Tetractis 31_40 by G T

Ano III. Boletín nº 31

Depósito legal: C 2766-2006

X DÍA ESCOLAR

DAS

Febreiro, 2009

MATEMÁTICAS

Celébrase para conmemorar o nacemento do matemático catalán Pedro Puig Adam, que naceu en Barcelona o 12 de maio de 1900. Este ano será baixo o lema:

A CIDADE E AS MATEMÁTICAS A Exposición

O ROSTRO HUMANO

DAS

MATEMÁTICAS

no IES Monelos (A Coruña)

PAZO DA ÓPERA A CORUÑA

Sábado, 16 de maio de 2009 De 11:00 a 19:00 horas

LOGARITMOS

NA NATUREZA

log E = 11,8 + 1,5M

termo logaritmo débese ao suízo Jorst Bürgi e o seu significado é numero para o calculo. John Napier publicou as primeiras táboas de logaritmos para o seno e o coseno dun ángulo con intervalos de 1’ e 7 cifras. O logaritmo en base a dun numero N e o expoñente ao que hai que elevar un numero a para que de N.

x = log

N <=>

N = a

onde M e a magnitude do terremoto na escala Richter (de 0-10) e E a enerxía liberada expresada en ergos. TÁBOA DE MAGNITUDES DA ESCALA E UN COMPARATIVO DA ENERXÍA LIBERADA MAGNIT. RICHTER

A idea clave que tivo John Napier para publicar as súas táboas de logaritmos foi a seguinte: traballar cos expoñentes das potencias e máis doado. Observouno coa táboa das 30 primeiras potencias de 2. 20 = 1; 21 = 2; 22 = 4; 23 = 8; 24 = 16; 25 = 32; 26 = 64; 27 = 128; 28 = 256; 29 = 512; 210 = 1024; 211 = 2048; 212 = 4096; 213= 8192; 214 = 16384; 215 = 32768; 216 = 65536; 217 = 131072; 218 = 262144; 219 = 524288; 220 = 1048576; 221 = 2097152; 222 = 4194304; 223 = 8388608; 224 = 16777216; 225 = 33554432 226 = 67108864; 227 = 134217728; 228 = 268435456 229 = 536870912 Agora calculamos: 15

32768 · 16384 = 2 · 2 = 2

15+14

EQUIVALENCIA TNT

REFERENCIAS

DA ENERXÍA

-1,5

1 gramo

1,0

170 gramos

1,5

910 gramos

2,0

6 kilogramos

2,5

29 kilogramos

3,0

181 kilogramos

3,5

455 kilogramos

4,0

6 toneladas

4,5

32 toneladas

Rotura dunha rocha nunha mesa de laboratorio Pequena explosión nun sitio de construcción

Explosión dunha mina Tornado promedio

5,0

199 toneladas

5,5

500 toneladas

6,0

1.270 T

6,5

31.550 T

Terremoto de Northridge, California ,1994

7,0

199.000 T

Terremoto de Hyogo-Ken Nanbu, Japón, 1995

7,5

1.000.000 T

Terremoto de Landers, California, 1992

8,0

6.270.000 T

Terremoto de San Francisco, California, 1906

8,5

Terremoto de Little Skull Mountain, Nevada ,1992 Terremoto de Double Spring Flat, Nevada , 1994

31,55 mill. de T Terremoto de Anchorage, Alaska, 1964

9,0

200 millones de T Terremoto de Chile, 1960

10,0

6.300 mill. de T Falla de tipo San Andrés Fractura da Terra polo centro

= 2 = 536870912

12,0

268435456 : 1048576 = 228 : 220= 228-20 = 28 = 256

1 billón de T

Cantidade de enerxía solar recibida diariamente na Terra

5123 = (29)3 = 29·3 = 227 = 134217728

PH DUNHA DISOLUCIÓN O ph é a concentración de ións de hidróxeno nunha disolución química. O numero de ións da concentración ven dado en potencias de base 10: 10 –1, 10 –2 , ... 10 –14. O ph é o numero oposto a ese expoñente, é dicir, o oposto do logaritmo. O ph mide o carácter ácido ou básico dos xabóns, locións, champús, etc. Con ph=7 dise que é unha disolución neutra e adoita recomendarse por non ser agresivo coa pel e o cabelo. Un ph menor de 7 corresponde a unha Os logaritmos, na actualidade, perderon gran parte disolución ácida e se é superior a 7, a unha disolución da súa utilidade no cálculo numérico debido as novas básica. tecnoloxías, pero aínda así son moi prácticos para aplicacións no medio físico coas escalas logarítmicas. ESCALA PARA A MEDICIÓN DA INTENSIDADE DO SON.

Vese que grazas a traballar cos expoñentes da potencia solo tivemos que facer una suma no caso do produto e una diferenza no caso da división. De non traballar cos expoñentes teríamos que pasar un bo anaco operando. De todas as posibles bases, as que se empregan máis a miúdo son: a base 10 (logaritmos decimais, log N) e a base e (logaritmos naturais ou neperianos, lnN)

A presión do son, que chega ata os nosos oídos, míde-

APLICACIÓN DOS LOGARITMOS

A ESCALA DE RICHTER mide a intensidade dos terremotos. Mídese a enerxía liberada nun terremoto, mediante a amplitude máxima das ondas que se rexistran no sismógrafo. Dado que chega a haber diferenzas enormes entre uns e outros casos, defínese a magnitude M do sismo empregando logaritmos: Tetractis 31

se en pascais. O intervalo de son que pode percibir o ser humano oscila entre 0,00002 e 100 pascais (umbral de dor), é un intervalo tan amplo que resulta poco manexable, polo que se adoita usar unha escala logarítmica expresada en decibelios desde 0 a 180 db. Os logaritmos tamén se empregan para medir as radiacións solares, magnitudes aparentes das estrelas…

Alejandro Cangado Fernández, 1º Bach B

Febreiro, 2009

MATEMÁTICAS EN BOTÁNICA As civilizacións antigas preguntáronse acerca do universo e descubriron que todo ten unha finalidade, un proceso de evolución… A natureza, o universo como ensinou Pitágoras, tiña unha explicación nos números.

Todo feito xeométrico corresponde a unha lei aritmética. A natureza parece nalgúns casos seguir o comportamento de relacións matemáticas como a serie de Fibonacci ou o número áureo; é abraiante e por momentos asusta…¿todo segue unha regra numérica?

En case todos os elementos da natureza podemos atopar curiosamente o número áureo (no crecemento das plantas, das piñas, na distribución das follas nun tallo…). O número áureo (sección áurea ou divina proporción) (Ver TETRACTIS nº 29) representado pola la letra grega Φ é un número irracional con moitas propiedades interesantes e que foi descuberto na antigüidade, non como unidade, senón como proporción ou relación.

NÚMERO DE PÉTALOS NAS FLORES

Outro concepto importante é a sucesión de Fibonacci: unha serie de números enteiros, que comezando pola unidade, cada termo é a suma dos seus dous números Como observamos nestes exemplos de flores, o nº de anteriores. Polo tanto, sería así: pétalos seguen os números da sucesión de Fibonacci.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

DISTRIBUCIÓN

Estes números atópanse de maneira significativa na natureza. Esta sucesión está relacionada tamén co número áureo, xa que se dividimos un número da serie entre o que lle precede obtemos un número que se aproxima ao número de ouro, tanto máis canto maior é o número da secuencia escollida. En poucas palabras isto quere dicir que o límite dos cocientes de termos da sucesión de Fibonacci é Φ. Matematicamente expresarase así:

DAS FOLLAS NUN TALO.

Ao examinar os talos das plantas, podemos ver que, na maioría delas, as follas desenvólvense ao redor do talo formando unha espiral. Se fixamos a nosa atención nunha folla da base do talo, asignámoslle o número cero e posteriormente contamos cantas follas hai no talo até situarnos verticalmente sobre a folla cero, en xeral conseguimos un termo da sucesión de Fibonacci.

Se novamente fixamos a nosa atención no talo, e contamos cantas voltas démoslle Φ antes de obter a superposición das follas, novamente DISPOSICIÓNS DOS PÉTALOS NAS FLORES: obtense un número da suceO ÁNGULO DE OURO sión de Fibonacci (no noso Chámase ángulo de ouro ao ángulo máis pequeno resul- exemplo temos oito follas e damos cinco voltas). tante de dividir unha circunferencia en dous ángulos de modo que o cociente entre os dous sexa Φ. Se calculaXIRASOLES mos o seu valor, este sería aproximadamente 137.51º ou 2.399963 radiáns. O ángulo dourado aparecería nalgunhas formacións naturais asociadas a formas circulares; especialmente na disposición dos pétalos de certas flores, e particularmente nos xirasoles, nos que as sementes alíñanse formando unha espiral de Fermat, baseada na secuencia de Fibonacci. 21 espirais

34 espirais (marcada una de cada dos)

55 espirais (marcada una de cada cinco)

Nas fotos pódese observar a aparición dalgúns termos da sucesión de Fibonacci no número de espirais formadas polas pipas dun xirasol. O ángulo de ouro (en vermello)

Tetractis 31

Carlota Rey Casal 1º Bach. B

O ángulo de ouro na disposición de pétalos dunha flor.

Febreiro, 2009

CAIXÓN

DOS PROBLEMAS

Canguro matemático

XORNADAS TEMÁTICAS

Olimpiada matemática

OPEN MÁTEMÁTICO

VIDREIRAS MATEMÁTICAS PROBLEMA 5. VENTÁ RECTANGULAR Detrás dunha boa reixa sóese escudar sempre unha recia ventá con madeira nobre e vistosos cristais. A nosa empresa, líder no seu xénero, ofrécella a posibilidade de modernizar as súas vetustas ventás sen apenas obra. Fabricamos o armazón a medida e listo para encastar no seu marco correspondente. Presentámoslles aquí o noso produto estrela, o versátil armazón 3x2, que poderá instalar en calquera orientación e, ademais, coa posibilidade de esmaltar a gusto calquera dos seus vidros.

ENREIXADOS MATEMÁTICOS PROBLEMA 10: CON CINCO CADRADOS Para dúas ventás cadrados de dous metros de lado queremos forxar estas dúas reixas. Prescindindo do grosor dos empalmes e das soldaduras, calcula a lonxitude dos barrotes de ferro necesaria para cada unha delas. S e gundo o número de cristais esmaltados queremos saber, cantos

tipos de armazóns 3x2 distintos debe fabricar esta empresa para ser fidedigna coa súa publicidade?

Recorda que, como se poden instalar en calquera orientación, non contan como distintos os casos que so se diferencien nun xiro, unha simetría ou unha rotación. Por exemplo, aquí ves catro formas de representar un

PROBLEMA 11: CON CINCO CÍRCULOS mesmo armazón con tres cristais esmerilados:

Analogamente, a lonxitude dos barrotes de ferro destas

A. Cantos tipos de armazóns distintos fabrica a emdúas reixas destinadas a dúas ventás circulares de dous presa con cristais esmaltados? metros de diámetro. B. E, con tres cristais esmaltados? Colectivo Fronteira PROBLEMA 6: VENTÁ CIRCULAR Para ventás redondas construímos tamén armazóns circulares divididos en oito sectores onde se instalan os cristais, esmaltados ou non, ao gusto do cliente.

C. E, coma antes, agás xiros, simetrías e rotacións, cantos tipos de armazóns circulares fabrica a empresa con catro cristais esmaltados? D. E, con cinco cristais esmaltados?

Tetractis 31

Febreiro, 2009

Ano III. Boletín nº 32

Depósito legal: C 2766-2006

Marzo, 2009

FIGURAS IMPOSIBLES

Resulta sorprendente cómo o cerebro se resiste a asumir a imposibilidade das figuras imposibles.

DOMUS 13 de abril de 2009 ás 20:00h. Entrada libre. www.casaciencias.org

Charla-coloquio moderada por:

PANCHO ALVÁREZ

e os coordinadores dos boletíns de divulgación matemática: XOSÉ ENRIQUE PUJALES

SANTIAGO LÓPEZ ARCA

GONZALO TEMPERÁN BECERRA

igura imposible é todo obxecto que se pode debuxar, pero na realidade é imposible observalo. A orixe das figuras imposibles dáse no ano 1934; neste ano o artista Oscar Reutersvard, aburríase na clase de latín, e comezaba a debuxar nas marxes dos libros. Un día descubriu esta estraña figura.

TRIBAR

Este triangulo foi deseñado por Roger Penrose en 1956, trátase dun triangulo imposible, formado por tres barras, chamado “tribar”.

A escaleira imposible segue o mesmo patrón.

CUBO

IMPOSIBLE

Nesta imaxe observamos que a aresta que une o vértice central superior co central inferior non coincide coa aresta oposta. Esta imaxe xoga co que en 2 dimensións pódese debuxar pero en 3 dimensións sería imposible. continúa na páxina 4

páxina 2 e 3

o grego “ampho” que significa ambos e “gramma” que significa escrito. Falamos de ambigrama cando unha palabra esta escrita de tal maneira que contén algunha particularidade gráfica, é dicir, que se pode ler en máis dunha posición. Hai varios tipos de lecturas para esta palabras, por Ambiexemplo a través de xiros de 180º como ocorre coa palabra OSO; reflectida nun espello por exemplo AMA ou tamén hai algúns que non teñen simetría pero, aínda así, teñen unha segunda lectura.

gramas

As palabras anteriores considéranse ambigramas naturais, é dicir que non precisan unha grafía especial para que teñan simetría. Aparte dos dous anteriores tamén de simetría vertical: Son os ambigramas que teñen un eixe de simetría temos a palabra COCO ou NONI (tipo de froita). vertical, normalmente no centro da palabra. A simetría das letras condiciona moito á hora de elaTratase dun tipo de simetría axial. Unha simetría borar un ambigrama, hai letras que por si solas xa son axial de eixe e é unha transformación na que a un punto ambigramas como por exemplo: X, I, O mentres que a R P do plano correspóndelle outro punto P’ tamén no plano, ou a S non teñen ningún tipo de simetría axial. Tamén de maneira que ao dobrar a folla polo eixe eses puntos condiciona se están en maiúsculas. coinciden. As simetrías axiais son isometrías porque entre os En 1975 Douglas Hofstadter licenciado en física e puntos conservan a súa distancia. fillo dun premio Novel de física chamou a estas palabras A mellor forma para poder apreciar este tipo de simeambigramas ou inversións e foi o primeiro en deseñar un. tría que colocar a palabra fronte un espello. Nesta palabra soamente hai que facerlle modificacións na M, aínda que a clave esta en que as dúas A non son iguais.

