consolidacion univariada by tesis Prob.esta

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Nivel de Consolidaci贸n

Estad铆stica Descriptiva Univariada

Estad铆stica Descriptiva Univariada Nivel de Consolidaci贸n

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Estad铆stica Descriptiva Univariada Nivel de Consolidaci贸n

1. Se ha observado la hora de entrada a una oficina marcadas por un reloj control para un estudio posterior: 8,01 7,55 7,55 7,58 8,12 8,01 8,00 8,03 8,04 8,13 7,59 7,59 8,06 8,03 8,11 8,11 8,10 8,12 8,13 8,22 8,17 8,03 8,01 8,00 7,53 7,56 7,59 7,58 8,02 8,00 7,55 7,53 7,54 8,02 8,02 8,04 8,09 7,57 8,15 8,14 7,58 7,59 7,59 8,04 8,01 8,00 8,01 8,01 a) Hacer tabla de frecuencia b) Que porcentaje de trabajadores son puntales considerando que la entrada es a las 8:00

Hora 7.538.00 8.018.08 8.098.16 8.178.24

f.absoluta f.relativa A.acumulada R.acumulada 20

41.67%

33.34%

75.01%

20.8%

95.81%

4.19%

100%

El 41.67% de los trabajadores son puntuales.

En otra encuesta se pregunto cuantos gramos de chocolate

consumen diarios 50 personas

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Estadística Descriptiva Univariada Nivel de Consolidación

Los datos son los siguientes: 10

a) Calcule desviación estándar b) Calcule el coeficiente de variación

Sol: a) Para calcular la desviación estándar primero debemos calcular la Varianza y para ello debemos saber el promedio:

X 

 i 1

s = 2

Xi  26,62 n

Xi  X 

i 1

 i 1

b) C.V =

 166.26

Xi  X 

 12.9

12.9  0.48 26.62

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3. En una imprenta de un diario se observo el tiempo que se tardan en imprimir la primera plana durante 50 días. Los datos, aproximados a décimas de minuto: 19,7 24,2 23,8 20,7 20,8 22,8 21,9 21,3

23,8 24,3 21,1 20,9 21,6 22,7

22,0 20,7 20,9 25,0 22,2 22,8 20,1

21,5 23,1 19,9 24,2 24,1 19,8

23,7 20,3

23,6 19,0 25,1

25,3 20,7 22,5

23,9 22,8 23,9

25,0 19,5 24,1 24,2 21,8

21,2 23,8 23.3 20,9

22,9 23,5

19,5

a) Calcule el coeficiente de variación y la mediana Sol.: a) X 

 i 1

s = 2

Xi  X 

i 1

Xi  22,328 n

 i 1

b) C.V =

Me=

 3,01

Xi  X 

 1,73

1,73  0,077 22,328  1  X n  X n   23 1  2  2 2 

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4. Arteaga y Rebolledo recopiló datos del número de entrevistas que necesitaban sus 40 vendedores para realizar una venta. Complete los datos faltantes: Nº de entrevistas

1-11

0.05

11-21

0.0

21-31

0.05

31-41

0.3

41-51

0.15

51-61

0.2

61-71

0.125

71-81

0.0

81-91

0.125

91-101

0.0

Los datos en azul son los entregados.

5. El banco del estado lleva un control de la aprobación de préstamos para el desarrollo de microempresas. A lo largo de los cinco últimos años el préstamo mayor fue de 44 millones de pesos y el más pequeño de 5 millones de pesos. a) Construya una tabla de frecuencias con 10 clases considerando que la frecuencia absoluta es el cuadrado de la marca de clase dividido en 15 b) ¿Cuál sería el intervalo de clase?

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Sol:

Millones

M. Clase

f.absoluta f.relativa A.acumulada R.acumulada

5-8

0.60%

9-12

1.59%

2.19%

13-16

2.98%

5.17%

17-20

4.76%

9.93%

21-24

6.94%

16.87%

25-28

9.72%

134

26.59%

29-32

12.70%

198

39.29%

33-36

16.27%

280

55.56%

37-40

101

20.04%

381

75.6%

41-44

123

24.40%

504

100%

b) El intervalo son 3 millones.

6. En la siguiente tabla se presenta el mes y día de los terremotos más fuertes desde 1960 a 1999: Mes

Día

Mes

Día

169

Mes

Día

Mes

Día

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a) Calcule la desviación estándar de los días de los terremotos más fuertes. b) Calcule la media armónica de los meses de los terremotos más fuertes.

Sol: a) Para calcular la desviación estándar primero debemos calcular la varianza y para ésta debemos tener promedio, luego:

X 

Xi  15,9166667 n

 i 1

Xi  X 

s = 2

i 1



Xi  X 

i 1

b) Mh=

 87,9642857

n n

 i 1

1 Xi

 9,38 (aprox.)

 7,5160224

7. En un colegio se pregunto la edad a los profesores para un estudio posterior, los datos observados son los siguientes: 24

a) ¿La distribución de las edades de los profesores es simétrica?

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Sol: para que la distribución sea simétrica la media debe ser igual a la mediana, luego

=

x i 1

= 33 y

  Me=  X  n   =33   1    2  

Luego:  = Me entonces es simétrica.

8. Una máquina cigarrera fabrica 7500 cigarrillos por min. Y en una máquina empaquetadora hace 400 cajetillas por min. Y una caja contiene 500 cajetillas. a) En un turno de 8 horas ¿Cuál es la eficiencia máxima? b) Si la máquina esta detenida 2 horas ¿En que % baja su rendimiento?

Sol: a) Primero debemos saber cuántas cajas salen por min. Luego: 500/400= 0.8 cajas por min.

Ahora 0.8 * 60 = 48 cajas en una hora

Luego la eficiencia máxima es: 48 * 8 = 384 b) ahora si la máquina se detiene 2 horas se tendrá:

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48 * 6 = 288

y 288 es el 75% de 384

Lo que implica que el rendimiento bajara en un 25%

9. Un nutricionista recibe en su consulta a 5 pacientes y obtiene el peso en kilos de ellos: 70

Cuya media es 69.6 kilos a) Determine la desviación estándar. b) Calcule la media Geométrica.

Sol: a) Primero debemos calcular la varianza:

s = 2

Xi  X 



 136,3

i 1

X

i 1

b) Mg =

X n



 11,67

X 1 * X 2 * ... * X n = 68,80

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10. En el primer año básico se tomaron las estaturas de los alumnos en centímetros. Los datos obtenidos son los siguientes: 104

100

102

107

100

106

110

108

a) Calcule media y varianza b) Determine un intervalo que contenga aproximadamente el 80% de los alumnos.

Sol:

a)  =

x i 1

n n

s = 2

i 1

= 100,75

Xi  X 

 24,6

b) Como son 16 alumnos debo saber cuánto es el 80% que es 13 aprox. Luego debo construir intervalos de manera que en uno de ellos me queden 13 datos como sigue: Intervalos

f.absoluta f.relativa

93-106

81,25%

107-120

18,75%

11. Se tienen las notas de lenguaje de los alumnos de 2º medio:

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Alumno

1º prueba

2º prueba

3º prueba

6,5

5,0

6,3

3,5

4,0

5,0

4,8

5,7

5,0

6,8

6,0

6,3

6,4

4,7

4,5

4,0

4,7

5,2

5,5

6,9

6,8

7,0

4,0

3,8

4,1

5,5

5,8

5,5

4,8

4,9

5,1

5,0

5,5

5,9

6,4

6,7

6,8

7,0

6,5

6,8

7,0

5,0

5,2

5,0

4,6

4,8

3,9

4,0

2,0

4,8

5,5

6,1

6,0

5,8

6,3

6,8

6,5

5,1

5,0

5,2

5,8

5,1

6,0

5,3

5,5

5,8

6,0

5,8

6,3

a) Calcule promedio de notas de las 3 pruebas por alumno y promedio curso por prueba b) ¿Cual es la diferencia en % entre el peor y mejor alumno en el promedio de las 3 pruebas?

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Sol: a) El promedio de notas de cada alumno es: 5,9

3,7

5,2

5,8

6,2

4,4

5,1

6,9

4,0

5,6

4,9

5,5

6,3

6,9

6,8

5,1

4,7

4,0

4,1

6,0

6,5

5,1

5,6

5,5

6,0

El promedio curso por prueba es: 5,264

5,364

5,676

b) la diferencia en % de los alumnos con mejor y peor rendimiento es: 45,7%.

12. En una carrera de Veleros participan 7 embarcaciones. El recorrido a realizar es de 50km. Las embarcaciones demoraron los siguientes tiempos: 1.

30 min.

80 min.

40 min.

50 min.

45 min.

55 min.

7.-

70 min.

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a) Determine la velocidad promedio y la media

Sol:

X 

 i 1

(100 km/hr.)

(37.5 km/hr.)

(75 km/hr.)

(60 km/hr.)

(66.6 km/hr.)

(54.5 km/hr.)

(42.8 km/hr.)

Xi  62.34 km/ hr n

Me= 60 km/ hr

13. En una empresa de celulares hay los siguientes 5 modelos para la venta: Celular

Costo en Pesos

Nokia

$40.000

Samsung

$43.000

Sony Ericsson

$47.500

Alcatel

$37.800

Motorola

$51.900

a) Calcule media geométrica del costo en dólares.($550 c/dólar) b) ¿Cuanto se debe disponer en promedio para comprar un celular?

