consolidacion teoria de probabilidad by tesis Prob.esta

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Nivel de Consolidaci贸n

Teor铆a de Probabilidad Y Variable Aleatoria

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

1.Tres hombres A, B, C intervienen en un torneo de ajedrez organizado por la Federación de Chile, pero intervienen también cuatro mujeres W1, W2, W3, W4. Si ambos quieren ganar pero cada mujer tiene el doble de Posibilidades de ganar que un hombre, pero entre le mismo sexo las mismas.

a) Hallar Probabilidad de que un hombre gane el torneo

Sol.: P( A)  P Entonces P( B)  P(C )  P

Además P(W1)  P(W 2)  P(W 3)  P(W 4)  2P

La suma de todos las probabilidades tanto de hombres como mujeres debe ser igual a 1 (Por axioma) P  P  P  2P  2P  2P  2P  1

11P  1 1 P 11 Ahora A1) P( A, B, C )  P( A)  P( B)  P(C ) =

1 1 1 3    11 11 11 11

P(W 1, A)  P(W 1)  P( A) 

2 1 3   11 11 11

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2.Sean ocho artículos escogidos al azar de un total de 27 artículos de los cuales trece son defectuosos

Sea A= {ocho artículos defectuosos}

B= {ocho artículos no defectuosos}

Hallar P( A) y P( B)

Sol.:

 27  Q puede suceder de    2220075 Maneras para escoger 8 artículos entre 27. 8  13  A puede suceder de   1287 Maneras que se puede escoger 8 defectuosos entre 8  20.

14  B puede suceder de    3003 Maneras que se puede escoger 8 no defectuosos 8  entre 14.

Luego se tiene:

P( A) 

1287 2220075

P( B) 

3003 2220075

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3.Se escogen al azar 5 ampolletas entre 18 de las cuales 6 son defectuosas. Hallar la probabilidad P de que:

a) Ninguna sea defectuosa b) Dos exactamente sean defectuosas c) Dos por lo menos sean defectuosas

Sol.:

18  Sabemos    8568 Maneras de escoger 5 ampolletas entre 18. 5  12  a) ya que 18-6=12 ampolletas no defectuosas entonces hay    792 Maneras 5  de escoger 5 ampolletas no defectuosas.

Así que P 

792 198 99 11    8568 2142 1071 119

12  b) Se tienen 6 ampolletas defectuosas y    220 .Por consiguiente se tiene 6 2 

 220=1320 Maneras de escoger 5 ampolletas de las cuales 2 sean defectuosas.

P

1320 8568

c) El evento que sean por lo menos 2 defectuosas es el complemento del evento de que ninguna sea defectuosa.

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Por lo Tanto

Probabilidad no defectuosa es

11 11 108 entonces P 1   119 119 119

4.En el liceo María Luisa Bombal hay un curso que consta de 28 hombres Y 16 mujeres, de las cuales la mitad de los hombres y mujeres tienen los ojos verdes. Hallar la probabilidad P de que una persona escogida al azar sea Mujer y tenga los ojos verdes.

Sol.:

A= {la persona es una mujer} B= {la persona tiene ojos verdes}

Buscamos P(AUB)

Luego P( A) 

P( A  B) 

16 4  44 11

;

P( B) 

22 1  44 2

8 2  44 11

Por regla aditiva P  P( AUB)  P( A)  P( B)  P( A  B)

4 1 2 15    11 2 11 22

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5.En el interior de un círculo se selecciona un punto al azar. Hallar la probabilidad P de que el punto quede más cercano al centro que a la circunferencia.

T ½r U ¼r 11 1/ 4

Sol.:

Area de U P  P( A)   Area de T

1 1   r2 1 4 1 4  16    1 1  ( r ) 2    r 2 16 1 4 2 4

 ( r) 2

6.Una clase de cálculo diferencial está formada por 12 estudiantes de primero, 7 de segundo, 5 de tercero y 2 de cuarto año de Universidad. Se escoge un estudiante al azar para representar al curso. Hallar la probabilidad que el estudiante.

a) Sea de tercero b) Sea de segundo o cuarto año Sol.:

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a) P( A) 

5 El alumno sea de tercer año. 26

b) P( BUD)  P( B)  P( D) 

7 2 9   26 26 26

P( BUD)  P( B)  P( D)

Eventos Disjuntos

7.Una Universidad tiene 4 Carreras Leyes, Medicina, Ingeniería, Pedagogía.

El 20% de los alumnos son de Pedagogía.

El 30% de los alumnos son de Ingeniería.

El 40% de los alumnos son de Medicina.

El 10% de los alumnos son de Leyes.

El % de alumnos becados son:

35% de los alumnos de Pedagogía.

30% de los alumnos de Medicina.

20% de los alumnos de Ingeniería.

15% de los alumnos de Leyes

¿Cual es la probabilidad que un alumno de esta Universidad tenga Beca?

Sol.: P: Alumnos de Pedagogía I : Alumnos de Ingeniería. L: Alumnos de Leyes

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M: Alumnos de Medicina. P( P)  0,2% P( I )  0,3% P( L)  0,1 P( M )  0,4

P( B)  P( B )  0,35% P

P( B

)  0,3%

P( B / J )  0,20 P( B / L)  0,15%

Entonces P( B)  P( B / P) P( B)  P( B / M ) P(M )  P( B / I ) P( I )  P( B / L) P( L)

= 0,35  0,20  0,30  0,40  0,20  0,30  0,15  0,10 =

0,07

0,265



0,12 

0,06

 0,015

26% de probabilidades que un alumno tenga beca

8.Una caja de lápices de Colores contiene 26 unidades de las cuales 9 están malos. Si se selecciona al azar 3 de estos sacándose de la caja en sucesión sin reemplazo.

¿Cual es la Probabilidad que los 3 lápices estén malos? Sol.:

A: El primer lápiz este malo B: El segundo lápiz este malo C: El tercer lápiz este malo.

Por Teorema eventos independientes P( A  B  C )  P( A)  P( B / A)  P(C / A  B)

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Luego P( A) 

9 26

P( B / A) 

8 25

P(C / A  B) 

7 24

Se tiene P( A  B  C )  P( A)  P( B / A)  P(C / A  B)

9 8 7 21    26 25 24 650

9.10 estudiantes A, B, C, D, E, F, G, H, I, J están en una clase de inglés se escogen 3 al azar para una interrogación.

Hallar la probabilidad de que:

a) A sea interrogado por el profesor b) B sea interrogado por el profesor. c) A y C sean interrogados d) A o C sean interrogados

Sol.:

a) P( A) 

3 10

c) P( A  C ) 

b) P( B) 

3 10

d) P( AUC ) 

3 3 9   10 10 100

3 3 3   10 10 5

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10. Dados los siguientes eventos Ay B con P( AUB) 

5 7 1 ; P( A  B)  ; P( A C )  6 12 6

Hallar P( A), P( B), P( A  B C )

Sol.:

P( A)  P( AC )  1 (Teorema)

Luego

P( A)  1  P( AC )

1 5 P( A)  1   6 6

Luego por P( AUB)  P( A)  P( B)  P( A  B)

5 6



P( B) 

5 7  P( B)  6 12

7 12

P( A  B C )  P( A)  P( A  B) =

5 7 3 1    6 12 12 4

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11. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución.

-4

f (xi )

-2

1 4

1 3

2 1 2

4 1

   xi xi   4    2   2   4 4 3 2 2

= -1 -

 xi

2 10 1 4 = 3 3

1 1 1  f ( xi ) 16   4   4   16 4 3 2

= 4

4 70  2  16  3 3

 2   xi 2 f ( xi )   2 =



70 100 110   3 9 9

110 110   3,496 9 3

12. Una ciudad tiene 2 diarios: “El País” y “La Cuarterola” . Un estudio reciente a mostrado que en los hombres el 30% lee El país, el 20% La Cuarterola y un 15% lee ambos. El mismo estudio revela que el 30% de las mujeres lee El País y el 40% lee La Cuarterola y el 30% ninguno.

a) Encuentre la Probabilidad que el hombre lea al menos uno de los diarios. b) Encuentre la probabilidad que una mujer lea solo A

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Sol.:

A: Lee EL País B: Lee La Cuarterola C: Al menos un Diario

a) P(C )  0,3  0,2  0,15

= 0,65%

b) P( A)  0,30 %

13. En un sorteo del KINO de un total de 25 bolitas, el que canta las bolitas extrae 2 de la tómbola ¿Que probabilidad existe que la primera bolilla sea múltiplo de 3 y la segunda múltiplo de 5?

Sol.:

Múltiplos de 3={3,6,9,12,15,18,21,24}

Múltiplos de 5= {5, 10, 15, 20, 25}

La probabilidad de sacar la primera bolita múltiplo de 3 entre 25 es:

P(3) 

8 25

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La probabilidad de sacar la segunda bolita múltiplo de 5 entre 25 es:

P(5) 

5 1  25 5

Luego la probabilidad de obtener un múltiplo de 3 y un múltiplo de 5 es:

P (3y5)=

8 1 8   25 5 125

14. La probabilidad de que un Hombre vivirá 20 años mas es de que su esposa vivirá 20 años mas es

1 , la probabilidad 3

1 . Hallar la probabilidad que: 6

a) Ambos estarán vivos dentro de 20 años b) Al menos uno estará vivo en 20 años. c) ninguno estará vivo en 20 años.

Rep.: P( H ) 

1 3

P( E ) 

1 6

1 1 1 a) P( H  E )  P( H )  P( E )    3 6 18

b) P( HUE)  P( H )  P( E)  P( H  E) =

1 1 1 8 4     3 6 18 18 9

c) P( H C  E C )  P( H C )  P( E C )

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2 5 5   3 6 9

15. En una caja hay tarjetas del mismo tipo con las letras de la palabra MURCIELAGO luego se saca una tarjeta al azar, La probabilidad que en esta halle una vocal es:

1 10

Rep.: b)

1 5

P( A) 

5 1  10 2

1 2

d)1

16. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa está dada por:

  1 f ( y )   ( y  1) 8  0

para 2  y  4

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Determinar efectivamente que f ( y) es una función de densidad de probabilidad.

Rep.: 4 4 4  1  y2  16 1 1 1  1 4   ( y  1 ) dy  ( y  1 ) dy   y dy  dy       y    4    2  8   1 2 8   82 8 2 8 2   2 2  8 2 4

Por la tanto podemos decir que efectivamente es una función de densidad

17. Se lanza un dado hasta que salga un 6 y se registra cada vez el numero de lanzamientos necesarios y la suma de los valores obtenidos en el dado, calcular:

a) La probabilidad de que la suma sea 10 , si se sabe que se lanza el dado no más de 3 veces.

Rep.:

A= {Los dados suman 10} B= { A lo más 3 lanzamientos}

P( A / B) 

P( A  B1)  P( A  B2)  P( A  B3) P( B)

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P( A  B2)  P(2,10) 

1 1 1   6 6 36

1 1 1 1 1 1 P( A  B3)           3     3   216 72 6 6 6 6

P( B)  P( B1)  P( B2)  P( B3)

1 5 1 5 5 1 91       6 6 6 6 6 6 216

P( A / B) 

0

1 3  36 216  9  216  9 91 216 91 91 216

18. Sea x una variable aleatoria continuaron distribución

 2x 3k f ( x)   2 0

si 0  x  5

a) calcular el valor de k b) Hallar P(1  X  5) P(2  X  6) P( X  5)

Rep.:

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x 3 3 x2  3 25 75 4 2 dx  k 2  x dx  k 2    k 2   k 2  1  k 2  k  a)  3k 2 2 0 2 2 2 2 4 75 5 3 0 5

b1) P(1  X  5)   1

2 5 3

x dx 

2 5 3

 x dx 

2 x2 2  25 1  2 24 24       5 3 2 5 3  2 2 5 3 2 5 3

x2  2  36 4  2 32 64     =  5 3 2  5 3  2 2  5 3 5 25 3 2

b2) P(2  X  6) 



2 x2  2 25 5 x dx    b3) P( X  5)    5 30 5 3 2 5 3 2 3 2

19. Dada la siguiente función x

1 f ( x)   e 25 25

0 x

Determinar

a) si la función anterior es una función de Probabilidad

Rep.: x x x  0   1 25 1 1 u u 25 45 45 45 0 25 e dx  25  e dx  25   250 e du  e   e   e  e  1 





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20. Dada la siguiente función de probabilidad

 6  7  x  f ( x)    36  0

x  1,2,3,.......12

Evaluar para cada valor la función acumulativa de la función antes dada

Rep.: F (1)  0 1 36 3 F (3)  P ( X  3)  36 6 F ( 4)  P ( X  4 )  36 10 F (5)  P ( X  5)  36 15 F ( 6 )  P ( X  6)  36 21 F (7 )  P ( X  7 )  36 26 F (8)  P ( X  8)  36 30 F (9)  P ( X  9)  36 33 F (10)  P ( X  10)  36 35 F (11)  P ( X  11)  36 F (12)  P ( X  12)  1 F ( 2)  P ( X  2 ) 

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Calcular las siguientes probabilidades con respecto a lo antes calculado P( X  5)  1  P( X  5)  1  F (5) 

26 36

P( X  5)  P( X  5)  P( X  4)  F (5)  F (4) 

10 6 1   36 36 9

P(7  X  9)  P( X  9)  P( X  6)  F (9)  F (6) 

30 15 15   36 36 36

21. En un test de lenguaje y comunicación un estudiante debe responder 7 de un total de 9 preguntas.

Rep.:

a) De cuantas formas puede responder la prueba

9 9!     36  7  (9  7)!7!

b) De cuantas formas puede responder si de las 4 primeras preguntas debe responder 2 y de las 5 restantes 3.

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 4 4!    6  2  (4  2)!2! 5 5!    10  3  (5  3)!3!  4  5       6  10  16  2  3

De 16 formas posibles se puede responder el Test.

22.

En un instituto hay 1000 alumnos repartidos por cursos de acuerdo a una

tabla, calcular la probabilidad de:

Hombre

125

100

120

Mujer

370

180

105

Total

495

280

225

a) Ser hombre b) Ser hombre o mujer de 1 c) Ser hombre de 2 o mujer de 3

Rep.:

a) P( H ) 

345 1000

b) P( HoM ) 

c) P( HoM ) 

495 1000

205 1000

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23.

La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria x dada por:

3(1  x) dx f ( x)   0

0  x 1

Determinar esperanza y Varianza

a) E ( X )   3x(1  x)dx   3x dx   3x 2 dx 1

= 3 x dx  3 x 2 dx  3 

x2 x3  1   2 3 2

var( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x)

E( x 2 ) 

1 4

Al desarrollar la integral de E ( x 2 ) me da como resultado ¼ Ahora puedo calcular la varianza

Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x)

1 1  0 4 4

Al ser la Varianza igual a cero, quiere decir que la varianza es una constante.

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24.

Sea x una variable aleatoria que representa el numero de clientes que

llega a una tienda en un periodo de una hora. Dada la siguiente información.

p(x)

0,05

0,10

0,20

0,25

0,10

0,05

a) encontrar esperanza E( x)  0  0,05  1  0,10  2  0,10  3  0,10  4  0,20  5  0,25  6  0,10  7  0,05  8  0,05

=3,8

Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x)

E ( x 2 )  0  0,05  1  0,10  4  0,10  9  0,10  16  0,20  25  0,25  36  0,10  49  0,05  64  0,05 = 20,1 Var ( x)  20,1  14,44

= 5,66

25.

Se dispone de 2 urnas en las cuales la probabilidad de ser seleccionada

son 0,2 y 0,5 respectivamente. La primera tiene 9 azules y 4 rojas y la segunda 3 azules y 6 rojos. Si se extrae una bola y esta es de color rojo ¿Cuál es la probabilidad que sea de la urna 1?

Rep.:

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P(U1 / R) 

P(U1) P( R / U1) P(U 2) P( R / U 2)  P(U1) P( R / U1)

0,2  =

4 13

6 4 0,4   0,2  9 13



(Por Bayes)

0,06  0,1840 0,326

26. Si se elige al azar un número del 1-100 ¿Cuál es la probabilidad de que ese número sea múltiplo de 3 y 5 a la vez?

Rep.: Múltiplos de 3 y 5= {15,30,45,60,75,90} P( A) 

6 3  100 50

27. Se lanza un dado y sale 4 ¿Que probabilidad hay que al lanzarlo nuevamente sume con el primer resultado un número menor a 9?

1 9

5 6

4 9

2 3

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28. Determinar la probabilidad que al lanzar un dado cuatro veces no se obtenga ningún 5?

10 625

1296 625

625 1296

1 1296

Es la alternativa c y se resuelve por la regla multiplicativa

29. Calcular la probabilidad de ganar el loto con un solo cartón

P( A) 

1 1 1    0,000000306 Probabilidad de ganar el Loto 39 ! 3.262.623  39     6  (39  6) ! 6!

30. Javier fue al hipódromo y le gustaron 2 caballos, el primero tiene una probabilidad de perder de

5 1 y el segundo una probabilidad de ganar de 8 3

¿Qué probabilidad tiene de ganar si apuesta a los 2 caballos?

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17 24

7 24

35 26

8 12

Por la regla aditiva se obtiene que la probabilidad de ganar si se apuesta a los 2 17 24

caballos es de

31. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. -3 1 4

xi f (xi )

-1 1 3

   xi xi   3   1   2   4 3 2 2 2

= -

 xi

-2 1 2

+5 1 2

3 1 5 5  1 = 4 3 2 12

1 1 1 1  f ( xi )  9     4   25  4 3 2 2

9 1 25 205  2  4 3 2 12

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 2   xi 2 f ( xi )   2 =



205 5 350   12 12 12

200  4,08 12

32. Un examen consta de 5 temas numerados. Para elegir un tema la azar, se propone lanzar un dados sale 1 a 5 , el numero del tema es el resultado del dado ; si sale 6 se vuelve a tirar hasta que salga 1 a 5 . Demostrar que la probabilidad de elección de cada tema es 1/5. Rep.: Si sale el tema i (=1,….,5) , si se presenta una cualquiera de las siguientes secuencias i; 6,i;6,6,i;6,……,6,i; de probabilidades 1 ; 6

1 1 1   ,   , ......,   ,...... 6 6 6

La probabilidad es: 2

1 1 1 1        ............     ....  6 6 6 6 1 1 = 6  1 5 1 6

33. En el colegio un niño tira un dado, le sale 6 y gana. Hallar la probabilidad de que haya hecho trampa. Resolver esto bajo un supuesto de que el 30% de los jugadores son tramposos.

