INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS CUANTITATIVAS
Autor : Fr ancisco Guijar r o Mar tínez
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Introducción a las Finanzas Cuantitativas
Agradecimientos
Agradezco a Javier Ribal, profesor del Departamento de Economía y Ciencias Sociales de la Universidad Politécnica de Valencia, el tiempo y esfuerzo dedicados en la revisión del primer borrador de este trabajo. También quiero expresar mi agradecimiento a todos los alumnos que han cursado la asignatura Finanzas Cuantitativas, del Máster Universitario en Dirección Financiera y Fiscal, cuyas preguntas y comentarios me permitieron reformular los contenidos iniciales de la asignatura, lo que finalmente ha desembocado en este manual.
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Introducción a las Finanzas Cuantitativas
Capítulo 1. Introducción: rentabilidad-riesgo
el
binomio
En el presente capítulo se presentan algunos conceptos básicos sobre inversión bursátil que resultan imprescindibles para la adecuada comprensión del resto de capítulos en el manual. Comenzamos analizando el amplio abanico de posibilidades de inversión que las finanzas actuales ofrecen al inversor minorista, y describiremos qué criterios deben emplearse para analizar la conveniencia o no de cualquier inversión financiera. Nuestra primera cartera estará compuesta por sólo dos activos de renta variable, la versión más simple posible, para generalizar en capítulos posteriores al caso de una cartera con cualquier número de activos, de renta fija y/o variable.
1.1 Algunos conceptos básicos Antes de adentrarnos en el ámbito de la inversión, resulta conveniente conocer con detalle algunos conceptos con los que necesariamente debemos familiarizarnos. No se trata de un listado exhaustivo de todos los elementos que vamos a tratar en el manual, pero sí al menos serán un primer paso que nos permita ir avanzando y consolidando conocimientos.
1.1.1 ¿En qué activos podemos invertir? En la actualidad el número de activos en los que puede invertir cualquier ahorrador o especulador es prácticamente infinito. Por una parte tenemos los activos reales, que son todos aquellos activos materiales o inmateriales que pueden ser objeto de transacción en el mercado y, por tanto, son susceptibles de tener un precio. Las empresas emplean este tipo de activos en sus procesos de transformación o producción. Como ejemplos de activos reales podemos citar las máquinas de producción, una nave industrial, los vehículos de transporte, el software informático, etc. El intercambio mediante compraventa de todos estos activos se realiza en un mercado definido en un espacio físico, característica ésta que no tienen por qué cumplir los mercados financieros, como veremos a continuación.
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Los activos financieros no forman parte del proceso de transformación o producción de una empresa. El poseedor de un activo financiero adquiere el derecho a participar de unos hipotéticos ingresos futuros. Probablemente el activo financiero más conocido sea la acción, que en las empresas forma parte del capital social representando una parte alícuota del mismo. La renta fija, en forma de obligaciones, es otra de las formas por la que las empresas pueden financiar sus operaciones. Así, consiguen los fondos necesarios a cambio de la devolución futura del principal más unos intereses. También es habitual el empleo de la renta fija en la financiación de los Estados, los denominados bonos o Letras del Tesoro. Las empresas pueden conseguir financiación adicional a través de las denominadas ampliaciones de capital. Se trata de crear nuevas acciones que, al ponerlas a la venta en el mercado, consiguen nuevos fondos con los que ampliar el negocio, cubrir operaciones fallidas o simplemente modificar la estructura financiera de la empresa. Todas las emisiones de nuevas acciones, o nuevas obligaciones o bonos, se comercializan en los mercados primarios. Lógicamente, estos activos pueden ser objeto de una segunda o ulterior transacción, en los denominados mercados secundarios. Como el valor de la empresa se modifica con el tiempo, según sea la evolución de su patrimonio y resultados, el valor de las acciones también fluctúa. De ahí que las acciones sean consideradas renta variable, para distinguirlas del mercado de bonos en el que la rentabilidad de los mismos es determinada en el momento de su emisión y no varía con el tiempo. Cualquier inversor particular puede acudir tanto al mercado primario como al mercado secundario. En ambos se comercializa tanto con productos de renta fija como de renta variable, según cuál sea su perfil de riesgo. En el mercado primario las empresas o instituciones públicas emisoras se financian directamente con la venta de estos activos. En el mercado secundario no se realiza ningún ejercicio de financiación, sino que se compran y venden activos que ya fueron utilizados anteriormente para financiar a las empresas o instituciones públicas. Por así decirlo, es un mercado de “segunda mano”. Pero además de las acciones y los bonos, el mercado ofrece un alto espectro de activos financieros en los que poder invertir y, con ello, diversificar la inversión. Un ejemplo de ello son las commodities, que están conformadas mayoritariamente por las principales materias primas presentes en todo el mundo: maíz, trigo, soja, petróleo, oro, plata, platino, etc.
