2.4 Beweging in het algemeen

De sprintster rent niet direct weg op maximale snelheid. Haar snelheid neemt toe totdat de maximale snelheid is bereikt. Hoe verandert de snelheid tijdens de sprint? Na hoeveel tijd bereikt zij haar maximale snelheid?

Figuur 2.42

▶ applet Rechtlijnige bewegingen ▶ practicum Videometing

Willekeurige beweging

Een sprintster rent de 100 m in 10,5 s. In figuur 2.43 zie je het (x,t)-diagram en het (v,t)-diagram. De (x,t)-grafiek is een kromme tussen t = 0,0 s en t = 5,0 s. Omdat de steilheid toeneemt is het een versnelde beweging. Of het een eenparig versnelde beweging is, kun je niet zien in het (x,t)-diagram maar wel in het (v,t)-diagram. Tussen t = 0,0 s en t = 1,0 s is de (v,t)-grafiek een schuine rechte lijn. De beweging is dan dus eenparig versneld. Van t = 1,0 s tot t = 5,0 s is de beweging wel versneld, maar niet eenparig versneld. De sprint is een voorbeeld van een willekeurige beweging.

(m) x

Figuur 2.43

Vanaf t = 5,0 s is de grafieklijn in het (x,t)-diagram een schuine rechte. Op dat moment is de snelheid constant. De beweging is dan eenparig. Je ziet dat ook in het (v,t)-diagram. De grafieklijn loopt vanaf t = 5,0 s horizontaal. De overgang van de eenparig versnelde beweging naar de beweging met constante snelheid verloopt geleidelijk. Aan de steilheid van de grafiek in het (v,t)-diagram zie je dat de versnelling steeds kleiner wordt. Is de steilheid 0 (de raaklijn loopt dan horizontaal), dan is de versnelling 0 m s−2 en de snelheid constant.

Snelheid in een (plaats, tijd)-diagram

Ook bij een willekeurige beweging geeft de steilheid van een raaklijn of snijlijn in een (x,t)-diagram informatie geeft over snelheid: ▪ Wil je de snelheid op een tijdstip weten, dan teken je een raaklijn aan de grafiek.

De steilheid van deze raaklijn is gelijk aan de snelheid op het tijdstip dat hoort bij het raakpunt.

Soms valt de lijn gedeeltelijk samen met de grafieklijn. De steilheid van de raaklijn is dan gelijk aan de snelheid op alle tijdstippen van het interval waarin de lijn samenvalt met de grafieklijn. ▪ Wil je de gemiddelde snelheid in een interval weten, dan bepaal je het begin- en eindpunt van het interval op de grafieklijn. De rechte lijn tussen deze punten snijdt de grafiek. De steilheid van deze snijlijn is gelijk aan de gemiddelde snelheid in het interval tussen de twee snijpunten.

Voorbeeld 13 Gemiddelde snelheid bepalen met de snijlijnmethode

In figuur 2.44 is een snijlijn getekend in het (x,t)-diagram van de sprint. a Bepaal voor welk interval de steilheid van de snijlijn gelijk is aan de gemiddelde snelheid. b Bepaal de gemiddelde snelheid voor dit interval.

Uitwerking a De snijlijn snijdt de grafiek op de tijdstippen van het interval tussen t = 0,0 s en t = 5,0 s. b Voor de steilheid van de snijlijn geldt: v gem = (Δx _ Δt )

snijlijn

vgem

96 – 0,0 ________ 12,0 – 0,0 v gem = 8,0 m s–1

(m) x

Figuur 2.44

Afgeleide bepalen, differentiëren

Met de raaklijnmethode kun je van een (x,t)-diagram een (v,t)-diagram maken. Daarvoor moet je op veel tijdstippen de steilheid van de raaklijn bepalen. Als je de formule van de plaats x als functie van de tijd t kent, dan kun je de snelheid op elk tijdstip berekenen. Deze methode, die je leert bij de wiskunde, heet differentiëren of

de afgeleide bepalen. In plaats van v = (Δx _ Δt )raaklijn

noteer je dan v =

dx ___ dt Natuurkundig gezien is er geen verschil tussen beide notaties. Je gebruikt dus ook de raaklijnmethode als je de formule v =

dx ___ dt ziet staan.

