4.6 De hefboomwet

Een torenhijskraan is lang en smal. Met de hijsarm worden zware lasten verplaatst. Daarbij komen grote krachten op de kraan te staan. Hoe voorkom je dat een hijskraan omvalt? En waarom hangt er een blok beton aan?

Figuur 4.47

Hijskraan

Als aan de hijskabel van een torenhijskraan een grote massa wordt gehangen, zorgt de zwaartekracht voor een moment. Is dat moment te groot, dan kan de hijskraan omvallen. Om dit te voorkomen hangt tegenover de hijsarm een blok beton. De zwaartekracht op het betonblok zorgt voor een moment in de tegenovergestelde draairichting. Figuur 4.48 Als de hijskabel langs de hijsarm wordt verplaatst, verandert het moment. Een torenkraan moet dan ook met grote voorzichtigheid worden bediend om in evenwicht te blijven. Dit gaat niet altijd goed: zie figuur 4.48.

Hefbomen

Bij de hijskraan zijn er twee krachtmomenten. Door het ene moment kan de hijskraan voorover vallen, door het andere moment achterover. Als deze twee momenten even groot zijn, is er evenwicht. In een formule schrijf je dan:

M1 = M2

▪ M1 is het moment linksom in N m. ▪ M2 is het moment rechtsom in N m.

De formule M1 = M2 is de hefboomwet. Omdat er twee momenten zijn, zijn er ook twee krachten. Voor een moment geldt M = F ∙ r. Je kunt de hefboomwet daarom ook schrijven als:

F1 ∙ r1 = F2 ∙ r2

▪ F1 is de eerste kracht in N. ▪ r1 is de arm van F1 in m. ▪ F2 is de tweede kracht in N. ▪ r2 is de arm van F2 in m.

Uit de hefboomwet volgt dat je met een kleine kracht op de ene arm een grote kracht kunt uitoefenen op de andere arm. Als je een kleine kracht uitoefent op een grote arm, lever je namelijk een groot moment. Dit mechanisme heet een hefboom. Een schaar, een kruiwagen, een breekijzer en een deur maken allemaal gebruik van een hefboom.

Voorbeeld 10 Hefboomwet

In fi guur 4.49 zitten Albert en Bianca op een wip. De massa van Albert is 47 kg en van Bianca 38 kg. Bianca zit op 1,64 m vanaf de as van de wip. De as is het draaipunt en bevindt zich in het midden van de plank. De plank van de wip is in evenwicht. Het moment van de zwaartekracht op Albert wil de plank linksom laten draaien, terwijl het moment van de zwaartekracht op Bianca de plank de rechtsom wil laten draaien. a Bereken de arm van de zwaartekracht die op Albert wordt uitgeoefend. Als de plank horizontaal staat, buigt Bianca naar voren. b Leg uit dat Albert dan naar de grond zakt.

Figuur 4.49

Uitwerking a De arm van Bianca geef je aan met rB. Voor Albert gebruik je rA. De hefboomwet in deze situatie luidt dan:

Fzw,A ∙ rA = Fzw,B ∙ rB

Fzw,A = 47 × 9,81 = 461,0 N en Fzw,B = 38 × 9,81 = 372,7 N 461,0 ∙ rA = 372,7 × 1,64 rA = 1,325 m

Afgerond: 1,3 m. b Als Bianca naar voren buigt, verschuift haar zwaartepunt in de richting van het draaipunt. De arm van de zwaartekracht op Bianca wordt daardoor kleiner en het bijbehorende moment ook. Het moment van Albert is dan groter dan het moment van Bianca. Het moment van Albert zorgt voor een draaiing linksom. Albert zakt dan naar de grond.

In het voorbeeld is de lengte van rB gegeven. Is dat niet het geval, dan kun je gebruikmaken van de tekening op schaal. In werkelijkheid zijn de armen een schaalfactor groter dan in de tekening. Maar omdat je in de hefboomwet links en rechts met dezelfde factor vermenigvuldigt, maakt dit voor de berekening niet uit. Je mag in een foto of tekening op schaal dus de arm meten zonder de schaal te kennen.