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Rep.: El niño puede ser tramposo o no. ahora el espacio muestral se descompone de la siguiente manera

  T T c Siendo T = {el niño es tramposo} La probabilidad de que un jugador tramposo saque un 6 es 1. si no es tramposo la probabilidad es 1/6 . Entonces si P(T )  0,3 P(6 / T )  P(T ) P(6 / T )  P(T )  P(6 / T c )  P(T C

P(T / 6) 

1  0,3 6  1 7 1  0,3   (0,3) 6

Si P(T )  p donde p es un parámetro 0  p  1 , entonces:

P(T / 6) 

1 p 6p  1 1 5p 1  p  1  p  6

34. Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de probabilidad:

f ( x)  k  (1  x 3 ) si x0,2 f ( x)  0 si x  (0,2) a) Hallar la constante K y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad se que X este comprendida entre 1 y 2 Rep.: 

a) Se verifica





f ( x) dx  1  k (1  x 3 )dx  1 0

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 x4  1 k  x    6k  1  k   4 6  si x  0 0  x x4  1  F ( x)   f (t )dt    x   si 0  x  2 4   6  1 si x  2  2

1 19 b) P(1  X  2)   (1  x 3 )dx  6 24 1

35. La función de probabilidad de X es el numero de defectos de cada 5 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme es 1 0,27

xi f (xi )

2 0,33



4 0,09

5 0,06

a)   1  0,27  0,33  0,09  0,06  0,25 b)    xi

 1  0,27  2  0,33  3  0,25  4  0,09  5  0,06 xi = 0,27 + 0,66  0,75  0,36  0,30 = 2,34

 xi

 f ( xi )  1  0,27  4  0,33  9  0,25  16  0,09  25  0,06 = 0,27  1,32  2,25  1,44  1,5  6,78

c)  2   xi 2 f ( xi )   2 = 6,78  5,47 = 1,31 d) P( X  3 / X  2)  P A / B  

P( A  B) P( B)

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

P( X  3) 0,4   0,54 P( X  2) 0,73

P( X  4)  P( X  2) P( X  2) 0,94  0,27 = 0,4 0,67 =  1,675 0,4

e) P( X  4 / X  2) 

36. Verificar si la siguiente función dada por: 4x  5 50

f (x) =

para x= 1, 2, 3,4

Cumple con las condiciones como función de probabilidad de una variable aleatoria. Rep.: Al sustituir los diversos valores de x que se obtiene.

f (1)  9 , f (2)  13 , f (3)  17 , f (4) = 21 50

Se debe cumplir las siguientes condiciones f (x)  0

 f (x) 1

x 

Luego f (1)  f (2)  f (3)  f (4) =

9 13 17 21 50     1 50 50 50 50 50

La función cumple con una de las condiciones para una función de probabilidad ya que su suma es igual a 1.además f (x)  0

37. Dado que la variable aleatoria es discreta x tiene la función de distribución.

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0 3  4 2  f (x )   3 7  3  1

Para

x3

Para 3  x  6 Para 6  x  9 Para 9  x  12 Para x  12 Determinar

2 3 17 a) p (6  x  10) = p ( x  10)  p( x  6)    3 4 12

b) p ( x  9) 

7 3

38. Sea x una variable aleatoria que representa el número de mail que recibe una empresa a diario en un intervalo de 10 minutos y cuya función de probabilidad esta dado por:

P( X ) 

e 5 (5) x x!

x= 0, 1, 2, 3, 4, 5

Determinar la probabilidad para los antes mencionados valores de x Rep.: P(0)  e 5 (5) 0  e 5 

P(1)  e 5 (5)1  5e 5 

1  0,00684 146,166

5  0,03420 146,166

25e 5 25   0,08551 P(2)  e (5)  2 292,332 5

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125e 5 125   0,14253 P(3)  e (5)  6 876,996 5

P(4)  e 5 (5) 4 

625e 5 625   0,178165 24 3507,984

P(5)  e 5 (5) 5 

3125e 5 3125   0,178165 120 17539,92

39. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. -3 1 4

xi f (xi )

-1 1 3

1 1 2

3 1

   xi xi   3    1   1   3 4 3 2 2

 xi

3 2 1 25 -  3 = 4 3 2 12

1 1 1  f ( xi )  9  1  1   9 4 3 2

9 1 1 145   9  4 3 2 12

 2   xi 2 f ( xi )   2 =

145 25 120    10 12 12 12

  10  3,1622

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Probar que la familia de conjuntos X  {, } es una   Alg ebra

40. Rep.:

Para probar que X es una   Alg ebra , se debe ver que cumpla con los 3 axiomas de una   Alg ebra . El primer axioma se cumple ya que   X El segundo axioma se cumple ya que el complemento de todos los conjuntos de X (  c  ,  c   ) son a su vez elementos de X El tercer axioma se cumple ya que la unión entre cualquiera de los de X es otro elemento de X .

elementos

41. Sea x una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de una hora. Dada la siguiente información.

x p(x)

0 0,07

1 0,15

2 0,15

3 0,15

4 0,25

5 0,15

6 0,15

7 0,07

8 0,07

b) encontrar esperanza E( x)  0  0,07  1  0,15  2  0,15  3  0,15  4  0,25  5  0,15  6  0,15  7  0,07  8  0,07 =4,6

Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) E ( x 2 )  0  0,07  1  0,15  4  0,15  9  0,15  16  0,25  25  0,15  36  0,15  49  0,07  64  0,07 = 23,16 Var ( x)  23,16  21,16 =2

42. Sea un dado tal que la probabilidad de las distintas caras es proporcional al número de puntos inscritos en ellas, Hallar la probabilidad de obtener con este dado un número par.

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Rep.:   {1, 2, 3, 4, 5,6} y el algebra a= P() Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es P( )    i i  1,2,3,4,5,6

  Constante de proporcionalidad Luego 6

 i  1    21  1    21 i 1

P({ Que salga par})= P  ({2,4,6}) 2 4 6 12 4     21 21 21 21 7

43. Sea x una variable aleatoria continua con distribución

 2x 3k f ( x)   2 0

si 0  x  5

a) calcular el valor de k b) Hallar P(1  X  5) P(2  X  6) P( X  5)

Rep.:

x 3 2 3 2 x 2  3 2 25 75 4 2 dx  k  x dx  k    k   k 2  1  k 2  k  a)  3k 2 2 0 2 2 2 2 4 75 5 3 0 5

b1) P(1  X  5)   1

2 5 3

x dx 

2 5 3

 x dx 

2 x2 2  25 1  2 24 24       5 3 2 5 3  2 2 5 3 2 5 3

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x2  2  36 4  2 32 64     =  5 3 2  5 3  2 2  5 3 5 25 3 2

b2) P(2  X  6) 



2 x2  2 25 5    5 30 5 3 2 5 3 2 3 44. Un motor puede fallar por una y solo una de las siguientes causas : por obstrucción de los cojinetes , por combustión del embobinado o desgaste de las escobillas .Suponga que es doblemente probable que ocurra la obstrucción Que la combustión, y es cuatro veces más probable que ocurra la combustión que la inutilización de las escobillas. Si la probabilidad de que el motor falle es 0,01 ¿Cuál es la probabilidad que el motor no funcione debido a cada una de las 3 causas posibles? b3) P( X  5) 

 x dx 

Rep.: Primero se establecerán los eventos A: La falla ocurre por obstrucción de los cojinetes. B: La falla ocurre por combustión del embobinado C: La falla ocurre por desgaste de las escobillas. Evento: el motor falla equivale a la unión A  B  C Estos 3 eventos son mutuamente excluyentes esto es

A B  AC  B C   Y entonces P( A  B  C)  P( A)  P( B)  P(C)  0,01 Y como P( B)  4P(C ) y P( A)  2P( B)  8P(C ) se sigue que 8P(C )  4P(C )  P(C )  13P(C )  0,01

Por lo que P(C ) 

1 130

P( B) 

4 130

P( A) 

8 130

De lo visto anteriormente podemos decir que existen 3 elementos básicos: el espacio muestral  , el   Alg ebra X , y la medida de probabilidad P Definida sobre X . Estos 3 elementos forman una terna que se denomina espacio de probabilidad.

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45. La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria x dada por:

(1  x 2 ) dx 0  x  1 f ( x)   0 Determinar esperanza y Varianza 1

a) E ( X )   x(1  x 2 )dx   x dx   x 3 dx 0

 x dx   x dx   2 3



x  1 1 1     4   2 4  4 4

var( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) 1

E ( X 2 )   x 2 (1  x 2 )dx   x 2 dx   x 4 dx =  x 2 dx   x 4 dx  

x 3 x 5  1 1  2  5       3 5   3 5  15

Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) =

2 1 17   15 16 240

46. Calcular la esperanza y varianza de la variable aleatoria continua, con función de densidad de probabilidad: f ( x) 

1 3 x

si x (0,1) eoc

Rep.:

 3 x 1 x2  2 E( X )   dx     3 3  9 0 3 x  2  1

 5 x 1 x2  2 E( X 2 )   dx      3  5  15 0 3 x  2  1

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Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x)

2 4 162  60 102    15 81 1215 1215

47. Hacer el Grafico de la siguiente función -1 1/6

xi f (xi )

1 1/3

3 1/2

Además encontrar esperanza, varianza y Desviación estándar en esta Distribución. Rep.: 1 1 1 E ( X )  1   1   3  6 3 2

1 1 3 5    6 3 2 3

1 1 1 E ( X 2 )  (1) 2   1   9  6 3 2

1 1 9 30    5 6 3 2 6

Var ( xi )  E ( X 2 )  E 2 ( X ) 25 20 = 5   2, 2 9 9 Desviación Estándar

var( x) 

20  1,49 9

48. Dado   {a, e, i, o, u} espacio muestral y T  {, ,{a, o},{e, i, u},{i, o},{a, e, u}}   Alg ebra Veamos si T  {, ,{a, o},{e, i, u},{i, o},{a, e, u}} Cumple con las 3 condiciones para ser   Alg ebra

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Rep.: a)   T se cumple con la primera condición b) si AT  AC  T cada elemento de T tiene su complemento Por lo que se cumple esta condición. c)

     {a, o}    {i, o}    {e, i, u}     {e, i, u},{a, o} {i, o}   etc.

T Es   Alg ebra (tribu) para 

49. Sea  el conjunto de casos posibles que resultan de la tirada de un dado. Ver cuáles de las siguientes clases de conjuntos son   Alg ebra a) A1  {, } b) A2  {,{1,3,5},{2,4,6}, } c) A3  {,{1, }} d) A4  P(), Conjunto de las partes de  Rep.: a) Es un   Alg ebra porque él  y su complemento  pertenecen a   Alg ebra y la unión      b) También porque   A2 ,  C    A2 ,       A2 Y {1,3,5}  {2,4,6}    A2 c) No es   Alg ebra ya que {1}c  {2,3,4,5,6} A3 d) Es   Alg ebra ya cualquier operación entre conjuntos de P() Sera cerrada.

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50. En una empresa de automóviles se ha encontrado la función de densidad de la variable

 1 f x ( x)   0  x  15 2  2,86( x  6)  1 Encuentre la probabilidad de que una persona que maneje un automóvil a) viaje más de 6 kilómetros b) viaje entre 3 y 6 kilómetros Rep.:

1 1 tan 1 (9)  tan 1 (1) 1,460  0,785    0,2360 2,86 7 ( x  6) 2  1 2,86 2,86 15

a) P(x  7) 

Notar que

tan 1 (15)  tan 1 (6)  2,86

1 1 tan 1 (1)  tan 1 (3) 0,785  1,249    0,711 2,86 3 ( x  6) 2  1 2,86 2,86 7

b) P(3  x  7) 

51. Con respecto al ejemplo anterior , nos interesa conocer el gasto en viajes por el alza de la bencina .Así determinar la función de densidad por costo de bencina El costo existentes depende de los kilómetros que recorra esto se basa en la siguiente regla

$2.00 si 0  x  6  Z  C ( x)  $2.50 si 6  x  9 $3.50 si 9  x  15  Encontrar la función de densidad Rep.: El rango del pasaje tiene solo 3 valores por lo que el rango

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Es el siguiente:

Rz  2.00 ,2.50, 3.50} Para cada valor se tiene un subconjunto Au dado por:

A2  {x / c ( x)  2}  (0,6) A2.50  {x / c ( x)  2.50}  [6,9) A3.50  {x / c ( x)  3.50}  [9,15] En los 3 casos Au no es discreta Finalmente los valores de la función de densidad en cuanto a los valores de la bencina 6 1 f y (2)   A f ( x)dx   dx  0,4914 2 2,86( x  6) 2  1 0

f y (2.50)   A

2.50

f ( x)dx   6

f y (3.50)   A

3.50

f ( x)dx   9

1 dx  0,4365 2,86( x  6) 2  1

1 dx  0,07380 2,86( x  6) 2  1

52. Se lanza un dado hasta que salga un 5 y se registra cada vez el número de lanzamientos necesarios y la suma de los valores obtenidos en el dado, calcular: La probabilidad de que la suma sea 14, si se sabe que se lanza el dado no más de 3 veces.

Rep.: A= {Los dados suman 14} B= {A lo más 3 lanzamientos}

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P( A / B) 

P( A  B1)  P( A  B2)  P( A  B3) P( B)

1 1 1 P( A  B2)  P(3,14)    6 6 36 3

1 1 1 1 1 1 P( A  B3)           3     3   216 72 6 6 6 6 P( B)  P( B1)  P( B2)  P( B3) 1 5 1 5 5 1 91 =       6 6 6 6 6 6 216

P( A / B) 

0

1 3  36 216  9  216  9 91 216 91 91 216

53. Si la función de distribución de la variable aleatoria x está dada por:

0  3x   F(X )   2 x  1  4 1 

para x  0 para 0  x  1 para 1  x  2 para x  2

Obtener a) P( X  0,9) b) P( X  1) Rep.: 0, 9 3x 3 3 x 2  3  0,81  0,6075 P( X  0,9) =  dx   x dx    2 2 0 2 2  2  2  0 0,9

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2 2 2 1 1 x2 1  1 1 1 5  x  2      P( X  1) =  ( x  )dx   x dx   dx  4 41 2 4  2 2 4 4 1 1

54. si X   Alg ebra x1 , x2 , x3 ......  X  x1  x2  ......  .. = i1 xi  X Demostración Si x1 , x2 , x3 ......  X  x1c , x2C ......  X . Y si x1c , x2C ......  X . 

i1 xici  X

i1 xici  X  (i1 xic ) c  X Luego por la ley de Morgan se tiene que: (i1 xic ) c  X = i1 ( xic )  i1 x i Por lo que queda demostrado el teorema.

55. Un jugador lanza un dado. Si sale un número par gana dicho número de euros, pero si no sale un número par pierde esa cantidad de euros. Calcular la esperanza. Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: Xi f(xi)

2 1 8

-3 1 8

-5 1 8

4 1 8

8 1 8

Rep.: E (Xi ) =

 xi  f (xi)

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= 2

1 1 1 1 1 - 5   3  4  8 8 8 8 8 8

2 5 3 4 8 6 euros      8 8 8 8 8 8

56. La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X está dada por: 2  (2  x) f ( x)   5  0

0  x 1 eoc

Determinar a) E (x) b) Var (x)

Rep.: a) E (x) =

2 

 5 x (2  x) dx  5  x (2  x) dx  5 2  x dx   x 0

 2  2x 2 x3  2  1  2 2 4 dx        1       5  2 3  5  3  5 3 15

b) Var (x) = E ( x )  E ( x) 2

1 1 1 3 4  1  E ( x 2 )   2 x 2 (2  x) dx  2  x 2 (2  x) dx  2 2  x 2 dx   x3dx  2 2  x  x   2  2  1   2  5  1 0

5 

 5

4  5  3 4  5 12 6

Var (x) = E ( x 2 )  E 2 ( x) 1 16 225  96 129 =    6 225 1350 1350

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57. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. -2 1 6

xi f (xi )

-1 1 6

   xi xi   2   1   2   3  6 6 6 6 2

2 1 6

3 1 6

1 1 1 1 1 = -    = 3 6 3 2 3

 xi

1 1 1 1  f ( xi )  4   1  4   9  6 6 6 6

2 1 2 3 4  1  4  9 18      2 3 6 3 2 6 6

 2   xi 2 f ( xi )   2 = 2



1 18  1 17   9 9 9

17 17  1,374 9 3

58. Se sortea una rifa en beneficio a los damnificados del sur , la rifa posee un total de 13 números. Si su probabilidad es proporcional al número de la rifa comprado ¿Calcular la probabilidad que el numero ganador sea par? Rep.:   {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13} y el algebra a= P() Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es

P(k )  k  i

i  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13

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k  Constante de proporcionalidad Luego 13

 ki  1  k  91  1  k  91 i 1

P({ Que numero ganador salga par})= P  ({2,4,6,8,10,12}) 2 4 6 8 10 12 42       91 91 91 91 91 91 91

59. Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de probabilidad:

c  (1  4 x 3 ) si x0,3 2 f ( x)  0 si x  (0,3)

f ( x) 

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad de que X este comprendida entre 0 y 1 Rep.: 

a) Se verifica

 f ( x) dx  1  2 (1  4 x



)dx  1

c x4  c c 1 4   x  4    x  x   84  1  42c  1  c  2 4 2 2 42





0 1  F ( x)   f (t )dt   x  x4 42   1 x



si x  0



si 0  x  3 si x  3

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1 1  1  1 1  x4  1 3 (1  4 x 3 )dx  dx  4 x dx  x  4  x  x4      42 42 42 4 42   0 0 0 



b) P(0  X  1)   



1 1 2  42 21

60. La función de probabilidad de X es el numero de defectos de cada 5 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme es 1 0,12

xi f (xi )

2 0,18



4 0,05

5 0,09

a)   1  0,12  0,18  0,05  0,09  0,56 b)    xi

 1  0,12  2  0,18  3  0,56  4  0,05  5  0,09 xi = 0,12 + 0,36  1,68  0,2  0,45  2,81

 xi

 f ( xi )  1  0,12  4  0,18  9  0,56  16  0,05  25  0,09 = 0,12  0,72  5,04  0,8  2,25  8,93

c)  2   xi 2 f ( xi )   2 = 8,93  7,89 = 1,04 d) P( X  3 / X  2)  P A / B   P( A  B) P( B)



e) P( X  4 / X  2) 

P( X  3) 0,7   0,795 P( X  2) 0,88

P( X  4)  P( X  2) P( X  2)

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0,91  0,12 0,79   0,89 0,88 0,88

61. Dado que la variable aleatoria es discreta x tiene la función de distribución.

0 1  5 4  f (x )   7 5  3  1

Para

x 1

Para 1  x  3 Para 3  x  5 Para 5  x  7 Para

x8

Determinar 4 1 13 a) p (2  x  4) = p ( x  4)  p( x  2)    7 5 35

b) p ( x  6) 

5 3

62. Sea x una variable aleatoria que representa el número de mail que recibe una empresa a diario en un intervalo de 4 minutos y cuya función de probabilidad esta dado por:

e 4 (3) x x= 0, 1, 2, 3, 4 x! Determinar la probabilidad para los antes mencionados valores de x P( X ) 

Rep.:

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P(0)  e 4 (3) 0  e 4 

1  0,0185 53,93

P(1)  e 4 (3)1  3e 4 

3  0,0556 53,93

9e 4 9   0,0834 P(2)  e (3)  2 107,86 27e 4 27   0,0834 P(3)  e 4 (3) 3  6 323,58 4

