Estadística bivariada Nivel Proyección
1. La reacción de freno de un automovilista sigue un modelo normal de promedio 1,25 segundos y una desviación estándar de 0,46 segundos. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reacción se encuentre entre 1,00 y 1,75 segundos?
Solución.
2. La cantidad de vino destilado de cierta máquina se distribuye de manera normal con promedio 64 onzas y una desviación estándar de 0,78 onzas ¿Qué capacidad de recipiente asegurará que ocurra un sobre flujo 0,5% de las veces?
Solución.
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1
Estadística bivariada Nivel Proyección
3. Los coeficientes de confianza de 95% para la distribución normal están dados por ¿Cuáles son los coeficientes correspondientes para la distribución
si
?
Solución.
El valor crítico para Confianza son
es
, entonces los coeficientes de
, Para
4. Se obtienen dos muestras de tamaños 9 y 12 de dos poblaciones normalmente distribuidas con varianzas de 16 y 25 respectivamente. Si las varianzas muéstrales son 10 y 8, determine si la primera tiene una varianza significativamente mayor que la segunda muestra a niveles de significancia de 0,05
Solución.
Los grados de libertad del numerador y el denominador de
son
.
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2
Estadística bivariada Nivel Proyección
Se puede concluir que la varianza de la muestra 1 es Significativamente mayor que la de la muestra 2 al nivel de Significancia de 0,05
5. Los coeficientes de inteligencia de 16 estudiantes mostraron una media de 107 y una desviación estándar de 10, mientras que los C.I de 14 estudiantes de otra universidad mostraron una media de 112 y una desviación estándar de 8. ¿Existe una diferencia significativa entre los C.I de los dos grupos de niveles de significancia de 0,01?
Solución.
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3
Estadística bivariada Nivel Proyección
Usando un contraste bilateral al nivel de significancia de 0,01, se rechazaría si estuviera en un rango a , que para 28 grados de libertad es el rango
. Por lo tanto no se puede rechazar
al
nivel de significancia de 0,01. 6. Los coeficientes de inteligencia de 16 estudiantes mostraron una media de 107 y una desviación estándar de 10, mientras que los C.I de 14 estudiantes de otra universidad mostraron una media de 112 y una desviación estándar de 8. ¿Existe una diferencia significativa entre los C.I de los dos grupos de niveles de significancia de 0,05?
Solución.
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4
Estadística bivariada Nivel Proyección
Usando un contraste bilateral al nivel de significancia de 0,05, se rechazaría si estuviera en un rango a , que para 28 grados de libertad es el rango
. Por lo tanto no se puede rechazar
al
nivel de significancia de 0,05. Por ende no existe una diferencia significativa entre ambos grupos. 7. Se obtienen dos muestras de tamaños 9 y 12 de dos poblaciones normalmente distribuidas con varianzas de 16 y 25 respectivamente. Si las varianzas muéstrales son 10 y 8, determine si la primera tiene una varianza significativamente mayor que la segunda muestra a niveles de significancia de 0,01.
Solución.
Para
Por lo tanto no se puede concluir que la varianza de la muestra 1 sea mayor que la varianza de la Muestra 2 al nivel de significancia de 0,01.
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5
Estadística bivariada Nivel Proyección
8. Se seleccionan dos muestras de tamaños 8 y 10, de dos poblaciones normalmente distribuidas, con varianzas de 20 y 36, respectivamente. Calcula la probabilidad de que la varianza en la primera sea mayor al doble de la varianza de la segunda muestra.
Solución.
El número de grados de libertad para el numerador y el denominador son Ahora, si
.
es mayor al doble de
, entonces:
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6
Estadística bivariada Nivel Proyección
9. En 200 lanzamientos de una moneda, se observaron 115 caras y 85 cruces. Pruebe la hipótesis de que la moneda es buena usando un nivel de significancia de 0,05
Solución.
El valor crítico puesto que
para 1 grado de libertad es de 3,48. Entonces, , se rechaza la hipótesis de que la moneda
es buena al nivel de significancia 0,05.
10.
En 200 lanzamientos de una moneda, se observaron 115 caras y 85 cruces. Pruebe la hipótesis de que la moneda es buena usando un nivel de significancia de 0,01.
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7
Estadística bivariada Nivel Proyección
Solución.