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También puede invertir en divisas a través del mercado Forex (FOReign EXchange), que es el mayor mercado a nivel mundial. Se estima que el nivel de negociación diario en este mercado supera los 4 trillones de dólares. Para hacerse una idea de la magnitud de este mercado, podemos compararlo con el mercado de acciones estadounidenses donde se comercian diariamente entorno a 23 billones de dólares (se incluyen el S&P500, el Dow Jones Industrial, así como otros índices menos populares). El mercado español apenas tiene un volumen de 0,15 billones de dólares al día. Cuando hablamos de los 4 trillones de dólares al día de negociación en el mercado Forex, debemos hacer hincapié en que sólo se trata de una estimación. Tengamos en cuenta que hablamos de un mercado OTC donde, por definición, no podemos encontrar un mercado físico y con una localización determinada. En los mercados OTC, los compradores y vendedores cierran las operaciones sin que existe una Cámara de Compensación entre ambos. No podremos, por tanto, acudir al mercado Forex como al mercado de la Bolsa de Valores, donde sí disponemos de plazas físicas donde observar la evolución de los precios a través de las operaciones en tiempo real de los inversores/especuladores. Una característica muy interesante del mercado Forex es que opera las 24 horas del día. Es, por lo tanto, un mercado continuo, frente al mercado de acciones que tiene un horario predefinido para la negociación. La continuidad del mercado Forex lo hace el más líquido a nivel mundial, pues siempre vamos a encontrar contrapartida para nuestras operaciones. Da igual el par de divisas con el que queramos comerciar, y también es indiferente la hora del día en la que operemos: el mercado siempre está abierto (excepto fin de semana). ¿Qué tipo de activos se comercializan en el mercado Forex? Los activos a disposición de los inversores son los diferentes cruces de moneda. Por ejemplo, se puede operar con los pares Euro/Dólar (EURUSD), Dólar/Yen japonés (USDJPY), Libra británica/Dólar (GBP/USD), Dólar americano/Dólar canadiense (USDCAD), etc. Otro de los grandes mercados a nivel internacional es el de los productos financieros derivados. Se trata de activos cuyo precio viene determinado por un activo subyacente. Por ejemplo, un especulador puede adquirir un producto financiero derivado del maíz. Si el precio del maíz aumenta, también lo hará el de su activo financiero derivado, con lo que el especulador saldrá beneficiado. Pero si el precio del maíz cae, el descenso de su producto financiero derivado le hará incurrir en pérdidas. Obsérvese que al comprar un producto derivado del maíz en ningún caso se es
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IntroducciĂłn a las Finanzas Cuantitativas
propietario de maĂz. Es mĂĄs, cualquier especulador podrĂĄ comprar o vender toneladas de maĂz sin ver ni un solo grano. Lo Ăşnico que tiene es un activo cuyo precio fluctuarĂĄ de forma paralela a como lo haga el precio del maĂz. Los activos financieros derivados mĂĄs populares son los futuros y las opciones, comercializados principalmente a travĂŠs de mercados estadounidenses. Un producto financiero derivado que ha experimentado un rĂĄpido crecimiento en los Ăşltimos aĂąos, sobre todo en Europa, es el del contrato por diferencia o CFD (Contract for Difference). Los productos subyacentes son casi infinitos. Desde acciones individuales hasta Ăndices, pasando por divisas, commodities, o los propios productos derivados (derivados de derivados). PrĂĄcticamente cualquier activo cuyo precio pueda fluctuar tiene su correspondiente CFD. Es un mercado orientado al minorista, al inversor particular. Ofrece unas comisiones reducidas, y sobre todo la posibilidad de apalancarse. Esto significa que si la acciĂłn de Inditex estĂĄ en 100â‚Ź, para poder comprar un CFD de Inditex no tendrĂĄ que depositar 100â‚Ź, sino sĂłlo una pequeĂąa garantĂa. Imagine que su brĂłker sĂłlo le exige como garantĂa el 5% del valor de los activos que adquiera. Eso significa que con 100â‚Ź usted podrĂa adquirir 20 CFD de acciones de Inditex. Si la cotizaciĂłn de Inditex creciera subiera desde entonces a los 105â‚Ź, el beneficio obtenido serĂa de 20đ?‘Ľ 105 − 100 = 100â‚Ź . Es decir, la rentabilidad generada en la operaciĂłn habrĂa sido del 100%1.