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Sol: Primero debemos cambiar de moneda de pesos a dólares. Celular

X

a) Mg= n

Costo en Dólares

Nokia

$72,7

Samsung

$78,1

Sony Ericsson

$86,3

Alcatel

$68,7

Motorola

$94,3

 79,49

i 1

b) X 

 i 1

Xi  44.040 n

14. Un alumno de 4º básico presenta las siguientes notas: 4,1

2,3

4,1

3,0

5,0

4,0

Obtenga: a) Promedio de notas b) Desviación Media c) Varianza

Sol:

a) X 

 i 1

Xi  3,75 n

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Xi  X

i 1

b) Dm=  n

c) s =  2

i 1

Xi  X 

 4,4

 0,76

15. Tres hombres A,B,C intervienen en un torneo de ajedrez organizado por la Federación de Chile, pero intervienen también cuatro mujeres W1, W2, W3,W4. Si ambos quieren ganar pero cada mujer tiene el doble de Posibilidades de ganar que un hombre, pero entre el mismo sexo, las mismas. a) Hallar Probabilidad de que un hombre gane el torneo

Sol.: P( A)  P Entonces P( B)  P(C )  P

Además P(W1)  P(W 2)  P(W 3)  P(W 4)  2P La suma de todos las probabilidades tanto de hombres como mujeres debe ser igual a 1 (Por axioma) P  P  P  2P  2P  2P  2P  1

11P  1 1 P 11 Ahora A1) P( A, B, C )  P( A)  P( B)  P(C ) 1 1 1 3    = 11 11 11 11

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P(W 1, A)  P(W 1)  P( A) 

2 1 3   11 11 11

16. Sean ocho artículos escogidos al azar de un total de 27 artículos de los cuales

trece son defectuosos

Sea A= {ocho artículos defectuosos} B= {ocho artículos no defectuosos} Hallar P( A) y P( B)

Sol.:

 27  Q puede suceder de    2220075 Maneras para escoger 8 artículos 8  entre 27. 13  A puede suceder de   1287 Maneras que se puede escoger 8 8  defectuosos entre 20. 14  B puede suceder de    3003 Maneras que se puede escoger 8 no 8  defectuosos entre 14. Luego se tiene:

P( A) 

1287 2220075

P( B) 

3003 2220075

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17. Se escogen al azar 5 ampolletas entre 18 de las cuales 6 son defectuosas. Hallar la probabilidad P de que: a) Ninguna sea defectuosa b) Dos exactamente sean defectuosas c) Dos por lo menos sean defectuosas Sol.:

18  Sabemos    8568 Maneras de escoger 5 ampolletas entre 18. 5  12  a) ya que 18-6=12 ampolletas no defectuosas entonces hay    792 5  Maneras de escoger 5 ampolletas no defectuosas. Asi que P 

792 198 99 11    8568 2142 1071 119

12  b) Se tienen 6 ampolletas defectuosas y    220 .Por consiguiente 2  se tiene 6  220=1320 Maneras de escoger 5 ampolletas de las cuales 2 sean defectuosas. P

1320 8568

c) El evento que sean por lo menos 2 defectuosas es el complemento del evento de que ninguna sea defectuosa. Por lo Tanto Probabilidad no defectuosa es

11 11 108  entonces P 1  119 119 119

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18. En el liceo Maria Luisa Bombal hay un curso que consta de 28 hombres Y 16 mujeres, de las cuales la mitad de los hombres y mujeres tienen los ojos verdes. Hallar la probabilidad P de que una persona escogida al azar sea Mujer y tenga los ojos verdes.

Sol.: A= {la persona es una mujer} B= {la persona tiene ojos verdes} Buscamos P(AUB) Luego P( A) 

P( A  B) 

16 4  44 11

;

P( B) 

22 1  44 2

8 2  44 11

Por regla aditiva P  P( AUB)  P( A)  P( B)  P( A  B)

4 1 2 15    11 2 11 22

19. En el interior de un circulo se selecciona un punto al azar. Hallar la probabilidad P de que el punto quede mas cercano al centro que a la circunferencia.

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T ½r U ¼r 11 1 / 4

Sol.:

Area de U P  P( A)   Area de T

1 1   r2 1 4 1 4  16    1 1  ( r ) 2    r 2 16 1 4 2 4

 ( r) 2

20. Una clase de cálculo diferencial esta formada por 12 estudiantes de primero, 7 de segundo, 5 de tercero y 2 de cuarto año de Universidad. Se escoge un estudiante al azar para representar al curso. Hallar la probabilidad que el estudiante. a) Sea de tercero b) Sea de segundo o cuarto año

Sol.: a) P( A) 

5 El alumno sea de tercer año. 26

b) P( BUD)  P( B)  P( D) 

7 2 9   26 26 26

P( BUD)  P( B)  P( D) Eventos Disjuntos

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21. Una Universidad tiene 4 Carreras Leyes, Medicina, Ingeniería, Pedagogía.

El 20% de los alumnos son de Pedagogía.

El 30% de los alumnos son de Ingeniería.

El 40% de los alumnos son de Medicina.

El 10% de los alumnos son de Leyes.

El % de alumnos becados son:

35% de los alumnos de Pedagogía.

30% de los alumnos de Medicina.

20% de los alumnos de Ingeniería.

15% de los alumnos de Leyes

¿Cual es la probabilidad que un alumno de esta Universidad tenga Beca? Sol.: P: Alumnos de Pedagogía I : Alumnos de Ingeniería. L: Alumnos de Leyes M: Alumnos de Medicina.

P( P)  0,2% P( I )  0,3% P( L)  0,1 P( M )  0,4

P( B)  P( B )  0,35% P

P( B

)  0,3%

P( B / J )  0,20 P( B / L)  0,15%

Entonces P( B)  P( B / P) P( B)  P( B / M ) P(M )  P( B / I ) P( I )  P( B / L) P( L)

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= 0,35  0,20  0,30  0,40  0,20  0,30  0,15  0,10 =

0,07

0,265



0,12 

0,06

 0,015

26% de probabilidades que un alumno tenga beca

22. Una caja de lápices de Colores contiene 26 unidades

de las

cuales 9 están malos. Si se selecciona al azar 3 de estos sacándose de la caja en sucesión sin reemplazo. ¿Cual es la Probabilidad que los 3 lápices estén malos?

Sol.: A: El primer lápiz este malo B: El segundo lápiz este malo C: El tercer lápiz este malo. Por Teor eventos independientes P( A  B  C )  P( A)  P( B / A)  P(C / A  B) Luego

P( A) 

9 26

P( B / A) 

8 25

P(C / A  B) 

7 24

Se tiene P( A  B  C )  P( A)  P( B / A)  P(C / A  B)

9 8 7 21    26 25 24 650

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23. 10 estudiantes A, B, C,D,E,F,G,H,I,J están en una clase de inglés se escogen 3 al azar para una interrogación. Hallar la probabilidad de que: a) A sea interrogado por el profesor b) B sea interrogado por el profesor. c) A y C sean interrogados d) A o C sean interrogados

Sol.: a) P( A) 

3 10

c) P( A  C ) 

b) P( B) 

3 10

d) P( AUC ) 

24.

Dados

P( AUB) 

los

siguientes

3 3 9   10 10 100

3 3 3   10 10 5

eventos

con

5 7 1 ; P( A  B)  ; P( A C )  6 12 6

Hallar P( A), P( B), P( A  B C )

Sol.:

P( A)  P( AC )  1 (Teor) Luego

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P( A)  1  P( AC ) 1 5 P( A)  1   6 6 Luego por P( AUB)  P( A)  P( B)  P( A  B)

5 6

5 7  P( B)  6 12



P( B) 

7 12

P( A  B C )  P( A)  P( A  B) =

5 7 3 1    6 12 12 4

25. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. -4 1 4

f (xi )

-2 1 3

2 1 2

4 1

Sol.:

   xi xi   4    2   2   4 4 3 2 2

= -1 -

2 10 1 4 = 3 3

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 xi

1 1 1  f ( xi ) 16   4   4   16 4 3 2 = 4

4 70  2  16  3 3

 2   xi 2 f ( xi )   2 =



70 100 110   3 9 9

110 110   3,496 9 3

26. Una ciudad tiene 2 diarios: “El País” y “La Cuarterola” . Un estudio reciente a mostrado que en los hombres el 30% lee El país, el 20% La Cuarterola y un 15% lee ambos. El mismo estudio revela que el 30% de las mujeres lee El País y el 40% lee La Cuarterola y y el 30% ninguno. a) Encuentre la Probabilidad que el hombre lea al menos uno de los diarios. b) Encuentre la probabilidad que una mujer lea solo A

Sol.: A: Lee EL País B: Lee La Cuarterola C: Al menos un Diario a) P(C )  0,3  0,2  0,15 = 0,65%

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b) P( A)  0,30 %

27. En un sorteo del KINO de un total de 25 bolitas, el que canta las bolitas extrae 2 de la tómbola ¿Que probabilidad existe que la primera bolilla sea múltiplo de 3 y la segunda múltiplo de 5? Sol.: Múltiplos de 3= {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} Múltiplos de 5= {5, 10, 15, 20, 25} La probabilidad de sacar la primera bolita múltiplo de 3 entre 25 es:

P(3) 

8 25

La probabilidad de sacar la segunda bolita múltiplo de 5 entre 25 es:

P(5) 

5 1  25 5

Luego la probabilidad de obtener un múltiplo de 3 y un múltiplo de 5 es: P (3y5)=

8 1 8   25 5 125

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28. La probabilidad de que un Hombre vivirá 20 años más es probabilidad de que su esposa vivirá 20 años mas es

1 , la 3

1 . Hallar la 6

probabilidad que: a) Ambos estarán vivos dentro de 20 años b) Al menos uno estará vivo en 20 años. c) ninguno estará vivo en 20 años. Sol.:

P( H ) 

1 3

P( E ) 

1 6

1 1 1 a) P( H  E )  P( H )  P( E )    3 6 18 b) P( HUE)  P( H )  P( E)  P( H  E) 1 1 1 8 4 =     3 6 18 18 9 c) P( H C  E C )  P( H C )  P( E C ) 2 5 5 =   3 6 9

29. En una caja hay tarjetas del mismo tipo con las letras de la palabra MURCIELAGO luego se saca una tarjeta al azar, La probabilidad que en esta halle una vocal es:

1 10 Sol.:

1 5 1 c) 2 b)

P( A) 

5 1  10 2

d)1

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30. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa esta dada por:

  1 f ( y )   ( y  1) 8  0

para 2  y  4

Determinar efectivamente que f ( y ) es una función de densidad de probabilidad.

