Λυσεις μαθ κατ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017

ΘΕΜΑ Α 𝚨𝟏 .Σχολικό ςελ. 253 𝚨𝟐 . α. Ψ x, αν x ≥ 0 −x, αν x < 0

β. f x = x =

lim f x = lim− −x = 0

x→0−

x→0

lim f x = lim+ x = 0

x→0+

x→0

Άρα f ςυνεχήσ ςτο x0 = 0 lim−

x→0

f x −f(0) x−0

= lim−

−x x

x→0

= −1 lim+

x→0

f x −f 0 x = lim+ = 1 x→0 x x−0

άρα θ f δεν είναι παραγωγίςιμη ςτο x0 = 0 𝚨𝟑 . Σχολικό ςελ. 191 𝚨𝟒 . α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ

Τηλέφωνα Επικοινωνίας: 210 6135306 (Άνω Βριλήσσια), 210 6131825 (Βριλήσσια), 210 8021269 (Μαρούσι), 210 8043245 (Μελίσσια), 210 2582230 (Ν. Φιλαδέλφεια)

ΘΕΜΑ Β 𝚩𝟏 . Αf = 0, +∞ Αg = −∞, 1 ∪ (1, +∞) Afog = x∈Α g

g x ∈ 0,+∞ = 0,1

x

f g x

= ln 1−x =h(x) x

x

𝚩𝟐 . Θα δείξουμε ότι θ h είναι είναι 1-1. h x1 = h x2 ⇔ ln 1−x1 =ln 1−x2 ⇔ 1

x1 1−x 1

=

x2 1−x 2

2

⇔….⇔ x1 = x2 επομζνωσ υπάρχει θ αντίςτροφθ x

x

ex

x

y = ln 1−x ⇔ ey =eln 1−x ⇔ ey = 1−x ⇔ ey 1 − x = x ⇔ ⋯ ⇔ f −1 x = e x +1 ex

𝚩𝟑 . φ΄ x = (e x +1)2 > 0 𝛾𝜄𝛼 𝜅ά𝜃𝜀 x ∈ ℝ . Άρα φ↑ ℝ και δεν έχει ακρότατα. φ΄΄ x =

−e 2x +e x (e x +1)3

φ΄΄ x ≥0⇔ ⋯ ⇔ x ≤ 0 άρα φ κυρτή ςτο −∞, 0 και κοίλη ςτο 0, +∞ .

1

Παρουςιάζει ςημείο καμπήσ ςτο x0 = 0 το φ(0)=2 ex

𝚩𝟒 . limx→+∞ (e x +1)=1 άρα y=1 lim

ex

=0 άρα y=0

x→−∞ (e x +1)

y=0 1 2

Τηλέφωνα Επικοινωνίας: 210 6135306 (Άνω Βριλήσσια), 210 6131825 (Βριλήσσια), 210 8021269 (Μαρούσι), 210 8043245 (Μελίσσια), 210 2582230 (Ν. Φιλαδέλφεια)

ΘΕΜΑ Γ 𝚪𝟏 .Έςτω Ε(x0 , y0 ) ςθμείο επαφισ . Τότε: y − f x0 = f΄ x0 (x − x0 ) θ εξίςωςθ τθσ εφαπτομζνθσ (ε)

π

π

Α∈ ε ⇔ − 2 + ημx0 = −ςυνx0 ( 2 − x0 ) π

π

Θζτω g(x)= − 2 ςυνx + xςυνx + 2 − ημx , x ∈ [0, π] Είναι g 0 = g π = 0 π g΄ x = ημx( − x) 2 g΄ x = 0 ⇔ x = g΄ x > 0 ⇔ x <

π 2 π 2

για κάθε x ∈ (0, π) για κάθε x ∈ (0, π) γιατί θμx>0 για κάθε x ∈ (0, π)

g ςυνεχισ ςτο *0,π+ x g΄

π

0

π

2

+

-

g

Άρα g(x)>0 για κάκε x ∈ (0, π) ε1 : y − g 0 = g΄ 0 x − 0 ⇒ y = −x

ε2 : y − g π = g΄ π x − π ⇒ y = x − π

Τηλέφωνα Επικοινωνίας: 210 6135306 (Άνω Βριλήσσια), 210 6131825 (Βριλήσσια), 210 8021269 (Μαρούσι), 210 8043245 (Μελίσσια), 210 2582230 (Ν. Φιλαδέλφεια)

𝚪𝟐 .

Ε1 = 2

Άρα :

𝚪𝟑.

Ε1 Ε2

π 2

0

=

−ημx + x dx = 2(−1 +

π2 8

π2 8

)

Ε2 = 2

π 2

0

ημxdx = 2

−1

lim ( f x + x = lim −ημx + x = π > 0

x⟶π

x⟶π

lim f x − x + π = 0

x⟶π

f κυρτι⇒ f x ≥ x − π όπου y = x − π η εξίςωςη τησ εφαπτομένησ Άρα f x − x + π ≥ 0 η ιςότητα ιςχύει για x = π Άρα limx⟶π f 𝚪𝟒.

f x +x x −x+π

f x ≥x−π

= +∞

x≥1 f(x) x

π

≥1−x ⇒

e f(x) dx 1 x

>

e 1

π

1 − x dx ⇒

e f(x) dx 1 x

> 𝑒−1−𝜋

ΘΕΜΑ Δ 𝚫𝟏 . Η f ςυνεχισ ςτο *-1,0) και f ςυνεχισ ςτο *0,π+ ωσ πράξεισ ςυνεχών ςυναρτιςεων 3

