consolidacion bivariada

2010 www.entretencionx1000.cl

Nivel de Consolidaci贸n

Estad铆stica Descriptiva Bivariada

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación

1. De dos variables observadas conjuntamente, se ha obtenido la siguiente tabla de doble entrada:

X Y 5 9 10

20-40

40-60 60-80 80-100

------------ 2 4 6 11 8

6 9 7

10 15 ---------

Calcular la covarianza entre las variables “X” e “Y”.

Solución:

yi

xi

ni

x i ni

y i ni

xi yi ni

5

50

2

100

10

500

5

70

6

420

30

2100

5

90 10

900

50

4500

9

30

4

120

36

1080

9

50

6

300

54

2700

9

70

9

630

81

5670

9

90 15 1350

135

12150

10

30 11

330

110

3300

10

50

8

400

80

4000

10

70

7

490

70

4900

78 5040

656

40900

Total

entretencionx1000.cl

2

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación s xy 

x

i

yi ni

N



x

i

ni

N



y

i

ni

N

Reemplazando los valores correspondientes

s xy 

40900 5040 656    19,07 78 78 78

Por lo tanto la covarianza entre las variables X e Y es -19,7.

2. Las variables X e Y observados conjuntamente 97 veces han presentados los siguientes valores:

Xi

Yi

ni

6

21 24

13

15 14

16

5

32

9

8

18

2

13 9 97

Calcular las medias y varianzas marginales.

entretencionx1000.cl

3

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Solución:

X i ni

Yi ni

X i ni

2

Yi ni

144

504

864

10584

182

210

2366

3150

512

160

8192

800

162

144

1458

1152

18

117

36

1521



1018



1135



12916

2



17207

1018  10,5 97 1135 Y   11,7 97 X 

S

x2



12916  1018    97  97 

2

 23,01

17207  1135  2 S     40,47 97  97  y2

3. Sean los valores de “X” e “Y” los siguientes. X

Y

3

2

9

5

12

1

6

15

Calcular el coeficiente de correlación entre “X” e “Y”

entretencionx1000.cl

4

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Solución:

2

2

Xi

Yi

X i Yi

Xi

3

2

6

9

4

9

5

45

81

25

12

1

12

144

1

6

15

90

36

225





30

S xy 

153 30 23    4,875 4 4 4

Sx 

270  30      3,35 4  4

Sy 

255  23      5,54 4  4



23

153



270

Yi



255

2

2

r

 4,875  0,26 3,35  5,54

4. Dadas las siguientes series de valores de las variables X e Y .Ajustar una recta por el método de los mínimos cuadrados Xi

Yi

12

43

24

76

34

55

8

87

16

28

entretencionx1000.cl

5

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Solución:

Xi

Yi

X i * Yi

X i ^2

12

43

516

144

24

76

1824

576

34

55

1870

1156

8

87

696

64

16

28

448

256



94



289



5354



2196

Formaremos el siguiente sistema de ecuación 5 5   Yi  a  n  b X i   a  56,8 i 1  i 1   289  5a  94b     5 5 5  5354  94a  2196b b  0,05 2    X i Yi  a   X i  b X i  i 1 i 1  i 1 

Por lo que la ecuación mínimo-cuadrado será: Y *  56,8  0,05 X

5. Ajustar una recta, de regresión Y= a+bX, a los siguientes datos utilizando el método de los mínimos cuadrados.

Xi

Yi

ni

12

23

45

15

14

32

3

7

13

8

27

18

16

16

52

entretencionx1000.cl

6

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Solución:

Xi

Yi

X i2

X i Yi

X i2 Yi

Y i2

12

23

144

276

3312

529

15

14

225

210

3150

196

3

7

9

21

63

49

8

27

64

216

91

729

16

16

256

256

4096

256









54

Y  aN  b X  X Y  a  X  b X i

87



698



979

10712

1759

i

i i

i

2 i

Reemplazando:

87 = 5 a + 54b

/

979= 54 a + 698b /

a = 13,7 b = 0,34

 y = 13,7+ 0,34 x

6. La variable “Y” toma para cada unidad de tiempo, los siguientes valores: 23, 27, 36, 39, 45, 56, 64. Calcular el incremento medio de la variable Y por unidad de tiempo.

entretencionx1000.cl

7

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Solución: En 7 periodos consecutivos, la variable “Y” toma distintos valores que van marcando una tendencia. Precisamente el coeficiente de regresión de la variable Y con respecto al tiempo nos dará el incremento medio. Se buscara el valor de b de la expresión y*  a  bt :

yi

yi t i

ti

1

23

23

1

2

27

54

4

3

36

108

9

4

39

156

16

5

45

225

25

6

56

336

36

7

64

448

42



n

S t `y` 

 t i Yi i 1

N n

t

S `2 

i 1

2 i

N

t

n



 ti i 1

N

n   ti   i 1  N 

2

ti

28



290



1350



133

n



Y

i

i 1

N



1350 28 290    27,14 7 7 7

2

 2  133  28     3   7  7   

Por lo tanto el valor de coeficiente de regresión o incremento medio:

b

S t `y` S `2 t



27,14  9,05 3

entretencionx1000.cl

8

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 7. Calcular el coeficiente de autocorrelación de la siguiente serie temporal.

Años

Y

1940

4

1941

8

1942

15

1943

12

1944

1

1945

9

Solución:

Tomando un desfase de un año obtendremos las dos series de y t y de y t 1 , en base a las cuales calcularemos el coeficiente de autocorrelación:

yt

y t 1

yt  yt 1

y t2

y t21

(4)

---

---

---

---

8

4

32

64

16

15

8

120

225

64

12

15

180

144

225

1

12

12

1

144

9

1

9

81

1

---

(9)

---

---

---



rt t 1 

st t 1  st  st 1

45



40



353

353 45 40   5 5 5 2

515  45  450  40       5  5  5  5 

2



=

515



450

 1,4 = -0,06 4,7  5,1

entretencionx1000.cl

9

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 8. Hallar el coeficiente de autocorrelación; tomando un retardo de 1 año, de la siguiente serie cronológica: t

Y

1 21 2 34 3 9 4 7 5 2 6 15 7 19 8 5

Solución:

yt

y t 1

yt  yt 1

y t2

y t21

(21)

---

---

---

---

34

21

714

1156

441

9

34

306

81

1156

7

9

63

49

81

2

7

14

4

49

15

2

30

225

4

19

15

285

361

225

5

19

95

25

361

---

(5)

---

---

---



91



107



1507



1901



2317

Tenemos:

S t t 1 

1507 91 107    36,23 8 8 8

entretencionx1000.cl

10

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación

2

1901  91  st      10,4 8 8

2

st 1

1507  107      3,08 8  8 

rt t 1 

S t t 1 36,23   1,13 S t  S t 1 10,4  3,08

9. La siguiente tabla muestra las respectivas estaturas “x” e “y” de una muestra de 10 padres y sus hijos menores.

Estatura x del padre 60 62 67 65 72 63 70 66 68 61 Estatura y del hijo

66 67 72 70 68 73 65 62 60 71

a) Hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados de y sobre x.

b) Hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados de x sobre y

entretencionx1000.cl

11

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Solución:

x

y

y2

x2

xy

60

66

4356

3600

3960

62

67

4489

3844

4154

67

72

5184

4489

4824

65

70

4900

4225

4550

72

68

4624

5184

4896

63

73

5329

3969

4599

70

65

4225

4900

4550

66

62

3844

4356

4092

68

60

3600

4624

4080

61

71

5041

3721

4331









654



674

45592

42912

44036

a) La recta de regresión de Y sobre X está dada por Y = a + bX.

 y  an  b x  xy  a x  b x

2

Reemplazando los valores se tiene:

674 = 10 a + 654 b

/

44036 = 654 a + 42912 b/

a = 47,13 b= -0,31 Así la recta es y = 47,13 – 0,31 x

b) La recta de regresión x sobre y viene dada por X = c +dY, donde c y d se obtienen solucionando las ecuaciones normales

entretencionx1000.cl

12

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación

 x  cn  d  y  xy  c y  d  y

2

Reemplazando los valores

654 = 10 c + 674 d

/

44036 = 674 c + 45592 d/

c = 47,202 d= -0,27 De esta forma la recta es X = 47,202 – 0,27 Y

10. De dos variables observadas conjuntamente, se ha obtenido la siguiente tabla de doble entrada:

X Y

5-15

15-25

25-35

35-45

3

1

3

1

---------------

5

3

8

7

5

7

2

1

-------------- 6

Calcular la covarianza entre las variables X e Y.

entretencionx1000.cl

13

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Solución:

x i ni

y i ni

xi yi ni

10 1

10

3

30

3

20 3

60

9

180

3

30 1

30

3

90

5

10 3

30

15

150

5

20 8

160

40

800

5

30 7

210

35

1050

5

40 5

200

25

1000

7

10 2

20

14

140

7

20 1

20

7

140

7

40 6

240

42

1680

193

5260

yi

xi

3

Total

s xy 

x

i

yi ni

N



x

i

N

ni



ni

37 980

y

i

ni

N

Reemplazando los valores correspondientes

s xy 

5260 980 193    4,002 37 37 37

Por lo tanto la covarianza entre las variables X e Y es 4,002 aproximadamente.

entretencionx1000.cl

14

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 11. Sea la siguiente tabla de correlación:

Y X

3 5 9

9

2 5 0

14

4 2 1

16

0 8 4

6

1 2 0

a) Determinar la distribución de frecuencias relativas de X si Y  7

Y<5

Frecuencia

Frecuencia

X

absoluta

relativa

9

7

7/24

14

6

6/24

16

8

8/24

6

3

3/24

24

1

b) Determinar el momento a 12

a 12 =

1 2   XiY j  nij  N

(9  32  2  9  52  5  14  32  4  14  52  2  14  9 2 1  16  52  8  16  9 2  4  6  32 1  6  52  2) / 29

=

12363 29

= 426,3

 El momento a

12

= 426,3

entretencionx1000.cl

15

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 12. Sea la distribución bidimensional de número X de hijos y la renta mensual Y de un conjunto de 150 familias:

Y 50-150 150-250 250-350 X 0

19

6

13

1

12

16

23

2

2

28

6

3

4

14

7

¿Cuál es el sentido de la variación conjunto?