81e 4 81   0,06258 P(4)  e (3)  24 1294,32 4

P(5)  e 4 (3) 5 

243e 4 243   0,03754 120 6471,6

63. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. -4 1 5

xi f (xi )

-2 1 5

1 1 5

3 2 5

   xi xi   4   2   1   3  5 5 5 5 2

 xi

4 2 1 6 1    = 5 5 5 5 5

1 1 1 2  f ( xi ) 16   4  1   9  5 5 5 5

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16 4 1 18 39     5 5 5 5 5

 2   xi 2 f ( xi )   2 =



39 1 195  1 194     7,76 5 25 25 25

194  2,785 5

64. Sea   {1,2,3,4,5,6} el conjunto de los casos posibles que resultan de la tirada de un dado decir cuáles de las siguientes clases de conjuntos son algebras. a) a1  {, ,{1,2,3},{4,5},{3,4}} b) a 2  {, ,{1,2},{3,4,5,6}} c) a3  {,{1,2,3},{4,5,6}}

Rep.: a) no es un   Alg ebra ya que {1,2,3}c no pertenecen a a1 b) Es   Alg ebra ya que cada elemento de a 2 posee su complemento c) No lo es puesto que  c   no pertenecen a a 3

65. Si la función de densidad de la variable aleatoria X está dada por

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3  2 x para  f ( x)  5  x para 0 eoc  

0  x 1 1 x  c

Determinar el valor de c Rep.: c

 (5  x)dx  5 dx   x dx  5x 

x2  c2 1  5 c  5 1  2 2 2 5c 

c2 1  5 2 2

5c 

c2 9  2 2

10 c  c 2  9 c 2  10c  9  0 c  9)(c  1)  0

c1  9 c2  1

66. Suponga que la función de distribución de la variable aleatoria X es: para x  0 0  2 F ( x)   3 x para x  0  2  x

a) Encontrar función de Densidad de X b) Calcular la Probabilidad P(0  X  1) Rep.:

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a) Como X es una variable aleatoria continúa , entonces La función de densidad se encuentra al derivar la función de distribución

3x 2 ) 2  x f ( x)  = dx d (3x 2 ) (2  x) (2  x)   3x 2  d 2 2 2 2 dx dx  2  x   6 x  3x  12 x  6 x  3x  12 x  9 x  3x (4  3x) ( 2  x) 2 (2  x) 2 (2  x) 2 (2  x) 2 2  x 2 d(

3x 2 b) F ( x)  P(0  X  1)   F (1)  F (0)  1  0  1 2 x

67. Un Grupo de personas juega al popular UNO este juega solo con las cartas de color verde ósea que espacio muestral va a ser igual a   {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} , ¿Cual es la probabilidad que al sacar una carta salga impar? Rep.:   {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Y el algebra a= P() Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es P(c)  c  i i  1,2,3,4,5,6,7,8,9

c  Constante de proporcionalidad

Luego 9

 ci  1  c  45  1  k  45 i 1

P({ Que salga impar})= P  ({1,3,5,7,9}) 1 3 5 7 9 25 5       45 45 45 45 45 45 9

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68. Sea x una variable aleatoria que representa el número de personas que va a comprar a supermercado Jumbo. Dada la siguiente información.

x p(x)

0 0,03

1 0,15

2 0,12

3 0,12

4 0,20

5 0,15

6 0,15

7 0,03

8 0,03

Encontrar esperanza E( x)  0  0,03  1  0,15  2  0,12  3  0,12  4  0,20  5  0,15  6  0,15  7  0,03  8  0,03 =3,65

Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) E ( x 2 )  0  0,03  1  0,15  4  0,12  9  0,12  16  0,20  25  0,15  36  0,15  49  0,03  64  0,03 = 17,45 Var ( x)  17,45  13,32 = 4,13

69. Si la función de distribución de la variable aleatoria x está dada por: 0  2x  F(X )   7   1

para x  2 para 2  x  4 para x  4

Obtener a) P( X  3)

Rep.:

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3 2x 2 2 x2  2 9 4 2 5 5    P( X  3) =  dx   x dx     7 72 7 2  7  2 2  7 2 7 2 3

70. Sea   {a, e, i, o, u} conjunto de vocales Veamos si T  {, ,{a, e, i},{o, u},{e, i, o},{a, u}} Compuesta por estas vocales. Cumple con las condiciones para ser   Alg ebra Rep.: a)   T

Cumple con esta condición

b) si A  T  AC  T cumple con la condición ya que cada elemento de T tiene un complemento c)      {a, e}    {o, u}    {a, i, o}     {e, i, o},{a, e} {i, o}   etc. T es   Alg ebra (tribu) para 

71. Sea  el conjunto de casos posibles que resultan de la tirada de un dado. Ver cuáles de las siguientes clases de conjuntos son   Alg ebra a) A1  {, } b) A2  {,{1,3,5},{2,4}, } c) A3  {,{1,2,3}}

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Rep.: a) Es un   Alg ebra porque él  y su complemento  pertenecen a   Alg ebra y la unión      b) NO, porque si bien,   A2 ,  C    A2 ,       A2 a. {1,3,5}c  A2 c) No es   Alg ebra ya que {1,2,3}c  {4,5,6} A3

1 3  72. Dado que x tiene la distribución de probabilidad f ( x)    para x=0,1,2,3 3  x Determine la función generatriz de momentos de esta variable aleatoria y utilícela para determinar 1 y  2

Rep.:

Mx(t )  E (e tx )   e tx f ( x) x

Se tiene que

3  1 3 Mx(t )  E (e tx )   e tx f ( x) =   e tx   3 x 0  x  x 1 = (1  3e t  3e 2t  e 3t ) 3 1 = (1  e t ) 3 3

Por lo tanto como

d m x (t ) t0 dt 2

1  mx (0)  1  e t  e t t  0  4 2

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 2  mx (0)  2 (1  e t ) e 2t  1  e t  e t t  0  4  4  8 2

73. Si X es el número de puntos con un dado equilibrado Determinar el valor esperado de la variable aleatoria h( x)  4 x 2  3 Rep.: Cada resultado posible tiene probabilidad 6

E (h( x))   (4 x 2  3)  x 1

1 se obtiene: 6

1 6

1 1 1 1 = (4  12  3)   (4  2 2  3)   (4  32  3)   .........  4  6 2  3 6 6 6 6 1 1 1 1 1 1 = ( 7   19   39   67   103   147  ) 6 6 6 6 6 6

7 19 39 67 103 147 382       6 6 6 6 6 6 6

74. Sea  el conjunto de los casos posibles que resultan de la tirada de un dado decir cuáles de las siguientes clases de conjuntos son algebras. a) a1  {,{1,3,4},{2,5,6}} b) a 2  {, ,{1,2,3},{4,5}} c) a3  {, ,{1,2,3},{4,5,6}}

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Rep.: a) no es un   Alg ebra ya que  c no pertenecen a a1 b) no es   Alg ebra ya que cada elemento de a 2 no posee su complemento c) Es   Alg ebra puesto que cada elemento posee su complemento en a 3

75. Si la función de distribución de la variable aleatoria x está dada por:

0  5x  6 F(X )   x 2  2  3 1 

para x  0 para 0  x  2 para 2  x  4 para x  4

Obtener a) P( X  1)

Rep.: 1 5x 5 5 x2  5 1  5 1 5 dx  x dx  P( X  1) =       0     6 60 6 2  6  2  6 2 12 0 1

76. Sea   {a, e, i, o, u} conjunto de vocales Veamos si T  {, ,{a},{a, e},{i, o, u},{u},{e, i, o, u} Compuesta por estas vocales. Cumple con las condiciones para ser   Alg ebra Rep.: a)   T

Cumple con esta condición

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b) si A  T  AC  T No cumple con la condición ya que cada elemento no tiene un complemento

de T

Por lo tanto no es un   Alg ebra .

77. La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria x dada por: 4 1 2  ( x  x ) dx f ( x)   5 2  0

0  x 1

Determinar esperanza y Varianza 1

4 1 4 1 4 a) E ( X )   x ( x  x 2 )dx   x 2 dx   x 3 dx 5 2 502 50 0 = 1 1 2 2 4 3 2 x3 4 x 4  2x3 x 4  2 1 5 1 x dx  x dx          5 0 5 0 5 3 5 4  15 5  15 5 15 3 var( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) 1

E( x 2 ) 

4 2 1 4 1 4 x ( x  x 2 )dx   x 3 dx   x 4 dx  50 2 502 50

1 1 2 3 4 4 2 x 4 4 x5  x 4 4x 4  1 4 65 13 x dx  x dx            50 50 5 4 5 5  10 25  10 25 250 50

Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) =

13 1 117  50 67    50 9 450 450

78. Sea x una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de una 2 horas. Dada la siguiente información.

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

x p(x)

0 0,05

1 0,16

2 0,16

3 0,16

4 0,18

5 0,18

6 0,16

7 0,05

8 0,05

c) encontrar esperanza E( x)  0  0,05  1  0,16  2  0,16  3  0,16  4  0,18  5  0,18  6  0,16  7  0,05  8  0,05 = 4,29

Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) E ( x 2 )  0  0,05  1  0,16  4  0,16  9  0,16  16  0,18  25  0,18  36  0,16  49  0,05  64  0,05 = 21,03 Var ( x)  21,03  18,40 = 2,63

79. Sea x una variable aleatoria continuaron distribución

1 2 x  k f ( x)   2 4 0

si 0  x  3

a) calcular el valor de k b) Hallar P(1  X  3) P(0  X  2) P( X  1)

Rep.:

1 x 1 1 x2  1 9 9 16 16 4 k   a)  k 2 dx  k 2  x dx  k 2    k 2   k 2  1  k 2  2 4 8 0 8 2 8 2 16 9 9 3 0 3

2 2 2 x2 2 9 1 2 8 b1) P(1  X  3)   x dx   x dx       4  9 91 9 2 9 2 2 9 9 1 3

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2 2 2 2 x2  2 4  4 b2) P(0  X  2)   x dx   x dx    =   0  9 90 9 2  9 2  9 0 2

1 2 2 x2  2 1 1 b3) P( X  1)   x dx     90 9 2 9 2 9

80. Dada la siguiente función x

1 f ( x)   e 18 18

0 x

Determinar si la función anterior es una función de Probabilidad Rep.: x x  0  x   1 18 1 1 u u 18 18 18 18 e dx  e dx    18 e du  e   e   e  e 1  0 18 0 18 0 18 





81. La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X está dada por: 1  (4  x) f ( x)   3  0

0  x 1 eoc

Determinar a) E (x) b) Var (x)

Rep.:

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1 1 1 1 2 3 a) E (x) = 1 x (4  x) dx  1 x (4  x) dx  1 4 x dx  x 2 dx  1  4x  x   1   4  1   1  5  5       0

3 

 3 2

3  3  2 3 3 3 9

b) Var (x) = E ( x )  E ( x) 2

1 1 1 1 3 4 E ( x 2 )  1 x 2 (4  x) dx  1 x 2 (4  x) dx  1 4 x 2 dx  x3dx  1 4  x  x   1  4  1   1  13  13 0 3 0  3  3 4  3  3 4  3 12 36 3 0 3  0

Var (x) = E ( x 2 )  E 2 ( x) 13 25 1053  900 153 =    36 81 1458 1458

82. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. -3 1 4

xi f (xi )

-1 1 4

   xi xi   3   1   1   4  4 4 2 2 2

1 1 2

4 1 2

3 1 1 4 3 = -    = 4 4 2 2 2

 xi

1 1 1 1  f ( xi )  9   1 1   16  4 4 2 2

9 1 1 16 9  1  2  32 44       11 4 4 2 2 4 4

 2   xi 2 f ( xi )   2 = 11 

9 44  9 35   4 4 4

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

35 35   2,9580 4 2

83. Sea un dado tal que la probabilidad de las distintas caras es proporcional al número de puntos inscritos en ellas, Hallar la probabilidad de obtener con este dado un número par. Rep.:   {1, 2, 3, 4, 5,6} y el algebra a= P() Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es P(k )  p  i i  1,2,3,4,5,6 p  Constante de proporcionalidad

Luego 6

 pi  1  p  21  1  p  21 i 1

P({ Que salga par})= P  ({2,4,6}) 2 4 6 12 4     21 21 21 21 7

84. Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de probabilidad:

f ( x)  c  (1  f ( x)  0

1 4 x ) si x0,1 2 si x  (0,1)

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad de que X este comprendida entre ½ y 1 Rep.: 

a) Se verifica





f ( x) dx  1  c (1  0

1 4 x )dx  1 2

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 1 x 5  11 10 c x     c  1  c   2 5  10 11  si x  0 0  x x5  10  F ( x)   f (t )dt    x   si 0  x  1 10   11  1 si x 1 

b) 1  1 10 1 10 1 1 x 5  10  1 1 1    10  4 4 1 P(  X  1)   (1  x )dx    dx   x dx    x     1    2 2 11 1 21 11  2 5  11  10 2 320  1 11   2 2 2  10 191 191    11 320 352 1

85. La función de probabilidad de X es el numero de defectos de cada 5 metros de una malla rachel continuos de ancho uniforme es 1 0,17

xi f (xi )

2 0,20



4 0,03

5 0,17

a)   1  0,17  0,20  0,03  0,17  0,43 b)    xi

 xi

 1  0,17  2  0,20  3  0,43  4  0,03  5  0,17

= 0,17 + 0,40  1,29  0,12  0,85  2,83

 f ( xi )  1  0,17  4  0,20  9  0,43  16  0,03  25  0,17 = 0,17  0,80  3,87  0,48  4,25  9,57

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c)  2   xi 2 f ( xi )   2 = 9,57  8,00 = 1,57 d) P( X  4 / X  2)  P A / B   P( A  B) P( B)



P( X  4) 0,2   0,240 P( X  2) 0,83

P( X  3)  P( X  2) P( X  2) 0,8  0,17 0,63 =   0,75 0,83 0,83

e) P( X  3 / X  2) 

86. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. -2 1 3

xi f (xi )

-1 1 3

4 1 3

   xi xi   2   1   4  3 3 3 2

= 

 xi

2 1 4 1   = 3 3 3 3

1 1 1  f ( xi )  4  1  16  3 3 3

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4 1 16 21    7 3 3 3 3

Varianza

 2   xi 2 f ( xi )   2 = 7

1 63  1 62    6, 8 9 9 9

Desviación Estándar 62   2,624 3

87. Una variable Aleatoria tiene función de densidad f x   c

  x  

x2 1

donde

a) Hallar el valor de c b) Hallar la probabilidad de que x 2 este entre

1 y1 4

Rep.: 

 f x  dx  1





c



c

     dx  c 2 tg 1 x  c 2       1 x 1  2  2  2





b) sea

1 1 1  x 2  1 entonces  x  1 o  1  x   4 2 2

Por lo tanto la probabilidad pedida es:

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

1





1 2

dx 1  2  x 1

dx 2 dx 2  1 2    2  1  1  1 x 2  1   1 x 2  1   tg 1  tg  2     4  6     12 1

88. Si la función de distribución de la variable aleatoria x esta dada por:

0 x   4 F(X )   1 x  4  1 

para x  0 1 2 1 5 para  x  2 2 5 para x  2 para 0  x 

Obtener 1 a) P(  X  1) 2 1 b) P( X  ) 4 Rep.: 1 1 1 1 x2 1  1 1 1 1 2 1 x  dx  x dx  dx   x       1 4 1 4 1 2 4  2 4 8 8  8 4 1

1 2

x x 1 1 1 1 1 1 3 3  ( 4 )dx   4 dx  4  x dx  4  x   4 [ 4  16 ]  4  16  64 2

1 4

89. Dados los siguientes valores

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1 0,30

X fx

2 0,25

4 0,09



5 0,03

a) Determinar el valor de  b) Representar Gráficamente la función de distribución de cuantía. c) P( X  2) d) P( X  3 / X  4) e) E (x) f) var(x) Rep.: a)   1  0,30  0,25  0,09  0,03  0,33 b) fx 0,35 0,3 0,25

f(x)

0,2 fx 0,15 0,1 0,05 0 1

c) P( X  2)  1  P( X  2) =1 0,55 = 0,45

d) P( X  3 / X  4) 

P(3  X  4) 0,42   0,477 P( X  4) 0,88

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e) E ( X )   x fx xx

= 1  0,30  2  0,25  3  0,33  4  0,09  5  0,03 = 0,30  0,5  0,99  0,36  0,15 = 2,3

f) var( x)  E ( X 2 )  E 2 ( X )

E( X 2 ) 

 x

X

= (1) 2  0,30  4  0,25  9  0,33  16  0,09  25  0,03 = 0,30  1  2,97  1,44  0,75 = 6,46 var( x)  6,46  5,29 = 1,17

90. Hacer el Grafico de la siguiente función 1 1 8

xi f (xi )

2 1 4

3 1 2

4 1 8

Además encontrar esperanza, varianza y Desviación estándar en esta Distribución. Rep.: 1 1 1 1 E( X )  1  2   3   4  8 4 2 8

1 2 3 4 21     8 4 2 8 8

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1 1 1 1 E ( X 2 )  1   4   9   16  8 4 2 8

1 9 61 1  2  8 2 8

Var ( xi )  E ( X 2 )  E 2 ( X ) 61 441 47 =    0,7343 8 64 64 Desviación Estándar

var( x)  0,7343  0,8569 Grafica 0,6 0,5 0,5

f(x)

0,4 0,3

Serie2

0,25

0,2 0,125

0,125

0,1 0 1

91. La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada por:

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x0 0  1  F ( X )  3x  x 2 0  x  2 2  x2 1 1 Obtener P( X  ) 2

Rep.: 1 2

1 2

1 1 2 1 2 x 2  1 x 3  3 1 17  a) P( X  )   (3x  x )dx   3x dx   x dx  3        2 2 20 2  2 3  8 48 48 0 0

92. sea x una variable aleatoria cuya función de densidad esta dada por:  4 f ( x)  c ( x 3  3x ) para 0  x  1  5

a) Determinar el valor de c b) Calcular la Esperanza Rep.: 1 1 4 1 3  4 x4  4 3 4 3 x2  c ( x  3 x ) dx  c ( x  3 x ) dx  c x dx  3 x dx  c   3        0 5 0 5 0 2 5 4  5 0  1

1 13 10 4 1 1 3  = c   3    c    c    1  c   2 10 13 5 4 5 2 

b) 1 1 1 4 1 4  4 3 4 3 4 4 2 E ( X )   x c ( x  3x )dx  c  x( x  3x )dx  c  ( x  3x )dx  c   x dx  3 x 2 dx  5 5 5 0 0 0 5 0 

 4 x5   x3  1 4 4 10 8 4 1 c     3    c   3      c      3 5 5 13 13 5 5 5 5   3 

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93. Si la densidad de probabilidad de la variable aleatoria continúa esta dada por:

   15 2 1 f ( x)   (x  ) 5 136  0

para 1  x  3

Determinar efectivamente que f (x) es una función de densidad de probabilidad. Rep.: 3 3 3  15  x 3 1  15 1 15 1 15  2 1 3 1 1  2 2  ( x  ) dx  ( x  ) dx   x dx  dx    x  9        1 136    5 136 1 5 136  1 5 1  136  3 5  5 3 5 15 136   1 136 15 3

94. Dada la siguiente función 3 x

1 f ( x)   e 18 9

0 x

Determinar si la función anterior es una función de Probabilidad

Rep.: 

1 0 9 e

x 9



dx 

1 e 9 0

x 9

dx 

x  0   1  9 e u du  e u  e 9   e 9  e 9  1 9 0 



 3x  x  18 9 1 du   dx 9

u

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95. Verificar si la siguiente función es de densidad

0 si x  0  2  3x F ( x)   si 0  x  3  7 1 si x  3

Rep.: 3 3x 2 3 2 3 x 3  3 27 27 dx  x dx      0 7 7 0 7 3 7 3 7 3

No es función de densidad de probabilidad

96. Sea   {1,3,5,7} Conjunto de números primos Veamos si T {, ,{1},{3,5,7},{1,3},{5,7}} Cumple con las condiciones para ser   Alg ebra Rep.: a)   T Cumple con esta condición C b) si A  T  A  T cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento Se encuentran presentes Por lo tanto No es   Alg ebra . c) A  n0 An, n  IN ,  An  T Por lo tanto cumple con 3 condiciones es un   Alg ebra .

