NÚMEROS COMPLEJOS
OBJETIVO GENERAL Analizar el conjunto de Números Complejos, sus relaciones, operaciones y propiedades para la resolución de problemas.
Objetivos Específicos: 1. 2. 3. 4.
Definir unidad imaginaria. Conocer y simplificar potencias de i. Definir el conjunto de los números complejos. Operar con los números complejos. Gustavo Salinas E.
CONTENIDOS 1. Composición del Conjunto de Números Complejos. 2. Propiedades de los Números Complejos. 3. Operaciones en forma binómica.
4. Conversiones de números complejos de forma binómica a polar y viceversa. 5. Operaciones de números complejos en forma polar.
Gustavo Salinas E.
INTRODUCCIÓN El conjunto formado por los números racionales (Q) e irracionales (I) es el conjunto de los números reales (R). RECTA REAL
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.
CANTIDADES IMAGINARIAS
Definición: Este conjunto se representa por I
7
3 2
3 10 Gustavo Salinas E.
UNIDAD IMAGINARIA Definición: Entenderemos como Unidad Imaginaria a:
i= -1 La que se conoce como Raíz Imaginaria. Nota:
(i) 2
1
2
i =-1 2
Gustavo Salinas E.
NÚMEROS IMAGINARIOS
EJEMPLO
16 16 1 16 1 4i Gustavo Salinas E.
Leonhard Euler (1707 – 1783)
Con Euler los imaginarios se definitivamente en la Matemática. “… formulam
incorporan
1 littera i …”
Leonhard Euler (1777)
i2 = -1; introdujo la notación binómica. Demostró que el conjunto de los números “imaginarios” era cerrado para las cuatro operaciones básicas, así como para la potenciación y la radicación.
“Estos números no son nada, ni menos que nada, lo cual necesariamente los hace imaginarios, o imposibles”. Gustavo Salinas E.
POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
i m es un entero positivo; m 4. m
1. Divida el exponente m por 4 y el resultado será elevado al resto de la división.
m : 4 4q r m 4 r
q
2. Luego para simplificar use; i m = i 4 q r 3. Sí
=i
r
i= -1 Gustavo Salinas E.
Ejemplo:
i i 151
3
EJERCICIOS: 0
i =1 1
i =i i2 =-1 i3 = i2 i = -1 i = -i
i =i i = -1-1 =1 4
2
2
Este último resultado hace que las potencias de “i” solo tengan como resultados a: i, -i, 1 y -1 Gustavo Salinas E.
11: 4 2 3
1) i i 11
4.2 3
i i .i 1i i 3
2
540 : 4 135 14 020 0
2) i
540
i 4 1350 i 0 1 Gustavo Salinas E.
RAÍCES PARES DE NÚMEROS NEGATIVOS
Calcule las siguientes raíces:
1)
4
2)
25
25 1 5i
3)
12
4 3 1 2 3 i
4)
11
4. 1 2 1 2i
11. 1 11 i Gustavo Salinas E.
NÚMEROS COMPLEJOS
Definición:
z a bi (a, b)
Donde a y b pueden ser números positivos, negativos y aún nulos. El conjunto de todos los números complejos se designa por
a bi / a, b ; i 1
Gustavo Salinas E.
La expresión a bi , se llama forma binómica de un número complejo porque tiene dos componentes:
a componente real. Re( z) a b componente imaginaria. Im( z) b Los números complejos, poseen: Elemento neutro, Elemento opuesto, Elemento unidad, Elemento inverso. Con estas operaciones los complejos tiene la estructura de cuerpo conmutativo.
Gustavo Salinas E.
CLASES DE NÚMEROS COMPLEJOS COMPLEJO REAL.- Es aquel cuya parte imaginaria es nula: a 0i a.
COMPLEJO PURO.- Es aquel cuya parte real es nula: 0 bi bi.
Ejemplo: 3 + 0i = 3.