1.1.2 Decisiones de inversión en activos financieros La inversión en activos financieros pasa por decidir sobre 3 importantes cuestiones: Asset allocation: consiste en la decisión sobre cómo distribuir nuestra inversión entre los diferentes instrumentos que tenemos a nuestro alcance: bonos, acciones, divisas, etc. Dependiendo de nuestro perfil, apostaremos por activos mås seguros como los bonos si somos conservadores, o por activos mås arriesgados y volåtiles como las acciones si nuestro perfil es agresivo. Incluso puede que tambiÊn decidamos mantener una parte de nuestro dinero en liquidez –sin invertir–.
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En realidad algo menor, pues el especulador habrĂa tenido que depositar cierta garantĂa por las 20 acciones de Inditex que, no obstante, el brĂłker le devuelve al cerrar la operaciĂłn.
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Security selection: una vez determinados los porcentajes de inversión en cada uno de los grupos anteriores, tendremos que determinar sobre qué activos concretos realizaremos nuestra inversión. Por ejemplo, si hemos decidido asignar el 30% de la inversión en acciones españolas, tendremos que determinar qué acciones concretas formarán parte de la inversión; y cuánto invertiremos en cada una de ellas. Timing: sin duda es una de las decisiones que entraña mayor dificultad, pues consiste en seleccionar el momento preciso en que invertimos o desinvertimos. Tan importante como los activos con los que especular, es también el hecho de saber cuándo entrar y cuándo salir de los mismos. Puede ser que nos decidamos a entrar en un activo en una clarísima tendencia alcista, y justo en ese momento el precio se venga en nuestra contra y empecemos a perder parte del capital invertido.
1.1.3 Gestión activa vs. Gestión pasiva Dependiendo del tiempo que el inversor tenga para dedicar al cuidado y mantenimiento de su inversión, podrá dedicarse por una administración activa o pasiva de su patrimonio. Hablamos de gestión activa cuando nuestra cartera de inversión tiene un seguimiento periódico, de forma que sufre modificaciones tanto en los activos que la componen como en la ponderación de los mismos. La gestión pasiva aboga por el mantenimiento en el largo plazo de nuestras inversiones, sin modificar su estructura en el corto plazo según sean nuestras expectativas. Se encuadran en esta estrategia los inversores de largo plazo, que dejan correr sus inversiones a la espera de que finalmente obtengan los rendimientos deseados, sin preocuparles los vaivenes a los que la volatilidad les enfrente. Entre las técnicas de gestión pasiva más difundidas en la actualidad está la réplica de índices bursátiles. Consiste en construir carteras que el comportamiento de determinado índice, de tal forma que si el índice inicia una senda alcista la cartera se verá beneficiada en la misma proporción que el índice, mientras que si el índice experimenta un periodo bajista la cartera le sigue de igual modo. La idea de adoptar una gestión pasiva a través de la réplica de un índice bursátil parece atractiva si pensamos en términos de largo plazo. Se dice que
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la renta variable es alcista por naturaleza, y ciertamente podemos comprobar a partir de datos históricos que es así. En la figura 1.1 se ha representado la evolución del índice Dow Jones Industrial (DJIA) desde 1896 hasta 2013. Puede observarse como la tendencia general es alcista, lo que confirmaría la hipótesis de que los mercados de renta variable, y el Dow Jones es un buen representante de los mismos, es alcista en su naturaleza.
