/matematicaexemplo

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determinado pelas coordenadas de

Ă lgebra linear

seu ponto final. TĂłpicos

•

Vetores

•

Transformaçþes lineares

•

Sistemas lineares

•

Autovalores e autovetores

•

Espaços e subespaços

•

Matrizes

Operaçþes

com

Vetores:

Sejam

, , e , , vetores em . As operaçþes definidas são:

Teoria

Adição: A soma vetorial Ê obtida

Vetores

somando os termos correspondentes Definição: Os vetores representam

de e .

grandezas força e velocidade. Essas

, ,

grandezas podem ser representadas

A soma de vetores com nĂşmeros

por setas que possuem comprimento

diferentes de termos nĂŁo ĂŠ definida.

e direção, e partem de um ponto de

Multiplicação por um escalar: O

referĂŞncia O, e assim sĂŁo definidos os

ou , Ê a multiplicação de cada

quantidades que possuem magnitude e direção, como por exemplo as

vetores.

Em um espaço tridimensional ,

onde

todos

os

pontos

sĂŁo

produto do vetor por um escalar k,

componente de por k, resultando no vetor:

representados por valores reais nos eixos ordenados , e com origem

no ponto O, um vetor ĂŠ unicamente

, , , ,

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Propriedades (1): Considere agora os vetores , e em e os escalares e em . Então:

número real ou complexo ℂ relacionado a cada ponto no espaço.

Para quaisquer , , pertencentes a

e , pertencentes a , as propriedades (1) dos vetores são

0

0

satisfeitas.

Notação:

1

, , – Vetores em

– Campo escalar

– Um dado espaço vetorial

, – Escalares em

∈ " – Elemento pertence ao conjunto "

Espaços Vetoriais

, ∈ " – Elementos e

pertencem a "

Definição: Considere o campo escalar

e um conjunto não vazio com

∀ ∈ " – Para qualquer x em "

∃ ∈ " – Existe x pertencente

duas operações:

a"

Adição: Atribui a qualquer vetor ,

" ⊆ & – " é um subconjunto

pertencente a a soma em ;

de &

" ∪ & – União de " e &

" ∩ & – Intersecção de " e & ∅ – Conjunto vazio

Multiplicação Escalar: Atribui a todo pertencente a , pertencente a

um produto pertencente a ;

Então é chamado Espaço Vetorial,

no campo . Observe que o campo

escalar pode ser visualizado como um espaço

n-dimensional,

com

um

Subespaços Vetoriais Definição: Considere um espaço

vetorial em um campo escalar , e *

um subconjunto de . Então, * é um

subespaço se ele próprio for um www.teslaconcursos.com.br

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espaço vetorial em com relação às operaçþes

de

adição

vetorial

multiplicação por um escalar em .

e

â‹Ż 1 , 1

O conjunto - de todos os vetores formados da combinação linear de

Observaçþes: Todo subespaço * deve conter o vetor nulo devido à propriedade 0 .

, ‌ , 1 ĂŠ um subespaço vetorial. -

ĂŠ chamado de subespaço gerado por , ‌ , 1 e ĂŠ denotado por

- 3 , ‌ , 1 4

Todo espaço vetorial admite pelo menos 2 subespaços, ou subespaços

pelo vetor nulo +0, e o próprio espaço triviais. São eles o conjunto formado

.

Um exemplo de subespaço não trivial Ê o subespaço - formado por todos os vetores do espaço vetorial

iguais; - + , , | , que

possuem

Propriedades:

seus

-

Se

componentes

e

*

sĂŁo

subespaços do espaço vetorial ,

entĂŁo -â‹‚* e - * tambĂŠm sĂŁo

Exemplo

Suponha que se queira expressar 3,7, 4 em

combinação

1,2,3 ,

, e

, , ‌, 1

em

se

existem

que

possibilitem

a

Solução:

em . Um vetor em ĂŠ uma vetores

2,3,7 ,

.

Definição: Seja um espaço vetorial de

vetores

combinação linear

Combinação Linear

linear

dos

3,5,6 . Encontre os escalares

subespaços vetoriais.

combinação

linear

como uma

escalares , , ‌ 1 em tal que:

3 1 2 3 ; 7 < ;2< ;3< ;5< 4 3 7 6

2 3 3 = 2 3 5 7 3 7 6 4 ou

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Resolvendo o sistema, tem-se 2,

4, 3. Portanto 2

5 2 3

3 1,1,0 5 1,3,2

2 4,9,5 0,0,0

4 3 .