Ejemplo: 0 – 7i = -7i.
COMPLEJO NULO.- Es aquel cuya parte real y cuya parte imaginaria son nulas: 0 0i 0. COMPLEJOS IGUALES.- Son dos complejos, que tienen iguales sus partes reales e iguales sus partes imaginarias. Ejemplo: Si: a + bi = c + di (33 4i ) (27 2i). ( 25, 24 i ) (5,16i). ∴a=c b=d ( x, (5 t )i ) (2,8i),si y solo sí : x 2 y t 3. Ejemplos:
((v 2), ( s 3)i ) (6, 6i),si y solo sí : v 8 y s 9. Gustavo Salinas E.
COMPLEJOS CONJUGADOS.- Son dos complejos que tienen iguales sus partes reales e iguales pero de signos contrarios sus partes imaginarias.
z a bi Ejemplo:
z 6 5i
conjugada
y
z a bi. z 6 5i.
COMPLEJOS OPUESTOS.- Son dos complejos que tienen iguales, pero de signos contrarios, tanto las partes reales como las imaginarias.
z a bi Ejemplo:
z 9 4i
y z a bi.
z 9 4i. Gustavo Salinas E.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO Para representar los números complejos tenemos que salir de la recta y llenar el plano, pasando así de la recta real al plano complejo. Se realiza utilizando un sistema de ejes rectangulares o cartesianos; en el eje “x” se representa los números reales y las cantidades imaginarias en el eje “y”. Al plano formado por los ejes real e imaginario se denomina llama Plano de Gauss. El número complejo a bi se representa mediante el punto (a, b) , que se llama su afijo, o mediante un vector (flecha) de origen (0, 0) y extremo (a, b)
Gustavo Salinas E.
Gustavo Salinas E.
Ejemplos:
z 9 4i
Imaginario
1. Graficar el siguiente número complejo:
O -i -2i -3i -4i -5i -6i
1
2
3
4
5
6
7
8
9 Real
9 -4i = (9 , -4)
Gustavo Salinas E.
2. Dado el número complejo:
z 5 4i
Graficar: •El número complejo. •El opuesto del número complejo. •La conjugada del número complejo.
Gustavo Salinas E.
MÓDULO Y ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO
MÓDULO.- El módulo de un número complejo z a bi , es la longitud del vector. El módulo de dicho número se representa por z .
a b r 2
2
2
z r a 2 b2 ARGUMENTO.- El argumento de un número complejo z; z ≠ 0. El ángulo que forma el vector con el eje real se designa por arg(z). b b arctan a a r r360o r720o r1080o ....... tan
Gustavo Salinas E.
Para determinar el ángulo polar se puede ayudar, utilizando las funciones coseno y seno en el círculo trigonométrico como se observa en el gráfico. b b tan arctan a a r r360o r720o r1080o .......
Gustavo Salinas E.
PASO DE LA FORMA BINÓMICA A LA FORMA POLAR
Si conocemos el número complejo z a bi en forma binómica, a la forma polar r . z r a b 2
Ejemplo:
2
tan
b a
Pasar a forma polar el siguiente número complejo:
z 2 2 3i
SOLUCIÓN Módulo:
r a 2 b2
Imaginario
r (2)2 (2 3)2
r 4 12
r 16 r4
Real Gustavo Salinas E.
Argumento: b tan a tan
2 3 3 2
tan 1 ( 3)
Forma de expresar:
z r
120
2 rad 3
z 4120 4(2 /3) rad
1 3 ( , ) 2 2
2 (rad ) 360
Imaginario
120 120°
Real
Gustavo Salinas E.
PASO DE LA FORMA POLAR A LA BINÓMICA Si se conoce
z r , en forma polar se puede determina a y b. cos
a a r cos . r
sen
b b rsen . r
Pero z a bi , entonces z r cos rseni
z r (cos sen i) forma trigonométrica que permite pasar de forma polar a forma binómica.
