proyeccion bivariada by tesis Prob.esta

2010 www.entretencionx1000.cl

Nivel de Proyecci贸n

Estad铆stica Descriptiva Bivariada

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 1. Sea la tabla

X 0-5

5-10

10-15

Determine la distribución de frecuencias relativas de “X” si Y  4.

Solución:

Frecuencia relativa de X / Y  4 : Y 4 X

0-5

5-10

10-15

Frec. absoluta 4+3=7 2+4=6 1+7=8

Y 4 X

0-5

5-10

10-15

Frec. relativa

7 768

6 768

8 768

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 2. En un tipo de empresas, siendo "X" el número de empleados e "Y" la producción, se ha obtenido la información que recoge la tabla:

X 0 -10 10 - 20 20 - 30 Y 1-20

20 - 60

60-100

>100

Determine la distribución (frecuencias absolutas y relativas) de la producción en las empresas de no más de 100 trabajadores.

Solución: Y  100

0 -10

10 - 20

20 - 30

Frec. Abs.

Frec. Rel.

4 4  10  7

10 4  10  7

7 4  10  7

3. Utilizando la tabla del problema 2 X 0 -10 10 - 20 20 - 30 Y 1-20

20 - 60

60-100

>100

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección

Determine la varianza y el coeficiente de variación de "X".

Solución:

La distribución marginal de X es:

Y

0 -10

10 - 20

20 - 30

Marca

Frec. Abs.

5  6  15  13  25  11  16,7 6  13  11

SY2 

5 2  6  15 2  13  25 2  11  16,7 2  52,8 6  13  11

Cv 

52,8  0,4 16,7

4. Según los siguientes datos: X Yi 4

Probar que ambas rectas de regresión se cortan en el punto ( X ,Y )

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

X i2

X i Yi

X i2 Yi

Y i2

441

243



147



705



116

Recta de Y con respecto a X:

Y  aN  b X  X Y  a X b X i

i i

2 i

18= 4 a + 21b 99= 21a + 147b

a= 3,9 b=0,122 Donde Y   3,9  0,122 X

Recta de X respecto a Y:

X X Y

i i

 aN  bYi

 aYi  bYy2

21= 4 a+18b 99=18 a + 116b

a= 4,7 b=0,13

Donde: X   4,7  0,13Y

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Mediante la resolución del sistema de ecuaciones formado por ambas rectas se obtendrá el punto en el cual se cortarían:

Y= 3,9+0,122X X=4,7+0,13Y

X=5,3 Y=4,5

De donde se puede deducir que las rectas de regresión se cortan en el punto X  5,3 e Y  4,5

5. De la siguiente distribución de dos variables, obtener su coeficiente de determinación lineal y el signo de la dependencia estadística:

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

xi2

xi y i

xi2 y i

y i2

108



187



Para calcular r 2 2

r =

s xy2 s x2 s y2

s xy =

47 16 17 . = -1,48< 0 5 5 5

s x2 =

66 16 - ( ) 2 = 2,96 5 5

s y2 =

79 17 - ( ) 2 = 4,24 5 5

Reemplazando

r2 =

2,2 = 0,18= 18% 2,96  4,24

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 6. Dos variables tienen las siguientes rectas de regresión mínima cuadrática:

9x + 5y = 2 12x + 6y = 2

Calcular el coeficiente de correlación:

Solución: Hipótesis: Suponiendo que la primera ecuación corresponde a la recta de regresión de Y con respecto a X y la segunda ecuación a la de X con respecto a Y, entonces.

Y= -

9 2 x 5 5

X= -

6 2 y 12 12

 9   6  54 R 2       1  5   12  60

Como había de ser siempre: 0 < R 2 < 1 0 < 0,9< 1 Por lo tanto R 2  0,9

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 7. Sea la tabla:

0-4

4-6

6-8

0-10

10-20

20-30

Determine mediana de "X".

Solución:

La marginal de X es:

0-10 10-20 20-30

- La mediana está en el intervalo 10 – 20, que es el primero con frecuencia absoluta acumulada mayor o igual que N/2 = 89/2 = 44,5.

M e  Li 1 

50  N i 1 50  20  ( Li  Li 1 )  10   (20  10)  16,25 ni 48

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 8. Sea la tabla:

-2

Calcular “a” y “b” si la distribución marginal de frecuencias relativas de Y es:

-2

0,32

0,45

0,48

-1

3+a

5+b

1+b

a+2

N=8+a+b

Solución:

Y X

5  0,32 8ab

1 b  0,45 8ab a2  0,48 8ab

a= 1,6 b= 6,03 entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 9. En un tipo de empresas, siendo "X" el número de empleados e "Y" la producción, se ha obtenido la información que recoge la tabla:

0 - 15

15 - 25

25 - 45

45 - 100

3–9

9 – 16

16 -28

28 - 44

En la distribución de trabajadores, determine la moda

Solución:

0 - 15 15 - 25 25 - 45 45 - 100

0,53

1,7

0,45

0,25

di 

ni Li  Li 1

El intervalo de mayor densidad de frecuencia d i  ni /( Li 1  Li ) , es el 2º:

Mo  Li 1 

d i 1 0,45  ( Li  Li 1 )  15   (25  15)  19,6 d i 1  d i 1 0,53  0,45

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 10. De una distribución de dos variables se conocen los siguientes datos: S x  1,50

R= 0,40

S y  2,45

X 7

Y 3

Obtener la recta de regresión de “Y” con respecto a “X” y de “X” con respecto a “Y”.

Solución:

Recta de Y con respecto a X: Se sabe que en la recta Y  = a+bx se cumple que: a= Y  b X

S xy S

2 x



S xy



SxSy Sx

r

Sy Sx

Por lo que:

b= 0,40 

2,45  0,65 1,50

a= 3 – 0,65  7  1,55 Y   1,55  0,65 x

Recta de X con respecto a Y:

Se cumplen aquí las relaciones siguientes.

a= X  bY

S xy S

2 y



S xy SxSy



Sx Sx r Sy Sy

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección

Que en este caso serán: b= 0,40 

1,50  0,245 2,45

a= 7 – 0,245  3  6,265 X   6,265  0,245 Y

11. Se hace un estudio sobre 45 empresas que invierten en publicidad por primera vez, observando la inversión "X" en publicidad y el porcentaje "Y" de variación de beneficio, con los siguientes resultados:

0 - 30

30 - 60

60 - 110

110 - 160

30 – 50

50 – 120

120 – 170

170 – 200

Determine la mediana de "Y". ¿Qué inversión en publicidad es más frecuente?

Solución: La mediana de Y está en el intervalo 30– 60, que es el primero con frecuencia absoluta acumulada mayor o igual que N/2=45/2=22,5.

Me  Li 1 

25  N i 1 25  11  ( Li  Li 1 )  30   60  30  90 ni 7

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección

0 - 30 30 - 60 60 - 110 110 - 160

Frec. Abs.

Frec. Abs. Acum.

- La moda de x está en 30-50, por ser el de mayor densidad de frecuencia.

Mo  Li 1 

d i 1 0,18  ( Li  Li 1 )  30   (50  30)  50 d i 1  d i 1 0  0,18

30 – 50 50 – 120 120 – 170 170 – 200

0,45

0,18

0,04

0,03

12. Del ejercicio 11, calcular la media y la varianza de la inversión en las empresas que obtuvieron variación de beneficios entre el 60 y el 110%. ¿Cuál es la inversión mínima del 20% de las empresas con mayor inversión en publicidad?

Solución:

60% - 110%

30 – 50

50 – 120

170 – 200

Frec. Abs.

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Media =

1245 11

40 2  2  85 2  5  185 2  4  1245  Varianza =    1455,3 254  11  2

- El percentil 80 de X está en el intervalo 120 – 170, que es el primero con frecuencia absoluta acumulada mayor o igual que 80  N / 100  80  45 / 100  36

P80  Li 1 

40  N i 1 40  33  ( Li  Li 1 )  120   (170  120) =178,3 ni 6

30 – 50 50 – 120 120 – 170 170 – 200

13. Sea la tabla:

0-4

4-6

6-8

0-10

10-20

20-30

Determine las medias aritmética, geométrica y armónica de "Y", y S y2

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

La distribución marginal de Y es

0-4 4-6 6-8

Frec. Abs. 26

Tomamos la marca de clase de cada intervalo como representativa

Y

2  26  5  26  7  37  4,96 26  26  37

G  89 2 26  5 26  7 37  4,4

26  26  37  3,8 26 26 37   2 5 7

S y2 

2 2  26  5 2  26  7 2  37  4,96 2  4,24 26  26  37

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 14. Cinco niños de 3, 5, 7, 9 y 10 años pesan, respectivamente, 17, 22, 34, 38 y 41 Kg. Hallar la recta de regresión mínimo cuadrático del peso con respecto a la edad y el coeficiente de determinación correspondiente.

Edad

Peso

Solución:

xi2

xi y i

xi2 y i

y i2

153

289

110

550

484

238

1666

1156

342

3078

1444

100

410

4100

1681



152



264



1151

9547

5054

Recta de “Y” con respecto a “X” es:

152=5a+34b

 6,8

1151=34a+264b

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección -34a-231,2b= - 1033,6 34a+264 b =1151

32,8b=117,4

b=3,58 a=6,1  Y* = 6,1 +3,58X

Ahora para calcular el coef. de determinación.

r2 =

s xy2 s x2 s y2

s xy =

1151 34 152 . = 23,48 5 5 5

s x2 =

264 34 - ( ) 2 = 6,56 5 5

s y2 =

5054 152 2 -( ) = 86,64 5 5

Con lo que,

r2 =

551,3 = 0,97 = 97% 6,56  86,64

entretencionx1000.cl

Estad铆stica Bivariada Nivel de Proyecci贸n 15. De la tabla de correlaci贸n entre X e Y se conocen las frecuencias absolutas de la distribuci贸n marginal de X y las frecuencias relativas de las distribuciones condicionadas de Y para cada valor de X:

Frecuencia

0,4

0,7

0,2

0,5

0,8

0,32

0,6

0,23

0,42

absoluta

X=1 Y Frecuencia relativa

X=2 Y Frecuencia absoluta

X=3 Y Frecuencia absoluta

Calcular la media y la varianza de X/Y=5

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

Y=5

Frecuencia

absoluta

Media =

3  4  4  3  5  2 34   3,8 43 2 9

Varianza=

32  4  4 2  3  5 2  2 34 2  ( )  0,617 43 2 9

16. Calcular la elasticidad de la variable “Y” con respecto a la “X” en base a los siguientes datos.

Solución: Sabiendo que E= b, siendo b el exponente de la función potencial Y  ax b , Buscar el coeficiente de regresión de la función logarítmica. log Y  log a  b log X

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección

Logy=y` Logx=x`

x`y`

0,8

0,24

0,64

0,95

0,9025

0,85

0,5

0,30

0,15

0,09

0,3



1,65



2,05



0,39  1,6325

Haciendo logy =y` y logx=x` la formula de b al aplicar será: n

 X ' y'  X  Y b

S x` y ` S x`



i 1



 X i`

i 1

` i



i 1

n `   Xi    i1   N   

N 2

0,39 2,05 1,65   4 4 4   0,11  0,73  2 0,15 1,6325  2,05    4  4 

17. Dada la distribución bidimensional:

Encuentra el valor del coeficiente de correlación lineal usando una tabla de correlación

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución: Se usa la siguiente tabla de doble entrada que facilita los cálculos: X 1

n’j

nj’yj

2 2 6 18 30

1 4 1 4 10 =19 =41 =78

2 12 4 20 =38

n’jyj2

nijxiyj

Y 2 3 4 5

1 2

ni nixi nixi2 nijxiyj

3 3 3 7

2 1 2 5 10 20 40

4 2 36 18 16 8 100 50 =156 =78

De aquí se tiene: x=

19 = 1,9 10

38 = 3,8 10

Sx2= 4,1 - (1,9)2= 0,49 Sx =0,7 Sy2=15,6 - (3,8)2= 1,16 Sy = 1,077 Sxy = 7,8 - (1,9)(3,8)= 0,58.

