u r n.
УДК 62-278
i k a
РАСЧЕТ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГОФРИРОВАННОЙ В
v u .
ОКРУЖНОМ И РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ МЕМБРАНЫ В.Ф. УВАКИН, В.Б. ОЛЬКОВА
w w
Институт техники, технологии и управления
w
Балаково
Полученные ранее нелинейные дифференциальные уравнения плоской
u r . n i k
анизотропной мембраны в области больших перемещений решены с использованием метода «наложения», найдено аналитическое выражение для
a v .u
упругой характеристики гофрированной в окружном и радиальном направлениях мембраны, дан анализ свойств мембран нового типа, определены
w w
выражения для коэффициентов анизотропии k1i и kjp для синусоидального
r. u
профиля волн гофр.
n i k a v u . w w w
w
Cистема нелинейных дифференциальных уравнений в безразмерных
параметрах плоской анизотропной мембраны в больших перемещениях имеет вид:
где ψ = −
ρψ "+ψ '− β 2 ⋅ ρϑ"+ϑ '− β 2 ⋅
ψ k1r ϑ 2 = ⋅ ; ρ k tp 2
(1)
pR 2 ϑ R ρ ; = − ψEhϑ + 2 ρ Dпр 2
Tr r r - функция радиального усилия; ρ = - безразмерный радиус EhR R
мембраны; β = 2
k rp k1r k tp k1t
u r . in
- безразмерный параметр; ϑ - угол поворота норма-
k a v u .
ли к срединной поверхности мембраны; Dпр = D ⋅
w w
w
(1 − µ ) 2
⋅
u r . n i k
k tp
k k k 1 − µ 2 1r 1t 1r k tp k rp
a v .u
- приве-
денное значение изгибной жесткости гофрированной по двум направлени-
w w
ям мембраны; Tr - растягивающая сила в радиальном направлении, отне-
w
сенная к единице длины дуги; р – давление на мембрану; Е – модуль упругости материала мембраны; µ - коэффициент Пуассона; h – толщина мем-
u r n.
браны; R, r – наружный и текущий радиусы мембраны; k1r, krp и k1t, ktp –
i k a
коэффициенты анизотропии в радиальном и окружном направлениях пло-
v u .
ской анизотропной мембраны, зависящие только от геометрии профиля волн гофр и толщины мембраны (символ ()' означает производную
w w
w
d () ). dρ
Нелинейные уравнения (1) можно решить с использованием метода «наложения».
u r . n i k
Основная идея метода наложения заключается в том, что сопротивление мембраны внешней нагрузке рассматривается как сумма сопротивле-
a v .u
ний изгибу и растяжению.
Сопротивление мембраны изгибу определяется по линейной теории, а
w w
r. u
сопротивление растяжению – из расчета абсолютно гибкой мембраны. Ис-
w
n i k a v u . w w w
комое решение определяется «наложением» этих двух решений, т.е. приравниванием суммы сопротивлений мембраны на изгиб и на растяжение внешней нагрузке:
где р =
p = pи + р р ,
рR 4 - безразмерный параметр давления; р и характеризует сопроЕh 4
тивление мембраны изгибу, а р р - сопротивление растяжению. Предположим, что упругая характеристика гофрированной мембраны описывается кубическим уравнением
n i k
.ru
p=a
a v .u
ϖ0 h
+b
ϖ 03 h3
,
(2)
u r . n i k
где линейный член соответствует сопротивлению эквивалентной анизотропной мембраны изгибу и определяется из решения задачи о малых про-
w w
a v .u
гибах мембраны, кубический член характеризует сопротивление мембра-
w
ны растяжению, для его определения необходимо рассмотреть задачу об
w w
абсолютно гибкой анизотропной мембране; ϖ0 – прогиб центра мембраны под действием давления р.
w
u r n.
Уравнения мембраны при малых прогибах и абсолютно гибкой мем-
i k a
браны можно получить как предельные случаи из дифференциальных
v u .
уравнений (1) плоской анизотропной мембраны в больших перемещениях. Проведем решение для мембраны, защемленной по наружному конту-
w w
ру, без жесткого центра, с постоянными глубинами волн гофр в окружном
w
и радиальном направлениях.
Полагая при малых прогибах функцию растягивающего усилия ψ=0,
u r . n i k
получим из системы (1) линейное уравнение плоской анизотропной мембраны ρϑ"+ϑ '− β 2
где λ p =
ϑ = λpρ 2, ρ
r. u
pR 3 - параметр нагрузки. Dпр
n i k a v u . w w w
a v .u
w w
w
Решение этого линейного уравнения запишем в виде ρ3 β −β ϑ = λ р С1 ρ + d 1 ρ + 9−β2
.
(3)
Постоянные интегрирования С1 и d1 определяются из следующих гра-
ничных условий: в центре (ρ=0) и на контуре (ρ=1) угол поворота ϑ = 0 . Отсюда С1 = −
1 и d1=0. 9−β2
Подставляя постоянные интегрирования С1 и d1 в выражение (3) для ϑ , получим угол поворота ϑ=
k a v u .
u( r . in λp
9−β2
ρ 3 − ρ β ).