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97. Sea   {l , u, i, s, a} conjunto de letras que conforman un nombre femenino Veamos si T  {, ,{l , u},{i, s, a},{l , u, i},{a}} Compuesta por estas letras. Cumple con las condiciones para ser   Alg ebra Rep.: a)   T

Cumple con esta condición

b) si A  T  AC  T no cumple con la condición ya que cada elemento de T no tiene un complemento {l , u, i}c  T Por lo tanto NO cumple con 3 condiciones es un   Alg ebra . 98. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. -3 1 5

xi f (xi )

-1 1 5

1 1 5

   xi xi   3   1   1   3   4  5 5 5 5 5 2

3 1 5

4 1 5

3 1 1 3 4 4 = -     = 5 5 5 5 5 5

 

Var x   E xi 2  E 2 ( xi )

 

1 1 1 1 1 E xi 2  9   1   1   9   16  5 5 5 5 5 9 1 1 9 16 36       5 5 5 5 5 5

 

Var x   E xi 2  E 2 ( xi ) 36 16 164    5 25 25 Desviación Estándar

Var x  

164 164   2,561 25 5

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99. Se sortea una rifa en beneficio a Beneficio de la unidad de Oncologia del Hospital Carlos Van Buren, la rifa posee un total de 12 números. Si su probabilidad es proporcional al número de la rifa comprado ¿Calcular la probabilidad que el número ganador sea par? Rep.:   { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 } y el algebra a= P() Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es

P(k )  k  i

i  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

k  Constante de proporcionalidad Luego 12

 ki  1  k  78  1  k  78 i 1

P({ Que numero ganador salga par})= P  ({2,4,6,8,10,12}) 2 4 6 8 10 12 42       78 78 78 78 78 78 78

100. Sea  el conjunto de casos posibles que resultan de la tirada de un dado. Ver cuáles de las siguientes clases de conjuntos son   Alg ebra a) A1  {} b) A2  {,{1,2,3},{4,5,6}, } c) A3  {,{1,2,3}} d) A1  {{1,2,4},{5,6}}

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101. La función de probabilidad de X es el numero de defectos de cada 5 casas construidas como mediaguas en el centro del pais 1 0,16

xi f (xi )

2 0,18

4 0,08



5 0,17

a)   1  0,16  0,18  0,08  0,17  0,41

b) P( X  4 / X  1)  P A / B   P( A  B) P( B)



P( X  4) 0,25   0,25 P( X  1) 1

P( X  4)  P( X  3) P( X  3) 0,83  0,34 0,49 =   0,7424 0,66 0,66

c) P( X  4 / X  3) 

d) Grafica Funcion Cuantia 0,45 0,4 0,35

f(x)

0,3 0,25 Serie2 0,2 0,15 0,1 0,05 0 1

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102. Dado que la variable aleatoria es discreta x tiene la función de distribución.

0 1  8 3  f (x )   8 5  8  1

Para Para

x0 0  x 1

Para 1 x  2 Para 2  x  3 Para

x3

Determinar 3 3 3 1 2 a) p (1 x  ) = p ( x  )  p( x  1)    2 2 8 8 8

b) p ( x  4) 

5 8

103. Si la función de distribución de la variable aleatoria x esta dada por: 0  2  2 x F ( X )   21   1

para x  1 para 1  x  4 para x  4

Obtener a) P( X  3)

Rep.:

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3 2x 2 2 2 x 3  2  27 1  2 26 52 dx   x 2 dx       0,825 P( X  3) =    21 21 1 21 3  21  3 3  21 3 63 1 3

104. Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de probabilidad:

c  (1  2 x 3 ) si x0,2 5 f ( x)  0 si x  (0,2)

f ( x) 

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. 1 b) Probabilidad se que X este comprendida entre 0 y 2 Rep.: 

a) Se verifica

1 2

 f ( x) dx  1  5 (1  2 x



)dx  1

c x4  c  1 4  c 1 1  1 17 160 x  2      x  x        1   c  1  c  5 4 5 2  5  2 32  5 32 17 si x  0 0  x x4  160   x  2   si 0  x  2 F ( x)   f (t )dt   4    87  1 si x  2 

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b) 1  12  2 1 160 160  x 4  160  1   160  3 3 P (0  X  )   (1  2 x )dx  dx  2 x dx  x  2  x  x4         2 87 87 0 87  4  87  2  0 0     160  1 1  160 17 2720        0,9770 87  2 32  87 32 2784 1 2

105. Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de probabilidad:

c  (2  3x 5 ) si x0,2 4 f ( x)  0 si x  (0,2)

f ( x) 

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad se que X este comprendida entre 0,1

Rep.: 

a) Se verifica

 f ( x) dx  1  4 (2  3x



)dx  1

c x6  c  64  c 1 2 x  3    4  3     36  1  9c  1  c   4 6 4 6 4 9 si x  0 0  6 x  1  F ( x)   f (t )dt    2 x  3   si 0  x  2 6    36  1 si x  2  x

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1 1  1  1 1  x6  5 5 P(0  X  1)   (2  3x )dx  2 dx  3 x dx  2 x  3    0  36  36 36  0 6 0 b) 1  1 1 5 5  2      36  2  36 2 72 1

106.

La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria x dada por:

1 1 2  ( x  3x ) dx f ( x)   6 2  0

0 x

1 2

Determinar esperanza y Varianza 1

1 1 1 2 3 1 2 2 x dx  x dx a) E ( X )   ( x 3  3x 2 )dx  6 2 12 0 2 0 0 = 

1 x4 1 x3  1 1 17       12 4 2 3  768 48 768

var( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) 1

2 1 2 1 1 21 E ( x )   x 2 ( x 2  3x )dx   x 4 dx   3x 3 dx 6 0 2 6 02 0 2

1 2 4 1 2 3 1 x5 1 x4  x5 x 4  1 1 16 x dx  x dx            12 0 2 0 12 5 2 4  60 8  1920 128 1920 Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) =

16 289 9437184  554880 8882304     0,00784 1920 589824 1132462080 1132462080

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107. Sea x una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de 9 horas. Dada la siguiente información.

x p(x)

0 0,06

1 0,10

2 0,10

3 0,10

4 0,15

5 0,15

6 0,20

7 0,07

8 0,07

Encontrar esperanza E( x)  0  0,06  1  0,10  2  0,10  3  0,10  4  0,15  5  0,15  6  0,20  7  0,07  8  0,07 = 4,2

Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) E ( x 2 )  0  0,06  1  0,10  4  0,10  9  0,10  16  0,15  25  0,15  36  0,20  49  0,07  64  0,07 = 22,66 Var ( x)  22,66  17,64 = 5,02

108.

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

9 2 x  k f ( x)   4 2 0

si 0  x  1

a) calcular el valor de k 1 1 b) Hallar P(0  X  ) P(  X  1) 2 2

Rep.:

9 2x 9 2 9 2 x2  9 2 1 9 16 4 k dx  k x dx  k    k   k2 1 k2  k  0 4 2  8 0 8 2 8 2 16 9 3 1

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2 2 1 x2 1 1 1   2   0  2   b1) P(0  X  )   2 x dx  2  x dx  2  2 2 8 4 8  0 0

b2) P( 1  X  1)  2

 2 x dx  2  x dx  2  2

x 2  1 1 3 6  = 2    2   2   2 8 8 8

109. La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada por: 0  F ( X )  5 x  x 3 1 

x0 0 x3 x3

1 1 Obtener P( X  ) P( X  ) 4 3

Rep.: a) 1 4

1 4

1 x2  x4  5 1 160  1 159 P( X  )   (5 x  x 3 )dx   5 x dx   x 3 dx  5          0,1552 4 2 4 32 1024 1024 1024   0 0 0

b) 1 3

1 3

1 x2  x4  5 1 89 P( X  )   (5 x  x 3 )   5 x dx   x 3 dx  5 x dx   x 3 dx  5         0,2746 3 2 4 18 324 324   0 0 0 0 0

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110. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. -3 1 4

xi f (xi )

-1 1 4

2 1 4

3 1 4

   xi xi   3   1   2   3  4 4 4 4 2

= 

 xi

3 1 2 3 1    = 4 4 4 4 4

1 1 1 1  f ( xi )  9   1   2   3  4 4 4 4

9 1 2 3 15     4 4 4 4 4

 2   xi 2 f ( xi )   2 =

15 1 60  1 59     3,6875 4 16 16 16

  3,6875  1,920

111. Sea   {1,2,3,4,5,6} el conjunto de los casos posibles que resultan de la tirada de un dado decir cuales de las siguientes clases de conjuntos son algebras. a) a1  {, ,{1,2},{4,5},{1,5,3}} b) a 2  {,{1,2,3},{4,5,6}} c) a3  {, ,{1,2},{3,4,5,6},{3,4,5},{1,2,6}}

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Rep.: a) No es un   Alg ebra ya que {1,2,3}c no pertenecen a a1 b) No lo es puesto que  c   no pertenecen a a 2 c) Es   Alg ebra ya que cada elemento de a 3 posee su complemento

112.

Si la función de densidad de la variable aleatoria X esta dada por

4  5 x para   f ( x)  4  x para  eoc 0  

0 x

1 2

1 xc 2

Determinar el valor de c Rep.:

x2  c2 1 1 (4  x)dx  41 dx  1 x dx  4 x  2   4c  2  2  8  1 c

4c 

c 2 15  1 2 8

32c  4c 2  15  8

32 c  4c 2  23 4c 2  32c  23  0

32  1024  368 32  656 32  25,61   8 8 8

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c1  7,20 c2  0,79

113.

Suponga que la función de distribución de la variable aleatoria X es:

para x  0 0  2 F ( x)   4 x para x  0  3  x

a) Encontrar función de Densidad de X 1 b) Calcular la Probabilidad P(0  X  ) 2

Rep.: a) Como X es una variable aleatoria continúa , entonces La función de densidad se encuentra al derivar la función de distribución

4x 2 ) 3  x f ( x)  = dx d (4 x 2 ) (3  x) (3  x)   4x 2  d 2 2 2 2 dx dx  3  x   8 x  4 x  24 x  8 x  4 x  24 x  12 x  12 x (2  x) (3  x) 2 (3  x) 2 (3  x) 2 (2  x) 2 3  x 2 12 x  2  x  d(

1 4x 2 1 2 2  F ( )  F (0)   0  b) F ( x)  P(0  X  )  2 3 x 2 7 7

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114. Un Grupo de personas juega al poker este juega solo con las cartas de numéricas ósea que espacio muestral va a ser igual a   {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} , ¿Cual es la probabilidad que al sacar una carta salga par? Rep.:   {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Y el algebra a= P() Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es P(c)  c  i i  1,2,3,4,5,6,7,8,9

c  Constante de proporcionalidad Luego 9

 ci  1  c  45  1  k  45 i 1

P({ Que salga impar})= P  ({2,4,6,8}) 2 4 6 8 20 4      45 45 45 45 45 9

115. Sea x una variable aleatoria que representa el número de personas que va a comprar a supermercado Jumbo. Dada la siguiente información.

x p(x)

0 0,05

1 0,15

2 0,15

3 0,10

4 0,20

5 0,15

6 0,10

7 0,05

8 0,05

Encontrar esperanza E( x)  0  0,05  1  0,15  2  0,15  3  0,10  4  0,20  5  0,15  6  0,10  7  0,05  8  0,05 = 3,65

Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) E ( x 2 )  0  0,05  1  0,15  4  0,15  9  0,10  16  0,20  25  0,15  36  0,10  49  0,05  64  0,05 = 17,85 Var ( x)  17,85  13,32

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= 4,53

  Var ( x)  4,53  2,128

116. Dado   {1,2,3}. .completar {{1},{2}} para obtener un algebra. Agregar más subconjuntos si es posible.

Rep.: F  {,{1,2,3},{1},{2},{2},{2,3},{1,2},{3}}

Se conforma un total de 8 subconjuntos, los cuales cumplen con los requisitos para ser un   a lg ebra .

117. La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada por: 0  F ( X )  4 x  x 3 1 

x0 0 x3 x3

1 1 Obtener P( X  ) P( X  ) 4 3

Rep.: a) 1 4

1 4

1 x2  x4  1 1 128  1 127 P( X  )   (4 x  x 3 )dx   4 x dx   x 3 dx  4          0,124 4 2  4  8 1024 1024 1024 0 0 0

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b) 1

3 3 3 3 3 1 x2  x4  4 1 71 P( X  )   (4 x  x 3 )dx   4 x dx   x 3 dx  4 x dx   x 3 dx  4         0,219 3 2 4 18 324 324   0 0 0 0 0

118.

Si la función de distribución de la variable aleatoria x esta dada por:

0  3x  5 F(X )   x  1  2 1 

para x  1 para 1  x  2 para 2  x  4 para x  4

Obtener 5 a) P( X  ) 4

Rep.: 5

5 P( X  ) = 4

 1

3x 3 4 3 x 2  3  25 1  3 9 27 dx   x dx    0,16875        5 51 5 2  5  32 2  5 32 160

119. Sea   {1,2,3,4,5,6} conjunto de números que corresponden al sorteo Del Loto Veamos si T  {, ,{1},{1,2,3, },{4,5,6},{2,3},{1,4,5,6},{2,3,4,5,6}} Compuesta por estas vocales. Cumple con las condiciones para ser   Alg ebra Rep.: a)   T

Cumple con esta condición

b) si A  T  AC  T Tanto el subconjunto Como su complemento pertenecen a T

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4,5,6}c  T c) A  n0 An, n  IN ,  An  T Por lo tanto cumple con 3 condiciones para un   Alg ebra .

120. La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X esta dada por: 1  (5  x) f ( x)   9  0

0 x2 eoc

Determinar a) E (x) b) Var (x)

Rep.: a) E (x) = 2 2 2  1  5 x 2 x3  1  1 1 1  8  1 22 22 2 x ( 5  x ) dx  x ( 5  x ) dx  5 x dx  x dx            10     0 9   90 9  0 3 9  3  9 3 27 0  9  2 2

b) Var (x) = E ( x 2 )  E 2 ( x) 2  1  x3 x 4  1 2 1 2 2 1  2 2 1  40 16  3 x ( 5  x ) dx  x ( 5  x ) dx  5 x dx  x dx      5        2 10 0 10  0 10  3 4  E ( x )  0 10 0  10  3 4  1 112 112    10 12 120 2

Var (x) = E ( x 2 )  E 2 ( x) 112 484 100800  58080 42720 =     0,395 120 900 108000 108000

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121. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. -4 1 4

xi f (xi )

-3 1 4

   xi xi   4   3   2   6  4 4 4 4 2

2 1 4

6 1 4

4 3 2 6 1 = -    = 4 4 4 4 4

 xi

1 1 1 1  f ( xi ) 16   9   4   36  4 4 4 4

16 9 4 36 16  9  4  36 65      4 4 4 4 4 4

Varianza

 2   xi 2 f ( xi )   2 =

65 1 260  1 259    4 16 16 16

Desviación Estándar 259   4,023 4

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122. Se lanza un dado tal que la probabilidad de las distintas caras es proporcional al número de puntos inscritos en ellas, Hallar la probabilidad de obtener con este dado un número impar. Rep.:   {1, 2, 3, 4, 5,6} y el algebra a= P() Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es P(k )  k  i i  1,2,3,4,5,6

k  Constante de proporcionalidad Luego 6

 ki  1  k  21  1  k  21 i 1

P({ Que salga impar})= P  ({1,3,5})

1 3 5 9 3     21 21 21 21 7

123. Sea x una variable aleatoria que representa el número de mail que recibe una empresa a diario en un intervalo de 3 minutos y cuya función de probabilidad esta dado por:

3e 2 (2) x P( X )  x!

x= 0, 1, 2, 3

Determinar la probabilidad para los antes mencionados valores de x

Rep.: P(0)  3e 2 (2) 0  3e 2 

P(1)  3e 2 (2)1  6e 2 

3  0,408 7,344

6  0,816 7,344

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12e 2 12   0,816 P(2)  3e (2)  2 14,688 24e 2 24   0,544 P(3)  3e 2 (2) 3  6 44,064 2

124. Sea   { ,  ,  ,  } conjunto de letras griegas Veamos si T  {, ,{ },{ ,  ,  },{ ,  ,  },{ }} Compuesta por estas letras griegas. Cumple con las condiciones para ser   Alg ebra Rep.: a)   T

Cumple con esta condición

b) si A  T  AC  T Tanto el subconjunto Como su complemento pertenecen a T c) A  n0 An, n  IN ,  An  T Por lo tanto cumple con 3 condiciones es un   Alg ebra .

125.

Determinar si la siguiente función es de densidad

5e 5 x si    x  0 F ( x)   si x  0 1 Rep.: 0



5 u 5x  5e dx  5 e du  e  1  e  1 5x

126. Suponga que una variable aleatoria Discreta X tiene función de densidad

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c 2 x 3 para x  1,2,3 f ( x)   eoc 0 a) Determinar el valor de la constante c b) Determine la función de Distribución de X Rep.: a) Para encontrar el valor de c se debe recordar que 3

 fi   c i 1

i 1

2 i

 f (xi)  1 entonces

 c 2 (1  8  27)  36c 2  1

c

1 6

b) La función de Distribución de X es

para x  1 0 1  6 para 1  x  2  9 F ( x)   6 para 2  x  3 1 para 3  x    

127. La probabilidad de recorrer todo el norte de Sudáfrica de ciudad del cabo hasta Johannesburgo sin pinchar gomas es 0,47; al hacer 5 viajes de ciudad del cabo a Johannesburgo ¿Cuál es el número más probable de viajes que se realizaran sin pinchadura de neumático? Rep.: E( xi )  0,47  5  2,35  2 Viajes.

