Ano I. Boletín nº 1
¿TODO
Depósito legal: C-2766-06
É NÚMERO?
Todas as cousas que poden ser coñecidas teñen o seu número; pois non é posible que sen número nada poida ser coñecido nin concibido. FILOLAO.
N
inguén vai discutir a estas alturas que o matemático máis popular da historia vén sendo un tal Pitágoras de Samos. A súa escola, organizada na práctica coma unha secta, deixou para a posteridade insignes membros e múltiples coñecementos que seguen vixentes na actualidade. Arredor do concepto de número xiraron moitos dos seus estudios e artellaron moitas das súas ensinanzas; tal era a importancia que para eles tiña que os membros da escola pitagórica prometían Pitágoras de Samos obediencia ó mestre e cumprimen569-475 (A.Xto.) to das regras que rexían a vida dentro da academia facendo xuramento pola “SAGRADA TETRACTIS”.
S
Outubro, 2006
PENTAMINÓS
e observas as letras da cabeceira deste boletín poderás ver que son puzzles de doce pezas, e teñen a particularidade de que están compostas de cinco cadrados cun lado en común.
De feito, son doce as posibilidades de colocar cinco cadrados cumprindo esa propiedade. Estas pezas coñécense co nome de PENTAMINÓS e forman parte dunha familia xenérica chamada POLIMINÓS.
POLIMINÓ é un grupo de cadrados unidos polos seus lados, de tal maneira que cada dous deles teñen alomenos un lado común. Os poliminós poden clasificarse en: UNIMINÓS (cun só cadrado), DOMINÓS (con dos cadrados), TRIMINÓS (con tres cadrados), TETRAMINÓS (con catro cadrados), PENTAMINÓS (con cinco cadrados), HEXAMINÓS (con seis cadrados)... Algúns poliminós son:
Denominaban Tetractis ó número triangular cuarto (o número 10, o número do universo) pois nel vían resumidas todas as dimensións: punto, recta, plano e espacio. Pero non só dos números se ocuparon os pitagóricos; o estudio dos poliedros regulares foi outro dos seus temas preferidos. Tal foi a cousa que chegaron a executar a un dos membros da súa comunidade, Hippaso, por romper o xuramento de manter os coñecementos en secreto e andar gabándose en público de ser el o descubridor do dodecaedro. Articulo publicado en DOUSPIERRE nº 31 (Decembro, 2003)
¿Poderías completar esta táboa co número deles que existen en cada grupo?: Nº cadrados Nº poliminós
1
2
3
4
5
6
12
35
Os tetraminós e un triminó son a base do xogo coñecido por TETRIS. ¿Cales son? continúa na páxina 4
CONCURSOS
DE PROBLEMAS
Canguro matemático
E
ste curso, desde o Departamento de Matemáticas do IES Monelos queremos ofrecerlles aos nosos alumnos e alumnas a participación en varios concursos de resolución de problemas destinados a diversos niveis de secundaria obrigatoria e postobrigatoria e de diferente formato. Estes concurso serían:
Olimpiada matemática
CAIXÓN ¡ESES
DOS PROBLEMAS
INÚTILES RELOXOS!
Un destes reloxos vai adiantado cinco minutos; outro, trinta e cinco;e un terceiro, retrasado cinco minutos. Os tres restantes están parados. ¿qué hora será?
OPEN MATEMÁTICO Dirixido a alumnos de ESO e Bacharelato, desenvólvese en sete semanas entre Xaneiro e Marzo. Cada semana proponse entre dous e catro problemas e da resolución e corrección encargase o Departamento de Matemáticas.
XVIII OPEN MATEMÁTICO
RALLYE MATEMÁTICO sen fronteiras.
FÓRMULA I
Dirixido a alumnos de 3º e 4º de ESO. A participación é dunha clase enteira e consta da resolución, en grupo, de dez problemas. O exame realízase no propio centro durante dúas horas e soe ser unha tarde do mes de marzo. O premio é unha viaxe a Toulouse para todo o grupo. OLIMPÍADA MATEMÁTICA para 2º ESO Dirixido a alumnos de 2º de ESO consta de varias fases. • Fase de centro, onde se pode propoñer a dous alumnos por grupo de 2º. • Fase de zona, onde se poden propoñer a 6-8 alumnos • Fase autonómica, proponse a dous alumnos • Fase nacional
No pasado campionato de fórmula 1, Fernando Alonso gañou o 40% das carreiras, e Michael Shumacher gañou a metade das carreiras que Fernando Alonso. Cada unha das carreiras restantes gañouna un piloto diferente dos anteriores. Se non houbo máis de 8 pilotos distintos que gañaron algunha carreira ¿de cantas carreiras constaba o campionato? ¿Cantos pilotos gañaron algunha carreira? VIII Olimpíada Matemática Galega (Fase final)
*******
Un anaco de papel con forma cadrada dividiuse en tres anacos. Dous deles son estes:
A proba consiste na resolución de cinco problemas
CANGURO MATEMÁTICO
Consiste nunha proba de trinta preguntas tipo test. Vai dirixido aos seis niveis de ESO e Bacharelato. A participación costa 3€ para sufragar os premios e todos os alumnos reciben un regalo o día da celebración da proba.
tetractis
2
¿Que forma ten o terceiro anaco?
XII Canguro matemático. Nivel 1
Outubro, 2006
S
NÚMEROS FIGURADOS A formada polos números triangulares
e nos piden que fagamos un comentario sobre a sucesión de números 1, 2, 3, 4, 5,… quizás a maioría de nós diríamos que son números naturais, os primeiros que nos atopamos na nosa vida, os que serven para contar,… Se se nos requirise unha opinión sobre a sucesión 1, 3, 6, 10, 15,… se seguro que a cuestión nos resultaría máis difícil.
Os números cadrados:
Os pitagóricos concibían os números como símbolo das ideas, utilizábanos como principio e explicación de todas as cousas. Cada concepto e ente do universo ten o seu número; así: • • • • • • •
O número 1 é o xerador de todos os números, é tamén o número da razón. O 2 é o número da opinión; representa a diversidade, é o primeiro número femia. O 3 é o primeiro número macho, representa a harmonía (razón+opinión). O 4 é o número da xustiza. O 5 é o número do matrimonio (2+3). O 6 é o número da creación. O 7 o número da deusa virxe Atenea.
Os números pentagonais:
E así poderiamos continuar. ¿Es ti capaz de dicir cales son os números hexagonais.
Pero, por outra banda, os números eran Oblongos, triangulares, cadrados, pentainterpretados como puntos materiais o que gonais,… en definitiva: números figurados e lles permitía asocialos a formas xeométricas. aquí vedes algunhas das leis que os relacionan: Así naceron os números figurados, que podemos agrupar en diversas familias: Orde 1 2 3 4 5 … n Os números rectangulares poden repreOblongos 2 6 12 20 30 … n·(n+1) sentarse utilizando rectángulos. Dentro deste Triangulares n( n + 1) 1 3 6 10 15 … conxunto temos unha subfamilia con importan2 Cadrados 1 4 9 16 25 … n2 cia de seu: os números rectangulares oblon3n 2 − n gos, que son aqueles que se poden expresar Pentagonais 1 5 12 22 35 … 2 como producto de dous naturais consecutivos; Iago Fraga Fraga é dicir, teñen a forma n·(n+1). Articulo publicado en DOUSPIERRE nº 31 (Decembro, 2003) cando o autor era alumno do IES Ramón Otero Pedrayo.
tetractis
3
Outubro, 2006
XEOMETRÍA
SÍMBOLOS UTILIZADOS
DE PAPEL
EN PAPIROFLEXIA
(El libro de las pajaritas de papel. Alianza editorial)
BISECCIÓN DO TETRAEDRO PUZZLE DO TETRAEDRO
O obxectivo desta actividade é facer dúas pezas idénticas para formar un tetraedro regular.
Material necesario: Dúas follas DIN A5 Pasos a seguir:
Pentaminós é un puzzle que ten unha distribución comercial e pódese atopar e áreas comerciais e tendas de regalo; pero pódense facer en cartolina e construír unha grande cantidade de figuras coma estas e rectángulos de dimensións: 6x10, 5x12, 3x20 (Diagramas: Thoki Yenn)
Discusión: 1
Se descompós cada peza do crebacabezas en tres pezas máis pequenas, dúas das cales fosen tetraedros congruentes, ¿que forma tería a 3ª peza?
2
¿Como están esas pirámides de base cadrada orientadas na solución?
3
Se unimos polas bases as dúas pirámides de base cadrada, ¿que poliedro obteríamos? Baseándote nesta información, ¿en que sólidos platónicos pódese descompoñer un tetraedro regular? Alicia Mengotti
tetractis
4
Unha particularidade dos pentaminós é que se poden asociar coas letras T, U, V, W, X, Y, Y, Z e as letras da palabra FILIPINO (sen contar a ‘o’) A historia dos poliminós comezou en 1954 cando o matemático norteamericano Solomon W. Golomb publicou un artigo titulado “ Taboleiros de damas e poliminós·. Máis adiante Martín Gadner publicou moitos artigos sobre as posibilidades que ofrecen os diferentes poliminós. Outubro, 2006
Ano I. Boletín nº 2
A
Depósito legal: C 2766-2006
Novembro, 2006
MOSAICOS NAZARÍS
ntes de comezar, debemos comentar que é un mosaico; pois ben chamamos MOSAICO a todo o recubrimento do plano mediante pezas chamadas teselas que non poden superpoñerse, nin poden deixar buratos sen recubrir e nos ángulos nos que conclúen, en un vértice deben sumar 360 graos. Existen moitas formas de obter un mosaico, os máis sinxelos están formados por un único tipo de polígono regular, como o triángulo equilátero, o cadrado ou o hexágono regular, xa que: 1. A medida do ángulo interior dun triángulo equilátero é de 60 graos, polo tanto ó unirse 6 triángulos equiláteros nun vértice completan 360 graos. 2. A medida do ángulo interior dun cadrado é de 90 graos, polo tanto ao unirse 3 hexágonos nun vértice completas os 360 graos 3. A medida do ángulo interior dun hexágono regular
é de 120 graos, polo tanto ó unirse 3 hexágonos nun vértice completan 360 graos. A continuación amosamos algúns exemplos:
Triángulo
Cadrado
Hexágono continúa na páxina 2...
UN MARABILLOSO “VIRUS” QUE SE PROPAGA... No pasado mes outubro apareceron en tres centros de ensino, moi achegados entre sí, sendos boletíns de divulgación matemática que tiveron o seu xerme no boletín DOUSPIERRE (www.douspierre.es) que durante 7 cursos académicos e 54 números foi unha referencia en matemáticas. Son estes boletíns: Mathesis (IES Ramón Otero Pedrayo), Hipatia (IES Fernando Wirtz) e Tetractis. ¡Que se propague o “virus”!
Agora, xa sabendo o concepto de mosaico, definimos o concepto de mosaico nazarí. Para poder definilo remontámonos ós artesáns islámicos, personaxes que fixeron posible a obtención dos chamados “polígonos nazarís”. Podemos ver moitos destes mosaicos en grandes monumentos como a Alhambra de Granada. Unha das características destes mosaicos é que a área que posúe é a mesma que a do polígono do que procede. Ademais, o carácter de recubrir, do polígono de partida, ségueo posuíndo o polígono nazarí obtido. Os mosaicos construídos con estes polígonos sen considerar a cor das teselas, son monoédricos, é dicir, xerados por unha única tesela. Vexamos como son e como se constrúen os mosaicos nazarís máis salientables: Patio do cuarto dourado Alhambra de Granada
ÓSO
• • • •
Esta peza realízase partindo dun cadrado regular. Debuxamos un cadrado ABCD Trazamos as súas diagonais e debuxamos o punto medio do lado AB do noso cadrado. Agora trazamos as mediatrices dos segmentos AM e MB que cortan as diagonais nos puntos P,Q,R e S Mediante a simetría axial debuxamos os puntos simétricos aos puntos anteriores que denominaremos P’,Q’,R’ e S’.