Solución:

El sentido de variación conjunto es positivo ya que: S xy  0

Y 50-150 150-250 250-350 n i X 0

19

6

13

38

1

12

16

23

51

2

2

28

6

36

3

4

14

7

25

Nj

37

64

49

N=150

X 

0  38  1  51  2  36  3  25  1,32 150

a 11 

42400  282,7 150

Y

100  37  200  64  300  49  208 150

S xy  a11  X  Y  282,7  1,32  208  8,14  0

entretencionx1000.cl

16

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 13. Se sabe que el desarrollo de la variable Y en el tiempo, tiene una tendencia lineal, pero de ella tan solo se conocen los siguientes valores:

Años 1960

1961

1962

1963 1964

1965

1966

1967

1968

1969

1970

Y

------

9

-----

4

7

-----

-----

15

-----

6

2

Estimar los valores desconocidos.

Solución:

ti

yi

t'i

t i y i

t i2

1960

6

-4

-24

16

1962

9

-2

-18

4

1964

2

0

0

0

1965

4

1

4

1

1966

7

2

14

4

1969

15 5

75

25

Total 43 2

51

50

Tendencia lineal:

 y  Na  b t   t  y  a  t   b t  i

i

i

i

i2

i

Reemplazando

43= 6a + 2b

/

51= 2a + 50b / ___________ / b = 0,74 ; a = 6,9 y* = 6,9 + 0,74 t`

entretencionx1000.cl

17

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación (Origen en 1964. Unidad: 1 año)

Estimaciones:

ti

t i

y *i

1961

-3

4,68

1963

-1

6,16

1967

3

9,12

1968

4

9,86

1970

6

11,34

14. Dadas las siguientes series de valores de las variables X e Y, hallar las rectas de regresión mínima cuadrática y el coeficiente de determinación

Xi

Yi

3

4

6

7

1

8

2

3

Solución:

2

Xi

Yi

3 6 1 2

4 7 8 3

Xi 9 36 1 4

 12

 22

 50

X i Yi 12 42 8 6

 68

2

X i Yi 36 252 8 12  308

entretencionx1000.cl

2

Yi 16 49 64 9

 138

18

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Recta de Y con respecto a X: 4  4  Y  a  n  b Xi  i   i 1  i 1   22  4a  12b   a  5,07 4 4  4  68  12a  50b b  0,14  X Y  a  X  b X i2   i i   i i 1 i 1  i 1 

De donde Y *  5,07  0,14 X

Recta de X con respecto a Y: 4  4   X i  a  n  b Yi  i 1  i 1   12  4a  22b   a  2,4  4 4 4   2 68  22a  138b b  0,12  X i Yi  a   Yi  b Yi  i 1 i 1  i 1 

Donde X *  2,4  0,12Y

15. Con los datos del problema 30, calcular el coeficiente de correlación.

Xi 3 6 1 2

Yi 4 7 8 3

Solución:

Xi

Yi

3 6 1 2

4 7 8 3

Xi 9 36 1 4

 12  22 

2

X i Yi

2

X i Yi 12 36 42 252 8 8 6 12 50  68  308

entretencionx1000.cl

2

Yi 16 49 64 9

 138

19

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Coeficiente de correlación:

R 

S xy2

2

S x2 S y2 n

S xy 

 X iYi i 1

N n

S x2 

 Xi i 1

N

n



 Xi i 1

N

 n   Xi   i 1  N  

 n Y   Yi  i i 1    i 1  N N   n

S y2

2

Primero se debe calcular

2

S xy , S x 2 y S y 2 .

n



Y i 1

N

i



68 12 22    0,5 4 4 4

2

  2   50   12   3,5  4 4   2

  2   138   22   4,25  4  4    Luego R 2 

0,25  0,017 3,5  4,25

16. Dada la siguiente serie cronológica, hallar su secuencia secular por el método de las medias móviles y por el método analítico

ti

yi

1990

9

1991

12

1992

17

1993

19

1994

22

1995

25

1996

6

1997

18

1998

8

1999

11

entretencionx1000.cl

20

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Solución:

Medias móviles (periodo de 3 años)

ti

yi

y1

1990

9

---

1991

12

12,7

1992

17

16

1993

19

19

1994

22

22

1995

25

17,7

1996

6

16,3

1997

18

10,7

1998

8

12,3

1999

11

----

Método analítico

ti

yi

ti `

ti ` yi

ti ` 2

1990

9

-9

-81

81

1991

12

-7

-84

49

1992

17

-5

-85

25

1993

19

-3

-57

9

1994

22

-1

-22

1

1995

25

1

25

1

1996

6

3

18

9

1997

18

5

90

25

1998

8

7

56

49

1999

11

9

99

81

-41

330

147

entretencionx1000.cl

21

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Se puede obtener el sistema de ecuaciones normales: 147=10a -41=330b

a=14,7

b=- 0,12

De donde y*  14,7  0,12t `

17. Hallar el coeficiente de autocorrelación de la siguiente serie cronológica: T

y

9

2

8

1

7

6

6

3

5

5

4

3

Tomando un retardo de 2 años

Solución:

yt

yt 2

yt  yt 2

y t2

y t2 2

(2)

---

---

---

---

(1)

---

--

---

---

6

2

12

36

4

3

1

3

9

1

5

6

30

25

36

3

3

9

9

9

---

(5)

---

---

---

---

(3)

---

---

---

17

12

 54

 79

 50

entretencionx1000.cl

22

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Tenemos:

S t t 2 

54 17 12    0,75 4 4 4 2

st 

79  17      1,3 4 4 2

st  2 

rt t 2 

54  12      2,1 4 4

S t t 2 0,75   0,3 S t  S t 2 1,13  2,1

18. El parque de diversiones en Chile se ha estimado para el periodo 1996-2008 de la siguiente forma: Años

Juegos

1996

0,81

1997

0,86

1998

0,96

1999

1,04

2000

1,09

2001

1,12

2002

1,18

2003

1,25

2004

1,29

2005

1,26

2006

1,35

2007

1,38

2008

1,42

Estimar su tendencia secular:

entretencionx1000.cl

23

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Solución:

Tendencia secular:

Por otra parte, la tendencia lineal de la población total será

ti

yi

t'i

t i y i

t i2

1996

0,81

-6

-4,86

36

1997

0,86

-5

-4,3

25

1998

0,96

-4

-3,83

16

1999

1,04

-3

-3,12

9

2000

1,09

-2

-2,18

4

2001

1,12

-1

-1,12

1

2002

1,18

0

0

0

2003

1,25

1

1,25

1

2004

1,29

2

2,58

4

2005

1,26

3

3,78

9

2006

1,35

4

5,4

16

2007

1,38

5

6,9

25

2008

1,42

6

8,52

36

total

15,01

0

9,02

182

Tendencia lineal:

 y  Na  b t   t  y  a  t   b t  i

i

i

i

i

i2

Reemplazando: 15,01= 13a

/

9,02 = 182 b

/

_______________ / b = 0,05

a = 1,2

y* = 1,2+ 0,05 t` (t` con origen en 2002)

entretencionx1000.cl

24

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 19. Calcular el coeficiente de autocorrelación de la siguiente serie temporal. Años

Y

1950

3

1951

2

1952

4

1953

6

1954

8

Solución:

Tomando un desfase de un año obtendremos las dos series de y t y de y t 1 , en base a las cuales calcularemos el coeficiente de autocorrelación:

rt t 1 

yt

y t 1

yt  yt 1

y t2

y t21

(3)

---

---

---

---

2

3

6

4

9

4

2

8

16

4

6

4

24

36

16

8

6

48

64

36

---

(8)

---

---

---

 20

15

 86

120

 65

86 20 15   4 4 4

st t 1 2,75  = = 0,83 2 2 st  st 1 2,24  1,48 120  20  65  15       4  4  4 4

entretencionx1000.cl

25

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 20. Determinar la recta de regresión y su coeficiente de determinación de la variable “número de piezas” con respecto a la variable “tipo de alquiler” de la siguiente distribución:

Tipo de alquiler [0-50[ [50-100[ [100-150[ [150-200] Nº de piezas 1

30

24

2

2

80

----

64

12

3

110

138

87

54

4

15

9

----

----

4

Solución:

Yi

Xi

ni

Xi

X i ni

Y i ni

X i Y i ni

X i2 ni

Y i2 ni

1

0-50

30

25

750

30

750

18750

30

1

50-100

24

75

1800

24

1800

135000

24

1

100-150

2

125

250

2

250

31250

2

1

150-200

4

175

700

4

700

122500

4

2

0-50

80

25

2000

160

4000

50000

320

2

100-150

64

125

8000

128

16000

1000000

256

2

150-200

12

175

2100

24

4200

367500

48

3

0-50

110

25

2750

330

8250

68750

990

3

50-100

138

75

10350

414

31050

776250

1242

3

100-150

87

125

10875

261

32625

1359375

783

3

150-200

54

175

9450

162

28350

1653750

486

4

0-50

15

25

375

60

1500

9375

240

4

50-100

9

75

675

36

2700

50625

144

50075

1635

132175

5643125

4569

Total

629

entretencionx1000.cl

26

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación

X n

X 

S

2 x

X 

S

2 y

Y 

2

i

i

N

ni

N 2

i

ni

N

S xy 

i

50075  79,6 629



  X i ni   N 

  Yi ni   N  i

N

i

Y n I

N

i



1635  0,26 6290

2

2    5643125   50075   2633,8  629  629  

2

2    4569   1635   0,5  629  629  

 X Y n   X n  Y n i i

Y

i

i

N

N

i



132175 50075 1635    3,2 629 629 629

Al reemplazar, nos queda: b=

S xy S x2



3,2  0,0012 2633,8

a= Y  b X  0,26  0,0012  79,6 a= 0,16448

Con lo que finalmente se tiene:

Recta de regresión: Y   0,16448  0,0012 X

Coeficiente de determinación: R 

S xy2

2

S x2 S y2



10,24  0,0078 2633,8  0,5

21. Determinar la ecuación de la línea de regresión para los siguientes datos

Ciudades

Temperaturas

Santiago

32 – 29 – 24 - 15

Valdivia

13 – 24 – 19 - 28

entretencionx1000.cl

27

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Solución:

X ' Y '

X

Y

X '  Xi  X

Y '  Yi  Y

X'

32

13

7

-8

49

64

-56

29

24

4

3

16

9

12

24

19

-1

-2

1

4

2

15

28

-10

7

100

49

-70



X  25 Y  21

La ecuación de la línea de regresión es: Ye ( X )  Y  r

2

Y'

166

2



126



-112

Sx (X  X ) Sy

X  25 Y  21

S y  5,61 S x  6,44 r

C xy SxSy

 0,77

Ye ( X )  21  0,77 

6,44 ( X  25) 5,61

Ye ( X )  21  0,88  ( X  25)

entretencionx1000.cl

28

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 22. Sea la distribución bidimensional de número X de hijos y la renta mensual Y de un conjunto de 50 familias

Y

[50-150[

[150-250[

[250-350[

0

2

4

3

1

3

12

6

2

1

5

9

3

0

1

4

X

a) Calcular la renta media de las familias con tres hijos

b) La más frecuente de las familias con dos hijo.