Figura 1.1 Evolución del Dow Jones Industrial durante el periodo 18962013 Pese a la anterior conclusión, ¿quién está dispuesto a esperar más 100 años para que se confirme dicha hipótesis sobre sus inversiones? Por mucho que su perfil como inversor esté ligado al largo plazo, nadie tiene una paciencia (ni una vida) tan larga como para comprobar cuál ha sido el fruto de sus inversiones. Supongamos que nos planteamos una inversión de tan sólo 5 años: éste será nuestro largo plazo. Si calculamos la rentabilidad de cada periodo de 5 años empezando, por ejemplo, desde el año 1900 los resultados habrían sido los de la tabla 1.1.
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Año
Cotización del Dow Jones Industrial Rentabilidad quinquenio
1900
68,13
66%
1905
70,39
3%
1910
98,34
40%
1915
54,63
-44%
1920
108,76
99%
1925
121,25
11%
1930
244,2
101%
1935
104,51
-57%
1940
151,43
45%
1945
152,58
1%
1950
198,89
30%
1955
408,89
106%
1960
679,06
66%
1965
869,78
28%
1970
809,2
-7%
1975
632,04
-22%
1980
824,57
30%
1985
1.198,87
45%
1990
2.810,15
134%
1995
3.838,47
37%
2000
11.357,51
196%
2005
10.729,43
-6%
2010
10.583,96
-1%
Tabla 1.1. Evolución del Dow Jones Industrial. Valores absolutos y rentabilidades por quinquenio En total se han calculado las rentabilidad de 23 quinquenios. En tan sólo 6 periodos la rentabilidad del quinquenio ha sido negativo. Además, de estos 15
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6 quinquenios negativos en 3 de ellos la rentabilidad no bajó del -7%, lo que se puede considerar una pérdida bastante limitada. La rentabilidad promedio por quinquenio fue del 39%. Por lo tanto, la estrategia de invertir y dejar correr la inversión parece ser una alternativa muy rentable en términos de esperanza matemática. Por ejemplo, si alguien hubiera invertido a principios de 1945 y hubiera recuperado la inversión en el año 1965 habría acumulado una rentabilidad del 470%. Si nos centramos en un periodo más cercano también podemos encontrar rentabilidades muy elevadas, como la que se habría obtenido al invertir en 1985 para recuperar la inversión en el año 2000: 847%. Finalmente, y para afianzar más el optimismo del lector, debe tener en cuenta que los anteriores valores no incluyen los dividendos. De haberlos considerado, la rentabilidad obtenida aún habría sido mayor2. Pese a que los anteriores ejemplos pueden despertar el espíritu inversor de algunos, también debemos alertar de algunos peligros que siempre están presentes y nadie puede prever. En la figura 1.2 se representa el crack bursátil más conocido de la historia, el que tuvo lugar en el año 1929. Vemos como fue precedido durante un largo periodo de tiempo por una tendencia alcista muy fuerte, que apenas había sufrido ningún sobresalto. Pocos podían presagiar que a la vuelta de la esquina se encontraba el periodo bursátil más negro de la historia. El DJIA cotizaba en su máximo histórico, los 390 puntos. En un breve periodo de días llegó a descender a los 200 puntos. Esto significa que si alguien, llevado por la euforia del momento, decidió comprar cuando el nivel de precios estaba en lo más alto, la pérdida que llegó a soportar en tan sólo unos días rozó el 50% de lo invertido.