Polióso no Pazo de Comares
PÉTALO
• • • • •
Esta peza realízase partindo dun triángulo equilátero. Primeiro comezamos debuxando un triángulo equilátero ABC. Mediante a simetría deste respecto do lado AC, construímos outro triángulo regular, que denominaremos ACD que formará un rombo co anterior. Para obter finalmente un triángulo equilátero en conxunto, mediante a simetría, construímos outros dous triángulos equiláteros a partir dos lados AD e DC, aos que denominaremos ADE e ACF. Agora realizamos catro circunferencias con centros nos puntos A, C, E e F, de radio a lonxitude do lado AC do triángulo inicial. Por último realizamos as bisectrices correspondentes aos vértices A, C, E e F, coas que obtemos os puntos P, Q, R e S que precisamos para trazar os arcos da figura.
tetractis 2
6
Novembro, 2006
AVIÓN
• • • • •
Este mosaico realízase partindo dun cadrado regular. Debuxamos un cadrado ABCD. A partir deste debuxamos o simétrico repecto ao lado BC. Este cadrado chamarémolo BCEF. Trazamos as diagonais dos dous cadrados. Debuxamos seis circunferencias con centros nos puntos A, B, C, D, E, e F, de radio a distancia dun vértice ó centro do cadrado. Por último marcamos os arcos e os catro segmentos que conforman o avión.
PAXARIÑA
Fórmase a partir dunha circunferencia. • Partindo da circunferencia, co radio da mesma movémonos pola lonxitude dela, marcamos ao final 6 puntos.Obtemos, unindo un punto si e un non e a estrela de David. • Nos puntos A, B, C, D, E e F, trazamos as circunferencias de radio a lonxitude dun dos lados dos triángulos formados nos vértices desta figura. • Por último trazamos os arcos necesarios para obter esta mosaico.
Fontes de información:
http://roble.cnice.mecd.es/jarran2/cabriweb/Mosaicos/mosaicos.htm http://personal.telefonica.terra.es/imarti22/actividades/actividades/ mosaicos/marco_mosaicos11.htm http://alerce.pntic.mec.es/aars0003/geo/mosa6.htm
Alba Arias Prieto 1ºB-D
Laura Busto Cruz 1ºB-D
Alcoba lateral do Patio da Alberca
tetractis 2
7
Novembro, 2006
XEOMETRÍA POLIEDRO
DE PAPEL
ESTRELADO DE
Material necesario:
Canguro matemático
KEPLER
CAIXÓN
DOS PROBLEMAS
Olimpiada matemática
6 follas formato DIN de 3 cores diferentes. Segue os seguintes pasos e constrúe seis pezas: 1. Fai en cada folla o mapa de cicatrices que indica a figura. 2. Dobra a folla para conseguir as cicatrices en diagonal. 3. Leva, por ambolos dous lados, as esquinas ata o centro. 4. Mete CD ao interior ata facelo coincicir con EF; tamén polo outro lado ata conseguir a figura 4. 5. Abrir e aplastar para marcar ben os lados do hexágono. 6. Abre o hexágono ata conseguir, na abertura, uns rombos. A figura 7 representa o mapa de cicatrices, é dicir, se desfacemos a figura, estas serían as marcas que quedarían no papel.
XVIII Open matemático
CUBO
DAMASQUINADO
Se dobras a plantilla da dereita, ¿cal dos cubos podes formar?
D D
F F
B
Se conseguiches chaegar ao final e se fixeches as seis pezas iguais, tan so che queda montar, a modo de puzzle, o poliedro de Kepler. Para que che quede ben tes que poñer as pezas de igual cor en lugares opostos.
PUZZLE DIABÓLICO Indica que dous cortes tes que darlle á figura e como tes que colocar as tres pezas resultantes para formar un cadrado
A
C C
E E
Canguro matemático 2005 (Nivel 1)
Fig. 1
Fig. 2
29
Fig. 3
DE ABRIL DE
2005
Todos sabemos que hoxe é o 29 de abril de 2005. Imos construír unha sucesión numérica do seguinte xeito: •
•
Fig. 4
Partimos de 29 e multiplicamos esas dúas cifras (2x9) e escribimos o resultado a continuación. Proseguimos deste xeito, multiplicando sempre os dous últimos díxitos escritos e anotamos o resultado.
Fig. 5
É dicir, a sucesión pedida comenzará así:
2918864...
¿Cal é o díxito que está no lugar 2005? ***** POTENCIAS DE
TRES
¿En que cifra remata o número 32005? Fig. 6
tetractis 2
Fig. 7
Alicia Pedreira Mengotti
8
Olimpíada matemática 2005
Novembro, 2006
Ano I. Boletín nº 3
Depósito legal: C 2766-2006
Decembro, 2006
CÓDIGOS E DÍXITOS DE CONTROL Na nosa vida cotiá, cada vez aparecen máis números e códigos: NIF, Número da Seguridade Social, Pasaporte, números das tarxetas de crédito, códigos de barras, ISBN,… Todos estes números levan consigo uns díxitos de control que sirven para evitar erros intencionados ou accidentais e teñen a posibilidade de seren detectados por un ordenador.
NIF O Número de identificación fiscal (NIF) é o sistema de identificación tributaria utilizada en España para as persoas físicas con documento nacional de identidade (DNI) ou número de identificación de estranxeiro (NIE) asignados polo Ministerio do Interior. A letra do NIF serve como código de garantía de seguridade. O seu fundamento é o seguinte: dacordo co número de identificación, pódese establecer un modo polo cal sábese se o número é correcto, ou en uso de falsificación, elíxese ao azar; o proceso consiste en dividir o DNI pola cantidade de letras dispoñibles para asignar, e tómase o resto da división. Cada resto é asignado entón a unha única letra, que non vai na orde correlativa do alfabeto. O sistema de seguridade consiste, en rastrexar se a letra que acom- 0 T paña ao número é a que lle corresponde. 1 R ALGORITMO PARA OBTER A LETRA DO NIF
O número de identificación fiscal (NIF) español é un código único que identifica a todos os cidadáns españois a efectos fiscais. Partindo do tradicional DNI, engade a este unha letra que actúa como elemento verificador. A letra do NIF obtense a partir dun algoritmo coñecido como división modular. O algoritmo consiste en dividir o número do NIF entre 23 e tomar o resto da división que será un número comprendido entre o 0 e o 22. Na táboa adxunta atoparemos a letra que lle corresponde. Algunhas non se usan porque poden dar lugar a erros: • A I pode confundirse coa L e o 1. • A O pode confundirse co cero. • A U podería confundirse coa V.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
W A G M Y F P D X B N J Z S Q V H L C K E
E ademais no se tiveron en conta as letras dobres (CH, LL). Este mesmo algoritmo tamén pode utilizarse para o cálculo do NIE.
CÓDIGO
DE BARRAS
O código de barras é a representación dunha determinada información mediante un conxunto de liñas paralelas verticais de diferente grosor e espaciado. O díxito de control calcúlase colocando o código
Todos os productos españois comezan con 84. Cada país ten o seu propio código que pode ser de 2 ou 3 díxitos
Todos os productos da mesma empresa teñen estes 5 díxitos iguais. Neste caso, 10175 é o número dunha marca de conservas.
Cada producto de cada empresa queda identificado con estes cinco díxitos.
Este é o díxito de control que corresponde ao código 841017507903
de barras e debaixo de cada díxito ponse alternativamente o 1 ou 3.
841017507903 13 1313131 313
Multiplícase cada número polo que ten debaixo e súmanse todos estes productos. 8x1 + 4x3 + 1x1 + 0x3 + 1x1 + 7x3 + 5x1 + 0x3 + 7x1 + 9x3 + 0x1 + 3x3 =
= 8 + 12 + 1 + 2 + 21 + 5 + 7 + 27 + 9 = 91
Se o número obtido remata en 0, este é o díxito de control. Se non bscase a decena seguinte a este número e réstaselle. O resultado é o díxito de control: 91
decena seguinte: 100
100-91=9
Este erro pódese detectar gracias o díxito que vai ao final, chamado díxito de control. Para calcular o díxito de control empréganse os 14 díxitos centrais e as súas posicións enténdense sempre contadas desde a dereita. O procedemento é o seguinte:
ISBN ISBN (International Standard Books Numbers) é un código de ámbito internacional que se utiliza para identificar os libros.
ISBN 84-205-1877-8
Por exemplo:
As dúas primeiras cifras, 84, dinos o país e a lingua na que se editou, as tres seguintes, 205, identifican a editorial e as catro seguintes, 1877, identifican ao libro en si. Ademais,
O Paso 1: Súmanse os díxitos das posicións impares e o resultado multiplícase por 2.
engadese un último díxito, 8, que informa de posibles erros ao escribir algún dos díxitos.
O Paso 2: Cóntanse o número de díxitos das posicións impares que sexan maiores de 4 e súmase ao resultado do paso 1.
A última cifra de verificación compróbase mediante o seguinte algoritmo: Paso 1: Multiplícase cada díxito do número orixinal por uns valores chamados pesos, que veñen dados por 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Núm.
8
4
2
0
5
1
8
7
7
8
Pesos
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Productos
80
36
16
0
30
5
32
21
14
8
o
Paso 4: O último díxito da tarxeta ou díxito de control é a cantidade necesaria para que ao sumarlla ao resultado do paso 3 quede un múltiplo de 10.
Supoñamos que o número dunha tarxeta é o seguinte: 4940 0050 2051 686 8
80+36+16+0+30+5+32+21+14+8 = 242
O número de control é o 8, o último pola dereita. Marcamos os números nas posicións 2,4,6 etc. desde a esquerda (en vermello) 4940 0050 2051 6868, sen incluír o de control.
Paso 3: Divídese por 11 e tómase o resto (módulo 11) 242 Ξ 0 (módulo 11) Paso 4: Se ese resultado é 0 o díxito de control queda comprobado e
Dobramos cada número e sumamos todos os díxitos: 18,0,0,0,0,2,16 -> 1+8+0+0+0+4+1+6= 20
o díxito 8 é correcto.
A este resultado sumámoslle os números da tarxeta que non utilizamos.
Se fose necesario un 10 como díxito de control representaríase como unha X.
4+4+0+5+2+5+6+6= 32+20= 52
DAS TARXETAS
Se o número remata en 0, ese é o código de control, se non se busca na decena máis próxima e restase do resultado anterior.
As tarxetas dos bancos e das caixas de aforros empregan procedementos análogos para garantir a súa seguridade. Supoñamos un usuario que na tarxeta teña o seguinte número:
52
5 02065 000457195 3
decena seguinte: 60
60-52= 8, que é o control que valida a tarxeta.
Pero por un erro o caixeiro lee:
Bibliografía:
5 02065 00457165 3
tetractis 3
Paso 3: Súmanse os díxitos das posicións pares e engádese ao resultado do paso 2 máis 1.
Outro procedemento para calcular o díxito de control dunha tarxeta de crédito é a división modular, moi utilizado anque non é o único.
Paso 2: Súmanse os resultados das multiplicacións.
NÚMERO
o
10
Revista Suma. Caderno Aula. El Mundo www.wikipedia.com
Jurema Pena Gómez Fátima Froiz Mosquera
Decembro, 2006
M
ACTIVIDADES DE AULA:
RECIBOS
E
IVE
oitas veces atopamos, na vida cotiá, instrumentos que nos poden servir como actividades de resolución de problemas tanto na aula, para traballar co alumnado, coma no propio fogar para traballar cos nosos fillos. É o caso dun simple recibo da compra que podemos utilizar para resolver problemas de porcentaxes e responder algunhas preguntas sobre o IVE (en castelán IVA). Obrserva con atención o recibo que propoñemos e trata de responder ás preguntas que se prantexan: 1.