Solución:

a) X=3

[50-150[ [150-250[ [250-350]

Y Frecuencia absoluta 0

Media =

1

4

100  0  200  1  300  4  280 0 1 4

 La media es 280.

entretencionx1000.cl

29

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación b) X=2

[50-150[ [150-250[ [250-350]

Y

M 0  Li 1 

Frecuencia absoluta 1

5

9

Densidad

0,05

0,09

0,01

d i 1 0,09 ( Li  Li 1 ) = 150 +  (280  150)  267 d i 1  d i 1 0,01  0,09

 La más frecuente de las familias con dos hijos es 267.

23. Siendo “X” el ingreso familiar e “Y” el gasto en vestimenta, sea la siguiente tabla de correlación.

Y

40

20

50

30

X 80

4

1

6

10

40

9

7

4

0

70

11

9

9

9

50

3

12

18

2

a) Determinar el gasto medio de las familias con renta 40. Yj

Frecuencia absoluta

40

9

20

7

50

4

30

0 20

entretencionx1000.cl

30

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación

Y x 40 

40  9  20  7  50  4  30  0 20

Y x 40  35

b) Determinar la varianza de los ingresos de las familias que gastan 20. Frecuencia

XJ

absoluta 80

1

40

7

70

9

50

12 29

X y  20  S

2 x / y  20

80  1  40  7  70  9  50  12 1590   54,8 29 29

80 2  1  40 2  7  70 2  9  50 2  12   3162,07 29

24. Las variables “X” e “Y” observados conjuntamente 100 veces han presentados los siguientes valores:

Xi

Yi

ni

5

2

21

8

4

14

7

6

23

15

0

34

11

1

8 100

Calcular las medias y varianzas marginales.

entretencionx1000.cl

31

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Solución:

2

2

X i ni

Yi ni

X i ni

Yi ni

105

42

525

84

112

56

896

224

161

138

1127

828

510

0

7650

0

88

8

968

8



976



244



11166



1144

976  9,8 100 244 Y   2,44 100 X 

S x2

11166  976     100  100 

S y2 

1144  244    100  100 

2

 15,62

2

 5,5

25. La talla de ropa (X) y el peso (Y) de 20 mujeres son los siguientes: X

Y

X

Y

36

43

46

74

44

62

44

61

38

48

40

53

52

86

50

84

42

56

40

52

40

52

44

60

38

47

42

56

45

64

52

85

50

83

48

78

54

95

38

45

entretencionx1000.cl

32

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Hallar las medidas aritméticas y las desviaciones estándar marginales.

Solución:

Distribución marginal de Y:

y

Li 1  Li

ni

yi

y i ni

yi2 ni

[36-41[

7

38,5

269,6

10375,75

[41-46[

6

43,5

261

11353,5

[46-51[

4

48,5

194

9409

[51-56]

3

53,5

160,5

8586,75

Total

20

885,1

39725

885,1  44,255 20 2

s y2 

39725  885,1     27,74 20  20 

s y  5,3

Distribución marginal de X:

Li 1  Li

ni

xi

x i ni

xi2 ni

43-53

6

48

288

13824

53-63

6

58

348

20184

63-73

1

68

68

4624

73-83

2

78

156

12168

83-93

4

88

352

30976

93-103

1

98

98

9604

Total

20

438

1310

91380

entretencionx1000.cl

33

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación

x

1310  65,5 20

s x2

91380  1310      278,8 20  20 

2

s x  16,7

26. Sea la tabla:

Y X

2

5

-2

3

6

3

8

1

0

2

6

3

2

3

4

2

5

4

5

3

8

1

2

2

a) Determinar la distribución marginal de Y:

Solución:

Y X

2

5

-2

3

ni

6

3

8

1

0

12

2

6

3

2

3

14

4

2

5

4

5

16

3

8

1

2

2

13

nj

19

17

9

10

N = 55

entretencionx1000.cl

34

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación

Yj

nj

2

19

5

17

-2

9

3

10 55

b) Determinar la distribución de frecuencias relativas de “X” si Y = 5

Solución:

X/Y = 2 Frecuencia absoluta Frecuencia relativa 2

8

8/17

5

3

3/17

-2

5

5/17

3

1

1/17

17

1

c) Analizar la independencia de las variables:

Solución:

Las variables X e Y no son independientes ya que: n ij  Por ejemplo:

6 

ni  n j N

19  14  4,8 55

entretencionx1000.cl

35

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 27. Si “X” e “Y” son variables independientes, ¿Cuál es la varianza de 4  X  5  Y ? Dado S 2x  2 y S 2y  6 :

Solución: Si Z = a  X  b  Y , es S 2z  a 2  S x2  b 2  SY2  2  a  b  S xy . En este caso a=4 y b=5, siendo S xy  0 , debido a la independencia de X e Y. Por lo tanto reemplazando: S 2Z  16  2  25  6  2  4  5  0 S 2z  182

 La varianza es 182

entretencionx1000.cl

36

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 28. Una fábrica de una cierta marca de helados ha tomado al azar 15 semanas del año, observando la temperatura media correspondiente a cada una de ellas y la cantidad de helados pedidos durante cada uno de dichos periodos. La información obtenida es la siguiente

Temperatura media

Cantidad de helados

22

32

31

82

25

38

19

22

33

96

35

112

37

123

27

47

21

29

18

19

24

36

38

129

15

14

23

34

32

90

¿Puede la fábrica planificar la cantidad de producción en función de la temperatura esperada? ¿De qué forma?

entretencionx1000.cl

37

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Solución:

Sea X la temperatura e Y la cantidad de bebidas.

Xi

Yi

Xi

22

32

31

2

2

X i Yi

Yi

484

704

1024

82

962

2542

6724

25

38

625

950

1444

19

22

361

418

484

33

96

1089

3168

9216

35

112

1225

3920

12544

37

123

1369

4551

15129

27

47

729

1269

2209

21

29

441

609

841

18

19

324

342

361

24

36

576

864

1296

38

129

1444

4902

16641

15

14

225

210

196

23

34

529

782

1156

32

90

1024

2880

8100

 400  903  11406  28111  77365 n

S xy 

 X iYi i 1

N n

S x2 

X i 1

2 i

N

n



 Xi i 1

N

   Xi   i 1  N   n

n



Y i 1

N

i



28111 400 903    268,7 15 15 15

2

  2   11406   400   49,3  15  15    2

 n  Yi   Yi  2  77365  903  i 1 i 1   S y2       1533,6  N  N 15  15      2 S xy 72199,7 R2    0,95  95% S x 2 S y 2 49,3  1533,6 n

2

entretencionx1000.cl

38

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Como el coeficiente de determinación es alto podría planificarse la producción en función de la temperatura basándose en la siguiente función lineal. 15  15   Yi  a  n  b X i   a  827,34 i 1  i 1   903  15a  400b     15 15  15  28111  400a  11406b b  28,8  2    X i Yi  a   X i  b X i  i 1 i 1  i 1 

Función lineal Y *  827,34  28,8 X

29. La variable “Y” toma para cada unidad de tiempo, los siguientes valores: 4 8 12 16 20 24. Calcular el incremento medio de la variable “Y” por unidad de tiempo.

Solución: En 6 periodos consecutivos, la variable “Y” toma distintos valores que marcan una tendencia. Precisamente el coeficiente de regresión de la variable “Y” con respecto al tiempo nos dará el incremento medio. Se buscara el valor de b de la expresión y*  a  bt : 2

ti

yi

yi t i

ti

1

4

4

1

2

8

16

4

3

12

36

9

4

16

64

16

5

20

100

25

6

24

144

36



21



84



364



entretencionx1000.cl

91

39

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación n

S t `y` 

 t i Yi i 1

N n

S `2  t

t i 1

N

2 i

n



 ti i 1

N

n   ti   i 1  N 

n



Y i 1

N

i



364 21 84    11,7 6 6 6

2

 2  91  21      2,92   6  6  

Por lo tanto el valor de coeficiente de regresión o incremento medio:

b

S t `y` S `2



t

11,7  4,006 2,92

30. Determinar si existe una autocorrelación en la siguiente serie temporal:

T

y

1935

6

1945

12

1955

16

1965

23

1975

10

1985

12

Tomando un retardo de 1 año

entretencionx1000.cl

40

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Solución:

yt

y t 1

yt  yt 1

y t2

y t21

(6)

---

---

---

---

12

6

72

144

36

16

12

192

256

144

23

16

368

529

256

10

23

230

100

529

12

10

120

144

100

---

(12)

---

---

---

 73  67  982 1173 1065 Tenemos:

S t t 1 

982 73 67    0,76 5 5 5

2

1173  73      4,6 5  5

st 

2

st 1

982  67       4,1 5  5 

rt t 1 

S t t 1 0,76   0,04  4% S t  S t 1 4,6  4,1

entretencionx1000.cl

41

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 31. Ajustar una recta, de regresión Y= a+bx, a los siguientes datos utilizando el método de los mínimos cuadrados.