2
La rentabilidad histórica promedio por dividendos en el Dow Jones se sitúa entorno al 4%.
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Figura 1.2. Evolución del Dow Jones Industrial durante el crack bursátil de 1929
Figura 1.3. Evolución del Dow Jones Industrial antes y después del crack bursátil de 1929 Pues bien, imagínese que usted se encontrara a finales del año 1929, periodo en el cual ya se había producido ese descenso dramático del 50% tras el cual
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los precios, como se puede ver en la figura 1.2, habían encontrado una zona de consolidación entorno a los 250 puntos. Si usted tuviera unos ahorros que no fuera a utilizar en el corto plazo, ¿se plantearía invertir en esos niveles? La naturaleza humana nos hace suponer que la respuesta de gran parte de las personas sería un sí, sin paliativos. En la figura 1.3 puede verse cuál habría sido el resultado de esa decisión. Aquellos que pensaron que en diciembre de 1929 la crisis había finalizado, y que se retomaría la senda alcista de los años precedentes, sencillamente se equivocaron. Los precios continuaron bajando hasta finales de 1932…y lo hicieron hasta los 50 puntos. El Dow Jones Industrial bajó un 90% desde los máximos próximos a los 400 puntos, y tardó más de 20 años en recuperar los niveles previos a la crisis. Es fácil imaginar la desesperación de aquellos que tuvieron que esperar todo ese tiempo para volver a ver recuperada su inversión, si es que quedó alguno. Y también es fácil imaginar la reacción de aquellas personas que, creyendo que la bolsa se había convertido en una inversión segura e infalible, habían decidido endeudarse para invertir hasta el último céntimo en el mercado bursátil.
1.1.4 Posiciones largas vs. Posiciones cortas En los mercados financieros la compra de un activo es equivalente a decir que se ha tomado una posición larga en el mismo, mientras que la venta se vincula a una posición corta. Cuando hablamos de inversión bursátil es habitual que gran parte de los inversores entiendan este mercado desde el enfoque tradicional de las posiciones largas, intentando cumplir con la regla de comprar barato para después vender más caro. Sin embargo, la mayoría de los mercados financieros permiten realizar el camino en sentido inverso: vender caro, para después comprar barato. Esto significa que no es necesario estar en posesión del activo para poder venderlo, siempre y cuando luego acabemos saldando la posición con una compra. Imagine que decidiera vender un piso porque ha encontrado un comprador que está dispuesto a pagar una cantidad que usted considera está claramente por encima del valor de mercado. Una vez cerrada la venta (y ha vendido caro), usted simplemente tendría que comprar el piso con las características pactadas para entregarlo a su cliente y, si quiere tener beneficio, asegurarse que la compra tiene un precio inferior a la venta pactada con el cliente. Así como este tipo de operaciones no son posibles, de momento, en el mercado inmobiliario, los mercados financieros sí lo permiten para la práctica mayoría de los activos comercializables. Puede que usted no pueda
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vender acciones que no tiene, porque su bróker no se lo permita. Pero podrá acudir a cualquier mercado derivado en el que a través de un contrato de futuros o de un cfd, por ejemplo, podrá llevar a cabo esa venta al descubierto (así se denominan habitualmente). Las posiciones cortas han ganado gran protagonismo en los últimos tiempos. Desde muchos sectores se relacionan este tipo de operaciones con caídas bruscas de la bolsa, pues se acusa a unos pocos de vender algo que no tienen y provocar con ello la caída del mercado, como ocurre con los hedge funds. El mecanismo es muy sencillo: un inversor puede tener guardadas unas acciones, que compró hace tiempo y que simplemente mantiene para recuperar la inversión más plusvalías cuando lo necesite. Muchos brokers y entidades financieras ofrecen a sus clientes la posibilidad de prestar durante un tiempo determinado sus acciones, de tal forma que el prestamista recibe unos intereses mientras el prestatario puede comercializar con ellas en el mercado. Cuando alguien toma prestadas unas acciones lo suele hacer para venderlas de inmediato en el mercado, con el objetivo de recomprarlas más adelante a un precio inferior. La perspectiva de este tipo de inversores es claramente bajista, de ahí que normalmente se les denomine bajistas (por tener esa opinión sobre el mercado). En algunas situaciones, cuando un país pasa por serios problemas económicos, o cuando una empresa tiene problemas financieros, los bajistas suponen un porcentaje importante de los inversores. Con una diferencia respecto a los demás: el inversor tradicional puede mantener sus acciones durante largo tiempo, sin comerciar con ellas en el mercado; mientras que el bajista es un operador muy activo, que entra y sale del mercado con gran velocidad. Por lo tanto, con un pequeño porcentaje de acciones pueden acabar teniendo un peso muy importante en el volumen de contratación. En la tabla 1.2 podemos ver las empresas del Ibex-35 con mayor porcentaje de acciones en manos de los bajistas.