Luego

0,58 = 0,769 (0,7)(1,077)

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 18. En una muestra de 64 familias se han estudiado el número de miembros en edad laboral, X, y el número de ellos que están en activo, Y. Los resultados son los de la tabla. Calcular el coeficiente de correlación lineal entre ambas variables e interpretarlo.

Solución: Se usa la siguiente tabla de doble entrada que facilita los cálculos: X 1

n’j

6 10 12 16 44 44 44 126

0 2 5 8 15 30 60 102

0 0 1 4

6 12 18 28 =64 =89 =14 =28 9 5

nj’yj

n’jyj2

nijxiyj

Y 1 2 3 4 ni nixi nixi2 nijxiyj

5 15 45 57

6 6 6 24 48 28 54 162 75 112 448 176 =196 =664 =285

De aquí se tiene: x=

89 = 1,390625 64

Sx2= 2,328125 - (1,390625)2= 0,394

196 = 3,0625 64

Sx = 0,63

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Sy2=10,375 - (3,0625)2= 0,996

Sy = 0,998

Sxy = 4,453125 - (1,390625)(3,0625)= 0,1943

Luego

0,1943 = 0,31 (0,63)(0,998)

La relación entre las variables es débil

19. La siguiente tabla muestra los datos obtenidos al probar 12 muestras de una aleación metálica, desde el punto de vista de su dureza y resistencia de tensión.

a) Representar el diagrama de dispersión de estos datos b) Trazar la línea que se aproxime a los datos. c) Encontrar la ecuación de esta línea.

Resistencia de tensión Dureza 1,7

1,6

1,8

1,6

1,5

1,6

1,4

1,7

1,5

1,7

1,5

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

(a) Dureza 9 8 70 6 50 4 3 2 1 0 0

0,5

1 1, Resistencia de tensión

(b) Aunque se pueden trazar varias líneas rectas que se aproximen a estos datos, la línea mostrada en el gráfico, contiene un igual número de puntos arriba y debajo de ella.

90 80 70 60 Dureza

50 40 30 20 10 0 0

0,5

1,5

Resistencia de tensión

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección (c) Como esta línea de aproximación pasa por los puntos (1,5 , 59) y (1,8 80)

t1  1,5 t 2  1,8 x(t 1 )  59 x(t 2 )  80

Por consiguiente, la ecuación de la línea recta es:

x(t )  59 

80  59 (t  1,5), 1,8  1,5

Al simplificar, se obtiene que: x(t )  70t  46

20. Las temperaturas simultáneas de dos ciudades se registran durante cuatro días diferentes. Calcular la covarianza y el coeficiente de correlación para los valores registrados que aparecen en la siguiente tabla.

Ciudad

Temperaturas

Solución:

Si se toman los x i para denotar la temperaturas en la ciudad A, y los y i para denotar las temperaturas en la ciudad B, entonces

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección

x1  50

y1  56

x 2  34

y 2  42

x3  62

y 3  64

x 4  30

y 4  42

Los cálculos para x, y, s x , y s y se muestran en la siguiente tabla X ' X  X Y' Y Y

X '2

Y '2

X 'Y '

-10

-9

100

324

169

234

-14

-9

196

126

x  44

y  51

62 30

 x  176  y  204

 x'

 656

 y'

 356

 x' y'  480

Con los datos encontrados en la tabla, podemos obtener:

s x2 

1 2 1 x'  (656)  164 n 4

s y2 

1 2 1 y'  (356)  89 n 4

La covarianza es: C xy 

1 4 480 x i 'y i '   120  n i 1 4

Ahora con n = 4, el coeficiente de correlación es 4

r

 (x i 1

 x)( yi  y ) ns x s y



C xy sx s y



120  0,993. 120,8

De esta manera, los datos muestran correlación alta positiva.

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 21. En la siguiente tabla aparecen las edades y las calificaciones en ciencia política correspondientes a ocho estudiantes escogidos aleatoriamente en un curso de primer año. Edad (X) Calificación en porcentajes(Y) 18

Calcular el coeficiente de correlación y analizar su significado con la población bivariante, de la cual, se tomó esta muestra.

Solución:

X ' X  X Y' Y Y

X '2

Y '2

X 'Y '

-5

0,25

2,5

0,5

0,25

225

7,5

1,5

2,25

225

22,5

-2,5

-15

6,25

225

37,5

2,5

6,25

12,5

-1,5

-15

2,25

225

22,5

-0,5

0,25

2,5

0,5

-5

0,25

-2,5

x  18,5

y  75

-0,5

 x  148  y  600

 x'

 18,00

entretencionx1000.cl

 y'

 1000

 x' y'  105,0

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Por la tabla:

s x2 

1 2 1 x'  (18,00)  2,25 n 8

s y2 

1 2 1 y'  (1000,00)  125,00 n 8

La covarianza es: C xy 

1 n 1 xi 'yi '  (105,00)  13,13  n i 1 8

Ahora con n = 4, el coeficiente de correlación es: 4

r

 (x i 1

 x)( yi  y ) ns x s y



C xy sx s y



13,13  0,78. 16,77

Existe una correlación positiva alta entre la edad y las calificaciones para este curso. Por lo tanto, se puede concluir que los estudiantes de más edad tienden a ser mejores en ciencias políticas.

22. Determinar la ecuación de la línea de regresión para los datos del ejercicio 20.

Solución:

La ecuación de la línea de regresión es

y e ( x)  y  r

sy sx

( x  x)

Utilizando los valores para r, y, x, s y , y s x calculados en el problema 20, tenemos que:

y e ( x)  51  0,993

89 ( x  44)  51  0,73( x  44) 164

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 23. Demostrar que -1  r  1

Solución:

El cuadrado del coeficiente de correlación es: n

r2  1

(y i 1 n

(y i 1

 ye ) 2

 y) 2

El valor de la estimación mínimo cuadrática de “y”, o la coordenada “y” de la línea de regresión, que corresponde a los puntos y i de los datos, es y e . De esta manera,

i 1

 ( yi  ye )2   ( yi  y) 2 Dado que, por definición, y e minimiza la suma del cuadrado de los errores. De esta manera,

r2  1, y por lo tanto, -1  r  1 .

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 24. Demostrar que el coeficiente de correlación r es la media geométrica de las pendientes b y b’ de las líneas de regresión

y e = a+bx x e = a’+b’x, Esto es, demostrar que: r= bb'

Solución:

Las ecuaciones de las líneas de regresión se pueden expresar en términos del coeficiente de correlación r, es decir,

ye  y  r

xe  x  r

sx ( y  y) sy

( x  x)

Igualando estas pendientes a b y b’ b= r

sy sx

b’= r

sx sy

Por consiguiente,

 s y  s bb'   r  r x   s x  s y

   r2  r  

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 25. Las temperaturas simultáneas de dos ciudades se registran en cuatro días diferentes. El coeficiente de correlación r para los valores registrados es 0,987. ¿Difiere r significativamente de cero? Utilizar los niveles de significación 5% y 1%.

Solución:

Como el número de datos (n = 4) utilizado es tan pequeño, no implica necesariamente que r = 0,987 indique correlación alta. Utilizando la tabla del nivel de significación del 5% y 1 %, con v = n – 2 = 2 grados de libertad; r = 0,950 al nivel de significación del 5%

r = 0,990 al nivel de significación del 1%

De esta manera, el valor calculado es significativo al nivel del 5% pero no al del 1%, ya que 0,987 excede a 0,950 pero no a 0,990.

Por consiguiente, el valor dado de r es probablemente significativo y se necesitarían más datos para sustentar la conclusión de que los datos son altamente correlacionados.

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 26. utilizar el estadístico t para resolver el problema 25

Solución:

Puesto que r = 0,987 y n = 4, el estadístico

t

r n2 1 r2



0,987 2 1 r2

 8,65

Tiene distribución t student. Con v = n – 2 = 2 grados de libertad,

t = 4,303 al nivel de significación del 5% t = 9,925 al nivel de significación del 1%

De esta manera, la conclusión es la misma que para el problema 25.

27. Determinar el número aproximado de muestras de dos variables requeridas para establecer que el coeficiente de correlación entre las variables es 0,20.

Solución:

Según la tabla de significación, el valor de r = 0,20 se logra cuando el número v de grados está entre 90 y 100, al nivel de significación del 5%, y cuando v está entre 150 y 200, al nivel de significación del 1%. Como v = n – 2, el número de muestras que se necesitarían sería n = v + 2; esto es,

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección n  100 al nivel de significación del 5% n  200 al nivel de significación del 1%

28. El coeficiente de correlación de una muestra con n = 39 es 0,8. determinar si esta muestra fue tomada de una población cuyo coeficiente de correlación es 0,6 al nivel de significación del 5%.

Solución: Como n = 39, r = 0,8 y  =0,6

1  1  r  1  1  0,8  1 1 ln    ln 9  2,197   1,099,   ln  2  1  r  2  1  0,8  2 2 1  1    1  1  0,6  1 1   ln   z  ln    ln 4  1,386  0,693, 2  1    2  1  0,6  2 2 z

z 

1 n3



1 39  3



1  0,167 6

La cantidad

z  z

z



1,099  0,693  2,43 0,167

Es el valor de la variable normal con media cero y varianza unitaria. Al nivel de significación del 5%, según la tabla de significación, Z=1,96. Como el valor calculado es mayor que 1,96, se rechaza la hipótesis de que el coeficiente de correlación poblacional es 0,6.

