrode shapes of micro-EDM process using simulation, International journal of Machine Tools & Manufacture 47 (2007) 1817-1826; Joshi, S.N., Pande, S.S., Development of an intelligent process model for EDM, The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, (45) 3-4 (2009) 300-317;

164

[35] [36]

[37] [38] [39]

[40] [41]

[42] [43] [44] [45]

[46] [47] [48]

[49] [50] [51] [52]

Joshi, S.N., Pande, S.S., Thermo-physical modelling of die-sinking EDM process, Journal of Manufacturing Process (12) 1 (2010) 45-56; Kansal, H.K., Singh, S., Kumar, P., Parametric optimization of powder mixed electrical discharge machining by response surface methodology, Journal of Materials Processing Techology 169 (2005) 427-436; Kellens, K., Dewulf, W., Lauwers, B., Kruth, J.P., Duflou, J.R., Environmental Impact Reduction in Discrete Manufacturing Examples for Non-Conventional Processes, Procedia CIRP, 6 (2013) 27-34; Kuppan, P., Rajadurai, A., Narayanan, S., Influence of EDM process parameters in deep hole drilling of inconel 718, International Journal of Advance Manufacturing Technology, 38 (2007) 74-84; Kwon, Y. S., Chung S.T., Lee., S., Noh, Park, S.J., German, R. M., Development of the High Performance W-Cu Electrode, Advances in Powder Metallurgy & Particulate Materials (2007) 1-8; Laliena, A.R., Sayas, F.J., A distributional version of Kirchhoff’s formula, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 359 1 (2009) 197-208; Liu, K., Ferraris, E., Peirs, J., Lauwers, B., Reynaerts, D., Process Capabilities of Micro-EDM and its applications, Annual 4M Conference on Multi-Material Micro Manufacture, Boroverts, Bulgaria, 2007; Lochner, R.H., Matar, J.E., Designing for Quality; an Introduction to the Best of Taguchi and Western Methods of Statistical Experiment Design, Chapman and Hall, New York, 1990; Luong, N.V., Thuan, N.X., Coupled fixed points in partially ordered metric spaces and application, Nonlinear Analysis Theory, Methods & Applications, 74 3 (2011) 983-992; Mahapatra, S.S., Patnaik, A., Optimization of wire electrical discharge machining process parameters using Taguchi method, Journal of Materials Processing Techology, 34 (2007) 911-925; Mahendran, S., Devarajan, R., Nagarajan, T., Majdi, A., A Review of Micro-EDM, Proceedings of the International MultiConference of Engineering and Computer Science, IMECS, Hong-Kong, 2010; Majchrzak, E., Turchan, L., Boundary element method for 3D Fourier-Kirchhoff heat transfer, Scientific Research of the Institute of Mathematics and Computer Science, (2009) 121-130; Marafona, J., Chousal, J.A.G., A finite element model of EDM based on yhe Joule effect, International journal of Machine Tools & Manufacture 46 (2006) 595-602; Ming, W., Zhang, G., Li, H., Guo, J., Zhang, Z, A hybrid process model for EDM based on finit element method and Gaussian process regression, The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 74 9-12 (2014) 1197-1211; Mukherjee, R., Chakraborty, S., Selection of EDM Process Parameters Using Biogeography – Based Optimization Algorithm, 27 9 (2012) 954-962; Muthuramalingam, B., Mohan, B., Influence of Discharge Current Pulse on Machinability in Electrical Discharge Machinig, Materials and Manufacturing Processes, 28 4 (2013) 375-380; Muthuramalingam, T., Mohan, B., Influence of Tool Electrode Properties on Machinability in Spark Erosion Machining, Materials and Manufacturing Processes, 28 8 (2013) 939-943; Normativ de timp pentru prelucrări prin electroeroziune (NT 175) București, Oficiul de informare documentară pentru construcția de mașini, 1989; 165

[53]

[54] [55]

[56]

[57]

[58] [59] [60] [61]

[62] [63] [64]

[65]

[66] [67]

Okada, A., Uno, Y., Nakazawa, M., Nakazawa, T., Evaluations of spark distribution and wire vibration in wire EDM by high-speed observation, CIRP Annals – Manufacturing Technology 59 (2010); Peradze, J., Numer, S.J., An approximate algorithm for a Kirchhoff wave equation, Society for Industrial and Applied Mathematics, 47 3 (2009) 2243-2268; Popa, M., Conțiu, G., Precup, M., Preja, Gaina, O., Fagarasan, C., Unconventional Technologies and Competitive Engineering in the 21th Century, Proceedings of TMCE Symphosium, 2 (2008) 1075-1086; Popa, M.S., Conțiu G., Advanced quality concepts applied to the thermal behaviour of modern manufacturing systems, International Conference On Automation, Quality and Testing Robotics, Cluj-Napoca, Romania, 2008; Popa, M.S., Conțiu, G., Advanced quality concepts applied to the thermal behavior of modern manufacturing systems, IEEE International Conference on Automation, Quality and Testing, Robotics AQTR, Cluj-Napoca, România, (2008) 22-25; Popa, M.S., Conțiu, G., Pop, G., Dan, P., New tehnologies and applications of EDM process, Int J Mater Form (2009) Vol. 2 Suppl 1:633-636; Popa, M.S., Conțiu, G., Pop, G., Preja, D., New technologies and applications of EDM process, International Journal of Material Forming, 2 1 (2009) 633-636; Popa, M.S., Conțiu, G., Pop, G., Surface quality of the EDM processed materials, Fundamental and Applied Metrology, Lisbon, Portugal, (2009) 1863-1866; Popa, M.S., Conțiu, G., Precup, M., Contributions along heat transfer in EDM, Proceedings of the Third International Conference on Thermal Engineering: Theory and Applications, Amman, Jordan, 2007; Popa, M.S., Conțiu, G., Precup, M., Surface Quality in the Electric Discharge Machining Process, DAAAM International Vienna, Austria, (2006) 294; Poro, D., Zaborski, S., Semi-empirical model of efficiency of wire electrical discharge machining of hard-to-machine materials, Journal of Materials Processing Techology, (209) 3 (2009) 1247-1253; Potra (Ureche), F.L., Soporan, V.F., Analiza poluării proceselor de prelucrare prin electroeroziune prin algoritmul fuzzy AHP, Acta Technica Napocensis, Environmental Engineering and Susainable Development Entrepreneurship, 2 1 (2013) 27-43; Potra (Ureche), F.L., Soporan, V.F., Bungărdean, C.M., Salanță, O.C., Physical-mathematical modelling of the dynamics of melting and solidification processes for duralumin 2017 (AlCuMg1) machining through electro-erosion, Ingineria Mediului și Antreprenoriatul Dezvoltării Durabile, 3 2 (2014) 11-22; Potra (Ureche), F.L., Soporan, V.F., Fuzzy application in the study of melting and soliification processes, International Conference on Innovetive Technologies, IN-TECH, Leiria, 2014; Potra (Ureche), F.L., Soporan, V.F., Homogenization fuzzy method of the duralumin composite, Annals of the „Constantin Brâncuși” Engineering Series, 4 (2013) 107-115;

166

[68]

[69]

[70] [71]

[72] [73] [74]

[75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82]

Pradhan, M.K., Biswar, C.K., Modelling of machining parameters for MRR in EDM using response surface methodology, Proceedings of NCMSTA’08 Conference National Conference on Mechanism Science and Technology: from Theory to Applications, National Institute of Technology, Hamirpur, India, (2008) 535-542; Pradhan, M.K., Determination of optimal parameters with multi response characteristics of EDM by response surface methodology, grey relational analysis and principal component analysis, International Journal of Manufacturing Technology and Management, 26 1-4 (2012) 1741-5195; Pruss, J., saal, J., Simonett, G., Analytic Solutions For The Classical Two-Phase Stefan problem, Proceedings of Equadiff, 11 (2005) 415-425; Rao, G.K.M., Janardhana, G.R., Rao, D.H., Rao, M.S., Development of hybrid model and optimization of metal removal rate in electric discharge machining using artificial neural networks and genetic algorithm, ARPN Journal of Engineering and Applied Sciences, 3 1 (2008) 19-30; Rebelo, J.C., Dias, A.M., Kremer, Lebrun, J.L., Influence of EDM pulse energy on the surface integrity of martensitic steels, Journal of Materials Processing Technology, 84 1-3 (1998) 90-96; Salah, N.B., Ghanem, F., Atig, K.B., Thermal and mechanical numerical modelling of electric discharge machining process, Communications in Numerical methods in Engineering, 2008; Shabgard, M., Ahmadi, R., Seyedzavvar, M., Oliaei, S.N.B., Mathematical and numerical modeling of the effect of input-parameters on the flushing efficiency of plasma channel in EDM process, International Journal of Machine Tools and Manufacture, 65 (2013) 79-87; Shrivastava, P.K., Dubey, A.K., Intelligent Modelling and Multiobjective Optimization of Electric Discharge Diamond Grinding, Materials and manufacturing Processes, 28 9 (2013) 1036-1041; Singh, H., Experimental study of distribution of energy during EDM process for utilization in thermal models, International Journal of Heat and Mass Transfer, 55 (2012) 5053-5064; Singh, H., Garg, R., Effects of process parameters on material removal rate in WEDM, Journal of Achievements in Materials and Manufacturing Engineering, (32) 1 (2009) 70-74; Soporan, V.F., Constantinescu, V., Crișan, M., Solidificarea aliajelor, Transilvania Press, ClujNapoca, 1995; Soporan, V.F., Constantinescu, V., Modelarea la nivel macrostructural a solidificării aliajelor, Editura Dacia, 1995; Soporan, V.F., Modelarea matematică a proceselor care au loc la turnarea pieselor metalice, Editura Casa Cărții, 2008; Soporan, V.F., Puțan, V., Modelarea fenomenelor termice și hidrodinamice în oala de turnare, Editura Dacia, 1995; Soporan, V.F., Vamos, C., Pavai, C., Numerical Simulation of the Shrinkage the Mass Density Increse during Gray cast Iron Solidification, Paper no. 9, Sixth International Simpposion on the Processing of Cast Iron, Alabama, USA, 1998;

167

[83]

[84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99]

[100]

Stefan, J., Uber die Theorie der Eisbildung, insbesondere uber die Eisbildung im Polarmeere, Sitzungsberichte der Osterreichischen Akademie der Wissenschaften MathematischNaturwissenschaftliche Klasse, Abteiluing 2, 98 (1889) 965-983; Tăbăcaru, V., Banu, M., Tehnologii neconvenționale – Procese și tehnologii, Galați 2008; Topală, A.P., Studiul fundamental și aplicativ al efectelor electroerozive în tehnologiile neconvenționale, Autoreferat al tezei de doctor habilitat în științe tehnice, Chișinău, 2008; Tosun, N., Cogun, C., Pithili, H., The effect of cutting parameters on wire craters sizes in Wire EDM, The International Journal of Advanced Manufacturing Technology; Tsai, Y.Y., Su, J.S., Su, C.Y., A novel method to produce carbon nanotubes using EDM process, International Journal of Machine Tools & Manufacture, 48 (2008) 1653-1657; Vișan, A., Ionescu, N., Tehnologii de prelucrare prin electroeroziune, București, Universitatea Politehnică București, 2009; Wang C.C., Yan, B.H., Blind Hole Drilling of Al2O3/6061 Al Composite Using Rotary Electro Discharge Machining, Journal of Material Processing Technology, 102 (2000) 90-102; Xu, Z., Shang, S., Qian, W., Shu, W., A method for fuzzy risk analysis based on the new similarity of trapezoidal fuzzy numbers, Expert Systems with Application 37 3 (2010) 1920-1927; Yeo, S.H., Kurnia, W., Tan, P.C., Critical assessment and numerical comparison of electrothermal models in EDM, Journal of Machine Tools & Manufacture, 48 (2008) 1653-1657; Yeo, S.H., Kurnia, W., Tan, P.C., Electro-thermal modelling of anode and chatode in micro-EDM, J. Phys. D. Appl. Phys. 40 (2007) 2513-2521; Yeo, S.H., Kurnia, W., Tan., Critical assessment and numerical comparison of electro-thermal models in EDM, Journal of Materials Processing Technology 203 (2008) 241-251; Yeo, S.H., Kurnia, W., Tan., Electro-thermal Modelling of Anode and Cathode in Micro-EDM, School Mechanical and Aerospace Engineering, Singapore, 2008; Youtsutani, S., Stefan problems with the unilateral boundary condition on the fixed boundary, I, Osaka J. Math., (19) 2 (1982) 365-403; Youtsutani, S., Stefan problems with the unilateral boundary condition on the fixed boundary, II, Osaka J. Math., (20) 4 (1983) 803-844; Youtsutani, S., Stefan problems with the unilateral boundary condition on the fixed boundary, III, Osaka J. Math., (20) 4 (1983) 845-862; Youtsutani, S., Stefan problems with the unilateral boundary condition on the fixed boundary, IV, Osaka J. Math., (21) 4 (1984) 149-167; Zhang, Y., Liu, Y., Shen, Y., Li, Z., Ji, R., Wang, F., A new method of investigation the characteristic of the heat flux of EDM plasma, SciVerse ScienceDirect, Procedia CIRP 6 (2013) 450-455; Zhyun, X., Shih-Fu, L., The applications of Fuzzy Reasoning Ayatem in Monitoring EDM, Knowledge-based intelligent information and engineering systems, 7’International Conference, KES, Oxford, (2003) 699-706;