Xi

Yi

ni

3

1

2

6

4

4

2

2

3

1

5

4

7

3

5

Solución:

Xi

Yi

X i2

X i Yi

X i2 Yi

Y i2

3

1

9

3

9

1

6

4

36

24

144

16

2

2

4

4

8

4

1

5

1

5

5

25

7

3

49

21

147

9



19



Y  aN  b X  X Y  a  X  b X i

15



99



57



313



55

i

i i

i

2 i

Reemplazando: 15= 5 a + 19b

/

57 = 19 a + 99 b /

a=3

b=0

y = 3+0x

entretencionx1000.cl

42

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 32. Las temperaturas simultáneas de dos ciudades se registran en cuatro días diferentes.

a) Calcular la covarianza

b) Calcular el coeficiente de relación para los valores registrados en la siguiente tabla

Ciudades Temperaturas Santiago

32 – 29 – 24 - 15

Valdivia

13 – 24 – 19 - 28

Solución:

a)

X ' Y '

X

Y

X '  Xi  X

Y '  Yi  Y

X'

32

13

7

-8

49

64

-56

29

24

4

3

16

9

12

24

19

-1

-2

1

4

2

15

28

-10

7

100

49

-70



X  25 Y  21

2

Y'

166

2



126



-112

2 1 X '  41,5  n 2 1 S y2   Y '  31,5 n La cov arianza :

S x2 

C xy 

1 4 ', '  X i Yi  28 n i 1

b) El coeficiente de correlación es r 

C xy SxSy

 0,77

entretencionx1000.cl

43

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 33. Utilizando la siguiente tabla, calcular la covarianza.

Xi

Yi

ni

5

2

21

8

4

14

7

6

23

15

0

34

11

1

8

Solución:

X i Yi ni

X i ni

Yi ni

210

105

42

448

112

56

966

161

138

0

510

0

88

88

8

 S xy 

1712



976



244

1712 976 244    6,7 100 100 100

Por lo tanto la covarianza es -6,7.

entretencionx1000.cl

44

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 34. La tabla recoge la información relativa a la edad de los padres y la cantidad de hijos.

Hijos Y Edad X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 4

18-28

3

1

6 4 2

28-38

5 4

38-48 48-58

1 2 1

1 4 7 4

2 3 1

Determine la media y la varianza de la distribución de hijos de los padres con edad entre 28 y 38.

Solución:

Hijos

2 3 4 6

Frec. Abs. 6 4 2 1

Media =

2  6  3  4  4  2  6  1 38   2,92 6  4  2 1 13

2 2  6  3  4  4  2  6  1  38      4,7 6  4  2 1  13  2

Varianza =

entretencionx1000.cl

45

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 35. Dadas las siguientes series de valores de las variables “X” e “Y”. Ajustar una recta por el método de los mínimos cuadrados

Xi

Yi

4

90

8

100

3

150

7

140

5

110

Xi

Yi

X i * Yi

X i ^2

4

90

360

16

8

100

800

64

3

150

450

9

7

140

980

49

5

110

550

25

Solución



27



590



3140



163

Formaremos el siguiente sistema de ecuación 5 5  Y  a  n  b Xi  i   i 1  i 1   590  5a  27b   a  132,4 5 5 5  2 3140  27a  163b b  2,7   X i Yi  a   X i  b X i  i 1 i 1  i 1 

Por lo que la ecuación mínimo-cuadrado será:

Y *  132,4  2,7 X

entretencionx1000.cl

46

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 36. Hallar el coeficiente de autocorrelación de la siguiente serie cronológica: t

Y

1

4

4

2

3

6

4

1

5

3

2

8

Tomando un retardo de 1 año

Solución:

yt

y t 1

yt  yt 1

y t2

y t21

(4)

---

---

---

---

2

4

8

4

16

6

2

12

36

4

1

6

6

1

36

3

1

3

9

1

8

3

24

64

9

---

(8)

---

---

---

 20 

16



53

114  66

Tenemos:

S t t 1 

53 20 16    2,2 5 5 5

2

114  20      2,6 5  5 

st 

2

st 1

53  16       0,6 5 5

rt t 1 

S t t 1  2,2   1,41 S t  S t 1 2,6  0,6

entretencionx1000.cl

47

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 37. En la tabla aparecen las edades y las calificaciones en biología correspondientes a sus estudiantes escogidos aleatoriamente en un curso de primer año

Edad (X)

Calificación(Y)

15

60

16

30

14

70

17

50

16

60

15

40

Calcular el coeficiente de correlación.

Solución:

X ' Y '

X

Y

X '  Xi  X

Y '  Yi  Y

X'

15

60

-0,5

8,33333

225

3600

-4,16667

16

30

0,5

-21,6667

256

900

-10,8333

14

70

-1,5

18,33333

196

4900

-27,5

17

50

1,5

-1,66667

289

2500

-2,50001

16

60

0,5

8,33333

256

3600

4,166665

15

40

-0,5

-11,6667

225

1600

5,833335





2



X  15,5 Y  51,66667

1 '2 X  241,2 n 1 2 S y2  Y '  2850 n La cov arianza :

Y'

1447

2

17100

-35

S x2 

C xy 

El coeficiente de correlación es

r

C xy SxSy

 0,0000085

1 6 ', '  X i Yi  5,83 n i 1

entretencionx1000.cl

48

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 38. Sean los valores de “X” e “Y” los siguientes. X

Y

3

4

5

6

8

2

6

1

Calcular el coeficiente de correlación entre “X” e “Y”

Solución:

2

2

Xi

Yi

X i Yi

Xi

3

4

12

9

16

5

6

30

25

36

8

2

16

64

4

6

1

6

36

1



22

S xy 

64 22 13    1,875 4 4 4

Sx 

134  22      1.8 4  4 



13



64



Yi

134



57

2

2

57  13  Sy      1,92 4 4 r

 1,875  0,5 1,8  1,92

entretencionx1000.cl

49

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 39. Los parámetros correspondientes a la siguiente distribución bidimensional, son: X Y 0

1

1

4

2

6

3

2

3

4

4

8

5

6

6

5

7

3

8

6

9

9

Dados:

X  4,4

Y  4,9

S x  2,77

S y  2,31

S xy  3,67

r = 0,57

Halla las ecuaciones de las dos rectas de regresión, X sobre Y e Y sobre X, y representarlas junto con la nube de puntos.

Solución:

m yx 

S xy S x2

 0,48

Recta de regresión Y sobre X: y = 4,9 + 0,48 (x – 4,4)

entretencionx1000.cl

50

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación y = 0,48x + 2,79

m xy 

S xy S y2

 0,69

Recta de regresión X sobre Y: x = 4,4 + 0,69 (y – 4,9) y = 1,45x – 1,48

Representación gráfica:

10 9 8 7 6 Y

5 4 3 2 1 0 0

2

4

6

8

10

X

entretencionx1000.cl

51

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 40. Los valores de dos variables X e Y se distribuyen de acuerdo a la tabla siguiente: Y/X 100 50 25 14

1

1

0

18

2

3

0

22

0

1

2

Obtener e interpretar el coeficiente de correlación lineal.

Solución: Convertimos la tabla de doble entrada en una tabla simple. yi

fi

xi · fi

xi2 · fi

yi · fi

yi2 · fi

xi · yi · fi

100 14

1

100

10 000

14

196

1 400

100 18

2

200

20 000

36

648

3 600

50

14

1

50

2 500

14

196

700

50

18

3

150

7 500

54

972

2 700

50

22

1

50

2 500

22

484

1 100

25

22

2

50

1 250

44

968

1 100

xi



S x2 

10



600

43750  60 2  775 10

S x  775  27,84

S xy 



43 750



184



S y2 

3464  18,4 2  7,84 10

3 464



10 600

S y  7,84  2,8

10600  60  18,4  44 10

entretencionx1000.cl

52

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación

r

 44  0,56 El resultado nos señala, que hay una correlación negativa débil. 27,84  2,8

41. Una asociación dedicada

a la protección de la infancia decide estudiar la

relación entre la mortalidad infantil en cada país y el número de camas de hospitales por cada mil habitantes. X

50

100

70

60

120

180

200

250

30

90

Y

5

2

2,5

3,75

4

1

1,25

0,75

7

3

Donde X es el nº de camas por mil habitantes e Y el tanto por ciento de mortalidad. a) Calcular las rectas de regresión y el coeficiente de correlación lineal.

b) ¿Si se dispusiese de 175 camas por mil habitantes que tanto por ciento de mortalidad cabria esperar? . ¿La estimación es fiable? Razona la respuesta.

Solución xi

yi

xi2

yi2

x i yi

50

5

2500

25

250

100

2

10000

4

200

70

2,5

4900

6,25

170

60

3,75

3600

14,0625

225

120

4

14400

16

480

180

1

32400

1

180

200

1,25

40000

1,5625

250

250

0,75

62500

0,5625

187,5

30

7

900

49

210

90

3

8100

9

270

 = 1150 30,25 179300 126,4375 2422,5

entretencionx1000.cl

53

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación x =115% y = 3,025% Sx = 17930 13225  68,59 Sy = 12,64375  9,150625 = 1,87 Sxy = 242,25  (115)(3,025) = -105,625

Las rectas de regresión serán: y - 3,025 = -0,022449 (x - 115) x - 115 = -30,2053 (y - 3,025)

El coeficiente de correlación lineal: r=

105,625 = - 0,8235 (68,59)(1,87)

Es una correlación inversa o negativa alta.

Para la estimación que se pide se utilizará la recta de regresión de Y sobre X. y = 3,025 - 0,022449(175- 115) = 1,6783 que sería fiable por ser alto el coeficiente de correlación.

entretencionx1000.cl

54

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 42. La estatura media de 100 escolares de cierto curso de E.S.O. es de 155 cm con una desviación típica de 15,5 cm. La recta de regresión de la estatura respecto al peso es y = 80 + 1,5x (x: peso; y: estatura).

a) ¿Cuál es el peso medio de esos escolares? b) ¿Cuál es el signo del coeficiente de correlación entre peso y estatura?

Solución

a) La recta de regresión es: y  y  m( x  x)  155  1,5( x  x)  155  1,5x  1,5x   (155  1,5x)  1,5x  80  1,5x  155  1,5x  80  x  50kg

b) Positivo (igual que el signo de la pendiente de la recta de regresión).

43. Se muestran los siguientes datos:

CI

Horas de TV a la semana

106

7

86

0

100

28

100

50

99

28

103

28

97

20

113

12

113

7

110

17

entretencionx1000.cl

55

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación

Determinar el coeficiente de correlación de spearman.

Solución

CI (i)

Horas de TV

orden(i) orden(t)

d

d2

a la semana (t) 86

0

1

1

0

0

97

20

2

6

4

16

99

28

3

8

5

25

100

50

4.5

10

5.5

30.25

100

28

4.5

8

3.5

12.25

103

28

6

8

2

4

106

7

7

2.5

4.5

20.25

110

17

8

5

3

9

113

7

9.5

2.5

7

49

113

12

9.5

4

5.5

30.25 ∑196

rs  1 

rs

6  196 1176  1 2 990 10  (10  1)

= - 0,19

entretencionx1000.cl

56

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 44. Con los datos del problema 1 hacer diagrama de dispersión, y ver el tipo de correlación que existe entre las variables.