El valor crítico puesto que
para 1 grado de libertad es de 6,63. Entonces, , no se puede rechazar la hipótesis de que la
moneda es buena al nivel de significancia 0,01
11. En sus experimentos con arvejas. Medel observo que 315 eran redondos y amarillos, 108 eran redondos y verdes, 101 eran rugosos y amarillos y 32 eran rugosos y verdes. De acuerdo con su teoría de la herencia, los números deberían estar en la proporción 9:3:3:1 ¿Existe alguna evidencia para dudar de su teoría a los niveles de significancia de 0,01?
Solución.
Valores esperados:
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8
Estadística bivariada Nivel Proyección
Para
,
, por lo tanto no se puede rechazar la teoría al nivel
0,01 12. En sus experimentos con arvejas. Mendel observo que 315 eran redondos y amarillos, 108 eran redondos y verdes, 101 eran rugosos y amarillos y 32 eran rugosos y verdes. De acuerdo con su teoría de la herencia, los números deberían estar en la proporción 9:3:3:1 ¿Existe alguna evidencia para dudar de su teoría a los niveles de significancia de 0,05?
Solución.
Valores esperados:
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9
Estadística bivariada Nivel Proyección
Para
,
, por lo tanto no se puede rechazar la teoría al nivel
0,05.
13. Una urna contiene gran número de bolitas de cuatro colores distintos: rojo, naranjo, amarillo y verde. Una muestra de 12 bolitas elegidas al azar revelo 2 bolitas rojas, 5 anaranjadas, 4 amarillas y 1 verde. Pruebe que la hipótesis de que la urna contiene las mismas proporciones de bolitas de diferentes colores.
Solución.
Se combinan las categorías combinado “rojo o verde” y “anaranjado o amarillo”, para las cuales la muestra reveló 3 y 9 bolitas respectivamente. Puesto que el número esperado en cada categoría, bajo la hipótesis de igualdad de Proporciones, es 6.
Se tiene:
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10
Estadística bivariada Nivel Proyección
Para
. Por lo tanto no se puede rechazar la
hipótesis al nivel de significancia 0,05.
14. Una urna contiene gran número de bolitas de cuatro colores distintos: rojo, naranjo, amarillo y verde. Una muestra de 12 bolitas elegidas al azar revelo 2 bolitas rojas, 5 anaranjadas, 4 amarillas y 1 verde. Pruebe que la hipótesis de que la urna contiene las mismas proporciones de bolitas de diferentes colores. Solución.
Se combinan las categorías combinado “rojo o verde” y “anaranjado o amarillo” para las cuales la muestra reveló 3 y 9 Bolitas respectivamente. Puesto que el número esperado en Cada categoría, bajo la hipótesis de igualdad de proporciones, es 6.
se tiene:
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11
Estadística bivariada Nivel Proyección
Para
. Por lo tanto no se puede rechazar la
hipótesis al nivel de significancia 0,05.
15. En 360 lanzamientos de un par de dados, se observaron74 sietes y 24 onces. Usando un nivel de significancia de 0,05, pruebe que la hipótesis de que los dados son buenos.
Solución.
Por lo tanto en 360 lanzamientos se esperarían
,
de tal modo
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12
Estadística bivariada Nivel Proyección
así dado que
, se inclinará a rechazar la
hipótesis de que los dados son buenos, sin embargo usando la corrección de Yates.
Se encuentra que:
Considerando la
corregida no se podría rechazar la hipótesis al
nivel 0,05. 16. Los proveedores de bebidas deciden otorgar un premio entre sus vendedores si venden 320 o más bebidas por día. El número de bebidas vendidas por día por ambos proveedores está distribuido normalmente de la siguiente forma:
Proveedor A B
Promedio 290 bebidas 300 bebidas
Desviación 20 bebidas 10 bebidas
Determine el porcentaje de los días obtendrían premio si se asociaran los dos proveedores.
Solución.
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13
Estadística bivariada Nivel Proyección
17.
De una población
de media y desviación típica
desconocidas, se toma una muestra de tamaño 10 de varianza determine la probabilidad
,
.
Solución.
Sustituyendo
tenemos por interpolación.
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14
Estadística bivariada Nivel Proyección
Abscisa
18.
De una población
Áreas
de media y desviación típica
desconocidas, se toma una muestra de tamaño 10 de varianza determine la probabilidad
,
.
Solución.
Sustituyendo:
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15
Estadística bivariada Nivel Proyección
Tenemos, por interpolación:
Abscisa
Abscisa
Áreas
Áreas
Luego tenemos.