Portanto, os vetores sĂŁo linearmente

DependĂŞncia e IndependĂŞncia Linear

dependentes.

Definição: Seja um espaço vetorial em . Os vetores , ‌ , 1 em sĂŁo

linearmente dependentes se existem escalares , , ‌ 1 em , sendo ao

menos um > ? 0, tal que:

â‹Ż 1 1 0

Caso

contrĂĄrio,

os

vetores

Um

Defina se os vetores 1,2,3 , 2,5,7

e

linearmente

1,3,5

dependentes

sĂŁo

ou

independentes. sĂŁo

linearmente independentes.

Teorema:

Exemplo

1 2 1 0

;2< ;5< ;3< ;0< 3 7 5 0

Solução: conjunto

+ , ‌ , 1 , Ê linearmente dependente

2 0 = 0 2 0

Resulta no sistema

se e somente se pelo menos um

destes vetores Ê combinação linear

que implica em 0, 0 e 0.

dos outros.

Portanto, os vetores sĂŁo linearmente independentes. Exemplo Defina se os vetores 1,1,0 ,

1,3,2

e

linearmente

4,9,5

dependentes

independentes.

sĂŁo

ou

Base de um Espaço Vetorial - + , , , ‌, 1 ĂŠ uma base de Definição:

Se 3, 5 e 2,

conjunto

se - for linearmente independente, e se - for um subespaço vetorial gerado

Solução:

Um

por

, ‌ , 1 4). 3

, ‌ , 1

(-

Observaçþes:

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Qualquer base de tem o mesmo

nĂşmero A de vetores. A ĂŠ chamado de dimensĂŁo de B, denotado por dim .

Se

dim A,

entĂŁo

qualquer

conjunto de A vetores LI ĂŠ uma base.

Qualquer conjunto com mais de A vetores ĂŠ necessariamente LD.

Teorema: Sejam - e * subespaços de

um

espaço

vetorial

,

Exemplo Seja o espaço vetorial real com

produto intrno. Pela linearidade: ⌊5 6 7 , 2 âŒŞ

5⌊ , âŒŞ 10⌊ , âŒŞ 6⌊ , âŒŞ 12⌊ , âŒŞ

7⌊ , âŒŞ 14⌊ , âŒŞ

entĂŁo

dim - F dim , dim * F dim e

dim - * dim - dim * dim - ∊ *

Produto Interno

Definição: Seja um espaço

Norma Vetorial A norma vetorial ĂŠ uma propriedade definida dentro do espaço vetorial produto interno ⌊ , âŒŞ ĂŠ nĂŁo negativo

com produto interno. Sabendo que o para qualquer vetor , sua raiz

vetorial real. Suponha que para cada

quadrada existe. Dessa forma a

um nĂşmero real, denotado por ⌊ , âŒŞ.

norma do vetor ĂŠ definida por:

par de vetores , ∈ ĂŠ atribuĂ­do

‖ ‖ K⌊ , âŒŞ

Essa função ĂŠ chamada de produto interno real em se os seguintes ⌊ , âŒŞ

axiomas sĂŁo satisfeitos: Linearidade:

⌊ , âŒŞ ⌊ , âŒŞ ⌊ , âŒŞ ⌊ , âŒŞ Simetria

Positividade:

ou

‖ ‖ 1 ⌊ , âŒŞ,

Se

chamado

de

vetor

entĂŁo unitĂĄrio

ĂŠ ou

normalizado.

Homogeneidade:

⌊ , âŒŞ I 0;

0 se e somente se 0

⌊ , âŒŞ

Produto escalar É um caso especial de produto

interno. No espaço Euclideano , o produto escalar Ê definido por:

â‹… â‹Ż www.teslaconcursos.com.br 66

onde > e > .

Note que, sendo UV P positivo, o ângulo Ê agudo.

Norma em M

A norma ‖ ‖ do vetor > no

espaço Euclideano Ê:

‖ ‖ √ â‹… O â‹Ż

Ă‚ngulos Ortogonais

, ∈ , sendo o Dois vetores

espaço vetorial com produto interno, são

ortogonais

se

⌊ , âŒŞ 0 ou cos P 0, isto ĂŠ, P . Z

Ă‚ngulo entre Vetores

Para quaisquer vetores nĂŁo nulos e

Transformaçþes Lineares

em um espaço vetorial com produto

interno , o ângulo entre e , P, Ê tal que 0 F P F Q e

escalar . A transformação linear [ ĂŠ [: â&#x;ś -

que satisfaz as condiçþes:

Exemplo Considere os vetores 3,4,5 e

2, 5,4 em . Calcule o ângulo

entre eles.