Sol.: 4 4 4  1  y2  16 1 1 1  1 4   ( y  1 ) dy  ( y  1 ) dy   y dy  dy       y    4    2  8   1 2 8    82 8 2 8 2   2 2  8 2 4

Por la tanto podemos decir que efectivamente es una función de densidad

31. Se lanza un dado hasta que salga un 6 y se registra cada vez el número de lanzamientos necesarios y la suma de los valores obtenidos en el dado, calcular: a) La probabilidad de que la suma sea 10 , si se sabe que se lanza el dado no mas de 3 veces.

Sol.: A= {Los dados suman 10} B= {a lo mas 3 lanzamientos}

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P( A / B) 

P( A  B1)  P( A  B2)  P( A  B3) P( B)

P( A  B2)  P(2,10)  3

1 1 1   6 6 36 3

1 1 1 1 1 1 P( A  B3)           3     3   216 72 6 6 6 6 P( B)  P( B1)  P( B2)  P( B3) 1 5 1 5 5 1 91 =       6 6 6 6 6 6 216

P( A / B) 

0

1 3  36 216  9  216  9 91 216 91 91 216

32. Sea x una variable aleatoria continuaron distribución

 2x 3k f ( x)   2 0

si 0  x  5

a) calcular el valor de k b) Hallar P(1  X  5) P(2  X  6) P( X  5)

Sol.: a) 5

2  3k 0

x 3 3 x2  3 25 75 4 2 dx  k 2  x dx  k 2    k 2   k 2  1  k 2  k  2 2 0 2 2 2 2 4 75 5 3 5

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b1) 5

P(1  X  5)   1

2 5 3

 x dx 

2 x2 2  25 1  2 24 24       5 3 2 5 3  2 2 5 3 2 5 3

x2  2  36 4  2 32 64     =  5 3 2  5 3  2 2  5 3 5 25 3 2

b2) P(2  X  6) 

b3) P( X  5) 

x dx 



 x dx  0

2 x2  2 25 5    5 3 2 5 3 2 3

33. Dada la siguiente función x

f ( x) 

1 25 e 25

0 x

Determinar a) si la función anterior es una función de Probabilidad

Sol: x x x  0   1 25 1 1 u u 25 45 45 45 e dx  e dx    25 e du  e   e   e  e 1  0 25 0 25  25 





34. Dada la siguiente función de probabilidad

 6  7  x  f ( x)    36  0

x  1,2,3,.......12

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Evaluar para cada valor la función acumulativa de la función antes dada

Sol.:

F (1)  0 1 36 3 F (3)  P ( X  3)  36 6 F ( 4)  P ( X  4 )  36 10 F (5)  P ( X  5)  36 15 F ( 6 )  P ( X  6)  36 21 F (7 )  P ( X  7 )  36 26 F (8)  P ( X  8)  36 30 F (9)  P ( X  9)  36 33 F (10)  P ( X  10)  36 35 F (11)  P ( X  11)  36 F (12)  P ( X  12)  1 F ( 2)  P ( X  2 ) 

Calcular las siguientes probabilidades con respecto a lo antes calculado 26 P( X  5)  1  P( X  5)  1  F (5)  36 10 6 1 P( X  5)  P( X  5)  P( X  4)  F (5)  F (4)    36 36 9

P(7  X  9)  P( X  9)  P( X  6)  F (9)  F (6) 

30 15 15   36 36 36

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35. En un test de lenguaje y comunicación un estudiante debe responder 7 de un total de 9 preguntas.

Sol.: a) De cuantas formas puede responder la prueba

9 9!     36  7  (9  7)!7! b) De cuantas formas puede responder si de las 4 primeras preguntas debe responder 2 y de las 5 restantes 3.

 4 4!    6  2  (4  2)!2! 5 5!    10  3  (5  3)!3!  4  5       6  10  16  2  3 De 16 formas posibles se puede responder el Test.

36. En un instituto hay 1000

alumnos repartidos por cursos de

acuerdo a una tabla, calcular la probabilidad de:

Hombre Mujer Total

1 125 370 495

2 100 180 280

3 120 105 225

a) Ser hombre b) Ser hombre o mujer de 1

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c) Ser hombre de 2 o mujer de 3 Sol.: a) P( H ) 

345 1000

b) P( HoM ) 

c) P( HoM ) 

495 1000

205 1000

37. La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria x dada por:

3(1  x) dx f ( x)   0

0  x 1

Determinar esperanza y Varianza

Sol.: 1

a) E ( X )   3x(1  x)dx   3x dx   3x 2 dx 0

= 3 x dx  3 x 2 dx  3 

x2 x3  1   2 3 2

var( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) 1 4 Al desarrollar la integral de E ( x 2 ) me da como resultado ¼ Ahora puedo calcular la varianza E( x 2 ) 

Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x)

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1 1  0 4 4 Al ser la Varianza igual a cero, quiere decir que la varianza es una constante. =

38. Sea x una variable aleatoria que representa el numero de clients que llega a una tienda en un periodo de una hora. Dada la siguiente información.

x p(x)

0 0,05

1 0,10

2 0,10

3 0,10

4 0,20

5 0,25

6 0,10

7 0,05

8 0,05

a) encontrar esperanza. Sol.:

E( x)  0  0,05  1  0,10  2  0,10  3  0,10  4  0,20  5  0,25  6  0,10  7  0,05  8  0,05 =3,8

Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) E ( x 2 )  0  0,05  1  0,10  4  0,10  9  0,10  16  0,20  25  0,25  36  0,10  49  0,05  64  0,05 = 20,1 Var ( x)  20,1  14,44 = 5,66

39. Se dispone de 2 urnas en las cuales la probabilidad

de ser

seleccionada son 0,2 y 0,5 respectivamente. La primera tiene 9 azules y 4 rojas y la segunda 3 azules y 6 rojos.

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Si se extrae una bola y esta es de color rojo ¿Cuál es la probabilidad que sea de la urna 1?

Sol.:

P(U1 / R) 

P(U1) P( R / U1) P(U 2) P( R / U 2)  P(U1) P( R / U1)

0,2  =

4 13

6 4 0,4   0,2  9 13



(Por Bayes)

0,06  0,1840 0,326

40. Si se elige al azar un número del 1-100 ¿Cuál es la probabilidad de que ese numero sea múltiplo de 3 y 5 a la vez?

Sol.: Múltiplos de 3 y 5= {15, 30, 45, 60, 75, 90}

P( A) 

6 3  100 50

41. Se lanza un dado y sale 4 ¿Que probabilidad hay que al lanzarlo nuevamente sume con el primer resultado un numero menor a 9?

1 9 5 b) 6 a)

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4 9

2 3

42. Determinar la probabilidad que al lanzar un dado cuatro veces no se obtenga ningún 5? a)

10 625

1296 625

625 1296

1 1296

Sol.: Es la alternativa c y se resuelve por la regla multiplicativa

43. Calcular la probabilidad de ganar el loto con un solo cartón

Sol.: P( A) 

1 1 1    0,000000306 39 ! 3.262.623  39     6  (39  6) ! 6!

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Probabilidad de ganar el Loto

44. Javier fue al hipódromo y le gustaron 2 caballos, el primero tiene una probabilidad de perder de ganar de

5 y el segundo una probabilidad de 8

1 3

¿Qué probabilidad tiene de ganar si apuesta a los 2 caballos? a)

17 24

7 24

35 26

8 12

Por la regla aditiva se obtiene que la probabilidad de ganar si se apuesta 17 a los 2 caballos es de 24

45. En una casa hogar se ha realizado un estudio entre 50 mujeres, entre 15 y 22 años, observándose el número de hijos de ellas. El resultado ha sido: Xi: número de hijos

ni: número de mujeres

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a) Realice un histograma. b) Calcule la media geométrica de mujeres que tienen entre 3 y 5 hijos

Sol:

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1

b) Mg= n

X

 6.78

i 1

46. Se realizo un estudio de las micros de Valparaíso y se determino la cantidad de kilómetros por litro de petróleo que recorría cada micro.

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Kilómetros/litros Numero de micros 14-16

16-18

18-20

20-22

22-24

a) Realice un histograma. b) Calcule el promedio de micros que rinden entre 14 y 20 litros ¿Que porcentaje del total representa?