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128. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad esta dada por: 8 6 x para x  0   f ( x)   3 0 eoc

Rep.: 



8 8 8 8 1 8 Mx(t )  E (e )   e  e 6 x dx   e tx  e 6 x dx   e x (t 6) dx    3 30 30 3 t  6 3(t  6) 0 tx

129.

Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa esta dada por:

  5 f ( y )   (2 x 4  3) 17  0

para 0  x  1

Determinar efectivamente que f ( y) es una función de densidad de probabilidad. Rep.: 1 1 1  5  2x5   2  5 17 5 5 5  4 4 4  ( 2 x  3 ) dx  ( 2 x  3 ) dx   2 x dx  3 dx  3x     3    1      0 17   17 0 17  0   5  17 5 0  17  5 1

130. Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de probabilidad:

f ( x) 

c  (4  5 x 3 ) si x0,2 7

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f ( x)  0

si x  (0,2)

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad de que X este comprendida entre 0,1/5

Rep.: 

a) Se verifica

c 3  f ( x) dx  1 0 7 (4  5x )dx  1

c x4  c c 1 4 x  5     8  20   28  1  4c  1  c   7 4 7 7 4

0  x x4 1  b) F ( x)   f (t )dt    4 x  5  4   28  1 

si x  0   si 0  x  2  si x  2

1 1  1  5 1 1  5 x4  3 3  ( 4  5 x ) dx  4 dx  5 x dx 4 x  5   0 28 0  28  28  0 4   1 4 1  1 401 401       0,0286   28  5 500  28 500 14000 1

c ) P (0  X  1 )  5

131. Sea x una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de 8 horas. Dada la siguiente información.

x p(x)

0 0,09

1 0,18

2 0,14

3 0,16

4 0,20

5 0,17

6 0,05

7 0,01

Encontrar esperanza E( x)  0  0,09  1  0,18  2  0,14  3  0,16  4  0,20  5  0,17  6  0,05  7  0,01 = 2,96

Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x)

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E ( x 2 )  0  0,09  1  0,18  4  0,14  9  0,16  16  0,20  25  0,17  36  0,05  49  0,01 = 14,25 Var ( x)  11,92  8,76 = 3,16 132. Sea x una variable aleatoria continua con distribución

 25 2 x  k f ( x)   4 9 0

si 0  x  1

a) calcular el valor de k 1 1 b) Hallar P(0  X  ) P(  X  1) 2 5

Rep.: a) 1 1 25 2 x 25 2 25 2 x 2  25 2 1 25 2 32 32 4 2 k dx  k x dx  k   k   k 1 k2  k   0 4 9  36 0 36 2  36 2 32 25 25 5

1 2

1 8 8 2 8 x 2 8 1  8 1 1  0    b1) P(0  X  )   x dx   x dx   2 9 9 0 9 2 9  8  9 8 9 0 1 8 x 2  8  1 1  8 24 192 8 8  x dx  9 1 x dx  9  2  = 9  2  50   9  50  450 1 9 5 5 1

b2) P( 1  X  1)  5

133. La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada por:

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0  F ( X )  2 x  x 3 1 

x0 0 x2 x2

1 1 Obtener P( X  ) P( X  ) 4 3

Rep.: a) 1

4 4 4 1 x2  x4  1 1 64  1 63 3 3 P( X  )   (2 x  x )dx   2 x dx   x dx  2          0,061 4 2  4  16 1024 1024 1024 0 0 0

b) 1 3

1 3

1 x2  x4  1 1 35 3 3 3 P( X  )   (2 x  x )   2 x dx   x dx  2 x dx   x dx  2         0,1080 3 2  4  9 324 324 0 0 0 0 0

134. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. -4 1 4

xi f (xi )

-2 1 4

3 1 4

4 1 4

   xi xi   4   2   3   4  4 4 4 4 2

= 

 xi

4 2 3 4 1    = 4 4 4 4 4

1 1 1 1  f ( xi ) 16   4   9   16  4 4 4 4

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16 4 9 16 45     4 4 4 4 4

 2   xi 2 f ( xi )   2 =

45 1 180  1 179     11,1875 4 16 16 16

  11,1875  3,3447

135.

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

1 3 x  k f ( x)  16 2 0

si 0  x  3

Calcular el valor de k Hallar P(0  X  1 ) P( X  1) 3

Rep.: a)

1 3x 1 3 1 3 x2  1 3 9 9 3 64 64 43 81 3 3 k dx  k x dx  k   k   k  1  k   k    0 16 2 32 0 32 2  32 2 64 9 9 9 3

1 3

1 x 2 2 x2 2  1  2 1 1      b1) P(0  X  )   4  x dx   x dx   3 18 90 9 2 9 18  9 18 81 0

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1 2 2 2 x2  2 1 1 b2) P(X  1)   x dx   x dx    =    9 90 9 2  9 2 9 0 1

136. Sea un dado tal que la probabilidad de las distintas caras es proporcional al número de puntos inscritos en ellas, Hallar la probabilidad de obtener con este dado un número par. Rep.:   {1, 2,3, 4, 5,6} y el algebra a= P() Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es P(k )  k  i i  1,2,3,4,5,6

k  Constante de proporcionalidad Luego 6

 ki  1  k  21  1  k  21 i 1

P({ Que salga par})= P  ({2,4,6}) 2 4 6 12 4     21 21 21 21 7

137. sea   Alg ebra T  2  y ( ,T ) un espacio medible. Cuál de las siguientes opciones corresponden a una condición para ser espacio de probabilidad.

a) 0  P( A)  1 b) P()  1 

c) P( i1 An )   P( An ) n 0

d) a y b

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e) Todas las Anteriores

138. sea   {8,17,21, ,22,25,39} conjunto de números sorteados en el juego Loto de este día Domingo Veamos si T {, ,{8,7,21},{22,25,39},{21,22,25},{8,17,39} Cumple con las condiciones para ser   Alg ebra Rep.: a)   T Cumple con esta condición C b) si A  T  A  T cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento se encuentran presentes Por lo tanto es   Alg ebra .

C) A  n0 An, n  IN ,  An  T Cumple con las 3 condiciones por lo tanto es un   Alg ebra .

139.

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

8 2 2 5 c x 0  x  2  f ( x)  0 eoc    Calcular c

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2 2 8 2 2 8 2 2 8 2 x3  8 8 2 64 2 15 15 15 2 c x dx  c x dx  c c    c 1 c 1 c    50 5 0 5 3 3 5 15 64 64 8

140.

Dada la siguiente función x

f ( x) 

1  11 e 11

0 x

Determinar si la función anterior es una función de Probabilidad Rep.: x x x  0     1 11 1 11 1 u u 11 11 11 0 11 e dx  11 0 e dx  11  110 e du  e  e   e  e  1 





x 11 1 du  dx 11

u

141. La función de probabilidad de X de defectos de cada 5 Edificios del centro de Santiago post Terremoto con ancho uniforme es xi f (xi )

1 0,15

2 0,21



4 0,07

5 0,18

a)   1  0,15  0,21  0,07  0,18  0,39 b)    xi

 1  0,15  2  0,21 3  0,39  4  0,07  5  0,18

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= 0,15 + 0,42  1,17  0,28  0,9  2,92 =

 xi

 f ( xi )  1  0,15  4  0,21  9  0,39  16  0,07  25  0,18 = 0,15  0,84  3,51  2,73  1,12  2  10,35

c)  2   xi 2 f ( xi )   2 = 10,35  8,58 = 1,77 d)Desviación Estándar

  Var ( x)  1,77  1,330

e) P( X  3 / X  2)  P A / B   P( A  B) P( B)



P( X  3) 0,64   0,7529 P( X  2) 0,85

0,45 0,39

0,4 0,35 0,3 0,25

0,21

Series2

0,18

0,2 0,15 0,15 0,1

0,07

0,05 0 1

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142.

Sea x una variable aleatoria continuaron distribución

 5 2 5x  k f ( x)   9 2 0

si 0  x  1

a) calcular el valor de k 1 b) Hallar P(0  X  ) P( X  1) 3 Rep.: a) 1 1 5 2 5x 25 2 25 2 x 2  1 2 25 25 2 36 36 6 k dx  k x dx  k   k   k 1 k2  k   0 9 2  18 0 18 2 2 18 36 25 25 5

1 3

1 x2 1 1  2   b1) P(0  X  )   2 x dx  2 x dx  2  3 2 18  9 0 0

x2  1 b2) P( X  1)  2 x dx  2   2   1 2 2 0 1

143. Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de probabilidad:

1 f ( x)  3c  (2  x 3 ) si x0,3 3 f ( x)  0 si x  (0,3)

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. a) Probabilidad se que X este comprendida entre 0y 1/2

Rep.:

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100

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

a) Se verifica

 f ( x) dx  1 3 c (2  3 x



)dx  1

 1 x 4  153 4 3c 2 x     c 1 c   3 4 4 153  si x  0 0  x x4  4  F ( x)   f (t )dt    2 x   si 0  x  3 12    51  1 si x  3 

b) 1  12  1 4 1 3 4  12 3  4  1 x4  4  1  P(0  X  )   (2  x )dx  2 dx   x dx   2 x     1  2 51 3 51 0 30 51  3 4  51  192  0     4 193 193    51 192 2448 1 2

144. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. -4 1 3

xi f (xi )

-1 1 3

   xi xi   4   1   6  3 3 3 2

= -

 xi

6 1 3

4 1 6 1   = 3 3 3 3

1 1 1  f ( xi ) 16   1  36  3 3 3

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101

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

16 1 36 53    3 3 3 3

 2   xi 2 f ( xi )   2 =

53 1 159  1 158    3 9 9 9

  Var ( x) 

158  4,189 3

Tercer Momento s  3 ( x)  33



s3 

 xi

1 1 1  f ( xi )  64   1  216  3 3 3 64 1 216 281     3 3 3 3

 3   xi 3 f ( xi )   3 281 1 2528   3 27 27 281 281 27 2529    3 ( x)  3  2528 3 2528 2528 27 

145. La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X está dada por: 1  (6  x ) f ( x)   5  0

0  x 1 eoc

Determinar a) E (x)

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102

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

b) Var (x)

Rep.: a) E (x) = 1 1 1  1  6 x 2 x3  1  1  1 8 8 1 1 1  2 x ( 6  x ) dx  x ( 6  x ) dx  6 x dx  x dx  0 5 0   5  2  3   5   3  3  5  3  15 5 0 5  0 1

b) Var (x) = E ( x 2 )  E 2 ( x)

E( x 2 )  1

 0

1 2 1 x (6  x) dx  5 5

2  x (6  x) dx  0

Var (x) = E ( x 2 )  E 2 ( x) = 7  64  1575  1280  20

225

4500

1 1  1  x3 x4  1  1  1  1 7 7 2 3  6  x dx   x dx  6    2      5  0 3 4  5 4  5 4 20 0  5

295  0,065 4500

  Var ( x)  0,065  0,256

146. sea   Alg ebra T  2  y ( ,T ) un espacio medible. Cual de las siguientes opciones no corresponden a una condición para ser espacio de probabilidad. a) 0  P( A)  1 b) P()  0 

c) P( i1 An )   P An  i 1

d) b) y c) no corresponden e) Ninguna de las Anteriores

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103

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

147. sea   {MARCELO, LUIS, ANTONIO, KAROL, CAROLINA, INES} estudiantes de la carrera de ingeniería civil Informática de la Universidad de Playa Ancha. Veamos si T {, ,{MARCELO},{ANTONIO, LUIS, KAROL},{CAROLINA}} Cumple con las condiciones para ser   Alg ebra Rep.: a)   T Cumple con esta condición C b) si A  T  A  T No cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento No se encuentran presentes {MARCELO}C  T Por lo tanto No es   Alg ebra .

148.

Verificar si la siguiente función dada por: 6x  7 58

f (x) =

para x= 1,2, 3, 4

Cumple con las condiciones como función de probabilidad de una variable aleatoria. Rep.: Al sustituir los diversos valores de x que se obtiene.

f (1)  13 , f (2)  19 , f (3)  25 , f (4) = 31 58

Se debe cumplir las siguientes condiciones f (x)  0

 f (x) 1

x 

Luego f (1)  f (2)  f (3)  f (4) =

13 19 25 31 88     1 88 88 88 88 88

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104

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

149.

Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa está dada por:

   4 f ( y)   ( y 3  1)  275  0

para 1  y  4

Determinar efectivamente que f ( y) es una función de densidad de probabilidad. Rep.: 4 4 4  4  y4  256 4 4 4  3 4 275 1  3 3 1 275  ( y  1) dy  275 1 ( y  1)dy  275  1 y dy  1 dy   275   4  y   4  4   4  1  275  4  1 4

150. La probabilidad de recorrer todo el norte de Chile de desde Parinacota hasta Pto. Montt sin quedar en pana es 0,62; al hacer 12 viajes de Parinacota a Pto. Montt ¿Cuál es el numero más probable de viajes que se realizaran sin quedar en pana? Rep.: E( xi )  0,62 12  7,44  7 Viajes.

151. Sea   {c, h, i, l , e} conjunto de letras de nuestro Pais Veamos si T  {, ,{c},{h, i, l , e},{c, h, i},{l , e}} Compuesta por estas vocales. Cumple con las condiciones para ser   Alg ebra

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105

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

Rep.: a)   T

Cumple con esta condición

b) si A  T  AC  T Tanto el subconjunto Como su complemento pertenecen a T c) A  n0 An, n  IN ,  An  T Por lo tanto cumple con 3 condiciones es un   Alg ebra .

152.

1 2 Dado que x tiene la distribución de probabilidad f ( x)    para x=0, 3  x

1,2,3 Determine la función generatriz de momentos de esta variable aleatoria y utilícela para determinar 1 y  2 Rep.:

Mx(t )  E (e tx )   e tx f ( x) x

Se tiene que

2 1 2 Mx(t )  E (e tx )   e tx f ( x) =   e tx   3 x 0  x  x 1 = (1  2e t  e 2t ) 3 1 = (1  e t ) 2 3 Por lo tanto como d m x (t ) t0 dt 2 2 3

1  m x (0)  (1  e t ) e t t  0  2 3

2 3

4 3

 2  m x (0)  e t  e 2t  (1  e t )e t t  0 

2 4 6   2 3 3 3

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106

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

153. Si X es el número de puntos con un dardo Al apuntarle a un blanco de 1-8 puntos. Determinar el valor esperado de la variable aleatoria h( x)  5x 2  4 Rep.: Cada resultado posible tiene probabilidad 8

E (h( x))   (5 x 2  4)  x 1

= (5  12  4) 

= (9

1 se obtiene: 8

1 8





1 1 1 1  (5  2 2  4)   (5  32  4)   .........  5  8 2  4  10 10 10 10

1 1 1 1 1 1 1 1  24   49   84   129   184   249   324  10 10 10 10 10 10 10 10

9 24 49 84 129 184 249 324 1052         10 10 10 10 10 10 10 10 10

154. sea   Alg ebra T  2  y ( ,T ) un espacio medible. Diremos que la medida P es una medida de probabilidad si satisface las siguientes condiciones a)  1  P( A)  1 b) P()  0 

c) P( i1 An )   P( An ) n 0

d) a y b e) Todas las anteriores

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107

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

155. sea   {, ,Uruguay, Chile , Brasil , Argentina , Paraguay} países sudamericanos clasificados al mundial de fútbol. Veamos si T {, ,{Uruguay},{Chile , Brasil , Paraguay},{Brasil , Argentina}} Cumple con las condiciones para ser   Alg ebra

Rep.: a)   T Cumple con esta condición C b) si A  T  A  T No cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento No se encuentran presentes {Brasil , Argentina }c Por lo tanto No es   Alg ebra .

156. Si   {2,4,6,8,10} espacio muestral de números NO primos entre el 1 -10 T  {{2,10},{4,6,8},{8,10}, , } Para que cumpla con las condiciones de ser un   Alg ebra Cual es el elemento que falta en T a) { 2,4,6 } b) { 2,8,10 } c) { 2,10 } d) { 4,8,10 } e) Ninguna de las anteriores.

157.

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

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108

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

5 12 cx 0  x  3  f ( x)  0 eoc    Calcular c 3 3 5 5 5 x 2  9 45 24 8 cx dx   c x dx   c     c1 c    12 0 12 0 12 2  2 24 45 15

158. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. -3 1 4

xi f (xi )

-1 1 3

   xi xi   3   1   2   4 3 2 2 2

= -

 xi

-2 1 2

+5 1 2

3 1 5 5  1 = 4 3 2 12

1 1 1 1  f ( xi )  9     4   25  4 3 2 2

9 1 25 205  2  4 3 2 12

 2   xi 2 f ( xi )   2 =

205 5 350   12 12 12

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109

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación



200  4,08 12

159. Un examen consta de 5 temas numerados. Para elegir un tema la azar, se propone lanzar un dados sale 1 a 5 , el numero del tema es el resultado del dado ; si sale 6 se vuelve a tirar hasta que salga 1 a 5 . Demostrar que la probabilidad de elección de cada tema es 1/5. Rep.: Si sale el tema i (=1,….,5) , si se presenta una cualquiera de las siguientes secuencias i; 6,i;6,6,i;6,……,6,i; de probabilidades 1 ; 6

1 1 1   ,   , ......,   ,...... 6 6 6

La probabilidad es: 2

1 1 1 1        ............     ....  6 6 6 6 1 1 = 6  1 5 1 6

160. En el colegio un niño tira un dado, le sale 6 y gana. Hallar la probabilidad de que haya hecho trampa. Resolver esto bajo un supuesto de que el 30% de los jugadores son tramposos. Rep.: El niño puede ser tramposo o no. ahora el espacio muestral se descompone de la siguiente manera

  T T c

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110

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

Siendo T = {el niño es tramposo} La probabilidad de que un jugador tramposo saque un 6 es 1. si no es tramposo la probabilidad es 1/6 . Entonces si P(T )  0,3 P(6 / T )  P(T ) P(6 / T )  P(T )  P(6 / T c )  P(T C

P(T / 6) 

1  0,3 6  1 7 1  0,3   (0,3) 6

Si P(T )  p donde p es un parámetro 0  p  1 , entonces:

P(T / 6) 

1 p 6p  1 1 5p 1  p  1  p  6

161. Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de probabilidad:

a) Se verifica

 f ( x) dx  1  k (1  x



)dx  1

 x4  1 k  x    6k  1  k   4 6 

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111

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

si x  0 0  4 x  1  F ( x)   f (t )dt    x   si 0  x  2 4   6  1 si x  2  x

1 19 b) P(1  X  2)   (1  x 3 )dx  6 24 1

162. La función de probabilidad de X es el numero de defectos de cada 5 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme es 1 0,27

xi f (xi )

2 0,33



4 0,09

5 0,06

a)   1  0,27  0,33  0,09  0,06  0,25 b)    xi

 1  0,27  2  0,33  3  0,25  4  0,09  5  0,06 xi = 0,27 + 0,66  0,75  0,36  0,30 = 2,34

 xi

 f ( xi )  1  0,27  4  0,33  9  0,25  16  0,09  25  0,06 = 0,27  1,32  2,25  1,44  1,5  6,78

c)  2   xi 2 f ( xi )   2 = 6,78  5,47 = 1,31 d) P( X  3 / X  2)  P A / B  



P( A  B) P( B) P( X  3) 0,4   0,54 P( X  2) 0,73

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112

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

P( X  4)  P( X  2) P( X  2) 0,94  0,27 = 0,4 0,67 =  1,675 0,4 Verificar si la siguiente función dada por:

e) P( X  4 / X  2) 

163.