⌊ , âŒŞ 6 20 20 6

Solução:

‖ ‖ √9 16 25 √50 5√2 ‖ ‖ √4 25 16 √45 3√5 UV P

espaços vetoriais no mesmo campo uma função de em -,

⌊ , âŒŞ cos P

‖ ‖‖ ‖

6

Definição: Sejam e - dois

2

15√10 5√10 2 P W UV

82,73° 5√10

Para qualquer vetor , ∈ , [ [ [ ;

Para qualquer escalar e vetor ∈ ,

[ [ .

A transformação linear preserva as duas operaçþes båsicas de um espaço vetorial, a adição e a multiplicação por um escalar, como foi mostrado nas duas propriedades acima.

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" ` Exemplo

A

função

4 3 1 1 a ` a ` a 4 2 2 1 4

Portanto, os autovalores sĂŁo:

^ , 2, 3 ,

^: â&#x;ś , adiciona o vetor 2,3 a

qualquer vetor , em . Note

que ^ 0 ^ 0,0 2,3 . Portanto,

o operador ^ nĂŁo ĂŠ linear, jĂĄ que ele

_ 1 e _ 4 Polinômio Característico Considere o sistema de equaçþes lineares do

nĂŁo mapeia o vetor nulo em um vetor nulo.

Exemplo

2 3 3 = 2 3 5 7 3 7 6 4

Autovalores e Autovetores

Definição:

Seja

"

uma

matriz

quadrada qualquer. Um escalar _ ĂŠ

chamado de autovalor de " se existir

um vetor coluna tal que:

Esse sistema pode ser escrito da seguinte forma: "

" _

Qualquer vetor que satisfaça essa relação Ê chamado autovetor de " associado ao autovalor _.

3 1 1 1 Seja " ` a, ` a e ` a. 2 2 2 1 3 " ` 2

1 " ;2 3

2 3 3 b c, ; 7 < 3 5<, 7 6 4

A equação " pode ser vista

Exemplo

EntĂŁo,

Sendo

1 1 1 a` a ` a 2 2 2

como uma transformação linear que mapeia um dado vetor em um novo

vetor . Vetores que podem ser

transformados em mĂşltiplos de si

mesmos, como _ , sĂŁo muito

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[ > > >

importantes para encontrar soluções para a equação " _ ou " _d 0.

sendo > um vetor não nulo.

Teorema: Os autovetores não nulos

A equação acima possui soluções não

, , … de um operador linear [,

associados a autovalores distintos

nulas se e somente se

, , … ,

∆ _ det " _d 0.

são

linearmente

independentes.

O polinômio ∆ _ é chamado de

Matrizes

polinômio característico, sendo que

os valores de _ que satisfazem ∆ _ são os autovalores da matriz " e as

são os soluções não nulas para autovetores correspondentes à _.

Definição: Uma matriz é uma distribuição retangular de elementos na forma: a a A j ⋯ al

Diagonalização de Operadores Definição:

Considere

o

operador

linear [: ⟶ . Se [ puder ser representado

por

uma

matriz

diagonal, [ é diagonalizável. Neste

- + , , … , de para a qual caso,

deverá

existir

uma

base

base

-

distribuições

consiste

dos

autovetores de [, e os elementos da

matriz diagonal h + , , … , ,

horizontais

de

escalares: a

al

de

⋯ a M ⋯ a M … ⋯ m ⋯ alM

Sendo as linhas da matriz A as m

[ , [ , … , [

A

a a ⋯ al

a

al

até

⋯ a M

⋯ alM ;

e as colunas de A as n distribuições verticais de escalares:

são os autovalores correspondentes.

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a a M a a M j ⋯ m até j ⋯ m. al alM

de suas linhas, mantendo a ordem dos elementos envolvidos. Por exemplo,

Note que o elemento ano pertence à

linha i e à coluna j.

Matriz linha ou vetor linha: Matriz (m 1).

Do exemplo acima, se A pano q é uma

Matriz Quadrada: Matriz cujo número

Matriz de m linhas e n colunas: m r n. apenas

uma

linha

de linhas é igual ao número de

colunas (m n); também chamada de matriz de ordem n.

Matriz Identidade: Matriz quadrada composta

Matriz coluna ou vetor coluna: Matriz formada por apenas uma coluna n 1.