Verplaatsing in een (snelheid, tijd)-diagram

De gemiddelde snelheid van de sprintster tussen t = 0 s en t = 5,0 s is 8,0 m s−1 . In figuur 2.45 is dit gemiddelde toegevoegd aan het (v,t)-diagram van figuur 2.43. De oppervlaktes van de twee rode gebieden zijn gelijk aan elkaar. Dat kun je zien door het aantal hokjes te schatten in die gebieden. Voor beide kom je uit op ongeveer 6,5 hokje. De rode oppervlakte onder de lijn v gem = 8,0 m s−1 is dus gelijk aan de rode oppervlakte boven die lijn. Dan is tussen t = 0 s en t = 5,0 s de oppervlakte onder de kromme lijn gelijk aan de oppervlakte onder de rechte lijn bij v gem = 8,0 m s−1 .

8,0

Figuur 2.45

Ook bij een willekeurige beweging bepaal je in een (v,t)-diagram de verplaatsing met de oppervlaktemethode. Je schat eerst de gemiddelde snelheid en berekent vervolgens met s = v gem ∙ t de verplaatsing.

Voorbeeld 14 Verplaatsing bepalen met de gemiddelde snelheid

In figuur 2.45 is de gemiddelde snelheid tussen t = 0,0 s en t = 5,0 s aangegeven. Bepaal in figuur 2.45 de afstand die de sprintster aflegt tussen t = 0,0 s en t = 5,0 s.

Uitwerking s = v gem ∙ t Tussen t = 0,0 s en t = 5,0 s is de gemiddelde snelheid gelijk aan 8,0 m s−1 . Dus s = 5,0 × 8,0 = 40 m.

Opmerking Het schatten van v gem is lastig. Daarmee wordt rekening gehouden bij het beoordelen van een uitkomst als je deze methode hebt gebruikt.

Versnelling in een (snelheid, tijd)-diagram

Tijdens de eerste vijf seconden neemt de snelheid van de sprintster toe, maar haar snelheid neemt niet elke seconde evenveel toe. De beweging is wel versneld, maar niet eenparig versneld, omdat de versnelling niet constant is. De gemiddelde

versnelling bepaal je met de steilheid van de snijlijn.

De versnelling op een tijdstip bepaal je met de raaklijnmethode. Je tekent dan de raaklijn aan de (v,t)-grafiek in het punt dat hoort bij het tijdstip. Hoe steiler de raaklijn, des te groter is de versnelling. In het rechterdiagram van figuur 2.43 loopt vanaf t = 5,0 s de (v,t)-grafiek horizontaal. De steilheid van de raaklijn is dan 0 en de versnelling is dus 0 m s−2. De snelheid is constant, dus de beweging is eenparig. Bij een willekeurige beweging geeft de steilheid van een raaklijn of snijlijn in een (v,t)-diagram informatie over versnelling: ▪ Wil je de versnelling op een tijdstip weten, dan teken je een raaklijn aan de grafiek. De steilheid van deze raaklijn is gelijk aan de versnelling op het tijdstip dat hoort bij het raakpunt.

Soms valt de raaklijn gedeeltelijk samen met de grafieklijn. De steilheid van de raaklijn is dan gelijk aan de versnelling op alle tijdstippen van het interval waarin de raaklijn samenvalt met de grafieklijn. ▪ Wil je de gemiddelde versnelling in een interval weten, dan bepaal je het begin- en eindpunt van het interval op de grafieklijn. De rechte tussen deze punten snijdt de grafiek. De steilheid van deze snijlijn is gelijk aan de gemiddelde versnelling in het interval tussen de twee snijpunten.