Empresa
Porcentaje posiciones cortas
Indra Sistemas
8,46%
Acerinox
6,46%
Bolsas y Mercados Españoles
6,01%
Banco de Sabadell
4,53%
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IntroducciĂłn a las Finanzas Cuantitativas
Mediaset EspaĂąa ComunicaciĂłn
3,91%
Fomento de Construcciones y Contratas
3,09%
TĂŠcnicas Reunidas
2,71%
Acciona
2,43%
Amadeus IT Holding
2,39%
Bankinter
1,73%
Tabla 1.2. Empresas con mayor porcentaje de acciones en posiciones cortas. Fecha: julio de 2013
1.2 Rentabilidad y Riesgo Las dos principales variables que rigen toda decisiĂłn de inversiĂłn son la rentabilidad y el riesgo. Los siguientes epĂgrafes se dedican a explicar con mayor detalle el binomio rentabilidad-riesgo para el caso de las acciones, que serĂĄn los activos sobre los que nos centremos de ahora en adelante.
1.2.1 Rentabilidad El inversor tiene dos vĂas fundamentales para rentabilizar su inversiĂłn en acciones: bien a travĂŠs de los dividendos repartidos por la empresa entre sus accionistas, bien a travĂŠs de la venta del tĂtulo beneficiĂĄndose de las plusvalĂas generadas. El cĂĄlculo de la rentabilidad que contempla estas dos fuentes de ingresos se lleva a cabo mediante la expresiĂłn de la rentabilidad simple:
đ?‘…!" =
đ?‘ƒ!" − đ?‘ƒ!"!! + đ??ˇ!" + đ?‘ƒ!" − đ?‘‰! đ??´!" + đ?‘ƒ!"!! đ?‘ƒ!" đ??´đ?‘…!" + đ?‘ƒ!" − đ?‘‰! − đ?‘?!" đ??´đ?‘ƒ!"
[1.1]
donde: đ?‘…!" = Rentabilidad de la empresa đ?‘– en el periodo de tiempo đ?‘Ą. đ?‘ƒ!" = Precio de la acciĂłn de la empresa đ?‘– en el periodo de tiempo đ?‘Ą. đ??ˇ!" = Dividendo repartido por la empresa đ?‘– entre sus accionistas durante el periodo de tiempo đ?‘Ą. 20
IntroducciĂłn a las Finanzas Cuantitativas
đ?‘‰! = Valor nominal de las acciones de la empresa đ?‘–. đ??´!" = Porcentaje de ampliaciĂłn de capital a la par en la empresa đ?‘– durante el periodo đ?‘Ą. đ??´đ?‘…!" = Porcentaje de ampliaciĂłn de capital con cargo a reservas de la empresa đ?‘– durante el periodo đ?‘Ą. đ?‘?!" = Prima de emisiĂłn correspondiente a la ampliaciĂłn de capital de la empresa đ?‘– durante el periodo đ?‘Ą. đ??´đ?‘ƒ!" = Porcentaje de ampliaciĂłn de capital con prima en la empresa đ?‘– durante el periodo đ?‘Ą. Afortunadamente la mayorĂa de las bases de datos que ofrecen las cotizaciones histĂłricas de los tĂtulos las incluyen en su formato de cotizaciĂłn ajustada, entendiendo como tal los precios que vienen ajustados por dividendos, ampliaciones, splits, etc. Ello facilita enormemente el cĂĄlculo de la rentabilidad simple: R !" = P!" − P!"!!