4x  5 50

f (x) =

para x= 1, 2, 3,4

Cumple con las condiciones como función de probabilidad de una variable aleatoria. Rep.: Al sustituir los diversos valores de x que se obtiene.

f (1)  9 , f (2)  13 , f (3)  17 , f (4) = 21 50

Se debe cumplir las siguientes condiciones f (x)  0

 f (x) 1

x 

Luego f (1)  f (2)  f (3)  f (4) =

9 13 17 21 50     1 50 50 50 50 50

La función cumple con una de las condiciones para una función de probabilidad ya que su suma es igual a 1.además f (x)  0

0 3  4 2  f (x )   3 7  3  1

164. Dado que la variable aleatoria es discreta x tiene la función de distribución. Para

x3

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113

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

Para 3  x  6 Para 6  x  9 Para 9  x  12 Para

x  12

Determinar 2 3 17 a) p (6  x  10) = p ( x  10)  p( x  6)    3 4 12

b) p ( x  9) 

7 3

165. Sea x una variable aleatoria que representa el número de mail que recibe una empresa a diario en un intervalo de 10 minutos y cuya función de probabilidad esta dado por:

P( X ) 

e 5 (5) x x!

x= 0, 1, 2, 3, 4, 5

Determinar la probabilidad para los antes mencionados valores de x Rep.: P(0)  e 5 (5) 0  e 5 

P(1)  e 5 (5)1  5e 5 

1  0,00684 146,166

5  0,03420 146,166

P(2)  e 5 (5) 2 

25e 5 25   0,08551 2 292,332

P(3)  e 5 (5) 3 

125e 5 125   0,14253 6 876,996

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114

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

P(4)  e 5 (5) 4 

625e 5 625   0,178165 24 3507,984

P(5)  e 5 (5) 5 

3125e 5 3125   0,178165 120 17539,92

166. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. -3 1 4

xi f (xi )

-1 1 3

1 1 2

3 1

   xi xi   3    1   1   3 4 3 2 2

 xi

3 2 1 25 -  3 = 4 3 2 12

1 1 1 9 1 1 145  f ( xi )  9  1  1   9 =    9  4 3 2 4 3 2 12

 2   xi 2 f ( xi )   2 =

145 25 120    10 12 12 12

  10  3,1622

167.

Probar que la familia de conjuntos X  {, } es una   Alg ebra

Rep.: Para probar que X es una   Alg ebra , se debe ver que cumpla con los 3 axiomas de una   Alg ebra . El primer axioma se cumple ya que   X

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115

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

El segundo axioma se cumple ya que el complemento de todos los conjuntos de X (  c  ,  c   ) son a su vez elementos de X El tercer axioma se cumple ya que la unión entre cualquiera de los de X es otro elemento de X .

elementos

168. Sea x una variable aleatoria que representa el numero de clientes que llega a una tienda en un periodo de una hora. Dada la siguiente información.

x p(x)

0 0,07

1 0,15

2 0,15

3 0,15

4 0,25

5 0,15

6 0,15

7 0,07

8 0,07

Encontrar esperanza E( x)  0  0,07  1  0,15  2  0,15  3  0,15  4  0,25  5  0,15  6  0,15  7  0,07  8  0,07 =4,6

169. Sea un dado tal que la probabilidad de las distintas caras es proporcional al número de puntos inscritos en ellas, Hallar la probabilidad de obtener con este dado un número par. Rep.:   {1, 2, 3, 4, 5,6} y el algebra a= P() Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es P( )    i i  1,2,3,4,5,6

  Constante de proporcionalidad Luego

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116

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

 i  1    21  1    21 i 1

2 4 6 12 4     21 21 21 21 7 Sea x una variable aleatoria continua con distribución P({ Que salga par})= P  ({2,4,6})

170.

 2x 3k f ( x)   2 0



si 0  x  5

a) calcular el valor de k b) Hallar P(1  X  5) P(2  X  6) P( X  5) Rep.: 5

a)  3k 2 0

x 3 3 x2  3 25 75 4 2 dx  k 2  x dx  k 2    k 2   k 2  1  k 2  k  2 2 0 2 2 2 2 4 75 5 3 5

b1) P(1  X  5)   1

2 5 3

x dx 

2 5 3

 x dx 

2 x2 2  25 1  2 24 24       5 3 2 5 3  2 2 5 3 2 5 3

x2  2  36 4  2 32 64  = b2) P(2  X  6)       5 3 2  5 3  2 2  5 3 5 25 3 2

2 x2  2 25 5 x dx    b3) P( X  5)    5 30 5 3 2 5 3 2 3 2

171. Un motor puede fallar por una y solo una de las siguientes causas : por obstrucción de los cojinetes , por combustión del embobinado o desgaste de las escobillas .Suponga que es doblemente probable que ocurra la obstrucción Que la combustión, y es cuatro veces más probable que ocurra la combustión que la inutilización de las escobillas. Si la probabilidad de que el motor falle es 0,01 ¿Cuál

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117

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

es la probabilidad que el motor no funcione debido a cada una de las 3 causas posibles? Rep.: Primero se establecerán los eventos A: La falla ocurre por obstrucción de los cojinetes. B: La falla ocurre por combustión del embobinado C: La falla ocurre por desgaste de las escobillas. Evento: el motor falla equivale a la unión A  B  C Estos 3 eventos son mutuamente excluyentes esto es

Por lo que P(C ) 

1 130

P( B) 

4 130

P( A) 

8 130

172.

La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria x dada por:

(1  x 2 ) dx f ( x)   0

0  x 1

Determinar esperanza y Varianza 1

a) E ( X )   x(1  x 2 )dx   x dx   x 3 dx 0 1

 x dx   x dx   2 3



x  1 1 1     4   2 4  4 4

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118

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

var( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) 1

E ( X )   x (1  x )dx   x dx   x dx =  x dx   x 4 dx   2

x 3 x 5  1 1  2  5       3 5   3 5  15

Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) =

2 1 17   15 16 240

173. Calcular la esperanza y varianza de la variable aleatoria continua, con función de densidad de probabilidad: f ( x) 

1 3 x

si x (0,1) eoc

Rep.:

 3 x 1 x2  2 E( X )   dx     3 3  9 0 3 x  2   5 1 2 x2  2 x 1 E( X 2 )   dx      3  5  15 0 3 x  2  1

Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) =

2 4 162  60 102    15 81 1215 1215

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119

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

174. Hacer el Grafico de la siguiente función -1 1/6

xi f (xi )

1 1/3

3 1/2

Además encontrar esperanza, varianza y Desviación estándar en esta Distribución. Rep.: 1 1 1 E ( X )  1   1   3  6 3 2

1 1 3 5    6 3 2 3

1 1 1 E ( X 2 )  (1) 2   1   9  6 3 2

1 1 9 30    5 6 3 2 6

Var ( xi )  E ( X 2 )  E 2 ( X ) 25 20 = 5   2, 2 9 9 Desviación Estándar

var( x) 

20  1,49 9

175. Dado   {a, e, i, o, u} espacio muestral y T  {, ,{a, o},{e, i, u},{i, o},{a, e, u}}   Alg ebra Veamos si T  {, ,{a, o},{e, i, u},{i, o},{a, e, u}} Cumple con las 3 condiciones para ser   Alg ebra Rep.:

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120

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

a)   T se cumple con la primera condición b) si AT  AC  T cada elemento de T tiene su complemento Por lo que se cumple esta condición. c)

     {a, o}    {i, o}    {e, i, u}     {e, i, u},{a, o} {i, o}   etc.

T Es   Alg ebra (tribu) para 

176. Sea  el conjunto de casos posibles que resultan de la tirada de un dado. Ver cuáles de las siguientes clases de conjuntos son   Alg ebra a) A1  {, } b) A2  {,{1,3,5},{2,4,6}, } c) A3  {,{1, }} d) A4  P(), Conjunto de las partes de  Rep.: a) Es un   Alg ebra porque él  y su complemento  pertenecen a   Alg ebra y la unión      b) También porque   A2 ,  C    A2 ,       A2 a. Y {1,3,5}  {2,4,6}    A2 c) No es   Alg ebra ya que {1}c  {2,3,4,5,6} A3 d) Es   Alg ebra ya cualquier operación entre conjuntos de P() a. Sera cerrada.

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121

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

177. En una empresa de automóviles se a encontrado la función de densidad de la variable

1 1 tan 1 (9)  tan 1 (1) 1,460  0,785    0,2360 2,86 7 ( x  6) 2  1 2,86 2,86 15

a) P(x  7) 

Notar que

tan 1 (15)  tan 1 (6)  2,86

1 1 tan 1 (1)  tan 1 (3) 0,785  1,249    0,711 2,86 3 ( x  6) 2  1 2,86 2,86 7

b) P(3  x  7) 

178. Con respecto al ejemplo anterior , nos interesa conocer el gasto en viajes por el alza de la bencina .Así determinar la función de densidad por costo de bencina El costo existentes depende de los kilómetros que recorra esto se basa en la siguiente regla

$2.00 si 0  x  6  Z  C ( x)  $2.50 si 6  x  9 $3.50 si 9  x  15  Encontrar la función de densidad Rep.: El rango del pasaje tiene solo 3 valores por lo que el rango Es el siguiente:

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122

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

Rz  2.00 ,2.50, 3.50} Para cada valor se tiene un subconjunto Au dado por:

f y (2.50)   A

2.50

f ( x)dx   6

f y (3.50)   A

3.50

f ( x)dx   9

1 dx  0,4365 2,86( x  6) 2  1

1 dx  0,07380 2,86( x  6) 2  1

179. Se lanza un dado hasta que salga un 5 y se registra cada vez el número de lanzamientos necesarios y la suma de los valores obtenidos en el dado, calcular: La probabilidad de que la suma sea 14, si se sabe que se lanza el dado no mas de 3 veces.

Rep.: A= {Los dados suman 14} B= {A lo más 3 lanzamientos}

P( A / B) 

P( A  B1)  P( A  B2)  P( A  B3) P( B)

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123

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

1 1 1 P( A  B2)  P(3,14)    6 6 36 3

P( A / B) 

0

180.

1 3  36 216  9  216  9 91 216 91 91 216

Si la función de distribución de la variable aleatoria x esta dada por:

0  3x   F(X )   2 x  1  4 1 

para x  0 para 0  x  1 para 1  x  2 para x  2

Obtener a) P( X  0,9) b) P( X  1) Rep.:

3x 3 3 x 2  3  0,81 dx  x dx   0,6075   0 2 2 0 2 2  2  2 

0,9

P( X  0,9) =

0, 9

2 2 2 1 1 x2 1  1 1 1 5  x  2      P( X  1) =  ( x  )dx   x dx   dx  4 41 2 4  2 2 4 4 1 1

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124

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

181. si X   Alg ebra x1 , x2 , x3 ......  X  x1  x2  ......  .. = i1 xi  X Demo Si x1 , x2 , x3 ......  X  x1c , x2C ......  X . Y si x1c , x2C ......  X . 

i1 xici  X

182. Un jugador lanza un dado. Si sale un número par gana dicho número de euros, pero si no sale un número par pierde esa cantidad de euros. Calcular la esperanza. Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: Xi f(xi)

2 1 8

-3 1 8

-5 1 8

4 1 8

8 1 8

Rep.: E (Xi ) =

 xi  f (xi)

= 2

1 1 1 1 1 - 5   3  4  8 8 8 8 8 8

2 5 3 4 8 6 euros      8 8 8 8 8 8

183. Sea x una variable aleatoria que representa el número de personas que va a comprar a supermercado unimarc a fin de mes. Dada la siguiente información.

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125

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

x p(x)

0 0,02

1 0,11

2 0,11

3 0,14

4 0,18

5 0,10

6 0,10

7 0,04

8 0,04

encontrar esperanza E( x)  0  0,02  1  0,11  2  0,11  3  0,14  4  0,18  5  0,10  6  0,10  7  0,04  8  0,04 =3,17

Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) E ( x 2 )  0  0,02  1  0,11  4  0,11  9  0,14  16  0,18  25  0,10  36  0,10  49  0,04  64  0,04 = 15,31 Var ( x)  15,31  10,04 = 5,27

184. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. -3 1 4

xi f (xi )

-1 1 4

1 1 4

4 1 4

   xi xi   3   1   1   4  4 4 4 4 2

 xi

3 1 1 4 1    = 4 4 4 4 4

1 1 1 1  f ( xi )  9  1  1   16  4 4 4 4

9 1 1 16 27     4 4 4 4 4

 2   xi 2 f ( xi )   2

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126

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

27 1 108  1 107     6,68 4 16 16 16



107  2,586 4

185. 1  (3  x) f ( x)   3  0

0  x 1 eoc

Determinar a) E (x) b) Var (x)

Rep.: a) E (x) =

1 

 3 x (3  x) dx  3  x (3  x) dx  3 3  x dx   x 0

 1  3x 2 x 3  1  3 1  1 11 11 dx              3  2 3  3  2 3  3 6 18

b) Var (x) = E ( x )  E ( x) 2

1 1 1  1   3 4 E ( x 2 )   1 x 2 (3  x) dx  1  x 2 (3  x) dx  1 3  x 2 dx   x3dx  1 3  x  x   1 1  1   1  5  5 0

3 

 3 3

4  3

4  3 4 12

Var (x) = E ( x 2 )  E 2 ( x) 5 121 135  121 14 =    12 324 324 324

186. Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de probabilidad:

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127

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

c  (1  2 x 4 ) si x 0,4 3 f ( x)  0 si x  (0,4)

f ( x) 

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad de que X este comprendida entre 1,2

Rep.: 

a) Se verifica

 f ( x) dx  1  3 (1  2 x



)dx  1

c x5  c  2048  c 2068 2068 15   1 c 1 c    x  2    4   3 5 3 5  3 5 15 2068 si x  0 0  x5   15   x  2   si 0  x  4 F ( x)   f (t )dt   5    6204  1 si x  4  x

b) 2 2  5 5  5  x5  4 (1  2 x 4 )dx  dx  2 x dx  x  2    1  2068  2068 2068  1 5 1 5  64 2  2 1   2068  5 5 5 67 67    2068 5 2068 2

P(1  X  2)  

187.

La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria x dada por:

1 1 2  ( x  2 x ) dx f ( x)   2 4  0

0  x 1

Determinar esperanza y Varianza

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128

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

1 1 1 a) E ( X )   x ( x  2 x 2 )dx   x 2 dx   x 3 dx 2 4 80 0 0 = 

x3 x4  1 1 7     24 4  24 4 24

var( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) 1

E( x 2 ) 

1 2 1 1 1 x ( x  2 x 2 )dx   x 3 dx  2 x 4 dx  20 4 204 0

1 1 1 3 1 x 4 x 5  x 4 x 5  1 1 5  32 37 4 x dx  x dx          0 8 0 8 4 5  32 5  32 5 160 160

Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x)

37 49 21312  7840 13472     0,146 160 576 92160 92160

188. Sea x una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de una 3 horas. Dada la siguiente información.

x p(x)

0 0,03

1 0,14

2 0,14

3 0,14

4 0,16

5 0,16

6 0,15

7 0,07

8 0,07

Encontrar esperanza E( x)  0  0,03  1  0,14  2  0,14  3  0,14  4  0,16  5  0,16  6  0,15  7  0,07  8  0,07 = 4,23

Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) E ( x 2 )  0  0,03  1  0,14  4  0,14  9  0,14  16  0,16  25  0,16  36  0,15  49  0,07  64  0,07 = 21,83 Var ( x)  21,83  17,89

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129

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

= 3,94

189.

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

1 2 x  k f ( x)   6 5 0

si 0  x  2

a) calcular el valor de k b) Hallar P(1  X  2) P(0  X  2) P( X  1) Rep.: a) 2 2 1 2x 1 2 1 2 x2  1 2 4 2 2 30 2 0 6 k 5 dx  30 k 0 x dx  30 k  2   30 k  2  30 k  1  k  2  k  15  3,872

1 1 1 x2 1 4 1 1 3 3 b1) P(1  X  2)   x dx   x dx       2 21 2 2 2  2 2  2 2 4 1 2

2 1 1 1 x2  1 4  b2) P(0  X  2)   x dx   x dx    =   0  1 2 20 2 2  2 2  0 2

1 1 1 x2  1 1 1 b3) P( X  1)   x dx     20 2 2 2 2 4

190. La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada por: 0  F ( X )  2 x  x 2 1 

x0 0 x2 x2

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130

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

1 1 Obtener P( X  ) P( X  ) 2 5

Rep.: a) 1 2

1 2

1 x2  x3  1 1 6 1 5 P( X  )   (2 x  x 2 )dx   2 x dx   x 2 dx  2          0,2083 2 2  3  4 24 24 24 0 0 0 b) 1 5

1 5

1 x2  x3  1 1 14 2 2 2 P( X  )   (2 x  x )   2 x dx   x dx  2 x dx   x dx  2         0,0373 5 2  3  25 375 375 0 0 0 0 0 191.

Si la función de distribución de la variable aleatoria x esta dada por:

0  4x  7 F(X )   x  1  2 1 

para x  1 para 1  x  4 para 4  x  7 para x  7

Obtener a) P( X  2) b) P( X  5) Rep.: 2

P( X  2) =  1

2 4x 4 4 x2  4 4 1 4 3 6 dx   x dx        7 71 7 2  7  2 2  7 2 7

5 5 5 1 1 x 2 1  25 5 16  8  x     2  P( X  5) =  ( x  )dx   x dx   dx  2 24 2 2  2 2 2  2 4 4

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131

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

192. Sea   {1,2,3,4,5,6} conjunto de números que corresponden al sorteo Del Loto Veamos si T  {, ,{1},{1,2,3,4},{5,6},{2,3}} Compuesta por estas vocales. Cumple con las condiciones para ser   Alg ebra Rep.: a)   T

Cumple con esta condición

b) si A  T  AC  T Tanto el subconjunto Como su complemento no pertenecen a T

2,3c  T Por lo tanto no cumple con 3 condiciones para un   Alg ebra .

193. Un jugador de un mazo de cartas toma 4 de las cuales si son números gana pero si son letras pierde. Calcular la esperanza. Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: Xi f(xi)

-3 1 4

-1 1 4

3 1 4

4 1 4

Rep.: E (Xi ) =

 xi  f (xi)

= -3 

1 1 1 1 - 1   3   4 4 4 4 4

3 1 3 4 3 =      4 4 4 4 4

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132

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

1 2 Dado que x tiene la distribución de probabilidad f ( x)    para x=0, 3  x

194.