Als je de formule van de snelheid v als functie van de tijd t kent, kun je ook de versnelling op elk tijdstip berekenen. Wiskundig gezien is de versnelling de afgeleide van de snelheid. In plaats van a = (Δv _ Δt )

raaklijn

noteer je dus a =

dv ___ dt . Natuurkundig gezien is er geen

verschil tussen beide notaties. Je gebruikt dus ook de raaklijnmethode als je de formule a =

dv ___ dt ziet staan.

20 In figuur 2.46 staan vier (x,t)-diagrammen en vier (v,t)-diagrammen.

Leg uit welke twee diagrammen horen bij elk van de volgende situaties. a Een fietser remt voor het stoplicht. b Een auto rijdt iets verder in de file en staat daarna weer stil. c Een marathonloper rent met een constante snelheid. d Een wielrenner rijdt een heuvel op en af.

a b c d

e f

Figuur 2.46

▶ tekenblad 21 Dafne loopt de 200 m sprint. Een gedeelte van het (v,t)-diagram zie je in figuur 2.47. a Leg uit in welk tijdsinterval de versnelling constant is én groter dan 0 ms–2 . b Bepaal de gemiddelde versnelling in het tijdsinterval tussen t = 0 s en t = 5,0 s. c Bepaal de versnelling op t = 2,0 s. d Toon aan dat 98 m is afgelegd na 11,0 s. e Bepaal de eindtijd als de snelheid van Dafne constant blijft. g h

Figuur 2.47

▶ hulpblad ▶ tekenblad 22 Een kleuter zit op een schommel. In figuur 2.48 staat het (v,t)-diagram. a Toon aan dat de afstand tussen de uiterste standen van de schommel 1,1 m is. b Bepaal de gemiddelde snelheid tussen de evenwichtsstand en de uiterste stand. c Bepaal de maximale versnelling van de schommel.

Figuur 2.48

▶ hulpblad ▶ tekenblad 23 In figuur 2.49 staat het (v,t)-diagram van de beweging van Danai op haar fiets. Zij rijdt richting een verkeerslicht als het op t = 1,0 s op oranje springt. Om niet door rood te rijden, versnelt ze totdat zij het verkeerslicht is gepasseerd.

Op t = 2,5 s passeert Danai het verkeerslicht. a Bepaal hoe ver ze op t = 1,0 s van het verkeerslicht verwijderd was. b Bepaal de versnelling tussen t = 1,0 s en t = 2,5 s.

Na 2,5 s stopt Danai met trappen waardoor de fiets vertraagt. Op t = 5,0 s trapt ze weer. c Bepaal de versnelling op t = 3,0 s. d Bepaal de afstand die Danai heeft afgelegd tussen t = 2,5 s en t = 5,0 s.

Figuur 2.49

▶ tekenblad 24 Een auto heeft een kreukelzone en een kooiconstructie. De kreukelzone

‘verkreukelt’ bij een botsing, maar de kooi blijft intact. Tijdens een test rijdt een auto tegen een betonnen wand. In figuur 2.50 staat het (v,t)-diagram. a Bepaal hoelang de botsing duurt. b Bepaal de lengte waarover de kreukelzone verkreukelt tijdens de botsing. c Bepaal de gemiddelde versnelling tijdens de botsing. d Bepaal de maximale versnelling tijdens de botsing.

Figuur 2.50

▶ tekenblad 25 De Eliica is een elektrische auto die sneller optrekt dan een sportwagen. In figuur 2.51 is een race tussen de Eliica en de sportwagen weergegeven in een (v,t)-diagram.

Op t = 0 s staan de wagens naast elkaar. a Bepaal de versnelling waarmee de Eliica op t = 0 s optrekt. b Bepaal op welk tijdstip de sportwagen de elektrische auto inhaalt.

Figuur 2.51