(4)
u r . n i k
Угол поворота ϑ нормали к срединной плоскости пластинки является
w w
производной вертикального прогиба ϖ по радиусу r:
w
ϑ=
dϖ . dr
w w
a v .u
Тогда относительный прогиб центра мембраны определяется как ϖ0 R
0
= ∫ ϑdρ . 1
w
(5)
u r n.
Подставляя сюда угол поворота из формулы (4), получим ту часть дав-
i k a
ления, которая определяет сопротивление мембраны изгибу pR 4 Eh
4
v u .
2k tp (3 + β )(1 + β ) ϖ 0 = ⋅ . h k k и 3k1r 1 − µ 2 1r 1t k tp k rp
w w
(6)
w
Для определения кубического члена характеристики (2) при весьма больших прогибах гофрированной мембраны запишем уравнения абсо-
u r . n i k
лютно гибкой мембраны, которые получаются из системы (1), если положить в ней изгибную жесткость Dпр=0
ψ k1r ϑ 2 ⋅ ; ρψ "+ψ '− β ⋅ = ρ k tp 2
a v .u
2
r. u
ψϑ = p 0 ρ 2 ,
n i k a v u . w w w где p 0 =
pR - параметр нагрузки. 2 Eh
w w
(7)
w
Уравнения (7) решаем методом Бубнова-Галеркина, задаваясь законом
изменения угла поворота ϑ = Cρ ,
(8)
это соответствует упругой поверхности, близкой к сферической. Подставляя ϑ из (8) в первое уравнение системы (7), после интегриро-
вания получим C 2 k1r ψ= 2k tp
k a v u .
ρ3 β −β 9 − β 2 + aρ + bρ
u r . in
.
(9)
Постоянная интегрирования b=0, т.к. в центре мембраны (ρ=0) растяги-
u r . n i k
вающее усилие имеет конечное значение (ψ≠∝). Постоянная а зависит от способа закрепления мембраны по наружному контуру. Если радиальное
w w
a v .u
смещение невозможно, то на контуре окружная деформация εtp=0. Вели-
w
w w
чина εtp связана с усилиями Тr и Тt законом Гука ε tp =
w
k tp Tt − k1r µTr . k tp k1r Eh
Граничное условие ε tp
ρ =1
u r n.
= 0 , выраженное в безразмерных величинах
имеет вид
i k a
v u .
ψ '− µ
w w
k1r ψ ⋅ k tp ρ
=0.
(10)
ρ =1
Из этого равенства находим постоянную а
w
a=−
(3k tp − µk1r ) 1 ⋅ . 9 − β 2 (βk tp − µk1r )
u r . n i k
Подставляя угол поворота ϑ (8) и функцию ψ (9) во второе уравнение
a v .u
системы (7), умножим его на ρ в соответствии с методом БубноваГалеркина и проинтегрируем в пределах изменения ρ, т.е. от 0 до 1. В ре-
w w
зультате получим
r. u
n i k a v u . w w w
w
1 p0 3k tp − µk1r C k1r . − = k tp (9 − β 2 ) 6 ( βk tp − µk1r )( β + 3) 2 3
(11)
Постоянную С можно выразить через прогиб ϖ0 центра мембраны с
помощью выражений (5), (8)
откуда C = −
0
0
ϖ 0 = ∫ ϑdr = CR ∫ ρdρ = − R
1
CR , 2
2ϖ 0 . R
Используя последние соотношения, находим кубический член характеристики (2) pR 4 4 Eh
u r . in
3k tp − µk1r 32k1r 1 ϖ 03 = − ⋅ 3 . 2 p k tp (9 − β ) ( βk tp − µk1r )( β + 3) 6 h
k a v u .
(12)
u r . n i k
Суммируя выражения (6) и (12) в соответствии с методом наложения, получим уравнение упругой характеристики гофрированной по двум ко-
w w
a v .u
ординатным осям мембраны в больших перемещениях
w
pR
4
Eh
4
=a
ϖ0 h
+
ϖ 03 b 3 h
,
w
w w
(13)
где а =
2k tp (3 + β )(1 + β ) k k 3k1r 1 − µ 2 1r 1t k tp k rp
u r n.
3k tp − µk1r 1 − . (14) 2 ( βk − µk )( β + 3) 6 k tp (9 − β ) tp 1r 32k1r
; b=
i k a
v u .