Matriz Nula: Matriz cujos elementos

são todos números reais; também chamada de matriz em . Complexa:

elementos

são

todos

1 0 IM j ⋯ 0

diagonal

0 ⋯ 1 ⋯ ⋯ … 0 ⋯

0 0 m ⋯ 1 M

O Delta de Kronecker, δno é uma

cujos δno y

números de

matriz em ℂ. Transposta:

na

função definida por

Matriz

complexos; também chamada

Matriz

uns

nas demais posições (ano 0 se i ? j).

todo i e j).

Matriz Real: Matriz cujos elementos

de

principal (ano 1 se i j) e de zeros

são todos iguais a zero (ano 0, para

Matriz

4 5c 6

n r m onde bno aon .

A pano q

por

1 t 3 a b2 6 3

matriz m r n, At pbno q é uma matriz

Notação:

formada

1 2 ` 4 5

A

0 se i ? j 1 se i j

matriz

Portanto, a Matriz Identidade pode

as colunas de uma matriz A no lugar

Matriz Diagonal: É um tipo especial

transposta, At , é obtida ao distribuir

ser definida como I pδno q.

de matriz quadrada. A matriz é

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diagonal se seus elementos que não estão na diagonal principal forem todos iguais a zero(ano 0 se i ? j).

Matriz Triangular Superior: Outro tipo especial de matriz quadrada cujos elementos abaixo da diagonal

principal são todos nulos (bno 0, se

i z j); como abaixo:

b b B j 0 b 0 0

A B

a b a b

} ⋯ al bl

⋯ ⋯ … ⋯

a M b M a M b M ~ ⋯ alM blM

Propriedades: A B B A;

A B C A B C; A 0 0 A A;

b b m b

A A A A 0.

Matriz Triangular Inferior: Similar à

Multiplicação por Escalar: O produto

Matriz

kA, resulta em uma matriz m r n

Triangular

triangular

inferior

elementos

acima

Superior,

a

possui

os

da

diagonal

principal iguais a zero (bno 0 se i |

j); como abaixo:

b 0 B ;b b b b

0 0 < b

de uma matriz AlrM por um escalar k,

cujos elementos são a multiplicação de cada elemento de A por k. ka ka kA } ⋯ kal

Adição: Supondo A pano q e B pbno q

k k A k A k A;

m r n; a soma A B é a matriz m r n elementos

partir

da

soma

correspondentes

matrizes A e B:

ka M ka M ~ ⋯ kalM

k A B kA kB;

duas matrizes de iguais dimensões

a

⋯ ⋯ … ⋯

Propriedades:

Álgebra Matricial

obtida

ka ka ⋯ kal

k k A k k A; 1 ∙ A A.

dos das

Multiplicação: Sendo A pano q B pbno q

rM

lr

e

matrizes em que o

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nĂşmero de colunas da primeira ĂŠ igual ao nĂşmero de linhas da segunda,

o produto AB ĂŠ uma matriz m r n

cujos

elementos

ij

sĂŁo

obtidos

multiplicando a linha i pela coluna j,

nĂşmero de linhas da matriz &, a

multiplicação ĂŠ definida, e " r & r ‡ r . 1 ` 2

elemento a elemento, e somando os resultados; como abaixo:

AB 3cno 4lƒM com cno ∑…† an… b…o ‚

e

Propriedades: "& ‡ " &‡ – Associativa;

" & ‡ "& "‡ – Distributiva; " & ‡ "‡ &‡ – Distributiva;

"& " & " & – Sendo k um escalar;

"d d" " – Sendo d uma matriz

identidade;

0" "0 0 – Sendo 0 uma matriz nula.

2 0 4 3 ar` a 3 2 6 1

`

a

1 ∗ 2 3 ∗ 3 11 ⋎

2 ∗ 4 1 ∗ 6 14

Portanto, ‡ `

11 6 14 a 1 2 14

Solução (b): A multiplicação de &" não Ê definida, jå que o número de colunas da primeira Ê diferente do número de linhas da segunda.

Adição e Multiplicação de Matriz Transposta Propriedades: A B t At Bt

Exemplo 1 Dadas as matrizes A ` 2 2 0 4 B ` a, encontre: 3 2 6

At t A

3 a e 1

(a)AB

(b) &"

kA t kAt

AB t Bt At Enfatiza-se

Solução (a): Como a matriz " tem o

mesmo nĂşmero de colunas que o

no

Ăşltimo

que

a

transposta do produto ĂŠ o produto das transpostas, porĂŠm na ordem inversa.