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16
Estadística bivariada Nivel Proyección
19. El desplazamiento de una masa con movimiento armónico simple está dado por . Hallar la probabilidad de que el desplazamiento sea menor que , en un tiempo arbitrario
Solución.
20.
De una población
de media y desviación típica
desconocidas, se toma una muestra de tamaño 10 de varianza determine la probabilidad
,
, si
Solución.
Abscisa
Áreas
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17
Estadística bivariada Nivel Proyección
21. Determinar la probabilidad de que una variable aleatoria con distribución de Rsyleigh sea superior a .
Solución.
22.
Halle la función de densidad de la distribución Binomial.
Solución.
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18
Estadística bivariada Nivel Proyección
Sustituyéndolo en
Se tiene
23. Determine la función de distribución acumulativa de una distribución Binomial.
Solución.
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19
Estadística bivariada Nivel Proyección
Sustituyendo en
Se tiene que:
24. Supongamos que los mensajes de cierta compañía llegan con una frecuencia en promedio de mensajes por segundo. Determine la probabilidad de que llegue un mensaje exactamente en un intervalo de
segundos.
Solución.
25. En un examen cardiológico se sabe que ciertos cátodos emiten electrones de electrones por segundo. Determine la probabilidad de que no se emita ningún electrón durante un intervalo de segundos, si las emisiones son eventos independientes que ocurran aleatoriamente en el tiempo.
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20
Estadística bivariada Nivel Proyección
Solución.
La probabilidad de que ningún evento ocurra en segundos es.
Donde
Entonces
26. Supongamos que los mensajes de cierta compañía llegan con una frecuencia en promedio de mensajes por segundo. Determine la probabilidad de que llegue menos de tres mensajes en un intervalo de
segundos.
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21
Estadística bivariada Nivel Proyección
Solución.
27. Un sistema funciona en promedio 100 horas. Suponiendo que los tiempos de funcionamiento siguen una distribución de Poisson. Determine la probabilidad de que el sistema funcione exactamente una vez ente 1.100 y 1.000 horas, respectivamente.
Solución.
28.
Demuestre que la probabilidad de que ocurran 0 ó más eventos de Poisson con frecuencia promedio
en un intervalo
es 1.
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22
Estad铆stica bivariada Nivel Proyecci贸n
Soluci贸n.
Por demostrara que
Observe que
Donde
Por lo tanto
29. Un sistema funciona en promedio 100 horas. Suponiendo que los tiempos de funcionamiento siguen una distribuci贸n de Poisson. Determine la probabilidad de que el sistema funcione al menos una vez entre 1.100 y 1.000 horas, respectivamente.
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23
Estadística bivariada Nivel Proyección
Solución.
Así
30. Determine la desviación estándar para la función de densidad uniforme.
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24
Estadística bivariada Nivel Proyección
Solución.
Análogamente el valor de
es
De esta manera la desviación estándar es
Por lo tanto
31.
la desviación.
Utilizando la definición de la distribución sinusoidal, demostrar que si es constante en
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25
Estad铆stica bivariada Nivel Proyecci贸n
Da la funci贸n de densidad para .
Soluci贸n. Se tiene que:
De esta manera:
Puesto que:
32.
Determinar
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26
Estad铆stica bivariada Nivel Proyecci贸n
Soluci贸n.
33.
Determine
si
Soluci贸n.
Donde
, por tabla.
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27
Estadística bivariada Nivel Proyección
34. por
La suma de dos variables aleatorias independientes está dada , en donde puede tener valores entre 0 y 1 con igual
probabilidad, y
se distribuye normalmente, con promedio 0 y
desviación estándar valor de
. Determine la probabilidad de registrar un
mayor que 0,5, cuando
.
Solución.
Reemplazando
y
Se tiene
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28
Estadística bivariada Nivel Proyección
35. por
La suma de dos variables aleatorias independientes está dada , en donde puede tener valores entre 0 y 1 con igual
probabilidad, y
se distribuye normalmente, con promedio 0 y
desviación estándar valor de
. Determine la probabilidad de registrar un
mayor que 1 si el valor de
es desconocido.
Solución.
36.
Demostrar que
para una variable aleatoria con
distribución de Rayleigh. Solución.
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29
Estadística bivariada Nivel Proyección
37. Determinar la función de distribución acumulativa para una variable aleatoria con distribución de Rayleigh. Solución.
Donde
y
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30
Estadística bivariada Nivel Proyección
38.
Demostrar que
para una variable aleatoria con
distribución de Rayleigh.
Solución.