SIMETRÍA E AMBIGRAMAS

Este é un exemplo de simetría vertical (Laura Spivak):

Ambigramas de simetría central:

Son os que se poden ler tras realizar un xiro de 180º. Una simetría central, de centro o punto O, é un movemento plano co que a cada punto P do plano correspóndelle outro punto P’, sendo O o punto medio dos extremos P e P’. Unha simetría de centro 0 equivale a un xiro de centro 0 e a unha amplitude de 180º. Tetractis 32

Marzo, 2009

Ambigramas de simetría horizontal:

Asimétrico figura e fondo:

Ambigramas circulares:

Asimétrico todo e parte:

Son aqueles que teñen un eixe de simetría horizontal, Tras combinar as cores e tamén a forma das palabras normalmente ese eixe pasa polo centro da palabra ou podemos distinguir dúas palabras diferentes. frase.

(humor – juego)

Neste tipo de ambigramas o texto lese igual de denNeste tipo é toda unha palabra pero dentro dela hai tro para afora como o revés. outra palabra. A simetría circular é unha transformación. Cando a forma do obxecto é igual despois de aplicarlle unha transformación, dicimos que o obxecto ten unha simetría desta transformación. Polo tanto todo obxecto que cumpra con esta propiedade terá simetría circular.

Ambigrama por translación do patrón:

Se hai dous conxuntos de trazos iguais e simétricos entre si, forman unha translación dun deles nunha palabra. Se a primeira palabra a superpoñemos sobre a outra lerase unha palabra nova.

Ambigramas infinitos:

AMBIGRAMAS NO ENTORNO Reciben este nome cando se pode continuar lendo A novela Ángeles y Demonios, ten varios ambigraindefinidamente unha palabra e cando xiramos o papel 180º o palabra pódese ler de novo. mas na súa trama, estes foron realizados por Robert Langdon, e ten a súa orixe nos Illuminati unha sociedade secreta. Alí os ambigramas son catro elementos da natureza: lume, auga, aire e terra. Con esta novela divulgouse o coñecemento dos ambigramas. AMBI-

GRAMAS ASIMÉTRICOS

Os ambigramas asimétricos son aqueles que cando rotan ou voltean en vez de permanecer invariables dan lugar a novas palabras. Hai varios tipos:

Os ambigramas tamén están relacionados coa publicidade. Asimétrico a 180º: O deseño publicitario fai uso Neste caso tras someten a palabra a un xiro de 180º dos ambigramas. palabra que podemos ler e diferente a anterior Por exemplo, se miras unha etiqueta de New maN, aínda que este xirada sempre se vai ler a marca. Laura Vázquez Uzal 1º Bach.

Tetractis 32

Marzo, 2009

AUTORES

BRUNO ERNST

DESTACADOS

ROGER SHEPARD Bruno Ernst creou esta haRoger Shepard naceu en California no ano 1929, é un bitación imposible, na que psicólogo descubridor de non está claro onde acaba figuras imposibles, entre cada unha das paredes. elas: este elefante de 8 patas, que se converteu nun clásico. Outra importante aportaHai moitas formas de reción deste home foi esta presentar esta figura figura, que aparece no seu imposible, entre elas: interesante libro titulado “Adventures with impossible figures”.

SANDRO DEL PRETE Xadrez imposible, creado por Sandro del Prete (1975).

Este arco tamén é un claro exemplo do que en dúas dimensións é posible representar pero en tres dimensións non.

ESCHER

A “Cascada”, foi creada por Escher. Este debuxo ofrécenos un exemplo de movemento perpetuo. Escher inspirouse, para facer esta figura, nun artigo de R. Penrose, no que fala do DIEGO URIBE Estes exemplos de figuras imposibles foron creadas seu famoso “tribar”. por Diego Uribe. MÁXIMO ALDA Creador desta animación dunha versión do “tribar” formada con catro barras. ROGER HAYWARD Nesta figura creada por Roger Hayward podemos observar que cada anel ten sentido por separado, pero tal como o mostra a imaxe(unidos) é imposible.

O esquema da seguinte imaxe tamén foi creada por Diego Uribe, onde se mostra que hai unha parte vertical que se une con outra horizontal por dúas liñas aparentemente paralelas. Tetractis 32

Daniel Cambeiro Sán-

chez 1º Bach.

Marzo, 2009

Ano III. Boletín nº 33

Depósito legal: C 2766-2006

Abril, 2009

III FEIRA MATEMÁTICA * 16

DE MAIO DE

2009

* EXPOSICIÓN

DALÍ E AS

Na foto da Opinión, os participantes: Santiago López, Gonzalo Temperán, Pancho Álvarez e Quique Pujales.

´Mates´ sin fórmulas mágicas Tres institutos de la ciudad publican boletines de divulgación científica en los que colaboran profesores y alumnos Xosé Enrique Pujales, del centro Fernando Wirtz, Santiago López, del Otero Pedrayo, y Gonzalo Temperán, del instituto Monelos, se subieron ayer al escenario del auditorio de la Domus para contar sus experiencias como profesores y como editores de publicaciones de divulgación científica en los centros en los que trabajan. El concepto cambia de un boletín a otro y es que en unos trabajan los alumnos directamente y en otros lo hacen a posteriori. Para el moderador de la mesa redonda, el profesor universitario Francisco Álvarez Fontenla, el problema de que las matemáticas no sean del agrado de todos los alumnos reside en que hay profesores que no utilizan el método correcto para enseñarlas. La Opinión A Coruña

MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS

NA OBRA DE

O mestre do surrealismo foi un pioneiro en xuntar ciencia e arte e utilizou os conceptos matemáticos na linguaxe artística. As obras de Dalí no aspecto matemático baséanse no uso da proporción áurea: número de ouro, estrela pentagonal, espiral áurea e triángulo áureo, pero tamén, na xeometría proxectiva, hipercubo, fractais, teoría das catástrofes e na topoloxía. Tamén foron importantes nas súas obras a física e química, música e ilusións ópticas.

RAZÓN

ÁUREA

A razón áurea utilizouna en varios aspectos: a sección áurea na composición do cadro, que consistía en utilizar rectángulos semellantes na que os seus lados están en proporción áurea, é dicir, a súa razón é o número áureo. Un exemplo é este cadro

Natureza morta viva, 1956 (San Petersburgo) Na foto de Coque Pazos, o Director de Museos Científicos, Antón Fraga, presenta o acto.

LEDA ATÓMICA, 1949

Figueras, Fundación Gala-Salvador Dalí

PARADOXO DE

AQUILES

E A TARTARUGA

DALÍ

Uso da proporción áurea no pentágono para unha distribución xeométrica da obra.

Tamén utiliza a razón áurea en técnicas como a esFRACTAIS trela pentagonal, a espiral áurea ou triángulo áureo. Un fractal é un obxecto que non perde a súa definición formal a medida que é ampliado. Hai dous tipos: os fractais xeométricos, que repiten continuamente un patrón idéntico, e os fractais aleatorios. Dalí parece ser o primeiro artista que pintou un fractal: era a súa visión da guerra. Neste obra os ollos e a boca conteñen unha cara, cuxos ollos e boca conteñen, a súa vez, unha cara cuxos ollos e boca conteñen unha O ROSTRO DE GUERRA, 1940 cara. TOPOLOXÍA SEMICUNCA XIGANTE VOLANTE

As proporcións do cadro son áureas e a distribución xeométrica da obra basease en rectángulos áureos e na espiral de Durero.

A topoloxía estuda as propiedades das figuras xeométricas ou dos espazos que non se ven alterados por transformacións continuas e bixectivas. En topoloxía está permitido dobrar, estirar encoller, retorcer... os obxectos para pasar dun a outro, pero non se permiten transformacións que poidan provocar unha descontinuidade como romper ou separar o que esta unido, nin pegar o que estaba separado. En topoloxía un triángulo é igual que un cadrado, xa que podemos CONTORSIÓN TOPOLÓXICA DUNHA FIGURA FEMItransformar un nouNINA CONVERTÉNDOSE EN VIOLONCELLO tro sen romper nin pegar.

CRISTO DA CRUZ, 1951

Glasgow, Art Gallery Uso do triángulo áureo de ángulos: 32°, 72° e 72°.

A ÚLTIMA CEA, 1955 (Washington) As proporcións do cadro son áureas e a distribución xeométrica da obra baséase en rectángulos áureos e na utilización do dodecedro que ten doce caras que son pentágonos (apóstolos).

XEOMETRÍA

Estuda as incidencias de puntos e rectas sen ter en conta as medidas. É dicir cando proxectamos unha figura, o resultado non ten porque ser do mesmo tamaño; incluso a forma pode cambiar sen conservarse o paralelismo.

HIPERCUBO

O hipercubo é un cubo unitario (mide 1x1x1) que se estira na dirección perpendicular ás súas caras. Isto é imposible facelo na terceira dimensión pero dentro da cuarta si é posible. O espazo xerado por este movemento é un hipercubo con catro arestas perpendiculares.

Para saber máis: Dalí, MADONNA DE PORT LLIGAT arte, ciencia, soño, realidade. Xunta de Galicia

Crucifixión ou Corpus Hipercubicus en Nova York

Tetractis 33

PROXECTIVA

Abril, 2009

MATEMÁTICAS E HUMOR En Internet, están aparecendo moitas páxinas que tratan o humor relacionado coas diferentes especialidades do coñecemento humano; no caso das matemáticas, hai chistes que deixan bastante que desexar, pero nos que a maioría das veces é necesario un coñecemento de matemáticas superiores e só son aptos para un reducido grupo que os poida entender, e outro grupo apto para todos os públicos que acostuman a comparar os comportamentos dos diferentes especialistas de ciencias.

incompatibles. Como se chama a película? entro deste segundo grupo hainos de case todo tipo Kramer contra Kramer. de especialidades, cada unha cos seus tópicos, que moita -Deus é real, a menos que sexa declarado enteiro. xente (entre eles eu) tampouco coñece, pero que se o - Gústanche os polinomios?, paras a pensar están cheos de razón nalgúns casos. Si, pero só ata certo grao. Éste é un bo exemplo: -Cando non sei ben quen son, recordo ¿Canto son 2+2? quen era e quen quería ser… e saco o Enxeñeiro: 3.999989 promedio. Físico: 4.0004 +/- 0.0006 Matemático: Espere, só uns minutos mais, - Ábrese o telón e saen os números 1 e 2 xa probei que a solución existe e é única, chamando a unha porta, como se chama a agora estouna acotando... película? Filósofo: Que quere dicir 2+2? ¿Está tres? (STAR TREK) Lóxico: Defina mellor 2+2 e respondereille. - Qué sucede cando n tende a infinito? Contable: Pecha portas e fiestras e pregunta en voz baiQue infinito se seca. xa "Canto quere que sexa o resultado?" ***** - Quen inventou as fraccións? Enrique Oitavo. Pregúntanlle a un matemático: - Papá, papá!, fasme o problema de matemáticas? - Ti que farías se vises unha casa ardendo e xusto enNon fillo, non estaría ben. fronte unha mangueira sen conectar a unha boca de rePero, inténtao de todas as maneiras. gos? - Van dous ceros arrastrándose polo deserto a unha - Conectaríaa, obviamente. temperatura de 60 graos centígrados, - E se a casa non estivese ardendo, pero a cando de repente un deles ve un oito que mangueira estivese conectada? pasa ao lonxe e lle di ao outro cero sor- Queimaríaa casa, desconectaría a mangueiprendido: ra e logo usaría o método anterior. Mira ese tolo, co calor que fai e coa co***** rrea apretada! CHISTES CURTOS -Que é un oso polar?

Un oso rectangular, logo dun cambio de coordenadas.

- Que lle di a curva á súa asíntota? Nin se che ocorra tocarme. - Cal é o animal que máis matemáticas sabe? A toupa Por qué?

-Que lle dixo un vector a outro:

Oes, tes un momento?

Porque extrae raíces… -9 de cada 10 matemáticos están de acordo en que 1 de cada 10 matemáticos é un idiota. Tamén son típicos os chistes entre as diferentes especialidades das ciencias, así como os que deixan en -Un matemático é unha máquina que transforma café mal lugar aos nosos amigos, os “incultos” de letras… en teoremas.

No departamento de psicoloxía da Universidade da Coruña inventaron un detector de mentiras, e para probar os seus pés en xeo, e dicir que en promedio atópase ben. a súa eficacia deciden probalo sobre -Que é un neno complexo? alumnos e profesores, escollendo para Un coa nai real e o pai imaxinario. iso a un estudante de informática, un de matemáticas e outro de letras. -Ábrese o telón e vense tres vectores linear-Un estatístico podería meter a súa cabeza nun forno e

mente independentes. Como se chama a película? Rango 3. -Ábrese o telón e vense dous sistemas lineares Tetractis 33

Abril, 2009

Ao comezo da proba advírtese aos participantes que soará unha alarma cada vez que digan unha mentira. Empeza o de informática e di: - Eu penso que piratear programas debería estar prohibido pola lei. E a alarma: Piiiip, Piiiiip, Piiiiiip. O de matemáticas di: -Eu penso que as matemáticas son o máis divertido que... Piiiip, piiiip, piiiip, piiiip. E o de letras di: - Eu penso? Piiip, piiiiiip, piiiiiiiiiip. ***** Un físico, un enxeñeiro e un matemático van nun tren por Escocia. Ao observar pola fiestra ven unha ovella negra. "Ajá", di o físico, "vexo que as ovellas escocesas son negras”. "Hmm...", di o enxeñeiro: "Quererás dicir que algunhas ovellas escocesas son negras”. "Non", di o matemático,"Todo o que sabemos é que exis-

te polo menos unha ovella en Escocia, e que polo menos un dos seus lados é negro”.