Sol:

80 70 60 50 40 30 20 10 0 14-16

b) X 

 i 1

16-18

18-20

20-22

22-24

Xi  55.67  56 y representa el 27.18% del total n

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47. Tenemos una tabla con los Terremotos en Chile desde 1960 a1999: Año

Mes

1960

1961

1962

1965

1966

1967

1971

1974

1975

1976

1977

1978

1981

1983

1985

1987

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1988

1995

1997

1998

1999

Realice un histograma

Calcule la media geométrica de los meses entre 1960 y 1962

Sol: a)

14 12 10 8 6 4 2 0

1 9 6 0

1 9 6 1

1 9 6 2

1 9 6 5

1 9 6 6

1 9 6 7

1 9 7 1

1 9 7 4

1 9 7 5

1 9 7 6

1 9 7 7

1 9 7 8

1 9 8 1

1 9 8 3

1 9 8 5

1 9 8 7

1 9 8 8

1 9 9 5

1 9 9 7

1 9 9 8

1 9 9 9

Serie1 5 5 5 6 11 9 2 8 2 3 12 3 12 6 7 8 5 11 11 8 10 10 3 3 4 3 8 4 7 10 1 4 8 9 11 11

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b) Mg= n

X

 5.75

i 1

48. Los siguientes datos corresponden al número de cargas familiares de 20 trabajadores de una pequeña empresa: 3–3–0–2–4–3–5–5–6–0–2–3–1–7–6–4–5–8–4–3 a) Construya un histograma. b) ¿Qué porcentaje de trabajadores tienen entre 3 y 8 cargas?

Sol: a) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1

b) El 75% de los trabajadores

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49. Al lanzar un dado 420 veces se obtuvo la siguiente tabla Nº

Frecuencia

a) Completa la tabla de frecuencias b) Con que frecuencia relativa aparece 6 c) Calcule Mediana y Moda y compare con el promedio

Sol: a) Nº

F.Absoluta

A.Acumulada

F. Relativa

R. Acumulada

15.5

129

15.2

30.7

210

19.3

267

13.6

63.6

342

17.9

81.5

420

18.5

100

b) aparece con frecuencia relativa de 18.5 c) Me= 70 Mo= no hay n

=

x i 1

= 70

Luego podemos decir que el promedio y la mediana son iguales.

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50. De que nº, 64 es el 80% y el promedio entre el

nº nº es: y 4 3

Sol: 64 es el 80% de 80

80 80  20 y  26,7 4 3

Luego n

=

x i 1

= 23,35

51. En un taller mecánico de automóviles se recogen datos sobre los días de permanencia de los vehículos a reparar en él, y se obtiene: Días de estancia

Nº de automóviles

a) Calcula el promedio de los días de permanencia de los vehículos. b) ¿Cuántos días como máximo permanecen en el taller el 75% de los automóviles, que menos permanecen en el taller. c) Calcula la mediana y la moda.

Sol: n

a)  =

x i 1

= 5.43 aprox. 5 días

b) 4 días permanecen como máximo

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c) Me= 7 moda = no hay

52. Los datos representan el costo de la energía eléctrica durante el mes de julio del 2009 para una muestra aleatoria de 50 departamentos con dos dormitorios en Valparaíso. El estudio se hará con los valores en dólares.

a) Elabore un histograma con los datos. b) En que cantidad se concentra el costo en pesos de energía eléctrica.

Sol:

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b) 148 dólares que es 74.000 pesos aproximadamente

53. Se toma una muestra de estudiantes que posee automóviles y se registró la marca de cada automóvil. Ch = Chevrolet, P = Peugeot, O =Fiat, B = BMB, Ca = Cadillac

a) Haga una tabla de frecuencias b) ¿Qué frecuencia relativa tiene Fiat?

Sol: Marca

F.Absoluta

A.Acumulada

F. Relativa

R. Acumulada

100

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54. El profesor de Arte por equivocación perdió la nota de uno de sus diez alumnos. Si los otros nueve estudiantes obtuvieron 43, 66, 54, 33, 40, 52, 70, 38 y 62 y el promedio de las diez calificaciones es 51, ¿Qué nota perdió el profesor?

Sol: Podemos plantear la situación en la siguiente ecuación 458 es la suma de las 9 notas le sumamos x que es la nota que falta lo dividimos por 10 y lo igualamos a 51 como sigue

458  x  51 10 458 +x =510 X= 510-458 X= 52 que es la nota que el profesor perdió

55.

Se realiza un estudio sobre las concentraciones de alcohol en la

sangre de 15 conductores implicados en accidentes de transito. Calcule el rango si dividimos los datos en 3 intervalos, la varianza y la desviación estándar.

0.27 0.17 0.17 0.16 0.13 0.24 0.29 0.24 0.14 0.16 0.12 0.16 0.21 0.17 0.18

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Sol: El rango seria de 0.05 para los datos agrupados en 3 intervalos n

s = 2

Xi  X 

i 1

 i 1

 0,00262095

Xi  X 

 0,05099

56. Cuando una muestra es asimétrica, ¿Cual es el mejor estadístico de centralización que puede ocuparse?

Sol: Cuando los datos son muy dispersos y tenemos varios valores escapados si ocupamos el promedio esos datos escapados, harán que nuestra media no sea tan real, y si calculamos la moda no tomaremos en cuenta los datos escapados, luego podemos concluir que la mediana al incluir todos los datos será la mejor opción

57. En el hospital Van Buren, se realiza un estudio a los recién nacidos llamado “NACER” y el 80 % de ellos obtienen una puntuación de 15 en dicho estudio. ¿Qué representa el valor 15 de esta distribución?

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Sol: La moda, ya que el resto de los valores esta repartido en el 20% que queda lo que nos dice que el valor 15 es el que más se repite.

58. Se quiere estudiar el nivel de consumo de alcohol en adolescentes con edades entre los 12 y los 17 años. ¿Que representa la diferencia de estos dos valores?

Sol: representa la amplitud que es quien aporta una medida de la dispersión de la distribución.

59. En la biblioteca Severin se realiza un estudio sobre cuanto leen las personas y la información se clasifica en la siguiente tabla: a) Hacer el histograma b) ¿Cuántas personas en promedio leen 3 o mas libros al mes? c) Calcule la media geométrica entre las personas con bachillerato y universitarios. Niveles de lectura Lee sin estudios Lee solo con básica aprobada Estudios medios bachillerato o similar universitarios

Nº de personas que leen 3 o mas libros 1 5 4 10 15

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Sol: a) 16 14 12 10 8

Serie1

6 4 2 0 1

b)  =

x i 1

c) Mg= 12,24

60. Se desea estudiar las velocidades de un grupo de 10 pilotos de la fórmula 3. Las velocidades están expresadas en km/hr. 162-168-172-168-180-176-164-168-176-170 Realizar el estudio: a) con los datos sin agrupar b) agrupar los datos en intervalos de 10 km/h. Y que características tiene el intervalo al que pertenece el promedio.

Sol: n

a)  =

x i 1

= 170.4

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b) Se harán 3 intervalos: Km/hr 155 – 165 165 – 175 175 – 185

Nº de pilotos 2 5 3

El promedio pertenece al segundo intervalo que es también la moda, además podemos decir que ese intervalo contiene el 50% de los datos.

61. Los siguientes datos corresponden a los minutos que tarda cada patrulla (scout) en realizar una prueba de nudos. 2

a) Calcular la varianza b) Calcular la desviación estándar c) Calcular el coeficiente de variación.

Sol: a) X 

 i 1

s = 2

Xi  n

7.2

Xi  X 

i 1



 107,29

Xi  X 

 10.36 n C.V = 10.358035/ 7.2= 1.44 S=

i 1

62. En el colegio Eduardo de la Barra se realiza un estudio de las notas de matemática de todos los 1° 2° y 3° medios:

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NOTA

F. Absoluta

1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 6,0 6,2 6,4 6,6 6,8 7,0

1 2 3 8 14 18 19 22 25 26 27 31 35 38 45 46 48 52 58 60 56 54 51 50 46 44 40 32 31 18

A. Acumulada 1 3 6 14 28 46 65 87 112 138 165 196 231 269 314 360 408 460 518 578 634 688 739 789 835 879 919 951 982 1000

F. Relativa % 0,1 0,2 0,3 0,8 1,4 1,8 1,9 2,2 2,5 2,6 2,7 3,1 3,5 3,8 4,5 4,6 4,8 5,2 5,8 6,0 5,6 5,4 5,1 5,0 4,6 4,4 4,0 3,2 3,1 1,8

R. Acumulada % 0,1 0,3 0,6 1,4 2,8 4,6 6,5 8,7 11,2 13,8 16,5 19,6 23,1 26,9 31,4 36,0 40,8 46,0 51,8 57,8 63,4 68,8 73,9 78,9 83,5 87,9 91,9 95,1 98,2 100

a) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo nota 4,0? b) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo nota 7,0? c) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo nota inferior o igual a 4,0 y que porcentaje obtuvo nota sobre 4,0?

Sol: a) 45 alumnos obtuvieron nota 4,0 lo que corresponde al 4,5% b) El 1,8 % de los alumnos obtuvo nota 7,0

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c) El 31 % obtuvo nota 4.0 o inferior a ésta, mientras que el 69% obtuvo una nota superior a 4,0.