Por definición se tiene:
Sustituyendo
y
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31
Estadística bivariada Nivel Proyección
39. Una amplitud de una señal sigue una distribución de Rayleigh. Determinar si las medidas de al muestran que la amplitud
excede a
el
de las veces siendo
.
Solución.
Se sabe que
y usando
se tiene:
Entonces
Por lo tanto
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32
Estadística bivariada Nivel Proyección
40. Determinar la función de distribución acumulativa para la distribución gamma cuando .
Solución.
La función de distribución acumulativa es
Sustituyendo
y
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33
Estadística bivariada Nivel Proyección
41. La duración de una batería alcalina, sigue una distribución gamma de parámetros . Determine la probabilidad de que la batería dure más de 10 horas.
Solución.
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34
Estadística bivariada Nivel Proyección
42. La proporción del consumo de cierta marca de vino sigue una distribución beta de parámetros . Determine la probabilidad de que dicho proporción este entre el 10% y el 50%.. Solución.
43. La distancia de ciertos componentes siguen una distribución normal de parámetros . Determine la probabilidad de que un componente tenga una distancia entre 31,1 y 32,6.
Solución.
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35
Estadística bivariada Nivel Proyección
44. El consumo semanal de una cerveza en una ciudad, sigue una distribución log-normal de parámetros . Determine la probabilidad de que el consumo semanal de ese tipo de cerveza sea como máximo de 600 litros.
Solución.
45. El consumo semanal de una cerveza en una ciudad, sigue una distribución log-normal de parámetros . Determine la probabilidad de que el consumo semanal de ese tipo de cerveza esté entre los 500 y 700 litros.
Solución.
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36
Estadística bivariada Nivel Proyección
46. Una solicitud se demora en promedio 24 horas con una desviación estándar de 3 horas ¿cuántas horas demorará la solicitud de una persona, si el 68% de quienes han requerido este trámite han necesitado más horas que él?.
Solución.
46.
Sea
una variable aleatoria con distribución exponencial.
Dados
demostrar que:
Solución.
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37
Estadística bivariada Nivel Proyección
47. Una canción tiene una duración de 15 minutos en promedio. Sabiendo que la duración tiene una distribución exponencial y que una fiesta dura dos horas. ¿Cuál es el número máximo de canciones que se podrán escuchar con una probabilidad de 0,90?
Solución.
Luego la duración de cada canción sigue una distribución gamma
, debemos hallar
talque:
Podrán escuchar 5 canciones con probabilidad de 0,90.
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38
Estadística bivariada Nivel Proyección
48.
Sean
variables aleatorias con distribución de
Weibull de parámetros
. Pruebe que la
También sigue una distribución de Weibull.
Solución.
La función de densidad de
es
Que corresponde una distribución de Weibull de parámetros
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39
Estadística bivariada Nivel Proyección
49. La frecuencia del número de defunciones ocurridas en 10 generaciones del cuerpo de bomberos, por generación y por año, durante 20 años, a raíz de incendios forestales es la siguiente: Número de Funciones 0 1 2 3 4 o mas
Frecuencia 109 65 22 3 1
¿Hay razones para afirmar que el número de muertos en incendios forestal es debido al azar?
Solución.
En total hay 10 generaciones en 20 anos. La probabilidad de que un bombero muera a raíz de un incendio forestal es muy pequeña. Esto sugiere que sigue una distribución de Poisson si el accidente es debido al azar. Como se desconocen los valores de
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40
Estad铆stica bivariada Nivel Proyecci贸n
se considerara.
De donde:
Las frecuencias te贸ricas se obtiene multiplicando las probabilidades por 200.
Estas son:
N煤mero de Funciones
0
1
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2
41
Estadística bivariada Nivel Proyección
3 4 o mas Frecuencia Teórica 4,1 0,7
108,7
66,3
20,2
La concordancia entre las frecuencias teóricas y las observadas es muy notable. Luego es razonable admitir que el número de muertes debido a los incendios forestales es debido al azar. 50. Los accidentes de trabajo que se producen en una empresa sigue una distribución de Poisson talque la probabilidad de que haya 5 accidentes es de 16/15 de la que haya 2. Calcule el número máximo de accidentes semanales con una probabilidad de 90%.
Solución.
Debemos hallar
talque
para
es
Hay una probabilidad de 0,9 de que el número de accidentes sea como máximo 6.
51. Una máquina funciona en promedio cien horas, suponiendo que el funcionamiento de dicha máquina sigue una distribución de Poisson, determine la probabilidad de que la máquina funcione al menos una vez entre 1.100 y 1.000 horas, respectivamente.