Como saber se cazaches un cervo? - O físico observa o seu tamaño, cor, cheiro e comportamento... e como son os propios dun cervo, conclúe afirmando que cazou un cervo. - O matemático pregúntalle ao físico, co cal reduce o problema ao anterior. - O enxeñeiro foi a cazar cervos, polo tanto cazou un cervo. *****

TEOREMA: Todos os números enteiros son interesantes DEMOSTRACIÓN: Supoñamos que non é así, polo tanto existe como mínimo un número enteiro non interesante. Entón, un pregúntase, cal será ese número? Polo que este número é, obviamente interesante, o cal contradí a hipótese de partida de que non é interesante. Por contradición, a suposición de que existen números enteiros non interesantes é falsa.

Razón non lles falta, pero o seu esforzo por aportar novas ideas ás matemáticas non adoita ser recompensado. Á hora de entender as clases de matemáticas, é interesante saber ou que o profesor realmente quere dicir: DESCRIPCIÓN NON MATEMÁTICA DALGÚNS TERMOS UTILIZADOS EN MATEMÁTICAS, E O QUE REALMENTE QUEREN DICIR:

Claramente: Non quero pasar por todos os pasos intermedios. Trivialmente: Se teño que explicarche por que, equivocácheste de clase. Obviamente: Se estabas durmido cando o expliquei, mala sorte, porque non me apetece repetir a explicación. Doulles unha pista: A forma máis difícil de facelo. Podemos asumir que: Hai moitos casos, pero sei como facer este. Usando o teorema "___": non sei que di, pero sei que se resolve por alí. O resto é alxebra: Ésta é a parte aburrida; se non me cren, fágano! Demostración falada: Se a escribo, poden atopar os erros. Brevemente: Xa está que se acaba a clase, así que escri-

Tamén poderiamos considerar humor as respostas que birei e falarei rápido (non breve). certos alumnos regálannos nos seus exames de mateDéixoa como exercicio: Estou cansado. máticas:

Demostración breve: Ocupa a metade da folla e CATRO veces o tempo en entendela. Demostración formal: Eu tampouco a entendo. Facilmente Demostrable: Ata vostedes, cos seus coñecementos infinitesimais, poden demostralo sen a miña axuda. Diego Abalde Herrero 1º Bach B

Tetractis 33

Abril, 2009

Ano III. Boletín nº 34

AÍ DÍA

VEN O MAIO

Depósito legal: C 2766-2006

Maio, 2009

CON MOITAS ACTIVIDADES QUE NON PODEMOS PERDER

DA CIENCIA NA RÚA

SÁBADO, 9 DE MAIO DE 2009 PARQUE DE STA. MARGARIDA A CORUÑA

EXPOSICIÓN

II Certame de Mat-monólogos

DE COMO APRENDEMOS A CONTAR E OS APARELLOS EMPREGADOS

12 de maio de 2009 IES Monelos

4-9 DE MAIO IES MONELOS

Visionado do vídeo

DE COMO APRENDEMOS A CONTAR E OS APARELLOS EMPREGADOS Dende o principio dos tempos a humanidade xa sentíu a necesidade de contar. A palabra cálculo provén do latín calculus, que significa contar pedras, e é nese intre cando comeza a historia do cálculo, ou das matemáticas.

MATEMÁTICAS

NA CIDADE

PRISMAS E PIRÁMIDES

PRISMA TORRE DE VIXIANCIA

DE CRISTAL MUSEO DA CIENCIA

TORRES DE AIREACIÓN URNANIZACÓN “OS OLIVOS”

Intersección de prismas

Ortoedro

MARÍTIMA

TORRE DE HÉRCULES

Cubos, prismas octogonais

Cubo e ortoedro

TERRAZAS DE Mª PITA Pirámides

GLORIETA DE SOMESO Pirámides

OBELISCO MILLENIUM

Pirámide triangular

ESTACIÓN DE AUTOBUSES Prismas

CÓNICAS

FONTE (MÉNDEZ NÚÑEZ) Parábolas

PASARELA ELÍPTICA “A ROSA”

(S. CRISTOBAL)

ROSA DOS VENTOS (TORRE) FOCO DE

MERCADO DE SAN AGUSTÍN Parábolas

SECCIÓN PARABÓLICA

LENTES PARABÓLICAS E

FOCO DE

HIPERBÓLICAS NO TELESCOPIO

SECCIÓN

HIPERBÓLICA

Tetractis 34

PLAZA ELÍPTICA (OS ROSAIS)

DOMUS: CASA

OUTRAS CURVAS

DO HOME Velaria

Hélice inscrita nun cilindro

ESQUEIRA HELICOIDAL (XULGADOS) CLOTOIDE (AVDA. ALFONSO MOLINA)

ESPIRAIS

HÉLICE (ALFONSO MOLINA)

CORPOS

CATENARIA

CICLOIDE

CUÁDRICAS

DE REVOLUCIÓN Semicilindro (Xulgados)

Hiperboloide

Esferas Edificio Cristal Cilindro elíptico SECCIÓN PARABÓLICA (SAN AGUSTÍN)

Cono e tronco de cono SAN PEDRO (Cúpula semiesférica)

Paraboloides

Tetractis 34

Maio, 2009

UN PASEO MATEMร TICO POR LONDRES No pasado febreiro, os alumnos de 1ยบ de bacharelato fixeron unha viaxe de estudos a Londres e aproveitaron para visitar lugares con moitas referencias matemรกticas. WESTMINSTER ABBY

ROYAL OBSERVATORY GREENWICH

SCIENCE MUSEUM

Monumento a Isaac Newton

Lรกpida na honra de Lewis Carroll

Botellas de Klein Banda de Moebius

Superficies desenvolvidas

Dodecaedro-Dodecaedro estrelado

Tetractis 34

Maio, 2009

Ano IV. Boletín nº 35

Depósito legal: C 2766-2006

Setembro, 2009

ÁGORA

EL JARDÍN DE HIPATIA Olalla García

Agora, o novo traballo de Alejandro Amenábar estrease o venres 9 de outubro de 2009. A protagonista da película é Hipatia de Alexandría (Rachel Weisz), matemática, xeómetra, astrónoma e directora da Biblioteca de Alexandría.

Espasa Calpe, 2009

Unha novela da historiadora madrileña, Olalla García, na que descrebe o ambiente social, relixioso e académico de Alexandría na época na que Hipatia era a Directora da súa Biblioteca.

RESUMO Século IV. Exipto baixo o Imperio Romano. As violentas revoltas relixiosas nas rúas de Alexandría alcanzan á súa lexendaria Biblioteca. Atrapada tras os seus muros, a brilante astrónoma Hipatia loita por salvar a sabedoría do Mundo Antigo coa axuda dos seus discípulos. Entre eles, os dous homes que se disputan o seu corazón: Orestes e o xove escravo Davo, que se debate entre o amor que lle profesa en segredo e a liberdade que podería acadar uníndose ao imparable ascenso dos cristiáns.

¿ES DIOS UN MATEMÁTICO? Mario Livio

Editorial Ariel

Vimos na Domus

DESPOIS FOI… A FORMA!

Son as matemáticas unha creación humana? Ou o que aparece a traveso delas é o intricado deseño do universo, que pouco a pouco vamos descubrindo? Parábola

Desde a antigüidade ata o presente, científicos e filósofos marabilláronse de que unha disciplina tan abstrata puidera explicar de maneira tan perfecta o mundo natural. O astrónomo Mario Livio, autor de La Divina Proporción, explora as ideas matemáticas desde Pitágoras ao século XXI.

Fractal

Hélice

Por que algunhas formas da natureza son máis frecuentes ca outras?.

Unha exposición sobre a orixe e o éxito de oito formas frecuentes na naturaza: a esfera, a onda, o ángulo, o hexágono, o fractal, a parábola, a hélice e a espiral.

PREMIOS EN MATEMÁTICAS Alfred Nobel non considerou que as Matemáticas foran merecedoras dun premio ao igual ca outras disciplinas, pola contra diversas sociedades e institucións instauraron diferentes premios en Matemáticas.

Os premios matemáticos máis importantes son: PREMIO ABEL: é un galardón anual outorgado polo Rei de Noruega a un matemático destacado. Os gañadores do premio Abel no ano 2008 foron John Griggs Thompson (EUA) e Jacques Tits (Francia).

números. O premio leva o nome de Frank Nelson Cole, que serviu á Sociedade durante 25 anos. O último gañador de este premio foi Janos Kollar.

COMPETICIÓN DE FACTORIZACIÓN RSA: é un desafío proposto polos Laboratorios RSA, para fomentar a investigación na teoría computacional de números e a dificultade práctica da factorización de números enteiros grandes. Publicaron unha lista de semiprimos (números MEDALLA FIELDS A Medalla Internacional para Descubrimentos So- que teñen exactamente dous factores primos) coñecida bresalientes en Matemáticas (Medalla Fields) é unha como os números RSA, cun premio en metálico para a distinción que concede a Unión Matemática Internacio- factorización con éxito dalgúns deles. O máis pequeno de todos, un número con 100 cifras decimais coñecido nal cada catro anos. Ante a cacomo RSA-100 foi factorizado en poucos días, pero a rencia do Premio Nobel de mamaioría dos números máis grandes aínda non foron factemáticas, instaurouse este torizados e espérase que permanezan así durante baspremio a os mellores matemátitante tempo. cos en tempos anteriores á Segunda Guerra Mundial. Concédense a un ou máis matemáticose e a súa orixe está no matemático John Charles Fields. No anverso ten a cabeza do matemático grego Arquímedes. No reverso figura unha esfera inscrita nun cilindro e a inscripción “congregati ex toto orbe mathematici ob scrita insignia tribuere (os matemáticos de todo o mundo reunieronse para dar esta medalla por escritos excelentes)”.

PREMIO DIRAC: O Premio Dirac é o nome de tres prominentes premios no campo de física teórica, química computacional, e matemáticas, entregado por diferentes organizacións. Os últimos gañadores foron, Joe Polchinski, Juan Maldacena, Cumrun Vafa, Bryan Webber e Kenneth Ruud.

PREMIO FERMAT: premia traballos de investigación en ámbitos nos que as contribucións de Pierre de Fermat foron decisivos: * Declaracións de Cálculo de Un dos últimos matemátivariacións cos nomeados foi Grigori * Fundamentos de ProbabiliPerelmán, quen rexeitou o dade e Xeometría Analítica premio. * Teoría de números. PREMIO BÔCHER: foi fundaO último gañador foi Chandrasdo pola Sociedade Americana de Matemáticas en 1923 hekhar Khare e foi premiado con en memoria de Maxime Bôcher. Este premio otórgase 20 000€. cada 5 anos. Os últimos gañadores de este premio foron Alberto Bressan, Charles Fefferman e Carlos Kenig. MEDALLA DE MORGAN: é un premio á notable contribución ás matemáticas, outorgado pola Sociedade MateMEDALLA CANTOR: noméase en honor de Georg Cantor. mática de Londres (LMS). É o premio máis prestixioso As becas outórganse na maioría cada dous anos durante que entrega a Sociedade, que se dá na memoria de Auas reunións anuais da sociedade. Os galardonados son gustus De Morgan, quen foi o primeiro Presidente da matemáticos que están asociadas coa lingua alemá. O LMS. A medalla concédese cada tres anos. O único moúltimo gañador foi Hans Grauert. tivo para a concesión da Medalla son os do candidato PREMIO COLE: é un dos dous premios entregados aos contribucións ás matemáticas, pero só pode ser concematemáticos pola Sociedade Americana de Matemáti- dido a un matemático que é normalmente residentes no cas, unha para unha notable contribución ao álxebra, e o Reino Unido o 1 de xaneiro do ano correspondente. O outro para unha destacada contribución á teoría dos ultimo ganador foi Bryan John Birch. Tetractis 35

Setembro, 2009

MEDALLA EULER: A Medalla Euler, chamada así en honor ao famoso matemático do século XVIII, Leonhard Euler, é unha condecoración que outorga anualmente o Institute of Combinatorics and its Applications a matemáticos cunha vida distinguida, dedicada a contribuír na investigación combinatorial. Os últimos gañadores foron Clement Lam e Nick Wormald. MEDALLA LOBACHEVSKY: é unha medalla outorgada pola Universidade Estatal de Kazán na honra de Nikolai Ivanovich Lobachevsky, quen foi profesor alí. A medalla foi establecida en 1896 e outorgouse por primeira vez en 1897. Converteuse nun premio da Academia rusa das Ciencias en 1951, e regresou á Universidade de Kazan en 1991, entrégase cada cinco anos. PREMIO CHAUVENET: é a maior distinción para os matemáticos investigadores que publican artigos científicos. Consiste nun premio de mil dólares máis un certificado, e é outorgado anualmente pola Asociación Matemática de América (MAA) en recoñecemento dalgún artigo destacado no área da matemática. Para ser elixido é requisito ser membro da MAA. O nome do premio é en honor ao profesor estadounidense William Chauvenet (1820-1870) e estableceuse a través dun obsequio proporcionado polo matemático Julian Coolidge en 1925. O último gañador foi Andrew Granville. PREMIO LEROY P. STEELE: concédense cada ano pola Sociedade Americana de Matemáticas, para distinguir o labor de investigación e escritura no campo das matemáticas. Desde 1993 houbo unha división en tres categorías. Os premios déronse desde 1970, dun legado de Leroy P. Steele, e establecéronse na honra de George David Birkhoff, William Fogg Osgood e William Caspar Graustein. A forma en que a concesión dos premios foise cambiado en 1976 e 1993, pero o obxectivo inicial de honrar expositivo escritos así como a investigación, mantívose. O último gañador foi George Lusztig. PREMIO NEMMERS EN MATEMÁTICAS: é un premio bienal outorgado pola Universidade de Northwestern. Foi inicialmente outorgado cun premio similar, o Premio Erwin Plein Nemmers en Economía, como parte dunha dotación de 14 millóns de dólares, dos irmáns Nemmers. Eles querían un premio que fora tan prestixioso como os Premios Nobel. O gañador no ano 2008 foi Simon Donaldson. PREMIO OSWALD VEBLEN EN XEOMETRÍA: é un premio outorgado pola American Mathematical Society por noTetractis 35