168

[101] [102] [103]

[104] [105] [106] [107] [108] [109]

[110]

Zio, E., DiMaio, F., A Fuzzy Similarrity Based Method for Failure Detection and Recovery Time Estimation, International Journal of Machine Tools and Manufacture, 6 5 (2010) 407-424; Zio, E., DiMaio, F., Fault Diagnosis and Failure Mode Estimation by Data Driven Fuzzy Similarity Approch, International Journal of Performability Engineering, 8 1 (2012) 49-65; ***, Baricz, A., Generalized Bessel functions of the first kind, Springer, 1994, on-line la: http://www.google.ro/books?hl=ro&lr=&id=ldQqbKyIsXAC&oi=fnd&pg=PR7&dq=Bessel+functio ns&ots=4yleCFnWIi&sig=nmD0KtTCylnKQuLoEnNyen48lPE&redir_esc=y#v=onepage&q=Bes sel%20functions&f=false ***,Advanced EDM Technology, Microhole&Fasthole Prototype Parts & Production Machinse, 2014, on-line la: http://www.aaedmcorp.com/index.html; ***,Asociația română pentru tehnologii neconvenționale, 2014, on line la: http://www.artn.ro/; ***,Hancea, G., Măniga, V., Tehnologii neconvenționale, 2014, on-line la: http://www.tvet.ro/Anexe/4.Anexe/Aux_Phare/Aux_2005/Mecanica/; ***,Mașini de electroeroziune cu electrod masiv, Novick, EDM Machines, Europe, 2014, on line la: http://www.novick.eu/products/index.php?categ1=Die%20Sinking %20EDM&language=ro; ***,ROBOFORM 400, Mașină de electroeroziune cu electrod masiv, 2014, on-line: http://www.charmilles.ro/pages/home_pages/old_die/400.htm; ***,Tehnologii de prelucrare a metalelor prin eroziune electrică, 2014, on-line la: http://www.scrigroup.com/tehnologie/electronica-electricitate/TEHNOLOGII-DEPRELUCRARE-A-MET14325.php; ***,Totoescu, S., ONA – Excelență în electroeroziune, 2014, on-line la: http://www.ttonline.ro/sectiuni/masini-unelte/articole/255-ona-excelenta-electroeroziune;

169

ANEXE

Anexa 1. Principalele fenomene fizice prezente in cadrul EDM

Fenomene

La anod

La catod

În dielectric

electrice

- combinarea ionilor negativi și atragerea la anod, - procese de interacțiune electrod-anod.

- emisie de electroni, - autoemisie şi emisie secundară, - smulgerea de particule electrice și acţiunile electrostatice dintre acestea

- de combinare a particulelor şi de acţiune şi reacţiune datorate forţelor dintre acestea, - de străpungere a mediului dielectric şi transformare a acestuia din dielectric în mediu bun conducător.

termice

- încălzire, - topirea materialului în stratul de suprafață, - vaporizare.

- încălzire, - topire şi vaporizare de materiale, - încălzire şi modificare a temperaturii straturilor inferioare învecinate.

- încălzirea dielectricului, - formarea incintei gazoase prin vaporizarea lui, acţiunea de încălzire a straturilor din imediata vecinătate şi de transformare pe această bază a structurii şi proprietăţii acestuia.

mecanice

- contracții, - dilatări, - ruperi, - fisuri.

- contracţii, - dilatări, - ruperi, - fisuri.

- dielectricul suportă forţele hidrodinamice ale undei de şoc rezultate din imploziile bulelor de gaz din jurul canalelor de descărcare, - suportă parţial efectul forţelor electromagnetice Skin şi Pinch

chimice

- reacții chimice ale materialului de bază cu cu elementele componente din dielectric și coloană, - reacții de combinare a unor elemente din dielectric cu cele de pe anod, de formare pe suprafața acesteia a unei pelicule, - naura dielectricului și natura cuplului de material electrodpiesă.

- acţiuni de combatere prin reacţii chimice cu dielectricul, - reacţii chimice cu dielectricul şi materialul din interstiţiu şi formarea unei pelicule care se depune pe catod,

- acţiuni de combinare şi de recombinare cu molecule ale electrozilor şi cu particule din interstiţiu, reacţii chimice cu electrozii şi participarea la realizarea peliculei care se depune pe aceştia, - ca urmare a modificărilor temperaturii are loc piroliza dielectricului.

hidrodinamice

- suprafața anodului suportă acțiunea forțelor hidrodinamice de expulzare a materialului din crater, - ca efect craterele apar cu margini ușor rotunjite.

- catodul suportă acţiunea forţelor hidrodinamice de expulzare a materialelor în stare lichidă în interstiţiu însoţită de formarea craterelor, - ca efect, craterele apar cu margini uşor rotunjite.

- dielectricul suportă creşterea presiunii bulei de gaz, scăderea acesteia, şi acţiunea undei de şoc şi a forţelor hidrodinamice care iau naştere odată cu implozia bulelor

173

175

Timp de stingere

Timp de distrugere

Timp de formare

Timp de ionizare

Timp de descărcare

Timp de srăpungere

Timp de întârziere

Denumire timp

Timpul

- în interstițiu între două puncte de distanță minimă

Loc de desfășurare

- interstițiu - anod

- interstițiu - anod - catod

- formare crater de eroziune

- anod - catod

- distrugerea canalului de gaz - interstițiu

- stingerea arcului electric și expulzarea materialului

- trecerea curentului prin microcanal și declanșarea descărcării electrice

- ionizarea microcanalului de - interstițiu gaz și formarea unei coloane - anod de plasmă - catod

- străpungerea - microcanalul de gaz atinge suprafața anodului

- amorsarea, întârziere necesară pregătirii locale a condițiilor de străpungere

Proces fizic

- aplicare impuls electric - electronii sunt atrași la anod iar în drumul lor se ciocnesc cu moleculele din dielectricul lichid și formează, datorită căldurii, bule de gaz - aceste bule se ionizează, apar ionii pozitivi și negativi

Fenomene fizice

- curentul continuă să crească

- în punctele de impact ale elctronilor și ionilor cu catodul și anodul apar pete electrodice și o zonă negativă la anod și una pozitivă la catod - dezvoltare microcanal de plasmă

- curentul crește - prin intermediul buleleor de gaz care sunt ionizate se produce mai ușor ușor de la val. de străpungerea interstițiului la T1

- curentul crește ușor de la val. 0

Valoarea curentului

- tensiunea este 0

- tensiunea scade până la val. 0

- curentul este 0

- curentul scade până la val. 0

- materialul lichefiat este absorbit din microcrater în interstițiu unde se condensează sub formă de particule care impurifică dielectricul - formare de crater și strat de vapori - expulzare material

- implozia bulei de gaz ca rezultat a unor procese termodinamice - material lichefiat pe o anumită adâncimeîn jurul fiecărei pete electrodice - topire și vaporizare

- scăderea tensiunii și curentului la valoarea 0 rezultă scăderea presiunii din interiorul bulei de gaz la valoarea 0

- tensiunea rămâne - curentul rămâne - la momentul întreruperii tensiunii, presiunea din bula de gaz scade brusc la valoarea de la T3 la valoarea de la și are loc descărcarea și implozia acesteia T3 - transfer de energie electrică în spațiul de lucru elementar - transformare energie

- tensiunea continuă să scadă

- tensiunea scade foarte puțin de la val. de la T1

- tensiunea scade foarte puțin de la valoarea U0

Valoarea tensiunii

Anexa 2. Principalele fenomene fizice prezente in cadrul EDM în funcție de cei șapte timpi ai unui impuls electric

International Conference on Innovative Technologies, IN-TECH 2014, Leiria, 10. - 13.09.2014

IN-TECH 2014 Proceedings of International Conference on Innovative Technologies

Editors:   

Zlatan Car – Croatia Jan Kudláček – Czech Republic João Rafael da Costa Sanches Galvão – Portugal

IN-TECH 2014 Organization committee: • • • • • • • • • • • • • • • • •

Zlatan Car – Croatia Jan Kudláček – Czech Republic João Rafael Galvão – Portugal Luís Neves – Portugal Pedro Custódio – Portugal Pedro Martinho – Portugal João Sousa – Portugal João Ramos – Portugal Pedro Marques – Portugal Nuno Gil – Portugal Rui Rijo – Portugal Tomaž Pepelnjak – Slovenia Leon Šikulec – Croatia Karel Vojkovsky – Czech Republic Petr Drašnar – Czech Republic Petr Zikmund – Czech Republic Michal Pakosta – Czech Republic

Publisher: Faculty of Engineering University of Rijeka Printed by: Tiskas, s.r.o., Czech Republik Printed in 100 copies. IN-TECH 2014 International Conference on Innovative Technologies runs from 10.09.2013 to 13.09.2014 in Leiria, Portugal. E-mail: info@in-tech.info URL: http://www.in-tech.info The CIP record is available in the computer catalogue of the University Library Rijeka under No. 121219001.

ISSN 1849-0662

International Conference on Innovative Technologies, IN‐TECH 2014, Leiria, 10. ‐ 13.09.2014

FUZZY APPLICATION IN THE STUDY OF MELTING AND SOLIDIFICATION PROCESSES F. L. Potra 1 and V. F. Soporan 1 1

Technical University of Cluj-Napoca, Faculty of Materials and Environmental Engineering, , 103-105 Muncii Avenu, Cluj-Napoca, Romania

Keywords: electrical erosion, solidification, melting, fuzzy numbers, material characteristics, fuzzy ordering, proper values, proper vectors, best approximation weightings. Abstract: Researches regarding the conduct of materials in melting and solidification status, in particular the non-conventional cases such as the EDM processes (Electrical Discharge Machining) contain linguistic information which cannot be quantified by “crisp” numbers. A “fuzzy” approach in this respect is of utmost importance when linguistic information are determined. This paper aims to underline a study procedure using the FAHP algorithm (Fuzzy Analytic Hierarchy Process) which completes (without excluding the classical theories) the conduct of materials in the melting and solidification processes. It is important in this theory to establish the characteristics with linguistic information, standing for cutting triangular fuzzy numbers and their dive in the suite of intervals, respectively in convex combinations, leading to interpretation by random “crisp” numbers, to which the theory of proper values and vectors is applied, therefore obtaining local and global weights with the best approximation. Introduction The melting and solidification of materials using EDM is defined by the classical melting and solidification processes. This fact is determined by the processes occurring in the technology which is used, such as: 1. electrical discharge in impulse; 2. building-up and breakthrough; 3. evolution of the electrical discharge; 4. extinction of the electrical discharge; 5. washing the material. The mathematical modelling using FAHP supposes essentially the introduction of the characteristics describing both the processed material and the used technologies. In this paper we considered that the most important characteristics are described in the following table. The optimization of the EDM processes from any view of the eight characteristics, taken individually or grouped, leads to positive results in terms of processing the parts using this non-conventional procedure Table 1. Essential characteristics of the EDM processes No.