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Se o sistema de equações lineares

Sistemas de Equações Lineares

possuir uma ou mais soluções, ele é Definição: Um sistema de equações

chamado consistente.

lineares é uma lista de m equações

Se o sistema de equações lineares não

lineares

mesmas n incógnitas x , x , … , xM e

possuir solução,

podem ser escritas na forma padrão:

Dois sistemas de equações lineares

a x a x ⋯ a M xM b a x a x ⋯ a M xM b

⋮ al x al x ⋯ alM xM bl

que possuem as mesmas soluções,

(L , L , … Ll )

com

as

Ax B

ele é

chamado

inconsistente.

são chamados equivalentes. Formas Escalonadas:

Onde ano e bn são constantes. O

Triangular:

número bn é a constante da equação

forma que a primeira incógnita com

número

ano

é

o

coeficiente

da

incógnita xo na equação Ln , e o

O

sistema

possui

o

mesmo número de equações e de incógnitas, m n, e é escrito de

Ln .

coeficiente não nulo de uma equação

Características:

com coeficiente não nulo da equação

Se o número de equações for igual ao

precedente, como abaixo:

número de incógnitas (m n), o sistema é chamado quadrático.

Se todos os termos constantes forem iguais a zero, bn 0, o sistema é chamado homogêneo.

A relação de valores para as n

esteja à direita da primeira incógnita

a x a x a x a x b a x a x a x b a x a x b a x b

Como

a

primeira

incógnita

da

equação L com coeficiente não nulo é x , da equação L é x , e assim por

incógnitas do sistema que resolve

diante, o sistema na forma triangular

todas as equações desse sistema, é

é chamado quadrado.

chamada solução particular. Esta

Observação: A primeira incógnita

relação

ser

com coeficiente não nulo de cada

pertence à um conjunto K M de

equação do sistema é chamada pivô.

de

valores

pode

que representada por um vetor u soluções para o sistema, também chamado solução geral.

No sistema na forma triangular acima, as variáveis pivôs são x , x , x e x .

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a a A j â‹Ż al

Não Triangular: Assim como na forma triangular, o sistema Ê escrito de forma que o pivô de uma equação esteja à direita do pivô da equação precedente PorÊm, o sistema possui menos equaçþes do que incógnitas, m | n. Portanto, sua solução Ê dada

em função das n m incógnitas que

nĂŁo sĂŁo pivĂ´s. Exemplo 10:

a a â‹Ż al

⋯ a M ⋯ a M ‌ ⋯ m ⋯ alM

Matriz aumentada: a a M j â‹Ż al

a a â‹Ż al

⋯ ⋯ ‌ ⋯

a M a M â‹Ż alM

b b m ‌ bl

Sendo

O sistema seguinte estĂĄ na forma 2x 6x x 4xÂ? 2xÂ? 15 x 2xÂ? 2xÂ? 5 3xÂ? 9xÂ? 6

escalonada nĂŁo triangular:

As variĂĄveis pivĂ´s sĂŁo x , x e xÂ? .

A solução paramÊtrica do sistema Ê dada atribuindo valores arbitrårios à x e x� , como a e b, respectivamente.

x x x j â‹Ż m, o vetor das incĂłgnitas e xM

b B } bâ‹Ż ~, a matriz das constantes. bl AnĂĄlise das soluçþes:

Fazendo as substituiçþes:

Se todos os coeficientes de uma

É

iguais a zero, al , al , ‌ alM 0, o

x 4 3a 9b

x 1 8b Assim,

xÂ? 2 3b a

solução

sistema pode ser:

geral

ĂŠ:

s 4 3a 9b, a, 1 8b, 2 3b, b

Forma Matricial: O sistema Ax B pode ser representado de dois modos matriciais: Matriz de coeficientes:

equação Ll do sistema linear forem

PossĂ­vel e indeterminado: Se 1 0,

qualquer vetor em pode ser a solução da equação Â’1 , a qual pode

ser excluída do sistema sem que seu conjunto solução seja alterado.

ImpossĂ­vel: Se ? 0, o sistema nĂŁo

tem solução.

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Se em todas as equações do sistema, um

ou

mais

coeficientes

forem

Exemplo

diferentes de zero, o sistema é: Possível e determinado.

Verifique se os vetores são soluções

Sendo um sistema linear de n

11.

incógnitas, e sendo M 3A, B4 a matriz aumentada do sistema:

O sistema tem solução se e apenas se o posto de " for igual ao posto de .

da equação x 4x 3x 2x

(a) u 3,1,2,5

(b) v 1,3,2,4

Solução(a):

A solução é única se e apenas se o posto de " for igual ao posto de ,

3 4 1 3 2 2 5 11

que devem ser iguais à A.