Escribe o significado de IVE ....................................................................................................
2.
Observa o recibo adxunto e indica cantos e que tipos de gravames se aplican no IVE .................................................................................................... ....................................................................................................
3.
Tendo en conta os datos que aparecen no recibo, clasifica os productos polo gravame do IVE e completa: IVE: 4% Artigo
Precio sen IVE
Precio con IVE
suma.............. IVE: 7% Artigo
Precio sen IVE
IVE: 16% Precio con IVE
Artigo
suma.............. 4. 5. 6.
Precio sen IVE
Precio con IVE
suma..............
¿Canto se paga de IVE neste recibo ? ....................................................................................................................... ¿Cal é o precio deste recibo sen IVE? ....................................................................................................................... Investiga o tipo de gravames do IVE de diferentes productos do mercado e fai unha clasificación. ¿Cal é o tipo de IVE con que se grava a auga, a luz, o gas, a roupa, os automóbiles, as xoias, os artículos de arte, os hoteis, os libros,...? SUXERENCIAS
UN
• Ten en conta que para calcular o precio sen IVE
non se pode descontar ao precio de venta o tipo correspondente ao IVE. • As sumas, correspondentes ao precio sen IVE de cada táboa, teñen que ser iguais ao concepto que no recibo aparece co nome de BASE. tetractis 3
PROBLEMA DE PORCENTAXES
Un comerciante para calcular o prezo de venta aplica, ao prezo de custo dos artigos, un aumento do 100%. ¿Cal será a ganancia cando a un cliente lle rebaixa o 20%? (A resposta non é o 80%)
11
Decembro, 2006
XEOMETRÍA
DE PAPEL
CAIXÓN
Canguro matemático
ESTRELA DE 8 PUNTAS
Olimpiada matemática
1. Dobramos pola diagonal para formar dous triángulos (¿de que clase?) e desdobramos. 2. Trazamos as bisectrices dos ángulos formados pola diagonal e dous lados contiguos do cadrado, obtendo unha figura de catro lados (¿Como se chama? ¿Canto miden os seus án-
gulos?).
3. Trazamos as bisectrices dos ángulos formados pola diagonal maior e os lados pequenos do cuadrilátero, obtendo unha nova figura, ¿Como se chama? ¿Como son os seus la-
dos? ¿canto miden os seus ángulos?
O
Olimpiada galega de bacharelato 2006
vexo? ¿Por que?.
1
TESOURO DOS GNOMOS
Sete gnomos gardan o seu tesouro no soto dun castelo. O tesouro está detrás de 12 portas, cada unha delas con 12 pechaduras. Probar que será necesario repartir polo menos 336 chaves se queren que cada gnomo teña chaves para algunhas das pechaduras e calquera tres gnomos conxuntamente teñan chaves para tódalas pechaduras.
4. Marcamos o rombo do centro. 5 Viramos a figura, e no rombo veremos dous cuadriláteros, un cóncavo e outro convexo, ¿cal é o cóncavo, e cal o con6. Marca as liñas centrais e intenta chegar ao paso 7. 7. Fai 8 módulos iguais á figura 7. 8. Verás que cada módulo ten dúas puntas, unha máis grande e ca outra; para encaixar os módulos metemos a punta pequena dentro da grande, asegurándoa ben cas dúas solapas. Pódense unir 5, 6 ou 7 módulos, producindo a tridimensionalidade da estrela.
DOS PROBLEMAS
***** O PANADEIRO
DE
CARBALLO
Hai xa bastantes anos, un panadeiro de Carballo mercou unha balanza de dous platiños e na caixa só viñan tres pesas de 1 kg, 3 kg e 5 kg respectivamente. ¿Cantas pesadas distintas se podía facer coas tres pesas utilizando en cada pesada unha, dúas ou as tres pesas?
2
3 Olimpiada galega de 2º ESO Fase final 2004
4
5
6
***** XEADOS
7
PARA TODOS
Nunca xeadería teñen xeados de sabores distintos. Cada un dos nenos dun grupo que chega á xeadería compra un cono dobre, con dous sabores diferentes. Todos elixen combinacións de sabores distintas, e todas as combinacións posibles foron elixidas. ¿Cantos nenos hai no grupo?
8
A) 9
B)36
C)72
D)81
E)90
Canguro matemático 2004 Nivel 3 Alicia Pedreira Mengotti
tetractis 3
12
Decembro, 2006
Ano I. Boletín nº 4
Depósito legal: C 2766-2006
Feira matemática 2007 PALACIO
DA
ÓPERA
A Coruña Sábado, 12 de maio de 2007 DÍA ESCOLAR DAS MATEMÁTICAS
Matemáticas, Paz e desenvolvemento
N
a última asemblea de AGAPEMA acordouse que este ano imos a celebrar de maneira conxunta e dun xeito especial o Día Escolar das Matemáticas (12 de
maio). A celebración, dedicada a todas as etapas do ensino, vai consistir nunha FEIRA MATEMÁTICA na que cada Centro, cada profesor, cada grupo de alumnos pode expoñer, vender, mercar unha ou máis propostas didácticas ou actividades entre as que considere oportuno. Na asemblea nomeouse unha comisión organizadora constituída por Francisco Álvarez Fontenla (UDC) Isabel Miguélez Pose (CFR) Manuel Pazos Crespo (IES Eusebio da Garda) Marisol Pérez Blanco (Radio ECCA) Gonzalo Temperán Becerra (IES Monelos) Enrique de la Torre Fernández (UDC) Animádevos e non esquezades que contamos con vós, con todos vós, cos vosos traballos e colaboracións para poder levar adiante esta actividade que consideramos ambiciosa dabondo pero que merece a pena. Por todo isto, dende xa, esperamos as vosas contribucións para que a Feira sexa unha realidade. Pronto haberá un enlace da FEIRA MATEMÁTICA 2007 na páxina web de AGAPEMA
www.agapema.com onde iremos colocando as novas que teñamos e as informacións que os serán de utilidade, tanto para participar como 'visitantes' ou como 'comerciantes'. Esperamos a vosa participación e suxestións.
C
Xaneiro, 2007
XIX OPEN MATEMÁTICO
omeza o desenvolvemento da XIXª edición do TORNEO ABERTO DE RESOLUTORES DE PROBLEMAS, coñecido como OPEN MATEMÁTICO e que está organizado polo COLECTIVO FRONTEIRA de Profesores de Matemáticas, con sede en Requena (Valencia). O torneo vai dirixido aos alumnos de Ensino Secundario (ESO, Bacharelato e Módulos Profesionais); pero debido ao seu carácter aberto poderán participar os estudiantes de Ensino Primario e todas as persoas que o desexen que non teñan máis de vinte anos. O torneo desenvolverase ao longo de sete xornadas (semanas), sendo a derradeira unha concentración (Día 8 de marzo, de 16h a 20h). Nesta edición: as xornadas 2ª, 4ª e 6ª son temáticas e estableceranse problemas que versan sobre o tópico matemático (CARTOGRAFÍA E MATEMÁTICAS: A arte de levantar mapas). O número de problemas que se propoñerán serán: 1ª e 7ª (4 problemas), 3ª e 5ª (3 problemas) e nas temáticas (2 problemas) (Ver o Caixón dos problemas). O xurado estará constituído polos compoñentes dos Departamentos de Matemáticas dos centros participantes. Haberá premios para todos os participantes e distinguiranse dúas clasificacións: CLASIFICACIÓN XERAL: Premios para 1º, 2º e 3º e mención especial para 4º, 5º e 6º clasificados. PREMIOS DE BELEZA: Premios para 1º e 2º e mención especial para 3º e 4º clasificados.
¡ CONTAMOS COA TÚA PARTICIPACIÓN!
AS
MATEMÁTICAS DO
CÓDIGO
DA
VINCI
A novela de Dan Brown, O Código da Vinci, tan discutida pola crítica e por diferentes colectivos da sociedade basease en diversos conceptos matemáticos que queremos resaltar: a estrela pitagórica, a sucesión de Fibonacci, a proporción áurea, os números imaxinarios, a criptografía,... SUCESIÓN DE FIBONACCI
ESTRELA PITAGÓRICA
Capítulo 6: “Saunière debuxara un sinxelo símbolo sobre a súa pel; cinco liñas rectas que, a base de interseccións, formaban unha estrela de cinco puntas: o pentáculo”
Capítulo 11: “Capitán, a secuencia de números que ten vostede entres as mans resulta ser unha das sucesións máis famosa da historia.- Fache non sabía sequera que houbera sucesións máis famosas que outras, e non lle gustaba nada aquel ton de suficiencia da axente.- trátase da serie de Fibonacci, unha sucesión na que cada número obtense a partir da suma dos dous anteriores. O matemático Leonardo Fibonacci creou esta sucesión de números no século XIII”
Un pentagrama, tamén chamado pentáculo ou pentalfa, é unha estrela de cinco puntas (estrela pitagórica). A palabra pentagrama provén do grego pentagrammos que significa “cinco liñas”. O nome indica tamén que o pentagrama non é simplemente unha estrela de cinco puntas: o símbolo debe estar composto de cinco liñas é incluír un pentágono no seu seo. Un pentáculo regular debúxase sinxelamente partindo de un pentágono regular, unido os vértices alternadas con raias e borrando o pentágono orixinal.
Leonardo de Pisa (coñecido como Fibonacci, contracción de Filius Banacci, é dicir, o fillo de Bonacci) naceu en Pisa, posiblemente cara 1170 e morre sobre 1250. Ao ser seu pai representante comercial da cidade de Pisa en Arxelia, estivo en contacto coa cultura árabe, mostrando grande interese especialmente polas súas obras matemáticas. No seu Liber Abacci (o Libro do Ábaco). Fibonacci propuxo o seguinte problema: “Temos unha parella
de coellos, se, en cada parto obtemos unha nova parella e, cada nova parella tarda un mes en madurar sexualmente e o embarazo dura un mes, ¿Cantas parellas teremos ao cabo de 12 meses?
PROPORCIÓN ÁUREA OU DIVINA PROPORCIÓN
Capítulo 8: “Considerando o debuxo máis perfecto da historia desde o punto de vista da anatomía, o Home de Vitrubio converterase nun icono moderno de cultura e aparecía en posters, almofadas de rato e camisetas de todo o mundo. O famoso esbozo consistía nun círculo perfecto dentro do que había un home espido... cos brazos e as pernas estendidos”
A resposta é 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... Cada número obtense sumando os dous anteriores.
A secuencia de Fibonacci ten moitas propiedades curiosas:
Unhas proporcións harmoniosas para o corpo, que estudiaron antes os gregos e os romanos, plasmounas neste debuxo Leonardo Da Vinci. Serviu para ilustrar o libro Divina Proporción de Luca Paccioli en 1509. No dito libro descríbense cales han de ser as proporcións das construccións artísticas. Neste caso, propón un home harmonioso no que as relacións entre as distintas partes do seu corpo sexan proporcións áureas. Estirando as mans e os pés e facendo centro no embigo debúxase a circunferencia. O cadrado ten por lado a altura do corpo que coincide, nun corpo harmonioso, coa lonxitude entre os extremos dos dedos de ambas mans cando os brazos están estendidos e formando un ángulo de 90º có tronco. Resulta que o cociente entre a altura do home (lado do cadrado) e a distancia do embigo á punta da man (radio da circunferencia) é o número áureo (Φ = 1,618...). tetractis 4
A suma dos n primeiros termos é: a1 + a2 + a3 +...an = an+2—1 • A suma dos termos impares é igual ao par seguinte a1 + a3 + a5 +...+ a2n-1 = a2n • A suma dos termos pares é o impar seguinte menos 1 a2 + a4 +...+ a2n = a2n+1 – 1 • A suma dos cadrados dos n primeiros termos é: a12 + a22 +...+ an2 = anan+1. • Se n é divisible por m entón an é divisible por am. • Os números consecutivos de Fibonacci son primos entre si. • A propiedade máis curiosa desta sucesión é que o cociente de dous números consecutivos da serie aproxímase á razón áurea. Isto é: an+1/an tende a Φ =(1+√5)/2. •
Nesta novela aparece a sucesión de Fibonacci en varias ocasións. Ao principio aparece na escena do crime do Gran Mestre da Orde do Priorato de Sión: 13-3-2-211-1-8-5, como se pode ver son os oito primeiros números de Fibonacci desordenados. Máis tarde ditos díxitos convertiranse no número da conta secreta que da acceso o gran secreto gardado pola Orde. 14
Xaneiro, 2007
para ensinar os equinoccios: os dous días do ano en que, por estar o Sol no ecuador, o día e a noite duran as mesmas horas en todos os lugares do mundo. Entón, o raio ascende polo obelisco, chega á esfera dourada e fai brillar a cruz.