Gustavo Salinas E.
Ejemplo:
Transformar la expresión dada en forma polar, z 5210 , a la forma binómica
SOLUCIÓN a r cos 5cos 210 3 5 3 a 5 2 2
b rseni 5sen210i 5 1 b 5 i i 2 2
z a bi
5 3 5 i 2 2
z 5210
5 3 5 i. 2 2
Gustavo Salinas E.
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINOMICA 1. Suma de Complejos: Sea:
z1 a1 b1i y z2 a2 b2i z1 z2 (a1 b1i) (a2 b2i)
SOLUCIÓN z1 z2 (2 2i ) (3 i ) z1 z2 (2 3) (2 1)i z1 z2 (1 3i )
z1 z2 (a1 a2 ) (b1 b2 )i Ejemplo: z1 2 2i z2 3 i
Gustavo Salinas E.
2. Resta de Complejos: Sea:
z a bi
z w (a bi) (c di)
w c di
z w (a c) (b d )i
Ejemplo:
SOLUCIÓN
z 4 7i
z w (4 7i) (2 3i)
w 2 3i
z w (4 2) (7 3)i z w (2 4i)
Gustavo Salinas E.
PROPIEDADES PARA LA SUMA 1.- Propiedad Asociativa: Si tenemos: z a bi
; w c di
y u e fi
z ( w u ) ( z w) u (a bi ) (c di ) (e fi ) (a bi ) (c di ) (e fi ) (a bi ) (c e) (d f )i (a c) (b d )i (e fi ) (a c e) (b d f )i (a c e) (b d f )i
2.- Propiedad Conmutativa: Si tenemos: z a bi
y
w c di
z w w z (a bi ) (c di ) (c di ) (a bi ) (a c) (b d )i (c a) (d b)i Gustavo Salinas E.
PROPIEDADES PARA LA SUMA 3.- Elemento Neutro: Si tenemos: 0 0 0i
y
z a bi
z 0 (a bi ) (0 0i ) z 0 (a 0) (b 0)i z 0 a bi z0 z 4.- Propiedad del Opuesto: Si tenemos: z a bi
y el opuesto de z es z a bi
z ( z ) (a bi ) (a bi ) z ( z ) (a a) (b b)i z ( z ) (0 0i) z ( z ) 0 Gustavo Salinas E.
3. Producto o Multiplicación de Complejos:
.z (a bi ) .z a bi
a) Multiplicación de un número real por un número complejo: Donde: es el número real y z a bi
el número complejo
.z 6(7 5i) .z 42 30i
Ejemplo: Sean: = 6 y z 7 5i
b) Multiplicación de dos números complejos: Siendo:
z a bi
y
w c di
z.w ac bd (1) (ad bc)i z.w (ac bd ) (ad bc)i
Si z 4 3i
y w 3 5i
SOLUCIÓN z.w (4 3i ).(3 5i )
z.w (a bi ).(c di ) z.w (ac adi bci bdi 2 );
Ejemplo:
pero i 2 1
z.w (12 20i 9i 15i 2 );
pero i 2 1
z.w 12 15(1) (20 9)i z.w (12 15) (11)i z.w 27 11i Gustavo Salinas E.
PROPIEDADES PARA DE LA MULTIPLICACIÓN 1.- Propiedad Asociativa: z a bi
Sea:
; w c di
y u e fi
z.(wu . ) ( z.w).u 2.- Propiedad Conmutativa: Sea:
z a bi
y
w c di
z.w w.z 3.- Elemento Neutro: Sea: z 1 el elemento neutro y w a bi
el número complejo.
z.w 1.(a bi) a bi Gustavo Salinas E.