1,2 Determine la función generatriz de momentos de esta variable aleatoria y utilícela para determinar 1 y  2

Rep.:

Mx(t )  E (e tx )   e tx f ( x) x

Se tiene que

2 1 2 Mx(t )  E (e tx )   e tx f ( x) =   e tx   3 x 0  x  x 1 = (1  2e t  e 2t ) 3 1 = (1  e t ) 2 3

195. La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X esta dada por: 3 2 0  x 1  (1  2 x) f ( x)   5  eoc 0

Determinar a) E (x)

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133

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

b) Var (x)

Rep.: a) E (x) 1

 0

1 1  3 31 31 3 1 x (1  2 x) 2 dx   x (1  2 x)2 dx   x 1  4 x  4 x 2 dx   x dx  4  x 2dx  4 x3 dx  5 50 50 5 0 0 0  3  x2 x3 x4  3  1 4  3 1 1    4   4       1    52 3 4  5  2 3  5 6 10





b) Var (x) = E ( x 2 )  E 2 ( x) 1





3 3 3 E ( x )   x 2 (1  2 x) 2 dx   x 2 (1  2 x) 2 dx   x 2 1  4 x  4 x 2 dx 5 50 50 0 2

1 1 1  3  x3 x4 x 5  3 1 4 3 2 2 3 2 3 4   4   4    1     x dx  4 x dx  4 x dx     0 0  5  3 4 5  5  3 5  5 15 25 5 0

Var (x) = E ( x 2 )  E 2 ( x) 2 1 8 1 7 =    25 100 100 100

196. La función de probabilidad de X de defectos de cada 5 metros de la pavimentación de una calle con ancho uniforme es xi f (xi )

1 0,14

2 0,22



4 0,06

5 0,18

a)   1  0,14  0,22  0,06  0,18  0,4 b)    xi

 1  0,14  2  0,22  3  0,4  4  0,06  5  0,18

= 0,14 + 0,44  1,2  0,12  0,9  2,8

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134

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

 xi

 f ( xi )  1  0,14  4  0,22  9  0,4  16  0,06  25  0,18 = 0,14  0,88  3,6  0,96  4,5  10,08

c)  2   xi 2 f ( xi )   2 = 10,08  7,84 = 2,24 d) P( X  3 / X  2)  P A / B   P( A  B) P( B)



197.

P( X  3) 0,64   0,744 P( X  2) 0,86

Si la función de distribución de la variable aleatoria x esta dada por:

0  2 8x  F(X )   5 x 2  1  3 1 

para x  0 para 0  x  1 para 1  x  2 para x  2

Obtener a) P( X  1)

Rep.: 1 8x 2 8 8 x 3  8 1  8 1 8 dx   x 2 dx     0    5 50 5 3  5  3  5 3 15 0

P( X  1) = 

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135

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

198. Sea   {escaleno , equilatero , isosceles} conjunto de tipos de triángulos Veamos si T  {, ,{equilatero },{escaleno , isosceles },{equilatero , isosceles },{isosceles }} Compuesta por estas vocales. Cumple con las condiciones para ser   Alg ebra

Rep.: a)   T

Cumple con esta condición

b) si A  T  AC  T No cumple con la condición ya que cada elemento no tiene un complemento

de T

Por lo tanto no es un   Alg ebra .

199.

La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria x dada por:

2 1 2  ( x  x ) dx f ( x)   3 5  0

0  x 1

Determinar esperanza y Varianza 1

2 1 2 1 2 a) E ( X )   x ( x 2  x )dx   x 3 dx   x 2 dx 3 5 305 30 0 = 1 1 2 2 2 2 x 4 2 x 3  x 4 2 x 3  1 2 69 3 x dx  x dx        0,25   15 0 3 0 15 4 3 3  30 9  30 9 270 var( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) 1

2 1 2 1 2 E ( x )   x 2 ( x 2  x )dx   x 4 dx   x 3 dx 30 5 305 30 2

1 1 2 2 3 2 x 5 2 x 4  2 x 4 x 4  2 1 87 4 x dx  x dx          15 0 3 0 15 5 3 4  75 6  75 6 450

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136

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x)

87 4761 14094  4761 9333     0,128 450 72900 72900 72900

200. Sea x una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de unas 4 horas. Dada la siguiente información.

x p(x)

0 0,01

1 0,11

2 0,11

3 0,21

4 0,19

5 0,19

6 0,21

7 0,06

8 0,06

a) encontrar esperanza E( x)  0  0,01  1  0,11  2  0,11  3  0,21  4  0,19  5  0,19  6  0,21  7  0,06  8  0,06 = 4,83

b) Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) E ( x 2 )  0  0,01  1  0,11  4  0,11  9  0,21  16  0,19  25  0,19  36  0,21  49  0,06  64  0,06 = 24,57 Var ( x)  24,57  23,32 = 1,25

201.

Sea x una variable aleatoria continuaron distribución

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137

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

4 3 x  k f ( x)   3 9 0

si 0  x  2

Calcular el valor de k Hallar P(1  X  2) P(0  X  1) P( X  1)

Rep.: a) 2 2 4 3x 4 3 4 3 x2  4 3 8 3 27 27 3 k dx  k x dx  k   k 2  k 1 k3  k 3  0 3 9  27 0 27 2  27 27 8 8 2

1 1 1 x2 1 4 1 1 3 3 b1) P(1  X  2)   x dx   x dx        2 21 2 2 2  2 2  2 2 4 1 2

1 1 1 1 x2  1 1  1 b2) P(0  X  1)   x dx   x dx    =   0  2 20 2 2  2 2  4 0 1

b3) P( X  1) 

1 1 1 x2  1 1 1 x dx     2 0 2 2 2 2 4

202. La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X está dada por: 1  (4  x) f ( x)   6 0

0  x 1 eoc

Determinar a) E (x) b) Var (x)

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138

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

Rep.: a) E (x) = 1  1  4 x 2 x 3  1  4 1  1 10 5 1 11 1  1 2 x ( 4  x ) dx  x ( 4  x ) dx  4 x dx  x dx  0 6 0   6  2  3   6   2  3  6  6  18 6 0 6  0 1

b) Var (x) = E ( x 2 )  E 2 ( x) 1 1 1  1   3 4 E ( x 2 )   1 x 2 (4  x) dx  1  x 2 (4  x) dx  1 4  x 2 dx   x3dx  1 4  x  x   1  4  1   1  13  13

6 

 6

4  6  3 4  6 12 72

Var (x) = E ( x 2 )  E 2 ( x) 13 25 4212  1800 2412 =    72 324 23328 23328

203. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. -2 1 2

xi f (xi )

-1 1 2

   xi xi   2   1   2   3  2 2 2 2 2

2 1 2

3 1 2

2 1 2 3 = -    =1 2 2 2 2

 xi

1 1 1 1  f ( xi )  4   1  4   9  2 2 2 2

4 1 4 9 18     9 2 2 2 2 2

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139

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

 2   xi 2 f ( xi )   2 = 9 1  8

  82 2

204. Sea un dado tal que la probabilidad de las distintas caras es proporcional al número de puntos inscritos en ellas, Hallar la probabilidad de obtener con este dado un número impar. Rep.:   {1, 2, 3, 4, 5,6} y el algebra a= P() Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es P(k )  k  i i  1,2,3,4,5,6

k  Constante de proporcionalidad Luego 6

 ki  1  k  21  1  k  21 i 1

P({ Que salga par})= P  ({2,4,6}) 2 4 6 12 4     21 21 21 21 7

205. Sea x una variable aleatoria que representa el número de mail que recibe una empresa a diario en un intervalo de 4 minutos y cuya función de probabilidad esta dado por:

P( X ) 

2e 3 (3) x x!

x= 0, 1, 2, 3, 4

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140

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

Determinar la probabilidad para los antes mencionados valores de x Rep.: P(0)  2e 3 (3) 0  2e 3 

P(1)  2e 3 (3)1  6e 3 

2  0,100 19,90

6  0,301 19,90

P(2)  2e 3 (3) 2 

18e 3 9   0,4522 2 19,90

P(3)  2e 3 (3) 3 

54e 3 9   0,4522 6 19,90

P(4)  2e 3 (3) 4 

162e 3 162   0,339 24 477,6

286e 2 286   0,1197 P(5)  2e (3)  120 2388 3

206. Sea   {a, e, i, o, u} conjunto de vocales Veamos si T  {, ,{e},{a, i, o, u},{e, i, u},{a, o}} Compuesta por estas vocales. Cumple con las condiciones para ser   Alg ebra Rep.: a)   T

Cumple con esta condición

b) si A  T  AC  T Tanto el subconjunto Como su complemento pertenecen a T c) A  n0 An, n  IN ,  An  T Por lo tanto cumple con 3 condiciones es un   Alg ebra .

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141

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

207.

Determinar si la siguiente función es de densidad

3e 3 x si    x  0 F ( x)   si x  0 1 Rep.: 0

3x  3e dx 





3 u e du  e 3 x  1  e   1 3 

208. Suponga que una variable aleatoria Discreta X tiene función de densidad

cx 3 f ( x)   0

para x  1,2,3,4 eoc

a) Determinar el valor de la constante c b) Determine la función de Distribución de X Rep.: a) Para encontrar el valor de c se debe recordar que 4

i 1

 f (xi)  1 entonces

 fi   ci  c (1  2  3  4)  10c  1 c

1 10

b) La función de Distribución de X es

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142

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

para x  1 0 1  10 para 1  x  2  para 2  x  3 3 F ( x)   10 6 para 3  x  4  10 1 para x  4  

209. La probabilidad de recorrer todo el norte de Chile de desde Iquique hasta Coquimbo sin pinchar gomas es 0,65; al hacer 8 viajes de Iquique a Coquimbo ¿Cuál es el numero más probable de viajes que se realizaran sin pinchadura de neumático? Rep.: E( xi )  0,65  8  5,2  6 Viajes.

210. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad está dada por:  2 4x para x  0   f ( x)   5 0 eoc

Rep.: 



2 2 2 2 1 2 Mx(t )  E (e )   e  e 4 x dx   e tx  e 4 x dx   e x (t  4) dx    5 50 50 5 t  4 5(t  4) 0 tx

211.

Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa está dada por:

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143

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

  4 f ( y )   ( x 3  5)  35  0

para 1  x  2

Determinar efectivamente que f ( y) es una función de densidad de probabilidad. Rep.: 2 2 2  4  x4  16 4 4 4  3 1  4 35 3 3 1 35  ( x  5) dx  35 1 ( x  5)dx  35  1 x dx  51 dx  35   4  5x  4  10   4  5  35  4  1 2

212. La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X está dada por: 1  (3  x) f ( x)   4  0

0  x 1 eoc

Determinar a) E (x) b) Var (x)

Rep.: 1

a) E (x) =

4 x

(3  x) dx 

1  1  3x 2 x 3  1  3 1  1 7 7 11 1  1 x (3  x) dx  3  x dx   x 2 dx              40 4  0 0  4  2 3  4  2 3  4 6 24

b) Var (x) = E ( x 2 )  E 2 ( x) 1 1 1 3 4  1  E ( x 2 )   1 x2 (3  x) dx  1  x2 (3  x) dx  1 3  x2 dx   x3dx  1 3  x  x   1 1  1   1  3  3 0

4 

 4 3

4

4  4  4 4 16

Var (x) = E ( x 2 )  E 2 ( x) 3 49 108  49 59 =    16 576 576 576

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144

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

213. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. -4 1 3

xi f (xi )

-1 1 3

   xi xi   4   1   1   5  3 3 2 2 2

1 1 2

5 1 2

4 1 1 5 8 = -    = 3 3 2 2 6

 xi

1 1 1 1  f ( xi ) 16   1 1   25  3 3 2 2

16 1 1 25 32  2  3  75 113      3 3 2 2 6 6

 2   xi 2 f ( xi )   2 =



113 64 678  64 614 307     6 36 36 36 18

307  4,129 18

214. Sea un dado tal que la probabilidad de las distintas caras es proporcional al número de puntos inscritos en ellas, Hallar la probabilidad de obtener con este dado un número impar. Rep.:   {1, 2, 3, 4, 5,6} y el algebra a= P() Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es P(k )  k  i i  1,2,3,4,5,6

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145

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

k  Constante de proporcionalidad Luego 6

 ki  1  k  21  1  k  21 i 1

P({ Que salga impar})= P  ({1,3,5}) 1 3 5 9 3     21 21 21 21 7

215. Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de probabilidad:

f ( x)  c  (1  3x 5 ) si x0,3 f ( x)  0 si x  (0,3)

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad de que X este comprendida entre 1 y 2 Rep.: 

a) Se verifica





f ( x) dx  1  c (1  3x 5 )dx  1 0

 x 6  735 2 c x  3    c 1 c   6 2 735  si x  0 0  x x6   2   x   si 0  x  3 F ( x)   f (t )dt   2    735  1 si x  3 

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146

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

b) 2 2  2 2  2  x6  2  3 5 (1  3x 5 )dx  dx  3 x dx  x  3  34         735 735  1 6  735  2 1 1  735  2 71 71    735 2 735 2

P(1  X  2)  

216. La función de probabilidad de X es el numero de defectos de cada 5 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme es 1 0,16

xi f (xi )

2 0,23



4 0,01

5 0,16

a)   1  0,16  0,23  0,01  0,16  0,44 b)    xi

 1  0,16  2  0,23  3  0,44  4  0,01  5  0,16 xi = 0,16 + 0,46  1,32  0,04  0,80  2,78

 xi

 f ( xi )  1  0,16  4  0,23  9  0,44  16  0,01  25  0,16 = 0,16  0,92  3,96  0,16  4  9,2

c)  2   xi 2 f ( xi )   2 = 9,2  7,72 = 1,48 d) P( X  4 / X  3)  P A / B   P( A  B) P( B)



P( X  4) 0,17   0,278 P( X  3) 0,61

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147

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

P( X  4)  P( X  3) P( X  3) 0,84  0,39 0,45 =   2,64 0,17 0,17

e) P( X  4 / X  3) 

0,67  1,675 0,4

217. En un colegio determinado un alumno de notas insuficientes obtiene un 7. Hallar la probabilidad de que haya copiado. Resolver esto bajo un supuesto de que el 40% de los alumnos del curso regularmente copian. Rep.: El niño puede haber copiado o no. ahora el espacio muestral se descompone de la siguiente manera   T T c

Siendo T = {el alumno copio en la prueba} La probabilidad de que un alumno que copia saque un 7 es 1. Si no copio en la prueba la probabilidad es 1/7. Entonces si P(T )  0,4 P(T / 7) 

P(7 / T )  P(T ) P(7 / T )  P(T )  P(7 / T c )  P(T C

1  0,4 0,4   0,875 1 0,457 1  0,4   (0,4) 7

Si P(T )  p donde p es un parámetro 0  p  1 , entonces:

P(T / 7) 

1 p 7p  1 1 6 p 1  p  1  p  7

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148

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

218. Dado que la variable aleatoria es discreta x tiene la función de distribución.

0 2  5 3  f (x )   7 5  3  1

Para

x2

Para

2  x4

Para 4  x  6 Para 6  x  8 Para

x9

Determinar 5 3 16 a) p (5  x  8) = p ( x  8)  p( x  5)    3 7 21

b) p ( x  2) 

2 5

219. Sea x una variable aleatoria que representa el número de mail que recibe una empresa a diario en un intervalo de 5 minutos y cuya función de probabilidad esta dado por:

P( X ) 

e 2 (2) x x!

x= 0, 1, 2, 3, 4, 5

Determinar la probabilidad para los antes mencionados valores de x Rep.: P(0)  e 2 (2) 0  e 2 

1  0,136 7,34

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149

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

P(1)  e 2 (2)1  2e 2 

P(2)  e 2 (2) 2 

2  0,272 7,34

4e 2 2   0,272 2 7,34

8e 2 8   0,1816 P(3)  e (2)  6 44,04 2

P(4)  e 2 (2) 4 

16e 2 16   0,0908 24 176,16

P(5)  e 2 (2) 5 

32e 2 32   0,0363 120 880,8

220. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. -3 1 3

xi f (xi )

-1 1 2

2 1 4

4 1

   xi xi   3   1   2   4 3 2 4 2

= 1 -

 xi

1 2 12  4 = 3 2 4 4

1 1 1  f ( xi )  9  1   4   16 3 2 4

9 1 123 41   1  16   3 2 6 2

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150

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

 2   xi 2 f ( xi )   2 =

41 41  18 23 9  2 2 2

23  3,39 2



221.

Probar que la familia de conjuntos X  {} es una   Alg ebra

Rep.: Para probar que X es una   Alg ebra , se debe ver que cumpla con los 3 axiomas de una   Alg ebra . El primer axioma se cumple ya que   X El segundo axioma no se cumple ya que el complemento de todos los conjuntos de X (  c    X ,  c    X ) no son a su vez elementos de X . Por lo tanto no es un   Alg ebra .

222. Sea x una variable aleatoria que representa el número de personas que va a comprar a supermercado Líder. Dada la siguiente información.

x p(x)

0 0,08

1 0,12

2 0,10

3 0,10

4 0,20

5 0,10

6 0,10

7 0,08

8 0,08

Encontrar esperanza E( x)  0  0,08  1  0,12  2  0,10  3  0,10  4  0,20  5  0,10  6  0,10  7  0,08  8  0,08 =3,72

Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x)

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151

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

E ( x 2 )  0  0,08  1  0,12  4  0,10  9  0,10  16  0,20  25  0,10  36  0,10  49  0,08  64  0,08 = 19,76 Var ( x)  19,76  13,83 = 5,93

223.

Si la función de distribución de la variable aleatoria x está dada por:

0  5x  3 F(X )   x 2  1  2 1 

para x  1 para 1  x  3 para 3  x  5 para x  5

Obtener a) P( X  1,5) b) P( X  3) Rep.:

5x 5 5 x 2  5  2.25 1  5 1.25 dx   x dx      1,04166   3 31 3 2  3  2 2 3 2 1

1, 5

P( X  1,5) = 

1, 5

5 5 5 1 1 x 3 1  125 5 3  190 95  9    P( X  3) =  ( x 2  )dx   x 2 dx   dx   x   2 23 3 2  3 2 2 6 3 3 3

224. Sea   {a, e, i, o, u} conjunto de vocales Veamos si T  {, ,{a},{a, e, i, o},{e, i, o, u},{u}} Compuesta por estas vocales. Cumple con las condiciones para ser   Alg ebra Rep.: a)   T

Cumple con esta condición

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152

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

b) si A  T  AC  T Tanto el subconjunto Como su complemento pertenecen a T c) A  n0 An, n  IN ,  An  T Por lo tanto cumple con 3 condiciones es un   Alg ebra .

225. Un jugador de un mazo de cartas toma 5 de las cuales si son números pierde pero si son J, Q ,K gana. Calcular la esperanza. Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: Xi f(xi)

-4 1 5

-2 1 5

4 1 5

5 1 5

6 1 5

Rep.: E (Xi ) =

 xi  f (xi)

= -4 

226.