Solución.
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42
Estadística bivariada Nivel Proyección
Luego se tiene:
52. Por un determinado punto de una autopista los vehículos pasan de acuerdo a una distribución de Poisson, a razón de 6 autos por minuto. Halle la probabilidad de que transcurran más de 20 segundos desde el instante en que ha pasado un vehículo hasta el instante en que han pasado 5 vehículos más.
Solución. Tomando el minuto como unidad de tiempo, el número de vehículos por minuto sigue una distribución de Poisson de parámetro
. El tiempo que transcurre
desde que pasa un auto hasta que pasa el siguiente sigue la distribución exponencial de parámetro igual a 6. El tiempo
hasta que pasan 5 vehículos sigue la
distribución Gamma
.
Como 20 segundos es 1/3 de minuto, calcularemos
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43
Estadística bivariada Nivel Proyección
utilizando la formula que da la función de distribución para la ley gamma.
53. Por un determinado punto de una autopista los vehículos pasan de acuerdo a una distribución de Poisson, a razón de 6 autos por minuto. Si un perro cruza la utopista inmediatamente después que ha pasado un vehículo, calcular la probabilidad de que lo atropellen sabiendo que invierte 10 segundos en cruzar.
Solución.
El número de vehículos que pasan en 10 segundos (1/6 de minuto) sigue una Poisson de parámetro
.
El perro será arrollado si pasa algún vehículo.
luego:
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44
Estadística bivariada Nivel Proyección
54.
Supongamos que las fallas de cierto vehículo son en promedio veces por mes. Determine la probabilidad de que el vehículo falle
menos de 3 veces en un intervalo de
meses.
Solución.
55. Para representar las frecuencias de accidentes de trabajo en una empresa, observaron los accidentes ocurridos a 647 empleados en 5 meses. Obteniendo la siguiente distribución.
Número de accidentes
0
1
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2
45
Estadística bivariada Nivel Proyección
3
4
5 o mas
Frecuencia Teórica 21 3
447
132
42
2
Esta distribución se ajusta a la Binomial negativa.
Solución.
La media y la varianza muestrales son:
Estimando p y r, se tiene:
La función de densidad de la Binomial negativa de parámetros es:
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46
Estadística bivariada Nivel Proyección
La frecuencia esperada de
es
; la
frecuencia esperada de es
, etc.
Número de accidentes 3 4 5 o mas Frecuencias esperadas (según la distribución binomial negativa) 14,3 4,62 2,2
0
442,76
1
138,72
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2
44,38
47
Estadística bivariada Nivel Proyección
Comparando las frecuencias esperadas con las frecuencias observadas, es razonable admitir que el número de accidentes sigue la distribución Binomial negativa.
56.
Sea
una variable aleatoria que siguen una ley de Poisson de
esperanza igual a . Se define una nueva variable aleatoria
del
modo siguiente:
Hallar la función de densidad de probabilidad de
.
Solución.
El parámetro de la variable aleatoria
sera , porque
coincide con la esperanza.
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48
Estad铆stica bivariada Nivel Proyecci贸n
Si
es
Luego
Ahora calculamos
los sucesos
son
mutuamente excluyentes, luego:
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49
Estadística bivariada Nivel Proyección
Donde
seno hiperbólico de .
57. En una región existen tres especies de árboles A, B, C los arboles A son de hojas perennes, de una plantación artificial. Para las especies B y C se han contado los arboles encontrados en 196 y 230 parcelas respectivamente, de 5 metros de lado, obteniéndose las frecuencias siguientes:
Numero de arboles/parcelas 0 1 2 Frecuencias: 64 15
3
4
Especie B 2 1
Especie A
161
114
40
23
4
2
De las especies A, B, C hay una que se distribuye según una Poisson, otra según la Binomial negativa y la restante sigue una distribución uniforme. Encontrar la distribución que corresponde a cada especie y calcular los índices de agregación.
Solución.
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50
Estadística bivariada Nivel Proyección
La distribución de la especie A es constante para cada parcela. El índice de agregación vale
, no es Poisson ni Binomial
negativa.
Para B y C la media y la varianza muestrales son:
Los índices de agregación son
,
, por lo
tanto B se distribuye según una Poisson, mientras que C se distribuye según un Binomial negativa. Las frecuencias teoricas para B admitiendo la distribución de Poisson, se obtienen estimando
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, luego se tiene
51
Estadística bivariada Nivel Proyección
que:
Numero de arboles/parcelas Frecuencia teórica (Poisson) Especie B
0
1
2
3
115,3 61,18 16,23 2,87
4o mas 0,43
Para ajustar C a una Binomial negativa, estimaremos los parámetros
.