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 29. Ajustar una parábola de 2ª orden por el método de los mínimos cuadrados

Solución:

Yi ni

X i Yi ni

X i ni

120

360

135

405

336

2016

252

1512

9072

450

4050

810

7290

65610

162



169



965



6593



154



1126



8992



75250

5 5 5  2 Y n  a  n  b X n  c X i ni   i i  i i  i 1 i 1  i 1  169  25a  154b  1126c  5 5 5 5  3   2  X i Yi ni  a   X i ni  b X i ni  c  X i ni   965  154a  1126b  8992c  i 1 i 1 i 1  i 1    6593  1126 a  8992 b  75250 c  5 5 5 5 2  4 2 3  X i Yi ni  a   X i ni  b X i ni  c  X i ni  i 1 i 1 i 1  i 1 

a =4,265 b = 1,83 c = - 0,195 * 2 Con lo que: Y  4,265  1,83 X  0,195 X

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 30. Ajustar una parábola de 2ª orden por el método de los mínimos cuadrados

-----

------

Solución:

Yi ni

X i Yi ni

X i ni

216

2592

108

1296

15552

186624

224

112

448

1792

918

15606

153

2601

44217

751689

432

3888

648

5832

52488

189

1890

18900

210

2100

21000

210000



323

3512

41210

571

6757

87049

1202593

5 5 5  2 Y n  a  n  b X n  c X i ni    i i i i   i 1 i 1  i 1  323  54a  571b  6757c  5 5 5 5  3   2  X i Yi ni  a   X i ni  b X i ni  c  X i ni   3512  571a  6757b  87049c  i 1 i 1 i 1  i 1    41210  6757 a  87049 b  1202593 c  5 5 5 5 2  4 2 3  X i Yi ni  a   X i ni  b X i ni  c  X i ni  i 1 i 1 i 1  i 1 

a =-2,686 b = 1,643 c = - 0,0695 * 2 Con lo que: Y  2,686  1,643 X  0,0695 X

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 31. Ajustar una parábola de 2ª orden por el método de los mínimos cuadrados

-----

Solución:

Yi ni

X i Yi ni

X i ni

128

512

192

1536

12288

108

324

108

324



101



106



626



270



1786



13146

5 5 5  2 Y n  a  n  b X n  c X i ni    i i i i   i 1 i 1  i 1  101  16a  52b  270c  5 5 5 5  3   2  X i Yi ni  a   X i ni  b X i ni  c  X i ni   106  52a  270b  1786c  i 1 i 1 i 1  i 1    626  270 a  1786 b  13146 c  5 5 5 5 2  4 2 3  X i Yi ni  a   X i ni  b X i ni  c X i ni  i 1 i 1 i 1  i 1 

a =40,7 b = -22,03 c = 2,204 * 2 Con lo que: Y  40,7  22,03 X  2,204 X

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 32. Ajustar una parábola de 2ª orden por el método de los mínimos cuadrados

-----

Solución:

Yi ni

X i Yi ni

X i ni

300

375

1875

171

198

1782

16038

198

1782

16038

144342

594

6534

726

7986

87846

140

2520

45360

180

3240

58320

1049760



575



5127



68403



478



5842



82738



1283842

5 5 5  2 Y n  a  n  b X n  c X i ni    i i i i   i 1 i 1  i 1  575  60a  478b  5842c  5 5 5 5  3   2  X i Yi ni  a   X i ni  b X i ni  c  X i ni   5127  478a  5842b  82738c  i 1 i 1 i 1  i 1    68403  5842 a  82738 b  1283842 c  5 5 5 5 2  4 2 3  X i Yi ni  a   X i ni  b X i ni  c  X i ni  i 1 i 1 i 1  i 1 

a =9,135 b = -0,41 c = 0,038 * 2 Con lo que: Y  9,135  0,41X  0,038 X

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 33. Ajustar una parábola de 2ª orden por el método de los mínimos cuadrados

-----

Solución:

Yi ni

X i Yi ni

X i ni

204

2448

29376

144

1728

20736

248832

396

5148

66924

286

3718

48334

628342

468

6552

91728

364

5096

71344

998816

144

2160

32400

120

1800

27000

405000

342

5472

87552

288

4608

73728

1179648

 86  1554  21780  307980  1202  16950  241142  3460638 5 5 5  2 Y n  a  n  b X n  c X i ni   i i  i i  i 1 i 1  i 1  1554  86a  1202b  16950c  5 5 5 5  3   2  X i Yi ni  a   X i ni  b X i ni  c X i ni   21780  1202a  16950b  241142c  i 1 i 1 i 1  i 1    307980  16950 a  241142 b  3460638 c  5 5 5 5 2  4 2 3  X i Yi ni  a   X i ni  b X i ni  c  X i ni  i 1 i 1 i 1  i 1 

a =12,474 b = 0,4 c = 0,0000004973 * 2 Con lo que: Y  12,474  0,4 X  0,0000004973 X

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 34. Ajustar una parábola de 2ª orden por el método de los mínimos cuadrados

-----

Solución:

Yi ni

X i Yi ni

X i ni

896

14336

128

2048

32768

524288

875

21875

125

3125

78125

1953125

609

17661

2523

73167

2121843

 23  131  2400  53894  348  7706  184074  4599278 5 5 5  2 Y n  a  n  b X n  c X i ni   i i  i i  i 1 i 1  i 1  131  23a  348b  7706c  5 5 5 5  3   2  X i Yi ni  a   X i ni  b X i ni  c X i ni   2400  348a  7706b  184074c  i 1 i 1 i 1  i 1    53894  7706 a  184074 b  4599278 c  5 5 5 5 2  4 2 3  X i Yi ni  a   X i ni  b X i ni  c  X i ni  i 1 i 1 i 1  i 1 

a =2,2534 b = 0,454 c = - 0,01 * 2 Con lo que: Y  2,2534  0,454 X  0,01X

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 35. Ajustar una parábola de 2ª orden por el método de los mínimos cuadrados

-----

Solución:

Yi ni

X i Yi ni

X i ni

297

891

156

936

468

2808

16848

288

2592

144

1296

11664

104976

720

8640

240

2880

34560

414720

189

1323

441

3087

21609



156



1386



13590



558



5184



52416



559044

5 5 5  2 Y n  a  n  b X n  c X i ni   i i  i i  i 1 i 1  i 1  156  69a  558b  5184c  5 5 5 5  3   2  X i Yi ni  a   X i ni  b X i ni  c  X i ni   1386  558a  5184b  52416c  i 1 i 1 i 1  i 1    13590  5184 a  52416 b  559044 c  5 5 5 5 2  4 2 3  X i Yi ni  a   X i ni  b X i ni  c  X i ni  i 1 i 1 i 1  i 1 

a =0,0756 b = 0,395 c = - 0,0134 * 2 Con lo que: Y  0,0756  0,395 X  0,0134 X

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 36. Ajustar una parábola de 2ª orden por el método de los mínimos cuadrados

-----

Solución:

Yi ni

X i Yi ni

X i ni

108

432

192

768

350

1750

175

875

4375

360

2160

216

1296

7776

140

980

686

4802



185



982



5394



100



546



3076



17802

5 5 5  2 Y n  a  n  b X n  c X i ni   i i  i i  i 1 i 1  i 1  185  19a  100b  546c  5 5 5 5  3   2  X i Yi ni  a   X i ni  b X i ni  c  X i ni   982  100a  546b  3076c  i 1 i 1 i 1  i 1    5394  546 a  3076 b  17802 c  5 5 5 5 2  4 2 3  X i Yi ni  a   X i ni  b X i ni  c X i ni  i 1 i 1 i 1  i 1 

a =1,394 b = 2,903 c = - 0,241 * 2 Con lo que: Y  1,394  2,903 X  0,241X

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 37. Según los siguientes datos:

X 6

Yi 2

Probar que ambas rectas de regresión se cortan en el punto ( X ,Y )

Solución:

Xi 6 4 1 9



Yi 2 1 8 5



Xi 36 16 1 81



134

X i Yi 12 4 8 45



X i Yi 24 4 64 225



317

Yi 4 1 64 25



Recta de Y con respecto a X:

Y

X Y

i i

 aN  b X i  a X i b X i2

4 a + 20b=16 20 a + 134b=69

a= 5,62 b= - 0,324 Donde Y   5,62  0,324 X

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Recta de X respecto a Y:

X X Y

i i

 aN  bYi

 aYi  bYy2

4 a+16b=20 16a + 94b=69

a= 6,467 b=- 0,367 Donde: X   6,467  0,367Y

Mediante la resolución del sistema de ecuaciones formado por ambas rectas se obtendrá el punto, en el cual, se cortarían: Y= 5,62 – 0,324X X= 6,467 – 0,367Y

X= 4,99887 Y= 4,00037

De donde se puede deducir que las rectas de regresión se cortan en el punto:

X  4,99887 e Y  4,00037

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 38. Según los siguientes datos:

X 11

Yi 4

Probar que ambas rectas de regresión se cortan en el punto ( X ,Y )

Solución:

Xi 11 21 3 9 10



Yi 4 15 24 9 16



X i Yi 44 315 72 81 160

Xi 121 441 9 81 100



752



672

X i Yi 176 4725 1728 729 2560



9918

Yi 16 225 576 81 256



1154

Recta de Y con respecto a X:

Y

X Y

i i

 aN  b X i  a X i b X i2

5 a + 54b=68 54 a + 752b=672

a= 17,59 b= - 0,3697

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Donde Y   17,59  0,3697 X

Recta de X respecto a Y:

X X Y

i i

 aN  bYi

 aYi  bYy2

5 a+68b=54 68a + 1154b=672

a= 14,5 b= - 0,27 Donde: X   14,5  0,27Y

Mediante la resolución del sistema de ecuaciones formado por ambas rectas se obtendrá el punto, en el cual, se cortarían:

Y= 17,59– 0,3697X X= 14,5 – 0,27Y

X= 10,8319 Y= 13,5854

De donde se puede deducir que las rectas de regresión se cortan en el punto:

X  10,8319 e Y  13,5854

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 39. Según los siguientes datos:

Probar que ambas rectas de regresión se cortan en el punto ( X ,Y )

Solución:

Xi 6 19 28 33 17 9



112

Yi 1 15 22 20 38 13



Y Xi i 6 285 616 660 646 117

Xi 36 361 784 1089 289 81

109



2640



2330

X i Yi 6 4275 13552 13200 24548 1521



57102

Yi 1 225 484 400 1444 169



2723

Recta de Y con respecto a X:

Y

X Y

i i

 aN  b X i  a X i b X i2

6a + 112b=109 112a + 2640b=2330

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección a= 8,1311 b= 0,54 Donde Y   8,1311  0,54 X

Recta de X respecto a Y:

X X Y

i i

 aN  bYi

 aYi  bYy2

6a+109b=112 109a + 2723b=2330

a= 11,444 b= 0,398 Donde: X   11,444  0,398Y

Mediante la resolución del sistema de ecuaciones formado por ambas rectas se obtendrá el punto, en el cual, se cortarían:

Y= 8,1311+0,54X X= 11,444 +0,398Y

X= 18,699 Y= 18,2285

De donde se puede deducir que las rectas de regresión se cortan en el punto:

X  18,699 e Y  18,2285

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 40. Según los siguientes datos:

Probar que ambas rectas de regresión se cortan en el punto ( X ,Y )

Solución:

Xi 28 30 33 37 41 39 44



252

Yi 45 20 27 33 30 18 17



190

Y Xi i 1260 600 891 1221 1230 702 748

Xi 784 900 1089 1369 1681 1521 1936



9280



6652

X i Yi 56700 12000 24057 40293 36900 12636 12716



195302

Yi 2025 400 729 1089 900 324 289



5756

Recta de Y con respecto a X:

Y

X Y

i i

 aN  b X i  a X i b X i2

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 7a + 252b=190 252a + 9280b=6652

a= 59,68 b= -0,9 Donde Y   59,68  0,9 X

Recta de X respecto a Y:

X X Y

i i

 aN  bYi

 aYi  bYi 2

7a+190b=252 190a + 5756b=6652

a= 44,521 b= - 0,314 Donde: X   44,521  0,314Y

Mediante la resolución del sistema de ecuaciones formado por ambas rectas se obtendrá el punto, en el cual, se cortarían:

Y= 59,68 - 0,9X X= 44,521 - 0,314Y X= 35,9374 Y= 27,3364

De donde se puede deducir que las rectas de regresión se cortan en el punto:

X  35,9374 e Y  27,3364 entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 41. Según los siguientes datos:

X 63

Yi 20

Probar que ambas rectas de regresión se cortan en el punto ( X ,Y )

Solución:

Xi 63 49 20 59 53 62 29



335

Yi 20 39 72 87 48 32 93



391

Y Xi i 1260 1911 1440 5133 2544 1984 2697

Xi 3969 2401 400 3481 2809 3844 841



17745



16969

X i Yi 25200 74529 103680 446571 122112 63488 250821



1086401

Yi 400 1521 5184 7569 2304 1024 8649



26651

Recta de Y con respecto a X:

Y

X Y

i i

 aN  b X i  a X i b X i2

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 7a + 335b=391 335a + 17745b=16969

a= 104,56 b= - 1,02 Donde Y   104,56  1,02 X

Recta de X respecto a Y:

X X Y

i i

 aN  bYi

 aYi  bYi 2

7a+391b=335 391a + 26651b=16969

a= 68,0962 b= - 0,3623 Donde: X   68,0962  0,3623Y

Mediante la resolución del sistema de ecuaciones formado por ambas rectas se obtendrá el punto, en el cual, se cortarían: Y= 104,56 – 1,02X X= 68,0962 - 0,3623Y

X= 47,9244 Y= 55,6771

De donde se puede deducir que las rectas de regresión se cortan en el punto:

X  47,9244 e Y  55,6771 entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 42. Según los siguientes datos:

X 83

Yi 11

Probar que ambas rectas de regresión se cortan en el punto ( X ,Y )

Solución:

Xi 83 93 29 39 58 80 21 62



465

Yi 11 29 55 69 99 78 81 37



459

Y Xi i 913 2697 1595 2691 5742 6240 1701 2294

Xi 6889 8649 841 1521 3364 6400 441 3844



31949



23873

X i Yi 10043 78213 87725 185679 568458 486720 137781 84878



1639497

Yi 121 841 3025 4761 9801 6084 6561 1369



32563

Recta de Y con respecto a X:

Y

X Y

i i

 aN  b X i  a X i b X i2

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 8a + 465b=459 465a + 31949b=23873

a= 90,524 b= - 0,5703 Donde Y   90,524  0,5703 X

Recta de X respecto a Y:

X X Y

i i

 aN  bYi

 aYi  bYi 2

8a+459b=465 459a + 32563b=23873

a= 83,98 b= - 0,451 Donde: X   83,98  0,451Y

Mediante la resolución del sistema de ecuaciones formado por ambas rectas se obtendrá el punto, en el cual, se cortarían: Y= 90,524 – 0,5703X X= 83,98 - 0,451Y X= 58,0964 Y= 57,3916

De donde se puede deducir que las rectas de regresión se cortan en el punto:

X  58,0964 e Y  57,3916 entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 43. Según los siguientes datos:

Probar que ambas rectas de regresión se cortan en el punto ( X ,Y )

Solución:

Xi 7 6 9 2 7 5 4 2



Yi 4 1 0 3 8 6 9 1



Y Xi i 28 6 0 6 56 30 36 2

Xi 49 36 81 4 49 25 16 4



264



164

X i Yi 112 6 0 18 448 180 324 2



1090

Yi 16 1 0 9 64 36 81 1



208

Recta de Y con respecto a X:

Y

X Y

i i

 aN  b X i  a X i b X i2

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 8a + 42b=32 42a + 264b=164

a= 4,483 b= - 0,092 Donde Y   4,483  0,092 X

Recta de X respecto a Y:

X X Y

i i

 aN  bYi

 aYi  bYi 2

8a+32b=42 32a + 208b=164

a= 5,45 b= - 0,05 Donde: X   5,45  0,05Y

Mediante la resolución del sistema de ecuaciones formado por ambas rectas se obtendrá el punto, en el cual, se cortarían: Y= 4,483 – 0,092X X= 5,45 - 0,05Y

X= 5,25 Y= 4

De donde se puede deducir que las rectas de regresión se cortan en el punto:

X  5,25 e Y  4 entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 44. Según los siguientes datos: X 12

Yi 32

Probar que ambas rectas de regresión se cortan en el punto ( X ,Y )

Solución:

Xi 12 31 46 87 39 96 17 56 13



397

Yi 32 2 10 33 98 26 46 86 5



338

Y Xi i 384 62 460 2871 3822 2496 782 4816 65

Xi 144 961 2116 7569 1521 9216 289 3136 169



25121



15758

X i Yi 12288 124 4600 94743 374556 64896 35972 414176 325



1001680

Yi 1024 4 100 1089 9604 676 2116 7396 25



22034

Recta de Y con respecto a X:

Y

 aN  b X i

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección

X Y

i i

 a X i b X i2

9a + 397b=338 397a + 25121b=15758

a= 32,64 b= 0,112 Donde Y   32,64  0,112 X

Recta de X respecto a Y:

X

X Y

i i

 aN  bYi

 aYi  bYi 2

9a+338b=397 338a + 22034b=15758

a= 40,6997 b= 0,091 Donde: X   40,6997  0,091Y

Mediante la resolución del sistema de ecuaciones formado por ambas rectas se obtendrá el punto, en el cual, se cortarían: Y= 32,64 + 0,112X X= 40,6997 + 0,091Y

X= 44,1196 Y= 37,5814

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección De donde se puede deducir que las rectas de regresión se cortan en el punto:

X  44,1196 e Y  37,5814

45. Según los siguientes datos: X 73

Yi 98

Probar que ambas rectas de regresión se cortan en el punto ( X ,Y )

Solución:

Xi 73 45 59 60 66 29 21 19 72



444

Yi 98 92 10 26 88 74 50 55 36



529

Xi 5329 2025 3481 3600 4356 841 441 361 5184



25618

Y Xi i 7154 4140 590 1560 5808 2146 1050 1045 2592



26085

X i Yi 701092 380880 5900 40560 511104 158804 52500 57475 93312



2001627

entretencionx1000.cl

Yi 9604 8464 100 676 7744 5476 2500 3025 1296



38885

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Recta de Y con respecto a X:

Y

 aN  b X i

X Y

i i

 a X i b X i2

9a + 444b=529 444a + 25618b=26085

a= 58,942 b= - 0,00333 Donde Y   58,942  0,00333 X

Recta de X respecto a Y:

X X Y

i i

 aN  bYi

 aYi  bYi 2

9a+529b=444 529a + 38885b=26085

a= 49,4264 b= - 0,001583 Donde: X   49,4264  0,001583Y

Mediante la resolución del sistema de ecuaciones formado por ambas rectas se obtendrá el punto, en el cual, se cortarían: Y= 58,942 - 0,00333X X= 49,4264 - 0,001583Y

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección X= 49,3334 Y= 58,7777

De donde se puede deducir que las rectas de regresión se cortan en el punto

X  49,3334 e Y  58,7777

46. Según los siguientes datos:

120

172

110

169

130

198

140

128

183

179

192

155

173

143

117

182

102

160

138

166

Probar que ambas rectas de regresión se cortan en el punto ( X ,Y )

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

Xi 120 110 130 140 183 192 173 117 102 138



1405

Yi 172 169 198 128 179 155 143 182 160 166



1652

X i Yi 20640 18590 25740 17920 32757 29760 24739 21294 16320 22908

Xi 14400 12100 16900 19600 33489 36864 29929 13689 10404 19044



206419

230668

X i Yi 3550080 3141710 5096520 2293760 5863503 4612800 3537677 3875508 2611200 3802728



38385486

Yi 29584 28561 39204 16384 32041 24025 20449 33124 25600 27556



276528

Recta de Y con respecto a X:

Y

 aN  b X i

X Y

i i

 a X i b X i2

10a + 1405b=1652 1405a + 206419b=230668

a= 187,61 b= - 0,1595 Donde Y   187,61  0,1595 X

Recta de X respecto a Y:

X X Y

i i

 aN  bYi

 aYi  bYi 2

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 10a+1652b=1405 1652a + 276528b=230668

a= 206,1672 b= - 0,398 Donde: X   206,1672  0,398Y

Mediante la resolución del sistema de ecuaciones formado por ambas rectas se obtendrá el punto, en el cual, se cortarían: Y= 187,61 - 0,1595X X= 206,1672 - 0,398Y

X= 140,412 Y= 165,214

De donde se puede deducir que las rectas de regresión se cortan en el punto:

X  140,412 e Y  165,214

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 47. De una distribución de dos variables se conocen los siguientes datos: R= 0,64, S x  1,56, S y  2,29, X  7, Y  3

Obtener la recta de regresión de Y con respecto a X y de X con respecto a Y.

Solución:

Recta de Y con respecto a X: 

Se sabe que en la recta Y = a+bx se cumple que:

a= Y  b X

S xy

S x2



S xy



SxSy Sx

r

Sy Sx

Por lo que:

b= 0,64 

2,29  0,94 1,56

a= 3 – 0,94  7  3,58

Y   3,58  0,94 x

Recta de X con respecto a Y: Se cumplen aquí las relaciones siguientes.

a= X  bY

S xy S

2 y



S xy SxSy



Sx Sx r Sy Sy

Que en este caso serán:

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección b= 0,64 

1,56  0,43 2,29

a= 7– 0,43  3  5,71

X   5,71  0,43 Y

48. De una distribución de dos variables se conocen los siguientes datos: R= 0,12, S x  2,45, S y  1,65, X  12, Y  14

Obtener la recta de regresión de Y con respecto a X y de X con respecto a Y.

Solución:

Recta de Y con respecto a X: 

Se sabe que en la recta Y = a+bx se cumple que:

a= Y  b X

S xy S

2 x



S xy



SxSy Sx

r

Sy Sx

Por lo que:

b= 0,12 

1,65  0,081 2,45

a= 14 – 0,081  12  13,028

Y   13,028  0,081x

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Recta de X con respecto a Y: Se cumplen aquí las relaciones siguientes.

a= X  bY

S xy S

2 y



S xy SxSy



Sx Sx r Sy Sy

Que en este caso serán:

b= 0,12 

2,45  0,1782 1,65

a= 12– 0,1782  14  9,5052

X   9,5052  0,1782 Y

49. De una distribución de dos variables se conocen los siguientes datos: R= 0,98, S x  3,67, S y  2,81, X  21, Y  19

Obtener la recta de regresión de Y con respecto a X y de X con respecto a Y.