tables investigacións en xeometría ou topoloxía. Foi fundado en 1961 en memoria de Oswald Veblen, prémiase cada tres anos e os últimos gañadores foron P. Kronheimer, Tomasz Mrowka, P. Ozsváth e Zoltán Szabó. PREMIO PÓLYA (SIAM): é un premio en matemáticas, outorgado pola Sociedade de Matemáticas Aplicadas e Industriais. Entregado por vez primeira en 1969, o premio recibe o nome do matemático húngaro George Pólya. Agora é outorgado nos anos pares. Premio George Pólya outórgase cada dous anos, alternativamente en dúas categorías: * Para unha notable aplicación da teoría combinatoria. * Unha notable contribución noutra área de interese para George Pólya como a teoría de aproximación, análise complexa, teoría de números, polinomios ortogonais, a teoría da probabilidade, ou o descubrimento e a aprendizaxe matemáticas. PROBLEMAS DEL MILENIO: Os Problemas do milenio son sete problemas matemáticos cuxa resolución sería premiada, segundo anunciou o Clay Mathematics Institute no ano 2000, coa suma dun millón de dólares cada un. Ao día de hoxe unicamente un destes problemas foi resolto. Estes sete problemas son: P versus NP, A Conxectura de Hodge, A hipótese de Riemann, Existencia de Yang-Mills e do salto de masa, As ecuacións de Navier-Stokes, A conxectura de Birch e Swinnerton-Dyer e a conxetura de Poincaré, esta resolta polo ruso Grigori Perelmán. PREMIO SALES: fundado pola viúva de Raphaël Salem, concédese cada ano a un xove matemático que fixo unha labor excelente no campo de interese de Salem, principalmente a teoría das series de Fourier. PREMIO SHAW: creado por Sir Run Run Shaw, un líder na industria dos medios en Hong Kong e desde fai tempo, filántropo, para honrar ás persoas, independentemente da súa raza, nacionalidade e crenza relixiosa, que lograron importantes avances nos medios académicos e de investigación científica ou aplicación, e cuxo traballo deu lugar a un profundo e positivo impacto na humanidade. É coñecido como o Premio Nobel Oriental. O premio outorgado anualmente é 1 millón de dólares. MEDALLA SYLVESTER: é unha medalla de bronce que a Royal Society entrega cada tres anos, premiando o esforzo dunha investigación matemática. O primeiro galardoado foi Henry Poincaré en 1901. A medalla foi bautizada co nome de James Joseph Sylvester na honra do profesor de xeometría da Universidade de Oxford en 1880. José Pombo Lema Bacharelato

Setembro, 2009

DE PROBLEMAS E OUTRAS COUSAS Ola chámome Xosé, son un alumno de 3º da E.S.O e son repetidor, pero ollo!, repetidor en monólogos xa que, o ano pasado, cando estaba en 2º de ESO participei neste concurso falando “De nomes e outras cousas”; este ano falarei doutras cousas relacionadas coas clases de matemáticas. Antes de comezar o monólogo vou compartir uns pensamentos con todos vós. A ver, o outro día estaba a facer os deberes de matemáticas e os problemas que tiña no libro parecían todos iguais, o único que cambiaba eran os números, para que digan que as matemáticas axudan á imaxinación!, ... os que fan os libros non debían sacar moi boas notas nesta materia da “imaxinación” porque mirade un exemplo: “Un pai di: meu fillo ten dez anos, a miña filla ten doce e eu teño o triplo da metade da suma das súas idades máis tres, cantos anos teño eu?. Pois ... a mellor solución sería preguntarlle ós fillos, pero se non se pode, haberá que mirar o libro de solucións do profesor porque é máis rápido que a liada de escribir todo iso coa X que tan difícil é de entender. Outro problema moi habitual é o do gandeiro que ten por exemplo... unha parcela rectangular de largo X e de ancho uufffff.!.. “o dobre entre dous máis un, menos o triplo dun sexto da metade da base”, e logo pregunta o problema “canto mide a base? ” Pois ....a solución que nos queda é coller un metro pórse a medir e listo si non queremos ver as X de novo polo medio. Quizais o problema máis famoso que coñezo dende hai moito tempo pois, ano tras ano aparece nos libros é: “Un coche vai de Madrid a Ferrol a 210 Km/h, e outro vai no sentido contrario a 170 Km/h.Sabendo que saen á mesma hora. Cando se cruzarán?”. Ás veces en vez do coche é un tren ou incluso unha moto pero eu pregúntovos ¿algún de vos non coñece este problema?, lembrade o libro de matemáticas e ese debuxiño dunha vila, un coche no medio, a fonte e outra vila, e outro coche,..., verdade que fastidia lembralo! Pois ben, este problema pode NON TER SOLUCIÓN xa que, a porcentaxe de posibilidades de que se produza algunha das situacións que a continuación vos conto, é moi alto: 1-Que o que vai a 210 se espete contra algo por ir demasiado rápido. 2-Que lle poñan unha multa por exceso de velocidade,e teña que facer o resto da viaxe máis lentamente. 3-Que non vaian pola mesma estrada. E no suposto caso de que se crucen, o único que poderías facer de ir ti no coche é pitar ou dicir ¡oooooooeeeeee aínda que non te escoite ou non se che vexa, pero, iso si, apunta rapidamente o punto quilométrico onde se produciu o encontro, e así terás solucionado o problema. O outro día puxéronme para facer na casa outro problema famoso “Para construír unha piscina, 10 obreiros tardan 16 días. Cantos obreiros traballaron se tardaron 40 días?” . Este é ben fácil, verdade?, a proporcionalidade inversa pero, tampouco é un problema real, pois aquí en Galicia, en España os 10 obreiros nunca rematarían o traballo nos días fixados e seguramente son eles os que tardaron os 40 días. Problemas, problemas, ...... falemos doutras cousas Unha das peores situacións nas que se atopa un alumno é es-

Tetractis 35

II Certame de Mat-monólogos tar nun exame. Os de matemáticas teñen un ritual propio: 1-Dannos a folla do exame e apoiamos o cóbado na mesa aguantando a cabeza, resopramos e esperamos a que a profesora -case sempre é profesora- nos dea instrucións e algunha pista para empezar. 2-Logo, antes de ler nada, preguntamos polo baixo ao compañeiro que temos máis preto cal é a resposta da número un e como a pregunta se fai moi baixiño, na clase escoitase un suave susurro “psssss” (significa que se está preguntando algo). O compañeiro sempre di “non sei”. 3-Metemos o boli na boca e comezamos a ler a primeira pregunta, e dicimos , “buf !!, esta non a sei paso á seguinte” , entón comezamos a ler a segunda pregunta e dicimos “buf!! esta non a sei, paso á seguinte”, e así ata chegar á última na que dicimos “vale!, empezamos outra vez”. Cando xa puxemos os datos da primeira pregunta no folio -a boleo claro- e miramos para eles, dicimos, “bua! isto é un sudoku!”, ¡estupendo!, a outro problema. Ao rematar a hora escóitase a serea e pensas “ben aínda quedan dez minutos”, concentración, a profesora di “veña entregade o exame!”, e ti dás a escusa máis tonta do mundo: “espere que estou a poñer o nome” aínda que estás escribindo números por todos lados, sen sentido. Ao saír do exame alguén che pregunta si che saíu ben e dis “si oh!, un oito como mínimo”, aínda que cando ves que non coinciden os resultados cos dos demais notas unha suor fría que desaparece cando comprobas que tódolos resultados que escoitas son diferentes. Cando días despois a profesora devolve corrixidos os exames e di na túa quenda “a ver, quen se chama raíz cadrada de 8 máis 144 elevado a 2 menos X ao cadrado igual a 3? ” ti contestas “creo que eu aínda que podes chamarme Xosé”. Ao final sacaches un cinco, APROBADO! Pero, non todo está feito, queda outra das peores situacións para calquera neno. É esa na que estás o día das notas finais con un 5 en mates. O primeiro día do verán. Chegas á casa e ves unha bolsa de Carrefour e pensas “ui, isto non pinta ben”, a túa alarma salta cando ves que a túa nai está metendo as leitugas no frigorífico e escoitas que di “tranquilo, tamén teño algo para ti” e ti dis con ton de medo “que me trouxeches?”, responde “un traxe de baño”, o alivio volve ó teu corpo pero ela di “Ah! e unha cousiña máis” . Ti estás mirando o traxe de baño e non queres escoitar pero ela di máis alto “UN LIBRIÑO DE VACACIÓNS SANTILLANA!”. Neste momento íllaste, os teus ollos só ven o caderno, os teus oídos só escoltan as páxinas pasadas con velocidade e o teu nariz só ule o arrecendo a novo do traxe de baño. Logo escoitas a peor frase do mundo que é “ ATA QUE NON FAGAS DOUS EXERCICIOS CADA DÍA NON VAS Á PRAIA! ”. Ben, xa é tarde, imos darlle comezo ao monólogo. Moita xente di que as matemáticas están relacionadas coa música, pero eu esa unión non a vexo por ningún lado. Pode que fora antes, hai cincocentos ou seiscentos anos, ou na época de Mozart ou Beethoven pero agora os mozos da nosa sociedade pasan da boa música e póñense a escoltar música Satánica, Marilyn Manson ou Melody. Vamos, xente que coñece as matemáticas de oídas, porque parece difícil atopar matemáticas nesa música. E isto chegou a seu fin. Ata outra. José Rodríguez-Moldes Varela IES Mugardos

Premio na categoría de 2º ciclo ESO e Bacharelato

Setembro, 2009

Ano IV. Boletín nº 36

Depósito legal: C 2766-2006

Outubro, 2009

MATEMÁTICAS PARA ESTIMULAR O TALENTO

Actividades do Proxecto Estalmat

Este libro elaborado por diverso profesorado dos comités educativos das seccións de ESTALMAT, comprende unidades de actividades para levar a cabo nas sesións. Os temas tratados son: • Grafos e algunhas amenidades topolóxicas • Divisibilidade e números primos • Sistemas de numeración • Técnicas de reconto • Paridade. Principio do pombal • Xeometría do triángulo con Cabri • Xeometría dobrando papel • Viaxe ao mundo dos poliedros • Xogos de tipo numérico • Xogos de estratexia con simetrías • Criptoloxía • A visualización na demostración matemática

• Fractais

• O azar As aportacións de ESTALMAT Galicia son: Xeometría dobrado papel, por Teresa Otero Suárez (IES Antonio Fraguas, Santiago) e Alicia Pedreira Mengotti (IES Monelos, A Coruña) e Criptoloxía, por Gonzalo Temperán Becerra (IES Monelos). O libro está editado pola Sociedade Andaluza de Educación Matemática Thales (thales@cica.es, http:// thales.cica.es) baixo o patrocinio da Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas e Naturais. O proxecto ESTALMAT comezou en Madrid en 1998 e en Galicia no ano 2007. Está dirixido a alumnos de 12 e 13 anos que durante dous cursos académicos acoden á Facultade de Matemáticas de

obxectivo desta actividade é o achegamento á ciencia, principalmente ás matemáticas, do sector de poboación galego entre os 14 e 17 anos (3º e 4º ESO, 1º e 2º BACH). A utilización de material multimedia, actuacións teatrais, páxinas web, vídeos, maxia, papiroflexia, sesións de debate e socialización dos coñecementos e experiencias adquiridas serán os métodos utilizados para conseguir espertar o interese e a curiosidade en temas relacionados co espírito científico. Un obxectivo transversal consistirá en poñer en valor modelos femininos tanto na historia da ciencia como no papel da muller na investigación.

Santiago ás diversas sesións impartidas polo profesorado que pertencen ao Comité Académico de ESTALMAT Galicia.

www.estalmatgalicia.com

Queremos aproveitar a Semana da Ciencia 2009 para darlle o primeiro pulo a unha acción na que o seu contido principal serán 6 sesións de 3 horas de duración nas que se tratarán os seguintes temas: • O método científico. Iniciación ao espírito crítico e á análise da realidade. • As matemáticas cotiás. Busca e análise das matemáticas coas que convivimos diariamente. • A maxia e as matemáticas. Utilización das matemáticas para a creación de ilusións e maxia. • A física tamén é cotiá. Busca e análise da física coa que convivimos diariamente, poñendo de manifesto a utilidade das matemáticas para o tratamento destes fenómenos. • O teatro e o cine como recurso de achegamento á ciencia.