Solución: 12 10 8 6 4 2 0 0

2

4

6

8

10

La correlación que existe entre las variables es débil y negativa.

45. Se realiza un estudio para determinar la asociación entre la concentración de nicotina en la sangre de un individuo y el contenido en nicotina de un cigarrillo.

Concentración de Nicotina Contenido de Nicotina En sangre (mol/litro) (X)

por cigarrillo (mg) (Y)

185.7

1.51

197.3

0.96

204.2

1.21

199.9

1.66

199.1

1.11

192.8

0.84

207.4

1.14

183.0

1.28

234.1

1.53

196.5

0.76

entretencionx1000.cl

57

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Calcular el coeficiente de correlación de spearman.

Solución:

rs  1 

2

Orden (Y) 8

-6

36

0.96

5

3

2

4

204.2

1.21

8

6

2

4

199.9

1.66

7

10

-3

9

199.1

1.11

6

4

2

4

192.8

0.84

6

2

4

16

207.4

1.14

9

5

4

16

183.0

1.28

1

7

-6

36

234.1

1.53

10

9

1

1

196.5

0.76

4

1

3

9

X

Y

Orden (X)

185.7

1.51

197.3

d

d

2

6  135 810  1 2 990 10  (10  1)

rs = 0,18

46. Con los datos del problema 46 realizar el diagrama de dispersión, y ver qué tipo de correlación hay entre las variables.

entretencionx1000.cl

58

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Solución: 12 10 8 Y

6 4 2 0 0

2

4

6

8

10

12

X

Por el gráfico podemos señalar que existe una correlación positiva débil entre ambas variables.

47. Se registró el potencial del vendedor y datos reales de dos años de ventas.

Vendedor Lugar en potencial Ventas en dos años A

2

400

B

4

360

C

7

300

D

1

295

E

6

280

F

3

350

G

10

200

H

9

260

I

8

220

J

5

385

Calcular el coeficiente de correlación de spearman.

entretencionx1000.cl

59

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación

Solución:

Vendedor

A

Lugar Ventas en en dos años potencial 2 400

Lugar según ventas en 2 años

di

1

1

1

B

4

360

3

1

1

C

7

300

5

2

4

D

1

295

6

-5

25

E

6

280

7

-1

1

F

3

350

4

-1

1

G

10

200

10

0

0

H

9

260

8

1

1

I

8

220

9

-1

1

J

5

385

2

3

9

di

2

 44

rs  1 

6  44 264  1 2 990 10  (10  1)

Por lo tanto, el coeficiente de correlación de spearman es:

rs

= 0,73

48. Con los datos del problema 48 hacer diagrama de dispersión, y ver qué tipo de correlación hay entre las variables.

entretencionx1000.cl

60

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Solución:

Lugar según ventas en 2 años 12 10 8 6 4 2 0 0

2

4

6

8

10

12

Lugar en potencial

Se ve que existe una correlación positiva entre las dos variables.

49. Calcular el Coeficiente de correlación de Pearson entre las variables talla y peso de 20 niños varones.

Talla (X) 72

Peso (Y) 9

Talla (X) 64

Peso (Y) 7

76

10

66

7

59

6

61

6

68

8

66

8

60

10

57

5

58

5

81

11

70

8

59

5

65

7

71

9

54

4

62

6

83

11

75

10

entretencionx1000.cl

61

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Solución:

X

Y

XX

Y Y

X  X  Y  Y 

72

9

5.65

1.4

7.91

76

10

9.65

2.4

23.16

59

6

-7.35

-1.6

11.76

68

8

1.65

0.4

0.66

60

10

-6.35

2.4

-15.24

58

5

-8.35

-2.6

21.71

70

8

3.65

0.4

1.46

65

7

-1.35

-0.6

0.81

54

4

-12.35

-3.6

44.46

83

11

16.65

3.4

56.61

64

7

-2.35

-0.6

1.41

66

7

-0.35

-0.6

0.21

61

6

-5.35

-1.6

8.56

66

8

-0.35

0.4

-0.14

57

5

-9.35

-2.6

24.31

81

11

14.65

3.4

49.81

59

5

-7.35

-2.6

19.11

71

9

4.65

1.4

6.51

62

6

-4.35

-1.6

6.96

75

10

8.65

2.4

20.76



X  66.35

290.8

Y  7.6

290.8  15.30 Covarianza: 19

S x  8.087

S y  2.137

entretencionx1000.cl

62

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación

r

cov arianza 15.30   0.885 Sx  Sy 8.087  2.137

50. Con los datos del problema 50 hacer diagrama de dispersión, y ver qué tipo de correlación hay entre las variables.

Solución:

12 10 8 Y

6 4 2 0 0

20

40

60

80

100

X

Se puede observar que hay una correlación positiva alta entre las variables X e Y.

entretencionx1000.cl

63

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 51. Una empresa de manufacturas basa las predicciones de sus ventas anuales en los resultados oficiales de la demanda total en la industria. A continuación se dan los datos de demanda total y las ventas efectuadas por la empresa en los últimos 11 años. Demanda total (X)

Ventas (Y)

200

9

220

6

400

12

330

7

210

5

390

10

280

8

140

4

280

7

290

10

380

14

Calcular el coeficiente de correlación de Pearson.

Solución:

Total

X

Y

X Y

X2

Y2

200

9

1800

40000

81

220

6

1320

48400

36

400

12

4800

160000

144

330

7

2310

108900

49

210

5

1050

44100

25

390

10

3900

152100

100

280

8

2240

78400

64

140

4

560

19600

16

280

7

1960

78400

49

290

10

2900

84100

100

380

14

5320

144400

196

3120

92

28160

958400

860

entretencionx1000.cl

64

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación

La correlación entonces es:

S xy 

28160 3120 92    187,77 11 11 11

Sx 

958400  3120     81,71 11  11 

2

2

860  92  Sy      2,87 11  11  r

187,77  0,80 81,71  2,87

52. Con los datos del problema 52 hacer diagrama de dispersión, y ver qué tipo de correlación hay entre ambas variables.

Solución:

16 14 12 10 Y

8 6 4 2 0 0

100

200

300

400

500

X

Existe una correlación positiva alta entre las variables X e Y.

entretencionx1000.cl

65

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 53. Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y de la variable Y, respectivamente.

X

2

4

6

Total

10

4

3

2

9

5

1

3

1

5

3

2

2

1

5

Total

7

8

4

19

Y

Solución:

Distribución marginal de X

x

xi

ni

x i ni

xi2 ni

2

7

14

28

4

8

32

128

6

4

24

144



19

70

300

70  3,68 19

2

300  70  S      2,22 19  19  2 x

S x  2,22  1,5

entretencionx1000.cl

66

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Distribución marginal del Y

y

yi

ni

y i ni

yi2 ni

10

9

90

900

5

5

25

125

3

5

15

45



19

130

1070

130  6,84 19

2

1070  130  S     9,50 19  19  2 y

S y  9,50  3,08

Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y de la variable Y, respectivamente.

X

10

9

3

Total

4

3

6

1

10

12

9

8

4

21

21

2

3

1

6

Total

14

17

6

37

Y

entretencionx1000.cl

67

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Solución:

Distribución marginal de X

x

xi

ni

x i ni

xi2 ni

4

10

40

160

12

21

252

3024

21

6

126

2646



37

418

5830

yi

ni

y i ni

yi2 ni

10

9

90

900

5

5

25

125

3

5

15

45



19

130

1070

418  11,297 37

2

5830  418  S     29,94 37  37  2 x

S x  29,94  5,472

Distribución marginal del Y

y

130  6,84 19

entretencionx1000.cl

68

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 2

S y2 

1070  130     9,50 19  19 

S y  9,50  3,08

54. Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y de la variable Y, respectivamente.

X

4

8

12

Total

8

9

14

3

34

10

10

12

5

37

6

8

4

9

27

Total

31

38

29

98

Y

Solución:

Distribución marginal de X

xi

ni

x i ni

xi2 ni

4

31

124

496

8

38

304

2432

12

29

348

4176



98

776

7104

entretencionx1000.cl

69

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación

x

776  7,92 98

2

7104  776  S     9,789 98  98  2 x

S x  9,789  3,13

Distribución marginal del Y

y

yi

ni

y i ni

yi2 ni

8

34

272

2176

10

37

370

3700

6

27

162

972



98

804

6848

804  8,2 98

2

6848  804  S     2,57 98  98  2 y

S y  2,57  1,603

entretencionx1000.cl

70

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 55. Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y de la variable Y, respectivamente. 56. X

15

22

3

Total

11

4

24

1

40

23

8

16

7

54

6

14

9

32

61

Total

41

71

43

155

Y

Solución

Distribución marginal de X

x

xi

ni

x i ni

xi2 ni

15

41

615

9225

22

71

1562

34364

3

43

129

387



155

2306

43976

2306  14,877 155

2

43976  2306  S     62,378 155  155  2 x

S x  62,378  7,898

entretencionx1000.cl

71

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Distribución marginal del Y

y

yi

ni

y i ni

yi2 ni

11

40

440

4840

23

54

1242

28566

6

61

366

2196



155

2048

35602

2048  13,21 155

2

35602  2048  S     55,109 155  155  2 y

S y  55,109  7,4236

Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y de la variable Y, respectivamente.

X

6

24

31

Total

18

8

42

4

72

22

11

13

12

58

21

34

8

26

89

Total

59

87

73

219

Y

entretencionx1000.cl

72

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Solución:

Distribución marginal de X

x

xi

ni

x i ni

xi2 ni

6

59

354

2124

24

87

2088

50112

31

73

2263

70153



219

4705

122389

yi

ni

y i ni

yi2 ni

18

72

1296

23328

22

58

1276

28072

21

89

1869

39249



219

4441

90649

4705  21,484 219 2

S x2 

122389  4705     97,29 219  219 

S x  97,29  9,86

Distribución marginal del Y

y

4441  20,28 219 2

90649  4441  S     2,703 219  219  2 y

S y  2,703  1,64408

entretencionx1000.cl

73

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 57. Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y de la variable Y, respectivamente.