1 1 1 1 1 - 2   4  5  6 5 5 5 5 5

4 2 4 5 6 9      5 5 5 5 5 5

1 2 Dado que x tiene la distribución de probabilidad f ( x)    para x=0, 5  x

1,2 Determine la función generatriz de momentos de esta variable aleatoria y utilícela para determinar 1 y  2

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153

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

Rep.:

Mx(t )  E (e tx )   e tx f ( x) x

Se tiene que

2 1 2 Mx(t )  E (e tx )   e tx f ( x) =   e tx   5 x 0  x  x 1 = (1  2e t  e 2t ) 5 1 = (1  e t ) 2 5 Por lo tanto como

d m x (t ) t0 dt 2 2 5

1  m x (0)  (1  e t ) e t t  0  2 5

4 5

2 5

 2  m x (0)  e t  e 2t  (1  e t )e t t  0 

2 4 6   5 5 5

227. Si X es el número de puntos con un dado equilibrado Determinar el valor esperado de la variable aleatoria h( x)  3x 2  1 Rep.: Cada resultado posible tiene probabilidad 6

E (h( x))   (3x 2  1)  x 1

1 se obtiene: 6

1 6

1 1 1 1 = (3  12  1)   (3  2 2  1)   (3  32  1)   .........  3  6 2  1 6 6 6 6

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154

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

1 1 1 1 1 1 = ( 4   13   28   49   76   109  6 6 6 6 6 6

4 13 28 49 76 109 279       6 6 6 6 6 6 6

228. Sea  el conjunto de los casos posibles que resultan de la tirada de un dado decir cuáles de las siguientes clases de conjuntos son algebras. a) a1  {,{1,3},{2,4,5,6}} b) a 2  {, ,{1,2,3},{4,5,6}} c) a3  {,{1,2,3},{4,5,6}}

Rep.: d) no es un   Alg ebra ya que  c no pertenecen a a1 e) Es   Alg ebra ya que cada elemento de a 2 posee su complemento f) No lo es puesto que  c   no pertenecen a a 3

229. Se lanza una moneda 5 veces, sea X el número de caras obtenidas. Se pide función de distribución de probabilidad. Rep.: X Es una variable aleatoria discreta que toma los valores 0, 1, 2, 3,4 con probabilidad no nula. La función de densidad es: f (0) 

1 8

f (1) 

2 8

f (2) 

2 8

f (3) 

2 8

f (4) 

1 8

La función de distribución será: F ( x)  0 x  0 1 F ( x)  0 x2 8 2 F ( x)  2 x4 8

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155

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

F ( x) 

5 8

4 x6

F ( x) 

7 8

6 x8

F ( x)  1 x  8

230.

Si la función de densidad de la variable aleatoria X está dada por

para 0  x  1 para1  x  c eoc

x  f ( x)  3  x 0 

Determinar el valor de c

Rep.: c

 (3  x)dx  3 dx   x dx  3x 

x2  c2 1  3 c  3 1  2 2 2 c2 1 3c   4 2 2 3c 

c2 7  2 2

6c  c 2  7 c 2  6c  7  0 6  36  28 = 2 62 2 = 2

=3  2

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156

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

c1  4,4142 c 2 1,6

231.

Demostrar que   A

Demo: Se sabe que   A Si   A   C  A Y como  c   se prueba que   A .

(Por 1 axioma) (Por 2 axiomas)

232. Demostrar Para una variable aleatoria X se tiene que P(a  X  b)  F (b)  F (a)

Demo: Como { X / X  b}  {X / X  a}  {X / a  X  b} Se tiene que P( X  b)  P( X  a)  P(a  X  b) Y entonces P(a  X  b)  P( X  b)  P( X  a)  F (b)  F (a) Por lo tanto quería demostrado.

233.

Suponga que la función de distribución de la variable aleatoria X es:

0  F ( x)   x 1  x

para x  0 para x  0

a) Encontrar función de Densidad de X b) Calcular la Probabilidad P(1  X  6)

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157

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

Rep.: a) Como X es una variable aleatoria continúa , entonces La función de densidad se encuentra al derivar la función de distribución Ahora escribo la función de otra manera para trabajarla más fácilmente F ( x)  1 

1 1 x

d (1) (1  x) 1 d( ) (1  x)  1  d 1 dx dx  f ( x)  1  x = 2 dx (1  x) (1  x) 2

b) F ( x)  P(1  X  6)  1  234.

1 6 1 5  F (6)  F (1)    1 x 7 2 14

Determinar si la siguiente función es de densidad

e 3 x F ( x)   1

si    x  0 si x  0

Rep.: 0

3x  e dx 





1 u e du  e 3 x  1  e   1 3 

235. Suponga que una variable aleatoria Discreta X tiene función de densidad

cx f ( x)   0

para x  1,2,3,4,5,6 eoc

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158

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

a) Determinar el valor de la constante c b) Determine la función de Distribución de X Rep.: a) Para encontrar el valor de c se debe recordar que 6

i 1

 f (xi)  1 entonces

 fi   ci  c (1  2  3  4  5  6)  21c  1 c

1 21

b) La función de Distribución de X es

para x  1 0 1  21 para 1  x  2   3 21 para 2  x  3  F ( x)   6 para 3  x  4 21  10 21 para 4  x  5  15 21 para 5  x  6 1 para x  6 

236.

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

 k 2 5 3  x 0  x  5  f ( x)  0 eoc   

Calcular k Rep.:

k 2 5k 2 5k x 3  125 5 625 9 5 x dx  x dx     k 1 k 1 k  0 3  3 0 3 3 3 3 9 625 5

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159

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

237. La probabilidad de recorrer todo el norte de Chile de desde Arica hasta La Serena sin pinchar gomas es 0,70; al hacer 11 viajes de Arica a La serena ¿Cuál es el numero más probable de viajes que se realizaran sin pinchadura de neumático? Rep.: E( xi )  0,70 11 7,7  8 Viajes.

238. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad está dada por: 5 2x para x  0   f ( x)   4 0 eoc

Rep.: 



5 5 5 5 1 5 Mx(t )  E (e tx )   e tx  e 2 x dx   e tx  e 2 x dx   e x (t  2) dx    4 40 40 4 t  2 4(t  2) 0 239. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa está dada por:   2 f ( y )   ( y  1)  24  0

para 2  y  4

Determinar efectivamente que f ( y) es una función de densidad de probabilidad. Rep.: 4 4 4  2  y2  16 2 2 2  4  2 24  ( y  1 ) dy  ( y  1 ) dy   y dy  dy    y    4    2   1   2 24   24 2 24  2 24 2 2 2 24 2     2  4

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160

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

240.

Dada la siguiente función x

1 f ( x)   e 8 8

0 x

Determinar si la función anterior es una función de Probabilidad Rep.: x x  0  x   1 8 1 1 u u 8 8 8 8 e dx  e dx    8 e du  e   e   e  e 1  0 8 0 8 0 8 





241.

Verificar si la siguiente función es de densidad

0 si x  0 x  F ( x)   si 0  x  4 4  1 si x  7

Rep.: 4 x 1 1 x 2  1 16 0 4 dx  4 0 x dx  4  2   4  2  2 No es función de densidad de probabilidad 4

242. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. xi

-2

-1

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161

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

f (xi )

1 4

   xi xi   2   1   2   3  4 4 2 2 2

 xi

1 2

2 1 3 7  1 = 4 4 2 4

1 1 1 1  f ( xi )  4   1  4   9  4 4 2 2

= 1

1 9 4  1  8  18 31 2   4 2 4 4

 2   xi 2 f ( xi )   2 =



31 49 124  49 75    4 16 16 16

75 5 3   2,1650 16 4

243. Un Grupo de personas juega al popular UNO este juega solo con las cartas de color azul ósea que espacio muestral va a ser igual a   {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} , Cual es la probabilidad que al sacar una carta salga par Rep.:   {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Y el algebra a= P() Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es P(c)  c  i i  1,2,3,4,5,6,7,8,9

c  Constante de proporcionalidad

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162

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

Luego 9

 ci  1  c  45  1  k  45 i 1

P({ Que salga par})= P  ({2,4,6,8}) 2 4 6 8 20 4      45 45 45 45 45 9

244. Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de probabilidad: f ( x)  c  (1  2 x 3 ) si x0,2 f ( x)  0 si x  (0,2)

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad de que X este comprendida entre 1 y 3 Rep.: 

a) Se verifica





f ( x) dx  1  c (1  2 x 3 )dx  1 0

 x4  1 c  x  2    10c  1  c   4 10  si x  0 0  4 x  1  F ( x)   f (t )dt    x   si 0  x  2 2   10  1 si x  2  x

b) 3 3  1  1 1  x 4  1  81 1 (1  2 x 3 )dx   dx  2  x 3 dx    x  2    3   1   10 10  1 4  10  2 4 1 1  10  3

P(1  X  3)  

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163

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación



1 88 88 11    10 4 40 5

245. Sea x una variable aleatoria que representa el número de personas que va a comprar a supermercado Sta. Isabel. Dada la siguiente información.

x p(x)

0 0,05

1 0,16

2 0,12

3 0,12

4 0,25

5 0,12

6 0,12

7 0,05

8 0,05

Encontrar esperanza E( x)  0  0,05  1  0,16  2  0,12  3  0,12  4  0,25  5  0,12  6  0,12  7  0,05  8  0,05 =3,98

Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) E ( x 2 )  0  0,05  1  0,16  4  0,12  9  0,12  16  0,25  25  0,12  36  0,12  49  0,05  64  0,05 = 18,69 Var ( x)  18,69  15,84 = 2,85

246.

Si la función de distribución de la variable aleatoria x está dada por:

0  4x  5 F(X )   x 2  3  4 1 

para x  1 para 1  x  3 para 3  x  5 para x  5

Obtener a) P( X  2)

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164

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

b) P( X  3) Rep.: 2 4x 4 4 x2  4 4 1 4 3 6    P( X  2) =  dx   x dx     5 51 5 2  5  2 2  5 2 5 1 2

5 5 3 3 x 3 3  125 15 9  374 187 2  9    P( X  3) =  ( x  )dx   x dx   dx   x   4 43 3 4  3 4 4  12 6 3 3 5

247. Sea   {a, e, i, o, u} conjunto de vocales Veamos si T  {, ,{a},{a, e, i, },{e, i, o, u},{u}} Compuesta por estas vocales. Cumple con las condiciones para ser   Alg ebra Rep.: a)   T

Cumple con esta condición

b) si A  T  AC  T No cumple con la condición ya que cada elemento no tiene un complemento

de T

Por lo tanto no es un   Alg ebra .

248. Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de probabilidad:

c  (3  5 x 4 ) si x0,3 3 f ( x)  0 si x  (0,3)

f ( x) 

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad de que X este comprendida entre 0,1/2

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165

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

Rep.: 

a) Se verifica

 f ( x) dx  1  3 (3  5x



)dx  1

c x5  c c 1 3 x  5      9  243   252  1  84c  1  c  3 5 3 3 84 si x  0 0  x x5   1   3x  5   si 0  x  3 F ( x)   f (t )dt   5    252  1 si x  3  1  12  5 2   1 1 3 dx  5 x 4 dx   1 3x  5  x  P (0  X  1 )   (3  5 x 4 )dx    2 252 252  0 5  252  0 0   b) 1 3 1  1 49 7       0,00607  252  2 32  252 32 1152 249. La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria x dada por: 1

1 1 2  ( x  2 x ) dx f ( x)   5 3  0

0 x

1 2

Determinar esperanza y Varianza

1 1 1 2 3 2 2 2 x dx  x dx a) E ( X )   x ( x 2  2 x )dx  5 3 15 0 5 0 0



1 x4 2 x3  1 2 33       15 4 5 3  960 60 960

var( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x)

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166

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

2 1 2 1 1 21 E ( x 2 )   x 2 ( x 2  2 x )dx   x 4 dx   2 x 3 dx 50 3 5 03 0 1

1 2 4 2 2 3 1 x5 2 x4  x5 x4  1 1 16 x dx  x dx            15 0 5 0 15 5 5 4  75 10  2400 160 2400 Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x)

16 1089 6144  1089 5055     0,00548 2400 921600 921600 921600

250. Sea x una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de 9 horas. Dada la siguiente información.

x p(x)

0 0,08

1 0,18

2 0,16

3 0,14

4 0,17

5 0,16

6 0,03

7 0,05

8 0,03

Encontrar esperanza E( x)  0  0,08  1  0,18  2  0,16  3  0,14  4  0,17  5  0,16  6  0,03  7  0,05  8  0,03 = 3,17

Var ( x)  E ( x 2 )  E 2 ( x) E ( x 2 )  0  0,08  1  0,18  4  0,16  9  0,14  16  0,17  25  0,16  36  0,03  49  0,05  64  0,03 = 14,25 Var ( x)  14,25  10,04 = 4,21

251.

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

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167

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

16 2 x  k f ( x)   2 4 0

si 0  x  1

a) calcular el valor de k 1 1 b) Hallar P(0  X  ) P(  X  1) 4 4

Rep.:

16 2 x 16 2 16 2 x 2  16 2 1 16 16 dx  k  x dx  k    k   k 2  1  k 2   k 1 a)  k 2 4 8 8 2 8 2 16 16 0 0 1

4 4 1 x2 1 1 1  b1) P(0  X  )   2 x dx  2  x dx  2   2   0  2   4 2 32 16  32  0 0

b2) P( 1  X  1)  4

 2 x dx  2  x dx  2  4

x2  1 1  15 15   = 2    2  2   2 32  32 16

252. La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada por: 0  F ( X )  3x  x 2 1 

x0 0 x2 x2

1 1 Obtener P( X  ) P( X  ) 6 5

Rep.: a) 1

6 6 6 1 x2  x3  3 1 27  1 26 2 2 P( X  )   (3x  x )dx   3x dx   x dx  3          0,040 6 2  3  72 648 648 648 0 0 0

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

b) 1

5 5 5 5 5 1 x2  x3  3 1 1075 P( X  )   (3x  x 2 )   3x dx   x 2 dx  3 x dx   x 2 dx  3         0,0573 5 2 3 50 375 18750   0 0 0 0 0

253. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución. -2 1 4

xi f (xi )

-1 1 4

2 1 4

4 1 4

   xi xi   2   1   2   4  4 4 4 4 2

= 

 xi

2 1 2 4 3    = 4 4 4 4 4

1 1 1 1  f ( xi )  4   1   4   16  4 4 4 4

4 1 4 16 25     4 4 4 4 4

 2   xi 2 f ( xi )   2 =

25 9 100  9 91     5,6875 4 16 16 16

  5,6875  2,3848

254. Sea   {1,2,3,4,5,6} el conjunto de los casos posibles que resultan de la tirada de un dado decir cuáles de las siguientes clases de conjuntos son algebras. a) a1  {, ,{1,2},{5},{1,5}} b) a 2  {,{1,2,3},{4,5,6}}

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

c) a3  {, ,{1,2},{3,4,5,6},{3,4,5},{1,2,6}} d) a3  {,{1,2},{3,4,5,6},{3,4,5},{1,2,6}} e) Todas las Anteriores

255.

Si la función de densidad de la variable aleatoria X está dada por

1 2 2 para 0x 5 x 3  1  f ( x)  2  x para xc 3  eoc 0   Determinar a) el valor de c Rep.: c

1 3

 (2  x)dx  2 dx   x dx  2 x 

x2  c2 2 1  2 c    1  2 2 3 6 2c 

c2 3  1 2 6

12c  3c 2  3  6

12 c  3c 2  9 3c 2  12c  9  0

12  144  108 32  36 32  6   6 6 6

c1 

38 26 c2  6 6

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170

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

256.

Suponga que la función de distribución de la variable aleatoria X es:

para x  0 0  3 F ( x)   3 x para x  0  5  x

a) Encontrar función de Densidad de X 1 b) Calcular la Probabilidad P(0  X  ) 4

Rep.: b) Como X es una variable aleatoria continúa , entonces La función de densidad se encuentra al derivar la función de distribución

3x 3 ) 5  x f ( x)  = dx d (3x 3 ) (5  x) (5  x)   3x 3  d 2 3 2 3 3 2 dx dx  5  x   9 x  3x  45 x  9 x  3x  3x 15  4 x  (5  x) 2 (5  x) 2 (5  x) 2 5  x 2 d(

3 1 3x 1 3 4 1 b) F ( x)  P(0  X  )   F ( )  F (0)  64    21 64 21 112 4 5 x 4 4 3

257.

Si la función de distribución de la variable aleatoria x está dada por:

0  5x  4 F(X )   x  1  3 1 

para x  1 para 1  x  2 para 2  x  4 para x  4

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171

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

Obtener 3 a) P( X  ) 2

Rep.: 3

3 P( X  ) = 2

 1

5x 5 2 5 x 2  5  9 1  5 5 25 dx   x dx      0,78125    4 41 4 2  4  8 2  4 8 32

258. Sea   {5,9,13,15,25,36} conjunto de números que corresponden a la combinación ganadora del sorteo Loto Veamos si T  {, ,{5},{9,13,15,25,36},{5,9,13},{15,25,36},{5,25,36},{9,13,15}} Compuesta por estas vocales. Cumple con las condiciones para ser   Alg ebra Rep.: a)   T

Cumple con esta condición

b) si A  T  AC  T Tanto el subconjunto Como su complemento pertenecen a T

1,4,5,6}c  T c) A  n0 An, n  IN ,  An  T Por lo tanto cumple con 3 condiciones para un   Alg ebra .

259. La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X está dada por: 1  (5  x) f ( x)   4  0

0  x 1 eoc

Determinar a) E (x) b) Var (x)

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172

Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel consolidación

Rep.: a) E (x) = 1 1 1  1  5x 2 x3  1  5 1  1 13 13 1 1 1  2 x ( 5  x ) dx  x ( 5  x ) dx  5 x dx  x dx  0 4 0   4  2  3   4   2  3   4  6  24 4 0 4  0 1

b) Var (x) = E ( x 2 )  E 2 ( x) 1

E( x 2 ) 

 0

1 2 11 1 x (5  x) dx   x 2 (5  x) dx  4 40 4

1  1 2  1  x3 x 4  1 5 1  5 x dx  x3dx  5           4 3 4  0  0  4 3 4 1 17 17    4 12 48

Var (x) = E ( x 2 )  E 2 ( x) 17 169 204  169 35 =     0,060 48 576 576 576

260. Sea   {agudo, obtuso, recto} conjunto de tipos de triángulos según sus ángulos Veamos si T  {, ,{agudo},{obtuso, recto},{recto},{agudo, obtuso}}

Compuesta por estos tipos de ángulos. Cumple con las condiciones para ser   Alg ebra

Rep.: a)   T

Cumple con esta condición

b) si A  T  AC  T cumple con la condición ya que cada elemento tiene un complemento

de T

c) A  n0 An, n  IN ,  An  T Por lo tanto es un   Alg ebra .

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