PROPIEDADES PARA DE LA MULTIPLICACIÓN 4.- Propiedad del Inverso: Si z a bi
es un número complejo distinto de cero, el inverso de z es otro número complejo que se denota por z 1 ,
el mismo que satisface:
z.z 1 z 1. z 1 1 1 z. .z 1 z z
1 z 1 z z 1 . ; si z a bi y z a bi z z 1 a bi z 1 . a bi a bi a bi z 1 2 a b2 a b z 1 2 i es otro número complejo que es el inverso de z. a b2 a 2 b2 z 1
Gustavo Salinas E.
PROPIEDADES PARA DE LA MULTIPLICACIÓN 5.- Propiedad Distributiva respecto a la suma: Si:
z a bi
; w c di
y u e fi
z.(w u) z.w z.u
Gustavo Salinas E.
4. Cociente o División de Complejos:-
Ejemplo: Sean = 4 y z 8 6i
a) División de un número complejo para un número real:
Sean z a bi
z
(a bi)
y un número real.
a
b
i
SOLUCIÓN
(8 6i) 8 6 i 4 4 4 z 3 2 i 2 z
b) División de un número complejo por otro número complejo: Si z a bi
y w c di , son dos números complejos y w ≠ 0
Para este proceso tenemos tres maneras de solución: i) Por medio común, es decir formando ecuaciones:
z x yi w Gustavo Salinas E.
(a bi ) ( x yi ) (c di )
De la ecuación 1 despejamos x:
a dy x c
(a bi ) (c di ).( x yi ) (a bi ) (cx cyi dxi dyi 2 ) (a bi ) cx (cy dx)i dy (1) i 1 2
(a bi ) (cx dy ) (cy dx)i
a cx dy
1
b dx cy
2
X reemplazamos en la ecuación 2 y despejamos y:
a dy b cy d c bc c 2 y ad d 2 y bc ad y (c 2 d 2 ) bc ad y 2 c d2 Gustavo Salinas E.
4. Cociente o División de Complejos:-
ac 2 bcd x c (c 2 d 2 ) c(ac bd ) x c (c 2 d 2 )
i) Por medio común, es decir formando ecuaciones: El valor de y reemplazamos en x:
a dy x c
bc ad y 2 c d2
bc ad ad 2 c d2 x c a (c 2 d 2 ) d (bc ad ) 2 2 c d x c 1 ac 2 ad 2 bcd ad 2 x c (c 2 d 2 )
ac bd x 2 c d2 Conclusión:
ac bd bc ad ( x yi ) 2 2 i 2 2 c d c d
Gustavo Salinas E.
4. Cociente o División de Complejos ii) Formando ecuaciones y solucionando mediante determinantes (Método de Cramer), es decir:
cx dy a
cy dx b Referencia: x
B
y
C
A
A
Donde: La determinante de IAI, se forma con los coeficientes de las variables. La determinante de IBI para X se forma la 1ª columna con los términos independientes y la 2ª columna los coeficientes de y. La determinante de ICI para Y se forma la 1ª columna con los coeficientes de la variable X y la 2ª con los términos independientes de las ecuaciones.
Gustavo Salinas E.
4. Cociente o DivisiĂłn de Complejos ii) Formando ecuaciones y solucionando mediante determinantes (MĂŠtodo de Cramer), es decir: Encontramos el determinante de A:
Gustavo Salinas E.
4. Cociente o División de Complejos iii) Por medio de la conjugada del número complejo del denominador de la fracción:
z z w z.w . w w w w2 z (a bi) (c di) ac adi bci bdi 2 2 . , pero i 1 2 2 w (c di ) (c di ) c d
z (ad bd ) (bc ad )i . 2 2 w c d
Gustavo Salinas E.
Ejemplo: Dado
z 4 3i
Determinar z/w.
y w 3 2i
SOLUCIÓN z (4 3i) (3 2i) (4)(3) (4)(2)i (3)(3)i (3)(2)i 2 2 . , pero i 1 2 2 w (3 2i ) (3 2i) 3 2 z 12 8i 9i 6 w 94 z 18 1i 18 1 i w 13 13 13
Gustavo Salinas E.
OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA 1. Multiplicación de Números Complejos.- La multiplicación de dos números complejos en forma polar es otro complejo que
tiene como módulo el producto de los módulos, y como argumento la suma de los argumentos.
Sean dos números complejos en forma polar: z1 = r1 = r1 (cos + seni)
z1.z2 r1 (cos sen i).r2 (cos sen i)
z2 = r2 = r2 (cosβ + senβi)
z1 .z2 r1.r2 (cos cos cos sen i sen cos i sen sen i 2 ), si i 2 1 z1 .z2 r1.r2 (cos cos sen sen ) (cos sen sen cos)i z1 .z2 r1.r2 cos( ) sen( )i z1 .z2 r1.r2 r .r r1.r2
En trigonometría la suma y diferencia de ángulos, se tiene:
cos( ) cos cos sen sen . sen( ) sen cos cos sen . Gustavo Salinas E.
1. Multiplicación de Números Complejos.-
Ejemplo 1: Sean z1 560 y z2 3210
SOLUCIÓN z1.z2 560.3210 (5.3)(60 210) z1.z2 15(270) z1.z2 15(cos 270 sen 270i ) z1.z2 15(0 i ) 15i.
Ejemplo 2: Sean
SOLUCIÓN
z1 2 cos( 6 ) sen( 6 )i z 2 cos( ) sen( )i 3 2
5 12
5 12
z1.z2 2 . 32 5 (2. 32 ) ( 5 ) 6
12
5
12
z1.z2 3( 7 ) 3105º 12
z1.z2 3(cos105 sen105i ) z1.z2 3( 0, 26 0, 97i ) 0, 78 2, 91i. Gustavo Salinas E.
Gustavo Salinas E.
2. División de Números Complejos.-
La división de números complejos en forma polar, también es otro complejo y se obtiene dividiendo sus módulos y el argumento se obtiene restando el argumento del numerador el denominador.
Sean dos números complejos en forma polar: z1 = r1 = r1 (cos + seni) z2 = r2 = r2 (cosβ + senβi)
Ejemplo: Sean
z1 660
y
z2 3210
z1 r1 r1 z2 r2 r2 ( )
SOLUCIÓN z1 660 6 z2 3210 3 (60 210) z1 2( 150) z2 z1 2 cos(150) sen(150)i z2 3 1 z1 2 i 3 i. z2 2 2
Gustavo Salinas E.
POTENCIA.-
Para realizar la potenciación de un número complejo utilizaremos la Fórmula de Moivre, nos da un algoritmo bastante eficiente para hallar la potencia enésima de un número complejo en forma polar. Si z z (cos sen i) y n es un número entero positivo, entonces se obtiene:
z z (cos sen i) n
n
z n z (cos(n. ) sen(n. )i) n
Esta relación es la Fórmula de Moivre y se verifica para todo valor real del exponente. Por ejemplo, si el exponente es una fracción (1/n), tenemos:
Gustavo Salinas E.
Ejemplo 1: Sea z = 2(cos30° + sen30°i). Calcular la potencia de orden cinco de este número, es decir, z5.
SOLUCIÓN z n z (cos(n. ) sen(n. )i ) n
z5 25 cos(5.30) sen(5.30)i z 5 32(cos150 sen150i ) 3 1 z 32 i 2 2 5
z 5 16 3 16i.
Ejemplo 2: Sea z = (3 + 4i). Calcular la potencia de orden seis de este número, es decir, z6. En este ejercicio, primero debemos pasar a la forma polar, para ello hay que determinar el módulo y el argumento.
Gustavo Salinas E.
SOLUCIÓN z a 2 b2 32 42 9 16 25 5
b arctan a 4 arctan 3 53,13.