X

5

13

19

Total

19

15

1

31

66

16

24

36

33

109

2

7

19

3

31

Total

51

69

86

206

Y

Solución:

Distribución marginal de X

xi

ni

x i ni

xi2 ni

5

51

255

1275

13

69

897

11661

19

86

1634

31046

206

2786

43982



x

2786  13,524 206

2

43982  2786  S     30,599 206  206  2 x

S x  30,599  5,532 entretencionx1000.cl

74

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Distribución marginal del Y

yi

ni

y i ni

yi2 ni

19

66

1254

23826

16

109

1744

27904

2

31

62

124

206

3060

51854



y

3060  14,8543 206

2

51854  3060  S     31,066 206  206  2 y

S y  31,066  5,574

58. Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y de la variable Y, respectivamente.

X

32

43

58

Total

74

27

34

53

188

33

12

71

46

162

26

68

37

28

159

Total

139

185

185

509

Y

entretencionx1000.cl

75

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Solución:

Distribución marginal de X

xi

ni

x i ni

xi2 ni

32

139

4448

142336

43

185

7955

342065

58

185

10730

622340

509

23133

1106741

yi

ni

y i ni

yi2 ni

74

188

13912

1029488

33

162

5346

176418

26

159

4134

107484

509

23392

1313390



x

23133  45,448 509 2

1106741  23133  S     108,83 509  509  2 x

S x  108,83  10,43

Distribución marginal del Y



y

23392  45,9568 509 2

1313390  23392  S     468,309 509  509  2 y

S y  468,309  21,64

entretencionx1000.cl

76

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 59. Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y de la variable Y, respectivamente.

X

102

123

147

Total

165

32

85

22

304

115

45

36

37

233

92

64

78

84

318

Total

243

322

290

855

Y

Solución:

Distribución marginal de X

xi

ni

x i ni

xi2 ni

102

243

24786

2528172

123

322

39606

4871538

147

290

42630

6266610

855

107022

13666320



x

107022  125,172 855 2

13666320  107022  S     315,99 855  855  2 x

S x  315,99  17,776

entretencionx1000.cl

77

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Distribución marginal del Y

yi

ni

y i ni

yi2 ni

165

304

50160

8276400

115

233

26795

3081425

92

318

29256

2691552

855

106211

14049377



y

106211  124,223 855 2

14049377  106211  S     1000,57 855  855  2 y

S y  1000,57  31,63

60. Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y de la variable Y, respectivamente.

X

13

44

52

Total

23

42

89

33

187

76

34

19

62

191

10

11

27

45

93

Total

100

179

192

471

Y

Solución:

Distribución marginal de X

entretencionx1000.cl

78

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación

xi

ni

x i ni

xi2 ni

13

100

1300

16900

44

179

7876

346544

52

192

9984

519168

471

19160

882612



x

19160  40,679 471 2

882612  19160  S     219,097 471  471  2 x

S x  219,097  14,802

Distribución marginal del Y

yi

ni

y i ni

yi2 ni

23

187

4301

98923

76

191

14516

1103216

10

93

930

9300

471

19747

1211439



y

19747  41,9257 471 2

1211439  19747  S     814,294 471  471  2 y

S y  814,294  28,536

entretencionx1000.cl

79

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 61. Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y de la variable Y, respectivamente. X

64

132

186

Total

202

2

12

101

317

123

67

79

32

301

57

82

34

2

175

Total

215

257

321

793

Y

Solución: Distribución marginal de X

xi

ni

x i ni

xi2 ni

64

215

13760

880640

132

257

33924

4477968

186

321

59706

11105316

793

107390

16463924



x

107390  135,4224 793 2

16463924  107390  S     242,33 793  793  2 x

S x  242,33  49,22

Distribución marginal del Y

yi

ni

y i ni

yi2 ni

202

317

64034

12934868

123

301

37023

4553829

57

175

9975

568575

793

111032

18057272



entretencionx1000.cl

80

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación

y

111032  140,015 793 2

18057272  111032  S     3166,598 793  793  2 y

S y  3166,598  56,273

62. Calcular la covarianza de la siguiente serie estadística.

Y

10

5

3

2

20

10

6

4

40

20

12

6

60

30

18

X

Solución:

xi

yj

xi y j

2

10

20

4

10

40

6

10

60

2

5

10

4

5

20

6

5

30

2

3

6

4

3

12

6

3

18



36



54



216

entretencionx1000.cl

81

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación

S xy 

216 36 54   9 9 9

S xy  24  4  6  0

63. Calcular la covarianza de la siguiente serie estadística.

Y

12

24

15

16

4

10

9

32

3

6

12

6

7

8

5

X

Solución:

xi

yj

xi y j

16

12

192

32

12

384

6

12

72

16

24

384

32

24

768

6

24

144

16

15

240

32

15

480

6

15

90



162



153



2754

entretencionx1000.cl

82

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación

S xy 

2754 162 153   9 9 9

S xy  306  18  17  0

64. Calcular la covarianza de la siguiente serie estadística.

Y

43

27

34

11

23

54

12

56

24

65

76

87

57

36

47

X

Solución:

xi

yj

xi y j

11

43

473

56

43

2408

87

43

3741

11

27

297

56

27

1512

87

27

2349

11

34

374

56

34

1904

87

34

2958



462



312



16016

entretencionx1000.cl

83

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación

S xy 

16016 462 312   9 9 9

S xy  1779,556  51,333  34,6667  0

65. Calcular la covarianza de la siguiente serie estadística.

Y

1

2

3

4

7

8

9

5

10

11

12

6

13

14

15

X

Solución:

xi

yj

xi y j

4

1

4

5

1

5

6

1

6

4

2

8

5

2

10

6

2

12

4

3

12

5

3

15

6

3

18

 S xy 

45



18



90

90 45 18   9 9 9

S xy  10  5  2  0

entretencionx1000.cl

84

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 66. Calcular la covarianza de la siguiente serie estadística.

Y

22

33

44

55

66

23

45

65

37

77

102

89

76

46

88

34

28

11

59

99

42

48

55

67

X

Solución:

xi

yj

xi y j

66

22

1452

77

22

1694

88

22

1936

99

33

3267

66

33

2178

77

33

2541

88

44

3872

99

44

4356

66

44

2904

77

55

4235

88

55

4840

99

55

5445



S xy 

990



462



38720

38720 990 462   12 12 12

S xy  3226,6667  82,5  38,5  50,41667

entretencionx1000.cl

85

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 67. Calcular la covarianza de la siguiente serie estadística.

Y

134

238

328

146

254

24

65

165

136

153

286

163

144

162

98

275

126

158

178

87

243

145

169

173

X

Solución:

xi

yj

xi y j

254

134

34036

153

134

20502

98

134

13132

87

238

20706

254

238

60452

153

238

36414

98

328

32144

87

328

28536

254

328

83312

153

146

22338

98

146

14308

87

146

12702



S xy 

1776



2538



378582

378582 1776 2538   12 12 12

S xy  31548,5  148  211,5  246,5

entretencionx1000.cl

86

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 68. Calcular la covarianza de la siguiente serie estadística.

Y

21

12

54

23

22

11

18

27

43

36

25

34

38

21

33

16

24

31

16

14

19

20

29

42

X

Solución:

xi

yj

xi y j

22

21

462

36

21

756

33

21

693

14

12

168

22

12

264

36

12

432

33

54

1782

14

54

756

22

54

1188

36

23

828

33

23

759

14

23

322



S xy 

315



330



8410

8410 315 330   12 12 12

S xy  700,8333  26,25  27,5  21,042

entretencionx1000.cl

87

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 69. Calcular la covarianza de la siguiente serie estadística.

Y

32

42

17

19

24

14

43

53

44

29

19

29

19

48

43

26

48

24

25

17

34

31

37

37

X

Solución:

xi

yj

xi y j

24

32

768

29

32

928

43

32

1376

17

42

714

24

42

1008

29

42

1218

43

17

731

17

17

289

24

17

408

29

19

551

43

19

817

17

19

323



S xy 

339



330



9131

9131 339 330   12 12 12

S xy  760,92  28,25  27,5  15,9583

entretencionx1000.cl

88

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 70. Calcular la covarianza de la siguiente serie estadística.

Y

47

38

52

76

16

46

27

38

63

37

44

57

28

74

26

63

37

58

37

24

25

49

53

28

X

Solución:

xi

yj

xi y j

16

47

752

37

47

1739

26

47

1222

24

38

912

16

38

608

37

38

1406

26

52

1352

24

52

1248

16

52

832

37

76

2812

26

76

1976

24

76

1824



S xy 

309



639



16683

16683 309 639   12 12 12

S xy  1390,25  25,75  53,25  19,0625

entretencionx1000.cl

89

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 71. Calcular la covarianza de la siguiente serie estadística.

Y

32

46

57

35

67

14

38

29

10

28

11

47

40

36

49

68

52

73

48

69

34

64

50

67

X

Solución

xi

yj

xi y j

67

32

2144

28

32

896

49

32

1568

69

46

3174

67

46

3082

28

46

1288

49

57

2793

69

57

3933

67

57

3819

28

35

980

49

35

1715

69

35

2415



S xy 

639



510



27807

27807 639 510   12 12 12

S xy  2317,25  53,25  42,5  54,125

entretencionx1000.cl

90

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 72. Calcular la covarianza de los siguientes valores.

Y

10

5

3

ni

2

4

1

2

7

4

3

3

2

8

6

2

1

1

4

nj

9

5

5

19

X

Solución:

yj

nij

xi nij

y j nij

xi y j nij

2

10

4

8

40

80

4

10

3

12

30

120

6

10

2

12

20

120

2

5

1

2

5

10

4

5

3

12

15

60

6

5

1

6

5

30

2

3

2

4

6

12

4

3

2

8

6

24

6

3

1

6

3

18

xi



S xy 

19



70



130



474

474 70 130   19 19 19

S xy  0,26

entretencionx1000.cl

91

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 73. Calcular la covarianza de los siguientes valores.

Y

6

9

10

ni

4

2

4

8

14

17

12

10

9

31

8

5

6

2

13

nj

19

20

19

58

X

Solución:

yj

nij

xi nij

y j nij

xi y j nij

4

6

2

8

12

48

17

6

12

204

72

1224

8

6

5

40

30

240

4

9

4

16

36

144

17

9

10

170

90

1530

8

9

6

48

54

432

4

10

8

32

80

320

17

10

9

153

90

1530

8

10

2

16

20

160

xi



S xy 

58



687



484



5628

5628 687 484   58 58 58

S xy  1,808

entretencionx1000.cl

92

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 74. Calcular la covarianza de los siguientes valores.