Voorbeeld 11 Hefboomwet

In figuur 4.50 zie je een snoeischaar om takken door te knippen. Het draaipunt van de schaar is punt D. Je knijpt in de schaar, waardoor je met je hand in punt H een kracht uitoefent. De werklijn van deze kracht is aangegeven in figuur 4.50.

H

A

B D werklijn

Figuur 4.50

a Wanneer knip je een tak gemakkelijker door, als hij zich bevindt bij punt A of bij punt B? Licht je antwoord toe. In de bek van de snoeischaar zit een tak bij B. Om deze tak door te knippen, is meer dan 1,5 kN nodig. b Bepaal de kracht die je bij H moet uitoefenen om de tak door te knippen.

Uitwerking a Als het moment bij H groter is dan het moment bij de tak, knip je de tak door.

Punt B ligt dichter bij het draaipunt D en heeft dus een kleinere arm dan punt

A. Een kleinere arm betekent een grotere kracht. Hetzelfde moment bij H levert bij B dus een grotere kracht dan bij A. Je knipt een tak gemakkelijker door als deze zich bevindt bij punt B. b De hefboomwet in deze situatie luidt:

FB ∙ rB = FH ∙ rH

Als de bek kracht uitoefent op een tak bij punt B, is de werklijn van die kracht loodrecht naar beneden. Opmeten in figuur 4.44 levert rB = 1,0 cm en rH = 5,0 cm.

Hieruit volgt: 1,5 × 1,0 = FH × 5,0

FH = 0,30 kN

Als kracht FH groter is dan 0,30 kN, knipt de snoeischaar de tak door.

Eerste wet van Newton bij momenten in evenwicht

Als een voorwerp in rust is, gelden twee wetten: ▪ de eerste wet van Newton: de resulterende kracht is 0 N. ▪ de momentenwet: moment linksom is gelijk aan moment rechtsom.

Als in figuur 4.49 Albert op 1,5 m zit, is de plank van de wip in rust. De twee krachten Fzw,A en Fzw,B zijn beide naar beneden gericht. Volgens de eerste wet van Newton is de resulterende kracht op de plank gelijk aan 0 N. Dit is alleen mogelijk als er nog meer krachten op de plank werken. De plank heeft een massa. Daardoor werkt op de plank de zwaartekracht Fzw,plank. In figuur 4.51 zijn deze krachten op schaal getekend.

Figuur 4.51

Voorbeeld 12 Eerste wet van Newton en de hefboomwet

In figuur 4.51 zie je drie pijlen voor een zwaartekracht. De zwaartekracht op Albert is 461 N en die op Bianca 373 N. De zwaartekracht op de plank zelf is 187 N. Het moment van de zwaartekracht op Albert ten opzichte van het draaipunt is gelijk aan dat op Bianca. De wip is in rust. a Leg uit dat je bij het toepassen van de hefboomwet op de plank ten opzichte van het draaipunt geen rekening hoeft te houden met het moment van Fzw,plank. Op de plank werkt nog een vierde kracht. Het moment van deze kracht ten opzichte van het draaipunt is 0 N m. b Beschrijf dit moment door de volgende opdrachten uit te voeren: – Leg uit waarom er een vierde kracht moet zijn. – Noem de richting van de vierde kracht. – Bereken de grootte van de vierde kracht. – Leg uit waardoor het moment van de vierde kracht ten opzichte van het draaipunt 0 N m is.

Uitwerking a Het aangrijpingspunt van Fzw,plank valt samen met het draaipunt. Daardoor is de arm van Fzw,plank 0 m. Het moment is dus 0 N m. b – De plank is in rust. Volgens de eerste wet van Newton is de resulterende kracht op de plank dan 0 N. De richting van de drie zwaartekrachten is omlaag. Dus is er nog een vierde kracht nodig. – De richting is tegengesteld aan die van de zwaartekracht. – De grootte is gelijk aan de som van de zwaartekrachten: Fvierde = 461 + 373 + 187 = 1021 N – Het aangrijpingspunt valt samen met het draaipunt. Daardoor is de arm van de vierde kracht 0 m en dus is het moment van deze vierde kracht ook 0 N m.