é solução da equação.

O sistema tem infinitas soluções se A | posto de " posto de .

Solução(b):

1 4 3 3 2 2 4 15

Observação: O posto da matriz A é

não é solução da equação.

igual ao número de pivôs da forma

escalonada de A Como será estudado

no

capítulo

Dependência

e

Exemplo

Independência Linear da Aula 4, o posto é também o número de linhas linearmente independentes, ou ainda, o número de linhas não nulas de um sistema linear escrito na forma escalonada.

Considere o sistema y

determine:

x ay 4 e ax 9y b

(a) Os valores de a para que o sistema tenha

uma

única

solução.

(b) Os valores a, b para que o

sistema tenha mais de uma solução.

Solução (a): Somando as equações equivalentes, temos:

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y

4

9 9

4

Exemplo

9 ? 0, ou se ? –3.

O sistema tem uma única solução se

Aplique a eliminação Gaussiana para 2x 3y 2z 6 L1 2x 4y 3z 8 L2 6x 6y 8z 9 L3

resolver o sistema:

9 0

Solução (b): O sistema tem mais de uma

solução

4 0.

se

e

Para 3, 12. Para 3,

Solução: O primeiro passo Ê eliminar

3,12 e , 3, 12 , o sistema

aplica-se

12.

Portanto, para os pares ,

tem mais de uma solução.

Eliminação Gaussiana

Definição: É um mĂŠtodo para resolver sistemas de equaçþes lineares. Ao aplicar a Eliminação Gaussiana, ou reduz-se

o

sistema

Ă

forma

escalonada ou triangular, levando-o Ă

x de L2 e L3. Para isso, usa-se o coeficiente 2 de x em L1 como pivĂ´ e L2 L1 L2

de que o sistema não tem solução.

e

L3 3L1 L3,

2x 3y 2z 6 L1 y z 2 L2 3y 2z 9 L3

O segundo passo ĂŠ eliminar y de L3

do novo sistema. Para isso, usa-se o coeficiente 1 de y em L2 como pivĂ´

e

aplica-se

a

substituição,

L3 3L2 L3, obtendo

resolução, ou Ê encontrada uma nulos exceto b, levando à verificação

substituiçþes,

obtendo

sua forma equivalente de mais fĂĄcil

equação com todos os coeficientes

as

E

2x 3y 2z 6 L1 y z 2 L2 5z 3 L3

esta

ĂŠ

a

forma

equivalente

simplificada do sistema, que possui 1 solução definida.

Etapas: As etapas da Eliminação Gaussiana

serĂŁo

mostradas

Determinantes

no

exemplo a seguir. Determinante Ê uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar. Esta função permite saber www.teslaconcursos.com.br 76

se a matriz tem ou nĂŁo inversa, pois

7) Se permutarmos duas linhas ou

as que nĂŁo tĂŞm sĂŁo precisamente

colunas de A entĂŁo o determinante da

aquelas cujo determinante ĂŠ igual a 0.

nova matriz ĂŠ −det(A); 8) Se A tem duas linhas (ou colunas)

Propriedades:

iguais, entĂŁo det(A) = 0;

1) O determinante tambĂŠm ĂŠ uma

9) Se somarmos a uma linha (ou

função n-linear e alternada nas

coluna) de A um mĂşltiplo de outra

colunas da matriz;

linha (ou coluna), o determinante da

2) O determinante de uma matriz ĂŠ

nova matriz ĂŠ igual ao de A;

igual

10) Se A e B sĂŁo matriz quadradas da

ao

determinante

da

sua

transposta: det(A) = det(AT);

mesma ordem, entĂŁo det(AB) =

3) Se uma fila (linha ou coluna) da

det(A).det(B);

matriz ĂŠ composta de zeros, entĂŁo o

11) Se A ĂŠ invertĂ­vel, entĂŁo

determinante desta matriz serĂĄ zero;

det(A−1) = 1⠄det(A), de onde resulta

4) Se escrevermos cada elemento de

que se A Ê invertível então det(A) ≠0;

uma linha ou coluna de A como soma

12) Se A ĂŠ ortogonal, entĂŁo det(A) =

de duas parcelas entĂŁo det(A) ĂŠ a

Âą1.

soma de dois determinantes de ordem n cada um considerando como

Determinante de ordem 1: ĂŠ o prĂłprio

elemento daquela linha ou coluna

nĂşmero que gera a matriz.