Calculamos ahora z6, utilizando la Fórmula de Moivre.
z z (cos(n. ) sen(n. )i ) n
n
z 6 56 cos(6.53,13) sen(6.53,13)i z 6 15625(cos 318, 78 sen318, 78i) z 6 15625 0, 7522 0, 6590i z 6 11753 10296i.
Gustavo Salinas E.
RADICACIÓN.- Si z a bi es un número complejo tal que para algún n entero positivo se tenga
z wn
, donde:
1
w es otro número complejo, entonces se dice que w z n n z . es una raíz enésima de z.
w
Para facilitar los cálculos, podemos utilizar el teorema de De Moivre para desarrollar una fórmula para determinar raíces positivas de un número complejo: Si z = r (cos + sin i) es un número complejo diferente de cero y si n es un entero positivo, entonces z tiene exactamente n raíces diferentes que se pueden expresar en radianes o en grados, entonces:
z r. n
2k 2k z z r r cos sin i n n n n 1 n
1 n
n
donde k = 0, 1, 2, …, n -1
Gustavo Salinas E.
Ejemplo 1: Sea z = 1 + 0i). Calcular todas las raíces cúbicas de z.
SOLUCIÓN Primero calculamos el módulo y el argumento. r
1 0 1 2
2
0
tan 1 0 1 Luego calculamos las tres raíces, para k 0,1, 2
2k z n r cos n n
2k sin n n
i
0 2k w0 3 1 cos 3 3
0 2k sin 3 3
i
0 2 0 w0 3 1 cos 3 3
0 2 0 sin 3 3
i
n
w0 1 cos 0 sin 0 i w0 1
Gustavo Salinas E.
0 2 1 w1 3 1 cos 3 3
0 2 1 sin 3 3
Si graficamos las raíces, observamos que ellas ocupan los vértices de un triángulo equilátero
i
w0 1.
2 2 w1 1 cos sin i 3 3 w1
1 3 i 2 2
0 2 2 w2 3 1 cos 3 3
4 w2 1 cos 3 w2
1 w1 2 1 w2 2
0 2 2 sin 3 3
4 sin 3
3 i. 2 3 i. 2
i
i
1 3 i 2 2
Gustavo Salinas E.
Ejemplo 2: Sea z = 64(cos30° + sen30°i). Calcular todas las raíces sextas de
6
z .
SOLUCIÓN n
2k 2k z r cos sen i n n n n n
30 2(0) 30 2(0) w0 6 64 cos sen i 6 6 6 6 w0 2 cos(5) sen(5)i w0 1,99 0,17i
w1 0,84 1,81i
i
w2 1,15 1, 64i
Para k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
30 2(1) 30 2(1) w1 6 64 cos sen 6 6 6 6 w1 2 cos(65) sen(65)i
30 2(2) 30 2(2) w2 6 64 cos sen 6 6 6 6 w2 2 cos(125) sen(125)i
i
30 2(3) 30 2(3) w3 6 64 cos sen 6 6 6 6 w3 2 cos(185) sen(185)i
i
w3 1,99 0,17i. 30 2(4) 30 2(4) w4 6 64 cos sen 6 6 6 6 w4 2 cos(245) sen(245)i
i
w4 0,84 1,81i
30 2(5) 30 2(5) w5 6 64 cos sen 6 6 6 6 w5 2 cos(305) sen(305)i w5 1,15 1, 64i
i
Gustavo Salinas E.
w0 1,99 0,17i. w1 0,84 1,81i. w2 1,15 1, 64i. w3 1,99 0,17i. w4 0,84 1,81i. w5 1,15 1, 64i.
Gustavo Salinas E.
Interpretación gráfica de igualdades y desigualdades entre complejos a) Re z = 2
b) Im z = 1
c) Re z 0
Gustavo Salinas E.
d) –1 Im z 3
e) –2 < Re z < 5
f) |z| 3
Gustavo Salinas E.
g) Arg z = 45°
h) 0° Arg z 90°
45°
Gustavo Salinas E.
Gustavo Salinas E.