As prazas para as chocomates do día 12 e 19 de novembro están todas cubertas; pero, as actividades poderanse seguir na páxina web: www.chocomates.org e baixar o boletín que se vai a editar

A BIBLIOTECA DE ALEXANDRÍA

CRONOLOXÍA TRÁXICA espois da morte de Alexandro Magno, os territo- • 48 a.C. Incendio da Biblioteca na guerra civil pola rios conquistados quedaron sucesión ao trono, cando repartidos entre os seus Xulio Cesar toma partido xenerais e desta maneira, por Cleopatra VII. Neste Ptolomeo I Soter pasa a reiincendio arderon 40000 nar en Exipto, onde Alexanvolumes e máis tarde fodría, cidade na marxe esron compensados, por querda do río Nilo, é a súa Marco Antonio, con capital. Demetrio de Falera 200000 manuscritos trainsta a Ptolomeo I a crear un ídos da biblioteca de gran centro de investigación Pérgamo. (Museo) en Alexandría cunha • 215 d.C. Brutal sagran biblioteca. A data da queo da cidade de Alesúa iniciación é arredor do xandría por capricho de ano 290 a.C. e a tarefa foi Caracalla. completada polo seu sucesor Plano de Alexandría de Olalla García na obra “ O xardín de Hipatia” • 253 d.C. Cidade desPtolomeo II Filadelfo. trozada por Valeriano. O Museo foi o centro de estudios más grande dos tem- • 273 d.C. O Bruchium foi saqueado e destruído por pos antigos e alí acudiron escritores, poetas, artistas e Aureliano, afectando ao Museo e Gran Biblioteca. científicos de todas as partes. • 297 d.C. Diocleciano asedia durante oito meses e toma e saquea a cidade. Ordenou queimar millares de O Museo constaba de dez grandes salas de inveslibros relacionado coa alquimia e ciencias herméticas. tigación, cada unha dedicada a un tema diferente, tiña fontes e columnatas, xardíns botánicos, un zoolóxico, • 365 d.C. Un terremoto desbastador provoca a morte de arredor de 50000 persoas e provocou o fundisalas de disección, un observatorio astronómico e unha mento baixo as augas do 20% da cidade. Considérase gran sala comedor onde se discutían as ideas. O núcleo este feito como o final da Gran Biblioteca. fundamental era a Gran Biblioteca que chegou a contar cun millón de volumes (cada un era un rolo de papiro es- • 391 d.C. O emperador Teodosio, a petición do patriarca de Alexandría, decreta a prohibición do pagacrito a man). Para dotar á Biblioteca destes volumes ennismo en Exipto. O patriarca Teófilo promove unha viaban a xentes ao exterior para comprar bibliotecas revolta e a Biblioteca do Serapeum foi saqueada e enteiras e aos barcos que chegaban ao porto de Alexandestruída. (Estes feitos son os que narra a película dría se lles confiscaban os libros paran seren copiados e ÁGORA). logo devoltos aos seus propietarios. • 642 d.C. Destrución total do Bruchium e da biblioO Museo e a Gran Biblioteca estaban localizados, teca polos árabes baixo as ordes do califa Amrou. xunto ao Pazo Real, nunha zoa chamada Bruchium. Cando Reconstrucción da Biblioteca por C. Sagan a cantidade de libros sobrepasou a capacidade da Gran Biblioteca foi construída a Biblioteca Filla que estaba no Serapeum (Templo de Serapis), situada a certa distancia das dependencias reais, no distrito sur da cidade. Os primeiros directores ou bibliotecarios foron: Zenódoto de Éfeso (282-260 a.C.), Calímaco de Cirene (260-240 a.C.), Apolonio de Rodas (240-230 a.C.), Eratóstenes de Cirene (230-195 a.C.) , pero tamén figuraron Aristarco de Samos, ata Teón e Hipatia completando os 947 anos de historia. Nicomedes (280-210 a.C.) Euclides de Alexandría (325-265 a.C.) Aristarco de Samos (310-230 a.C.) Diocles (240-180 a.C.) Apolonio de Perga (262-190 a.C.) Eratóstenes de Cirene (276-194 a.C.) Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.)

300 a.C.

IDADE

DE OURO

200 a.C.

Hiparco de Nicea (190-120 a.C.)

100 a.C.

PERÍODO HELENÍSTICO OU ALEXANDRIN0

1 d.C.

AS MATEMÁTICAS NA BIBLIOTECA DE ALEXANDRÍA A Biblioteca de Alexandría coincide no tempo cos dous dos períodos máis frutíferos da matemática grega: o Período Helenístico ou Alexandrino (300a.C.-1d.C.) e o Período Grecorromano ou Alexandrino Tardío (1d.C.-400d.C.) Hiparco de Nicea (190 a.C.—120 a.C.), astrónomo, xeógrafo e matemático grego, que foi Director da Biblioteca; entre as súas aportacións destaca: o primeiro catálogo de estrelas realizado, define o ano sidéreo e ano trópico, calcula con gran precisión a medida da distancia Terra-Lúa, o descubrimento da precesión dos equinoccios, inventa a Aristarco de Samos (310 a. C. - 230 a. C.) astró- trigonometría e os conceptos de latitude e lonnomo e matemático grego nacido en Samos. Foi o xitude xeográficos. primeiro en propor o modelo heliocéntrico do Sistema Solar Herón de Alexandría (10 – 70 d.C.) enxeñeiro que describiu un gran número de máquinas e xeArquímedes de Siracusa (287 a. C. – 212 a. C.) neralizou a lei da palanca de Arquímedes. O mamatemático, físico, enxeñeiro e inventor. Estivo ior logro foi a invención da primeira máquina de estudando en Alexandría e coincide con Conón de vapor (eolípila). Autor de numerosos traballos de Samos e Eratóstenes. Entre os seus traballos mecánica, hidráulica, óptica e xeodesia. Como destacan o deseño de máquinas como armas de matemático, escribiu A Métrica, onde estuda as asedio e o torno que leva o seu nome e que servía áreas e volumes de distintas superficies e corpos, coma a fórpara quitar auga dun pozo; traballos en hidrostá- mula de Herón para calcular a área dun triángulo. tica, estática e a explicación do principio da palanca. Fixo estudios sobre a medida do círculo Claudio Ptolomeo, (100 – 170). Astrónomo, (calculo de pi), espirais, esfera e cilindro, conoides e esferoi- químico, xeógrafo e matemático grecodes, cuadratura da parábola… exipcio, coñecido co nome, Ptolomeo. Autor do tratado astronómico, Almaxesto . Eratóstenes de Cirene (276 a.C.- 194 a.C.) matemático, astrónomo e xeógrafo grego. Foi Director da Biblioteca de Alexan- Diofanto de Alexandría considerado o pai da dría e inventor da esfera armilar, esfera álxebra debido á súa obra Arithmetica, libro celeste utilizada para mostrar o movemen- de trece libros nos que aparecen ecuacións coa variable con to aparente das estrelas arredor da Terra coeficientes enteiros (ecuacións diofánticas). ou Sol. Calculou con moita exactitude a Pappus de Alexandría escribiu comentarios aos Elementos lonxitude do meridiano de Euclides e ao Almaxesto de Ptolomeo. A súa principal terrestre, medindo o obra é Synagoge ou Colección matemática, era unha recoarco de meridiano entre pilación dos coñecementos matemáticos da época. Foi auAlexandría e Siena (Asúan). Inventou un tor de diversos resultados de xeometría coñecidos co nométodo para atopar números primos. me de Teoremas de Pappus. Apolonio de Perga (262 a. C. - 190 a. C.) foi Teón de Alexandría (335-405), matemático un xeómetra grega que ese astrónomo. Escribiu un comentario do Alcribiu Sobre as seccións maxesto e unha Catóptrica, baseada en cónicas, unha obra de oito obras de Arquímedes e Herón. Pai de Hipalibros, onde lle da nome a tia, foi o último director da Biblioteca do elipse, parábola e hipérbole. Serapeum. Tamén estudou outras curvas planas e a cuadratura Hipatia de Alexandría (370-415). Escribiu diversos codas súas áreas, as orbitas excéntricas ou mentarios aos elementos de Euclides e sobre teoría dos epiciclos para intentar explicar o os escritos de Ptolomeo; fixo unha revisión movemento aparente dos planetas e da veda Aritmética de Diofanto e das Seccións locidade variable da Lúa. Propuxo e resolveu cónicas de Apolonio. Realizou traballos no o problema de achar as circunferencias campo da mecánica e tecnoloxía, deseñando Cono de Apolonio, tanxentes a tres círculos dado (Problema un astrolabio plano e un planisferio. en ÁGORA de Apolonio). Euclides (325 a.C.-265 a.C.) matemático e xeómetra cuxa obra, Os Elementos, é unha recopilación do coñecemento xeométrico coñecido ata a súa época e foi unha ferramenta imprescindible no ensino da xeometría ata o século XIX.

Ptolomeo de Alexandría (100-170) Herón de Alexandría (10-70) Menelao de Alexandría Nicomaco de Xerasa

1 d.C.

100 d.C.

Diofanto de Alexandría (200-284)

200 d.C.

IDADE

DE PLATA

PERÍODO GRECO-ROMANO/ALEXANDRINO TARDÍO

Pappus de Alexandría

300 d.C.

Theon de Alexandría (335-395) Hypatia (370-415)

400 d.C.

A CALCULADORA CASIO FX-82SX A M· M0 M4 M5 M6 M7 M8

SÍMBOLOS

TECLA MODE

SD. Cálculos estadísticos COMP Cálculos xerais DEG Graos sesaxesimais RAD para Radiáns GRA Graos centesimais FIX fixa o nº de decimais. Ex.: MODE 7 3 SCI especifica na notación científica o nº de cifras significativas. Ex.: MODE 8 2 NORM cancela os modos FIX e SCI

TRABALLO

E SHIFT MODE M K DEG RAD GRA FIX SCI SD

E quere decir, 8,4728861 x 1011, que é a notación científica. Isto ocorre sempre que o resultado dun cálculo sexa un número tan grande ou tan pequeño que a súa escritura non caiba na pantalla. É aconsellable que o nº de cifras significativas non sexa superior a 3, para iso utilizamos o MODE SCI: MODE 8 3 e o resultado será: 8.4711 Para poñer na pantalla: 3,4542 x 10 –23,

TECLAS

EXP 23 +/-

DE MEMORIA

Introduce o dato da pantalla na memoria. 0 Min Borra a memoria. M+ Acumula en memoria o nº da pantalla. MResta en memoria o nº da pantalla. MR Recupera o contido da memoria.

10 ex xy x2 √ 3 √ x1/y

5 x! 5 nPr 3 5 nCr 3

Os pasos necesarios que temos que dar para calcular parámetroa estadísticos son: • MODE SD: MODE · • Borrar datos anteriores: SAC SHIFT AC • Introducir datos: a) Datos sen tabular: 9 3 7 8 3 6

25 o resulta-

do que dá a calculadorá é: 8.4728861 11

PARÁMETROS ESTATÍSTICOS

Min

COMBINATORIA

SISTEMA DECIMAL-SESAXESIMAL A tecla de conversión de ángulos en notación sesaxesimal a notación decimal é º ‘ ‘’ Para introducir o ángulo 30º 45’ 33’’ na calculadora, teremos que teclear: 30 º ‘ ‘’ 45 º ‘ ‘’ 33 º ‘ ‘’ Aparecerá: 30.759167 SHIFT º ‘ ‘’ 30□ 45□ 33□

CIENTÍFICA

Se calculamos 325, 3

hai que teclear: 3,4542

Para introducir a fracción: 3/5 na calculadora: 3 ab/c 5. Na pantalla aparecerá: 3┘5 “┘” é o símbolo que utiliza a calculadora para represntar fraccións. Cando o numerador e maior ca o denominador (fracción impropia) a calculdora utiliza: -1┘17┘105 Tecleando SHIFT ab/c, -122┘105

Tetractis 36

NOTACIÓN

NA PANTALLA

Indicador de erro Tecla presionada Tecla presionada Indicador de memoria ocupada Indicador de cálculo con cte. Ángulo sesaxesimal Ángulo en radiáns Ángulo centesimal Fixa o número de decimais Notación científica Cálculos estatísticos

CON FRACCIÓNS

Permutacións, P5 Variacións de 5 sobre 3, V5,3 Combinacións, C5,3

FRACTION

REDONDEA

OU TRUNCA?

Calcula 1/6 e mira o resultado, multiplica agora por 10 e volve a mirar o resultado.

¡¡¡Haberá que ter en conta que o último decimal que aparece na pantalla non é un díxito fiable!!!

Introducir os datos, na seguinte orde: 1x3 [DATA], 2x4 [DATA], …, 5x2 [DATA]

Potencias de base 10 Potencias de base e Potencia de base x e expoñente y Cadrados de x Raíces cadradas Raíz cúbica Raíz de índice y (y√x)

USO

b) Datos tabulados: 1

E RAÍCES

DE FUNCIÓNS

Para calcular calquera valor dunha función: √, log, ln, ex, 10x, sin, cos, tan… hai que teclear primeiro o argumento e logo, a función: Seno 30 30 sin

9 [DATA], 3 [DATA], …, 6 [DATA]

POTENCIAS

•

Extraer datos: Nº de datos (n): Media aritmética: Desviación típica: Σxi Σxi 2

SHIFT SHIFT SHIFT SHIFT SHIFT

6 7 8 5 4

Se te equivocas ao introducir datos deberás pulsar DEL: SHIFT M+ Outubro, 2009

Ano IV. Boletín nº 37

Depósito legal: C 2766-2006

A L A L ÍN EA

Novembro, 2009

A LA DIVINA PROPORCIÓN

A ti, contorno de la gracia humana, recta, curva, bailable geometría, delirante en la luz, caligrafía que diluye la niebla más liviana.

A ti, maravillosa disciplina, media, extrema razón de la hermosura que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina.

A ti, sumisa cuanto más tirana,

A ti, cárcel feliz de la retina, áurea sección, celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura

misteriosa de flor y astronomía

que el Universo armónico origina.

imprescindible al sueño y la poesía, A ti, mar de los sueños angulares, flor de las cinco formas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro.

urgente al curso que tu ley dimana.

TEORÍA DE FRACTALES En la naturaleza sólo existen dos tipos de seres: los grandes y los pequeños. Los grandes son siempre lo que son. Los pequeños son símbolos. Claro que hace falta saber grandes con respecto a qué... y chicos con respecto a qué... Todos los seres son grandes con respecto a algo y todos son pequeños con respecto a otra cosa.

En otras palabras:

poeta e profesor de lingua galega do IES Monelos, Xavier Seoane, proponnos o libro de poemas Explorando o mundo, título tomado dun poema de Pablo Neruda, que é a primeira antoloxía publicada en España, dedicada a ilustrar a relación entre ciencia e poesía entre saber científico e arte poético. A selección de Miguel García-Posada recolle poemas desde Lucrecio aos noso días, facendo paradas en Dante Alighieri, Francisco de Quevedo, Miguel de Unamuno, Walt Whitman ou José Hierro. Aparecen poemas dedicados a Newton, a Darwin, ás estrelas, a antimatemática, a Freud…

MATEMÁTICAS E BOTÁNICA

todos los seres son grandes y pequeños a la vez.