Solución:

Recta de Y con respecto a X: 

Se sabe que en la recta Y = a+bx se cumple que:

a= Y  b X

S xy S x2



S xy



SxSy Sx

r

Sy Sx

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Por lo que:

b= 0,98 

2,81  0,75 3,67

a= 19 – 0,75  21  3,25

Y   3,25  0,75 x

Recta de X con respecto a Y: Se cumplen aquí las relaciones siguientes.

a= X  bY

S xy S

2 y



S xy SxSy



Sx Sx r Sy Sy

Que en este caso serán:

b= 0,98 

3,67  1,2799 2,81

a= 21– 1,2799  19  3,3181

X   3,3181  1,2799 Y

50. De una distribución de dos variables se conocen los siguientes datos: R= 0,56, S x  1,72, S y  3,46, X  33, Y  42

Obtener la recta de regresión de Y con respecto a X y de X con respecto a Y.

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

Recta de Y con respecto a X: 

Se sabe que en la recta Y = a+bx se cumple que:

a= Y  b X

S xy

S x2



S xy



SxSy Sx

r

Sy Sx

Por lo que:

b= 0,56 

3,46  1,127 1,72

a= 42 – 1,127  33  5,04

Y   5,04  1,127 x

Recta de X con respecto a Y: Se cumplen aquí las relaciones siguientes.

a= X  bY

S xy S

2 y



S xy SxSy



Sx Sx r Sy Sy

Que en este caso serán:

b= 0,56 

1,72  0,278 3,46

a= 33– 0,278  42  21,324

X   21,324  0,278 Y

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 51. De una distribución de dos variables se conocen los siguientes datos: R= 0,87, S x  0,62, S y  1,17, X  16, Y  9

Obtener la recta de regresión de Y con respecto a X y de X con respecto a Y.

Solución:

Recta de Y con respecto a X: 

Se sabe que en la recta Y = a+bx se cumple que:

a= Y  b X

S xy

S x2



S xy



SxSy Sx

r

Sy Sx

Por lo que:

b= 0,87 

1,17  1,642 0,62

a= 9 – 1,642  16  17,272

Y   17,272  1,642 x

Recta de X con respecto a Y: Se cumplen aquí las relaciones siguientes.

a= X  bY

S xy S

2 y



S xy SxSy



Sx Sx r Sy Sy

Que en este caso serán:

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección b= 0,87 

0,62  0,461 1,17

a= 16– 0,461  9  11,851

X   11,851  0,461 Y

52. De una distribución de dos variables se conocen los siguientes datos: R= 0,11, S x  1,75, S y  1,81, X  17, Y  26

Obtener la recta de regresión de Y con respecto a X y de X con respecto a Y.

Solución:

Recta de Y con respecto a X: 

Se sabe que en la recta Y = a+bx se cumple que:

a= Y  b X

S xy S

2 x



S xy



SxSy Sx

r

Sy Sx

Por lo que:

b= 0,11 

1,81  0,114 1,75

a= 26 – 0,114  17  24,062

Y   24,062  0,114 x

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Recta de X con respecto a Y: Se cumplen aquí las relaciones siguientes.

a= X  bY

S xy S

2 y



S xy SxSy



Sx Sx r Sy Sy

Que en este caso serán:

b= 0,11 

1,75  0,11 1,81

a= 17– 0,11  26  14,14

X   14,14  0,11 Y

53. De una distribución de dos variables se conocen los siguientes datos: R= 0,27, S x  4,56, S y  3,26, X  46, Y  28

Obtener la recta de regresión de Y con respecto a X y de X con respecto a Y.

Solución:

Recta de Y con respecto a X: 

Se sabe que en la recta Y = a+bx se cumple que:

a= Y  b X

S xy S x2



S xy



SxSy Sx

r

Sy Sx

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Por lo que:

b= 0,27 

3,26  0,193 4,56

a= 28 – 0,193  46  19,122

Y   19,122  0,193 x

Recta de X con respecto a Y: Se cumplen aquí las relaciones siguientes.

a= X  bY

S xy S

2 y



S xy SxSy



Sx Sx r Sy Sy

Que en este caso serán:

b= 0,27 

4,56  0,378 3,26

a= 46– 0,378  28  35,416

X   35,416  0,378 Y

54. De una distribución de dos variables se conocen los siguientes datos: R= 0,29, S x  1,82, S y  1,27, X  10, Y  20

Obtener la recta de regresión de Y con respecto a X y de X con respecto a Y.

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

Recta de Y con respecto a X: 

Se sabe que en la recta Y = a+bx se cumple que:

a= Y  b X

S xy

S x2



S xy



SxSy Sx

r

Sy Sx

Por lo que:

b= 0,29 

1,27  0,202 1,82

a= 20 – 0,202  10  17,98

Y   17,98  0,202 x

Recta de X con respecto a Y: Se cumplen aquí las relaciones siguientes.

a= X  bY

S xy S

2 y



S xy SxSy



Sx Sx r Sy Sy

Que en este caso serán:

b= 0,29 

1,82  0,42 1,27

a= 10– 0,42  20  1,6

X   1,6  0,42 Y

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 55. De una distribución de dos variables se conocen los siguientes datos: R= 0,71, S x  2,63, S y  2,49, X  40, Y  30

Obtener la recta de regresión de Y con respecto a X y de X con respecto a Y.

Solución:

Recta de Y con respecto a X: 

Se sabe que en la recta Y = a+bx se cumple que:

a= Y  b X

S xy

S x2



S xy



SxSy Sx

r

Sy Sx

Por lo que:

b= 0,71 

2,49  0,67 2,63

a= 30 – 0,67  40  3,2

Y   3,2  0,67 x

Recta de X con respecto a Y: Se cumplen aquí las relaciones siguientes.

a= X  bY

S xy S

2 y



S xy SxSy



Sx Sx r Sy Sy

Que en este caso serán:

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección b= 0,71 

2,63  0,35 2,49

a= 40+0,35  30  50,5

X   50,5  0,35 Y

56. De una distribución de dos variables se conocen los siguientes datos: R= 0,44, S x  3,27, S y  3,87, X  88, Y  76

Obtener la recta de regresión de Y con respecto a X y de X con respecto a Y.

Solución:

Recta de Y con respecto a X: 

Se sabe que en la recta Y = a+bx se cumple que:

a= Y  b X

S xy S

2 x



S xy



SxSy Sx

r

Sy Sx

Por lo que:

b= 0,44 

3,87  0,52 3,27

a= 76 – 0,52  88  30,24

Y   30,24  0,52 x

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Recta de X con respecto a Y: Se cumplen aquí las relaciones siguientes.

a= X  bY

S xy S

2 y



S xy SxSy



Sx Sx r Sy Sy

Que en este caso serán:

b= 0,44 

3,27  0,372 3,87

a= 88 - 0,372  76  59,728

X   59,728  0,372 Y

57. De la siguiente distribución de dos variables, obtener su coeficiente de determinación lineal y el signo de la dependencia estadística:

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

5 4 7 9 1

2 3 2 7 5



xi2 25 16 49 81 1



172

xi y i 10 12 14 63 5



104

xi2 y i 50 48 98 567 5



768

y i2

4 9 4 49 25



2 Para calcular r

r2 =

s xy2 s x2 s y2

s xy 104 26 19 = . = 1,04 > 0 5 5 5 s x2 = 172 - ( 26 ) 2 = 7,36 5 5

s y2

91 19 2 - ( ) = 3,76 5 5

Remplazando:

r 2 = 1,0816 = 0,04 = 4% 7,36  3,76

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 58. de la siguiente distribución de dos variables, obtener su coeficiente de determinación lineal y el signo de la dependencia estadística:

Solución:

6 9 6 3 9

4 5 2 7 2



xi2 36 81 36 9 81



243

xi y i 24 45 12 21 18



120

xi2 y i 144 405 72 63 162



846

y i2 16 25 4 49 4



2 Para calcular r

r2 =

s xy2 s x2 s y2

s xy 120 33 20 = . = -2,4<0 5 5 5 s x2

243 33 2 - ( ) = 5,04 5 5

s y2

98 20 2 -( ) = 3,6 5 5

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Remplazando:

r2 =

5,76 = 0,35 = 35% 5,04  3,3

59. de la siguiente distribución de dos variables, obtener su coeficiente de determinación lineal y el signo de la dependencia estadística:

Solución:

12 34 29 87 18 19

10 23 32 18 9 16



199



xi2 144 1156 841 7569 324 361 108



10395

xi y i 120 782 928 1566 162 304



3862

xi2 y i 1440 26588 26912 136242 2916 5776



entretencionx1000.cl

199874

y i2 100 529 1024 324 81 256



2314

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 2 Para calcular r

r2 =

s xy2 s x2 s y2

s xy 3862 199 108 = . = 46,67>0 6 6 6 s x2 = 10395 - ( 199 ) 2 = 632,5 6 6

s y2

2314 108 2 -( ) = 61,67 6 6

Remplazando:

r 2 = 2178,0889 = 0,06 = 6% 632,5  61,67

60. de la siguiente distribución de dos variables, obtener su coeficiente de determinación lineal y el signo de la dependencia estadística:

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

11 12 13 14 15 16 17

22 21 2 4 3 56 32



xi2 121 144 169 196 225 256 289



140

xi y i 242 252 26 56 45 896 544

1400



2061

xi2 y i 2662 3024 338 784 675 14336 9248



31067

y i2

484 441 4 16 9 3136 1024



5114

2 Para calcular r

r2 =

s xy2 s x2 s y2

s xy 2061 98 140 = . = 14,43>0 7 7 7 s x2 = 1400 - ( 98 ) 2 = 4 7 7

s y2

5114 140 2 -( ) = 330,57 7 7

Remplazando:

r 2 = 208,2249 = 0,16 = 16% 4  330,57

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 61. de la siguiente distribución de dos variables, obtener su coeficiente de determinación lineal y el signo de la dependencia estadística:

Solución:

44 32 56 12 34 87 90

11 21 64 47 43 88 10



355



284

xi2 1936 1024 3136 144 1156 7569 8100



xi y i 484 672 3584 564 1462 7656 900

23065



15322

xi2 y i 21296 21504 200704 6768 49708 666072 81000



1047052

y i2

121 441 4096 2209 1849 7744 100



16560

2 Para calcular r

r2 =

s xy2 s x2 s y2

s xy 15322 355 284 = . = 131,31>0 7 7 7

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección s x2 = 23065 - ( 355 ) 2 = 723,06 7 7

s y2

16560 284 2 -( ) = 719,67 7 7

Remplazando:

r 2 = 17242,3161 = 0,03 = 3% 723,06  719,67

62. de la siguiente distribución de dos variables, obtener su coeficiente de determinación lineal y el signo de la dependencia estadística:

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

1 6 4 5 33 45 8 34

27 65 40 98 12 2 6 23



136



xi2 1 36 16 25 1089 2025 64 1156

273



xi y i 27 390 160 490 396 90 48 782

4412



2383

xi2 y i 27 2340 640 2450 13068 4050 384 26588



49547

y i2

729 4225 1600 9604 144 4 36 529



16871

2 Para calcular r

r2 =

s xy2 s x2 s y2

s xy 2383 136 273 = . = -282,25<0 8 8 8 s x2 = 4412 - ( 136 ) 2 = 262,5 8 8

s y2

16871 273 2 -( ) = 944,4 8 8

Remplazando:

r 2 = 79665,0625 = 0,32 = 32% 262,5  944,4

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 63. de la siguiente distribución de dos variables, obtener su coeficiente de determinación lineal y el signo de la dependencia estadística:

Solución:

33 24 62 11 90 99 21 10

23 5 2 78 22 98 24 45



350



297

xi2 1089 576 3844 121 8100 9801 441 100



xi y i 759 120 124 858 1980 9702 504 450

24072



14497

xi2 y i 25047 2880 7688 9438 178200 960498 10584 4500



1198835

y i2 529 25 4 6084 484 9604 576 2025



19331

2 Para calcular r

r2 =

s xy2 s x2 s y2

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección s xy 14497 350 297 = . = 187,91>0 8 8 8 s x2 = 24072 - ( 350 ) 2 = 1094,94 8 8

s y2

19331 297 2 -( ) = 1038,11 8 8

Remplazando

r2 =

35310,1681 = 0,03 = 3% 1094,94  1038,11

64. de la siguiente distribución de dos variables, obtener su coeficiente de determinación lineal y el signo de la dependencia estadística:

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

3 6 12 67 45 2 36 90 21

6 3 91 25 37 7 11 6 23



282



xi2 9 36 144 4489 2025 4 1296 8100 441



209

xi y i 18 18 1092 1675 1665 14 396 540 483

16544



5901

xi2 y i 54 108 13104 112225 74925 28 14256 48600 10143



273443

y i2

36 9 8281 625 1369 49 121 36 529



11055

2 Para calcular r

r2 =

s xy2 s x2 s y2

s xy 5901 282 209 = . = -71,96<0 9 9 9 s x2 = 16544 - ( 282 ) 2 = 856,44 9 9

s y2

11055 209 2 -( ) = 689,06 9 9

Remplazando:

r2 =

5178,2416 = 0,0087 = 0,87% 856,44  689,06

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 65. de la siguiente distribución de dos variables, obtener su coeficiente de determinación lineal y el signo de la dependencia estadística:

Solución:

6 5 38 37 65 41 2 89 20

9 22 25 90 32 49 67 8 4



303



306

xi2 36 25 1444 1369 4225 1681 4 7921 400



xi y i 54 110 950 3330 2080 2009 134 712 80

17105



s xy2

9459

xi2 y i 324 550 36100 123210 135200 82369 268 63368 1600



442989

y i2

81 484 625 8100 1024 2401 4489 64 16



17284

2 Para calcular r

r =

s x2 s y2

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección s xy 9459 303 306 = . = -93,67<0 9 9 9 s x2 = 17105 - ( 303 ) 2 = 767,1 9 9

s y2

17284 306 2 -( ) = 764,4 9 9

Remplazando:

r2 =

8774,1 = 0,01 = 1% 767,1  764,4

66. de la siguiente distribución de dos variables, obtener su coeficiente de determinación lineal y el signo de la dependencia estadística:

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

4 3 65 76 13 65 99 33 21

7 1 32 65 34 23 89 44 22



379



xi2 16 9 4225 5776 169 4225 9801 1089 441



317

xi y i 28 3 2080 4940 442 1495 8811 1452 462

25751



19713

xi2 y i 112 9 135200 375440 5746 97175 872289 47916 9702



1543589

y i2

49 1 1024 4225 1156 529 7921 1936 484



17325

2 Para calcular r

r2 =

s xy2 s x2 s y2

s xy 19713 379 317 = . = 707,1>0 9 9 9 s x2 = 25751 - ( 379 ) 2 = 1087,88 9 9

s y2

17325 317 2 -( ) = 684,4 9 9

Remplazando:

r2 =

499990,41 = 0,67 = 67% 1087,88  684,4

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 67. Calcular la elasticidad de la variable Y con respecto a la X en base a los siguientes datos

Solución: Sabiendo que E= b, siendo b el exponente de la función potencial Y  ax b , buscar el coeficiente de regresión de la función logarítmica.

log Y  log a  b log X

Yi 10 3 6 8 9

xi 8 1 7 3 5

Logy=y` 1 0,477121 0,778151 0,90309 0,954243



4,112605



Logx=x` 0,90309 0 0,845098 0,477121 0,69897 2,92427929

x`y` 0,90309 0 0,657614 0,430883 0,666987



2,6585744



x` 0,815572 0 0,714191 0,227645 0,488559

2,24596598

Haciendo logy =y` y logx=x` la formula de b a aplicar será:

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección n

 X 'Y ' b

S x` y ` S x`



N n

 Xi

i 1

N 



i 1

 X i` i 1



Y i 1

X`  i    i 1   N    n

N 2

2,6585744 2,92427929 4,112605   5 5 5   2 2,24596598  2,92427929    5 5  

0,051  0,149 0,342

68. Calcular la elasticidad de la variable Y con respecto a la X en base a los siguientes datos

Solución: b Sabiendo que E= b, siendo b el exponente de la función potencial Y  ax , buscar el

coeficiente de regresión de la función logarítmica. log Y  log a  b log X

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección

Yi 28 12 32 3 5

xi 44 35 65 32 2



Logy=y` 1,447158 1,079181 1,50515 0,477121 0,69897



5,20758051

Logx=x` 1,643453 1,544068 1,812913 1,50515 0,30103

x`y` 2,378336 1,666329 2,728706 0,718139 0,210411

6,80661405



7,7019215



x` 2,700937 2,384146 3,286655 2,265476 0,090619

10,7278332

Haciendo logy =y` y logx=x` la formula de b a aplicar será:

 X 'Y ' b

S x` y ` S x`

i 1



N n

X i 1

N 



`2 i

 X i` i 1



Y i 1

n `   Xi  i 1    N   

N 2

7,7019215 6,80661405 5,20758051   5 5 5   2 10,7278332  6,80661405    5 5  

0,123  0,421 0,292

69. Calcular la elasticidad de la variable Y con respecto a la X en base a los siguientes datos

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución: b Sabiendo que E= b, siendo b el exponente de la función potencial Y  ax , buscar el

coeficiente de regresión de la función logarítmica. log Y  log a  b log X

Yi 11 16 87 23 54 34

xi 99 29 60 19 3 21

Logy=y` 1,041393 1,20412 1,939519 1,361728 1,732394 1,531479



Logx=x` 1,995635 1,462398 1,778151 1,278754 0,477121 1,322219



8,81063243

8,31427859

x`y` 2,07824 1,760903 3,448759 1,741314 0,826562 2,024951



11,880728 4

x` 3,98256 2,138608 3,161822 1,635211 0,227645 1,748264



12,8941089

Haciendo logy =y` y logx=x` la formula de b a aplicar será:

 X 'Y ' b

S x` y ` S x`

i 1



N n

X i 1



`2 i

N 

 X i` i 1



Y i 1

X`  i    i1   N    n

N 2

11,8807284 8,31427859 8,81063243   6 6 6   2 12,8941089  8,31427859    6 6  

 0,055  0,239 0,229

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 70. Calcular la elasticidad de la variable Y con respecto a la X en base a los siguientes datos

Solución: b Sabiendo que E= b, siendo b el exponente de la función potencial Y  ax , buscar el

coeficiente de regresión de la función logarítmica. log Y  log a  b log X

Yi 8 17 48 32 76 98

xi 16 4 9 20 73 34



Logy=y` 0,90309 1,230449 1,681241 1,50515 1,880814 1,991226 9,19196979



Logx=x` 1,20412 0,60206 0,954243 1,30103 1,863323 1,531479 7,45625426



x`y` 1,087429 0,740804 1,604312 1,958245 3,504563 3,049521 11,9448736



x` 1,449905 0,362476 0,910579 1,692679 3,471972 2,345428

10,2330387

Haciendo logy =y` y logx=x` la formula de b a aplicar será:

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección n

 X 'Y ' b

S x` y ` S x`

i 1



N n

X i 1

N 



`2 i

 X i` i 1



Y i 1

X`  i    i1   N    n

N 2

11,9448736 7,45625426 9,19196979   6 6 6   2 10,2330387  7,45625426    6 6  

0,087  0,54 0,161

71. Calcular la elasticidad de la variable Y con respecto a la X en base a los siguientes datos

Solución: b Sabiendo que E= b, siendo b el exponente de la función potencial Y  ax , buscar el

coeficiente de regresión de la función logarítmica. log Y  log a  b log X

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección

Yi 4 38 16 92 83 34 64

xi 19 84 22 42 9 43 58



Logy=y` 0,60206 1,579784 1,20412 1,963788 1,919078 1,531479 1,80618



10,6064884

Logx=x` 1,278754 1,924279 1,342423 1,623249 0,954243 1,633468 1,763428 10,5198438



x`y` 0,769886 3,039945 1,616438 3,187717 1,831266 2,501623 3,185068 16,1319431



x` 1,635211 3,702851 1,802099 2,634938 0,910579 2,668219 3,109678

16,4635747

Haciendo logy =y` y logx=x` la formula de b a aplicar será: n

 X 'Y '  X  Y b

S x` y ` S x`



i 1



N n

X i 1

N 

`2 i

` i

i 1



i 1

X`  i    i1   N    n

N 2

16,1319431 10,5198438 10,6064884   7 7 7   2 16,4635747  10,5198438    7 7  

0,027  0,29 0,093

72. Calcular la elasticidad de la variable Y con respecto a la X en base a los siguientes datos

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución: b Sabiendo que E= b, siendo b el exponente de la función potencial Y  ax , buscar el

coeficiente de regresión de la función logarítmica. log Y  log a  b log X

Yi 46 54 23 87 6 4 30

xi 91 83 65 37 43 14 16



Logy=y` 1,662758 1,732394 1,361728 1,939519 0,778151 0,60206 1,477121

Logx=x` 1,959041 1,919078 1,812913 1,568202 1,633468 1,146128 1,20412



9,55373118

11,242951



x`y` 3,257411 3,324599 2,468695 3,041557 1,271086 0,690038 1,778631 15,8320169

x` 3,837843 3,682861 3,286655 2,459257 2,668219 1,313609 1,449905



18,698349

Haciendo logy =y` y logx=x` la formula de b a aplicar será: n

 X 'Y '  X  Y b

S x` y ` S x`



i 1



N n

X i 1

N 

`2 i

` i

i 1



i 1

X`  i    i1   N    n

N 2

15,8320169 11,242951 9,55373118   7 7 7   2 18,698349  11,242951    7 7  

0,0696  0,761 0,0915

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 73. Calcular la elasticidad de la variable Y con respecto a la X en base a los siguientes datos