MEANING

ASSIGNED FUZZY No. ~ 9

CR1

The degree of electrodes to be good electricity conductors

CR2

The degree of the electricity generator for provide a tension and a current in the form of an impulse

CR3

The level of avoiding the physical and electrical contact of electrodes

~ 7

CR4

The quality level of the dielectric of concentration of energy for each electrical discharge facilitating the firing thereof in order to copy the form of the tool electrode

~ 5

CR5

The degree of modification of the dielectric and composition properties of the work gap.

~ 3

CR6

The plastic deformation level of the tool and piece electrodes surfaces after the EDM processes

~ 13

CR7

The level of reduction of the usage of the tool electrode

~ 9

CR8

The speed of removing the tool electrode from the piece electrode

~ 1 1

Although the eight characteristics cover well enough the essential processes in EDM, they are not exclusive. However, the FAHP optimizations approach combined with the relative discontinuous Stefan problem to the flow of the heat energy occurring in the impulse discharge is the only optimal mathematical modelling which studies the conduct of the essential melting and solidification processes of the material processed using EDM. Using the technological material characteristics described in Table 1, we go to introducing the cutting triangular fuzzy numbers, the introduction of the MOF matrixes and the application of the proper values and vectors theory, we obtain the best approximation local and global weights.

275

International Conference on Innovative Technologies, IN‐TECH 2014, Leiria, 10. ‐ 13.09.2014

The FAHP algorithm applied in the case of optimizing the distance between the tool electrode and part electrode The first step to define the essential characteristics of the material and the technology. In this case, these characteristics are described in Table 1. The step supposes to concede each characteristic cutting triangular fuzzy numbers. The general formulae for cutting triangular fuzzy numbers dived in the suite of the intervals on  are:

~ 1  [1, 3  2 ] ~

(2k  1)  [2k  1  2 , 2k  3  2 ],

k  1 n

(1)

The loading of MOF with fuzzy numbers is achieved using the theory of ordering fuzzy numbers, supposing the knowledge of their counters and which constitute the fuzzification of the characteristics:

 1 ~ 1 1   ,  3  2

 1 

1

~ 1 1   k  1 n (2k  1)    ,   2k  3  2 2k  1  2  These results were obtained using the mathematical theory of the intervals suites on the real axle.

(2)

The MOF characteristics and matrixes We propose the following logical scheme: MOF1

CR1

CR2

CR4

CR3

CR1 CR2

CR3

CR5

CR4

CR5

CR3

MOF2

CR6

CR8

CR7

CR8

CR7

MOF4

MOF3

MOF5

CR8

MOF4

MOF2

MOF5

MOF4

MOF6

MOF3

CR7

CR6

CR5

MOF3

CR4

CR6

MOF5

MOF6

MOF7

MOF6

MOF7

Fig. 1 The logical scheme EDM The logical scheme supposes the endowing with fuzzy numbers, beside the MOF1, MOF2,...,MOF5 matrixes and the MOF6, MOF7 and G matrixes. We describe in Table 2 this endowing with fuzzy numbers. Table 2. Endowing the MOF matrixes with fuzzy numbers

MOF6

MOF7

MOF2

~ 13

MOF3

~ 1 1

MOF4

~ 1 1

MOF6

~ 9

MOF5

~ 13

MOF7

~ 1 1

Loading with fuzzy numbers the MOF matrixes appearing in the EDM logical scheme is described below. This loading supposes the ordering the fuzzy numbers using the rule:

276

International Conference on Innovative Technologies, IN‐TECH 2014, Leiria, 10. ‐ 13.09.2014

~ aij , a~ij  a~ik       (3) a~ij   1, i j    aij 1, a~ij  a~ik     Using the formula (3) of the MOF matrixes, they become matrixes loaded with fuzzy numbers. The mathematical bases of ordering the fuzzy numbers is obtained by ordering the intervals. Table 3. endowing the MOF1 matrix with fuzzy numbers

CR1

CR2

CR3

CR4

CR5

CR6

CR7

CR8

CR1

~ 1 11

~ 9

~ 1 3 1

~ 1 1 1

CR2

~ 1 1

~ 1 3 1

~ 1 1

CR3

~ 1 9

~ 1 1 1

~ 7

~ 1 3 1

~ 1 9

~ 1 1 1

CR4

~ 1 9

~ 1 1 1

71

~ 5

~ 1 3 1

~ 1 9

~ 1 1 1

CR5

~ 1 9

~ 1 1 1

~ 1 7

~ 1 5

~ 1 3 1

~ 1 9

~ 1 1 1

CR6

~ 13

CR7

~ 1 1 1

~ 9

~ 1 3 1

~ 1 1 1

CR8

~ 1 1

~ 1 3 1

~ 1 1

CR1 CR1

MOF2

MOF6 = 1

CR6

MOF2

MOF3

CR4

MOF5 =

MOF7 = MOF5

CR8

1 1

CR8

MOF4 MOF4

CR7 CR7

MOF3

CR4

CR6

MOF4 =

CR3

MOF3 = 1

CR2

CR5

CR3

MOF2 =

CR5

CR2

MOF5

MOF6

G= MOF7

MOF7

1 1

Fig. 2 The endowing tables with fuzzy numbers of the matrixes MOF2, MOF3, MOF4, MOF5, MOF6, MOF7, G Loading the MOF matrixes with real “crisp” numbers is achieved using the convex combination of the interval defining the fuzzy number. This supposes to realize a study regarding the conduct of the two ߙ and ߚ parameters occurring in the definition of that interval to the convex combination, ߙ being the cutting fuzzy parameter and ߚ the parameter of the convex combination. The first diving of the fuzzy ~ number i in the interval means   [0,1] , which has a probabilistic interpretation.

1 If   0,   [0, ) , we require the projection to be realized in an increasingly larger interval, that is we are in a pessimistic situation 2 1 1 to achieve the aimed effects. If   0,   ( , 1] , we are certain that the process is achieved almost surely. And if   the 2 2 phenomenon is balanced. Consequently, we have: 1 1)   [0, ) the phenomenon is pessimistic, 2 1 2) the phenomenon is balanced,  2 3)

1 2

  ( , 1] the phenomenon is optimistic.

277

International Conference on Innovative Technologies, IN‐TECH 2014, Leiria, 10. ‐ 13.09.2014

1 1 In terms of the ߚ parameter, for processes with poor results we choose   [0, ) , for the moderate case we take   , and in the 2 2

1 case we want the results to be better we choose the interval   ( , 1] . 2 Defuzzyfication of MOF matrixes Using the convex combination, each fuzzy number and its counter number can turn into a real crisp number using the formulae: ~ 1  (1   )  1   (3  2 ) (4)  ~ (2k  1)  (1   )(2k  1  2 )   (2k  3  2 ) Respectively: 1 ~1 1  (1   ) 3  2   (5)  1 1 (2k  1~) 1  (1   )   2k  3  2 2k  1  2  It appears that each fuzzy number was immersed in a number "crisp" when his real α and β are assigned value optimistic, moderate and pessimistic. For these three cases we have:

Tabel 4. The values of global weights W1 Optimistic case

0,0304

0,0094

0,0145

0,007

0,00003

0,4343

0,00025

0,1318

Balanced case

0,000391

0,0281

0,00245

0,0045

0,000068

0,2504

0,000094

0,1165

Pessimistic case

0,000273

0,00953

0,00131

0,000714

0,000003

0,4395

0,000021

0,1235

where W1, W2,…,W8 are the values of global weights:

0,6

0,4

0,2

0 Caz optimist Caz moderat Caz pesimist

Fig. 3 The histogram of global weights

Conclusions The “crisp” and “aleatory” mathematical models are essentials establishing physical laws, governing processes in materials’ melting and solidification, completing successfully without exclusiveness of those before mentioned, using Fuzzy theory. In this sense the FAHP algorithm is a fineness tool, completing with linguistic information of the melting and solidification processes when these processes perform in unconventional conditions. Acknowledgment This paper was supported by the project “Increasing the attractiveness and performance training programs for doctoral and post doctoral research in engineering sciences-ATRACTING”, financing contract no. POSDRU/159/1.5/S/137070 code SMIS 52950.

References [1] [2] [3] [4] [5]

Potra, L. F., Soporan, F. S, “The EDM processes studied using the cubic spline of regression type Stefan’s problem”, Acta Technica Napocensis, Series: Applied mathematics and Mechnics, Vol. 56, Issue 1, 2013; Yeo, S. H., Kurnia, W., Tan, P. C., “Critical assessment and numerical comparison of electro-thermal models in EDM ”, School Mechanical and Aerospace Engineering, Turkey, 2007; Novricki, B., Dmonska, A., Podolak, A., “Morphology of traces made by individual electric discharge in EDM”, Advences in Manufacturing Science and Technology, Vol. 33, 2009; Potra, L. F., Soporan, F. S, “Pollution analysis of processes using electro-erosion through the fuzzy AHP alorithm”, Acta Technica Napocensis, Series: Environmental Engineering and Sustainable Development Entrepreneurship, Vol. 2, Issue 1, 2013; Ozdagoglu, A., Ozdagoglu, G., “Comparison of AHP for the multi-criteria decision making processes with linguistic evaluation”, Istambul Ticaret Universitesi Fen Bilimleri Dergisis Yil, 2007.

278

CONTRIBUTIONS ON OPTIMIZING APPROXIMATIONS IN THE STUDY OF MELTING AND SOLIDIFICATION PROCESSES THAT OCCUR IN PROCESSING BY ELECTRO-EROSION F. L. Potra1, T. Potra1, V. F. Soporan2 1

Technical University of Cluj-Npoca, Muncii Avenue, no. 103-105, post code 400641, city Cluj-Napoca, Province Cluj-Napoca, country Romania, email address vfsoporan@gmail.com

Keywords: Stefan Problem, Bessel Solution for Thermal Flux, Gauss Thermal Flux, Spline Thermal Flux, Cut of Triangular Fuzzy Numbers, Eigenvalues and Eigenvectors, Mean Values of Best Approximation Abstract We propose two optimization methods of the processes which appear in EDM (Electrical Discharge Machining). First refers to the introduction of a new function approximating the thermal flux energy in EDM machine. Classical researches approximate this energy with the Gauss’ function. In the case of unconventional technology the Gauss’ bell became null only for r  , where r is the radius of crater produced by EDM. We introduce a cubic spline regression which descends to zero at the crater’s boundary. In the second optimization we propose modifications in technologies’ work regarding the displacement of the tool electrode to the piece electrode such that the material melting to be realized in optimal time and the feeding speed with dielectric liquid regarding the solidification of the expulsed material. This we realize using the FAHP algorithm based on the theory of eigenvalues and eigenvectors, which lead to mean values of best approximation. [6] This optimization is presented in Figure 1 a) and 1 b).

Figure 1.The geometrical image of thermal flux distribution for the Gauss (a) and cubic Spline (b) regression models. Introduction In the first part of the study, it must be considered that the EDM phenomenon is an unconventional one, described by [μm] dimensions. Considering this, the boundary conditions must be established as correct as possible.