NÚMERO ÁUREO
Capitulo 20:“O número Phi. Sintiuse unha vez máis en Harvard, de novo na súa clase de <Simboloxismo na arte>, escribindo o seu número preferido na encerrado: 1,618”
O número de ouro represéntase pola letra grega Φ (Phi), en honor a Phidias (escultor do Partenón). Foi Euclides quen introduxo a división dun segmento cumprindo estas condicións. Definiuno así: Dise que un segmento está dividido en media e extrema razón cando o segmento total é á parte maior como a parte maior é á menor.
CRIPTOGRAFÍA
Capitulo 48: “Era posible que o termo <criptex> fora unha invención do seu avó, e en calquera caso era moi adecuado para referirse a un obxecto que recorría á ciencia da criptoloxía para protexer unha información escrita nun rolo de papel que contiña, chamado codex”
A+1 1
Moitas mentes claras da historia recorreron as matemáticas para solucionar o problema da protección de datos. Pero Leonardo renunciou a esta ciencia e optou por unha solución mecánica. Tratábase dun recipiente portátil que podía conter cartas, mapas, diagramas ou calquera tipo de documento sempre que fose escrito en pergamiño. Unha vez a información quedaba pechada no seu interior, soamente, quen coñecera o código, podería acceder a ela. Neste caso o mecanismo de abertura estaba composto por cinco discos. Que cando se colocan na secuencia correcta, os engrenaxes internos se aliñan e o cilindro se abre. A única maneira de acceder a información do interior e coñecer o código de cinco letras. E como son cinco discos e cada un contén as 26 letras do abecedario, iso é vinteseis elevado á quinta potencia que son uns doce millóns de posibilidades, exactamente 11.881.376 opcións. Se alguén intentaba forzalo, un líquido (vinagre) que se atopa ao redor da información verteríase e disolvería rapidamente o pergamiño.
A
(A+1)/A=A A+1=A2 A2-A-1=0 Resulta unha ecuación de 2º grao con dúas solucións: A1=1,618033989... A2=0,618033989... No Código Da Vinci, faise referencia á aparición do número de ouro na proporción dos diámetros consecutivos dos Náutilos (moluscos con deseño en espiral), como extraordinario, tamén é o caso dos panais de abellas; el calquera deles se dividimos o número de abellas femia entre os de macho, sempre obtense o mesmo número... pois si o Φ. MERIDIANO CERO
Capitulo 22: Nun globo terráqueo, a Liña Rosa era unha liña imaxinaria trazada desde o Polo Norte ao Polo Sur. Había un número infinito de liñas rosas, porque desde todo punto do Globo poderíase trazar unha que conectara os dous polos. Pero para os primeiros navegantes, a cuestión era saber cal daquelas liñas había que denominar Liña Rosa (a de lonxitude cero), aquela a partir das cales todas as demais lonxitudes da Terre puideran medirse. Na actualidade esa liña está en Greenwich, Inglaterra. Pero moito antes de que nesa localidade establecérase o primeiro meridiano, a lonxitude cero de todo o mundo pasaba directamente por París, e atravesaba a Igrexa de Saint-Sulpice. O indicador metálico que se vía hoxe era un recordo ao primeiro meridiano do mundo, e aínda que Greenwich lle había arrebatado aquela honra en 1888, a Liña Rosa orixinal aínda era visible na Cidade da Luz.
NÚMEROS IMAXINARIOS
Capítulo 82: “Non máis ca unha criptógrafa matemática que cree que no número imaxinario ‘i’ porque lle axuda a descifrar códigos”
O número imaxinario <i> xorde ao intentar resolver esta ecuación x2 + 1 = 0; esta clase de números pertence aos denominados números imaxinarios e non se atopan na recta real. Se se combinan cunha parte real forman o que se coñece coma números complexos que engloban aos números reais.
Esta fotografía pertence á polémica Liña Rosa “Rose Line” da que se fala nesta novela de Dan Brown. A Liña –que si transcorre en sentido norte-sur, pero non sobre o meridiano- é en realidade, un gnomon, un instrumento astronómico instalado en 1743 de mutuo acordo entre as autoridades eclesiásticas e os astrónomos encargados do observatorio de París nese momento. A través dun orificio na fiestra situada no lado sur entra un raio de sol que incide sobre a liña ás doce en punto –o mediodía comunicábaselles aos parisinos co son das campás-. Pero tamén servía como calendario tetractis 4
Para saber máis: www.redescolor.ilce.edu www.arteehistoria.com www.bibiografíasyvidas.com
Lucía Merelas Maroño 1º Bach. D
15
www.wikipedia.org www.divulgamat.net www.javiersierra.com
Cristina Rabuñal Barral 1º Bach. C
Xaneiro, 2007
XEOMETRÍA
DE PAPEL
Canguro matemático
TETRAEDRO REGULAR
Olimpiada matemática
CAIXÓN
DOS PROBLEMAS
XIX OPEN MATEMÁTICO
Material: Unha folla formato DIN A4.
1ª XORNADA
Diagramas
TRES
NÚMEROS PARA EMPEZAR
Tres números de dúas cifras escríbense con estes seis díxitos
2 3 4 5 6 7
A suma dos tres números da 171, e a diferencia entre os dous máis pequenos, 11. ¿Cales poden ser estes tres números? DESCONCERTANTE
DISECCIÓN
Divide a figura da esquerda en dous anacos que se podan encaixar para formar a figura da dereita.
UN
Responde as preguntas: ¿A que chamamos apotema dunha pirámide? ¿Que é un tetraedro? ¿Cantas caras ten? ¿E vértices? ¿E aristas?. Comproba que cumpre a fórmula de Euler.
La Hoja Volante é unha revista de divulgación científica e en especial matemática feita no Departamento de Matemáticas da Facultade de Ciencias da Universidade Autónoma de Madrid. Esta revista é un intento de acercar as matemáticas a todo o mundo, de ensinar por que son apasionantes. La Hoja Volante naceu en 2002; leva publicados dez números e podes atopalos en diferentes formatos na páxina web:
www.uam.es/hojavolante tetractis 4
16
CADRADO CON SEIS DOBRES
Toma todas as fichas dobres do teu xogo de dominó. Trata de formar con elas, se é posible, o contorno dun cadrado no que a puntuación dos catro lados sexa a mesma. No caso de non ser posible, xustifica o por que.
UN
DEPARTAMENTO MOI ACTIVO
Os profesores Gironés, Ibáñez e Jordá pertencen a un dinámico e emprendedor Departamento de Xeografía e Historia. Un é cartógrafo, outro xeógrafo e outro topógrafo. O topógrafo, o máis novo dos tres, está solteiro. Gironés, que é o sogro de Ibáñez, é maior ca o cartógrafo. ¿Qué estudios ten cada un deles? Xaneiro, 2007
Ano I. Boletín nº 6
AS
A
Depósito legal: C 2766-2006
XEOMETRÍA
NOSAS CITAS MATEMÁTICAS
verdade é que temos un trimestre bastante apertado pola participación das nosas alumnas e alumnos en diferentes actividades de resolución de problemas, aínda que os meses de abril e maio non se van a quedar curtos. Tanto é así que no departamento tivemos que facer un cadro coas diferentes actividades e datas para telo un pouco claro. OLIMPÍADA DE BACHARELATO Quince alumnas e alumnos de bacharelato acudiron (19 de xaneiro) á Facultade de Matemáticas de Santiago para participar na Olimpíada de Matemáticas de Bacharelato. OPEN MATEMÁTICO Desde o 15 de xaneiro e ao longo de seis/ sete semanas (xornadas) uns 16 alumnas e alumnos están a manter unha verdadeira carreira de resolución de problemas e non lles vai nada mal, xa que ao remate da 5ª xornada dous alumnos do centro figuran na cabeza con 28 puntos e todos os problemas resoltos (Clasificación xeral) e na 2ª e 3ª posición con dous puntos na Clasificación de Beleza (enténdese na resolución de problemas) dun total de arredor de 450 participantes en España.
CANGURO MATEMÁTICO RALLYE MATEMÁTICO OLIMPÍADA 2º ESO SEMANA MATEMÁTICA DÍA DA CIENCIA NA RÚA FEIRA MATEMÁTICA (DÍA ESCOLAR DAS MATEMÁTICAS)
15 DE MARZO 26 DE MARZO 27 DE ABRIL 23-27 DE ABRIL 5 DE MAIO 12 DE MAIO
DE PAPEL
DODECAEDRO MATERIAL: 30 rectángulos de proporcións 1:√2, (é preferible usar 5 cores diferentes) ; o papel DIN A4 ten estas proporcións, pódese dividir cada folio en 8 partes e as proporcións serían semellantes. PASOS: 1. Levar os dous lados maiores sobre a marca central, e virar 2. Dobrar pola metade e desdobrar. 3. Levar o vértice superior esquerdo ao punto medio do lado maior dereito e o vértice inferior dereito ao punto medio do lado maior esquerdo. 4. Virar e facer 30 pezas iguais. 5. Forma de unir as pezas 6. Con 5 formaremos unha cara do dodecaedro.
2
1 Pero, se esto fora pouco, a quen debemos animar e de quen estamos moi orgullosos é do grupo de rapazas de 2º ESO que están competindo dignamente con estes monstros da resolución de problemas (¡Ánimo rapazas!) O xoves, día 8 de marzo, celebrarase a última xornada do Open Matemático nunhas concentracións nas que haberá que resolver os derradeiros catro problemas. En Galicia haberá dúas sedes: A Coruña (IES Monelos e IES Mugardos) e Sanxenxo (Sanxenxo, Ribeira e institutos participantes de Ourense). Estas son as outras citas:
Marzo, 2007
3
5
4
6
Alicia Pedreira Mengotti
UN
H
VELLO MÉTODO DE MULTIPLICAR
ai uns días chegoume por correo electrónico un vídeo que se pode ver en www.youtube.com e que mostra unha maneira de multiplicar moi curiosa, baseada no trazado e intersección de rectas paralelas, tal como se expresa a continuación. Supoñamos que queremos facer a multiplicación: 231 x 134 2
231 x 134
2
231 x 134
3
3 1
1 4
1
2
3
1
231 x 134
2
9
5
18
15
4
3
4
4
1
3
3. Separamos con liñas paralelas á diagonal da figura formada, tal como se expresa. 4. Marcamos e contamos todas as interseccións das rectas. 5. Sumamos todas as interseccións que aparecen en cada separación 6. No caso de que algunha das sumas teñen máis dunha cifra, a cifra das decenas acumúlase á unidade superior.
MATHEMATICAL MOMENTS ESCOITANDO MÚSICA
2
9
19
5
4
2 10
9
5
4
2
3
0 0
1
0 2 6
0
0 3
0
1 0
9
3 0
1 8
3
1
3
4
Pero, se nos fixamos ben, esta multiplicación non é máis que unha versión “despregada” e sen utilizar a táboa de multiplicar do procedemento, coñecido polo nome de método das cuadrículas ou do cadro, utilizado polos aritméticos hindús no século V e despois utilizado polos árabes co nome de método da celosía (per gelosía), que o introduciron en Europa e que se describe a continuación:
3
1
1
15
2
4
1 3 4
2
231 x 134
3
18
30954
Trazamos tantas rectas paralelas como expresan as cifras do primeiro factor, agrupadas por centenas, decenas e unidades. 2. Trazamos, cortando ás anteriores, as rectas correspondentes ao segundo factor. 2
9
4
1.