. Las probabilidades se determinan haciendo uso de la relación la recurrencia:
De donde
, etc. Multiplicando por 230
obtenemos las frecuencias teóricas. En la siguiente tabla expresamos también las frecuencias teóricas que se obtienen ajustando una Poisson con
Numero de arboles/parcelas Frecuencia teórica (Binomial negativa)
0
1
2
3
156,67 50,64 15,75 4,83
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4o mas 2,11
52
Estadística bivariada Nivel Proyección
Frecuencia teórica (Poisson)
145,06 66,86 15,41 2,37
0,30
Se observa que con la Binomial negativa nos ajustamos mejor a las frecuencias observadas que con la distribución de Poisson.
58. Demuestre que se puede aproximar en ciertos casos, una distribución de probabilidad Binomial por medio de una distribución de probabilidad normal.
Solución.
La distribución de probabilidad Binomial viene dada por:
Se sabe que:
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53
Estadística bivariada Nivel Proyección
Además que una buena aproximación de
viene dada por la fórmula de
Starling:
Entonces reemplazando se tiene que:
Escribiendo
y además
Se tiene que.
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54
Estadística bivariada Nivel Proyección
Desarrollando los términos del denominador se tiene:
Considerando
La aproximación es válida para
59.
El corazón bombea
y
glóbulos rojos por segundo. Determine
la probabilidad de que no se bombee ningún glóbulo rojo en un intervalo de segundos, suponiendo que los bombeos son eventos independientes que ocurren aleatoriamente.
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55
Estad铆stica bivariada Nivel Proyecci贸n
Soluci贸n.
Donde
Entonces
60. La cantidad demandada de cierto elemento en cierto periodo de tiempo por una empresa, se sabe que no supera la tonelada. Determine, para dicho periodo de tiempo, la probabilidad de que cantidad demandada no supere los 900 kg.
Soluci贸n.
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56
Estadística bivariada Nivel Proyección
61. Demuestre que la distribución Binomial negativa es una distribución de Poisson logarítmica.
Solución.
Supongamos que
es Poisson
y
es
ligaritmica de , entonces.
62. Pruebe que una distribución de Poisson con la de Gauss invertida es lo mismo que una distribución de Poisson con
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57
Estadística bivariada Nivel Proyección
Solución. La distribución inverso de gauss es:
Es conveniente escribirla como:
Donde
Por lo tanto la distribución inverso de Gauss es infinitamente divisible es también inverso de gauss, pero con reemplazado por con es:
Y
Se observa que
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58
Estadística bivariada Nivel Proyección
Por lo tanto la distribución de Poisson inversa de gauss es una compuesta de Poisson.
63. La cantidad demandada de cierto elemento en cierto periodo de tiempo por una empresa, se sabe que no supera la tonelada. Determine, para dicho periodo de tiempo, la probabilidad de que cantidad demandada este comprendida entre los 800 y 900 kilos.
Solución.
64. La demanda de cierta bebida tiene una distribución normal con media 150.000 litros y una desviación estándar de 10.000. Determine la cantidad de bebida que se debe tener para satisfacer la demanda con una probabilidad de 0,95.
Solución.
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59
Estadística bivariada Nivel Proyección
65.
Una fábrica produce artículos según la distribución . Dicha fábrica tiene como requisito, para continuar
produciendo, que la demanda de dicho artículo esté comprendida entre 9.930 y 10.170 unidades. Determine la probabilidad de que la fábrica no siga produciendo dicho artículo.
Solución.
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60
Estadística bivariada Nivel Proyección
31) Sean
dos variables tales que: tiene una distribución tiene una distribución
Compruebe que la variable
Tiene una distribución
Si
son independientes.
Solución.
La función característica de la variable . Viene dada por la forma:
Por definición se tiene:
Siendo
independientes se tiene:
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61
Estadística bivariada Nivel Proyección
De esto, se verifica:
66. Dos marcas comerciales venden los mismos productos. Las ventas para ambas marcas se comportan de acuerdo a una distribución normal con promedio 1.800 unidades y una desviación típica de 150 unidades, para la segunda. Determinar la probabilidad de que las ventas para la primera marca superen en 100 unidades a la segunda. Solución.