The thermal energy flux generated by the equipment used in practice is the subject of this study. But, the Gaussian flux has a significant contribution in conventional conditions, but in this case, the flux in almost 0 when approaching the proximity to the outer end of the boundary, even if the Gauss function is null in +∞. This fact indicated the idea of approximating the thermal flux by a cubic spline regression, with dots on Gauss’ bell and which is also null at the end of the boundary. A spline function was obtained in this way. This function is optimal approximating optimal the Gauss bell and is null at the end of the crater’s radius Figure. 1 a) and 1 b). In the second part of the study, fuzzy triangular numbers are used for studying melting and solidification of materials used in manufacturing of tool electrode in the electro erosion process. It is essential to know the behavior of the working electrode in the electro processing and form processing. This study aimed to address this on a number of six types of material, most commonly used as a result of experimental research. Thus Table 1 presents the characteristics of these materials and their explanations, followed by the algorithm FAHP (Fuzzy Analytic Hierarchy Process).[1-4] Table 1. Essential Materials Characteristics Used in Electrode Tool Manufacturing No. Name of Material Characteristics Attributed Fuzzy Number ~ CR1 Copper-Graphite 9 ~ CR2 Graphite 1 1 ~ CR3 Agietal 7 ~ CR4 Tellurium-Copper 9 ~ CR5 Wolfram-Copper 1 3 ~ CR6 Wolfram 1 1 An explanation of the contents of the characteristics shown in Table 1 is as follows:[7] CR1: “COPPER-GRAPHITE” is a material composed of copper and graphite. There are two ways of combining copper with graphite to get so called "copper-graphite electrode ". The first option is to make a mixture of 65% copper 35% graphite. In this case is obtained the most valuable electrode, but it has difficulties in manufacturing and involves a higher cost. A second embodiment of the electrode "copper-graphite" is carried out by coating a graphite electrode by a copper layer. Qualities are slightly lower, however, the electrode made of graphite coated with a layer of copper is less brittle and has a lower wear, and it has 10-15% higher yield than the electrode made of pure graphite. CR2: “GRAPHITE” - graphite electrode composed only. With respect to the electrode made only of copper (option which has not been selected in this study), it has a 50-70% higher productivity. In the EDM, the roughing shows very little wear due to the formation of a pyrographite protective film on the active surface. Although it is inferior in terms of quality, it is recommended due to lower manufacturing costs. However, the graphite electrode is not recommended in the processing of metal carbides. CR3: “AGIETAL” is a material obtained by "Agie" firm and if has properties of similar to graphite electrode. In terms of its use, this electrode was designed to be used in semi-finishing

and finishing. This electrode has the additional ability to process parts made of steel. CR4: “TELLURIUM-COPPER”. This electrode has the following qualities: - the working electrode is best done pour this alloy, - it can be processed easily by conventional methods such as turning, milling. CR5: “WOLFRAM-COPPER” – the tool electrode is made of two solid components in a proportion of 50-80% wolfram. The most numerous electrodes of this type are electrodes in a proportion of 75% wolfram and 25% copper. Although their manufacturing is via a high cost, it is recommended for its qualities on the implementation of EDM. Qualities for which this type of electrode is recommended are: - it can be used in processing hardened steels and carbides; - used for finishing, which has a high stiffness and leads to obtain fine roughness; - the processing the deep holes of high precision; - the processing of sharp angles, with wear 3-5 times lower than copper electrolyte. CR6: “WOLFRAM” although it is used to obtain filiform electrodes compared to massive electrodes, this electrode is characterized by: - very little wear and the possibility of processing small sizes; - processing parts with tolerance of 0,01 [mm]. Optimal Approach of Thermal Energy Flux by Cardinal Cubic Spline Model Taking into account the definition of cardinal spline functions, given by: 3  1  2 3 1 ( x)  1  9 x   10 x   16 x   2    3   2 ( x)  x   7 x 2  3 x 3  4 x  1   2 2    3 1   2 3  3 ( x)  12 x   16 x   32 x  2    3  1  2 3  4 ( x)  3 x   6 x   16 x   2   

(1)

then the thermal energy flux produced by EDM process unit has the final form: 245   q s (r )  33  35  10 1  x     297   10 1  192  10 5  123  10 10   x 2  2  

330  105  10







1   256  10 5  246  10 10  x 3   528  140  10 1  512  10 5  656  10 10  x   2   (2) where r is the radius of the crater produced by the EDM 1

The inhomogeneous Stefan problem it has been proposed a boundary free semiconoid leading to L* and M* integration constants, given in Table 2.

No.

Table 2. Constants Involved in Plotting the Spline Type Crater Symbol Name Formula Value/Material

Unloading time [ s ]

80.8

Amperage [ A]

6.2

q s (r )

Thermal flux [W / m 2 ]

Crater diameter [ m]

Integral differential equation in time variable

Bassel integral constant

4.56  f c  U  I  2  Measured

1 1

( 1 ) 2  t f 2 

q max k  u0

8.50278  108 43 7860 27  104

If the solution generally requires initial boundary conditions, Cauchy spline type and Stefan, the equation of the crater is obtained: 1 (3) z  * ln   J 0 ( s  x 2  y 2 ) M where J0, is Bessel series, and:





s  L*  M * , and u0  2 L* t f GL  e

(4) (5)

With these data the chart of the crater is shown in Figure 2.

Figure 2. The geometric image of spline crater. Conclusions: The results obtained by this method were compared with their Gaussian functions determine if the relative experimental measurements of the EDM craters are closer to the spline case. However, the differences between the Gaussian case and the spline case are not very high,

because spline was obtained using the interpolation points from Gauss Bell. These points were chosen because Gauss function has proven to be a good result for conventional processes. Numerical Optimization Models of the EDM Process Through FAHP Algorithm When using material characteristics proposed in Table 1, and also associate these features with fuzzy numbers, through the corresponding MOF matrices, the Flowchart hierarchy is:

Figure 3. Flowchart hierarchy. Based on this flowchart, MOF matrices are:

Formulas for triangular fuzzy numbers assigned to the critical characteristics of EDM and, respectively, the formulas for fuzzy inverse numbers are:  ~ 1 1   7   9  2 5  2 ~ 7  1   5  2    (9  2 ) 1   ~ 1 ~ 9   9  1   7  2    (11  2 ) 11  2 7  2 (6) ~ 1   ~ 1 1 1  1   9  2    (13  2 ) 1 1   ~ 13  2  9  2 1 3  1   11  2    (15  2 ) 1   ~ 1 31   15  2 11  2

For chosen fuzzy numbers resulted in the following numerical values: Table 3. Values of Defuzzyfication Fuzzy Numbers ~ ~ ~ 1 1 7 9  

~ 1 3

Moderate Case

1 2

3 4

7.5000

9.5000

11.5000

13.5000

Optimistic Case

1 4

1 2

7.0000

9.0000

11.0000

13.0000

Pessimistic Case

3 4

1 4

6.7500

8.7500

10.7500

12.7500

Table 4. Values of Defuzzyfication Inverse Fuzzy Numbers ~ 1 ~ ~ 1 7 9 1 11  

~ 1 31

Moderate Case

1 2

3 4

0.1563

0.1188

0.0958

0.0804

Optimistic Case

1 4

1 2

0.1497

0.1143

0.0926

0.0780

Pessimistic Case

3 4

1 4

0.1385

0.1084

0.0890

0.0756

~ The first immersion of the Fuzzy number i in the interval means   [0,1] which has a 1 probabilistic interpretation. If   0,   [0, ) , we require the projection to be achieved in a 2 longer interval, that is we are in a pessimistic situation of achieving the aimed goals. If 1 1   1,   ( ,1] , we are certain that the process is almost surely realized. If   , the 2 2 1 phenomenon is balanced. Consequently we have:   [0, ) , the phenomenon is pessimistic, 2 1 1   , the phenomenon is moderate,   ( ,1] , the phenomenon is optimistic. A similar study 2 2 is reproduced in the relation with the convexity parameter  . Global weights are obtained by the formula (7) and are given in the Table 5: W1  w41  w21 W2  w41  w22 W3  w41  w23 W4  w42  w31 W5  w42  w32

(7)

Calculation of overall weight is validated according to the flowchart:

Table 5. The Values of Global Weights for All Three Cases

Moderate Case

0.00222 0.05974 0.00964 0.85079

0.07761

Optimistic Case

0.00221 0.06004 0.00966 0.85004

0.07806

Pessimistic Case

0.00222 0.05975 0.00953 0.85107

0.07744

Histograms of global weights are shown in the following figure:

Fig. Histogram of global weights Conclusion Linguistic explanations based on experimental observations can not quantify the numerical importance of the contribution of different types of essential materials used in the construction of

the tool electrode. FAHP approach is more than welcome. Because many of these materials are alloys, local weights can be used as such. Global weights represent a global behavior of this type of material that can be used to optimize the choice of materials for manufacturing tool electrode according to the piece to be processed. Acknowledgement This work was partially supported by the strategic grant POSDRU/159/1.5/S/137070 (2014) of the Ministry of National Education, Romania, co-financed by the European Social Fund – Investing in People, within the Sectorial Operational Program Human Resources Development 2007-2013. References 1. Z. Ayan,, “A combined fuzzy AHP – simulation approach to CAD software selection”, International Journal of General System, 39(7)(2010). 2. S.N. Joshi, S.S. Pande, “Thermo-Physical Modelling of Die-Sinking EDM Process”, Journal of Manufacturing Processes, 12(2010), 45-56. 3. P. Kuppan, A. Rajadurai, and S. Narayanan, “Influence of EDM Process Parameters in Deep Hole Drilling of Inconel 718”, International Journal of Advance Manufacturing Technology, 38(2007),74-84. 4. S. Mahendran, R. Devarajan, T. Nagarajan, A. Majdi, Review of Micro-EDM, Proceedings of the International MultiConference of Engineering and Computer Science, (2(2010), HongKong, ISBN 978-988-18210-4-1, ISSN 2078-0966 (online)); 5. A. Ozdagoglu, G. Ozdagoglu, “Comparison of AHP for the Multi-Criteria Decision Making Processes with Linguistic Evaluation”, Istambul Ticaret Universitesi Fen Bilimleri Dergisis Yil, 2007. 6. G. Contiu, M. S. Popa, F. L. Potra, “The EDM Processes Studied Using the Cubic Spline of Regression type Stefan’s Problem”, Acta Technica Napocensis, Series: Applied mathematics and Mechnics, 5(I)(2013)83-88; 7. A. Vișan, N. Ionescu, „Tehnologii de Prelucrare prin Electroeroziune 1”, Universitatea Politehnică București, 2004

Florina POTRA, Vasile SOPORAN

SISTEM DE ALEGERE A TIPULUI DE ANTREPRENOR PRIN UTILIZAREA ELEMENTELOR DE LOGICĂ FUZZY Florina Liliana POTRA, Vasile Filip SOPORAN Universitatea Tehnica Cluj-Napoca, Facultatea de Ingineria Materialelor și a Mediului Rezumat: Interesul pentru această lucrare este de a propune un model matematic modern care să permită o apreciere cuantificată a calităților unui antreprenor. În acest scop am apelat la logica numerelor fuzzy triunghiulare de tăietură și la algoritmul FAHP (Fuzzy Analytic Hierarchy Process). Informațiile folosite în activitatea de antreprenoriat sunt de natură lingvistică, teoria numerelor fuzzy fiind recomandată cu preponderență. Cuvinte cheie: antreprenoriat, antreprenor, numere fuzzy, ordonare fuzzy, valori și vectori proprii, histograma fuzzy

1. Noțiunea de antreprenor și calitățile sale Dezvoltarea activităților economice moderne a condus cu prioritate la introducerea în mod esențial a activităților de antreprenoriat. Un pas important pentru activitatea antreprenorială este alegerea antreprenorului potrivit. Antreprenorul este un agent economic care adoptă un comportament activ și norator, care acceptă deliberat riscuri financiare pentru a dezvolta proiecte noi. Reducerea riscurilor se poate realiza numai dacă antreprenorul se bazează în activitatea sa economică pe reguli științifice. Alegerea tipului de antreprenor se bazează pe calitățile pe care acesta le deține. Aceste calități alese nu garantează succesul unui antreprenor cum nici lipsa uneia sau alteia nu va duce la eșec în antreprenoriat. Cu unele calități antreprenorul se naște însă ele se pot și dobândi, un lucru important este ca el să fie eficient și să realizeze o imbinare fericită a calităților pe care le are. Pentru a determina succesul este foarte important realizarea unui mix al calităților. Caracteristicile esențiale care stau la baza unui antreprenor sunt prezenate în tabelul 1, cât și numarul fuzzy atribuit în funcție de importanța acesteia.