231 x 134
2
Sen importar como de complicada é a música (ou os datos), dende Mozart ata Twisted Sister, esta é almacenada en discos utilizando só os números 0 e 1. Para facer isto, diferentes ramas das matemáticas, tanto avanzadas como elementais, úsanse en cada paso do proceso. Proceso da sinal: o son orixinal utilizase como mostra, medindo as ondas do son a intervalos de frecuencia regulares. A intensidade da frecuencia depende do Teorema de mostraxe de Shannon. Aritmética binaria: as amplitudes están representadas como
0
9
5
4
No século XVI, Napier publicou un libro titulado Rabdoloxía, onde describe a utilización de variñas e cadros para efectuar sumas de productos parciais, seguindo un proceso similar ao método hindú da multiplicación.
Bibliografía:
Gonzalo Temperán Las cifras. Georges Ifrah Historia de las matemáticas . Jean-Paul Collette
unha secuencia de 16-bit de ceros e uns.Os ceros e os uns gárdanse no CD en superficies lisas e surcos. Ecuacións en derivadas parciais: as ecuacións de dinámica de fluídos gobernan o proceso de compresión das capas reflectoras e protectoras dos datos. Álxebra lineal: as inevitables corrupcións dos ceros e uns (po ou rozaduras, por exemplo) están compensadas con códigos de corrección de erros. Cálculo e Trigonometría: para recuperar os datos, un rastreador move o láser que está enfocado nos datos. Ao mesmo tempo que o láser le dende o centro do disco cara o eixo, un motor debe mover continuamente o CD máis a modo para manter constante a velocidade de lectura dos datos. Traducción: Atenea Fernández Rozadilla, 1ºBach A
Selección de Mulleres Matemáticas Naceu en Crotona, foi discípula de Pitágoras e casou con el. Despois da rebelión contra o goberno de Crotona, á morte de Pitágoras, pasou a dirixir a escola pitagórica. Traballou
TEANO Século VI a.C.
MARÍA GAETANA AGNESI 1718—1799
sobre os poliedros regulares, a teoría da proporción e en particular sobre a proporción áurea.
Nace en Milán. Dedicouse ao estudio de álxebra e xeometría. Publicou Instituzioni Analitiche, editada en varios idiomas e utilizada como manual universitario. Foi a primeira muller en dar clase na universidade.
HIPATIA 370 - 415
CAROLINA HERSCHEL 1750—1848
duciu ao inglés o Tratado de mecánica celeste de Laplace, pero para
Inglesa. Escribiu Primei-
ro libro de Xeometría,
sobre o ensino da xeometría. Tivo dificultades para asistir ás clases de Arthur Cayley en Cambridge. Para conseguir o doutorado tivo que ir Göttingen. Fixo contribuGRACE CHISHOLM cións á Integral de LeYOUNG besgue e ás Derivadas 1868-1944 das Funcións Reais.
Alicia Pedreira e Emma Castelnuovo
EMMA CASTELNUOVO 1914-
A sociedade de profesores de matemáticas de Madrid leva o seu nome.
En 1952 publica o seu libro de aritmética I Numeri para alumnos de primeiro ciclo de Secundaria. Impartiu moitos cursos e conferencias tanto en Italia como noutros
Construíu o astrolabio. Era defensora do heliocentrismo Traballou en ecuacións diofántica, cónicas e movemento dos astros.
ÉMILE DE CHÂTELET 1706-1749
ADA LOVELACE 1815—1852
nebulosa Andrómeda e a Cetus e engadiu 14 nebulosas á lista das descubertas. Foi a primeira muller en detectar un cometa e detectou 8 en total. Recibiu medallas de ouro de varias academias.
Filla do poeta inglés Lord Byron. Desenvolveu instruccións para facer computacións nunha versión temperá da computadora. Tivo unha relación con Charles Babbage, home que inventou a primeira computadora. O nome da linguaxe ADA é na súa honra.
Naceu en Alemaña. Tivo que emigrar a USA polo nazismo. Traballou con Félix Klein e David Hilbert. Contribuíu a aclarar conceptos que necesitaría Einstein na súa Teoría xeral da relatividade. Abordou unha das áreas máis abstractas das mateEMMY NOETHER máticas: a álxebra non con1882-1935. mutativa.
Foto de Quique Pujales
MARÍA WONENBURG A Coruña, 1927I Premio “Mulleres CienciaArte” da Universidade da Coruña (Marzo-2007)
Estudiou Matemáticas en Madrid. En 1953 foi a primeira bolseira Fulbright española en Matemáticas, e en 1957 doutorouse en Yale. Traballou con Germán Ancochea ata 1960. Foi profesora na Universidade de Toronto e logo en Indiana (USA) ata 1983. Actualmente reside na Coruña. É considerada coma a nai da teoría das álxebras de Kac-Moody.
8 de marzo Día internacional da muller
A súa contribución máis importante foi a traducción do latín ao francés dos “Principia Mathematica” de Newton. Escribiu As institucións da Física. Naceu en París. Utilizou o seudónimo masculino de A.A. Leblanc. Os seus traballos son unha demostra-
Traballou co seu irmán William que se dedicou a astronomía. Descubriu a
Naceu en Escocia.Tra-
entendelas matemáticas que gardaba este, tivo que estudiar primeiro os Elementos de Euclides e un tratado de álxebra. MARY SOMERVILLE Foi coñecida como a 1780—1872. raiña das Ciencias do
Casou aos 19 anos co Marqués du Châtelet. Aínda estando casada compartiu case toda a súa vida con Voltaire.
Filla de Teón de Alejandría. Foi profesora na Escola de Alexandría, e chegou a ser a súa Directora.
ción parcial do último teorema de Fermat e unha teoría sobre a elasticidade
que lle valeu o premio da Academia de Ciencias e SOPHIE GERMAIN a súa admisión nela. Pri1766—1831 meira muller en ser membro da Academia.
SOFÍA KOVALEVSKAYA 1850-1888
GRACE MURRAY
HOPPER 1906-1992
SUN-YUNG
CHANG 1948-
Nace en Moscú. Gracias á intervención persoal de Kirchoff aceptárona de estudiante da Universidade. Alí coñeceu a Karl Weierstrass e foise a estudiar con el. Foi profesora de Análise Matemático na Universidade de Estocolmo. Fixo traballos de investigación sobre ecuacións en derivadas parciais. Participou na programación do primeiro ordenador, o ENIAC, fabricado para o exercito. Graduouse en matemáticas e física. Un dos primeiros ordenadores cos que traballou foi o Mark I . Formou parte da mariña, onde traballou en actividades do departamento de intelixencia. Fixo os seus estudios na Universidade de Taiwan e doutorouse en 1974 na Universidade de Berkeley, Calif o r n i a . Seus artigos e publicacións son dunha grande calidade científica. Recibiu en 1995 o prestixioso premio Ruth Lyttle Satter de Matemática.Traballa en Ecuacións non lineais en derivadas parciais, Xeometría isospectral, Varie-
Amaya Bouza Prada e Lucía Cabado Espiño (1º Bach. C)
Canguro matemático
Olimpiada matemática
O
CAIXÓN
DOS PROBLEMAS
XIX OPEN MATEMÁTICO 4ª xornada: PONTES ENCADEADAS
s círculos representan illas. A túa misión é conectalas todas entre si detectando o camiño continuo que permite viaxar, por terra, dunha a outra. As conexións entre illas efectúanse con pontes horizontais ou verticais, nunca en diagonal O número de pontes que sae de cada illa indícase no seu interior. Entre dúas illas non pode haber máis de dúas pontes que as unan. As pontes nunca poden atravesar outras illas nin outras pontes.
-
-
PROPOÑEMOS
CATRO CASOS:
Resolvemos un caso sinxelo, paso a paso, como exemplo:
1.
2.
3.
4. 5.
6.
7. 8. 9.
Da illa marcada cun 8 deben saír dúas pontes ata cada unha das catro illas que a rodean. Da illa da esquina superior dereita, marcada cun 4, saen dúas pontes ata unha das dúas illas coas que se poden conectar. E a illa que hai na esquina superior esquerda, cun 3, conéctase coa que está á súa dereita que leva un 1, e coa que está debaixo que leva un 5.
Completamos a ponte que falta por saír da illa do centro esquerda marcada cun 5. Dado que as pontes non se poden cruzar, queda claro como completar os que faltan por saír da outra illa marcada tamén cun 5. As conexións na parte inferior son inmediatas.
Proseguimos: a illa cun 3 no centro da dereita A illa cun 3 da fila superior. E rematamos o que queda.
tetractis 6
24
Marzo, 2007
Ano I. Boletín nº 7
Depósito legal: C 2766-2006
Extra Marzo, 2007
LA ALGEBRISTA FELIZ MARÍA WONENBURGUER RECIBE EL PRIMER PREMIO MULLERES CIENCIA ARTE "Feliz" por haber dedicado toda la vida a su pasión, las matemáticas y sobre todo el álgebra, la coruñesa María Wonenburguer acumula ahora, a sus 80 años y desde su retiro en su casa de A Pasaxe, los homenajes, reconocimientos y fama en su país de los que goza desde hace décadas al otro lado del atlántico. Ser mujer y científica en la España de la dictadura de Franco no era precisamente compatible. "Empecé a estudiar la carrera de ciencias exactas en Madrid sin saber si iba a poder enseñarla a un nivel superior que el de secundaria". Y tras convertirse en Canadá y Estados Unidos en una celebre e importante algebrista, con trabajos cuya aplicación sigue jugando un papel fundamental en el campo de la Física y de la Matemática desde los años 70, cuenta entre risas que en su país seguían sólo ofreciéndole "la oportunidad" de presentarse a unas oposiciones de profesora "para conseguir, a lo mejor y con un poco de suerte, una plaza". A los reconocimientos y homenajes que en el último año recibió María Wonenburguer, se sumó ayer la Universidad de A Coruña. Como motivo de la celebración del 8 de marzo, otorgó a la matemática coruñesa el primer Premio Mulleres Cien-
cia Arte, promovido por la nueva Oficina de Igualdade de Xénero. Hija de una acomodada familia coruñesa de origen alsaciano, Wonenburguer se licenció en Madrid y se doctoró, de la mano del algebrista más importante del siglo XX Nathan Jacobson, en la prestigiosa Universidad estadounidense de Yale, gracias a ser la primera española que consiguió una bolsa Fullbright, en 1953. Con una destacada y dilatada carrera universitaria y de investigación desarrollada en Canadá y, sobre todo, Estados Unidos, María Wonenburguer es la creadora de la teoría de las álgebras de Kac-Moody, así como una experta en la teoria de los grupos clásicos y en las álgebras de Clifford. Dirigió la tesis doctoral del "ahora reconocido", dice con una sonrisa, Robert Moody, uno de los más destacados matemáticos del mundo. El acto de ayer se planteó como una charla a petición de la propia María Wonenburguer.