Y

34

56

32

ni

47

55

17

19

91

18

22

43

26

91

43

61

75

38

174

nj

138

135

83

356

X

Solución

xi

yj

nij

xi nij

y j nij

xi y j nij

47

34

55

2585

1870

87890

18

34

22

396

748

13464

43

34

61

2623

2074

89182

47

56

17

799

952

44744

18

56

43

774

2408

43344

43

56

75

3225

4200

180600

47

32

19

893

608

28576

18

32

26

468

832

14976

43

32

38

1634

1216

52288



S xy 

356



13397



14908



555064

555064 13397 14908   356 356 356

S xy  16,7253

entretencionx1000.cl

93

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 75. Calcular la covarianza de los siguientes valores.

Y

43

12

23

ni

11

16

34

64

114

54

21

43

26

90

26

43

56

67

166

nj

80

133

157

370

X

Solución:

xi

yj

nij

xi nij

y j nij

xi y j nij

11

43

16

176

688

7568

54

43

21

1134

903

48762

26

43

43

1118

1849

48074

11

12

34

374

408

4488

54

12

43

2322

516

27864

26

12

56

1456

672

17472

11

23

64

704

1472

16192

54

23

26

1404

598

32292

26

23

67

1742

1541

40066



S xy 

370



10430



8647



242778

242778 10430 8647   370 370 370

S xy  2,6322

entretencionx1000.cl

94

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 76. Calcular la covarianza de los siguientes valores.

Y

37

65

47

ni

11

22

35

87

144

27

65

69

22

156

19

82

65

55

202

nj

169

169

164

502

X

Solución:

xi

yj

nij

xi nij

y j nij

xi y j nij

11

37

22

242

814

8954

27

37

65

1755

2405

64935

19

37

82

1558

3034

57646

11

65

35

385

2275

25025

27

65

69

1863

4485

121095

19

65

65

1235

4225

80275

11

47

87

957

4089

44979

27

47

22

594

1034

27918

19

47

55

1045

2585

49115



S xy 

502



9634



24946



479942

479942 9634 24946   502 502 502

S xy  2,385

entretencionx1000.cl

95

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 77. Calcular la covarianza de los siguientes valores.

Y

54

64

74

ni

32

21

26

35

82

79

48

58

47

153

81

43

65

87

195

nj

112

149

169

430

X

Solución:

xi

yj

nij

xi nij

y j nij

xi y j nij

32

54

21

672

1134

36288

79

54

48

3792

2592

204768

81

54

43

3483

2322

188082

32

64

26

832

1664

53248

79

64

58

4582

3712

293248

81

64

65

5265

4160

336960

32

74

35

1120

2590

82880

79

74

47

3713

3478

274762

81

74

87

7047

6438

521478



S xy 

430



30506



28090



1991714

1991714 30506 28090   430 430 430

S xy  2,5772

entretencionx1000.cl

96

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 78. Calcular la covarianza de los siguientes valores.

Y

61

24

18

ni

81

53

12

24

89

95

82

58

63

203

99

8

29

55

92

nj

143

99

142

384

X

Solución:

xi

yj

nij

xi nij

y j nij

xi y j nij

81

61

53

4293

3233

261873

95

61

82

7790

5002

475190

99

61

8

792

488

48312

81

24

12

972

288

23328

95

24

58

5510

1392

132240

99

24

29

2871

696

68904

81

18

24

1944

432

34992

95

18

63

5985

1134

107730

99

18

55

5445

990

98010



S xy 

384



35602



13655



1250579

1250579 35602 13655   384 384 384

S xy  40,1677

entretencionx1000.cl

97

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 79. Calcular la covarianza de los siguientes valores.

Y

78

30

74

ni

44

68

89

16

173

24

52

17

75

144

2

64

81

52

197

nj

184

187

143

514

X

Solución:

xi

yj

nij

xi nij

y j nij

xi y j nij

44

78

68

2992

5304

233376

24

78

52

1248

4056

97344

2

78

64

128

4992

9984

44

30

89

3916

2670

117480

24

30

17

408

510

12240

2

30

81

162

2430

4860

44

74

16

704

1184

52096

24

74

75

1800

5550

133200

2

74

52

104

3848

7696



S xy 

514



11462



30544



668276

668276 11462 30544   514 514 514

S xy  24,98699

entretencionx1000.cl

98

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación Calcular la covarianza de los siguientes valores.

Y

10

53

88

ni

41

78

37

46

161

33

23

66

85

174

13

69

83

95

247

nj

170

186

226

582

X

Solución:

xi

yj

nij

xi nij

y j nij

xi y j nij

41

10

78

3198

780

31980

33

10

23

759

230

7590

13

10

68

884

680

8840

41

53

37

1517

1961

80401

33

53

66

2178

3498

115434

13

53

83

1079

4399

57187

41

88

46

1886

4048

165968

33

88

85

2805

7480

246840

13

88

95

1235

8360

108680



S xy 

581



15541



31436



822920

822920 15541 31436   581 581 581

S xy  30,899

entretencionx1000.cl

99

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 80. Calcular la covarianza de los siguientes valores.

Y

71

17

65

ni

50

50

98

94

242

16

92

97

4

193

43

98

2

21

121

nj

240

197

119

556

X

Solución

xi

yj

nij

xi nij

y j nij

xi y j nij

50

71

50

2500

3550

177500

16

71

92

1472

6532

104512

43

71

98

4214

6958

299194

50

17

98

4900

1666

83300

16

17

97

1552

1649

26384

43

17

2

86

34

1462

50

65

94

4700

6110

305500

16

65

4

64

260

4160

43

65

21

903

1365

58695



S xy 

556



20391



28124



1060707

1060707 20391 28124   556 556 556

S xy  52,652

entretencionx1000.cl

100

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 41.- Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de los siguientes valores:

xi

yi

2

9

4

6

6

3

Solución

N

i 1

i 1

xi y i

yi

xi

2

9

4

18

4

6

16

24

6

3

36

18



N

2

xi

12



18



56



60

 yi  Na  b xi N

y x i 1

i

i

N

N

i 1

i 1

 a  xi  b  xi

2

18 = 3a +12b 60 = 12a + 56b

a = 12 b = -1,5 La recta de regresión es: y* = 12 – 1,5x

entretencionx1000.cl

101

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 81. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de los siguientes valores:

xi

yi

9

13

11

5

23

18

Solución

xi

yi

xi

2

xi y i

9

13

81

117

11

5

121

55

23

18

529

414



N

N

i 1

i 1

43



36



731



586

 yi  Na  b xi N

y x i 1

i

i

N

N

i 1

i 1

 a  xi  b  xi

2

36 = 3a +43b 586 = 43a + 731b

a = 3,25 b = 0,61 La recta de regresión es: y* = 3,25 – 0,61x

entretencionx1000.cl

102

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 82. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de los siguientes valores:

xi

yi

24

12

87

32

88

11

43

54

Solución:

N

i 1

i 1

xi y i

yi

xi

24

12

576

288

87

32

7569

2784

88

11

7744

968

43

54

1849

2322

 N

2

xi

242



109



17738



6362

 yi  Na  b xi N

y x i 1

i

i

N

N

i 1

i 1

 a  xi  b  xi

2

109 = 4a +242b 6362 = 242a + 17738b

a = 31,791

b = -0,075

La recta de regresión es: y* = 31,791 – 0,075x

entretencionx1000.cl

103

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 83. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de los siguientes valores:

xi

yi

17

102

67

13

45

49

98

53

Solución:

N

i 1

i 1

xi y i

yi

xi

17

102

289

1734

67

13

4489

871

45

49

2025

2205

98

53

9604

5194

 N

2

xi

227



217



16407



10004

 yi  Na  b xi N

y x i 1

i

i

N

N

i 1

i 1

 a  xi  b  xi

2

217 = 4a +227b 10004 = 227a + 16407b

a = 91,454

b = -0,6556

La recta de regresión es: y* = 91,454 – 0,6556x

entretencionx1000.cl

104

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 84. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de los siguientes valores:

xi

yi

127

65

46

48

119

32

169

63

Solución:

N

i 1

i 1

xi y i

yi

xi

127

65

16129

8255

46

48

2116

2208

119

32

14161

3808

169

63

28561

10647

 N

2

xi

461



208



60967



24918

 yi  Na  b xi N

y x i 1

i

i

N

N

i 1

i 1

 a  xi  b  xi

2

208 = 4a +461b 24918 = 461a + 60967b

a = 38,0878

b = 0,1207

La recta de regresión es: y* = 38,0878 +0,1207x

entretencionx1000.cl

105

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 85. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de los siguientes valores:

xi

yi

25

44

28

39

57

21

54

22

Solución:

N

i 1

i 1

xi y i

yi

xi

25

44

625

1100

28

39

784

1092

57

21

3249

1197

54

22

2916

1188

 N

2

xi

164



126



7574



4577

 yi  Na  b xi N

y x i 1

i

i

N

N

i 1

i 1

 a  xi  b  xi

2

126 = 4a +164b 4577 = 164a + 7574b

a = 59,91

b = -0,693

La recta de regresión es: y* = 59,91 – 0,693x

entretencionx1000.cl

106

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 86. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de los siguientes valores:

xi

yi

13

11

7

10

6

9

5

8

Solución:

N

i 1

i 1

xi y i

yi

xi

13

11

169

143

7

10

49

70

6

9

36

54

5

8

25

40

 N

2

xi

31



38



279



307

 yi  Na  b xi N

y x i 1

i

i

N

N

i 1

i 1

 a  xi  b  xi

2

38 = 4a +31b 307 = 31a + 279b

a=7

b = 0,32

La recta de regresión es: y* = 7 + 0,32x

entretencionx1000.cl

107

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 87. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de los siguientes valores:

xi

yi

46

21

32

29

17

69

64

83

98

82

Solución:

N

i 1

xi

46

21

2116

966

32

29

1024

928

17

69

289

1173

64

83

4096

5312

98

82

9604

8036

257



284



17129



16415

N

i

 Na  b xi i 1

N

y x i 1

xi y i

yi

 y

2

xi

i

i

N

N

i 1

i 1

 a  xi  b  xi

2

284 = 5a +257b 16415 = 257a + 17129b

a = 32,96

b = 0,464

La recta de regresión es: y* = 32,96 + 0,464x

entretencionx1000.cl

108

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 88. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de los siguientes valores:

xi

yi

86

97

87

96

89

56

76

58

75

59

Solución:

N

i 1

xi

86

97

7396

8342

87

96

7569

8352

89

56

7921

4984

76

58

5776

4408

75

59

5625

4425

413



366



34287



30511

N

i

 Na  b xi i 1

N

y x i 1

xi y i

yi

 y

2

xi

i

i

N

N

i 1

i 1

 a  xi  b  xi

2

366 = 5a +413b 30511 = 413a + 34287b

a = 60,047

b = 1,613

La recta de regresión es: y* = 60,047 +1,613x

entretencionx1000.cl

109

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 89. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de los siguientes valores:

xi

yi

28

69

56

27

84

31

37

11

89

42

Solución:

N

i 1

xi

28

69

784

1932

56

27

3136

1512

84

31

7056

2604

37

11

1369

407

89

42

7921

3738

294



180



20266



10193

N

i

 Na  b xi i 1

N

y x i 1

xi y i

yi

 y

2

xi

i

i

N

N

i 1

i 1

 a  xi  b  xi

2

180= 5a +294b 10193 = 294a + 20266b

a = 43,72

b = -0,13

La recta de regresión es: y* = 43,72 – 0,13x

entretencionx1000.cl

110

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 90. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de los siguientes valores:

xi

yi

17

26

96

74

45

19

43

8

9

28

Solución:

N

i 1

xi

17

26

289

442

96

74

9216

7104

45

19

2025

855

43

8

1849

344

9

28

81

252

210



155



13460



8997

N

i

 Na  b xi i 1

N

y x i 1

xi y i

yi

 y

2

xi

i

i

N

N

i 1

i 1

 a  xi  b  xi

2

155= 5a +210b 8997 = 210a + 13460b

a = 8,488

b = 0,536

La recta de regresión es: y* = 8,488 + 0,536x

entretencionx1000.cl

111

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 91. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de los siguientes valores:

xi

yi

65

48

64

98

87

105

77

39

37

42

Solución:

N

i 1

xi

65

48

4225

3120

64

98

4096

6272

87

105

7569

9135

77

39

5929

3003

37

42

1369

1554

330



332



23188



23084

N

i

 Na  b xi i 1

N

y x i 1

xi y i

yi

 y

2

xi

i

i

N

N

i 1

i 1

 a  xi  b  xi

2

332= 5a +330b 23084 = 330a + 23188b

a = 11,4625

b = 0,832

La recta de regresión es: y* = 11,4625 + 0,832x

entretencionx1000.cl

112

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 92. Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la variable x como dependiente y la variable y como independiente.

xi

yi

2

9

4

6

6

3

Solución:

N

i 1

i 1

xi y i

yi

yi

2

9

81

18

4

6

36

24

6

3

9

18

 N

2

xi

12



18



126



60

 x i  a ' N  b'  y i N

N

N

i 1

i 1

i 1

 x i y i  a '  y i  b'  y i

2

12= 3a’ +b’18 60 = a’18 + b’126

a’ = 7,96

b’ = -0,66

La recta de regresión es: x* = 7,96 – 0,66y

entretencionx1000.cl

113

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 93. Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la variable x como dependiente y la variable y como independiente.

xi

yi

9

13

11

5

23

18

Solución:

N

i 1

i 1

xi y i

yi

yi

9

13

169

117

11

5

25

55

23

18

324

414



N

2

xi

43



36



518



586

 x i  a ' N  b'  y i N

x y i 1

i

i

N

N

i 1

i 1

 a '  y i  b'  y i

2

3a’ +36b’ =43 36a’+ 518b’=586 a’ = 4,566

b’ = 0,814

La recta de regresión es: x* = 4,566 + 0,814y

entretencionx1000.cl

114

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 94. Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la variable x como dependiente y la variable y como independiente.

xi

yi

24

12

87

32

88

11

43

54

Solución:

N

i 1

i 1

xi y i

yi

yi

24

12

144

288

87

32

1024

2784

88

11

121

968

43

54

2916

2322



N

2

xi

242



109



4205



6362

a ' N  b'  y i   x i N

N

i 1

i 1

N

a '  y i  b'  y i   x i y i 2

i 1

4a’ +109b’ =242 109a’+ 4205b’=6362 a’ = 65,63

b’ = - 0,188

La recta de regresión es: x* = 65,63 – 0,188y

entretencionx1000.cl

115

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 95. Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la variable x como dependiente y la variable y como independiente.

xi

yi

127

65

46

48

119

32

169

63

Solución:

N

i 1

i 1

xi y i

yi

yi

127

65

4225

8255

46

48

2304

2208

119

32

1024

3808

169

63

3969

10647

 N

2

xi

461



208



11522



24918

a ' N  b'  y i   x i N

N

i 1

i 1

N

a '  y i  b'  y i   x i y i 2

i 1

4a’ +208b’ =461 208a’+ 11522b’=24918

a’ = 45,573

b’ = 1,334

La recta de regresión es: x* = 45,573 + 1,334y

entretencionx1000.cl

116

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 96. Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la variable x como dependiente y la variable y como independiente.

xi

yi

25

44

28

39

57

21

54

22

Solución:

N

i 1

i 1

xi y i

yi

yi

25

44

1936

1100

28

39

1521

1092

57

21

441

1197

54

22

484

1188

 N

2

xi

164



126



4382



4577

a ' N  b'  y i   x i N

N

i 1

i 1

N

a '  y i  b'  y i   x i y i 2

i 1

4a’ +126b’ =164 126a’+ 4382b’=4577

a’ = 85,92

b’ = -1,426

La recta de regresión es: x* = 85,92 – 1,426y

entretencionx1000.cl

117

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 97. Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la variable x como dependiente y la variable y como independiente.

xi

yi

13

11

7

10

6

9

5

8

Solución:

N

i 1

i 1

xi y i

yi

yi

13

11

121

143

7

10

100

70

6

9

81

54

5

8

64

40

 N

2

xi

31



38



366



307

a ' N  b'  y i   x i N

N

i 1

i 1

N

a '  y i  b'  y i   x i y i 2

i 1

4a’ +38b’ =31 38a’+ 366b’=307

a’ = -16

b’ = 2,5

La recta de regresión es: x* = - 16 + 2,5y

entretencionx1000.cl

118

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 98. Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la variable x como dependiente y la variable y como independiente.

xi

yi

46

21

32

29

17

69

64

83

98

82

Solución:

N

i 1

i 1

xi y i

yi

yi

46

21

441

966

32

29

841

928

17

69

4761

1173

64

83

6889

5312

98

82

6724

8036

 N

2

xi

257



284



19656



16415

a ' N  b'  y i   x i N

N

i 1

i 1

N

a '  y i  b'  y i   x i y i 2

i 1

5a’ +284b’ =257 284a’+ 19656b’=16415 a’ = 22,114

b’ = 0,516

La recta de regresión es: x* = 22,114 +0,516y

entretencionx1000.cl

119

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 99. Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la variable x como dependiente y la variable y como independiente.

xi

yi

86

97

87

96

89

56

76

58

75

59

Solución:

N

i 1

i 1

xi y i

yi

yi

86

97

9409

8342

87

96

9216

8352

89

56

3136

4984

76

58

3364

4408

75

59

3481

4425

 N

2

xi

413



366



28606



30511

a ' N  b'  y i   x i N

N

i 1

i 1

N

a '  y i  b'  y i   x i y i 2

i 1

5a’ +366b’ =413 366a’+ 28606b’=30511 a’ = 71,33

b’ = 0,154

La recta de regresión es: x* = 71,33 +0,154y

entretencionx1000.cl

120

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 100.

Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la

variable x como dependiente y la variable y como independiente.

xi

yi

28

69

56

27

84

31

37

11

89

42

Solución:

N

i 1

i 1

xi y i

yi

yi

28

69

4761

1932

56

27

729

1512

84

31

961

2604

37

11

121

407

89

42

1764

3738

 N

2

xi

294



180



8336



10193

a ' N  b'  y i   x i N

N

i 1

i 1

N

a '  y i  b'  y i   x i y i 2

i 1

5a’ +180b’ =294 180a’+ 8336b’=10193 a’ = 66,384

b’ = - 0,21

La recta de regresión es: x* = 66,384 -0,21y

entretencionx1000.cl

121

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 101.

Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la

variable x como dependiente y la variable y como independiente.

xi

yi

65

48

64

98

87

105

77

39

37

42

Solución:

N

i 1

i 1

xi y i

yi

yi

65

48

2304

3120

64

98

9604

6272

87

105

11025

9135

77

39

1521

3003

37

42

1764

1554

 N

2

xi

330



332



26218



23084

a ' N  b'  y i   x i N

N

i 1

i 1

N

a '  y i  b'  y i   x i y i 2

i 1

5a’ +332b’ =330 332a’+ 26218b’=23084 a’ = 47,3522

b’ = 0,28

La recta de regresión es: x* = 47,3522 +0,28y

entretencionx1000.cl

122

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 102.

Calcular la varianza residual de los siguientes valores:

xi

yi

2

9

4

6

6

3

Solución:

a) Si consideramos la variable x como variable independiente, y la recta de regresión es y* = 12 – 1,5x, con lo cual: 2

xi y i

xi

yi

yi

2

9

81

18

4

6

36

24

6

3

9

18



12



se2 

18



126



60

126  12  18  (1,5)  60 0 3

Nos indica que existe una dependencia perfecta entre las variables x e y.

b) si consideramos la variable x como dependiente, resultaba una línea de regresión x* = 7,96 – 0,66y 2

xi y i

xi

yi

xi

2

9

4

18

4

6

16

24

6

3

36

18



12

s' e2 



18



56



60

56  7,96  12  (0,66)  60  0,026  0 3

entretencionx1000.cl

123

Estadística Bivariada Nivel de Consolidación 103.

Calcular la varianza residual de los siguientes valores:

xi

yi

9

13

11

5

23

18

Solución:

a) si consideramos la variable x como variable independiente, y la recta de regresión es y* = 3,25 – 0,61x , con lo cual: 2

xi y i

xi

yi

yi

9

13

169

117

11

5

25

55

23

18

324

414



43



36



518



586

518  3,25  36  (0,61)  586  252,82 3

se2 

b) si consideramos la variable x como dependiente, nos quedaba una línea de regresión x* = 4,566 + 0,814y