67. Entre 100 empresas cuyas reacciones se suponen independientes entre sí, se analiza la modificación en su actividad derivada de la adopción de un conjunto de medidas económicas. Cada una de estas empresas entiende que dicho conjunto de medidas incidirá sobre su actividad con una probabilidad de que al menos 20 de esas empresas modifiquen realmente su actividad como consecuencia de las referidas medidas.
Solución.
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Estadística bivariada Nivel Proyección
Se pasa a una normal de parámetros
68. En una fábrica se sabe que el número defectuoso de unidades producidas diariamente, está dado por:
Determine la probabilidad de que en 150 unidades, el número de unidades defectuosos producidas supere 1.480 unidades.
Solución.
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Estadística bivariada Nivel Proyección
69. La venta de un producto oscila entre 20 y 40 unidades diarias. Determinar la probabilidad de que en un periodo de 182 días, el número de unidades demandadas supere 6.370, si cada día es independiente del otro. Solución.
Entonces
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Estadística bivariada Nivel Proyección
70. Las ventas de un comerciante diariamente se encuentra entre 96,5 y 103,5 mil pesos. Determinar la probabilidad de que a lo largo de un periodo de 100 días, el volumen de ventas supere los 10.005 mil pesos.
Solución. Se aproxima a una normal de parámetro
71.
¿Para qué valores de
frecuencia a
en una distruibución de Poisson es la
mayor que la frecuencia en cualquier otro valor?
Solución.
Se debe calcular el valor de
correspondiente a
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Estadística bivariada Nivel Proyección
será mayor que
para todos los valores de menores que 1
72. Una compañía está probando nuevas sugerencias para sus ventas, y tiene los siguientes resultados en una prueba comparativa bajo idénticas condiciones.
Antiguas sugerencias Nuevas sugerencias Total
Ventas 84 98 182
No ventas 116 102 218
Total de visitas 200 200 400
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Estadística bivariada Nivel Proyección
Utilice la prueba de
para determinar la significación de la diferencia
observada
Solución. Las frecuencias esperadas de los datos combinados son
Calculando
se tiene:
Y su grado de libertad es
Debido a que
se puede concluir que la nueva
sugerencia tiene significación al 20%, pero no al 10%, por ende la nueva sugerencia no mejoró significativamente los resultados.
73. Demuestre que la probabilidad de que ocurran 0 o más eventos de Poisson con frecuencia promedio en un intervalo
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es 1
67
Estadística bivariada Nivel Proyección
Solución.
Por demostrar que:
es la expansión en serie de
, por lo tanto
74. Determine la función de distribución acumulativa para una variable aleatoria con distribución de Rayleigh.
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Estadística bivariada Nivel Proyección
Solución.
Sustituyendo
75.
Demostrar que
y por consiguiente,
para una variable aleatoria con
distribución de Rayleigh
Solución.
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Luego
76. Un alumno lleva diariamente al colegio un tozo de torta de16 cm. y de vez en cuando le da un mordisco y se come la mitad de lo que le queda. Asumiendo que en la mañana sigue una distribución de Poisson de media aritmética un mordisco por hora:
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Estadística bivariada Nivel Proyección
a) Calcular la distribución del tiempo que transcurre hasta que aparece la primera mordida b) ¿Qué probabilidad existe que soporte una hora de clases sin morder su torta?
c) Si un día entre las 8:00 y las 13:00 hrs. , la ha mordido en 4 ocasiones, ¿Qué probabilidad existe que lo haya hecho durante las 8:00 y las 11:00?
Solución.
a) Fijando cualquier intervalo temporal de amplitud
horas, para
arbitrario pero fijo, sea la variable aleatoria que mide el número de mordiscos que se producen en dicho intervalo. Según el enunciado, esta variable aleatoria sigue una distribución de Poisson de parámetro , es decir:
, para toda
Consideremos otra variable aleatoria
que mide el tiempo que
transcurre hasta que se produce el primer mordisco en un
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Estadística bivariada Nivel Proyección
intervalo de amplitud ilimitada. . Se pretende demostrar que:
, para todo
.
En efecto, utilizando la información disponible para
y la relación
entre ambas variable aleatorias, se tiene que, para cualquier
:
Luego el tiempo que transcurre hasta que aparece la primera mordida sigue una distribución exponencial de parámetro 1.
b)
c)
77. Las llamadas recibidas en una central de llamados siguen una distribución de Poisson con un promedio de llamadas por minuto.