I Concurso de Fotografía Matemática
Inscribe o teu centro na páxina web www.agapema.com
***** Feira Matemática ***** Ata o 2 de maio Primaria, Secundaria, Postobrigatoria e Adultos. Bases na páxina web:
www.agapema.com
MATEMÁTICAS O
EXIPCIAS
ANTIGO EXIPTO É A MAIOR CIVILIZACIÓN TECNOLÓXICA DA ANTIGÜIDADE, O TRIUNFO DA EFICACIA E A INTELIXENCIA
Aquí vamos a tratar das súas matemáticas. Tiñan coñecementos bastante importantes, aínda que non chegaban aos que máis adiante terían os gregos. Os seus cálculos buscaban o máis práctico, non lles preocupaba a resolución teórica nin a reflexión sobre problemas matemáticos, senón a súa inmediata aplicación práctica. As matemáticas exipcias baseábanse nun sistema decimal, pero non posicional, senón aditivo. Os seus números escribíanse da seguinte manei-
Representación do número 365
ra: As operacións básicas de suma e resta limitábanse a unha combinación ou cancelación de símbolos. Para sumar simplemente engadíanse os símbolos correspondentes. Como os símbolos podíanse repetir ata 9 veces, se se excedía, eliminábanse todos e engadíase o seguinte. Para a resta simplemente eliminábanse os símbolos a restar. A multiplicación realizábase a partir de duplicacións e sumas. Por exemplo: 25 x 37= 25 = 1 + 8 + 16 25 x 37 = 37 + 296 + 592 = 925
1
37
1 2 4 8 16
37 74 148 296 592
Na división empregábase a división á inversa, sempre obtíñanse cantidades enteiras ou fraccións exactas, xa que pode que descoñecesen o resto. FRACCIÓNS O uso de fraccións é o trazo máis peculiar da matemática exipcia, o método empregado é moito máis comp l e x o que o noso. Na representación de fraccións empregábase o símbolo (r) que en escritura hierática converteuse nun punto, e que significaba "parte". Cando se quería escribir un valor fraccionario, representábase o símbolo anterior seguido por o valor numérico do denominador. 1/5 (xeroglífica)
A XEOMETRÍA DOS EXIPCIOS Os coñecementos xeométricos dos exipcios tamén eran considerables. Sen ditos coñecementos non haberían podido construír as pirámides ou medir terras, etc..., a xeo- Do libro Matemáticas 3º ESO. Editorial SM metría exipcia xunto á babilónica, foi a precursora da potente xeometría grega. Os primeiros matemáticos gregos (Tales de Mileto, Pitágoras,...) viaxaron por Babilonia e Exipto antes de realizar os seus tratados. Dominaban perfectamente os triángulos grazas aos anoadores que facían nós igualmente espaciados que servían para medir; foron os primeiros en observar que unindo con forma de triángulo, cordas de certas lonxitudes obtense un ángulo recto, tamén conseguían mediante estes nós triángulos rectángulos (corda de 13 nós). Pitágoras recolleu toda esta experiencia xeométrica para o seu teorema. É dicir, os exipcios xa coñecían a relación entre a hipotenusa e os catetos no triángulo rectángulo. Utilizaban o que máis tarde se coñeceu como Teorema de Pitágoras, mais de forma práctica, non sabían demostralo. Entre as fórmulas que tiñan para medir áreas, podense citar as de superficie do cadrado (a partir do triángulo), do rectángulo, do rombo e do trapecio. En canto a área do círculo utilizaron unha fórmula que daba a Π un valor bastante aproximado. No Papiro de Rhind encontramos:
1/5 (Hierática)
Os exipcios empregaban fraccións con numerador 1 e coa notación anterior, coas únicas excepcións de 1/2, 2/3, 1/4 y 3/4, que se representaban cun xeroglífico especial. Tamén era moi frecuente o uso das fraccións chamadas ‘fraccións ollo de Horus’,que representaban cada unha das partes nas que foi secciona-
tetractis 7
do o ollo de Horus durante a súa batalla con con Seth. As cellas equivalían a 1/8, a pupila 1/4, a parte esquerda da pupila 1/2, na parte dereita da pupila 1/16, a parte inferior vertical baixo o ollo 1/32 e a parte inferior diagonal do ollo representaba 1/64. As fraccións con numerador distinto a 1 reducíanse a sumas de fraccións coñecidas con numerador 1. En álxebra, chegaron a resolver ecuacións de segundo grao. Pedíase por exemplo buscar un número, que eles chamaban aha ou montón. Sabían resolver repartos proporcionais.
26
Os papiros deixáronnos constancia de que os exipcios situaban correctamente tres corpos xeométricos: o cilindro, o tronco da pirámide e a pirámiNome Equivalencia Heqat
4,8 l
Henu
0,48 l
Oipe ou ipet
19,22 l
Ro
15 cm3
Extra Marzo, 2007
Nome
Nome exipcio
Equivalencia
Cóbado
Meh
0,523 m
Palmo
Shesep
7,471 cm
Dedo
Yeba
1,87 cm
Vara
Jet
52,3 m
Río
Iteru
10,5 km
Cada división na regra corresponde a un dedo
2. Medidas de lonxitude:
3. Medidas de peso: A unidade fundamental de peso era o Deben, empregada para intercambios e equivalía a 91 gramos, normalmente de cobre, aínda que o valor dos productos podía aparecer expresado en debens de oro ou prata.
Antroido en Monelos Os membros do Departamento de Matemáticas do IES Monelos buscando “iguales”
UNHA
ÁRBORE POR
HIPATIA
DE
ALEXANDRÍA
O CONCELLO DA CORUÑA PRANTA AS 22 PRIMEIRAS ÁRBORES NUN BOSQUE DAS MULLERES NO PARQUE DE SAN DIEGO
Qedety era unha décima parte dun deben. Shat ou anelo equivalía a medio deben. 4. Outras unidades: Pesu: Unidade que expresa a calidade do pan e da cervexa , canto maior é o pesu peor é a calidade. Shaty: Asígnaselle o valor de 1/12 dun deben de ouro . Seqt: Pendente dunha superficie plana inclinada. Setat: Era unha medida de superficie que equivalía a 10 000 cóbados cadrados . PAPIROS As matemáticas exipcias son coñecidas a través dos matemáticos gregos e tamén a través duns papiros que se conservaron ata a actualidade:
CLASIFICACIÓN
FINAL DO
XIX OPEN MATEMÁTICO
Papiro de Rhind Mide uns 6 m de largo e 33 cm de ancho, escrito aproximadamente no ano 1650 a.C. consta de 87 problemas e as súas resolucións. Foi escrito por o escriba Ahmes.
Papiro de Moscú Mide 5 m de lonxitude e 8 cm de ancho; foi escrito en torno o ano 1890 a.C. e consta de 25 problemas. Non se coñece o escriba .
PREMIOS DE BELEZA
Para saber máis:
Centros5.pntic.mec.es/ies.ortega.y.rubio/Mathis/Egipto/Egipto.htm www.rena.edu.ve/…/imagenes/rhind.jpg www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/bibliografia.htm Beatriz Fernández Marta, 2º ESO B Mercedes Fernández Marta, 2º ESO B
tetractis 7
27
Extra Marzo, 2007
Canguro matemático
Olimpiada matemática
CAIXÓN XIX
DOS PROBLEMAS DESPRAZAMENTOS Esvara tres de estas dezaoito fichas arriba, abaixo, á esquerda ou á dereita para que queden exactamente tres fichas en cada fila e en cada columna.
OPEN MATEMÁTICO
5ª
XORNADA
GPS EN PLANILANDIA En Planilandia os GPS funcionan de maneira parecida a como o fan no noso tridimensional mundo: indican con suma precisión a distancia que nos separa duns satélites habilmente colocados en zonas do plano. Se, por exemplo, nos indica que a distancia a un primeiro satélite é de 1234 km., a nosa posición non estará univocamente determinada pero si sabemos que nos atopamos nunha circunferencia co centro no dito satélite e radio de 1234 km. Se a continuación medimos a distancia a un segundo satélite e resulta ser de 2345 km, saberemos máis sobre a nosa posición: atopámonos agora, tamén, noutra circunferencia co centro nese segundo satélite e radio de 2345 km. Polo tanto, estamos nalgún punto dos dous que son comúns a esas dúas circunferencias. Para delimitar clara e univocamente en cal deses dous puntos atopámonos vería moi ben instalar un terceiro satélite. Pero esto resulta moi caro. É por iso que o goberno de Poligonia pediu aos seus técnicos que valoren unha posibilidade máis viable economicamente: cambiar de sitio os dous satélites actuais para que calquera lugar de seu extenso territorio quede perfectamente determinado. ¿Como ten que facelo sen incumprir as estrictas normas internacionais de Planilandia que esixen asentar os satélites no propio territorio ou nunha franxa exterior autorizada que non supera os 300 km desde as súas fronteiras? Xustifica debidamente que a túa solución satisface os desexos de Poligonia. tetractis 7
O TÍPICO PROBLEMA DA FORMIGA DO OPEN A formiga deste ano reside na orixe de coordenadas do plano cartesiano. Hoxe decidiu saír de excursión cumprindo estas catro regras: 1. O primeiro día camiñará unha distancia dunha unidade de lonxitude e, a partir do segundo día, todos os días andará unha unidade máis que o día anterior pero, sempre en liña recta. 2. Todas as noites pasaraas nun punto reticular, é dicir, nun punto de coordenadas enteiras. 3. Durante o seu recorrido, nunca cruzará os eixes do plano cartesiano nin por ningún lugar polo que pasara antes. 4. E cada mañá, ao iniciar o seu recorrido, cambiará de dirección, é dicir, elixirá unha dirección distinta á que levaba o día anterior. Velaquí un posible recorrido dos seus primeiros cinco días. ¿É posible que, cumprindo fielmente estas regras, a formiga poda volver algún día ao seu lugar de procedencia, a orixe de coordenadas? Se a resposta é afirmativa, indica o recorrido correspondente. Se a resposta é negativa, xustifica a súa imposibilidade.
28
Extra Marzo, 2007
Ano I. Boletín nº 8
Depósito legal: C 2766-2006
Abril, 2007
I Semana Matemática 23-27 de abril de 2007
IES Monelos Programa Actividades Xeometría de papel Poliedros Matemaxia Mosaicos nazarís Tangram Torres de Hanoi Cubo Soma Cubo Alxébrico Cubo diabólico Cubo Mikusinki Pentaminós
Desde TETRACTIS queremos poñer o noso gran de area ao EUROENCONTRO que nesta semana reune no IES Monelos a todos os participantes no Periódico Europeo DEFRIT: Alemaña,
España, Francia, Italia, Romanía e Rusia, cunha exposición dos matemáticos máis representativos destes países e na que colaboraron as alumnas de 2º ESO: Iria González Díaz Amanda Otero Arcas Beatriz Rodríguez Vázquez Aroa Vega Seijas
TESELAS NAZARÍS
Exposicións ÓSO
Matemáticos no euroencontro A proporción áurea nos peixes Poliedros regulares a través do espello Mosaicos nazarís
PAXARIÑA
Proxeccións Dimensión fractal Fotografía matemática Teatromático Amargas confesións da función seno Ángulos bastante agudos Noticiario matemático Humor matemático Romance da derivada co arcotanxente Diálogos entre a curva e a súa asíntota
Cartel elaborado cos debuxos que os alumnos e alumnas da materia de Plásrtica que elaboraron para a exposición de Mosaicos nazarís. PÉTALO
PEIXE VOADOR
AVIÓN
Matemaxia Presentación no centro do Gran Matemago Luciano
FUSO
A
FRACTAIS pel, as imaxes fractais son xeradas habitualmente mediante computadoras, xa que estas poden realizar cálculos moito máis complexos ca ese. Non obstante, debemos ter en conta que o representado na pantalla non é propiamente un fractal, xa que por poderosa que sexa a máquina, un fractal é infinito e unha computadora non pode realizar un cálculo infinitas veces.
índa que a definición correcta de corpo fractal é "aquel que ten a Dimensión Topolóxica estrictamente menor que a súa Dimensión de Hausdorff-Besicovitch", diremos que un corpo fractal é un corpo xeométrico con dúas características básicas: Primeiro, a súa área ou superficie é finita, é dicir, ten límites. Polo contrario e por contradictorio que pareza, o seu perímetro ou lonxitude é infinita, é dicir, non ten límites. Un fractal pode ser, por exemplo, unha serie de circunferencias que se coloquen unha sobre o radio da outra coma se fose o seu diámetro e así infinitamente. A área dese fractal sería semellante á da circunferencia maior, pero a súa lonxitude (considerándoas non como figuras independentes, senón como todas unha soa) sería infinita.