P!"!!
[1.2]
En la figura 1.4 podemos comprobar la diferencia entre el precio de cierre y el precio de cierre ajustado para las cotizaciones mensuales de TelefĂłnica. La Ăşltima columna incluye los dividendos, ademĂĄs de cualquier otra operaciĂłn que pudiera afectar al cĂĄlculo de la rentabilidad. De esta forma los rendimientos de TelefĂłnica pueden obtenerse directamente a partir de la Ăşltima columna, sin tener que preocuparse por el momento y cuantĂa de los dividendos, ampliaciones de capital, etc.
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Introducción a las Finanzas Cuantitativas
Figura 1.4. Cotizaciones mensuales históricas de Telefónica. Detalle de precio de cierre (columna Cerrar) y precio de cierre ajustado (columna Ajustes de Cierre). Fuente: Yahoo Finanzas La rentabilidad simple, también denominada rentabilidad aritmética, tiene un serio inconveniente que podemos ilustrar a través de un ejemplo sobre el índice Ibex-35. En la tabla 1.3 aparece la cotización de dicho índice a principios de cada semestre para el periodo de enero de 2009 a enero de 2013. En una columna adicional se ha calculado la rentabilidad semestral
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IntroducciĂłn a las Finanzas Cuantitativas
simple. Como ejemplo de dicho cĂĄlculo, para el primer semestre de 2009 la rentabilidad del Ăndice fue de un 28,5%: đ?‘…!Âş  !"#"!$%"  !""# = đ??źđ?‘?đ?‘’đ?‘Ľ!"#$%  !""# − đ??źđ?‘?đ?‘’đ?‘Ľ!"!#$  !""# đ??źđ?‘?đ?‘’đ?‘Ľ!"!#$  !""# = 10.855,10 − 8.450,40 8.450,40 = 28,5%
Fecha
Precio de cierre
Rentabilidad simple semestral
2 de enero de 2013
8.362,30
24,1%
2 de julio de 2012
6.738,10
-20,8%
2 de enero de 2012
8.509,20
-11,6%
1 de julio de 2011
9.630,70
-10,9%
3 de enero de 2011
10.806,00
2,9%
1 de julio de 2010
10.499,80
-12,1%
4 de enero de 2010
11.940,00
10,0%
1 de julio de 2009
10.855,10
28,5%
2 de enero de 2009
8.450,40
-
Tabla 1.3. Cotización semestral del Ibex-35, periodo enero de 2009 – enero de 2013. Fuente: Yahoo Finanzas y elaboración propia Al haber calculado la rentabilidad simple de cada semestre, podemos estimar el promedio semestral obtenido para todo el periodo:
đ?‘…!"#"!$%&' =
28,5% + 10,0% − 12,1% + 2,9% −10,9% − 11,6% − 20,8% + 24,1%
8 = 1,26%
donde đ?‘…!"#"!$%&' representa la rentabilidad semestral promedio. Sabiendo que la rentabilidad semestral promedio es del 1,26%, resulta sencillo calcular la rentabilidad para el periodo considerado que contiene 8 semestres: đ?‘…!"!#$ Â !""#!!"!#$ Â !"#$ = 1,26%Ă—8 = 10,07%
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IntroducciĂłn a las Finanzas Cuantitativas