Conferința “Antreprenoriat, mediu de afaceri și dezvoltare durabilă” – AMDD 201

Tabel 1. Caracteristicile esențiale ale antreprenolului

2. Aplicarea algoritmului FAHP calităților antreprenorului Înrucât majoritatea informațiilor folosite în activitatea de antreprenoriat sunt de natură lingvistică, teoria fuzzy este recomandată cu preponderență. Teoria numerelor fuzzy se folosește atunci când datele de intrare sunt incerte sau imprecise, aceasta putând fi comparată cu modul de gândire a omului care folosește informații aproximative și incerte pentru a lua o hotărâre. Atribuirea numerelor fuzzy fiecărei caracteristici este un procedeu subiectiv și el depinde de experiența utilizatorului. După ce s-a construit modelul ierarhic pentru problema studiată cel care decide este obligat să compare elementele două câte două. Utilizarea modelului FAHP impune utilizarea numerelor fuzzy triunghiulare de tăietură. Izestrarea cu numere fuzzy se face ținând cont de ordinea importanței caracteristicilor și cerințelor, astfel încât cerinței celei mai importante îi revine numărul fuzzy cel mai mare. Numerele Fuzzy folosite sunt cele triunghiulare de tăietură, reprezentate in figura 1.

Fig. 1. Imaginea geometrică a numerelor Fuzzy de tăietură

α ∈ (0,1)

Florina POTRA, Vasile SOPORAN

Formulele generale pentru numerele Fuzzy triunghiulare de tăietură ~ ~ 1α , (2k + 1) α , scufundate în mulțimea intervalelor de pe ℜ au formulele:

~ 1α = [1, 3 − 2α ]

(2k + 1) α = [2k − 1 + 2α , 2k + 3 − 2α ],

k = 1÷ n

(1.1)

Organizarea în matricile MOF presupune cunoașterea inverselor acestor numere Fuzzy, care sunt definite prin:

~ −1  1 1 α = ,  3 − 2α ~

(2k + 1)

−1

 1 

1 1   , =  2k + 3 − 2α 2k − 1 + 2α 

(1.2)

În final, defuzzyficarea pe acest model se realizează prin teoria combinației convexe a intervalelor. Dacă [a, b] ⊂ ℜ , atunci combinația sa convexă este:

c(a, b) = a (1 − β ) + b ⋅ β , unde β ∈ [0,1]

(1.3)

În acest fel fiecare număr Fuzzy se scufundă (se ia echivalent) într-un număr real. Această dublă scufundare a numerelor Fuzzy permite prelucrarea numerică a informațiilor ligvistice. Se observă că cele două scufundări au introdus doi parametri, α , β ∈ [0,1]. Acești doi parametri sunt puși la dispoziția utilizatorului în vederea obținerii unei modelări matematice optimale, dacă utilizatorul este în bună cunoștință față de fenomenul studiat, completat cu atribuirea numerelor Fuzzy caracteristicilor esențiale. Este obligatoriu să facem o analiză privind alegerea parametrilor:  α - parametrul Fuzzy de tăietură,  β - parametrul combinației convexe.

~ Prima scufundare a numărului Fuzzy iα în interval înseamnă α ∈ [0,1] care are 1 o interpretare probabilistică. Dacă α → 0, α ∈ [0, ) , cerem ca proiecția să se facă pe 2 un interval tot mai mare, adică suntem într-o situație pesimistă de realizare a 1 efectelor urmărite. Dacă α → 1, α ∈ ( ,1] , avem certitudinea că procesul se 2 61

Conferința “Antreprenoriat, mediu de afaceri și dezvoltare durabilă” – AMDD 201

realizează aproape sigur. Dacă α =

1 , fenomenul este ponderat. În consecință avem: 2

1  α ∈ [0, ) , fenomenul este pesimist, 2  α=

1 , fenomenul este ponderat, 2

1  α ∈ ( ,1] , fenomenul este optimist. 2 Un studiu cu totul analog se reproduce relativ la parametru de convexitate β .

1 1 Pentru procese slabe alegem β ∈ (1, ) , iar β = pentru cazul moderat, caz în care 2 2 1 scufundarea se realizează în media aritmetică. Iar pentru β ∈ ( ,1] procesul se 2 presupune optimist. Pe baza scufundării caracteristicilor în mulțimea numerelor fuzzy triunghiulare de tăietură se poate trece la matricile MOF încărcate cu numere fuzzy și inversele lor, la care, prin folosirea combinațiilor convexe, se ajunge la matricea MOF cu numere “crisp” cărora li se aplică teoria valorilor și vectorilor proprii. În consecință avem matricea MOF generală și schema logică de legătură între caracteristici.

Fig.2. Schema logică de ansamblu a caracteristicilor

Pe baza schemei logice de ansamblare a caracteristicilor și a teoriei valorilor și vectorilor proprii se calculează pentru fiecare matrice MOF ponderile locale de cea mai bună aproximație care înlocuiesc informațiile lingvistice ale caracteristicilor cu informații numerice “crisp”. 62

Florina POTRA, Vasile SOPORAN

Fig. 3. Schema logică a ponderilor locale

Ponderile globale care caracterizează comportarea calităților esențiale ale antreprenorului atunci când se ține seama de legăturile dintre caracteristicile apreciate prin schema logică de ansamblare a caracteristicilor se determină folosind schema logică a ponderilor locale. În consecință avem: W1 = w 11 ⋅ w 21 ⋅ w 61 ⋅ w 81

W5 = w 15 ⋅ w 41 ⋅ w 71 ⋅ w 81

W2 = w 12 ⋅ w 22 ⋅ w 62 ⋅ w 82

W6 = w 16 ⋅ w 42 ⋅ w 72 ⋅ w 82

W3 = w 13 ⋅ w 31 ⋅ w 61 ⋅ w 81

W7 = w 17 ⋅ w 51 ⋅ w 71 ⋅ w 81

W4 = w 14 ⋅ w 22 ⋅ w 62 ⋅ w 82

W8 = w 18 ⋅ w 52 ⋅ w 72 ⋅ w 82

Histograma ponderilor globale caracteriează calitățile globale ale antreprenorului, adică comportatrea sa în activitatea sa antreprenorială, atunci când el se bazează în comportamentul său pe toate caracteristicile esențiale.

Fig. 4 Histograma ponderilor globale

Conferința “Antreprenoriat, mediu de afaceri și dezvoltare durabilă” – AMDD 201

3. Avantaje În urma unui studiu al rezultatelor obținute în activitatea antreprenorială a mai multor antreprenori atunci când fiecare se bazează pe această cercetare de tip FAHP (Fuzzy Analitic Hierarchy Process) a rezultat că succesul în antreprenoriatul respectiv este mult superior în raport cu antreprenorii care au abordat un model aleator relativ la calitățile proprii. 4. Propuneri supuse de finanțare Un model care în cazul Românie ar putea fi sustenabil este realizarea unor proiecte privind activitatea antreprenorială în colaborare cu Uniunea Europeană care să acorde și un suport financiar. În acest scop o colaborare cu Guvernul Romaniei pe un astfel de model la nivelul economiei naționale ar putea fi de un ajutor esențial. 5. CONCLUZII Posibilitatea de a organiza matematic calitățile unui antreprenor este dată de capacitatea sa de a deține obiectiv un număr de calități. Am selectat ditr-o mulțime posibilă de calități pe cele pe care le-am considerat mai importante. În acest mod am fixat opt caracteristici (calități esențiale ale antreprenorului) pe care le-an scufundat în mulțimea numerelor fuzzy triunghiulare de tăietură. În continuare prin algoritmul FAHP s-a ajuns la o histogramă fuzzy care caracterizează calitășile în ansamblu (nu luiate separat) ale unui antreprenor. Histograma poate sugera deasemenea unede ar trebui intervenit pentru a obține rezultate antreprenoriale performante. Intervenția se poate realiza mdificând înzestrarea caracteristicilor cu alte numere fuzzy ceea ce ar însemna să dăm o altă interpretare calităților antreprenorului. În acest mod lucrarea sugerează un model amplu de cercetare privind antreprenoriatul și antreprenorul. 6. Mulțumiri Acest articol a fost realizat in cadrul proiectului „Creșterea atractivității și performanței programelor de formare doctorală și postdoctoralăpentru cercetări în șiințe inginerești – ATRACTING.”, contract de finanțare POSDRU/159/1.5/S/137070, cod SMIS52950.

Florina POTRA, Vasile SOPORAN

7. REFERINȚE [1]. Marius Dobre, “Rețeta în antreprenoriat: strategie, viziune, perseverență și leadership”, http://www.femei-in-afaceri.ro/ro/fia-in-presa/online/reeta[2].

[3]. [4].

[5].

succesului-n-antreprenoriat-strategie-viziune-perseveren-i-leadership Loredana Balan, “Ghid complet de antreprenoriat: totul despre calitățile antreprenorului de succes”, http://www.business24.ro/twitter/stiri-twitter/ghidcomplet-de-antreprenoriat-totul-despre-calitatile-antreprenorului-de-succes-1487282 Alina Tanase, “Antreprenor devii sau te naști”, http://alinatanase.blogspot.ro/2012/01/antreprenor-devii-sau-te-nasti.html Potra F. L., Soporan V.F, “Pollution analysis of procees using electroerosion through the fuzzy AHP algorithm”, Scientific Journal Acta Technica Napocensis, Series, Environmental Engineering and Sustainable Development Entrepreneurship,Volume 2, Nr. 1, 2013, UTPRESS Publishing House, ClujNapoca, Romania,ISSN – 2284-743X; ISSN-L – 2284-743X, pp. 24-42 Potra F. L., Soporan V.F “Homogenization-fuzzy method of the duralumin composite”, Analele universității Constantin Brâncuși din Târgul Jiu, http://www.utgjiu.ro/revista/ing/pdf/2013-4/18_Potra%20Florina%20Liliana.pdf

Ingineria Mediului şi Antreprenoriatul Dezvoltării Durabile – Vol. 3, Nr. 2 (2014)

PHYSICAL-MATHEMATICAL MODELLING OF THE DYNAMICS OF MELTING AND SOLIDIFICATION PROCESSES FOR DURALUMIN 2017 (ALCUMG1) MACHINING THROUGH ELECTRO-EROSION MODELAREA FIZICO-MATEMATICĂ A DINAMICII TOPIRII ȘI SOLIDIFICĂRII DURALUMINIULUI 2017 (ALCUMG1) LA PROCEDEELE DE PRELUCRARE PRIN ELECTROEROZIUNE Liliana Florina POTRA*, Vasile Filip SOPORAN, Maria Camelia BUNGĂRDEAN, Oana Cornelia SALANŢĂ Technical University of Cluj-Napoca, Faculty of Materials and Environmental Engineering, Department Environmental Engineering and Sustainable Development Entrepreneurship, 103-105 Muncii Ave, Cluj-Napoca, Romania

Abstract: A new model of study of the processes occurring in EDM is introduced, regarding especially the optimal speed of removing the crater of the “piece electrode” from the “tool electrode”, a crater resulted from the discharges in electrical impulse through the dielectric channel in plasma state into the piece electrode. This research is very important since both the productivity of pushed out material (of nano materials) by electro erosion, and the quality of the processed surface are enclosed in the non-conventional proceedings of materials processing, that is melting and solidification of materials. The processing performance by electro erosion hangs essentially on the optimal speed the piece electrode carries off the tool electrode, respectively the liquid layer of dielectric disappears (decreases) in the process of washing the pushed out material. These are the essential processes influencing the capability of EDM, but a more rigorous research supposes taking into account other characteristics that we will present in this paper. From this point of view, the new physical-mathematical modelling studies the behaviour of a vector function:

  f R  f (CR1, CR2 ,..., CR8 ) where: CR1 , CR2 ,..., CR8 , are components of the

(1)