Por último, intentarei explicar de forma clara o termo "dimensión fractal", adoptado por Mandelbrot para substituír o que se coñece como Dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Cando medimos algo, en realidade estámolo comparando con outra cousa, e estas "cousas" non son máis que dimensións ou unidades. Se intentamos medir lonxitudes, como o caso dun fractal, estarémolo facendo nunha dimensión (lonxitude), e estaremos empregando conceptos de dimensión euclidiana (é dicir, as dimensións ás que estamos acostumados normalmente: unha dimensión, dúas dimensións, tres dimensións). E como sabemos, esta medida non pode ser nunca euclidiana, xa que cada vez que nos acheguemos tenderá a infinito. Por iso deducimos que non pode ser un corpo unidimensional.
Para entendermos mellor que é un fractal, debemos familiarizarnos co concepto de iteración. Unha iteración é a repetición de "algo" unha cantidade infinita de veces. Os fractais xéranse a través de iteracións dun patrón xeométrico establecido como fixo. Este patrón xeométrico que se repite constantemente adoita ser un cálculo simple.
Aínda así, tampouco se trata dun corpo de dúas dimensións, xa que non deixa de ser unha liña, e visto dende un punto de vista matemático, non cobre o plano completo. O caso é que non nos atopamos fronte a unha liña unidimensional de tipo clásico euclidiano, senón que nos atopamos fronte a unha liña de tipo clásico "fractal".
Un exemplo de fractal é a illa Triada de Koch (tamén coñecida como Copo de Neve de Koch), que se forma coa iteración dun triángulo equilátero sobre os tercios medios dos seus lados. A súa xeración é unha das máis simples e pode facerse manualmente. O procedemento é o seguinte:
Polas razóns presentadas pódese intuír que a Dimensión Fractal é un número comprendido entre 1 e 2 (só para o caso da nosa liña), que non é 1, xa que estaríamos fronte a unha típica unidimensionalidade euclidiana, e que non é 2, xa que non se trata de corpos que cubran o plano na súa totalidade. A conclusión é que "a Dimensión Fractal é, polo xeral, maior ou igual que a Dimensión Topolóxica", entendendo por Dimensión Topolóxica a dimensión euclidiana común que coñecemos.
Debúxase un triángulo equilátero, despois divídense os lados en tres partes iguais e trázanse rectas que unan os puntos de lado en lado formando así outro triángulo. O que obtemos é a coñecida Cruz de David. Este proceso pódese repetir unha e outra vez:
Páxina de referencia: http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Cockpit/5889/cuerpos.html
ANTÓN COTELO GARCÍA 2º A BACH
Malia que este proceso é realizable con lapis e patetractis 8
30
Abril, 2007
XEOMETRÍA
DE PAPEL
Alicia Pedreira Mengotti
TANGRAM
O
tangram é un dos xogos máis antigos do mundo, naceu na China e coñécese co nome de qi qiao du, que significa "disposición enxeñosa de sete pezas". Con esas pezas pódense construír numerosas figuras recoñecibles, que representan animais, obxectos, persoas, figuras xeométricas... Conta unha lenda que a un albanel escachóuselle unha baldosa e cando intentou amañala quedou abraiado pola infinidade de combinacións. MATERIAL NECESARIO Unha folla DIN A4 dividida á metade, sucesivas veces, para obter os 7 rectángulos semellante da figura. CONSTRUCCIÓN
DOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ISÓSCELES
(PEZAS 1, 2, 3, 4, 5)
CONSTRUCCIÓN
tetractis 8
Folla formato DIN A4
DO ROMBOIDE
CONSTRUCCION DO (PEZA 6)
Tangram final
CADRADO
Intenta compoñer algunha destas figuras coas sete pezas
(PEZA 7)
31
Abril, 2007
LOGOTIPOS
E XEOMETRÍA
Un logotipo é un debuxo que lle serve a unha entidade para representarse. Para que realice a súa función ten que ser chamativo e sinxelo para ser recordado.
1. LOGOTIPOS XEOMÉTRICOS Son os logotipos que so utilizan xeometría no seu deseño. Exemplo de logotipo xeométrico é o da caixa de aforros do mediterráneo. . 2. LOGOTIPOS SIMÉTRICOS Son logotipos que, ademais de ter elementos xeométricos, teñen figuras simétricas (respecto a un eixe ou coa simetría central). Dous exemplos de logotipos simétricos son Volkswagen e Opel. 3. LOGOTIPOS CON XIROS Logotipos que se poden obter a partir dunha figura dada por medio de xiros da mesma. Un exemplo disto é o logotipo de Mitsubishi. 4. MOVEMENTOS E ALGO MÁIS Ás veces (ademais dos movementos) e nos logotipos hai algo más que non se aprecia pero que por eso deixa de estar moi presente. Outro exemplo é o logotipo do Banco Zaragozano. Se nos fixamos, na forma que ten a Z inicial do Banco, poderemos darnos conta de que en realidade é o símbolo de porcentaxe % estilizado. Isto non se aprecia a primeira vista, pero si inconscientemente. A partir do logotipo, o banco intenta transmitirnos que os nosos aforros van a ser incrementados e, o ser a primeira inicial, resulta moi fácil recordar o nome do banco. EFECTOS QUE PRODUCEN AS FIGURAS NOS LOGOTIPOS Os efectos que producen as figuras xeométricas cando se as aplica no deseño dun logo son os seguintes: CÍRCULO Utilízase para proxectar un logotipo abstracto, é dicir, un logotipo que presente unha mensaxe gráfica sen facer uso de elementos figurativos ou letras. Un logotipo formado por un círculo no que se incluíu outro círculo branco no centro. Tras equilibrar a relación óptica entre os círculos, os efectos visuais producidos por este sinxelo pero eficaz logotipo son: estabilidade, racionalidade e equilibrio. Este tipo de logotipo pode ser o indicado para unha compañía financeira ou un banco. Se sé introduce agora outro no deseño: unha frecha colocada no lado dereito do círculo. Os occidentais acostumamos a imaxinar o movemento de esquerda a dereita, como ocorre coa nosa caligrafía. Por este motivo, se sé une a frecha ao círculo, producirase a sensación de movemento: de feito, a frecha parece arrastrar ó círculo. Un logotipo de este tipo pode ser o adecuado para empresas que queren dar unha imaxe de crecemento lento pero constante. Se agora poñemos o círculo branco enriba e a esquerda e eliminamos a frecha. O logotipo transformase visualmente nunha esfera que roda velozmente. Este logotipo transmítenos a sensación de movemento rápido e continuo, perfecto
tetractis 8
32
para unha empresa de coches, de mensaxería ou unha compañía aérea. Se sé despraza o círculo branco á dereita, o efecto visual cambia radicalmente. A posición do círculo branco produce a impresión de que se quedou estancado. A imaxe é negativa e non debe usarse nunca para expresar movemento, dinamismo, etc. Sen embargo, é adecuado para expresar unha sensación
de pesadez.
CADRADO Estas técnicas aplicadas ó círculo para producir distintos efectos tamén poden servir en calquera outra figura xeométrica. Un cadrado, por ter unha estructura sólida e ben apoiada, transmite unha sensación de firmeza, estabilidade e resistencia. Sen embargo, se sé cambia a posición do cadrado para que este se apoie sobre un só vértice, a imaxe que nos da é de inestabilidade : Este tipo de logotipo vale para comunicar incerteza, provisionalidade e temporalidade. Se sé inclina o cadrado cara a dereita produce o efecto de algo que remonta unha costa con dificultade; sen embargo, se o inclinamos cara a esquerda, parecerá un obxecto en caída libre. TRIÁNGULO Esta figura pode producir diferentes efectos de dirección. Un triángulo que teña o lado esquerdo máis prolongado que os demais indica dirección cara a dereita (crecemento lineal). O triángulo isósceles visto de maneira normal indica un cambio cara arriba (crecemento exponencial), o triángulo rotado cara a dereita indica un cambio cara a esquerda (leve retroceso) e o triángulo que apunta cara abaixo indica caída grave. LOGOTIPOS FAMOSOS Logotipo de Audi, catro círculos enlazados. Simboliza a unión de catro empresas automobilísticas: Audi, Horsch, DKW e Wanderer
O logotipo de Mastercard: dous círculos fusionados coas letras da empresa. Logotipo dos xogos olímpicos: cinco aneis de cores entrelazados, que amosan equilibrio e unión. Caixagalicia, logotipo formado por varios círculos de distintos tamaños. Logotipo da marca de coches Citroën, unha especie de triángulos sen a base cara a enriba coma se fosen frechas.
Referencias: www.wikipedia.org www.soslogodesign.com Aida Fernández Negreira, 1º Bach. C Ero Maroño Rodríguez, 1º Bach. C
Abril
Ano I. Boletín nº 9
Depósito legal: C 2766-2006
Especial Feira Matemática, 2007
A LENDA DOS
¡Axúdanos a construír mil grous!
MIL GROUS
Os mil grous de origami (papiroflexia) son un conxunto de mil grous de papel unidos por cordas. Unha antiga lenda xaponesa promete que calquera que faga mil grous de papel recibirá un desexo por parte dun grou, tal como unha longa vida ou a recuperación dunha enfermidade. Os mil grous de origami converteuse nun símbolo de paz, debido á historia de Sadako Sasaki, unha pequena xaponesa que desexou curar da súa enfermidade (leucemia) producida pola la radiación dunha bomba atómica. A dramática historia ven dun libro chamado Sadako e os
mil grous de papel.