63. La tabla muestra los intervalos de tiempo en horas que trabajan las máquinas de una cierta empresa Intervalo 5,5-6,5 6,5-7,5 7,5-8,5 8,5-9,5 9,5-10,5 10,5-11,5

Xi 6 7 8 9 10 11

fi 3 5 9 7 4 11

hi 7,70 12,82 23,07 17,95 10,25 28,21

Fi 3 8 17 24 28 39

Hi 7,70 20,52 43,59 61,54 71,79 100

a) Calcule la media geométrica de las máquinas que trabajan entre 6,5 y 9,5 horas b) Calcule el porcentaje de máquinas que trabaja menos de 8,5 horas

Sol: a) Mg= 17,74 b) 43,6% aproximadamente.

64. Los siguientes datos muestran el consumo de agua anual en millones de pesos de 18 empresas. 89.9 25.1 5.6

42.9 40.2 39.7

44.2 26.9 29.3

31.7 32.3 28.9

88.2 36.8 55.2

35.6 37.8 45.2

a) Calcule las medidas de tendencia central b) ¿Que porcentaje de empresas aproximadamente consumen entre 12.9 y 46.8 millones?

Sol:

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Xi  40.86 i 1 n Mo= no hay Me= 37,3

a) X 



b) 77.77%

65. Una empresa quiere contratar promotoras para que trabajen distintos horarios. Los datos obtenidos son los siguientes: Promotoras Tiempo(hrs) 3 1.45-2.15 9 2.15-2.85 14 2.85-3.55 23 3.55-4.25 9 4.25-4.95 7 4.95-5.65 2 5.65-6.35

a) ¿Cuál es el tiempo de trabajo más común entre las promotoras? b) ¿Son los tiempos de trabajo una medida que presenta una gran dispersión entre las promotoras? c) ¿En que intervalo se encuentra el promedio de las promotoras?

Sol: a) El tiempo de ejecución mas común entre los postulantes es entre 3.55 y 4.25

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b) 25

15 Serie1 10

0 0

c)  =

x i 1

= 9.57 Consideraremos 9 n Se encuentran entre 2 intervalos 2.15-2.85 y 4.25-4.95

66. Se quiere realizar un estudio sobre la cantidad intervenciones sociales, pero se perdieron datos, complete los datos que faltan. ¿Qué porcentaje representan entre 10 y 30 intervenciones? Intervalos 0-10 10-20 20-30 30-100 100-200

fi 0.2 0.4 1.3 0.1 0.7

Fi 0.2 0.6 1.9 2.0 2.7

Hi 7.4 14.81 48.15 3.71 25.93

Los datos en Violeta son los dados.

67. Se realiza un estudio sobre personas que han contestado encuestas telefónicas al menos 1 vez obteniéndose la siguiente información:

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Años 14-19 20-26 27-32 33-40 41-50 51-60 61-69

Personas 10 8 6 4 4 10 3

a) Completa el resto de la tabla de frecuencias b) Calcular la edad mediana c) Más del 50% de las personas que contesta encuestas ¿Qué edad tiene?

Sol: a) Años 14-19 20-26 27-32 33-40 41-50 51-60 61-69

Personas fi 10 8 6 4 4 10 3

10 18 24 28 32 42 45

22.2 17.8 13.3 8.9 8.9 22.2 6.7

22.2 40 53.3 62.2 71.1 93.3 100

b) La edad mediana esta entre 33 y 40 años c) Desde los 27 años

68. En una empresa se les deposita el sueldo a los empleados y la tabla muestra el tiempo que demora la transacción.

2,3 4,6 7,2

3,3 7,6 2,8

4,4 2,8 9,5

5,8 1,1 0,8

2,8 2,7 7,2

a) Construya una tabla de frecuencia.

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b) Con los datos agrupados calcule: Media, Moda y desviación estándar. Sol: a) Intervalo F.Absoluta A.acumulada 0.8-2.2 2 2 2.3-3.7 6 8 3.8-5.2 2 10 5.3-6.7 1 11 6.8-8.2 3 14 8.3-9.7 1 15

hi 13.33 40 13.33 6.67 20 6.67

Hi 13.33 53.33 66.66 73.33 93.33 100

b)  =

x i 1

= 4,32 n Mo= entre 2.3 y 3.7 Desv. Est = 1,87082869

69. Los cuartos medios de un colegio son muy competitivos y la tabla muestra la diferencia de puntos de la última prueba de Lenguaje Dif. De puntos Frecuencia

0 3

1 9

2 7

3 4

4 10

5 5

a) Dibuje el grafico de barras correspondiente. b) Calcule la Media y la desviación estándar.

Sol:

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a) 12 10 8 Serie1

Serie2

4 2 0 1

b)  =

x i 1

= 6,3 n Desv. Est.= 2,80475786

70. Al terminar el semestre se hace un estudio del rendimiento académico de los alumnos del 3° medio de cierto colegio, donde los promedios fueron los siguientes: Nota alumnos

2 1

3 5

4 10

5 14

6 7

7 3

a) ¿Qué porcentaje de alumnos esta sobre la media? b) Calcular promedio de las notas. c) Calcular la desviación media.

Sol: a) El 60% de los alumnos esta sobre la media n

b)  =

x i 1

= 4,75

c) Desv. Media= 3,66666667

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71. La tabla muestra las temperaturas registradas Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

T. Máxima °C 13 18 17 20 15 14 22

T. Mínima °C 3 2 2 7 3 0 4

Halla: a) Desviación media de las máximas b) Desviación media de las mínimas c) Media Armónica de las máximas

Sol: a) Desv. Media Max= 2,571428571 b) Desv. Media Min= 1,428571429 c) Mh Máx.= 16,47632799

72. Los datos corresponden al número de respuestas erróneas en una prueba de 20 preguntas que tienen los alumnos del 4° medio: 3–3–0–2–4–3–5–5–6–0–2–3–1–7–6–4–5–8–4–3 a) Construya una tabla de frecuencias. b) Calcule la media. c) Que porcentaje de alumnos tienen más de 4 respuestas malas.

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Sol: a) Frec. Absoluta 5 11 4

Intervalo 0–2 3–5 6–8

A. Aumulada 5 16 20

Frec. Relativa 25% 55% 20%

Rel. Acumulada 25% 80% 100%

b)  =

x i 1

= 3,7

c) 35%

73. Una pequeña empresa tiene problemas de irregularidades en sus gastos, y se estudia como equipararlos: Meses Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Gastos 302548 345600 670247 301520 420000 648000 312000 350000 680000 325000 321000 642520

a) Calcule gasto promedio de la empresa. b) Si le descontamos el IVA 19.26% cual sería el gasto promedio anual. c) Calcular la varianza.

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Sol: n

a)  =

x i 1

= 443202,9

b) c) Varianza= 26729095456

74. Se realiza un estudio de cuantas horas escuchan música los jóvenes entre 14 y 24 años y los datos observados son los siguientes: 6 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 11 9 a) Calcule las medidas de tendencia central. b) Haga un grafico de dispersión y calcule la desviación estándar.

Sol: a) Medidas de tendencia central: n

=

x i 1

= 8.8 hrs n Mediana = 9 horas. Moda = 9 horas Desviación estándar: s = 1,24 horas.

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b) 12 10 8 6

Serie1

4 2 0 0

75. Se ha observado por un año, las horas de juego de un grupo de 280 niños, como sigue: Horas de juego 0 – 500 500 – 1000 1000 – 1500 1500 – 2000 2000 – 2500

Nº Niños 4 21 109 78 44

2500 – 3000

a) ¿Cual es la cantidad de horas de juego mas frecuente de cualquier niño? b) ¿En que rango se encuentra la media, coincide con el rango de la hora mas frecuente?

Sol: a) Entre 1000 y 1500 n

b)  =

x i 1

=46,6 no coincide con la hora mas frecuente

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76. Sumando 16 a cada número de la serie 4, 6, 7, 10, 5 se obtiene la serie 20, 22, 33, 26, 21. ¿Tienen igual media Geométrica y distintas medias?

Sol.: Mg Serie 1= 91,65

Mg serie 2= 1388,4

 xi

=

i 1

=

= 6,4

x i 1

=24,4

Luego podemos decir que tienen distintos promedios y media geométrica.