É a mesma Natureza, e non o matemático, quen introduce as matemáticas na filosofía natural. Kant

DISTANCIAS ASTRONÓMICAS Medir o universo non é unha tarefa sinxela. As unidades de medida habituais (m, km…) son demasiado pequenas, e as distancias, demasiado grandes. Por poñer un exemplo, se o Sol fose un gran de area, e a estrela máis cercana (Proxima Centauri) fose outro gran, estarían separados entre si uns 30 km. Para medir esas inmensas distancias, inventáronse novas unidades de medida, moito máis manexables. continúa na páx. 3...

home deixa unha clara pegada. Usa obxectos nos que prevalecen as liñas perpendiculares, polígonos regulares, ángulos rectos....Isto é a xeometría do home, simplificada na chamada

Xeometría de Euclides.

O home incluso imita á natureza nalgúns obxectos artificiais para aproveitar as súas formas no seu beneficio. Un exemplo son os sumidoiros, que nos recordan á forma dos pétalos dalgunhas flores. continúa na páx. 2...

O mundo das plantas ten as súas propias leis físicas, que son os condicionantes do crecemento e das diferentes formas dos seus elementos.

FENTO DE

BARNSLEY

FENTO NATURAL

PROPORCIÓN ÁUREA Preséntase en todas as plantas e nas súas follas con Na natureza hai distintas curvas botánicas que respondiferentes expresións básicas: el mesmo (1,618...),o seu den á seguinte ecuación: cadrado(2,618...) ou inverso. Hai unha familia de curvas que foi investigada no século XVII, e que recibe o nome de concoide de rosetón, pétalo xeométrico ou rosetón de Troia. Cada pétalo base é simétrico respecto do eixe OX e obtense variando o ángulo: Hai 3 casos distintos: Pétalo simple: Caso a = b n = 5/2

Na natureza tamén se poden obter diferentes fórmulas que están presentes nas estruturas dalgunhas follas. Estas son algunhas regularidades coas que nos podemos atopar: • As follas dunha planta crecen en torno a un nodo ou punto de crecemento mínimo. Vexamos algún exemplo: a primeira é unha curva reniforme de ecuación: no interior dunha circunferencia. As outras dúas son as siluetas de follas de violetas.

Se facemos variar

obtemos a flor completa.

Pétalo simple: Caso 0 < b < a

n= 7/2

Se facemos variar

Ecuación

obtemos a flor completa.

SUCESIÓN DE FIBONACCI:

É unha serie de números enteiros que comezando pola

• Os códigos xenéticos das plantas son outro exemplo do principio de mínima acción: buscan a maior economía á hora de xerar instrucións de crecemento. Tamén podemos observar nas plantas exemplos da simetría axial, central ou de xiro. A iteración de instrucións simples provocan que moitos exemplares de plantas se parezan a estruturas fratais, isto é a obxectos semixeométricos cuxa estrutura básica repítese a diferentes escalas: Tetractis 37

Ecuación

obtemos a flor completa

Pétalo simple: Caso b > a n= 7/2

Cando a folla é composta, como a da figura (que é a folla dun carballo), aproxímase bastante a unha curva de carácter matemático e responde á seguinte ecuación:

Ecuación

unidade, cada termo é a suma dos dous anteriores. É unha sucesión recorrente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... Estes números pódense observar nas árbores ao crecer, no número de espirais das piñas, dos xirasois... A sucesión de Fibonacci está relacionada co número áureo; xa que se dividimos cada dous termos consecutivos da sucesión de Fibonacci obtemos cocientes que se aproximan o número decimal da forma: 1,61... É dicir, o límite dos cocientes dos números de Fibonacci é o número áureo. Iria González Díaz. 1º Bach. A

Novembro, 2009

As máis empregadas son a unidade astronómica, o polo tanto: ano luz e o pársec. Debido ás grandes cifras das medi- 1 ano-luz = 9,46·1012 km = 9 460 000 000 000 km cións, faise necesario o uso da notación científica para O ano luz serve para medir a que distancia están de expresar, de xeito sinxelo, tales números. nós os obxectos do universo (estrelas, galaxias…) ou a Ademais, como estas distancias non se poden medir distancia que hai entre eles. Con todo, incluso o ano luz directamente, precísanse referencias “fixas” e técnicas pode ser escaso para medir distancias entre como a paralaxe. galaxias: se temos en conta que a Vía Láctea QUE É A PARALAXE? ten uns 100 000 anos luz de diámetro, e que Un exemplo cotiá de paralaxe é o seguinte: as galaxias están moi separadas entre si, obse poñemos un dedo estendido diante dos ollos, temos unhas distancias de millóns ou de miles e pechamos e abrimos os ollos alternativamende millóns de anos luz. te, semellará que o dedo cambia de posición con O ano-luz é unha unidade pouco científica, respecto ao fondo. O fondo tamén ten paralaporque noutro planeta cun ano máis longo (por xe, pero parece que non se move polo lonxe que está. exemplo, Marte), a distancia equivalente sería máis lonPois ben, a paralaxe foi o primeiro método empregado ga. para medir distancias astronómicas de forma indirecta PÁRSEC (pc) (e, mesmo distancias na Terra): no exemplo anterior, o O pársec é unha unidade de medida cientificamente dedo sería o corpo celeste a observar e o fondo serían máis exacta ca o ano luz, porque non presenta variaas estrelas lonxanas. cións. Tecnicamente, a paralaxe consiste en medir o ángulo Un pc é a distancia á que se atopa un obxecto do Sol, que hai entre os obxectos que queremos medir e a Tecando hai un segundo de paralaxe entre o Sol o e a Terra, en puntos opostos da súa órbita arredor do Sol. Sarra, sendo ese corpo o vértice bendo a distancia que separa o Sol da Terra, pódese caldo ángulo, e sabendo que entre cular a distancia ao corpo mediante métodos trigonoméo Sol e a Terra hai 1 UA. tricos. Esta técnica só vale para obxectos non demasiado lonxanos, do contrario o ángulo formado sería demaEste esquema explica a siado pequeno, e o idea: nel, o obxecto estaría no erro, demasiado punto P. grande. Un pársec tamén ten a súa equivalencia en quilómeO esquema anterior tros e anos-luz: explica o procedemento: coñecendo a 1 pc = 3,086·1013 km = 30 860 000 000 000 km = distancia que separa a Terra do Sol, e observando a va3,26 anos-luz riación do ángulo ‘p’ segundo a época do ano, pódese deAínda que poida parecer unha medida estraña, é moi terminar a distancia á que está ese obxecto. empregada polos astrofísicos para medir a distancia á que se atopan as estrelas cercanas: explicado de xeito UNIDADE ASTRONÓMICA (UA) Unha UA é igual á distancia media que hai entre o Sol sinxelo, cando menos pareza desprazarse unha estrela e a Terra, é dicir, uns 149.600.000 km. no ceo con respecto ás demais, máis lonxe estará. 8 1 UA = 1,496·10 km = 149 600 000 km EXEMPLOS DE MEDICIÓNS A unidade astronómica empré• Venus, o planeta do Sistema Solar máis próximo á gase, principalmente, para meTerra, está a 0,52 UA, é dicir, uns 78 millóns de quidir as distancias entre planelómetros. tas ou entre planetas e estre• Próxima Centauri está a 4,22 anos-luz do Sol (3,99· las. 1013 km). • A Nebulosa de Orión, na nosa galaxia, está a 1500 anos-luz do Sol (uns 1,42·1016 km). ANO-LUZ • Andrómeda, a galaxia máis próxima á Vía Láctea, está Un ano-luz é a distancia que percorre a luz durante a “só” 2,2 millóns de anos-luz (aproximadamente un ano. 2,08 · 1019 km). A luz viaxa a uns 300 000 quilómetros por segundo, Guillermo Ledo López. 1º BACH A Tetractis 37

Novembro, 2009

ARTE E XEOMETRÍA

A FOTOGRAFÍA DE CHEMA MADOZ (Madrid, 1958)

www.chemamadoz.com

Tetractis 37

Novembro, 2009

Ano IV. Boletín nº 37

Depósito legal: C 2766-2006

Novembro, 2009

TETRACTIS XA É UN BLOGUE www.tetractismonelos@blogspot.com O 30 de novembro de saltou á rede TETRACTIS, en versión blogue, para ser unha plataforma onde se poida acceder aos boletíns dunha maneira fácil e directa. Pretende ser unha ventá ás matemáticas con acceso ás páxinas de uso cotiá coma concursos (olimpíada galega de bacharelato, olimpíada de 2º ESO, canguro matemático, open…), outros boletíns na rede (mathesis, hipatia, la hoja volante, douspierre, unión…), outras páxinas de divulgación (divulgamat, chocolates…) e mesmo páxinas de asociacións de profesores (agapema, FESPM, FISEM…). As entradas do blogue teñen, polo momento, etiquetas con títulos coma: concursos, eventos, exposicións, libros, monólogos, papiroflexia… e poderase ver o boletín tetractis en formato similar ao e-book.

¡Engádeo aos favoritos do teu ordenador! IX Aniversario de AGAPEMA: Charla de José Mª Barja

ara celebrar o IX Aniversario de AGAPEMA (Asociación Galega de Profesores de Educación Matemática) puidemos asistir a unha charla, que baixo o título de "Clases de restos...santos", impartiu o Reitor da Universidade da Coruña e socio de Agapema, José Mª Barja Pérez. A charla celebrouse na aula-taller de matemáticas do IES Ramón Otero Pedrayo da Coruña.

• • • • • •

Na charla, Barja falou de calendarios, meses perversos, pontes perfectos no calendario e doutros conceptos e mostrou diversos feitos (teoremas) coma, por exemplo: Ningún ano pode ter menos de un nin máis de tres martes-13 ou venres-13. O día 13 cae, con máis frecuencia, en venres que en calquera outro día da semana. Un ano común finaliza no mesmo día da semana no que comezou. A separación dos Anos Santos Composteláns (ASC) segue o ciclo 6-5-6-11, pero isto non ocorre no ano 2094. Nun ASC so hai un venres-13 e dous se é bisesto. Se o ano que segue a un ASC é común, contén unha ponte perfecta (a ponte da constitución cae en martes e xoves); isto ocorre no ano 2011.

CROPCIRCLES Os cropcircles ou círculos das colleitas, consisten en debuxos realizaA finais dos anos 70 apareceron os primeiros en Australia. dos sobre os campos de cultivo de millo ou trigo, que ao longo dos últiEran debuxos circulares sobre as espigas de cereais, onde o pamos anos, adoitaron aparecer basicamente en países como Reino Uni- trón común era que as plantas aparecían deitadas, non aplastadas, en do, ou Estados Unidos , e cuxa peculiaridade crea un gran asombro situación espiral cara o centro da figura. Os talos das mesmas apareante os científicos e investigadores da actualidade. cían intactos e cunha maior vitalidade cas plantas fóra das figuras. ORIXES

A extrana aparición dos círculos das colleitas, fixo que se levasen a cabo multitude de teorías sobre a súa procedencia; deste xeito, podemos destacar dúas posibles teorías: • ORIXE PARANORMAL. Consiste nunha das teorías máis estendidas, atribuíndolles a causa da súa orixe a entidades extraterrestres, que teñen como obxectivo comunicarse coa humanidade, mediante eles. • ORIXE HUMANA. Esta teoría expón que as composicións son realizadas simplemente polos propietarios dos campos de cultivo, por razóns de burla ou creatividade. Sen embargo, os debuxos que adoitan aparecer durante a noite, resultarían moi complicados de realizar debido á escuridade e á falta dunha perspectiva aérea. FUNCIÓN DOS CÍRCULOS DE COLLEITA

Dende o punto de vista seudocientífico, chegouse á conclusión de que os cropcircles, estaban destinados a establecer algún tipo de comunicación do ser humano con entidades extraterrestres. Antigamente, xa se coñecía a existencia dunha serie de representacións xeoglíficas sobre grandes extensións de terreo, nas cales unhas prolongadas liñas descritas sobre o relevo, parecían establecer certas ‘pistas de aterraxe’ para entidades superiores, procedentes do ceo. É o caso dos antigos do deserto de Nazca, en Perú. TIPOS: 1. CIRCUNFERENCIAS E PICTOGRAMAS.

A forma particular destas representacións é a das circunferencias, de aí o seu nome. A maior parte dos exemplares atopados, constitúen circunferencias de grande amplitude, cuns diámetros considerablemente extensos. Ditas figuras aparecen reordenadas de xeito que se obteñen moitas das relacións matemáticas coñecidas. A presenza do nº pi, é un claro exemplo diso. Ademais, mensaxes en código binario e representacións do calendaTetractis 38

rio Maia, son outros exemplos de contidos que podemos atopar nas circunferencias. Doutra banda, aínda que menos frecuente, son os achados de enormes pictogramas, debuxados sobre o terreo chá. Algún exemplo é o círculo de colleita máis antigo rexistrado, coñecido como ‘o demo de segar’ , que consiste nun gravado do século XVII, e o famoso pictograma de Winchester. 2. A MENSAXE DE ARECIBO.

O sinal de Arecibo, foi o primeiro intento intencionado de enviar unha mensaxe en forma de ondas de radio que unha civilización alieníxena podería detectar. O sinal foi transmitido o 16 de Novembro de 1974 desde o radio telescopio de Arecibo en Porto Rico cara o cúmulo globular M13. O sinal que se enviou estaba codificado en código binario, que é o sistema máis simple de transmitir información. Una vez reconstruído esta mensaxe, que se basea na orde de filas e columnas segundo os números primos (23 x 73) pódese apreciar a definición da imaxe resultante. O esquema presenta información sobre o planeta Terra : o home, a situación da Terra no sistema Solar, a cadea do ADN , o nº atómico dos elementos predominantes no planeta... O 19 de Agosto de 2001, apareceu a imaxe da mensaxe de Arecibo reproducida sobre un campo de trigo atopado preto do observatorio de Chilboton, en Hampshire, a cal é unha das manifestacións dos pictogramas máis impresionantes dos últimos tempos. A imaxe de Chilbolton reproduce, con asombrosa fidelidade, a matriz cuadriculada en números primos de 73 x 23 carácteres de Arecibo, con algunhas variantes. Decembro, 2009

forman un triángulo equilátero. Se un círculo é trazado a través do centro dos tres círculos, a razón entre e o diámetro de este círculo e o diámetro de cada círculo menor orixinal, é diatónica: 4/3.