DESENVOLVEMENTO DUN GROU
http://cerebro_hueco.blogspot.com/2007/03/origami.html
N
A LENDA DOS MIL GROUS
Isabel Bornemann
Acabou xuño, e Toshiro arrincou contento a folla do almanaque... aomi Watanabe e Toshiro Ueda crían que o munFoise xullo, e Naomi arrincou contenta a folla do do era novo. Como todos os rapaces. almanaque... Porque eles eran novos no mundo tamén, como todos os E aínda que non o soubesen: Por fin chegou agosto! rapaces. Pero o mundo era xa moi vello entón, no ano –pensaron os dous ao mesmo tempo. 1945, e outra vez estaba en guerra. Naomi e Toshiro Foi xustamente o primeiro dese mes cando Toshiro non entendían moi ben que era o que estaba pasando. viaxou, xunto aos seus pais, para a aldea de Miyashima Dende que se lembraban, as súas pequenas vidas na cidade xaponesa de Hiroshima desenvolvéranse do (1). Ían pasar unha semana. Alí vivían os avós, dous mesmo modo: nun clima de sobresaltos, entre adultos ceramistas que vían apiñarse vasillas en todos os recalados e tristes, compartindo con eles os escasos cunchos do seu local. grans de arroz que aboiaban na sopa diaria e o medo Xa non vendían nada. Non obstante, as súas mans que apertaba as reunións familiares de cada anoitecer vellas seguían modelando a arxila coa mesma dedicaen torno á noticia da radio, que falaban de loitas e ción doutras épocas, -Para cando termine a guerra... – morte por todas partes. dicía o avó–. Todo acaba algún día... –comentaba a avoa Sen embargo, crían que o mundo era novo e esperapolo baixo. E Toshiro sentía que a paz debía de ser alban ansiosos cada día para descubrilo. go moi fermoso, porque os ollos da súa nai parecían Ah... e tamén se estaban descubrindo un ao outro! aclararse fugazmente cada vez que se referían á fin Contemplábanse de esguello durante a camiñada da guerra, tal como a el se lle aclaraban os seus cando para a escola, cando supoñían que as súas miradas erlembraba a Naomi. guían murallas e ninguén máis que eles podía transitar ¿E Naomi? ese imaxinario camiñiño de ollos a ollos. O primeiro de agosto espertou inqueda; acababa de A penas se intercambiaran algunhas frases. O soñar que camiñaba sobre a neve. Soa. Descalza. Nin afecto dos dous non buscaba as palabras. Estaban tan casas nin árbores ó redor. Un deserto xeado e ela acostumados ao silencio... atravesándoo. Pero Naomi sabía que quería a ese rapaciño delgaAbandonou o tatami (2), deslizouse na punta do pé do, que máis dunha vez se quedaba sen comer por darentre os seus durmidos irmáns e abriu a fiestra da halle a ela a ración de patacas que trouxera da súa casa. bitación. Que alivio! Unha cálida madrugada rozoulle as -Non teño fame– mentíalle Toshiro, cando vía que a fazulas. Ela devolveulle un suspiro. nena a penas se tiña dous ou tres galletiñas para pasar O dous e o tres de agosto escribiu, traballosameno mediodía. -Déixoche miña vianda– e íase brincar cos te, os seus primeiros haikus (3): seus compañeiros ata a hora de regreso ás aulas, para Lento apágase que Naomi non tivese vergonza de devorar a ración. O verán Naomi... Poboaba o corazón de Toshiro. Anoábase Acendo nos soños coas súas longas trenzas negras. Facíalle ter Lámpada e sorrisos. ganas de medrar de golpe para poder casar con ela. Logo Pero ese futuro quedaba tan lonxe aínda... Florecerán os crisantemos. O futuro inmediato daquela primavera de 1945 foi Espera, o verán, que chegou puntualmente o 21 de xuño e anunCorazón. ciou as vacacións escolares. Despois, achicou en roliños ambos os E coa mesma intensidade con que HAIKU: breve poema de dezasete papeis e gardounos dentro dunha outras veces esperaran as súas asolla- sílabas, típico da poesía xaponesa. caixiña de laca na que agochaba os das mañás, ese ano ensombreceunos seus pequenos tesouros da curiosidaaos dous: nin Naomi nin Toshiro desexaban que empede dos seus irmáns. zase. O seu comezo significaba que terían que deixar O catro e o cinco de agosto pasouno axudando á de verse durante un mes e medio inacabable. súa nai e ás tías Era tanta a roupa para remendar! A pesar de que as súas casas non quedaban demaSen embargo, esa tarefa non lle desgustaba. Naosiado lonxe unha da outra, as súas familias non se comi sempre sabía achar o modo de converter nun xogo ñecían. Nin sequera tiñan entón a posibilidade de enentretido o que acaso resultaba aburridísimo para oucontrarse nalgunha visita. Había que esperar pacientetras mozas. mente a prosecución das clases. tetractis 9
34
Especial Feira Matemática, 2007
dentro deles, no seu mesmo sangue. Cando cosía, por exemplo, imaxinaba que cada duasE para ese hospital marchou Toshiro unha mañá. O centas vinte e dúas puntadas podía suxeitar un desexo inverno insinuábase xa no aire e o rapaz non sabía se para que se cumprise. era frío exterior ou o seu pensamento o que lle facía A agulla ía e viña, laboriosa. aterecer.Naomi atopábase nunha cama situada xunto á Así, quedou no pantalón do seu irmán menor o rogo fiestra. De cara ao teito. Xa non tiña as súas trenzas. de que finalizase deseguida esa espantosa guerra, e A penas unha tenue pelusiña escura. nos puños da camisa de seu pai, o pedido de que TosSobre a súa mesa de luz, uns cantos grous de papel hiro non a esquecese nunca... ciscados. E os dous desexos cumpríronse. -Vou morrer, Toshiro... –bisbou, non ben o seu amigo se Pero o mundo tiña os seus propios planos... parou, en silencio, ao lado da súa Oito da mañá do seis de agosto SEMBA-TSURU: Mil grous. Unha crenza cama. –Nunca chegarei a pregar os no ceo de Hiroshima. Naomi axusta o obi (4) de seu popular xaponesa, asegura que facendo mil grous que me fan falta... kimono (5) e lembra o seu amigo: - mil desas aves –segundo insignia a reali- Mil grous...ou “Semba-Tsuru” (7), zalo o origami (nome do sistema de pre- como se di en xaponés. ¿Que estará facendo agora? “Agora”, Toshiro, pesca na illa men- gado de papel)– lógrase acadar a longa Co corazón engruñado, Toshiro contres se pregunta: -¿Que estará fa- vida e felicidade. tou os que se achaban dispersos cendo Naomi? sobre a mesiña, Só vinte grous. No mesmo momento ,un avión inimigo sobrevoa o Despois, xuntounos coidadosamente antes de gardalos ceo de Hiroshima. nun peto da súa chaqueta. No avión, homes brancos que pulsan ordenanzas e a -Vaste poñer ben, Naomi –díxolle entón, pero a súa bomba atómica suca por primeira vez un ceo. O ceo de amiga non lle oía xa: quedárase durmida. Hiroshima. O rapaz saíu do hospital, bebéndose as bágoas. Un repentino resplandor ilumina estrañamente a Nin a nai, nin o pai, nin os tíos de Toshiro (na casa cidade. do cal se atopaban temporalmente aloxados) entendeNela, unha nai aleita o seu fillo por última vez. ron aquela noite o por que da misteriosa desaparición Dúas vellas trenzan bambús por última vez. de case todos os papeis que ,ata ese día, houbera alí. Unha ducia de rapaces cantaruxa: “Donguri-Koro Follas de diario, anacos de papel para envurullar, vellos Koro- Donguri Ko...” (6) por última vez. cadernos e ata algúns libros parecían Centos de mulleres repiten os DONGURI-KORO KORO- DONGURI KO: terse esfumado maxicamente. Pero seus xestos habituais por última vez. verso dunha popular canción infantil xa era tarde para preguntar. Todos Miles de homes pensan en mañá os maiores adormeceron, sorprendixaponesa. por última vez. dos. Naomi sae para facer uns recados. Na habitación que compartía cos seus curmáns, Silenciosa explota a bomba. Ferven, de repente, as Toshiro velaba entre as sombras. Esperou ata que tivo augas do río. a certeza de que ninguén máis que el continuaba esperE medio millón de xaponeses, medio millón de seres to. Entón, incorporouse con sixilo e abriu o armario onhumanos, desintégranse esa mañá. E con eles desaparede se adoitaban acomodar as mantas. Mordendo a puncen edificios, árbores, rúas,animais, pontes e o pasado ta da lingua, extraeu a pila de papeis que recolectara de Hiroshima. en segredo e volveu ao seu leito. Xa ninguén dos sobreviventes poderá volver a reA tesoira levábaa oculta entre as súas roupas. flectirse no mesmo espello, nin abrir novamente a porE así, no silencio e a escuridade daquelas horas, ta da súa casa, nin retomar ningún camiño querido. Toshiro recortou primeiro novecentos oitenta cadradiNinguén será xa quen era. ños e logo pregounos, un por un ata completar os mil Hiroshima arrasada por un fungo atómico. grous que ansiaba Naomi, tras sumarlles os que ela Hiroshima é o sol, ese seis de agosto de 1945. Un mesma fixera. Xa amencía, o rapaz atopábase pasando sol estoupando. fíos a través das siluetas de papel. Separou en grupos En decembro deu logrado Toshiro indagar onde de dez os fráxiles grous do milagre e aprestounos para estaba Naomi. E que aínda estaba viva, Deus! que imitasen o voo, suspendidos como estaban dun leve Ela e a súa familia, internados no hospital situado fío de coser, un enriba do outro. nunha localidade próxima a Hiroshima. Como tantos Co corazón tremendo, Toshiro colocou as cen tiras outros centos de miles que tamén sobreviviran ao dentro de seu furoshiki (8) e partiu rumbo ao hospital horror, aínda que o horror estivese agora instalado tetractis 9
35
Especial Feira Matemática, 2007
Serio e pouco comunicativo como é, ningún dos seus empregados se atreve a preguntarlle por que, entre o aluvión de papeis con importantes informes e mensaxes telegráficas que habitualmente se xuntan sobre o seu escritorio, sempre se atopan algúns grous de origami dispersas ao azar. Grous seguramente feitos por el, pero nalgún momento en que ninguén consegue sorprendelo Grous despregando ás nas que se descobren as cifras das máquina de calcular. Grous xurdidas de panos de mesa con impresos dos máis sofisticados restaurantes... Grous e máis grous. E os empregados comentan, divertidos, que o xerente debe de crer naquela superstición xaponesa. -Algún día completará as mil... – besbellaban entre risos– ¿Animarase entón a colgalas sobre o seu escritorio? Ninguén sospeitaba, sequera, a entrañable relación que eses grous teñen coa perdida Hiroshima da súa nenez. Co seu perdido amor primeiro.
antes de que a súa familia espertase. Por esa única vez, tomou sen pedir permiso a bicicleta dos seus curmáns. Non había tempo que perder. Imposible percorrer a pé, como o día anterior, os quilómetros que o separaban do hospital. A vida de Naomi dependía deses grous.- Prohibidas as visitas a esta hora- díxolle unha enfermeira, impedíndolle o acceso á enorme sala nun de cuxos extremos estaba a cama da súa querida amiga. Toshiro insistiu: -Só quero colgar estas grúas sobre o seu leito, Por favor... Ningún xesto denunciou a emoción da enfermeira cando o rapaz lle mostrou as aveciñas de papel. Coa mesma aparente impasibilidade con que momentos antes lle pechara o paso, fíxose a un lado e permitiulle que entrase: -Pero cinco minutos, eh? Naomi durmía. Tratando de non facer o mínimo ruidiño, Toshiro puxo unha cadeira sobre a mesa de luz e logo subiuse. Tivo que estirarse a máis non poder para acadar o ceorraso. Pero acadouno. E nun intre estaban as mil grúas pendendo do teito; os cen fíos entrelazados, firmemente suxeitos con alfinetes. Foi ao baixarse da súa improvisada escala cando advertiu que Naomi o estaba observando Tiña a cabeciña botada para un lado e un sorriso nos ollos. Son fermosas, Tosí-can...(9) Grazas... -Hai un milleiro. Son túas, Naomi. Túas –e o rapaz abandonou a sala sen dar a volta. Na luminosidade do mediodía que agora ocupaba todo o recinto, mil grúas empezaron a balancearse impulsadas polo vento que a enfermeira tamén deixou coar, ao entreabrir por uns instantes a fiestra. Os ollos de Naomi seguían sorrindo. A nena morreu ao día seguinte. Un anxo á intemperie fronte á impiedade dos adultos. Como podían mil fráxiles aves de papel vencer o horror instalado no seu sangue? FEBREIRO DE 1976
GLOSARIO 1) Miyashima: pequena illa situada nas proximidades da cidade de Hiroshima. 2) Tatami: esteira que se coloca sobre pisos, nas casas xaponesas tradicionais. 3) Haiku: breve poema de dezasete sílabas, típico da poesía xaponesa. 4) Obi: faixa que acompaña ao kimono. 5) Kimono: vestimenta tradicional xaponesa, de amplías mangas, longas ata os pés e que se cruza por diante, suxeitándose cunha especie de faixa chamada obi. 6) Donguri-Koro Koro- Donguri Ko: verso dunha popular canción infantil xaponesa. 7) Semba-Tsuru: Mil grous. Unha crenza popular xaponesa, asegura que facendo mil desas aves –segundo insignia a realizalo o origami (nome do sistema de pregado de papel)– lógrase acadar a longa vida e felicidade. 8) Furoshiki: tela cuadrangular que se usa para formar unha bolsa, atándoa polos seus catro puntas despois de colocar o contido. 9) Tosí-can: diminutivo de Toshiro.
Toshiro Ueda cumpriu corenta e dous anos e vive en Inglaterra. Casou, ten tres fillos e é xerente de sucursal dun banco establecido en Londres. tetractis 9
36
Especial Feira Matemática, 2007