77. Una distribuidora de lápices, hace un estudio de los lápices defectuosos que hay en 52 cajas, la cantidad de lápices defectuosos se detalla como sigue: 10 40 0 40 50

20 30 30 30 20

40 0 20 0 0

30 20 0 70 10

20 0 70 10

0 10 10 0

90 60 40 0

20 50 30 30

0 20 0 20

20 0 20 0

0 0 10 10

0 10 0 0

a) Construya la tabla de frecuencias absolutas y relativas del resultado de la inspección b) ¿Qué porcentaje promedio hay de productos defectuosos si consideramos que en cada caja vienen 500 lápices

Sol: Intervalo 0 10 20 30

Frec. Absoluta 18 8 10 6

A. Acumulada 18 26 36 42

Frec. Relativa 34,6% 15,4% 19,2% 11,5%

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Rel. Acumulada 34,6% 50% 69,2% 80,7%

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40 50 60 70 80 90

4 2 1 2 0 1

46 48 49 51 51 52

7,7% 3,9% 1,9% 3,9% 0% 1,9%

88,4% 92,3% 94,2% 98,1% 98,1% 100%

b) En la tabla esta lo que representa en porcentaje cada intervalo de la tabla anterior % 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 n

=

x i 1

78. Una fábrica estudia el tiempo que pierden los trabajadores en horas: 21011300275013004124053060402623011 a) Determine promedio de horas perdidas. b) Calcule la desviación estándar c) Si consideramos que todos los trabajadores que pierden mas de 3 horas de trabajo serán despedidos que porcentaje de trabajadores se despedirán. Sol: n

a)  =

x i 1

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

b) S=

Xi  X 

i 1

 2,0436415

c) El 34,3% de los trabajadores serán despedidos

79. Un colegio hace un estudio de la permanencia en años de los profesores en el colegio para premiarlos y hacer estudios posteriores, los datos son: 10,15,16,20,22,24,30,29,24,5,12,21,2,6,13. a) Construir 5 intervalos b) Calcular la media y la media geométrica del tiempo de permanencia de los profesores

Sol: a) Frec. Absoluta 3 2 3 5 2

Intervalo 1–6 7 – 12 13 – 18 19 – 24 25 – 30

A. Acumulada 3 5 8 13 15

Frec. Relativa 20% 13,3% 20% 33,4% 13,3%

Rel. Acumulada 20% 33,3% 53,3% 86,7% 100%

b)  =

x i 1

Mg= n

= 16,6

X

 13,4

i 1

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80. Se realizo una encuesta a los alumnos de Pedagogía en Matemática sobre los laboratorios de computación, obteniéndose las respuestas en puntaje dado por los alumnos, con un máximo de 10. 2,1,4,7,1,4,5,3,2,9,5,3,5,1,5,8,5,3,6,3,1,5,4,8,1,5,5,3,4,3,1,1,1,2,5,8,1 a) Realiza una tabla de frecuencias de 5 intervalos. b) ¿Cuál es el puntaje medio otorgado por los alumnos?

Sol: Frec. Absoluta 12 10 10 4 1

Intervalo 1–2 3–4 5–6 7–8 9 – 10

A. Acumulada 12 22 32 36 37

Frec. Relativa 32,4% 27% 27% 10,8% 2,8%

Rel. Acumulada 32,4% 59,4% 86,4% 97,2% 100%

b)  =

x i 1

= 3,78

81. La administración del colegio Carlos Cousiño lleva un registro de los días de ausencia del 1° medio para efectos de la subvención, 4,2,8,7,2,2,7,1,10,1,1,4,1,3,10,0,2,1,0,2,10,5,2,0,9,0,3,10,3,5,6,2,4,1,1, 4,0. a) Realiza una tabla de frecuencias b) ¿Cuál es la media de ausencias del curso? c) ¿Qué porcentaje de alumnos falta a clases más de 5 días?

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Sol: Frec. Absoluta 19 9 4 5

Intervalo 0–2 3–5 6–8 9 – 11

A. Acumulada 19 28 32 37

Frec. Relativa 51,3% 24,4% 10,8% 13,5%

Rel. Acumulada 51,3% 75,7% 86,5% 100%

b)  =

x i 1

= 3,59

c) 24,3%

82. Se estudia las calificaciones de los estudiantes de Kinesiología de la universidad de Valparaíso, para hacer un estudio sobre el posible nivel de deserción con los siguientes resultados. 2.8 3.1 4.2 4.5 4.8 3.6 3.1 2.9 3.8 4.3 3.4 3.2 4.5 3.9 4.2 4.3 2.9 3.8 3.9 4.2 3,7 4.5 3.2 4.5 3.6 2.7 a) Construya la tabla de frecuencias, usando cuatro clases de tamaños iguales. b) Calcule la moda. c) ¿Qué frecuencia absoluta acumulada tiene el tercer intervalo?

Sol: a) Notas 2,6-3,2 3,3-3,9 4,0-4,6 4,7-5,3

M. Clase 2,9 3,6 4,3 5,0

f.absoluta 8 8 9 1

f.relativa A.acumulada R.acumulada 30,8% 30,8% 34,6% 3,8%

8 16 25 26

30,8% 61,6% 96,2% 100%

b) Mo = 4,5

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c) 25

83. Se tomó una muestra aleatoria de las casas de cierta ciudad y se determino la cantidad de de luz que consumen al mes en miles de pesos. La información obtenida se muestra en al siguiente tabla. Cantidad en miles de pesos 14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Numero de casas 54 69 44 23 16

a) Calcular mediana y varianza.

Sol: Me = X  n 1  = 44    2 

s = 2

i 1

Xi  X 

 382,024

84. Se ha observado la hora de entrada de los profesores a una cierta universidad, marcadas por un reloj control para estudiar la puntualidad de ellos: 8,01 8,06 7,53 8,09

7,55 8,03 7,56 7,57

7,55 8,11 7,59 8,15

7,58 8,11 7,58 8,14

8,12 8,10 8,02 7,58

8,01 8,12 8,00 7,59

8,00 8,13 7,55 7,59

8,03 8,22 7,53 8,04

8,04 8,17 7,54 8,01

8,13 8,03 8,02 8,00

7,59 8,01 8,02 8,01

7,59 8,00 8,04 8,01

a) Hacer tabla de frecuencia b) Qué porcentaje de profesores son impuntuales considerando que la entrada es a las 8:00

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Sol: Hora 7.53-8.00 8.01-8.08 8.09-8.16 8.17-8.24

f.absoluta f.relativa A.acumulada R.acumulada 20 41.67% 20 41.67% 16 33.34% 36 75.01% 10 20.8% 46 95.81% 2 4.19% 48 100%

b) El 58,33% de los profesores son impuntuales.

85. Un profesor extravió ciertos datos sobre los alumnos del 1° medio, ¿puede ayudar al profesor a encontrar los datos que faltan? Notas 3,0-3,9 4,0-4,9 5,0-5,9 6,0-6,9

M. Clase 3,5 4,5 5,5 6,5

f.absoluta 8 8 9 1

f.relativa A.acumulada R.acumulada 30,8% 30,8% 34,6% 3,8%

8 16 25 26

30,8% 61,6% 96,2% 100%

Los datos en celeste son los datos que el profesor tiene y los datos en negro son los que se encontraron.

86. Andrea obtuvo un 6,2 en su examen de matemática ¿Es buen rendimiento? Analice según 4 intervalos Esta son las notas del curso: 4.5 5.7 5.3

5.6 3.3 4.9

2.5 4.2 4.4

7 2.4 5.6

3.4 2.5 5.1

3.3 3.6 4.5

4.5 4.5 4.3

6.2 5.6 4.1

1.4 4.8 3.9

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5.8 3.9

5.5 4.2

6.7 4.1

Estadística Descriptiva Univariada Nivel de Consolidación

Sol: 1º 2º 3º 4º

desde desde desde desde

1,4 2,8 4,3 5,8

hasta hasta hasta hasta

2,7 4,2 5,7 7,0

Luego Andrea esta en el cuarto intervalo lo que nos indica que esta entre un 75% a 100% de rendimiento entonces es un buen rendimiento.

87. Alumnos de Psicología realizaron un estudio aleatorio de síntomas de depresión en los alumnos de la Universidad y los datos son los siguientes: Poca energía

Despreocupación de imagen

Ansiedad

Poca energía

Despreocupación de imagen

Despreocupación de imagen Poca energía Poca energía Despreocupación de imagen

Poca energía

Ansiedad

Ansiedad No querer salir

Ansiedad

No querer salir

Poca energía No querer salir Uso de Antidepresivos Uso de Antidepresivos Despreocupación de imagen

Uso de Antidepresivos Uso de Antidepresivos

Poca energía

Poca energía No querer salir

Poca energía

a) Resuma la información anterior en una tabla de distribución de frecuencias b) Calcule la moda

Sol:

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a) Síntomas f.absoluta f.relativa A.acumulada R.acumulada Poca energía 9 33.4% 9 33.4% Ansiedad 5 18.5% 14 51.9% Despreocupación 5 18.5% 19 70.4% de la imagen Antidepresivos 4 14.8% 23 85.2% No querer salir 4 14.8% 27 100% b) Mo = Dieta Severa

88. En una cierta empresa se realiza un estudio a 100 trabajadores sobre cuantos minutos demoran en almorzar, la información obtenida es la siguiente: Cantidad de minutos Entre 5 y 10 minutos Entre 15 y 20 minutos Entre 25 y 30 minutos Entre 35 y 40 minutos Entre 45 y 50 minutos Entre 55 y 60 minutos

Numero de trabajadores 39 23 19 9 7 3

a) calcula la tabla de frecuencias b) ¿Cuánto demora en almorzar el común de los empleados? Sol: a) Minutos 5-10 15-20 25-30 35-40 45-50 55-60

M. Clase 8 18 28 38 48 58

f.absoluta f.relativa A.acumulada R.acumulada 39 23 19 9 7 3

39% 23% 19% 9% 7% 3%

39 62 81 90 97 100

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39% 62% 81% 90% 97% 100%

Estadística Descriptiva Univariada Nivel de Consolidación

b) Entre 5 y 10 minutos

89. Rentacar observó datos del número de rentas que necesitaban sus 40 empleados para realizar sus metas del mes. Se le pide al administrador que complete los datos, con el fin de estudios estadísticos: Nº de Rentas 1-11 11-21 21-31 31-41 41-51 51-61 61-71 71-81 81-91 91-101

fi 2 0 2 12 6 8 5 0 5 0

hi 0.05 0.0 0.05 0.3 0.15 0.2 0.125 0.0 0.125 0.0

Los datos en celeste son los entregados al administrador y los datos en negro son los completados.