uma das parcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;

Determinante de ordem 2: ĂŠ a

5) Se uma matriz ĂŠ triangular

diferença entre o produto dos termos

(superior

ou

determinante

inferior) ĂŠ

o

o

seu

da diagonal principal e o produto dos

produto

dos

termos da diagonal secundĂĄria. Esses

elementos da diagonal principal;

produtos

6) Multiplicando uma fila (linha ou

respectivamente, termo principal e

coluna) de uma matriz A por um

termo secundĂĄrio da matriz.

escalar Îť ∈ K, entĂŁo o determinante da

nova

matriz

ĂŠ

igual

ao

determinante de A multiplicado por Îť;

˜ ™

se

chamam,

š

www.teslaconcursos.com.br 77

Determinante de ordem 3, ou regra

x e y podem ser resultados usando a

de Sarrus:

regra de Cramer:

˜ › œ

Â?

Â&#x; ž

` ÂĽ

ž � œ

œ � ž

`

`

Determinante de ordem n A

fĂłrmula

de

Leibniz

para

determinante de uma matriz A, n por

ÂŚ

a a

a

nĂŠ Caiu no Concurso!

det "  >ÂĄ 1 >¢¥ . ˜"¤>,¤¥ ¥†

A regra de Cramer Ê um teorema em ålgebra linear, que då a solução de um sistema de equaçþes lineares em termos de determinantes. Recebe este nome em homenagem a Gabriel

– 2011 Sejam

Regra de Cramer.

Cramer (1704 - 1752).

1-(PETROBRAS - Eng. E. Jr – T. e D.) u 1,2 ,

w 3, n

vetores

w 2u v , entĂŁo a)m n 0

v m, 4 de

.

e Se

b)m n 4 c)m 3n

d)m. n 8 e) m. n 1

que em forma matricial ĂŠ:

`

a ` a ` a www.teslaconcursos.com.br 78

2-(PETROBRAS - Eng. Petróleo Jr) –

4-(PETROBRAS - Eng. Petróleo Jr) -

2011

2011

v ¨ 1, 1,1,0 ,

Considere

v 3,0,1,1 , v 2,1,0,1 vetores

Considere

no espaço e seja V o subespaço de

¬ x, y, z, w ∈

a)0.

gerado por esses 3 vetores. Nesse

o

subespaço

V

x 0 3 y 9 ¯ z ° 0 ­. 0 3 w

b)1.

1 2 1 : 3 6 3 1 2 1

c)2.

Neste caso, a dimensão de V é igual a a)0.

d)3.

b)1.

caso, a dimensão de V é igual a

e) 4.

c)2. d)3.

e) 4.

3- (PETROBRAS - Eng. Petróleo Jr) 2011 Uma base para o espaço-solução do sistema homogêneo de duas equações 2x 2y z w 0 x y z w 0

lineares y

a

4

incógnitas

é

a)ª 1,1,0,0 , , 0, , 1 «

1,1,0,0 , , 0, , 1 , b)¬ ­ , 1, , 1

1,0,0,0 , 0,1,0,0 , 0,0,1,0 , d) y ® 0,0,0,1 c) + 1,1,0,0 , e) + 0,0,0,0 ,

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5-(PETROBRAS - Eng. E. Jr – T. e D.)

7-(PETROBRAS - Eng. PetrĂłleo Jr) -

- 2011

2010

(PETROBRAS - Eng. Petróleo Jr) –

combinação linear dos vetores 1,0,1

2011

Sejam u e v vetores de cujos mĂłdulos sĂŁo, respectivamente, 3 e 1 e

que formam entre si um ângulo θ tal

que cos θ . O módulo do vetor 2u 3v Ê:

a)3.

b)√3.

O vetor m, 2,3 do ĂŠ uma

e 2,1,1 . O valor de m ĂŠ

a) 1.

b) 2. c) 3.

d) 4. e) 5.

c)√13. d)√23.

e) √69.