Στο x0 = 0 : limx→0− f x = lim− ( x 4 ) = 0 x→0

limx⟶0− ex ημx = 0 άρα f ςυνεχισ ςτο x0 = 0 Άρα f ςυνεχισ ςτο x0 = π Για x ∈ −1,0 : f x =

3

x4 =

3

x

4

=

3

4

(−x)4 = (−x)3

Τηλέφωνα Επικοινωνίας: 210 6135306 (Άνω Βριλήσσια), 210 6131825 (Βριλήσσια), 210 8021269 (Μαρούσι), 210 8043245 (Μελίσσια), 210 2582230 (Ν. Φιλαδέλφεια)

4 4 43 f΄ x = (−x)3−1 −x ΄ = − −x 3 3

Για x ∈ (0, π]: f΄ x = ex (ημx + ςυνx) f΄ x = 0 ⇒ ex ημx + ςυνx = 0 ⇔ ημx + ςυνx = 0 Στο x0 = 0 : lim−

f x −f 0 x−0

x→0

3

= lim− x→0

x4 x

π x≠ 2

4

= lim− x→0

|x| 3 x

εφx + 1 = 0 ⇔ x = 4

= lim−

−lim(−x)

(−x) 3

x→0

1

x→0−

3

x

3π 4

4

= − lim−

(−x) 3

x→0

−x

=

=0

f x −f 0 ex ημx lim = lim+ =1 x→0+ x→0 x−0 x Άρα θ f δεν είναι παραγωγίςιμθ ςτο x0 = 0 𝚫𝟐 . x

-1

f΄

3π

0 -

+

π

4

-

f

f΄(x)>0⇒ ex ημx + ςυνx > 0 ⇔ 𝜂𝜇x + ςυνx > 0 f΄(π)=-eπ

π

π

f΄(2 )=e 2

f΄ x ≠ 0 για κάθε x ∈ 0, 3π 4 , f ςυνεχήσ άρα f΄ x > 0 για κάθε x ∈ 0, 3π 4 e Η f παρουςιάηει μζγιςτο για x=-1 και για x=3π 4 τα f(-1)=1 και f(3π 4) =

3π

4∙

2

2

Η f παρουςιάηει ελάχιςτο για x=0 και για x=π τα f(0)=0 και f(π)=0

Τηλέφωνα Επικοινωνίας: 210 6135306 (Άνω Βριλήσσια), 210 6131825 (Βριλήσσια), 210 8021269 (Μαρούσι), 210 8043245 (Μελίσσια), 210 2582230 (Ν. Φιλαδέλφεια)

f΄ x < 0 για

Είναι : κάκε x ∈ [−1,0) , f ςυνεχισ ςτο *-1,0+ άρα f ↓ ςτο [−1,0] f΄ x > 0 για κάκε x ∈ (0, 3π 4) , f ςυνεχισ ςτο 0, 3π 4 άρα f ↑ ςτο 0, 3π 4

f΄ x < 0 για κάκε x ∈ (3π 4 , π] , f ςυνεχισ ςτο [3π 4 , π] άρα f ↓ ςτο [3π 4 , π] f −1,0

= f 0 , f −1

= (0,1]

e f([0, 3π 4)] = [f 0 , f(3π 4)) = [0,

f 3π 4 , π f −1, π

= f π , f 3π 4 = [0,

e

3π

4

∙ 2

2

= [0,

3π

4∙

2

2 e

3π

4∙

2

) 2

]

]

𝚫𝟑 . h x = ex ημx − e5x h΄ x = ex ημx + ςυνx − 5e4x < 0 γιατί −1 ≤ ημx ≤ 1 και

−1 ≤ ςυνx ≤ 1 , άρα −2 ≤ ημx + ςυνx ≤ 2 (1)

και 0 ≤ x ≤ π ⇔ 0 ≤ 4x ≤ 4π ⇔ e0 ≤ e4x ≤ e4π ⇔ 5 ≤ 5e4x ≤ 5e4π − 5e4π ≤ − 5e4x ≤ −5 (2) Από (1), (2) ημx + ςυνx − 5e4x ≤ −3 Άρα Ε Ω = γιατί Ι1 = 𝚫𝟒 . f x −

π (−ex ημx 0

π x e ημxdx 0 (4x−3π)2 16

+ e5x )dx =

e 5π 5

1

−5−

e π +1 2

= ⋯ . = eπ + 1 − Ι1 ⇒ 2Ι1 = eπ + 1 ⇒ Ι1 =

e π +1 2

= f 3π 4 (I) 2

2

(4x−3π) (4x−3π) Όμωσ : f x ≤ f 3π 4 και 16 ≥ 0 ⇒ − 16 ≤ 0 ΙΙ

Τηλέφωνα Επικοινωνίας: 210 6135306 (Άνω Βριλήσσια), 210 6131825 (Βριλήσσια), 210 8021269 (Μαρούσι), 210 8043245 (Μελίσσια), 210 2582230 (Ν. Φιλαδέλφεια)

Από (Ι) και(II) f x −

(4x−3π)2 16

≤ f 3π 4 ,επομζνωσ προφανισ ρίηα τθσ ( Ι) θ x = 3π 4

Τηλέφωνα Επικοινωνίας: 210 6135306 (Άνω Βριλήσσια), 210 6131825 (Βριλήσσια), 210 8021269 (Μαρούσι), 210 8043245 (Μελίσσια), 210 2582230 (Ν. Φιλαδέλφεια)