90. Una empresa que realiza estudios estadísticos lleva un control de pérdidas (en millones de pesos) de las empresas más importantes del país. A lo largo de los cinco últimos años la pérdida mayor fue de 44 millones de pesos y la menor de 5 millones de pesos. a) Construya una tabla de frecuencias con 10 clases considerando que la frecuencia absoluta es el cuadrado de la marca de clase dividido en 15 b) ¿Cuál sería el intervalo de clase?

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Sol: Millones 5-8 9-12 13-16 17-20 21-24 25-28 29-32 33-36 37-40 41-44

M. Clase 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43

f.absoluta f.relativa A.acumulada R.acumulada 3 8 15 24 35 49 64 82 101 123

0.60% 1.59% 2.98% 4.76% 6.94% 9.72% 12.70% 16.27% 20.04% 24.40%

3 11 26 50 85 134 198 280 381 504

0.60% 2.19% 5.17% 9.93% 16.87% 26.59% 39.29% 55.56% 75.6% 100%

b) El intervalo son 3 millones

91. Chilquinta lleva un registro del consumo de luz anual de cierta población para un estudio posterior: 98.890 61.694 632.500 55.000 555.005 666.837 25.880 429.000 193.600 877.305

489.500 660.000 815.100 382.333 523.881 280.786 430.650 436.205 515.356 119.350

391.655 161.150 318.450 157.850 611.886 766.728 605.550 275.556 391.111 661.100

228.250 331.111 171.629 646.250 430.650 764.500 366.663 855.305 782.117 700.156

a) Construir una tabla de frecuencias con siete clases. b) ¿Cuál es el promedio de consumo anual de los clientes?

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Sol: a) Intervalos 25.880-147.512 147.513-269.145 269.146-390.778 390.779-512.411 512.412-634.044 634.045-755.677 755.678-877.310 b) X 

 i 1

M. f. f. A. R. Clase absoluta relativa acumulada acumulada 86.696 5 12.5% 5 12.5% 208.329 5 12.5% 10 25% 329.962 6 15% 16 40% 451.595 7 17.5% 23 57.5% 573.228 6 15% 29 72.5% 694.861 5 12.5% 34 85% 816.494 6 15% 40 100%

Xi  466.661 (aprox.) n

92. En la siguiente tabla se presenta el mes y día de lluvias en el sur del país: Mes 5 5 5 6 11 9 2 8 2 3 12 3 12 6 7 8 5 11 11

Día 23 28 28 13 21 17 9 18 10 30 23 3 16 4 3 3 9 5 8

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8 10 10 3 3 4 3 8 4 7 10 1 4 8 9 11 8

12 30 15 30 15 3 21 30 22 28 23 3 14 13 1 20 22

a) Calcule la desviación estándar de los días de lluvias. b) Calcule la media armónica de los meses de lluvias.

Sol: a) Para calcular la desviación estándar primero debemos calcular la varianza y para ésta debemos tener promedio, luego: X 

Xi  15,9166667 n

 i 1

Xi  X 

s = 2

i 1



Xi  X 

i 1

b) Mh=

 87,9642857

n n

 i 1

1 Xi

 9,38 (aprox.)

 7,5160224

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93. En 8 horas de trabajo se hicieron 72 pales en la máquina 60 de Chiletabacos. Hr.

Nº pales

1 2 3 4 5 6 7 8

11 4 9 10 10 9 10 9

a) ¿Calcule el promedio de pales por minuto? b) ¿Calcule la moda?

Sol: a) Debemos calcular cuántos pales están saliendo por minuto

Hr. 1 2 3 4 5 6 7 8 X 

 i 1

Nº cajas X minuto 0.18 0.06 0.15 0.16 0.16 0.15 0.16 0.15

Xi  0.14 pales por minuto n

b) Mo= 10

9 Es bimodal

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94. Se aplicó la misma prueba a los dos cuartos medios del colegio Embajadores del rey, para comparaciones posteriores y las notas fueron las siguientes:

Nº alumnos 4º A

Notas

1 5 11 9 4

2.1-3.0 3.1-4.0 4.1-5.0 5.1-6.0 6.1-7.0

Nº alumnos 4º B 2 2 14 10 2

Notas 2.1-3.0 3.1-4.0 4.1-5.0 5.1-6.0 6.1-7.0

a) ¿Qué porcentaje de alumnos tiene notas inferiores a 4.1? b) ¿Qué curso tiene mejor rendimiento, es decir mayor o igual al 59%?

Sol: a) la cantidad de alumnos con notas inferior a 4.1 entre los 2 cuartos medios es: 10, lo que corresponde al 16, 6 % b) El 59% de 7.0 es 4.1 es decir consideraremos a los alumnos con nota 4.1 en adelante En el 4º A son 24 alumnos y en el 4º B son 26 alumnos Luego el 4º B tiene mejor rendimiento.

95. Se ha propagado una nueva peste, que infecto a 4 tipos de plantas, a las que se les aplico un pesticida especial, con los siguientes resultados: PLANTAS Uva Manzanas Olivos Nogal

INFECTADOS 45 120 600 1800

SANARON 30 70 324 945

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¿Cuál es la planta con más posibilidades de sanar, si medimos en porcentajes?

Sol: en la tabla se muestra la cantidad en porcentaje de plantas que sanan. PLANTAS Uva Manzanas Olivos Nogal

SANAN 66.6 58.3 54 52.5

Luego la planta que tiene más posibilidades de sanar es la Uva.

96. En un condominio se pretende equiparar el consumo de luz y agua entre 10 viviendas que tienen la misma cantidad de habitantes y sus cuentas son: 350000 267815

287000 350000

355000 260500

364000 300000

406050

299000

a) Determine el consumo promedio b) Determine la desviación estándar Luego el consumo nuevo será el consumo promedio más la desviación estándar.

Sol: a) Consumo promedio

=

x i 1

= 323.936

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

b) s=

X

i 1

X n



 41.916

Entonces el nuevo consumo es: 365.852

97. Una casa de acogida recibe a 5 adultos mayores y obtiene la edad de ellos: 70 60 56 83 79 cuya media es 69.6 años a) Determine la desviación estándar. b) Calcule la media Geométrica

Sol: a) Primero debemos calcular la varianza: n

s = 2

Xi  X 



 136,3

i 1

X

i 1

b) Mg =

X n



 11,67

X 1 * X 2 * ... * X n = 68,80

98. En la empresa Costa se fabrica un nuevo producto durante 6 días, con frecuencia como muestra la tabla: VALORES Xi 1 2 3 4 5 6

FRECUENCIAS ni 100 250 300 500 450 200

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a) Calcule media Geométrica b) Calcule promedio de frecuencias

Sol: n

a) Mg =

X

 720

i 1

x i 1

b)  =

= 300

99. A los alumnos de 1° a 4° medio del colegio Murialdo con posibilidad de repitencia se les aplica un examen final y se aprueba con un 4,0 y se obtienen las siguientes notas: 3.5

5.0

6.0

4.0

2.0

5.0

6.0

3.8

5.0

a) Determine moda, media y mediana b) ¿Que porcentaje de los alumnos que reprobaron?

Sol: a) Mo = 5.0

  Me=  X  n   = 5.0   1    2   n

=

x i 1

= 44.7

b) son 3 alumnos que están bajo el 4,0 y eso corresponde al 33, 3 % de alumnos que reprobaron.

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100. La tabla muestra a las personas inscritas en el registro electoral: REGION Tarapacá Antofagasta Atacama Coquimbo Valparaíso Libertador B. O'Higgins Maule Bío – Bío La Araucania Los Lagos Aysén Magallanes Metropolitana

TOTAL 113.621 135.242 69.720 156.971 411.946

HOMBRES 58.252 69.283 35.964 80.614 210.827

MUJERES 55.369 65.959 33.759 76.357 201.119

185.739

96.795

88.944

224.602 480.607 223.798 262.065 22.376 38.409 1.511.968

114.528 245.863 114.571 134.248 11.385 19.841 782.135

110.074 234.744 109.227 127.817 10.991 18.568 729.833

a) ¿En qué porcentaje promedio superan los hombres a las mujeres?

Sol: Dif. H/M 2.53 % 2.44% 3.16% 2.72% 2.36% 4.22% 1.98% 2.32% 2.38% 2.44% 1.76% 3.32% 3.46% Luego el promedio de la diferencia entre hombres y mujeres es

X 

 i 1

Xi  2.70 n

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101. La tabla muestra lo que demoran en segundos velocistas de 50 metros planos en una competencia: Velocista Segundos 1 5.0 2 5.2 3 6.3 4 4.1 5 6.3 6 4.0 7 5.1 8 5.9 9 6.8 10 2.5 11 3.9 12 5.6 13 4.7 14 5.9 15 6.5 16 6.1 a) Calcule los cuartiles. b) ¿Qué porcentaje de velocistas tiene rendimiento desde 4,7 segundos?

Sol: a) 1º 2º 3º 4º

cuartil cuartil cuartil cuartil

desde desde desde desde

2,5-3,5 3,6-4,6 4,7-5,7 5,8-6,8

b) Considerando que desde el 3º cuartil representa los velocistas pedidos, en el 3º y 4º cuartil son 12 velocistas, lo que corresponde a que el 75% de ellos tienen rendimiento desde el 4,7 segundos

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102. En un supermercado se venden 6 tipos de papeles higiénicos: Papeles Confort Noble Favorita Acuenta Líder Elite

Precios x 6 unidades $2.500 $700 $1.000 $1.100 $1.900 $2.300

a) Si el día lunes vendió 12 Confort, 7 Noble; el día martes vendió 8 Acuenta, 10 Elite; el día miércoles vendió 15 favorita, 7 líder. ¿Qué día gané más y en que porcentaje? b) Si vendo 5 papel higiénico de cada uno por día y somos 5 socios ¿Cuánto ganamos cada uno?