Opgaven

31 In figuur 4.52 zie je nogmaals de ophaalbrug uit opgave 28. Het brugdek hangt stil, het touw houdt het brugdek op zijn plaats. Er werken twee momenten op het brugdek. De spankracht zorgt voor het ene moment en de zwaartekracht zorgt voor het andere moment. a Geef van ieder moment de draairichting. b Leg uit wat je weet over de grootte Figuur 4.52 van de twee momenten. c Is de zwaartekracht groter dan, kleiner dan of even groot als de spankracht? Leg je antwoord uit.

Omdat de resulterende kracht op het brugdek 0 N moet zijn, werkt er nog een derde kracht. d Waar bevindt zich het aangrijpingspunt van deze derde kracht?

32 In figuur 4.53 houdt Carola een bank in de getekende stand. Haar kracht op de bank werkt verticaal naar boven. De zwaartekracht op de bank is al getekend. De figuur is op schaal. a Teken de verticale kracht die Carola in punt A op de bank uitoefent in verhouding tot de zwaartekracht.

Carola verplaatst haar handen nu naar punt B. Ze blijft wel in verticale richting duwen. b Leg uit of de verticale kracht die Carola nu moet uitoefenen groter dan, kleiner dan of gelijk is aan de kracht uit vraag a.

Carola houdt de bank weer vast in punt A, maar verandert de richting van haar kracht. Deze staat nu loodrecht op de bank, zie figuur 4.54. c Leg uit of haar kracht nu groter of kleiner is dan in de situatie van vraag a.

▶ tekenblad

werklijn

A

Figuur 4.53 Figuur 4.54

33 In figuur 4.55 zie je een blok van 50 kg. Het zwaartepunt is aangegeven met Z. Onder dit blok ligt misschien een bankbiljet van 100 euro. Wil je dit onderzoeken, dan moet je onder het blok kijken. a Bereken de kracht die nodig is om het blok op te tillen.

In plaats van het blok op te tillen, kun je ook het bij punt T omhoog trekken. Bij voldoende wrijving kantelt het blok dan om het draaipunt D. b Leg uit dat je trekkracht de helft is van de tilkracht van vraag a.

Figuur 4.55

Z

T D

▶ tekenblad ▶ hulpblad 34 In figuur 4.56 zie je een man met een kruiwagen. De massa van de kruiwagen met inhoud is 23 kg. Op de kruiwagen met lading werkt de zwaartekracht. De man oefent een verticale spierkracht uit om de kruiwagen op te tillen. a Toon aan dat de spierkracht die de man uitoefent, gelijk is aan 60 N. b Bereken de normaalkracht die de as van het wiel uitoefent op de kruiwagen.

De man verplaatst de lading in de kruiwagen waardoor hij minder kracht uitoefent. c Moet de man de lading dan dichter naar het wiel toe of verder van het wiel af plaatsen? Licht je antwoord toe.

Z

Figuur 4.56

35 In figuur 4.57 zie je driemaal een ophaalbrug van een kasteel. Bij iedere brug is de massa van het brugdek gegeven. Elk brugdek heeft dezelfde afmetingen. De ketting oefent spankracht uit op het brugdek.

Zet de figuren in volgorde van toenemende spankracht.

Figuur 4.57

▶ tekenblad 36 In fi guur 4.58a zie je een takelwagen die een container met grofvuil probeert op te takelen. Het zwaartepunt van de takelwagen is aangegeven. De massa van de takelwagen is 7,9∙103 kg. De massa van de container is 1,7∙103 kg. Figuur 4.58a is op schaal. a Toon aan dat in de situatie in fi guur 4.58a de takelwagen omvalt als hij de container probeert op te hijsen. Takelwagens hebben aan de zijkant uitschuifbare poten, die stempels worden genoemd. Zie fi guur 4.58b. b Leg uit dat als de stempels ver genoeg zijn uitgeschoven, de takelwagen de container kan tillen zonder om te vallen.

a

Figuur 4.58

Z

draaipunt b Z