Solución: b Sabiendo que E= b, siendo b el exponente de la función potencial Y  ax , buscar el

coeficiente de regresión de la función logarítmica. log Y  log a  b log X

Yi 84 56 72 10 3 8 22

xi 18 27 3 68 18 23 49



Logy=y` 1,924279 1,748188 1,857332 1 0,477121 0,90309 1,342423 9,25243373



Logx=x` 1,255273 1,431364 0,477121 1,832509 1,255273 1,361728 1,690196 9,30346286



x`y` 2,415495 2,502293 0,886173 1,832509 0,598917 1,229763 2,268958 11,7341071



x` 1,575709 2,048802 0,227645 3,358089 1,575709 1,854303 2,856763

13,4970194

Haciendo logy =y` y logx=x` la formula de b a aplicar será:

entretencionx1000.cl

Estadística Bivariada Nivel de Proyección n

 X 'Y ' b

S x` y ` S x`

i 1



N n

X i 1

N 



`2 i

 X i` i 1



Y i 1

X`  i    i1   N    n

11,7341071 9,30346286 9,25243373   7 7 7   2 13,4970194  9,30346286    7 7  

 0,08  0,5 0,16

74. Calcular la elasticidad de la variable Y con respecto a la X en base a los siguientes datos

Solución: b Sabiendo que E= b, siendo b el exponente de la función potencial Y  ax , buscar el

coeficiente de regresión de la función logarítmica. log Y  log a  b log X

entretencionx1000.cl

100

Estadística Bivariada Nivel de Proyección

Yi 57 42 43 78 23 16 34

xi 12 22 45 7 70 87 64

Logy=y` 1,755875 1,623249 1,633468 1,892095 1,361728 1,20412 1,531479



Logx=x` 1,079181 1,342423 1,653213 0,845098 1,845098 1,939519 1,80618



11,002013 9

10,5107117

x`y` 1,894907 2,179087 2,70047 1,599005 2,512521 2,335414 2,766127



15,9875316

x` 1,164632 1,802099 2,733112 0,714191 3,404387 3,761735 3,262286



16,8424409

Haciendo logy =y` y logx=x` la formula de b a aplicar será:

 X 'Y ' b

S x` y ` S x`

i 1



N n

X i 1



`2 i

N 

 X i` i 1



Y i 1

X`  i    i1   N    n

N 2

15,9875316 10,5107117 11,0020139   7 7 7   2 16,8424409  10,5107117    7 7  

 0,076  0,504 0,151

entretencionx1000.cl

101

Estadística Bivariada Nivel de Proyección 75. Calcular la elasticidad de la variable Y con respecto a la X en base a los siguientes datos

Solución: b Sabiendo que E= b, siendo b el exponente de la función potencial Y  ax , buscar el

coeficiente de regresión de la función logarítmica. log Y  log a  b log X

Yi 82 32 43 54 12 4 64 21

xi 23 84 93 9 24 87 67 34



Logy=y` 1,913814 1,50515 1,633468 1,732394 1,079181 0,60206 1,80618 1,322219 11,5944666



Logx=x` 1,361728 1,924279 1,968483 0,954243 1,380211 1,939519 1,826075 1,531479 12,8860168



x`y` 2,606094 2,896329 3,215455 1,653124 1,489498 1,167707 3,29822 2,024951 18,3513768

entretencionx1000.cl



x` 1,854303 3,702851 3,874925 0,910579 1,904983 3,761735 3,334549 2,345428

21,6893522

102

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Haciendo logy =y` y logx=x` la formula de b a aplicar será:

 X 'Y '  X  Y b

S x` y ` S x`



i 1



N n

X i 1

N 

`2 i

` i

i 1



i 1

X`  i    i1   N    n

N 2

18,3513768 12,8860168 11,5944666   8 8 8   2 21,6893522  12,8860168    8 8  

 0,041  0,35 0,117

76. Calcular la elasticidad de la variable Y con respecto a la X en base a los siguientes datos

Solución: b Sabiendo que E= b, siendo b el exponente de la función potencial Y  ax , buscar el

coeficiente de regresión de la función logarítmica.

entretencionx1000.cl

103

Estadística Bivariada Nivel de Proyección log Y  log a  b log X

Yi 46 52 67 80 21 34 53 18

xi 37 46 62 89 85 43 29 38



Logy=y` 1,662758 1,716003 1,826075 1,90309 1,322219 1,531479 1,724276 1,255273



12,9411726

Logx=x` 1,568202 1,662758 1,792392 1,94939 1,929419 1,633468 1,462398 1,579784 13,5778102



x`y` 2,60754 2,853298 3,273041 3,709865 2,551115 2,501623 2,521578 1,983059 22,0011175



x` 2,459257 2,764764 3,212668 3,800121 3,722657 2,668219 2,138608 2,495716 23,2620103

Haciendo logy =y` y logx=x` la formula de b a aplicar será:

 X 'Y '  X  Y b

S x` y ` S x`



i 1



N n

X i 1

N 

`2 i

` i

i 1



i 1

X`  i    i1   N    n

N 2

22,0011175 13,5778102 12,9411726   8 8 8   2 23,2620103  13,5778102    8 8  

0,00463  0,17 0,0272

77. Sea la tabla

[0-3[

[3-6[

[6-9]

entretencionx1000.cl

104

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Determine la distribución de frecuencias relativas de “X” si Y  7.

Solución Frecuencia relativa de X / Y  7: Y7 X Frec. absoluta

[0-3[

[3-6[

[6-9]

4+8=12

9+16=25

10+18=28

Y7 [0-3[

[3-6[

[6-9]

12 12  25  28

25 12  25  28

28 12  25  28

X Frec. relativa

78. Sea la tabla

[0-10[

[10-15[

[15-20]

entretencionx1000.cl

105

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Determine la distribución de frecuencias relativas de “X” si Y  32.

Solución: Frecuencia relativa de X / Y  32: Y  32 [0-10[

X Frec. absoluta

[10-15[

[15-20]

13+27+22=62 27+28+42=97 32+9+56=97

Y  32 X Frec. relativa

[0-10[

[10-15[

[15-20[

62 62  97  97

97 62  97  97

79. Sea la tabla

[0-15[

[15-30[

[30-45]

Determine la distribución de frecuencias relativas de “X” si Y  6.

entretencionx1000.cl

106

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución: Frecuencia relativa de X / Y  6: Y6 X

[0-15[

[15-30[

[30-45]

Frec.

14+3+5=22 25+32+11=68 4+22+19=45

absoluta

Y6 X Frec. relativa

[0-15[

[15-30[

[30-45]

22 22  68  45

68 22  68  45

45 22  68  45

80. Sea la tabla

[0-20[

[20-40[

[40-60]

Determine la distribución de frecuencias relativas de “X” si Y  20.

entretencionx1000.cl

107

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución: Frecuencia relativa de X / Y  20: Y  20 [0-20[

X Frec. absoluta

[20-40[

[40-60]

76+23=99 69+37=106 56+90=146

Y  20 X Frec. relativa

[0-20[

[20-40[

[40-60[

99 99  106  146

106 99  106  146

146 99  106  146

81. Sea la tabla

[0-8[

[8-16[

[16-24]

Determine la distribución de frecuencias relativas de “X” si Y  2.

entretencionx1000.cl

108

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución: Frecuencia relativa de X / Y  2: Y2 X Frec. absoluta

[0-8[

[8-16[

[16-24]

7+1=8

8+9=17

3+8=11

Y2 X Frec. relativa

[0-8[

[8-16[

[16-24]

8 8  17  11

17 8  17  11

11 8  17  11

82. Sea la tabla

[0-30[

[30-60[

[60-90[

[90-120]

Determine la distribución de frecuencias relativas de “X” si Y  18.

entretencionx1000.cl

109

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

Frecuencia relativa de X / Y  18:

Y  18 [0-30[

X Frec. absoluta

[30-60[

[60-90[

65+90+43+27=225 35+16+48+56=155 2+15+23+72=112

[90-120] 87+36+33+78=234

Y  18 X

0-30

30-60

Frec.

225 225  155  112  234

112 155 225  155  112  234 225  155  112  234

relativa

60-90

90-120 234 225  155  112  234

83. Sea la tabla

[0-100[

[100-200[

[200-300[

[300-400]

Determine la distribución de frecuencias relativas de “X” si Y  12.

entretencionx1000.cl

110

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución: Frecuencia relativa de X / Y  12: Y  12 [0-100[

X Frec. absoluta

[100-200[

[200-300[

[300-400]

12+2+16=30 16+7+2=25 3+19+4=26 8+11+10=29

Y  18 [0-100[

[100-200[

[200-300[

[300-400]

30 30  25  26  29

25 30  25  26  29

26 30  25  26  29

29 30  25  26  29

X Frec. relativa

84. Sea la tabla

[[0-13[

[13-26[

[26-39[

[39-52]

Determine la distribución de frecuencias relativas de “X” si Y  8.

entretencionx1000.cl

111

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución: Frecuencia relativa de X / Y  8: Y8 [0-100[

X Frec. absoluta

[100-200[

[200-300[

[300-400]

85+21=106 64+50=114 35+83=118 76+18=94

Y8 [0-100[

[100-200[

[200-300[

106 106  114  118  94

114 106  114  118  94

118 106  114  118  94

X Frec. relativa

[300-400] 94 106  114  118  94

85. Sea la tabla

[0-2[

[2-4[

[4-6[

[6-8]

Determine la distribución de frecuencias relativas de “X” si Y  28.

entretencionx1000.cl

112

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución: Frecuencia relativa de X / Y  28: Y  28 [0-2[

[2-4[

[4-6[

[6-8]

16+42+41=99

12+38+76=126

19+29+19=67

22+27+67=116

X Frec. absoluta

Y  28 [0-2[

[2-4[

[4-6[

[6-8]

99 99  126  67  116

126 99  126  67  116

67 99  126  67  116

94 99  126  67  116

X Frec. relativa

86. Sea la tabla

[0-17[

[17-34[

[34-51[

[51-68]

Determine la distribución de frecuencias relativas de “X” si Y  25.

entretencionx1000.cl

113

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución: Frecuencia relativa de X / Y  25: Y  25 [0-17[

X Frec.

[17-34[

[34-51[

[51-68]

29+64=93 10+52=62 6+38=44

absoluta

43+44=87

Y  25

X Frec. relativa

[0-17[

[17-34[

[34-51[

[51-68]

93 93  62  44  87

62 93  62  44  87

44 93  62  44  87

87 93  62  44  87

87. Sea la tabla:

[0-5[

[5-10[

[10-15]

[0-15[

[15-30[

[30-45]

Determine mediana de "X".

entretencionx1000.cl

114

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

La marginal de X es

[0-15[

[15-30[

[30-45]

- La mediana está en el intervalo [30 – 45], que es el primero con frecuencia absoluta acumulada mayor o igual que N/2 = 38/2 = 19.