Por lo tanto, y segĂşn el cĂĄlculo de la rentabilidad simple, el Ibex-35 ha ganado un 10% desde enero de 2009 hasta enero de 2013. Sin embargo, si volvemos a ver los datos de la tabla 1.3 podemos comprobar que el Ăndice cotizaba en los 8.450,40 puntos en enero de 2009, y descendiĂł hasta los 8.362,30 puntos en enero de 2013. Esto es, que tuvo una rentabilidad de -1%. đ?‘…!"!#$  !""#!!"!#$  !"#$ = đ??źđ?‘?đ?‘’đ?‘Ľ!"!#$  !"#$ − đ??źđ?‘?đ?‘’đ?‘Ľ!"!#$  !""# đ??źđ?‘?đ?‘’đ?‘Ľ!"!#$  !""# = 8.362,30 − 8.450,40 8.450,40 = −1% En definitiva, se produce una contradicciĂłn en el cĂĄlculo de la rentabilidad simple, ya que no coincide el cĂĄlculo para el periodo completo (-1%) con el obtenido como suma de las rentabilidades semestrales (10,07%). Debemos tener mucho cuidado con este tipo de situaciones, ya que es habitual que, por ejemplo, los fondos de inversiĂłn publiciten sus productos financieros utilizando la rentabilidad simple. Podemos ver entonces rentabilidades positivas cuando, si las calculamos sobre las cotizaciones histĂłricas, en realidad se convierten en negativas. Con el objetivo de superar este problema se planteĂł el uso de la rentabilidad continua, tambiĂŠn denominada rentabilidad geomĂŠtrica: R ! = ln P! P!!!
[1.3]
La rentabilidad continua supera el problema de la no aditividad de los rendimientos, permitiendo el cĂĄlculo de la rentabilidad para un periodo completo a partir de la suma de los rendimientos de cada subperiodo en los que se haya dividido. Supongamos que dividimos un periodo determinado en đ?‘› subperiodos de igual tamaĂąo. La rentabilidad continua del periodo completo đ?‘… se calcularĂa siguiendo la expresiĂłn 1.3, calculando el logaritmo del cociente entre el precio final đ?‘ƒ! y el precio inicial đ?‘ƒ! : R = ln P! P!
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[1.4]
IntroducciĂłn a las Finanzas Cuantitativas
La rentabilidad đ?‘…! para un subperiodo j determinado se calcularĂa como: R ! = ln P! P!!!
[1.5]
Podemos comprobar cĂłmo la rentabilidad de todo el periodo se puede obtener entonces como la suma de rentabilidad para cada uno de los subperiodos:
R = ln P! P! = ln
P! P! P!!! P! ∗ âˆ—â€Śâˆ— âˆ—â€Ś = P!!! P!!! P!!! P!
ln P! P!!! + ln P!!! P!!! + â‹Ż + ln P! P!!! + â‹Ż + ln P! P! = R ! + R !!! + â‹Ż + R ! + â‹Ż + R!
[1.6]
A continuaciĂłn se ha replicado la informaciĂłn de la tabla 1.3 pero incluyendo la rentabilidad continua de cada subperiodo o semestre (tabla 1.4). Podemos ver que la rentabilidad continua promedio es de -0,13%, y que si sumamos las 8 rentabilidades continuas semestrales el valor es 1,05%. Este valor coincide con el cĂĄlculo de la rentabilidad continua del periodo calculada a partir de los precios inicial y final: đ?‘… = đ?‘™đ?‘› đ?‘ƒ! đ?‘ƒ! = đ?‘™đ?‘› 8.632,30 8.450,40 = −1,05%.
Fecha
Precio de cierre
Rentabilidad simple semestral
2 de enero de 2013
8.362,30
24,1%
2 de julio de 2012
6.738,10
-20,8%
2 de enero de 2012
8.509,20
-11,6%
1 de julio de 2011
9.630,70
-10,9%
3 de enero de
10.806,00
2,9%
25
Rentabilidad continua semestral 21,6% -23,3% -12,4% -11,5% 2,9%