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a) ¿cuál es la probabilidad que lleguen como máximo 2 llamadas por hora? b) Determinar el intervalo de tiempo necesario para que no llegue ninguna llamada durante ese lapso de tiempo sea 0,8
Solución.
a)
b)
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Estadística bivariada Nivel Proyección
78. Al lanzar una moneda existen solo dos posibilidades, ganar o perder. ¿Cuántas veces es necesario lanzar la moneda para que la probabilidad, de que la frecuencia relativa de victorias difiera, de la verdadera probabilidad de ganar, en valor absoluto, en al menos 0,05, sea inferior o igual al 5%?
Solución.
Aplicando el teorema de Bernoulli:
Como el valor de es
es desconocido, tomamos la cota superior de
que
, Por lo tanto;
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Estadística bivariada Nivel Proyección
79. El tiempo de reparación de un computador tiene una distribución aproximadamente exponencial, con media 22 minutos.
a) Hallar la probabilidad de que el tiempo de reparación sea menor que diez minutos. b) El costo de reparación es de 2000 por cada media hora o fracción. ¿Cuál es la probabilidad de que una reparación cueste 4000? c) Para efectuar una programación, ¿Cuánto tiempo se debe asignar a cada reparación para que la probabilidad de que cualquier tiempo de reparación mayor que el tiempo asignado sea solo de 0.1?
Solución. Definamos una variable aleatoria
que representa el tiempo de
reparación (en minutos) de las computadoras y sigue una distribución exponencial de parámetro . Por lo tanto, la función de densidad de esta variable es:
80. La probabilidad de que un tiempo de reparación sea menor que diez minutos es:
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81. De acuerdo con el enunciado, para un tiempo de reparación dado, el costo de reparación se obtendrá a partir del número total de fracciones de media hora y el conjunto de minutos restantes, inferiores a 30. (Todos, este último inclusive, se cobran a $2000). Teniendo esto en cuenta, se observa que una reparación costara $4000 siempre que su duración sea superior a 30 minutos e inferior o igual a 60 minutos (y así cada fracción de la segunda media hora se cobrará como una media hora entera). Así:
82. Representamos por el tiempo asignado a una reparación (en minutos). Debe verificarse:
Es decir:
Y esto se cumple para
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83. En un compuesto químico utilizan 10 gramos de potasio. Se sabe que la duración en promedio de este átomo es de 140 días, ¿En cuántos días el átomo se desintegra al 90%?
Solución. El tiempo T de desintegración de un átomo de potasio es una variable aleatoria de distribución exponencial:
Como el número de átomos de existentes en una muestra de 10 gramos es enorme, el histograma de frecuencias relativas formado por los tiempos de desintegración de cada uno de estos átomos debe ser extremadamente aproximado a la curva de densidad, . Del mismo modo, el polígono de frecuencias relativas acumuladas debe ser muy aproximado a la curva de su función de distribución . Entonces el tiempo que transcurre hasta que el material radiactivo se desintegra es el percentil 90,
del , de la
distribución exponencial, es decir:
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Estadística bivariada Nivel Proyección
84. Una empresa tiene tres sucursales, todas ellas reciben arroz. La cantidad de arroz que pueden recibir se puede representar mediante un modelo exponencial con promedio cuatro toneladas para cada una de las sucursales. Si trabajan de manera independiente, calcule la probabilidad de que sean exactamente dos de las tres sucursales que reciban más de cuatro toneladas al un en día determinado. Solución.
La probabilidad de que una sucursal reciba más de cuatro toneladas es:
Si las tres sucursales trabajan de manera independiente, el problema es encontrar la probabilidad de dos éxitos en tres intentos, donde 0,37 es la probabilidad de éxito, por lo tanto estamos frente a una distribución binomial.
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Estadística bivariada Nivel Proyección
85. Una empresa tiene tres sucursales, todas ellas reciben arroz. La cantidad de arroz que pueden recibir se puede representar mediante un modelo exponencial con promedio cuatro toneladas para cada una de las sucursales. ¿Cuánto arroz debe almacenar para esa sucursal cada día para que la probabilidad de quedarse sin arroz sea solo 0,05?
Solución.
Sea
la cantidad por almacenar, como
tiene una distribución
exponencial, se tiene:
Se selecciona
de tal manera que
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86. El almacenamiento de una bencinera se modela según una distribución beta con y . ¿Será probable que en la bencinera se venda por lo menos el 90% de la capacidad de su almacenamiento?
Solución.
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