Анализ показывает, что гофрированные по двум координатным осям
w w
мембраны по сравнению с мембранами, гофрированными только в окруж-
w
ном направлении [1, 2], позволяют:
u r . n i k
- путем изменения параметров волн гофр в окружном и радиальном направлениях в широких пределах изменять свойства мембран по отношению к внешним возмущениям – резко увеличить изгибную жесткость и
a v .u
снизить жесткость на растяжение по двум координатным осям, что позво-
w w
ляет увеличить линейный участок упругой характеристики в 2…5 раз и
r. u
собственную частоту колебаний мембраны в 1,5…2 раза [3];
w
n i k a v u . w w w
- в 5…10 раз уменьшить металлоемкость конструкций, в которых гофрированные мембраны используются в качестве фланцев, крышек, днищ. Применение гофрированных по двум координатным осям мембран по-
зволяет улучшить технические характеристики измерительных преобразователей (датчиков давления, расхода, и т.д.), уменьшить расход дефицитных материалов для изготовления мембран. Известны гофрированные мембраны с трапецеидальными, пильчатыми и синусоидальными профилями волн гофр, для которых в работах [1] и [2]
u r . in
приведены аналитические выражения для коэффициентов анизотропии k1 и k2, включая и пологий синусоидальный профиль волн гофр, которые по
k a v u .
u r . n i k
методу наложения в первом приближении справедливы для гофр в окружном и радиальном направлениях.
w w
Наиболее технологичным профилем волн гофр является синусоидаль-
a v .u
ный, для которого нет аналитических выражений для коэффициентов ани-
w
зотропии k1 и k2=kp при отношении
w w
H 1 > (Н – глубина волн гофр, равная l 8
w
удвоенному значению амплитуды синусоиды; l – длина волн гофр). В ряде случаев для малогабаритных изделий требуются мембраны с малой тол-
u r n.
H щиной и более крутыми волнам гофр 0,125 < < 1 . В этом случае коl
i k a
v u .
эффициенты k1 и k2 определяются через полные эллиптические интегралы I и II рода.
w w
k1 =
w
H2 2 k2 = 2 ⋅ h π 1− a2
где F0 =
π /2
dα
∫
1 − a sin α 2
0
и E0 =
2
π 1− a2
⋅ E0 ;
(15)
1 1 2 1− a2 ⋅ 2 − 1 F0 + 2 − 2 E 0 + F0 , π a a
π /2
∫
u r . n i k
1 − a 2 sin α dα - полные эллиптические инте-
a v .u
0
πH
гралы I и II рода; a =
r. u
n i k a v u . w w w ∫
(16)
l πH 1+ l
2
w w
- модуль эллиптических интегралов;
w
x α = 2π - аргумент; x-текущая координата синусоиды. l
Полные эллиптические интегралы I и II рода можно представить в виде
рядов [4]:
F0 =
2 2 2 1 1⋅ 3 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 2 4 6 = 1 + ⋅ a + ⋅a + ⋅a ; 2⋅4 2⋅4⋅6 1 − a 2 sin α 2 2
π /2
0
E0 =
π /2
∫ 0
π
dα
π
2 2 2 4 6 1 1⋅ 3 a 1⋅ 3 ⋅ 5 a 2 1 − a sin α dα = 1 − ⋅ a − ⋅ − ⋅ . 2 2 2 ⋅ 4 3 2 ⋅ 4 ⋅ 6 5 2
u r . in
(17) (18)
Подставив значения полных эллиптических интегралов (17), (18) в выражения (15), (16) для коэффициентов k1 и k2, получим
k a v u .
a 2 3a 4 45a 6 k1 = − − 1 − ; 4 64 2304 1− a2 1
k
2
=
H h
2 2
⋅
w w
3
w
2 1− a
2
3a 2 1 − 8
−
5a
4
64
−
35a
6
384
+
u r . n i k
(19)
1− a
2
1 +
a
2
4
+
a v .u
9a
w w
4
64
+
225a
2304
Последние соотношения будут справедливы при отношениях
w
6
. (20)
H ≤ 1. l
u r n.
На рис. 1 представлены графики изменения коэффициентов анизотропии K1=k1 и
K2= k 2'
=
k2 ⋅ h2 H2
a v .u
H при относиl
H > 8 , из которых видно, что с возрастанием h
w w
тельной глубине волн гофр отношения
ki
в зависимости от отношения
w
H увеличивается диапазон допустимой деформации растяжеl
ния до 0,05…0,15,
u r . n i k
коэффициент анизотропии k2 также возрастает на
10…15%.
a v .u
ЛИТЕРАТУРА
w w
1. Андреева Л.Е. Упругие элементы приборов. – М.: Машгиз, 1962. – 456 с.
r. u
w
n i k a v u . w w w
2. Пономарев С.Д., Андреева Л.Е. Расчет упругих элементов машин и
приборов. – М.: Машиностроение, 1980. – 326 с. 3. Электрические измерения неэлектрических величин. Под ред. П.В.
Новицкого. – Л.: Энергия, 1975. – 576 с. 4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работни-
ков и инженеров). М.: Наука, 1974. – С. 757.
w w
k a v u .
u r . in
u r . n i k
a v .u
w
w
w w
K1,K2
3
i k a
v u .
w w
2,5
u r n.
w
2
u r . n
1,5
i k a v .u
1
n i k a v u . w w w 0
w w
r. u
0,5
0
w
0,1 0,2 0,3 0,4
w w
K1 K2
k a v u .
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
u r . in
1
H/l
u r . n i k
a v .u
w
w
w w