 R

vector,

Rezumat: Se introduce un model nou de studiu al proceselor care intervin în EDM, în special privind viteza optimă de îndepărtare a craterului „electrodului piesă” față de „electrodul sculă”, crater rezultat prin descărcările în impuls electric, prin canalul din dielectric în stare de plasmă în electrodul piesă. Această cercetare este foarte importantă deoarece atât productivitatea de material expulzat (a nanomaterialelor) prin electroeroziune, cât și calitatea suprafeței prelucrate se încadrează în procedeele neconvenționale de prelucrare a materialelor, adică topirea și solidificarea de materiale. Performanța de prelucrare prin electroeroziune depinde în mod esențial de viteza optimă cu care electrodul piesă se îndepărteaza de electrodul sculă, respectiv stratul de lichid din dielectric dispare (se micșorează) în procesul de spălare a materialului expulzat. Acestea sunt procesele esențiale care influențează randamentul EDM, dar o cercetare mult mai riguroasă presupune luarea în atenția cercetării și a altor caracteristici, pe care le vom prezenta în această lucrare. Din această perspectivă, noua modelare fizico-matematică studiază comportarea unei funcții vectoriale:

  f R  f (CR1, CR2 ,..., CR8 )

unde: CR1 , CR2 ,..., CR8 , sunt componente ale vectorului

(1)

 R

which represents the essential characteristics of the processes appearing in EDM. As the characteristics are linguistic information, the modelling imposes the use of the FAHP (Fuzzy Analytic Hierarchy Process) algorithm. This FAHP algorithm also requires information about the transformation of electrical energy by discharge in impulse into heat, which makes us approach the research from the view of the discontinuous Stefan problem, here we introduced an optimization procedure using the spline regressions in the optimal approximation of the heat flow energy function in the plasma-type dielectric channel.

care reprezintă caracteristicile esențiale ale proceselor care apar în EDM. Întrucât caracteristicile sunt informații lingvistice, modelarea impune obligatoriu folosirea algoritmului FAHP (Fuzzy Analitic Hierarchy Process). Acest algoritm FAHP solicită și informații referitoare la transformarea energiei electrice prin descărcare în impuls în energie termică, fapt care ne obligă să abordăm cercetarea și din perspectiva problemei Stefan de tip discontinuu, în care am introdus un prcedeu de optimizare folosind regresiile de tip spline în aproximarea optimală a funcției energiei fluxului termic aflat în canalul dielectric de tip plasmă.

Keywords:. electrical machining of the metals, mathematical model, Fuzzy Analytical Hierarchy Process, pollution. .

Cuvinte cheie: prelucrare prin erorziune electrică, modelare matematică, Fuzzy Analytical Hierarchy Process, poluare.

*Corresponding author / Autor de corespondenţă: Phone: +40 264 / 401725; Fax: +40 264 / 415054 e-mail: potraflorina@yahoo.ro

Environmental Engineering and Sustainable Development Entrepreneurship – Vol. 3, No. 2 (2014)

1. Introduction

1. Introducere

Optimizarea proceselor EDM din orice perspectivă a celor opt caracteristici, luate separat sau grupate, conduce la rezultate pozitive privind prelucrarea pieselor prin acest procedeu de tip neconvențional. Deși cele opt caracteristici acoperă suficient de bine procesele esențiale din EDM, ele nu sunt exclusiviste. Totuși, abordarea optimizărilor prin FAHP, combinată cu problema lu Stefan de tip discontinuu, este singura modelare matematică cu caracter optimal care studiază comportarea proceselor esențiale ale prelucrării pieselor prin eroziune electrică, adică o modelare optimală fizico-matematică. Topirea și solidificarea materialelor prin EDM (prelucrarea materialelor prin electroeroziune) este diferită de procesele clasice de topire, respectiv solidificare. Acest fapt este determinat de procesele care apar în tehnologia folosită, cum ar fi: descărcarea electrică în impuls, amorsarea și străpungerea, evoluția descărcării electrice, stingerea descărcării electrice și splălarea materialului. Acești timpi, în care se produce topirea și solidificarea îi prezentăm în figurile următoare:

Optimizing the EDM processes from any perspective of the eight characteristics, separately or together, lead to positive results regarding the processing of the parts using this non-conventional procedure. Although the eight characteristics cover well enough the essential processes in EDM, they are not exclusivist. However, the approach of optimizations using FAHP, combined with the discontinuous Stefan problem, it is the only mathematical modelling with optimal character which studies the essential processes of the parts processing by electrical erosion, that is, an optimal physical-mathematical modelling. The melting and solidification of the materials using EDM (materials processing by electro erosion) is different from the classical melting respectively solidification processes. This fact is determined by the processes appearing in the technology that is used, such as: electrical discharge in impulse, firing and break-through, evolution of the electrical discharge, extinction of the electrical discharge and washing material. These times producing the melting and solidification are described in the following figures:

a.)

c.)

b.)

d.)

e.)

Figure 1 a). Electrical impulse – firing b). Electrical impulse – break-through c). Evolution of the electrical discharge – ionization d). Evolution of the electrical discharge – discharge e). Formation of the erosion crater

During T1, also called delay time, with random character, the local preparation of the firing and break-through conditions is achieved, forming the ionized gas channel where the plasma column is to be introduced, during T2. During T3 the electrical discharges in impulse through the

În timpul T1 numit și timp de întârziere, cu caracter aleator, se realizează pregătirea locală a condițiilor de amorsare și străpungere, formându-se astfel canalul de gaz ionizat în care urmează să se inroducă coloana de plasmă, în perioada timpului T2. În timpul T3 descărcările electrice în impuls

Ingineria Mediului şi Antreprenoriatul Dezvoltării Durabile – Vol. 3, Nr. 2 (2014)

plasma column the first removing activities of melted micro particles are achieved in order to process the piece electrode through electrical erosion. Finally, the T4 time of the melting and vaporization process, forming the crater of melted material of the vapour layer. The T5 time refers to the solidification processes by “washing the material”. Melting is governed by a problem limited to the free border (a discontinuous Stefan problem), combined with a classical limit condition which is replaced with a Spline Regression. Solidification is achieved through the process of “material washing”, a process depending on a large range of factors. For this purpose, we proposed a Fuzzy modelling and the FAHP algorithm. We approached this study on a very good electricity conductor appropriate to be used for the piece electrode, but of high quality, used in numerous special products, for parts with strong structures, planes, metallic constructions, military equipment, rivets, and can be processed at high temperatures, welded, with high mechanical resistance, good mechanical characteristics and corrosion resistance only if treated at the surface, and has other protections. The results of this modelling can represent a starting point in order to optimize new technologies used in EDM, such as devices to maintain the optimal distance between the tool electrode and piece electrode, respectively the devices used in the control of the dielectric used in “washing the solidified material”.

prin coloana de plasmă se ajunge la primele activități de dezlocare a microparticulelor de metal topit în vederea prelucrării prin eroziune electrică a electrodului piesă. În sfârșit, timpul T4 a procesului de topire și vaporizare, formându-se craterul de material topit a stratului de vapori. În ceea ce privește timpul T5 acesta se referă la procesele de solidificare prin “spălarea materialului”. Topirea este guvernată de o problemă la limită cu frontieră liberă (o problemă Stefan de tip discontinuu), combinată cu o condiție la limită clasică care este înlocuită cu o regresie de tip Spline. În ceea ce privește solidificarea, aceasta se realizează prin procesul de “spălare a materialului”, proces dependent de o întreagă gamă de factori. În acest scop am propus o modelare Fuzzy și algoritmul FAHP. Am abordat acest studiu pe un material foarte bun conducător de electricitate și care corespunde a fi folosit pentru electrodul piesă, dar care este și de mare calitate, folosit în numeroase produse speciale, pentru componente cu structuri rezistente, avioane, construcții metalice, echipamente militare, nituri, fiind prelucrabile la temperaturi inalte, sudabil, având rezistență mecanică ridicată, caracteristici mecanice bune și rezistență la coroziune doar dacă este tratat la suprafașă sau are alte protecții. Rezultatele acestei modelări pot constitui baze de plecare în vederea optimizării unor tehnologii noi care sunt folosite în EDM, cum ar fi aparatele de menținere optimală a distanșei dintre electrodul sculă și electrodul piesă, respectiv al dispozitivelor folosite în controlul dielectricului folosit în “spălarea materialului solidificat”.

2. Jump-type Stefan problem for the EDM process

2. Problema lui Stefan de tip salt pentru procesul EDM

It is known that in the EDM process very small diameter craters are obtained and by micro melting these craters increase their volume. If S(t) is the crater frontier, that is a surface separating the liquid from solid materials, then the surface S(t) changes, more exactly it moves from the liquid to the solid part. The Surface S(t) is called free or variable frontier. The solution to a Stefan problem consists in determining the free frontier and the solution of the equation, besides satisfying the initial condition, the lim it classical condition and the heat flow jump in the points of the free frontier.

Este cunoscut că în procesul EDM se obțin cratere de diametre foarte mici și prin microtopire aceste cratere își măresc în timp volumul. Dacă S(t) este frontiera craterului, adică o suprafață care separă partea de material lichid de cea solidă, atunci, în timp suprafața S(t) se modifică, mai exact se deplasează dinspre partea lichidă înspre cea solidă. Suprafața S(t) se numește frontieră liberă sau frontieră variabilă. Rezolvarea unei probleme Stefan constă în determinarea frontierei libere cât și a soluției ecuației Fourier-Kirchhoff, care satisface în plus condiția inițială, condiția la limită clasică și condiția de salt a fluxului termic în puctele frontierei libere. 13

Environmental Engineering and Sustainable Development Entrepreneurship – Vol. 3, No. 2 (2014)

These limit conditions suppose the knowledge of the heat flow or an approximation thereof. We present in Figure 2 the geometric image of the distribution of the heat flow for the Gauss model and the regression cubic spline model. Below we present the three types of conditions on the general solution. These conditions allow the unique mode of determination of the integration constants from the general condition and, therefore, of the unique solution of the Fourier-Kirchhoff equation.

Aceste condiții la limită presupun cunoașterea fluxului termic sau o aproximare a acestuia. Prezentăm în figura 2, imaginea geometrică a distribuției fluxului termic pentru modelul Gauss și modelul spline cubic de regresie. În cele ce urmează prezentăm cele trei tipuri de condiții asupra soluției generale. Aceste condiții permit determinarea în mod unic a constantelor de integrare care intervin în soluția generală și, deci, a soluției unice a ecuației Fourier-Kirchhoff.

b.)

a.) Figure 2. The geometrical image of the distribution of the heat flow for the Gauss model a). cubic spline b). regression.

In the theory of Stefan problems, these are divided into two categories: a) Continuous Stefan problems, corresponding to the crystallization (solidification), respectively the decrystallization (melting) of materials, slow and needing a longer time. Mathematically, this affirmation is expressed by requiring the heat flow, crossing the free frontier to be continuous function in its points. b) The jump Stefan problems occur when the crystallization, respectively the decrystallization processes are quick in time and at very high temperatures, that is the heat flow is discontinuous in the points of the free frontier, which supposes the admission of a a jump. Therefore, the theoretical study in EDM is achieved by using the Stefan problem, applied to the determination of the field realized by micro melting. For this reason, the three types of conditions will take into consideration the formula for case b). In the cylindrical coordinates, the FourierKirchhoff equation is:

În teoria problemelor Stefan, acestea se împart în două categorii: a) Probleme Stefan de tip continuu, care corespund cristalizării (solidificării) respectiv decristalizării (topirii) materialelor, lent și în timp mai îndelungat. Matematic, această afirmație se exprimă prin a cere ca fluxul termic, care străbate frontiera liberă să fie funcție continuă în punctele acesteia. b) Problemele Stefan de tip salt apar atunci când procesul de cristalizare, respectiv decristalizare se produce rapid și în timp foarte scurt și la temperaturi foarte înalte, adică fluxul termic este discontinuu în punctele frontierei libere, ceea ce presupune să admită un salt. Deci, studiul teoretic in EDM se realizează folosind problema Stefan de tip salt, aplicată la determinarea câmpului realizat prin microtopire. Din acest motiv, cele trei tipuri de condiții vor ține seama de formularea pentru cazul b). În coordonatele cilindrice, ecuația FourierKirchhoff, este:

T  2T 1 T  2T  a2  ( 2    ) t r r z 2 r The general solution in the Bessel sense is:

Soluția generală în sens Bessel este:

T (t , r , z )  R0 ( L, M )  Z 0 (M )  T0 ( L)  J 0 (r  L2  M 2 T (0, r , z )  T0 14

(2.1)

(2.2) (2.3)

Ingineria Mediului şi Antreprenoriatul Dezvoltării Durabile – Vol. 3, Nr. 2 (2014)

(1) n  x  J 0 ( x)  n0   (n!) 2  2  T0  R0 ( L, M )Z 0 (M )T0 ( L) n

The initial condition, on the limit discontinuous Stefan-type leads to: a. The initial condition (conventional) This condition indicates the behaviour of the

(2.4) (2.5)

Condiția inițială, la limită și Stefan de tip discontinuu conduce la: a. Condiția inițială (convențională) Această condiție indică comportamentul

heat field T (t , x, y, z ) at the moment

t 0 .