M e  Li 1 

19  N i 1 19  18  ( Li  Li 1 )  30   (45  30)  30,75 ni 20

88. Sea la tabla:

[0-10[

[10-20[

[20-30]

[0-3[

[3-6[

[6-9]

Determine mediana de "X".

entretencionx1000.cl

115

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

La marginal de X es:

[0-3[

[3-6[

[6-9]

100

121

221

La mediana está en el intervalo [3 – 6[, que es el primero con frecuencia absoluta acumulada mayor o igual que N/2 = 221/2 = 110,5

M e  Li 1 

110,5  N i 1 110,5  51  ( Li  Li 1 )  3   (6  3)  2,55 ni 70

89. Sea la tabla:

[0-20[

[20-40[

[40-60]

[0-4[

[4-8[

[8-12]

Determine mediana de "X".

entretencionx1000.cl

116

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

La marginal de X es

[0-4[

[4-8[

[8-12]

134

147

184

134

281

465

La mediana está en el intervalo [4 – 8[, que es el primero con frecuencia absoluta acumulada mayor o igual que N/2 = 465/2 = 232,5

M e  Li 1 

232,5  N i 1 232,5  134  ( Li  Li 1 )  4   (8  4)  6,68 ni 147

90. Sea la tabla:

[0-30[

[30-60[

[60-90]

[0-6[

[6-12[

102

[12-18]

Determine mediana de "X".

entretencionx1000.cl

117

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

La marginal de X es

[0-6[

[6-12[

[12-18]

101

153

101

254

329

La mediana está en el intervalo [6 – 12[, que es el primero con frecuencia absoluta acumulada mayor o igual que N/2 = 329/2 = 164,5

M e  Li 1 

164,5  N i 1 164,5  101  ( Li  Li 1 )  6   (12  6)  8,49 ni 153

91. Sea la tabla:

[0-40[

[40-80[

[80-120[

[120-160]

[0-8[

[8-16[

[16-24]

Determine mediana de "X".

entretencionx1000.cl

118

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

La marginal de X es

[0-8[

[8-16[

[16-24]

150

242

147

150

392

539

La mediana está en el intervalo [8 – 16], que es el primero con frecuencia absoluta acumulada mayor o igual que N/2 = 539/2 = 269,5

M e  Li 1 

269,5  N i 1 269,5  150  ( Li  Li 1 )  8   (16  8)  11,95 ni 242

92. Sea la tabla:

[0-100[

[100-200[

[200-300[

[300-400]

[0-12[

[12-24[

[24-36]

Determine mediana de "X".

entretencionx1000.cl

119

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

La marginal de X es

[0-12[

[12-24[

[24-36]

148

133

148

242

375

La mediana está en el intervalo [12 – 24[, que es el primero con frecuencia absoluta acumulada mayor o igual que N/2 = 375/2 = 187,5

M e  Li 1 

187,5  N i 1 187,5  148  ( Li  Li 1 )  12   (24  12)  17,043 ni 94

93. Sea la tabla:

[0-150[

[150-300[

[300-450[

[450-600]

[0-16[

[16-32[

[32-48]

Determine mediana de "X".

entretencionx1000.cl

120

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

La marginal de X es

[0-16[

[16-32[

[32-48]

207

196

178

207

403

581

La mediana está en el intervalo [16 – 32[, que es el primero con frecuencia absoluta acumulada mayor o igual que N/2 = 581/2 = 290,5

M e  Li 1 

290,5  N i 1 290,5  207  ( Li  Li 1 )  16   (32  16)  22,82 ni 196

94. Sea la tabla:

[0-200[

[200-400[

[400-600[

[600-800]

[0-18[

102

122

119

149

[18-36[

127

142

182

129

[36-54]

165

176

194

103

Determine mediana de "X".

entretencionx1000.cl

121

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

La marginal de X es

[0-18[

[18-36[

[36-54]

492

580

638

492

1072

1710

La mediana está en el intervalo [18 – 36[, que es el primero con frecuencia absoluta acumulada mayor o igual que N/2 = 1710/2 = 855

M e  Li 1 

855  N i 1 855  492  ( Li  Li 1 )  18   (36  18)  29,266 ni 580

95. Sea la tabla:

[0-250[

[250-500[

[500-750[

[750-1000]

[0-25[

[25-50[

[50-75[

[75-100]

Determine mediana de "X".

entretencionx1000.cl

122

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

La marginal de X es

[0-25[

[25-50[

[50-75[

[75-100]

143

135

106

143

278

373

479

La mediana está en el intervalo [25 – 50[, que es el primero con frecuencia absoluta acumulada mayor o igual que N/2 = 479/2 = 239,5

M e  Li 1 

239,5  N i 1 239,5  143  ( Li  Li 1 )  25   (50  25)  42,87 ni 135

96. Sea la tabla:

[0-300[

[300-600[

[600-900[

[900-1200]

[0-35[

182

452

127

212

[35-70[

313

321

327

128

[70-105[

134

389

356

[105-140]

241

231

126

272

Determine mediana de "X".

entretencionx1000.cl

123

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

La marginal de X es

[0-35[

[35-70[

[70-105[

[105-140]

973

1089

900

870

973

2062

2962

3832

La mediana está en el intervalo 35 – 70, que es el primero con frecuencia absoluta acumulada mayor o igual que N/2 = 3832/2 = 1916

M e  Li 1 

1916  N i 1 1916  973  ( Li  Li 1 )  35   (70  35)  65,31 ni 1089

97. Utilizando los datos del problema 87, se tiene:

[0-5[

[5-10[

[10-15[

[0-15[

[15-30[

[30-45]

En la distribución, determine la moda

entretencionx1000.cl

124

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

di 

[0-15[

[15-30[

[30-45]

0,4

0,8

1, 3

ni Li  Li 1

El intervalo de mayor densidad de frecuencia d i  ni /( Li  Li 1 ) , es [30-45]:

Mo  Li 1 

d i 1 0  ( Li  Li 1 )  30   (45  30)  30 d i 1  d i 1 0,8  0

98. Utilizando los datos del problema 88, se tiene:

[0-10[

[10-20[

[20-30]

[0-3[

[3-6[

[6-9]

En la distribución, determine la moda

entretencionx1000.cl

125

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

di 

[0-3[

[3-6[

[6-9]

100

121

221

ni Li  Li 1

23, 3

33, 3

El intervalo de mayor densidad de frecuencia d i  ni /( Li  Li 1 ) , es [6-9]:

Mo  Li 1 

d i 1 0  ( Li  Li 1 )  6   (9  6)  6 d i 1  d i 1 23, 3  0

99. Utilizando los datos del problema 89, se tiene:

[0-20[

[20-40[

[40-60]

[0-4[

[4-8[

[8-12]

En la distribución, determine la moda

entretencionx1000.cl

126

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

di 

[0-4[

[4-8[

[8-12]

134

147

184

134

281

465

ni Li  Li 1

33,5

36,75

El intervalo de mayor densidad de frecuencia d i  ni /( Li  Li 1 ) , es [8-12]:

Mo  Li 1 

100.

d i 1 0  ( Li  Li 1 )  8   (12  8)  8 d i 1  d i 1 36,75  0

Utilizando los datos del problema 90, se tiene:

[0-30[

[30-60[

[60-90]

[0-6[

[6-12[

102

[12-18]

En la distribución, determine la moda

entretencionx1000.cl

127

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

di 

[0-6[

[6-12[

[12-18]

101

153

101

254

329

16,83

25,5

12,5

ni Li  Li 1

El intervalo de mayor densidad de frecuencia d i  ni /( Li  Li 1 ) , es [6-12[:

Mo  Li 1 

101.

d i 1 12,5  ( Li  Li 1 )  6   (12  6)  8,557 d i 1  d i 1 16,83  12,5

Utilizando los datos del problema 91, se tiene:

[0-40[

[40-80[

[80-120[

[120-160]

[0-8[

[8-16[

[16-24]

En la distribución, determine la moda

entretencionx1000.cl

128

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

di 

[0-8[

[8-16[

[16-24]

150

242

147

150

392

539

18,75

30,25

18,375

ni Li  Li 1

El intervalo de mayor densidad de frecuencia d i  ni /( Li  Li 1 ) , es [8-16[:

Mo  Li 1 

102.

d i 1 18,375  ( Li  Li 1 )  8   (16  8)  11,96 d i 1  d i 1 18,75  18,375

Utilizando los datos del problema 92, se tiene:

[0-100[

[100-200[

[200-300[

[300-400]

[0-12[

[12-24[

[24-36]

En la distribución, determine la moda

entretencionx1000.cl

129

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

di 

[0-12[

[12-24[

[24-36]

148

133

148

242

375

ni Li  Li 1

12, 3

7,8 3

11,08 3

El intervalo de mayor densidad de frecuencia d i  ni /( Li  Li 1 ) , es [0-12[:

Mo  Li 1 

103.

d i 1 7,83  ( Li  Li 1 )  0   (12  0)  12 d i 1  d i 1 0  7,83

Utilizando los datos del problema 93, se tiene:

[0-150[

[150-300[

[300-450[

[450-600]

[0-16[

[16-32[

[32-48]

En la distribución, determine la moda

entretencionx1000.cl

130

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

di 

[0-16[

[16-32[

[32-48]

207

196

178

207

403

581

12,9375

12,25

11,125

ni Li  Li 1

El intervalo de mayor densidad de frecuencia d i  ni /( Li  Li 1 ) , es [0-16[:

Mo  Li 1 

104.

d i 1 12,25  ( Li  Li 1 )  0   (16  0)  16 d i 1  d i 1 0  12,25

Utilizando los datos del problema 94, se tiene:

[0-200[

[200-400[

[400-600[

[600-800]

[0-18[

102

122

119

149

[18-36[

127

142

182

129

[36-54]

165

176

194

103

En la distribución, determine la moda

entretencionx1000.cl

131

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

di 

[0-18[

[18-36[

[36-54]

492

580

638

492

1072

1710

ni Li  Li 1

27, 3

32, 2

35, 4

El intervalo de mayor densidad de frecuencia d i  ni /( Li  Li 1 ) , es [36-54]:

Mo  Li 1 

105.

d i 1 0  ( Li  Li 1 )  36   (54  36)  36 d i 1  d i 1 32, 2  0

Utilizando los datos del problema 95, se tiene:

[0-250[

[250-500[

[500-750[

[750-1000]

[0-25[

[25-50[

[50-75[

[75-100]

En la distribución, determine la moda

entretencionx1000.cl

132

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

di 

[0-25[

[25-50[

[50-75[

[75-100]

143

135

106

143

278

373

479

ni Li  Li 1

5,72

5,4

3,8

4,24

El intervalo de mayor densidad de frecuencia d i  ni /( Li  Li 1 ) , es [0-25[:

Mo  Li 1 

106.

d i 1 5,4  ( Li  Li 1 )  0   (25  0)  25 d i 1  d i 1 0  5,4

Utilizando los datos del problema 96, se tiene:

[0-300[

[300-600[

[600-900[

[900-1200]

[0-35[

182

452

127

212

[35-70[

313

321

327

128

[70-105[

134

389

356

[105-140]

241

231

126

272

En la distribución, determine la moda

entretencionx1000.cl

133

Estadística Bivariada Nivel de Proyección Solución:

di 

[0-35[

[35-70[

[70-105[

[105-140]

973

1089

900

870

973

2062

2962

3832

ni Li  Li 1

27,8

31,1143

25,7143

24,857

El intervalo de mayor densidad de frecuencia d i  ni /( Li  Li 1 ) , es [35-70[:

Mo  Li 1 

d i 1 25,7143  ( Li  Li 1 )  35   (70  35)  51,818 d i 1  d i 1 27,8  25,7143

entretencionx1000.cl

134