3. O NÚMERO Π , NOS CÍRCULOS DE CULTIVO.

Un dos achados máis impresionantes e máis recentes, foi a aparición en Wiltshire, Inglaterra, dun exemplar de cropcircle, que, sorprendentemente codifica os díxitos do número pi . Este exemplar, atopado en xuño do 2008, presenta a seguinte forma : 4.

II) Para un triángulo equilátero, a razón entre as áreas do círculo circunscrito (externo) e inscrito (interno) é de 4:1, que tamén pode considerarse parte da escala diatónica. A área do anel entre os círculos é tres veces a do círculo inscrito.

OS MAIAS E OS CROPCIRCLES

No 2004, manifestouse de novo en Inglaterra un novo agrograma. A composición, bastante complexa e chea de simbolismo, presenta aparentemente unha representación do calendario Maia. Nela inclúense certos símbolos que fan referencia ao final de dito calendario, no ano 2012, e motivos como a dobre espiral cadrada e o símbolo do xaguar na cultura Maia, que suxiren unha suposta entrada ao inframundo. En conxunto podería tratarse dun reloxo, no cal os días confiren nun punto final, ou tempo cero. Outros exemplares que remiten do mesmo xeito á influencia Maia, coinciden na representación dun punto central no cal o número cero aparece como protagonista do círculo, escrito en caligrafía Maia. Un corte de dúas rectas que pasan polo centro a modo de cruz, sinalan as catro direccións do universo, e na distribución da periferia do cropcircle, atopamos números de moita influencia para a súa cultura , que son por exemplo, o 52, o 20 ou o 16 (posto que os Maias contemplaban os ciclos da Terra de 4 en 4). 5.

TEOREMAS IDENTIFICADOS CROPCIRCLES

III) Para un cadrado, a razón de áreas dos círculos circunscrito e inscrito é de 2:1, diatónica. IV) Para un hexágono regular, a razón entre as áreas dos círculos circunscrito e inscrito é tamén diatónica (4/3). V) Os teoremas I a IV son casos especiais de un teorema xeral que involucra triángulos e varios círculos concéntricos que tocan os seus lados e vértices. Triángulos diferentes xeran teoremas diferentes. O que os catro primeiros teoremas demostran é xustamente que determinadas construcións simples que involucran triángulos equiláteros, cadrados e hexágonos , inevitablemente deben conter razóns diatónicas. Iván García Vázquez

(1º Bach A)

NOS

Ademais das relacións atopadas en torno ó coñecido número pi, e os pictogramas dedicados á representación de distintos códigos e calendarios, nos cropcircles vense reflectidos moitos dos teoremas coñecidos pola sociedade actual, que son os que lles permiten a súa construción . Catro dos teoremas identificados son teoremas euclidianos. O quinto – un teorema xeral do cal se poden derivar os catro primeiros– foi deducido por Hawkins, sendo descoñecido ata entón: I) Sexan tres círculos iguais que comparten unha tanxente común e Tetractis 38

Decembro, 2009

A HABITACIÓN DE FERMAT Os guionistas e directores desta película: Luis Piedrahita (A Coruña, 1977) e Rodrigo Sopeña conseguen un thriller asfixiante e claustrofóbico a partires dunha colección de acertixos clásicos de lóxica matemática baixo a sombra da demostración da conxetura de Golbach.

dente. ¿Cántos caramelos debemos extraer de cada caixa para colocar correctamente as etiquetas?

habitación de Fermat conta a historia de catro matemáticos que, tras conseguir descifrar un acertixo, reciben unha carta do seu anfitrión (Fermat) que os invita a quedar en persoa, co pretexto de cear e de discutir sobre o maior enigma do mundo, para así poder resolver diversos enigmas complexos nun lugar afastado: unha especie de cobertizo en malas condicións que alberga no seu interior a referida habitación de Fermat, o seu anfitrión. O único requisito é que non deben contarlle a ninguén que van a ir para alá e teñen que ir cun nome falso (Evariste Galois, Elena Sabuko (¿?), Blaise Pascal e Hilbert).

ACERTIXO 3:

No interior da habitación hai unha lámpada. Fora hai tres interruptores, e só un deles acende a lámpada. Nos estamos fora e só podemos entrar una vez na habitación. ¿Cómo achar o interruptor que acende a lámpada? ACERTIXO 4:

¿Cómo medir exactamente 9 minutos con dous reloxos de arena de 4 e 7 minutos? ACERTIXO 5:

Despois da cea, comezan as sorpresas, pois quédanse encerrados nunha habitación cunha PDA (ordenador de man que ten un sistema de recoñecemento de escritura), á cal empezan a chegar enigmas. Estes, deberán ser resoltos nun período de tempo curto; o problema é cando estes matemáticos descobren que se non resolven os acertixos, a situación empeorará ata ó extremo de que morrerán aplastados irremediablemente polas catro paredes minguantes da habitación. Poderíase dicir que isto é un xogo diabólico, onde as vidas destes matemáticos corren un grave perigo. En resumo, poderíase dicir que esta película é una boa mostra de cómo as matemáticas son entretidas e a súa aplicación no cine. A continuación, os seguintes acertixos son os que tiveron que resolver os nosos protagonistas na película:

ACERTIXO 6:

Dúas portas, dous gardiáns (un que sempre minte, e outro que sempre di a verdade), unha porta leva á saída do labirinto e á outra só te mantén no labirinto. Só é lícito facer unha pregunta a un só gardián. As dúas portas se perciben iguais, os dous gardiáns tamén. Que pregunta farías? ACERTIXO 7:

Unha nai é 21 anos maior co seu fillo. O cabo de 6 anos, o fillo será cinco veces menor ca súa nai , que está facendo o pai?

ACERTIXO 1:

Que patrón segue a seguinte secuencia numérica: 5–4–2–9–8–6–7–3–1?

ACERTIXO 2:

Tres caixas opacas de caramelos aparecen etiquetadas en tres tipos: anís, menta e mestura de ambas clases. Ningún destes rótulos está colocado na caixa corresponTetractis 38

Un alumno lle pregunta o mestre: ¿Qué idade teñen as túas fillas? E o mestre dille: “ Se multiplicas as súas idades o resultado e 36 e se as sumas dá o número da túa casa”; o alumno indícalle: ¡fáltame un dato!. E o mestre contesta “si, a filla máis vella toca o piano” ¿Cales son as idades das fillas?

Intenta resolver estes enigmas ou podes ver a película, seguro que che gusta. Laura Pardo Varela, 1º Bach. D

Decembro, 2009

Ano IV. Boletín nº 39

Depósito legal: C 2766-2006

COMEZA O

XXII OPEN MATEMÁTICO

UN OLÍMPICO EN MONELOS Diego Abalde Herrero, membro do equipo olímpico matemático galego.

TORNEO ABERTO DE RESOLUTORES DE PROBLEMAS Acaba de presentarse a nova edición de Open Matemático (Torneo aberto de resolutores de problemas) que este ano estará dedicado ao Camiño de Santiago e que comezou o 11 de xaneiro de 2010. O torneo desenvólvese ao longo de 7 semanas e en cada unha destas propóñense de 2 a 4 catro problemas. Na páxina 4 pódense ver os problemas da 1ª e 2ª xornada. As bases pódense ler no blogue de Tetractis.

alumno de 2º de bacharelato do IES Monelos, Diego Abalde Herrero, formará parte do equipo que representará a Galicia na Fase Nacional da XLVI Olimpíada Matemática Española, que se celebrará en Valladolid do 25 ao 28 de marzo de 2010.

Xaneiro, 2010

ALTA PARTICIPACIÓN DO IES MONELOS

erminado o período de inscripción para o Canguro Matemático 2010, o IES Monelos (A Coruña) supera a barreira do 100 e serán 101 os alumnos e alumnas que participarán, o martes 23 de marzo de 2010, na XVII edición do Canguro Matemático. Este número supón case o 25% do alumnado do instituto e ten máis valor se temos en conta que os alumnos pagan unha cuota de 3€ pola súa participación. Este ano o concurso presenta unha novidade que é o XOGO DO CANGURO, un xogo on-line para ir entrenando:

Diego Abalde acadou un 3º premio na Fase Galega, que se celebrou, na Facultade de Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela, o venres 15 de xaneiro de 2010.

III Certame de Mat-monólogos

Máis información: www.canguromat.org.es

Apoia o cambio de nome do Xa está en marcha o III cer- instituto IES Cruceiro Baleatame de mat-monólogos que res (antiga Universidade Labose celebrará o 11 de maio de ral) de Culleredo polo nome de 2010. IES Os guións poderanse presenMaría Wonenburger tar ata o 15 de abril.

TETRACTIS NA

REDE:

www.tetractismonelos@blogspot.com

AS ORIXES DO SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Ante a disparidade de unidades de medida utilizadas nos diferentes países, a finais do século XVIII, a Academia de Ciencias de Paris organizou diferentes expedicións (ata catro) para medir o meridiano terrestre (un deles foi o arco entre Dunkerque e Barcelona) e definir o metro como a dezmillónesima parte do cuadrante do meridiano terrestre. Napoleón promulgou a lei que establecia o Sistema Métrico Decimal a finais de 1799. España implantouno en 1848.

ara comezar a falar de cómo se deu orixe aos números decimais temos que remontarnos ata o ano 1733; neste ano a Academia de Ciencias de París propuxo dúas expedicións para aclarar a diversidade de opinións que existía sobre a forma da Terra. Nas expedicións o que se trataba era de medir a lonxitude do arco meridiano terrestre correspondente a un grao na zona de Laponia e na zona do Ecuador. A comparación das lonxitudes que se obtiveran permitirían coñecer mellor as características da forma terrestre e resolver así a controversia descrita. A primeira expedición foi a Laponia, levada a cabo por dous grandes matemáticos: Alexis Clairaut e Pierre L. De Maupertuis. A expedición durou un ano, no que foi medido soamente 1º (máis ou menos 111km ).

tra Inglaterra, dúas erupcións volcánicas e sobre todo unha mala relación entre os científicos franceses. Finalmente a expedición rematou en 1944 e mediu 3º de meridiano. Grazas a estas expedicións confirmouse a exactitude da teses newtoniana, segundo a cal a Terra está achatada polos polos. Da mesma forma, en base aos datos obtidos en ditas expedicións, case cincuenta anos despois, foi posible definir un metro provisional, mentres se levaba a cabo a medición do arco do meridiano de París entre Dunkerque e Barcelona que permitiu establecer o metro definitivo coma a dezmillonésima parte do cuadrante de meridiano terrestre.

A segunda expedición (ao Ecuador) foi realizada por Louis Godin, Pierre Bouguer e Charles Marie de la Condamine. Debido a que Perú era daquela un territorio pertencente á coroa española, o rei de Francia tivo que pedirlle permiso a Felipe V para acceder ao territorio do virreinato de Perú. Éste concedeulles o permiso coa condición de que dous científicos españois os acompañaran na expedición. Os elixidos foron Jorge Juan y Santacilia e Antonio de Ulloa, que ao iniciarse dita exTERCEIRA EXPEDICIÓN

Jorge Juan y Santacilia

Antonio de Ulloa

pedición contaban con 19 e 20 anos respectivamente. A expedición saíu de Cádiz o 26 de maio de 1735 e tras oito anos que durou xurdiron abundantes complicacións. Para comezar o terreo era montañoso e estaba situado a máis de 4000 m de altitude. Ademais disto producíronse varios incidentes, nun dos cales o ciruxán Seriergues foi asasinado polo vecindario de Cuenca no 1739. A isto súmaselle unha epidemia, unha guerra conTetractis 39

En relación a isto existe tamén o método de triangulación, co que se podía calcular a lonxitude dun arco de meridiano, sempre que sobre el puidera establecerse unha cadea de triángulo. Era imposible realizar esta operación ao longo de todo o cuadrante entre o Polo Norte e o ecuador por iso dous grandes científicos levaron a cabo as medidas noutra expedición: Pierre André Méchain e Jean Baptiste Joseph Delambre. Foron acompañados polos seus axudantes, Tranchot e Bellet. Saíron de París o 25 de xuño de 1792 e dirixíronse a territorio español. Cando xa estaban na península incorporáronse a eles os españois Bueno, González, Planas e Álvarez. Durante outubro de 1792 recorreron as montañas poñendo señais visuais para medir ángulos e, noite tras noite, cando o tempo e a visibilidade o permitían, realizaban as súas operacións xeodésicas. A finais do mesmo mes estaban en Barcelona onde traballaban dende o castelo Montjuic. Xaneiro, 2010

Méchain sufriu un accidente que o mantivo inactivo durante ano e medio e en 1793 trala execución de Luis XVI declarouse a guerra entre España e Francia; isto dificultaba as operacións, aínda que os traballos seguían. O 22 de xuño de 1799 deposítanse nos “Archives de République” en París dous patróns de platino que representaban o metro e o quilogramo. Correspondían respectivamente á dezmillonésima parte do cuadrante do meridiano terrestre e á masa dun decímetro cúbico de auga. O día 10 de decembro, Napoleón promulgou a lei que estableceu o novo sistema de unidades de medida, coa frase:

“Para todos os pobos e para todos os tempos”. CUARTA EXPEDICIÓN

TRIANGULACIÓNS NA

A exactitude da medida do meridiano será tanto mellor canto maior sexa o arco que se mida e canto máis centrado estea o cuadrante. Debido a isto, o 31 de agosto de 1802 decidiuse realizar unha nova expedición co propósito de alargar a medición do meridiano ata a illa de Formentera e poder dispoñer así das lonxitudes de dous arcos similares a cada lado do meridiano 45º. Pierre Méchain foi moi persistente coa súa idea de participar na nova expedición. Algúns historiadores atribúen esta insistencia á posibilidade que se lle ofrecía de facer novas averiguacións sobre o que lle preocupaba.

amigo, o barón da Pobla Tornesa. Os seus papeis foron levados a París e os seus instrumentos de precisión foron recollidos por Antoni Martí Franqués na súa casa de Tarragona. De todo isto sacamos unha conclusión evidente, e é que o mundo vai progresando grazas a científicos coma estes que fixeron posible a definición do Sistema Métrico Decimal. O resultado dos seus traballos permitiu que outros científicos chegaran aínda máis lonxe nesta interminable carreira na que se basea o progreso tanto científico coma social. Estes científicos posteriores averiguaron que a lonxitude total dun meridiano terrestre é de 40 000 000 m e corresponde a un CUARTA EXPEDICIÓN ángulo central de 360º = 1296000”. Dividindo ambas cantidades obterase que 1” de latitude corresponde a 30,86 metros. Desta forma 3” corresponderán a 92,59 metros, é dicir, case 93 metros. Crese que se produxo un erro, aínda que non se sabe con exactitude. De todas formas este erro non tivo ningún efecto sobre a definición de metro, xa que para iso foron usadas as medicións tomadas ao principio dende Montjuic que eran, por sorte, correctas.