8-(PETROBRAS - Eng. PetrĂłleo Jr) 2010

6-(PETROBRAS -

Eng. E. Jr -

ElĂŠtrica) -2011 (PETROBRAS - Eng. PetrĂłleo Jr) 2011

Seja T uma transformação linear de

em tal que T u 1,2 e

T v 0,3 , onde u e v sĂŁo vetores

do . Sendo a e b reais nĂŁo nulos, tem-se

que

T au bv

a) , 2 3

b) 2 , 3

c) , 2 3

ĂŠ

igual

A imagem de uma transformação linear [: Âł â&#x;ś ĂŠ o espaço gerado pelos

vetores

1,0,1 ,

0,1,0

e

1, 1,1 . A dimensĂŁo do nĂşcleo de [ ĂŠ

a) 4.

b) 3. c) 2.

d) 1. e) 0.

d) 2 , 3

e) , 5

www.teslaconcursos.com.br 80

9-(PETROBRAS - Eng. Petróleo Jr) -

11-(PETROBRAS - Eng. Petróleo Jr)

2011

- 2011

Considere a transformação linear

1 2 3 B. Se A ` a, B ` 1 1 1

T: ⟶ tal que T 1,0 1,1 e T 0,1 3,2 . Sendo λ e λ os

autovalores de T, λ e λ reais e λ >λ ,

tem-se que

a) λ +λ 1

b) λ +λ 5

c) λ λ √21

d) λ λ 5 e)

µ¶ µ·

11 √21

Considere a equação matricial AX

então a matriz X é 2 4 a 2 5 5 6 b) ` a 4 2 3 1 c) ` a 1 4 5 8 d) ` a 3 2 4 0 e) ` a 0 3 a) `

2 a, 4

12-(PETROBRAS - Eng. E. Jr - T. e D.) - 2011 10-(PETROBRAS - Eng. Petróleo Jr) - 2011-62C

Dentre os métodos diretos utilizados para a resolução de sistemas de

1 0 0 A 2 4 0 0 0 1

É correto afirmar que a matriz

equações lineares, estão os de a)

Eliminação de Gauss e de Gauss-

Jordan.

a) Não é diagonalizável

b)

b) Possui apenas um autovalor real

Gauss-Jacobi.

c) Possui 3 autovalores reais distintos

c)

d)

Seidel.

Possui

2

autovalores

reais

distintos

d)

Eliminação de Gauss e de

Decomposição LU e de Gauss-

Gauss-Seidel e de Gauss-Jordan.

e) Não possui autovalores reais

www.teslaconcursos.com.br 81

13-(PETROBRAS - Eng. E. Jr -

14-(PETROBRAS - Eng. Petróleo Jr)

Elétrica) - 2011

- 2010

(PETROBRAS - Eng. Petróleo Jr) 2011 mx y 3 , no qual m e n são x y n

Com relação ao sistema de variáveis x e y, y

Considere os vetores , e

, . Sobre esses vetores tem

se que a)

São ortogonais

números reais, tem-se que

b)

São ambos unitários

a)

c)

Têm a mesma direção

d)

Formam ângulo obtuso

Se m 1 e n 3, qualquer

par ordenado x, y , x e y reais, é

solução.

tem

b)

Não

c)

Tem sempre solução quaisquer

m 1 e n ? 3.

que sejam m e n reais. d) e)

solução

e) se

Tem duas soluções se m ? 1. 1,1 é solução se m n.

Apenas o vetor é unitário

15-(PETROBRAS - Eng. Petróleo Jr) - 2010

Seja ¹ o subespaço vetorial de

formado por todos os ternos , , 2 3 0 2 0

que são soluções do sistema linear y

Considere as seguintes afirmativas relativas a ¹:

I – ¹ é o espaço gerado pelos vetores 2,1,3 e 1, 1,2 ;

II – todos os vetores em ¹ são ortogonais ao vetor 2,1,3 ; III – ¹ tem dimensão 0.

Está correto APENAS o que afirma em

a)

I.

b)

II.

c)

III.

d)

I e II.

e)

II e III.

www.teslaconcursos.com.br 82

16-(PETROBRAS - Eng. Petróleo Jr) - 2010

A

imagem

do

quadrado

Q,

representado acima na figura à esquerda, por uma transformação

linear [: ⟶ é o losango L representado na figura à direita.

Dentre as matrizes abaixo, aquela que

pode representar [ com respeito à

base canônica de é a)

b) c) d) e)

¥ ¥

1 1⁄2

1 1⁄2

1 ¦ 1⁄2

1 ¦ 1⁄2

1 1 a 1 1 1 1 ` a 0 1 ⁄ ⁄ `1 2 1 2a 1 1 `

www.teslaconcursos.com.br 83

Gabarito – Caiu no Concurso! Questão

Resposta 1

D

2

C

3

A

4

C

5

E

6

A

7

E

8

A

9

C

10

C

11

B

12

A

13

B

14

D

15

B

16

A

www.teslaconcursos.com.br 84

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