Consequently we have to know a

function

În consecință trebuie să cunoaștem o funcție

w( x, y, z ) , therefore the restriction of T la t  0

w( x, y, z ) , astfel încât restricția lui T la t  0 să

to coincide with

coincidă cu

w , that is:

câmpului termic T (t , x, y, z ) la momentul

t 0.

w , adică:

T (t , x, y, z) t 0  w( x, y, z ) In general, w is the value of the temperature of the environment. b. Limit condition In the case of EDM, the limit condition is Neumann-type. If

q * is the heat flow, that is:

(2.6)

În general, w este valoarea temperaturii mediului ambiant. b. Condiția la limită În cazul EDM, condiția la limită este de tip Neumann. Dacă

q * este fluxul termic, adică :



q *    T , n  3

(2.7)

q * : [0, )  S *   where S * is the contact

q * : [0, )  S *   unde S * este suprafața de

surface on the processed piece with the heat flow mentioned in Figure 2. Consequently, we have a continuous

contact de pe piesa prelucrată cu fluxul termic precizată în figura 2. În consecință se dă o funcție

function

s : [0, )  S *   , so that it is

produced the Neumann limit condition:

continuă s : [0, )  S

  , astfel încât să aibă

loc condiția la limită Neumann: 

q *    T , n  3  s

(2.8)

unde:

where:

 - is a given constant

 - este o constantă dată

T - the gradient of the heat field

T - gradientul câmpului termic



n - is the normal exterior to

n - este normala exterioară la

,  3 - the scalar composition in  .

,  3 - produsul scalar în 3 .

The stability theory insists on the limit conditions where this must be most accurate in the relation with the studied problem. This is the reason why we introduced the spline function. In Figure 2 a) and b) where we note at

r  w0

În teoria stabilității se insistă asupra condițiilor la limită, unde se cere aceasta să fie cât mai precise în raport cu problema studiată. Acesta este motivul pentru care am introdus funcția spline. În figura 2 a) și b) în care se observă că la

r  w0

perturbation phenomena can occur, larger in the Gauss case and smaller in the spline case. In these

pot să apară fenomene de perturbații mai mari în cazul Gauss și foarte mici în cazul spline. În aceste

figures w and

figuri apar

w0 appear, representing the beam of

distribution of the heat field, respectively its minimum beam. Consequently we should have:

și

, care reprezintă raza

distribuției câmpului termic, respectiv raza maximă a acestuia. În consecință ar trebui să avem: 15

Environmental Engineering and Sustainable Development Entrepreneurship – Vol. 3, No. 2 (2014)

q* c.

(2.9)

The limit jump type Stefan condition (non-conventional) As mentioned before, on the variable frontier S (t ) , fig. 2, we put non-classical

Condiția la limită Stefan de tip salt (neconvențională) Așa cum am menționat, pe frontiera variabilă S (t ) , fig. 2, se pun condiții neclasice,

conditions, that is conditions which are neither Dirichlet nor Neumann.

adică condiții care nu sunt nici Dirichlet și nici Neumann.

q * (t , x, y, z ) , ( x, y, z)  S (t ) and

[q * ] the q * jump results, and the condition at the S (t ) frontier is:

Dacă

q * (t , x, y, z ) , ( x, y, z)  S (t ) și

[q * ] rezultă saltul lui q * , iar condiția la frontiera S (t ) este:

[q * ]( x, y, z )   where:   0 is an empirical constant depending on the type of micro melted material and the intensity of the electricity applied in the EDM process. In the appliances to follow on this newlyproposed model, we can highlight the manner of presentation of the constants the following figure, S

w0 ,  and  . In

is shown the contact

unde:

(2.10)

 0

este o constantă empirică, care

depinde de tipul de material microtopit și de intensitatea curentului electric aplicat în procesul EDM. În aplicațiile ce vor urma pe acest model nou propus se vor evidenția modalitățile de precizare a constantelor w0 ,



and

.

În figura următoare,

q * flow with the processed piece,

S se arată suprafața de contact a fluxului q * cu piesa prelucrată, S (t ) este frontiera liberă,

S (t ) is the free frontier, M L the material in liquid

M L materialul în stare lichidă M S materialul în

state

stare solidă.

surface of the

M S the material in solid state.

Figure 3. The crater image with solid and liquid material.

3. The FAHP algorithm in the case applied in the case of optimization of the distance between the tool and piece electrodes

3. Algoritmul FAHP aplicat în cazul optimizării distanței dintre electrodul sculă și electrodul piesă

The FAHP abbreviation means the use of Fuzzy logics in the AHP algorithm (the hierarchical process analysis). We use the essential property of the weighted average of the proper vector theory, written by:

Abrevierea FAHP înseamnă folosirea logicii Fuzzy în algoritmul AHP (analiza ierarhică a proceselor). Folosim proprietatea esențială a madiei ponderate generală de teoria vectorilor proprii, scisă prin:

Ingineria Mediului şi Antreprenoriatul Dezvoltării Durabile – Vol. 3, Nr. 2 (2014) n

d   wk  d k

(3.1)

k 1

where: -

wk are the best approximation weights

and,

unde: -

wk sunt ponderile de cea mai bună

aproximație iar, -

d k represents the measured distance

between the two electrodes, tool and piece, depending on time. Consequently, the FAHP algorithm is reduced to determining the weights

wk , k  1  n

and the experimental research. The first step is to define the characteristics of the studied phenomenon, in this case we have eight essential characteristics defined that we present in Table 1.

d k reprezintă distanța măsurată dintre

cei doi electrozi, sculă respectiv piesă, în funcție de timp. În consecință algoritmul FAHP se reduce la determinarea

ponderilor

wk , k  1  n

și

cercetarea experimentală. Pasul întâi este de a defini caracteristicile fenomenului studiat, în cazul de față avem definite opt caracteristici esențiale pe care le prezentam în tabelul 1.

Table 1. Essential characteristics of the EDM processes

No.

ASSIGNED FUZZY No.

MEANING

CR1

The degree of electrodes to be good electricity conductors

CR2

The degree of the electricity generator fo provide a tension and a current in the form of an impulse

CR3

The level of avoiding the physical and electrical contact of electrodes

CR4

The quality level of the dielectric of concentration of energy for each electrical discharge facilitating the firing thereof in order to copy the form of the tool electrode

CR5

The degree of modification of the dielectric and composition properties of the work gap.

CR6

The plastic deformation level of the tool and piece electrodes surfaces after the EDM processes

CR7

The level of reduction of the usage of the tool electrode

CR8

The speed of removing the tool electrode from the piece electrode

The used Fuzzy numbers are cutting triangular, represented in Figure 4, and the immersion in the set of intervals is given by the formulae (3.2).

~ 7 ~ 1 3 ~ 9 ~ 1 1 ~ 5 ~ 1 1 ~ 9 ~ 1 3

Numerele Fuzzy folosite sunt cele triunghiulare de tăietură, reprezentate in figura 4, iar scufundarea în mulțimea intervalelor este dată de formulele (3.2).

Figure 4. The geometrical image of the Fuzzy cutting numbers.

Environmental Engineering and Sustainable Development Entrepreneurship – Vol. 3, No. 2 (2014)

For the triangular Fuzzy numbers, the general member function is defined by:

 0,  x  a ,  b  a  A ( x)   c  x , c  b   0,

Pentru numerele Fuzzy triunghiulare funcția membru generală se definește prin:

xa x  [ a, b] (3.2)

x  [b, c] xc

Formulele generale pentru numerele Fuzzy

The general formula for the cutting triangular

Fuzzy numbers 1 , (2k  1)  , immersed in the

triunghiulare de tăietură 1 , (2k  1)  , scufundate

aggregate of intervals on ℜ have the formula:

în mulțimea intervalelor de pe ℜ au formulele:

~ 1  [1, 3  2 ] ~

(2k  1)  [2k  1  2 , 2k  3  2 ], The organization in the arrays MOF supposes the knowledge of the inverses of theses Fuzzy numbers, which are defined by:

(2k  1)

1



parameters,

 ,   [0,1].

These

two

parameters are put at the user’s disposal in order to obtain an optimal mathematical modelling, if the used is in good knowledge of the studied phenomenon, completed by the assignment of the Fuzzy numbers to the essential characteristics. It is compulsory to make an analysis regarding the choice of the parameters:  - the Fuzzy cutting parameter,



(3.3)

Organizarea în matricile MOF presupune cunoașterea inverselor acestor numere Fuzzy, care sunt definite prin:

~ 1  1  1   , 1  3  2  1 1   ,    2k  3  2 2k  1  2 

Therefore, each Fuzzy number is immersed (an equivalent is taken) in a proper number. This double immersion of the Fuzzy numbers allows the numeric processing of the linguistic materials. We note that the two immersions introduced two

k  1 n

- the convex combination parameter.

În scufundă Această permite ligvistice. Se

(3.4)

acest fel fiecare număr Fuzzy se (se ia echivalent) într-un număr real. dublă scufundare a numerelor Fuzzy prelucrarea numerică a informațiilor observă că cele două scufundări au

introdus doi parametri,

 ,   [0,1].

Acești doi

parametri sunt puși la dispoziția utilizatorului în vederea obținerii unei modelări matematice optimale, dacă utilizatorul este în bună cunoștință față de fenomenul studiat, completat cu atribuirea numerelor Fuzzy caracteristicilor esențiale. Este obligatoriu să facem o analiză privind alegerea parametrilor:  - parametrul Fuzzy de tăietură,

 - parametrul combinației convexe.

Ingineria Mediului şi Antreprenoriatul Dezvoltării Durabile – Vol. 3, Nr. 2 (2014)

The first immersion of the Fuzzy number in the interval means

  [0,1]

~ i

which has a

1 2

probabilistic interpretation. If   0,   [0, ) , we require the projection to be achieved in a longer interval, that is we are in a pessimistic situation of

1 2

achieving the aimed goals. If   1,   ( ,1] , we are certain that the process is almost surely realized. If

1 the phenomenon is balanced. 2

 ,

Consequently we have:

1 2

1)   [0, ) , the phenomenon is pessimistic, 2)  

1 3)   ( ,1] , the phenomenon is optimistic. 2 A similar study is reproduced in the relation

processes we choose

1 2

  (1, ) ,

. and

For



1 2

înseamnă

  [0,1]

care

are

interpretare probabilistică. Dacă   0,   [0, 1 ) , 2 cerem ca proiecția să se facă pe un interval tot mai mare, adică suntem într-o situație pesimistă de realizare a efectelor urmărite. Dacă

1 2

  1,   ( ,1] , avem certitudinea că procesul se realizează aproape sigur. Dacă  

1 fenomenul , 2

este ponderat. În consecință avem:

1 2

4)   [0, ) , fenomenul este pesimist,

1 2

6)   ( ,1] , fenomenul este optimist. Un studiu cu totul analog se reproduce relativ la parametru de convexitate

weak

1 for 2

the balanced case, where the immersion is realized in arithmetical average. And for

  ( ,1]

interval

~ i în

5)   1 , fenomenul este ponderat, 2

1 , the phenomenon is balanced, 2

with the convexity parameter

Prima scufundare a numărului Fuzzy

the process is supposed optimist.