Esta nova expedición (a cuarta xa) saíu de Madrid o 26 de abril de 1803. Ademais de Méchain tamén participaron nela Le Chevalier e Dezauchez. O fraile trinitaMETRO-PATRÓN DE PLATINO NA OFICINA rio Agustí Canellas incorporouse MEDIDADS DE PARÍS como comisario español. Para favorecer os progresos o goberno español pon á súa disposición un pequeno bergantín chamado “La Proba” para facer os traslados entre a península e as illas.

DE PESAS E

Hai que resaltar un dos méritos desta expedición, que foi que estendeu as triangulacións dende a península ata Ibiza, Formentera e Mallorca. Uníronse por triángulos os seguintes puntos de observación: O Deserto das Palmas O Montgó, cerca de Denia Campveí en Ibiza Mola de Formentera A Mola de l´Esclop en Mallorca.

Entre os anos 1803 e 1804 recorreron todo o Levante e as illas Baleares establecendo novas triangulacións. Cando Méchain estaba facendo observacións dende o Deserto das Palmas (cerca de Castellón) manifestáronselle síntomas de febre amarela e foi trasladado a Castellón. Oito días despois, Méchain morría na casa dun Tetractis 39

Ao longo do século XIX moitos estados implantaron oficialmente o novo Sistema Métrico Decimal. En España, implantouse legalmente por Real Orden de 15 de abril de 1848. MARTA SOBRINO GOSENJE 1º BACH. A

Xaneiro, 2010

CAIXÓN

Olimpiada matemática

1ª xornada do XXII Open Matemático PROBLEMA 1: O CÓDIGO SEGREDO Un espía ten que facer chegar un código segredo de catro díxitos, ABCD, aos seus superiores. Por razóns de seguridade envíalles por separado os nove códigos de catro díxitos que se mostran á dereita. Sábese que en cada un destes nove códigos, polo menos un dos díxitos A, B, C ou D está no código segredo na posición correcta. Podes, ti, descifrar o código?

DOS PROBLEMAS

Canguro matemático

2ª xornada do XXII Open Matemático XORNADA

2186 4351 4521 5127 5916 6384 6924 8253 8517

TEMÁTICA:

COMPLETAR

OPERACIÓNS

Reconstrúe cad unha das seguintes operacións ubicando debidamente as pezas que ves á dereita: PROBLEMA 5:

PROBLEMA 2: CUBICANDO UN HEXÁGONO Debuxando só tres liñas, como transformarías o hexágono regular nun cubo?

Cuestión C.

PROBLEMA 6:

Agora, outra multiplicación, e démoste algunhas pistas: xa hai colocados dous números: 3 e 7.

PROBLEMA 3: DOBRE REPARTO EQUITATIVO Teño 8 sobres que conteñen 10 € cada un, outros 8 sobres que conteñen 30 € cada un e 8 sobres que conteñen 50 € cada un. Como se poden distribuír estes 24 sobres entre tres persoas para que todas teñan igual cantidade de sobres e igual cantidade de diñeiro, sen abrir ningún sobre? PROBLEMA 4: ANO XACOBEO E BISESTO Este 2010 é un Ano Xacobeo. Miles de peregrinos de todo o mundo acoden a Santiago de Compostela para obter o xubileo. Un ano é Xacobeo cando o 25 de xullo – o día do apóstolo Santiago- cae en domingo. E este 2010 non é bisesto. Un ano é bisesto cando o mes de febreiro leva 29 días. Queremos saber se pode, ou non, haber anos en que conflúan estas dúas características: ser xacobeo e ser bisesto. E en caso afirmativo, cando será o vindeiro ano no que iso ocorra.

Cuestión D:

E para terminar unha división.

Colectivo Frontera

Tetractis 39

Xaneiro, 2010

Ano IV. Boletín nº 40

Depósito legal: C 2766-2006

Febreiro, 2010

ciclo de secundaria. O Boletín de divulgación matemá• Alumnado de segundo ciclo de tica TETRACTIS convocan o secundaria e bacharelato. III CERTAME DE MAT-MONÓLOGOS • Persoas, en xeral, cun mínimo de Os participantes presentarán un 18 anos e sen límite de idade. guión cunha extensión máxima de mil • Alumnado do IES Monelos. palabras en lingua galega ou castelá. O tema deberá estar relacionado O prazo de entrega dos relatos coas matemáticas. Deberán presen- remata o 15 de abril de 2010. O tarse en formato DINA4, por unha xurado comunicará a selección dos cara, a dobre espazo, con corpo de guións aos autores antes do 30 de letra de 12 puntos e encabezados abril de abril de 2010. A defensa polo título. farase, ben polo/a autor/a ben por un/ha alumno/a do IES Monelos, nun Estabelécense catro categorías acto que se celebrará o martes, día nas que o xurado designará un/unha 11 de maio de 2010. gañador/a por categoría: Máis información no • Alumnado de primaria e primeiro www.tetractismonelos.blogspot.com E no blogue: www.tetractismonelos.blogspot.com III Concurso de experiencias escolares. I Concurso de microrrelatos irracionais. III Seminario EsTalMat (Valencia). Entrevista a Isabel Fernández.

Primeira española que será ponente no ICM (Congreso Internacio-

nal de Matemáticas) sobre a xeometría das pompas de xabrón. Cartel de matemáticos galegos Cine e matemáticas: artigo de José Manuel Ramos González. Monólogo: “ Romance da derivada n-esima e o arcotanxente”. San Valentín matemático. Marcos de Sautoy. Monólogos finalistas no I e II C. de Matmonólogos.

IV Feira Matemática 2010

XXII OPEN MATEMÁTICO 7ª xornada e Final do XX Open Matemático 2010 na zona da Coruña coa participación dos centros:

Xa está en marcha a organización da IV Feira Matemática que se celebrará o día 15 de maio de 2010, no Pazo da Ópera da Coruña, para celebrar o Día Escolar das Matemáticas, baixo o lema:

IES Elviña IES Monelos IES Mugardos Alumnos EsTalMat

Prensa e matemáTICas

O vindeiro venres, día 5 de marzo de 2010, na Biblioteca do IES Monelos (A Coruña)

TETRACTIS NA

¡Participa co teu centro! REDE:

www.tetractismonelos.blogspot.com

A pesar de parecer complicadas e innovadoras, as anamorfose, tamén denominada anamorfismo, po- anamorfoses apareceron no arte xa hai moitos séculos. deríase definir como a modificación reversible de for- Exemplos históricos e famosos de anamorfose son: mas dentro dunha imaxe mediante un procedemento óp- • Este sinxelo debuxo de un neno é un dos primeiros exemplos de anamorfose coñecidos que se aprecia se tico ou mesmo matemático. se mira desde o lado dereito. Pintouno, no ano 1485, O procedemento matemático ao que me refiro pódeLeonardo da Vinci. se escenificar a través da representación dunha circunferencia nun plano cartesiano (a) (división en varios cadrados, é dicir, como as follas dos cadernos cuadriculadas). Ao sufrir a anamorfose observamos como o círculo queda aplastado (b). Ao mesmo tempo, na cuadrícula, os cadrados que se observan no eixo y reducíronse drasticamente, mentres que os do eixo x ampliáronse. • O discípulo de Albert Durero, Edward Schon, tamén Para aclaralo aínda máis tomaremos o seguinte foi no século XVI afeccionado á creación das anamorexemplo de anamorfose: o dun cadrado nun rectángulo foses. (c). • Outro coñecido exemplo é o cadro “The Embassa-

dors”, pintado en 1533 por Hans Holbein o Xove. No cadro están dous homes e aparece a anamorfose dunha caveira, exemplificando á vaidade. A figura só se pode recoñecer cunha vista rasante ou a través do reflexo da superficie dun culler.

Un exemplo de procedemento matemático de anamorfose pode ser a proxección estereográfica, un plano resultado de aplastar por completo unha esfera, e onde a idea é proxectar cada punto da esfera sobre o plano. A fórmula é a seguinte: S2 = [x2 + y2 + z2 ] = 1 Este tipo de anamorfose que se pode observar a través da variación do noso ángulo de vista ou mesmo de dobrar o papel dunha determinada maneira, non son as únicas. Bernhar Riemann (1826-1866) dedicouse aos espazos curvos. Isto é, dedicouse á anamorfose que se pode ver a través do reflexo da imaxe nun espello curvo. Para crear este tipo de anamorfose non se pode estirar ou contraer o plano, senón que se debe recorrer ás fórmulas de Bernhard Riemann. Esta figura amosa como se debe de cambiar da perspectiva curva e retorcida a unha normal, xa que non debemos olvidar que as elipses, hipérboles, parábolas e circunferencias teñen a mesma orixe.

A anamorfose, aínda que non o pareza, forman parte da nosa vida diaria, e nos, nin nos decatamos. ¿Quen diría que as vallas publicitarias dos partidos de fútbol ou baloncesto son debuxos que hai no chan? Ou máis ben, anamorfose. Para a publicidade que atopamos nos campos deportivos, este sistemas, ademais de eficaz, é moi económico aínda que pode haber erros. Este exemplo é unha imaxe tomada da televisión na que se pode apreciar como, durante un partido de baloncesto da ACB, o árbitro sitúase enriba da imaxe, facendo evidente que o anuncio da páxina web da propia liga non é máis que un debuxo. Tamén hai outro tipo de anamorfismos na nosa sociedade dos que non somos conscientes. ¿Alguén reparou algunha vez en que nas botellas de viño, o debuxo debería estar deformado? Pois ben, para confirmar iso, utilizaremos o

Tetractis 40

Febreiro, 2010

británico que se dedica a debuxar con xiz. Os seus debuxos desafían á lei da perspectiva, debido a que utiliza este tipo de ilusión óptica. Desde o ano 2004 circula en Internet un correo repleto das súas obras e que aumentaron a súa popularidade. Estas son unha pequena parte das súas obras (xa que non se dedica enteiramente aos anamorfismos senón tamén a outros tipos de arte e ao marketing):

exemplo usado na botella de viño New Age, de Valentin Bianche. Nunha das imaxes, obsérvase o desproporcionado rostro dunha muller cando a botella está valeira; en cambio, cando a botella está chea esa deformación desaparece, e da lugar a unha muller de perfectas proporciones grazas ao efecto de lente, consecuencia do líquido. Tamén no cine se utilizou esta técnica, abandonada tras os avances da tecnoloxía. Hoxendía, a anamorfose tamén forman parte da “arte na rúa”, e senón que llo digan a Julian Beever, artista

Paloma Tarrío Alves 1º Bach. A

Tetractis 40

Febreiro, 2010

CAIXÓN 5ª xornada do XXII Open Matemático PROBLEMA 12:

TRISECCIÓN

Canguro matemático

Olimpiada matemática

Pero a desgraza fixo que Yago e o seu fillo morreran nun brutal e inesperado accidente de tráfico. Non obstante, o testamentaeiro familiar aseguraba que era posible repartir o terreo seguindo a vontade de Yago, isto é en partes iguais, en tamaño e forma, entre os seus fillos. Indica como.

6ª xornada do XXII Open Matemático CRUZANDO RÍOS Problema 15.

CLÁSICA

Yago sempre pensou en deixar aos seus catro fillo, cando faltara, este curioso solar que adquiriu xa hai algúns anos. Curioso porque permitía dividilo en partes iguais, do mesmo tamaño e de igual forma, para cada fillo como mostra a figura:

PROBLEMA 13: PUZZLE

DOS PROBLEMAS

Cuestión A. Coma bo peregrino estuda as etapas e elixe o itinerario axeitado. Debuxa con total precisión o camiño máis curto para ir do punto A ao punto B, tendo en conta que, mentres non se indique no contrario, estás obrigado a cruzar o río en dirección perpendicular ás súas beiras.

Cuestión B. Agora, o mesmo no caso de que atopes dous ríos cuxos leitos transcorren paralelamente.

DE MÁXIMA DIFICULTADE.

A caixa deste puzzle de 850 pezas contén en realidade 851 pezas. E cada peza é dalgún destes cinco tipos:

Cuestión C. Traza con sumo detalle o camiño máis curto para ir do punto A ao punto B no que atoparás dous ríos, neste caso, non paralelos e recorda que, mentres non se indique outra cousa, tes que cruzar os ríos perpendicularmente.

Cantas pezas do tipo E hai na caixa? PROBLEMA 14: MILIARIOS

DE DESEÑO PARA O CAMIÑO.

Os irmáns Estecha, artesáns turolenses de Valderrobres, traballan con esmerada e exquisita técnica a pedra artificial. Entre os seus encargos destacan os novos miliarios cilíndricos do Camiño de Santiago. Cunhas dimensións de 160cm de alto por 30cm de ancho resultan moi pesados e están planeándose facelos na forma de prisma hexagonal regular mantendo as súas dimensións. Así, en que porcentaxe reducirán o seu peso?

Cuestión D. Agora, o mesmo, no caso de que atopes dous ríos non paralelos pero estando obrigado a cruzar o segundo na dirección que indica a frecha.

Colectivo Frontera Tetractis 40

Febreiro, 2010