Sol: a) Debemos saber cuánto se recaudó por día como sigue: 1° día 2° día 3° día

$34.900 $31.800 $28.300

Luego podemos decir que el día lunes ganó más. Para saber en cuánto porcentaje gane más debo considerar $34.900 como mi 100% luego: En el 1° día gané un 9% más que el 2° día y 19% más que en el 3° día b) Se recaudó $47.500 o sea $9500 cada uno.

103. Los siguientes datos representan las precipitaciones en una región: Año 1 2 3 4 5 6 7 8 Precipitaciones 220 240 180 150 170 200 250 300 a) Calcule el Promedio de precipitaciones en los 8 años entretencionx1000.cl

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b) Realice un histograma. Sol: a) promedio = 213,7 350 300 250 200 Serie1 150 100 50 0 1

104.- La siguiente tabla muestra el valor de los arriendos de departamentos ofrecidos en los avisos econ贸micos: Arriendo (Miles de $)

Frecuencia

[ 30 - 50[

[ 50 - 100 [

[100 - 150 [

[150 - 200 [

[200 - 250 [

[250 - 300 [

[300 - 350 ]

a) Calcule moda y media geom茅trica de frecuencias. Sol: a)

Mo. =100-150

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Mg.= 4944,9

105.- Se toman ocho mediciones del diámetro interno de los anillos para los pistones del motor de un automóvil. Los datos (en mm.) son: 74.001, 74.005,

74.003, 74.004.

74.015,

74.000,

74.005,

74.002,

a) Calcular la media y la mediana de esos datos. b) Calcular también la varianza, la desviación media Sol: n

Xi  74004,375 i 1 n b) Varianza = 21,69643 a) X 



Me = 74003,5 Desv. Media =2,96875

106. Se registra la terminación de las patentes de ciertos automóviles que circulan por una cierta ciudad a una hora determinada: Número 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Absoluta 2 6 2 12 6 10 0 2 4 2

a) ¿Qué frecuencia relativa tiene la patente terminada en 8? b) ¿Cuál es el promedio de automóviles con patentes terminadas en 0 – 4? c) ¿Cuál es la frecuencia acumulada de las patentes terminadas en 5?

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Sol: Datos en AZUL son los que faltaban

Número 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

NÚMEROS DE PATENTE Absoluta Abs. Acum. Relativa 2 2 4.35 6 8 13.05 2 10 4.35 12 22 26.09 6 28 13.05 10 38 21.73 0 38 0 2 40 4.35 4 44 8.69 2 46 4.34

Rel.acum. 4.35 17.4 21.75 47.84 60.89 82.62 82.62 86.97 95.66 100

a) 8.69 es la frecuencia relativa de las patentes terminadas en 8 b) 5.6 es el promedio de las patentes terminadas en 0 – 4 c) 82.62 es la frecuencia acumulada de las patentes terminadas en 5

107. Se ha hecho una encuesta para determinar la preferencia de una marca especial de lavalozas por parte de las dueñas de casa. Entre las 50 dueñas de casa entrevistadas, 30 dijeron que preferían esta marca. a) ¿Qué constituye la muestra? b) ¿Qué constituye la población? c) ¿Cuál es el porcentaje, dentro de la muestra, de las dueñas de casa que prefieren la marca del lavalozas? Sol: a) El conjunto de respuestas que dieron las 50 dueñas de casa. b) El conjunto formado por las posibles respuestas de las dueñas de casa. c) 60%.

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108. Las calificaciones de un estudiante de la Universidad F. Sta María en un curso son 71, 78, 89. a) Cual es el promedio obtenido por el estudiante en dicha asignatura b) Si los pesos de cada nota son 2, 4, 5 cual seria el promedio de la asignatura.

Sol: n

a) Promedio =

X i 1

 79,33

b) Cada nota la multiplicamos por el peso luego sacamos promedio (71*2 + 78*4 + 89*5) /11 n

Promedio =

X i 1

 81,72

109. La tabla siguiente muestra la distribución de puntuaciones de los alumnos en un examen. Puntuación

Numero de alumnos

30 – 39

40 – 49

50 – 59

60 – 69

70 – 79

80 – 89

90 – 99

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a) Interprete el percentil 68 b) La puntuación más baja alcanzada por el 25% más alto del curso y la más alta alcanzada por el 20% mas bajo del curso. c) A qué porcentaje corresponde una calificación de 58 puntos.

Sol: a) 80,81 puntos b) 83,43 y 64,28 puntos respectivamente c) 10,66%

110. Una fábrica hace 15 productos, de los que tiene registro. Los registros muestran los números de cada producto fabricado por la compañía el último mes que tuvo 20 días trabajados: 9,897 10,098 10,123

10,052 10,587 10,507

10,028 9,872 9,910

9,722 9,956 9,992

9,908 9,928 10,237

a) ¿Que porcentaje de sus productos excedió el punto de equilibrio de 10,000 unidades? b) ¿Qué nivel de producción excedió en 75 % de sus productos? c) ¿Qué nivel de producción excedió en 90% de sus productos?

Sol: a) Siete clases exceden el punto de equilibrio esto es aproximadamente el 50% b) Aproximadamente 9,900 unidades c) Aproximadamente 9,800 unidades

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111. La Empresa Chiletabacos, ha registrado el tiempo por turno que el equipo de la célula 3 apaga sus maquinas para hacer ajustes, mantenciones y desplazamientos.(minutos) 30 80 113 102 110

72 66 121 116 99

126 101 93 114 139

110 75 87 107 108

91 93 119 113 128

115 129 111 119 84

112 105 97 100 99

a) Si Chiletabacos tiene la creencia de que lo “normal” de tiempo muerto por turno es de los 108 minutos, ¿Cuántos turnos del equipo de la célula 3 exceden este límite? ¿Cuantos se encuentran abajo? b) Construya una distribución de frecuencia relativa con intervalos de 10 min. Sol: a) Exceden el límite 16 turnos y 18 por dejo del límite y uno exactamente en el límite. Clase 60-69 70-79 80-89 90-99 100-109 110-119 120-129 130-139

F 2 2 3 6 6 11 4 1

FR 0.057 0.057 0.086 0.171 0.171 0.314 0.114 0.029

112. Gastón Moraga es supervisor de mantenimiento de barcos. Una entrega de pernos por parte de un nuevo proveedor llamo la atención de los empleados. Moraga envió 25 de esos pernos a un laboratorio de pruebas para determinar la fuerza necesaria para romperlos. Aquí los resultados en miles de libras de fuerza:

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147.8 119.9 142.0 125.0 151.1

137.4 133.3 130.8 128.9 125.7

125.2 142.3 129.8 142.0 126.3

141.1 138.7 141.2 118.6 140.9

145.7 125.7 134.9 133.0 138.2

a) ¿Qué fracción de los pernos soporto al menos 120,0 libras? ¿Que fracción soporto al menos 150,0? b) Si Moraga sabe que estos pernos, cuando se utilicen en un barco, se verán sujetos a fuerzas de hasta 140,000 libras, ¿Qué debería recomendar el supervisor a la compañía respecto al nuevo proveedor?

Sol: a) 92% soporto 120,000 libras de fuerza 4% soporto por lo menos 150,000 libras de fuerza b) 64% no resistirían, entonces deben de cambiar de proveedor.

113. El supermercado mayorista 10 se vio afectado por el terremoto, el cual hizo que se derrumbara el edificio perdiendo con el la mayor parte de los archivos del supermercado. Berena Fajardo acaba de ser contratada para ayudar a reconstruir la información y encontró registro de los 2 últimos meses. Ciudad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Num.De ventas 3 1 1 8 3 5 4 9 5 1

Ciudad 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Num. De ventas 3 7 1 1 5 6 6 2 2 1

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Ciudad 21 22 23 24 25 26 27 28

Num. De ventas 1 1 1 7 3 1 1 5

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a) Construya dos distribuciones de frecuencia relativas del número de ventas, una con tres clases y la otra con nueve. Clase 1 2 3 4 5 6 7 8 9

F 10 3 4 1 4 2 2 1 1

FR 0.36 0.11 0.14 0.04 0.14 0.07 0.07 0.04 0.04

Clase F FR 1-3 17 0.607 4-6 7 0.250 7-9 4 0.143

114. Una fábrica de baldosas produjo 7,000 de ellas y tuvo una tasa de quebraduras durante la producción del 2%. Para medir la producción diaria de baldosas y la tasa de quebraduras, la fábrica estableció clases igualmente espaciadas para cada categoría. Las marcas de clase para la producción diaria son 4,900, 5,500, 6,100, 6,700, 7,300, 7,900. Las marcas de clase para la tasa de quebraduras son 0.70, 2.10, 3.50, 4.90, 6.30, 7.70. a) ¿Cuáles son los límites inferiores de las clases para la producción diaria de baldosas? b) ¿Cuáles son los límites inferior y superior de las clases para la tasa de rompimiento? Sol: a)

LCI 4,6005,199 5,2005,799 5,8006,399 6,4006,999 7,0007,599

LC 0-1.39 1.402.79 2.804.19 4.205.59 5.606.99

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7,6008,199

7-8.39

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