This double immersion (defuzzification) offers the operator the possibility to intervene if the weighted deflects too much from the empirical measurements. For our proposal, these information can be stated as follows:

procese slabe alegem

.

Pentru

1 1 , iar   2 2

  (1, )

pentru cazul moderat, caz în care scufundarea se realizează în media aritmetică. Iar pentru

1 2

  ( ,1]

procesul se presupune optimist.

Această dublă scufundare (defuzzyficare) dă posibilitatea operatorului să poată intervenidacă constată că media ponderată se abate prea mult de măsurătorile empirice. Pentru propunerea noastră aceste informații se pot formula în modul următor:

Figure 5. The logical diagram of movement in EDM.

Environmental Engineering and Sustainable Development Entrepreneurship – Vol. 3, No. 2 (2014)

With the proposals for the characteristics and logical diagram, we can introduce fuzzy numbers for the matrices C1, C2 and G respectively.

Cu propunerile pentru caracteristici și schema logică se pot introduce numere Fuzzy și pentru matricile C1, C2 și, respectiv G

Table 2. Fitting up with Fuzzy numbers.

In this way, the fuzzification process is complete and is presented as follows:

În acest mod procesul de fuzzificare este complet și arată după cum urmează:

3.1. The fuzzification characteristics

3.1. Fuzzyficarea caracteristicilor esențiale

CRk ,

the

essential

k  1  8 , on the basis of the logical

CRk ,

k  1  8 , pe baza schemei logice

diagram presented in figure 5, we can write, for MOF1 matrix:

prezentată în figura 5, putem să scriem, de exemplu, pentru MOF1, va fi:

The second step, preparing the defuzzification process is to immerse the Fuzzy numbers in the aggregate of the finite intervals on ℜ. For this purpose, we use the equations from 3.3 and for the opposite.

A doua etapă, care pregătește procesul de defuzzyficare este să scufundăm numerele Fuzzy în mulțimea intervalelor finite de pe ℜ. În acest scop folosim ecuațiile de la 3.3 iar pentru inverse 3.4.

3.2. The defuzzification process The deffuzzification in the first phase contains the step of immersion in intervals, using 3.3 and 3.4 equations. At the end, the immersion in ℜ occurs, in our case, by using the convex combination of an interval. Therefore we have, for these three cases, moderate, optimist, pessimist, for MOF1: Moderate case:

3.2. Procesul de defuzzyficare Defuzzyficarea în prima fază conține etapa scufundării în intervale folosind ecuațiiale 3.3 și 3.4. În final scufundarea în ℜ se produce, în cazul de față, prin folosirea combinației convexe a unui interval. În concluzie, pentru matricea MOF1, pentru cele trei cazuri, moderat, optimist, pesimist, avem: Caz moderat:

Ingineria Mediului şi Antreprenoriatul Dezvoltării Durabile – Vol. 3, Nr. 2 (2014)

Optimist case:

Caz optimist:

Pessimist case:

Cazul pesimist:

The same method for all seven matrices then pass to the method eigenvalues and eigenvectors using MATLAB.

Se aplică aceeași metodă pentru toate cele șapte matrici după care se trece la aplicarea metodei valorilor și vectorilor proprii cu ajutorul programului MATLAB.

3.3. The application of the proper values and vectors in determining the best approximation weights:

3.3. Aplicarea metodei valorilor și vectorilor proprii în determinarea ponderilor de cea mai bună aproximație:

Figure 6. Flowchart of local weights.

Environmental Engineering and Sustainable Development Entrepreneurship – Vol. 3, No. 2 (2014)

w1  w11  w21  w51  w71

w5  w15  w32  w62  w72

w2  w12  w22

w6  w16  w41  w61  w71

w3  w13  w23

w7  w17  w42  w62  w72

w4  w14  w31  w61  w71

w8  w18  w43

Figure 7. Histogram of global weights.

4. Conclusions

4. Concluzii

The exposure work area led us to edge our description of these two optimization models. We consider it is essential to continue to work with many case studies and make a comparison between the results obtained. These two optimization methods can be applied not only separately, but also combined.

Spațiul acordat expunerii lucrării ne-a condus la a ne mărgini în prezentarea celor două modele de optimizare. Apreciem că este obligatoriu să continuăm lucrarea cu mai multe studii de caz și să se facă o comparație între rezultatele obținute. Cele două metode de optimizare se pot aplica separat, respectiv combinate cât și prezentarea rezultatelor.

Refrences [1] [2] [3] [4]

[5] [6] [7]

Potra, L. F., Soporan, F. S, “The EDM processes studied using the cubic spline of regression type Stefan’s problem”, Acta Technica Napocensis, Series: Applied mathematics and Mechnics, Vol. 56, Issue 1, 2013; Yeo, S. H., Kurnia, W., Tan, P. C., “Critical assessment and numerical comparison of electro-thermal models in EDM ”, School Mechanical and Aerospace Engineering, Turkey, 2007; Novricki, B., Dmonska, A., Podolak, A., “Morphology of traces made by individual electric discharge in EDM”, Advences in Manufacturing Science and Technology, Vol. 33, 2009; Potra, L. F., Soporan, F. S, “Pollution analysis of processes using electro-erosion through the fuzzy AHP alorithm”, Acta Technica Napocensis, Series: Environmental Engineering and Sustainable Development Entrepreneurship, Vol. 2, Issue 1, 2013; Vișan, A., Ionescu, N., „Tehnologii de prelucrare prin electroeroziune 1”, Universitatea Politehnic[ București: Ayan, Z., “A combined fuzzy AHP – simulation approach to CAD software selection”, International Journal of General System, Vol. 39, no 7, 2010; Ozdagoglu, A., Ozdagoglu, G., “Comparison of AHP for the multi-criteria decision making processes with linguistic evaluation”, Istambul Ticaret Universitesi Fen Bilimleri Dergisis Yil, 2007.

Acknowledgment This paper was supported by the project “Increasing the attractiveness and performance training programs for doctoral and post doctoral research in engineering sciences - ATRACTING”, financing contract no. POSDRU/159/1.5/S/137070 code SMIS 5295. 22

Mulțumiri Acest articol a fost realizat in cadrul proiectului „Creșterea atractivității și performanței programelor de formare doctorală și postdoctoralăpentru cercetări în șiințe inginerești – ATRACTING”, contract de finanțare POSDRU/159/1.5/S/137070, cod SMIS52950.

Curriculum Vitae

Informaţii personale Nume / Prenume Adresa Mobil E-mail

Ureche (căs. Potra), Florina Liliana Str. Fantanele Nr. 40, bl. V5, ap. 20, Cluj-Napoca, Jud. Cluj 0741659525 potraflorina@yahoo.ro

Naţionalitate

română

Data naşterii

27/01/1986

Sex

Feminin

Experienţa profesională Perioada Funcția sau postul ocupat Activități și responsabilități principale Numele şi adresa angajatorului

01/10/2011 - prezent Doctorand Elaborare teză de doctorat și articole aferente acesteia Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, Facultatea de Ingineria Materialelor și a Mediului, Catedra de Ingineria Materialelor, Bd. Muncii 103-105 Cod 400641 Cluj-Napoca, România

Perioada Funcţia sau postul ocupat Activităţi si responsabilităţi principale

04/02/2009 - 04/06/2009 Studentă Elaborare proiect diplomă licenţă

Numele şi adresa angajatorului

Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, Facultatea de Inginerie Electrică, Catedra Masini Electrice Management si Marketing, Str. Cons. Daicoviciu nr. 25, 400020 Cluj - Napoca

Tipul activităţii sau sectorul de activitate

Inginerie Electrică, Sistem de vizualizare si monitorizare a componentelor motoarelor electrice

Perioada Funcţia sau postul ocupat Activităţi si responsabilităţi principale Numele şi adresa angajatorului

01/03/2008 - 01/07/2008 Studentă Proiectare instalaţie electrică de joasa tensiune pentru hală industrială Universitatea Tehnică din Cluj Napoca, Facultatea de Inginerie Electrică, Catedra Electroenergetica, Str. Cons. Daicoviciu nr. 25, 400020 Cluj - Napoca 01/03/2007 - 01/07/2007 Studentă Proiectare transformator electric Universitatea Tehnica din Cluj Napoca, Facultatea de Inginerie Electrică, Catedra Masini Electrice Management si Marketing, Str. Cons. Daicoviciu, nr 26-28, 400027 Cluj-Napoca (România)

Educaţie şi formare Perioada Funcția sau postul ocupat Activități și responsabilități principale Numele şi adresa angajatorului

Perioada Activităţi si responsabilităţi principale Disciplinele principale studiate

Numele şi tipul instituţiei de învăţământ / furnizorului de formare

Perioada Calificarea / diploma obţinută Disciplinele principale studiate

Numele şi tipul instituţiei de învăţământ / furnizorului de formare Perioada Diploma obţinută

Numele şi tipul instituţiei de învăţământ / furnizorului de formare Perioada Certificare / Diploma obţinută Numele şi tipul instituţiei de învăţământ / furnizorului de formare Perioada Certificare / Diploma obţinută Numele şi tipul instituţiei de învăţământ / furnizorului de formare

04/02/2009 - 04/06/2011 Masterandă, pregatire pentru elaborarea proiectului de disertaţie - Calitatea energiei electrice - Inteligentă artificială -Tehnici de promovare a produselor si serviciilor Universitatea Tehnică din Cluj Napoca (Facultatea de Inginerie Electrică) Str. Constantin Daicoviciu nr 25, 400020 Cluj - Napoca (România)

2005 – 2009 Inginer electrotehnist - teoria circuitelor electrice; - electronică; - maşini electrice; - echipamente electrice; - electronică de putere; - calitate şi fiabilitate; - instalaţii electrice; - management si marketing; - comunicare in afaceri; - informatica si soft. Universitatea Tehnică din Cluj Napoca (Facultatea de Inginerie Electrică) Str. Constantin Daicoviciu nr 25, 400020 Cluj - Napoca (România) Mai 2010 Premiul II, pentru lucrarea stiintifică: „ Eficienta reclamei in lansarea unui nou produs pentru o firma de prelucrare a lemnului „ prezentată la Sesiunea Cercurilor Stiintifice Studentesti, Editia 45, Facultatea Inginerie Electrică, Sectia Management si Marketing Universitatea Tehnică din Cluj Napoca, Facultatea de Inginerie Electrică, Str. Constantin Daicoviciu nr 25, 400020 Cluj - Napoca (România) Aprilie 2006 Training: Comunicare in afaceri Agenţia Naţională Pentru Sprijinirea Initiaţivelor Tinerilor(ANSIT) Str. Demetru Ion Dobrescu, nr. 4-6, Sector 1, 010026 Bucuresti (România) 2001 – 2005 Atestat in informatică Grup Scolar de Informatică si Electrotehnică Bistrita, Clasa matematica intensiv-informatică, Calea Moldovei 20, Bistrita, 420110.

Aptitudini şi competenţe personale Limba maternă Limbi străine cunoscute

Română Autoevaluare Nivel european(*)

Intelegere Ascultare Citire

Engleză

B2 Utilizator independent

Franceză

B2 Utilizator independent

Vorbire Participare Discurs la conversatie

Scriere Exprimare scrisa

B2 Utilizator independent (A2) Utilizator elementar

(*)Nivelul Cadrului european comun de referinPă (CECR)

Competenţe şi abilităţi sociale

- spiril de echipă dobândit; - capacitate de adaptare si dorintă de invătare, - sociabilă.

Competenţe şi aptitudini organizatorice

- capacitate de organizare dezvoltată în urma activităţilor desfăşurate în cadrul organizaţiei studenţilor OSUT;

Competenţe şi aptitudini de utilizare a calculatorului

- o bună stăpânire a instrumentelor Microsoft Office™ (Word™, Excel™ si PowerPoint™);

Permis de conducere

Cluj-Napoca, 01.02.2015

- cunoştinţe în utilizarea Mathcad, Autocad, LabView, NI Visison Builder. Categoria B

drd.ing. Florina Liliana URECHE (căs. POTRA)